Bài tập trắc nghiệm Toán 12 - Bài 6: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán 12 - Bài 6: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (Có đáp án)

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOAGRIT Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2- x + 3 và đường thẳng y = 11. A. (3;11). B. (- 3;11). C. (4;11). D. (- 4;11). x 2 + 2x + 3 Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 = 8x. A. S = {1;3}. B. S = {- 1;3}. C. S = {- 3;1}. D. S = {- 3}. æ2ö4 x æ3ö2x- 6 Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình ç ÷ = ç ÷ . èç3ø÷ èç2ø÷ A. S = {1}. B. S = {- 1}. C. S = {- 3}. D. S = {3}. 2 1 Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình e x - 3x = . e 2 A. T = 3. B. T = 1. C. T = 2. D. T = 0. 2018 x log8 9 Câu 5. Biết rằng phương trình 3 - 2 = 0 có nghiệm duy nhất x = x0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 0 là số nguyên tố. B. x 0 là số chính phương. C. x 0 chia hết cho 3. D. x 0 là số chẵn. 1 3 x + x + Câu 6. Biết rằng phương trình 9x - 2 2 = 2 2 - 32x- 1 có nghiệm duy nhất 1 x = x0 . Tính giá trị biểu thức P = x0 + log 9 2. 2 2 1 1 A. P = 1. B. P = 1- log 9 2 . C. P = 1- log 9 2 . D. P = log 9 2 . 2 2 2 2 2 Câu 7. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho phương trình 4x + 2x + 1 - 3 = 0 . Khi đặt t = 2x , ta được: A. t 2 + t - 3 = 0. B. 2t 2 - 3 = 0. C. t 2 + 2t - 3 = 0. D. 4t - 3 = 0. Câu 8. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3.9x - 10.3x + 3 = 0. A. P = 1. B. P = - 1 . C. P = 0 . D. P = 9. Câu 9. Tìm tập S nghiệm của phương trình e 6x - 3e 3x + 2 = 0. ïì ln 2ïü ïì ln 2ïü A. S = {0;ln 2} .B. S = íï 0; ýï . C. S = íï 1; ýï .D. S = {1;ln 2} . îï 3 þï îï 3 þï 2 2 Câu 10. Phương trình 4x + x + 2x + x + 1 - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm không âm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 2 Câu 11. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4tan x + 2 cos2 x - 3 = 0 trên đoạn [0;3p]. 3p A. T = p. B. T = . C. T = 6p. D. T = 0. 2 Câu 12. Tính P là tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 2x- 1 + 22- x = 3. A. P = 1. B. P = 3. C. P = 5. D. P = 9. 2 2 Câu 13. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 51+ x - 51- x = 24 . Tập S có bao nhiêu phần tử? Trang 1
2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. x æ ö2x + 2 2 ç 1 ÷ Câu 14. Phương trình 9 + 9.ç ÷ - 4 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? èç 3 ø÷ A. 0. B. 1.C. 2. D. 4. 2 2 Câu 15. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin x + 5cos x = 2 5 trên đoạn [0;2p]. 3p A. T = p. B. T = . C. T = 2p. D. T = 4p. 4 Câu 16. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x + 2.3x - 6x = 2 bằng: A. 2 2 . B. 25. C. 7. D. 1. Câu 17. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 6x - 2.2x - 81.3x + 162 = 0. A. P = 4. B. P = 6. C. P = 7. D. P = 10. Câu 18. Gọi x1, x2 lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương x 2 + x- 1 x 2 - 1 2x x trình 2 - 2 = 2 - 2 . Tính S = x1 + x2 . 1 5 A. S = 0. B. S = 1. C. S = . D. S = . 2 2 2 2 2 Câu 19. Phương trình 4x + x + 21- x = 2(x + 1) + 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 20. Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4.(22x + 2- 2x )- 4.(2x + 2- x )- 7 = 0 A. S = 1. B. S = - 1. C. S = 3. D. S = 0. log (x + 3) Câu 21. Phương trình 2 5 = x có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1.B. 2 . C. 3 . D. 0 . 2 Câu 22. Biết rằng phương trình 4log2 2x - x log2 6 = 2.3log2 4 x có nghiệm duy nhất x = x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 Î (- ¥ ;- 1). B. x0 Î [- 1;1]. C. x0 Î (1; 15). D. x Î é 15;+ ¥ . 0 ëê ) 2x 2 - 5x Câu 23. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình (x - 3) = 1 . 13 15 A. T = 0. B. T = 4. C. T = . D. T = . 2 2 2 Câu 24. Cho phương trình 2016x .2017x = 2016x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. B. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm. C. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. D. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm bằng 0. Câu 25. Phương trình 3.25x- 2 + (3x - 10)5x- 2 + 3- x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 Câu 26. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3x .2x = 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 A. T > 1. B. T = 1. C. - < T < 1. D. T < - . 2 2 Trang 2
3. 2 Câu 27. Cho hàm số f (x)= 3x + 1.5x . Mệnh đề nào sau đây là sai? 2 2 A. f (x)= 1 Û (x + 1)log5 3+ x = 0. B. f (x)= 1 Û (x + 1)log 1 3- x = 0. 5 2 2 C. f (x)= 1 Û x + 1- x log3 5 = 0. D. f (x)= 1 Û (x + 1)ln 3+ x ln 5 = 0. x x x + 1 Câu 28. Gọi x 0 là nghiệm nguyên của phương trình 5 .8 = 100 . Tính giá trị của biểu thức P = x0 (5- x0 )(x0 + 8). A. P = 40. B. P = 50. C. P = 60. D. P = 80. 2x- 3 2 Câu 29. Phương trình 3x - 2.4 x = 18 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 2x- 2- m Câu 30. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x- 1.5 x- m = 15 , m là tham số khác 2. A. S = {2;m log3 5}. B. S = {2;m + log3 5}. C. S = {2}. D. S = {2;m - log3 5}. 2 3 Câu 31. Biết rằng phương trình 3x + 1.25x- 1 = có đúng hai nghiệm x , x . Tính 25 1 2 giá trị của P = 3x1 + 3x2 . 26 26 A. P = . B. P = 26. C. P = 26. D. P = . 5 25 2 2 Câu 32. Phương trình 2x- 1 - 2x - x = (x - 1) có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 33. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2017sin x - 2017cos x = cos 2x trên đoạn [0;p]. p p 3p A. x = p. B. x = . C. x = . D. x = . 4 2 4 2 Câu 34. Biết rằng phương trình 3x - 1 + (x 2 - 1)3x + 1 = 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng: A. 2. B. 0. C. 8. D. - 8. 2 Câu 35. Cho phương trình 2016x - 1 + (x 2 - 1).2017x = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0 B. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. C. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt. D. Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm. 1 3 æ öx æ ö ç 2 ÷ ç 2 ÷ Câu 36. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ç ÷ £ ç ÷ . èç 5 ø÷ èç 5 ø÷ æ ö æ ù ç 1÷ ç 1 A. S = ç0; ÷. B. S = ç0; ú. èç 3ø èç 3ûú æ 1ù æ 1ù C. S = ç- ¥ ; ú.D. S = ç- ¥ ; úÈ(0;+ ¥ ). èç 3ûú èç 3ûú 2 æ pöx - x- 9 æ pöx- 1 Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn çtan ÷ £ çtan ÷ . èç 7 ø÷ èç 7 ø÷ A. x £ - 2. B. x ³ 4. C. - 2 £ x £ 4. D. x £ - 2 ; x ³ 4. Trang 3
4. Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn [- 2017;2017] thỏa mãn bất phương trình 4x.33 > 3x.43 ? A. 2013. B. 2017. C. 2014. D. 2021. Câu 39. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất 2 2x phương trình 8x.21- x > ( 2) ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 2x Câu 40. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 31- x + 2.( 3) £ 7 . Khi đó S có dạng [a;b] với a < b . Tính P = b + a.log2 3. A. P = 2. B. P = 1. C. P = 0. D. P = 2 log2 3. Câu 41. Gọi a, b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình 3.9x - 10.3x + 3 £ 0 . Tính P = b - a. 3 5 A. P = 1. B. P = . C. P = 2 . D. P = . 2 2 x Câu 42. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình (x 2 + x + 1) < 1. A. S = (0;+ ¥ ). B. S = (- ¥ ;0). C. S = (- ¥ ;- 1).D. S = (0;1). Câu 43. Cho bất phương trình x log2 x + 4 £ 32 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng. B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn. C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng. D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng. 2 Câu 44. Gọi a, b là hai nghiệm của bất phương trình x ln x + e ln x £ 2e 4 sao cho a - b đạt giá trị lớn nhất. Tính P = ab. A. P = e. B. P = 1. C. P = e 3. D. P = e 4 . 2 Câu 45. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số f (x)= 2x.7x . Khẳng định nào sau đây là sai ? 2 2 A. f (x)< 1 Û x + x log2 7 < 0 .B. f (x)< 1 Û x ln 2 + x ln7 < 0 . 2 C. f (x)< 1 Û x log7 2 + x < 0 . D. f (x)< 1 Û 1+ x log2 7 < 0 . Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Câu 46. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Giải phương trình log4 (x - 1)= 3 . A. x = 63 . B. x = 65 . C. x = 80 . D. x = 82 . é - ù= Câu 47. Tìm tập nghiệm S của phương trình log6 ëx (5 x)û 1. A. S = {2;3}. B. S = {4;6} . C. S = {1;- 6} . D. S = {- 1;6} . Câu 48. Phương trình log2 (x - 3 x + 4)= 3 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4. B. 1. C. 2. D. 0. Câu 49. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình x 2 - 3x + 2 log 1 = 0. 2 x A. P = 4. B. P = 2 2. C. P = 2. D. P = 1. Trang 4
