›
›
›

Bài tập ôn tập Toán Lớp 10

doc 119 trang thaodu 4180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập ôn tập Toán Lớp 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_on_tap_toan_lop_10.doc

Nội dung text: Bài tập ôn tập Toán Lớp 10

  1. Tập hợp 1. Một số khái niệm + Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, , A = {x, y, }, x A, y A + Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn điều kiện P. A = {x\ x thỏa mãn điều kiện P} +  gọi là tập rỗng (tập hợp không có phần tử). + A  B thì A là tập con của tập B. + A = B thì tập A và tập B đều là tập con của nhau. 2. Các phép toán về tập hợp + Hợp A  B = {x A hoặc x B} + A  B = B  A ; (A  B)  C = A  (B  C) A  A = A ; A  A  B ; B  A  B A   = A + Giao A  B = {x A và x B} + A  B = B  A ; A  B  B ; A  B  A A  A = A ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C) A   =  ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C) + (A  B)  C = A  (B  C) + Hiệu 1
  2. A \ B = {x | x A và x  B} A \ A =  (A \ B)  C = (A  C) \ B = (A  C) \ (B  C) A \ B = A \ (A  B) A = (A  B)  (A \ B) + Phần bù CAS = A\ S (S  A) 3. Tập hợp số + Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, } + Tập hợp số nguyên Z = { -2, -1, 0, 1, 2, } + Tập hợp số hữu tỉ + Tập hợp số thực R = {a0, a1, a2, | a0 Z, ak {0, 1, 2, , 9}} Nh vậy ta có : N  Z  Q  R Hàm số ánh xạ 2
  3. Hàm số Những hàm số cơ bản anh xạ Cho hai tập hợp X, Y. Một ánh xạ f từ X đến Y, Y là một qui tắc cho ứng với mỗi x X một và chỉ một phần tử y Y, ký hiệu là X là tập nguồn, Y là tập đích, phần tử y = f(x) là ảnh của phần tử x X. ánh xạ tích Thì F gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g, ký hiệu là F = g0f. Hàm số Cho hai tập hợp số X và Y (X  R, Y  R). Một ánh xạ f từ X đến Y là một hàm số f từ X đến Y, ký hiệu là : x gọi là đối số y = f(x) gọi là hàm số 3
  4. * Tập xác định Tập hợp các số thực x sao cho nhờ biểu thức của hàm số ta tính đợc y = f(x), đó là tập xác định X = Df * Tập giá trị E = {f(x)| x X} E = f(X) + Đồ thị hàm số (C) = {(x ; y)| x X, y = f(x)} + Tính chất của hàm số * Hàm số đơn điệu Y = f(x) đồng biến trên y = f(x) nghịch biến trên * Hàm số chẵn x X -x X và f(-x) = f(x) * Hàm số lẻ x X -x X và f(-x) = -f(x) * Hàm số tuần hoàn chu kỳ T x X x + T X; x - T X và f(x + T) = f(x) = f(x - T) + Hàm số hợp 4
  5. y = f(u) tập xác định D, u = g(x) tập xác định D y = f[g(x)] là hàm hợp với tập xác định + Hàm số ngợc Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên D và miền giá trị T. Hàm số ngợc của f là : Thờng ký hiệu là Giả sử đồ thị của hàm số y = f(x) là (C) và hàm số là (C') trong hệ tọa độ Oxy thì (C) đối xứng với (C') qua đờng phân giác của góc I và góc III : y = x. Những hàm số cơ bản 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (1) (a 0; a, b R), D = R, E = R. a > 0 hàm số (1) đồng biến, a 0, 5
  6. Hàm số đồng biến : Hàm số nghịch biến : Đồ thị (C) là một parabol có trục đối xứng là đờng thẳng , có tọa độ đỉnh và có bề lõm quay về phía trên. Với a < 0, Hàm số đồng biến : Hàm số nghịch biến : (C) là parabol, có trục đối xứng và đỉnh và có bề lõm quay xuống dới. 3. Hàm số lũy thừa y = x , tập xác định và tập giá trị, đồ thị tuỳ thuộc vào R. 4. Hàm số mũ y = ax 6
  7. D = R, E = (0 ; + ) Với a > 1 hàm số đồng biến Với 0 1 hàm số đồng biến Với 0 1 ta có y = lnx (đồ thị nh hình dới) 7
  8. Giới hạn của hàm số 1. Giới hạn của dãy số 2. Các định lí về giới hạn của dãy Định lí 1 (Điều kiện cần) Nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn. Định lí 2 (tính chất duy nhất của giới hạn) Nếu một dãy (Un) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định lí 3 (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) Một dãy số có tăgn và bị chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dới thì có giới hạn. Định lí 4 Cho hai dãy số (Un) và (Vn) có các giới hạn thì : 3. Giới hạn của hàm số 8
  9. Định nghĩa 4. Một số giới hạn đáng chú ý 5. Các định lí về giới hạn Định lí 1 : là duy nhất Định lí 2 : Định lí 3 : Ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định tại một lân cận của điểm x0 (có thể trừ ra điểm x0) 9
  10. x x0 thuộc lân cận đó f(x) g(x) h(x) Hàm số liên tục 1. Một số định nghĩa Cho hàm số y = f(x), tập xác định D. Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu : Thay cho (2), nếu chỉ có thì hàm số f(x) liên tục về bên phải của x0. Thay cho (2), nếu chỉ có thì hàm số liên tục về bên trái của x0. Hàm số y = f(x) là liên tục tại điểm x0, x0 D nếu Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a ; b). Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) đồng thời nó liên tục về bên phải điểm a và liên tục về bên trái điểm b. 2. Các định lí về hàm số liên tục Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hàm số liên tục tại x0 thì : f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) và f(x)g(x) liên tục tại x0. 10
  11. liên tục tại x0 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và x1, x2 (a ; b) với f(x1) f(x2). Khi đó với mỗi số M nằm giữa f(x1), f(x2) đều tồn tại một điểm c (a ; b) sao cho f(c) = M. Hệ quả : giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) có giá trị dơng và giá trị âm trên khoảng đó, thì phơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x = c thuộc khoảng (a ; b). 3. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp y = f(x) là hàm số sơ cấp xác định trên D thì hàm số này liên tục trên D. 4. Tính liên tục của hàm số hợp Nếu y = f(u), u = g(x) là những hàm số liên tục thì hàm số hợp y = f[g(x)] là một hàm số liên tục. Đạo hàm Định nghĩa đạo hàm Các công thức tính đạo hàm Đạo hàm cấp cao Vi phân Đạo hàm và liên tục Qui tắc L'hospital Định nghĩa đạo hàm 11
