Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án)

157 trang Thái Huy 14/09/2023 6394

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_22_de_thi_toan_nang_cao_lop_10_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án)

Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ SỐ 1 TRƯỜNG THPT CON CUÔNG Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.(5,0 điểm) 2 Cho phương trình bậc hai x 5x m 0 (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x 2 x 2 x1 6 . Câu 2. (3,0 điểm) x2 x3 y xy2 xy y 1 Giải hệ phương trình: 4 2 x y xy(2x 1) 1 Câu 3.(5,0 điểm) 4sin cos a) Cho góc thỏa mãn tan 2 . Tính giá trị biểu thức P sin3 2cos3  2   1  b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD BC; AE AC . Điểm K trên 3 4 đoạn AD thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . AK Câu 4. ( 5,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD: x 3y 1 0, 16 E ;1 . 3 a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE. b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm. Câu 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a b c 1 . DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a 2 b 2 c 2 abc Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm 1. 2 Phương trình x 5x m 0 5,0 a) Giải phương trình (1) khi m 6 1,5 Khi m 6 PT (1) có dạng: x2 5x 6 0 0,5 Ta có: ' 4 1 5 0 0,5 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 2 và x2 3 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m 25 0,5 Phương trình có 2 nghiệm x , x khi ∆ ≥ 0 hay m 1 2 4 Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 x2 5; x1x2 m ïì x + x > 0 0,5 Hai nghiệm x , x dương khi íï 1 2 hay m > 0. 1 2 ï îï x1x2 > 0 25 Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m (*) 0,5 4 2 Ta có: ( x1 + x2 ) = x1 + x2 + 2 x1.x2 = 5+ 2 m Suy ra x1 + x2 = 5+ 2 m 0,5 Ta có x1 x2 x2 x1 6 x1.x2 x1 x2 6 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hay m 5 2 m 6 2m m 5m 36 0 (1) Đặt t m 0, khi đó (1) thành: 2t3 + 5t2 - 36 = 0 0,5 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0 Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x2 x2 x1 6 . x2 x3 y xy2 xy y 1 Giải hệ phương trình: 2. 4 2 3,0 x y xy(2x 1) 1 2 2 (x y) xy(x y) xy 1 Hệ 2 2 1,0 x y xy 1 a x2 y a ab b 1 Đặt . Hệ trở thành: 2 (*) 0,5 b xy a b 1 a3 a2 2a 0 a(a2 a 2) 0 Hệ (*) b 1 a2 b 1 a2 0,5 Từ đó tìm ra (a; b) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3) x2 y 0 Với (a; b) (0; 1) ta có hệ x y 1. xy 1 0,5 x2 y 1 Với (a; b) (1; 0) ta có hệ (x; y) (0; 1);(1;0);( 1;0) . xy 0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Với (a; b) ( 2; 3) ta có hệ 3 3 x2 y 2 y y x x x 1; y 3 . 0,5 xy 3 3 2 x 2x 3 0 (x 1)(x x 3) 0 Kết luận: Hệ có 5 nghiệm (x; y) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) . 3. 5,0 4 sin cos a) Cho góc thỏa mãn tan 2 . Tính giá trị biểu thức P 2,5 sin 3 2 cos 3 2 2 4sin cos 4sin cos sin cos P 1.0 sin3 2cos3 sin3 2cos3 4sin3 sin2 cos 4sin cos2 cos3 0,5 sin3 2cos3 4 tan3 tan2 4 tan 1 0,5 tan3 2 4.8 4 4.2 1 7 0,5 8 2 2  2   1  b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD BC; AE AC . Điểm K trên 3 4 b) AD 2,5 đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . AK A  1   1  3  Vì AE AC BE BC BA (1) 4 4 4 E K 0,5 B D C      Giả sử AK xAD BK xBD 1 x BA (1) 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn  2     2x   Mà BD BC nên AK x.AD BK BD (1 x)BA 0,5 3 3   m 2x 3m Do BC;BA không cùng phương nên 0 &1 x 0 0.5 4 3 4 1 8  1  AD Từ đó suy ra x ;m . Vậy AK AD 3 0,5 3 9 3 AK Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình 4. 5,0 16 CD: x 3y 1 0, E ;1 . 3 Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD 2,5 a) và BE. A D E I 0,5 B C BA EA Ta có 2 E là chân đường phân giác trong BC EC Do BD = BC BE  CD BE :3x y 17 0 0,5 x 3y 1 0 I BE CD tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ 0,5 3x y 17 0 Giải hệ phương trình I 5;2 1,0 b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm. 2,5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 5 Đặt BC a 0 AB 2a, AC a 5,CE 0,5 3 BC a Do C· BE 450 IB IC (1) 2 2 0,5 a Tam giác EIC vuông tại I IE 2 EC 2 IC 2 IE (2) 3 2   Từ (1) và (2) IB 3IE B(4;5) 0,5 2 c 1 Gọi C(3c 1;c) từ BC 2 5 c 4c 3 0 0,5 c 3 Với c 1 C(2;1), A(12;1) (KTM) Với c 3 C(8;3), A(0; 3) (TM) 0,5 Vậy A(0; 3), B(4;5),C(8;3) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a b c 1 . 5. 1 1 2,0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a 2 b 2 c 2 abc Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab bc ca 33 a 2 b 2c 2 0,5 1 1= a + b + c 33 abc 3 abc ab bc ca 33 abc 3 abc 9abc 3 1 9 P 0,5 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 1 1 1 7 P a 2 b 2 c 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 9 7 0,5 30 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca a b c 2 3 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại a b c . 0,5 3 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM ĐỀ SỐ 2 TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (5,0 điểm). 