›
›
›

Bài toán vận dụng cao Lớp 12 - Chuyên đề: Hàm số mũ, lôgarit

docx 63 trang thaodu 4271
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài toán vận dụng cao Lớp 12 - Chuyên đề: Hàm số mũ, lôgarit", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_toan_van_dung_cao_lop_12_chuyen_de_ham_so_mu_logarit.docx

Nội dung text: Bài toán vận dụng cao Lớp 12 - Chuyên đề: Hàm số mũ, lôgarit

  1. CHƯƠNG 02: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT Ở chương này những bài toán vận dụng cao sẽ rơi vào các dạng bài Lãi suất, dạng bài tính số chữ số của một số CHỦ ĐỀ 1: TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu một ứng dụng của Logarit tron việc tính số các chữ số của một số tự nhiên. Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm thế nào là phần nguyên của một số. 1. Phần nguyên của một số: Xét số thức A, số nguyên lớn nhất mà không vượt quá A người ta gọi là phần nguyên của A và kí hiệu là [A]. Như vậy dễ thấy [A] A [A] 1 . 2. Công thức tính số các chữ số của một số tự nhiên: Xét số tự nhiên A hiện thời đang biểu diễn dưới dạng mũ hay một dạng nào đó mà ta không đếm được các chữ số của nó. Gỉ sử A có n chữ số thì ta có công thức sau đây: n [lg A]+1 . Trước khi đi vào chứng minh, tôi muốn nhắc lại cho các bạn cách phân tích một số tự nhiên ra dạng tổng lũy thừa của cơ số 10, ví dụ 423 4.102 2.10 3; 5678 5.103 6.102 7.101 8 . Chứng minh: Giả sử số tự nhiên A có n chữ số: n 1 n 2 n 3 A anan 1an 2 a1 an.10 an 1.10 an 2.10 a1 n 1 n 2 n 3 n Suy ra log A log an.10 an 1.10 an 2.10 a1 log 10 n và n 1 n 2 n 3 n 1 log A log an.10 an 1.10 an 2.10 a1 log an.10 n 1. Từ hai điều này ta có: n 1 log A n log A n log A 1 Giữa log A , log A 1 chỉ có duy nhất một số tự nhiên lớn hơn log A đó là log A 1 Vậy n log A 1 Sau đây ta cùng sử dụng công thức trên để giải một số bài toán sau: BÀI TOÁN ÁP DỤNG p Bài 1: Số nguyên tố dạng M p 2 1 , trong đó p là một số nguyên tố, được gọi là số nguyên tố Mec-xen. Số M 6972593 được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số? Trích đề thi thử Chuyên Hưng Yên lần 2. A. 2098960 chữ số. B. 2098961 chữ số. C. 6972593 chữ số. D. 6972592 chữ số.
  2. Giải: Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số thì n log A 1 Ta cần tính 26972593 1 có bao nhiêu chữ số, ta thấy rằng 26972593 1 và 26972593 chắc chắn có cùng số chữ số, nó giống như là 213 và 213−1 có cùng 3 chữ số vậy. 6972593 Từ lập luậ trên ta đi tính số chữ số của 2 bằng công thức: n log A . 1Áp dụng công thức ta được: 6972593 n log 2 1 6972593.log 2 1 2098960. Chọn B. Bài 2: Người ta qui ước lg x và log x là giá trị của log10 x . Trong các lĩnh vực kỹ thuật, lg x được sử dụng khá nhiều, kể cả máy tính cầm tay hay quang phổ. Hơn nữa, trong toán học người ta sử dụng lg x để tìm số chữ số của một số nguyên dương nào đó. Ví dụ số A có n chữ số thì khi đó n lg A 1 với lg A là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng A. Hỏi số B 20172 0có17 bao nhiêu chữ số? A. 9999 chữ số. B. 6666 chữ số. C. 9966 chữ số. D. 6699 chữ số. Giải: Áp dụng công thức n lg A 1 để tìm các chữ số của số A. Ta có: log B log 20172017 2017log 2017 6665 Vậy B có 6666 chữ số. Chọn B. p Bài 3: Số nguyên tố dạng M p 2 1 , trong đó p là số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp) + Ơ-le phát hiện M 31 năm 1750. + Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát hiện M127 năm 1876 + M1398268 được phát hiện năm 1996. Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗ số có bao nhiêu chữ số? A. 10; 39; 420921. B. 10; 49; 42092. C. 10; 69; 420923. D. 10; 59; 4209. Giải: p n 1 n Giả sử số nguyên tố M p 2 1 viết trong hệ thập phân có n chữ số thì 10 M p 10 hay 10n 1 2 p 10n vì 2 p không chứa thừa số nguyên tố 5 nên 2 p 10n ). Suy ra: lg10n 1 lg 2 p lg10n hay n 1 p.lg 2 n Thay p 31 , ta được 31.lg 2 9,33 Suy ra n 10 . Vậy số nguyên tố M 31 viết trong hệ thập phân có 10 chữ số. Làm tương tự ta thấy M127 có 39 chữ số. số M1398269 có 420921 chữ số. Chọn A.
  3. Bài 4: Số p 2756839 1 là một số nguyên tố. Hỏi nếu viết trong hệ thập phân thì số đó có bao nhiêu chữ số? A. 227831 chữ số. B. 227832 chữ số. C. 227834 chữ số. D. 227835 chữ số. Giải: Áp dụng công thức n lg A 1 để tìm các chữ số của số A. p 2756839 1 log p 1 log 2756839 log p 1 756839.log 2 227831,24. Vậy số p này có 227832 chữ số. chọn B. Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các công sự tại nhóm nghiên cứ Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng số Mersenne, có giá trị bằng M 274207281 1 . Hỏi M có bao nhiêu chữ số? A. 2233862 chữ số. B. 22338618 chữ số. C. 22338617 chữ số. D. 2233863 chữ số. Giải: Áp dụng công thức n lg A 1 để tìm các chữ số của số A. Ta có: log M log 274207281 74207281.log 2 22338617 Do đó M có 22338617 chữ số. Chọn B. Bài 6: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khai niệm số Fermat 2n Fn 2 1 với n là số nguyên dương không âm. Fermat dự đoán Fn là số nguyên tố, nhưng Euler đã chứng minh được F5 là hợp số. Hãy tìm số chữ số của F13 . A. 1243 chữ số. B. 1234 chữ số. C. 2452 chữ số. D. 2467 chữ số. Giải: 213 Ta có: F13 2 1 . 213 13 Suy ra log F13 log 2 2 .log 2 2466 . Suy ra F13 có 2467 chữ số. Chọn D. CHỦ ĐỀ 2 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LÃI SUẤT 1. Lãi đơn Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đơn: Vn V0 1 r.n Trong đó: Vn : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; V0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo %. 2. Lãi kép
  4. Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ. n a. Lãi kép, gửi một lần: Tn T0 1 r Trong đó: Tn : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo %. nr b. Lãi kép liên tục: Tn T0.e Trong đó: Tn : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo %. c. Lãi kép, gửi định kỳ. Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng. Bài toán 1: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu? Người ta chứng minh được số tiền thu được là: m n T 1 r 1 n r Chứng minh Tháng Đầu tháng Cuối tháng 1 Chưa gửi m 2 m m 1 r m 3 m 1 r m m 1 r 2 m 1 r m n m 1 r n 1 m 1 r m n 1 Vậy sau tháng n ta được số tiền Tn m 1 r m 1 r m m 1 r n 1 1 r 1 , n 1 Ta thấy trong ngoặc là tổng n số hạng của cấp số nhân có u1 1, un 1 r , q 1 r n q 1 m n Ta biết rằng: S u u u . nên T 1 r 1 n 1 n 1 q 1 n r Bài toán 2: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: m 1 r n 1 Chứng minh:
  5. m n Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là T 1 r 1 , mà đề cho số tiền đó chính là A n r m n Ar nên A 1 r 1 m . r 1 r n 1 Bài toán 3: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: n log1 r 1 . m Chứng minh: m n Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là T 1 r 1 , mà đề cho số tiền đó chính là A n r m n Ar n Ar Ar nên A 1 r 1 m n 1 r 1 n log1 r 1 r 1 r 1 m m Như vậy trong trường hợp một này ta cần nắm vứng công thức Bài toán 1 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 2, Bài toán 3. Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng. Bài toán 4: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu? m n Người ta chứng minh được số tiền thu được là: T 1 r 1 1 r n r Chứng minh. Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng Cuối tháng 1 m m 1 r 2 m 1 r m m 1 r 2 m 1 r 3 m 1 r 2 m 1 r m m 1 r 3 m 1 r 2 m 1 r n m 1 r n m 1 r Vậy sau tháng n ta được số tiền: n n n 1 r 1 T m 1 r m 1 r m 1 r 1 r m 1 r n r Bài toán 5: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: m 1 r 1 r n 1 Chứng minh
  6. m n Áp dụng bài toán 4. Ta có số tiền thu được là: T 1 r 1 1 r , mà đề cho số tiền đó là A n r m n Ar nên A 1 r 1 1 r m . r 1 r 1 r n 1 Bài toán 6: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: n log1 r 1 . m 1 r Chứng minh m n Áp dụng bài toán 4. Ta có: số tiền thu được là: T 1 r 1 1 r , mà đề cho số tiền đó là A n r m n Ar n Ar nên A 1 r 1 1 r m 1 r 1. r 1 r 1 r n 1 m 1 r Ar n log1 r 1 . m 1 r Như vậy trong trường hợp này ta cần nắm vững công thức bài toán 4 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 5, bài toán 6. Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng. Bài toán 7: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền còn nợ là bao nhiêu? n n 1 r 1 Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là: T A 1 r m 1 r n r Chứng minh. Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng Cuối tháng 1 A m A m 1 r A 1 r m 1 r 2 A 1 r m 1 r m A 1 r 2 m 1 r 2 m 1 r 3 A 1 r 2 m 1 r 2 m 1 r m A 1 r 3 m 1 r 3 m 1 r 2 m 1 r n A 1 r n m 1 r n m 1 r 2 m 1 r Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền: n n 2 Tn A 1 r m 1 r m 1 r m 1 r A 1 r n m 1 r n 1 r n n 1 r 1 A 1 r m 1 r r Trường hợp vay nợ và trả định kì cuối tháng.
  7. Bài toán 8: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năn) số tiền còn nợ là bao nhiêu? n n 1 r 1 Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là: T A 1 r m 1 r n r Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng Cuối tháng 1 A A 1 r m 2 A 1 r m A 1 r 2 m 1 r 2 m 3 A 1 r 2 m 1 r m A 1 r 3 m 1 r 2 m 1 r m n A 1 r n m 1 r n 1 m 1 r m Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền: n n 1 Tn A 1 r m 1 r m 1 r m A 1 r n m 1 r n 1 1 r 1 n n 1 r 1 A 1 r m 1 r r Sau đây cùng tìm hiểu cách áp dụng các lý thuyết vào các bài toán tính tiền lãi, tiền nợ phải trả như thế nào ? BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một người muốn gửi tiết kiệm ở ngân hàng và hi vọng sau 4 năm có được 850 triệu đồng để mua nhà. Biết rằng lãi suất ngân hàng mỗi tháng trong thời điểm hiện tại là 0,45% . Hỏi người đó mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng tối thiểu bao nhiêu tiền để đủ số tiền mua nhà? (Giả sử số tiền mỗi tháng là như nhau và lãi suất trong 4 năm là không thay đổi) A. 15,833 triệu đồng B. 16,833 triệu đồng. C. 17,833 triệu đồng. D. 18,833 triệu đồng. Giải: Giả sử người này gửi tiền ở thời điểm t nào đó, kể từ thời điểm này sau 4 năm (48 tháng) ông muốn có số tiền 850 triệu. Như vậy rõ ràng ta có thể coi đây là bài toán gửi tiền định kì đầu tháng. Ar Áp dụng bài toán 5 ta có số tiền phải gửi mỗi tháng là: m 1 r 1 r n 1 9 Theo đề: n =48 tháng, r 0,45% 2000 Tiền thu được: 850 triệu đồng. thay vào:
  8. 850000000 0,45% m 15,833 1 0,45% 1 0,45% 48 1 Chọn A. Bài 2: Trích đề thi HK 1 Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình. Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền ? (kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng). A. 50 triệu 730 nghìn đồng. B. 50 triệu 740 nghìn đồng. C. 53 triệu 760 nghìn đồng. D. 48 triệu 480 nghìn đồng. Giải: Ta có tổng số tiền A thu được, nếu ban đầu gửi vào a đồng, từ đầu tháng sau gửi thêm a đồng (không đổi) vào đầu mỗi tháng với lãi suấ r% trong n tháng: a n A a 1 r 1 r 1 r Áp dụng với a = 4 triệu đồng, r 1%,n 11 (từ đầu tháng 2 đến cuối tháng 12)??? 4000000 n A (1 1%) 1 1% 1 4000000 50730012,05 . Chọn A. 1% Bài 3: Trích đề Minh họa 1 năm 2017. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. 100. 1,01 3 1,01 3 A. m (triệu đồng). B. m (triệu đồng). 3 1,01 3 1 3 100.1,03 120. 1,12 C. m (triệu đồng). D. m (triệu đồng). 3 1,12 3 1 Giải: Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên r 0,01 (do vay ngắn hạn) Số tiền gốc sau 1 tháng là: T T.r m T 1 r m Số tiền gốc sau 2 tháng là: 2 T (1 r) m T (1 r) m.r m T 1 r m 1 r 1 Số tiền gốc sau 3 tháng là: T 1 r 3 m 1 r 2 1 r 1 0
  9. 3 3 T 1 r T 1 r .r 1,013 Do đó: m (triệu đồng). 1 r 2 1 r 1 1 r 3 1 1,013 1 Chọn B. Bài 4: Ông A muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trê tài khoản này vào ngày 2/3/2007 để đạt được mục tiêu đề ra? A. 14.909.965,25 (đồng). B. 14.909.965,26 (đồng). C. 14.909.955,25 (đồng). D. 14.909.865,25 (đồng). Giải: Gọi V0 là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta có: 5 20.000.000 V0. 1 0,0605 5 V0 20.000.000. 1 0,0605 14.909.965,25 đ. Chọn A. Bài 5: Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm ông Tuấn thu được tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi). A. 9 năm. B. 8 năm. C. 7 năm. D. 10 năm. Giải: Gọi P là số tiền gửi ban đầu. Sau n năm n ¥ , số tiền thu được là: n n Pn P 1 0,084 P 1,084 Áp dụng với số tiền đề bài cho ta được: n n 20 20 20 9,8. 1,084 1,084 n log1,084 8,844 9,8 9,8 vì n là số tự nhiên nên chọn n = 9. Chọn A. Bài 6: Ông Tuấn gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm ông Tuấn thu được gấp đôi số tiền ban đầu: A. 8. B. 9. C. 6. D. 10. Giải: Gọi a là số tiền ba đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và n n ¥ là số năm mà số tiền nhận được tăng gấp đôi. Theo công thức lãi lép, ta có phương trình: n n 271 a 1 0,084 2a 2 n log 271 2 250 250 Vì lãi suất được tính theo năm nên đến cuối năm người đó mới nhận được tiền. Do đó, n= 9. Chọn B.
