Bài tập Tự luận Logarit và Phương trình mũ

Nội dung text: Bài tập Tự luận Logarit và Phương trình mũ

1. Chương II. HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT I. LUỸ THỪA Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức Bài 1: Tính các biểu thức : 32 432 11 a) A 33 b) B 109 81 54 109 612 11 32 41 123.2 c)C .270,2.25128. d) A 5.253.18 511 32 3.2 3 aa222 Bài 2 : Rút gọn biểu thức : Aaa .0,1 ĐS: 2 2 1 aa 121 1 a 44 a b33. ab Bài 3 : Cho biểu thức : A Tính A khi a = 5 ; b = 2 ĐS: 52 33ab Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa Phương pháp: - Hàm số yx có tập xác định dựa vào . Cụ thể:  Khi N * thì hàm số xác định với mọi x  Khi N thì hàm số xác định với mọi x 0  Khi Z thì hàm số xác định với mọi x 0 ' - Hàm số yx có đạo hàm với mọi x > 0 và xx . 1 3 Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số a) yxx 2 2 b) yx 4 26 Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số 0 a) yx 1 8 b) yxx 2 32 c) yx 25 3 5 3 4 2 26x d) yxx 21 e) yxx 275 f) y x 1 2 3 1 g) yx 1 h) yx 4 2 5 i) y x 4 II. LOGARIT Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit b N 5)loga (b . c ) log a b log a c 6)log a log a b log a c 1)loga bNab c 2)log 10 1 a 7)logbN N log b 8)log b log b a aaN a 3)log1a a N log b 4)aba logc b 9)logab 10)log a b .log b c log a c logc a Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức log 3 1 2 1 a) A b) B log66 72 log 3 c) C log19 343 log 49 log 3 8 3 7 Ví dụ mẫu: a) Cho log2 5 a. Tính log4 1250 theo a b) Cho log2 20 b. Tính log20 5 theo b 1
2. Bài tập luyện tập: Bài 1: Tính các lôgarít sau: 1 a) log 27 b) log 3 c) log d)16log2 5 3 1 1 81 9 3 32 log3 1 5 1 e) g) l o g 4 a h) l og a2 i) a2 1 ln 25 a3 e Bài 2: Rút gọn biểu thức: aA)log12log15log20 888 eE)log4.log2 21 1 4 bB)log36log143log21 3 1 2 777 fF)log.log9 527 11 25 log2 cC)lglg 44lg2 log3 3 82 gG)49 2 dD)lg 72log 2 hH)274 log2log2798 Bài 3: Rút gọn biểu thức: 1 1 log2log3log4327 log42log3log152008 a) A 81 3 16 b) B 5 5 2 1 log2log3log42 aa1 16 1 a 1log432log4 952log3 2 c) C 2 d) C 345 a Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b : 1) Cho a log52 , b log32 . Tính l o g 42 5 theo a và b. 2) Cho a log53 , b log32 . Tính l o g 13 0 0 theo a và b. 3) Cho a log31 , b log52 . Tính log0,32 theo a và b. 2 4) Cho log3;log53030 ab. Tính l o g 830 theo a và b. 27 5) Cho l o g 35 = a. Tính l og 3 theo a và b. 5 25 Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit Phương pháp: - Hàm số yx loga với aa 0,1 xác định khi x 0 ' 1 - Hàm số yx loga với aa 0, 1 có đạo hàm với mọi x > 0 và log x a xa.ln ' 1 Đặc biệt ln x x Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 2 24x a) y log3 x x b) y ln 1 x Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau 2 2 x 2 xx 2 a) y = log34 xx b) y = log 1 c) y = log 3 x 1 x 4 2 42 2 d) y = log2(x + x – 6) + ln(x + 2) e)y = log1 xx 3 4 - logx f) y = ln xx 3 2 III. Hàm số mũ Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ Phương pháp: 2
