›

Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án)

docx 730 trang Thái Huy 19/03/2024 6085
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_17_de_thi_danh_gia_nang_luc_dhqg_ha_noi_2022_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án)

  1. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 1 DeThi.edu.vn
  2. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – TOÁN HỌC Câu 1 (NB) : Hà Nội tính đến 10 giờ 45 (giờ VN) ngày 16/12/2020 đã có 15 quốc gia ghi nhận số ca mắc COVID- 19 trên 1 triệu (Nguồn: Worldometers.info) Tính đến ngày 16/12/2020 Quốc gia nào có số ca mắc Covid 19 – nhiều nhất thế giới? A. Ấn Độ. B. Trung Quốc. C. Thổ Nhĩ Kỳ. D. Mỹ. 1 ′′ Câu 2 (TH): Cho hàm số ( ) = 2 ― 1. Tính (1) A. -8. B. -2. C. 2. D. 8. Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình log3 (2 ―3) = 2 là: 11 9 A. = 2 . B. = 5. C. = 2. D. = 6. 2 ― = 1 Câu 4 (VD): Cho hệ phương trình: 2 + 2 ― 2 = 7, cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: A. ( , ) ∈ {(2;3),(4; ― 9)}. B. ( , ) ∈ {(2;3),( ― 4; ― 9)}. C. , ) ∈ {(2; ― 3),( ― 4; ― 9)}. D. ( , ) ∈ {(2;3),(4;9)}. Câu 5 (TH): Trong mặt phẳng tọa độ cho các điểm , như hình vẽ bên Trung điểm của đoạn thẳng biểu diễn số phức 2 DeThi.edu.vn
  3. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức 1 1 A. ―1 + 2푖. B. ― 2 +2푖. C. 2 ― 푖. D. 2 ― 2푖. Câu 6 (TH): Trong không gian , cho hai điểm (2; ― 3; ― 1), (4;5;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn là: A. 3 + ―7 = 0. B. +4 ― ―7 = 0. C. 3 + ―14 = 0. D. +4 + ―7 = 0. Câu 7 (NB): Trong không gian , tọa độ điểm đối xứng với điểm 푄(2;7;5) qua mặt phẳng ( ) là A. ( ― 2;7; ― 5). B. (2;7; ― 5). C. (2; ― 7;5). D. ( ― 2; ― 7; ― 5). | ― 1| Câu 8 (VD): Cho bất phương trình: + 2 > 1 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là: A. -1. B. 1. C. -3. D. 0. Câu 9 (TH): Phương trình sin = cos có số nghiệm thuộc đoạn [ ― ; ] là: A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Câu 10 (TH): Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 10000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 3000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 100 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 15580000 đồng. B. 18500000 đồng. C. 15850000 đồng. D. 15050000 đồng. + 3 Câu 11 (TH): Biết 퐹( ) là một nguyên hàm của ( ) = ― 2 thỏa mãn 퐹(1) = 1. Tính 퐹(0). A. 퐹(0) = 5ln 2. B. 퐹(0) = 1 + ln 2.C. 퐹(0) = ln 2. D. 퐹(0) = 1 + 5ln 2. Câu 12 (VD): Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên: Tìm tất cả cá giá trị để bất phương trình ( + 1 +1) ≤ có nghiệm? A. ≥ ―4. B. ≥ 1. C. ≥ 2. D. > ―5. Câu 13 (VD): Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc (푡) = 6 ― 3푡 m/s2 , trong đó 푡 là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: 3 DeThi.edu.vn
  4. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 10( m) B. 6( m). C. 12( m) D. 8( m). Câu 14 (TH): Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không đổi là 6% trên năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút ra 500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng (làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu triệu đồng? A. 420. B. 410.C. 400. D. 390. Câu 15 (TH): Nghiệm của bất phương trình log1 ( ―1) ≥ ―1 là: 2 A. ≥ 3. B. 1 ≤ ≤ 3. C. 1 < ≤ 3. D. ≤ 3. Câu 16 (TH): Hình phẳng D (phần tô đậm trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ) = 2 , đường thẳng : = + ( ≠ 0) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi hình phẳng D quay quanh trục . 8 10 16 2 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 . Câu 17 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để hàm số = 2 +8ln 2 ― đồng biến trên (0; + ∞) ? A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. Câu 18 (TH): Cặp số ( ; ) nào dưới đây thỏa đẳng thức (3 +2 푖) + (2 + 푖) = 2 ―3푖 ? A( ― 2; ― 1). B. ( ― 2; ― 2). C. (2; ― 2). D. (2; ― 1). Câu 19 (VD): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn | ―1 + 3푖| = | +1 ― 푖| A. ―2 ―2 = 0. B. + ―2 = 0. C. ― +2 = 0. D. ― ―2 = 0. Câu 20 (VD): Cho tam giác có phương trình các cạnh :3 ― +4 = 0, : +2 ―4 = 0, :2 +3 ―2 = 0. Khi đó diện tích của △ là: 1 38 338 380 A. 77. B. 77. C. 77 . D. 77 . Câu 21 (TH): Với những giá trị nào của thì đường thẳng (Δ):3 +4 +3 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( ):( ― )2 + 2 = 9 ? A. = 0 và = 1. B. = 4 và = ―6. C. = 2. D. = 6. Câu 22 (VD): Trong không gian , cho mặt phẳng (푃): + +2 ―2 = 0. Phương trình của mặt phẳng chứa trục và vuông góc với (푃) là 4 DeThi.edu.vn
  5. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 2 ― +2 = 0. B. 2 ― = 0. C. 2 + = 0. D. 2 + ― = 0 Câu 23 (TH): Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 2 và bán kính đáy bằng . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng 3 2 A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Câu 24 (TH): Một đồ chơi bằng gỗ có dạng một khối nón và một nửa khối cầu ghép với nhau (hình bên). Đường sinh của khối nón bằng 5 cm, đường cao của khối nón là 4 cm. Thể tích của đồ chơi bằng: A. 30 (cm3). B. 72 (cm3). C. 48 (cm3). D. 54 (cm3). Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông vuông tại , = , ∠ = 60∘. Đường thẳng ′ tạo với mặt phẳng ( ′) góc 30∘. Tính thể tích khối lăng trụ ⋅ ′ ′ ′. 3 3 3 3 A. . B. 3 6. C. 2 3 3. D. . 2 3 Câu 26 (VD): Cho tứ diện có = 3 , = 2 ,(훼) là một mặt phẳng song song với và . Biết ( 훼 ) cắt tứ diện theo thiết diện là một hình thoi, chu vi của hình thoi đó bằng: 12 28 16 24 A. 5 . B. 5 . C. 5 . D. 5 . Câu 27 (VD): Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu (푆):( ―3)2 +( +2)2 +( ―1)2 = 100 và mặt phẳng (푃):2 ―2 ― +9 = 0. Tìm điểm trên mặt cầu (푆) sao cho khoảng cách từ đến (푃) lớn nhất. A. = 29 ; ― 26 ; ― 7 . B. = 29 ; 26 ; ― 7 . 3 3 3 3 3 3 C. = ―29 ; 26 ; 7 D. = ― 11 ; 14 ; 13 . 3 3 3 3 3 3 + 3 ― 1 ― 1 Câu 28 (VD): Trong không gian , cho đường thẳng : 2 = 1 = ―3 . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng ( ) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là A. = (0;1; ― 3). B. = (0;1;3). C. = (2;1; ― 3). D. = (2;0;0). Câu 29 (VD): Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu (푆):( +2)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 9 và điểm thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng là A. 12. B. 3. C. 9. D. 6. 5 DeThi.edu.vn
  6. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Câu 30 (VDC): Trong không gian , cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ biết (1;0;1), (2;1;2), (2; ― 2;2), ′(3;0; ― 1), điểm thuộc cạnh . GTNN của tổng các khoảng cách + là: A. 17. B. 17 + 4 6. C. 17 + 8 3. D. 17 + 6 2. Câu 31 (VD): Cho hàm bậc ba = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ℎ( ) = | (sin ) ― 1| có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn [0;2 ]. A. 7. B. 8. C. 5. D. 6. Câu 32 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên bé hơn -6 để phương trình 2 2 ― 2 ― = +2 có nghiệm? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. 2 + 1 ′ Câu 33 (VD): Cho hàm số = ( ) thỏa mãn (0) = 3 và ( + ) ( ) = 1,∀ ≥ ―1. Biết rằng 2 ∫1  ( ) = + với , ∈ ℤ. Tính = + . 0 15 A. -8. B. -24. C. 24. D. 8. Câu 34 (VD): Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng: 4 1 2 8 A. 63. B. 63. C. 63. D. 63. Câu 35 (VD): Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường = , = ― và = 4. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( ) quanh trục hoành là = với , > 0 và là phân số tối giản. Tính tổng = + . Đáp án: + 1 Câu 36 (NB): Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ― 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 có dạng = + , khi đó + bằng: Đáp án: Câu 37 (TH): Hàm số ( ) = 4( ―1)2 có bao nhiêu điểm cực trị? Đáp án: Câu 38 (TH): Trong không gian , cho điểm (1;6; ― 3) và mặt phẳng (푃):2 ―2 + ―2 = 0. Khoảng cách từ đến (푃) bằng: 6 DeThi.edu.vn
  7. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Đáp án: Câu 39 (TH): Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh thành hai hàng, một hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ? Đáp án: ( ) ― 20 3 6 ( ) + 5 Câu 40 (VDC): Cho ( ) là đa thức thỏa mãn lim = 10. Tính lim ― 5. →2 ― 2 →2 2 + ― 6 Đáp án: Câu 41 (TH): Giá trị lớn nhất của hàm số = ― 2 +4 ―1 là: Đáp án: Câu 42 (TH): TH): Đồ thị hàm số = 3 ―2 2 + 2 + 푛 có điểm cực tiểu là (1;3). Giá trị của + 푛 bằng: Đáp án: Câu 43 (TH): Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường = , = ― và = 4. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( ) quanh trục hoành là = với , > 0 và là phân số tối giản. Tính tổng = + . Đáp án: Câu 44 (VD): Cho hàm số = ( ) liên tục trên 퐑 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình (2 ― ( )) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? Đáp án: Câu 45 (VD): Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn | +1 + 3푖| = | ―2 ― 푖| là phương trình đường thẳng có dạng + + = 0. Khi đó tỉ số bằng: Đáp án: Câu 46 (TH): Cho hình lăng trụ tứ giác đều ⋅ ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng 3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ′) ? Đáp án: 7 DeThi.edu.vn
  8. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn + 1 + 3 + 2 Câu 47 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : 1 = 2 = 2 và điểm (3;2;0). Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng có tọa độ là Đáp án: 3― +1 2 + Câu 48 (VDC): Cho các số dương , thỏa mãn 2 = 2 3 + 4 + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 3 푃 = + 7 . Đáp án: Câu 49 (VD): Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có là tam giác vuông = = 1; ′ = 2, là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và ′ . Đáp án: Câu 50 (VD): Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quà làm tròn đến hàng phần trăm)? Đáp án: HẾT ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Câu LỜI GIẢI CHI TIẾT 8 DeThi.edu.vn
  9. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Câu 1 (NB) : Hà Nội tính đến 10 giờ 45 (giờ VN) ngày 16/12/2020 đã có 15 quốc gia ghi nhận số ca mắc COVID- 19 trên 1 triệu (Nguồn: Worldometers.info) Tính đến ngày 16/12/2020 Quốc gia nào có số ca mắc Covid 19 – nhiều nhất thế giới? A. Ấn Độ. B. Trung Quốc. C. Thổ Nhĩ Kỳ. D. Mỹ. Phương pháp: Quan sát biểu đồ, lấy thông tin số ca mắc Covid-19 nhiều nhất thế giới tính đến ngày 16/12/2020. Lời giải: Tính đến ngày 16/12/2020 Mỹ có số ca mắc Covid-19 nhiều nhất thế giới là: hơn 17 triệu người. ⇒ Chọn đáp án D. 1 ′′ Câu 2 (TH): Cho hàm số ( ) = 2 ― 1. Tính (1) A. -8. B. -2. C. 2. D. 8. ―푛 ⋅ ( ( ))′ Phương pháp: 1 = ( ( ))푛 ( ( ))푛+1 Lời giải: 1 ―2 8 ( ) = ⇒ ′( ) = ⇒ ′′( ) = ⇒ ′′(1) = 8 2 ― 1 (2 ― 1)2 (2 ― 1)3 ⇒ Chọn đáp án D. Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình log3 (2 ―3) = 2 là: 11 9 A. = 2 . B. = 5. C. = 2. D. = 6. Phương pháp: Giải phương trình logarit: log ( ) = ⇔ ( ) = 9 DeThi.edu.vn