  12. Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là : Đạo hàm bên phải tại x0 : Đạo hàm bên phải tại x0 : Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x0 .(a ; b) Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b. Cách tính đạo hàm : Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bớc sau : 1) Cho số gia x tại x0 và tính 2) Lập tỉ số : 3) Tìm Các công thức tính đạo hàm 12
  13. 13) y = f(x) có hàm số ngược 13
  14. Đạo hàm cấp cao y = f(x) có đạo hàm tại x, y' = f'(x) y' = f'(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm này là đạo hàm cấp 2, ký hiệu là y'' = f''(x) = [f'(x)]'. Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp n của một hàm số 14
  15. Vi phân y' = f(x), D = (a ; b) và có f'(x) tại , vi phân của hàm số tại điểm x là dy = y'dx (hoặc df(x) = f'(x)dx) Vi phân hàm số hợp : y = f(u) và u = g(x) thì dy = f'(u)du ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng Đạo hàm và liên tục Nếu hàm số y = f(x) đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm đó. Điều đảo lại không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Qui tắc L'hospital Dùng để tính giới hạn các dạng vô định và . NƠu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) xác đnh̃ trên (a ; b) chứa và có đạo hàm trên (a ; b) thì : Đờng tiệm cận 1. Nhánh vô tận 15
  16. (C) là đồ thị hàm số y = f(x) có nhánh vô tận x hay f(x) . 2. Tiệm cận của đờng cong Đờng thẳng (D) đợc gọi là tiệm cận của nhánh vô tận (N)  (C) nếu khoảng cách MH từ M đến (D) (M (N)) dần đến 0 khi M chạy trên (N) ra xa vô tận. 3. Các đờng tiệm cận của (C) : y = f(x) Tiệm cận đứng x = x0 nếu : hay Tiệm cận ngang (C) có tiệm cận ngang y = y0 nếu : Có tiệm cận ngang về bên phải y = b nếu : Có tiệm cận ngang về bên trái y = b' nếu : Tiệm cận xiên Đờng thẳng (D) y = ax + b là tiệm cận xiên về bên phải nếu : Đờng thẳng (D) y = ax + b là tiệm cận xiên về bên trái nếu : 16
  17. Đờng tiệm cận xiên (D), y = ax + b (về bên phải) (hữu hạn) (D) về bên trái thì tơng tự. 4. Đờng tiệm cận của đồ thị (C) một số hàm hay gặp : có hai đờng tiệm cận Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang có hai đờng tiệm cận. Tiệm cận đứng Tiệm cận xiên 17
  18. với có hai đờng tiệm cận. Tiệm cận xiên về bên phải (D1) : Tiệm cận xiên về bên phải (D2) : Chú ý : Nếu phân tích đợc f(x) = g(x) + (x), trong đó g(x) là đa thức bậc lớn hơn 1 và thì (C) có tiệm cận cong y = g(x). Khảo sát hàm số 1. Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến của hàm số + Định lí Lagơrăng Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c (a ; b) sao cho f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). + Nếu f'(x) > 0 x (a ; b) f(x) đồng biến trên (a ; b). + Nếu f'(x) > 0 x (a ; b) f(x) nghịch biến trên (a ; b). + Điểm tới hạn y = f(x), tập xác định D. Điểm x0 D mà f'(x0) = 0 x0 gọi là điểm tới hạn của hàm số f(x). 18
  19. 2. Cực đại và cực tiểu + Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa x0 + Điểm x0 đợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x), nếu tồn tại một - lân cận của x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho với mọi x x0 của lân cận đó ta có f(x) > f( x0) + Điểm x0 đợc gọi là điểm cực đại của hàm số f(x), nếu tồn tại một - lân cận của x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho với mọi x x0 của lân cận đó ta có f(x) 0 trên (x0 –  ; x0) và f'(x) 0 + x0 là một điểm cực đại nếu f ''(x0) < 0 3. Quy tắc tìm Max và Min của hàm số y = f(x) liên tục và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn [a ; b] 1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, , xn của f(x) trên [a ; b]. 2) Tính f(x1), f(x2), , f(xn) và f(a), f(b) 3) Chọn số max{f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)} Ký hiệu Max[a ; b]f(x) 19
  20. Hoặc min{f(x1), f(x2), , f(xn), f(xa), f(xb)} kí hiệu là min[a ; b]f(x) 4. Tính lồi lõm và điểm uỗn của đồ thị + Khái niệm lồi, lõm, điểm uốn. Trên đồ thị (C) của hàm số y = f(x) ta nói (C) lồi trên khoảng (a ; b) lõm trên khoảng (b ; d) và B là điểm uốn. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại mọi điểm M (C) * (C) lồi trên (a ; b) (C) nằm dới d. * (C) lõm trên (a ; b) (C) nằm trên d * B là điểm uốn của (C) qua B(C) thay đổi tính lồi lõm. + Dấu hiệu lồi, lõm, điểm uốn * Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a ; b) - Nếu f''(x) 0 x (a ; b) (C) lõm trên (a ; b) * Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (x0 -  ; x0 + ) và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó (có thể trừ điểm x0). Nếu f''(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì B(x0 ; y0) là điểm uốn của (C). Đảo lại giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên khoảng (a ; b). Khi đó nếu điểm (x0 ; y0) với x0 (a ; b) là điểm uốn của (C) f''(x) = 0 * Quy tắc tìm điểm uốn - Giải phơng trình f''(x) = 0 - Lập bảng xét dấu của f''(x). Hoành độ điểm uốn là các nghiệm của f''(x) = 0 20
  21. tại đó f''(x) đổi dấu. 5. Các bớc tiến hành khảo sát mọt hàm số 1) Tìm tập xác định D của hàm số, xét tính chẵn và lẻ và tuần hoàn (nếu có). Nếu hàm đã cho là hàm chẵn (hay hàm lẻ) thì chỉ khảo sát nửa tập xác định rồi lấy đối xứng qua trục Oy (hay qua gốc tọa độ O). + Nếu hàm đã cho là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ khảo sát trên một chu kỳ, rồi tịnh tiến dọc theo trục Ox một đoạn bằng T. 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm. + Tìm các điểm tới hạn (f'(x) = 0). + Xét dấu của f'(x) suy ra chiều biến thiên của hàm số. + Tìm các cực trị (nếu có). Khảo sát tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có) 3) Xét nhánh vô cực của đồ thị (C), tìm các tiệm cận của (C) (nếu có). 4) Lập bảng biến thiên. 5) Vẽ đồ thị + Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. + Lấy thêm một điểm (ngoài những điểm đã ghi ở bảng biến thiên). Nguyên hàm 1. Định nghĩa và tính chất của nguyên hàm + Định nghĩa * Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) F'(x) = f(x), x (a ; b). 21