5. Câu 50. Phương trình log2 (x - 3)+ 2 log4 3.log3 x = 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1.B. 2.C. 3.D. 0. Câu 51. Biết rằng phương trình 2 log(x + 2)+ log 4 = log x + 4 log 3 có hai x1 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2 ). Tính P = . x2 1 1 A. P = 4. B. P = . C. P = 64. D. P = . 4 64 2 é ù x 2 êlog 9x ú + log - 7 = 0 Câu 52. Biết rằng phương trình ê 1 ( )ú 3 có hai nghiệm ë 3 û 81 phân biệt x1, x2 . Tính P = x1x2 . 1 A. P = . B. P = 36. C. P = 93. D. P = 38. 93 Câu 53. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tập nghiệm S của phương - + + = trình log 2 (x 1) log 1 (x 1) 1. 2 ïì 3+ 13ïü A. S = íï ýï . B. S = {3}. ï ï îï 2 þï C. S = {2- 5;2 + 5}. D. S = {2 + 5}. é ù log êlog x 3 + log x + x + 1ú= 3. Câu 54. Cho phương trình 2 ê 1 ( ) 2 ú Mệnh đề nào sau ë 8 û đây là đúng? A. Nghiệm của phương trình là số nguyên âm. B. Nghiệm của phương trình là số chính phương. C. Nghiệm của phương trình là số nguyên tố. D. Nghiệm của phương trình là số vô tỉ. Câu 55. Số nghiệm của phương trình log4 (log2 x)+ log2 (log4 x)= 2 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. Nhiều hơn 2 . Câu 56. Tính P tích tất cả các nghiệm của phương trình log2 x - logx 64 = 1. A. P = 1. B. P = 2 . C. P = 4 . D. P = 8 . x Câu 57. Tìm tập nghiệm S của phương trình log2 (9- 2 )= 3- x. A. S = {- 3;0}. B. S = {0;3}. C. S = {1;3}. D. S = {- 3;1}. Câu 58. Biết rằng phương trình log x.log(100x 2 )= 4 có hai nghiệm có dạng 1 x1 và trong đó x1, x2 là những số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? x2 1 2 A. x2 = 2 . B. x2 = x1 . C. x1.x2 = 1. D. x2 = 100x1 . x1 Câu 59. Phương trình log2017 x + log2016 x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0.B. 1.C. 2. D. 3. æx 3 ö ç ÷ Câu 60. Cho phương trình log4 x.log2 (4x)+ log ç ÷= 0 . Nếu đặt t = log2 x, ta 2 èç 2 ø÷ được phương trình nào sau đây? A. t 2 + 14t - 4 = 0. B. t 2 + 11t - 3 = 0. C. t 2 + 14t - 2 = 0. D. t 2 + 11t - 2 = 0. Trang 5
6. Câu 61. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình log2 x.log3 (2x - 1)= 2 log2 x bằng: A. 6 . B. 26 . C. 126 . D. 216 . x + 1 Câu 62. Biết rằng phương trình log3 (3 - 1)= 2x + log 1 2 có hai nghiệm x1 và 3 x1 x2 x2 . Hãy tính tổng S = 27 + 27 . A. S = 180. B. S = 45. C. S = 9. D. S = 252. x 3 - 5x 2 + 6x Câu 63. Số nghiệm của phương trình = 0 là: ln(x - 1) A. 0. B. 1. C. 2.C. 3. 1 + - = - + Câu 64. Biết rằng phương trình 2 log2 x log 1 (1 x ) log 2 (x 2 x 2) có 2 2 nghiệm duy nhất có dạng a + b 3 với a, b Î ¢ . Tính tổng S = a + b. A. S = 6. B. S = 2. C. S = - 2. D. S = - 6. x 2 - 2x + 1 Câu 65. Phương trình log + x 2 + 1 = 3x có tổng tất cả các nghiệm 3 x bằng: A. 3. B. 5.C. 5 . D. 2. Câu 66. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Giải bất phương trình log2 (3x - 1)> 3 . 1 10 A. x > 3 . B. . 3 3 2 Câu 67. Cho bất phương trình log 1 (x - 2x + 6)£ - 2 . Mệnh đề nào sau đây là 3 đúng? A. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng. B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn. C. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai nửa khoảng. D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn. Câu 68. Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = log3 x . Tìm điều kiện của x 0 để điểm M nằm phía trên đường thẳng y = 2 . A. x0 > 0 . B. x0 > 9 . C. x0 > 2 . D. x0 loga (- x + 2x + 3), biết thuộc S. 4 æ 5ö æ 5ö æ5 ö A. S = ç2; ÷. B. S = ç- 1; ÷. C. S = (- ¥ ;- 1). D. S = ç ;+ ¥ ÷. èç 2ø÷ èç 2÷ø èç2 ø÷ Câu 71. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ln x 2 > ln(4x - 4). A. S = (2;+ ¥ ). B. S = (1;+ ¥ ). C. S = ¡ \{2} .D. S = (1;+ ¥ )\{2}. 2 Câu 72. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log0,3 (4x )³ log0,3 (12x - 5). Kí hiệu m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tập S . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 6
7. A. m + M = 3. B. m + M = 2 . C. M - m = 3. D. M - m = 1. log(x 2 + 21) Câu 73. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log10 1+ log2 x log3 x. A. S = (3;+ ¥ ). B. S = (0;2)È(3;+ ¥ ). C. S = (2;3). D. S = (- ¥ ;2)È(3;+ ¥ ). Câu 78. Có tất cả bao nhiêu số nguyên thỏa mãn bất phương trình log élog 2- x 2 ù> 0 1 ëê 2 ( )ûú ? 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . æ 2x + 1ö Câu 79. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log çlog ÷> 0. 1 ç 3 ÷ 2 è x - 1 ø A. S = (- ¥ ;1)È(4;+ ¥ ). B. S = (- ¥ ;- 2)È(1;+ ¥ ). C. S = (- 2;1)È(1;4). D. S = (- ¥ ;- 2)È(4;+ ¥ ). 1- log x 1 Câu 80. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 4 £ . 1- log2 x 2 A. S = (0;2). B. S = [2;+ ¥ ). C. S = (- ¥ ;2). D. S = (2;+ ¥ ). Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Câu 81. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22x- 1 + m2 - m = 0 có nghiệm. A. m 1 . D. m > 1 . Câu 82. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x + 1 - 2x + 2 + m = 0 có nghiệm. A. m £ 0 .B. m ³ 0 . C. m £ 1 . D. m ³ 1 . Câu 83. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x x (2 + 3) + (2- 3) = m có nghiệm. Trang 7
8. A. m Î (- ¥ ;5). B. m Î (- ¥ ;5]. C. m Î (2;+ ¥ ). D. m Î [2;+ ¥ ). Câu 84. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4sin x + 21+ sin x - m = 0 có nghiệm. 5 5 5 5 A. £ m £ 8. B. £ m £ 9. C. £ m £ 7. D. £ m £ 8. 4 4 4 3 Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 + 2 + 1 2 - 3 æ2öx mx æe ö x m ç ÷ £ ç ÷ nghiệm đúng với mọi x . èçe ø÷ èç2ø÷ A. m Î (- 5;0).B. m Î [- 5;0]. C. m Î (- ¥ ;- 5)È(0;+ ¥ ). D. m Î (- ¥ ;- 5]È[0;+ ¥ ). Câu 86. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số x x + 1 m để phương trình 9 - 2.3 + m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 6. B. m = - 3. C. m = 3. D. m = 1. Câu 87. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4x - m.2x + 1 + 2m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2. A. m = 4. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 1. Câu 88. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2x- 1 x 2017 - 2m.2017 + m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 0. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 1. Câu 89. Cho phương trình (m + 1)16x - 2(2m - 3)4x + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng (a;b). Tính P = ab. 3 5 A. P = 4 . B. P = - 4 . C. P = - . D. P = . 2 6 Câu 90. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9x - (m - 1)3x + 2m = 0 có nghiệm duy nhất. A. m = 5+ 2 6 . B. m = 0 ; m = 5+ 2 6 . C. m 2. C. m ³ 2. D. m > 2. 2 2 Câu 92. Cho phương trình m.2x - 5x + 6 + 21- x = 2.26- 5x + m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt. A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. 2 2 Câu 93. Cho phương trình 251+ 1- x - (m + 2)51+ 1- x + 2m + 1 = 0 với m là tham số thực. Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là? A. m = 20. B. m = 35. C. m = 30. D. m = 25. Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2x .52x + m = 3 có hai nghiệm. A. m log3 5+ log5 2. Trang 8
9. C. m log5 3+ log2 5. Câu 95. Cho phương trình e m.sin x- cos x - e 2(1- cos x) = 2- cos x - m.sin x với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. A. m Î - ¥ ;- 3 È 3;+ ¥ . B. m Î é- 3; 3ù. ( ) ( ) ëê ûú C. m Î - 3; 3 . D. m Î - ¥ ;- 3ùÈ é 3;+ ¥ . ( ) ( ûú ëê ) Câu 96. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x - 3x - log2 m = 0 có đúng một nghiệm. 1 1 1 A. 4. C. m = . D. 4 4 4 1 m 4 . 4 Câu 97. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho 2x x + 2 2 phương trình log4 (2 + 2 + 2 )= log2 m - 2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng: A. S = 6. B. S = 8. C. S = 10. D. S = 12. Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log(mx)- 2 = 1 có nghiệm duy nhất. log(x + 1) A. 0 100 . C. m = 1. D. Không tồn tại m. Câu 99. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2 - + = log 3 x m log 3 x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. A. m = 2 .B. m = - 2 . C. m = 2 .D. m = 0 . Câu 100. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của 2 tham số m để bất phương trình log2 x - 2 log2 x + 3m - 2 0 đúng với mọi x ? A. 2015 . B. 4030. C. 2016. D. 4032. Câu 104. Gọi m0 là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương 2 trình (m - 1)log 1 (x - 2)- (m - 5)log 1 (x - 2)+ m - 1 = 0 có nghiệm thuộc (2;4). 2 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? æ 5ö æ 4ö æ 10ö A. m Î ç- 5;- ÷. B. m Î ç- 1; ÷. C. m Î ç2; ÷ D. Không tồn tại. èç 2ø÷ èç 3ø÷ èç 3 ø÷ Trang 9