  10. Bài 7: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5500000đ và chịu lãi suất số tiền chưa trả là 0,5% / tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên. A. n 64. B. n 60. C. n 65. D. n 64,1. Giải: Gọi số tiền anh A nợ ban đầu là M, lãi suất hàng tháng là r% , số tiền hàng tháng anh ta phải trả là a. Với đề bài này có thể coi là : “người nợ tiền nợ vào đầu tháng” n a n Người này trả hết nợ, nghĩa là: M 1 r 1 r 1 0 r Thay số bấn shift Slove sẽ tính được n = 64 với: M=300.000.000, r = 0,5%, a=5500.000 Chọn A. Bài 8: Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng. Cứ 3 năm anh ta lại được tăng lương thêm &%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền. A. 450788972. B. 450788900. C. 450799972. D. 450678972. Giải: Từ năm thứ nhất đến năm thứ 3, anh ta nhận được: u1 700.000 36 Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, anh ta nhận được: u2 700.000 1 7% 36 Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9, anh ta nhận được: 2 u3 700.000 1 7% 36 Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, anh ta nhận được: 11 u12 700.000 1 7% 36 Vậy sau 36 năm anh ta nhận được tổng số tiền là: u1 u2 u3 u12 1 1 7% 12 700.000 36 450788972 1 1 7% Chọn A. Bài 9: Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm. A. 81,412tr. B. 115,892tr. C. 119tr. D. 78tr. Giải: Sau 5 năm bà Hòa rút được tổng số tiền là: 100 1 8% 5 146.932 triệu
  11. 5 Suy ra số tiền lãi là: 100 1 8% 100 L1 Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng. Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73.466 1 8% 5 107.946 triệu Suy ra số tiền lãi là: 107.946 73.466 L2 Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là:  L L1 L2 81,412tr Chọn A. Bài 10: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 9. B. 14. C. 8. D. 7. Giải: 3 tháng là 1 quý nên 6 tháng là 2 quý và 1 năm ứng với 4 quý. Sau 6 tháng nguoeif đó có tổng số tiền là: 100 1 2% 2 104,04tr Người đó gửi thêm 100 tr nên tổng số tiền khi đó là: 104,04 100 204,04tr Suy ra tổng số tiền sau 1 năm nữa là: 204,04 1 2% 4 220TR Chọn B. Bài 11: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ năn và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp ba số tiền ban đầu? A. 9. B. 14. C. 8. D. 7. Giải: n Pn P 1 0,084 Số tiền sau n năm gấp đôi số tiền ban đầu là: n 3P P 1 0,084 log1,084 3 13,6 14 năm. Chọn B. Bài 12: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu 4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cứ sau một năm lãi suất tăng 0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền người đó nhận được gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 119 triệu. B. 119,5 triệu. C. 120 triệu. D. 120,5 triệu. Giải: Năm thứ nhất: T1 100 1 4% Năm thứ hai: T2 T1 1 4,3% Năm thứ ba: T3 T2 1 4,6% Năm thứ tư: T4 T3 1 4,9% Tổng số tiền nhận được sau 4 năm là T T4 119tr . Chọn A.
  12. Bài 13: Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. A. 253,5 triệu. B. 251 triệu. C. 253 triệu. D. 252,5 triệu. Giải: Cuối năm thứ I: T1 a a.m a 1 m Đầu năm thứ II: a 2 a 2 T a 1 m a a 1 m 1 1 m 1 1 m 1 2 1 m 1 m Cuối năm thứ II: a 2 a 2 a 2 T 1 m 1 1 m 1 .m 1 m 1 . 1 m 3 m m m a n Suy ra cuối năm thứ n: T 1 m 1 . 1 m n m (Trong đó a là số tiền ban đầu, m là lãi suất, n là số tháng) Áp dụng: T 2.1000tr; n 6; m 0,08 a 252,5tr . Chọn D. Bài 14: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sao bao lâu người gửi có ít nhất 20 triệu đồng (bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi). A. 16 quý. B. 18 quý. C. 17 quý. D. 19 quý. Giải: Cách 1: Tổng số tiền vốn lẫn lãi sau k quý là:  S 15 1 1,65% k 15.1,0165k lg S lg15 lg S lg 15.1,0165k k lg1,0165 lg 20 lg15 Thời gian có 20 triệu k 17,6 18 (quý). lg1,0165 Vậy sau 18 quý người đó có ít nhất 20 triệu đồng. Cách 2: n Pn P 1 r , Pn 20tr, P 15tr n 4 4 20 15 1 0,0165 1,0165n n log 18 3 1,0165 3 Chọn B. Bài 15: Số tiền 58 000 000 đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lấy về được 61 329 000đ. Lãi suất hàng tháng là? A. 0,8% . B. 0,6% . C. 0,5% . D. 0,7% .
  13. Giải: 61,329 58 1 q 8 (q là lãi suất) 8 61,329 61,329 61,329 1 q 1 q 8 q 8 1 0,7%. Chọn D. 58 58 58 Bài 16. Cô giáo dạy văn gửi 200 triệu đồng loại kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 6,9% một năm thì sau 6 năm 9 tháng hỏi cô giáo dạy văn nhận được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi biết rằng cô giáo không rút lãi ở tất cả các kì hạn trước và nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi suất theo lọa lãi suất không kì hạn 0,002% một ngày (1 tháng tính 30 ngày). A. 471688328,8 B. 302088933,9 C. 311392005,1 D. 321556228,1. Giải: Kì hạn 6 tháng nên mỗi năm có 2 kì hạn 6,9% Suy ra Lãi suất mỗi kì hạn là: r 3,45% . 2 6 năm 9 tháng = 81 tháng = 13.6 + 3 tháng = 13 kì hạn + 3 tháng. 13 Số tiền cô giáo thu được sau 13 kì là: T1 200 1 3,45% Số tiền cô giáo thu được trong 3 tháng tiếp theo là: 13 T2 200 1 3,45% .0,002%.3.30 Vậy số tiền cô giáo nhận được sau 6 năm 9 tháng là: T T1 T2 311,3920051 . Chọn C. Bài 17: Một người muốn sau 4 tháng có 1 tỷ đồng để xây nhà. Hỏi người đó phải gửi mỗi tháng là bao nhiêu tiền (như nhau). Biết lãi suất 1 tháng là 1%. 1,3 1 A. M (tỷ đồng). B. M (tỷ đồng). 3 1,01 1,01 2 1,01 3 1,01 4 3 1.1,03 1. 1,01 C. M (tỷ đồng). D. M (tỷ đồng). 3 3 Giải: Gọi Tn là số tiền thu được ở cuối tháng n, x là số tiền thêm vào mỗi tháng. Ta có: T1 x 1 1% 1,01x T2 T1 x T1 x .1% T1 x .1,01 2 T2 1,01x x .1,01 1,01 x 1,01x 2 n Suy ra : Tn 1,01x 1,01 x 1,01 x Sau 4 tháng bằng đầu tháng thứ nhất đến cuối tháng. 2 3 4 T4 1,01x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1 1 x 1,01x 1,012 x 1,013 x 1,014 x
  14. Chọn B. Bài 18: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T A 1 r n , trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền. A. 176,676 triệu đồng. B. 178,676 triệu đồng. C. 177,676 triệu đồng. D. 179,676 triệu đồng. Giải: Sau 6 tháng (2 quý = 2 kì hạn) người đó có số tiền: 2 T1 100 1 5% 110,25 triệu Sau khi gửi thêm 50 triệu thì số tiền trong ngân hàng là: T2 T1 50 . Suy ra số tiền thu được sau 6 tháng nữa để tròn 1 năm là: 2 2 T3 T2 1 5% T1 50 1 5% Vậy tổng số tiền thu được sau 1 năm là: 2 T T3 T1 50 1 5% 176,68 Chọn A. Bài 19: Một người gửi tiền vào ngân hàng một số tiền là 100.000.000 đồng, họ định gửi theo kì hạn n năm với lãi suất là 12% một năm; sau mỗi năm không nhận lãi mà để lãi nhập vốn cho năm kế tiếp. Tìm n nhỏ nhất lãi nhận được hơn 40.000.000 đồng. A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Giải: Ta có số tiền lãi 40.000.000 số tiền lãi và vốn >140.000.000 Số tiền nhận được sau n năm: 100.000.000 1,12 n Theo đề bài bài Ta có: 100.000.000 1,12 n 140.000.000 1,12n 1,4 n 2,97 n 3 Chọn C. Bài 20: Ông Tuấn vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 0,85% /tháng. Hợp đồng với ngân hàng ông A sẽ hoàn nợ trong n tháng: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và bằng 11,589 triệu đồng. Tìm n.
  15. A. n 8 tháng. B. n 9 tháng. C. n 10 tháng. D. n 11 tháng. Giải: n n 1 r 1 Tn a 1 r m r n n 1 0,85% 1 0 100 1 0,85% 11,589 0,85% n 8,9 n 9 Chọn B. Bài 21: Tỉ lệ tăng dân dân số hàng năm ở Việt nam được duy trì ở mức 1,05% . Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030 thì dân số của Việt Nam là bao nhiêu? A. 107232573 người. B. 107232574 người. C. 105971355 người. D. 106118331 người. Giải: x 90.728.900 1 1,05% 16 x 107232574 . Chọn B. Bài 22: Một người gửi ngân hàng 80 triệu đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 3%/quý. Hỏi sau ít nhất bao lâu, số tiền thu về hơn gấp rưỡi số tiền vốn. A. 52 tháng. B. 51 tháng. C. 49 tháng. D. 50 tháng. Giải: 1 Gọi x là số quý để thu về số tiền hơn gấp rưỡi vốn .80 40 2 50 Vì hình thức lãi đơn nên ta có: 80 3%.x 40 x 16,(6) 3 Suy ra x phải bằng 17 quý Vậy số tháng cần là: 17.3=51 tháng. Chọn B. Bài 23: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng cả vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu? A. 4 năm 9 tháng. B. 4 năm 3 tháng. C. 4 năm 8 tháng. D. 4 năm 6 tháng. Giải: Ta có số tiền thu được sau t quý là T 15 1 1,65% t Theo đề bìa ta có:
  16. t t 4 T 20 15 1 1,65% 20 1 1,65% (Log cơ số 4/3 hai vế ta được). 3 t 4 log 4 1 1,65% log 4 3 3 3 t.log 4 1 1,65% 1 3 1 t 17,6 log 4 1 1,65% 3 Suy ra số quý tối thiểu: t 18 quý = 4 năm 6 tháng. Chọn D. Bài 24: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 8%/năm. Hỏi sau 3 năm, tổng số tiền thu về là bao nhiêu? A. 16 triệu đồng. B. 24 triệu đồng. C. 116 triệu đồng. D. 124 triệu đồng. Giải: Lãi đơn nên ta có: Tổng số tiền sau 1 năm = 100+100.0,08=108 triệu 2 năm = 108+100.0,08= 116 (triệu). 3 năm = 116+100.0,08 = 124 (triệu). Chọn D. Bài 25: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất hàng năm là 12% năm. Sau tháng đầu tiên, mỗi tháng người đó đều trả 10 triệu đồng. Hỏi sau 6 tháng người đó còn nợ ngân hàng bao nhiêu? A. 41,219 triệu đồng. B. 43,432 triệu đồng. C. 40,600 triệu đồng. D. 44,632 triệu đồng. Giải: n n 1 r 1 Số tiền còn nợ sau n tháng: A 1 r a r Trong đó: A: số tiền nợ bằng 100 triệu R: lãi suất 1 tháng bằng 1% A: số tiền trả mỗi tháng bằng 10 N =6. 6 6 1 1% 1 Số tiền nợ: 100 1 1% 10. 44,632 trieeuj 1% Chọn D. Bài 26:
  17. Một người muốn mua chiếc Samsung Galaxy S7 Edge giá 18.500.000 đồng của cửa hàng thế giới di động để tặng bạn gái ngày 20/10 nhưng vì chưa đủ tiền nên người đó đã quyết định chọn mua hình thức trả góp và trả trước 5 triệu đồng trong 12 tháng, với lãi suất là 3,4%/tháng. Hỏi mỗi tháng, người đó sẽ phải trả cho công ty Thế giới Di động số tiền là bao nhiêu? A. 1554000 triệu đồng. B. 1564000 triệu đồng. C. 1584000 triệu đồng. D. 1388824 triệu đồng. Giải: Gọi A là số tiền còn lại cần phải tả ban đầu, x là số tiền cần trả mỗi tháng, r là lãi suất mỗi tháng. Gọi Tn là số tiền còn lại cần phải trả ở cuối tháng n. Ta có: T1 A 1 r x x 1 r 2 1 T A 1 r x 1 r x A 1 r 2 x 1 r 1 A 1 r 2 2 r x 1 r 3 1 T A 1 r 3 3 r x 1 r n 1 T A 1 r n n r Số tiền người đó cần trả trong 12 tháng là: A 18500000 5000000 13500000 x 1 3,4% 12 1 12 Suy ra T 13500000 1 3,4 x 1388823,974 2 3,4 Chọn D. Bài 27: Anh A muốn xây một căn nhà. Chi phí xây nhà hết 1 tỉ đồng, hiện nay anh A có 700 triệu đồng. Vì không muốn vay tiền nên anh A quyết định gửi số tiền 700 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 12%/1 năm, tiền lãi của năm trước được cộng vào tiền gốc của năm sau. Tuy nhiên giá xây dựng cũng tăng mỗi năm 1% so với năm trước. Hỏi sau bao lâu anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền xây nhà? (kết quả lấy gần đúng đến 1 chữ số thập phân). A. 3 năm 6 tháng. B. 3 năm 7 tháng. C. 12 năm 6 tháng. D. 3 năm 9 tháng. Giải: Gọi Vn là tổng số tiền thu được sau n năm, Tn là tổng số tiền thu được sau n năm. Ta có: V0 1 tỉ V1 1(1 1%) tỉ. V2 1 1 1% .1% 1 1 1% 1 1 1% tỉ. n Vn 1 1 1% tỉ. n Số tiền thu được sau n năm: Tn 0,7. 1 12% tỉ
  18. Để xây được nhà thì ở năm thứ n thì số tiền anh thu được phải bằng số tiền vật liệu Tn Vn 0,7 1 12% n 1 1 1% 2 n 1 12% 1 1 1% 0,7 1 n log1 12% 3,5 1 1% 0,7 =3 năm 6 tháng. Chọn A. Bài 28: Ông A gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất x 5%;7% năm. Sau 4 năm ông ta rút tất cả tiền ra và vay thêm ngân hàng 40 triệu đồng cũng với lãi suất x%. Ngân hàng cần lấy lãi suất x bao nhiêu để 3 năm nữa sau khi trả ngân hàng, số tiền của ông A còn lại nhỏ nhất (giả sử lãi suất không thay đổi). A. x 6%. B. x 7%. C. x 5%. D. x 6,5%. Giải: Số tiền của ông sau 4 năm là 150 1 x n Số tiền của ông nợ ngân hàng sau 3 năm từ khi rút tiền là: 40 1 x 3 Sau khi trả ngân hàng số tiền ông còn lại f x 150 1 x 4 40 1 x 3 Ta có f ' x 600 1 x 3 120 1 x 2 0 vẽ BBT thấy f(x) nhỏ nhất tại x=5% chọn C. Bài 29: Đề mua một sa lon, ông Bách phải lựa chọn: hoặc phải trả ngay 3.900.000 đồng hoặc trả 4.400.000 đồng sau 2 năm. Với lãi suất hiện giá là 6% , ông Bách nên chọn giải pháp nào? A. 3.900.000 đồng B. 3.600.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 3.700.000 đồng. Giải: Hiện giá của 4.400.00. đồng trả sau 2 năm là: 2 V0 4.400.000. 1,06 3.915.984,34 đồng>3.900.000 đồng. Do đó ông Bách nên chọn giải pháp trả ngay 3.900.000 đồng. Chọn A. Bài 30: Ông Bách cần thanh toán các khoản nợ sau: 10.000.000 đồng thanh toán sau 2 năm 20.000.000 đồng thanh toán sau 5 năm. 50.000.000 đồng thanh toán sau 7 năm.