  22. * Nếu thay (a ; b) là [a ; b] thì phải có thêm điều kiện F’(a+) = f(a) v–) = f(b) Ký hiệu : f(x)dx = F(x) + C. + Tính chất + Sự tồn tại của nguyên hàm Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 2. Các phơng pháp tính nguyên hàm + áp dụng tính chất Vận dụng các tính chất của nguyên hàm để đa việc tính nguyên hàm phức tạp về những nguyên hàm đơn giản hơn. + Phơng pháp đổi biến số * Ta có f(x)dx = f[g(t)]g'(t)dt khi f(x), g(t), g'(t) liên tục và x = g(t). * Quy tắc tính 1) Đặt x = g(t) (2) hoặc t = (x) (3). 2) Lấy vi phân hai vế của (2) hoặc (3). 3) Biểu thị f(x)dx theo t và đờng tròn, giả sử f(x)dx = (t)dt. 4) Tính (t)dt = F(t) + C 5) Thay t = (x) trong F(t) + Phơng pháp tính nguyên hàm từng phần. 22
  23. * Công thức tính nguyên hàm từng phần udv = uv - vdu (*) * Quy tắc tính 1) Viết f(x)dx dới dạng udv 2) Tính du và v 3) Tính ũvdu 4) áp dụng tính công thức (*) + Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ dạng * Nếu không có nghiệm ta viết : Sử dụng phơng pháp đổi biến số sẽ tìm đợc : 2 * Nếu x + bx + c = 0 có nghiệm là x1, x2 thì : Trong đó : 3. Bảng các nguyên hàm cơ bản 23
  24. Tích phân 1. Định nghĩa và tính chất + Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì tích phân của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] là : a, b gọi là cận tích phân, f(x) là hàm số dới dấu tích phân (đây cũng là công thức Niutơn - Laibônit) 24
  25. + Tính chất 3) Nếu f(x) q(x) và a < b thì : Trong trờng hợp f(x) 0, a < b thì : 2. Các phơng pháp tính tích phân + Sử dụng định nghĩa + Phơng pháp đổi biến số + Phơng pháp tích phân từng phần 3. ứng dụng của tích phân + Tính diện tích các hình phẳng * Cho hàm số y = (f) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích hình thang cong giới 25
  26. hạn bởi đồ thị y = f(x), x = a, x = b, y = 0 là * Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x), đờng phẳng x = a, x = b. + Tính thể tích vật thể tròn xoay * Hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trục Ox * Hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay quanh trục Oy : Biểu thức đại số 1. Tính chất các phép toán trên số + Tính chất giao hoán của phép cộng và nhân a + b = b + a ab = ba 26
  27. + Tính chất kết hợp của phép cộng và nhân (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) + Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (a + b)c = ac + bc + Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ (a - b)c = ac - bc 2. Biểu thức phân + Tính chất cơ bản của phân thức + Các phép toán của phân thức 3. Tỉ lệ thức + Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a, d là hai ngoại tỉ ; b, c là hai trung tỉ. + Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức : ad = bc 27
  28. + Một số tính chất khác Với a, b, c, d 0 và thì : Luỹ thừa và căn số Lũy thừa Căn bậc n Luỹ thừa + Một số định nghĩa * Luỹ thừa số mũ nguyên * Luỹ thừa số mũ hữu tỉ 28
  29. * Luỹ thừa số mũ vô tỉ (a > 0, x là số vô tỉ > 0) (xn) là dãy số gần đúng thiếu của x) + Các tính chất cơ bản của luỹ thừa Giả sử a > 0, b > 0 x, y R ta có : + Một số tính chất khác * x, y R, x 1 ax ay * (xn) R, a > 0 mà : 29
  30. Căn bậc n + Đnh̃ nghĩa : n N*, căn bậc n của số a là một số b sao cho bn = a, kí hiệu là * Mọi số a chỉ că một căn bậc lẻ * Số âm không că căn bậc chẵn * Số dơng că hai căn bậc chẵn, hai căn ấy că số tr ̃ đối nhau. Giá tr ̃ dơng của căn bậc chẵn n của số a > 0 kƯ hiệu là . + với a > 0 gọi là căn số học + Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân Một số công thức khác 30
  31. Dãy số + Định nghĩa Gọi N* = {1, 2, 3, } Một dãy số là một hàm số u từ N* tới R u : N* R n U(n) Kí hiệu Un = U(n), viết dãy số dới dạng U1, U2, U3, Un + Cách cho dãy số * Dãy số cho bởi công thức : Un = 2n + 1 * Dãy số cho bởi cách mô tả các số hạng liên tiếp của nó * Dãy số cho bởi công thức truy hồi chẳng hạn dãy số Phibonasi : U1 = U2 = 1, Un = Un - 2 + Un - 1 với n 3 Dễ dàng ta có dạng khai triển của dãy : 1, 1, 2, 3, 5, 8 * Dãy số bằng quy nạp : - Cho số hạng thứ nhất U1 - Với n > 1 cho công thức Un khi biết Un - 1 + Dãy số tăng, giảm * * Dãy số (Un) gọi là tăng nếu n N , Un Un + 1 31
  32. + Dãy số bị chặn * * Dãy số (Un) bị chặn trên nếu  M sao cho n N , Un M * * Dãy số (Un) bị chặn dới nếu  M sao cho n N , Un m * Un gọi là bị chặn nếu  M, m sao cho m Un M. + Các phép toán trên dãy số * (Un) (Vn) = (Un ± Vn) * (Un) = (Un) * (Un).(Vn) = (Un.Vn) Cấp số cộng + Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai. * n N , Un + 1 = Un + d + Tính chất của cấp số cộng * Un + 1 Un = Un + 2 Un + 1 + Số hạng tổng quát Un = U1 + d(n 1) 32
  33. + Tổng n số hạng đầu Cấp số nhân + Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội. * n N , Un + 1 = Un.q + Tính chất : + Số hạng tổng quát : n - 1 Un = U1.q + Tổng n số hạng đầu tiên + Tổng của cấp số nhân vô hạn Với |q| < 1 33
  34. Một số công thức khác của dãy số Lôgarít 1. Khái niệm LogaN (a > 0, a 1, N > 0) là logarit của N theo cơ số a. 2. Các đẳng thức cơ bản của logarit * lgN là logarit thập phân (cơ số 10) * LnN là logarit tự nhiên (logarit cơ số e) 34
  35. 3. Tính chất của logarit 4. Đổi cơ số 5. Logarit thập phân Tổ hợp - Công thức Newtơn Hoán vị Chỉnh hợp 35
  36. Tổ hợp Tam giác Pascal Công thức Newtơn Hoán vị + Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, đợc sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn + Công thức : Pn =1.2.3 n = n  Chỉnh hợp + Định nghĩa Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là . Công thức : 36
  37. (Qui ớc 0! = 1) Tổ hợp + Định nghĩa Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n nguyên dơng). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n) là một tập con của A gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là + Công thức + Tính chất Tam giác Pascal n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 37