  10. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Lời giải: log3 (2 ― 3) = 2⇔2 ― 3 = 9⇔ = 6 ⇒ Chọn đáp án D. 2 ― = 1 Câu 4 (VD): Cho hệ phương trình: 2 + 2 ― 2 = 7, cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: A. ( , ) ∈ {(2;3),(4; ― 9)}. B. ( , ) ∈ {(2;3),( ― 4; ― 9)}. C. , ) ∈ {(2; ― 3),( ― 4; ― 9)}. D. ( , ) ∈ {(2;3),(4;9)}. Phương pháp: Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất ta biểu diễn ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. Lời giải: 2 ― = 1 = 2 ― 1 = 2 ― 1 2 + 2 ― 2 = 7⇔ 2 + 2 (2 ― 1) ― (2 ― 1)2 = 7 ⇔ 2 + 4 2 ― 2 ― 4 2 + 4 ― 1 ― 7 = 0 = ―4 = 2 ― 1 = 2 ― 1 ≠ 2 ― 1 = 2 ― 1 + 4 = 0 = ―4 = ―9 ⇔ 2 + 2 ― 8 = 0⇔ ( + 4)( ― 2) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ = 2 ― 2 = 0 = 2 = 3 ⇒ Chọn đáp án B. Câu 5 (TH): Trong mặt phẳng tọa độ cho các điểm , như hình vẽ bên Trung điểm của đoạn thẳng biểu diễn số phức Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức 1 1 A. ―1 + 2푖. B. ― 2 +2푖. C. 2 ― 푖. D. 2 ― 2푖. Phương pháp: = + 2 - Tìm tọa độ trung điểm của : + . = 2 - Số phức được biểu diễn bởi điểm ( ; ) là: = + 푖. Lời giải: 10 DeThi.edu.vn
  11. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Dựa vào hình vẽ ta thấy ( ― 2;1), (1;3). Gọi là trung điểm của ⇒ ― 1 ;2 . 2 1 Vậy trung điểm của đoạn thẳng biểu diễn số phức ― 2 +2푖. ⇒ Chọn đáp án B. Câu 6 (TH): Trong không gian , cho hai điểm (2; ― 3; ― 1), (4;5;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn là: A. 3 + ―7 = 0. B. +4 ― ―7 = 0. C. 3 + ―14 = 0. D. +4 + ―7 = 0. Phương pháp: - Tìm vectơ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của . - Tìm trung điểm của là điểm thuộc mặt phẳng trung trực của . - Phương trình mặt phẳng đi qua ( 0; 0; 0) và có 1 VTPT 푛( ; ; ) là: ( ― 0) + ( ― 0) + ( ― 0) = 0. Lời giải: Gọi mặt phẳng (푃) là mặt phẳng trung trực của (2; ― 3; ― 1), (4;5;1). Ta có: = (2;8;2). 1 Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (푃) là 푛 = 2 = (1;4;1). Gọi là trung điểm của ⇒ (3;1;0). Khi đó mặt phẳng (푃) đi qua trung điểm (3;1;0) và có 1 VTPT 푛 = (1;4;1) có phương trình là: 1( ― 3) + 4( ― 1) + 1( ― 0) = 0⇔ + 4 + ― 7 = 0. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 7 (NB): Trong không gian , tọa độ điểm đối xứng với điểm 푄(2;7;5) qua mặt phẳng ( ) là A. ( ― 2;7; ― 5). B. (2;7; ― 5). C. (2; ― 7;5). D. ( ― 2; ― 7; ― 5). Phương pháp: Tọa độ điểm đối xứng với điểm ( ; ; ) qua mặt phẳng ( ) là: ′( ; ― ; ) Lời giải: Tọa độ điểm đối xứng với điểm 푄(2;7;5) qua mặt phẳng ( ) là: (2; ― 7;5). ⇒ Chọn đáp án C. | ― 1| Câu 8 (VD): Cho bất phương trình: + 2 > 1 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là: A. -1. B. 1. C. -3. D. 0. Phương pháp: 11 DeThi.edu.vn
  12. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Tìm ĐKXĐ. + 2 > 0 Giải bất phương trình theo hai trường hợp: + 2 | | > ⇔ 0⇔ > ―2 | ― 1| | ― 1| + 2 > 1⇔ ― > 0 + 2 + 2 + 2 | ― 1| ― ( + 2) ⇔ > 0 + 2 ⇔| ― 1| ― ( + 2) > 0 (vì + 2 > 0) ⇔| ― 1| > + 2 ― 1 > + 2 ⇔ ― 1 2( vô lý) ⇔ 2 ―2⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là ―2 1⇔ ― > 0 + 2 + 2 + 2 | ― 1| ― ( + 2) ⇔ > 0 + 2 ⇔| ― 1| ― ( + 2) ― 2 Kết hợp với điều kiện < ―2, nghiệm của bất phương trình là ∈ ∅. Kết hợp hai trường hợp ta được tập nghiệm của bất phương trình là 푆 = ―2; ― 1 . 2 Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là -1 . ⇒ Chọn đáp án A. Câu 9 (TH): Phương trình sin = cos có số nghiệm thuộc đoạn [ ― ; ] là: 12 DeThi.edu.vn
  13. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Phương pháp: = 훼 + 2 Giải phương trình lượng giác cơ bản: sin = sin 훼⇔ = ― 훼 + 2 ( ∈ ℤ). Tìm nghiệm trên [ ― ; ]. Lời giải: Ta có: sin = cos ⇔sin = sin ― 2 = ― + 2 ⇔ 2 = ― + + 2 ( vonghiem ) 2 ⇔2 = + 2 ⇔ = + ( ∈ ℤ) 2 4 ―3 Trên [ ― ; ] phương trình có 2 nghiệm = 4 ; = 4. ⇒ Chọn đáp án C. Câu 10 (TH): Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 10000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 3000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 100 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 15580000 đồng. B. 18500000 đồng. C. 15850000 đồng. D. 15050000 đồng. Phương pháp: - Thành lập cấp số cộng. [2 + (푛 ― 1) ].푛 - Tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu , công sai là: 1 푛 1 푆푛 = 2 Lời giải: Số tiền phải thanh toán là 1 cấp số cộng với 1 = 10000 đồng và = 3000 đồng, ta có: Vậy giá tiền phải thanh toán khi khoan một giếng sâu 100 mét là: (2 1 + 99 )100 푆 = = (2 ⋅ 10000 + 99 ⋅ 3000) ⋅ 100 = 15850000. 100 2 ⇒ Chọn đáp án C. + 3 Câu 11 (TH): Biết 퐹( ) là một nguyên hàm của ( ) = ― 2 thỏa mãn 퐹(1) = 1. Tính 퐹(0). A. 퐹(0) = 5ln 2. B. 퐹(0) = 1 + ln 2.C. 퐹(0) = ln 2. D. 퐹(0) = 1 + 5ln 2. Phương pháp: + 3 5 - Biến đổi: ― 2 = 1 + ― 2 13 DeThi.edu.vn
  14. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 푛+1 - Áp dụng công thức tính nguyên hàm: 푛 . ∫ = 푛 + 1 + ,∫ = ln | | + - Thay 퐹(1) = 1, tính . Từ đó tính 퐹(0). Lời giải: Ta có: + 3 퐹( ) = ( ) = ― 2 5 = 1 + = + 5ln | ― 2| + ― 2 Theo bài ra ta có: 퐹(1) = 1⇒1 + 5ln 1 + = 1⇒ = 0 Do đó ⇒퐹( ) = +5ln | ―2|. Vậy: 퐹(0) = 5ln 2. ⇒ Chọn đáp án A. Câu 12 (VD): Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên: Tìm tất cả cá giá trị để bất phương trình ( + 1 +1) ≤ có nghiệm? A. ≥ ―4. B. ≥ 1. C. ≥ 2. D. > ―5. Phương pháp: - Đặt ẩn phụ 푡 = + 1 +1, tìm điều kiện của 푡(푡 ∈ ). - Xét hàm (푡) và lập bảng biến thiên trên . Bất phương trình (푡) ≤ có nghiệm nếu min   (푡) ≤ . Lời giải: Đặt 푡 = + 1 +1 thì 푡 ∈ (1; + ∞). Với = 3 thì 푡 = 3. Bảng biến thiên của (푡) : 14 DeThi.edu.vn
  15. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Do đó bất phương trình (푡) ≤ có nghiệm khi và chỉ khi ≥ ―4. ⇒ Chọn đáp án A. Câu 13 (VD): Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc (푡) = 6 ― 3푡 m/s2 , trong đó 푡 là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: A. 10( m) B. 6( m). C. 12( m) D. 8( m). Phương pháp: - Tìm hàm vận tốc: 푣(푡) = ∫ (푡) 푡. - Sử dụng giả thiết 푣(0) = 0 xác định hằng số . - Tìm thời điểm 푡0 mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất. 푡0 - Tính quãng đường từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm 푡0:푆 = ∫0 푣(푡) 푡. Lời giải: 2 Ta có: 3푡 푣(푡) = ∫ (푡) 푡 = ∫(6 ― 3푡) 푡 = 6푡 ― 2 + Theo bài ra ta có: Ô tô đang đứng yên và bắt đầu chuyển động, do đó 푣(0) = 0⇒ = 0. 3 2 Khi đó ta có 푣(푡) = 6푡 ― 2푡 , đây là một parabol có bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại ― ―6 푡 = = = 2 2 3 2 ⋅ ― 2 Vậy quãng đường ô tô đi được từ khi chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: 2 2 3 푆 = 푣(푡) 푡 = 6푡 ― 푡2 푡 = 8( ). 0 0 2 ⇒ Chọn đáp án D. Câu 14 (TH): Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không đổi là 6% trên năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút ra 500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng (làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu triệu đồng? 15 DeThi.edu.vn
  16. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 420. B. 410.C. 400. D. 390. Phương pháp: 푛 - Sử dụng công thức lãi kép: 푛 = (1 + ) trong đó 푛 là số tiền nhận được sau n năm, là số tiền gửi ban đầu, là lãi suất trên 1 kì hạn, 푛 là số kì hạn. - Để sau 3 năm người đó rút được 500 triệu đồng thì số tiền nhận được sau 3 năm (cả gốc và lãi) phải không nhỏ hơn 500 triệu đồng. Giải bất phương trình tìm số tiền gửi ban đầu. Lời giải: Để sau 3 năm người đó rút được 500 triệu đồng thì số tiền nhận được sau 3 năm (cả gốc và lãi) phải không nhỏ hơn 500 triệu đồng. Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là (triệu đồng), số tiền người đó nhận được sau 3 năm là: (1 + 6%)3 (triệu đồng). Khi đó ta có (1 + 6%)3 ≥ 500⇔ ≥ 420 (triệu đồng). ⇒ Chọn đáp án A. Câu 15 (TH): Nghiệm của bất phương trình log1 ( ―1) ≥ ―1 là: 2 A. ≥ 3. B. 1 ≤ ≤ 3. C. 1 1 Giải bất phương trình logarit: log ( ) ≥ ⇔ . 0 < ( ) ≤ khi 0 < < 1 Lời giải: Ta có: log1( ― 1) ≥ ―1 2 1 ―1 ⇔0 < ― 1 ≤ 2 ⇔0 < ― 1 ≤ 2 ⇔1 < ≤ 3 ⇒ Chọn đáp án C. Câu 16 (TH): Hình phẳng D (phần tô đậm trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ) = 2 , đường thẳng : = + ( ≠ 0) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi hình phẳng D quay quanh trục . 16 DeThi.edu.vn
  17. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 8 10 16 2 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 . Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay Lời giải: Đường thẳng đi đi qua hai điểm (1;0);(2;2) nên có phương trình ― 1 ― 0 = ⇔ = 2 ― 2 2 ― 1 2 ― 0 Khi đó thể tích phần tròn xoay cần tính là: 1 2 = 2 + |2 ― (2 ― 2)2| 0 1 1 2 = 2 + | ―4 2 + 10 ― 4| 0 1 4 3 2 = ⋅ 2|1 + ― + 5 2 ― 4 0 3 | 1 4 1 8 = 1 + + = . 3 3 3 ⇒ Chọn đáp án A. Câu 17 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để hàm số = 2 +8ln 2 ― đồng biến trên (0; + ∞) ? A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. Phương pháp: - Để hàm số đồng biến trên (0; + ∞) thì ′ ≥ 0∀ ∈ (0; + ∞). - Cô lập đưa bất phương trình về dạng ≤ ( )∀ ∈ (0; + ∞)⇔ ≤ min[0;+∞)  ( ). - Sử dụng BĐT Cô-si tìm min[0;+∞)  ( ). Lời giải: TX: = (0; + ∞) 2 8 ′ Ta có: = 2 +8 ⋅ 2 ― = 2 + ― . Để hàm số đồng biến trên (0; + ∞) thì ′ ≥ 0∀ ∈ (0; + ∞). 8 ⇔2 + ― ≥ 0∀ ∈ (0; + ∞) 8 ⇔ ≤ 2 + ∀ ∈ (0; + ∞)( ∗ ) 8 Đặt ( ) = 2 + 17 DeThi.edu.vn
  18. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ( ∗ )⇔ ≤ min ( ) [0; + ∞) 8 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 2 + ≥ 2 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 4 = 8 8 ⇒min[0;+∞)  ( ) = 8, dấu "=" xảy ra ⇒2 = ⇔ = 2. Từ đó ta suy ra được ≤ 8, kết hợp điều kiện ∈ ℤ+⇒ ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8}. Vậy có 8 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 18 (TH): Cặp số ( ; ) nào dưới đây thỏa đẳng thức (3 +2 푖) + (2 + 푖) = 2 ―3푖 ? A( ― 2; ― 1). B. ( ― 2; ― 2). C. (2; ― 2). D. (2; ― 1). Phương pháp: 1 = 2 Áp dụng tính chất của hai số phức bằng nhau: 1 = 1 + 1, 2 = 2 + 2⇒ 1 = 2⇔ . 1 = 2 Lời giải: Ta có: (3 + 2 푖) + (2 + 푖) = 2 ― 3푖 ⇔(3 + 2) + (2 + 1)푖 = 2 ― 3푖 3 + 2 = 2 = ―2 ⇒ 2 + 1 = ―3⇔ = ―2. ⇒ Chọn đáp án B. Câu 19 (VD): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn | ―1 + 3푖| = | +1 ― 푖| A. ―2 ―2 = 0. B. + ―2 = 0. C. ― +2 = 0. D. ― ―2 = 0. Phương pháp: - Sử dụng công thức 1 + 2 = 1 + 2;| | = | | - Đặt = + 푖, sử dụng công thức | | = 2 + 2, biến đồi rút ra mối quan hệ giữa , và kết luận. Lời giải: Theo bài ra ta có: | ― 1 + 3푖| = | + 1 ― 푖| ⇔| ― 1 + 3푖| = | + 1 + 푖| ⇔| ― 1 + 3푖| = | + 1 + 푖| ⇔| ― 1 + 3푖| = | + 1 + 푖| Đặt = + 푖 ta có: 18 DeThi.edu.vn
  19. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn | + 푖 ― 1 + 3푖| = | + 푖 + 1 + 푖| ⇔|( ― 1) + ( + 3)푖| = | + 1 + ( + 1)푖| ⇔( ― 1)2 + ( + 3)2 = ( + 1)2 + ( + 1)2 ⇔ ― 2 + 1 + 6 + 9 = 2 + 1 + 2 + 1 ⇔4 ― 4 ― 8 = 0 ⇔ ― ― 2 = 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng ― ―2 = 0. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 20 (VD): Cho tam giác có phương trình các cạnh :3 ― +4 = 0, : +2 ―4 = 0, :2 +3 ―2 = 0. Khi đó diện tích của △ là: 1 38 338 380 A. 77. B. 77. C. 77 . D. 77 . Phương pháp: B1: Tìm tọa độ các đỉnh ; ; của △ . 1 B2: Sử dụng công thức: 푆 = 2 ( ; ). Lời giải: = ― 4 3 ― + 4 = 0 7 4 16 Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình: ⇔ 16 ⇒ ― ; . + 2 ― 4 = 0 = 7 7 7 = ― 10 3 ― + 4 = 0 11 10 14 Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình: ⇔ 14 ⇒ ― ; . 2 + 3 ― 2 = 0 = 11 11 11 + 2 ― 4 = 0 = ―8 Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình: 2 + 3 ― 2 = 0⇔ = 6 ⇒ ( ― 8;6). 13 ⇒ = ― 78 ; 52 ⇒ = 26 . 11 11 11 1 Ta có: 푆 = 2 ( ; ). . 4 16 1 |2 ⋅ ― 7 + 3 ⋅ 7 ― 2| 26 13 ⇔푆 = ⋅ ⋅ 2 22 + 32 11 26 13 338 ⇔푆 = ⋅ 26 = . 2.7 13 11 77 ⇒ Chọn đáp án C. Câu 21 (TH): Với những giá trị nào của thì đường thẳng (Δ):3 +4 +3 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( ):( ― )2 + 2 = 9 ? A. = 0 và = 1. B. = 4 và = ―6. C. = 2. D. = 6. Phương pháp: 19 DeThi.edu.vn