1 3x 2 a) Giải phương trình 2x 1 3x 1 x 2 2 2xy x y 1 b) Giải hệ phương trình x y 2 x y x y Câu 2 (4,0 điểm). a) Tìm tập xác định của hàm số : y x 2 x 1 x 3 . 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x mx m 1 0 . 4x1 x2 6 Đặt A 2 2 . Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất. x1 x2 2(1 x1 x2 ) Câu 3 (3,0 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x y Q 1 x 1 y Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC 5 18 4 2 ,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; ) và N(0; ). Xác 3 7 định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ dương. Câu 5 (4,0 điểm). sinA a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác sinB.cosC ABC là tam giác cân. ABC b) Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : BC NM BM NC .    Hãy biểu diễn vecto AI theo hai vecto AB và AC . Hết DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Câu Nội dung Điểm Câu 1 1 3x 2 2,5 a) Giải phương trình: (1) 5,0 2x 1 3x 1 x ĐK: x 0; x 1 . 0,25 2x 1 3x 3x 2 Khi đó: (1) 1 x 1 x 0.5 2x 1 3x 3x 2 0.5 2 6x 2 3x 1 2x 0.5 4 21 x 0.5 10 4 21 Vậy (1) có nghiệm: x 0.25 10 2 2 2xy x y 1 b) Giải hệ phương trình x y 2,5 2 x y x y Điều kiện: x y . 0.25 2 1 0.5 x y 1 2xy 1 0 x y 0.5 PT thư nhất tương đương: x y 1 x 2 y 2 x y 0 0.5 x y 1 x 1 x 2 Kết hợp với PT hai ta được  0.5 y 0 y 3 x 1 x 2 0.25 Vậy, hệ đã cho có nghiệm  y 0 y 3 Câu 2 Nội dung Điểm a) Tìm tập xác định của hàm số : y x 2 x 1 x 3 1.5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4,0 x 2 0 x 1 0 0.5 x 3 0 x 2 x 1 x 3 0 x 2 0.5 ĐK: 2 2 x 3x 2 6 x 0.5 2 21 x 6 3 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x mx m 1 0 . 4x1 x2 6 Đặt A 2 2 . Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất. x1 x2 2(1 x1 x2 ) 2.5 2 + PT có hai ngiệm khi 0 m 4m 4 0,m 0.25 x x m; x x m 1 + 1 2 1 2 0.25 4x1 x2 6 A 2 0.5 (x1 x2 ) 2 4m 2 0.5 m 2 2 (m 2) 2 1 1 m 2 2 0.5 A nhỏ nhất khi m 2 0.5 Câu 3 Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3,0 sau: x y Q 1 x 1 y . x 1 1 y 1 1 1 1 Viết lại Q ( 1 x 1 y) 1 x 1 y 1 x 1 y 1 1 2 2 Theo Cô si: 2 2 (1) 1 x 1 y 4 (1 x)(1 y) 1 x 1 y 2 ( Do x+y=1 ) Theo Bunhiacopski: 1 x 1 y 2 1 x 1 y 2 ( Do x+y=1 ) (2) DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :Q 2 1 x 1 y 1 0.5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y x y 1 2 0.25 Vậy minQ = 2 Câu 4 Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là 18 4,0 x y 7 0,5 Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT 18 x y 2 16 7 I( ; ) 0,5 7 7 x y 2 4 0,25 Gọi N là giao điểm của và AB, suy ra N ( : 2) 1 1 7 Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2 0,25 7x 3y 2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A( 1: 3) x y 2 0.25 2 7b Giả sử B(b; ) 3 0,5 1 Khi đó d(B, AH ) BC 2 2 2 0.5 4b 4 b 2 B(2; 4) 2 2 3 2 b 4(loai) 0.5 PT đường thẳng BC: x-y = 6 0.25 x - y 6 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ H (4 : 2) C(6;0) 0.5 x y 2 Câu Nội dung Điểm Câu 5 sinA 2,0 4,0 a) . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì sinB.cosC tam giác ABC là tam giác cân. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b 0.5 + Viết được sin A ;sin B . 2R 2R a 2 b 2 c 2 0.5 + cosC 2ab sinA 0.75 + Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c sinB.cosC + Vậy tam giác ABC cân tại A 0.25 b). Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên 2.0 cạnh AC sao cho NC 2NA và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh :        BC NM BM NC . Hãy biểu diễn vecto AI theo hai vecto AB và AC     + Chứng minh được BC NM BM NC 0.5 + Ta có I là trung điểm của MN    0.5 AM AN 2 AI  1 1   0.5 AB AC 2 AI 2 3  1  1  0.5 AI AB AC 4 6 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ SỐ 3 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Môn thi: Toán - Khối 10 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 (5.0 điểm). Cho phương trình: m 3 x2 2 m 1 x m 0 1. Tìm m để phương trình có nghiệm 2. Khi phương trình có hai nghiệm x1; x2 , tìm a để biểu thức F x1 a x2 a không phụ thuộc vào m. Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: x2 2x 13 1. 4 x 2 4 x 2 2 x 1 5 2. x 2 x 2 x 2 1 1 2 3. x 2 y 1 x y 2 2 x y 4xy 4x 2y 5 0 Câu 3 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam c2 giác ABC, chứng minh rằng : S 2 cot A cot B Câu 4 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA 1 1 1    sao cho AM AB, BN BC, CE CA . Chứng minh rằng: AN BE CM 0 3 3 3 3 Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A ;3 ; B 6;0 . 2 Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho tứ giác MNEF là hình vuông. Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 . b c 1 c a 1 a b 1 2 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh ;Số báo danh DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 Câu Đáp án Điểm 1 Cho phương trình: m 3 x2 2 m 1 x m 0 (5đ) 1. Tìm m để phương trình có nghiệm 3.0 3 TH1. Nếu m 3 0 m 3, pt trở thành: 4x 3 0 x là nghiệm 4 1.0 m 3 thỏa mãn. TH2. Nếu m 3 0 m 3 2 1.0 Ta có ' m 1 m m 3 1 m Pt đã cho có nghiệm ' 0 1 m 0 m 1 1.0 kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là m 1 2. Khi phương trình có hai nghiệm x1; x2 , tìm a để biểu thức 2.0 F x1 a x2 a không phụ thuộc vào m. m 3 Với phương trình có hai nghiệm x1; x2 , khi đó theo định lí m 1 2(m 1) x x 1 2 m 3 vi-et ta có: , ta có: 1.0 m x x 1 2 m 3 2 m 2a(m 1) F x a x a x x a(x x ) a = a2 1 2 1 2 1 2 m 3 m 3 m 2am 2a m 3 2a(m 3) 4a 3 4a 3 a2 a2 1 2a a2 m 3 m 3 m 3 3 1.0 F không phụ thuộc vào m 4a 3 0 a 4 2 x2 2x 13 1. 