Bài tập Toán Lớp 8 - Chương trình học kỳ I

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 8 - Chương trình học kỳ I

1. BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2. 2 A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 4. Tìm hệ số của x trong đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1). A(B + C) = AB + AC B. BÀI TẬP BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Bài 1: 1. Tính : A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) A B C D AC AD BC BD 2. Rut gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B. BÀI TẬP B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) Bài 1: 3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau: 1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2). Q x3 3x2 2x 1 x2 x 2x2 3x 1 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 3 B i 2: Q x 4 (x 2) (x 1)(x 3),cho x 1 à 4 1 3 2 3 4 4 3 3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 1) Tính : a b ab a b 2 4 3 4. Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( 2) Rut gọn và tính giá trị biểu thức: 5x3 – x). 12 Bài 2: Q 3x x 4y y y 5x ,cho x 4, y 5 5 1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức 3) Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0 A a 3 9a 8 2 a (9a 1) bằng – 29. 4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc và y: vào x: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1. Q 3x 5 2x 11 2x 3 3x 7 5) Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = 3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 x6 - 1 .Tìm a,b. Bài 3: Bài 3: 1. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc). 1. Tính : 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3. + y) 3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0 B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5. 3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5 7x + 15). 5. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 Bài 4: + x + 5. 1. Rút gọn : Bài 4: A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) 1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2). 2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức: 2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) 2 2 2 2 luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n. 3. Q 5x a(x a) 3(a x ) 2ax 2ax 4(a 2ax ) 3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2). 4. Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m. Bài 5: 5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : 1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5. + 1). 6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x). 25. 3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = Bài 5: x5 – y5. 1. Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5). 2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = -1,y = 1 1
2. 1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 4p(p – a). 2. CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c. . KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 3. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0. Bài 6: 1. Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 2 A B A2 2AB B2 2. Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2 3 3 2 3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a + b = 1 – 3ab. A B A2 2AB B2 Bài 7: A2 B2 A B A B 1. Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 3 3 3 3 2 2 3 2. Rút gọn: (x – 3) – (x + 3) . A B A 3A B 3AB B 3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab. A B 3 A3 3A2 B 3AB2 B3 Bài 8 : 3 3 3 3 2 2 1 1 A B A B A AB B 1. Rút gọn : a b a b . 2 2 A3 B3 A B A2 AB B2 2. Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0. 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc B. BÀI TẬP vào x: Bài 1: 3 2 1. Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 4x 1 4x 3 16x 3 2. Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) Bài 9 : 3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125. 4. Tìm giá trị biểu thức: 2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0 2 1 Q x 3 x 3 (x 3) 2(x 2)(x 4),cho x 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc 2 vào x: Bài 2: 3 x 1 x3 3x2 3x 1 1. Rút gọn biểu thức : A (4x2 y2 )(2x y)(2x y) 2 2 2 Bài 10: 2. Chứng minh: (7x + 1) – (x + 7) = 48(x – 1) 3 2 2 2 1. Tìm x,biết : x + 6x + 12x +8 = 0 3. Tìm x,biết : 16x - (4x – 5) = 15 3 3 3 2 2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a + b + c = 3abc. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + 2x + 3 2 3 3. Chứng minh rằng: (a + 2) – (a +6)(a +12) + 64 = Bài 3: 0,với mọi a. 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc Bài 11 : vào m: 1.Rút gọn biểu thức : A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + A (2m 5)2 (2m 5)2 40 n2) 2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp 2.Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = là một số lẻ a6 – 9a3 + 8 2 3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4) – 10x – (x – 4)(x 3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = +4). 26. 2 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x – 4x +5. Bài 12 : Bài 4: 1. Tính giá trị biểu thức: 2 2 1. Chứng minh rằng: (x – y) – (x + y) = - 4xy A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với 2 2 2. Chứng minh: (7n – 2) – (2n – 7) luôn luôn chia 1 hết cho 9, x 4 với mọi n là giá trị nguyên 2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x = 17. +1. 3. Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1). 4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + : by)2 Bài 13 thì ay – bx = 0 1. Tính giá trị biểu thức : Bài 5: 2
3. Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = c) C 2x 2 2x 2 1 2 d) D 9x 2 6x 25y 2 10y 4 2 3 2. Tìm x, biết : (x – 3)(x + 3x +9) – (3x – 17) = x Bài 20: Tìm Min hoaëc Max cuûa caùc bieåu thöùc sau: – 12. a) M x 2 6x 1 3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3. Bài 14 : b) N 10y 5y 2 3 1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x. 2 2 Bài 21:Thu goïn: A x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 4 32 64 a) 2 1 2 1 2 1 . . . . . 2 1 2 2 2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x )(x + 2) + x(x – 1)(x + 2 2 4 4 b) 5 3 5 3 5 3 . . . . . 1) = 0. 128 128 3 3 5 3 3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x + y ) – 564 364 3(x2 + y2). 2 Bài 15 : ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) (Thùc hiÖn trong 6 tiÕt) 2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23. A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? 3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ biÕn ®æi ®a thøc ®ã Bài 16: Ruùt goïn: thµnh mét tÝch cña nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c. a) 2m 5m 2 2m 3 3m 1 Bµi to¸n 1. Trong c¸c c¸ch biÕn ®æi ®a thøc sau ®©y, c¸ch nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn b) 2x 4 8x 3 4x 1 2 ®æi cßn l¹i kh«ng ph¶i lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? 2 c) 7y 2 2 7y 1 7y 1 2x + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 3 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 - ) (2) x d) a 2 3 a. a 3 2 5 3 Bài 17: 2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x - ) (3) CM caùc bieåu thöùc sau khoâng phuï thuoäc vaøo bieán 2 2 x, y: 2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2 a) 2x 5 2x 5 2x 3 12x 1 2x2 + 5x – 3 = 2(x - )(x + 3) (5) 2 b) 2y 1 3 2y. 2y 3 2 6y 2y 2 B. Nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµo th­êng dïng ®Ó ph©n tÝch c) x 3 x 2 3x 9 20 x 3 ®a thøc thµnh nh©n tö? - Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung. d) - Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc. 3y. 3y 2 2 3y 1 9y 2 3y 1 6y 1 2 - Ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö. Bài 18: Tìm x: Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c nh­ : 2 - Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng a) 2x 5 2x 7 4x 3 16 tö. - Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. 2 b) 8x 2 3 8x 2 3 8x 2 1 22 - Ph­¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã 2 bËc cao nhÊt. c) 49x 14x 1 0 - Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô(®æi biÕn). d) x 1 3 x. x 2 2 x 2 0 - Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. Bài 19:Chöùng minh bieåu thöùc luoân döông: - Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng. - Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. a) A= 16x 2 8x 3 Ph­¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung b) B y 2 5y 8 Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung lµ g× ? Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh 3
4. chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ = (2x + nªu ra mét c«ng thøc ®¬n gi¶n cho ph­¬ng ph¸p y)(4x - y). nµy kh«ng ? VÝ dô 2 NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 chung th× ®a thøc ®ã biÓu diÔn ®­îc thµnh mét tÝch HD: nhãm 2 h¹ng tö ®Çu a3 + b3 cña nh©n tö chung ®ã víi mét ®a thøc kh¸c. = 3(x – z)(x- y)(z – y) Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt ph©n phèi cña b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc. = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) C«ng thøc : AB + AC + + AF = A(B + C + + c, a3 + b3 + c3 – 3abc 3 3 F) = (a + b) + c – 3ab(a +b + c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Ph­¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung. d, x3 + y3 – z3 + 3xyz - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè. = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö. - §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc Ph­¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu Chó ý: h¹ng tö lµ g× ? - Ph­¬ng ph¸p nµy ¸p dông khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc Nhãm nhiÒu h¹ng tö cña mét ®a thøc mét c¸ch hîp lÝ ®Ó cã nh©n tö chung. cã thÓ ®Æt ®­îc nh©n tö chung hoÆc dïng ®­îc h»ng ®¼ng - NhiÒu khi muèn cã nh©n tö chung ta ph¶i ®æi dÊu c¸c thøc ®¸ng nhí. sè h¹ng b»ng c¸ch ®­a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc ®­a vµo trong ngoÆc ®»ng tr­íc cã dÊu céng hoÆc trõ. Chó ý: VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm a) 3x2 + 12xy. - Sau khi nhãm ta cã thÓ ¸p dông ph­¬ng ph¸p ®Æt b) 5x(y + 1) - 2(y + 1). nh©n tö chung, ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®Ó xuÊt c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y). hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc h»ng ®¼ng thøc míi. Gi¶i VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y). a) x2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy. c) b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). 8x3 + 4x2 - y3 - y2 c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) Gi¶i = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y). = x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x Ph­¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc – 2 y)(x + 5) b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p dïng h»ng = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) ®¼ng thøc lµ g× ? = (2x – 3y)(x + 2y) NÕu ®a thøc lµ mét vÕ cña h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí nµo c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) ®ã th× cã thÓ dïng h»ng ®¼ng thøc ®ã ®Ó biÓu diÔn ®a thøc = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc. 2x +y) Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y). - NhËn d¹ng c¸c h»ng ®¼ng thøc. Ph­¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p - KiÓm tra xem cã ph¶i ®óng lµ h»ng ®¼ng thøc kh«ng. Chó ý: NhiÒu khi ph¶i ®æi dÊu míi ¸p dông ®­îc Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, h»ng ®¼ng thøc. chØ ®­îc dïng riªng rÏ tõng ph­¬ng ph¸p hay cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®ã ? VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt. a) x2 – 4x + 4. b) 8x3 + 27y3. VÝ dô 1 . Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. c) 9x2 - (x - y)2. a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 Gi¶i c) 27x3y - a3b3y. a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2 Gi¶i b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b). –x +y)(3x + x - y) 4