  20. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Để đường thẳng (Δ) tiếp xúc với đường tròn ( ) thì khoảng cách từ tâm của đường tròn ( ) đến đường thẳng (Δ) bằng bán kính của đường tròn ( ). Lời giải: Đường tròn ( ):( ― )2 + 2 = 9 có tâm ( ;0) và bán kính 푅 = 3. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi ( ;Δ) = 푅 = 3. |3 + 3| 3 + 3 = 15 3 = 12 = 4 ⇒ = 3⇔|3 + 3| = 15⇔ ⇔ ⇔ 5 3 + 3 = ―15 3 = ―18 = ―6 Vậy = 4 và = ―6. ⇒ Chọn đáp án B. Câu 22 (VD): Trong không gian , cho mặt phẳng (푃): + +2 ―2 = 0. Phương trình của mặt phẳng chứa trục và vuông góc với (푃) là A. 2 ― +2 = 0. B. 2 ― = 0. C. 2 + = 0. D. 2 + ― = 0 Phương pháp: Áp dụng công thức tính tích có hướng của hai vecto. Lời giải: Gọi mặt phẳng (푄) chứa trục và vuông góc với (푃): + +2 ―2 = 0. 푛(푄) ⊥ 푛1 = (0;1;0) Khi đó ⇒푛(푄) = 푛1;푛(푃) = (2;0; ― 1). 푛(푄) ⊥ 푛(푃) = (1;1;2) Mà mặt phẳng (푄) đi qua (0;0;0) nên phương trình có dạng 2 ― = 0. ⇒ Chọn đáp án B. Câu 23 (TH): Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 2 và bán kính đáy bằng . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng 3 2 A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Phương pháp: Tính đường sinh từ công thức 푆 푞 = 푙. Lời giải: 2 Ta có: 푆 푞 = 푙⇔3 = ⋅ .푙⇔푙 = 3 . ⇒ Chọn đáp án B. Câu 24 (TH): Một đồ chơi bằng gỗ có dạng một khối nón và một nửa khối cầu ghép với nhau (hình bên). Đường sinh của khối nón bằng 5 cm, đường cao của khối nón là 4 cm. Thể tích của đồ chơi bằng: A. 30 (cm3). B. 72 (cm3). C. 48 (cm3). D. 54 (cm3). 20 DeThi.edu.vn
  21. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Phương pháp: - Tính bán kính đáy của hình nón = 푙2 ― ℎ2, cũng chính là bán kính đáy của nửa khối cầu. 1 2 - Thể tích khối nón có chiều cao ℎ, bán kính đáy là: = 3 ℎ. 4 3 - Thể tích khối cầu bán kính là: = 3 . Lời giải: Theo bài ra ta có hình nón có đường sinh 푙 = 5( cm), chiều cao ℎ = 4( cm). 2 2 2 2 Gọi là bán kính đáy hình nón, cũng chính là bán kính hình cầu, ta có = 푙 ― ℎ = 5 ― 4 = 3( cm) 1 2 1 2 3 Thể tích khối nón là: 1 = 3 ℎ = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 = 12 (cm ). 1 4 3 1 4 3 3 Thể tích nửa khối cầu là: 2 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 (cm ). 3 Vậy thể tích của đồ chơi bằng: 1 + 2 = 12 +18 = 30 (cm ). ⇒ Chọn đáp án B. Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông vuông tại , = , ∠ = 60∘. Đường thẳng ′ tạo với mặt phẳng ( ′) góc 30∘. Tính thể tích khối lăng trụ ⋅ ′ ′ ′. 3 3 3 3 A. . B. 3 6. C. 2 3 3. D. . 2 3 Phương pháp: Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ. Lời giải: Xét tam giác vuông ta có: = ⋅ tan 60∘ = 3. 1 1 3 2 ⇒푆 = ⋅ = ⋅ 3 ⋅ = . △ 2 2 2 ⊥ Ta có: ⇒ ⊥ ( ′)⇒ ′ là hình chiếu vuông góc của ′ lên ( ′). ⊥ ′ ⇒∠ ′;( ′) = ∠( ′; ′) = ∠ ′ = 30∘. Vì ⊥ ( ′)⇒ ⊥ ′⇒ △ ′ vuông tại . ⇒ ′ = ⋅ cot 30∘ = 3 ⋅ 3 = 3 ⇒ ′ = 2 ― 2 = 9 2 ― 2 = 2 2. 3 2 Vậy = ′ ⋅ 푆 = 2 2 ⋅ = 3 6. ⋅ ′ ′ ′ △ 2 21 DeThi.edu.vn
  22. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒ Chọn đáp án B. Câu 26 (VD): Cho tứ diện có = 3 , = 2 ,(훼) là một mặt phẳng song song với và . Biết ( 훼 ) cắt tứ diện theo thiết diện là một hình thoi, chu vi của hình thoi đó bằng: 12 28 16 24 A. 5 . B. 5 . C. 5 . D. 5 . Phương pháp: - Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (⍺) . - Đặt cạnh hình thoi bằng x , áp dụng định lí Ta-lét để tìm x . Lời giải: Giả sử (훼) ∩ = { }, trong ( ) kẻ // ( ∈ ), trong ( ) kẻ 푄// (푄 ∈ ). Trong ( ) kẻ 푃// (푃 ∈ ). ⇒ thiết diện của hình chóp cắt bởi ( 훼 ) là tứ giác 푃푄. Theo giả thiết ta có 푃푄 là hình thoi, đặt = 푄 = . 푄 Áp dụng định lí Ta-lét ta có: = = 3 ; = = 2 . 5 6 Ta có: . + = 1⇒3 + 2 = 1⇔6 = 1⇔ = 5 6 24 Vậy chu vi hình thoi là 4 ⋅ 5 = 5 . ⇒ Chọn đáp án D. Câu 27 (VD): Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu (푆):( ―3)2 +( +2)2 +( ―1)2 = 100 và mặt phẳng (푃):2 ―2 ― +9 = 0. Tìm điểm trên mặt cầu (푆) sao cho khoảng cách từ đến (푃) lớn nhất. A. = 29 ; ― 26 ; ― 7 . B. = 29 ; 26 ; ― 7 . 3 3 3 3 3 3 C. = ―29 ; 26 ; 7 D. = ― 11 ; 14 ; 13 . 3 3 3 3 3 3 Phương pháp: 22 DeThi.edu.vn
  23. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Điểm I thuộc đường thẳng đi qua tâm của (S) và vuông góc với (P). Tham số hóa tọa độ điểm I và cho I ∈ (S ) . Lời giải: Mặt cầu (푆) có tâm (3; ― 2;1) và bán kính 푅 = 10. ∈ (푆) sao cho ( ;(푃)) lớn nhất ⇒ ∈ đường thẳng ( ) đi qua và vuông góc với (푃). ( ) ⊥ (푃)⇒ ( ) = 푛(푃) = (2; ― 2; ― 1) = 3 + 2푡 ⇒ Phương trình tham số đường thẳng ( ) : = ―2 ― 2푡. = 1 ― 푡 ∈ ( )⇒ (3 + 2푡; ― 2 ― 2푡;1 ― 푡) 10 ∈ (푆)⇒(2푡)2 + ( ― 2푡)2 + ( ― 푡)2 = 100⇒9푡2 = 100⇔푡 =± 3 10 29 26 7 푡 = ⇒ ; ― ; ― ⇒ ( ;(푃)) = 16 3 3 3 3 10 11 14 13 푡 = ― ⇒ ― ; ; ⇒ ( ;(푃)) = 4 3 3 3 3 ⇒ 29 ; ― 26 ; ― 7 là điềm cần tìm. 3 3 3 ⇒ Chọn đáp án A. + 3 ― 1 ― 1 Câu 28 (VD): Trong không gian , cho đường thẳng : 2 = 1 = ―3 . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng ( ) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là A. = (0;1; ― 3). B. = (0;1;3). C. = (2;1; ― 3). D. = (2;0;0). Phương pháp: Lấy điểm bất kỳ. Lời giải: 5 ―7 ( ): = 0, ( ―3;1;1), 0; ; ∈ 2 2 5 ―7 Hình chiếu của , lên ( ) lần lượt là ′(0;1;1), ′ 0; ; . 2 2 3 ―9 ′ ′ = 0; ; ⇒ = (0;1; ― 3). 2 2 23 DeThi.edu.vn
  24. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒ Chọn đáp án A. Câu 29 (VD): Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu (푆):( +2)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 9 và điểm thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng là A. 12. B. 3. C. 9. D. 6. Phương pháp: max = + 푅 với ;푅 lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu. Lời giải: Mặt cầu (푆) có tâm ( ― 2;1;2), bán kính 푅 = 3. 2 2 2 Với ∈ (푆) ta có: max = + 푅 = ( ― 2) + 1 + 2 +3 = 6. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 30 (VDC): Trong không gian , cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ biết (1;0;1), (2;1;2), (2; ― 2;2), ′(3;0; ― 1), điểm thuộc cạnh . GTNN của tổng các khoảng cách + là: A. 17. B. 17 + 4 6. C. 17 + 8 3. D. 17 + 6 2. Phương pháp: Đánh giá theo bất đẳng thức: 2 + 2 + 2 + 2 ≥ ( + )2 + ( + )2. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . = Lời giải: = 3, = 6, ′ = 2 2 Gọi độ dài đoạn = ,(0 ≤ ≤ 3). Khi đó, tổng các khoảng cách: + ′ = 6 + 2 + 8 + ( 3 ― )2 ≥ ( 6 + 8)2 + ( + 3 ― )2 = 6 + 8 3 + 8 + 3 = 17 + 8 3 ⇒ + ′min = 17 + 8 3 khi và chỉ khi: 24 DeThi.edu.vn
  25. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 6 3 3 = = ⇒2 = 3 ― 3 ⇔ = = 6 ― 3 3. 8 3 ― 2 2 + 3 ⇒ Chọn đáp án C. Câu 31 (VD): Cho hàm bậc ba = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ℎ( ) = | (sin ) ― 1| có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn [0;2 ]. A. 7. B. 8. C. 5. D. 6. Phương pháp: Số điểm cực trị của hàm số = | ( )| = số điểm cực trị của hàm số = ( ) + số giao điểm của đồ thị hàm số = ( ) với trục hoành. Lời giải: Xét hàm số ( ) = (sin ) ― 1 ta có: cos = 0 ′( ) = cos ′(sin ) = 0⇔ ′(sin ) = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm ( ) = 0⇔ (sin ) = 1. sin = ∈ ( ― 1;0) Dựa vào đồ thị hàm số ta có: (sin ) = 1⇔ sin = ∈ (1;2)( ). sin = > 2( ) Phương trình sin = sinh ra 2 nghiệm ∈ [0;2 ]. Vậy hàm số ℎ( ) = | (sin ) ― 1| có 4 + 2 = 6 điểm cực trị. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 32 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên bé hơn -6 để phương trình 2 2 ― 2 ― = +2 có nghiệm? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Phương pháp: Bình phương hai vế để giải phương trình vô tỉ, kết hợp bảng biến thiên để biện luận số nghiệm. Lời giải: + 2 ≥ 0 2 2 ― 2 ― = +2⇔ 2 2 ― 2 ― = ( + 2)2 25 DeThi.edu.vn
  26. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ≥ ―2 ≥ ―2 ⇔ 2 2 ― 2 ― = 2 + 4 + 4⇔ 2 ― 6 ― 4 = Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số = 2 ―6 ―4 và đường thẳng = với ≥ ―2. Xét hàm số = 2 ―6 ―4 ta có BBT : Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình có nghiệm ≥ ―2 thì ≥ ―13. ∈ ℤ ∈ ℤ Lại có: < ―6⇒ ―13 ≤ < ―6⇒ ∈ { ― 13; ― 12; .; ― 7}⇒ có 7 giá trị thỏa mãn bài toán. ⇒ Chọn đáp án C. 2 + 1 ′ Câu 33 (VD): Cho hàm số = ( ) thỏa mãn (0) = 3 và ( + ) ( ) = 1,∀ ≥ ―1. Biết rằng 2 ∫1  ( ) = + với , ∈ ℤ. Tính = + . 0 15 A. -8. B. -24. C. 24. D. 8. Phương pháp: - Rút ′( ) từ giả thiết đề bài cho. 2 ′ - Tìm ( ) = ∫ ( ) , sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫ = 3 + . 2 - Từ giả thiết (0) = 3 tìm hằng số và suy ra hàm số ( ). 2 - Tính ∫1  ( ) với hàm ( ) vừa tìm được, đưa kết quả về dạng + . Đồng nhất hệ số tìm , và tính 0 15 tổng = + . Lời giải: Ta có: 26 DeThi.edu.vn
  27. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ( + + 1) ′( ) = 1∀ ≥ ―1 1 ⇔ ′( ) = ∀ ≥ ―1 + + 1 ⇔ ′( ) = + 1 ― ∀ ≥ ―1 2 ⇒ ( ) = ( + 1 ― ) = (( + 1) + 1 ― ) + 3 2 2 2 Mà (0) = ⇒ (1 ― 0) + = ⇒ = 0 3 3 3 2 ⇒ ( ) = (( + 1) + 1 ― ) 3 1 2 1 + 1 Khi đó ta có: ∫0  ( ) = 3∫0 (( +1) ― ) 2 2 1 = ⋅ ( + 1)2 + 1 ― 2 3 5 | 0 4 = [(4 2 ― 1) ― (1 ― 0)] 15 16 2 ― 8 = 15 = 16 ⇒ = ―8 Vậy = + = 16 + ( ― 8) = 8. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 34 (VD): Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng: 4 1 2 8 A. 63. B. 63. C. 63. D. 63. Phương pháp: - Tính số phần tự của không gian mẫu. - Gọi A là biến cố: "không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp" ⇒ Mỗi học sinh lớp 12 A phải ghép cặp với một học sinh lớp 12B. Chọn từng học sinh lớp 12A, sau đó chọn 1 học sinh lớp 12B để ghép cặp với học sinh lớp 12 A đã được chọn. Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 2 Số phần tử của không gian mẫu là 푛(Ω) = 10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 113400. Gọi A là biến cố: "không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp" ⇒ Mỗi học sinh lớp 12 A phải ghép cặp với một học sinh lớp 12B. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⇒푛( ) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 14400 푛( ) 14400 8 Vậy xác suất biến cố A là 푃( ) = 푛(Ω) = 113400 = 63. 27 DeThi.edu.vn
  28. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒ Chọn đáp án D. Câu 35 (VD): Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường = , = ― và = 4. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( ) quanh trục hoành là = với , > 0 và là phân số tối giản. Tính tổng = + . Đáp án: Phương pháp: ′ ′ - Tứ diện ′ ′ ′ ′ đồng dạng với tứ diện theo tỉ số = . - Gọi , lần lượt là trọng tâm tam giác , , gọi = ∩ . Tính ′ = ′ ′. - Tính ′ ′ ′ ′ = 3. 3 2 - Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh là = . 12 Lời giải: ′ ′ Dễ dàng nhận thấy tứ diện ′ ′ ′ ′ đồng dạng với tứ diện theo tí số = . Gọi , lần lượt là trọng tâm tam giác , ta có ⊥ ( ), ⊥ ( ) Gọi = ∩ . 3 3 ′ 5 Ta có là trọng tâm của tứ diện đều nên = ⇒ = ⇒ = . 4 ′ 8 3 ′ ′ ′ 5 125 Áp dụng định lí Ta-lét ta có: = = = ⇒ ′ ′ ′ = 3 = . 3 27 2 Mà là tứ diện đều cạnh 1 nên = . 12 125 2 2 Vậy = ⋅ = 125 . ′ ′ ′ ′ 37 12 324 ⇒ Chọn đáp án D. 28 DeThi.edu.vn