4 x 2 (8đ) 4 x 3.0 4 x 0 Đk : 2 x 4 x 2 0 2 0.5 pt x 2x 13 4. 4 x x 2 x2 2x 13 4 x2 2x 8 đặt t x2 2x 8 ( đk t 0 ). Ta có phương trình: 0.5 8 t 2 13 4t t 2 4t 21 0 t 7 kết hợp với điều kiện ta được t = 3 1.0 t 3 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 với t =3 x2 2x 8 3 x2 2x 8 9 x 1 0 x 1 (TM). 1.0 2 2 x 1 5 2. x 2 3.0 x 2 x 2 Đk x > 2 1.0 bpt 2 x2 1 x 2 5 2 x2 1 7 x 7 x 0 7 x 0 kết hợp với đk ta có bpt x 2 x 2 1.0 2 2 2 x 14x 51 0 2 x 1 7 x x 7 x 2 2 x 3 17 x 3 1.0 Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: S 2;3 1 1 2 3. x 2 y 1 x y 2.0 2 2 x y 4xy 4x 2y 5 0 x y x y x 2 x y x y 2 2 x 2 y 1 x 2 y 1 Đk: y 1 .hpt 2 2 x y 0 2 2 2 x 2 y 1 2(x y) (x 2) y 1 2 x y x y 0.5 x y a a b 2 x 2 đặt (ĐK a, b > 0) , ta có hệ: 1 1 x y + =2 b a4 b4 y 1 a b 2 a b 2 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 a b 2a b (a b) 2ab 2a b 2a b a b 2 a b 2 0.5 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 2ab 2a b 2a b a b a b 8ab 8 a b 2 a b 2 0.5 2 2 2 2 2 2 a b a b 1 8 ab 1 0 (ab 1) a b (ab 1) 8 0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b 2 a 1 ( vì a, b > 0) ab 1 b 1 x y 1 a 1 x 2 x y x 2 x 1 với (thỏa mãn) 0.5 b 1 x y x y y 1 y 2 1 y 1 3 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác 2.0 (2đ) c2 ABC, chứng minh rằng : S 4 cot A cot B a b2 c2 a2 sin A 2R cosA 2bc 0.5 Ta có : cot A b2 c2 a2 sin A a cosA 2bc 2R (b2 c2 a2 )R b2 c2 a2 b2 c2 a2 abc 0.5 abc 4. 4S 4R a2 c2 b2 tương tự ta cũng có: cot B , do đó 4S 0.5 b2 c2 a2 a2 c2 b2 c2 cot A cot B 4S 4S 2S c2 S 2 cot A cot B 0.5 4 Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho (2đ) 1 1 1    2.0 AM AB, BN BC, CE CA . Chứng minh rằng: AN BE CM 0 3 3 3  1    1  Từ gt ta có: BN BC AN AB BC 3 3  1    1  CE CA BE BC CA 1.0 3 3  1    1  AM AB CM CA AB 3 3 cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:       1    0.5 AN BE CM (AB BC CA) (BC CA AB) 3         mà AB BC CA AA 0 và BC CA AB BB 0 ,    0.5 nên AN BE CM 0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A ;3 ; B 6;0 . Viết (2đ) 2 2.0 phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông. *) Viết pt đường thẳng AB:  9 3 0.5 ta có AB có vtcp là AB ( ; 3) 3; 2 AB có vtpt là : n 2;3 2 2 pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0 pt AB: 2x + 3y -12 = 0 0.5 *) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông. Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có: MF //AH // NE MF OM OA AM AM MN MF 1 1 1 AH OA OA OA OB OB y A 0.5 M N B x O F E MF MF 1 MF 2 y 2 x 1 và y 2 x 3 3 6 M M N N 0.5 khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0) 6 Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn abc 1 chứng minh rằng: 3 3 3 (1đ) a b c 3 1.0 b c 1 c a 1 a b 1 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có: a3 b c 1 a3 b c 1 3a 3.3 . . ; tương tự ta cũng có: b(c 1) 2 4 b(c 1) 2 4 2 b3 c a 1 3b 0.5 c(a 1) 2 4 2 c3 a b 1 3c a(b 1) 2 4 2 cộng theo vế các bđt trên ta được: a b c a b c 3 3(a b c) 3 3 VT + VT (a b c) 2 4 2 4 4 0.5 9 3 3 mà a b c 33 abc 3 nên VT đpcm 4 4 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 Môn thi: Toán - Khối 10 ( Thời gian làm bài: 120 phút) 2 Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số y x 2 m 1 x 4 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 4 . 2. Tìm m để y 0 với mọi x 1;2 . Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: 1. x 5 2 x 3. x2 3x 2(x 1) 2. x 2 7 x 2 2 2 2 x y 1 2y x x 1 3 3. 2 2 x x y y 1 Câu 3 (2.0 điểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : sin B 2sin C sin A 2cos B cosC DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP,     PQ, QM. Chứng minh rằng: MB NC PD QA 0 Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC. Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4 a b c 3abc 1 1 1 3 chứng minh rằng: . a3 b3 c3 8 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh ;Số báo danh ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10 Câu Đáp án Điểm 2 1 Cho hàm số y x 2 m 1 x 4 (5đ) 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành 3.0 độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 4 . 2 xét phương trình: x 2 m 1 x 4 0 (*) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 4 trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa 2 1.0 ' 0 m 1 4 0 mãn x1; x2 0 s 0 2 m 1 0 p 0 4 0 m 1 x1 x2 2(m 1) m 3 m 1 ; theo định lí viet ta có: 1.0 x1.x2 4 m 1 x1 x2 4 x1 x2 2 x1.x2 16 2(m 1) 4 16 m 5 (TM) 1.0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2. Tìm m để y 0 với mọi x 1;2 . 