3. - Hàm số ya x với aa 0 , 1 xác định với mọi x ' ' - Hàm số ya x với aa 0 , 1 có đạo hàm với mọi x và a axx a ln . Đặc biệt eexx 2 Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số a) y 2xx 31 b) ye sin x Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x d) y = 5x.sin3x 2 2 e) y = etanx f) y = exx 32 g) y = 3x + 5x h) y = 5x 1 IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. Phương trình mũ Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số abfxbaabfx() ()log, 0,1,0 Phương pháp: a aafxgxaafxg()() x ()(), 0,1 2 Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau a) 2 .xx 3 11 5 b) 24xxx 813 Bài 1: Giải các phương trình sau 2 a) 254x = 53x – 1 b) 39xxx 341 c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2 Bài 2: Giải các phương trình sau a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8 c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60 Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ Phương trình  0aa2xx Đặt tat x ,0 ta được  0tt2 .  Phương trình  0aaxx . Đặt tat x ,0 ta được .0t . t x 22xxx a 2 Phương trình  0aabb Đặt tt ,0 ta được  0tt . b  Phương trình  0abxx với ab.1 . Đặt tat x ,0 ta được .0t . t Ví dụ mẫu: Giải các phương trình: a) 912.3270xx b) 101099xx 11 c) 5.4912.357.250xxx Bài 1 : Giải phương trình : a) 49x + 4.7x – 5 = 0 b) 3x+2 + 9x+1 = 4 c) 22x + 1 +3. 2x = 2 xx 2x +2 2x + 1 2x + 4 x + 1 32 d) 9 - 4.3 + 3 = 0 e) 5 – 110.5 – 75 = 0 f) 2 3 5 0 23 g) 3xx 2.31 5 0 h) ee63xx 3. 2 0 Bài 2 : Giải các phương trình : a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 b) 27122.8xxx c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0 d) 3.84.12182.270xxxx Bài 3 : Giải các phương trình : xx xx a) 2 3 2 3 4 b) 6 35 6 35 12 Vấn đề 3 : Lôgarit hoá f()()()() x g x f x g x Phương pháp: ab loga a log a b fxgxbab ( ) ( )log a , , 0, ab , 1 2 Ví dụ mẫu: Giải phương trình 25x 1 x 3 x 2 3
4. x x 1 x 2 a) 3 .2xx 1 b) 5 .x 8 1x 0 1 0 c) 5 .x 8 5 0x 0 d) 3x . 8 3x 6 1 Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu Phương pháp: - Phương trình f x() a với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì có không quá 1 nghiệm trên D. - Nếu với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì f(u) = f(v)  u = v với u, v D Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x 11 x Bài tập luyện tập Giải các phương trình : x a) 3x + 4x = 5x b)5x = 1 – 3x c) 2x 32 1 d)32-x = x + 2 B. Phương trình lôgarit : Vấn đề 1 : Đưa về cùng cơ số log()()fxbfxa b Phương pháp: với a > 0, a 1 ta luôn có a log()log()()()0aafxgxfxgx Ví dụ mẫu: Giải các phương trình a) logloglog11248xxx b) logloglog3525xx 5 Bài tập luyện tập: Giải các phương trình : 33 a) logloglogxxx b) loglogloglog2 xx 248 6 4224 2 c) log222 (3)logxx (1)log5 d) log2112 (3)logxxx 52log (1)log (1) 24 22 22 e) log33 (2)log449xxx f)log22 (1)log216xxx Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ 1) Giải các phương trình : 2 2 a) log4log3033xx b) log4log30525xx c) loglog525 x x 2 7 2 x 3 2 d) logx 2 log4 x 0 e) log(4)log822x f) log33x logx 1 6 8 x Vấn đề 3 : Mũ hoá xx2 Giải các phương trình : a) log5x (x + 4) = 1 b) 23log2log x (35)55 IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Vấn đề 1: Bất phương trình mũ Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax tăng khi a > 1 và giảm khi 0 3. 5 2 Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ) 11 12 a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) 4xx 2 3 x x x x 4x 2x – 2 x +1 x d) 5.4 +2.25 ≤ 7.10 e) 2. 16 – 2 – 4 ≤ 15 f) 4 -16 ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x 0 tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1. 4
5. Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số) a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 2 c) log2( x – 4x – 5) 2/3 f) log2x(x -5x + 6) logx3 – 5/2 11 c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 d) 1 1loglog xx x 1 x 313 e) log2.log2xx16 f) log(31).log()41 4 log62 x 164 BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO Bài 1: Giải các phương trình sau 1) 510.5183.5xxx 11 2) 22233xxxxx 12312 3) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9 x 1 57x x 32 1 3 xx2 41 1 5321xxx 4) 16.4 5) 9 6) 10319610 8 3 2 2 7) 34.3270285xx 8) ee42xx 23 9) 4 3x 2x 1 2 9.2 3x 2x 10) 82.4220xxx 11) 3.84.12182.270xxxx 12) 27x 12 x 2. 8 x 2 2 2 13) 4 . 9 1xxx 2 3 . 1 6 14) 25x 15.10 x 50.4 x 0 15) 15.25x 34.15 x 15.9 x 0 22 22 16) 7 2x x 1 7 2 x x 8 0 17)5 x 51 x 4 0 18) 3x 3 x 2 3 3 x x 10 0 xxx x x x 3 19) 5215215.2 2 20) 3 5 16 3 5 2 x 1 x x xxx2 282 x 1 21) 7 4 3 3 2 3 2 0 22) 45 23) 3.81 x 2 1 24) 2.38xx9 25) 29 x x 26) 5270x x 3 28) 9 x 2(x 2).3x 2x 5 0 29) 8 x.2x 23 x x 0 30) 3.94.3430xx xx 222 31) 2362xxx 1 32)10153xxx 55 2 33) 22211 3x 4x5x43x 3 x 22222 222 34) 2222xx cos xx2 35) 23564xxxxx 1 36) 23422xxxx x2 Bài 2: Giải các phương trình sau lglgx6 1) logx2logx21log2x7777 2) log2log1log4322  (13log)1 x  3) 612 x 2 4 2 2 3 4) 2logx5log9x3033 5) lg (x – 1) + lg (x – 1) = 25 6) 2logxlog125105x 2 2 3 xx 3 2 7) log22 ()logxxx 432 () 8) log27 (1 xx ) log 9) log3 2 xx 32 4) 2xx 4 5 2 2 10) log()log22xxx 12x 6 0 11) log55 ()xxx ()log151 () 16 0 Bài 3: Giải các bất phương trình sau 11 1)3xx 9.3 10 0 2)5.4xxx 2.25 7.10 0 3) 3x 1 1 1 3 x 2 4) log x2 6x 8 2log x 4 0 5) log log x2 5 0 6) log x 4x 3 1 15 14 8 5 3 Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) log33 (2xx 1) log ( 2) 2) log(xx 1) log(2 11) log 2 5
6. 2 3) log(5)log(2)322xx 4) logloglog(9)xxx x 2 5) log(2)(3)log2 xx  6) log(1)2log(1)xx 9 44x 3 3 7) log(1)log(1)1log(7)xxx 8) 118 1/21/2 1/2 logx3logx1log4x 42 242 1 2 2 9) log(1)log(4)log(3)212xxx 10) log(45)loglog272553 xx 2 2 3 11) log(2)log4log3222xx 12) log1log(3)log(1)02 xxx 18 2 2 2 13) log(3)log(610)1022xx 14) log 2 (x 3) log 1 5 2log 1 (x 1) log 2 (x 1) 2 4 Bài 2: Giải các phương trình sau 1 2 1) (log1)loglog0241xx 2) log(1)6log12022xx 2 4 12 3) log 2 x log 2 x 1 5 0 4) 1 3 3 4lg2lg xx 22 2 x 5) 4log2log1044xx 6) 2log3log11022x 4 2lg2x 7) lg x 8) log152 xxxx log1260 lg1lg1xx 33 x2 9) log4log82 x 10) log4log5502 xx 128 525 2 11) log2 (2)8log(2)5 xx 12) log3loglog22 xxx 21/4 2 21/2 13) 3loglog31033xx 14) Bài 3: Giải các phương trình sau xx 33 xx 1) log22 (251)2log (51) 2) log22 (4.36)log (96)1 xx 1 xx 1 3) log21 (4 4) x log (2 3) 4) log22 (21).log (22)2 2 xx 1 x x 1 5) log33 (31).log (33)6 6) log 2 (4 4) x log 1 (2 3) 2 Bài 4: Giải các phương trình sau 2 2 1) 2 loglog933xxx .log21 1 2) x 3 log33 x 2 4 x 2 log x 2 16 3) log2x 2.log 7 x 2 log 2 x .log 7 x 4) log.log32332xxxx 3.loglog 5) Bài 5: Tìm m để các phương trình sau: x 1) log2 4 mx 1 có 2 nghiệm phân biệt. 2 2) log33x ( m 2).log x 3 m 1 0 có 2 nghiệm x1, x 2 thỏa x1.x2 = 27. 2 2 2 2 22 3) 2log(242x x 2 m 4)log( m x mx 2) m có 2 nghiệm x1, x2 thỏa xx12 1 22 3 4) log33x log x 1 2 m 1 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1;3 . 2 5) 4 log22x log x m 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 6