›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 12: Tỉ số thể tích

pdf 89 trang thaodu 4050
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 12: Tỉ số thể tích", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_trac_nghiem_hinh_hoc_lop_12_ti_so_the_tich.pdf

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 12: Tỉ số thể tích

  1. TỈ SỐ THỂ TÍCH A. BÀI TẬP Câu 1. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và BCD =120 ° . SA⊥ ( ABCD) và SA= a . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S. AMNP . a3 3 a3 3 23a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 42 21 14 Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC,, SB SD lần lượt tại BCD′′′,, . Biết rằng 32SB′ = SB . Gọi VV12, lần lượt là thể tích hai khối chóp S. ABCD′′′′ V và S. ABCD . Tỉ số 1 là V2 V 4 V 1 V 2 V 2 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 9 V2 3 V2 3 V2 9 Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có ASB= ASC =BSC =60 ° và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V của khối chóp. 72 72 A. V = 42. B. V = . C. V = . D. V = 72. 2 3 Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng (P) chứa V AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B′ và D′ . Tỷ số S.' AB MD 'là VS. ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Câu 5.Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp N. ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 3 6 4 2 Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′′′ B C có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A′. AB ′′ C . 1 1 1 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 3 Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 . Biết rằng mặt phẳng ( ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó 2 bằng A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 8.Cho lăng trụ ABC. A′′′ B C có thể tích bằng 12 3a3 . Thể tích khối chóp A′. ABC là. 3a3 A. Va= 432 . B. Va= 233 . C. Va= 433 . D. V = . 4 Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, biết SC= a 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SD , CD , BC . Tính thể tích khối chóp.
  2. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 8 12 3 Câu 10. Cho hình chóp S. ABC có A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp S. ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp SABC. ′′ . A. V = 3 B. V =12 C. V = 8 D. V = 6 Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh V ′ của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số . V V ′ 1 V ′ 5 V ′ 1 V ′ 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V 4 V 8 V 2 V 3 Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 45°. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S. AHIK là: a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 12 18 36 Câu 13. Cho khối chóp S. ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S. MAB là 2.a3 Thể tích khối chóp S. ABC bằng. 3 3 3 C. a . 1 3 A. 2a . B. 4a .P P P P D. a . 4 2 Câu 14. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm MN, sao cho SM=3, MB SN = NC . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SD tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp S. MNP theo V . V V 9V 7V A. . B. . C. . D. . 8 4 80 40 Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp A. MCD . A. V 4 . B. V 6. C. V 3. D. V 5 . Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp N. ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3 Câu 17. Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA⊥ ( ABC) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba DM113 DN DP cạnh DA , DB , DC lấy điểm MNP, , mà =,, = = . Thể tích V của tứ diện DA234 DB DC MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 1 Câu 18. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A′ sao cho SA′ = SA. Mặt 3 phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại B ' , C′ , D′ . Tính thể tích khối chóp SABCD. ′′′′. V V V V A. . B. . C. . D. . 81 27 3 9
  3. Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA=⊥∆1; DA( ABC). ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh DM113 DN DP DA,, DB DC lấy 3 điểm MNP,, sao cho =;;. = = Thể tích của tứ diện DA234 DB DC MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Câu 20. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích là a3 . Gọi M, N ,, PQ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Thể tích khối chóp S. MNPQ là: a3 a3 a2 a3 A. B. . C. . D. 16 8 4 6 Câu 21. Cho khối chóp S. ABC . Gọi A′, B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S. ABC′′ và S. ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3 Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành. M, N ,, PQ lần lượt là trung điểm của SA,,, SB SC SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S. MNPQ và khối chóp S. ABCD là. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. 8 . 4 16 2 Câu 23. Cho hình chóp S. ABCD có SA⊥ ( ABCD) , ABCD là hình chữ nhật. SA= AD = 2 a . Góc giữa (SBC) và mặt đáy ( ABCD) là 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp S. AGD là 16a3 32a3 3 83a3 43a3 A. . B. . C. . D. . 93 27 27 9 Câu 24. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N ,, PQ lần lượt thuộc SA,,, SB SC SD thỏa: SA=2 SM , SB = 3, SN SC = 4 SP , SD= 5 SQ . Thể tích khối chóp S. MNPQ là. 4 6 2 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 25. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB =60 ° , BC= a , SA= a 3 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3 2 Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB′′ C D và khối ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 8 Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ
  4. S D C B A Biết SA = 6 , SB = 3 , SC = 4 , SD = 2 và ASB= BSC = CSD = DSA = BSD =60 ° . Thể tích khối đa diện S. ABCD là A. 10 2 . B. 62. C. 52. D. 30 2 . Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi IJK,, lần lượt là trung điểm các cạnh MN,, MP MQ . Tính tỉ số thể tích V MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 8 Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA= a 2 . Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( AB′′ D ) cắt SC tại C′ . Thể tích khối chóp S AB′′′ C D là: 23a3 23a3 22a3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 9 3 9 Câu 30. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) bằng 45°. Gọi VV12; lần lượt là thể tích khối chóp S. AHK và S. ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC và SD . V Tính độ dài đường cao của khối chóp S. ABCD và tỉ số k = 1 . V2 1 1 1 1 A. h=2; ak = . B. h=2; ak = . C. h= ak; = . D. h= ak; = . 8 3 4 6 Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với OA,, OB OC vuông góc từng đôi một và OA= a, OB= 2, a OC= 3 a . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3a3 2a3 a3 A. B. a3 C. D. 4 3 4
  5. Câu 32. Cho khối chóp S. ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA ; SB′ = SB ; SC′ = SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp 3 4 2 V S. ABC và S. ABC′′′. Khi đó tỉ số là V ' 1 1 A. . B. 24 . C. . D. 12. 12 24 Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA= a 2 . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B′, D′ , C′ . Thể tích khối chóp S AB′′′ C D là: 23a3 23a3 22a3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 9 3 9 Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . 2017 4034 8068 2017 A. . B. . C. . D. . 27 81 27 9 Câu 35. Cho khối chóp S. ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp S. MBC và thể tích khối chóp S. ABC bằng. 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 6 2 4 Câu 36. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA= 2 a . Gọi BD′′; lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD . Mặt phẳng ( AB′′ D ) cắt cạnh SC tại C′ . Tính thể tích của khối chóp S. AB′′′ C D 16a3 a3 2a3 a3 A. . B. . C. D. . 45 2 4 3 Câu 37. Cho hình chóp S. ABC có ASB= CSB = 600 , ASC = 900 , SA= SB = a;3 SC = a .Thể tích V của khối chóp S. ABC là: a3 2 a3 6 a3 2 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 18 12 6 Câu 38. Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA⊥ ( ABC) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DM113 DN DP DA , DB , DC lấy điểm MNP, , mà =,, = = . Thể tích V của tứ diện DA234 DB DC MNPD bằng: 3 2 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . V = 12 12 96 D. 96 . Câu 39. Cho hình chóp S. ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp S. MNC biết thể tích khối chóp S. ABC bằng 8a3 . 3 3 3 3 A. VaSMNC = . B. VaSMNC = 2 . C. VaSMNC = 6 . D. VaSMNC = 4 . Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. ab2 cosα . B. ab2 sinα . C. ab2 cosα . D. ab2 sinα . 4 4 12 12
  6. V Câu 41. Cho hình chóp S. ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S. ABC . VS. MNC 1 1 A. ⋅ B. ⋅ C. 2 . D. 4 . 4 2 Câu 42.Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA , SB , SC , SD SA′′ SC 1 SB′′ SD 3 lần lượt lấy các điểm A′, B′,C′ và D′ sao cho = = và = = . Tính thể tích SA SC 3 SB SD 4 V của khối đa diện lồi SABCD′′′′. 3 A. V = . B. V = 9. C. V = 4 . D. V = 6 . 2 Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 1 7 1 7 A. . B. . C. . D. . 7 5 5 3 Câu 45. Cho khối chóp tam giác S. ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB , N là điểm nằm giữa AC sao cho AN= 2 NC . Gọi V1 là thể tích khối chóp S AMN Tính tỉ số V 1 . V V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 6 V 2 V 3 V 3 Câu 46. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích V . Các điểm A′, B′, C′ tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC . Thể tích khối chóp SABC. ′′′ bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 16 8 4 2 Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp A. MCD . A. V 5 . B. V 4 . C. V 6. D. V 3 . Câu 48. Cho khối chóp S. ABC có SA=9, SB = 4, SC = 8 và đôi một vuông góc. Các điểm ABC′′′,, thỏa       mãn SA= 2. SA′ , SB= 3. SB′ , SC= 4. SC′ . Thể tích khối chóp SABC. ′′′ là A. 2 . B. 24 . C. 16. D. 12. 1 Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA 3 . Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại BCD′′′,, . Khi đó thể tích chóp SABCD. ′′′′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 3 27 9 81 Câu 50. Cho hình chóp đều S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Tính thể tích khối chóp S. ABC . a3 6 a3 5 a3 3 a3 5 A. . B. . C. . D. . 12 8 24 24
  7. 1 Câu 51. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bằng V. Lấy A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA. Mặt 3 phẳng qua A′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại BCD′′′,,. Khi đó thể tích khối chóp SABCD. ′′′′ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 81 3 9 27 Câu 52. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho SM= 2 MD . Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S. ABNM . A. 9. B. 6 . C. 10. D. 12. Câu 53. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , 1 F . Biết VV= . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . S AEF4 S ABC a3 a3 2a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 8 5 12 Câu 54. Cho khối chóp tứ giác S. ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia V1 khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 (VV12< ) . Tính tỉ lệ . V2 16 8 16 8 A. . B. . C. . D. . 75 27 81 19 Câu 55. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , V SC , SD . Tỉ số S. MNPQ là VS. ABCD 1 1 3 1 A. B. . C. . D. . 6 16 8 8 Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018 V thể tích MIJK bằng: VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 8 3 Câu 57. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE= 2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3 Câu 58. Cho hình chóp A. BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC= a , CD= a 3 . Hai mặt ( ABD) và ( ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Biết AB= a , M , N lần lượt thuộc cạnh AC , AD sao cho AM= 2 MC , AN= ND . Thể tích khối chóp A. BMN là 23a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 18 9 Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB′′ C D và khối tứ diện ABCD .
  8. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6 Câu 60. Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ()ABC . mp() ABC qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt SB, SC lần lượt tại HK, . Gọi VV12, tương ứng là thể tích của các khối chóp S. AHK và S. ABC . Cho biết tam giác SAB vuông cân, tính V tỉ số 1 . V2 V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 3 V2 2 V2 3 V2 4 Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi IJK;; lần lượt là trung điểm của các cạnh MN;;. MP MQ Tỉ số thể tích V MIJK là VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 8 Câu 62. Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S. MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp S. ABCD là: 2 81V 27V 9 9V A. . B. . C. V . D. . 8 4 2 4 Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB , SD tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối S. ANMK và khối chóp S. ABCD . 2 1 1 3 A. B. C. D. 9 3 2 5 Câu 64. Cho khối chóp S. ABC . Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm ABC′′′, , sao cho 11 1 SA′′′= SA;; SB = SB SC = SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp SABC. ′′′ và S. ABC 23 4 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 24 2 12 6 Câu 65. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB= a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Thể tích của khối chóp S. ABM bằng: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12
  9. Câu 66. Cho hình chóp S. ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN= 2 NC . Tỉ V số S. AMN . VS. ABC 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 4 Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB= a;2 AC = a và AD= 3 a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD, CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . a3 3a3 2a3 A. V = . B. Va= 3 . C. V = . D. V = . 4 4 3 Câu 68. Cho khối chóp S. ABC có ASB= BSC = CSA =60 ° , SA= a, SB= 2, a SC= 4 a . Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a . 22a3 42a3 a3 2 82a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 69. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′, B′, C′ , D′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. ′′′′ và S. ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 16 2 12 Câu 70. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích khối chóp S. AMPN V . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 8 8 Câu 71. Cho tứ diện đều S. ABC . Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆SAB, ∆SBC , V ∆SCA. Tính SGG. 123 G . VS. ABC 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 48 27 36 81 Câu 72. Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC 3 3 3 V ′ và SABC. ′′′. Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 27 9 Câu 73. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là trung điểm của SB. P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP= 2. DP Mặt phẳng ( AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V. . 23 7 19 2 A. VV= . B. VV= . C. VV= . D. VV= . ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 5 Câu 74. Cho khối lăng trụ ABCD. A′′′′ B C D có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A′. BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 .