  38. n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Công thức Newtơn Tk là số hạng thứ k + 1 của khai triển nhị thức : Phương trình và hệ phương trình Phương trình Hệ phơng trình Phơng trình 38
  39. 1. Một số khai triển + Đẳng thức f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x, đợc gọi là phơng trình một ẩn số, x là ẩn số. + Giải phơng trình (1) là tìm giá trị x = x0 để có đẳng thức đúng f(x0) = g(x0). + Tơng tự f(x1, x2, x3, , xn) = g(x1, x2, x3, , xn) đợc gọi là phơng trình n ẩn, (n N*) + Tập hợp các giá trị x0 gọi là tập hợp các nghiệm của phơng trình kí hiệu là M, nếu phơng trình không có nghiệm thì tập hợp các nghiệm là tập . 2. Phơng trình tơng đơng - phép biến đổi tơng đơng + Phơng trình f(x) = 0 (1) có tập hợp nghiệm là M1. Phơng trình g(x) = 0 (2) có tập hợp nghiệm là M2. * Nếu M1 = M2 (1) và (2) tơng đơng + Nếu M1  M2 (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1). + Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x) + h(x) = h(x) (2) là tơng đơng nếu h(x) có miền xác định chứa tập nghiệm (1). + Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x).h(x) = 0 (2) tơng đơng h(x) 0 và miền xác định h(x) chứa miềm xác định của f(x). 3. Phơng trình bậc nhất + Dạng ax + b = 0 (x là ẩn a, b R miền xác định là R). Nghiệm * a 0 : có nghiệm duy nhất : * a = 0, b 0 : Vô nghiệm * a = 0, b = 0 : Vô số nghiệm trên R 39
  40. 4. Phơng trình bậc hai + ax2 + bx + c = 0. = b2 - 4ac * Nếu > 0 thì M = {x1, x2} khi b = 2b', '' = b'2 - ac thì : * Nếu = 0, thì M = {x1} * Nếu 0, M = {x1, x2} < 0, M = . * ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 Định lí Viét 40
  41. Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có + Xét dấu nghiệm (quy ớc x1 > x2) 5. Phơng trình quy về bậc hai * ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a 0) (phơng trình trùng phơng) Đặt : Phương trình (1) đa về ay2 + by + c = 0 (2). Giải phơng trình (2) tìm nghiệm y 0, sau đó tìm x bằng công thức * (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d. Đặt y = (x + a)(x + b) Đặt : 41
  42. Chia hai vế của phương trình cho x2 (vì x = 0 không phải nghiệm của phơng trình). 6. Phơng trình bậc ba + Dạng x3 + px + q = 0 (1) Công thức nghiệm của phơng trình (1) (công thức Cacđanô) + Dạng y3 + ay2 + by + c = 0 Đặt ta có phơng trình dạng x3 + px + q = 0 và có công thức giải nh trên. 7. Phơng trình chứa căn bậc hai 8. Phơng trình tuyệt đối 9. Phơng trình mũ * N 0 phơng trình vô nghiệm * N > 0 phơng trình có nghiệm duy nhất 10. Phơng trình logarit N logax = N (a > 0, a 1) có nghiệm duy nhất x = a 42
  43. Hệ phơng trình 1. Hệ phơng trình bậc nhất * Nếu D 0 hệ phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất * Nếu D = 0 và (Dx 0) hoặc (Dy 0) hệ phơng trình (1) vô nghiệm. * Nếu D = Dx = Dy = 0 - Trờng hợp a = a' = b = b' = 0, c 0, c' 0 hệ phơng trình (1) vô nghiệm. - Các trờng hợp khác hệ (1) vô số nghiệm. 2. Hệ phơng trình bậc hai + Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn số có dạng Ta chỉ xét hai hệ sau : + Hệ phơng trình đối xứng đối với x và y (khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì hệ phơng trình không đổi) Chẳng hạn : 43
  44. Đối với hệ phơng trình trình này đặt S = x + y, P = xy. + Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng Nếu x = 0, y = 0 không phải là nghiệm thì đặt y = kx và ta đợc phơng trình bậc hai theo k. Bất phơng trình Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất Bất phơng trình bậc hai Một số bất phơng trình khác Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất + Dấu của nhị thức ax + b + Bất phơng trình bậc nhất thờng có dạng ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0 ax > -b 44
  45. * Nếu a = 0, b > 0 bất phơng trình có nghiệm tuỳ ý M = R. * Nếu a = 0, b 0 x R * = 0 thì a.f(x) > 0 * > 0 45
  46. + So sánh nghiệm phơng trình bậc hai + Bất phơng trình bậc hai 46
  47. Chỉ việc nhân hai vế của bất phơng trình với -1 sẽ đa về hai trờng hợp trên. Một số bất phơng trình khác + Bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối * |f(x)| 0 -m m + Bất phơng trình chứa căn bậc hai + Bất phơng trình mũ * ax > N 47
  48. * ax B (A lớn hơn B) hoặc A B A - B > 0 2. Tính chất 1) a > b và b > c a > c (tính chất bắc cầu) 48
  49. a + b > c a > c – b (chuyển vế thì đổi dấu) 3. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối 4. Các bất đẳng thức thờng dùng + Bất đẳng thức Côsi 49
  50. Dấu "=" xảy ra a = b Dấu "=" xảy ra a = b = c * Tổng quát a1, a2, a3, , an không âm thì Dấu "=" xảy ra a1 = a2 = a3 = = an + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Côsi - Svacxơ) * Với hai cặp số (a , b), (x , y) thì : 2 2 2 2 2 (ax + by) (a + b )(x + y ) Dấu "=" xảy ra (với quy ớc tử bằng 0 thì mẫu bằng 0) * Tổng quát a1, a2, a3, , an, x1, x2, , xn R thì : Dấu "=" xảy ra + Bất đẳng thức Trêbsep * Với hai cặp số (a ; b), (A ; B) 50
  51. * Với ba cặp số (a ; b ; c), (A ; B ; C) * Tổng quát Dấu "=" chỉ xảy ra khi a1 = a2 = = an hoặc b1 = b2 = = bn 51
  52. + Bất đẳng thức Becnuli * Với a > -1, n N, (1 + a)n a + na Dấu "=" chỉ xảy ra khi a = 0, hoặc n = 0, hoặc n = 1. * Với a > -1  1, R (1 + a) 1 + a Dấu "=" chỉ xảy ra khi hoặc a = 0 hoặc = 1. + Một số bất đẳng thức khác. Đẳng thức chỉ xảy ra khi ab = 0 * |a + b| |a| + |b| |a - b| |a| - |b| |a - b| |a| + |b| |a - b| | |a| + |b| | |a| |b| -b a b Tam giác - Đa giác - Hình tròn Tam giác Tứ giác Đa giác đều Hình tròn và các phần hình tròn 52
  53. Tam giác 1) Một số kiến thức quan trọng về tam giác + Tổng các góc trong A + B + C = 2 + Định lí hàm côsin + Định lí hàm số sin (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC). + Định lí hàm số tang + Độ dài đờng trung tuyến, đờng cao, đờng phân giác. (ma là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A). (ha là đờng cao xuất phát từ đỉnh A). 53