  29. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn + 1 Câu 36 (NB): Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ― 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 có dạng = + , khi đó + bằng: Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) tại điểm ( 0; 0) thuộc đồ thị hàm số là: = ′( 0)( ― 0) + 0. Lời giải: TXĐ: = ℝ ∖ {2} + 1 ―3 ―3 ′ ′ Ta có: = ― 2⇒ = ( ― 2)2⇒ (1) = 1 = ―3 1 + 1 Với = 1⇒ = 1 ― 2 = ―2. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là = ―3( ―1) ― 2 = ―3 +1. = ―3, = 1⇒ + = ―2. ⇒ Đáp án: - 2 Câu 37 (TH): Hàm số ( ) = 4( ―1)2 có bao nhiêu điểm cực trị? Phương pháp: - Tính ′( ). - Giải phương trình ′( ) = 0 xác định số nghiệm bội lẻ. Lời giải: Ta có: ( ) = 4( ―1)2 ⇒ ′( ) = 4 3( ― 1)2 + 4 ⋅ 2( ― 1) ′( ) = 2 3( ― 1)[2( ― 1) + ] ′( ) = 2 3( ― 1)(3 ― 2) = 0( nghiem boi 3) = 1( nghiem don ) ′( ) = 0⇔ 2 = ( nghiem don ) 3 Vậy hàm số f ( x) đã cho có 3 điểm cực trị. ⇒ Đáp án: 3 Câu 38 (TH): Trong không gian , cho điểm (1;6; ― 3) và mặt phẳng (푃):2 ―2 + ―2 = 0. Khoảng cách từ đến (푃) bằng: Phương pháp: 29 DeThi.edu.vn
  30. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Công thức tính khoàng cách từ điểm ( 0; 0; 0) đến mặt phẳng (푃): + + + = 0 là: | 0 + 0 + 0 + | ( ;(푃)) = . 2 + 2 + 2 Lời giải: Ta có: (푃):2 ―2 + ―2 = 0 |2.1 ― 2.6 ― 3 ― 2| ⇒ ( ;(푃)) = 22 + ( ― 2)2 + 1 15 = = 5. 3 ⇒ Đáp án: 5 Câu 39 (TH): Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh thành hai hàng, một hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ? Phương pháp: Sử dụng hoán vị. Lời giải: Xếp 15 học sinh nam thành một hàng có 15 ! cách. Xếp 15 học sinh nữ thành một hàng có 15 ! cách. Hoán đồi vị trí 2 hàng có 2! = 2 cách. Vậy số cách xếp thỏa mãn là 2.(15! )2. ⇒ Đáp án: 2.(15! )2 ( ) ― 20 3 6 ( ) + 5 Câu 40 (VDC): Cho ( ) là đa thức thỏa mãn lim = 10. Tính lim ― 5. →2 ― 2 →2 2 + ― 6 Phương pháp: - Tính lim →2  ( ). - Sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Lời giải: ( ) ― 20 Đặt ta có và ( ) = ― 2 lim →2  ( ) = 10 ( ) ― 20 = ( )( ― 2)⇔ ( ) = ( )( ― 2) + 20. lim  ( ) = lim [ ( )( ― 2) + 20] = 10 ⋅ (2 ― 2) + 20 = 20. →2 →2 3 6 ( ) + 5 ― 5 Ta có: lim 2 →2 + ― 6 30 DeThi.edu.vn
  31. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 6 ( ) + 5 ― 125 = lim 3 3 →2 ( ― 2)( + 3) ( 6 ( ) + 5)2 + 5 6 ( ) + 5 + 25 6[ ( ) ― 20] = lim 3 3 →2 ( ― 2)( + 3) ( 6 ( ) + 5)2 + 5 6 ( ) + 5 + 25 ( ) ― 20 6 = lim 3 3 →2 ― 2 ( + 3) ( 6 ( ) + 5)2 + 5 6 ( ) + 5 + 25 6 4 = 10. = . (2 + 3) (3 6.20 + 5)2 + 53 6.20 + 5 + 25 25 4 ⇒ Đáp án: 25 Câu 41 (TH): Giá trị lớn nhất của hàm số = ― 2 +4 ―1 là: Phương pháp: Lời giải: Đồ thị hàm số = ― 2 +4 ―1 có đỉnh (2;3) và có hệ số 0. ( 0) = 0 Lời giải: Ta có: = 3 ―2 2 + 2 + 푛⇒ ′ = 3 2 ―4 + 2, ′′ = 6 ―4 . ′(1) = 0 Đồ thị hàm số = 3 ―2 2 + 2 + 푛 có điểm cực tiểu là (1;3) khi và chỉ khi ′′(1) > 0 (1) = 3 = 3 3 ― 4 + 2 = 0 [ = 1 = 1 ⇒ 6 ― 4 > 0 ⇔ 3 ⇔ . 2 < 푛 = 3 1 ― 2 + + 푛 = 3 2 푛 = 3 ― ( ― 1)2 31 DeThi.edu.vn
  32. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Vậy + 푛 = 1 + 3 = 4. ⇒ Đáp án: 4 Câu 43 (TH): Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường = , = ― và = 4. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( ) quanh trục hoành là = với , > 0 và là phân số tối giản. Tính tổng = + . Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 = ( ), = , = quanh trục là: = .∫   ( ) . Đưa tích phân cần tính về dạng = , và tìm ra các hệ số và , thay vào tính tổng + . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của = , = ― là = ― ⇔ = 0. 4 2 2 4 2 Khi đó, thể tích cần tính là = ∫0 |( ) ― ( ― ) | = ∫0 | ― | 4 1 4 1 = | ― 2| + | ― 2| = ( 2 ― ) + ( ― 2) 1 0 1 0 4 1 3 2 2 3 41 = 41 = ― + ― = = ⇒ . 3 2 | 2 3 | 3 = 3 1 0 Vậy = 44. ⇒ Đáp án: = 44 Câu 44 (VD): Cho hàm số = ( ) liên tục trên 퐑 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình (2 ― ( )) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? Lời giải: Dựa vào đồ thị ta có: 32 DeThi.edu.vn
  33. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 2 ― ( ) = ―2 ( ) = 4 = 0 ∈ ( ― ∞; ― 2) (2 ― ( )) = 1⇔ ⇔ ⇔ = ―2 2 ― ( ) = 1 ( ) = 1 = 1 Vậy phương trình (2 ― ( )) = 1 có tất cả 3 nghiệm thực phân biệt. ⇒ Đáp án: 3 Câu 45 (VD): Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn | +1 + 3푖| = | ―2 ― 푖| là phương trình đường thẳng có dạng + + = 0. Khi đó tỉ số bằng: Phương pháp: - Đặt = + 푖. Áp dụng công thức tính môđun số phức: = + 푖⇒| | = 2 + 2. - Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa và và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức . Lời giải: Đặt = + 푖( , ∈ ℝ). Theo bài ra ta có: | +1 + 3푖| = | ―2 ― 푖| ⇔| + 푖 + 1 + 3푖| = | + 푖 ― 2 ― 푖| ⇔( + 1)2 + ( + 3)2 = ( ― 2)2 + ( ― 1)2 ⇔ 2 + 2 + 1 + 2 + 6 + 9 = 2 ― 4 + 4 + 2 ― 2 + 1 ⇔6 + 8 + 5 = 0. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng 6 +8 +5 = 0. Dựa vào các đáp án ta có: Với ( ― 1; ― 3), (2;1)⇒ trung điểm của đoạn là 1 ; ― 1 . = (3;4) là 2 1 VTPT của đường trung trực của . Suy ra phương trình đường trung trực của là: 1 5 3 ― + 4( + 1) = 0⇔3 + 4 + = 0⇔6 + 8 + 5 = 0. 2 2 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường thẳng: 6 +8 +5 = 0. 6 3 Vậy = 8 = 4. 3 ⇒Đáp án: 4 Câu 46 (TH): Cho hình lăng trụ tứ giác đều ⋅ ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng 3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ′) ? 33 DeThi.edu.vn
  34. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Phương pháp: - Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. - Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc. Lời giải: Ta có: ⊥ ( ′ ′)⇒ ⊥ ′. ( ) ∩ ( ′) = Ta có: ⊂ ( ), ⊥ ′ ⊂ ( ′), ′ ⊥ ⇒∠ ( );( ′) = ∠( ; ′) = ∠ ′ ′ 3 Xét tam giác vuông ′ có: tan ∠ ′ = = = 3. 1 ⇒∠ ′ = 60∘⇒cos ∠ ′ = . 2 1 ⇒ Đáp án: 2 + 1 + 3 + 2 Câu 47 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : 1 = 2 = 2 và điểm (3;2;0). Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng có tọa độ là Phương pháp: Tìm tọa độ hình chiếu trên đường thẳng, khi đó hình chiếu chính là trung điểm. Lời giải: Gọi là hình chiếu vuông góc cùa trên và ′ đối xứng qua . Suy ra: ( ―1;2 ―3;2 ―2) và = ( ―4;2 ―5;2 ―2). Khi đó: ⋅ = 0⇒( ― 4) +2(2 ― 5) +2(2 ― 2) = 0⇔9 = 18⇔ = 2 Vậy (1;1;2) và là trung điểm ′ nên ′( ― 1;0;4). 34 DeThi.edu.vn
  35. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒ Đáp án: ( ― 1;0;4) 3― +1 2 + Câu 48 (VDC): Cho các số dương , thỏa mãn 2 = 2 3 + 4 + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 3 푃 = + 7 . Phương pháp: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn 3 theo . - Thế vào biểu thức 푃, sử dụng BĐT Cô ― si tìm GTNN của biểu thức 푃. Lời giải: Ta có: ⊥ ( ′ ′)⇒ ⊥ ′. 2 + Ta có: 2 3― +1 = 2 3 + 4 + 4 2 + ⇔2 3+2 +2―2 ― ―1 = 2 3 + 4 + 4 2 3+2 +2 2 + ⇔ = 22 + ⋅ 2 2( 3 + 2 + 2) ⇔2 3+2 +2( 3 + 2 + 2) = 22 + ⋅ (2 + )( ∗ ) Xét (푡) = 2푡 ⋅ 푡,푡 > 0 ta có: ′(푡) = 2푡 + 푡 ⋅ 2푡 ⋅ ln 2 > 0;∀푡 > 0. Do đó hàm số (푡) đồng biến trên (0; + ∞). Do đó ( ∗ )⇔ 3 +2 +2 = 2 + ⇒ 3 = ―2. 7 3 7 ― 2 7 2 7 2 12 Khi đó 푃 = + = + = + ― ≥ 2 ⋅ ― = . 7 7 7 7 7 7 7 7 Dấu "=" xảy ra ⇔ = 7⇔ = 7( do > 0). 12 3 5 Vậy: 푃min = 7 ⇔ = , = 7. 12 ⇒ Đáp án: 7 Câu 49 (VD): Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có là tam giác vuông = = 1; ′ = 2, là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và ′ . Phương pháp: +) Gọi là trung điểm của ′, đưa bài toán về tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng. ⇒( )// ′ ⇒ ( ; ′ ) = ′ ;( ) = ( ;( )) 3 + ) ( ;( )) = NAMC 푆 Lời giải: 35 DeThi.edu.vn
  36. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Gọi là trung điểm của ′⇒ // ′ ⇒( )// ′ ⇒ ( ; ′ ) = ′ ;( ) = ( ;( )) Tam giác vuông có = = 1⇒ △ vuông cân tại 2 2 1 5 ⇒ = + = 1 + = 4 2 3 Xét tam giác vuông ′ có: ′ = ′2 + 2 = 2 + 1 = 3⇒ = 2 2 2 2 6 Xét tam giác vuông có: = + = 12 + 2 = 2 2 14 ⇒푆 = ( ― )( ― )( ― ) = 8 1 1 1 1 1 1 2 1 2 Ta có: 푆 = ⋅ = ⋅ 1 ⋅ = ⇒ = ⋅ 푆 = ⋅ ⋅ = 2 2 2 4 . 3 3 2 4 24 2 3 1 8 7 Mà = ( ;( )) ⋅ 푆 ⇒ ( ;( )) = = 14 = . . 3 푆 7 8 1 ⇒ Đáp án: = 7 Câu 50 (VD): Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quà làm tròn đến hàng phần trăm)? Phương pháp: Gọi chiều rộng bể cá là x, tính chiều dài và chiều cao của bế cá theo x. Tính thể tích của bể cá theo x, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của thể tích bể cá. Lời giải: 36 DeThi.edu.vn
  37. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Gọi chiều rộng của bể cá là ( )( > 0)⇒ Chiều dài của bể cá là 2 ( ). 2 Gọi là chiều cao của bề cá ta có 2 2 5 ― 2 ℎ 2 +2 ℎ +4 ℎ = 5⇔2 +6 ℎ = 5⇔ℎ = 6 2 1 1 Khi đó thể tích của bể cá là 2 5 ― 2 3 2 ⋅ 6 = 3(5 ― 2 ) = 3 ( ) 5 Xét hàm số ( ) = 5 ―2 3( > 0) có ′( ) = 5 ― 6 2 = 0⇔ = . 6 Lập BBT: 5 ⇒ max ( ) = (0; + ∞) 6 1 50 5 5 3 ⇒ max = = ≈ 1,01 m . 3 6 27 ⇒ Đáp án: 1,01 m3 37 DeThi.edu.vn
  38. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – TOÁN HỌC Câu 1 (NB) : Theo thống kê về độ tuổi trung bình của một số đội tại giải U23 Châu Á năm 2018 và 2020, với trục tung là độ tuổi của các cầu thủ, trục hoành là thông tin thống kê từng năm, ta có biểu đồ bên dưới Nguồn : zing.vn Trong năm 2018, đội tuyển nào có trung bình cộng số tuổi cao nhất? A. Nhật Bản. B. Qatar. C. Uzbekistan. D. Việt Nam. Câu 2 (TH): Tính đạo hàm của hàm số ( ) = ( ―1)( ―2) ( ―2018) tại điểm = 0. A. ′(0) = 0. B. ′(0) = ―2018 !. C. ′(0) = 2018!. D. ′(0) = 2018. Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình log2 (3 ) = 3 là: 8 1 A. = 3. B. ( ― 1;1),(1;1);(1; ― 1);( ― 1; ― 1). C. = 3. D. = 2. 1 2 2 + 2 = 3 Câu 4 (VD): Giải hệ phương trình : 4 + 6 = 10 2 2 A. Vô nghiệm. B. ( ― 1;1),(1;1);(1; ― 1);( ― 1; ― 1). C. ( ― 1;1);(1; ― 1);( ― 1; ― 1). D. ( ― 1;1),(1;1). Câu 5 (VD): Cho các số phức 1 = 3 ― 2푖, 2 = 1 + 4푖 và 3 = ―1 + 푖 có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm , , . Diện tích tam giác bằng: A. 2 17. B. 12. C. 4 13 D. 9. Câu 6 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm (2; ― 1;3). Mặt phẳng (푃) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (푄): +2 ―3 +2 = 0 có phương trình là A. +2 ―3 ―9 = 0. B. +2 ―3 +9 = 0. C. +2 ―3 +7 = 0 D. +2 ―3 ―7 = 0. Câu 7 (NB): Trong không gian , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm (3;2;4) trên mặt phẳng . 38 DeThi.edu.vn
  39. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 푃(3;2;0). B. 푄(3;0;4). C. (0;2;4). D. (0;0;4). ― 1 (0) ― 2. C. < (1) ― 3. D. ≤ (1) ― 3. Câu 13 (VD): Một chiếc xe đua 퐹1 đạt tới vận tốc lớn nhất là 360 km/h. Đồ thị bên biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong 2 giây đầu là một phần của một parabol định tại gốc tọa độ O, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị 10 m/s và trong 5 giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu? 39 DeThi.edu.vn