  19. Tính thời gian thanh toán cho khoản nợ duy nhất thay thế 99.518.740 đồng (khoảng nợ này có tiền vay ban đầu bằng tổng tiền vay ban đầu của ba khoản nợ trên), với mức lãi kép 4,5%. A. 10.77 năm. B. 11.77 năm. C. 12.77 năm. D. 13.77 năm. Giải: Gọi n là số năm xác định thời gian thanh toán của khoản nợ duy nhất. Sự tương đương giữa nhóm 3 khoản nợ và khoản nợ duy nhất: 9,951874.1,045 n 1.1,045 2 2.1,045 5 5.1,045 7 6,194774. Ta được: 9,951874 6,194774.1,045n Lấy logarit 2 vế ta được: ln9,951874 ln 6,194774 n.ln1,045 ln9,951874 ln 6,194774 v n 10,77 n a m ln1,045 Chọn A. Bài 31: Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị chiếc xe ông Bách mua là bao nhiêu? A. 32.412.582 đồng. B. 35.412.582 đồng. C. 33.412.582 đồng. D. 34.412.582 đồng. Giải: 1 2 3 4 Giá trị chiếc xe là: V0 5.1,08 6.1,08 10.1,08 20.1,08 32.412.582 đồng. Chọn A Bài 32: Trong vòng 4 năm, ông Bách gửi vào một tài khoản lãi suất 8% với các khoản tiền lần lượt là: : 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Ngay sau khi gửi khoản tiền cuối cùng, tổng số tiền trong tài khoản của ông Bách là bao nhiêu? A. 44.096.960 đồng. B. 46.096.960 đồng. C. 45.096.960 đồng. D. 43.096.960 đồng. Giải: Số tiền trong tài khoản cần tìm là: 3 2 Vn 5.1,08 6.1,08 10.1,08 20 44.096.960 đồng. Chọn A Bài 33: Ông Bách quyết định đầu tư mỗi năm 3.000.000 đồng vào một tài khoản tiết kiệm trong vòng 4 năm. Khoản đầu tiên được đầu tư vào tháng 7/2006 Lãi suất trên tài khoản này là 3,75%. Vào tháng 7/2010, ông Bách sở hữu bao nhiêu tiền? A. 13.136.254 đồng. B. 13.692.033 đồng. C. 12.892.033 đồng. D. 13.892.033 đồng. Giải: Ta có sơ đâò trong phần lý thuyết về lãi suất tiền gửi theo thể thức lãi kép, trong đó giá trị cần tìm là giá trị nhận được ở V4 . Áp dụng hệ thức đã đc chứng minh ban đầu ta có: 1,03754 1 V 3.000.000 1 0,0375 . 13.1363254 đồng. 4 0,0375
  20. Chọn A. Bài 34: Ông Bách quyết định đầu tư mỗi năm 3.000.000 đồng vào một tài khoản tiết kiệm trong vòng 4 năm. Khoản đầu tiên được đầu tư vào tháng 7/2006. Lãi suất trên tài khoản này là 3,75%. Thực ra ông có thể đầu tư 750.000 đồng mỗi quý và ngân hàng đồng ý tính lãi suất tích lũy theo quý. Hỏi khoản tiền ông ta sở hữu vào tháng 7/2010 là bao nhiêu? A. 12.998.136 đồng. B. 13.869.146 đồng. C. 12.892.033 đồng. D. 13.892.033 đồng. Giải: Trước hết ta cần tìm lãi suất quý tq tương đương với lãi suất năm 3,75%. 4 Dùng hệ thức ta được 1 t q 1,0375% tq 0,9246% 1 0,946% 16 1 V 750.000. 1 0,9246% . 12.988.136 16 0,9246% Chọn A. Bài 35: Biết rằng tỉ lệ lạm pháp hằng năm của một quốc gia trong 10 năm qua là 5%. Năm 1994, nếu nạp xăng cho một ô tô là 24,95 $. Hỏi năm 2000, tiền nạp xăng cho ô tô đó là bao nhiêu? A. 33,44$. B. 44,44$. C. 44,33$. D. 35,44$. Giải: Ta có: A 1 r n 24.95 1 0,05 6 33,44$ . chọn A. Bài 36: Một sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng là 90 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng. Nếu mỗi tháng sinh viên đó đều rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến 1000 đồng) để đúng sau 4 năm đại học sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi. A. 2317000. B. 2417000. C. 2340000. D. 2298000. Giải: Sau tháng thứ I: A 1 r a 2 Sau tháng thứ II: A 1 r a 1 r 1 Sau tháng thứ 3: A 1 r 3 a 1 r 2 1 r 1 n n 1 r 1 Sau tháng thứ n: A 1 r a r n n n 1 r 1 Ar 1 r Rút hết tiền: 0 A 1 r a a n r 1 r 1 Với A: số tiền gửi, r là lãi tháng, a: số tiền rút ra, n: số tháng Ap dụng, A= 90.000.000, r = 0,9%, n =48%. Suy ra a= 2317000. Chọn A.
  21. Bài 37: Ông Bách dự tính mua trả chậm một chiếc xe gắn máy bằng cách trả ngay 2.200.000 đồng tiền mặt, 3.800.000 đồng cuối năm sau và 5.300.000 đồng cuối năm kế tiếp. Biết lãi suất áp dụng là 6,24%, hỏi rằng giá chiếc xe bao nhiêu? A. 10 472 500 đồng. B. 12 472 500 đồng. C. 9 472 500 đồng. D. 11 472 500 đồng. Giải: Gọi x là giá của chiếc xe: m1,m2 lần lượt là số tiền cần trả còn lại cuối năm thứ nhất và năm thứ 2. x 2 200 000 m1 x 1047250,77 Ta có: m1 1 6,24% 3 800 000 m2 m1 8272500,77 m 4988704,819 m2 1 6,24% 5 300 000 0 2 Chọn A. Bài 38: Ông Bách mua chiếc xe giá 10,5 triệu. Một công ty tài chính đề nghị ông Bách trả ngay 1.800.000 đồng tiền mặt, 2.900.000 đồng cuối 2 năm tiếp theo và 2.000.000 đồng cuối các năm thứ ba và thứ tư. Biết lãi suất áp dụng là 5,85%, hỏi ông Bách sau bốn năm còn nợ bao nhiêu? A. 3,55 triệu đồng. B. 2,50 triệu đồng. C. 4 triệu đồng. D. 2 triệu đồng. Giải: Sau khi trả ngay ông Bách còn nợ lại: 8700000 đồng. Sau 2 năm ông Bách nợ lại: 8,7 1 5,58% 2,9 6,85 triệu đồng. Sau năm thứ 3 ông Bách nợ lại: 6,85 1 5,85% 2 5,25 triệu Sau năm thứ 4 ông Bách còn nợ lại: 5,25 1 5,85% 2 3,55 triệu. Sau 4 năm ông Bách vẫn chưa trả hết nợ. Chọn A. Bài 39: một người gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó thu được tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi). A. 9 năm. B. 8 năm. C. 7 năm. D. 10 năm. Giải: Gọi P là số tiền ban đầu. Sau n năm n ¥ , số tiền thu được là: n n Pn P 1 0,084 P 1,084 Áp dụng với số tiền bài toán cho ta được: n n 20 20 20 9,8. 1,084 1,084 n log1,084 8,844 9,8 9,8 Vì n là Số tự nhiên nên n=9. Chọn A.