  54. (la là phân giác của góc A của ABC). + Tính chất đờng phân giác của A (D – giao điểm của phân giác và cạnh BC) + Đờng trung bình E, F lần lợt là trung điểm của cạnh AB, BC thì EF // BC và + Diện tích (ha,hb ,hc - độ dài đờng cao xuất phát từ A, B, C tơng ứng) (công thức Herong) S = pr (r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) + Tổng và hiệu các bình phơng hai cạnh 2). Tam giác vuông + Định lí Pitago 54
  55. Các công thức khác. 3) Tam giác đều 4) Tam giác vuông cân Tứ giác 1. Hình thang 2. Hình bình hành 55
  56. 3. Hình chữ nhật 4. Hình thoi 5. Hình vuông 6. Tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp (p là nửa chu vi tứ giác ABCD) 7. Tứ giác ngoại tiếp + Tứ giác ngoại tiếp a + c = b + d 56
  57. 8. Tứ giác bất kì * A + B + C + D = 2 Đa giác đều 1. Đa giác đều n cạnh a * Góc ở tâm * Góc trong * Trung đoạn 57
  58. 2. Đa giác đều n cạnh nội tiếp đờng tròn bán kính R. * Cạnh * Trung đoạn Chú ý : + Tam giác đều nội tiếp : + Hình vuông nội tiếp + Ngũ giác đều nội tiếp : + Lục giác đều nội tiếp : a = R. 3. Đa giác đều n cạnh ngoại tiếp đờng tròn bán kính r. + Cạnh + Trung đoạn d = r. Hình tròn và các phần hình tròn 58
  59. 1. Hình tròn + Chu vi C = 2 R + Diện tích : S = R2 2. Hình vành khăn Diện tích : S = (R2 – r2) = (2r + d)d 3. Hình quạt + Độ dài cung : l = R + Diện tích : ( tính bằng rad) 4. Hình viên phân ( tính bằng rad) 5. Hệ thức lợng trong đờng tròn + 59
  60. + Trục đẳng phơng của hai đờng tròn (O) và (O') là tập hợp những điểm có cùng phơng tích với hai đờng tròn đó (là đờng thẳng vuông góc với OO'). + Tâm đẳng phơng của ba đờng tròn (O') (O''), (O''') (ba điểm O, O', O'' không thẳng hàng) là một điểm có cùng phơng tích với các đờng tròn này. + Tìm trục đẳng phơng * Hai đờng tròn cắt nhau tại hai điểm là đờng thẳng đi qua hai giao điểm đó. * Hai đờng tròn tiếp xúc nha tại hai điểm là tiếp tuyến chung đi qua điểm đó. * Hai đờng tròn (O) và (O') không cắt nhau, dựng đờng tròn (O'') cắt cả hai đ- ờng tròn trên theo thứ tự tại A, B và C, D. Hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Thì trục đẳng phơng là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với OO'. Một số hình khối quen thuộc 60
  61. Khối đa diện Khối tròn xoay Khối đa diện 1. Hình lăng trụ p chu vi thiết diện thẳng S Diện tích thiết diện thẳng B diện tích đáy l đờng sinh h đờng cao * Sxq = pl * Stp = pl + 2B * V = Bh = Sl * Trờng hợp lăng trụ đứng (cạnh bên vuông góc với đáy) : S = B, h = l. 2. Hình hộp chữ nhật 61
  62. 3. Hình lập phơng 4. Hình chóp (các mặt bên) * Hình chóp đều là hình chóp đáy là đa giác đều và chân đờng cao đi qua tâm của đáy. (d là trung đoạn, p là chu vi đáy). 5. Hình chóp cụt (các mặt bên) * Hình chóp đều đợc cắt ra bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo thành hình chóp cụt đều. 6. Khối lăng trụ cụt đáy tam giác 62
  63. (S là diện tích thiết diện thẳng) Khối tròn xoay 1. Hình trụ 2. Hình nón 3. Hình nón cụt 4. Hình cầu và các phần hình cầu + Hình cầu * Diện tích mặt cầu : * Thể tích hình cầu : 63
  64. + Quạt cầu (R : bán kính mặt cầu, r : bán kính đáy, h : chiều cao) + Chỏm cầu + Đới cầu 5. Một số hình khác + Hình trụ cụt + Hình xuyến * Bán kính trung bình : 64
  65. * Bán kính hình xuyến : * Diện tích mặt xuyến : * Thể tích : Phép biến hình Phép biến hình Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép đối xứng tâm Phép quay Phép dời hình Phép vị tự Phép đồng dạng Phép biến hình 65
  66. ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P đợc gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều coá tạo ảnh thuộc P. + Kí hiệu f là phép biến hình, ta viết : để chỉ M' là điểm tơng ứng của điểm M qua phép biến hình f. + Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các ảnh M' ứng với mỗi điểm M của H cũng làm thành một hình H', ta viết : + Tích các phép biến hình Gọi và thì gọi là tích của các phép biến hình g và h, và kí hiệu là f = h.g + Phép biến hình đồng nhất Phép biến hình trong đó mỗi điểm đều trùng với ảnh của nó đợc gọi là phép biến hình đồng nhất, kí hiệu là e. + Phép biến hình đảo ngợc. + Cho thì gọi là phép biến hình đảo ngợc của f. Phép tịnh tiến + Cho vectơ (không đổi). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho gọi là phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là + Khi , ta có phép biến hình đồng nhất e. 66
  67. + Phép biến hình tịnh tiến là phép biến hình ngợc của phép tịnh tiến . + (A', M' theo thứ tự là ảnh của A, M). + biến * Đờng thẳng AB thành đờng thẳng A'B' cùng phơng. * Tia AB thành tia A'B' cùng hớng. * Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B' bằng AB. * ABC thành A'B'C' = ABC * Góc xOy thành * Đờng tròn (O) thành đờng tròn (O') bằng nó. Phép đối xứng trục Cho đờng thẳng d. Phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M' sao cho Gọi là phép đối xứng trục, kí hiệu Sd, d gọi là trục đối xứng. + Phép biến hình ngợc của Sd cũng là Sd. + Khi M d thì M' là ảnh của M trùng với M nên d là tập hợp điểm kép trong Sd. + Phép đối xứng trục biến * Đoạn thẳng AB thành A'B' = AB * thành và 67
  68. * Đờng thẳng AB thành đờng thẳng A'B'. * Đờng tròn thành đờng tròn bằng nó. * Góc thành nhng ngợc hớng nhau. Phép đối xứng tâm + Cho điểm O phép biến hình biến điểm M thành M' sao cho gọi là phép đối xứng tâm, kí hiệu là S(O). + Phép biến hình ngợc của S(O) là S(O). + O là điểm kép trong phép biến hình S(O). + S(O) biến : * Đoạn thẳng AB thành A'B' = AB. * thành * Đờng thẳng không qua O thành A'B'//AB. * Đờng tròn (O) thành (O') bằng nó. * Góc thành . Phép quay 68