5. b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16). = a2b2(b- c + c – a) + c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) b2c2(c – b) – a2c2( c – a) (9x2 – 3ab + a2b2). = = (b – c) (a – c)(b- a) KiÕn thøc N©ng cao. (ab + bc + ca) Ph­¬ng ph¸p 5: Ph­¬ng ph¸p t¸ch Ph­¬ng ph¸p 7: §Æt biÕn phô Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta ®Æt biÓu thøc ®ã lµm biÕn phô ®­a vÒ ®a thøc ®¬n C¸ch 1: T¸ch ax2 + bx + c = a x2 + b x + b x + c 1 2 gi¶n. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ra nh©n tö råi Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch : C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 VÝ dô 1 A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 2 4 2 2 2 4 a) 2x2 - 3x + 1. C , ( x - 2x + 2) - 20x (x - 2x + 2) + 64 x 2 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 b) 6x + x - 2 2 2 2 2 E , (x + x) + 4x + 4x - 12 c) x - 2x - 3 2 2 Gi¶i F , (x + x)(x + x + 1) - 2. 2 2 Gi¶i a) 2x – 3x + 1 = 2x – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x 2 – 1) A.§Æt y = x + 4x + 8 råi dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch ph©n tÝch = (x – 1)(2x – 1). 2 2 2 KÕt qu¶: A = (x + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) b) 6x + x – 2 = 6x + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x 2 + 2) B. ®Æt y = x + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) = (3x + 2) (2x – 1) 2 c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 = C.§Æt y = x – 2x + 2 C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2) 2 2 a) x2 – 2x – 3 D = (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15 2 b) x2 - 10x + 16 = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. (*) Gi¶i 2 2 2 2 2 §Æt(x + x) = y Th× (*) a)x – 2x – 3 = x – 2x + 1 – 4 = (x- 1) – 2 = 2 2 (x – 3)(x+1) trë thµnh: y(y + 1) – 2 = y + y - 1 – 1 = (y - 1) + (y – 2 2 2 1) b)x – 10x + 16 = x – 10x + 25 – 9 = (x – 5) – 32 = (x – 8)(x – 2) = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2). ( ) Ph­¬ng ph¸p 6: Ph­¬ng ph¸p thªm bít Thay trë l¹i vµo ( ) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). 2 2 2 2 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. VËy(x + x)(x + x + 1) – 2 = (x + x - 1) )(x + x + 2). VÝ dô 2: a) y4 + 64. a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) b. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 Gi¶i HD: a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) 2 - (4y) 2 c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) = (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 (x+z)+ y2z2 + 4y). = 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 +xz +yz)+ y2z2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (§Æt t = x2 +xy+xz) = x( y2 – x2) + x(x2 – = 4t (t + yz) + y2z2 z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2) = (2t + yz)2 2 2 2 = (y - x ) ( x – z) + (x VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 – z )(x – y) a. (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + 3 = 0 = (y – x)( x – z) (y +x b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0 – x – z) 5
6. HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®­a Pt vÒ d¹ng PT Ta cã f(2) = 0 => x = 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) tÝch => f (x)(x 2) a. (t - 1)(t- 3) = 0 => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) 2 *. t = 1  2x + x = 1  (x +1)(2x-1)= 0 VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - 2 2 *. t = 3  2x + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0 = (x - 2)(4x2 + x +1) Ph­¬ng ph¸p 8: Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng VÝ dô 4 : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) KiÕn thøc: VÝ dô 5 1. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(a) = 0 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). 2. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). f (x)(x a) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a L­îc ®å Hoor ne thøc P kh«ng thay ®æi. . S¬ ®å Hoãc - ne Do ®ã ®a thøc P cã d¹ng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). 3 2 NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x + a1x + a2x + a3, ®a (k lµ h»ng sè). 2 2 2 2 thø chia lµ x - a ta ®­îc th­¬ng lµ b 0x + b1 x + b2. Theo => P = x (y - z) + y ( z - x) + z (x - y) = k(x - y)(y - z)( z - s¬ ®å Hoãc - ne ta cã: x). §óng víi mäi x, y, z, nªn ta cho c¸c biÕn x, y, z gi¸ trÞ a0 a1 a2 a3 riªng, a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, a1 a2 a3 y, z tuú chän sao cho (x - y)(y - z)( z - x) 0). Ta ®­îc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - céng y)(y - z)( z - x) a = (y - x)(y - nh©n z)( z - x). §iÒu kiÖn ®Ó tam thøc bËc hai ph©n tÝch ®­îc VÝ dô 6 A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) thµnh nh©n tö. Gi¶i §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muèn xÐt xem ®a thøc nµy cã ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö hay +.NÕu x = y => A = 0 => A  (x - y) kh«ng th­êng dïng ph­¬ng ph¸p sau: +.V× vai trß cña x,y,z nh­ nhau - TÝnh = b2 – 4ac. =>A  (y-z); (z-x) - NÕu 0 th× ph©n tÝch ®­îc. =>A  (x - y)(y-z)(z-x) +.V× cã bËc cao nhÊt lµ 3 cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) - NÕu A = k (x - y)(y-z)(z-x) ®óng víi mäi x, y, z LÇn l­ît kiÓm tra víi ­íc cña – 4 lµ 1, - 1, 2, - Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vµo => k = 1 2, - 4, 4. VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. VÝ dô 7 f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 kh«ng ph¶i lµ P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) nghiÖm. HD: lµm t­¬ng tù nh­ VD6, thay a = 2; b = 1; c = o t×m f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. ®­îc k = -1 f(-2) = -16 => x = - 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. Ph­¬ng ph¸p 9: Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh f(4) = 44 => x = 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. 3 f(- 4) = - 48 => x = - 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc §a thøc cã nghiÖm x = 2 do ®ã ®a thøc chøa thõa sè (x nhÊt vµ bËc hai – 2). Gi¶i Sö dông l­îc ®å Hoor ne ta cã: f(x) = (x – 2)(x2 – x + Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th× 2). x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) 3 3 2 VÝ dô 2:  x – 15x – 18 = x + (a+b)x + (ab+ c)x + ac Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - 4 Gi¶i 6
7. §ång nhÊt 2 ®a thøc ë 2 vÕ ta ®­îc: a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc 3 2 a b 0(1) => x + 4x + 5x +2  (x+1);(x+2) 3 2 ab c 15(2) => x + 4x + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b = 1 ac 18(3) b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc 4 3 2 Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) => 2x – 3x – 7x + 6x + 8 (x+1);(x-2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ VÝ dô 2 b) Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã a = -1; b =- 4 vµ bËc hai Gi¶i Ph­¬ng ph¸p 10: Ph­¬ng ph¸p h¹ bËc Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th× x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c) VÝ dô 1:  x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a) a5 + a +1. a b 0(1) Gi¶i a) a5 + a +1= a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1 §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã ab c 19(2) = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) ac 30(3) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) 1) 2 3 2 VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) = ( a + a + 1) (a – a + 1). VÝ dô 3 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3. C. øng dông Gi¶i ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých Ta thÊy x 1; 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc.  ®a thøc kh«ng cã nghiÖm I. T×m x nguyªn, kh«ng cã nghiÖm VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: h÷u tØ, a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 +  nªn ®a thøc cã d¹ng (x + 3)(x - 9) = 0 §Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã c) x2 + 5x = 6. d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b Gi¶i +d)x2 +(ad + bc)x + bd. a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0 x 3 0 x 3 §ång nhÊt ®a thøc nµy víi ®a thøc ®· cho, ta ®­îc hÖ ®iÒu     kiÖn: 2 x 0 x 2 a c 6 a 2 S ={-3; 2}. a c 6 b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + ac b d 12 b 3  ac 8  (x + 3)(x – 9) = 0 ad bc 14 c 4  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x a 3c 14 bd 3 d 1 + 3)(x – 9) = 0 VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x  (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x + 1)(x2 - 2x + 3). – 9) = 0 C¸ch 2  (x + 3)(x2 - 2x) = 0 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3  x(x + 3)(x - 2) = 0 = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + x 0 x 0 3     x 3 0   x 3 S ={-3; 0; 2}. = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x +   1) x 2 0 x 2 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). c) x2 + 5x = 6  x2 + 5x – 6 = 0 2 VÝ dô 4  x - x + 6x – 6 = 0 2 a. x3 + 4x2 + 5x +2  (x - x) + (6x – 6) = 0 b. 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8  x (x - 1) + 6(x – 1) = 0 Gi¶i 7
8. x 6 0 x 6 e) E = x3 - 9x 2 + 27x - 27 víi x = 13  (x + 6)( x – 1) = 0     S = {- x 1 0 x 1 6; 1}. g) G = 3 VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x3 + x +1 v a. (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - 2 = 0 íi x = - 2 b. x4 - x3 - x2 - x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c. x3 - 2x2 - 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ] 2 2 VÝ dô 3. T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n h) H = x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x víi x = a. x2 + y2 = 0 1 b. (x-1)2 + (y+2)2 = 0 c. 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = 0 2 2 d. x + 2y + 2y(1-x) = -1 VÝ dô 3 : Cho x - y = 7 . TÝnh 2 e. 2x (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0 A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 HD: B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 A 0 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) §­a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0 B 0 VÝ dô 4: x y 0 x y 0 a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = 0 hoÆc M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 x2 0 y 1 0 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441. . T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh VÝ dô 4 b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. a.x+ xy + y + 2 = 0 3 2 2 b. x + y = xy N = (x - y) - x + 2xy - y c. x2 + 21 = y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 HD: BiÕn ®æi vÒ d¹ng X.Y = a (const) VÝ dô 5 => X, Y ¦(a) Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc VÝ dô 5. T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh vµo gi¸ trÞ cña biÕn. 2 2 a. x + 21 = y a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) b.(x + 1)y - 2x = 8 P = 0 HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1)  y +x > y – x > 0 Q = - 8 y x 7 y x 21 2 2 2 2 4 4  hoÆc c) A = y(x - y )(x + y ) - y(x - y ) y x 3 y x 1 A = 0 II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x Ph­¬ng ph¸p : Thu gän biÓu thøc B = 2 T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo 1 2 2 1 3 1 VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc e) M = + 2x 4x - x 8x A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = - 3 3 9 27 1/2 2 +. Rót gän A = 4x2 + 20 M = +.Thay A = 21 27 VÝ dô 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. D. Bµi tËp ¸p dông Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (3x - 1)2 - (5x + a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = 1 3)2 1 1 b) B = 5x 2 - 2xy + y2 víi x= : y = - 5 b) (2x + y - 25 5 4z)2 - (x + y - z)2 2 x3 x 2 y xy2 y3 c) ( x + c) C = + + + víi x = - 8; y = 6 xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2 8 4 6 27 d) x4 - x2- d) D = x3 + 15x 2 + 75x + 125 víi x = - 10 2x-1 Bµi 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y. víi x=88 vµ y=-76 8