  40. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 340 (mét). B. 420 (mét). C. 400 (mét). D. 320 (mét). Câu 14 (TH): Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi người đó phài gửi ít nhất bao nhiêu năm để nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian gửi người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 6. B. 3. C. 4. D. 5. 2― +1 2 ―1 Câu 15 (TH): Cho bất phương trình 5 > 5 . Tập nghiệm của bất phương trình có dạng 7 7 푆 = ( ; ). Giá trị của biểu thức = 2 ― là A. 1. B. 2. C. -2. D. 3. Câu 16 (TH): Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng = 1 và = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ,(1 ≤ ≤ 2) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 2 + 3. 7 2 7 A. 7 ― 8. B. 16 ― 7. C. 8 ― 7. D. 8 2 ―4. 3 3 3 Câu 17 (VD): Gọi 푆 là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số = 3 ―3(2 +1) 2 +(12 +5) +2 đồng biến trên khoảng (2; + ∞). Số phần tử của S bằng: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 18 (TH): Cho số phức z thỏa mãn 3 + 푖( +8) = 0. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng: A. -1. B. 2. C. 1. D. Câu 19 (TH): Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm ( ; ) biểu diễn của số phức = + 푖,( , ∈ ℝ) thỏa mãn | ―1 + 3푖| = | ―2 ― 푖| là: A. Đường tròn đường kính với (1; ― 3), (2;1). B. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng với (1; ― 3), (2;1). C. Trung điểm của đoạn thẳng với (1; ― 3), (2;1). D. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng với ( ― 1;3), ( ― 2; ― 1). Câu 20 (TH): Cho đường thẳng đi qua hai điểm (3;0) và (0; ― 4). Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho diện tích △ bằng 6. (0;0) A. (0;1). B. (0; ― 8). C. (1;0). D. (0;8). Câu 21 (TH): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 + 2 +2 ―4( +1) +4 2 +5 +2 = 0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ . 40 DeThi.edu.vn
  41. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 2. C. > ―1. D. ≥ ―1. Câu 22 (VD): Trong không gian , cho mặt phẳng (푃): ―3 +2 ―5 = 0 và hai điểm (2;4;1), ( ―1;1;3). Viết phương trình mặt phẳng (푄) đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng (푃). A. +2 +3 ―11 = 0. B. 2y ― 3z ― 11 = 0. C. 2y + 3z + 11 = 0. D. 2 +3 ―11 = 0. Câu 23 (TH): Cho hình nón đỉnh 푆 có bán kính đáy 푅 = 2. Biết diện tích xung quanh của hình nón là 2 5 . Tính thể tích khối nón. 5 4 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 24 (TH): Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là 20 3 cm. Thể tích của cột bằng A. 13000 (cm3). B. 5000 (cm3). C. 15000 (cm3). D. 5000 (cm3). Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ . ′ ′ ′. Gọi E là trọng tâm tam giác ′ ′ ′ và F là trung điểm . 1 Gọi là thể tích khối chóp ′. 퐹 và là thể tích khối lăng trụ . ′ ′ ′. Khi đó có giá trị bằng 1 2 2 1 1 1 1 A. 5. B. 4. C. 6. D. 6. Câu 26 (VD): Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , . là trung điểm của ,I là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ( ). Tính tỉ số ? 1 1 1 1 A. = 4. B. = 5. C. = 2. D. = 3. Câu 27 (VD): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (푆):( +2)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 9 và điểm M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là A. 12. B. 3. C. 9. D. 6. Câu 28 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm (1; ― 1; ― 2) và mặt phẳng (푃): ―2 ―3 +4 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với (푃). 41 DeThi.edu.vn
  42. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ― 1 + 1 + 2 + 1 ― 1 ― 2 + 1 ― 1 ― 2 A. 1 = ―2 = ―3 . B. 1 = ―2 = 3 . C. 1 = ―2 = ―3 . D. + 1 + 1 + 2 1 = ―2 = 3 . Câu 29 (VD): Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = 2( +2)( ―3). Điểm cực đại của hàm số ( ) = ( 2 ― 2 ) là: A. = 3. B. = 0. C. = 1. D. = ―1. Câu 30 (VDC): Trong không gian với hệ tọa độ , cho ( ― 3;0;0), (0;0;3), (0; ― 3;0). Điểm ( ; ; ) nằm trên mặt phẳng sao cho 2 + 2 ― 2 nhỏ nhất. Tính 2 + 2 ― 2. A. 18. B. 0. C. 9. D. -9. Câu 31 (VD): Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( ―1)3 2 + (4 ― 5) + 2 ― 7 + 6 ,∀ ∈ ℝ. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số ( ) = (| |) có đúng 5 điểm cực trị? A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. Câu 32 (VD): Tìm tất cả các gía trị thực của tham số sao cho phương trình ( ―1) 2 ―2( +1) + +4 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 0. 2 Tính ( ) 1 2 7 7 9 3 A. 12. B. 4. C. 4. D. 4. Câu 34 (VD): Trường trung học phổ thông có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp và khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ 3 khối. 7234 7012 7123 7345 A. . B. .C. . D. . 7429 7429 7429 7429 Câu 35 (VD): T Cho hình lăng trụ tam giác . ′ ′ ′ có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 6. Gọi , lần lượt là trung điểm của , và 푃,푄,푅 lần lượt là tâm các hình bình hành ′ ′, ′ ′, ′ ′. Thể tích của khối đa diện 푃푄푅 bằng: 42 DeThi.edu.vn
  43. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn A. 42. B. 14.C. 18. D. 21. 2 ― 3 Câu 36 (NB): Tiếp tuyến của đồ thị hàm số = 2 ― tại điểm có hoành độ = ―1 có hệ số góc bằng bao nhiêu? Đáp án: Câu 37 (TH): Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( 2 ― 1)( ―3)2( +2),∀ ∈ ℝ. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: Đáp án: Câu 38 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1;3; ― 2) và mặt phẳng (푃):2 + ―2 ―3 = 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (푃) bằng: Đáp án: Câu 39 (VD): Có 2 học sinh lớp ,3 học sinh lớp và 4 học sinh lớp xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp không có học sinh lớp . Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? Đáp án: ( ) ― 20 (3) Câu 40 (VDC): Cho ( ) là đa thức thỏa mãn lim = 10. Tính lim 6 ( ) + 5 ― 5. →2 ― 2 →2 2 + ― 6 Đáp án: Câu 41 (NB): Parabol = 2 + + đạt cực tiểu bằng 4 tại = ―2 và đi qua (0;6) có phương trình là: Đáp án: 3 Câu 42 (TH): Tất cả các giá trị của tham số để hàm số ― 2 có hai điểm cực trị m = 3 + ―2 +1 là: Đáp án: 1 2 Câu 43 (VD): Cho ( ) liên tục trên ℝ và (2) = 1,∫0  (2 ) = 2. Tích phân ∫0  ′( ) bằng Đáp án: Câu 44 (VD): Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 43 DeThi.edu.vn
  44. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 3 2 Số nghiệm thực của phương trình | ( ― 3 )| = 3 là Đáp án: Câu 45 (VD): Cho số phức z thỏa mãn | + 푖| = 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức 푤 = (3 + 4푖) +2 + 푖 là một đường tròn tâm I, điểm I có tọa độ là: Đáp án: Câu 46 (VD): Cho hình chóp 푆. có đáy là tam giác vuông cân, = = 2 . Tam giác 푆 cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ),푆 = 3 . Góc giữa hai mặt phẳng (푆 ) và (푆 ) bằng: Đáp án: = 2 ― 2푡 Câu 47 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : = 0 . Gọi ′ là đường = 푡 thẳng đối xứng với qua mặt phẳng . Phương trình của ′ là: Đáp án: Câu 48 (VD): Cho phương trình 11 + = log11 ( ― ) với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của ∈ ( ― 205;205) để phương trình đã cho có nghiệm? Đáp án: Câu 49 (VD): Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật, = , = 2 . Tam giác 푆 cân tại 푆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa 푆 và mặt phẳng ( ) bằng 45∘. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC). Đáp án: Câu 50 (VD): Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích = 6 3 dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông cốt 2 thép. Phần nắp bể để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng 9 diện tích nắp bể. Biết rằng chi phí cho 1 m2 bê tông cốt thép là 1.000.000 d. Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? Đáp án: HẾT 44 DeThi.edu.vn
  45. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Câu LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (NB) : Theo thống kê về độ tuổi trung bình của một số đội tại giải U23 Châu Á năm 2018 và 2020, với trục tung là độ tuổi của các cầu thủ, trục hoành là thông tin thống kê từng năm, ta có biểu đồ bên dưới Nguồn : zing.vn Trong năm 2018, đội tuyển nào có trung bình cộng số tuổi cao nhất? A. Nhật Bản. B. Qatar. C. Uzbekistan. D. Việt Nam. Phương pháp: Quan sát biểu đồ cột năm 2018; lựa chọn đội tuyển có cột được thể hiện cao nhất. Lời giải: 45 DeThi.edu.vn
  46. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Trong năm 2018, đội tuyển Việt Nam có trung bình cộng số tuổi cao nhất. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 2 (TH): Tính đạo hàm của hàm số ( ) = ( ―1)( ―2) ( ―2018) tại điểm = 0. A. ′(0) = 0. B. ′(0) = ―2018 !. C. ′(0) = 2018!. D. ′(0) = 2018. Phương pháp: ( . )′ = ′. + . ′ Lời giải: ( ) = ( ― 1)( ― 2) ( ― 2018) ⇒ ′( ) = 1.( ― 1)( ― 2) ( ― 2018) + .1.( ― 2) ( ― 2018) + ( ― 1) ⋅ 1 ⋅ ( ― 2) ( ― 2018) + + .( ― 1)( ― 2) ( ― 2017).1 ⇒ ′(0) = 1.( ― 1)( ― 2) ( ― 2018) + 0 + 0 + + 0 = 1 ⋅ 2 2018 = 2018! ⇒ Chọn đáp án C. Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình log2 (3 ) = 3 là: 8 1 A. = 3. B. = 2. C. = 3. D. = 2. Phương pháp: Giải phương trình logarit: log = ⇔ = Lời giải: ĐКХĐ: > 0 3 8 Ta có: log2(3 ) = 3⇔3 = 2 ⇔3 = 8⇔ = 3 8 Vậy phương trình có nghiệm = 3 ⇒ Chọn đáp án C. 1 2 2 + 2 = 3 Câu 4 (VD): Giải hệ phương trình : 4 + 6 = 10 2 2 A. Vô nghiệm. B. ( ― 1;1),(1;1);(1; ― 1);( ― 1; ― 1). C. ( ― 1;1);(1; ― 1);( ― 1; ― 1). D. ( ― 1;1),(1;1). Phương pháp: +) Đặt ẩn phụ, đưa hệ về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. +) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Lời giải: Điều kiện ≠ 0; ≠ 0. 46 DeThi.edu.vn
  47. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 1 1 Đặt 2 = ; 2 = ( , > 0) khi đó hệ phương trình trở thành: + 2 = 3 = 3 ― 2 4 + 6 = 10⇔ 4(3 ― 2 ) + 6 = 10 1 = ―1 = 1 = 3 ― 2 = 1 2 = 1 ⇔ = 1 ⇔ = 1(tm)⇒ 1 ⇔ = 1 = 1 2 = ―1 Vậy hệ phương trình ban đầu có 4 nghiệm ( ― 1;1),(1;1);(1; ― 1);( ― 1; ― 1). ⇒ Chọn đáp án B. Câu 5 (VD): Cho các số phức 1 = 3 ― 2푖, 2 = 1 + 4푖 và 3 = ―1 + 푖 có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm , , . Diện tích tam giác bằng: A. 2 17. B. 12. C. 4 13 D. 9. Phương pháp: - Suy ra tọa độ của A,B,C : Số phức z = a +bi được biểu diễn bởi điểm M (a;b) . - Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC . Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng 2 2 2 = ( ― ) + ( ― ) + ( ― ) . - Sử dụng công thức Herong để tính diện tích tam giác: 푆△ = ( ― )( ― )( ― ) với p là nửa chu vi tam giác . Lời giải: Ta có 1 = 3 ― 2푖, 2 = 1 + 4푖 và 3 = ―1 + 푖 có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ lần lượt là các điểm , , nên (3; ― 2); (1;4); ( ― 1;1). Khi đó ta có: 10 13 Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC ta có: = 2 + 5 + . 2 Diện tích tam giác ABC là: 푆△ = ( ― )( ― )( ― ) = 9. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 6 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm (2; ― 1;3). Mặt phẳng (푃) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (푄): +2 ―3 +2 = 0 có phương trình là A. +2 ―3 ―9 = 0. B. +2 ―3 +9 = 0. C. +2 ―3 +7 = 0 D. +2 ―3 ―7 = 0. Phương pháp: - Mặt phẳng (Q) song song với (푃): + + + = 0 có dạng (푄): + + + ′ = 0( ′ ≠ ). 47 DeThi.edu.vn
  48. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn - Thay tọa độ điểm A vào phương trình (Q) tìm hệ số ′. Lời giải: Mặt phẳng (푃) song song với mặt phẳng (푄): +2 ―3 +2 = 0 nên phương trình mặt phẳng (푃) có dạng +2 ―3 + = 0( ≠ 2). Vì (2; ― 1;3) ∈ (푃)⇒2 + 2.( ― 1) ― 3 ⋅ 3 + = 0⇔ = 9. Vậy phương trình mặt phẳng (푃) cần tìm là: +2 ―3 +9 = 0. ⇒ Chọn đáp án B. Câu 7 (NB): Trong không gian , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm (3;2;4) trên mặt phẳng . A. 푃(3;2;0). B. 푄(3;0;4). C. (0;2;4). D. (0;0;4). Phương pháp: Hình chiếu của điểm I (a;b;c) trên mặt phẳng (Oxy) là ′(a;b;0) . Lời giải: Hình chiếu của điểm A(3;2;4) trên mặt phẳng (Oxy) là P (3;2;0) . ⇒ Chọn đáp án A. ― 1 2 5 ― 3 Theo đề bài, ta có: ≤ ― 3 5 ― 3 ≤ 2 ― 6 5 ≥ 11 2 ⇔ ⇔ 3 ≤ + 5 3 ≤ + 5 2 ≤ 5 > 2 11 ≥ 11 5 ⇔ 5 ⇔ ≤ ≤ 5 5 2 ≤ 2 11 5 Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm 푆 = 11 ; 5 ⇒ = , = 5 2 5 2 11 5 47 ⇒ + = + = 5 2 10 48 DeThi.edu.vn
