Bài tập ôn tập Số phức môn Giải tích Lớp 12

Nội dung text: Bài tập ôn tập Số phức môn Giải tích Lớp 12

1. ON TAP SO PHUC z a bi a,b ¡ . 1 1. Cho số phức Khi đó z z là 2 A. một số thực.B. sốC. một số thuần0 .ảo.D. đơn vị ảo i. Chọn C 1 1 Với z a bi a,b ¡ ta có z z a bi a bi bi là một số thuần ảo 2 2 2.Cho số phức z 1 3i. Khi đó 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 A. i. B. i. C. i. D. i. z 2 2 z 2 2 z 4 4 z 4 4 Chọn D. z 1 3i. 1 1 1 3i 1 3 i z 1 3i 4 4 4 1 4i x 1 2i 3 y 2 9i 3.Cho . Khi đó x bằng 95 17 95 46 A. x . B. x . C. x . D. .x 46 46 46 95 Chọn A Ta có 1 4i x 1 2i 3 y 2 9i 1 4i x 1 6i 12 8i y 2 9i 95 x x 11y 2 46 x 11y (4x 2 y)i 2 9i . 4x 2 y 9 17 y 46 4.Cho số phức z a bi a, b ¡ thỏa mãn 2 i z 3z 1 3i . Tính giá trị biểu thức P a b . A. .P 5 B. . P 2C. . D.P .3 P 1 Chọn C. 2 i z 3z 1 3i 2 i a bi 3 a bi 1 3i a b a 5b i 1 3i a b 1 a 2 a b 3. a 5b 3 b 1 4 2 5.Gọi z1, z2 , z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 2z 8 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A , B , C , D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm z1, z2 , z3, z4 đó. Tính giá trị của P OA OB OC OD , trong đó O là gốc tọa độ. A. P 4 . B. .P 2 C.2 . D.P . 2 2 P 4 2 2 Chọn D. z2 4 z 2 z4 2z2 8 0 2 z 2 z i 2 A 2;0 ; B 2;0 ;C 0; 2 ; D 0; 2 OA OB 2;OC OD 2 OA OB OC OD 4 2 2.
2. Dạng 1: TÌM PHẦN THỰC PHẦN ẢO 6.Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thựcy và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 3 và phần ảo là 2. 2 3. B. Phần thực là và phần ảo là O 2 x C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i. D. Phần thực là 2 và phần ảo là 3i. Chọn B. 3 Chúng ta cần nhờ lại định nghĩa: Điểm M (a;b) trong hệ trục tọa độ Oxy đượcM gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z a bi Từ hình vẽ ta suy ra điểm M (2; 3) z 2 3i Nên phần thực của số phức là 2 và phần ảo là 3 . 7.Cho số phức z thỏa mãn 1 – 3i z là số thực và z 2 5i 1 . Khi đó z là 7 21 7 21 7 21 7 21 z i z i z i z i A. 5 5 . B. 5 5 . C. 5 5 . D. 5 5 . z 2 6i z 2 6i z 2 6i z 2 6i Chọn B. Đặt z x iy x, y ¡ (1 3i)(x iy) x 3y ( y 3x)i ¡ y 3x 0 . z 2 5i 1 x iy 2 5i 1 x 2 2 y 5 2 1. 7 2 2 2 2 x x 2 y 5 1 x 2 3x 5 1 x 2 5 Ta hệ  . được y 6 21 y 3x y 3x y 5 8.Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn 1 i z 1 3i . A. z 1 2i. B. z 1 2 C.i. z 1 D.2i . z 1 2i. Chọn C. 1 3i Ta có 1 i z 1 3i z z 1 2i z 1 2i 1 i 2 5 2 11 9.Với cặp số thực (x; y) nào dưới đây thì z1 9 y 4 10xi và z2 8y 20i là hai số phức liên hợp của nhau? A. x 2, y 2. B. x 2, y 2. C. x 2, y 2. D. x 2, y 4. Chọn B. 5 2 2 2 5 2 i (i ) .i i z1 9 y 4 10xi 9 y 4 10x i Ta có . Từ đó . i11 (i2 )5.i i 2 11 2 z2 8y 20i 8y 20 i 9 y2 4 8y2 y2 4 y 2 y 2 z1, z2 là liên hợp của nhau  . 10x 20 x 2 x 2 x 2 1 2017 1 z 1. z 2017 . 10.Cho z là số phức thỏa mãn z Tính giá trị của z A. B. 2 .C. D. 1. 1. 2.