10. 2 Câu 105. Cho phương trình log2 x - 2 log2 x - 3 = m(log2 x - 3) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [16;+ ¥ ). 3 A. 1< m £ 2 . B. 1< m £ 5 . C. £ m £ 5 . D. 1£ m £ 5 . 4 Câu 106. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x m + e 2 = 4 e 2x + 1 có nghiệm thực. 2 1 A. 0 < m < 1. B. 0 < m £ . C. £ m < 1. D. - 1< m < 0. e e Câu 107. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [- 2017;2017] để phương trình log(mx)= 2 log(x + 1) có nghiệm duy nhất? A. 2017 . B. 4014. C. 2018. D. 4015. Câu 108. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x - 1 log - m = 0 có nghiệm. 2 4x + 1 A. m < 0. B. - 1< m < 1. C. m £ - 1. D. - 1< m < 0. 2 (x- 1) 2 x- m Câu 109. Cho phương trình 2 .log2 (x - 2x + 3)= 4 .log2 (2 x - m + 2) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. æ ö æ ö æ ù é ö ç 1÷ ç3 ÷ ç 1 3 ÷ A. m Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷. B. m Î ç- ¥ ; úÈ ê ;+ ¥ ÷. èç 2ø èç2 ø èç 2ûú ëê2 ø C. m Î (- ¥ ;- 1]È[1;+ ¥ ). D. m Î (- ¥ ;1)È(1;+ ¥ ). 2 Câu 110. Cho phương trình log3 (x + 4mx)+ log 1 (2x - 2m - 1)= 0 với m là 3 tham số thực. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng [a;b]È{c} với a < b < c . Tính P = 2a + 10b + c . A. P = 0 . B. P = 15 . C. P = - 2 . D. P = 13 . ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2- x + 3 và đường thẳng y = 11. A. (3;11). B. (- 3;11). C. (4;11). D. (- 4;11). Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2- x + 3 = 11 Û 2- x = 8 Û 2- x = 23 Û - x = 3 Û x = - 3 . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (- 3;11). Chọn B. x 2 + 2x + 3 Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 = 8x. A. S = {1;3}. B. S = {- 1;3}. C. S = {- 3;1}. D. S = {- 3}. 1 (x 2 + 2x + 3) 1 Lời giải. Phương trình Û 2 2 = 23x Û (x 2 + 2x + 3)= 3x Û x 2 - 4x + 3 = 0 2 Trang 10
11. Û x = 1 hoặc x = 3. Chọn A. Cách 2. CALC với các giá trị của đáp án xem giá trị nào là nghiệm. x 2 + 2x + 3 Nhập vào máy tính phương trình: 2 - 8x CALC tại X=1ta được 0 CALC tại X=3ta được 0 æ2ö4 x æ3ö2x- 6 Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình ç ÷ = ç ÷ . èç3ø÷ èç2ø÷ A. S = {1}. B. S = {- 1}. C. S = {- 3}. D. S = {3}. æ2ö4 x æ3ö2x- 6 æ2ö4 x æ2ö6- 2x Lời giải. Ta có ç ÷ = ç ÷ Û ç ÷ = ç ÷ Û 4x = 6- 2x Û x = 1. Chọn A. èç3ø÷ èç2ø÷ èç3÷ø èç3ø÷ 2 1 Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình e x - 3x = . e 2 A. T = 3. B. T = 1. C. T = 2. D. T = 0. 2 1 2 éx = 1 Lời giải. Ta có e x - 3x = Û e x - 3x = e- 2 Û x 2 - 3x = - 2 Û x 2 - 3x + 2 = 0 Û ê . 2 ê e ëx = 2 ¾ ¾® S = {1;2} ¾ ¾® T = 1+ 2 = 3. Chọn A. 2018 x log8 9 Câu 5. Biết rằng phương trình 3 - 2 = 0 có nghiệm duy nhất x = x0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 0 là số nguyên tố. B. x 0 là số chính phương. C. x 0 chia hết cho 3. D. x 0 là số chẵn. 2x log2 3 Lời giải. Phương trình ¬ ¾® 2x log8 9 = 32018 ¬ ¾® 2 3 = 32018 2x 2x 2x ¬ ¾® (2log2 3 ) 3 = 32018 ¬ ¾® 3 3 = 32018 ¬ ¾® = 2018¬ ¾® x = 3027 . Chọn C. 3 1 3 x + x + Câu 6. Biết rằng phương trình 9x - 2 2 = 2 2 - 32x- 1 có nghiệm duy nhất 1 x = x0 . Tính giá trị biểu thức P = x0 + log 9 2. 2 2 1 1 A. P = 1. B. P = 1- log 9 2 . C. P = 1- log 9 2 . D. P = log 9 2 . 2 2 2 2 2 1 3 3 1 x + x + x + x + Lời giải. Ta có 9x - 2 2 = 2 2 - 32x- 1 ¬ ¾® 9x + 32x- 1 = 2 2 + 2 2 1 4 æ9öx 9 9 Û 9x + .9x = 2 2.2x + 2.2x Û .9x = 3 2.2x Û ç ÷ = Û x = log = x . ç ÷ 9 0 3 3 è2ø 2 2 2 2 2 1 9 1 CASIO Khi đó P = x0 + log 9 2 = log 9 + log 9 2 = 1. Chọn A. 2 2 2 2 2 2 2 Câu 7. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho phương trình 4x + 2x + 1 - 3 = 0 . Khi đặt t = 2x , ta được: A. t 2 + t - 3 = 0. B. 2t 2 - 3 = 0. C. t 2 + 2t - 3 = 0. D. 4t - 3 = 0. 2 Lời giải. Ta có 4x + 2x + 1 - 3 = 0 Û (2x ) + 2.2x - 3 = 0. Khi đặt t = 2x , thay vào phương trình ta được t 2 + 2t - 3 = 0 . Chọn C. Câu 8. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3.9x - 10.3x + 3 = 0. A. P = 1. B. P = - 1 . C. P = 0 . D. P = 9. Lời giải. Phương trình Û 3.32x - 10.3x + 3 = 0 . 1 Đặt t = 3x > 0. Phương trình trở thành 3t 2 - 10t + 3 = 0 Û t = hoặc t = 3 . 3 1 1 Với t = ¾ ¾® 3x = Û x = - 1 = x . 3 3 1 Trang 11
12. x Với t = 3 ¾ ¾® 3 = 3 Û x = 1 = x2 . Vậy P = x1x2 = - 1. Chọn B. Câu 9. Tìm tập S nghiệm của phương trình e 6x - 3e 3x + 2 = 0. ïì ln 2ïü ïì ln 2ïü A. S = {0;ln 2} .B. S = íï 0; ýï . C. S = íï 1; ýï .D. S = {1;ln 2} . îï 3 þï îï 3 þï ét = 1 Lời giải. Đặt e 3x = t > 0 . Phương trình trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û ê . ê ët = 2 é é 3x x = 0 e = 1 é3x = 0 ê ïì ln 2ïü ¾ ¾® ê Û ê Û ê ln 2 ¾ ¾® S = í 0; ý. Chọn B. ê 3x ê êe = 2 ë3x = ln 2 êx = îï 3 þï ë ëê 3 2 2 Câu 10. Phương trình 4x + x + 2x + x + 1 - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm không âm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 2 Lời giải. Phương trình tương đương với 4x + x + 2.2x + x - 3 = 0 . 2 ét = 1 x + x 2 ê Đặt t = 2 , t > 0 . Phương trình trở thành t + 2t - 3 = 0 Û ê . ët = - 3 (loaïi) 2 éx = 0 Với t = 1 , ta được 2x + x = 1 Û x 2 + x = 0 Û ê . ê ëx = - 1 Vậy chỉ có duy nhất nghiệm x = 0 là nghiệm không âm. Chọn B. 1 2 Câu 11. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4tan x + 2 cos2 x - 3 = 0 trên đoạn [0;3p]. 3p A. T = p. B. T = . C. T = 6p. D. T = 0. 2 ïì cos x ¹ 0 ïì p 3p 5pïü Lời giải. Điều kiện: íï Û x ¹ íï ; ; ýï . ï ï ï îï x Î [0;3p] îï 2 2 2 þï 1 2 2 2 2 Ta có 4tan x + 2 cos2 x - 3 = 0 Û (2tan x ) + 2tan x + 1 - 3 = 0 é tan2 x 2 2 2 2 = 1 2 Û 2tan x + 2.2tan x - 3 = 0 Û ê Û 2tan x = 1 Û tan2 x = 0 Û x = kp,k Î ¢. ( ) ê tan2 x ëê2 = - 3 (loaïi) Vì 0 £ x £ 3p ¾ ¾® x = {0; p; 2p; 3p} (thoûa maõn)¾ ¾® T = 6p. Chọn C. Câu 12. Tính P là tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 2x- 1 + 22- x = 3. A. P = 1. B. P = 3. C. P = 5. D. P = 9. 1 4 Lời giải. Ta có 2x- 1 + 22- x = 3 Û .2x + = 3 . 2 2x 1 4 ét = 2 Đặt t = 2x , t > 0 . Phương trình trở thành .t + = 3 Û t 2 - 6t + 8 = 0 Û ê ê 2 t ët = 4 é2x = 2 éx = 1 = x ¾ ¾® ê Û ê 1 ¾ ¾® P = x 2 + x 2 = 5. Chọn C. ê x ê = 2 = 1 2 ëê2 = 4 ëx x2 2 2 Câu 13. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 51+ x - 51- x = 24 . Tập S có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. x 2 5 Lời giải. Phương trình Û 5.5 - 2 - 24 = 0. 5x Trang 12
13. 2 5 Đặt t = 5x , t ³ 1. Phương trình trở thành Û 5.t - - 24 = 0 Û 5t 2 - 24t - 5 = 0 t ét = 5 ê 2 Û ê 1 Û t = 5 ¾ ¾® 5x = 5 Û x 2 = 1 Û x = ± 1 ¾ ¾® S = {- 1;1}. Chọn C. êt = - (loaïi) ëê 5 x æ ö2x + 2 2 ç 1 ÷ Câu 14. Phương trình 9 + 9.ç ÷ - 4 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? èç 3 ø÷ A. 0. B. 1.C. 2. D. 4. x + 1 x x æ1ö x æ1ö x 1 Lời giải. Phương trình 3 + 9.ç ÷ - 4 = 0 Û 3 + 3.ç ÷ - 4 = 0 Û 3 + 3. - 4 = 0. èç3ø÷ èç3ø÷ 3x 1 ét = 1 Đặt t = 3x , t > 0 . Phương trình trở thành t + 3. - 4 = 0 Û t 2 - 4t + 3 = 0 Û ê ê t ët = 3 é3x = 1 Û x = 0 ¾ ¾® ê . Chọn C. ê x ëê3 = 3 Û x = 1 2 2 Câu 15. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin x + 5cos x = 2 5 trên đoạn [0;2p]. 3p A. T = p. B. T = . C. T = 2p. D. T = 4p. 4 sin2 x cos2 x sin2 x 1- sin2 x sin2 x 5 Lời giải. Ta có 5 + 5 = 2 5 Û 5 + 5 = 2 5 Û 5 + 2 = 2 5 5sin x 1 2 2 2 2 2 2 2 Û (5sin x ) - 2 5.5sin x + 5 = 0 Û (5sin x - 5) = 0 Û 5sin x - 5 = 0 Û 5sin x = 52 é ê 2 êsin x = 2 1 2 p kp Û sin x = Û ê Û x = + ,k Î ¢ ê . 2 ê 2 4 2 êsin x = - ë 2 ïì p 3p 5p 7pïü p 3p 5p 7p Do x Î [0;2p]¾ ¾® x = íï ; ; ; ýï ¾ ¾® T = + + + = 4p. Chọn D. îï 4 4 4 4 þï 4 4 4 4 Câu 16. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x + 2.3x - 6x = 2 bằng: A. 2 2 . B. 25. C. 7. D. 1. Lời giải. Phương trình Û 2 x - 6 x = 2 - 2.3x Û 2 x (1- 3x )= 2(1- 3x ) é3x = 1 éx = 0 Û 1- 3x 2x - 2 = 0 Û ê Û ê ¾ ¾® 03 + 13 = 1. Chọn D. ( )( ) ê x ê ëê2 = 2 ëx = 1 Câu 17. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 6x - 2.2x - 81.3x + 162 = 0. A. P = 4. B. P = 6. C. P = 7. D. P = 10. Lời giải. Phương trình Û (6x - 2.2x )- (81.3x - 162)= 0 Û 2x (3x - 2)- 81(3x - 2)= 0 é3x - 2 = 0 éx = log 2 = x x x ê ê 3 1 Û (3 - 2)(2 - 81)= 0 Û Û ¾ ¾® P = x1.x2 = 4. Chọn A. ê x ê = log 81 = ëê2 - 81 = 0 ëx 2 x2 Câu 18. Gọi x1, x2 lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương x 2 + x- 1 x 2 - 1 2x x trình 2 - 2 = 2 - 2 . Tính S = x1 + x2 . 1 5 A. S = 0. B. S = 1. C. S = . D. S = . 2 2 2 2 Lời giải. Phương trình Û 2x - 1 (2x - 1)= 2x (2x - 1)Û (2x - 1)(2x - 1 - 2x )= 0 Trang 13
