Bài tập tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 các tỉnh - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 các tỉnh - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. Đề thi ts lớp 10 năm 2019 - 2020 các tỉnh Bài 6. Xét các số thực a;b;c (a 0) sao cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm m;n thỏa mãn: 0 m 1;0 n 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2a2 ac 2ab bc Q a2 ab ac HƯỚNG DẪN GIẢI. b m n 2 a ax bx c 0 a 0 cóm m;n nê: a 0 nên: c mn a b c 2 1 2 2a ac 2ab bc (a b)(2a c) a a Q a2 ab ac a2 ab ac b c 1 a a (1 m n)(2 mn) 1 m n mn Vì 0 m 1;0 n 1 mn m ; mn n ; mn 1 ; 1 m n 0 1 2 mn 1 ; mn (1 m n) 3 1 m n 1 3 Q 1 1 1 m n (1 m n) 1 4 3 3 b 3 b m n 1 a c . Vậy minQ a c 2 4 2 Bài 6. Cho biểu thức P a4 b4 ab , với a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 ab 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Ta có: a2 b2 ab 3 a2 b2 3 ab P a4 b4 ab (a2 b2 )2 2a2b2 ab (3 ab)2 2a2b2 ab 9 6ab a2b2 2a2b2 ab 9 7ab a2b2 (1) Lại có: 3 a2 b2 ab (a b)2 3ab 3ab ab 1 3 a2 b2 ab (a b)2 ab ab ab 3 3 ab 1 (2) Cách 1: Từ (1) và (2) suy ra: ab 1 a b 1 P 1 (1 ab)(8 ab) 1 Dấu “=” xảy ra 2 2 a b 2 a b 1 P 21 (ab 3)(ab 4) 21 ab 3 a 3;b 3 Dấu “=” xảy ra 2 2 a b 6 a 3;b 3 85 2 Cách 2: P 9 7ab a2b2 ab 3,5 4 1 2 81 Vì 3 ab 1 0,5 ab 3,5 4,5 ab 3,5 4 4 1
2. Đề thi ts lớp 10 năm 2019 - 2020 các tỉnh 85 2 21 ab 3,5 1 hay 21 P 1 4 Bài 6. Cho x, y là các số thực dương thỏa x+y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 A 2x2 y2 x 1. x Từ giả thiết ta có: y 1 x 0 x 1 Do đó : 2 1 1 1 A 2x2 1 x x 1 2x2 1 2x x2 x 1 x2 3x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x 4x x 4x Mà : x 0 (Dấu 2 x 4 2 x 4 2 1 đẳng thức xảy ra khi x ) 2 1 1 1 1 4x 2 4x. 2 (Dấu đẳng thức xảy ra khi 4x x ) x x x 2 1 15 Suy ra :A 0 4 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 4 15 1 1 khi x , y 4 2 2 (x y)2 4 3y 5x 2 (x 1)(y 1) Bài 6. Giải hệ phương trình 3xy 5y 6x 11 5 x3 1 (x y)2 4 3y 5x 2 (x 1)(y 1) (1) 3xy 5y 6x 11 ĐK: x 1; y 1 5 (2) x3 1 Đặt x 1 a , y 1 b a 0,b 0 x a2 1; y b2 1 Phương trình (1) trở thành: (a2 b2 2)2 4 3(b2 1) 5(a2 1) 2ab (a2 b2 2)2 4 3b2 5a2 8 2ab 0 (a2 b2 2)2 4 4(a2 b2 2) a2 b2 2ab 0 (a2 b2 )2 (a b)2 0 (a b)2[(a b)2 1] 0 (a b)2 0 a b x 1 y 1 y x 2 (3) (2) 3xy 5y 6x 11 5 x3 1 (4) Thay (3) vào (4) được: 3x(x 2) 5(x 2) 6x 11 5 x3 1 3x2 6x 5x 10 6x 11 5 x3 1 3x2 5x 1 5 x3 1 3(x2 x 1) 2(x 1) 5 x 1 x2 x 1 0 3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 2 x 1 0 x2 x 1 2 x 1 0 x2 x 1 4(x 1) x2 5x 3 0 2
3. Đề thi ts lớp 10 năm 2019 - 2020 các tỉnh 5 37 5 37 9 37 x (TMĐK) Với x y 2 2 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 5 37 9 37 5 37 9 37  x; y ; ; ;  2 2 2 2  Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019xyz . Chứng minh rằng x2 1 2019x2 1 y2 1 2019y2 1 z2 1 2019z2 1 2019.2020xyz x y z x2 xy xz Ta có: x y z 2019xyz 2019x2 yz 2 2 x xy xz yz (x y)(x z) x x 2019x 1 1 1 yz yz y z 2 x x 1 x x x 1 1 2019x 1 1 1 2 1 y z 2 y z 2 y z (theo BĐT Cô-si) 2 x 1 1 2 2 x 1 1 x 1 2019x 1 2 y z 2 1 1 1 x x x x 2 y z y2 1 2019y2 1 2 1 1 1 Tương tự: y y y 2 z x z2 1 2019z2 1 2 1 1 1 1 1 1 z VT x y z 3 z z 2 x y x y z Chứng minh được (x y z)2 3(xy yz zx) 1 1 1 3(xy yz zx) 2019.3(xy yz zx) 2019.