  69. Cho điểm O và góc . Phép biến hình biến điểm M thành điểm M' sao cho Gọi là phép quay, kí hiệu là R(0, ) phép quay tâm O theo chiều quay dơng (chiều quay ngợc với chiều quay của kim đồng hồ), kí hiệu là ; theo chiều quay âm, kí hiệu là . Phép biến hình ngợc của là . + Khi = 0, ta có phép biến hình đồng nhất e, khi ta có phép đối xứng tâm O. Phép quay biến * Đoạn thẳng AB thành A'B' = AB. * thành và * Đờng thẳng AB thành đờng thẳng A'B'. * Đờng tròn (O) thành (O') bằng nó * Góc thành Phép dời hình + Phép biến hình biến hai điểm A, B bất kì thành hai điểm A', B' sao cho AB = A'B' gọi là phép dời hình. + Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép biến hình đồng nhất là những ví dụ về phép dời hình. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình. 69
  70. Phép vị tự + Cho điểm O và một số k 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu là H(O , k). Phép biến hình ngợc của phép H(O , k) là . + Phép vị tự với k = 1 là phép đồng nhất. + Phép vị tự với k = -1 là phép đối xứng tâm O. + Khi k 1, O là điểm kép duy nhất của phép vị tự. + Phép vị tự H(O , k) biến : * thành * Đờng thẳng AB thành đờng thẳng A'B'//AB. * Đờng tròn (O ; R) thành (O' ; |k|R). * Góc thành PhĐp đồng dạng + PhĐp đồng dạng tỷ số |k| là tƯch của phĐp H(O , k) và một phĐp dời hình. + PhĐp đồng dạng biƠn : * Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B' = kAB * Đờng thẳng thành đờng thẳng. * Tia thành tia. 70
  71. * Tam giác ABC thành tam giác A'B'C' đồng dạng tam giác ABC. * Găc thành * Đờng tròn (O, R) thành (O';| k | R) * A'B'C'D' đồng dạng ABCD Vectơ Một số khái niệm về vectơ Các phép toán với vectơ Một số khái niệm về vectơ + Vectơ là một đoạn thẳng định hớng. * Kí hiệu hay * A là điểm đầu, B là điểm cuối. * Hớng đi từ A đến B. * Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng AB kí hiệu hay AB. * Đờng thẳng AB là giá của vectơ . + Vectơ không (kí hiệu ) có độ dài bằng 0 và hớng tuỳ ý chọn. 71
  72. + Hai vectơ bằng nhau + Hai vectơ đối nhau + Hai vectơ cùng phơng (cộng tuyến) nếu chúng cùng giá hoặc có giá song song. + Hai vectơ chung gốc O 3) Phép nhân vectơ với số - Điều kiện cộng tuyến của hai vectơ. + Cho vectơ , p R cùng hớng với nếu p > 0 ngợc hớng với nếu p < 0. + Tính chất (tính chất kết hợp) 72
  73. (tính chất phân phối) + Điều kiện cộng tuyến của hai vectơ cộng tuyến với Góc giữa hai vectơ kí hiệu là góc tạo bởi hai tia OA, OB xuất phát từ một điểm O bất kì . Các phép toán với vectơ 1) Phép cộng vectơ + Quy tắc tam giác (quy tắc 3 điểm) + Quy tắc hình bình hành + Quy tắc đa giác + Quy tắc hình hộp 73
  74. (OA, OB, Oc là các cạnh của hình hộp, OS là đờng chéo). + Tính chất của phép cộng vectơ (tính chất giao hoán) (tính chất kết hợp) (tính chất vectơ ) (tính chất vectơ đối) 2) Phép trừ vectơ * Quy tắc tam giác 3) * không cộng tuyến, * không cộng tuyến, bất kì cặp số m, n là duy nhất 4) Các vectơ đồng phẳng + Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu chúng lần lợt nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song. + không cộng tuyến và đồng phẳng cặp (m, n) duy nhất sao cho + không đồng phẳng, bất kì , bộ ba số k, l, m là 74
  75. duy nhất. 5) Một số kết quả cần nhớ + I là trung điểm đoạn thẳng AB : + G là trọng tâm của tam giác ABC + G là tâm của lục giác đều ABCDEF : + I là trung điểm đoạn thẳng AB và O là điểm bất kì + G là trọng tâm của tam giác ABC và O là điểm bất kì + G là trọng tâm của tứ giác ABCD và O là điểm bất kì 6) Tích vô hớng của hai vectơ * Công thức tính góc * Tính chất của tích vô hớng 75
  76. * Một số công thức khác về tích vô hớng 7) Tích vectơ + Tích vectơ (hay tích có hớng) của hai vectơ và là một vectơ kí hiệu là + Tính chất của tích vectơ 5) Nếu thì bằng diện tích hình bình hành OABC với Các đờng bậc hai trong hệ tọa độ Oxy Đờng tròn Elíp 76
  77. Hypebol Parabol Định nghĩa 3 đờng Cônic (K) theo tiêu điểm và đờng chuẩn Đờng tròn + Đờng tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính R có phơng trình : + Đờng tròn tâm I(a, b) có bán kính R là : Phơng trình tổng quát của đờng tròn : Tâm I(-A, -B), bán kính + Phơng trình đường tròn nhận AB là đường kính : + Phơng trình tiếp tuyến ( ) với đờng tròn (C) tại + Phơng trình của điểm đối với đờng tròn (C) : 77
  78. + Phơng trình tham số Elíp + Định nghĩa , a không đổi là hai điểm cố định gọi là tiêu điểm gọi là tiêu cự. Phơng trình chính tắc và các yếu tố * Phương trình chính tắc * Tiêu điểm a : nửa độ dài trục lớn b : nửa độ dài trục nhỏ Ox là trục tiêu * Tâm sai : * Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (E) 78
  79. * Đỉnh trên trục lớn đỉnh trên trục nhỏ * Phơng trình cạnh hình chữ nhật cơ sở x = ±a, y = ±b. + Đờng chuẩn (E) ứng với Fi (i = 1, 2) là đờng thẳng i (i =1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm và cách tâm (E) một đoạn Với là + Tiếp tuyến của Elíp * Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của Elíp tại thuộc elíp : * Đờng thẳng (d') : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của + Chú ý : * Phơng trình tham số * Diện tích S = ab 79
  80. * Trong phơng trình nếu b > a > 0 thì : b : nửa độ dài trục lớn a: nửa độ dài trục nhỏ , Oy là trục tiêu Hypebol + Định nghĩa , a không đổi là hai điểm cố định gọi là hai tiêu điểm. gọi là tiêu cự. + Phơng trình chính tắc và các yếu tố * Phơng trình chính tắc * Tiêu điểm a : nửa độ dài trục thực b : nửa độ dài trục ảo 80
  81. Trục thực là trục tiêu (trục Ox) * Tam sai : * Hai đờng tiệm cận xiên : * Hai nhánh : - Nhánh phải : - Nhánh trái : * Phơng trình hình chữ nhật cơ sở : x = ±a, y = ±b + Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (H) * Bên phải * Bên trái + Hypebol (H') liên hợp với (H) có phơng trình : 81
  82. b : nửa độ dài trục thực a : nửa độ dài trục ảo Trục thực là trục tiêu Oy. * Đờng chuẩn của Hypebol (H) là : + Tiếp tuyến với Hypebol * Phơng trình tiếp tuyến (d) với (H) tại * Tơng tự với (H') là * Cho (d') : Ax + By + C = 0 - Tiếp tuyến - Tiếp tuyến + Phơng trình của Hypebol đều * Dạng chính tắc : 82
