Bài tập Toán Lớp 11 - Chuyên đề 5: Đại số tổ hợp, xác suất - Vũ Tuấn Anh

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 11 - Chuyên đề 5: Đại số tổ hợp, xác suất - Vũ Tuấn Anh

1. CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT 1. Kiến thức cơ bản 1.1. Đại số tổ hợp 1.1.1. Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1. n2 cách chọn đối tượng A2. A1  A2 =  Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2. 1.1.2. Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2. Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2. 1.1.3. Hoán vị: Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. Số hoán vị: Pn = n!. 1.1.4. Chỉnh hợp: Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. n! Số các chỉnh hợp: Ak n (n k)! 1.1.5. Tổ hợp: Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! Số các tổ hợp: C k n k!(n k)! k n k k 1 k k Hai tính chất: Cn Cn , Cn 1 Cn 1 Cn 1.1.6. Nhị thức Newton n n k n k k 0 n 1 n 1 n n (a b) Cn a b Cn a Cna b Cn b k 0 k n k k Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk 1 Cn a b n 0 1 2 2 n n Đặc biệt: (1 x) Cn xCn x Cn x Cn 1.2. Xác suất  1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển: P A A  + 0 P(A) 1 + P  1 , P  0 1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất 80
2. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì: P A  B P A P B c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: P AB P A P B 2. Các dạng toán 2.1. Bài toán đếm: Ví dụ 1. Cho tập A 0;1;2;3;4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. Lời giải Gọi số cần tìm là abcde a 0 Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a. 2 Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: A5 cách 3 3 vị trí còn lại có A4 cách 2 3 Suy ra có A5 A4 số Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 3 vị trí còn lại có A4 cách 3 Suy ra có 4.A4 số 2 3 3 Vậy số các số cần tìm tmycbt là: A5 A4 4.A4 = 384 Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. Lời giải 2 Từ giả thiết bài toán ta thấy có C5 10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 3 2 3 đứng đầu) và C5 =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có C5 .C5 = 100 bộ 5 số được chọn. 2 3 Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả C5 .C5 .5! = 12000 số. 1 3 Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là C4.C5 .4! 960 . Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Lời giải 6 Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là C12 Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối 6 Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:C7 81
3. 6 Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:C9 6 Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:C8 6 6 6 6 Số cách chọn thoả mãn đề bài là:C12 C7 C9 C8 805 (cách) Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439. Lời giải Nếu n 2 thì n + 6 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không 3 vượt qua C8 56 439 (loại). Vậy n 3 Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: n 4 n 5 n 6 n 2 n 1 n C3 C3 C3 1 439 n 6 3 n 6 6 (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 n2 + 4n – 140 = 0 Từ đó tìm được n = 10. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010. 2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2 ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. 3) Cho tập A 0;1;2;3;4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. 2.2. Nhị thức Newton: n 1 Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 2.x , biết rằng x 2 n 1 An Cn 1 4n 6 Lời giải 2 n 1 Giải phương trình An Cn 1 4n 6 ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n N. (n 1)! n(n 1) Phương trình tương đương với n(n 1) 4n 6 n(n 1) 4n 6 2!(n 1)! 2 n2 – 11n – 12 = 0 n = - 1 (Loại) v n = 12. 12 1 Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: 2x . x 82