  22. Bài 40: Ông Bách dự định đầu tư khoản tiền 20.000.000 đồng vào một dự án với lãi suất tăng dần: 3,35% trong 3 năm đầu; 3,75% trong hai năm kế tiếp và 4,8% ở 5 năm cuối. tính giá trị khoản tiền ông Bách nhận được cuối năm thứ 10. A. 30 triệu. B. 40 triệu. C. 25 triệu. D. 35 triệu. Giải: Số tiền ông Bách thu được trong 3 năm đầu: 3 T1 20.000.000 1 3,35% Số tiền ông Bách nhận được trong 2 năm tiếp theo: 2 T2 T1 1 3,75% 5 Số tiền ông B nhận được sau 5 năm: T3 T2 1 4,8% Vậy số tiên ông B thu được sau 10 năm là: 3 2 5 T T3 20000000 1 3,35% . 1 3,375% . 1 4,8% 30043052,9 . Chọn A. Bài 41: Ông Bách gửi vào tài khoản 7.000.000 đồng. Một năm sau ông rút ra 7.000.000. Một năm sau ngày rút ông nhận được khoản tiền 272.340 đồng. Tính lãi suất áp dụng trên tài khoản ông Bách. A. 3,75% B. 2,75%. C. 1,75%. D. 4,75%. Giải: Số tiền ông bách nhận được sau 1 năm: A 1 r . Trong đó A là số tiền ban đầu, r là lãi suất. Sau đó ông rút số tiền bằng số tiền ban đầu nên số tiền còn lại trong ngân hàng: A 1 r A Ar Sau 1 năm ông nhận đc số tiền: 272.340 đồng. 272340 r 0,0375 3,75% Suy ra: Ar 1 r 272.340 r 1 r 700000 r 1,037 loai Chọn A. Bài 42: Một người gửi 10 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,03%/ngày. Hỏi sau ít nhất bao lâu, người đó lãi được hơn 2 triệu đồng? A. 611 ngày. B. 608 ngày. C. 610 ngày. D. 609 ngày. Giải: Sau n ngày người này đc số tiền 10 1 0,0003 n Do đó: 10 1 0,0003 n 10 2 n 608 . Chọn B. Bài 43: Bạn Bình gửi tiết kiệm số tiền 58 000 000 đồng trong 8 tháng tại một ngân hàng thì nhận được 61 329 000 đồng. Khi đó, lãi suất hàng tháng là: A. 0,6%. B. 6%. C. 0,7%. D. 7%. Giải: Lãi được tính theo công thức lãi kép, vì 8 tháng sau bạn An mới rút tiền. Ta có công thức tính lãi:
  23. 8 61329 58000000 1 x 61329000 1 x 8 58000 61329 x 8 1 0,007 0,7% 58000 Chọn C. Bài 44: Ông Việt mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng và vay ngân hàng theo phương thức trả góp. Nếu ông Việt muốn trả hết nợ trong vòng 5 năm và trả lãi với mức 6%/năm thì mỗi tháng ông phải trả bao nhiêu tiên? (làm tròn đến nghìn đồng). A. 5935 (nghìn đồng). B. 1500 (nghìn đồng). C. 4935 (nghìn đồng). D. 6935 (nghìn đồng). Giải: Gọi x là số tiền ôn Việt trả mỗi năm. Áp dụng CT: A.r. 1 r n 300.106.0,06. 1 0,06 5 x 71218920,13 đồng. 1 r n 1 1 0,06 5 1 Suy ra số tiền ông việt phải trả mỗi tháng là: 71218920,13 a 5934910,011 đồng. 12 ~5935 (nghìn đồng). Chọn A. Bài 45: Anh Quang vay ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 1,1%/tháng. Anh Quang muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ và những lần tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi mà anh Quang phải trả là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh Quang vay. A. 10 773 700 đồng. B. 10 774 400 đồng. C. 10 773 000 đồng. D. 10 773 800 đồng. Giải: Số tiền m anh Quang phải trả hàng tháng là: 100.0,011. 1,011 18 m .106 1,011 18 1 Tổng số tiền lãi amh Quang phải trả là: m.18 100 .106 10774000 đồng. chọn C. Bài 46:
  24. Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu theo phương thức trả góp. Nếu anh A muốn trả hết nợ trong vòng 5 năm và phải trả lãi với mức 6%/năm thì mỗi tháng anh A phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn kết quả đến nghìn đồng). Biết rằng anh A hoàn nợ cuối mỗi tháng. A. 5935000 đồng. B. 5900000 đồng. C. 5940000 đồng. D. 5930000 đồng. Giải: n a n Thay vào CT: M 1 r 1 r 1 0 r Với M 30.000.000;r 6%,n 5. . Tìm a (tiền trả hàng năm)? Vậy tiền trả hàng tháng áp dụng theo CT: n 12b n M 1 r 1 r 1 0. Với b là tiền trả hàng tháng. r Kết luận: số tiền trả hàng tháng là: 593500 đồng. Chọn A. Bài 47: Một sinh viên A mua máy tính xách tay theo hình thức trả góp với giá tiền 20 triệu đồng, mức lãi suất 1,2%/tháng trong năm đầu tiên, mỗi tháng anh A phải trả 800 ngàn đồng, cả gốc và lãi. Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,5%/tháng và anh A phải trả 1 triệu đồng cả gốc và lãi mỗi tháng (trừ tháng cuối). Hỏi sau tối đa bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ (tháng cuối trả không quá 500 ngàn đồng). A. 25 tháng. B. 26 tháng. C. 27 tháng. D. 28 tháng. Giải: 12 12 1 1,2% 1 T1 20000. 1 1,2% 800 12818,25087 1,2% T1 : số tiền còn nợ sau 1 năm Số tiền phải trả tiếp theo trừ tháng cuối cùng (n: tháng): n n 1 1,5% 1 T2 T1 1 1,5% 1000. 500 1,5% Dùng table n 15 Vậy số tháng phải trả: 12 15 27 tháng. Chọn C. Bài 48: Bạn Phương gửi vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng (tức là sau 3 tháng số tiền lãi sẽ được công jvaof tiền gốc và tính lại kỳ hạn mới). Gọi m là số tiền bạn Phương sẽ nhận được sau 3 năm. Tính m biết rằng lãi suất mỗi tháng là 0,48%? A. m 2.106 1 36.0,0048 B. m 2.106 1 36.0,0048 3 C. m 2.106. 1 36.0,0048 36 D. m 2.106 1 36.0,0048 12 . Giải: Kỳ hạn 3 tháng nên sau 3 năm ta có 12 kỳ hạn suy ra số tiền có đc sau 12 kỳ hạn là m 2.106. 1 36.0,0048 12 . Chọn D.
  25. Bài 49: Anh Quốc có 400 triệu đồng vì không đủ tiền để mua nhà, nên anh ta quyết định gửi tiền vào ngân hàng vào ngày 1/1/2017 để sau đó mua nhà với giá 700 triệu đồng. Hỏi nhanh nhất đến năm nào anh Quốc đủ tiền mua nhà. Biết rằng anh Quốc chọn hình thức gửi theo năm với lãi suất 7,5% một năm (lãi suất này không đổi trong các năm gửi), tiền lãi sau một năm được nhập vào vốn tính thành vốn gửi mới nếu anh Quốc không đến rút ra và ngân hàng chỉ trả tiền cho anh Quốc vào ngày 1/1 hàng năm nếu anh Quốc muốn rút tiền. A. 2023. B. 2024. C. 2025. D. 2026. Giải: Số tiền có được vào ngày 1/1/2018 là 400 1 7,5% triệu đồng. Số tiền có được vào ngày 1/1/2019 là: 2 400 1 7,5% 1 7,5% 400 1 7,5% triệu đồng. Suy ra số tiền sau n năm gửi là 400 1 7,5% n triệu đồng. vì cần 700 triệu đồng mua nhà nên n 7 ta có phương trình 400 1 7,5% 700 n log1,075 7,74 . 4 Vậy sau tám năm anh Quốc có thể mua đc nhà tức là nhanh nhất đến năm 2025 anh Q có thể mua đc nhà. Bài 50: Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20.000.000 đồng. Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8,5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày). A. 31 802 750,09 vnd. B. 30 802 750,09 vnd. C. 32 802 750,09 vnd. D. 33 802 750,09 vnd. Giải: 8,5% 4,25 Một kỳ hạn 6 tháng có lãi suất là: .6 12 100 Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là 11 kỳ hạn), số tiền cả vốn lẫn lãi bác nông dân 11 4,25 đc nhận là: A 20.000.000. 1 vnd 100 Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư 60 ngày nên số tiền đc tính lãi suất không kì hạn trong 60 ngày là: 11 0,01 4,25 B A. .60 120000 1 vnd 100 100 Vậy sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân nhận được là: 11 11 4,25 4,25 A b 20000000 1 120000 1 31802750,09 vnd . Chọn A. 100 100
  26. Bài 51: Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, mỗi sinh viên cần nộp một khoản tiền lúc nhập học là 5 triệu đồng. Bố mẹ Minh tiết kiệm để đầu mỗi tháng đều gửi một số tiền như nhau vào ngân hàng theo hình thức lãi kép. Hỏi mỗi tháng, họ phải gửi số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn) để sau 9 tháng, rút cả gốc lẫn lãi thì được 5 triệu đồng, biết lãi suất hiện tại là 0,5%/tháng. A. 542.000 đồng. B. 555.000 đồng. C. 556.000 đồng. D. 541.000 đồng. Giải: Đặt r 0,5, A 5.106 đồng. Cứ đầu tháng gửi tiết kiệm m triệu: Vậy sau tháng n ta đc số tiền: n n 1 r 1 m 1 r m 1 r m 1 r r n 1 r 1 A.r Theo đề: A m 1 r m r 1 r 1 r n 1 Thay số ta đc đáp án A. Chọn A. Bài 52: (Trích đề thi HK 1 Sở Lâm Đồng). Ông B gửi vào ngân hàng số tiền là 120 triệu đồng với lãi suất định kỳ hàng năm là 12% trên năm. Nếu sau mỗi năm, ông không đến ngân hàng lấy lãi thì tiền lãi sẽ cộng dồn vào vốn ban đầu. Hỏi sau 12 năm kể từ ngày gửi, số tiền lãi L (không kể vốn) ông sẽ nhận được là bao nhiêu? (giải sử trong thời gian đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi). A. L 12.107 1,12 12 1 VND B. L 12.107 1,12 12 1 VND C. L 12.107 1,12 12 VND D. L 12.107.0,12 VND Giải: 7 L1 12.10 .0,12 7 7 7 L2 12.10 .0,12 12.10 .0,12 12.10 .1,12.0,12 Vậy sau 2 năm thì số tiền lãi là: 7 L1 L2 12.10 .0,12.0,12 12.107 1,12 1 1,12 1 12.107 1,122 1 Tương tự như vậy ta sẽ có đc số tiền lãi nhận đc sau 12 năm là: L 12.107 1,12 12 1 Chọn A.
  27. CHỦ ĐỀ 2. CÁC DẠNG BÀI TOÁN KHÁC Ngoài những ứng dụng trên ta còn có thể sử dụng Hàm số Mũ, Hàm số Logarit trong việc tính dân số, tính lượng khí, tính độ pH BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Theo dự báo, với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết. A. n 41. B. n 42. C. n 43. D. n 41,1. Giải: Mức tiêu thụ dầu hàng năm của nước A theo dự báo là M thì lượng dầu của nước A là 100M. Mức tiêu thụ dầu theo thực tế là: Gọi x0 là lượng dầu tiêu thụ năm thứ n: Năm thứ 2 là x2 M 4%M M 1 4% 1,04M n 1 Năm thứ n là xn 1,04 M Tổng tiêu thụ trong n năm là: 2 n 1 x1 x2 x3 xn M 1,04M 1,04 M 1,04 M 1 1,04 1,042 1,04n 1 M 100M 1 1,04 1,042 1,04n 1 100 1,04n 1 1 100 0,04 Giải phương trình (Shift SOLVE) ta được n =41. Chọn A. 3 Bài 2: Biết thể tích khí CO2 năm 1998 là V m . 10 năm tiếp theo, mỗi năm thể tích CO2 tăng m% , 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO2 mỗi năm tăng n% . Tính thể tích CO2 năm 2016? 100 m 10 100 n 10 100 m 10 100 n 8 A. V B. V 1040 1036 100 m 10 100 n 10 100 m 10 100 n 8 C. V D. V 1036 1020 Giải: 10 m +thể tích khí CO2 năm 2008 là: V2008 V 1 100 10 8 10 8 m n 100 m 100 n +thể tích khí CO2 năm 2016 là:V2016 V 1 1 V 36 . Chọn B. 100 100 10 Bài 3: Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức: S A.eN r(trong đó: A là dân số của
  28. năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người. A. 2016. B. 2022. C. 2020. D. 2025. Giải: S A.eNr N.0,017 120000000 1 120000000 78685800.e N ln . 25 . Chọn A. 78658800 0,017 Bài 4: Một lon nước soda 800 F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 320 F . Nhiệt độ của so da ở phút thứ t được tính theo định Luật Newton bởi công thức T t 32 48. 0,9 t . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 500 F ? A. 1,56. B. 9,3. C. 2. D. 4. Giải: Nhiệt độ Soda còn lại là 500 F nên ta có: t t 3 T t 50 32 48. 0,9 50 0,9 8 3 Log cơ số 0,9 hai vế ta đc: t log t 9,3 . chọn B. 0,9 8 Bài 5: Cường độ trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M logA logA0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở nam Mỹ là: A. 8,9. B. 33,2. C. 2,075. D. 11. Giải: A Ta có: M log A log A0 log A0 A1 Trận động đất ở: + San Francisco: M1 8,3 log 1 A0 A2 + Nam Mỹ: M 2 log 2 A0 A2 Biên độ ở nam Mỹ gấp 4 lần San Fracisco nên A2 4A1 4 A1 Lấy (2) – (1) ta đc: A2 A1 A2 M 2 8,3 log log log log 4 A0 A0 A1 M2 log 4 8,3 8,9 Chọn A.