  10. Câu 75. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S. MNPQ và S. ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 16 Câu 76. Cho tứ diện S. ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ABC) bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 8 2 Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S. AEMF . a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 36 9 6 18 Câu 78. Cho hình chóp đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60°. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình V chóp đã cho. Tính tỉ số 1 . V2 V 32 V 32 V 1 V 9 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 9 V2 27 V2 2 V2 8 Câu 79. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là 3 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 8 8 V Câu 80. Cho hình chóp S. ABC có AB′′, lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB . Khi đó tỉ số S. ABC bằng VS. ABC′′ 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 4 . 2 4 Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB= a 3 , AC= 2 a và AD= 2 a . Gọi HK, lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC . Tính thể tích V của tứ diện AHKD . 23 43 23 43 A. Va 3 . B. Va 3 . C. Va 3 . D. Va 3 . 7 21 21 7 Câu 82. Cho hình chóp S. ABC có A , B lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích V SABC . VSA'' B C 1 1 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 2 4 Câu 83.Cho tứ diện ABCD. Gọi BC', ' lần lượt là trung điểm của AB,. AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'' C D và khối tứ diện ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6 Câu 84.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ABCD) , góc giữa hai mặt phẳng (SBD)và ( ABCD) bằng 60°. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp S. ADMN .
  11. a3 6 a3 6 36a3 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 24 16 8 Câu 85. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. ′′′′ và S. ABCD là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 16 Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC sao SM 1 SN cho = , = 2. Mặt phẳng (α ) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 MA 2 NB phần. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa A , V2 là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ V số 1 ? V2 V 5 V 5 V 6 V 4 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 4 V2 6 V2 5 V2 5 Câu 87.Cho hình chóp S, ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8 . Tính thể tích V của khối chóp S. OCD . A. V = 4 . B. V = 5. C. V = 2 . D. V = 3. Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp AGBC. . A. V = 6 . B. V = 5. C. V = 3. D. V = 4 . 3 Câu 89. Cho hình chóp S. ABC có VaS. ABC = 6 . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SB , SC sao cho SM= MA, SN= NB , SQ= 2 QC . Tính VS. MNQ : a3 A. . B. a3 . C. 2 a3 . D. 3a3 . 2 Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ diện GGGG1234 là: V V V V A. . B. . C. . D. . 27 18 4 12 Câu 91. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′, B′, C′ , D′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. ′′′′ và S. ABCD . 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 16 4 8 Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ số V thể tích MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 4 S. ABC SA= a SB= 32 a SC= 23 a ASB= BSC = CSA =60 ° Câu 93. Cho hình chóp có ; ; , . Trên S. ABC các cạnh SB ; SC lấy các điểm B′, C′ sao cho SA= SB'' = SC = a . Thể tích khối chóp là: a3 3 A. 23a3 . B. 33a3 . C. a3 3 . D. . 3
  12. Câu 94. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) SM và SA= a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho =kk,0 << 1. Khi đó giá trị của k để mặt phẳng SA (BMC) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là −+15 −+12 −+15 15+ A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 4 2 2 4 Câu 95. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB= a ; SA vuông góc mặt phẳng ( ABC) , Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABC) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của SC , thể tích khối chóp S. ABM là. a3 3 a3 3 a3 2 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 36 18 18 Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4 Câu 97. Cho hình chóp tam giác S. ABC có thể tích bằng 8 . Gọi MNP, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA . Thể tích của khối chóp S. MNP bằng: A. 6 . B. 3. C. 2 . D. 4 . V Câu 98. Cho khối chóp S., ABC gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tỉ số thể tích S. ABC bằng: VS. AGC 3 1 2 A. B. 3 C. D. 2 3 3 Câu 99. Cho hình chóp tam giác S. ABC có ASB= CSB =60 ° , ASC =90 ° , SA= SB =1, SC = 3. Gọi M là 1 điểm trên cạnh SC sao cho SM= SC . Tính thể tích V của khối chóp S. ABM . 3 2 3 6 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 36 36 4 1 Câu 100. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA 3 . Mặt phẳng qua A′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại BCD′′′,, . Khi đó thể tích khối chóp SABCD. ′′′′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 27 9 3 81 Câu 101. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) VSAPMQ qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và Q. Khi đó bằng VSABCD 2 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 9 3 2 9 Câu 102. Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm ABC′′′, , sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC 3 3 3 V ′ và SABC. ′′′. Khi đó tỉ số là V
  13. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 9 27 Câu 103. Cho hình chóp S. ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho SN= 3 NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC . 2 1 3 3 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 5 3 8 4 Câu 104.Cho khối chóp S. ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp S. MNP . 3 9 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = 4 . 2 2 Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ACD) , ( ABD), ( ABC) tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 8 54 27 16 Câu 106. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm V của SA và SB . Tỉ số thể tích S. CDMN là VS. CDAB 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Câu 107. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SQ các cạnh SA , SD . Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt = x SB 1 , V là thể tích của khối chóp S. MNQP , V là thể tích của khối chóp S. ABCD . Tìm x để VV= 1 1 2 . 1 −+1 41 −+1 33 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = 2 . 2 4 4 V Câu 108. Cho hình chóp SABC . Gọi MN; lần lượt là trung điểm SB ; SC . Khi đó SABC là bao nhiêu? VSAMN 1 1 1 A. . B. . C. . D. 4 . 4 8 16     Câu 109. Cho khối chóp S. ABC có M∈ SA , N∈ SB sao cho MA= −2 MS , NS= −2 NB . Mặt phẳng (α ) qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). 3 4 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 9 4 5 Câu 110. Cho hình chóp S. ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA= SB = SC = a . Gọi B′, C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp S. AB′′ C . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 48 6 12 Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp M. ABC bằng bao nhiêu? 3a3 a3 2a3 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 2 12 24
  14. Câu 112. Cho khối chóp tam giác S. ABC có thể tích bằng 6. Gọi MNP, , lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Thể tích V của khối chóp S. MNP là 3 9 A. V = 3 . B. V = . C. V = 4 . D. V = . 2 2 Câu 113. Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm ABC′′′, , sao cho 1 1 1 SA′ = SA, SB′ = SB , SC′ = SC . Gọi V và V′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC 3 3 3 V′ và S. ABC′′′. Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 27 Câu 114. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE= 2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 2 1 1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 12 6 Câu 115. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của V khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Câu 116. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng (MNI ) chia khối chóp S. ABCD 7 IA thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. Tính tỉ số k = ? 13 IS 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng V V 4V 4V A. . B. . C. . D. . 27 9 27 9 Câu 118. Cho tứ diện ABCD có AB= 3 a , AC= 2 a và AD= 4. a Tính theo a thể tích V của khối tứ diện ABCD biết BAC = CAD = DAB =60 ° . A. Va= 233 . B. Va= 623 . C. Va= 633 . D. Va= 223 . Câu 119. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE= 2. EC Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3 Câu 120. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A′ là điểm trên cạnh SA sao cho SA′ 3 = . Mặt phẳng (P) đi qua A′ và song song với ( ABCD) cắt SB , SC , SD lần lượt tại SA 4 B′, C′ , D′ . Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là: 37 27 4 27 A. . B. . C. . D. . 98 37 19 87
  15. Câu 121. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác SBD . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại BCD′′′,, . Khi đó thể tích khối chóp S. AB′′′ C D bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 9 27 3 18 Câu 122. Cho hình lập phương ABCD. A′′′′ B C D cạnh a. Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh A′′ B và BC . Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của phần V1 chứa đỉnh AV, là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số . 2 V 2 55 37 1 2 A. . B. . C. . D. . 89 48 2 3 Câu 123. Cho tứ diện ABCD có MNP,, lần lượt thuộc các cạnh AB,, BC CD sao cho MA= MB, NB = 2, NC PC = 2 PD . Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng? 19 26 13 25 A. B. C. D. 26 45 25 43 ′ Câu 124. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′, B′, C , D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi ′′′′ đó tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. và S. ABCD là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 8 16 4 Câu 125. Cho hình chóp S. ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA= a , SB= 2 a , SC= 3 a . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a . 2a3 a3 2a3 a3 A. . B. . C. . D. . 27 27 9 9 Câu 126. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Xét điểm M trên cạnh DC mà 4.DM= DC Thể tích tứ diện ABMD bằng. 2 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 8 48 Câu 127. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD// BC và AD= 2 BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. VVS ABCD= 2 S ABC . B. VVS ABCD= 4 S ABC . C. VVS ABCD= 6 S ABC . D. VVS ABCD= 3 S ABC . Câu 128. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 7 7 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 7 Câu 129. Cho khối chóp S. ABC ; M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SB; thể tích khối chóp S. MNC bằng a3 . Thể tích của khối chóp S. ABC bằng. A. a3 . B. 12a3 . C. 8a3 . D. 4a3 . Câu 130. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của V SA và SB . Tính tỉ số thể tích S. CDMN là: VS. CDAB
  16. 1 1 5 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 8
  17. TỈ SỐ THỂ TÍCH B. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và BCD =120 ° . SA⊥ ( ABCD) và SA= a . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S. AMNP . a3 3 a3 3 23a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 42 21 14 Hướng dẫn giải Chọn B S N M K P B C I O A D a 3 Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì AI = ; 2 13a OI= AI = . 36 1 a a 3 Tam giác ICD vuông I có ICD =60 ° , ID= BD = và IC= ID.cot 60 °= . 22 6 23a ⇒ O và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD ⇒AC =+= AI IC . 3 BD⊥ AC Khi đó  ⇒⊥BD( SAC) ⇒⊥BD SC BD⊥ SA Mà SC⊥ ( P) nên BD// ( P) (P) ∩=( SBD) MP Do đó  ⇒ MP// BD (SBD) ∩=( ABCD) BD BD⊥ ( SAC) Lại có  ⇒⊥BD AN ⇒⊥AN MP AN⊂ ( SAC) SN SA2 SN SA2 3 Tam giác SAC vuông tại A có SN. SC= SA2 ⇒= ⇒= = SC SC 2 SC SA22+ AC 7 a 3 Tam giác ABC có SD= a 2 ; BC= IC22 += IB và AC222= AB + BC 3 ⇒ tam giác ABC vuông tại B ⇒⊥BC( SAB) ; AM⊂ ( SAB) ⇒⊥BC AM
  18. SM 1 Lại có tam giác SAB vuông nên AM⊥ SB ⇒ M là trung điểm SB ⇒= SB 2 SP SM 1 Mà MP// BD nên = = SD SB 2 Mặt khác 22 3 aa31 0 3 a 3 S= SS∆∆ + =+=CB. CD .sin120 . Suy ra VV= = . ABCD ABC BCD 42 3 S. ABCD 9 VS. AMN SM SN 31 3 3 3 Khi đó = . =. = ⇒=VVS. ANP . Do đó VVS. ANM = . VS. ABC SB SC 7 2 14 28 28 3 VS. AMNP 3 a 3 Vậy = ⇒=VS. AMNP . VS. ABCD 14 42 Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC,, SB SD lần lượt tại BCD′′′,, . Biết rằng 32SB′ = SB . Gọi VV12, lần lượt là thể tích hai khối chóp V S. ABCD′′′′ và S. ABCD . Tỉ số 1 là V2 V 4 V 1 V 2 V 2 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 9 V2 3 V2 3 V2 9 Hướng dẫn giải Chọn B SB'2 SD '2 SC ' Ta có =⇒=, bây giờ cần tìm SB33 SD SC Tọa độ hóa với Ox≡ OC,, Oy ≡≡ OB OS Oz và đặc biệt hóa cho OA =1 A(−1;0;0) ⇒     C(1;0;0) , S( 0;0; a) ⇒= SC(1;0; − a) ⇒(P) :( x + 1) − az = 0 ⇔ x − az += 10. x = 0   Ta có B(0;1; 0) ⇒ SB =( 0;1; −⇒ a) SB : y =+ 1 t ( t ∈ ) .  z= − at 2 11 Cho giao với (P) ⇒ at +=1 0 ⇒ B ' 0;1 − ; . aa2
  19.  3 32−=  11  a2 S (0;0; 3 ) Ta có 3 0;1− ; −aa = 2( 0;1; −) ⇒⇒= a3 ⇒ aa2 3 −=−32aa (Pxz) :− 310 += a Cho SC giao với VS. AB '' C 21 1  =. = 1 3SC '1  VS. ABC 32 3 1 (PC) ⇒' ;0; ⇒=⇒ ⇒VV = . 22SC 2 V 12 1 S. AB ''' C D3 S . ABCD   S. AC '' D =. =   VS. ACD 23 3 Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có ASB= ASC =BSC =60 ° và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V của khối chóp. 72 72 A. V = 42. B. V = . C. V = . D. V = 72. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B S C' 3 7 2 A C B' B Lấy hai điểm B′, A′ lần lượt trên hai cạnh SB và SC sao cho SB′ = 2 , SC′ = 2. Ta có hình chóp S. AB′′ C là hình tứ diện đều có cạnh bằng 2 . 223 22 ⇒=V ′′ = . S. AB C 12 3 V SA SB′′ SC 22 4 Ta lại có: S. AB′′ C = = . = . VS. ABC SA SB SC 37 21 21V 21.2 2 72 ⇒=V S. AB′′ C = = . S. ABC 4 3.4 2 Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng (P) V chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B′ và D′ . Tỷ số S.' AB MD 'là VS. ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Hướng dẫn giải Chọn D
  20. Gọi O là tâm hình bình hành đáy. I= AO ∩ SO . Đường thẳng qua I và song song BD cắt SB, SD tại B′′,D . Ta có VSAB′′ MD= VV SAB ′ M + SAMD ′. VSAB′ M SB′ SM 21 1 1 = = = nên VVSAB′ M= SABCD . VSABC SB SC 32 3 6 VSAMD′ 1 1 1 Tương tự = nên VVSAMD′ = SABCD do đó VVSAB′′ MD= SABCD . VSACD 3 6 3 S M D' B' I A D O B C . Câu 5.Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp N. ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 3 6 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt BS= , d( S;( ABCD)) = h . Suy ra V= Bh . ABCD 3 1 Vì M là trung điểm của SA nên d( M;;( ABCD)) = d( S( ABCD)) , 2 1 Lại vì N là trung điểm của MC nên d( N;;( ABCD)) = d( M( ABCD)) . Suy ra 2 11 d( N;;( ABCD)) = d( S( ABCD)) = h . Từ đó ta có 44 1 11 V V= d( N;( ABCD)) B= Bh = . N. ABCD 3 43 4 Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′′′ B C có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A′. AB ′′ C .