  49. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒ Chọn đáp án D. Câu 9 (TH): Phương trình sin2 + 3sin cos = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc [0;2 ] ? A. 5. B. 3. C. 2. D. 4. Phương pháp: Ta sử dụng các công thức : 1 ― cos 2 sin2 = ;sin 2 = 2sin cos ;cos ( + ) = cos cos ― sin sin . 2 Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất giữa sin và cos cos + sin = ( 2 + 2 ≥ ), chia cả hai vế cho 2 + 2 dể ta đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản. Lời giải: 1 ― cos 2 3 Ta có : sin2 + 3sin cos = 1⇔ + sin 2 = 1 2 2 3 1 1 1 3 1 ⇔ sin 2 ― cos 2 = ⇔ cos 2 ― sin 2 = 2 2 2 2 2 2 1 ⇔cos ⋅ cos 2 ― sin sin 2 = 3 3 2 2 + = + 2 = ⇔cos 2 + = cos ⇔ 3 3 ⇔ ( , ∈ ℤ) 3 3 2 + = ― + 2 = ― + 3 3 3 Vì ∈ [0;2 ] nên ta có = 0⇒ = 0 +0 ≤ ≤ 2 ⇔0 ≤ ≤ 2⇔ = 1⇒ = = 2⇒ = 2 1 7 2 +0 ≤ ― + 2 ≤ 2 ⇔ ≤ ≤ ⇔ = 1⇒ = . 3 6 6 3 Vậy có bốn nghiệm thuộc [0;2 ] ⇒ Chọn đáp án D. Câu 10 (TH): Người ta trồng 5151 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, , cứ tiếp tục như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây trồng được là: A. 100. B. 101. C. 102. D. 103. Phương pháp: 푛(푛 + 1) Giả sử trồng được hàng cây , khi đó số cây trồng được trên hàng đó là: Theo bài ra ta n (푛 > 0) n 2 푛(푛 + 1) 푛 = 101™ có = 5151⇔푛2 + 푛 ―10302 = 0⇔ 2 푛 = ―102(ktm) 49 DeThi.edu.vn
  50. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Vậy số hàng cây trồng được là 101 hàng. 2 Câu 11 (TH): Tìm họ nguyên hàm của hàm số ― 2 + 1 ( ) = ― 2 1 2 1 A. . B. . C. 2 . D. . + ― 2 + 2 +ln | ―2| + +ln | ―2| + 1 + ( ― 2)2 + Phương pháp: - Chia tử thức cho mẫu thức. 푛+1 푛 1 - Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: ∫ = 푛 + 1 + (푛 ≠ ―1),∫ + = ln | + | + Lời giải: 2 1 Ta có ― 2 + 1 ( ) = ― 2 = + ― 2 1 2 ⇒ ( ) = + = + ln | ― 2| + ― 2 2 ⇒ Chọn đáp án B. Câu 12 (VD): Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình dưới. Tìm để bất phương + 1 trình ( ) ≥ + 2 + nghiệm đúng với mọi ∈ [0;1]. 1 1 2 2 A. ≥ (0) ― 2. B. > (0) ― 2. C. < (1) ― 3. D. ≤ (1) ― 3. Phương pháp: - Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng ≤ ( )∀ ∈ [0;1]⇔ ≤ min[0;1]  ( ). - Chứng minh hàm số ( ) đơn điệu trên [0;1] và suy ra min[0;1]  ( ). Lời giải: Ta có: + 1 + 1 ( ) ≥ + ∀ ∈ [0;1]⇔ ≤ ( ) ― = ( )∀ ∈ [0;1]⇔ ≤ min  ( ) + 2 + 2 [0;1] + 1 1 ′ ′ Xét hàm số ( ) = ( ) ― + 2 trên [0;1] ta có: ( ) = ( ) ― ( + 2)2. 50 DeThi.edu.vn
  51. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số = ( ) nghịch biến trên (0;1) nên ′( ) ≤ 0∀ ∈ [0;1], lại có 1 ′ ― ( + 2)2 < 0∀ ∈ [0;1], do đó ( ) < 0∀ ∈ [0;1], suy ra hàm số = ( ) nghịch biến trên [0;1] nên 2 min[0;1]  ( ) = (1) = (1) ― 3. 2 Vậy ≤ (1) ― 3. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 13 (VD): Một chiếc xe đua 퐹1 đạt tới vận tốc lớn nhất là 360 km/h. Đồ thị bên biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong 2 giây đầu là một phần của một parabol định tại gốc tọa độ O, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị 10 m/s và trong 5 giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu? A. 340 (mét). B. 420 (mét). C. 400 (mét). D. 320 (mét). Phương pháp: 2 2 Trong 2 giây đầu, 푣1 = 푡 , lại có khi 푡 = 2( s)⇒푣1 = 60( m/s) nên 60 = .2 ⇔ = 15, suy ra 2 푣1 = 15푡 . 2 2 2 Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu là 푠1 = ∫0 푣1(푡) 푡 = ∫0 15푡 푡 = 40( m). Trong giây tiếp theo, 푣2 = 푡 + 푛. 푡 = 2⇒푣 = 60 2 + 푛 = 60 = 40 Ta có , nên ta có hệ phương trình 푡 = 3⇒푣 = 360 km/h = 100 m/s 3 + 푛 = 100⇔ 푛 = ―20 ⇒푣2(푡) = 40푡 ―20 3 3 Quãng đường vật đi được trong giây tiếp theo là 푠2 = ∫2 푣2(푡) 푡 = ∫2 (40푡 ―20) 푡 = 80( m). Trong 2 giây cuối, 푣3 = 100( m/s). 5 5 Quãng đường vật đi được trong 2 giây cuối là 푠3 = ∫3 푣3(푡) 푡 = ∫3 100 푡 = 200( m). Vậy trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là: 40 + 80 + 200 = 320( m). 51 DeThi.edu.vn
  52. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Câu 14 (TH): Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi người đó phài gửi ít nhất bao nhiêu năm để nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian gửi người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 6. B. 3. C. 4. D. 5. Phương pháp: 푛 Sử dụng công thức lãi kép 푛 = (1 + ) . Lời giải: Giả sử sau n năm để người đó nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng, ta có: 100(1 + 7%)푛 > 131⇔푛 > 3,99 Vậy sau 4 năm người đó nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng. ⇒ Chọn đáp án C. 2― +1 2 ―1 Câu 15 (TH): Cho bất phương trình 5 > 5 . Tập nghiệm của bất phương trình có dạng 7 7 푆 = ( ; ). Giá trị của biểu thức = 2 ― là A. 1. B. 2. C. -2. D. 3. Phương pháp: 0 ⇔ > 1 ( ) > ( ) > 0 Lời giải: 2 5 ― +1 5 2 ―1 > ⇔0 < 2 ― + 1 < 2 ― 1⇔ 2 ― 3 + 2 < 0⇔1 < < 2 7 7 = 1 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 푆 = (1;2)⇒ = 2 Vậy = 2 ― = 2 ⋅ 2 ― 1 = 3. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 16 (TH): Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng = 1 và = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ,(1 ≤ ≤ 2) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 2 + 3. 7 2 7 A. 7 ― 8. B. 16 ― 7. C. 8 ― 7. D. 8 2 ―4. 3 3 3 Phương pháp: 52 DeThi.edu.vn
  53. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Diện tích mặt cắt là: 푆( ) = 2 + 3 2 2 2 Thể tích của vật thể đó là: = ∫1 푆( ) = ∫1  + 3 Đặt 푡 = 2 + 3⇒푡2 = 2 +3⇒푡 푡 = = 1⇒푡 = 2 Đổi cận: . = 2⇒푡 = 7 7 7 푡3 7 7 ― 8 ⇒ = ∫2 푡.푡 푡 = = . 3 |2 3 Câu 17 (VD): Gọi 푆 là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số = 3 ―3(2 +1) 2 +(12 +5) +2 đồng biến trên khoảng (2; + ∞). Số phần tử của S bằng: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Phương pháp: Hàm số = ( ) đồng biến trên ( ; )⇔ ′( ) ≥ 0∀ ∈ ( ; ). Lời giải: Xét hàm số: = 3 ―3(2 +1) 2 +(12 +5) +2 ⇒ ′ = 3 2 ― 6(2 + 1) + 12 + 5⇒ ′ = 0⇔3 2 ― 6(2 + 1) + 12 + 5 = 0( ∗ ) TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ ⇔ ′ ≥ 0∀ ⇔Δ′ ≤ 0⇔9(2 + 1)2 ― 3(12 + 5) ≤ 0⇔9(4 2 + 4 + 1) ― 36 ― 15 ≤ 0 1 6 6 ⇔36 2 ― 6 ≤ 0⇔ 2 ≤ ⇔ ― ≤ ≤ 6 6 6 TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên (2; + ∞) ⇔( ∗ ) có hai nghiệm phân biệt 1, 2 thỏa mãn 2 ≤ 1 0 36 2 ― 6 > 0 ⇔ ( 1 ― 2)( 1 ― 2) ≥ 0⇔ 1 2 ― 2( 1 + 2) + 4 ≥ 0 1 + 2 > 4 1 + 2 > 4 1 6 2 > > 6 6 12 + 5 6(2 + 1) 6 ⇔ ― 2 ⋅ + 4 ≥ 0⇔ 4 3 4 + 2 > 4 53 DeThi.edu.vn
  54. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 6 6 > > 6 6 6 6 1 2 > 2 ― 6 ≤ ≤ 6 Kết hợp hai trường hợp ta được: 6 6 1 < ≤ 5 2 4 Lại có: ∈ ℤ+⇒ = 1. Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán. ⇒ Chọn đáp án A. Câu 18 (TH): Cho số phức z thỏa mãn 3 + 푖( +8) = 0. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng: A. -1. B. 2. C. 1. D. -2. Phương pháp: - Đặt = + 푖( ; ∈ ℝ)⇒ = ― 푖 - Thay vào giả thiết 3 + 푖( +8) = 0, đưa phương trình về dạng + 푖 = 0⇔ = = 0. Lời giải: Đặt = + 푖( ; ∈ ℝ)⇒ = ― 푖. Theo bài ra ta có: 3 + 푖( + 8) = 0⇔3( + 푖) + 푖( ― 푖 + 8) = 0 ⇔3 + 3 푖 + 푖 + + 8푖 = 0⇔3 + + ( + 3 + 8)푖 = 0 3 + = 0 = 1 ⇔ + 3 + 8 = 0⇔ = ―3 Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là + = 1 + ( ― 3) = ―2. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 19 (TH): Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm ( ; ) biểu diễn của số phức = + 푖,( , ∈ ℝ) thỏa mãn | ―1 + 3푖| = | ―2 ― 푖| là: A. Đường tròn đường kính với (1; ― 3), (2;1). B. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng với (1; ― 3), (2;1). 54 DeThi.edu.vn
  55. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn C. Trung điểm của đoạn thẳng với (1; ― 3), (2;1). D. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng với ( ― 1;3), ( ― 2; ― 1). Phương pháp: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn: | ―( + 푖)| = | ― ( ′ + ′푖)|,( , , ′, ′ ∈ ℝ) là đường trung trực của đoạn thẳng ′ với ( ; ), ′( ′; ′). Lời giải: Ta có: | ― 1 + 3푖| = | ― 2 ― 푖|⇔ ( ― 1)2 + ( + 3)2 = ( ― 2)2 + ( ― 1)2 ⇒ Tập hợp điểm ( ; ) biểu diễn của số phức = + 푖,( , ∈ ℝ) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng với (1; ― 3), (2;1). ⇒ Chọn đáp án B. Câu 20 (TH): Cho đường thẳng đi qua hai điểm (3;0) và (0; ― 4). Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho diện tích △ bằng 6. (0;0) A. (0;1). B. (0; ― 8). C. (1;0). D. (0;8). Phương pháp: +) Ta có: ∈ ⇒ (0; ). ― ― +) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ( ; ), ( ; ) là: : = . ― ― 1 +) Công thức tính diện tích △ là: 푆 = 2 ( ; ) ⋅ . +) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm ( 0; 0) dến đường thẳng : + + = 0 là: | 0 + 0 + | ( ; ) = . 2 + 2 Lời giải: Ta có: = ( ― 3; ― 4)⇒ = ( ― 3)2 + ( ― 4)2 = 5. Phương trình đường thẳng đi qua (3;0) và (0; ― 4) là: ― 3 ― 0 : = ⇔4( ― 3) = 3 ⇔4 ― 3 ― 12 = 0. 0 ― 3 ―4 ― 0 Ta có ∈ ⇒ (0; ). 55 DeThi.edu.vn
  56. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 1 ⇒푆 = ( ; ) ⋅ = 6 △ 2 |4.0 ― 3 ― 12| ⇔ ⋅ 5 = 12⇔|3 + 12| = 12 42 + 32 3 + 12 = 12 = 0⇒ (0;0) ⇔ ⇔ 3 + 12 = ―12 = ―8⇒ (0; ― 8) ⇒ Chọn đáp án B. Câu 21 (TH): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 + 2 +2 ―4( +1) +4 2 +5 +2 = 0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ . 2. C. > ―1. D. ≥ ―1. Phương pháp: Phương trình 2 + 2 ―2 ―2 + = 0 là phương trình đường tròn ⇔⇔ 2 + 2 ― > 0. Lời giải: 2 + 2 + 2 ― 4( + 1) + 4 2 + 5 + 2 = 0(1) Có = ― , = 2( + 1), = 4 2 +5 +2 (1) là phương trình đường tròn ⇔ 2 + 2 ― > 0 ⇔( ― )2 + 4( + 1)2 ― (4 2 + 5 + 2) > 0 ⇔ 2 + 4( 2 + 2 + 1) ― 4 2 ― 5 ― 2 > 0 ⇔ 2 + 4 2 + 8 + 4 ― 4 2 ― 5 ― 2 > 0 2 > ―1 ⇔ + 3 + 2 > 0⇔( + 1)( + 2) > 0⇔ < ―2 ⇒ Chọn đáp án C. Câu 22 (VD): Trong không gian , cho mặt phẳng (푃): ―3 +2 ―5 = 0 và hai điểm (2;4;1), ( ―1;1;3). Viết phương trình mặt phẳng (푄) đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng (푃). A. +2 +3 ―11 = 0. B. 2y ― 3z ― 11 = 0. C. 2y + 3z + 11 = 0. D. 2 +3 ―11 = 0. Phương pháp: Áp dụng công thức tính tích có hướng của hai vecto. Lời giải: Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng (푄) là Ta có mặt phẳng (푄) đi qua (2;4;1); ( ― 1;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (푃) : ― 3 + 2 ― 5 = 0 56 DeThi.edu.vn
  57. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Nên ⊥ = ( ― 3; ― 3;2) hay (0;2;3). ⊥ 푛 = (1; ― 3;2) ⇒ = [ ;푛] = (0;8;12) Mặt phẳng (푄) có vecto pháp tuyến = (0;2;3) và đi qua điểm (2;4;1) nên có phương trình là 2 +3 ―11 = 0. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 23 (TH): Cho hình nón đỉnh 푆 có bán kính đáy 푅 = 2. Biết diện tích xung quanh của hình nón là 2 5 . Tính thể tích khối nón. 5 4 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 Phương pháp: - Tính độ dài đường sinh từ công thức diện tích xung quanh hình nón 푆 푞 = 푅푙. - Tính chiều cao hình nón theo công thức 푙2 = 푅2 + ℎ2. 1 2 - Thề tích khối nón = 3 ℎ. Lời giải: Ta có : 푆 푞 = 푅푙⇒2 5 = ⋅ 2푙⇔푙 = 5. Lại có 푙2 = 푅2 + ℎ2⇔( 5)2 = 22 + ℎ2⇔ℎ2 = 1⇔ℎ = 1 1 2 1 2 4 Vậy thể tích khối nón là : = 3 푅 ℎ = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3 ⇒ Chọn đáp án C. Câu 24 (TH): Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là 20 3 cm. Thể tích của cột bằng A. 13000 (cm3). B. 5000 (cm3). C. 15000 (cm3). D. 5000 (cm3). Phương pháp: - Chu vi đường tròn bán kính R là = 2 푅 1 2 - Thể tích khối nón có chiều cao ℎ, bán kính đáy r là = 3 ℎ - Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là = 2ℎ. 57 DeThi.edu.vn