2.0 để y 0 với mọi x 1;2 đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với ' 0 1.0 mọi x 1;2 y(1) 0 y(2) 0 m 1 m 1 m 3 m 3 3 3 3 2m 0 m m 1.0 2 2 4 4m 0 m 1 2 1. x 5 2 x 3. x2 3x (8đ) 3.0 Đk : x2 3x 0 0.5 pt x2 3x 3. x2 3x 10 0 đặt t x2 3x ( đk t 0 ). Ta có phương trình: t 2 3t 10 0 0.5 t 2 kết hợp với điều kiện ta được t = 2 1.0 t 5 2 2 x 1 với t =2 x 3x 2 x 3x 4 0 (TM). 1.0 x 4 2(x 1) 2. x 2 7 3.0 x 2 Đk x > 2 1.0 bpt 2. x 1 x 2 7. x 2 7. x 2 3x 4 vì x > 2 nên 2 vế đều dương, do đó x 6 2 2 1.0 bpt 49(x 2) 9x 24x 16 9x 73x 114 0 19 x 9 19 2 x kết hợp với đk ta được 9 tập nghiệm của bpt là: x 6 1.0 19 S = ( 2; ) (6; ) 9 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 x y 1 2y x x 1 3 3. 2 2 2.0 x x y y 1 (x2 y2 2x2 y x2 ) 2y(x 1) 3 (xy x)2 2(xy y) 3 hpt x(x 1)y(y 1) 1 (xy x)(xy y) 1 0.5 a xy x a2 2b 3 đặt , ta có hệ: b xy y ab 1 2 a2 3 a3 3a 2 0 (a 1)2 (a 2) 0 a 1 1 1 b b b a a a 0.5 a 2 a 1 hoặc 1 b 1 b 2 a 1 xy x 1 1 5 với x y 0.5 b 1 xy y 1 2 3 a 2 xy x 2 xy x 2 x(x ) x 2 2 với 1 1 3 b xy y x y 3 2 2 2 y x 2 0.5 2x2 5x 4 0 3 (vô nghiệm) y x 2 3 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : 2.0 (2đ) sin B 2sin C sin A (1) 2cos B cosC Ta có: (1) b 2c 1.0 2 2 2 2 2 2 a 2R 2R a c b a b c 2 2 2 2 2 2 a b 2c 2R a c b a b c ac 2ab 2. 2ac 2ab a 2 c2 b2 a 2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( 2c) ( b) 0 0 0.5 c 2b c 2b 2 2 2 1 1 2 2 2 a b c . 0 a b c tam giác ABC vuông tại A 0.5 c 2b DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ,     2.0 (2đ) QN. Chứng minh rằng: MB NC PD QA 0 Theo quy tắc trung điểm ta có:  1    1   MB . MN MP ; NC . NQ NP ; 2 2 1.0  1    1   PD . PM PQ ; QA . QM QN 2 2 cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 1         0.5 VT = QM MN NQ PM QN NP PQ MP 2 1     1  = QQ PM QQ MP PP 0 = VP 0.5 2 2 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường (2đ) thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương 2.0 trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC. Tọa độ điểm B: vì B đt: x + y + 1 = 0 B(b; -b - 1) 0.5 b 3 b 1 gọi M là trung điểm của AB ta có M ; 2 2 b 1 vì M đt: 2x - y -2 = 0 b 3 2 0 b 1 B(-1; 0) 0.5 2 Tọa độ điểm C: vì AC đi qua A(3; 0) và vuông góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có: 0.5 pt AC: x - y - 3 = 0 x y 3 0 x 1 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt: C( 1; 4) 0.5 2x y 2 0 y 4 6 Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4 a b c 3abc chứng (1đ) 1 1 1 3 1.0 minh rằng: a3 b3 c3 8 1 1 1 3 từ gt ta có: ab bc ca 4 áp dụng bđt TBC- TBN ta có: 1 1 1 1 1 1 3 1 3.3 . . . ; tương tự ta cũng có: a3 b3 8 a3 b3 8 2 ab 0.5 1 1 1 3 1 . b3 c3 8 2 bc 1 1 1 3 1 . c3 a3 8 2 ca DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn cộng theo vế các bđt trên ta được: 3 3 1 1 1 3 3 3 3 0.5 2.VT + . 2.VT . VT đpcm 8 2 ab bc ca 8 2 4 8 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM ĐỀ SỐ 5 TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Môn thi: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (5,0 điểm). 2x 1 a) Giải bất phương trình. x 1 3x 2 . 4x 1 2 3 x x 1 x 2 2 2 3 y y y b) Giải hệ phương trình 2 1 1 x 2 x 2 y y Câu 2 (4,0 điểm). a) Tìm tập xác định của hàm số : y x 2 x 1 . b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y x 2 mx 1 tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ = 3. Câu 3 (3,0 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x y Q 1 x 1 y . Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC 4 2 ,các 5 18 đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; ) và N(0; ). Xác định tọa độ 3 7 các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ dương. Câu 5 (4,0 điểm). a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: 1 cos B 2a c sin B 4a 2 c 2 b) Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng :     DM .DC CM .CD không đổi khi M di động trên cạnh AB. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Câu Nội dung Điểm Câu 1 2x 1 2,5 a) Giải bất phương trình: x 1 3x 2 (1) 5,0 4x 1 ĐK: x 1 (*). 0,25 2x 1 Khi đó: (1) 3x 2 x 1 4x 1 0,25 2x 1 2x 1 4x 1 3x 2 x 1 0,5 3x 2 x 1 4x 1 (do x 1) (3x 2)(x 1) 2 0,5 3x 2 5x 2 0 0,25 1 x 2 0,25 3 0.25 Kết hợp với điều kiện (*), ta có nghiệm của bất phương trình là 1 x 2 Vậy (1) có nghiệm: 1 x 2 0.25 2 3 x x 1 x 2 2 2 3 y y y b) Giải hệ phương trình 2,5 2 1 1 x 2 x 2 y y Điều kiện: y 0. 0.25 x 2 x 1 1 x 1 0,25 x 3 2 2 x 3 2 (x ) 0 2 3 3 y y y y y y (I) 1 1 1 x 1 0,25 2 (x ) 2 2 (x ) 2 x 2 x 2 y y y y y 1 3 x 1 (x ) (x ) 0 0,25 y y y 1 x 1 (x ) 2 2 (x ) 2 y y y 0,25 1 x u 3 uv 0 u x ,v Đặt , hệ phương trình trở thành: 2 y y u 2v u 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn u 0 2 u(u 2 v) 0 u 2v u 2 2 2 u 2v u 2 v u 2 u 2v u 2 0,25 u 0 v 1 u 0 0,25 v u 2 v 1 2 2 u 2u u 2 1 x 0 y x 1 y x 1 y 1 (thỏa điều kiện) x 1 y 1 0,25 Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1) 0,25 0.25 Câu 2 Nội dung Điểm a) Tìm tập xác định của hàm số : y x 2 x 1 1,0 4,0 Viết lại: y x 1 2 x 1 1 ( x 1 1) 2 x 1 1 0,25 0,25 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x 1 0 0,25 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; + ) 0,25 b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y x 2 mx 1 tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ = 3. 