  29. kt Bài 6: Giả sử số lượng bầy ruồi tại thời điểm t so với thời điểm t là0 N t N0 ,.e Nlà0 số lượng bầy ruồi tại thời điểm t 0 , k là hằng số tăng trưởng của bầy ruồi. Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày bầy ruồi có 800 con, biết rằng N0 100? . A. 27. B. 27,1. C. 26. D. 28. Giải: ln 2 2N N .e9k e9k 2 9k ln 2 k c 0 9 ln8 ln8 800 100.ekt 8 ekt kt ln8 t .9 27 k ln 2 Chọn A. 27 ngày. Bài 7: t Giả sử n f t n0.2 là số lượng cá thể trong một đám vi khuẩn tại thời điểm t (giờ), nlà0 số lượng cá thể lúc ban đầu. Tốc độ phát triển về số lượng của vi khuẩn tại thời điểm t chính là f ' t . Giả sử mẫu thử ban đầu của ta có n0 100 vi khuẩn. Vậy tốc độ phát triển sau 4 giờ là bao nhiêu con vi khuẩn? A. 1600. B. 1109. C. 500. D. 3200. Giải: t t Ta có: f ' t n0.2 ' n0.2 .ln 2 Vậy tốc phát triển của vi khuẩn sau 4 giờ là: f ' 4 100.24.ln 2 1109 Chọn B. Bài 8: Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ (II) Oxit và Oxy là 0 A AdkA,t A,xtA† 2NO O2 ‡ A A A AA 2NO2 . Biết rằng đây là một phản ứng thuận nghịch. Giả sử x, y lần lượt là nồng độ phần trăm của khí NO và O2 tham gia phản ứng. Biết tốc độ phản ứng hóa học của phản ứng trên được xác định v kx2 y , với k là hằng số của tốc độ phản ứng. Để tốc độ phản ứng xảy ra nhanh nhất x thì tỉ số giữ là: y 1 1 A. . B. 2. C. . D. 3. 2 3 Giải: Gọi t là thời gian phản ứng khi đó: Tốc độ phản ứng nhanh nhất vmax khi t 0 vì khi t 0 nồng độ các chất NO và O2 lớn nhất. 2 Mà v kx y (với x, y lầ độ NO và O2 the đề ) Vậy để vmax thì nồng độ NO và O2 phải bằng nồng độ ban đầu: x x Dựa vào pt, ta có: y 2 . Chọn B. 2 y
  30. Bài 9: Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P t là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong bộ phận của cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P t được tính theo công thức: t P t 100. 0,5 5750 % . Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% . Niên đại của công trình kiến trúc đó gần với số nào sau đây nhât: A. 41776 năm. B. 6136 năm. C. 3574 năm. D. 4000 năm. Giải: Lượng Cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ là 65% nên ta có: t P t 100. 0,5 5750 65 t 0,5 5750 0,65 Log có số ½ hai vế ta được: t log 0,65 5750 1 2 t 5750log 1 0,65 3574 2 Chọn C. 3574 năm. 1 Bài 10: Cho phản ứng hóa học N O 2NO O ở nơi có nhiệt độ 450 C, các nhà hóa học nhận 2 5 2 2 2 thấy sự biến thiên nồng độ mol / l của N2O5 theo thời gian luôn tỉ lệ thuận với nồng độ mol / l của N2O5 với tỉ lệ k 0,0005 . Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì nồng độ mol / lcủa N2O bằng5 90% giá trị ban đầu. A. Khoảng 211 giây. B. Khoảng 301 giây. C. Khoảng 102 giây. D. Khoảng 527 giây. Giải: Gọi yt là nồng độ N2O5 ở thời điểm t, x là nồng độ N2O5 ban đầu: yt x kx yt k 1 x Ta có: y 0,9x t yt 0,9x 1 Vì sự biến thiên nồng độ mol / l của N2O5 theo thời gian luôn tỉ lệ thuận với nồng độ mol / l t của N2O5 nên: yt k 1 x * . Thay (1) vào (*) ta được: 0,9x k 1 t x 0,9 k 1 t Log cơ số 0,9 hai vế ta được:
  31. t log0,9 0,9 log0,9 k 1 1 t log0,9 k 1 1 t 211 log0,9 k 1 Chọn A. Bài 11: Trong toán rời rạc khi tìm kiếm một phần tử trong một tập hợp có n phần tử đã sắp xép tăng dần bằng thuật toán tìm kiếm nhị phân thì trong trường hợp xấu nhất, độ phức tạp của thuật toán được tính bằng  log n với log n log2 n . Vậy độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm nhị phân trong trường hợp xấu nhất khi tìm kiếm phần tử trong tập hợp A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21 A.  log2 20 . B.  log2 19 . C.  log2 18 . D.  log2 21 . Giải: Tập hợp A có tấ cả 21 phần tử , suy ra n=21 Vậy độ phức tạp của thauatj toán tìm kiếm nhị phân tròn trường hợp xấu nhất trong tập hợp A là:  log2 21 . Chọn D. Bài 12: Năng lượng của một trận động đất được tính bằng E 1,74.1019.101,44M với M là độ lớn theo thang độ Richter. Thành phố A xảy ra một trân động đất 8 độ Richter và năng lượng của nó gấp 14 lần trận động đất xảy ra ở thành phố B. Hỏi khi đó độ lớn của trân động đất tại thành phố B là bao nhiêu? A. 7,2 độ Richter. B. 7,8 độ Richter. C. 9,6 độ Richter. D. 6,9 độ Richter. Giải: 19 1,44.8 Thành phố A có M 8 , nên EA 1,74.10 .10 Thành phố B có trận động đất với độ lớn M M B và năng lượng EB 14EA nên: 1,74.1019.101,44.MB 14.1,74.1019.101,44.8 14.101,44.M B 101,44.8. Log cơ số 101,44.8 hai vế ta được: 1,44.8 1,44.8 log 1,44.8 14.10 log 1,44.8 10 10 10 M B 7,2 Chọn A. Bài 13: Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutonium Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Pu23 9 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S A.e , rt trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau bao lâu còn lại 2 gam? A. 46120 năm. B. 82235 năm. C. 57480 năm. D. 92042 năm. Giải:
  32. t/T m m0.2 2 10.2 t/T 1 2 t/T 5 t log 0,2 T 2 t log2 0,2.T 57480 Chọn C. Bài 14: Trên mỗi chieeucs Radio FM đều có vạch chia để người dùng dễ dàng Chọn sóng Radio cần tìm. Vạch ngoài cùng bên trái và bên phải tương ứng với 88 MHz và 108 MHz. Hai vạch cách nhau 12 cm. Biết vị trí của vạch cách vạch ngoài cùng bên trái d cm. Thì có tần số F kad MHz . Với k và a là hằng số. Tìm vị trí của vạch ứng với tần số 91 MHz để bắt sóng VOV Giao Thông Quốc Gia. A. Cách vạch ngoài cùng bên phải 8,4723cm . B. Cách vạch ngoài cùng bên phải 1,9243 cm. C. Cách vạch ngoài cùng bên phải 10,0358 cm. D. Cách vạch ngoài cùng bên phải 2,0567 cm. Giải: F k.ad Ta có: lúc ở 88 MHz thì 88 ka0 k 88 27 Lúc ở 108 MHz thì 108 88.a12 a 12 22 d 27 91 88.12 d 1,9642 (cách vạch bên trái ) (cm). 22 12- d = 10,0358 (cách vạch bên phải) (cm). Chọn C. Bài 15: Số lượng động vật nguyên sinh tăng trưởng với tốc độ 0,7944 con/ngày. Giả sử trong ngày đầu tiên, số lượng động vật nguyên sinh là 2. Hỏi sau 6 ngày, số lượng động vật nguyên sinh là bao nhiêu? A. 37 con. B. 21 con. C. 48 con. D. 106 con. Giải: Ngày thứ nhất: 2 con Ngày thứ 2: 2 +2.07944=21+0,7944 (con) Ngày thứ 3: 2 1 0,7944 2 (con). Suy ra ngày thứ n: 2 1 0,7944 n 1 (con). Vậy ngày thứ 6: con. Chọn A.
  33. Bài 16: E.Coli (Escherichia coli) là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dự dội. Cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn E. Coli lại tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có 60 vi khuẩn E.coli trong đường ruột. Hỏi sau 8 giở, số lượng vi khuẩn E.coli là bao nhiêu? A. 1006632960 vi khuẩn. B. 2108252760 vi khuẩn. C. 158159469 vi khuẩn. D. 3251603769 vi khuẩn. Giải: + 1 chu kì nhân đôi: r 100% 8 giờ = 480 phút = 24 chu kì. Số lượng vi khuẩn: 60 1 1 24 1006632960 . Chọn A. Bài 17: Một nguồn âm đặt ở O đẳng hướng trong không gian có công suất truyền âm P không đổi. P Biết rằng cường độ âm tại một điểm cách nguồn một đoạn R là I và mức cường độ âm tại 4 R2 I L/2 điểm đó là L log Ben với I0 là hằng số. Như vậy có thể thấy rằng R luôn tỉ lệ với 10 . Áp I0 dụng tính chất này để tính mức cường độ âm tại trung điểm M của đoạn thẳng AB biết mức cường độ âm tại A, B lần lượt là LA 20 dB, LB 60 dB . Và O nằm trên đoạn thẳng AB. A. LM 25,9dB. B. LM 25,6dB. C. LM 26,1dB. D. LM 20,6dB. Giải: M là trung điểm AB 2RM RA RB Do R tỉ lệ với 10 L/2 2.10 LM /2 10 10 10 30 10 10 10 30 LM 2.log 20,6dB 2 Chọn D.? 226 Bài 18: Chu kỳ bán rã của chất hóa học 88 Ra là 1590 năm, tức là cứ sau 1590 năm thì khối lượng 226 226 của 88 Ra giảm đi một nửa. Ban đầu khối lượng của 88 R làa 100 mg. Hỏi sau 1000 năm thì khối 226 lượng 88 Ra còn lại bao nhiêu? A. 65 mg. B. 78 mg. C. 43 mg. D. 68 mg. Giải: 1 Sau 1590 năm khối lượng 226 Ra còn lại .100 50 88 2 t 226 1590 Sau thời gian t năm khối lượng 88 Ra còn lại là: m1 100.2 1000 226 1590 Sau t =1000 năm khối lượng 88 Ra còn lại là: m 100.2 65mg Chọn A. Bài 19: Cho một lượng vi khuẩn bắt đầu với 500 con và phát triển với vận tốc tỷ lệ thuận với số lượng. Biết sau 3 giờ, có 8000 con vi khuẩn. Hỏi sau 4 giờ, số lượng vị khuẩn là bao nhiêu? A. Khoảng 463521 con. B. Khoảng 40235 con.
  34. C. Khoảng 20159 con. D. Khoảng 322539 con. Giải: r.t Ta có: Nt N0.e Tại thời điểm t =3 Ta có: 8000 500.er.3 16 3r.3 ln16 ln hai vế ta được ln16 ln er.3 ln16 r.3 r 3 Tại thời điểm t =4. Ta có: N 500.er.4 20159 . Chọn C. Bài 20: theo số liệu thức tế, dân số thế giới năm 1950 là 2560 triệu người, còn năm 1980 là 3040 triệu người. người ta dự đoán dân số thế giới phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số mũ P t a.eb t với a, b là hằng số và độ biến thiên của P t theo thời gian tỷ lệ thuận với P t . Hãy dự đoán dân số thế giới vào năm 2020. P Biểu đồ gia tăng dân số 7000 6000 5000 4000 Series 1 3000 2000 1000 0 0 10 20 30 40 50 t A. 8524 triệu dân. B. 5360 triệu dân. C. 7428 triệu dân. D. 3823 triệu dân. Giải: b.1950 Số dân tại thời điểm t 1950 là: P 1950 a.e 2560 1 b.1980 Số dân tại thời điểm t =1980 là: P 1980 a.e 3040 2 a.eb.1950 3040 19 Lấy (2)/(1) ta được: e30b a.eb.1980 2560 16 19 19 1 19 ln hai vế ta được: ln e30b ln 30b ln b .ln * 16 16 30 16 19 65.ln 16 2560 Thay (*) vào (1) ta được: a.e 2560 a 19 65.ln e 16 b.2020 Vậy dân số tại thời điểm t =2020 là: P 2020 a.e 3823 triệu người.