14. éx = 0 é2x - 1 = 0 é2x = 1 éx = 0 éx = 0 ê Û ê Û ê Û ê Û ê Û ê . ê x 2 - 1 x ê x 2 - 1 x ê 2 ê 2 ê 1± 5 ëê2 - 2 = 0 ëê2 = 2 ëx - 1 = x ëx - x - 1 = 0 êx = ë 2 1- 5 1+ 5 Suy ra nghiệm nhỏ nhất x = , nghiệm lớn nhất x = . Chọn B. 2 2 2 2 2 Câu 19. Phương trình 4x + x + 21- x = 2(x + 1) + 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 2 2 Lời giải. Phương trình Û 22x + 2x + 21- x = 2x + 2x + 1 + 1 . ïì 2x 2 + 2x ï a = 2 > 0 x 2 + 2x + 1 Đặt íï , suy ra 2 = ab . Khi đó phương trình trở thành ï 1- x 2 îï b = 2 > 0 a + b = ab + 1 éa = 1 Û a - ab + b - 1 = 0 Û a 1- b + b - 1 = 0 Û 1- b a - 1 = 0 Û ê . ( ) ( ) ( )( ) ê ëb = 1 2 éx = 0 ● Với a = 1, ta được 22x + 2x = 1 Û 2x 2 + 2x = 0 Û ê . ê ëx = - 1 2 ● Với b = 1 , ta được 21- x = 1 Û 1- x 2 = 0 Û x = ± 1. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0 , x = ± 1 . Chọn C. Câu 20. Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4.(22x + 2- 2x )- 4.(2x + 2- x )- 7 = 0 A. S = 1. B. S = - 1. C. S = 3. D. S = 0. Lời giải. Đặt t = 2x + 2- x , suy ra t 2 = 22x + 2- 2x + 2 . Cauchy Ta có t = 2x + 2- x ³ 2 2x.2- x = 2 . é 5 êt = (thoûa maõn) 2 2 ê 2 Phương trình trở thành 4(t - 2)- 4t - 7 = 0 Û 4t - 4t - 15 = 0 Û ê ê 3 êt = - (loaïi) ëê 2 é2x = 2 5 5 1 5 ê éx = 1 = x Û t = ¾ ¾® 2x + 2- x = Û 2x + = Û 2.22x - 5.2x + 2 = 0 Û ê Û ê 1 x ê x 1 ê 2 2 2 2 2 = ëx = - 1 = x2 ëê 2 ¾ ¾® S = x1 + x2 = 0. Chọn D. log (x + 3) Câu 21. Phương trình 2 5 = x có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1.B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải. Điều kiện: x > - 3. log (x + 3) Do 2 5 > 0 nên để phương trình có nghiệm thì x > 0. Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được log5 (x + 3)= log2 x . ïì x + 3 = 5t ïì x = 5t - 3 Đặt t = log (x + 3)= log x ¾ ¾® íï Û íï Û 5t - 3 = 2t Û 5t = 3.1t + 2t. 5 2 ï t ï t îï x = 2 îï x = 2 æ1öt æ2öt Chia hai vế phương trình cho 5t , ta được 1 = 3.ç ÷ + ç ÷ . Đây là phương èç5ø÷ èç5ø÷ trình hoành độ giao điểm của đường y = 1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số æ1öt æ2öt y = 3.ç ÷ + ç ÷ (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch èç5ø÷ èç5÷ø biến). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình. Trang 14
15. Với t = 1 ¾ ¾® x = 2t = 2(thoûa maõn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. Chọn A. 2 Câu 22. Biết rằng phương trình 4log2 2x - x log2 6 = 2.3log2 4 x có nghiệm duy nhất x = x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 Î (- ¥ ;- 1). B. x0 Î [- 1;1]. C. x0 Î (1; 15). D. x Î é 15;+ ¥ . 0 ëê ) Lời giải. Điều kiện: x > 0 . Phương trình Û 41+ log2 x - x log2 6 = 2.32.log2 2x Û 4.4log2 x - x log2 6 = 2.91+ log2 x Û 4.4log2 x - x log2 6 = 18.9log2 x Û 4.4log2 x - 6log2 x = 18.9log2 x . æ ö2t æ öt t t t ç2÷ ç2÷ Đặt t = log2 x , phương trình trở thành 4.4 - 6 = 18.9 Û 4.ç ÷ - ç ÷ - 18 = 0 èç3÷ø èç3ø÷ éæ öt êç2÷ 9 ç ÷ = t êèç3ø÷ 4 æ2ö 9 1 Û ê Û ç ÷ = Û t = - 2 ¾ ¾® log x = - 2 Û x = Î [- 1;1]. Chọn B. ê t ç ÷ 2 êæ2ö è3ø 4 4 ç ÷ = - 2 loaïi êç ÷ ( ) ëêè3ø Cách CASIO. Loại ngay đáp án A vì không thỏa mãn điều kiện. Dùng CASIO với chức năng TABLE ta dò được nghiệm nằm trong khoảng (0,2;0,3). 2x 2 - 5x Câu 23. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình (x - 3) = 1 . 13 15 A. T = 0. B. T = 4. C. T = . D. T = . 2 2 Lời giải. Ta xét các trường hợp sau: TH1. x - 3 = 1 Û x = 4 thỏa mãn phương trình. éx = 0 ïì x - 3 ¹ 0 ê ï Û ê TH2. í 2 5 . îï 2x - 5x = 0 êx = ëê 2 5 13 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0; x = ; x = 4 ¾ ¾® T = . Chọn 2 2 C. 2 Câu 24. Cho phương trình 2016x .2017x = 2016x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. B. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm. C. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. D. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm bằng 0. 2 x Lời giải. Phương trình Û 2016x - x.2017x = 1 Û (2016x- 1.2017) = 1 éx = 0 éx = 0 Û ê Û ê . Chọn B. ê x- 1 ê ë2016 .2017 = 1 ëx = 1- log2016 2017 0 , phương trình trở thành 3t 2 + (3x - 10)t + 3- x = 0 . (*) Trang 15
16. Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn t và có 2 2 D = (3x - 10) - 4.3(3- x)= (3x - 8) . 1 Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm: t = hoặc t = 3- x . 3 æ ö æ ö 1 x- 2 1 ç1÷ ç1÷ Với t = ¾ ¾® 5 = Û x - 2 = log5 ç ÷Û x = 2 + log5 ç ÷. 3 3 èç3ø÷ èç3ø÷ Với t = 3- x ¾ ¾® 5x- 2 = 3- x . Dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất (Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến). æ ö ç1÷ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2, x = 2 + log5 ç ÷. Chọn B. èç3ø÷ 2 Câu 26. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3x .2x = 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 A. T > 1. B. T = 1. C. - < T < 1. D. T < - . 2 2 Lời giải. Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được x 2 x log3 (3 .2 )= log3 1 2 éx = 0 Û log 3x + log 2x = 0 Û x 2 + x.log 2 = 0 Û x x + log 2 Û ê . 3 3 3 ( 3 ) ê ëx = - log3 2 1 Suy ra T = 0 + (- log 2); - 0,63 < - . Chọn D. 3 2 2 Câu 27. Cho hàm số f (x)= 3x + 1.5x . Mệnh đề nào sau đây là sai? 2 2 A. f (x)= 1 Û (x + 1)log5 3+ x = 0. B. f (x)= 1 Û (x + 1)log 1 3- x = 0. 5 2 2 C. f (x)= 1 Û x + 1- x log3 5 = 0. D. f (x)= 1 Û (x + 1)ln 3+ x ln 5 = 0. 2 Lời giải. Ta có f (x)= 1 Û 3x + 1.5x = 1. (*) x + 1 x 2 Lấy logarit cơ số 5 hai vế của (*), ta được log5 (3 .5 )= log5 1 x + 1 x 2 2 Û log5 3 + log5 5 = 0 Û (x + 1)log5 3+ x = 0 . Do đó A đúng. 1 x + 1 x 2 Lấy logarit cơ số hai vế của (*), ta được log 1 (3 .5 )= log 1 1 5 5 5 2 2 Û (x + 1)log 1 3+ x log 1 5 = 0 Û (x + 1)log 1 3- x = 0 .Do đó B đúng. 5 5 5 x + 1 x 2 Lấy logarit cơ số 3 hai vế của (*), ta được log3 (3 .5 )= log3 1 x + 1 x 2 2 Û log3 3 + log3 5 = 0 Û x + 1+ x log3 5 = 0 . Do đó C sai. Chọn C. 2 Lấy ln hai vế của (*), ta được ln(3x + 1.5x )= ln1 2 Û ln 3x + 1 + ln 5x = 0 Û (x + 1)ln 3+ x 2 ln 5 = 0. Do đó D đúng. x x x + 1 Câu 28. Gọi x 0 là nghiệm nguyên của phương trình 5 .8 = 100 . Tính giá trị của biểu thức P = x0 (5- x0 )(x0 + 8). A. P = 40. B. P = 50. C. P = 60. D. P = 80. Lời giải. Điều kiện: x ¹ - 1. 3x 2- x Phương trình tương đương 5x.2 x + 1 = 22.52 Û 5x- 2 = 2 x + 1 . (*) 2- x Lấy ln hai vế của (*), ta được (x - 2)ln 5 = ln 2 x + 1 Trang 16
17. æ ln 2 ö éx = 2 Û x - 2 çln 5+ ÷= 0 Û ê ( )ç ÷ ê è x + 1ø ëx = - log5 2- 1 Suy ra x0 = 2 ¾ ¾® P = x0 (5- x0 )(x0 + 8)= 60. Chọn C. 2x- 3 2 Câu 29. Phương trình 3x - 2.4 x = 18 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Điều kiện: x ¹ 0. 2x- 3 4 x- 6 6- 3x 2 2 2 Phương trình 3x - 2.4 x = 18 Û 3x - 2.2 x = 2.32 Û 3x - 4 = 2 x . (*) 6- 3x Lấy logarit cơ số 3 hai vế của (*), ta được Û x 2 - 4 = log 2 x 3 éx - 2 = 0 æ 3 ö ê éx = 2 Û (x - 2)çx + 2 + log 2÷= 0 Û ê Û ê . ç 3 ÷ ê 3 ê 2 è x ø x + 2 + log3 2 = 0 êx + 2x + 3log3 2 = 0 (VN) ëê x ë Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 . Chọn B. 2x- 2- m Câu 30. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x- 1.5 x- m = 15 , m là tham số khác 2. A. S = {2;m log3 5}. B. S = {2;m + log3 5}. C. S = {2}. D. S = {2;m - log3 5}. Lời giải. Điều kiện: x ¹ m. 2x- 2- m 2x- 2- m x- 2 - 1 Phương trình Û 3x- 1.5 x- m = 3.5 Û 5 x- m = 31- (x- 1) Û 5x- m = 32- x . (*) Lấy logarit cơ số 5 hai vế của (*), ta được æ ö x - 2 ç 1 ÷ = (2- x)log5 3 Û (x - 2)ç + log5 3÷= 0. x - m èçx - m ø÷ Với x - 2 = 0 Û x = 2(thoûa maõn). 1 1 Với + log5 3 = 0 Û x - m = - Û x = m - log3 5 (thoûa maõn). x - m log5 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {2;m - log3 5}. Chọn D. 2 3 Câu 31. Biết rằng phương trình 3x + 1.25x- 1 = có đúng hai nghiệm x , x . Tính 25 1 2 giá trị của P = 3x1 + 3x2 . 26 26 A. P = . B. P = 26. C. P = 26. D. P = . 5 25 x 2 + 1 2 3 3 1 2 1 Lời giải. Phương trình 3x + 1.25x- 1 = Û = Û 3x = . (*) 25 3 25x- 1.25 25x 2 1 Lấy logarit cơ số 3 hai vế của (*), ta được Û log 3x = log 3 3 25x éx = 0 = x 1 1 ê 1 Û x 2 = x log Û x 2 - x log = 0 Û ê 1 . 3 25 3 25 êx = log = x ëê 3 25 2 1 log3 26 Suy ra P = 3x1 + 3x2 = 30 + 3 25 = . Chọn A. 5 2 2 Câu 32. Phương trình 2x- 1 - 2x - x = (x - 1) có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 2 2 Lời giải. Phương trình 2x- 1 - 2x - x = (x - 1) Û 2x- 1 + (x - 1)= 2x - x + (x 2 - x). (*) Xét hàm số f (t)= 2t + t trên ¡ , ta có f '(t)= 2t ln 2 + 1> 0," t Î ¡ . Trang 17
18. Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . 2 Nhận thấy (*) có dạng f (x - 1)= f (x 2 - x)Û x - 1 = x 2 - x Û (x - 1) = 0 Û x = 1. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1. Chọn A. Câu 33. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2017sin x - 2017cos x = cos 2x trên đoạn [0;p]. p p 3p A. x = p. B. x = . C. x = . D. x = . 4 2 4 2 2 Lời giải. Phương trình Û 2017sin x - 2017cos x = cos2 x - sin2 x 2 2 Û 2017sin x + sin2 x = 2017cos x + cos2 x. (*) Xét hàm số f (t)= 2017t + t trên ¡ , ta có f '(t)= 2017t ln 2017 + 1> 0," t Î ¡ . Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Nhận thấy (*) có dạng f (sin2 x)= f (cos2 x)Û sin2 x = cos2 x p p Û cos2 x - sin2 x = 0 Û cos 2x = 0 Û x = + k , k Î ¢. 4 2 ïì p 3pïü p 3p Vì x Î [0;p]¾ ¾® x = íï ; ýï ¾ ¾® T = + = p. Chọn A. îï 4 4 þï 4 4 2 Câu 34. Biết rằng phương trình 3x - 1 + (x 2 - 1)3x + 1 = 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng: A. 2. B. 0. C. 8. D. - 8. Lời giải. Nếu x Î (- ¥ ;- 1)È(1;+ ¥ ) thì x 2 - 1> 0 . Suy ra 2 Þ 3x - 1 + (x 2 - 1)3x + 1 > 1 . Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. 2 Nếu x Î (- 1;1) thì x 2 - 1 1 Lời giải. Nếu x Î (- ¥ ;- 1)È(1;+ ¥ ) thì x 2 - 1> 0 . Suy ra íï ï x 2 - 1 .2017x > 0 îï ( ) 2 Þ 2016x - 1 + (x 2 - 1).2017x > 1 . Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. ì x 2 - 1 ï 2016 < 1 Nếu x Î (- 1;1) thì x 2 - 1< 0 . Suy ra íï ï x 2 - 1 .2017x < 0 îï ( ) 2 Þ 2016x - 1 + (x 2 - 1).2017x < 1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. Kiểm tra x = ± 1 thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 1 = x1 , x = 1 = x2 . Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0 . Chọn A. Trang 18
19. 1 3 æ öx æ ö ç 2 ÷ ç 2 ÷ Câu 36. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ç ÷ £ ç ÷ . èç 5 ø÷ èç 5 ø÷ æ ö æ ù ç 1÷ ç 1 A. S = ç0; ÷. B. S = ç0; ú. èç 3ø èç 3ûú æ 1ù æ 1ù C. S = ç- ¥ ; ú.D. S = ç- ¥ ; úÈ(0;+ ¥ ). èç 3ûú èç 3ûú 2 1 1- 3x 1 Lời giải. Vì 3x.43 ? A. 2013. B. 2017. C. 2014. D. 2021. x 3 x 3 x 3 x 3 4 4 æ4ö æ4ö Lời giải. Bất phương trình 4 .3 > 3 .4 Û > Û ç ÷ > ç ÷ Û x > 3. 3x 33 èç3ø÷ èç3ø÷ Vì x nguyên và thuộc đoạn [- 2017;2017]¾ ¾® x = {4;5;6; 2017} . Vậy có tất cả 2014 giá trị thỏa mãn. Chọn C. Câu 39. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất 2 2x phương trình 8x.21- x > ( 2) ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 2 2x 2 2 Lời giải. Bất phương trình 8x.21- x > ( 2) Û 23x.21- x > 2x Û 23x + 1- x > 2x Û 3x + 1- x 2 > x Û x 2 - 2x - 1 0 . Bất phương trình trở thành 2t 2 - 7t + 3 £ 0 Û £ t £ 3 . 2 ì = - 1 x ï a log3 2 ¾ ¾® £ 3 £ 3 Û - log3 2 £ x £ 1 ¾ ¾® í ¾ ¾® P = b + a.log2 3 = 0. Chọn C. 2 îï b = 1 Câu 41. Gọi a, b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình 3.9x - 10.3x + 3 £ 0 . Tính P = b - a. 3 5 A. P = 1. B. P = . C. P = 2 . D. P = . 2 2 Trang 19
20. Lời giải. Bất phương trình tương đương với 3.32x - 10.3x + 3 £ 0 . 1 Đặt t = 3x , t > 0 . Bất phương trình trở thành 3t 2 - 10t + 3 £ 0 Û £ t £ 3 . 3 1 ïì a = - 1 ¾ ¾® £ 3x £ 3 Û - 1£ x £ 1 ¾ ¾® íï ¾ ¾® P = b - a = 2. Chọn C. 3 îï b = 1 x Câu 42. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình (x 2 + x + 1) 0. èç 2ø÷ 4 x 0 Bất phương trình tương đương với (x 2 + x + 1) 0 : không thỏa mãn. éx 1 Û x 2 + x > 0 Û ê thì * Û x 0 éx 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (- ¥ ;- 1). Chọn C. Câu 43. Cho bất phương trình x log2 x + 4 £ 32 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng. B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn. C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng. D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng. t Lời giải. Điều kiện: x > 0 . Đặt log2 x = t ¾ ¾® x = 2 . t+ 4 Bất phương trình Û (2t ) £ 32 Û 2t(t+ 4) £ 25 Û t 2 + 4t £ 5 Û - 5 £ t £ 1 1 é1 ù ¾ ¾® - 5 £ log2 x £ 1 Û £ x £ 2 ¾ ¾® S = ê ;2ú. Chọn B. 32 ëê32 ûú 2 Câu 44. Gọi a, b là hai nghiệm của bất phương trình x ln x + e ln x £ 2e 4 sao cho a - b đạt giá trị lớn nhất. Tính P = ab. A. P = e. B. P = 1. C. P = e 3. D. P = e 4 . 2 ln x Lời giải. Điều kiện: x > 0. Ta có đẳng thức e ln x = (e ln x ) = x ln x . 2 Do đó bất phương trình Û 2.e ln x £ 2.e 4 Û ln2 x £ 4 Û ln x £ 2 ì ï 1 - 2 2 1 2 ï a = 2 Û - 2 £ ln x £ 2 Û e £ x £ e Û £ x £ e ¾ ¾® íï e ¾ ¾® P = ab = 1. Chọn B. 2 ï e ï 2 îï b = e 2 Câu 45. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số f (x)= 2x.7x . Khẳng định nào sau đây là sai ? 2 2 A. f (x)< 1 Û x + x log2 7 < 0 .B. f (x)< 1 Û x ln 2 + x ln7 < 0 . 2 C. f (x)< 1 Û x log7 2 + x < 0 . D. f (x)< 1 Û 1+ x log2 7 < 0 . 2 Lời giải. Ta có f (x)< 1 Û 2x.7x < 1. (*) x x 2 Lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*), ta được log2 (2 .7 )< log2 1 x x 2 2 Û log2 2 + log2 7 < 0 Û x + x log2 7 < 0 . Do đó A đúng. 2 Lấy ln hai vế của (*), ta được ln(2x.7x )< ln1 Trang 20
21. 2 Û ln 2x + ln7x 0 Lời giải. Điều kiện: íï Û x > 3. îï x > 0 Phương trình Û log2 (x - 3)+ 2 log4 x = 2 Û log2 (x - 3)+ log2 x = 2 éx = - 1 (loaïi) Û é - ù= Û - = 2 Û 2 - - = Û ê log2 ë(x 3)xû 2 (x 3)x 2 x 3x 4 0 ê . Chọn A. ëêx = 4 (thoaû maõn) Câu 51. Biết rằng phương trình 2 log(x + 2)+ log 4 = log x + 4 log 3 có hai x1 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2 ). Tính P = . x2 1 1 A. P = 4. B. P = . C. P = 64. D. P = . 4 64 Trang 21
22. Lời giải. Điều kiện: x > 0. 2 2 Phương trình Û log(x + 2) + log 4 = log x + log 81 Û log é4(x + 2) ù= log(81x) ëê ûú é 1 2 êx = = x (thoûa maõn) x 1 1 Û 4(x + 2) = 81x Û 4x 2 - 65x + 16 = 0 Û ê 4 1 ¾ ¾® P = 1 = = . ê x 4.16 64 ê = = 2 ëx 16 x2 (thoûa maõn) Chọn D. 2 é ù x 2 êlog 9x ú + log - 7 = 0 Câu 52. Biết rằng phương trình ê 1 ( )ú 3 có hai nghiệm ë 3 û 81 phân biệt x1, x2 . Tính P = x1x2 . 1 A. P = . B. P = 36. C. P = 93. D. P = 38. 93 Lời giải. Điều kiện: x > 0 . 2 2 Phương trình Û (- 2- log3 x) + log3 x - log3 81- 7 = 0 é élog x = 1 x = 3 = x1 (thoûa maõn) Û log2 x + 6 log x - 7 = 0 Û ê 3 Û ê 3 3 ê - 7 êlog x = - 7 = = ë 3 ëêx 3 x2 (thoûa maõn) 1 1 ¾ ¾® P = x x = 3.3- 7 = 3- 6 = = . Chọn A. 1 2 36 93 Câu 53. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tập nghiệm S của phương - + + = trình log 2 (x 1) log 1 (x 1) 1. 2 ïì 3+ 13ïü A. S = íï ýï . B. S = {3}. ï ï îï 2 þï C. S = {2- 5;2 + 5}. D. S = {2 + 5}. Lời giải. Điều kiện: x > 1. 2 Phương trình Û 2 log2 (x - 1)- log2 (x + 1)= 1 Û log2 (x - 1) = 1+ log2 (x + 1) Û - 2 = é + ùÛ - 2 = + log2 (x 1) log2 ë2(x 1)û (x 1) 2(x 1) éx = 2 + 5 thoûa maõn 2 ê ( ) Û x - 4x - 1 = 0 Û ê ¾ ¾® S = {2 + 5}. Chọn D. ëêx = 2- 5(loaïi) é ù log êlog x 3 + log x + x + 1ú= 3. Câu 54. Cho phương trình 2 ê 1 ( ) 2 ú Mệnh đề nào sau ë 8 û đây là đúng? A. Nghiệm của phương trình là số nguyên âm. B. Nghiệm của phương trình là số chính phương. C. Nghiệm của phương trình là số nguyên tố. D. Nghiệm của phương trình là số vô tỉ. Lời giải. Điều kiện: x > 0. Phương trình Û log2 [- log2 x + log2 x + x + 1]= 3 Û log2 (x + 1)= 3 Û x + 1 = 8 Û x = 7(thoûa maõn). Chọn C. Câu 55. Số nghiệm của phương trình log4 (log2 x)+ log2 (log4 x)= 2 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. Nhiều hơn 2 . ì ï x > 0 ï Lời giải. Điều kiện: í log2 x > 0 Û x > 1 . ï îï log4 x > 0 Trang 22