3. Chọn C. 1 3 z i cos i.sin 1 2 2 3 3 z 1 z 1 3 z i cos i.sin 2 2 3 3 1 3 1 1 3 TH1: Với z i thì i 2 2 z 2 2 2017 2017 1 3 Khi đó: z2017 cos i.sin i 3 3 2 2 1 2017 2017 1 3 1 và cos i.sin i . Suy ra: z2017 1 . z2017 3 3 2 2 z2017 TH2: Như trường hợp 1. z 1 i z 2 3i z iz 11.Cho hai số phức 1 và 2 . Tính môđun của số phức 2 1 . A. 3. B. 5. C. 5. D. 13. Chọn C. Ta có: z2 iz1 2 3i i 1 i 1 2i z2 iz1 5 . 13.Cho số phức z thỏa mãn 2z i z 3 . Môđun của z là 3 5 3 5 A. z 5. B. z 5. C. z . D. z . 4 2 Chọn A. Gọi z a bi, a. b ¡ z a bi . Khi đó: 2z i z 3 2a 2bi ai b 3i 2b a 3 a 1 z 1 2i 2a b b 2 Từ đó suy ra z 5. 14. Cho số phức z thỏa mãn 3iz 3 4i 4z . Tính môđun của số phức 3z 4. A. 5. B. C. D. 5. 25. 1. Chọn B. 3 4i Ta có 3iz 3 4i 4z z i . Suy ra 3z 4 3i 4 3z 4 3i 4 5 . 4 3i 2z i 15. Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Đặt A . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 iz A. A 1. B. . A 1 C. . A 1 D. . A 1 Chọn A. Đặt z a bi, a, b ¡ a2 b2 1 (do z 1 ) 2 2z i 2a 2b 1 i 4a2 2b 1 A 2 iz 2 b ai 2 b 2 a2
4. 4a2 2b 1 2 Ta chứng minh. 1 2 b 2 a2 2 2 4a 2b 1 2 2 Thật vậy ta có 1 4a2 2b 1 2 b a2 a2 b2 1 2 b 2 a2 Dấu “=” xảy ra khi a2 b2 1 . Vậy A 1 . 16.Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 3i 3, gọi z0 là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó z0 là: A. B.3. C. D. 4. 5. 8. Chọn D. Giả sử z x yi, (x, y ¡ ) z x2 y2 z 4 3i 3 x 4 2 y 3 2 9 1 điểm biểu diễn M x; y của số phức z trong mặt phẳng Oxy luôn thuộc đường tròn C  có phương trình 1 , C có tâm I 4; 3 bán kính R 3 . Mà z OM OM Suy ra z lớn nhất M C sao cho OM lớn nhất điểm I thuộc đoạn OM 3 - Phương trình đường thẳng OM là y x 4 8 6 - Hệ phương trình tọa độ giao điểm của OM và C ta được x , y hoặc 5 5 32 24 x , y . So sánh z x2 y2 suy ra số phức có mô đun lớn nhất là z 8 . 5 5 0 17.Cho số phức z a bi với a, b là hai số thực khác 0. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z làm nghiệm với mọi a, b là: A. B.z2 a2 b2 2abi. z2 a2 b2. C. D.z2 2az a2 b2 0. z2 2az a2 b2 0. Chọn C. z a bi và z a bi là nghiệm của phương trình x z x z 0 x2 z z x z.z 0 x2 2ax a2 b2 0 . 18.Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 . B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 . C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i . D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i . Chọn B. Ta có z 3 2i z 3 2i . y A 2 O 3 x
5. 1 19.Điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm nào? 2 3i 2 3 A. M 2; 3 . B. M ; . C. M 3; 2 . D. M 4; 1 . 13 13 Chọn B 1 2 3i 2 3 2 3 Ta có z i được biểu diễn bởi điểm M ; trên mặt phẳng Oxy. 2 3i 22 32 13 13 13 13 20.Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức 3 2i , điểm B biểu diễn số phức 1 6i . Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào sau đây? A. 1 2i. B. C. D. 2 4i. 2 4i. 1 2i. Chọn D. Tọa độ A 3; 2 và B 1;6 . Ta có M là trung điểm AB nên có M 1;2 . Vậy điểm M biểu diễn số phức 1 2i . 2 y 21.Cho số phức zthỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên là điểm Q 2 biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức 1 w là một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của M A iz x số phức w là O A. điểm Q . B. điểm . M N C. điểm N . D. điểm . P Chọn D. P Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi z a bi (a,b 0) . 2 2 Do z nên a2 b2 . 2 2 1 b a Lại có w i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của iz a2 b2 a2 b2 mặt phẳng Oxy . 1 1 w 2 2 z 2OA . iz i . z Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . 22.Tập hợp những điểm biểu diễn của số phức  thỏa mãn  1 2i z 3 và z 2 5 trên mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn (C) có phương trình A. x 1 2 y 4 2 125. B. x 1 2 y 4 2 125. C. x 1 2 y 4 2 125. D. x 1 2 y 4 2 125. Chọn C.
6. PP trắc nghiệm: Chọn 1 số z thỏa z 2 5, cụ thể ta chọn z 2 5i thì tính được  11 9i. Cho x 11 và y 9 , lần lượt thay vào các phương trình ở các phương án A, B, C, D sẽ phát hiện được chỉ có phương trình ở phương án C được thỏa mãn. PP tự luận:  3 x 3 yi Cách 1 Đặt  x yi x, y ¡ ta có  1 2i z 3 z 1 2i 1 2i x 3 yi x 1 (y 4)i z 2 2 . 1 2i 1 2i Như vậy, x 1 (y 4)i (x 1)2 (y 4)2 z 2 5 5 5 (x 1)2 (y 4)2 125. 1 2i 5 Cách 2  1 2i z 3 1 2i z 2 2 1 2i 3 1 2i z 2 1 4i . Suy ra  1 4i 1 2i z 2  1 4i 1 2i z 2 5 5 . Vậy tập hợp các số phức  là đường tròn tâm 1;4 , R 5 5 .