  35. Chọn D. Bài 21: Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-xi-ut và Cla-pay-rông đã thấy rằng áp lực P của hơi nước (tính bằng milimet thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng k trống phía trên của mặt nước chứa trong bình kín theo công thức P a.10t 273 Trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là các hằng số. Cho biết k 2258,624 . a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 1000 C thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục). A. 86318841,3; 52,5. B. 86318841,3; 50,5. C. 86318841,3; 152,5. D. 86318841,3; 51,5. b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là 400 C (tính chính xác đến hàng phần chục). A. 52,5 mmHg. B. 52,3 mmHg. C. 53,5 mmHg. D. 55,5 mmHg. Giải: 2258,624 a) Ta có: 760 a.10 t 273 2258,624 373 a 760.10 a 86318841,3 Chọn A. 2258,624 b) P 86318841,3:10 40 273 52,5mmHg Chọn A. Bài 22: Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P t là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong bộ phận của cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P t được tính theo công thức: t P t 100. 0,5 5750 % . Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% . Niên đại của công trình kiến trúc đó gần với số nào sau đây nhât: A. 3574 năm. B. 3754 năm. C. 4573 năm. D. 5437 năm. Giải: Lượng Cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ là 65% nên ta có: t P t 100. 0,5 5750 65 t 0,5 5750 0,65 Log có số ½ hai vế ta được:
  36. t log 0,65 5750 1 2 t 5750log 1 0,65 3574 2 Chọn A. 3574 năm. Bài 23: Áp suất của không khí P (đo bằng mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x(m), tức P giảm theo xi công thức: P P0.e , trong đó P0 760mmHg là áp suất ở mực nước biển (x=0), I là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu? A. 530 mmHg. B. 350 mmHg. C. 430 mmHg. D. 340 mmHg. Giải: Trước tiên tìm I từ đẳng thức: 672,71 760.e1000.i i 0,00012 . Từ đó p 760.e3000. 0,00012 530,23mmHg . Chọn A. Bài 24: Tỷ lệ tăng dân số hằng năm ở Việt Nam duy trì ở mức 1,06%. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 là 90.728.600 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2050 dân số việt nam là: A. 160.663.675người. B. 132.161.875 người. C. 153.712.400 người. D. 134.022.614 người. Trích đề thi HK I THPT Lương Thế Vinh Hà Nội. Giải: n Bài toán tương tự dạng toán lãi kép nên ta có thể sử dụng công thức An a 1 m với An là dân số tại thời điểm n, a là dân số tại thời điểm đầu, m là tỉ lệ tăng dân số tự nhiên (không đổi) và n là thời gian từ lúc đầu đến lúc cần xét. Áp dụng cụ thể vào bài toán trên: n 2050 2014 An a 1 m 90278600 1 1,06% 132616875 Chọn B. I Bài 25: Sử dụng công thức L 10lg , hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn dB I0 I của âm thanh có tỉ số và điền vào bảng: I0 I STT Loại âm thanh Độ lớn (L) I0 1 Ngưỡng nghe 1 2 Nhạc êm dịu 4000 3 Nhạc mạnh phát ra từ loa 6,8 108 4 Tiếng máy bay phản lực 2,3 1012 5 Ngưỡng đau tai 1013 Giải:
  37. I Với 4000 làm tròn đến hàng đơn vị ta được 36dB. I0 I Với 6,8.108 ta được L 88dB . I0 I Với 2,3.1012 ta được L 124dB . I0 I Với 103 ta được L 130dB . I0 I STT Loại âm thanh Độ lớn (L) I0 1 Ngưỡng nghe 1 0 2 Nhạc êm dịu 4000 36 3 Nhạc mạnh phát ra từ loa 6,8 108 88 4 Tiếng máy bay phản lực 2,3 1012 124 5 Ngưỡng đau tai 1013 130 Bài 26: Trên mặt của mỗi chiếc radio đều có các vạch để người sử dụng dễ dàng chọn đúng sóng radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thù ứng với tần số F kad kHz , trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz và hai vạch này cách nhau 12 cm. a) hãy tính k và a (làm tròn đến phần nghìn). A. k 53,a 1,096. B. k 52,a 1,096 . C. k 53,a 1,069 . D. k 53,a 1,196 . b) Giả sử đã cho F, giải phương trình kad F với ẩn d. A. 25,119lg F 43,312 B. 25,119lg F 43,412 C. 25,190lg F 43,312 D. 25,119lg F 43,321 . c) Áp dụng kết quả câu b, hãy điển vào ô trống trong bảng sau (kết quả chính xác đến hàng phần trăm) F(kHz) 53 60 80 100 120 140 160 d Giải: a) Thay vào công thức F kad với d 0 53 ka0 k 1 12 12 12 12 160 160 với d 12 160 ka 53a a a 1,096 . Chọn A. 53 53 b) Ta có:
  38. F F kad F ad d lg a lg k k 1 d lg F lg k 25,119 lg F lg k 25,119lg F 43,312 lg a c) khoảng cách từ vạch tận cùng bên trái đến vạch tương ứng: + 60 kHz: d 25,119lg60 43,312 1,35cm + 80 kHz: d 25,119lg80 43,312 4,49cm + 100 kHz: d 25,119lg100 43,312 6,93cm + 120 kHz: d 25,119lg120 43,312 8,91cm + 140 kHz: d 25,119lg140 43,312 10,60cm + 160 kHz: d 25,119lg160 43,312 12cm Ta có kết quả bảng sau: F(kHz) 53 60 80 100 120 140 160 d 0 1,35 4,49 6,93 8,91 10,6 12 358 Bài 27: Năm 1994, tỉ lệ thể tích khí CO trong không khí là . Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO 2 106 2 trong không khí tăng 0,4% hằng năm. Hỏi năm 2004, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là bao nhiêu? A. 373.10 6. . B. 363.10 6. . C.383.10 6. . D. 353.10 6. . Giải: Năm 2004 tỉ lệ thể tích CO2 trong không khí là: 358.1,00410 373.10 6 . Chọn A. 106 Bài 28: Biết rằng tỉ lệ giảm dân số hằng năm của Nga là 0,5% . Năm 1998, dân số của Nga là 146861000 người. Hỏi năm 2008, dân số của nước Nga là bao nhiêu người? A. 139 699 000 người. B. 140 699 000 người. C. 149 699 000 người. D. 145 699 000 người. Giải: Năm 2008, dân số nước Nga là 139699000 người. Chọn A. Bài 29: Biết rằng tỉ lệ giảm dân số hằng năm của Italia là 0,1 .% Năm 1998, dân số của Italia là 56783000 người. Hỏi dân số nước này vào năm 2020 (22 năm sau đó)? A. 55 747 000 người. B. 55 547 000 người. C. 52 547 000 người. D. 53 547 000 người. Giải: Năm 2020, dân số Italia là: 55547000 người. Chọn A. Bài 30: Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Plutoni là 24360 năm (tức là một lượng Plutoni sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S A.ert , trong
  39. đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ nhân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10g Plutoni sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1g? A. 80922 năm. B. 100922 năm. C. 99922 năm. D. 88922 năm. Giải: A Ta có: Ae24360r r ln 2 : 24360 2 Giả sử: sau t năm 10 g Plutoni phân hủy còn 1g thì: 1 ln 10ert 1 t 10 80922 . Chọn A. r Bài 31: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết. A. 39 năm. B. 40 năm. C. 38 năm. D. 41 năm. Giải: Gọi A là trự lượng dầu, x là lượng dầu sử dụng năm đầu tiên. Ta có A 100x Qua năm thứ 2 trữ lượng dầu tiêu thụ là: x 1 r . Qua năm thứ n +1 trữ lượng dầu tiêu thụ là: x 1 r n Vậy tổng luongj dầu tiêu thụ trong n+1 năm là: x 1 1 r 1 r 2 1 r n 1 1 r n Do đó ta có phương trình : x 1 1 r 1 r 2 1 r n 1 1 r n 100x 0 1 1 r n 1 1 1 r n 1 100 100 n 40 1 1 r r Chọn B. Bài 32: Các nhà khoa học thực hiện nghiên cứu trên một nhóm học sinh bằng cách cho họ xem một danh sách các loài động vật và sau đó kiểm tra xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức M t 75 20ln t 1 ,t 0 (đợn vị %). Hỏi khoảng thời gian ngắn nhất bao lâu thì số học sinh trên nhớ được danh sách đó dưới 10%? A. khoảng 24 tháng. B. khoảng 22 tháng. C. khoảng 25 tháng. D. khoảng 32 tháng. Giải: The đề ta có: 75 20ln t 1 10% ln t 1 3,25 t 24,79 Khoảng 25 tháng. Chọn C.
  40. Bài 33: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam 1%. Năm 2010, dân số nước ta là 88360000 người. Sau khoảng bao nhiêu năm thì dân số nước ta sẽ là 128965000 người? Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi. A. 36. B. 37. C. 38. D. 39. Giải: Gọi n là số năm dân số nước ta tăng từ 88360000 128965000. Sau n năm dân số nước Việt Nam là: 88360000 1,01 n . Theo đề: n 128965000 88360000 1,01 128965000 n log1,01 38 nam . 88360000 Chọn C. Bài 34: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ xi cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức P P0.e . Trong đó P0 760mmHg là áp suất ở mực nước biển (x=0), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)? A. P 531mmHg. B. P 530mmHg. C. P 528mmHg. D. P 527mmHg. Giải: 1 672,71 Theo đề ta có: 672,71 760.e1000i i ln 1000 760 Vậy P 760.e3000.i 527mmHg Lưu ý: Nếu các bạn làm tròn kết quả ngay từ lúc tính I thì sẽ cho kết quả cuois cùng là 530mmHg như vậy sẽ không đúng yêu cầu bài toán. Chọn D. 358 Bài 35: Năm 1994, tỉ lệ thể tích khí CO trong không khí là . Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO 2 106 2 trong không khí tăng 0,4% hằng năm. Hỏi năm 2016, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là bao nhiêu? Giả sử tỉ lệ hàng năm không thay đổi. Kết quả thu được gần với số nào sau đây nhất? 391 390 7907 7908 A. . B. . C. . D. . 106 106 106 106 Giải: Từ 1994 đến 2016 là 22 năm. 358.1,00422 391 Vậy tỉ lệ thể tích CO2 năm 2016 trong không khí là 106 106 Chọn A.
  41. 1 pH log Bài 36: Để xác định một chất có nồng độ pH, người ta tính theo công thức , trong đó H H là nồng độ ion H . Tính nồng độ pH của Ba OH (bải hidroxit) biết nồng độ ion H là 2 10 11 M . A. pH 11 . B. pH 11 . C. pH 3 . D. pH 3 . Giải: 1 pH log log10 11 11 Ta có: . H Chọn A. Bài 37: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ 1 tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín mặt hồ? 3 109 9 A. 3. B. C. 9 lg3 . D. . 3 lg3 Giải: 1 Gọi t là số giờ lá bèo phủ kín mặt hồ. 3 Lượng lá bèo đầy mặt hồ là: 109 . 1 109 lượng lá bèo mặt hồ là: 3 3 109 109 10t t log 9 lg3 3 10 3 Chọn C. Bài 38: Để đảm bảo điều kiện sinh sống của người dân tại thành phố X, một nhóm các nhà khoa học cho biết với các điều kiện y tế, giáo dục, cơ sở hạ tầng, của thành phố thì chỉ nên có tối đa 60.000 người dân sinh sống. Các nhà khoa học cũng chỉ ra rằng dân số được ước tính theo công thức S A.eni , trong đó A là dân số sau n năm và i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào đầu năm 2015, thành phố X có 50000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,3%. Hỏi trong năm nào thì dân số thành phố bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, biết rằng số liệu chỉ được lấy vào đầu mỗi năm và giả thiết tỉ lệ tăng dân số không thay đổi? A. 2029. B. 2033. C. 2034. D. 2035. Giải: Ta có: S A.eni 50000.e0,013.n 60000 n 14,025 n 14 Vậy trong năm 2029 dân số thành phố sẽ vượt ngưỡng cho phép
  42. Chọn A. Bài 39: Theo tổng cục thống kê, năm 2003 Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm 2016 Việt Nam sẽ có số người khoảng bao nhiêu: A. 97802732. B. 96247183. C. 95992878. D. 94432113. Giải: Việc tính số daansau 13 năm với tỉ lệ tăgn dân số là 1,47% tưng tự với bài toán tính lãi suất ngân hàng Suy ra số dân 80902400. 1 1,47% 13 97802732 . Chọn A. Bài 40: Khi một kim loại được làm nóng đến 600 0C, độ bền kéo của nó giảm đi 50%. Sau khi kim loại vượt qua ngưỡng 6000C, nếu nhiệt độ kim loại tăng thêm 50C thì độ bền kéo của nó giảm đi 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo là 280M Pa dưới 600 0C và được sử dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật liệu này là 38M P , athì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ Celsius? A. 620. B. 615. C. 605. D. 610. Trích đề thi thử lần 1 THPT Kim Liên Hà Nội. Giải: Ở 6000C độ bền kéo của kim loại là 140MPa DB (đặt ẩn phụ này để gon tính toán phía sau). Cứ tăng 50C thì độ bền kéo giảm 35%DB còn 65%DB Sau n lần tăng 50C thì độ bền kéo còn (65%)nDB n 38 Theo đề 65% DB 38 n log 3,02 65% DB Do đó nhiệt độ tối đa là 6000C + 3.50C = 6150C. chọn B.
  43. ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG 2 ĐỀ SỐ 1 Bài 1: Một chất điểm chuyển động theo phương trình: S et 4t (trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây). Thời điểm vận tốc chất điểm bị triệt tiêu là: A. t ln 2 . B. t 2ln 2. C. t ln3. D. t 2ln3. Giải: Ta có: S et 4t suy ra v S ' et 4 , Vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v 0 et 4 t ln 4 2ln 2. Chọn B. Bài 2: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cùng cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì mức cường độ ân là 68 dB. Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là 80 dB. Tính số ca sĩ có trong ban hợp ca đó biết mức cường độ ân L được tín theo công thức I L 10log . Trong đó I là cường độ âm và I0 là cường độ âm chuẩn. I0 A. 16 người. B. 12 người. C. 10 người. D. 18 người. Giải: I In In Ta có: L 10log 68 và Ln 10lg 80 . In nI1 n I0 I0 I1 Với n là số ca sĩ. I1 In In Ln L1 10log 10log 10log I0 I0 I1 I Ln L1 80 68 n n 10 10 10 10 5 106 16 I1 Chọn A. Bài 3: Một nguồn âm đặt ở O đẳng hướng trong không gian có công suất truyền âm P không đổi. P Biết rằng cường độ âm tại một điểm cách nguồn một đoạn R là I và mức cường độ âm tại 4 R2 I L/2 điểm đó là L log Ben với I0 là hằng số. Như vậy có thể thấy rằng R luôn tỉ lệ với 10 . Áp I0 dụng tính chất này để tính mức cường độ âm tại trung điểm M của đoạn thẳng AB biết mức cường độ âm tại A, B lần lượt là LA 20 dB, LB 60 dB . Và O nằm trên đoạn thẳng AB. A. LM 25,9dB. B. LM 25,6dB. C. LM 26,1dB. D. LM 20,6dB. Giải: M là trung điểm AB 2RM RA RB Do R tỉ lệ với 10 L/2 2.10 LM /2 10 10 10 30 10 10 10 30 LM 2.log 20,6dB 2