23. æ ö 1 ç1 ÷ Phương trình Û log2 (log2 x)+ log2 ç log2 x÷= 2 2 èç2 ø÷ 1 1 Û log (log x)+ log + log (log x)= 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 Û log (log x)- 1+ log (log x)= 2 Û log (log x)= 3 Û log (log x)= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Û log2 x = 4 Û x = 16(thoûa maõn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 56. Tính P tích tất cả các nghiệm của phương trình log2 x - logx 64 = 1. A. P = 1. B. P = 2 . C. P = 4 . D. P = 8 . Lời giải. Điều kiện: 0 0 . Phương trình Û log x (log100 + log x 2 )= 4 Û log x (2 + 2 log x)= 4 éx = 10(thoûa maõn) élog x = 1 ê Û 2 log2 x + 2 log x - 4 = 0 Û ê Û ê . ê = - ê 1 ëlog x 2 êx = (thoûa maõn) ë 100 2 Suy ra x1 = 10 và x2 = 100 nên x2 = x1 . Chọn B. Câu 59. Phương trình log2017 x + log2016 x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0.B. 1.C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x > 0 . Phương trình Û log2017 x + log2016 2017.log2017 x = 0 Û log2017 x.(1+ log2016 2017)= 0 Û log2017 x = 0¬ ¾® x = 1. Chọn B. æx 3 ö ç ÷ Câu 60. Cho phương trình log4 x.log2 (4x)+ log ç ÷= 0 . Nếu đặt t = log2 x, ta 2 èç 2 ø÷ được phương trình nào sau đây? A. t 2 + 14t - 4 = 0. B. t 2 + 11t - 3 = 0. C. t 2 + 14t - 2 = 0. D. t 2 + 11t - 2 = 0. Lời giải. Ta có Trang 23
24. ïì 1 1 ï log .log 4 = log . 2 + log = log 2 + log = + 2 ï 4 x 2 ( x) 22 x ( 2 x) 2 x ( 2 x) t t ï 2 2 í . ï æx 3 ö æx 3 ö æx 3 ö ï ç ÷= ç ÷= ç ÷= 3 - = - = - ï log 2 ç ÷ log 1 ç ÷ 2 log2 ç ÷ 2(log2 x 1) 6 log2 x 2 6t 2 ï ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ îï è 2 ø 2 è 2 ø è 2 ø 1 Do đó phương trình đã cho trở thành t + t 2 + 6t - 2 = 0 Û t 2 + 14t - 4 = 0 . Chọn 2 A. Câu 61. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình log2 x.log3 (2x - 1)= 2 log2 x bằng: A. 6 . B. 26 . C. 126 . D. 216 . 1 Lời giải. Điều kiện: x > . 2 élog x = 0 éx = 1 Phương trình Û log x.élog (2x - 1)- 2ù= 0 Û ê 2 Û ê 2 ë 3 û ê - = ê - = ëêlog3 (2x 1) 2 ë2x 1 9 éx = 1(thoûa maõn) ê 3 3 Û ê ¾ ¾® 1 + 5 = 126. Chọn C. ëêx = 5(thoûa maõn) x + 1 Câu 62. Biết rằng phương trình log3 (3 - 1)= 2x + log 1 2 có hai nghiệm x1 và 3 x1 x2 x2 . Hãy tính tổng S = 27 + 27 . A. S = 180. B. S = 45. C. S = 9. D. S = 252. Lời giải. Điều kiện: 3x + 1 - 1> 0 Û x > - 1. x + 1 x + 1 Phương trình Û log3 (3 - 1)= 2x - log3 2 Û log3 (3 - 1)+ log3 2 = 2x Û log é3x + 1 - 1 .2ù= 2x Û 3x + 1 - 1 .2 = 32x Û 6.3x - 2 = 32x 3 ëê( ) ûú ( ) ïì 3x1 + 3x2 = 6 Û 32x - 6.3x + 2 = 0 ¾ V¾iet¾® íï . ï x1 x2 îï 3 .3 = 2 3 Ta có S = 27x1 + 27x2 = (3x1 + 3x2 ) - 3.3x1.3x2 (3x1 + 3x2 )= 63 - 3.2.6 = 180. Chọn A. x 3 - 5x 2 + 6x Câu 63. Số nghiệm của phương trình = 0 là: ln(x - 1) A. 0. B. 1. C. 2.C. 3. ïì x - 1> 0 ïì x > 1 Lời giải. Điều kiện: íï Û íï . ï ï îï ln(x - 1)¹ 0 îï x ¹ 2 éx = 0 ê Û 3 - 2 + = Û ê = Phương trình x 5x 6x 0 êx 2. ê ëx = 3 Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Chọn B. 1 + - = - + Câu 64. Biết rằng phương trình 2 log2 x log 1 (1 x ) log 2 (x 2 x 2) có 2 2 nghiệm duy nhất có dạng a + b 3 với a, b Î ¢ . Tính tổng S = a + b. A. S = 6. B. S = 2. C. S = - 2. D. S = - 6. Lời giải. Điều kiện: 0 < x < 1. 2 Phương trình Û log2 x - log2 (1- x )= log2 (x - 2 x + 2) x 2 x 2 Û log2 = log2 (x - 2 x + 2)Û = x - 2 x + 2 1- x 1- x Trang 24
25. 2 x 2 x 2 x æ x ö æ x ö Û = x + 2 1- x Û = + 2 Û ç ÷ - ç ÷- 2 = 0 ( ) 2 ç ÷ ç ÷ 1- x (1- x ) 1- x è1- x ø è1- x ø x x Û = - 1 (vô nghiệm) hoặc = 2 1- x 1- x ïì a = 4 Û x + 2 x - 2 = 0 ¾ ¾® x = - 1+ 3 ¾ ¾® x = 4 - 2 3 ¾ ¾® íï . Chọn B. îï b = - 2 x 2 - 2x + 1 Câu 65. Phương trình log + x 2 + 1 = 3x có tổng tất cả các nghiệm 3 x bằng: A. 3. B. 5.C. 5 . D. 2. 2 x 2 - 2x + 1 (x - 1) Lời giải. Điều kiện: > 0 Û > 0 Û 0 0 . Ta có f '(t)= + 1> 0, " t > 0 . 3 t ln 3 Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên (0;+ ¥ ). 2 2 Nhận thấy (*) có dạng f é(x - 1) ù= f (x)Û (x - 1) = x ëê ûú é ê 3+ 5 êx = (thoûa maõn) 2 2 3+ 5 3- 5 Û x - 3x + 1 = 0 Û ê ¾ ¾® + = 3. ê Chọn A. ê 3- 5 2 2 êx = (thoûa maõn) ë 2 Câu 66. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Giải bất phương trình log2 (3x - 1)> 3 . 1 10 A. x > 3 . B. . 3 3 Lời giải. Bất phương trình Û 3x - 1> 23 Û 3x > 9 Û x > 3. Chọn A. 2 Câu 67. Cho bất phương trình log 1 (x - 2x + 6)£ - 2 . Mệnh đề nào sau đây là 3 đúng? A. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng. B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn. C. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai nửa khoảng. D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn. 2 2 Lời giải. Bất phương trình Û - log3 (x - 2x + 6)£ - 2 Û log3 (x - 2x + 6)³ 2 éx ³ 3 Û x 2 - 2x + 6 ³ 9 Û x 2 - 2x - 3 ³ 0 Û ê . ê ëx £ - 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ;- 1]È[3;+ ¥ ). Chọn C. Câu 68. Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = log3 x . Tìm điều kiện của x 0 để điểm M nằm phía trên đường thẳng y = 2 . A. x0 > 0 . B. x0 > 9 . C. x0 > 2 . D. x0 2 Û x > 9 . Trang 25
26. Chọn B. 2 Câu 69. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 (x - 1) 0 Lời giải. Điều kiện: íï Û x > 1. îï 3x - 3 > 0 2 2 Bất phương trình: log 1 (x - 1) 3x - 3 (chú ý với cơ số 5 5 1 2 Û x 2 - 3x + 2 > 0 Û ê ¾ d¾k:x>¾1® x > 2. Chọn A. ê ëx loga (- x + 2x + 3), biết thuộc S. 4 æ 5ö æ 5ö æ5 ö A. S = ç2; ÷. B. S = ç- 1; ÷. C. S = (- ¥ ;- 1). D. S = ç ;+ ¥ ÷. èç 2ø÷ èç 2÷ø èç2 ø÷ ïì x 2 - x - 2 > 0 ï ì ï 2 ï 2 0 Û íï . ï ï 0 log ¾ ¾® 0 ln(4x - 4). A. S = (2;+ ¥ ). B. S = (1;+ ¥ ). C. S = ¡ \{2} .D. S = (1;+ ¥ )\{2}. ïì 4x - 4 > 0 Lời giải. Điều kiện: íï Û x > 1. îï x ¹ 0 2 Bất phương trình Û x 2 > 4x - 4 Û x 2 - 4x + 4 > 0 Û (x - 2) > 0 Û x ¹ 2 . Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bpt là S = (1;+ ¥ )\{2} . Chọn D. 2 Câu 72. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log0,3 (4x )³ log0,3 (12x - 5). Kí hiệu m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tập S . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m + M = 3. B. m + M = 2 . C. M - m = 3. D. M - m = 1. 5 Lời giải. Điều kiện: x ³ . 12 1 5 Bất phương trình Û 4x 2 £ 12x - 5 Û 4x 2 - 12x + 5 £ 0 Û £ x £ (thoûa maõn). 2 2 é1 5ù Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = ê ; ú. ëê2 2ûú 1 5 Suy ra m = và M = nên m + M = 3. Chọn A. 2 2 Trang 26
27. log(x 2 + 21) Câu 73. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log10 0. Bất phương trình Û log(x 2 + 21).log10 0 Û (x - 50) > 0 Û x ¹ 50. ïì 40 0 ï Lời giải. Điều kiện: í 1+ log x - log x > 0 ï 1 9 îï 9 éx > 0 ïì x > 0 ê ïì x > 0 Û í Û ê 1 Û í Û 0 ê ï îï 1 2 log9 x 0 log9 x - Û x > . 9 9 2 3 Đối chiếu với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là æ1 ö S = ç ;3÷. èç3 ø÷ Suy ra a = 3, b = 3 . Chọn C. Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn [- 2018;2018] thỏa é 2 ù mãn bất phương trình log êlog2 x + 2x - x ú 0 1 ï ( ) Lời giải. Điều kiện: í . ï log x + 2x 2 - x > 0 (2) îï 2 ( ) é 2 ù 2 Bất phương trình log êlog2 x + 2x - x ú 1 (thỏa p ë ( )û ( ) 4 4 (2)) Û + 2 - > Û + 2 - > log2 (x 2x x ) log2 2 x 2x x 2 (thỏa (1)) Trang 27
28. éì 2- 1 Û 2x 2 - x > 2- x Û ê Û ê ì ê êï 2- x ³ 0 ëx (2- x) xÎ [- 2018;2018] ¾ ¾ ¾xÎ ¢¾ ¾® x Î {- 2018;- 2017; ;- 6;- 5;2;3; ;2017;2018} ¾ ¾® có 4031 giá trị nguyên của x thỏa mãn. Chọn B. Câu 77. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2 x + log3 x > 1+ log2 x log3 x. A. S = (3;+ ¥ ). B. S = (0;2)È(3;+ ¥ ). C. S = (2;3). D. S = (- ¥ ;2)È(3;+ ¥ ). Lời giải. Điều kiện: x > 0 . Bất phương trình Û (log2 x - log2 x log3 x)+ log3 x - 1> 0 Û log2 x (1- log3 x)+ log3 x - 1> 0 Û (1- log3 x)(log2 x - 1)> 0. (*) ïì log x - 1> 0 ïì log x > 1 ïì x > 2 TH1: íï 2 Û íï 2 Û íï Û 2 0 îï log3 x 1 îï x > 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2;3).Chọn C. Câu 78. Có tất cả bao nhiêu số nguyên thỏa mãn bất phương trình log élog 2- x 2 ù> 0 1 ëê 2 ( )ûú ? 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . ïì 2- x 2 > 0 ì 2 ï ï 2- x > 0 2 Lời giải. Điều kiện: íï Û íï Û 2- x > 1 Û - 1 0 ï 2 îï 2 ( ) îï 2- x > 1 Bất phương trình Û log élog 2- x 2 ù> log 1 Û log 2- x 2 0 Û x ¹ 0. Đối chiếu điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S = (- 1;0)È(0;1). Suy ra không có số nguyên nào thuộc tập S . Chọn D. æ 2x + 1ö Câu 79. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log çlog ÷> 0. 1 ç 3 ÷ 2 è x - 1 ø A. S = (- ¥ ;1)È(4;+ ¥ ). B. S = (- ¥ ;- 2)È(1;+ ¥ ). C. S = (- 2;1)È(1;4). D. S = (- ¥ ;- 2)È(4;+ ¥ ). ïì 2x + 1 ïì 2x + 1 ï > 0 ï > 0 ï x - 1 ï x - 1 2x + 1 éx > 1 Lời giải. Điều kiện: íï Û íï Û > 1 Û ê . ï 2x + 1 ï 2x + 1 x - 1 êx 0 ï > 1 ë îï 3 x - 1 îï x - 1 2x + 1 2x + 1 4 - x éx 4 Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm S = (- µ ;- 2)È(4;+ µ ). Chọn D. 1- log x 1 Câu 80. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 4 £ . 1- log2 x 2 A. S = (0;2). B. S = [2;+ ¥ ). C. S = (- ¥ ;2). D. S = (2;+ ¥ ). Trang 28