3,0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn PT hoành độ giao điểm của (P) và d là: x 2 mx 1 x 1 x 2 (m 1)x 2 0 (1) 0,25 (P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi: 0,25 PT (1) có hai nghiệm phân biệt 0 m 2 2m 7 0 m 1 2 2 0,5 hoặc m 1 2 2 , Gọi xP xQ là 2 nghiệm của (1) Ta có PQ =3 ) 2 ) 2 9 (xQ xP (yQ yP 0,5 ) 2 ( 1 1) 2 9 (xQ xP xQ xP 9 (x ) 2 4 0,5 Q xP xP xQ 2 5 2 m 1 (chọn) 2 0,5 0,5 Câu 3 Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3,0 sau: x y Q 1 x 1 y . x 1 1 y 1 1 1 1 0,5 Viết lại Q ( 1 x 1 y) 1 x 1 y 1 x 1 y 0,25 1 1 2 2 Theo Cô si: 2 2 (1) 1 x 1 y 4 (1 x)(1 y) 1 x 1 y 2 0,5 ( Do x+y=1 ) 0,5 Theo Bunhiacopski: 1 x 1 y 2 1 x 1 y 2 ( Do x+y=1 ) (2) 0,5 Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :Q 2 0.5 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x 1 y 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y x y 1 2 Vậy minQ = 2 Câu 4 Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là 18 4,0 x y 7 0,5 Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT 18 x y 2 16 7 I( ; ) 0,5 7 7 x y 2 4 0,25 Gọi N là giao điểm của và AB, suy ra N ( : 2) 1 1 7 Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2 0,25 7x 3y 2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A( 1: 3) x y 2 0.25 2 7b Giả sử B(b; ) 3 0,5 1 Khi đó d(B, AH ) BC 2 2 2 0.5 4b 4 b 2 B(2; 4) 2 2 3 2 b 4(loai) 0.5 PT đường thẳng BC: x-y = 6 0.25 x - y 6 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ H (4 : 2) C(6;0) 0.5 x y 2 Câu Nội dung Điểm Câu 5 a) . a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì 2,0 4,0 nếu: 1 cos B 2a c (1) sin B 4a 2 c 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn . Nhận thấy cả hai vế của (1) đều dương nên bình phương hai vế ta có (1 cos B) 2 (2a c) 2 0,25 sin 2 B 4a 2 c 2 (1 cos B) 2 (2a c) 2 1 cos 2 B (2a c)(2a c) 1 cos B 2a c 0,25 1 cos B 2a c 1 cos B 2a c 0,25 1 cos B 2a c 1 cos B 2a c 2 4a 0,25 c cos B 2ac cos B c 2 2a 0,25 2 2 2 2 a c b c 0,25 0,25 a b Tam giác ABC cân tại C 0.25 b) ) Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng 2,0     DM .DC CM .CD không đổi khi M di động trên cạnh AB.   Do AM , DC cùng hướng, ta có:        DM .DC (DA AM ) DC AM .DC AM.DC 0,75          CM .CD (CB BM ) CD BM .CD BM.CD ( Vì BM , CD cùng hướng)     2 0,75 Do đó DM .DC CM .CD AM.DC BM.CD CD(AM BM ) a 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ SỐ 6 QUẢNG NAM Môn thi: TOÁN 10 (ĐỀ ĐỀ NGHỊ) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN Câu 1 (4,0 điểm). a) Giải phương trình x x (1 x) 1 x 2x 1. 3 x x y 1 b) Giải hệ phương trình 2 3 xy 2 xy y 2 Câu 2 (4,0 điểm). x(x2 1)m (m 1)x2 a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số y có đồ thị đối xứng qua x x2 2 oy b) Cho hàm số y x2 và y x 6 m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = 2 . Câu 3 (4,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa :3 xyz xy yz zx . 1 1 1 3 Chứng minh x 3x 1 2 y 3y 1 2 z 3z 1 2 4 Câu 4 (4,0 điểm). a) Cho tam giácABC.O,G, M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trọng tâm, trung điểm cạnh AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác AOGM nội tiêp b) Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :  1        AD AC , BM MD, AE hAM ,CM kCG .Tìm h,k để ABC và MDG có cùng trọng 3 tâm. Câu 5 (4,0 điểm). a/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn x2 y2 2x 4y 0 và đường thẳng d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 600 . DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 21 3 b/Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B , .Đường phân giác ngoài góc BAC 5 5 cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3). Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương. Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM Môn thi: TOÁN 10 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) Giải phương trình x x (1 x) 1 x 2x 1 (1) 2,0 5,0 ĐK: x 0,1. 0,25 Đặt a x,b 1 x a2 b2 1,a2 b2 2x 1 0,25 Khi đó: (1) a3 b3 a2 b2 0,25 a b x=1/2(tm) 2 2 a ab b a b (2) 0,5 0,25 (2) 1 ab a b a 1 b 1 0 0,25 a 1 x 0 b 1 x 1 0.25 KL phương trình có nghiệm x=0,x=1/2,x=1 0.25 3 x x y 1 b) Giải hệ phương trình 2 3 2,0 xy 2 xy y 2 Đk: x 0 0,25 Đặt a x,b y 0,25 3 3 3 x x y 1 a b 1 (I) 2 3 2 2 3 0,25 xy 2 xy y 2 a b 2ab b 2 2(a3 b3) (a2b 2ab2 b3) 0 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2a3 b3 a2b 2ab2 0 a b a b b a 2 3 3 3 a b a b 1/ 2 x 1/ 4, y 1/ 2 0,25 a bvônghiêm b 1 1 a a 23 ,b 3 x 8.3 1/ 81, y 3 1/ 9 0,25 2 9 9 0,25 Kết luận 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 2 x(x2 1)m (m 1)x2 1,0 a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số y có đồ thị đối 3,0 x x2 2 xứng qua oy Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x x2 2 0 0,25 1 x 2 0,25 0 x 2 0,25 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D 2,2 Điều kiện cần :y có đồ thị đối xứng qua oy tương đương chẵn 0,25 suy ra y(-1/2)=y(1/2),suy ra m=0 0,25 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 0,25 Điều kiện đủ m= 0,y x x2 2 0,25 Chứng tỏ hàm y chẵn theo định nghĩa Kl b) Cho hàm số y x2 và y x 6 m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của 2,0 chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = 2 . Gọi (P) là parabol y x2 và d là đường thẳng y x 6m PT hoành độ g/đ của (P) và d là: x2 x 6m 0 (1) 0,25 (P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi: PT (1) có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 1/ 24 0,5 Gọi xA;xB là 2 nghiệm của (1) xA xB 1, xA.xB 6m ; yA xA 6m, yB xB 6m . 