  21. 1 1 1 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 3 Hướng dẫn giải ChọnD 1 11 Ta có: V′ ′′= V ′′′ = d( A;( ABC′′′)) ⋅=⋅= S∆ ′′′ V ′′′ . A ABC A ABC 3 ABC33 ABCABC. Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC 3 bằng . Biết rằng mặt phẳng ( ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt 2 cầu đó bằng A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn D z C O B y A x SS 3 Ta có ABC = ABC = V 1 d O,( ABC) OABC S., d( O( ABC)) ( ) 3 ABC S 3 Mà ABC = nên d( O,2( ABC)) = . VOABC 2 Vậy mặt phẳng ( ABC) luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R = 2 . Câu 8.Cho lăng trụ ABC. A′′′ B C có thể tích bằng 12 3a3 . Thể tích khối chóp A′. ABC là. 3a3 A. Va= 432 . B. Va= 233 . C. Va= 433 . D. V = . 4 Hướng dẫn giải Chọn C 3 Ta có VABC. A′′′ B C= S ABC . AA′ = 12 3 a . 11 V= S. AA′ = .12 3 a33 = 4 3 a . A'. ABC33 ABC Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, biết SC= a 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SD , CD , BC . Tính thể tích khối chóp. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 8 12 3 Hướng dẫn giải Chọn B
  22. Gọi F= PQ ∩ AC . Dễ thấy AF⊥ PQ . Mặt khác do (MNPQ) // SC nên(SAC) ∩=( MNPQ) EF (EF// SC ; F∈ SA) . Dựng AH⊥ EF . Do PQ⊥ ( SAC) nên PQ⊥ AH . Suy ra AH⊥ ( MNPQ) ⇒=AH d( A;( MNPQ)) . 3 32a 3 33a Ta có: AE= AC = ; AF= AS =SC22 −= AC 44 4 44 AF22.6 AE a Suy ra: AH = = . AE22+ AF 4 Mặt khác do BD⊥ SC nên PQ⊥ QM suy ra tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 16a2 S= MQ. QP =BD. SC = MNPQ 44 1 a3 Vậy V= AH. S = . A. MNPQ 3 MNPQ 8 Câu 10. Cho hình chóp S. ABC có A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp S. ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp SABC. ′′ . A. V = 3 B. V =12 C. V = 8 D. V = 6 Hướng dẫn giải Chọn D S A' B' A B C V SA′′ SB SC 11 1 Ta có S. ABC′′ = = . = VS. ABC SA SB SC 22 4 1 1 Vậy VV′′ = . = .24 = 6 . S A B C4 S ABC 4
  23. Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh V ′ của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số . V V ′ 1 V ′ 5 V ′ 1 V ′ 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V 4 V 8 V 2 V 3 Hướng dẫn giải Chọn C A F E G J B D H I C Gọi khối tứ diện đã cho là ABCD . Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của AD , AB , AC , BC , CD , BD . Khi đó ta có: VV=′ + 4. VA. FEG . 1 Mặt khác VV= . A. FEG 8 11V ′ Suy ra VV=+′ V ⇒=. 22V Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 45°. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S. AHIK là: a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 12 18 36 Hướng dẫn giải Chọn C
  24. Ta có SBA =45 °⇒ SA = AB = a . BC⊥ SA Lại có  ⇒⊥BC( SAB) ⇒⊥ BC AH . BC⊥ AB Mà AH⊥⇒⊥ SB AH( SBC) ⇒⊥⇒⊥ AH SC SC AH . Tương tự SC⊥ AK ⇒⊥ SC( AHK) ⇒⊥ SC AI . SA22 SI a11 SI Ta có ===⇒=. AC22 IC22 a SC 3 VS. AHI SA SH SI 11 1 Tỉ số =. . =⇒= 1. . VVS AHI S ABCD . VS. ABC SA SB SC 2 3 12 VS. AIK SA SI SK 11 1 Tỉ số =. . = 1. . ⇒=VVS AIK S ABCD . VS. ACD SA SC SD 3 2 12 1 11 a3 ⇒V =+= V V V =. aa2 =. S. AHIK S AHI S AIK6 S . ABCD 6 3 18 Câu 13. Cho khối chóp S. ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S. MAB là 2.a3 Thể tích khối chóp S. ABC bằng. 3 3 3 C. a . 1 3 A. 2a . B. 4a .P P P P D. a . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B 3 VVaS. ABC=24 SMAB = . Câu 14. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm MN, sao cho SM=3, MB SN = NC . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SD tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp S. MNP theo V . V V 9V 7V A. . B. . C. . D. . 8 4 80 40 Hướng dẫn giải Chọn C Trong mp(SBC) gọi E= MN ∩ BC . Trong mp( ABCD) gọi F= AE ∩ BD . Trong mp(SBD)gọi P= FM ∩ SD . Khi đó P=( AMN) ∩ SD . EB NC MS EB 1 Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC ta có: = 1⇒=. EC NS MB EC 3 FB EB EB 1 Lại có: EB AD ⇒===. FD AD BC 2 PD MS FB PD 2 SP 3 Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBD ta có: = 1⇒=⇒=. PS MB FD PS 3 SD 5 VV SM SN SP 313 9 9V Khi đó: SMNP= SMNP = ⋅⋅ =⋅⋅= ⇒=V . V 1 SB SC SD 4 2 5 40 SMNP 80 SBCD ⋅V 2 Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp A. MCD . A. V 4 . B. V 6. C. V 3. D. V 5 . Hướng dẫn giải Chọn B
  25. Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp N. ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B S M A N D O B C 1 Đặt BS= , d( S;( ABCD)) = h . Suy ra V= Bh . ABCD 3 1 Vì M là trung điểm của SA nên d( M;;( ABCD)) = d( S( ABCD)) , 2 1 Lại vì N là trung điểm của MC nên d( N;;( ABCD)) = d( M( ABCD)). Suy ra 2 11 d( N;;( ABCD)) = d( S( ABCD)) = h . Từ đó ta có 44 1 11 V V= d( N;( ABCD)) B= Bh = . N. ABCD 3 43 4 Câu 17. Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA⊥ ( ABC) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba DM113 DN DP cạnh DA , DB , DC lấy điểm MNP, , mà =,, = = . Thể tích V của tứ DA234 DB DC diện MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Hướng dẫn giải Chọn C 13 3 V =. .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 113 1 DMNP = . .= = . VDABC DA DB DC 234 8 13 3 ⇒==V . . DMNP 8 12 96 1 Câu 18. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A′ sao cho SA′ = SA. 3 Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại B ' , C′ , D′ . Tính thể tích khối chóp SABCD. ′′′′.
  26. V V V V A. . B. . C. . D. . 81 27 3 9 Hướng dẫn giải Chọn A . SA′′′′ SB SC SD 1 Ta có = = = = (theo Talet). SA SB SC SD 3 Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: VS. ABCD′′′′ SA′′′′. SB . SC . SD 1111 1 V = = =⇒=VABCD′′′′ . VS. ABCD SA. SB . SC . SD 3333 81 81 Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA=⊥∆1; DA( ABC). ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh DM113 DN DP DA,, DB DC lấy 3 điểm MNP,, sao cho =;;. = = Thể tích của tứ diện DA234 DB DC MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Hướng dẫn giải Chọn C 13 3 V =. .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 113 1 DMNP = . .= = . VDABC DA DB DC 234 8 13 3 Suy ra V = = DMNP 8 12 96 Câu 20. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích là a3 . Gọi M, N ,, PQ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Thể tích khối chóp S. MNPQ là: a3 a3 a2 a3 A. B. . C. . D. 16 8 4 6 Chọn B
  27. 1 Ta có: Tứ giác MNPQ đồng dạng với tứ giác ABCD với tỉ số k = . Đường cao h′ của hình 2 1 chóp S. MNPQ bằng đường cao h hình chóp S. ABCD 2 2 1′ 11 h Từ đó: VS. MNPQ= Sh MNPQ =  SABCD 3 32 2 1 a3 =V = . 88S. ABCD  Chú ý: Có thể tách khối S. MNPQ ra làm các khối nhỏ hơn và sử dụng công thức tỷ số thể tích. Câu 21. Cho khối chóp S. ABC . Gọi A′, B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S. ABC′′ và S. ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A V SA′′ SB 11 1 Ta có S. ABC′′ = = = . VS. ABC SA SB 22 4 Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành. M, N ,, PQ lần lượt là trung điểm của SA,,, SB SC SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S. MNPQ và khối chóp S. ABCD là. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. 8 . 4 16 2 Hướng dẫn giải Chọn A Vì ABCD là hình bình hành nên SS ABC ACD . . Do đó VS. ABCD 22 VV S ABC S ACD . Ta có.
  28. V VV VV V V S. MNPQ S MNP S MPQ S MNP S. MPQ S MNP S. MPQ VS. ABCD VS . ABCD VVS ABCD S ABCD22 VV S . ABC S . ACD 1SM SN SP1 SM SP SQ 111 . . 2 SA SB SC2 SA SC SD 16 16 8 Câu 23. Cho hình chóp S. ABCD có SA⊥ ( ABCD) , ABCD là hình chữ nhật. SA= AD = 2 a . Góc giữa (SBC) và mặt đáy ( ABCD) là 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp S. AGD là 16a3 32a3 3 83a3 43a3 A. . B. . C. . D. . 93 27 27 9 Hướng dẫn giải Chọn C S G B A M D C SA2 a Vì góc giữa (SBC) và mặt đáy ( ABCD) là 60° nên SBA =60 ° ⇒=AB =. tan 60° 3 2aa 432 Khi đó: SABCD = AB. AD = .2 a = . 3 3 1 23a2 Gọi M là trung điểm BC , khi đó: SS= = . ADM23 ABCD 2 21 2aa23 3 8 3 ⇒ VV= = . .2 a . = . S ADG3 S ADM 3 3 3 27 Câu 24. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N ,, PQ lần lượt thuộc SA,,, SB SC SD thỏa: SA=2 SM , SB = 3, SN SC = 4 SP , SD= 5 SQ . Thể tích khối chóp S. MNPQ là. 4 6 2 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 VV= , VV= . SMNP 24 SABC SMPQ 40 SACD 1 18 ⇒V =+=.24 .24 . SMNPQ 24 40 5 Câu 25. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB =60 °, BC= a , SA= a 3 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC .
  29. a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1 (Tính trực tiếp). S a 3 M A 60o C H a B . Gọi H là trung điểm AB ⇒ MH// SA , mà SA⊥ ( ABC) ⇒⊥MH( ABC) và SA a 3 MH = = . 22 AC 3 Tam giác ∆ABC là nửa tam giác đều AC=22 BC = a và AB= = a 3 nên diện tích đáy 2 là: 11a2 3 S= AB. BC = . a 3. a = . ABC 22 2 1 1aa23 33 a Vậy thể tích V= S. MH = = . MABC3 ABC 32 2 4 Cách 2 (Áp dụng tỷ số thể tích tứ diện). S a 3 M A 60o C a B . VMABC SM 1 1 Vì M trung điểm SB nên tỷ số thể tích tứ diện = = ⇒=VVMABC SABC . VSABC SB 2 2 AC 3 Tam giác ∆ABC là nửa tam giác đều AC=22 BC = a và AB= = a 3 nên diện tích đáy: 2 11a2 3 S= AB. BC = . a 3. a = . ABC 22 2 1 13aa23 a3 Do đó V= S. SA = . .3 a = . Vậy V = . SABC3 ABC 32 2 MABC 4 Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB′′ C D và khối ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 8 Hướng dẫn giải
  30. Chọn B V AB′′ AC 11 1 Ta có AB'' C D = = = . VABCD AB AC 22 4 Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ S D C B A Biết SA = 6 , SB = 3 , SC = 4 , SD = 2 và ASB= BSC = CSD = DSA = BSD =60 ° . Thể tích khối đa diện S. ABCD là A. 10 2 . B. 62. C. 52. D. 30 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Trên SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho SA′′′= SB = SC = SD = 2 . Ta có AB′′= BC ′′ = CD ′ = DA ′ = 2 . Khi đó hình chóp SABD. ′′ và hình chóp S. CB′ D là các hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2 . 23 2 22 VV′′= ′′ = = . S ABD SCBD 12 3 VS. ABD SA SB SD 39 9 922 Mặt khác = =3. = , nên VVS ABD= S A′′ B D =. = 32. VS. ABD′′ SA′′ SB SD 22 2 23 VS. CBD SC SB SD 3 22 = . .= 2. = 3, nên VVSCBD = 3 SCBD′′ =3. = 2 2 . VSCBD. ′′ SC′′ SB SD 2 3 Thể tích khối đa diện S. ABCD là VV=S ABD + V S CBD =+=32 22 52.
  31. S A' C' B' D C B Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi IJK,, lần lượt là trung điểm các cạnh MN,, MP MQ . Tính tỉ số thể tích V MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 8 Hướng dẫn giải Chọn D V MI MJ MK 1 Ta có: MIJK . VMNPQ MN MP MQ 8 M K I J N Q P . Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA= a 2 . Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( AB′′ D ) cắt SC tại C′ . Thể tích khối chóp S AB′′′ C D là: 23a3 23a3 22a3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Chọn D
  32. S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V= aa2 2= . S. ABCD 3 3 Vì B′, D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có SC⊥ ( AB′′ D ) . Gọi C′ là hình chiếu của A lên SC suy ra SC⊥ AC′ mà AC′∩=( AB ′′ D) A nên AC′⊂ ( AB ′′ D ) hay C′= SC ∩( AB ′′ D ) . Tam giác S AC vuông cân tại A nên C′ là trung điểm của SC . SB′ SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông S AB′ ta có = = = . SB SB2 3a2 3 VSABC′′′ D VV SABC ′′+ SACD ′′ 1 SB′′ SC SD ′′ SC SB′′ SC 21 1 = = + = = . = . VVS ABCD S ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 32 3 a3 2 Vậy V ′′′= . S AB C D 9 Câu 30. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) bằng 45°. Gọi VV12; lần lượt là thể tích khối chóp S. AHK và S. ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC V và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S. ABCD và tỉ số k = 1 . V2 1 1 1 1 A. h=2; ak = . B. h=2; ak = . C. h= ak; = . D. h= ak; = . 8 3 4 6 Hướng dẫn giải Chọn C. S K H A a D B C
  33. Do (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy nên SA⊥ ( ABCD) . CD⊥ AD Ta có  ⇒⊥CD( SAD) ⇒⊥ CD SD . CD⊥ SA Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) là SDA =45 °. Ta có tam giác SAD là tam giác vuông cân đỉnh A . Vậy h= SA = a . V SH SK 1 Áp dụng công thức tỉ số thể tích có: 1 =. = . V2 SC SD 4 Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với OA,, OB OC vuông góc từng đôi một và OA= a, OB= 2, a OC= 3 a . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3a3 2a3 a3 A. B. a3 C. D. 4 3 4 Hướng dẫn giải Chọn D 113 Ta cóVOABC = . OAOB OC= a (đvtt) . 32 3 VOCMN CM.1 CN 1 a Ta có = = .Vậy VVOCMN= OABC = . VOCAB CACB.4 44 Câu 32. Cho khối chóp S. ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA ; SB′ = SB ; SC′ = SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp 3 4 2 V S. ABC và S. ABC′′′. Khi đó tỉ số là V ' 1 1 A. . B. 24 . C. . D. 12. 12 24 Hướng dẫn giải Chọn B V SA SB SC Ta có = . .= 3.4.2 = 24 . V' SA ''' SB SC Câu 33. Cho hình chóp16T 16T S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA= a 2 . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B′, D′ , C′ . Thể tích khối chóp S AB′′′ C D là: 23a3 23a3 22a3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Chọn D
  34. S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V= aa2 2= . S. ABCD 3 3 Ta có AD′ ⊥ ( SDC) ⇒⊥AD′ SD ; AB′ ⊥ ( SBC) ⇒⊥AB′ SB . Do SC⊥( AB′′ D) ⇒⊥ SC AC ′. Tam giác S AC vuông cân tại A nên C′ là trung điểm của SC . SB′ SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông S AB′ ta có = = = . SB SB2 3a2 3 VSABC′′′ D VV SABC ′′+ SACD ′′ 1 SB′′ SC SD ′′ SC SB′′ SC 21 1 = = + = = . = . VVS ABCD S ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 32 3 a3 2 Vậy V ′′′= . S AB C D 9 Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . 2017 4034 8068 2017 A. . B. . C. . D. . 27 81 27 9 Hướng dẫn giải Chọn A VSAEFG EFG 1 1 = = ⇒=VVAEFG ABCD VSABCD BCD 4 4 .
  35. VAMNP SM SN SP 8 8 81 2 = = ⇒=VVAMNP AEFG =. VVABCD =ABCD VAEFG SE SE SG 27 27 27 4 27 VQMNP 11 Do mặt phẳng (MNP) // ( BCD) nên =⇔=VVQMNP AMNP VAMNP 22 1 2 1 2017 V=. VV = = . QMNP 2 27ABCD 27ABCD 27 Câu 35. Cho khối chóp S. ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp S. MBC và thể tích khối chóp S. ABC bằng. 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 6 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C Theo công thức tính thể tích tỷ số thể tích. V SM 1 S. MBC = = . VS. ABC SA 2 Câu 36. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA= 2 a . Gọi BD′′; lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD . Mặt phẳng ( AB′′ D ) cắt cạnh SC tại C′ . Tính thể tích của khối chóp S. AB′′′ C D 16a3 a3 2a3 a3 A. . B. . C. D. . 45 2 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A S C' B' D' I B A O D C VSAB′′ C SB′′ SC Ta có VVS AB′′′ C D= 21 S AB′′ C ( ) mà = .*( ) VSABC SB SC 2 2 ∆SAC vuông tại A nên SC22=+= SA AC 2(2 a) +( a 26) = a2 suy ra SC= a 6 Ta có BC⊥( SAB) ⇒⊥ BC AB′ và SB⊥ AB′ suy ra AB′ ⊥ ( SBC) nên AB′ ⊥ BC Tương tự AD′ ⊥ SC . Từ đó suy ra SC⊥≡( AB′′ D) ( AB ′′′ C D ) nên SC⊥ AC′ SC′ SA2242 a Mà SC′. SC= SA2 suy ra = = = . Ta cũng có SC SC2263 a SB′ SA22 SA44 a 2 = = = = SB SB2 SA 2++ AB 245 a 22 a
  36. VSAB′′ C 8 8 81 8 Từ (*) ⇒= suy ra VVSAB′′ C =SABC = . VSABCD= V SABCD mà VSABC 15 15 15 2 30 12a3 V= S. SA = SABCD33 ABCD 82aa33 8 Suy ra V ′′=. = SAB C 30 3 45 16a3 Từ (1) suy ra VV′′′=2 ′′ = . S AB C D S AB C 45 Câu 37. Cho hình chóp S. ABC có ASB= CSB = 600 , ASC = 900 , SA= SB = a;3 SC = a .Thể tích V của khối chóp S. ABC là: a3 2 a3 6 a3 2 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 18 12 6 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC= 3 SM ⇒=AB BM = a;2 AM = a ⇒ ∆ABM . vuông tại B . ⇒ Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABM ⇒⊥SH (ABM) . a3 2 ⇒=V . SABM 12 3 VSABM SM 1 a 2 = = ⇒ VVSABC=3 SABM = . VSABC SC 3 4 Câu 38. Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA⊥ ( ABC) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba DM113 DN DP cạnh DA , DB , DC lấy điểm MNP, , mà =,, = = . Thể tích V của tứ DA234 DB DC diện MNPD bằng: 3 2 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . V = 12 12 96 D. 96 . Hướng dẫn giải Chọn D 13 3 V =. .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 113 1 DMNP = . .= = . VDABC DA DB DC 234 8 13 3 ⇒==VDMNP . 8 12 96 . Câu 39. Cho hình chóp S. ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp S. MNC biết thể tích khối chóp S. ABC bằng 8a3 . 3 3 3 3 A. VaSMNC = . B. VaSMNC = 2 . C. VaSMNC = 6 . D. VaSMNC = 4 . Hướng dẫn giải Chọn A VS. MNC SM SN SC 1 3 Ta có: = ⇒=VS MNC Va S ABC =2. VS. ABC SA SB SC 4
  37. Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. ab2 cosα . B. ab2 sinα . C. ab2 cosα . D. ab2 sinα . 4 4 12 12 Hướng dẫn giải Chọn D A' C' S B' A C H H' B Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABC) . Khi đó α = A′ AH . Ta có AH′′= AA.sinαα = b sin nên thể tích khối lăng trụ là ab2 3 sinα V′′′= AHS′ . = . ABC. A B C ∆ABC 4 Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng AH′ nên 1 ab2 3 sinα thể tích khối chóp là VV=′′′ = . S ABC3 ABC A B C 12 V Câu 41. Cho hình chóp S. ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S. ABC . VS. MNC 1 1 A. ⋅ B. ⋅ C. 2 . D. 4 . 4 2 Hướng dẫn giải. Chọn D S M N A C B V SA SB SC Ta có S. ABC = = 4 . VS. MNC SM SN SC
  38. Câu 42.Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA′′ SC 1 SA , SB , SC , SD lần lượt lấy các điểm A′, B′,C′ và D′ sao cho = = và SA SC 3 SB′′ SD 3 = = . Tính thể tích V của khối đa diện lồi SABCD′′′′. SB SD 4 3 A. V = . B. V = 9. C. V = 4 . D. V = 6 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B S C' A' D' D B' C A B Ta có VV=SABCD′′′′ = V S DAB ′′′ + V S DCB ′′′. 313 31 3 9 VV′′′= = V = .48 = . SDAB 434 SDAB 16 2 S. ABCD 32 2 9 Tương tự: V ′′′= . S. DCB 2 Vậy V = 9. Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A
  39. S N E H D C M O F B A Giả sử các điểm như hình vẽ. E=∩⇒ SD MN E là trọng tâm tam giác SCM , DF// BC⇒ F là trung điểm BM . a 6 a 7 Ta có: SD ,( ABCD) = SDO =60 °⇒ SO = , SF= SO22 += OF ( ) 2 2 aa612 7 ⇒===dOSAD( ,( )) OHh;. SSAD SFAD 27 24 V ME MF MD 1 MEFD = ⋅⋅ = VMNBC MN MB MC 6 5 51 1 5 1 5a3 6 ⇒VV = = ⋅⋅d( M,4( SAD)) ⋅ S = ⋅ h ⋅ S = BFDCNE6 MNBC 6 3 2SBC 18 2SAD 72 1 aa336 76 V= SO. S =⇒=−=⋅VVV S ABCD 3 ABCD 6 SABFEN S ABCD BFDCNE 36 V 7 Suy ra: SABFEN = ⋅ VBFDCNE 5 Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 1 7 1 7 A. . B. . C. . D. . 7 5 5 3 Hướng dẫn giải Chọn B S N 60° A B K I O a H M D a C
  40. VV 1 SABIKN V1 Đặt ? . VV V 2 NBCDIK 2 16a 6 * V . aa23. S. ABCD 32 6 1 1SO 1a 61 6 * V NH S S . .a .2 a a 3 . N. BMC 3 BMC 3 2BMC 3 4 2 12 MK 2 * Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC . MN 3 V MD MI MK 112 1 * M. DIK . . . VM. CBN MC MB MN 223 6 5 5 6 56 VV V V . a33 a. 2M . CBN M. DIK6 M .CBN 6 12 72 76 a 3 633 56 76 3V1 72 7 VV1.S ABCD V 2 a a a . 6 72 72 V 56 5 2 a 3 72 Câu 45. Cho khối chóp tam giác S. ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB , N là điểm nằm giữa AC sao cho AN= 2 NC . Gọi V1 là thể tích khối chóp S AMN Tính tỉ số V 1 . V V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 6 V 2 V 3 V 3 Hướng dẫn giải Chọn D . V V AS AM AN 12 1 1 =ASMN = . .= 1. . = V VASBC AS AB AC 23 3 Câu 46. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích V . Các điểm A′, B′, C′ tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC . Thể tích khối chóp SABC. ′′′ bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 16 8 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B VS. ABC′′′ SA′′′ SB SC 1 V Ta có =⋅⋅ =⇒VS. ABC′′′ =. VS. ABC SA SB SC 88
  41. Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp A. MCD . A. V 5 . B. V 4 . C. V 6. D. V 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 48. Cho khối chóp S. ABC có SA=9, SB = 4, SC = 8 và đôi một vuông góc. Các điểm ABC′′′,, thỏa       mãn SA= 2. SA′ , SB= 3. SB′ , SC= 4. SC′ . Thể tích khối chóp SABC. ′′′ là A. 2 . B. 24 . C. 16. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A 11 V SA S SA SB SC . S. ABC 36SBC V SA SB SC 1 Ta có: SABC . VSABC SA SB SC 24 VSABC 2 . S C' A' B' A C B . Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho 1 SA′ = SA . Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB,, SC SD 3 lần lượt tại BCD′′′,, . Khi đó thể tích chóp SABCD. ′′′′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 3 27 9 81 Hướng dẫn giải Chọn B . Vì ( ABCD′′′′) //( ABCD) ⇒ AB′′// ABBC , ′′ // BCCD , ′′ // CD . SA'1 SB′′′ SC SD 1 Mà =⇒===. SA3 SB SC SD3 Gọi VV12, lần lượt là VVS. ABC, S .D AC . Ta có VV12+= V.