9. b) B = x2 + xy -7 x - 7y. Bµi 16. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ph©n thøc sau b»ng 0. 3 2 3x 2 5x 2 víi x= 7 vµ y=2 a) b) 4 5 3x 2 7x 2 Bµi 3. 2 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 - (a + b)xy + aby2 ( x 7x 12) b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) (x 4) 4 (x 3) 2 c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 Bµi 17. Cho biÓu thøc: A= 2 2 2 d) a (b - c) + b (c - a) + c (a - b) 2 2  4x   x 2 2 3x x 4 Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2 x 2 . 3 .  a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y  x 4 2x 4 x 4x x 2  c) (x - z)2 - y2 + 2y - 1 d) x3 + y3 + 3y2 + a) T×m ®iÒu kiÖn cña biÕn x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu 3y + 1 thøc ®­îc x¸c ®Þnh. Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 2x 1 3 2 2 A = x - 5x - 2xy + 5x + y + 4, biÕt x - y = 1 2 2 2 2x 10x 12 B = x (x + 1) - y (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt Bµi 18 a) T×m x ®Ó 0 . x - y = 7. x3 4x Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z x 4 16 2 cã gi¸ trÞ nguyªn. x 4 4x 3 8x 2 16x 16 c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - Bµi 19. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 25 +10x m2 + 2mn - n2 - y2 - 2y – 1 Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2 2 2 2 2 4 3 b) x + 4y - a) a - 10a + 25 - y - 4yz - 4z b) x - 2x + 4xy - z2 + 6z - 9 2x - 1 ROI 4 3 2 3 2 Bµi 20. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng c) x + 2x + 2x + 2x + 1 d) x + 4x + phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z - 5x + 2 t)2 - (z + t – x - y)2. Bµi 8. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: 2 2 a) A = x - 5x - 2xy + 5y + y + 4, biÕt x - y=1 Chuyªn ®Ò: mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), mét biÕn thµnh nh©n tö. biÕt x - y=7 C¸c ph­¬ng ph¸p: Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x - - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. xyz + y3 = 0 - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö. Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét - §æi biÕn sè. tam gi¸c th×. - HÖ sè bÊt ®Þnh. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0. Bµi 11. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 biÕn). b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8 I) Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng Bµi 12. T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d sao cho ®a thøc: tö: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 lµ b×nh ph­¬ng ®óng §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n cña tö chung, khi ph©n tÝch ra nh©n tö ta th­êng ph¶i t¸ch ®a thøc g(x) = x2 + cx + d mét h¹ng tö nµo ®ã ra thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c ®Ó nhãm Bµi 13. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x2 - 8)2 + 36. víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc ®Ó cho trong b) 81x4 + 4. c¸c nhãm cã nh©n tö chung, tõ ®ã gi÷a c¸c nhãm cã c) x5 + x + 1 nh©n tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc Bµi 14. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. quen thuéc. A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 2 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 f(x) = 2x - 3x + 1. C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 Gi¶i: D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x. Bµi 15. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 = (x - 1)(2x - 1). b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 C¸ch 2: 9
10. Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x 1 5 1 Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè ; , ta thÊy lµ - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] 3 3 3 nghiÖm cña ®a thøc, do ®ã khi ph©n tÝch ra nh©n tö, = (x - 1)(2x - 1). ®a thøc chøa nh©n tö 3x - 1. 2 Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax + Tõ ®ã: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - x2) - (6x2 bx + c ra nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + - 2x) + (15x - 5) b2x sao cho b1b2 = ac = x2(3x - 1) - Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; = (3x - 1)(x2 - b) 2x2 - 5x - 3; d) 2x2 + 5x + 2. 2x + 5). VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4. a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - 3 Gi¶i: b) 6x2 - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; Ta lÇn l­ît kiÓm tra víi x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2) c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; = 0. d) 2x3 - x2 + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x - §a thøc f(x) cã nghiÖm x = 2, do ®ã khi ph©n tÝch 4; ra nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - 2. §¸p sè: Tõ ®ã: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + a) (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); (2x - 4) b) (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + = x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 c) (3x + 1)(5x - 1); 1); (x - 2) d) (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); = (x - 2)(x2 + x + 2). h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + + a1x II) Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö: + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ Môc ®Ých: Thªm, bít cïng mét h¹ng tö ®Ó nhãm x = x0 th× x0 lµ mét ­íc cña hÖ sè tù do a0, khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc nh»m xuÊt hiÖn nh©n chøa nh©n tö x - x . V× vËy ®èi víi nh÷ng ®a thøc tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc, ®Æc biÖt lµ 0 xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng. mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy mét nghiÖm cña nã ®Ó ®Þnh h­íng viÖc ph©n tÝch III) Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn: ra nh©n tö. Mét sè ®a thøc cã bËc cao, nhê ®Æt biÕn phô ®­a Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: vÒ ®a thøc cã bËc thÊp h¬n ®Ó thuËn tiÖn cho viÖc ph©n a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; tÝch ra nh©n tö, sau khi ph©n tich ra nh©n tö ®èi víi ®a b) x3 - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; thøc míi, thay trë l¹i biÕn cò ®Ó ®­îc ®a thøc víi c) x3 - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; biÕn cò. 3 2 c¸ch) h) x - 6x - x + 30. VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 3 2 d) x + 5x + 8x + 4; f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 128. 3 2 f(x) = 3x - 7x + 17x - 5. Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128. Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ §Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh: nghiÖm cña ®a thøc. Nh­ vËy ®a thøc kh«ng cã f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y nghiÖm nguyªn, tuy vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ - 4)(y + 4) kh¸c. = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + Ta chøng minh ®­îc ®iÒu sau ®©y: 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8). n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0 cã p VÝ dô 4’: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: nghiÖm h÷u tØ lµ x = (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét ­íc cña q f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1. hÖ sè tù do a0 cßn q lµ ­íc d­¬ng cña hÖ sè cao nhÊt an. Gi¶i: Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö qx - p. C¸ch 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2. 10
11. VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: = (x2 + 3x - 1)2. f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã: Gi¶i: 6 1 1 NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(x) = x2(x2 + 6x + 7 - ) = x2[(x2 + ) + x x 2 x2 cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, 1 còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. Nh­ vËy nÕu f(x) ph©n tÝch 6(x - ) + 7]. ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + x cx + d), víi a, b, c, d Z. 1 2 1 2 4 §Æt x - = y, suy ra: x + 2 = y + 2. Do ®ã ®a Khai triÓn d¹ng nµy ra ta ®­îc ®a thøc: x + x x (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. §ång nhÊt ®a thøc trë thµnh: thøc nµy víi f(x) ta ®­îc hÖ ®iÒu kiÖn: f(x; y) = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 a c 6 = ac b d 12 1 [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) 2. ad bc 14 x Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: bd 3. a) (x2 + x)2 - d) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; XÐt bd = 3, víi b, d Z, b { 1; 3}. Víi b = 3 2(x2 + x) - e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh: 15; 4a) + a4; 2 2 2 2 2 a c 6 b) (x + x + 1)( f) (x +y +z )(x+y+z) + x2 + x + 2) - (xy+yz+zx)2; ac 8 12; c) (x + 2)(x + a 3c 14. 3)(x + 4)(x + Tõ ®ã t×m ®­îc: a = -2; c = -4. VËy f(x) = (x2 - 2x 5) - 24; + 3)( x2 - 4x + 1). g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh­ sau: z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) §¸p sè: = x2(x2 - 4x + 1) - a) §Æt x2 + x = y. Ta ph©n tÝch ®­îc thµnh: (x2 + x - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) 5)(x2 + x + 3). = (x2 - 4x + 1)(x2 b) §Æt x2 + x + 1 = y. §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(x- - 2x +3). 1). c) BiÕn ®æi thµnh: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö, dïng §Æt x2 + 7x + 11 = y. §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh: 1)(x + 6). a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; d) §Æt x + y = z. §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4) 2x + 1; d) (x+1)4 + (x2 + x e) §Æt x2 + 5ax + 5a2 = y. §¸p sè: (x2 + 5ax +5a2)2. b) x4 - 7x3 + 14x2 - +1)2. f) §Æt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b. Ta ®­îc: a(a 7x + 1; + 2b) + b2 = (a + b)2 = g) §Æt c¸c biÓu thøc ®èi xøng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + §¸p sè: y2 + z2 = b; x + y + z = c. a) (2x2 + x + 1)2. Cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch: 5x2 = Ta cã: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 - 4x2 + x2. 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2. b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1). Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9). + xz + yz). d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1). Ta ®­îc M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz + C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x yz)2 +1)2 + 2x(x + 1) + 1 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y = (x + 1)2[(x + 1)2 + z). + x2] + (2x2 + 2x + 1) = (x2 + 2x + 1)(2x2 IV) Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh: + 2x + 1) + (2x2 + 2x + 1) 11
12. = (2x2 + 2x + 1)(x2 f) x8 + x4 + 1; + 2x +2). Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (176): V) Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n + y3 - 1. vÞ vßng quanh) Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (172): VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). ®æi biÕn: ®Æt a + b = m, a - b = n. Gi¶i: Bµi tËp 6 : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (178): NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 hÕt cho x - y + 1. H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn kh«ng thay ®æi (Ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng tiÕp céng thªm 1 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. (180) quanh). Do ®ã: P chia hÕt cho x - y th× P còng chia hÕt Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + 1 cho chia hÕt cho mét sè chÝnh ph­¬ng y - z vµ z - x. kh¸c 1 víi mäi sè n nguyªn d­¬ng. (181) Tõ ®ã: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong ®ã a lµ h»ng Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho khi ph©n tÝch sè, kh«ng chøa biÕn v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c ®a thøc (x + a)(x - 4) - 7 ra nh©n tö ta ®­îc (x + b)(x + biÕn, cßn tÝch (x - y)(y - z)(z - x) còng cã bËc 3 ®èi víi c). tËp hîp c¸c biÕn. Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c sao cho khi ph©n tÝch Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nh©n tö ta ®­îc (x + y)(y - z)(z - x) (*) ®óng víi mäi x, y, z R nªn ta chän a)(x + b)(x + c). c¸c gi¸ trÞ riªng cho x, y, z ®Ó t×m h»ng sè a lµ xong. Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú trÞ, biÕt r»ng khi ph©n tÝch ®a thøc ý, chØ cÇn chóng ®«i mét kh¸c nhau ®Ó tr¸nh P = 0 x2 + x - n ra nh©n tö ta ®­îc (x - a)(x + b) víi a, b lµ ®­îc. lµ c¸c sè tù nhiªn vµ 1 < n < 100 ? Ch¼ng h¹n: Chän x = 2; y = 1; z = 0 thay vµo ®¼ng Bµi tËp 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, trong ®ã a vµ b lµ thøc (*), ta t×m ®­îc a = - 1 hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab. VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y CMR: A lµ mét sè tù nhiªn lÎ. - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z). Chñ ®Ò 1: TÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a A. KiÕn thøc c¬ b¶n + b - c)( b + c - a)( c + a - b). - N¾m ®­îc tÝnh chÊt chia hÕt trong tËp hîp sè Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = 0 th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nguyªn nh©n tö cña Q. Do vai trß b×nh ®¼ng cña a, b, c nªn b vµ c - VËn dông tèt tÝch chÊt ®Ó lµm c¸c bµi tËp còng lµ nh©n tö cña Q, mµ Q cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn nªn Q = k.abc. B. Ph­¬ng ph¸p chung Chän a = b = c = 1 ®­îc k = 4. VËy Q = 4abc. I. Chøng minh tÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè Bµi tËp tù luyÖn: nguyªn Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (173): a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 hoÆc n Z) b) x6 + 27; + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta th­êng Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (174): ph©n tÝch A(n) thµnh thõa sè, trong ®ã cã mét thõa sè lµ a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 m. Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa + 324. Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (175): sè ®«i mét nguyªn tè cïng nhau, råi chøng minh A(n) a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã b) x5 + x + 1; e)x 7 + x5 + 1; c) x8 + x7 + 1; ROI 12
13. NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph­¬ng chia cho 4 còng tån t¹i mét béi cña k chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: Gi¶i: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn Gäi A lµ sè chÝnh ph­¬ng A = n2 (n N) n a) XÐt c¸c tr­êng hîp: Gi¶i: n = 3k (k N) A = 9k2 chia hÕt cho 3 4 2 Ph©n tÝch ra thõa sè: 5040 = 2 .3 .5.7 n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k +1 chia Ta cã: cho 3 d­ 1 2 2 2 A = n[n (n - 7) - 36] VËy sè chÝnh ph­¬ng chi cho 3 chØ cã thÓ cã sè d­ 3 2 2 = n[(n - 7n) - 6 ] b»ng 0 hoÆc 1 3 3 = n(n - 7n - 6)(n - 7n + 6) b) XÐt c¸c tr­êng hîp Ta l¹i cã: n = 2k (k N) ) A = 4k2 chia hÕt cho 4 n3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3) n = 2k + 1 (k N) A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3) chia cho 4 d­ 1 Do ®ã: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) VËy sè chÝnh ph­¬ng chi cho 4 chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 §©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp. Trong hoÆc 1 b¶y sè nguyªn liªn tiÕp ¸p dông: - Tån t¹i mét béi cña 5 nªn A chia hÕt cho 5 Trong c¸c sè sau cã sè nµo lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng? - Tån t¹i mét béi cña 7 nªn A chia hÕt cho 7 M = 19922 + 19932 + 19942 - Tån t¹i hai béi cña 3 nªn A chia hÕt cho 9 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 - Tån t¹i ba béi cña 2, trong ®ã cã mét béi cña 4 nªn P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 A chia hÕt cho 16 L­u ý: C¸c h»ng ®¼ng thøc hay dïng ®Ó chøng minh tÝnh A chia hÕt cho c¸c sè 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè chia hÕt cña mét luü thõa. cïng nhau nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040 an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 + + a.bn-2 + bn-1) ¸p dông: víi n N* Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - - a.bn-2 + bn-1) a) a2 - a chia hÕt cho 2 víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n b) a3 - a chia hÕt cho 3 (a + b)n = an + c an-1b + c an-2b2 + + c abn-1 + bn c) a5 - a chia hÕt cho 5 1 2 n-1 C¸c hÖ sè c ®­îc x¸c ®Þnh bëi tam gi¸c Pa-xcan d) a7 - a chia hÕt cho 7 i ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã: Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn n n tiÕp, khi ®ã tån t¹i c¸c sè lµ béi cña 2, 3, 5, 7 a - b Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) n n VÝ dô 2: Sè chÝnh ph­¬ng (a + b) = BS a + b (BS a lµ béi sè cña a) a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph­¬ng chia cho 3 VÝ dô: chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1 Bµi tËp ¸p dông: 13
14. 1/ Cho A = 11100 -1 Ph­¬ng ph¸p: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000 XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k N 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n - C¸ch 1: 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu 3/ Chøng minh r»ng víi n N: diÔn A d­íi d¹ng: n+1 2n+1 a) 11 + 12 chia hÕt cho 133 A = 10a + b = ab 4n+2 3n+1 b) 3 + 2.4 chia hÕt cho 17 Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A 2n+1 3n+1 c) 3.5 + 2 chia hÕt cho 17 Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk II. T×m sè d­ Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng 100 VÝ dô: T×m sè d­ khi chia 2 cña rk a) Cho 9 - NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè b) Cho 25 cuèi cïng cña A c) Cho 125 - Gi¶i: C¸ch 2: a) Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 - 1 Khi lÊy k lÇn l­ît nh÷ng gi¸ trÞ tù nhiªn kh¸c nhau Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 th× trong biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi = BS 9 + 7 cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn. Ta Sè d­ khi chia 2100 cho 9 lµ 7 chØ cÇn t×m chu k× cña hiÖn t­îng nµy vµ A ë tr­êng hîp b) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = nµo víi gi¸ trÞ k ®· cho 1024 = BS 25 - 1 C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d­ Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 VÝ dô: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña 2100 khi viÕt trong hÖ VËy sè d­ khi chia 2100 cho 25 lµ 1 thËp ph©n c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n: Gi¶i: 50.49 Ba ch÷ sè tËp cïng cña 2100 lµ sè d­ cña phÐp chia 2100 cho 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + + 2 .52 - 50.5 + 1 1000 Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña 5 víi sè mò Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, lín h¬n 3 nªn chia hÕt cho 125. hai sè h¹ng tiÕp theo còng nªn ba ch÷ sè t©n cïng cña nã chØ cã thÓ lµ 126, 376, 626 chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1 hoÆc 876 VËy sè d­ khi chia 2100 cho 125 lµ 1 Mµ 2100 chia hÕt cho 8 nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã còng Bµi tËp ¸p dông: ph¶i chia hÕt cho 8. Trong bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶ n n n n a) T×m sè d­ cña phÐp chia Sn = 1 + 2 + 3 + 4 cho 4 m·n ®iÒu kiÖn b) Chøng minh r»ng: VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376 52n + 5n + 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho Bµi tËp: 3 1) T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt III. T×m ch÷ sè cuèi cïng trong biÓu diÔn thËp trong hÖ thËp ph©n. ph©n cña mét sè 14
15. 2) T×m ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè 171983 + Sè d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸ 111983 - 71983 trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a 3) T×m ba ch÷ sè cuèi cïng cña sè A = m100 * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn trong ®ã m lµ mét sè tù nhiªn kh¸c 0 C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc IV. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dô: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B Chó ý: A = n3 + 2n2 - 3n + 2 an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) B = n2 - n a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) BiÕn ®æi VÝ dô 1: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n2 - n)(n + 3) + 2 Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ Muèn A chia hÕt cho B th× 2 ph¶i chia hÕt cho n2 - sè b»ng 0 th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - 1 n hay n(n - 1) do ®ã 2 ph¶i chia hÕt cho n Gi¶i: n n-1 n 1 -1 2 -2 Gäi f(x) = a0x + a1x + + an-1x + an n-1 0 -2 1 -3 Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = 0 n(n - 1) 0 2 2 6 Sè d­ cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ Lo¹i Lo¹i r = f(1) = a0 + a1 + + an-1 + an = 0 VËy n = -1 ; n = 2 VËy f(x) chia hÕt cho x - 1 Bµi tËp: VÝ dô 2: 1) T×m sè nguyªn d­¬ng n ®Ó n5 + 1 chia hÕt cho n3 + Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè 1 luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc lÎ th× 2) T×m sè tù nhiªn n sao cho f(x) chia hÕt cho x + 1 a) 2n - 1 chia hÕt cho 7 2. T×m th­¬ng vµ sè d­ cña phÐp chia c¸c ®a thøc b) 2n - 1 chia hÕt cho 7 Ph­¬ng ph¸p: c) n2 - 3n + 6 chia hÕt cho 5 - §Æt phÐp chia d) n3 - n + 1 Chia hÕt cho 7 - Dïng s¬ ®å Hoãc-ne e) 2.3n + 3 chia hÕt cho 11 §a thøc bÞ chia n f) 10 - 1 chia hÕt cho 81 n n 1 n 2 a0 x a1x a2 x an 1x x g) 10n - 1 chia hÕt cho 11 n h) 10 -1 chia hÕt cho 121 §a thøc chia lµ x - a th­¬ng lµ V. TÝnh chia hÕt ®èi víi ®a thøc b x n 1 b x n 2 b x b 1. T×m sè d­ cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp 0 1 n 2 n 1 sè d­ r chia Víi Ph­¬ng ph¸p: b0 = a0 * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè b1 = a.b0 + a1 b2 = a.b1 + a2 15
16. VÝ dô 3: bn-1 = a.bn-2 + an-1 Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) 99 88 77 11 r = abn-1 + an f(x) = x + x + x + + x + 1 3. Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Ph­¬ng ph¸p: Gi¶i: * Ph©n tÝch ®a thøc bÞ chi thµnh nh©n tö, trong ®ã f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + VÝ dô 1: x(x10 - 1) Chøng minh r»ng x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + C¸c biÓu thøc trong ngoÆc ®Òu chia hÕt cho x10 - 1, xn + 1 víi mäi mét sè tù nhiªn n. mµ x10 - 1 chia hÕt cho g(x) Gi¶i: VËy f(x) chia hÕt cho g(x) x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n * Chøng tá r»ng mäi nghiÖm cña ®a thøc chia ®Òu = (x4n + 1)2 - (x2n)2 lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n VÝ dô: +1) Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chøng x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x = (x2n + 1)2 - (xn)2 Gi¶i: = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) §a thøc x2 - x cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1. Ta VËy x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + xn + 1 sÏ chøng minh x=0 vµ x = 1 còng lµ nghiÖm cña ®a thøc * BiÕn ®æi c¸c ®a thøc chia thµnh mét tæng c¸c ®a f(x) thøc chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dô 2: Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 víi mäi sè tù nhiªn m, n Gi¶i: x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 + 1 - x2 + x2 + x + 1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 + x + 1 Ta thÊy x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x3 - 1 Do ®ã x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x2 + x + 1 VËy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 * Sö dông c¸c biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng, ch¼ng h¹n ®Ó chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) + g(x) chia hÕt cho g(x) hoÆc f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) 16
17. Chñ ®Ò 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh a+x a x 3a a) A. KiÕn thøc c¬ b¶n a-1 a 1 a2 1 - N¾m ®­îc kh¸i niÖm ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét x-a x b x c Èn, ph­¬ng tr×nh tÝch, ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. b) 3 b+c c a a b - Cã kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh mét c¸ch thµnh x-a x b x c 3x th¹o c) b+c B. Néi dung c a a b a b c a+b-x a+c-x b+c-x 4x I. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn d) 1 VÝ dô 1: c b a a b c Gi¶i ph­¬ng tr×nh a2x + b = a(x + b) II. Ph­¬ng tr×nh tÝch Gi¶i: §Þnh nghÜa: a2x + b = a(x + b) Ph­¬ng tr×nh tÝch mét Èn lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: a2x + b = ax + ab A(x).B(x) = 0 (1) Trong ®ã A(x), B(x), lµ c¸c ®a thøc a2x - ax = ab - b C¸ch gi¶i: ax(a - 1) = b(a - 1) (1) Gi¶i tõng ph­¬ng tr×nh A(x) = 0, B(x) = 0, råi NÕu a 0, a 1th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng. b x Chó ý: a ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß NÕu a = 1 th× (1) cã d¹ng 0x = 0, ph­¬ng tr×nh nghiÖm quan träng trong viÖc ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph­¬ng ®óng víi mäi x tr×nh tÝch. Ngoµi ra ta cßn dïng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô NÕu a = 0 th× (1) cã d¹ng 0x = -b, ph­¬ng tr×nh nghiÖm VÝ dô 1: ®óng víi mäi x nÕu b = 0, v« nghiÖm nÕu b 0 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: KÕt luËn: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 NÕu a 0, a 1th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt Gi¶i: 3 3 b (x + 3) - (x + 1) = 56 x 3 2 3 2 a x + 9x + 27x + 27 - x - 3x - 3x- 1 = 56 NÕu a = 1 hoÆc a = 0 vµ b = 0, ph­¬ng tr×nh nghiÖm ®óng 6x2 + 24x -30 = 0 víi mäi x 6(x2 + 4x - 5) = 0 NÕu a = 0 vµ b 0, ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm x2 - x + 5x - 5 = 0 Bµi tËp ¸p dông: x(x - 1) + 5(x - 1) = 0 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x - 1)(x + 5) = 0 KÕt luËn: S = {1; -5} Chó ý: 17
18. Cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô x + 2 = y (x b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 + 2 lµ trung b×nh céng cña x + 3 vµ x + 1) Gi¶i: VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a) BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh thµnh: (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0 Gi¶i: 1 §Æt x - 7 = y, ph­¬ng tr×nh trë thµnh: x3 Ph­¬ng tr×nh cã ba nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = -2 ; 2 (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 b) C¸ch 1: Rót gän ta ®­îc: §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (x + 1)2(x2 - x + 1) = 0 y4 + 6y2 - 7 = 0 Ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 §Æt y2 = z (z 0), ta cã z2 + 6z - 7 = 0 (z - 1)(z C¸ch 2: + 7) = 0 Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho x2 (v× x = 0 Ph­¬ng tr×nh nµy cho z1 = 1, z2 = -7 (lo¹i) kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh) ta ®­îc: Víi z = 1, nªn y = 1 2 1 1 Tõ ®ã x1 = 8 ; x2 = 6 x 2 3 x 4 0 x x Chó ý: 4 Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x + a) + (x + 1 2 1 2 y x x 2 y 2 a b §Æt x th× x , ta ®­îc: y x 2 b)4 = c ta th­êng ®Æt Èn phô 2 y - 3y + 2 = 0 nªn y1 = 1; y2 = 2 2 ¸p dông: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Víi y1 = 1, ta cã x - x + 1 = 0, v« nghiÖm 2 a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 Víi y = 2, ta cã x - 2x + 1 = 0 nªn x = 1 b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 Bµi tËp ¸p dông: c) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 Gi¶i ph­¬ng tr×nh d) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = 1 a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 * Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng (c¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng) b) x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0 4 3 2 1 c) x - 3x + 4x - 3x + 1 = 0 Trong ph­¬ng tr×nh ®èi xøng nÕu a lµ nghiÖm th× còng a d) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5 + 6 = 0 lµ nghiÖm 3. Ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu + Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ bao giê còng cã C¸c b­íc gi¶i: mét trong c¸c nghiÖm lµ x = -1 - T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh + Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n ®­a ®­îc vÒ - Quy ®ång mÉu thøc ë hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh råi 1 khö mÉu thøc ph­¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt Èn phô y x x - Gi¶i ph­¬ng tr×nh võa nhËn ®­îc VÝ dô 3: - NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cña Èn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh. a) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 18
19. x 1 x 3 2 1 (1) x 2 x 4 (x 2)(4 x) BiÕt r»ng khi c©n trong n­íc, vµng gi¶m 20 träng 1 Gi¶i: l­îng, b¹c gi¶m 10 träng l­îng. Hái chiÕc mò chøa bao §KX§ cña ph­¬ng tr×nh lµ x 2, x 4 nhiªu gam b¹c (vËt cã khèi l­îng 100 gam tr× träng l­îng BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc: b»ng 1 niut¬n) (x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2 Gi¶i: Thu gän ph­¬ng tr×nh ta ®­îc: 2x(x - 2) = 0 (2) Gäi träng l­îng b¹c trong mò lµ x (niut¬n) (0 0). ra-cót giao cho Ac-si-met kiÓm tra xem chiÕc mò b»ng a vµng cña m×nh cã pha thªm b¹c hay kh«ng. ChiÕc mò cã Thêi gian ng­êi ®ã ®i nöa ®Çu qu·ng ®­êng lµ 20 träng l­îng 5 niut¬n (theo ®¬n vÞ hiÖn nay), khi nhóng a ngËp trong n­íc th× träng l­îng gi¶m ®i 0,3 niut¬n giê, thêi gian ng­êi ®ã ®i nöa sau qu·ng ®­êng lµ 30 giê, a a 2a Ta cã ph­¬ng tr×nh: 20 30 x 19
20. Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x = 24 VËy vËn tèc trung b×nh cña ng­êi ®ã trªn c¶ qu·ng ®­êng lµ 24km/h. Bµi tËp: 1) Mét kh¸ch du lÞch ®i tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø 15 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i cïng chiÒu v­ît qua, cø 10 phót l¹i gÆp mét xe buýt ch¹y ng­îc l¹i. BiÕt r»ng c¸c xe buýt ®Òu ch¹y víi cïng mét vËn tèc, khëi hµnh sau nh÷ng kho¶ng thêi gian b»ng nhau vµ kh«ng dõng l¹i trªn ®­êng (trªn chiÒu tõ A ®Õn B còng nh­ chiÒu ng­îc l¹i). Hái cø sau bao nhiªu ph¸t th× c¸c xe buýt l¹i lÇn l­ît rêi bÕn? 2) Trªn qu·ng ®­êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ng­îc l¹i. C¸c xe nµy chuyÓn ®éng ®Òu víi cïng vËn tèc nh­ nhau. Mét kh¸ch du lÞch ®i bé tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø 5 phót l¹i gÆp mét xe ®i tõ B vÒ phÝa m×nh. Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe ®i tõ A v­ît qua ng­êi ®ã? 20
21. Chñ ®Ò 3: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1 1 A. Môc tiªu a > b , ab > 0 a b Häc sinh n¾m ®­îc c¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng II. C¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc: thøc, n¾m ®­îc c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc, c¸c ph­¬ng ph¸p 1. Ngoµi c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc a2 0 ; -a2 0, chøng minh bÊt ®¼ng thøc cÇn nhí c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc liªn quan ®Õn gi¸ trÞ tuyÖt BiÕt chøng minh bÊt ®¼ng thøc mét c¸ch thµnh ®èi: th¹o. a 0 B. KiÕn thøc c¬ b¶n XÈy ra ®¼ng thøc khi a = 0 I. C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc a a XÈy ra ®¼ng thøc khi a 0 - TÝnh b¾c cÇu: a > b ; b > c a > c a b a b - Céng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè XÈy ra ®¼ng thøc khi ab 0 a > b a + c b + c a b a b XÈy ra ®¼ng thøc khi ab > 0 vµ - Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè: a b a > b ; c > 0 ac > bc 2. Mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc kh¸c cã thÓ sö dông a > b ; c b ; c > d a + c > b + d 2 - Trõ tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc ng­îc chiÒu, ®­îc a b ab 2 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu víi bÊt ®¼ng thøc bÞ trõ: Hay (a + b) 4ab (bÊt ®¼ng thøc a > b ; c b – d C«-si); 1 1 4 - Nh©n tõng vÕ hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu mµ hai vÕ a b a b kh«ng ©m víi a, b > 0 a b a > b 0 ; c > d 0 ac > bd 2 b a - N©ng lªn luü thõa bËc nguyªn d­¬ng hai vÕ cña bÊt víi a, b > 0 2 2 2 2 2 ®¼ng thøc: (a + b )(x + y ) (ax + by) (BÊt ®¼ng thøc Bu- a > b > 0 an > bn nhi-a-cèp-xki) III. C¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng a > b an > bn víi n lÎ thøc: a b an > bn víi n ch½n 1. Dïng ®Þnh nghÜa - So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò d­¬ng: §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng NÕu m > n > 0 th×: a > 1 am > an minh A - B > 0 a = 1 am = an VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: 0 < a < 1 am < an (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1 - LÊy nghÞch ®¶o hai vÕ vµ ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc nÕu Gi¶i: XÐt hiÖu hai vÕ cïng dÊu 21
22. (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 1 2(a2 + b2) > 1 a2 + b2 > (4) 5x + 6) + 1 2 §Æt x2 - 5x + 5 = y ta ®­îc B×nh ph­¬ng hai vÕ cña (4) 2 1 (y - 1)(y + 1) + 1 = y 0 a4 + 2a2b2 + b4 > (5) 4 VËy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1 MÆt kh¸c 2. Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng (a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0 (6) VÝ dô 2: Cho c¸c sè d­¬ng a vµ b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1 Céng tõng vÕ (5) vµ (6) 1 1 1 1 2(a4 + b4) > a4 + b4 > 1 1 9 4 8 a b Chøng minh r»ng: (1) 4. Dïng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng Ta cã: VÝ dô 4: 1 1 a+1 b 1 Cho a2 + b2 2. Chøng minh r»ng: a + b 1 1 9 . 9 a b a b 2 ab + a + b + 1 9ab (v× ab > 0) Gi¶i: a + b + 1 8ab (v× a + b = 1) Gi¶ sö a + b > 2, b×nh ph­¬ng hai vÕ ta ®­îc: a2 + 2ab + b2 > 4 (1) 2 8ab MÆt kh¸c ta cã: 1 4ab (a - b)2 0 2ab a2 + b2 a2 + 2ab + (a + b)2 4ab (v× a + b = 1) b2 2(a2 + b2) (a - b)2 0 lu«n ®óng Mµ 2(a2 + b2) 4 (gi¶ thiÕt), do ®ã VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®­îc chøng minh a2 + 2ab + b2 4 M©u thuÉn víi (1) XÈy ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b 3. Dïng c¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc VËy a + b 2 VÝ dô 3: C. Bµi tËp ¸p dông: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 4 4 1 Cho a + b > 1. Chøng minh r»ng: a b 8 1) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Gi¶i: Ta cã a2 b2 c2 c b a a + b + 1 > 0 (1) b2 c2 a2 b a c B×nh ph­¬ng hai vÕ: 2) Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc víi a, b , c lµ c¸c sè 2 2 2 (a + b) > 1 a + 2ab + b > 1 d­¬ng: (2) 1 1 1 MÆt kh¸c a) a b c 9 a b c (a - b)2 0 a2 - 2ab + b2 0 (3) a b c b) 1,5 Céng tõng vÕ (2) vµ (3) b c c a a b 22
23. 3) Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Gîi ý: 1 1 4 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc víi x, y > 0 x y x y b) a b c 3 b c a a c b a b c a b c c) 2 b c c a a b 4) Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng 1 a2 b2 c2 3 5) Chøng minh r»ng víi a, b, c > 0 th× a2 b2 a b a) b2 a2 b a a2 b2 c2 b) a b c b c a a2 b2 c2 a b c c) b c c a a b 2 23
24. Chñ ®Ò 4: Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt Gi¶i: A. Môc tiªu a) A = 2x2 - 8x + 1 = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 - Häc sinh n¾m ®­îc thÕ nµo lµ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ -7 trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc Min A = -7 khi vµ chØ khi x = 2 - BiÕt c¸ch x¸c ®Þnh gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt b) B = -5x2 - 4x + 1 = cña mét biÓu thøc 2 2 4 4 9 2 9 9 B. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 5 x x 5 x 5 25 5 5 5 5 1. Cho biÓu thøc f(x,y, ) 9 2 Ta nãi M lµ GTLN cña biÓu thøc f(x,y, ) nÕu tho¶ Max B = khi vµ chØ khi x = 5 5 m·n hai ®iÒu kiÖn sau: ¸p dông: - Víi mäi x, y, ®Ó f(x,y, ) x¸c ®Þnh th× Cho tam thøc bËc hai P = ax2 + bx + c f(x,y, ) M (M lµ h»ng sè) (1) a) T×m GTNN cña P nÕu a > 0 - Tån t¹i x , y sao cho 0 0 b) T×m GTLN cña P nÕu a < 0 f(x , y , ) = M (2) 0 0 2. §a thøc bËc cao h¬n hai 2. Cho biÓu thøc f(x,y, ) VÝ dô 2: Ta nãi M lµ GTNN cña biÓu thøc f(x,y, ) nÕu tho¶ T×m GTNN cña A = x(x - 3)(x - 4)(x m·n hai ®iÒu kiÖn sau: - 7) Víi mäi x, y, ®Ó f(x,y, ) x¸c ®Þnh th× Gi¶i: (1’) Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x f(x,y, ) m (m lµ h»ng sè) + 12) - Tån t¹i x0 , y0 sao cho §Æt x2 - 7x + 6 = y th× f(x , y , ) = m 0 0 A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 -36 (2’) 2 VËy Min A = -36 x - 7x + 6 = 0 x1 = 1; x2 = 6 Chó ý: NÕu chØ cã ®iÒu kiÖn (1) vµ (1’) th× ch­a thÓ 3. Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc nãi g× vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc hai Ch¼ng h¹n ta xÐt biÓu thøc VÝ dô 3: A = (x - 1)2 + (x - 3)2 2 MÆc dï A 0 nh­ng ch­a thÓ kÕt luËn GTNN cña T×m GTNN cña A 6x 5 9x2 A = 0 v× kh«ng tå t¹i gi¸ trÞ nµo cña x ®Ó A = 0 Gi¶i: C. Néi dung 2 2 I. Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét A 9x2 6x 5 2 biÓu thøc chøa mét biÕn 3x 1 4 1. Tam thøc bËc hai Ta thÊy (3x - 1)2 0 nªn (3x - 1)2 + 4 4 VÝ dô 1: 1 1 2 2 2 Do ®ã 2 2 a) T×m GTNN cña A = 2x - 8x + 1 3x 1 4 4 3x 1 4 4 b) T×m GTLN cña B = -5x2 - 4x + 1 24
25. 1 1 1 1 A 2 Min A = 2 khi vµ chØ khi x = 2 , y = 2 1 1 C¸ch 2: Min A 3x-1 =0 x= 2 3 Sö dông c¸c ®iÒu kiÖn ®· cho lµm xuÊt hiÖn mét 4. Ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph­¬ng cña mét nhÞ biÓu thøc míi cã chøa A: thøc Bµi tËp: VÝ du 4: 1) Cho x + y + z = 3 T×m GTNN cña a) T×m GTNN cña A = x2 + y2 + z2 b) T×m GTLN cña B = xz + yz + zx 3x2 8x 6 c) T×m GTNN cña A + B A 2 x 2x 1 2) T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc Gi¶i: A = (x + 8)4 + (x + 5)4 Ta cã: B = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5) 2 2 2 3x2 8x 6 2x 4x 2 x 4x 4 C xx 32 x 7 A 2 2 x2 2x 1 2 2 x 1 D xx2 1x 1 x2 x 2 Min A = 2 khi vµ chØ khi x = 2 3) T×m GTNN, GTLN cña II. Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét 27 12x A biÓu thøc cã quan hÖ rµng buéc gi÷a c¸c x2 9 biÕn 3x2 2x 3 VÝ dô 1: B x2 1 T×m GTNN cña A = x3 + y3 + xy biÕt r»ng 4) T×m GTNN cña x + y = 1 Gi¶i:Sö dông kiÒu kiÖn ®· cho ®Ó rót gän biÓu thøc A: 1 1 A a b víi a, b > 0 A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy a b = x2 - xy + y2 + xy 1 1 1 = x2 + y2 B a b c víi a, b, c > §Õn ®ay cã nhiÒu c¸ch gi¶i: a b c C¸ch 1: BiÓu thÞ y theo x råi ®­a vÒ tam thøc bËc hai ®èi 0 víi x: 1 1 1 1 Thay y = x - 1vµo biÓu thøc A ta ®­îc B a b c d a b c d 2 2 2 2 1 1 1 víi a, b, c, d > 0 A x x 1 2 x x 1 = 2 x- 2 2 2 25
26. Chñ ®Ò 5: Ph­¬ng ph¸p diÖn tÝch trong chøng minh Cho tam gi¸c ®Òu ABC. h×nh häc a) Chøng minh r»ng nÕu ®iÓm M thuéc miÒn trong A. Môc tiªu cña tam gi¸c ABC th× tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M - Sö dông c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ®Ó thiÕt lËp ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng chiÒu cao tam gi¸c. quan hÖ vÒ ®é dµi cña c¸c ®o¹n th¼ng ®Ó chøng b) Quan hÖ trªn thay ®æi nh­ thÕ nµo nÕu ®iÓm M minh h×nh häc thuéc miÒn ngoµi tam gi¸c - Cã kü n¨ng sö dông c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch Gi¶i: ®Ó chøng minh h×nh häc Gäi a vµ h lµ c¹nh vµ chiÒu cao cña tam gi¸c ABC, B. Sö dông c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ®Ó MA’, MB’, MC’ lµ c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn BC, AC, chøng minh h×nh häc. AB VÝ dô 1: a) NÕu M thuéc miÒn trong ABC th× A C' B' M B C A' SMBC + SMAC + SMAB = SABC 1 1 1 1 BC.MA' AC.MB' AB.MC' BC.AH 2 2 2 2 a a MA' MB' MC' h 2 2 MA' MB' MC' h 26
27. b) NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn trong gãc A (miÒn 2) th×: 5 A 4 3 1 B A' C C' 6 B' 7 2 M SMAC + SMAB - SMBC = SABC 1 1 1 1 AC.MB' AB.MC' BC.MA' BC.AH 2 2 2 2 a a MB' MC' MA' h 2 2 MB' MC' MA' h T­¬ng tù: NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn trong gãc B (miÒn 3) th×: MA' MC' MB' h NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn trong gãc C (miÒn 4) th×: MA' MB' MC' h NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc A (miÒn 5) th×: MA' MB' MC' h NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc B (miÒn 6) th×: MB' MA' MC' h NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc C (miÒn 7) th×: MC' MA' MB' h Bµi tËp: 1) C¸c ®iÓm E, F n»m trªn c¸c c¹nh AB, BC cña h×nh b×nh hµnh ABCD sao cho AF = CE. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AF, CE. Chøng minh r»ng ID lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AIC 27