  83. * Dạng nhận các trục tọa độ làm đờng tiệm cận Parabol + Định nghĩa (P) = {M : MF = MK} F là điểm cố định gọi là tiêu điểm. (D) là đờng thẳng cố định gọi là đờng chuẩn. + Phơng trình chính tắc và các yếu tố. * Phơng trình chính tắc p gọi là tham số tiêu (đó là khoảng cách từ tiêu điểm đến đờng chuẩn). Đờng chuẩn (D) có phơng trình : * Trục đối xứng Ox * Tiêu điểm 83
  84. * Tâm sai * Bán kính qua tiêu điểm của M (P) + Các phơng trình chính tắc của parabol + Tiếp tuyến với parabol * Tiếp tuyến với (P) tại * Cho (d') : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của của của 84
  85. của + Phơng trình tham số Định nghĩa ba đờng Cônic (K) theo tiêu điểm và đờng chuẩn Hằng số dơng e là tâm sai của (K). Điểm cố định F là tiêu điểm. Đờng cố định là đờng chuẩn. * Với 0 1, đờng (K) là (H). Tọa độ trong mặt phẳng - Tọa độ trong không gian Trục - Tọa độ trên trục 85
  86. Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng Hệ trục tọa độ trong không gian Một số công thức khác Công thức đổi trục Trục - Tọa độ trên trục + Trục là một đờng thẳng trên đó chọn một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ đơn vị Hớng của vectơ gọi là hớng dơng của trục, hớng ngợc lại gọi là hớng âm. + Tọa độ của vectơ trên trục. ( nằm trên trục, m là duy nhất) thì m gọi là tọa độ cuẩ vectơ . + Tọa độ của một điểm trên trục tọa độ của điểm M là a (M nằm trên trục). Nếu điểm M có toạ độ là a thì kí hiệu là M(a). + Tọa độ của vectơ nếu A(a), B(b). Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng + Hệ trục tọa độ Đề các trực chuẩn (hình bên). 86
  87. O - gốc tọa độ x'Ox - trục hoành y'Oy - trục tung - vectơ cơ sở. (Oxy) - mặt phẳng tọa độ. + Tọa độ của vectơ thì cũng gọi là tọa độ của điểm M. Hệ trục tọa độ trong không gian + Hệ trục tọa độ Đề các trực chuẩn. O - gốc tọa độ Ox - trục hoành Oy - trục tung Oz - trục cao 87
  88. - là các vectơ cơ sở. Oxy, Oxz, Oyz - mặt phẳng tọa độ. + Tọa độ của một điểm - Tọa độ vectơ * Cho điểm M có tọa độ kí hiệu là hay * Cho , thì . Một số công thức khác Mặt phẳng (với một qui ớc nếu một mẫu nào đó bằng 0 thì tử số bằng 0) 88
  89. 8) Khoảng cách giữa hai điểm A và B 10) Diện tích tam giác Không gian (với một qui ớc nếu một mẫu nào đó bằng 0 thì tử số bằng 0) 8) Khoảng cách giữa hai điểm A và B 10) Diện tích tam giác 89
  90. 11) Chia một đoạn thẳng theo tỉ số k Điểm M(x, y) chia đoạn thẳng theo tỉ số k * Trên đờng thẳng * Trên mặt phẳng * Trong không gian (k -1) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB - Trên đờng thẳng - Trên mặt phẳng - Trong không gian gọi 90
  91. , ,  : góc chỉ phơng của . Cos , cos, cos : cosin chỉ phơng của 13) Tích vectơ Thì cộng tuyến 14) Tích hỗn tạp + Cho ba vectơ (gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ + đồng phẳng Công thức đổi trục 91
  92. + Đổi trục Oxy O'XY bằng phép tịnh tiến theo vectơ Tọa độ của điểm M trong hệ Oxy là (x, y) trong hệ O'XY là (X, Y) ta có : + Đổi trục Oxy OXY bằng phép quay góc quanh gốc O + Đổi trục Oxy O'XY bằng phép và phép quay R(O', ) Đờng thẳng trong mặt phẳng - Đờng thẳng và mặt phẳng trong không gian Đờng thẳng trong mặt phẳng Đờng thẳng trong không gian Khoảng cách Mặt phẳng Mặt cầu 92
  93. Đờng thẳng trong mặt phẳng 1. Phơng trình đờng thẳng + Phơng trình tổng quát gọi là vectơ pháp tuyến của (d) là vectơ chỉ phơng của (d) + Phơng trình tham số gọi là vectơ chỉ phơng của (d) + Phơng trình chính tắc + Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm + Phơng trình đoạn chắn (a, b là độ dài các đoạn thẳng mà đờng thẳng cắt các trục tọa độ) + Phơng trình đờng thẳng đi qua và có hệ số góc k 93
  94. 2. Khoảng cách + Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng (d) = Ax + By + C = 0 + Khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song 3. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (nhng không trùng nhau) : 4. Góc giữa hai đờng thẳng 94
  95. Góc định hớng cho bởi Góc hình học cho bởi 5. Phơng trình đờng phân giác mà các góc tạo bởi là : (góc nhọn lấy dấu -, góc tù lấy dấu +) 6. Phơng trình chùm đờng thẳng có tâm là giao của hai đờng thẳng là : Đờng thẳng trong không gian 95
  96. 1. Phơng trình đờng thẳng + Phơng trình tổng quát + Phơng trình tham số ( gọi là vectơ chỉ phơng của (d)) + Phơng trình chính tắc + Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm 2. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng * Hai đờng thẳng : cùng nằm trong mặt phẳng (đồng phẳng) \\ 96
  97. * (d) chéo nhau với 3. Góc giữa hai đờng thẳng có vectơ chỉ phơng có vectơ chỉ phơng là góc giữa và Khoảng cách 97
  98. + Từ điểm đến đờng thẳng (d) : + Hai đờng thẳng chéo nhau (* g.tr.t d : giá trị tuyệt đối) + Hai đờng thẳng song song Mặt phẳng 98
  99. 1. Phơng trình mặt phẳng + Phơng trình tổng quát gọi là vectơ pháp tuyến. Một số trờng hợp đặc biệt 1) Ax + By + Cz = 0 đi qua gốc tọa độ. 2) By + Cz + D = 0 song song với trục Ox. 3) Ax + Cz + D = 0 song song với trục Oy. 4) Ax + By + D =0 song song với trục Oz. 5) Ax + D = 0 vuông góc với trục Ox. 6) By + D = 0 vuông góc với trục Oy. 7) Cz + D = 0 vuông góc với trục Oz. 8) By + Cz = 0 chứa trục Ox. 9) Ax + Cz = 0 chứa trục Oy. 10) Ax + By = 0 chứa trục Oz 11) Z = 0 là mặt phẳng Oxy. 12) Y = 0 là mặt phẳng Oxz. 13) X = 0 là mặt phẳng Oyz. + Phơng trình đoạn chắn + Phơng trình tham số 99
  100. là hai vectơ chỉ phơng). + Phơng trình (P) đi qua ba điểm + Phơng trình (P) chứa hai đờng thẳng song song Phơng trình (P) chứa hai đờng thẳng cắt nhau 2. Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 100
  101. : góc giữa (d) và (P) Góc giữa hai mặt phẳng : 3. Vị trí tơng đối * Đờng và mặt Cho đờng thẳng (d) : và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 (d)  (P)  Aa + Bb + Cc 0 + Hai mặt phẳng : 101
  102. + Khoảng cách * Từ đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 * Khoảng cách giữa hai mặt phẳng + Chùm mặt phẳng Nếu : thì phơng trình chùm mặt phẳng là : Mặt cầu 102