  44. Chọn D. Bài 4: Bạn Dũng xin bố mua cho bạn một cái máy tính. Nhưng mỗi tháng bố bạn Dũng chỉ cho bạn 3.000.000 đồng để tích tiền mua máy tính. Nhưng do Dũng không muốn chờ đợi để tích để đủ tiền để mua. Bạn quyết định mượn ngân hàng 20.000.000 đồng để mua máy với lãi suất 1,2%. Hỏi vậy bao nhiêu tháng bạn Dũng dùng số tiền của bố cho sẽ trả hết nợ ngân hàng? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Giải: Thiết lập công thức: U1 A Ta đưa về dạng: U n BU n 1 C Ta đặt U n kVn l . Khi đó ta có: B 1 l C kV l BkV Bl C V BV n n 1 n n 1 k C l Đặt B 1 vậy dãy số chuyển thành: k 1 C V1 A C n 1 B 1 Vn A B B 1 Vn BVn 1 C n 1 C U n A .B . B 1 B 1 Ta thay số vào: 3000000 n 1 3000000 U n 20000000 . 1,012 0,012 0,012 U n 0 n 7,99007533 Vì bao nhiêu tháng ứng với bấy nhiêu lần tính lãi. Vậy ta có: n 1 7 lần tính lãi. Chọn B. Bài 5: Hia năm sau bạn Lan sẽ vào đại học dự kiến chi phí cho mỗi năm đại học ucar bạn là 10 triệu đồng, ngay từ lúc này ba mẹ Lan cần phải có kế hoạch gửi tiền vào ngân hàng để có đủ số tiền cho năm học đầu tiên của Lan, nếu biết rằng lãi suất ngân hàng là 7,6%/năm (theo thể thức lãi kép), thì số tiền tối thiểu mà ba mẹ Lan phải gửi có thể là giá trị nào trong các giá trị sau đây? A. 8,637. B. 8,737. C. 7,637, D. 7,937. Giải: Gọi số tiền mẹ Lan cần gửi là m, tiền lãi theo năm là r. Sau năm thứ nhất thì số tiền lãi và gốc là: m 1 r Sau năm thứ hai thì số tiền lãi và gốc là: A m 1 r 1 r m 1 r 2 Với r=7,6%, A=10000000 đồng
  45. 10000000 m 8637249 đồng. 1 7,6% 2 Chọn A. Bài 6: Một sinh viên A mua máy tính xách tay theo hình thức trả góp với giá tiền 20 triệu đồng, mức lãi suất 1,2%/tháng trong năm đầu tiên, mỗi tháng anh A phải trả 800 ngàn đồng, cả gốc và lãi. Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,5%/tháng và anh A phải trả 1 triệu đồng cả gốc và lãi mỗi tháng (trừ tháng cuối). Hỏi sau tối đa bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ (tháng cuối trả không quá 500 ngàn đồng). A. 25 tháng. B. 26 tháng. C. 27 tháng. D. 28 tháng. Giải: 12 12 1 1,2% 1 T1 20000. 1 1,2% 800 12818,25087 1,2% T1 : số tiền còn nợ sau 1 năm Số tiền phải trả tiếp theo trừ tháng cuối cùng (n: tháng): n n 1 1,5% 1 T2 T1 1 1,5% 1000. 500 1,5% Dùng table n 15 Vậy số tháng phải trả: 12 15 27 tháng. Chọn C. Bài 7: Để đảm bảo điều kiện sinh sống của người dân tại thành phố X, một nhóm các nhà khoa học cho biết với các điều kiện y tế, giáo dục, cơ sở hạ tầng, của thành phố thì chỉ nên có tối đa 60.000 người dân sinh sống. Các nhà khoa học cũng chỉ ra rằng dân số được ước tính theo công thức S A.eni , trong đó A là dân số sau n năm và i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào đầu năm 2015, thành phố X có 50000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,3%. Hỏi trong năm nào thì dân số thành phố bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, biết rằng số liệu chỉ được lấy vào đầu mỗi năm và giả thiết tỉ lệ tăng dân số không thay đổi? A. 2029. B. 2033. C. 2034. D. 2035. Giải: Ta có: S A.eni 50000.e0,013.n 60000 n 14,025 n 14 Vậy trong năm 2029 dân số thành phố sẽ vượt ngưỡng cho phép Chọn A. Bài 8: Tìm m để phương trình: e2x mex 3 m 0 , có nghiệm: A. m 2 . B. m 2 . C. m 3 . D. m 0 . Giải: t 2 3 Đặt t ex ,t 0. Biến đổi phương trình về dạng: m t 1
  46. t 2 3 Khảo sát hàm f t ,t 0 ta có f t 2 suy ra m 2 t 1 Chọn A. x x Bài 9: Phương trình 2 3 2 3 m 1 có nghiệm khi: A. m ;5 . B. m ;5 . C. m 2; . D. m 2; . Giải: x Đặt t 2 3 ,t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 mt 1 0 2 (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm dương. Do tích 2 nghiệm = 1 nên suy ra (2) có 2 nghiệm dương. m2 4 0 m 2 . m 0 Chọn D. Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2x 3y 6 z . Giá trị của biểu thức M xy yz xz là: A. 0. B. 1. C. 6. D. 3. Giải: Khi một trong ba số x, y, z bằng 0 thì các số còn lại bằng 0. Khí đó M=0. 1 1 1 Khi x, y, z 0 ta đặt 2x 3y 6 z k suy ra 2 k x ,3 k y ,6 k z 1 1 1 1 1 1 Do 2.3=6 nên k x .k y k z hay . x y z Từ đó suy ra M=0 Vậy cần chọn đáp án A. Bài 11: Cho alog6 3 blog6 2 clog6 5 5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? A. a b . B. a b . C. b a . D. c a b . Giải: Ta có: alog6 3 blog6 2 clog6 5 5 a b c a b c 5 5 5 0 log3 3 2 5 5 3 2 5 6 3 .2 .5 Do a,b,c là các số hữu tỉ nên a=b=5 và c=0. Chọn C. 2 2 Bài 12: Cho phương trình 5x 2mx 2 52x 4mx 2 x2 2mx 0 . Tìm m để phương trình vô nghiệm? m 1 A. m 0 . B. m 1 . C. Không có m. D. m 0 Giải: 2 2 Phương trình tương đương 5x 2mx 2 x2 2mx 2 52x 4mx 2 2x2 4mx 2 Do hàm f t 5t t . Đồng biến trên R nên ta có:
  47. x2 2mx 2 2x2 4mx 2 Từ đó ĐK để phương trình vô nghiệm là C. Chọn C. Bài 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là x x ;0: m2x 1 2m 1 1 5 3 5 0 . 1 1 1 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Giải: Phương trình đã cho tương đương x x 1 5 3 5 1 5 2m 2m 1 0 1 . Đặt t 0 , ta được: 2 2 2 1 2m 2m 1 t 0 f t t 2 2mt 2m 1 0 2 t BPT (1) nghiệm đúng x 0 nên BPT (2) có nghiệm 0 t 1 , suy ra Phương trình f t 0 có 2 nghiệm t1,t2 thỏa t1 0 1 t2 f 0 0 2m 1 0 m 0,5 1 vaayj m thỏa Ycbt. f 1 0 4m 2 0 m 0,5 2 Chọn D. Bài 14: Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu23 9là 24360 năm (tức là một lượng Plutoni sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S A.ert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ nhân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam có giá trị gần nhất với giá trị nào sau? A. 82135 năm. B. 82335 năm. C. 82235 năm. D. 82435 năm. Giải: S 1 Vì Pu239 có chu kì bán rã 24360 năm nên er 2463 r 0,000028 . A 2 Suy ra công thức phân rã của Pu239 là S A.e 0,000028t Theo giả thiết 1 10.e 0,000028t t 82235,18 năm. Chọn C. Bài 15: 2 2 Cho phương trình: m2x 5x 6 21 x 2.26 5x m 1 . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 1 1  1 1  A. m 0;2 \ ;  . B. m 0;2 \ ;  . 8 256 7 256 1 1  1 1  C. m 0;2 \ ;  . D. m 0;2 \ ;  . 6 256 5 256
  48. Giải: Viết phương trình lại dưới dạng: 2 2 m2x 5x 6 21 x 2.26 5x m 2 2 2 2 m2x 5x 6 21 x 2x 5x 6 1 x m 2 2 2 2 m2x 5x 6 21 x 2x 5x 6.21 x m 2 u 2x 5x 6 Đặt ;u,v 0 . Khi đó phương trình tương đương: 1 x2 v 2 mu v uv m u 1 v m 0 2 x 3 u 1 2x 5x 6 0 x 2 2 v m 1 x 2 m 1 x2 2 m * Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân bieeth khác 2 và 3. m 0 m 0 * 2 2 1 x log2 m x 1 log2 m Khi đó ĐK là: m 0 m 0 m 2 1 log2 m 0 1 1 1  m m 0;2 \ ;  1 log2 m 0 8 8 256 1 log2 m 9 1 m 256 Chọn A.
  49. ĐỀ SỐ 2. Bài 1: Số giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình: log5 log x2 1 log mx2 4x m nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. 0. B. m ¢ và m 3 . C. 1. D. 2. Giải: Bất phương trình xác định với mọi x thuộc ¡ khi: mx2 4x m 0,x ¡ m 0 m 0 2 m 2 1 0 4 m 0 Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ khi: 5x2 5 mx2 4x m, x ¡ 5 m x2 4x 5 m 0, x ¡ 5 m 0 m 5 2 m 3 2 0 m 10m 21 0 Từ (1) và (2) ta được 2 m 3,m ¢ m 3 . Vậy có 1 giá trị m. Chọn C. t 1 T Bài 2: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m t m0 , 2 trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t=0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon 14 C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu Cacbon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu? t ln 2 5730 1 A. m t 100.e 5730 . B. m t 100. 2 100t 100t 1 5730 C. m t 100. D. m t 100.e 5730 . 2 Giải: kt Theo công thức: m t m0e , ta có: 100 ln 2 m 5730 50 100.e k.5730 k 2 5730 ln 2 t Suy ra : m t 100.e 5730 Chọn A. t 1 T Bài 3: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m t m0 , 2 trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t=0); T là chu kì bán rã (tức là
  50. khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon 14 C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định được nó đã mất khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? A. 2378 năm. B. 2300 năm. C. 2387 năm. D. 2400 năm. Giải: Gs khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa cacban là m0 , tại thời điểm t tính từ thời điểm ban đầu ta có: 3 ln 2 ln 2 5730ln t 3m t 4 m t m .e 5730 0 m e 5730 t 2378 nam . 0 4 0 ln 2 Chọn A. Bài 4: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức M t 75 20ln t 1 ,t 0 (đợn vị %). Hỏi khoảng thời gian ngắn nhất bao lâu thì số học sinh trên nhớ được danh sách đó dưới 10%? A. khoảng 24,79 tháng. B. khoảng 23 tháng. C. khoảng 24 tháng. D. khoảng 22 tháng. Giải: The đề ta có: 75 20ln t 1 10% ln t 1 3,25 t 24,79 Chọn A. Bài 5: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem 100 mua sản phẩm là P x , x 0 . Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người 1 49.e 0,015x mua đạt hơn 75% A. 333. B. 343. C. 330. D. 323. Giải: 100 Ta có: P x 75 x 333 1 49.e 0,015x Chọn A. Bài 6: Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt ở hai ngân hàng là 27507768,13 (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gởi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu? A. 140 triệu và 180 triệu. B. 180 triệu và 140 triệu. C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu.
  51. Giải: Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là 347,50776813 triệu đồng. Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó 320 x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y. Theo giả thiết ta có: x 1 0,021 5 320 x 1 0,0073 9 347,50776813 Ta được x 140 . Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng Y. Chọn A. 2 2 Bài 7: Tìm số nghiệm của phương trình: log2x 1 2x x 1 log x 1 2x 1 4 1 . A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Giải: 1 x ĐK: 2 . Phương trình: x 1 2 log x 1 2x x 1 2log x 1 2x 1 4 log x 1 2x 1 log x 1 2x 1 log x 1 x 1 2log x 1 2x 1 4 log x 1 2x 1 1 1 2log x 1 2x 1 4 3 log x 1 2x 1 Đặt t log x 1 2x 1 , khi đó (3) viết thành: t 1 1 2 2t 3 0 2t 3t 1 0 1 t t 2 log 2x 1 1 x 2 x 1 x 1 2x 1 1 5 log x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 2 4 Chọn C. Bài 8: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng 1 không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín mặt hồ? 3 109 9 A. 3. B. C. 9 lg3 . D. . 3 lg3 Giải:
  52. 1 Gọi t là số giờ lá bèo phủ kín mặt hồ. 3 Lượng lá bèo đầy mặt hồ là: 109 . 1 109 lượng lá bèo mặt hồ là: 3 3 109 109 10t t log 9 lg3 3 10 3 Chọn C. Bài 9: Một người vay ngân hàng 40 triệu đồng để mua một chiếc xe với lãi suất 0,85%/tháng và hợp đồng thỏa thuận là trả 500 ngàn đồng mỗi tháng. Sau một năm mức lãi suất của ngân hàng được điều chỉnh lên là 1,15%/tháng và người vay muốn nhanh chóng hết nợ nên đã thỏa thuận trả 1 triệu 500 ngàn đồng trên một tháng (trừ tháng cuối). Hỏi phải mất bao nhiêu lâu người đó mới trả dứt nợ. A. 31 tháng. B. 43 tháng. C. 30 tháng. D. 42 tháng. Giải: Ta có: công thức tính lượng tiền còn nợ khi trả gón được n tháng với mỗi tháng trả khoản tiền là a, n a n lãi suất r% và số tiền nợ ban đầu lầ đó là: A 1 r 1 r 1 . r Sau 1 năm (12 tháng) còn nợ là: 12 500000 12 40000000. 1 0,85% 1 0,85% 1 37987647 A . 0,85% 1 Lúc này người vay ngân hàng trả mỗi tháng m1 1500000 đồng, lãi suất r1 1,15% Số tiền nợ là A1 . Sau tháng n hết nợ nên: n n 1 r 1 A 1 r m 1 0 1 1 1 r 1 m n log 1 30.105 1 r1 m1 A1r1 Vậy phải qua tháng 43 mới hết nợ. Chọn B. Bài 10: Huyện A có 100 000 người. Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vượt lên 130 000 người. Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 18 năm. B. 17 năm. C. 19 năm. D. 16 năm. Giải: n r Sn Áp dụng công thức Sn A 1 n log r trong đó: 100 1 A 10 A = 100 000, r=1,5. Sn 130000 Suy ra n 17,6218 Chọn A.