28. A E B H I F K D C Gîi ý: §Ó chøng tá D thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc AIC , ta vÏ DH  AF, DK  IC, råi chøng minh DH = DK. Hai ®o¹n th¼ng nµy lµ c¸c ®­êng cao cña AFD vµ CED cã c¹nh ®¸y t­¬ng øng lµ AF vµ CE, do ®o chØ cÇn chøng minh SAFD = SCED (c¸c diÖn tÝch nµy ®Òu b»ng nöa SABCD) 2) Cho ABC cã A 900 , D lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ C. Chøng minh r»ng tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ A vµ tõ C ®Õn BD lín h¬n ®­êng cao kÎ tõ A vµ nhá h¬n ®­êng cao kÎ tõ C cña ABC K F A D E B C H Gîi ý: Gäi AH, CK lµ c¸c ®­êng cao cña ABC. KÎ AE vµ CF vu«ng gãc víi BD. Ta cÇn chøng tá AH 0 víi mäi x R Bµi 3 : Vôùi giaù trò naøo cuûa a ñeå ña thöùc ( 3x3 + 10x2 + a – 5) chia heát cho ña thöùc ( 3x + 1 ) Bµi 4 : Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: x +1 2x + 3 3 x - 6 x x 4xy a) + b)- c) + + 2x + 6 x2 + 3x 2x + 6 2x2 + 6x x - 2y x + 2y 4y2 - x2 1 1 3x - 6 x3 - 8 x2 + 4x x2 + x 3x + 3 d) - e) f) : 3x - 2 3x + 2 4 - 9x2 5x + 20x2 + 2x + 4 5x2 -10x + 5 5x - 5 x - 3 3x - 1 1 - Bµi 5) Cho biểu thức : A =  2 2x + 1 x - 9 3 - x a) Tìm điều kiện xác định của A & Rút gọn A 28
29. 1 b) Tìm x để A = 9 va` Tính giá trị của biểu thức A với x = 2 x + 2 x - 2 x2 2 Bai 6) Cho biểu thức B = 2 + 2 : 2 x - x x + x x 1 a/ Tìm điều kiện xác định của B & Rút gọn B b/ Tính giá trị của biểu thức B với x = 2008 x 1 1 3x x 1 Bai`7) Cho phân thức P = : x 1 x 3 x x 2 1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b) Rút gọn biểu thức P. Tính giá trị của P tại x = 6. c) Tìm x để phân thức có giá trị là số nguyên. x 2 2x 1 Bai`8) Cho phân thức: x 3 x .a) Tìm x để phân thức được xác định. .b) Tìm x để phân thức có giá trị bằng 0. c) Rút gọn phân thức. x 1 1 3x x 1 : x 1 x 3 x x 2 1 d) Chứng minh đẳng thức. 1 1 1 a 2 1 e) Tính. a n(n 1) n n 1 1 a a 1 Bai 9) a) Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số? Dạng tổng quát. b) Rút gọn. a 2 ac b 2 bc x x 2 4 1 1 Chứng minh hằng đẳng thức. a 2 b 2 x 2 2x x 3 4x x 2 2x x 2 2x 1) a) Phát biểu quy tắc đổi dấu? & Áp dụng. Rút gọn: x 2 1 x y ; x x 2 b a x 2 1 2) Tìm giá trị của x để phân thức: 0 x 2 x Bai`10. Tìm a để đa thức 6x3 + x2 - 29x + a chia hết cho đa thức 2x - 3 3 6x x Bµi 11 . Cho biÓu thøc A x 3 9 x 2 x 3 1 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa. b) Rót gän A.c) T×m x sao cho A = . d) T×m gi¸ trÞ 2 nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ d­¬ng. SGK –tr62 Bµi tËp 58 -> 64 SBT : bµi 54 ,55 ,56 ,59 ,61 64 ,65, 66, 67 B) H×nh Häc : Bai`1) Cho đường cao AH. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành. b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao? Bai` 2 ) Cho tam giac ABC đường cao AH. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành. b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao? c) ABC th/m d/kien g× th× AMPN lµ h×nh ch÷ nhËt , thoi , vu«ng? Bai` 3) -Cho hcn ABCD. QuaA vẽ Ax// BD, Ax cắt đường thẳng CB tại E. a) Chứng minh ABDE làhbh , Chứng minh ACE cân c) Vẽ AM  BD (M thuộc BD); BN AE (N thuộc AE).Chứng minh AMBN là hcn Bài 4) Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AM. Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng của M qua I. 29
30. a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh AKMB là hình bình hành. c) Tam giác ABC với điều kiện gì để tứ giác AKCM là hình vuông ? d) Cho AM = 4,5cm; MB = 2cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bµi 5 . Cho tam gi¸c ABC ,I n»m gi÷a B vµ C Qua I vÏ ®­êng th¼ng // AB c¾t AC ë H ,®­êng th¼ng // AC c¾t AB ë K Tø gi¸c AHIK lµ h×nh g× ? I ë ®©u thuéc BC th× AHIK lµ h×nh thoi ? Tam gi¸c ABC cã ®iÒu kiÖn g× th× AHIK lµ h×nh ch÷ nhËt ? Bµi 6 . Cho tam gi¸c ABC M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB .P vµ Q lÇn l­ît thuéc BM vµ CN sao cho BP = 1/3 BM ; CQ = 1/3 CN a) MNPQ lµ h×nh g× ? v× sao? b) Tam gi¸c ABC ph¶i tháa m·n ®/k g× th× th× MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt? c) Tam gi¸c ABC, BM , CN tháa m·n ®k g× th× MNPQ lµ h×nh thoi , h×nh vu«ng Bµi 7. Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD),E lµ trung ®iÓm cña AB. a) C/m EDC c©n b) Gäi I,K,M theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC,CD,DA. Tg EIKM lµ h×nh g×? V× sao? c) Tinh S ABCD,SEIKM biet EK = 4, IM = 6. Ba`i 8 . Cho tam giác ABC đường trung tuyến AE. Gọi M là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của E qua M. a. Tứ giác AEBD là hình gì ? Vì sao ? b.Chứng minh : AC // DE ; ADEC la` hinh` binh` hanh` c. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì AEBD là hình thoi . Lµ h×nh vuông? tõ ®ã tính diện tích tứ giác AEBD biết AE = 5cm và BC = 6cm.N lµ trung ®iªmAC D’ ®èi xøng E qua N cm :D ,A ,D’ th¼ng hµng Bai` 9 . Cho ABC caân taïi A , ñöôøng cao AH . Goïi E , F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB , AC ; I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua E . Chöùng minh raèng : a) Töù giaùc EFCB laø hình thang caân b) AIBH laø hình chöõ nhaät c) Töù giaùc IACH laø hình gì ? d) AFHE laø hình thoi. Bµi 10 .Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cãi AB= 2 AD .E, F thø tù lµ trung ®iÓm AB , CD. a)C¸c tø gi¸c AEFD , AECF lµ h×nh g×? t¹i sao? b) M lµ giao ®iÓm cña AF vµ DE , Giao ®iÓm cña BF ,CE lµ N. C/m EMFN lµ h×nh ch÷ nhËt c)ABCD cã thªm d/k g× th× EMFN lµ h×nh vu«ng? Bµi 11 . Tam gi¸c ABC cã gãc a = 900 ,AM trung tuyÕn. D lµ trung ®iÓm AB ,E ®èi xøng M qua D a) c/m E ®èi xøng M qua AB b) AEMC , AEBM lµ h×nh g×?v× sao? c) Cho BC = 4 cm tÝnh chu vi t­ gi¸c AEBM d) Tam gi¸c ABC cã ®/k g× th× AEBM lµ h×nh vu«ng? e) AB =3cm AC =4cm TÝnh diÖn tÝch t­ gi¸c AEBM vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng AM H×nh SGK + SBT : «n tËp ch­¬ng II 30
31. ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2009- 2010 I. LÝ THUYẾT : A. Một số câu hỏi lý thuyết và áp dụng lý thuyết I/ Đại số Câu 1: Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. Câu 2 Nêu 2 quy tắc biến đổi tương đương để giải một phương trình ? Áp dụng giải phương trình 4 - 3x = x - 6 ? Câu 3 Định nghĩa hai phương trình tương đương ? Hai phương trình cho dưới đây có tương đương hay không ? Vì sao ? 3x - 6 = 0 và x2 - 4 = 0 1 2 x Câu 4 Điều kiện xác định của một phương trình là gì ? Áp dụng tìm ĐKXĐ của phương trình ? x x 1 Câu 5 : Nêu các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ? Áp dụng giải phương trình x x 2x ? 2x 6 2x 2 (x 1)(x 3) Câu 6 Nêu các bước để giải một bài toán bằng cách lập phương trình ? Câu 7: Nêu định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ? Cho ví dụ. Câu 8 Định nghĩa hai bất phương trình tương đương ? Áp dụng hãy chứng tỏ hai bất phương trình cho dưới đây là 2 bất phương trình tương đương : - 3x + 2 > 5 và 2x + 2 < 0 Câu 9 Phát biểu hai quy tắc biến đổi để giải bất phương trình ? Áp dụng giải bất phương trình ax + b 0 ( với a 0 và ẩn là x ) ? Câu 10: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số a? Áp dụng: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: A = -2x + 5 + 4x trong hai trường hợp x 0, x 0 II. Hình học: Câu 1 Phát biểu ,vẽ hình , ghi GT, KL, định lý Ta-lét thuận ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N AC. Biết MN // BC và AM = 4cm, AN = 5cm, NC = 3cm. Tính độ dài AB Câu 2 Phát biểu,vẽ hình , ghi GT , KL, định lý Ta-lét đảo ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N BC sao cho AM = 2, BM = 4, BN = 6 và CN = 3. Chứng tỏ MN // AC ? Câu 3 Phaùt bieåu ,vẽ hình , ghi GT , KL heä quaû cuûa ñ/l ta leùt. Câu 4 Phát biểu tính chất đường phân giác trong tam giác ? Áp dụng cho tam giác ABC, đường phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở I. Biết DI = 9cm, BC = 15cm. Tính độ dài AB ? Câu 5 Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng ?Áp dụng cho ABC có AB:AC:BC = 4 :5:6 MNK đồng dạng với ABC và có chu vi bằng 90cm.Tính độ dài mỗi cạnh của MNK Câu 6 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-c -c ) của hai tam giác ? Áp dụng cho ABC và MNK có độ dài các cạnh lần lượt là : AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 6cm và MN = 10cm, NK = 6cm, MK = 12cm. Hỏi tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu 7 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( g-g) của hai tam giác ? Áp dụng cho hai tam giác cân ABC và DEF có góc A bằng góc E. Hỏi ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu 8 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-g-c ) của hai tam giác ? Câu 9 Phát biểu các trường hơp đồng dạng của hai tam giác vuông ? Câu 10 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó có quan hệ như thế nào ? Áp dụng cho ABC đồng dạng với RPQ với tỉ số đồng dạng bằng 2,5. Biết diện tích của RPQ bằng 50cm2. Hãy tính diện tích của ABC ? Câu 11: Các vị trí của hai đường thẳng trong không gian? Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng song song? Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc? Câu 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng  BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng  mp(ADQM) 31
32. Câu 13 - Hình lập phương có mấy mặt, mấy cạnh, mấy đỉnh? Các mặt là những hình gì ? - Hình hộp chữ nhật có mấy mặt, mấy cạnh , mấy đỉnh ? - Hình lăng trụ đứng tam giác có mấy cạnh, mấy đỉnh, mấy mặt ? B/ Một số bài tập luyện tập I/ Đại số 1. Giải các phương trình sau: a) 6x – 3 = -2x + 6 b) 2(x – 1) + 3( 2x + 3) = 4(2 – 3x) - 2 7x 1 16 x 2(1 2x) 2 3x 2(3x 1) c) 3 – 2x(25 -2x ) = 4x2 + x – 40 ; d) 2x ; e) 2 6 5 4 6 2 3x 2 2x 1 2 f) 3x ; 3 2 3 1 2 4 x 1 x 1 2(x2 2) g) h) ; i) (x-2)(2x-3) = ( 4-2x)(x-2) k) x 7 2 ; 2x 3 x(2x 3) x x 2 x 2 x2 4 l) 5 2x 1 x m) 5x = 3x + 4 2. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 3 x 2x 1 a) 12 – 3x 3(x+ 2) ; c) ; 2 5 3x 2 4x 5 7 x 2x 1 x 1 d) 4 ; e) ; f) 3 ; g) (x - 3)(x + 3) < (x + 2)2 + 3 4 3 5 3 2 3) Giải các bài toán tìm x đưa về BPT : 2 1/ Tìm x để phân thức : không âm 5 2x 2 2/ Tìm x biết 1 x 1 x 5 3/ Cho A = .Tìm giá trị của x để A dưong. x 8 4/ Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2-x) 5/ Tìm x sao cho giá trị biểu thức -3x nhỏ hơn giá trị biểu thức -7x + 5 6/ Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 4 – 7x không lớn hơn giá trị của biểu thức 4x – 2 b ) Giá trị của biểu thức - 4x + 3 không vượt quá giá trị của biểu thức 5x – 7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1) Một người đi xe đap từ A đến B với vận tốc 12km/h.Khi từ B trở về A người ấy đi với vận tốc 9km/h. Vì thế thời gian về mất nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính quãng đường từ A đến B. 2 2). Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 30 . Tỉ số của hai số là . 3 3). Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 80 và hiệu của chúng là 30. 4). Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì dược 2 phân số mới bằng phân số . Tìm phân số ban đầu. 3 5). Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính dtích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch . 6). Số lượng dầu trong thùng thứ nhất gấp đôi số lượng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số lượng dầu trong hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu lúc đầu ở mỗi thùng. 7). Một người đi ôtô từ A đến B với vân tốc trung bình là 50km/h. Lúc về ôtô đi với vận tốc nhanh hơn lúc đi là 10km /h. Nên thời gian về ít hơn hơn thời gian đi là 1giờ.Tính quãng đường AB. 8). Một ngưòi đi ôtô từ A đến B với vtốc dự định là 48 km/h. Nhưng sau khi đi được 1 giờ với vận tốc ấy, người đó nghỉ 10 phút và tiếp tục đi tiếp. Để đến B kịp thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính qđường AB. 32