  42. VS. ABC′′′ SA′′′ SB SC 1 V1 = =⇔=VS. ABC′′′ . VS. ABC SA SB SC 27 27 VS. ADC′′′ SA′′′ SC SD 1 V2 = =⇔=VS. ACD′′′ . VS.D AC SA SC SD 27 27 VV12+ V Vậy V′′′′= VV += =. SABCD. SABC. ' ' ' SA . 'C'D' 27 27 V Vậy V = . S.' A BC ' D ' 27 Câu 50. Cho hình chóp đều S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Tính thể tích khối chóp S. ABC . a3 6 a3 5 a3 3 a3 5 A. . B. . C. . D. . 12 8 24 24 Hướng dẫn giải Chọn D S F N E A C H M B Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh BC và EF ; H là trọng tâm tam giác ABC . ( AEF) ⊥ ( SBC) Ta có  (1) ( AEF) ∩=( SBC) EF EF// BC Trong mặt phẳng (SBC) , ta có  nên EF⊥ SM (2). SM⊥ BC Từ (1) và (2) suy ra SM vuông góc với mặt phẳng ( AEF ) tại N Mặt khác HM Tam giác SHM vuông tại H có cosM = ( 3). SM MN Tam giác AMN vuông tại N có cosM = ( 4) AM HM MN Từ (3) và (4) ta có = ⇔=SM MN HM AM (vì N là trung điểm SM ) SM AM 11 22a ⇔=SM22 AM ⇔=SM AM = 23 3 2 13a a 5 Tam giác SHM vuông tại H có HM=. AM = và SH= SM22 − HM = . 36 23
  43. 1 a3 5 Khi đó V= S SH = . S. ABC3 ABC 24 1 Câu 51. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bằng V. Lấy A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA. Mặt 3 phẳng qua A′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại BCD′′′,,. Khi đó thể tích khối chóp SABCD. ′′′′ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 81 3 9 27 Hướng dẫn giải Chọn D 3 VVSABC ′′′ SA′′′ SB SC 1 S ABC V = =⇒== VS. ABC′′′ VS. ABC SA SB SC 3 27 54 3 VVSADC ′′′ SA′′′ SD SC 1 SADC V = =⇒== VS. ADC′′′ VS. ADC SA SD SC 3 27 54 VV V V′′′′= VV ′′′ + ′′′ =+=. S. ABCD S ABC S ACD 54 54 27 Câu 52. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho SM= 2 MD . Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S. ABNM . A. 9. B. 6 . C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn C . M∈∩( ABM) ( SCD) Có :  . AB// CD ⇔( ABM) ∩=( SCD) MN// CD . VS. ABNM VV SANM SANB 15SM SN SN = + =. +=. VSABCD222 V SACD V SACB  SD SC SC 9 5 Vậy : VV=. = 10 . S. ABNM9 SABCD Câu 53. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , 1 F . Biết VV= . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . S AEF4 S ABC a3 a3 2a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 8 5 12 Hướng dẫn giải Chọn B
  44. S F H E A C M B Ta có BC⊥ SM . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Do FE=( P) ∩( SBC) ⇒⊥FE SM ⇒ FE BC và FE đi qua H . 2 1 SE SF 1 SH 1 SH 1 VVS AEF= S ABC ⇔=. ⇔= ⇒=. Vậy H là trung điểm cạnh SM . 4 SB SC 4 SM 4 SM 2 a 3 Suy ra ∆SAM vuông cân tại A ⇒=SA . 2 13aa2 3a3 Vậy V = = . SABC 32 4 8 Câu 54. Cho khối chóp tứ giác S. ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia V1 khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 (VV12< ) . Tính tỉ lệ . V2 16 8 16 8 A. . B. . C. . D. . 75 27 81 19 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SAD , SAC .
  45. SG 2 SG Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , AC thì 1 = = 3 SI3 SJ ⇒ G13 G // IJ ⇒ G13 G// ( ABC) . Chứng minh tương tự ta có G23 G// ( ABC) . Suy ra (G123 G G) // ( ABCD) . Qua G1 dựng đường song song với AB , cắt SA , SB lần lượt tại M , N . Qua N dựng đường song song với BC , cắt SC tại P . Qua P dựng đường song song với CD , cắt SD tại Q . ⇒ Thiết diện của hình chóp S. ABCD khi cắt bới (GGG123) là tứ giác MNPQ . VS. MNP SM SN SP 8 8 Ta có = = ⇒=VVS MNP S ABC (1) VS. ABC SA SB SC 27 27 8 Tương tự ta cũng có ⇒=VV (2) S MPQ 27 S ACD 8 8 19 V1 8 Từ (1) và (2) suy ra VVS MNPQ = S ABCD ⇒=VV1 ⇒V21 =−= VV V. Vậy = . 27 27 27 V2 19 Câu 55. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , VS. MNPQ SC , SD . Tỉ số là VS. ABCD 1 1 3 1 A. B. . C. . D. . 6 16 8 8 Hướng dẫn giải Chọn D V SM SN SP VS. MQP SM SQ SP Ta có áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có S. MNP = và = VS. ABC SA SB SC VS. ADC SA SD SC SM SN SP SQ 1 Vì M, N, P, Q là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD ⇒===. SA SB SC SD 2 1 VVS MNP+ S MQP 11 VS. MNPQ 1 Và VV= = V suy ra =+⇒ =. S ABC S ADC2 S . ABCD 1 88V 8 .V S. ABCD 2 S. ABCD Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018 V thể tích MIJK bằng: VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 8 3 Hướng dẫn giải Chọn C
  46. M I K J N Q P VM. IJK MI MJ MK 111 1 Ta có: = . .= = . VM. NPQ MN MP MQ 222 8 Câu 57. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE= 2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3 Hướng dẫn giải Chọn A 11 VS. EBD SE 2 21 Ta có: VVS BCD= S ABCD = . Mặt khác: = =  →VVS EBD = S CBD = . 22 VS. CBD SC 3 33 Câu 58. Cho hình chóp A. BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC= a , CD= a 3 . Hai mặt ( ABD) và ( ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Biết AB= a , M , N lần lượt thuộc cạnh AC , AD sao cho AM= 2 MC , AN= ND . Thể tích khối chóp A. BMN là 23a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 18 9 Hướng dẫn giải Chọn C A N a M B D a a 3 C AM 2 Do AM= 2 MC ⇒=. AC 3 V AM AN 21 1 Ta có A. BMN = = = . VA. BCD AC AD 32 3 11 1a3 3 Mà V= AB. BC . CD= a a a 3 = . A. BCD 32 6 6
  47. V a3 3 ⇒==V A. BCD . A. BMN 3 18 Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB′′ C D và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6 Hướng dẫn giải Chọn C V AB′′ AC 11 1 Ta có: AB′′ C D = ⋅ =⋅=. VABCD AB AC 22 4 Câu 60. Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ()ABC . mp() ABC qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt SB, SC lần lượt tại HK, . Gọi VV12, tương ứng là thể tích của các khối chóp S. AHK và S. ABC . Cho biết tam giác SAB vuông V cân, tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 3 V2 2 V2 3 V2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: HK// BC do cùng ⊥ SB trong ()SBC , mà H là trung điểm SB nên K là trung điểm SC . V S 1 Vậy có (xem A là đỉnh): =SHK = . VS′ SBC 4 Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi IJK;; lần lượt là trung điểm của các cạnh MN;;. MP MQ Tỉ số thể tích V MIJK là VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 8 Hướng dẫn giải Chọn D Trong trường hợp này áp dụng công thức tỉ lệ thể tích giữa 2 hình chóp tam giác: V MI MJ MK 111 1 MIJK = . .= = . VMNPQ MN MP MQ 222 8 Câu 62. Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S. MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp S. ABCD là:
  48. 2 81V 27V 9 9V A. . B. . C. V . D. . 8 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B S N M P Q C K B H F O I E D J A d( S,( MNPQ)) SM 2 Ta có = = . d( S,( ABCD)) SI 3 S∆DEJ 11 1 1 Mặt khác gọi SS= ABCD ta có =. = ⇒=SS∆DEJ . S∆BDA 42 8 16 S∆JAI 1 1 Tương tự ta có = ⇒=S∆JAI . S∆DAB 4 8 11 1 Suy ra SHKIJ =−+=1 4. 2. SS. 16 8 2 2 SMNPQ 24 2 Mà = = ⇒=SSMNPQ ABCD . SHKIJ 39 9 1 1 3 9 27 Suy ra V= d( S,.( ABCD)) S = .,d( S( MNPQ)) . S= V . S. ABCD 3 32 2 4 Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB , SD tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối S. ANMK và khối chóp S. ABCD . 2 1 1 3 A. B. C. D. 9 3 2 5 Hướng dẫn giải Chọn B
  49. Gọi H là tâm hình vuông ABCD , E= SH ∩ AM ⇒ E là trọng tâm ∆SAC SE SK SN 2 VS. AKM SA SK SM 21 1 1 ⇒== = . Ta có = =. = ⇒=VVS AKM S ABCD SH SD SB 3 VS. ADC SA SD SC 32 3 6 VS. ANM 1 1 Tương tự = ⇒=VVS ANM S ABCD . VS. ABC 3 6 111 Từ đó V= VV + =VV + = V . S. ANMK S ANM S AKM 66S ABCD S ABCD 3 S. ABCD Câu 64. Cho khối chóp S. ABC . Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm ABC′′′, , sao cho 11 1 SA′′′= SA;; SB = SB SC = SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp SABC. ′′′ và S. ABC 23 4 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 24 2 12 6 Hướng dẫn giải Chọn A V SA′′′ SB SC 111 1 Ta có: SABC.'''= . .= = . VS. ABC SA SB SC 234 24 Câu 65. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB= a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Thể tích của khối chóp S. ABM bằng: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 Hướng dẫn giải Chọn C
  50. S M A C B . a2 Tam giác ABC vuông cân tại B và AB= a nên S = . ∆ABC 2 Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) là góc SBA =30 ° . a 3 Tam giác SAB vuông tại A : SA=tan 30 °= . AB . 3 13aa33V 3 Ta có: V= SA. S =⇒==V S. ABC . S ABC 3 ∆ABC 18 S ABM 2 36 Câu 66. Cho hình chóp S. ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN= 2 NC . Tỉ V số S. AMN . VS. ABC 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 4 Hướng dẫn giải Chọn B V AM AN 11 1 Ta có S. AMN = = = . VS. ABC AB AC 23 6 Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB= a;2 AC = a và AD= 3 a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD, CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . a3 3a3 2a3 A. V = . B. Va= 3 . C. V = . D. V = . 4 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A B a M A 3a 2a D N C . AB⊥ AC  ⇒⊥AB( ACD) . AB⊥ AD 1 11 1 V= S. AB = AC . AD . AB =.2a .3 aa . = a3 . ABCD3∆ ACD 32 6 Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
  51. 3 VD. MAN DM DA DN 1 11 1 a =. . ==⇒= .1. VVD MAN D BAC =. VD. BAC DB DA DC 2 24 4 4 Câu16T 68. Cho16T khối chóp S. ABC có ASB= BSC = CSA =60 ° , SA= a, SB= 2, a SC= 4 a . Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a . 22a3 42a3 a3 2 82a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A S A M N B C SM 1 =  SB 2 Lấy M∈ SB, N∈ SC thoả mãn: SM= SN = SA = a ⇒  . SN 1  =  SC 4 Theo giả thiết: ASB= BSC = CSA = 600 ⇒ S. AMN là khối tứ diện đều cạnh a . a3 2 Do đó: V = . S. AMN 12 3 VS. AMN SM SN 11 1 22a Mặt khác : = . =. = ⇒=VVS ABC8 S AMN = . VS. ABC SB SC 24 8 3 Câu 69. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′, B′, C′ , D′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. ′′′′ và S. ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 16 2 12 Hướng dẫn giải Chọn A
  52. S A' D' B' C' A D B C V SA′′′ SB SC 1 V SA′′′ SD SC 1 Ta có SABC′′′= = , SA′′′ C D = = VSABC SA SB SC 8 VSACD SA SD SC 8 V V VV+ 1 Suy ra S. ABCD′′′′ =SABC′′′ = SABC ′′′ SACD ′′′= . VS. ABCD VSABC VV SABC+ SACD 8 V 1 Vậy SABCD′′′′= . VSABCD 8 Câu 70. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích khối chóp V S. AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 8 8 Hướng dẫn giải Chọn A S P N I M D C O A B
  53. SM SN Đặt = x , = y , 0 0 , y > 0 nên <<x 1 3 1 x 1 Xét hàm số fx( ) = x + trên  ;1 4 31x − 3  11 2 Ta có fx′( ) =1 − ; fx′( ) =⇔=0 x . 2 4 (31x − ) 3 Bảng biến thiên x 1 2 1 3 3 y′ – 0 + || 3 y 1 8 3 V 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 bằng . V 3 Câu 71. Cho tứ diện đều S. ABC . Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆SAB, ∆SBC , V ∆SCA. Tính SGG. 123 G . VS. ABC 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 48 27 36 81 Hướng dẫn giải Chọn B S G3 G1 G2 A C P M N B . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Ta có.