29. ïì x > 0 ïì x > 0 Lời giải. Điều kiện: íï Û íï . ï ï îï log2 x ¹ 1 îï x ¹ 2 1 1- log x 2 1 2- log x 1 2- log x Bất phương trình Û 2 £ Û 2 £ Û 2 £ 1 1- log2 x 2 2(1- log2 x) 2 1- log2 x 2- log2 x 1 Û - 1£ 0 Û £ 0 Û 1- log2 x 1 Û x > 2(thoûa maõn). 1- log2 x 1- log2 x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2;+ ¥ ). Chọn D. Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Câu 81. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22x- 1 + m2 - m = 0 có nghiệm. A. m 1 . D. m > 1 . Lời giải. Ta có 22x- 1 + m2 - m = 0 Û 22x- 1 = - m2 + m. Vì 2x - 1 có miền giá trị là ¡ nên 22x- 1 có miền giá trị là (0;+ ¥ ), do đó phương trình có nghiệm Û - m2 + m > 0 Û 0 0 thì đúng, còn phương trình au = m có nghiệm Û m > 0 2 nói chung không đúng. Ví dụ như hàm số y = 2x + 1 có miền giá trị là [2;+ ¥ ). Câu 82. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x + 1 - 2x + 2 + m = 0 có nghiệm. A. m £ 0 .B. m ³ 0 . C. m £ 1 . D. m ³ 1 . 2 Lời giải. Ta có 4x + 1 - 2x + 2 + m = 0 Û (2x + 1 ) - 2.2x + 1 + m = 0 . (1) Đặt 2x + 1 = t > 0 . Phương trình (1) trở thành t 2 - 2t + m = 0 Û t 2 - 2t = - m . (2) Để phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (2) có nghiệm t > 0. Cách 1. Xét hàm f (t)= t 2 - 2t với t > 0 . Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được - m ³ - 1 Û m £ 1. Chọn C. é0 0,S > 0 é0 0 , suy ra (2- 3) = . t 1 Phương trình đã cho trở thành t + = m. t Trang 29
30. 1 Xét hàm f (t)= t + với t > 0 . t Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được m ³ 2 . Chọn D. Câu 84. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4sin x + 21+ sin x - m = 0 có nghiệm. 5 5 5 5 A. £ m £ 8. B. £ m £ 9. C. £ m £ 7. D. £ m £ 8. 4 4 4 3 1 Lời giải. Đặt t = 2sin x , điều kiện £ t £ 2. 2 Phương trình trở thanh t 2 + 2t - m = 0 Û t 2 + 2t = m . é ù æ ö 2 1 ç1 ÷ Xét hàm f (t)= t + 2t trên đoạn ê ;2ú, ta có f '(t)= 2t + 2 > 0, " t Î ç ;2÷. ëê2 ûú èç2 ø é1 ù Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên đoạn ê ;2ú. ëê2 ûú Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi min f (t)£ m £ max f (t) é1 ù é1 ù ê ;2ú ê ;2ú ëê2 ûú ëê2 ûú æ1ö 5 Û f ç ÷£ m £ f (2)Û £ m £ 8. Chọn A. èç2ø÷ 4 Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 + 2 + 1 2 - 3 æ2öx mx æe ö x m ç ÷ £ ç ÷ nghiệm đúng với mọi x . èçe ø÷ èç2ø÷ A. m Î (- 5;0).B. m Î [- 5;0]. C. m Î (- ¥ ;- 5)È(0;+ ¥ ). D. m Î (- ¥ ;- 5]È[0;+ ¥ ). - x 2 - 2mx- 1 2x- 3m æe ö æe ö 2 Lời giải. Bất phương trình Û ç ÷ £ ç ÷ Û - x - 2mx - 1£ 2x - 3m èç2ø÷ èç2ø÷ Û x 2 + 2(m + 1)x - 3m + 1³ 0. ì ïì 1> 0 2 ï a > 0 ï Ycbt Û x + 2(m + 1)x - 3m + 1³ 0," x Î ¡ Û íï Û í ï D £ ï 2 îï ' 0 ïî (m + 1) + 3m - 1£ 0 Û m2 + 5m £ 0 Û - 5 £ m £ 0. Chọn B. Câu 86. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số x x + 1 m để phương trình 9 - 2.3 + m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 6. B. m = - 3. C. m = 3. D. m = 1. Lời giải. Ta có 9x - 2.3x + 1 + m = 0 Û 32x - 6.3x + m = 0. Đặt t = 3x > 0 , phương trình trở thành t 2 - 6t + m = 0 . (*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm Û phương trình (*) có hai nghiệm dương ïì D ' ³ 0 ïì 9- m ³ 0 ï ï Û íï S > 0 Û íï 6 > 0 Û 0 0 îï m > 0 Theo định lí Viet, ta có 3x1.3x2 = m Û 3x1 + x2 = m Û 3 = m. (thỏa). Chọn C. Cách trắc nghiệm. Thử lần lượt 4 đáp án để chọn. Câu 87. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4x - m.2x + 1 + 2m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2. A. m = 4. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 1. Trang 30
31. 2 Lời giải. Phương trình tương đương với (2x ) - 2m.2x + 2m = 0 . Đặt t = 2x > 0 , phương trình trở thành t 2 - 2mt + 2m = 0 . (*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm Û phương trình (*) có hai nghiệm dương ì 2 ïì D ' ³ 0 ï m - 2m ³ 0 ï ï Û íï S > 0 Û íï 2m > 0 Û m ³ 2. ï ï îï P > 0 îï 2m > 0 Theo định lí Viet, ta có 2x1.2x2 = 2m Û 2x1 + x2 = 2m Û 4 = 2m Û m = 2 (thỏa). Chọn C. Câu 88. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2x- 1 x 2017 - 2m.2017 + m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 0. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 1. 1 2 Lời giải. Phương trình Û (2017x ) - 2m.2017x + m = 0 2017 2 Û (2017x ) - 4034m.2017x + 2017m = 0. Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 . Theo Viet, ta có 2017x1.2017x2 = 2017m Û 2017x1 + x2 = 2017m Û 2017 = 2017m Û m = 1. Thử lại với m = 1 ta thấy thỏa mãn. Chọn D. Câu 89. Cho phương trình (m + 1)16x - 2(2m - 3)4x + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng (a;b). Tính P = ab. 3 5 A. P = 4 . B. P = - 4 . C. P = - . D. P = . 2 6 Lời giải. Đặt t = 4x > 0 . m + 1 t 2 - 2 2m - 3 t + 6m + 5 = 0. * Phương trình trở thành (1444444)444444(4424444)44444444443 ( ) f (t) Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 0 ì ï m + 1 ¹ 0 ï ïì a = - 4 Û í (m + 1)(3m + 12) 0 Câu 90. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9x - (m - 1)3x + 2m = 0 có nghiệm duy nhất. A. m = 5+ 2 6 . B. m = 0 ; m = 5+ 2 6 . C. m 0 , phương trình trở thành t 2 - (m - 1)t + 2m = 0 . (*) Yêu cầu bài toán ¬ ¾® phương trình (*) có đúng một nghiệm dương. Trang 31
32. ● (*) có nghiệm kép dương ì 2 ïì D = 0 ï (m - 1) - 8m = 0 ï ï ¬ ¾® í b ¬ ¾® í m - 1 ¬ ¾® m = 5+ 2 6. ï - > 0 ï > 0 îï 2a îï 2 ● (*) có hai nghiệm trái dấu ¬ ¾ac 2. C. m ³ 2. D. m > 2. 2 Lời giải. Đặt t = 2(x- 1) , điều kiện t ³ 1 . 2 Phương trình trở thành t144-4424m44t2+4434m44-4423= 0. (*) f (t) Ta thấy cứ một nghiệm t > 1 tương ứng cho hai nghiệm x . Do đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1 0 ïì m2 - 3m + 2 > 0 ï ï ï ï 1 0 Û í 1.(m - 1)> 0 Û m > 2. ï ï ï S ï m > 1 ï > 1 îï îï 2 Chọn D. 2 2 Câu 92. Cho phương trình m.2x - 5x + 6 + 21- x = 2.26- 5x + m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt. A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. 2 2 2 2 Lời giải. Ta có m.2x - 5x + 6 + 21- x = 2.26- 5x + m Û m.2x - 5x + 6 + 21- x = 27- 5x + m 2 2 2 2 2 Û m(2x - 5x + 6 - 1)+ 21- x (1- 2x - 5x + 6 )= 0 Û (2x - 5x + 6 - 1)(m - 21- x )= 0. é 2 x = 2 é x - 5x + 6 ê ê2 - 1 = 0 ê Û Û êx = 3 . ê 1- x 2 ê2 = m ê 2 ë ê 1- x ë2 = m (*) Yêu cầu bài toán tương đương với TH1: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất (x = 0), suy ra m = 2. TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm còn lại khác 3 ¾ ¾® m = 2- 3. TH3: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm còn lại khác 2 ¾ ¾® m = 2- 8. Vậy có tất cả ba giá trị m thỏa mãn. Chọn C. 2 2 Câu 93. Cho phương trình 251+ 1- x - (m + 2)51+ 1- x + 2m + 1 = 0 với m là tham số thực. Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là? A. m = 20. B. m = 35. C. m = 30. D. m = 25. Lời giải. Điều kiện: - 1£ x £ 1 . Trang 32
33. - x Xét u(x)= 1+ 1- x 2 , có u '(x)= ; 1- x 2 ì ï max u(x)= 2 ï [- 1;1] u '(x)= 0 Û x = 0 Î [- 1;1]¾ ¾® íï . ï min u(x)= 1 ï îï [- 1;1] 2 Đặt t = 51+ 1- x ¾ ¾® 5 £ t £ 25 . t 2 - 2t + 1 Phương trình trở thành t 2 - (m + 2)t + 2m + 1 = 0¬ ¾® m = = f (t). t - 2 16 576 Do đó phương trình đã có nghiệm Û min f (t)£ m £ max f (t)¬ ¾® £ m £ . [5;25] [5;25] 3 23 Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là m = 25. Chọn D. 2 2 251+ 1- x - 2.51+ 1- x + 1 = . Cách CASIO. Cô lập m ta được m 2 51+ 1- x - 2 2 2 251+ 1- x - 2.51+ 1- x + 1 = Û = Đặt f (x) 2 . Khi đó phương trình f (x) m. 51+ 1- x - 2 Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f (x) với thiết lập Start - 1, End 1, Step 0,2. (Do điều kiện 1- x 2 ³ 0 « - 1£ x £ 1 nên Start - 1, End 1) Quan sát bảng giá trị ta thấy f (x)£ f (0)= 25.043 hay m £ f (0). Vậy m nguyên dương lớn nhất là 25. Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2x .52x + m = 3 có hai nghiệm. A. m log3 5+ log5 2. C. m log5 3+ log2 5. Lời giải. Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, ta được x 2 2x + m log2 (2 .5 )= log2 3 2 2 Û x + (2x + m)log2 5- log2 3 = 0 Û x + (2 log2 5)x + m log2 5- log2 3 = 0. 2 Để phương trình đã cho có hai nghiệm D ' = log2 5- m log2 5+ log2 3 > 0 2 Û m log2 5 0, " t Î ¡ . Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Nhận thấy (*) có dạng f (m sin x - cos x)= f (2- 2 cos x)¬ ¾® m sin x - cos x = 2- 2 cos x Û m sin x + cos x = 2 . (Đây là phương trình lượng giác dạng a sin x + b cos x = c , điều kiện có nghiệm là a2 + b2 ³ c 2 ) é ³ 2 2 êm 3 Để phương trình đã cho có nghiệm Û m + 1³ 4 Û m ³ 3 Û ê . Chọn D. ëêm £ - 3 Trang 33