33. 9). Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa bến A và bến B. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h. 10) Một người đi xe máy từ A đến B với quãng đường dài 270km. Cùng lúc đó 1 người thứ hai đi ô tô từ B về A với vận tốc trung bình nhanh hơn vtốc của người đi xe máy là 10km/h. Biết sau 3giờ thì hai xe gặp nhau . Tính vtốc mỗi xe. 11/ Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m .Chiều dài hơn chiều rộng 11m .Tính diện tích khu vườn. 12/ Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h. BÀI TẬP HÌNH HỌC : Bài 1: Cho ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: a) ADB AEC b) HE.HC = HD.HB c) H, M, K thẳng hàng. d) ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác HBCK là hình thoi ? Là hình chữ nhật. Bài 2: Cho ABC ( Â=900 ), AB = 12cm, AC = 16cm, tia phân giác của  cắt BC tại D. a) Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác ABD và ACD. Tính độ dài cạnh BC b) Tính độ dài BD, CD. c)Tính chiều cao AH của ABC Bài 3 : Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng  BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng  mp(ADQM) Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD. Đường vuông góc với DC cắt AC ở E . a) Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng . b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD c) Tính độ dài AD d) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE Bài 5 : Cho ABC vuông tại A có đường cao AH .Cho biết AB=15cm, AH=12cm a) Chứng minh AHB , CHA đồng dạng b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC . c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F sao cho CF=4cm.Chứng minh CE F vuông. Bài 6 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD b) Chứng minh AD2 = DH.DB d) Chứng minh :CE.CA=CF c) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH. Bài 7 : Cho ABC vuông ở A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH. a/. Tính BC, AH; b/. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H nên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN. c/. Chứng minh rằng A M.AB = AN.AC. Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc ADB và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N. Biết AB = 8cm, AD = 6cm. a/. Tính độ dài các đoạn BD, BM; b/. Chứng minh MN // AC; c/. Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó. Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm của AB.Tia DE cắt AC ở F cắt CB ở G. a/. Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF; b/. Chứng minh rằng: FD2 = FE.FG. Bài 10 : Cho  ABC vuông ở A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 27 cm ; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 36 cm . a/ Chứng minh  ABC đồng dạng  ADE 33
34. b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE . c/ Chứng minh DE // BC. d/ Chứng minh EB  BC . Bài 11 : Cho  ABC ( AB 5x + 4 b/Chứng minh rằng : 2x2 +4x +3 > 0 với mọi x Bài 3 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đàu . Bài 4: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó . 34
35. Bài 5 : Cho ABC có AB=12cm , AC= 15cm , BC = 16cm . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =3cm . Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N , cắt trung tuyến AI tại K . a/ Tính độ dài MN b/ Chứng minh K là trung điểm của MN c/ Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP= 8cm . Nối PI cắt AC tại Q chứng minh QIC đồng dạng với AMN ĐỀ SỐ 3 A/Lý thuyết: (2 điểm) Câu 1: (1 điểm) Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn. Cho ví dụ. Câu 2: (1 điểm) Viết công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a. Áp dụng: Tính thể tích hình lập phương với a = 15 cm B/ Bài toán: (8 điểm) Bài 1: (1.75đ) Giải các phương trình sau: a/ x – 3 = 18 b/ x(2x – 1) = 0 x 1 x 2 c/ 2 x x 1 Bài 2: (1.5đ) a/ Giải bất phương trình sau: – 4 + 2x < 0. Hãy biểu diễn tập nghiệm trên trục số x 5 b/ Cho A = .Tìm giá trị của x để A dưong. x 8 Bài 3: (1.25đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một đoàn tàu đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về đoàn tàu đó đi với vận tốc 35 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 12 phút. Tính quãng đưòng AB. Bài 4: (3.5đ) Cho tam giác ABC, có Â = 900, BD là trung tuyến. DM là phân giác của góc ADB, DN là phân giác của góc BDC (M AB, N BC). a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = 5. b/ Chứng minh MN // AC c/ Tinh tỉ số diện tích của tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC. ĐỀ SỐ 4 x x 2x Bài 1 Giải phương trình: 2(x 3) 2x 2 (x 1)(x 3) Bài 2 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình 12km/h. Lúc trở về, người đó đi bằng xe máy với vận tốc trung bình là 40km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 3 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB. Bài 3 Cho tứ giác ABCD có AC BD, gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. ĐỀ SỐ 5 1 1 x 4 Bài 1 Cho biểu thức A=æ ÷ö: - với x≠1, x≠-1, x≠4 ç - ÷ 2 èç x +1 x-1ø÷ x -1 a. Rút gọn biểu thức A b. Tính A khi x=6 Câu 2 Hai nhóm công nhân đóng gạch xây dựng, mỗi giờ nhóm thứ I đóng được nhiều hơn nhóm thứ II là 10 viên gạch. Sau 3 giờ làm việc tổng số gạch hai nhóm đóng được là 930 viên. Hỏi mỗi nhóm trong một giờ đóng được bao nhiêu viên gạch? Câu 3 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD và BC, đáy lớn CD gấp đôi dáy nhỏ AB. a) Tính các góc của hình thang. b) Đáy lớn DC = 20 cm. Tính chu vi hình thang. 35
36. c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh OC = 2OA ĐỀ SỐ 6 2x 1 x 1 Câu 1: Giải Bất phương trình: 1 3 2 Câu 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B . Biết vận tốc dòng chảy của nước là 2 km/h. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Chứng minh: a) ∆AHC ~ ∆BAC b) ∆AHC ~ ∆BHA ĐỀ SỐ 7 x2 6 3 Câu 1: Giải phương trình: x x 2 Câu 2: Tìm số học sinh của lớp 8A biết rằng học kì I số học sinh giỏi bằng 1/10 số học sinh cả lớp. Sang học kì II có thêm 2 ban phấn đấu trở thành học sinh giỏi nửa, do đó số học sinh giỏi bằng 15% số học sinh cả lớp. Bài 3. :(4 điểm). Trên 1 cạnh của 1 góc có đỉnh A đặt đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm. Trên cạnh thứ 2 của góc đó đặt các đoạn thẳng AD = 4cm, AF = 6cm. a. Chứng minh rằng AEF ADC. b.Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác IDF và IEC Câu 4; Tính thể tích hình chóp đều bên, A biết đường cao AO = 12cm, BC = 10cm B D O H C ĐỀ SỐ 8 5 3 Câu 1: Giải phương trình 0 2x 4 x 2 Câu 2: Một đội công nhân dự định mỗi ngày đắp 45 m đường. Khi thực hiện mỗi ngày đội đắp được 55 m vì vậy đội không những đã đắp xong đoạn đường đã định trước thời hạn 1 ngày mà còn đắp thêm được 25 m nữa. Hỏi đoạn đường mà đội dự định đắp dài bao nhiêu mét? 1 Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có AB = CD. Cho AB = 6 cm; BC = 5 cm. 2 a)Tính chu vi hình thang b)Tính đường cao AH và diện tích hình thang. c)Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua O và song song với đáy hình thang cắt BC tại M. Tính BM. AC BD d)Chứng minh 3 OC OD Ngµy so¹n Ngµy gi¶ng: Buæi 1 36
37. ®Þnh lý ta lÐt trong tam gi¸c I- Môc tiªu - Cñng cè vµ kh¾c s©u ®Þnh lÝ ®¶o vµ hÖ qu¶ cña ®Þnh lý TalÐt - RÌn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho HS - RÌn tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c cho HS II- ChuÈn bÞ GV: B¶ng phô, th­íc HS: Th­íc; ¤n l¹i ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ TalÐt, hÖ qu¶. III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph­¬ng ph¸p Bài 1: Cho đoạn thẳng MN lấy P sao cho MP 2 MP NP . TÝnh vµ Np 5 MN MN Bµi 2: A Trªn c¹nh AB cña tam gi¸c ABC lÊy D. H¹ K BH, DK vu«ng gãc víi AC. VÏ DD’//BC. H DK DD' Chøng minh BH BC D' D B C Bµi 3: A Cho tam gi¸c ABC . Trªn tia ®èi cña tia Ba AB 4 lÊy M sao cho . VÏMN//BC (N 4 BM 3 thuéc AC). B C a. BiÕt MN=2,7. TÝnh BC 3 b. BiÕt BC=1,7. TÝnh MN M N 37
38. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB=9cm,AC=12cm. A Trªn AB lÊy R sao cho AR=3cm. Trªn AC 3 8 R N lÊy N sao cho NC=8cm. J a. Chøng minh: NR//BC b. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ; AI c¾t NR t¹i RJ J. TÝnh B I C NR Bµi 5: Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá AB. A B ED 1 Trªn DC lÊy E sao cho Gäi M lµ CD 2 N M giao ®iÓm cña AE vµ BD ; N lµ giao ®iÓm cña BE vµ AC. a. Chøng minh: ME.AB MA.EC vµ D E C ME.NB NE.MA b. Chøng minh: MN//DC Cñng cè ? §Þnh lý ta lÐt ®­îc dïng ®Ó gi¶i d¹ng bµi tËp nµo ? ? HÖ qñ cña®Þnh lý ta lÐt ®­îc dïng ®Ó gi¶i d¹ng bµi tËp nµo ? ? §Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý ta lÐt ®­îc dïng ®Ó gi¶i d¹ng bµi tËp nµo ? H­íng dÉn häc ë nhµ Xem l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng: Buæi 2 tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c I- Môc tiªu - Cñng cè cho HS vÒ ®Þnh lý TalÐt, hÖ qu¶ cña ®Þnh lý TalÐt, ®Þnh lý ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c. - ¸p dông tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c ®Ó lµm bµi tËp tÝnh to¸n. 38
39. - RÌn cho HS kü n¨ng vËn dông ®Þnh lý vµo viÖc gi¶i bµi tËp ®Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng, chøng minh hai ®­êng th¼ng song song. II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, th­íc, com pa HS: Th­íc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph­¬ng ph¸p Bµi 1: A Cho tam g¸c ABC cã trung tuyÕn AM. VÏ ph©n gi¸c ME cña gãc AMC ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ME t¹i M c¾t AB t¹i D E D . Chøng minh DE//BC B M C Bµi 2: A Cho tam gi¸c ABC cã BE, CF lµ c¸c ®­êng ph©n gi¸c E Chøng minh r»g: F AB.EC.FA = AC.FB.EA B C Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC. §­êng ph©n gi¸c M ngoµi gãc B c¾t c¹nh Ac t¹i M. Chøng MA BA minh: A MC BC X C B H Bµi 4 :Cho tam gi¸c ABC. §­êng cao AH. Trªn AM BH c¹nh AC lÊy M sao cho AC BC a) Chøng minh : HM//AB BH 1 b) BiÕt HM=4 vµ BC 3 39
40. c) Chøng minh trung tuyÕn CD cña tam a gi¸c ABC còng lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c CMH m HD : d 4 b h c Bµi 5 : Cho h×nh thang ABCD cã ®­êng trung b×nh MN ( M thuéc AD) , hai c¹nh bªn DA vµ i CB kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. BiÕt AB<CD. Chøng minh a b a) IM.NC = IN.AM 2MN IB b) 1 m n DC IC HD : d c im MA a) im.nc = in.ma hay in NC im MA . Dùa vµo ®Þnh lý Ta lÐt víi tam gi¸c b) HD : in NB 2MN IB AB CD IC IB 1 IMN DC IC DC IC AB CD IC IB AB CD CD 2MN IB b) 1 DC IC IC IB IC DC IC Gi¶i : Theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lý ta lÐt ta cã : IB AB CD AB AB CD IC CD IC IB IB IC CD 2MN 2MN IB IC IB Hay 1 IC IB IC CD IC IC H­íng dÉn häc ë nhµ Xem l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng:. Buæi 3 Tam gi¸c ®ång d¹ng I- Môc tiªu - Cñng cè cho HS vÒ ®inghj nghÜa , tÝnh chÊt, vÒ tam gi¸c ®ång d¹ng - ¸p dông c¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña 2 tam gi¸c ®Ó lµm bµi tËp tÝnh to¸n. 40
41. - RÌn cho HS kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc ý vµo viÖc gi¶i bµi tËp ®Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng, chøng minh hai ®­êng th¼ng song song II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, th­íc, com pa HS: Th­íc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph­¬ng ph¸p Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam a' a gi¸c A’B’C’ theo tû sè k. BiÕt chu vi tam gi¸c ABC b»ng 12cm. a. Chøng minh: AB AC BC b c k A' B ' A'C ' B 'C ' b. TÝnh chu vi tam gi¸c A’B’C’ víi 2 k b' c' 3 Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam a' a gi¸c A’B’C’ theo tû sè k . BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 24 cm2. S a. Chøng minh: ABC k2 SA'B'C' b c b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c A’B’C’ 2 víi k 3 b' c' Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i Acã ®­êng b cao AH. Chøng minh: h a. ABC ®ång d¹ng víi CAB AB BC b. AH AC a c Bµi 4: Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A, ®¸y nhá AD , ®­êng chÐo BD vu«ng gãc a víi c¹nh bªn BC. Chøng minh: b a. A BD B CD b. Tam gi¸c ABD ®ång d¹ng tam gi¸c BCD c. BD2 = AB.DC d c 41
42. Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AM ; BI c¾t AC t¹i E. Gäi F lµ trung ®iÓm cña BE. a) Chøng minh: + Tam gi¸c BFM ®ång d¹ng víi tam gi¸c BEC; + Tam gi¸c IFM ®ång d¹ng víi tam gi¸c IEA AE b) TÝnh tû sè AC Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã B>900. VÏ CE vu«ng gãc víi AB, VÏ CF vu«ng gãc víi AD, VÏ BI vu«ng gãc víi AC. a) Chøng minh: + Tam gi¸c ABI ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACE; + Tam gi¸cEAFC ®ång d¹ng víi tam gi¸c CIB ai dc af ac b) ; ae ac ci ad a Cho tam gi¸c ABC cã B 2c . Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy K sao cho BK = BC. Chøng minh : a) Tam gi¸c ABc ®ång d¹ng víi tam gi¸c AKC b) AC2 AB.AK b c k H­íng dÉn häc ë nhµ Xem l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp 42
43. Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng:. Buæi 4 Tam gi¸c ®ång d¹ng I- Môc tiªu - Cñng cè cho HS vÒ ®inghj nghÜa , tÝnh chÊt, vÒ tam gi¸c ®ång d¹ng - ¸p dông c¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña 2 tam gi¸c ®Ó lµm bµi tËp tÝnh to¸n. - RÌn cho HS kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc ý vµo viÖc gi¶i bµi tËp ®Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng, chøng minh hai ®­êng th¼ng song song II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, th­íc, com pa HS: Th­íc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph­¬ng ph¸p Bµi 1 : Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Tõ A vÏ ®­êng th¼ng c¾t ®­êng chÐo BD t¹i I, c¾t c¹nh BG t¹i J, c¾t phÇn kÐo dµi c¹nh DC t¹i K. Chøng minh a) BI.AI = DI.IJ ; DI.AB = DK.BI AB KC b) AJ KJ Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã 2 c¹nh bªn AD vµ Bc c¾t nhau t¹i M. §­êng th¼ng qua M c¾t c¹nh ®¸y Dc vµ AB t¹i E vµ F. DC DE EC Chøng minh: AB AF FB Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i Acã ®­êng cao AH. Chøng minh: a. AHB ®ång d¹ng víi CHA AB HB b. AC HC 43
44. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H, träng t©m G. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña AC, O lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng trung trùc cña tam gi¸c. Chøng minh: a. Tam gi¸c AHB ®ång d¹ng víi OM tam gi¸c OMN vµ tÝnh tû sè AH GM MN b. Chøng minh: GA AB c. Tam gi¸c AHG ®ång d¹ng víi tam gi¸c MOG Bµi 5: Cho h×nh thang ABCD cã ®­êng a b chÐo BD vu«ng gãc víi c¹nh bªn BC, BiÕt BD2= AB.DC. Chøng Minh ABCD lµ h×nh thang vu«ng HD: BD2= AB.DC BD DC  d c AB BD L¹i cã: A BD B DC => ABD BDC(g.g) => A D BC(900 ) H­íng dÉn häc ë nhµ Xem l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp 44
45. Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng:. Buæi 5 Tam gi¸c ®ång d¹ng I- Môc tiªu - Cñng cè cho HS vÒ ®inghj nghÜa , tÝnh chÊt, vÒ tam gi¸c ®ång d¹ng - ¸p dông c¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña 2 tam gi¸c ®Ó lµm bµi tËp tÝnh to¸n. - RÌn cho HS kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc ý vµo viÖc gi¶i bµi tËp ®Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng, chøng minh hai ®­êng th¼ng song song II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, th­íc, com pa HS: Th­íc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph­¬ng ph¸p Bµi 1 : Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Tõ A vÏ ®­êng th¼ng c¾t ®­êng chÐo BD t¹i I, c¾t c¹nh BC t¹i J, c¾t phÇn kÐo dµi c¹nh DC t¹i K. Chøng minh a)AI2 = KI.KJ b) BJ.DK=BA.DA HD : AI2 = KI.KJ Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã 2 c¹nh bªn AD vµ Bc c¾t nhau t¹i M. §­êng th¼ng qua M c¾t c¹nh ®¸y Dc vµ AB t¹i E vµ F. DC DE EC Chøng minh: AB AF FB Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i Acã ®­êng cao AH. Chøng minh: c. AHB ®ång d¹ng víi CHA AB HB d. AC HC Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H, träng t©m G. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña AC, O lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng trung trùc cña tam gi¸c. Chøng minh: a) Tam gi¸c AHB ®ång d¹ng víi OM tam gi¸c OMN vµ tÝnh tû sè AH GM MN b) Chøng minh: GA AB c) Tam gi¸c AHG ®ång d¹ng víi tam gi¸c MOG 45
46. Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC. Trªn tia ®èi a cña tia BA lÊy K sao cho BK=BC. BiÕt AC2= AB.AK. Chøng minh a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACK b) B 2C b c k H­íng dÉn häc ë nhµ Xem l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp TOÁN 8 I/ ĐẠI SỐ: A/ Lý thuyết: 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. 2. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. 3. Hai quy tắc biến đổi phương trình. 4. Một phương trình bậc nhất một ẩn có mấy nghiệm. 5. Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý điều gì? Nêu các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu? 6. Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình? 7. Nêu quy tắc cộng, quy tắc nhân đối với bất đẳng thức. 8. Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai bất phương trình tương đương? Cho ví dụ 9. Phát biểu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số? 10. Phát biểu quy tắc nhân để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số. B/ Bài tập : 1. Giải các phương trình sau: a) 7x + 21 = 0 l) (2x - 1) 2 – (2x + 1)2 = 4(x - 3) b) -2x + 14 = 0 m) (2x - 1)(x - 2) = 0 c) 6534 = − x n) (3,5x – 0,7)(x – 0,5) = 0 d) 3x + 1 = 7x – 11 o) 3x(2x + 5) – 5(2x + 5) = 0 e) 15 – 8x = 9 – 5x p) (x - 3)(2x - 5)(3x + 9) =0 f) 1,2 – (x – 0,8) = -2 (0,9 + x) q) ) g) 3,6 – 0,5 (2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) k) (x +2) (3 – 4x) + (x2 + 4x + 4) = 0 i). 2,5(x 3) 3(x 4) 9 (5x 15,3) − + − 2. Giải các bài toán sau đây bằng cách lập phương trình: Web side xem điểm: Trang1Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 Baøi 1: Moät oâ toâ ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác trung bình laø 15km/h. Luùc veà ngöôøi ñoù chæ ñi vôùi vaän toác trung bình laø 46
47. 12 km/h neân thôøi gian veà nhieàu hôn thôøi gian ñi laø 45 phuùt. Tính ñoä daøi quaõng ñöôøng AB. Baøi 2: Moät oâ toâ ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác 50 km/h vaø sau ñoù quay trôû veà töø B veà A vôùi vaän toác 40 km/h. Caû ñi vaø veà maát 5h 24’. Tính chieàu daøi quaõng ñöôøng AB. Baøi 3: Moät oâ toâ döï ñònh ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác trung bình laø 40 km/h. Luùc ñaàu oâ toâ ñi vôùi vaän toác ñoù, khi coøn 60 km nöõa thì ñöôïc moät nöûa quaõng ñöôøng AB, oâ toâ taêng theâm vaän toác 10 km/h treân quaõng ñöôøng coøn laïi, do ñoù ñeán B sôùm hôn 1 giôø so vôùi döï ñònh. Tính quaõng ñöôøng AB. ( Goïi chieàu daøi quaõng ñöôøng AB laø x (km) (x > 120)) Baøi 4 : Luùc 7 giôø saùng moät chieác cano xuoâi doøng töø beán A ñeán beán B, caùch nhau 36 km, roài ngay laäp töùc quay trôû veà ñeán beán A luùc 11 giôø 30 phuùt. Tính vaän toác cuûa cano khi xuoâi doøng, bieát raèng vaän toác nöôùc chaûy laø 6km/h. Baøi 5: Moät ñoäi thôï moû theo keá hoaïch moãi ngaøy phaûi khai thaùc 50m3 than. Do caûi tieán kyõ thuaät, moãi ngaøy ñoäi ñaõ khai thaùc ñöôïc 57m3 than, vì theá ñoäi ñaõ hoaøn thaønh tröôùc keá hoaïch 1 ngaøy vaø coøn vöôït möùc döï ñònh 13m3 . Tính soá m3 than ñoäi phaûi khai thaùc theo keá hoaïch. Baøi 6: Thuøng thöù nhaát chöùa 60 goùi keïo, thuøng thöù hai chöùa 80 goùi keïo. Ngöôøi ta laáy ra töø thuøng thöù hai soá goùi keïo nhieàu gaáp 3 laàn soá goùi keïo laáy ra töø thuøng thöù nhaát. Hoûi coù bao nhieâu goùi keïo laáy ra töø thuøng thöù nhaát, bieát raèng soá goùi keïo coøn laïi trong thuøng thöù nhaát nhieàu gaáp 2 laàn soá goùi keïo coøn laïi trong thuøng thöù hai. Baøi 7: Moät lôùp hoïc coù 53 hoïc sinh. Neáu theâm vaøo 3 hoïc sinh nam vaø bôùt ñi 4 hoïc sinh nöõ thì soá hoïc sinh nöõ baèng soá hoïc sinh nam. Tính soá hoïc sinh nam vaø nöõ cuûa lôùp. (ÑS: 23 nam vaø 30 nöõ) Baøi 8: Tìm hai soá bieát toång cuûa chuùng laø 100 vaø neáu taêng soá thöù nhaát leân 2 laàn vaø coäng theâm vaøo soá thöù hai 5 ñôn vò thì soá thöù nhaát gaáp 5 laàn soá thöù hai. Baøi 9: Moät soá coù hai chöõ soá trong ñoù chöõ soá haøng chuïc gaáp 3 laàn chöõ soá haøng ñôn vò. Neáu ñoåi choã hai chöõ soá cho nhau thì ñöôïc moät soá nhoû hôn soá ñaõ cho laø 18 ñôn vò. Tìm soá ñoù. Baøi 10: Moät khu vöôøn HCN coù chu vi laø 82m, chieàu daøi hôn chieàu roäng laø 11m. Tính dieän tích khu vöôøn ñoù. Bài 11: a) Khi mới nhận lớp 8A, cô chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau. Nhưng sau đó lớp nhận thêm 4 học sinh nữa. Do đó cô chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành 4 tổ. Hỏi lớp 8A hiện có bao nhiêu học sinh . Biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn 2 học sinh. b) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 5h30phút . Tính quãng đường AB ? c) Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó 3 đơn vị . Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được 1 phân số mới bằng 2 1 . Tìm phân số ban đầu ? d) Hiện nay tuổi của ba gấp 3 lần tuổi con . Sau mười năm nữa thì tuổi cha chỉ còn gấp 2 lần tuổi con . Tính tuổi con hiện nay ? e) Đầu năm , giá xe máy tăng 5% nhưng cuối năm lại giảm 5 % . Vì vậy giá một xe máy vào cuối nămlại rẻ hơn trước lúc tăng giá là 50000đồng. Hỏi giá một xe máy trước lúc tăng giá là bao nhiêu? Web side xem điểm: Trang2Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 47
48. 3. Giải các bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: Bài 1: a) 2x – 7 ≥0 d) 2 ≤ 3 3 2 + x b) -3x – 9 > 0 f) 2(3x – 1) x Q b) 2 2x 1 3x 2x 3x 1 ≤ x Q 7/ Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 1 – 2x không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3 b) Giá trị của biểu thức 2 – 5x nhỏ hơn giá trị của biểu thức 3(2 - x) 8/ Giải phương trình: a) 2 3 5 − = + x x b) 6 3 + = − x x c). 3,5x 1,5x 10; = + d). 5 x 4x; − = II/ HÌNH HỌC: A/ Lý thuyết: 1. Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’. 2. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận của định lí Talét trong tam giác. 3. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận của định lí Talét đảo 4. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận về hệ quả của định lí Talét . 5. Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam giác (vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận) 6. Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng. 7. Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh (hoặc kéo dài hai cạnh) còn lại. 8. Phát biểu các định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác. 9. Phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông (trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông) Web side xem điểm: Trang3Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 A . TRAÉC NGHIEÄM: Haõy choïn caâu traû lôøi ñuùng nhaát trong caùc caâu sau: Caâu 1: Xem hình veõ cho bieát DE // BC, AB = 40mm, AC = 50mm, BC = 24mm, AD = 18mm, x=AE, y=DE. Giaù trò cuûa x, y laø: A. x = 22,5mm ; y = 10,8mm B. x = 20mm ; y = 10mm C. x = 20,5mm ; y = 10,5mm D. x = 19,5mm ; y=10,25mm Caâu 2: Cho ∆ABC, ∆A’B’C’ vôùi tæ soá ñoàng daïng laø , 2 ; 3 vaø ∆A’B’C ’, ∆A"B"C" vôùi tæ soá ñoàng daïng laø : 3 ; 5. Vaäy ∆ A"B"C" , ∆ABC theo tæ soá laø bao nhieâu? A. 2 ; 5 B. 10 ; 9 C. 9 ; 10 D. Moät tæ soá khaùc. Caâu 3: Xem hình veõ, cho bieát AB = 25mm, AC = 40mm, BD = 15mm vaø AD laø phaân giaùc cuûa goùc BAD. Vaäy x =? A. x = 18mm B. x = 24mm 48
49. C. x = 28mm D. x = 32mm Caâu 5: Hai tam giaùc ñoàng daïng coù tæ soá ñoàng daïng laø 3, toång ñoä daøi hai caïnh töông öùng laø 24cm. Vaäy ñoä daøi hai caïnh ñoù laø: A. 18cm; 6cm B. 14cm; 10cm C.16cm; 8cm D.Moät keát quaû khaùc. Caâu 6: Boùng cuûa moät caây treân maët ñaát coù ñoä daøi 8m, cuøng thôøi ñieåm ñoù moät coïc saét 2m vuoâng goùc vôùi maët ñaát coù boùng daøi 0,4m. Vaäy chieàu cao cuûa caây laø bao nhieâu? A. 30m ; B. 36m ; C. 32m ; D. 40m Caâu 7: Hai tam giaùc vuoâng caân, tam giaùc thöù nhaát coù ñoä daøi caïnh goùc vuoâng laø 8cm, tæ soá chu vi cuûa tam giaùc thöù nhaát vaø tam giaùc thöù hai laø 1 ; 3 . Vaäy ñoä daøi caïnh huyeàn cuûa tam giaùc thöù hai laø: A. 24 2 cm B.12 2 cm C. 8 ; 2 ; 3 ; cm D.14,2 cm Caâu 8: Hai tam giaùc vuoâng caân, ñoä daøi caïnh huyeàn cuûa tam giaùc thöù nhaát gaáp 3 laàn ñoä daøi caïnh huyeàn cuûa tam giaùc thöù hai. Goïi S1, S2 laàn löôït laø dieän tích tam giaùc tam giaùc thöù nhaát vaø tam giaùc thöù hai, caâu naøo sau ñaây ñuùng? A. S1 = 3S2 B. S2 = 3S1 C. S1 = 9S2 D. S2= 9S1 Caâu 9: Cho tam giaùc ñeàu ABC, ñoä daøi caïnh laø 12cm vaø tam giaùc ñeàu A’B’C’. Goïi S1, S2 laø dieän tích ∆ABC vaø ∆ A’B’C’. Cho bieát S1 = 9S2. Vaäy ñoä daøi caïnh tam giaùc A’B’C’ laø: A. 12 ; 9 B. 4cm ; C.36cm ; D.108cm Caâu 10: Tæ soá hai caïnh töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng laø 1 ; 2 . Chu vi tam giaùc thöù nhaát laø 16cm, thì chu vi tam giaùc thöù hai laø:A.8cm ; B.16cm ; C.32cm ; D. Ñaùp soá khaùc Caâu 11: Tæ soá hai caïnh töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng laø 1 ; 3 .Dieän tích tam giaùc thöù nhaát laø 20cm2 , thì dieän tích tam giaùc thöù hai laø: A. 40cm2 ; B. 60cm2 ; C. 90cm2 ; D. Ñaùp soá khaùc Caâu 12: Coâng thöùc Sxq = 2p.h, trong ñoù p laø nöûa chu vi ñaùy, h laø chieàu cao laø coâng thöùc tính dtích xung quanh cuûa:Web side xem điểm: Trang4Trường THCS Nguyễn Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 A. Hình laêng truï ñöùng ; B. Hình hoäp chöõ nhaät C. Hình laäp phöông; D. Caû 3 caâu ñeàu ñuùng. Caâu 13: Moät hình laäp phöông coù caïnh laø 3cm. Vaäy theå tích cuûa hình laäp phöông laø: A. 9cm2 B. 18cm2 C. 27cm2 D. Moät keát quaû khaùc. Caâu 14: Cho hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’, ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 6cm,BC =10cm,AA’= 4cm.Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình laêng truï ñöùng laø: A. 96cm2 B. 120cm2 C. 144cm2 D. 192cm2 Caâu 15: Moät hình laäp phöông coù dieän tích toaøn phaàn laø 600mm2 . Theå tích hình laäp phöông laø bao nhieâu? A. 100mm3 B. 1000cm3 C. 1200m3 D. 3600cm3 B/ Bài tập: Bài 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC. Bài 2/ Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N. Biết AM = 3cm, MB = 2cm, AN = 7,5cm, NC = 5cm. a) Chứng minh MN // BC. 49