0,25 0,25 2 2 AB= AB 2 xA xB xA xB 2 2 0,25 xA xB 4xAxB 1 1 24m 1 0,25 m 0(tm) 0,25 Câu 3 Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 3 xyz xy yz zx . 3,0 1 1 1 3 Chứng minh x 3x 1 2 y 3y 1 2 z 3z 1 2 4 1 1 1 Ta có 3xyz xy yz zx 3 x y z 1 1 1 0,5 Đặt a ,b ,c a b c 3 x y z 0,5 Ta có DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 3 x 3x 1 2 y 3y 1 2 z 3z 1 2 4 a b c 3 2 2 2 1đ 3 3 3 4 1 1 1 a b c a3 b3 c3 3 b c 2 a c 2 a b 2 4 . . a3 b c b c 3a b3 a c a c 3b c3 a b a b 3c 2 , 2 , 2 1đ b c 8 8 4 a c 8 8 4 a b 8 8 4 1 1 3 VT a b c .3 1 4 4 4 Học sinh không cần chỉ ra dấu bằng vẫn cho tối đa. Câu 4 Cho tam giácABC.O, M,Nần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trung điểm 2,0 cạnh AB ,BC tam giác ABC. Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác ANGM nội tiêp a2 c2 b2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 cot B ,cot C ,cot A 4S 4S 4S cotB cotC 2 cot A b2 c2 2a2 0,25 0,25 b2 c2 a2 G trọng tâm ABC Chứng minh được OG2 R2 9 Chứng minh được OG2 AG2 R2 OG  AG 0,5 AGOM nội tiêp. Tương tự AGON nội tiêp và kết luận 0,5 0,25 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Nội dung Điểm Câu 5 Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn : 2,0 40  1        AD AC , BM MD, AE hAM ,CG kCM .Tìm h,k để ABC và MEG có cùng 3 trọng tâm. Điều kiện để  ABC và MDG có cùng trọng tâm là 0,5 AE BM CG 0 .    Phân tíh các vecto AE, BM , CG theo cặp vecto BA,BC 0,25  2  1  BM BA BC 9 9   1  1  AE k AM k BA AD 2 2 1  1   k BA BC BA 2 6 2  k1  k BA BC 3 6   1  1  1  1 2   1  h5  CG hCM h BC CD h BC BA BC hBA BC 0,25 2 2 2 2 3 3 6    2 2 h  1 k 5h  AE BM CG 0 k BA BC 0 0,25 9 3 3 9 6 3 2 2 h k 0 9 3 3 0,25 1 k 5h 0 9 6 3 0,25 6 k 19 2 h 57 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 6 .Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn x2 y2 2x 4y 0 và đường 3,0 3,0 thẳng d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 600 . Hình 0,25 Tìm tâm I va bán kính đường tròn 0,5 Tính IM 0,25 Tham số hóa M 0,25 M 0,5 21 3 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B , .Đường phân giác ngoài 5 5 góc BAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3). Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x+2y- 7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương. Giả sử F,D lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài d’và trong d của góc BAC với đtBC Hình 0,25 Viết BC x-2y-3=0 0,25 Tìm F là giao của d’ với BC,F(5,1) 0,25 Chùng minh được FA=FE 0,5 Tham số hóa A 0,25 Tìm A 0,25 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ SỐ 7 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. 1 Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số y x2 7x 6 1 1 2x Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x2 + 2mx - 3m và hàm số y = - 2x + 3 . Tìm m để hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB = 4 5 . Câu 3 (2,0 điểm). Tìm m để phương trình 2x2 2x m x 1 có nghiệm. x 1 Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tham số m để bất phương trình 1 có tập nghiệm mx2 4x m 3 là ¡ . Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình 2x2 - 6x - 1= 4x + 5 ì ï 4x + 10y - 2x + 2y = 4 ï Câu 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình í 2 2x2 + 7xy + 5y2 ï x + 2y + = 24 îï 3 Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a. Câu 8 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC 2AB , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là d : x y 2 0 . Biết ·ABC 1200 và A 3;1 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 9 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC , biết a + b + c 2ab IG ^ IC . Chứng minh rằng = (Với AB = c, BC = a,CA = b ). 3 a + b 3 Câu 10 (2,0 điểm). Cho các số thực a,b,c 0 thỏa mãn a b c . Tìm giá trị nhỏ 2 2 1 2 1 2 1 nhất của S a b c . b2 c2 a2 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 (Đáp án có 05 trang) ĐỀ THI MÔN: TOÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điể m 1 2 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số y x 7x 6 1 1 2x ïì x2 - 7x + 6 ³ 0 Hàm số có xác định khi và chỉ khi íï ï 0,5 îï 1- 1- 2x > 0 ïì éx £ 1 ì 2 ï ï x - 7x + 6 ³ 0 ï ê Û í Û í êx ³ 6 ï ï ë 0,5 îï 1- 1- 2x > 0 ï îï - 1< 1- 2x < 1 ïì éx £ 1 ï ê ï ê Û í ëx ³ 6 Û 0 < x < 1 0,5 ï îï 0 < x < 1 Vậy tập xác định của hàm số là: D = (0;1) 0,5 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x2 + 2mx - 3m và hàm số y = - 2x + 3 . Tìm m để 2 hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB = 4 5 . Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x2 + 2mx- 3m = - 2x + 3 2 0,5 Û x + 2(m + 1)x- 3m- 3 = 0 (*) DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân ém > - 1 biệt Û D '> 0 Û Û ê . 0,5 ëêm < - 4 Gọi A(x1;- 2x1 + 3); B(x2 ;- 2x2 + 3) với x1; x2 là nghiệm phương trình (*) x1 x2 2 m 1 Theo Vi-et ta có: x1.x2 3 m 1 0,5 2 2 2 Ta có: AB 5 x1 x2 5 x1 x2 20x1.x2 20 m 1 60 m 1 2 2 AB 4 5 20 m 1 60 m 1 4 5 m 1 2 m 1 4 0 0,5 m 0;m 5. So sánh với điều kiện ta được m=0 và m=-5 3 (2,0 điểm). Tìm m để phương trình 2x2 2x m x 1 có nghiệm. x 1 2 2 2 1 Ta có x x m x 2 0,5 x 4x m 1 0(*) (*) 2 4 1 2 4 1 x x m . Xét y x x và y m 0,5 Ta có bảng biến thiên hàm số y x2 4x là: x 1 2 + ∞ -3 + ∞ y 0,5 -4 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) phải có nghiệm x 1 hay 0,5 1 m 4 m 5 x 1 (2,0 điểm). Tìm tham số m để bất phương trình 1 có tập mx2 4x m 3 4 nghiệm là ¡ . Để bất phương trình có tập nghiệm ¡ ta cần có mx2 4x m 3 0 với x ¡ m 0 m 0 m 1 0,5 ( m =0 không thỏa mãn) 2 0 m 3m 4 0 m 4 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Với m 1. Khi đó ta có mx2 4x m 3 0 với x ¡ Bpt x 1 mx2 4x m 3 mx2 5x m 4 0 (1) 4 41 m 2 2 Bpt có tập nghiệm ¡ (1) 0 4m 16m 25 0 0,5 4 41 m 2 4 41 Mà m 1 m 2 Với m 4 . Khi đó ta có mx2 4x m 3 0 với x ¡ Bpt x 1 mx2 4x m 3 mx2 5x m 4 0 (2) 4 41 m 2 2 Bpt có tập nghiệm ¡ (2) 0 4m 16m 25 0 0,5 4 41 m 2 4 41 Mà m 4 m 2 4 41 4 41 KL: m ; m 0,5 2 2 5 (2,0 điểm). Giải phương trình 2x2 - 6x - 1= 4x + 5 4 Điều kiện: x ³ - . 5 0,5 Đặt t = 4x + 5 Þ t ³ 0 t 2 - 5 Ta có x = thay vào ta được phương trình sau: 4 0,5 t 4 - 10t 2 + 25 6 2. - (t 2 - 5)- 1= t Û t 4 - 22t 2 - 8t + 77 = 0 16 4 Û (t 2 + 2t - 7)(t 2 - 2t - 11)= 0 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn é êt1 = - 1- 2 2 ê t = - 1+ 2 2 ét = - 1+ 2 2 éx = 1- 2 ê2 t³ 0 ê ê Û ê ¬ ¾¾® ê Þ ê 0,5 êt = 1+ 2 3 t = 1+ 2 3 x = 2+ 3 ê3 ëê ëê ê ëêt4 = 1- 2 3 ì ï 4x + 10y - 2x + 2y = 4 ï 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình í 2 2x2 + 7xy + 5y2 ï x + 2y + = 24 îï 3 Đặt a 4x 10y;b 2x 2y a,b 0 ïì a - b = 4 ï ïì a - b = 4 0,5 2 2 Û ï Khi đó hệ trở thành í a + b ab í 2 2 ï + = 24 îï a + b + 2ab = 144 îï 6 3 éïì a - b = 4 éïì a = 8 êíï êíï ïì a - b = 4 êï a + b = 12 êï b = 4 ì ï îï îï a,b³ 0 ï a = 8 Û í Û ê Û ê ¬ ¾ ¾® íï 0,5 ï 2 êì êì ï = îï (a + b) = 144 êï a - b = 4 êï a = - 4 îï b 4 êí êí ëêîï a + b = - 12 ëêîï b = - 8 ì ïì a = 8 ï 4x + 10y = 8 ïì 2x + 5y = 32 Với íï Û íï Û íï 0,5 ï b = 4 ï ï x + y = 8 îï îï 2x + 2y = 4 îï 8 16 Giải hệ trên ta được x ; y . 0,5 3 3 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các 7 cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a. A P N 0,5 B M C   Đặt AP xAB x 0     1   1   2  1  Ta có: AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC 3 3 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn     1  PN PA AN xAB AC 3 uuur uuur 2  1   1  AM ^ PN Û AM.PN = 0 Û AB AC xAB AC 0 3 3 3     2 2x 2 1 2 2 x 2 0 a a a AB.AC 0 AB.AC a cos60 0,5 3 9 9 3 2 2 2x 2 1 2 2 x a 2x 1 2 x 1 4 a a 0 0 x 3 9 9 3 2 3 9 9 3 2 15      2 4 1 2 4 1 Khi đó PN AB AC PN AB AC 15 3 15 3 0,5 16 1 8 a2 21 a2 a2 . 225 9 45 2 225 21 PN 0,5 15 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC 2AB , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là 8 d : x y 2 0 . Biết ·ABC 1200 và A 3;1 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác. B A C M 0,5 Đặt AB a a 0 Ta có: AC AB2 AC 2 2AB.ACcos1200 a 7 AB2 BC 2 AC 2 a2 4a2 7a2 a 3 BM 2 4 2 4 2 3a2 7a2 Ta có AB2 BM 2 a2 AM 2 4 4 0,5 Suy ra tam giác ABM vuông tại B. Khi đó phương trình AB: x y 2 0 B là giao của AB và BM B 2;0 0,5 6 Ta có: AB d A, BM 2 a 2 BM 2 0,5 6 3 Gọi M m;2 m . BM m 2 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn M là trung điểm AC nên C 2 3;4 3 hoặc C 2 3;4 3 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC , biết 9 a + b + c 2ab IG ^ IC . Chứng minh rằng = (Với AB = c, BC = a,CA = b ). 3 a + b C N I G 0,5 A B M    Ta chứng minh aIA bIB cIC 0       1   a IC CA b IC CB cIC 0 CI a.CA b.CB a b c    a 1  b 1  GI CI CG CA CB a b c 3 a b c 3 0,5     Khi đó 2a b c CA 2b a c CB aCA bCB 0   ab CA.CB b 2a b c a 2b a c 0 0,5   Do ab CA.CB ab abcosC ab 1 cosC 0 Nên ta có: b 2a b c a 2b a c 0 a b c 2ab 0,5 b 3a a b c a 3b a b c 0 6ab a b a b c 3 a b 3 (2,0 điểm). Cho các số thực a,b,c 0 thỏa mãn a b c . Tìm giá trị nhỏ 2 10 2 1 2 1 2 1 nhất của S a b c . b2 c2 a2 Ta thấy 1 1 1 1 1 1 0,5 S a2 b2 c2 2 2 2 2 2 2 16b16b 16c16c 16a 16a 16 16 16 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 a2 a2 1717 1717 1717 0,5 1616b32 1616b32 1616b32 a b c 1 17 17 17 17 3 1717 0,5 8 16 8 16 8 16 8 5 5 5 16 b 16 c 16 a 16 a b c 3 17 3 17 3 17 5 15 2 217 2a2b2c 2a 2b 2c 217 3 0,5 3 17 1 Vậy MinS . Dấu “=” xảy ra a b c . 