  58. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Lời giải: Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón. Theo bài ra ta có: Chu vi đáy là = 2 = 20 3 ⇒ = 10 3( cm) 1 2 1 3 2 3 Thể tích khối nón là 1 = 3 ⋅ ℎ1 = 3 ⋅ (10 ) ⋅ 10 = 1000 (cm ) 2 2 3 Thể tích khối trụ là 2 = ⋅ ℎ2 = ⋅ (10 3) ⋅ 40 = 12000 (cm ) 3 Thể tích của cột là = 1 + 2 = 13000 (cm ). ⇒ Chọn đáp án A. Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ . ′ ′ ′. Gọi E là trọng tâm tam giác ′ ′ ′ và F là trung điểm . 1 Gọi là thể tích khối chóp ′. 퐹 và là thể tích khối lăng trụ . ′ ′ ′. Khi đó có giá trị bằng 1 2 2 1 1 1 1 A. 5. B. 4. C. 6. D. 6. Phương pháp: - So sánh ′. 퐹, ′. ′ 퐹 - So sánh ′⋅ ′ 퐹, 퐹⋅ ′ ′ , từ đó so sánh ′⋅ ′ 퐹, . Lời giải: 1 1 ′ ′ Gọi M là trung điểm của ta có: 푆△ 퐹 = 2푆 ′ 퐹⇒ ′⋅ 퐹 = 2 ′⋅ ′ 퐹. 2 2 1 1 Mà = = ⋅ = . ′⋅ ′ 퐹 3 퐹⋅ ′ ′ 3 2 3 1 1 1 1 ⇒ = = ⋅ = . ′⋅ 퐹 2 ′⋅ ′ 퐹 2 3 6 1 1 Vậy = 6 ⇒ Chọn đáp án C. Câu 26 (VD): Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , . là trung điểm của ,I là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ( ). Tính tỉ số ? 1 1 1 1 A. = 4. B. = 5. C. = 2. D. = 3. Phương pháp: Vẽ hình sau đó sử dụng định lý Ta-lét trong tam giác. Lời giải: 58 DeThi.edu.vn
  59. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Trong ( ABN ) qua M kẻ đường thẳng song song với AI cắt BN tại J // 퐽 1 Xét tam giác 퐽 ta có: ⇒ = ⋅ 퐽(1) = ( 푡) 2 퐽// 1 Xét tam giác ta có: ⇒ 퐽 = ⋅ (2) = 2 1 1 Từ (1)&(2) ⇒ = 4 ⇔ = 3 ⇒ Chọn đáp án D. Câu 27 (VD): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (푆):( +2)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 9 và điểm M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là A. 12. B. 3. C. 9. D. 6. Phương pháp: max = + 푅 với ;푅 lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu. Lời giải: Mặt cầu (푆) có tâm ( ― 2;1;2), bán kính 푅 = 3. 2 2 2 Với ∈ (푆) ta có max = + 푅 = ( ― 2) + 1 + 2 +3 = 6. ⇒ Chọn đáp án D. Câu 28 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm (1; ― 1; ― 2) và mặt phẳng (푃): ―2 ―3 +4 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với (푃). ― 1 + 1 + 2 + 1 ― 1 ― 2 + 1 ― 1 ― 2 A. 1 = ―2 = ―3 . B. 1 = ―2 = 3 . C. 1 = ―2 = ―3 . D. + 1 + 1 + 2 1 = ―2 = 3 . Phương pháp: - Vì ⊥ (푃) nên = 푛푃. ― 0 ― 0 ― 0 - Phương trình đường thẳng đi qua ( 0; 0; 0) và có 1 vtcp ( ; ; ) là = = . 59 DeThi.edu.vn
  60. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Lời giải: Mặt phẳng (푃): ―2 ―3 +4 = 0 có 1 vtpt là 푛푃 = (1; ― 2; ― 3). Gọi là đường thẳng đi qua (1; ― 1; ― 2) và vuông góc với (푃) và là 1 vtcp của đường thẳng . Vì ⊥ (푃) nên = 푛푃 = (1; ― 2; ― 3). ― 1 + 1 + 2 Vậy phương trình đường thẳng là 1 = ―2 = ―3 . ⇒ Chọn đáp án A. Câu 29 (VD): Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = 2( +2)( ―3). Điểm cực đại của hàm số ( ) = ( 2 ― 2 ) là: A. = 3. B. = 0. C. = 1. D. = ―1. Phương pháp: - Tính ′( ), giài phương trình ′( ) = 0. - Lập BXD của ′( ). - Xác định điểm cực đại của hàm số ( ) là điểm mà ′( ) đổi dấu từ dương sang âm. Lời giải: Ta có: ( ) = ( 2 ― 2 )⇒ ′( ) = (2 ― 2) ′( 2 ― 2 ) = 1 2 ― 2 = 0 2 ′( ) = 0⇔ 2 ⇔ ― 2 = ―2 ′( ― 2 ) = 0 2 ― 2 = 3 (ta không xét 2 ―2 = 0 vì = 0 là nghiệm kép của phương trình f ′( ) = 0 ). = 1 ⇔ = 3 và qua các nghiệm này thì ′( ) đổi dấu. = ―1 Chọn = 4 ta có ′(4) = 6 ′(8) > 0 Khi đó ta có BXD của ′( ) như sau 2 Điểm cực đại của hàm số ( ) = ( ― 2 ) là = 1 ⇒ Chọn đáp án C. 60 DeThi.edu.vn
  61. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Câu 30 (VDC): Trong không gian với hệ tọa độ , cho ( ― 3;0;0), (0;0;3), (0; ― 3;0). Điểm ( ; ; ) nằm trên mặt phẳng sao cho 2 + 2 ― 2 nhỏ nhất. Tính 2 + 2 ― 2. A. 18. B. 0. C. 9. D. -9. Phương pháp: +) Xác định điểm I thòa mãn + ― = 0 2 2 2 +) Khi đó, 2 + 2 ― 2 = + ― = ( + )2 +( + )2 ―( + )2 = 2 + 2 ⋅ + ― + 2 + 2 ― 2 = 2 + 2 + 2 ― 2 2 + 2 ― 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi ngắn nhất ⇔ là hình chiếu vuông góc của I lên ( ) Lời giải: ( ―3;0;0), (0;0;3), (0; ― 3;0) +) Xác định điểm I thỏa mãn + ― = 0 : ―3 ― = 0 ― 0 = ―3 + ― = 0⇔ = ⇔ 0 ― = ―3 ― 0 ⇔ = 3 ⇒ ( ― 3;3;3) 0 ― = 0 ― 3 = 3 2 2 2 +) Khi đó, 2 + 2 ― 2 = + ― = ( + )2 +( + )2 ―( + )2 = 2 + 2 ⋅ ( + ― ) + 2 + 2 ― 2 = 2 + 2 + 2 ― 2 2 + 2 ― 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi ngắn nhất ⇔ là hình chiếu vuông góc của I lên ( ). ⇔ ( ― 3;3;0)⇒ 2 + 2 ― 2 = ( ― 3)2 + 32 ― 0 = 18 ⇒ Chọn đáp án A. Câu 31 (VD): Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( ―1)3 2 + (4 ― 5) + 2 ― 7 + 6 ,∀ ∈ ℝ. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số ( ) = (| |) có đúng 5 điểm cực trị? A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. Phương pháp: Nếu hàm số = ( ) có 푛 điểm cực trị dương thì hàm số = (| |) có 푛 +1 điểm cực trị. Lời giải: Để hàm số ( ) = (| |) có đúng 5 điểm cực trị thì hàm số = ( ) phải có 2 điểm cực trị dương ⇒ Phương trình ′( ) = 0 phài có 2 nghiệm bội lẻ dương phân biệt. 61 DeThi.edu.vn
  62. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn = 1( nghiemboi 3) Xét ′( ) = 0⇔ 2 + (4 ― 5) + 2 ― 7 + 6 = 0( ∗ ). Do đó phương trình (*) cần phải có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1 . Ta có: Δ = (4 ― 5)2 ― 4( 2 ― 7 + 6) = 16 2 ― 40 + 25 ― 4 2 + 28 ― 24 = 12 2 ― 12 + 1 Để (*) có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1 thì: Vậy có 4 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. ⇒ Chọn đáp án A. Câu 32 (VD): Tìm tất cả các gía trị thực của tham số sao cho phương trình ( ―1) 2 ―2( +1) + +4 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 0 Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 푃 > 0 푆 > 0 Lời giải: Phương trình ( ―1) 2 ―2( +1) + +4 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi ― 1 ≠ 0 (1) ≠ 0 4( + 1)2 ― 4( ― 1)( + 4) > 0 (2) Δ > 0 + 4 ⇔ > 0 (3) 1 2 > 0 ― 1 1 + 2 > 0 + 1 > 0 (4) ― 1 Giải (1): ―1 ≠ 0⇔ ≠ 1 Giải (2): 4( + 1)2 ― 4( ― 1)( + 4) > 0⇔(4 2 + 8 + 4) ― (4 ― 4)( + 4) > 0 ⇔4 2 + 8 + 4 ― 4 2 ― 16 + 4 + 16 > 0⇔ ― 4 + 20 > 0⇔ < 5 Giài (3): 62 DeThi.edu.vn
  63. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn + 4 > 0 > ―4 + 4 { ― 1 > 0 { > 1 > 1 > 0⇔ ⇔ ⇔ ― 1 + 4 0 > ―1 + 1 ― 1 > 0 > 1 > 1 Giài (4): > 0⇔ ― 1 + 1 0. 2 Tính ( ) 1 2 7 7 9 3 A. 12. B. 4. C. 4. D. 4. Phương pháp: 1 - Thay = , sau đó rút 1 theo f ( ) và thế vào giả thiết. 푡 2 - Tìm ( ) theo x và tính ∫1 ( ) bằng phương pháp tích phân 2 vế. 2 Lời giải: 1 1 1 1 Ta có: 2 ( ) + 1 = , với = ta có 2 1 + (푡) = ⇒ 1 = 1 ― 1 (푡) 푡 푡 푡 푡 푡 2 푡 푡 1 1 1 1 ⇒ = ― ( ) 2 Khi đó ta có 1 1 1 1 1 2 ( ) + ― ( ) = ⇔2 ( ) + ― ( ) = 2 2 2 3 1 3 2 2 1 ⇔ ( ) = ― ⇔ ( ) = ― 2 2 2 1 1 2 2 2 3 9 3 ⇔ ∫2  ( ) = ⇔∫2  ( ) = 2 1 8 1 4 2 2 ⇒ Chọn đáp án D. Câu 34 (VD): Trường trung học phổ thông có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp và khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và 63 DeThi.edu.vn
  64. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ 3 khối. 7234 7012 7123 7345 A. . B. .C. . D. . 7429 7429 7429 7429 Phương pháp: Sử dụng biến cố đối. Lời giải: Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư Cả trường có 23 em bí thư. 9 9 Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là 23⇒푛(Ω) = 23 Gọi A là biến cố: "9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối" ⇒ :"9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”". Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối. 9 Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là 16 cách. 9 Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là 15 cách. 9 Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là 15 cách. 9 9 9 ⇒푛 = 16 + 15 + 15. 9 9 9 푛( ) 16 + 15 + 15 7234 Vậy xác suất cần tính là 푃( ) = 1 ― = 1 ― 9 = . 푛(Ω) 23 7429 ⇒ Chọn đáp án A. Câu 35 (VD): T Cho hình lăng trụ tam giác . ′ ′ ′ có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 6. Gọi , lần lượt là trung điểm của , và 푃,푄,푅 lần lượt là tâm các hình bình hành ′ ′, ′ ′, ′ ′. Thể tích của khối đa diện 푃푄푅 bằng: A. 42. B. 14.C. 18. D. 21. 64 DeThi.edu.vn
  65. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Phương pháp: - Gọi 푃′,푄′,푅′ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (푃푄푅) với các cạnh ′, ′, ′. Chứng minh 푃′,푄′,푅′ tương ứng là trung điểm của các cạnh ′, ′, ′, đồng thời 푃,푄,푅 lần lượt là trung điểm của các cạnh 푄′푅′,푅′푃′,푃′푄′. - Đặt = ⋅푄′푅′푃′, tính ⋅푅′푃푄, ⋅푄′푃푅, 퐿 .푃′푄푅 theo V. - Tính 푃푄푅 = ― ⋅푅′푃푄 ― .푄′푃푅 ― ⋅푃′푄푅 theo V. - Tính V và suy ra 푃푄푅 . Lời giải: Gọi 푃′,푄′,푅′ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (푃푄푅) với các cạnh ′, ′, ′. Dễ dàng chứng minh được 푃′,푄′,푅′ tương ứng là trung điểm của các cạnh ′, ′, ′, đồng thời 푃,푄,푅 lần lượt là trung điểm của các cạnh 푄′푅′,푅′푃′,푃′푄′. Đặt = .푄′푅′푃′. 1 1 1 1 1 Ta có: 푆푅′푃푄 = 4푆푅′푄′푃′ nên ⋅푅′푃푄 = 4 ⋅푅′푄′푃′ = 4 ⋅ 3 = 12 . 1 Tương tự ta có: ⋅푄′푃푅 = 12 . 1 Ta có: 푆 = 푆푄푅푃′ = 4푆 nên ⋅푃′푄푅 = 4. 7 7 1 Vậy 푃푄푅 ⋅ = ― ⋅푅′푃푄 ― ⋅푄′푃푅 ― ⋅푃⋅푄푅 = ―2 ⋅ 12 ― 4 = 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 12 ⋅ 6 = 21. ⇒ Chọn đáp án D. 2 ― 3 Câu 36 (NB): Tiếp tuyến của đồ thị hàm số = 2 ― tại điểm có hoành độ = ―1 có hệ số góc bằng bao nhiêu? Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) tại điểm ( 0; 0) là = ′( 0). 65 DeThi.edu.vn
  66. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Lời giải: TX = ℝ ∖ {2}. 2 ― 3 2 ― 3 1 ′ Ta có = 2 ― = ― + 2⇒ = (2 ― )2. 1 ′ Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ = ―1 là = ( ― 1) = 9. 1 ⇒ Đáp án: = 9. Câu 37 (TH): Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( 2 ― 1)( ―3)2( +2),∀ ∈ ℝ. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: Phương pháp: - Tìm nghiệm bội lẻ của phương trình ′( ) = 0. - Lập BXD ′( ). Lời giải: = 1( nghiem don ) = ―1( nghiem don ) Ta có ′( ) = 0⇒( 2 ― 1)( ―3)2( +2) = 0⇒ = 3( nghiem boi hai ) = ―2( nghiem don ) Bảng xét dấu ′( ) : Dựa vào BXD ′( ) ta thấy hàm số có 2 điểm cực tiểu = ―2, = 1. ⇒ Đáp án: 2. Câu 38 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1;3; ― 2) và mặt phẳng (푃):2 + ―2 ―3 = 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (푃) bằng: Phương pháp: - Khoảng cách từ điểm ( 0; 0; 0) đến mặt phẳng (푃): + + + = 0 là | 0 + 0 + 0 + | ( ;(푃)) = . 2 + 2 + 2 Lời giải: |2 ⋅ 1 + 3 ― 2 ⋅ ( ― 2) ― 3| ( ;(푃)) = = 2. 22 + 12 + ( ― 2)2 66 DeThi.edu.vn