  103. + Phơng trình mặt cầu * Phơng trình mặt cầu (C) tâm ,bán kính R. * Phơng trình mặt cầu (C) nhận làm đờng kính : * Phơng trình với điều kiện là một mặt cầu tâm I(-a, -b, -c) và bán kính + Giao của mặt phẳng và mặt cầu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Vậy khoảng cách IH từ tâm I(-a, -b, -c) xuống (P) (H P) là : * IH R thì (P)  (S) = . Các hàm số lợng giác Góc và cung Hàm số lợng giác của một cung (góc) Các hàm số lợng giác biến số thực 103
  104. Biểu diễn các hàm số lợng giác qua một hàm số Các công thức lợng giác Góc và cung + Đơn vị đo góc và cung * Độ : Góc có số đo bằng góc vuông. * Rađian (rad) : Góc bẹt có số đo rad bằng rad. 1 rad là số đo của cung đờng tròn có độ dài bằng bán kính. + Góc và cung định hớng * Đờng tròn trên đó có xác định một chiều dơng, chiều ngợc lại là chiều âm gọi là đờng tròn định hớng. * Cung định hớng Trên đờng tròn định hớng gốc A thì cung , là những cung định hớng. * Số đo của cung định hớng. sđ = + k2 hay sđ = a + k + Hệ thức Salơ : sđ + sđ = sđ + k2 . Hàm số lợng giác của một cung (góc) 104
  105. + Các hàm số lợng giác + Bảng hàm số lợng giác của cung đặc biệt + Dấu các hàm số lợng giác + Hệ thức cơ bản 105
  106. + Cung có liên quan đặc biệt * Hai cung đối nhau * Hai cung phụ nhau * Hai cung bù nhau * Hai cung hơn kém nhau 106
  107. * Hai cung hơn kém nhau Các hàm số lợng giác biến số thực + Hàm số y = sinx * D = R, E = [-1; 1] * Hàm số lẻ; hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2 . * Hàm số đồng biến trong * Hàm số nghịch biến trong * Đồ thị + Hàm số y = cosx 107
  108. * D = R, E = [-1; 1] * Hàm số chẵn; hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2 . * Hàm số nghịch biến trong [k2 ; + k2 ], k Z * Hàm số đồng biến trong [ + k2 ; 2 + k2 ], k Z * Đồ thị + Hàm số y = tgx E = R * Hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn với chu kì T = * Hàm số đồng biến trong * Đồ thị 108
  109. + Hàm số y = cotgx E = R * Hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn với chu kì T = * Hàm số nghịch biến trong * Đồ thị + Hàm số lợng giác ngợc * Hàm số y = arcsinx 109
  110. Tập xác định : [-1, 1] Tập giá trị : * Hàm số y = arccosx Tập xác định : [-1, 1] Tập giá trị : [0 , ] * Hàm số y = arctgx Tập xác định : R Tập giá trị : * Hàm số y = arccotgx Tập xác định : R Tập giá trị : [0 , ] Biểu diễn các hàm số lợng giác qua một hàm số + Qua sin : + Qua cos : 110
  111. + Qua tg : + Qua cotg : ( k ) Các công thức lợng giác 1. Công thức cộng sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb 111
  112. 2. Công thức nhân sin2a = 2sina.cosa 3. Công thức hạ bậc của sin và cosin 112
  113. 4. Công thức chia đôi 5. Công thức tính theo 6. Công thức biến đổi tích thành tổng 7. Công thức biến đổi tổng thành tích 113
  114. 8. Một số công thức khác Phơng trình lợng giác 1. Phơng trình cơ bản * sinx = sin x = + k2 x = + k2 * cosx = cos x = + k2 * cotgx = cotg x = + k (x k ) 2. Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 114
  115. Các phơng trình lợng giác * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1) * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2) * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3) gọi là phơng trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx. Do cosx 0 nên chia hai vế của phơng trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đa phơng trình đã cho về phơng trình mới và ta dễ dàng giải các ph- ơng trình này. 3. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx * sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 0 phơng trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 0 Có ba cách giải loại phơng trình này : - Giả sử a 0 Đặt : Ta dễ dàng giải phơng trình này. - Đặt : Giải phơng trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải đợc phơng trình (1). 115
  116. - Do , chia hai vế của phơng trình cho Đặt : (đây là phơng trình cơ bản). Chú ý : Ta luôn có : Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + ) = 1. 4. Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số) Giải phơng trình (1) bằng cách đặt : Đa (1) về phơng trình Giải phơng trình (2) với 5. Hệ phơng trình lợng giác 1) Hệ phơng trình lợng giác một ẩn. Chẳng hạn có hệ phơng trình : 116
  117. Có hai phơng pháp giải : * Phơng pháp thế, giải một phơng trình của hệ rồi thế nghiệm tìm đợc vào ph- ơng trình còn lại. * Phơng pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phơng trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung. 2) Hệ phơng trình lợng giác hai ẩn. Chẳng hạn có hệ phơng trình : Phơng pháp chung là đa nó về hệ phơng trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phơng trình tổng tích. Bất phơng trình lợng giác 1. sinx 1 M = R a -1 M =  2. Sinx > a -1 < a 1 M = {x | arcsina + k2 < x < - arcsina + 2k , k Z} a 1 M =  a -1 M = R 3. Cosx < a 117
  118. -1 1 M = R a -1 M =  4. Cosx > a -1 a a 7. cotgx a M = {x | k < x < arccotga + k , k Z} Phần I - Đại số và giải tƯch 1. Tập hợp. 2. Biểu thức đại số. 3. Luỹ thơa và căn số. 4. Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân. 5. LogarƯt. 118
  119. 6. Tổ hợp - Công thức Niu tơn. 7. Phơng trình và hệ phơng trình. 8. Bất phơng trình. 9. Bất đẳng thức. 10. Hàm số. 11. Giới hạn hàm số. 12. Hàm số liên tục. 13. Đạo hàm. 14. Đờng tiệm cận. 15. Khảo sát hàm số. 16. Nguyên hàm. 17. TƯch phân. Phần II - Lợng giác 1. Các hàm số lợng giác. 2. Phơng trình lợng giác. 3. Bất phơng trình lợng giác. Phần III - Hình học 1. Tam giác - Đa giác - Hình tròn. 2. Một số hình khối quen thuộc. 3. PhĐp biƠn hình. 4. Vectơ. 5. Các đờng bậc hai trong hệ tọa độ Oxy. 6. Tọa độ trong mặt phẳng - Tọa độ trong không gian. 7. Đờng thẳng trong mặt phẳng - Đờng thẳng và mặt phẳng trong không gian. 119