  54. VSG G G 222 8 8 81 2 123 ==⇒== VV. V =. SG123 G G SMNP SABC VSMNP 333 9 9 84 27 Câu 72. Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC 3 3 3 V ′ và SABC. ′′′. Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 27 9 Hướng dẫn giải Chọn C V′ SA ′′′ SB SC 111 1 Ta có = . .= = . V SA SB SC 333 27 Câu 73. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là trung điểm của SB. P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP= 2. DP Mặt phẳng ( AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V. . 23 7 19 2 A. VV= . B. VV= . C. VV= . D. VV= . ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 5 Hướng dẫn giải Chọn A S S M M N I I P P B O B A D S O N C I A O C . Gọi O là tâm hình bình hành. Gọi I= MP ∩ SO ⇒= N AI ∩ SC . Ta có:
  55. 1 SP SM S SS+ S S =. =∆SPM = ∆∆ SPI SMI= ∆ SPI + ∆ SMI 3DS SB S S2 S 2 S ∆SDB ∆SDB ∆∆SDO SBO . SI SP SM74 SI SI = + =. ⇒= 2SO S D SB 12 SO SO 7 Suy ra: SN S SS+ S S SI SI SN22 SN ==∆SAN ∆∆ SAI SNI =+=+ ∆ SAI ∆ SNI . =+ SC S S2 S 2 S 2 SO 2 SO SC 77 SC ∆SAC ∆SAC ∆∆SAO SCO . SN 2 ⇒= SC 5 V VV+ V V SA. SM . SP SM SN SP 7 Suy ra: S. AMNP= S AMP S MNP =+= S . AMP S . MNP + =. V V2 VS.D AB 2 V S . BCPD 2S A . SB . S D 2S B . SC . S D 30 23 ⇒=VV. ABCD. MNP 30 Câu 74. Cho khối lăng trụ ABCD. A′′′′ B C D có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A′. BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 11 V′ = d( A′,.( BCO)) S= V ′′′′=1. A BCO 3 BCO12 ABCD A B C D Câu 75. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S. MNPQ và S. ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 16 Hướng dẫn giải Chọn A
  56. S Q M N P D A B C 1 1 Ta có VV= và VV= S MNP8 S ABC S MQP8 S ADC 11 1 ⇒V =+= VV V + V = V S. MNPQ S MQP S MNP88 S . ABC S . ADC 8 S . ABCD V 1 ⇒=S. MNPQ . VS. ABCD 8 Câu 76. Cho tứ diện S. ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ABC) bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 8 2 Hướng dẫn giải Chọn C Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng (MNP) cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (MNP) . VS. MNP SM SN SP 1 V Ta có: = = nên VS. MNP = . VS. ABC SA SB SC 8 8 Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S. AEMF . a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 36 9 6 18
  57. Hướng dẫn giải Chọn D S M F E I D A O B C Trong mặt phẳng (SBD) : EF∩= SO I . Suy ra AM,, I thẳng hàng. SI 2 Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM, SO cắt nhau tại I suy ra = . SO 3 SE SF SI 2 Lại có EF// BD ⇒===. SB SD SO 3 V SE SM 1 V SF SM 1 Ta có: S. AEM =⋅=. S. AFM =⋅=. VSABC SB SC 3 VSADC SD SC 3 VV+ 11 V Vậy S AEM S AFM =⇒=S . AEMF . VVS ABC+ S ADC 33 VS . ABCD a 6 Góc giữa cạnh bên và đáy của S. ABCD bằng góc SBO =60 ° suy ra SO= BO 3 = . 2 16a3 Thể tích hình chóp S. ABCD bằng V= SO. S = . S. ABCD 36ABCD a3 6 Vậy V = . S. AEMF 18 Câu 78. Cho hình chóp đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60°. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp V hình chóp đã cho. Tính tỉ số 1 . V2 V 32 V 32 V 1 V 9 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 9 V2 27 V2 2 V2 8 Hướng dẫn giải Chọn A
  58. S M I D C O A B Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Suy ra SO⊥ ( ABCD) . Và góc giữa cạnh bên SA với mặt đáy ( ABCD) là góc SAO . Theo giả thuyết SAO =60 ° , nên tam giác SAC đều, suy ra SA= a 2 và a 6 SO = . 2 Gọi M là trung điểm SA . Trong (SAC) , đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại I . Khi đó, IS= IA = IB = IC = ID nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD . SA2 a 6 Tam giác SAO có SI SO= SM SA ⇒=SI = =R . 23SO Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD nên có a 2 a 6 bán kính đáy r = và chiều cao h= SO = . 2 2 3 46a .π  V 33 32 1 = = Suy ra 2 . V2 126aa9 π . 32 2 Câu 79. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là 3 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 8 8 Hướng dẫn giải Chọn A Kẻ MN// AD ,( N∈ SD) . Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp S. ABCD theo thiết diện là hình thang MNCB . Gọi V là thể tích khối chóp S. ABCD . VS. MBC SM 1 11 ==⇒==VVVS MBC S ABC . VS. ABC SA 2 24 VS. MNC SM SN 11 1 1 = =⇒=VVVS MNC S ADC =. VS. ADC SA SD 22 4 8 35 V=+=⇒= V V VV V. S. MNCB S MBC S MNC 88MNDCBA 3 Vậy tỉ số thể tích của phần trên với phần dưới là . 5
  59. S M N A B D C . V Câu 80. Cho hình chóp S. ABC có AB′′, lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB . Khi đó tỉ số S. ABC bằng VS. ABC′′ 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 4 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D V SA SB SC Ta có S. ABC = = 4. VS. ABC′′′ SA′′ SB SC Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB= a 3 , AC= 2 a và AD= 2 a . Gọi HK, lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC . Tính thể tích V của tứ diện AHKD . 23 43 23 43 A. Va 3 . B. Va 3 . C. Va 3 . D. Va 3 . 7 21 21 7 Hướng dẫn giải Chọn B D 2a H K 2a A C B . 2 VD. AHK SA SK DH1 DH .D B 1 AD Ta có: = = .2= . 22. VD. ABC SA SC DB22 DB AD+ AB 14a2 2 = . = . 24aa22+ 3 7 1 11 23a3 V= DA. S = 2. a 2. a a 3= . D. ABC 3ABC 32 3 43a3 Suy ra VV= = . AHKD D. AHK 21
  60. Câu 82. Cho hình chóp S. ABC có A , B lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích V SABC . VSA'' B C 1 1 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A V SA SB SC SA . SB Ta có SABC = = = 4 VSA'' B C SA'. SB '. SC SA '. SB ' Câu 83.Cho tứ diện ABCD. Gọi BC', ' lần lượt là trung điểm của AB,. AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'' C D và khối tứ diện ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6 Hướng dẫn giải Chọn C A B' C' B D C V AB'' AC 11 1 Ta có AB'' C D = . =. = . VABCD AB AC 22 4 Câu 84.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ABCD) , góc giữa hai mặt phẳng (SBD)và ( ABCD) bằng 60°. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp S. ADMN . a3 6 a3 6 36a3 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 24 16 8 Hướng dẫn giải Chọn A
  61. S M N A D O B C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có SOA là góc giữa hai mặt phẳng (SBD)và SA 2 a 6 ( ABCD) nên SOA =60 ° . Khi đó tan 60°= ⇒SA = AO.tan 60 °= a . 3 = . AO 2 2 V SA SM SN 1 V SA SN SD 1 Ta có S. AMN = = và S. AND = = . VS. ABC SA SB SC 4 VS. ACD SA SC SD 2 3 1 11 3 31aa 62 6 Do đó VVS ADMN= S ABCD .+ = .VS. ABCD = .a = . 2 42 8 8 3 2 16 Câu 85. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. ′′′′ và S. ABCD là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 16 Hướng dẫn giải Chọn C S A' D' B' C' A D B C Ta có VS. ABCD= VV S ABD + S CBD ; VS. ABCD′′′′= VV S ABD ′′′ + SCBD ′′′. V SA′′′ SB SD 111 1 Mạt khác: S. ABD′′′= ⋅ ⋅ =⋅⋅=; VS. ABD SA SB SD 222 8
  62. V SC′′′ SB SD 111 1 V 1 SCBD. ′′ ′ = ⋅ ⋅ =⋅⋅=. Vậy, S. ABCD′′′′= . VS. CBD SC SB SD 222 8 VS. ABCD 8 Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC sao SM 1 SN cho = , = 2. Mặt phẳng (α ) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 MA 2 NB phần. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa A , V2 là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ V số 1 ? V2 V 5 V 5 V 6 V 4 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 4 V2 6 V2 5 V2 5 Hướng dẫn giải Chọn A - Trong mặt phẳng (SAC) dựng MP song song với SC cắt AC tại P . Trong mặt phẳng (SBC) dựng NQ song song với SC cắt BC tại Q. Gọi D là giao điểm của MN và PQ . Dựng ME song song với AB cắt SB tại E (như hình vẽ). SE SM 1 1 - Ta thấy: = = ⇒===SN NE NB SB SB SA 3 3 1 DB11 DN Suy ra N là trung điểm của BE và DM , đồng thời DB= ME = AB ⇒=, =. 3 DA42 DM DQ DN 1 Do NQ// MP ⇒= =. DP DM 2 - Nhận thấy: VV1.=D AMP − V D . BNQ . VD. BNQ DB DN DQ 111 1 1 15 15 = . .= = ⇒=VVD BNQ D AMP ⇒=VV1 D AMP = VM . ADP VD. AMP DA DM DP 422 16 16 16 16 QB NB 1 d( N; DB) QB 1 1 - Do NQ// SC ⇒==⇒==⇒=dQDB( ;) .; dCAB( ) CB SB 3 d( C;3 AB) CB 3
  63. 1 11 1 1 8 ⇒=S.; d( Q DB) . DB = d( C ; AB) . AB= S ⇒=SS. QDB 2 23 3 9 CAB ADP9 ABC 2 Và d( M;;( ADP)) = d( S( ABC)) 3 1 1 2 8 16 ⇒=V.; d( M( ADP)) . S = .;d( S( ABC)) . S= . V M. ADP 3 ADP 3 3 9ABC 27 S. ABC 15 16 5 4 ⇒=V VV = . ⇒VV = −= V. V . 116 27S ABC 9 S ABC 2.S ABC 19 S . ABC V 5 Vậy 1 = . V2 4 Câu 87.Cho hình chóp S, ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8 . Tính thể tích V của khối chóp S. OCD . A. V = 4 . B. V = 5. C. V = 2 . D. V = 3. Hướng dẫn giải Chọn C S A D O B C Cách 1. Gọi h là chiều cao của khối chóp S. ABCD 11 Ta có 8 =V = S. h = .4 ShV . = 4 ⇒= V 2 . SABCD33 ABCD OCD SOCD SOCD 8 Cách 2. Ta có hai hình chóp có cùng chiều cao mà SS= 4 ⇒==V 2 ABCD OCD SOCD 4 Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp AGBC. . A. V = 6 . B. V = 5. C. V = 3. D. V = 4 . Hướng dẫn giải Chọn D
  64. A B D C Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp AGBC. có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) . Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có SSS∆∆∆BGC= BGD = CGD ⇒=SS∆∆BCD3 BGC (xem phần chứng minh). Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: B D N E F M C 1  V= hS. 1 ABCD ∆BCD  hS. ∆BCD 3  VS∆ 11  ⇒=ABCD 3 ==BCD 3 ⇒=VV ==.12 4 . 1 A. GBC ABCD 1  VSA. GBC ∆GBC 33 V= hS. hS. ∆GBC A. GBC 3 ∆GBC  3 Chứng minh: Đặt DN= h; BC = a . Từ hình vẽ có: MF CM 11 h +) MF// ND ⇒ = =⇒=⇒=MF DN MF . DN CD 22 2 D G A C H1 H I B GE BG 2 22h h +) GE // MF ⇒ = =⇒=GE MF =. = MF BM 3 3 32 3 11 S DN. BC ha +) ∆BCD =22 ==⇒=33SS S 11h ∆∆BCD GBC ∆GBC GE. BC a 2 23 +) Chứng minh tương tự có SSS∆∆∆BCD=33 GBD = GCD ⇒==SSS∆∆∆BGC BGD CGD  . Cách 2:
  65. d( G;( ABC)) GI 11  ==⇒=d( G;;( ABC)) d( D( ABC)) . d( D;( ABC)) DI 33 11 Nên V= d( G;( ABC)) . S∆ = . V = 4. G. ABC 33ABC DABC 3 Câu 89. Cho hình chóp S. ABC có VaS. ABC = 6 . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SB , SC sao cho SM= MA, SN= NB , SQ= 2 QC . Tính VS. MNQ : a3 A. . B. a3 . C. 2 a3 . D. 3a3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B S M Q N A C B VS. MNQ SM SN SQ 112 1 1 1 3 3 Ta có = = = ⇒=VVS MNQ S ABC = .6a = a . VS. ABC SA SB SC 223 6 6 6 Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ diện GGGG1234 là: V V V V A. . B. . C. . D. . 27 18 4 12 Hướng dẫn giải Chọn A A G 2 G 3 G 1 I C B G 4 H 1 H 2 K J D Gọi IJK,, lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC . Gọi h là khoảng cách từ A đến (BCD) , h1 là khoảng cách từ G4 đến (GGG123). Vì (G123 G G) //( BCD) nên dG( 4,,( GGG 123)) = dG( 1( BCD)) = GH1 2 = h′ , h= AH1 . h KG 1 h ⇒=11 = ⇒=h . h KA 3 1 3 Gọi S , S′ , S1 lần lượt là diện tích các tam giác BCD , IJK và GGG123. Vì IJK,, lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC nên:
  66. 1 1BC 1 11 1 S′ = JK. d( I , JK ) = . .dDBC( ,) = BCdDBC .( , ) = S (1) . 2 222 42 4 G G AG 2 Tam giác GGG đồng dạng với tam giác KIJ với tỉ số đồng dạng là: 12= 1 = . 123 Ik Ak 3 2 S 24 4 1 ′ ⇒= =⇒=SS1 (2) (Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng). S′ 39 9 S Từ (1) và (2) ⇒=S . 1 9 1 1Sh 11V Thể tích khối từ diện GGGG1234 là: V1= S 11. h = . . = . Sh = . 3 3 9 3 27 3 27 Câu 91. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A′, B′, C′ , D′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD. ′′′′ và S. ABCD . 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 16 4 8 Hướng dẫn giải Chọn D S D' C' A' B' D C A B V SA′′′ SB SD 1 V 1 Ta có S. ABD′′′= = ⇒=S. ABD′′′ . VS. ABD SA SB SD 8 VS. ABCD 16 V SB′′′ SD SC 1 V 1 Và S. BDC′′′= = ⇒=S. BDC′′′ . VS. BDC SB SD SC 8 VS. ABCD 16 VV 111 V 1 Suy ra S ABD′′′+ S BDC ′′′ =+= ⇒=S. ABCD′′′′ . VVS ABCD S ABCD 16 168 VS. ABCD 8 Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ V số thể tích MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C
  67. Do I ; J ; K lần lượt nằm trên ba cạnh MN ; MP ; MQ nên theo công thức tỉ số thể tích cho V MI MJ MK 111 1 khối chóp tam giác ta có MIJK = = = VMNPQ MN MP MQ 222 8 S. ABC SA= a SB= 32 a SC= 23 a ASB= BSC = CSA =60 ° Câu 93. Cho hình chóp có ; ; , . Trên các cạnh SB ; SC lấy các điểm B′, C′ sao cho SA= SB'' = SC = a . Thể tích khối chóp S. ABC là: a3 3 A. 23a3 . B. 33a3 . C. a3 3 . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm BC', ' sao cho SA= SB'' = SC = a suy ra S. AB '' C là hình chóp đều có các mặt bên là tam giác đều suy ra AB'= B '' C = C '' A . 2 aa3622a Ta có: S ABC =; AH =⇒= SH SA − AH = . 433 3 a 2 VS. AB '' C SA SB SC 1 Khi đó VS. AB '' C = . Lại có = = 12 VS. ABC SA SB'' SC 66 3 Do đó VaS. ABC = 3 . Câu 94. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SM ( ABCD) và SA= a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho =kk,0 0) SA SD
  68. VVSM SM SN VVkk2 Ta có S MBC = =kk,.S MNC = = 2 .Do đó: S MBC =; S MNC = .Bài toán t/m khi VS ABC SA VS ADC SA SD VVS ABCD 22S ABCD 2 kk 1 2 −+15 += ⇔kk +−=10 ⇒ k = 222 2 Câu 95. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB= a ; SA vuông góc mặt phẳng ( ABC) , Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABC) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của SC , thể tích khối chóp S. ABM là. a3 3 a3 3 a3 2 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 36 18 18 Hướng dẫn giải Chọn B 3 00 aa33 (SBC);( ABC) = 30 ⇒SBA = 30 ⇒=SA ⇒VSABC = . 3 18 3 VSABM 13a =⇒=VSABM . VSABC 2 36 Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4 Hướng dẫn giải Chọn B A M N B D C . V AM AN AD 1 Ta có AMND = = . VABCD AB AC AD 4 Câu 97. Cho hình chóp tam giác S. ABC có thể tích bằng 8 . Gọi MNP, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA . Thể tích của khối chóp S. MNP bằng: A. 6 . B. 3. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C
  69. 1 VS BC., d( A BC) 2MP .2 d( N , MP) S. ABC=∆ ABC = 2 = = 4 VS 1 MP., d( N MP) S. MNP∆ MNP MP., d( N MP) 2 V ⇒==V S. ABC 2 S. MNP 4 V Câu 98. Cho khối chóp S., ABC gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tỉ số thể tích S. ABC bằng: VS. AGC 3 1 2 A. B. 3 C. D. 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B S L N O A C H G K J B VSd( B; AC) BO BL Ta có S. ABC=∆ ABC = = = = 3 . VS. AGC S∆ AGC d( G; AC) GN GL Câu 99. Cho hình chóp tam giác S. ABC có ASB= CSB =60 ° , ASC =90 ° , SA= SB =1, SC = 3. Gọi M 1 là điểm trên cạnh SC sao cho SM= SC . Tính thể tích V của khối chóp S. ABM . 3 2 3 6 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 36 36 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Áp dụng công thức V=. abc 1cos −−−+222α cos β cos ϕ 2cos αβϕ cos cos . S. ABC 6 22 1 11  2 Ta có: VS. ABC =.1.1.3 1 −−−=  0 . 6 22  4 VS. ABM SM 1 12 2 ==⇒==VS. ABM . . VS. ABC SC 3 3 4 12 Cách 2:
  70. S 600 600 A 2 1 2 C' H 2 2 A' 3 C 3 B . Gọi A′, C′ lần lượt là các điểm trên SA và SC sao cho SA′′= SC = 2 . Khi đó SBA ′′= SBC =90 °hay SB⊥ ( A′′ BC ) . Tam giác A′′ BC cân tại B , gọi H là hình chiếu của B trên AC′′ ta có: AC′′= 22, BH =1. 1 1 11 2 V′′= . SB . . BH . AC = .1. .1.2 2 = . S. A BC 3 2 32 3 VS. ABC SA SC 13 3 3 2 2 = ==⇒==VS. ABC . . VS. A′′ BC SA′′ SC 22 4 4 3 4 VS. ABM SM 1 12 2 ==⇒==VS. ABM . . VS. ABC SC 3 3 4 12 Câu 100. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho 1 SA′ = SA. Mặt phẳng qua A′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB,, SC SD lần 3 lượt tại BCD′′′,, . Khi đó thể tích khối chóp SABCD. ′′′′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 27 9 3 81 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Gọi thể tích V = . a.h .h . S. ABCD 3 2 a 1 Với S = a.h h là chiều cao hính chóp S. ABCD . đáy 2 a 1 1 1 1 ′ 1 VS. ABCD′′′′= . a′ha'.h′ mà: h′ = h , a′ = a , ha = ha . 3 2 3 3 3 VS.ABCD Nên V ′′′′= . S. ABCD 27 Câu 101. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) VSAPMQ qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và Q. Khi đó bằng VSABCD 2 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 9 3 2 9 Chọn C
  71. S M P B C I Q O A D Trong ( ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong (SAC) gọi I là giao điểm của SO và AM . Trong (SBD) từ I vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P , Q , suy ra mp(P) là mp ( APMQ). + Ta thấy I là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và SO của tam giác SAC ⇒ I là SI SP SQ 2 trọng tâm tam giác SAC , Suy ra: = = = (định lý ta lét vì PQ// BD ) SO SB SD 3 VSAPM SA. SP . SM 21 1 1 Ta có: = =. = ⇒ VVSAPM= SABC VSABC SA. SB . SC 32 3 3 VSAQM SA. SQ . SM 21 1 1 = =. = ⇒ VVSAQM= SADC VSADC SA. SD . SC 32 3 3 1 1 (VVSABC+ SADC ) VSABCD VSAPMQ VVSAPM+ SAQM 1 ⇒ = = 3 = 3 = VSABCD VSABCD VSABCD VSABCD 3 Câu 102. Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm ABC′′′, , sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp 3 3 3 V ′ S. ABC và SABC. ′′′. Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 9 27 Hướng dẫn giải Chọn D V SA SB SC 111 1 Ta có . . . V SA SB SC 333 27 Câu 103. Cho hình chóp S. ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho SN= 3 NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC . 2 1 3 3 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 5 3 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C
  72. Ta có VABMN=−− VV SABC SBMN V ABCN . 13 3 1 Mà V= VV = . ; VV= . . SBMN 24SABC 8 SABC ABMN4 SABC 31 3 Suy ra VV=−−= V V V. ABMN SABC848 SABC SABC SABC Câu 104.Cho khối chóp S. ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp S. MNP . 3 9 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = 4 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 SS∆∆= . MNP4 ABC 1 13 Do đó VV= =.6 = . S MNP4 S ABC 42 Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ACD) , ( ABD), ( ABC) tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 8 54 27 16 Hướng dẫn giải Chọn C
  73. A P Q N B P′ D M Q′ N′ C MN N′ M  Tam giác ABN′ có MN// AB ⇒= . AB N′ B MP P′ M  Tam giác ACP′ có MP// AC = . AC P′ C MQ Q′ M  Tam giác ADQ′ có QM// AD ⇒= . AD Q′ D MN MP MQ N′′′ M P M Q M Khi đó: ++ = + + AB AC AD NB′′ PC QD ′ NM′′′ PM QM SSS MN MP MQ Mà ++=MCD ++=MBD MBC 1 nên ++ =1 NB′′ PC QD ′ SBCD S BCD S BCD AB AC AD 3 3 3 MN MP MQ MN MP MQ Lại có 1= ++ ≥33 (Cauchy) AB AC AD AB AC AD 1 MN MP MQ ⇔≤MN MP MQ AB AC AD ⇒ MN MP MQ lớn nhất khi = = 27 AB AC AD MN MP MQ 1 ⇒ M là trọng tâm tam giác BCD ⇒=== ⇒ ( NPQ) // ( BCD) , AB AC AD 3 2 SNPQ 2 1 1 1 = , Mà SSN′′ P Q ′= BCD nên SSNPQ= BCD và d( M,,( NPQ)) = d( A( BCD)) SNPQ′′ ′ 3 4 9 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của khối tứ diện MNPQ là V= S., d( M( NPQ)) MNPQ3 NPQ 11 1 V 1 ⇔=V , S d( A( BCD)) =, với V= S., d( A( BCD)) = V MNPQ 3 9BCD 3 27 ABCD3 BCD Câu 106. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung V điểm của SA và SB . Tỉ số thể tích S. CDMN là VS. CDAB 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A VSCMN SC SM SN 1 1 Ta có = =⇒=VVSCMN SCAB . VSCAB SC SA SB 4 4 1 VV= . SCMN8 S. ABCD VSCMD SC SM SD 1 1 = =⇒=VVSCMD SCAD . VSCAD SC SA SD 2 2