  67. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒ Đáp án: 2. Câu 39 (VD): Có 2 học sinh lớp ,3 học sinh lớp và 4 học sinh lớp xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp không có học sinh lớp . Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? Phương pháp: Sử dụng quy tắc vách ngăn. Lời giải: Xếp 2 học sinh lớp A có 2! cách xếp, khi đó tạo ra 3 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp B thứ nhất vào 1 trong 2 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 2 cách, khi đó tạo ra 4 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp B thứ 2 vào 1 trong 3 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 3 cách, khi đó tạo ra 5 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp B thứ 3 vào 1 trong 4 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 4 cách, khi đó tạo ra 6 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp C thứ nhất vào 1 trong 6 khoảng trống (kể cả khoảng trống giữa 2 bạn lớp A) có 6 cách, khi đó tạo ra 7 khoảng trống. Cứ như vậy ta có : Xếp bạn lớp C thứ hai có 7 cách. Xếp bạn lớp C thứ ba có 8 cách. Xếp bạn lớp C thứ tư có 9 cách. Vậy số cách xếp 9 học sinh trên thỏa mãn yêu cầu là 2!.2.3.4.6.7.8.9 =145152 cách. => Đáp án: 145152. ( ) ― 20 (3) Câu 40 (VDC): Cho ( ) là đa thức thỏa mãn lim = 10. Tính lim 6 ( ) + 5 ― 5. →2 ― 2 →2 2 + ― 6 Phương pháp: ∞ Sử dụng phương pháp tính giới hạn vô định ∞ với biểu thức chứa căn ta làm mất nhân tử của tử và mẫu bằng cách nhân liên hợp, tạo hằng đẳng thức. Lời giải: 3 3 3 6( ( ) ― 20) Đặt (3) 푃 ― 5 6 ( ) + 5 ― 5 . 푃 = 푃( ) = 6 ( ) + 5⇒푃 ―5 = 푃2 + 5푃 + 25 = 푃2 + 5푃 + 25 = 푃2 + 5푃 + 25 ( ) ― 20 Vì nên lim →2 ― 2 = 10 (2) ―20 = 0⇒ (2) = 20⇒푃 = 5 67 DeThi.edu.vn
  68. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Khi (3)6 ( ) + 5 ― 5 6( ( ) ― 20) ( ) ― 20 6 đó lim = lim 2 = lim ⋅ . →2 2 + ― 6 →2( ― 2)( + 3)(푃 + 5푃 + 25) →2 ― 2 ( + 3)(푃2 + 5푃 + 25) ( ) ― 20 6 6 4 Suy ra . = lim →2 ― 2 ⋅ lim →2 ( + 3)(푃2 + 5푃 + 25) = 10 ⋅ 5.75 = 25 4 ⇒ Đáp án: 25. Câu 41 (NB): Parabol = 2 + + đạt cực tiểu bằng 4 tại = ―2 và đi qua (0;6) có phương trình là: Phương pháp: Cho hàm số = 2 + + ( ≠ 0) có đồ thị (푃) Δ Với : Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại . > 0 min = ― 4 = ― 2 2 (푃) đi qua điểm ( 0; 0)⇔ 0 = 0 + 0 + . Lời giải: Parabol = 2 + + đạt cực đại bằng 4 khi = ―2⇒ parabol có đỉnh ( ―2;4) 4 ― 2 + = 4 = 1 = 6 2 Lại có parabol đi qua điềm (0;6) nên ta có: ⇔ = 2 ― = ―2 2 = 6 1 2 Vậy parabol đã cho có hàm số: = 2 +2 +6. 1 2 ⇒ Đáp án: = 2 +2 +6. 3 Câu 42 (TH): Tất cả các giá trị của tham số để hàm số ― 2 có hai điểm cực trị m = 3 + ―2 +1 là: Phương pháp: Hàm đa thức bậc ba = ( ) có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ′( ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Lời giải: ― 3 Ta có: 2 ′ 2 = 3 + ―2 +1⇒ = ― +2 ―2 ― 3 Để hàm số 2 có hai điểm cực trị thì phương trình ′ 2 = 3 + ―2 +1 = ― +2 ―2 = 0 2 > 2 phải có 2 nghiệm phân biệt ⇒Δ′ = ―2 > 0⇔ < 0 68 DeThi.edu.vn
  69. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn > 2 ⇒ Đáp án: < 0. 1 2 Câu 43 (VD): Cho ( ) liên tục trên ℝ và (2) = 1,∫0  (2 ) = 2. Tích phân ∫0  ′( ) bằng Phương pháp: Sử dụng tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Lời giải: 2 Ta có = ∫0  ′( ) = = Đặt ⇒ . 푣 = ′( ) 푣 = ( ) 2 2 2 Khi đó = ⋅ ( )|0 ― ∫0  ( ) = 2 (2) ― ∫0  ( ) . 1 = 0⇒푡 = 0 Xét = ∫0  (2 ) . Đặt 푡 = 2 ⇒ 푡 = 2 . Đổi cận = 1⇒푡 = 2. 1 2 1 2 2 Khi đó ta có = 2∫0  (푡) 푡 = 2∫0  ( ) = 2⇒∫0  ( ) = 4. Vậy = 2.1 ― 4 = ―2. ⇒ Đáp án: ―2 Câu 44 (VD): Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Phương pháp: 3 2 Số nghiệm thực của phương trình | ( ― 3 )| = 3 là 3 2 - Đặt 푡 = ―3 , quan sát đồ thị tìm nghiệm của phương trình | (푡)| = 3 tìm các nghiệm 푡푖. 3 3 - Khảo sát hàm số ( ) = ―3 suy ra số nghiệm của phương trình ―3 = 푡푖. Lời giải: 3 2 2 ( ― 3 ) = Ta có :| ( 3 ― 3 )| = ⇔ 3 3 ( 3 ― 3 ) = ― 2 3 69 DeThi.edu.vn
  70. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn (푡) = 2 Đặt 푡 = 3 ―3 ta được 3 (푡) = ― 2 3 2 +) Phương trình (푡) = 3 có ba nghiệm phân biệt 푡1,푡2,푡3, trong đó ―2 2 có đúng 1 nghiệm. 3 +) Phương trình ―3 = 푡4 2 có đúng 1 nghiệm. 3 +) Phương trình ―3 = 푡6 > 2 có đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tất cà 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 nghiệm. ⇒ Đáp án: 10. Câu 45 (VD): Cho số phức z thỏa mãn | + 푖| = 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức 푤 = (3 + 4푖) +2 + 푖 là một đường tròn tâm I, điểm I có tọa độ là: 70 DeThi.edu.vn
  71. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Phương pháp: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | ―( + 푖)| = 푅 là đường tròn tâm ( ; ) bán kính R. Lời giải: 푤 ― 2 ― 푖 푤 = (3 + 4푖) + 2 + 푖⇔(3 + 4푖) = 푤 ― 2 ― 푖⇔ = 3 + 4푖 Theo bài ra ta có: 푤 ― 2 ― 푖 푤 ― 2 ― 푖 + 3푖 ― 4 | + 푖| = 1⇔ + 푖 = 1⇔ = 1 | 3 + 4푖 | | 3 + 4푖 | |푤 ― 6 + 2푖| ⇔ = 1⇔|푤 ― (6 ― 2푖)| = 5 |3 + 4푖| Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm (6; ― 2) bán kính 푅 = 5. ⇒ Đáp án: 5. Câu 46 (VD): Cho hình chóp 푆. có đáy là tam giác vuông cân, = = 2 . Tam giác 푆 cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ),푆 = 3 . Góc giữa hai mặt phẳng (푆 ) và (푆 ) bằng: Phương pháp: - Gọi H là trung điểm của AC, chứng minh 푆 ⊥ (푆 ), ⊥ (푆 ) - Trong (푆 ) kè ⊥ 푆 , chứng minh ∠((푆 );(푆 )) = ∠( ; ). - Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc. Lời giải: Gọi H là trung điểm của AC ta có 푆 ⊥ (do tam giác SAC cân tại S ). (푆 ) ⊥ ( ) = Ta có ⊂ (푆 ), ⊥ ⇒ ⊥ ( ). Tương tự ⊥ (푆 ). 푆 ⊥ Trong (푆 ) kè ⊥ 푆 ta có 푆 ⊥ ( 표 ⊥ (푆 ))⇒푆 ⊥ ( )⇒푆 ⊥ (푆 ) ∩ (푆 ) = 푆 ⇒ ⊂ (푆 ), ⊥ 푆 ⇒∠((푆 );(푆 )) = ∠( ; ). ⊂ (푆 ), ⊥ 푆 71 DeThi.edu.vn
  72. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn Vi ⊥ (푆 )( 푡)⇒ ⊥ ⇒Δ vuông tại I. Do đó ∠((푆 );(푆 )) = ∠( ; ) = ∠ . 2 2 2 Tam giác vuông cân tại có = = 2 nên = 2 = , = = 2 Ta có: 푆 = 푆 2 ― 2 = 3 2 ― 2 2 = . 푆 . . 2 6 ⇒ = = = . 푆 3 3 2 ∘ Xét tam giác vuông có tan ∠ = = 6 = 3⇒∠ = 60 . 3 Vậy ∠((푆 );(푆 )) = 60∘ => Đáp án: 60∘ = 2 ― 2푡 Câu 47 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : = 0 . Gọi ′ là đường = 푡 thẳng đối xứng với qua mặt phẳng . Phương trình của ′ là: Phương pháp: +) Gọi = ∩ ⇒ Tìm tọa độ điểm A. +) Lấy điểm B bất kì thuộc d. Gọi B′ là điểm đối xứng với B qua ⇒ Tìm tọa độ điểm B′. +) d′ là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng ⇒ ′ đi qua , ′. Viết phương trình đường thẳng d′. Lời giải: Mặt phẳng có phương trình = 0. = 2 ― 2푡 = 0 = 2 Gọi = ∩ ⇒ Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình = 푡 ⇔ = 0⇒ (2;0;0) = 0 = 0 Lấy (0;0;1) ∈ . Gọi ′ là điểm đối xứng với B qua ⇒ ′(0;0; ― 1). d′ là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng ⇒ ′ đi qua , ′. = 2 + 2푡 ⇒ ′ nhận ′ = ( ― 2;0; ― 1)//(2;0;1) là 1VTCP⇒ ′: = 0 = 푡 72 DeThi.edu.vn
  73. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn = 4 + 2푡 Cho 푡 = 1 suy ra d' đi qua điểm (4;0;1)⇒ ′: = 0 . = 1 + 푡 = 4 + 2푡 => Đáp án: = 0 . = 1 + 푡 Câu 48 (VD): Cho phương trình 11 + = log11 ( ― ) với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của ∈ ( ― 205;205) để phương trình đã cho có nghiệm? Phương pháp: Xét hàm đặc trưng. Lời giải: Ta có 11 + = log11 ( ― )⇔11 + = ― + log11 ( ― ) log ( ― ) ⇔11 + = 11 11 + log11 ( ― )( ∗ ) Xét hàm số (푡) = 11푡 + 푡⇒ ′ = 11푡 ⋅ ln 11 + 1 > 0∀푡. Khi đó hàm số = (푡) đồng biến trên Do đó ( ∗ )⇔ = log11 ( ― )⇔11 = ― ⇔ = ― 11 . 1 ′ Xét hàm số ( ) = ― 11 ta có ( ) = 1 ― 11 ⋅ ln 11 = 0⇒ = log11 ln 11 = 0. Bảng biến thiên: Để phương trình đã cho có nghiệm thì < ( 0) ≈ ―0,78 ―205 < ≤ ―1 Kết hợp điều kiện đề bài ta có ∈ ℤ . Vậy có 204 giá trị của nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ⇒ Đáp án: 204. Câu 49 (VD): Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật, = , = 2 . Tam giác 푆 cân tại 푆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa 푆 và mặt phẳng ( ) bằng 45∘. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC). Phương pháp: 73 DeThi.edu.vn
  74. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn - Đổi ( ;(푆 )) sang ( ;(푆 )). - Trong ( ) kẻ ⊥ ( ∈ ), trong (푆 ) kẻ ⊥ 푆 ( ∈ 푆 ), chứng minh ⊥ (푆 ) - Xác định góc giữa SC và ( ), từ đó tính 푆 . 1 1 - Sử dụng 푆 = 2 ⋅ = 2푆 , từ đó tính . - Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính . Lời giải: Gọi H là trung điểm . Vì △ 푆 cân tại S nên 푆 ⊥ . (푆 ) ∩ ( ) = Ta có: 푆 ⊂ ( ),푆 ⊥ ⇒푆 ⊥ ( ). 퐾 Gọi 퐾 = ∩ . Áp dụng định lí T-aet ta có 퐾 = = 2⇒ 퐾 = 2 퐾. ( ;(푆 )) 푆 1 Ta có ∩ (푆 ) = 푆⇒ ( ;(푆 )) = 푆 = 2 1 ⇒ ( ;(푆 )) = 2 ( ;(푆 )). ( ;(푆 )) 퐾 Lại có ∩ (푆 ) = 퐾 nên ( ;(푆 )) = 퐾 = 2⇒ ( ;(푆 )) = 2 ( ;(푆 )). Do đó ( ;(푆 )) = ( ;(푆 )) Trong ( ) kẻ ⊥ ( ∈ ), trong (푆 ) kẻ ⊥ 푆 ( ∈ 푆 ) ta có: ⊥ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ (푆 )⇒ ⊥ ⊥ 푆 ⊥ ⇒ ⊥ (푆 )⇒ ( ;(푆 )) = Vì 푆 ⊥ ( ) nên là hình chiếu vuông góc của 푆 lên ( ). 74 DeThi.edu.vn
  75. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ⇒∠(푆 ;( )) = ∠(푆 ; ) = ∠푆 = 45∘ 2 2 2 17 ⇒Δ푆 vuông cân tại H⇒푆 = = + = (2 )2 + = . 2 2 1 1 Ta có: 푆 = 2 ⋅ = 2푆 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = 2 = 2 = 2 2 + (2 )2 5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 푆 ta có: 17 ⋅ 푆 ⋅ 2 5 1513 Nên = = = 푆 2 + 2 17 2 2 + 89 4 5 1513 ⇒ Đáp án: Vậy ( ;(푆 )) = . 89 Câu 50 (VD): Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích = 6 3 dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông cốt 2 thép. Phần nắp bể để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng 9 diện tích nắp bể. Biết rằng chi phí cho 1 m2 bê tông cốt thép là 1.000.000 d. Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? Phương pháp: - Gọi ( ),3 ( ) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể. Tính chiều cao của bề. - Tính tổng diện tích các mặt làm bê tông. - Sử dụng BĐT Cô-si: + + ≥ 33 ( , , > 0). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = = . Lời giải: Gọi x (m),3x (m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể, h là chiều cao của bể. 6 2 Theo bài ra ta có: = ⋅ 3 ⋅ ℎ = 6⇒ℎ = 3 2 = 2( m) Khi đó tổng diện tích các mặt bể được làm bê tông là: 2 2 2 16 2 16 2 ⋅ + 2.3 ⋅ + 2 .3 ― ⋅ 3 ⋅ = + 2 2 9 3 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 75 DeThi.edu.vn
  76. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn 2 2 2 16 16 16 8 8 3 16 8 8 3 + = + + ≥ 3 ⋅ ⋅ = 8 18 3 3 3 2 16 8 3 3 Dấu " = " xảy ra khi = ⇔ = / 3 2 Vậy số tiền ít nhất mà cô Ngọc cần bỏ ra là 8 18.106 ≈ 21.000.000 d. ⇒ Đáp án: 21.000 .000 đồng. HẾT 76 DeThi.edu.vn
  77. Bộ 17 Đề thi đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội 2022 (Có đáp án) – DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – TOÁN HỌC Câu 1 (NB): Trong một nông trường chăn nuôi bò sữa Ba Vì ta thu nhập được tài liệu sau: Số con bò cho sản lượng sữa hàng ngày cao nhất của nông trường là bao nhiêu ? A. 12 con. B. 15 con. C. 85 con. D. 25 con. Câu 2 (NB): Nếu hàm số ( ) = 2 ― 1 thì ′(5) bằng 1 1 2 A. 3. B. 6. C. 3. D. 3. Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình log3 ( ―4) = 2 là: 1 A. = 4. B. = 13.C. = 9. D. = 2. 3 4 + 2 ― 5 2 ― = 2 Câu 4 (TH): Hệ phương trình có nghiệm là ( ; ). Khi đó + = 7 4 + 2 + 2 2 ― = 32 A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. Câu 5 (TH): Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm , , lần lượt biểu diễn ba số phức 2 1 = 1 + 푖, 2 = (1 + 푖) và 3 = ― 푖. Để tam giác vuông tại thì bằng: A. -3. B. -2. C. 3. D. -4. Câu 6 (TH): Trong không gian , mặt phẳng (푃) chứa trục và đi qua điểm ( ― 1;1; ― 1) có phương trình là A. ― = 0. B. ― = 0. C. + = 0. D. + = 0. Câu 7 (NB): Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm (3;1;2) trên trục là điểm A. (3;0;2). B. 퐹(0;1;0). C. 퐿(0; ― 1;0). D. 푆( ― 3;0; ― 2). + 1 Câu 8 (TH): Tập nghiệm của bất phương trình 5 ― 5 ―4 < 2 ―7 là: A. 푆 = ∅. B. 푆 = 푅.C. 푆 = ( ― ∞; ― 1). D. 푆 = ( ― 1; + ∞). Câu 9 (TH): Phương trình sin2 ―(2 + )sin +2 = 0 có nghiệm khi tham số thỏa mãn điều kiện 77 DeThi.edu.vn