4. k k 12 k 1 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 = C12 (2x) ; k N, 0 ≤ k ≤ 12 x k 24 3k 12 k k 2 k 12 k 2 Hay Tk+ 1 = C12 2x .x = C12.2 .x . k N, 0 k 12 Số hạng này không chứa x khi k 8 . 24 3k 0 8 4 Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C12 2 7920 8 2 n 3 2 1 Ví dụ 2. Tìm hệ số của x trong khai triển (x + 2) , biết: An 8Cn Cn 49 . Lời giải Điều kiện n 4 n 2 n k 2k n k Ta có x 2 Cn x 2 k 0 8 4 n 4 Hệ số của số hạng chứa x là Cn 2 8 4 n 4 Hệ số của số hạng chứa x là Cn 2 3 2 1 Ta có: An 8Cn Cn 49 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 (n – 7)(n2 + 7) = 0 n = 7 8 4 3 Nên hệ số của x là C7 2 280 2013 2 2013 Ví dụ 3 (ĐH). Cho khai triển đa thức: 1 2x ao a1x a2.x a2013.x Tính tổng: S a0 2 a1 3 a2 2014 a2013 Lời giải 2013 2 2013 Ta có: x(1 2x) a0 2a1x 3a2 x 2014a2014 x . 2013 1012 2 2013 (1 2x) 4026x(1 2x) a0 2a1x 3a2 x 2014a2013x (*). k k Nhận thấy: ak x ak ( x) do đó thay x 1 vào cả hai vế của (*) ta có: 2213 S a0 2 a1 3 a2 2014 a2013 1343.3 10 2 2 2 14 Ví dụ 4 (ĐH). Cho khai triển: 1 2x x x 1 ao a1x a2 x a14 x . Hãy tìm giá trị của a6 . Lời giải 1 3 Ta có x2 x 1 (2x 1)2 nên 4 4 83
5. 10 1 3 9 1 2x (x2 x 1)2 (1 2x)14 (1 2x)12 (1 2x)10 16 8 16 14 6 6 6 12 6 Trong khai triển 1 2x hệ số của x là: 2 C14 ; Trong khai triển 1 2x hệ số của x là: 6 6 2 C12 10 6 6 6 Trong khai triển 1 2x hệ số của x là: 2 C10 1 3 9 Vậy hệ số a 26 C 6 26 C 6 26 C 6 41748. 6 16 14 8 12 16 10 2 4 6 100 Ví dụ 5 (ĐH). Tính giá trị biểu thức: A 4C100 8C100 12C100 200C100 . Lời giải 100 0 1 2 2 100 100 Ta có: 1 x C100 C100 x C100 x C100 x (1) 100 0 1 2 2 3 3 100 100 1 x C100 C100 x C100 x C100 x C100 x (2) 100 100 0 2 2 4 4 100 100 Lấy (1)+(2) ta được: 1 x 1 x 2C100 2C100 x 2C100 x 2C100 x Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được: 99 99 2 4 3 100 99 100 1 x 100 1 x 4C100 x 8C100 x 200C100 x 99 2 4 100 Thay x=1 vào => A 100.2 4C100 8C100 200C100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 10 1 3 1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x với x > 0. x C 0 C1 C 2 C 2012 2) Tính tổng: T 2012 2012 2012  2012 1 2 3 2013 C 0 2C1 22 C 2 23C3 22012 C 2012 3) Tính tổng S 2012 2012 2012 2012 2012 . 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 2.3. Xác suất: Ví dụ 1. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng. Lời giải 4 Số phần tử của không gian mẫu là  C16 1820 . Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau: 1 3 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C4C5 1 2 1 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C4C5 C7 1 1 2 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C4C5C7 84
6. 1 3 1 1 2 1 2 1 Khi đó B C4C5 C4C7C5 C4C7 C5 740 .  740 37 Xác suất của biến cố B là P B B .  1820 91 Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K). Lời giải 52 Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C5 2598960 Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 4 bộ là: 13.C3 52 Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài 52 13 thuộc 1 bộ là: = . 2598960 649740 Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5. Lời giải Giả sử abcde E a 0 có 7 cách chon a;  4 4 Chọn bcde có A7 n(E) 7 A7 5880 e 5 4 3 n() 5880; abcde E và abcde5 Trong E có : A7 6A 6 1560 e 0 Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560 1560 13 P(A) 5880 49 Ví dụ 4. Cho tập E 1,2,3,4,5 . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. Lời giải Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 5.4.3 60 Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là 60 24 36 . Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: 1 1 1 1 C36C36 C24C24 13 P A  B P A P B 1 1 1 1 . C60C60 C60C60 25 13 12 Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là P 1 P A  B 1 . 25 25 85
7. Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu. Lời giải Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu. Ta có: B A1  (A1A2 )  (A1 A2 A3 ) Suy ra: P(B) P(A1) P(A1A2 ) P(A1 A2A3 ) P(A1) 0,9 Trong đó: P(A1A2 ) P(A1).P(A2 / A1) 0,1.0,7 P(A1 A2A3 ) P(A1).P(A2 / A1).P(A3 / A1 A2 ) 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) 0,9 0,1.0,7 0,1.0,3.0,3 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Từ các chữ số của tập T 0;1;2;3;4;5 , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chia hết cho 5. 2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A. 3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ. 4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. 86