  74. 1 ⇒=VV. SCMD4 S. ABCD 3 VV= . SCDMN8 S. ABCD . Câu 107. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SD . Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt SQ = x , V là thể tích của khối chóp S. MNQP , V là thể tích của khối chóp S. ABCD . Tìm x để SB 1 1 VV= . 1 2 1 −+1 41 −+1 33 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = 2 . 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C S P Q M N B C O A D MN// BC Do  ⇒ PQ// BC . (α ) ∩=(SBC) PQ 2 VVV VVS MNQ S NPQ 1 SM SN SQ SP SN SQ xx S MNQ+= S NPQ 1 ⇔ += ⇔ += 1 ⇔+ =1 V VV 222VVS ABD S BCS SA SD SB SC SD SB 42 −+1 33 ⇔2xx2 +−= 40 ⇔=x (vì x > 0 ). 4 V Câu 108. Cho hình chóp SABC . Gọi MN; lần lượt là trung điểm SB ; SC . Khi đó SABC là bao nhiêu? VSAMN 1 1 1 A. . B. . C. . D. 4 . 4 8 16
  75. Hướng dẫn giải Chọn D V SB SC S. ABC =.4 = . V SM SN S. AMN     Câu 109. Cho khối chóp S. ABC có M∈ SA , N∈ SB sao cho MA= −2 MS , NS= −2 NB . Mặt phẳng (α ) qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). 3 4 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 9 4 5 Hướng17T dẫn giải Chọn17T D S M N Q C A P B Cách 1: Ta có mặt phẳng (α ) cắt các mặt (SAC) theo giao tuyến MQ SC và cắt mặt (SBC) theo giao tuyến NP SC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α ) với hình chóp là hình thang MNPQ . Do VMNABPQ= VV N ABPQ + N AMQ , gọi VV= S. ABC và SS= ∆ABC ta có: 1 11 12 7 VN. ABPQ = ., d( N( ABC)) . SABPQ =.,d( S( ABC)) S−= . S V . 3 3 3 3 3 27 1 12 4 8 V= ., d( N( SAC)) . S∆ = .,d( B( SAC)) . S∆ = V . N. AMQ 3 AMQ 3 3 9ASC 27 5 4 Vậy V= VV += V⇒=VV. MNABPQ N ABPQ N AMQ 9 SMNPQC 9 V 4 Suy ra SMNPQC = . VMNABPQ 5 Cách 2:
  76. S M N B A I P Q C Gọi I= MN ∩ AB ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có MS IA NB IB 1 ⋅⋅ =⇒=1 . MA IB NS IA 4 BI SA NM NM Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác ∆AMI , ta có: ⋅⋅ =1 ⇔=1. BA SM NI NI PI AM AQ 2 Tương tự ta có: =1. Vì MQ// SC ⇒==. PQ AS AC 3 VI. BNP IB IN IP 111 1 15 Khi đó: = ⋅ ⋅ =⋅⋅= ⇒=VVAMQ NBP . I AMQ . VI. AMQ IA IM IQ 422 16 16 VSd( M;( ABC)) d( M;( ABC)) MA 2 SAIQ AI AQ 42 8 Mà M. AIQ = ⋅ AIQ với = = và = ⋅ =⋅=. VSS. ABC d( S;( ABC)) ABC d( S;( ABC)) SA 3 SABC AB AC 33 9 15 2 8 5 Suy ra V= ⋅⋅⋅ VV = . AMQ. NBP 16 3 9S ABC 9 S ABC 5 1− 4 Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 9 = . 5 5 9 Câu 110. Cho hình chóp S. ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA= SB = SC = a . Gọi B′, C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp S. AB′′ C . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 48 6 12 Hướng dẫn giải Chọn A A C' B' C S B . AC′ 1 Ta có ∆SAC vuông cân tại S , SC′ là đường cao ⇒ SC′ cũng là trung tuyến ⇒=. . AC 2
  77. AB′ 1 Tương tự = . AB 2 11 1aa33 ⇒=VV == . . S. AB '' C 2 2S. ABC 4 6 24 Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp M. ABC bằng bao nhiêu? 3a3 a3 2a3 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 2 12 24 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là trung điểm BD , ABCD là trọng tâm ∆ABD . aa323 Ta có AH= ⇒= AG AH = . 2 33 a 6 Trong ∆ACG có CG= AC22 −= AG . 3 1 11 2a3 Do đó V= CG. S = CG . AB . AD .sin 60°= . CABD 3ABD 3 2 12 3 VCABM CM 1 12a Mà ==⇒==VVCABM CABD . VCABD CD 2 2 24 Câu 112. Cho khối chóp tam giác S. ABC có thể tích bằng 6. Gọi MNP, , lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Thể tích V của khối chóp S. MNP là 3 9 A. V = 3 . B. V = . C. V = 4 . D. V = . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B
  78. S M A C P N B . + Gọi h là chiều cao của hình chóp S. ABC và S. MNP . 1 V hS . S. ABC 3 ABC 1 V hS . S. MNP 3 MNP 1 Mà SS . . MNP 4 ABC 6 63 Suy ra 4 VS. MNP . VS. MNP 42 Câu 113. Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm ABC′′′, , sao cho 1 1 1 SA′ = SA, SB′ = SB , SC′ = SC . Gọi V và V′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC 3 3 3 V′ và S. ABC′′′. Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 27 Hướng dẫn giải Chọn D V′ SA ′′′ SB SC 111 1 Ta có = . .= = V SA SB SC 333 27 Câu 114. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE= 2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 2 1 1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 12 6 Hướng dẫn giải Chọn B
  79. S E A D B C . 11 Ta có VV= = . SBCD22 SABCD VSEBD SE SB SD 2 1 = = . Do đó VSEBD = . VSCBD SC SB SD 3 3 Câu 115. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích V của khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Hướng dẫn giải Chọn B . Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . G là trọng tâm tam giác SAC . 1 Ta có MGN,, thẳng hàng. Do ABCD là hình bình hành nên VV= = V. S ADC S ABC2 S . ABCD VSM SP VV11SM SM Theo công thức tỉ số thể tích ta có: S. AMP =. ⇔S AMP =⇔=S AMP . V SD SC 1 24SD V SD S ADC V S ABCD 2 S. ABCD VSN SP VV11SN SN Tương tự S. ANP =. ⇔S ANP =⇔=S ANP . V SB SC 1 24SB V SB S ABC V S ABCD 2 S. ABCD VV11SM SN V SM SN Từ đó suy ra S AMP+ S ANP = +⇒S. AMNP =  +. VS ABCD V S ABCD 44 SD SB VS. ABCD  SD SB V 1 SM SN Hay 1 = + . V4  SD SB
  80. SD SB Ta chứng minh +=3. SM SN Thậy vậy, qua BD, kẻ các đường song song với MN cắt SO lần lượt tại EF, . . SD SF SB SE SD SB SE+ SF Ta có: =; =⇒ += . SM SG SN SG SM SN SG SD SB23 SO ⇒ += ==2. 3. SM SN SG 2 SD SB Đặt =xy; = . Ta có xy+=3 . SM SN V1 1SM SN 11 1x+ y 3 3 1 Mặt khác = + = += = ≥2 =. V4 SDSB 4 xy 44 xy xy ( xy+ ) 3 V 1 Vậy 1 nhỏ nhất bằng . V 3 Câu 116. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng (MNI ) chia khối chóp 7 S. ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. Tính tỉ số 13 IA k = ? IS 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A
  81. S H I Q J A E A D E D M P O M N B N C B C F F Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNI ) với hình chóp là hình ngũ giác IMNJH với 1 MN// JI . Ta có MN , AD , IH đồng qui tại E với EA= ED và MN , CD , HJ đồng qui tại 3 1 F với FC= FD , chú ý E , F cố định. 3 HS ED IA HS HS 1 Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có = 1⇔.3.k =⇔= 1 . HD EA SI HD HD3 k d( H,( ABCD)) HD3 k Từ đó = = . d( S,( ABCD)) SD31 k + Suy ra VHJIAMNCD= VVV H DFE −− I AEM J . NFC . 1 Đặt VV= và SS= , h= d( S,( ABCD)) ta có SS= = S và S. ABCD ABCD AEM NFC 8 d( I,( ABCD)) IA k = = d( S,( ABCD)) SA k +1 13kk 9 1 1 1 21kk2 + 25 Thay vào ta được VHJIAMNCD = .h . S− 2. . hS . = . V . 33kk++ 1 8 3 1 8 8 (31kk++)( 1) 13 1 21kk2 + 25 13 Theo giả thiết ta có VV= nên ta có phương trình . = , giải phương HJIAMNCD 20 8( 3kk++ 1)( 1) 20 2 trình này được k = . 3 Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng V V 4V 4V A. . B. . C. . D. . 27 9 27 9 Hướng dẫn giải Chọn B
  82. Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD . VAMNP 8 82 Ta có =⇒==VAMNP VV AEFI . VAEFI 9 99 1 11 1 1 V V= d( Q,.( MNP)) S= d( A ,.( MNP)) S= d( Q ,.( MNP)) S= V = MNPQ 33MNP 262MNP MNP AMNP 9 . Câu 118. Cho tứ diện ABCD có AB= 3 a , AC= 2 a và AD= 4. a Tính theo a thể tích V của khối tứ diện ABCD biết BAC = CAD = DAB =60 ° . A. Va= 233 . B. Va= 623 . C. Va= 633 . D. Va= 223 . Hướng dẫn giải Chọn D A 2a 2a 2a D' C H 2a M B' D a B . Trên cạnh AB lấy điểm B′; trên cạnh AB lấy điểm D′ sao cho AB′′= AD = AC = 2. a Gọi V1 là thể tích tứ diện A.; B′′ CD V2 là thể tích tứ diện A BCD Khi đó các tam giác AB′ C;; ACD ′ AB ′′ D đều cạnh bằng 2a suy ra tam giác B′′ CD đều, cạnh bằng 2a . Tứ diện AB′′ CD đều cạnh bằng 2a nên có thể tích. 2    1 11 3 2 2 3 22 3 V1 = S∆B′′ CD . AH = 2.2.aa  .( 2 a) −  .2. a = .a . 3 32 2  3 2 3    V1 AB′′ AD 21 1 3 Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có = = = ⇒=VV213 = 22 a . V2 AB AD 32 3 Câu 119. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE= 2. EC Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3 Hướng dẫn giải Chọn A
  83. VS. EBD SE SB SD SE 2 21 11 Ta có = = ⇒=VVS EBD S CBD = VS. ABCD =VS. ABCD = . VS. CBD SC SB SD SC 3 32 33 . Câu 120. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A′ là điểm trên cạnh SA sao cho SA′ 3 = . Mặt phẳng (P) đi qua A′ và song song với ( ABCD) cắt SB , SC , SD lần lượt tại SA 4 B′, C′ , D′ . Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là: 37 27 4 27 A. . B. . C. . D. . 98 37 19 87 Hướng dẫn giải Chọn B 2 V SA' SB ' SC ' 3 27 Ta có: SABC.'''= = = VS. ABC SA SB SC 4 64 V 27 V 27 Do đó SABC.''' = ; tương tự SDBC.''' = VABC.''' A B C 37 VDBC.''' D B C 37 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra: V V VV+ 27 SABC.'''= SDBC .''' = SABC .''' SDBC .''' = . VABC.''' A B C V DBC .''' D B C VV ABC .''' A B C+ DBC .''' D B C 37 Câu 121. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác SBD . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại BCD′′′,, . Khi đó thể tích khối chóp S. AB′′′ C D bằng:
  84. V V V V A. . B. . C. . D. . 9 27 3 18 Hướng dẫn giải Chọn C SB′′ SD SI 2 Ta có = = = . SB SD SO 3 SC' CA OI SC ' 1SC '1 Mà . .=⇒ 1 .2. =⇒= 1 . CC' AOIS CC'2 SC 2 VS. AB′′ D 4  =  VS. ABD 9 1 ⇒ ⇒=VV′′′ . V 41 2 S. AB C D 3  S. BCD′′′=. =   VS. BCD 92 9 V 33 k 1 . V2 4 Câu 122. Cho hình lập phương ABCD. A′′′′ B C D cạnh a. Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh A′′ B và BC . Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của V1 phần chứa đỉnh AV, là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số . 2 V 2 55 37 1 2 A. . B. . C. . D. . 89 48 2 3 S A' M A' M B' E B' K D' C' D' C' A A B B H N N D C D C Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H= AB ∩ DN ; MH cắt BB' tại K , cắt AA' tại S ; SD cắt AD'' tại E . Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME . Phần đa diện chứa A có thể tích là: VV1=−−S . ADH V S .' A EM V K . BNH .