(x y z)2 3 2019(x y z) x y z xyz 2019xyz x y z VT 2020(x y z) 2020.2019xyz VP Đpcm. Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2019 P . x2 y2 z2 xy yz zx 1 2019 P x2 y2 z2 xy yz zx 1 1 1 2017 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Ta có: (a b c)2 3(ab bc ca) a2 b2 c2 ab bc ca 1 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 3(ab bc ca) (a b c)2 2 Dấu “=” xảy ra a b c Với a,b,c 0 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 3
4. Đề thi ts lớp 10 năm 2019 - 2020 các tỉnh 1 1 1 1 a b c 33 abc ; 33 a b c abc 1 1 1 3 1 1 1 1 9 a b c 3 abc.33 9 a b c abc a b c a b c Dấu “=” xảy ra a b c Với x y z 1 , áp dụng các kết quả trên, ta có: 1 1 1 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx 9 9 9 9 x2 y2 z2 2(xy yz zx) (x y z)2 12 2017 6051 6051 6051 6051 xy yz zx 3(xy yz zx) (x y z)2 12 P 9 6051 6060 1 1 Dấu “=” xảy ra x y z . Vậy min P 6060 x y z 3 3 Bài 6. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 a 2 b2 5 1 b 2 c2 5 1 c 2 a2 5 P  ab a 4 bc b 4 ca c 4 1 1 4 Dễ chứng minh các bất đẳng thức: xvới2 y2 2xy ; x, y 0 x y x y Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng các bất đẳng thức trên, ta có: 2 1 a b 2 5 a 2 b 2 2a 6 2ab 2a 6 2(ab a 4) 2 ab a 4 ab a 4 ab a 4 ab a 4 2 1 4 1 1 1 2 2  2 ab a 4 2 (ab a 1) 3 2 ab a 1 3 11 1 1  6 2 ab a 1 Tương tự: 2 2 1 b c 2 5 11 1 1 1 c a 2 5 11 1 1  ;  bc b 4 6 2 bc b 1 ca c 4 6 2 ca c 1 11 1 1 1 1 P 2 2 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Vì abc 1 nên: 1 a a ; bc b 1 abc ab a ab a 1 1 ab ab ca c 1 a 2bc abc ab ab a 1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 a ab ab a 1 ab a 1 ab a 1 4
5. Đề thi ts lớp 10 năm 2019 - 2020 các tỉnh 11 1 P 5 2 2 a b c Dấu “=” xảy ra ab a 1 bc b 1 ca c 1 3 a b c 1 abc 1 Vậy min P 5 a b c 1 Bài 6. Xét các số x, y, z thay đổi thỏa mãn x3 y3 z3 3xyz 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 P x y z 4 x2 y2 z2 xy yz zx . 2 Ta có: x3 y3 z3 3xyz (x y)3 3xy(x y) z3 3xyz x y z x y 2 x y z z2 3xy x y z x y z x2 2xy y2 xz yz z2 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz zx x3 y3 z3 3xyz 2 x2 y2 z2 xy yz zx x y z x y z Lại có: 1 x2 y2 z2 xy yz zx 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 2 1 2 2 2 x y y z z x 0 x y z 0 2 1 8 1 4 4 Đặt x y z a (a 0) thì: P a2 a2 2 a 2 a a 1 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: P 33 a2   6 2 a a 1 4 Dấu “=” xảy ra a2 a 2 2 a x y z 2 min P 6 Vậy 3 3 3 x y z 3xyz 2 x y x2 y2 Bài 6. Cho x, y là hai số thực thỏa . Tìm GTNN của P xy 1 x y Vì xy=1 nên 2xy = 2 Khi đó 2 x2 y2 2xy 2 x y 2 2 2 P (x y) 2 (x y). 2 2 x y x y x y x y (vì x > y) Vậy GTNN của P = 2 2 khi x 2 3, y 2 3 5
6. Đề thi ts lớp 10 năm 2019 - 2020 các tỉnh Hoặc -x 2 3, y 2 3 6