  53. Bài 11: Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Plutoni sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S A.ert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ nhân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? A. 80922 năm. B. 24360 năm. C. 35144 năm. D. 48720 năm. Giải: A Ta có: Ae24360r r ln 2 : 24360 2 Giả sử: sau t năm 10 g Plutoni phân hủy còn 1g thì: 1 ln 10ert 1 t 10 80922 . Chọn A. r x x x Bài 12: Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0 x Gọi S2 là tập nghiệm của bất phương trình 2 4 . Gọi S3 là tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 1 0 . 2 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng khi nói về mối quan hệ giữa các tập nghiệm S1,S2 ,S3 ? A. S1  S3  S2 . B. S3  S2  S1 . C. S3  S1  S2 . D. S1  S2  S3 . Giải: 2.2x 3.3x 6x 1 0 x x x x x x 1 1 1 2.2 3.3 1 6 2. 3. 1 3 2 6 Dùng tính đơn điệu của hàm số, suy ra: S1 2; x 2 4 x 2 2 x S2 2; . log 1 x 1 0 x 1 1 x 2 S3 2; 2 S1  S3  S 2 Chọn A. Bài 13: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, bác B rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kì hạn 6 tháng do gia đình có việc nên bác gửi thêm một số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi suất là: A. 0,4%. B. 0,3%. C. 0,5%. D. 0,6%. Giải:
  54. Gửi đc 1 năm coi như gửi đc 4 kì hạn 3 tháng; nên một kì hạn 6 tháng số tiền khi đó là: 20000000. 1 0,72.3:100 4 1 0,78.6 :100 Giả sử lãi suất kg kỳ hạn là A%; gửi thêm B tháng khi đó số tiền là: 20000000. 1 0,72.3:100 4 1 0,78.6 :100 1 A:100 B 23263844,9 Lưu ý: 1 B 5 và B nguyên dương, nhập máy tính. 20000000. 1 0,72.3:100 4 1 0,78.6 :100 1 A:100 B 23263844,9 Thử với A =0,3 rồi thử B từ 1 đến 5, sau đó thử A = 0,5 rồi thử B từ 1 đến 5, cứ như vậy đến bao giwof kết quả đúng bằng 0 hoặc xấp xỉ = 0 thì chọn. Kết quả là: A =0,5. B=4 Chọn C. Bài 14: Cho ba số dương a,b,c đôi một khác nhau và khác 1. Xét các khẳng định sau: b c (I) log2 log2 ; a c a b 2 2 1 (II) loga blogb c 2 ; logc a 2 c 2 a 2 b (III) Trong ba số log a ;log a ;log c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1. b b b c a a Khẳng định nào đúng? A. Chỉ (I) và (II). B. Chỉ (I) và (III). C. Chỉ (I). D. cả (I), (II) và (III). Giải: b 2 2 c + log2 log b log c log c log b log2 a c a a a a a b Vậy khẳng định (I) đúng. 1 log2 blog2 c a a log2 a c 2 2 2 loga blogb clogc a 1 2 loga blogb clogc a 1 2 loga a 1 Khẳng định (II) đúng. + Theo khẳng định (I) ta có: 2 c 2 b 2 a 2 c 2 b 2 a log a log a ; log b log b ; log c log c . b b b c c c c a a a a b Suy ra: 2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 a log a .log b .log c loglog a .log b .log c 1 b b c c a a b c c a a b (theo câu b).
  55. a c b a b c ; ; . Do đó a,b,c đôi một khác nhau nên các số b b c c a a Suy ra: các số c a b log2 ;log2 ;log2 a b a c c a b b a đều khác 1. Ta cũng có: a b 2 a c 2 b c 2 0 a2 bc b2 ac c2 ab 0 c a b Suy ra ít nhất một trong ba số log a ;log b log c khác -1 b b c c a a Khi đó : 2 c 2 a 2 b Trong ba số log a ;log a ;log c luôn có ít nhất một số khác 1. b b b c a a 2 c 2 a 2 b Mà: log a .log b .log c 1 b b c c a a Do đó (III) đúng. Chọn D. Bài 15: Cô giáo Liên ra trường xa quê lập nghiệp, đến năm 2014 sau gần 5 năm làm việc tiết kiệm được x (triệu đồng) và định dùng số tiền đó để mua nhà như trên thực tế cô giáo phải cần 1,5 5x (triệu đồng). Cô quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là 6,9%/năm với lãi hàng tháng nhập gốc và cô không rút trước kì hạn. Hỏi năm bao nhiêu cô mua được căn nhà đó, biết chủ nhà đó vẫn bán giá như cũ. A. Năm 2019. B. Năm 2020. C. Năm 2021. D. Năm 2022. Giải: n n Tiền lãi sau n năm tiết kiệm là: xn x. 1 0,069 1,069 .x Theo giả thiết ta có: n xn 1,55x 1,069 1,55 n log1,069 1,55 6,56 Vì n ¥ do đó sau 7 năm cô giáo Liên mua đc nhà, năm đó là 2021, đáp án C. Chọn C.
  56. ĐỀ SỐ 3: 1 1 BÀI 1: Với a 0,a 1 , cho biết: t a1 loga u ;v a1 loga t . Chọn khẳng định đúng: 1 1 1 1 A. u a . B. u a . C. u a . D. u a . 1 loga v 1 loga t 1 loga v 1 loga v Giải: 1 1 Từ giả thiết suy ra: loga t .loga a 1 loga u 1 loga u 1 1 1 1 log u log v .log a a a 1 log t a 1 log t 1 log u a a 1 a 1 loga u loga vloga u 1 loga u loga u 1 loga v 1 1 1 1 loga v loga u u a 1 loga v Chọn D. 2 2 2 Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x log 1 x 3 m log2 x 3 có 2 nghiệm thuộc 32; ? A. m 1; 3 . B. m 1; 3 C. m 1; 3 D. m 3;1 . Giải: ĐK: x 0 . Khi đó phương trình tương đương: 2 log2 x 2log2 x 3 m log2 x 3 Đặt: t log2 x , với x 32 log2 x log2 32 5 hay t 5. Phương trình trở thành: t 2 2t 3 m t 3 * . Khi đó bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiêm t 5 . Với t 5 thì: * t 3 . t 1 m t 3 t 3 t 1 m t 3 0 t 1 t 1 m t 3 0 m t 3 t 1 4 4 4 Ta có: 1 . Với t 5 1 1 1 3 hay: t 3 t 3 t 3 5 3 t 1 t 1 1 3 1 3 t 3 t 3 Suy ra 1 m 3 . Vậy phương trình có nghiệm thỏa ycbt với 1 m 3 . Chọn A.
  57. Bài 3: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất 12% năm. Biết rằng cứ sau mỗi một quý (3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn vào gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền (gồm cả vốn lẫn lãi) gấp ba lần số tiền ban đầu. A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Giải: Gọ số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,003. Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là: A 1 0,03 n n ycbt A 1 0,03 3A n log1,03 3 37,16 Vậy số năm tối thiểu là 9,29 năm. Vậy chọn C. 2 2 Bài 4: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình m2x 5x 6 21 x 2.26 5x m . có 3 nghiệm phân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Giải: Viết phương trình lại dưới dạng: 2 2 m2x 5x 6 21 x 2.26 5x m 2 2 2 2 m2x 5x 6 21 x 2x 5x 6 1 x m 2 2 2 2 m2x 5x 6 21 x 2x 5x 6.21 x m 2 u 2x 5x 6 Đặt ;u,v 0 . Khi đó phương trình tương đương: 1 x2 v 2 mu v uv m u 1 v m 0 2 x 3 u 1 2x 5x 6 0 x 2 2 v m 1 x 2 m 1 x2 2 m * TH1: (*) có nghiệm duy nhất (nghiệm x=0) m=2. TH2: (*) có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm còn lại khác 3. Suy ra : m= 2-3 TH3: (*)có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm còn lại khác 3. Suy ra : m= 2-8 Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn. Chọn C.
  58. Bài 5: Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20.000.000 đồng. Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8,5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày). A. 31 802 750,09 vnd. B. 30 802 750,09 vnd. C. 32 802 750,09 vnd. D. 33 802 750,09 vnd. Giải: 8,5% 4,25 Một kỳ hạn 6 tháng có lãi suất là: .6 12 100 Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là 11 kỳ hạn), số tiền cả vốn lẫn lãi bác nông dân 11 4,25 đc nhận là: A 20.000.000. 1 vnd 100 Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư 60 ngày nên số tiền đc tính lãi suất không kì hạn trong 60 ngày là: 11 0,01 4,25 B A. .60 120000 1 vnd 100 100 Vậy sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân nhận được là: 11 11 4,25 4,25 A B 20000000 1 120000 1 31802750,09 vnd . Chọn A. 100 100 log2 x Bài 6: Tập các giá trị của m để bất phương trình 2 m nghiệm đúng với mọi x>0 là: 2 log2 x 1 A. ;1 . B. 1; . C. 5;2 . D. 0;3 . Giải: 2 Đặt t log2 x t 1 . t Khi đó ta có: m * t 1 Bất phương trình ban đầu có nghiệm với mọi x>0 * nghiệm đúng với mọi t>1 t Xét hàm số f t , t 1; . t 1 t 2 f ' t 3 t 1 f ' t 0 t 2 lim f t , lim f t x t 1
  59. BBT t 1 2 f ' t || 0 f t || 1 Từ BBT ta có thể kết luận bất phương trình có nghiệm với mọi t>1 m 1 Chọn A. p Bài 7: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log p log q log p q . Tìm giá trị của 9 12 16 q ? 4 8 1 1 A. . B. . C. 1 3 . D. 1 5 . 3 5 2 2 Giải: Đặt: t log9 p log12 q log16 p q thì: p 9t ,q 12t ,16t p q 9t 12t 1 . t t t t 4 4 4 q Chia hai vế của (1) cho 9 ta được: 1 . dặt x 0 3 3 3 p Đưa về phương trình: 1 q 1 x2 x 1 0 x 1 5 do x 0 , suy ra 1 5 2 p 2 Chọn D. 2 2 Bài 8: Tập nghiệm của bất phương trình: 3x x 1 1 3 3x 3 x 1 . A. 2 x . B. 1 x 2 . C. 2 x 7 . D. 2 x 4 . Giải: ĐK: x 1 2 2 2 2 Ta có: 3x x 1 1 3 3x 3 x 1 3x x 1 9 3.3x 3.3 x 1 0 2 3x 3 3 x 1 3 0 +với x 1 , thỏa mãn; +Với x 1: 3 x 1 3 x 1 1 1 x 2 Chọn B. Bài 9: Tìm các giá trị của m để phương trình: 3x 3 5 3x m có 2 nghiệm phân biệt: A. 3 5 m 4 . B. 2 2 m 4 . C. 2 2 m 3 . D. m 2 2 .
  60. Giải: ĐK: x log3 5 x x Đặt: f x 3 3 5 3 với x log3 5 . x x x 3x ln3 3x ln3 3 ln3 5 3 3 3 f ' x 2 3x 3 2 5 3x 2 3x 3 5 3x f ' x 0 5 3x 3x 3 x 0 lim f x 3 5 x BBT x 0 f ' x + 0 − f x 4 3 5 2 2 Chọn A. 1 1 1 1 Bài 10: Cho A . Biểu thức rút gọn A là: log b log b log b log b a1 a2 a3 an 2n n 1 2n 2n 1 n n 1 n n 2 A. b . B. b . C. b . D. b . 3.loga loga 2.loga 3.loga Giải: 1 1 1 1 1 n n 1 Ta có: A 1 2 n log b log b log b log b logb 2.logb a1 a2 a3 an a a Chọn C. Bài 11: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Ông B cũng đen 5 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất % một tháng. Sau 10 năm, hai ông A và B cùng 12 đến ngân hàng rút tiền ra, Khẳng định nào sau đây là đúng? (Lưu ý: tiền lãi được tính theo công thức lãi kép và được làm tròn đến hàng triệu). A. Số tiền của A, B khi rút ra là như nhau. B. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 1 triệu. C. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 2 triệu. D. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 3 triệu. Giải: Sau 10 năm:
  61. +Số tiền của ông A có được: 100.000.000 1 5% 10 163.000.000 (làm tròn đến hàng triệu). 120 5 +Số tiền của ông B có được: 100.000.000 1 % 165.000.000 (làm tròn đến hàng triệu). 12 Chọn C. Bài 12: Giải phương trình: 5x 1 52 x 124. A. x 4 . B. x 2 . C. x 5 . D. x 8 . Giải: t 25(tm) x 25 2 Đặt t 5 ;t 0.PT 5t 124 0 5t 124t 25 0 1 t t (L) 5 Khi đó: 5x 25 x 2 . Chọn B. 2 Bài 13: Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9x 2 3x x .32 x 1 0 là: 3 A. S 1; 0 . B. S 1; . C. S 0; . D. S 2; 0 . Giải: ĐKXĐ: x 0 . 9x 2 BPT 81. 3x.3 x .3.32 x 0 . 81 3 32x 3x.3 x 2.32 x 0 3x 3 x 3x 2.3 x 0 3x 3 x 0 do 3x 2.3 x 0, x 0 x x x 1 x 1 3 3 x x x 0 x 0 Vậy tập nghiệm cảu BPT là S 1; 0 . Chọn A. Bài 14: Cho un là cấp số nhân với số hạng tổng quát un 0;un 1 . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 A. uk 1 uk 1 uk B. uk 1 uk 1 uk . log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 uk 1 uk uk 1 uk 1 uk uk 1 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 C. uk 1 uk 1 uk . D. uk 1 uk uk 1 . log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 uk 1 uk uk 1 uk 1 uk uk 1 Giải: 2 Vì un là cấp số nhân nên uk uk 1.uk 1 . 2log2007 uk log2007 uk 1 log2007 uk 1
  62. 1 1 1 1 Suy ra: . log 2007 log 2007 log 2007 log 2007 uk uk 1 uk 1 uk log 2007 log 2007 log 2007 Hay uk 1 uk 1 uk log 2007 log 2007 log 2007 uk 1 uk uk 1 Chọn A. Bài 15: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cùng cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì mức cường độ ân là 68 dB. Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là 80 dB. Tính số ca sĩ có trong ban hợp ca đó biết mức cường độ ân L được tín theo công thức I L 10log . Trong đó I là cường độ âm và I0 là cường độ âm chuẩn. I0 A. 16 người. B. 12 người. C. 10 người. D. 18 người. Giải: I In In Ta có: L 10log 68 và Ln 10lg 80 . In nI1 n I0 I0 I1 Với n là số ca sĩ. I1 In In Ln L1 10log 10log 10log I0 I0 I1 I Ln L1 80 68 n n 10 10 10 10 5 106 16 I1 Chọn A. Bài 16: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức f x Aer ,x trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r 0 , x (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần. A. 5ln 20 (giờ). B. 5ln10 (giờ). C. 10log5 10 (giờ). D. 10log5 20 (giờ). Giải: Gọi thời gian cần tìm là t. ln5 Ta có: 5000 1000.e10r nên r 10 ln10 10ln10 Do đó: 10000 1000.ert t 10log 10 (giờ). r ln5 5 Chọn C.