34. Câu 96. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x - 3x - log2 m = 0 có đúng một nghiệm. 1 1 1 A. 4. C. m = . D. 4 4 4 1 m 4 . 4 Lời giải. Điều kiện: m > 0. 3 Phương trình Û x - 3x = log2 m . Đây là phương trình hoành độ giao điểm 3 của đồ thị hàm số y = x - 3x với đường thẳng y = log2 m (có phương song song trục hoành). éx = 1 ® y = - 2 Xét hàm y = x 3 - 3x . Ta có y ' = 3x 2 - 3; y ' = 0 Û ê . ê ëx = - 1 ® y = 2 Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, suy ra ycbt é 1 élog m 2 ëêm > 4 1 Đối chiếu điều kiện, ta được 0 4. Chọn B. 4 Câu 97. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho 2x x + 2 2 phương trình log4 (2 + 2 + 2 )= log2 m - 2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng: A. S = 6. B. S = 8. C. S = 10. D. S = 12. é x 2 ù Lời giải. Điều kiện: m ¹ 2. Phương trình Û log4 ê(2 + 2) ú= log2 m - 2 ë û é2x + 2 = m - 2 é2x = m - 4 Û log 2x + 2 = log m - 2 Û 2x + 2 = m - 2 Û ê Û ê 2 ( ) 2 ê x ê x ëê2 + 2 = 2- m ëê2 = - m ïì m - 4 £ 0 ïì m £ 4 Để phương trình vô nghiệm Û íï Û íï Û 0 £ m £ 4 îï - m £ 0 îï m ³ 0 mÎ ¢ ¾ m¾¹ 2¾® m Î {0;1;3;4} ¾ ¾® S = 0 + 1+ 3+ 4 = 8. Chọn B. Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log(mx)- 2 = 1 có nghiệm duy nhất. log(x + 1) A. 0 100 . C. m = 1. D. Không tồn tại m. ì ï mx > 0 ïì mx > 0 ï ï Lời giải. Điều kiện: íï x + 1> 0 Û íï x + 1> 0. ï ï ï ï îï log(x + 1)¹ 0 îï x + 1 ¹ 1 mx mx Phương trình Û log(mx)- 2 = log(x + 1)Û log = log(x + 1)Û = x + 1 100 100 100 Û mx = 100x + 100 Û (m - 100)x = 100 Û x = . m - 100 ïì 100 ï m. > 0 ï m - 100 ï ï 100 m ém > 100 Thay vào điều kiện, ta có íï + 1> 0 Û > 0 Û ê . Chọn B. ï m - 100 m - 100 êm < 0 ï ë ï 100 ï + 1 ¹ 1 îï m - 100 Trang 34
35. Câu 99. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2 - + = log 3 x m log 3 x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. A. m = 2 .B. m = - 2 . C. m = 2 .D. m = 0 . Lời giải. Điều kiện: x > 0 .Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra 0 0 . Đặt t = log2 x , với x > 0 suy ra t Î (- ¥ ;+ ¥ ). Bất phương trình đã cho trở thành t 2 - 2t + 3m - 2 0 . Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 . Theo Viet, ta có log3 x1 + log3 x2 = m Û log3 (x1x2 )= m Û log3 81 = m Û 4 = m. Thử lại với m = 4 ta thấy thỏa mãn. Chọn D. Câu 102. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 5+ log(x 2 + 1)³ log(mx 2 + 4x + m) đúng với mọi x ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Để bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi: ● Bất phương trình xác định với mọi x Û mx 2 + 4x + m > 0, " x Î ¡ ïì m > 0 ïì m > 0 Û ï Û ï Û > í í 2 m 2. (1) îï D ' 0 ïì m < 5 Û ï Û ï Û £ í í 2 m 3. (2) îï D ' £ 0 îï - m + 10m - 21£ 0 Từ (1) và (2), ta được 2 < m £ 3 ¾ m¾Î ¢¾® m = 3. Chọn B. Trang 35
36. Câu 103. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn [- 2017;2017] để bất 2 phương trình logm (x + 2x + m + 1)> 0 đúng với mọi x ? A. 2015 . B. 4030. C. 2016. D. 4032. Lời giải. Để bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi: ïì x 2 + 2x + m + 1> 0, " x Î ¡ ● Bất phương trình xác định với mọi x Û íï îï 0 0, " x Î ¡ Û í Û 0 0, " x Î ¡ . (*) Nếu m > 1 thì (*)Û x 2 + 2x + m > 0, " x Î ¡ Û D ' = 1- m 1: (thỏa mãn). ïì 1 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán ¾ ¾ ¾mÎ ¢¾ ¾® m Î {2;3;4; ;2017}. Chọn C. Câu 104. Gọi m0 là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương 2 trình (m - 1)log 1 (x - 2)- (m - 5)log 1 (x - 2)+ m - 1 = 0 có nghiệm thuộc (2;4). 2 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? æ 5ö æ 4ö æ 10ö A. m Î ç- 5;- ÷. B. m Î ç- 1; ÷. C. m Î ç2; ÷ D. Không tồn tại. èç 2ø÷ èç 3ø÷ èç 3 ø÷ Lời giải. Đặt t = log 1 (x - 2), do 2 - 1. 2 t 2 - 5t + 1 Phương trình trở thành (m - 1)t 2 - (m - 5)t + m - 1 = 0 Û m = . t 2 - t + 1 t 2 - 5t + 1 Xét hàm số f (t)= với t > - 1 . t 2 - t + 1 Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được t - 1 1 + ¥ f '(t) - 0 + 7 3 f (t) 1 - 3 7 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm - 3 £ m < . 3 æ ö ç 5÷ Suy ra m0 = - 3 Î ç- 5;- ÷. Chọn A. èç 2ø÷ 2 Câu 105. Cho phương trình log2 x - 2 log2 x - 3 = m(log2 x - 3) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [16;+ ¥ ). 3 A. 1< m £ 2 . B. 1< m £ 5 . C. £ m £ 5 . D. 1£ m £ 5 . 4 Lời giải. Đặt t = log2 x , với x ³ 16 ¾ ¾® t ³ 4 . Trang 36
37. Phương trình trở thành t 2 - 2t - 3 = m(t - 3). (*) ì 2 ï t - 2t - 3 > 0 ● Với m £ 0 thì phương trình vô nghiệm, do í ," t ³ 4. ï îï t - 3 > 0 2 ● Với m > 0 thì (*)Û t 2 - 2t - 3 = m2 (t - 3) Û (1- m2 )t 2 + 2(3m2 - 1)t - 3(1+ 3m2 )= 0 . Nếu m = 1 ¾ ¾® t = 3 : không thỏa mãn. Nếu m ¹ 1, ta nhẩm được một nghiệm t = 3 (không thỏa mãn), suy ra - 3m2 - 1 nghiệm còn lại t = . 1- m2 - 3m2 - 1 Do đó để phương trình đã cho có nghiệm Û ³ 4 Û 1 0 ¾ ¾® t > 1. æx ö4 x 4 2x ç 2 ÷ 4 2 4 4 Suy ra t = e + 1 Û çe ÷ = t - 1 Û e = t - 1 . èç ø÷ Khi đó phương trình trở thành m + 4 t 4 - 1 = t Û m = t - 4 t 4 - 1. (*) t 3 Xét hàm f (t)= t - 4 t 4 - 1 trên (1;+ ¥ ). Ta có f '(t)= 1- 1 . 3 4 (t 4 - 1) Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên (1;+ ¥ ). t 1 + ¥ f '(t) - 1 f (t) 0 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm Û 0 - 1. 2 2 (x + 1) Phương trình log(mx)= 2 log(x + 1)Û mx = (x + 1) Û m = . x 2 (x + 1) Xét hàm f (x)= trên (- 1;+ ¥ ). x Trang 37
38. Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được x - 1 0 1 + ¥ f '(x) - - 0 + + ¥ + ¥ f (x) 4 0 - ¥ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất ém = 4 Û ê ê ëm 0 Û x > 0. t - 1 Đặt t = 4 x , với x > 0 ¾ ¾® t > 1. Phương trình trở thành m = log . 2 t + 1 (*) t - 1 2 Xét hàm số f (t)= log trên (1;+ ¥ ). Ta có f '(t)= > 0," t > 1. 2 t + 1 (t 2 - 1)ln 2 Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ). t 1 + ¥ f (t ) + 0 f (t) - ¥ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm Û m 0, " t > 2. 2 2 t.ln 2 Suy ra hàm số f (t) là hàm số đồng biến trên [2;+ ¥ ). Nhận thấy (*) có dạng f (x 2 - 2x + 3)= f (2 x - m + 2)Û x 2 - 2x + 3 = 2 x - m + 2 Trang 38
39. é - 1 2 = 2 - é 2 - 4 + 2 + 1 = 0 1 2 ê(x ) (x m) êx x m ( ) Û (x - 1) = 2 x - m Û ê Û ê . ê 2 x 2 = 2m - 1 2 ë(x - 1) = - 2(x - m) ëê ( ) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi TH1. Phương trình (1) và (2) đều có nghiệm kép và hai nghiệm này khác nhau ïì D ¢ = 0 ï (1) Û íï ¾ ¾® m Î Æ. ï 2 îï x = 2m - 1 = 0 TH2. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm ïì D ¢ > 0 ì ï (1) ï 4 - (2m + 1)> 0 1 Û íï Û íï Û m . ï 2 ï îï x = 2m - 1> 0 îï 2m - 1> 0 2 TH4. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) cũng có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm của (1) giống hai nghiệm của (2) hay nói cách khác hai phương trình tương đương ¾ ¾® m Î Æ. æ 1ö æ3 ö Vậy m Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ là giá trị cần tìm. Chọn A. èç 2ø÷ èç2 ø÷ 2 Câu 110. Cho phương trình log3 (x + 4mx)+ log 1 (2x - 2m - 1)= 0 với m là 3 tham số thực. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng [a;b]È{c} với a 0 ï x > (1) Û íï Û íï 2 . ï 2 ï îï x + 4mx = 2x - 2m - 1 ï 2 îï x + 2(2m - 1)x + 2m + 1 = 0 (*) Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn (1). ïì / 2 ï D * = (2m - 1) - (2m + 1)= 0 ï ● TH1: (*) có nghiệm kép thỏa (1)¬ ¾® í 2m + 1 ï x = 1- 2m > îï 2 ïì 4m2 - 6m = 0 Û íï Û m = 0. îï 6m 0 2m + 1 ï x1 0 1 1 Û íï Û - < m < - . ï 2 îï 20m + 12m + 1< 0 2 10 Trang 39
40. 2m + 1 2m + 1 2m + 1 ● TH3: (*) có nghiệm x = và nghiệm x > . Thay x = 1 2 2 2 1 2 1 1 vào phương trình (*) ta nhận được m = - hoặc m = - . Thử lại ta thấy 2 10 thỏa mãn. 1 1 Kết hợp các trường hợp, ta được - £ m £ - hoặc m = 0 thỏa mãn yctb. 2 10 1 1 ¾ ¾® a = - ;b = - ;c = 0 . Chọn C. 2 10 Trang 40