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ SỐ 8 TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG MÔN: TOÁN Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 1 trang) (Không kể thời gian giao đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho parabol (P) : y 2x2 6x 1; Tìm giá trị của k để đường thẳng : y (k 6)x 1 cắt parabol P tại hai điểm phân biệt M , N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng 3 d : y 2x 2 2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x2 2(m 1)x m3 (m 1)2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 3 3 biểu thức sau: P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 Câu II (5điểm): 1) Giải bất phương trình: (x 1)(x 4) 5 x2 5x 28 (x R) 2 2 x y 2y 6 2 2y 3 0 (x; y R) 2) Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 (x y) x xy y 3 3 x y 2 2018 2019 Câu III (2 điểm). Cho x 0, y 0 là những số thay đổi thỏa mãn 1. Tìm x y giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y Câu IV(4 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Cho tam giác ABC có BC a, AC b diện tích bằng S . 1 Tính số đo các góc của tam giác này biết S a2 b2 4 2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC,CA, AB a 2a lần lượt lấy các điểm N, M , P sao cho BN ,CM , AP x 0 x a . 3 3 Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm 1 cạnh BC là H ;0 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D 2 có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng d :5x y 1 0. Hết ĐÁP ÁN Câu I: Câu I 6 Nội dung Điểm điểm Tìm m với parabol y 2x2 6x 1 Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương 2 trình 2x 6x 1 4x 6x 1 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 hay phương trình : 0.75 2 2 2x kx 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 có k 16 0 Khi đó giao điểm M x1;(k 6)x1 1 , N x2 ;(k 6)x2 1 nên trung x1 x2 (x 6)x1 1 (x 6)x2 1 0.75 điểm của đoạn thẳng MN là I ; 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 2 2 3k k k k 2 Theo định lý Viet ta có x1 x2 nên I ; 0.75 2 4 2 3 Do I thuộc đường thẳng y 2x nên k 2 8k 2 0 hay 2 0.75 k 4 3 2 thì thỏa mãn bài toán. 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số); 2 3 2 3 x 2(m 1)x m (m 1) 0 (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điểm điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 3 3 thức sau: P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 khi 0.75 (m 1)2 m3 (m 1)2 0 m3 4m 0 2 m 0 (*) . x1 x2 2(m 1) 4 m 3 2 m 3 Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : 0.75 x1 x2 2(m 1) 3 2 x1  x2 m (m 1) 3 3 3 Nên P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 x1 x2 8x1x2 8(m 1)3 8 m3 (m 1)2 2 2 2 2 8 3m 3m 1 m 2m 1 8 2m 5m 16m 40m 0.75 Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2 Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m 2 0.75 Câu II DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu II Nội dung Điểm 1. Đk: x ¡ 0.5 2 Ta có (1) x2 5x 28 24 5 x2 5x 28 0 điểm Đặt t x2 5x 28(t 0) 0.5 Bất phương trình trở thành t 2 5t 24 0 3 t 8 So sánh điều kiện ta được 0 t 8 0.5 Với 0 t 8 x2 5x 28 64 9 x 4 0.5 KL đúng 2. (3 điểm) ĐKXĐ: y 1,5 0.5 (2) x3 y3 3x 3y 3 x2 y2 2 (x 1)3 (y 1)3 x 1 y 1 y x 2 0.5 Thay vào phương trình thứ nhất ta được; 2 2 2 1 1 2x 1 1 x x 3x 1 2x 1 x 2x 1 1.0 2 2 2x 1 x (Có thể bình phương được phương trình: (x 1)2 x2 4x 2 0) Giải hai pt này ta được x 1, x 2 2 . Thử lại nghiệm 1.0 KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là (x; y) (1; 1),(2 2, 2) Câu III Câu III Nội dung Điểm DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1. 2018 2019 P (x y) x y 2 điểm Có 0.5 2018y 2019x 2018 2019 x y 2018y 2019x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương và x y 2018y 2019x ta được 2 2018.2019 0.5 x y Suy ra P ( 2018 2019)2 x 0; y 0 2 2018 2019 GTNN của P là ( 2018 2019) khi 10.5 0.5 x y 2018y 2019x x y x 2018( 2018 2019) 0,5 y 2019( 2019 2018) Câu IV Câu Nội dung Điểm IV 1. 1 2 2 1 Ta có S a b absin C 0,5 4 2 2 2 2 điểm a b 2absin C 0,5 (a b)2 2ab(1 sin C) 0 (1) Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b 0 a b 0 1 sin C 0 sin C 1 A B 45 C 90 0,5 KL đúng 1.     1   2  1  0,5 Ta có AN AB BN AB (AC AB) AB AC 3 3 3 2 điểm    1  x  Ta lại có PM PA AM AC AB 0,5 3 a   2  1  1  x  AN  PM AN  PM 0 AB AC  AC AB 0 3 3 3 a 0.5 2   2x  2 x   1  2 AB  AC AB AB  AC AC 0 9 3a 3a 9 5x 2 4a x . KL đúng 0.5 6a 9 15 Câu V Câu Nội dung Điểm V Gọi E AH  DC 3 0.5 điểm Dễ thấy HAB HEC SADE SABCD 14 13 AH , AE 2AH 13 , phương trình tổng quát của đường 2 0.5 thẳng AE: 2x 3y 1 0 DeThi.edu.vn
SỞ GIÁOBộ DỤC 22 Đề VÀ thi ĐÀO Toán TẠO nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - ĐỀDeThi.edu.vn SỐ 9 TRƯỜNG THPT THUẬN Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT THÀNH 2 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC D d D(d;5d 1),d 0 d 2 1 28 0.5 SADE AE d(D, AE) 14 d(D, AE)  30 2 13 d (L) 13 Suy ra D(2;11) 0.5 + H là trung điểm AE E( 2; 1) Phương trình tổng quát của CD: 3x y 5 0 0.5 Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD PT tổng quát của AB : 3x y 2 0 0.5 2 Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y x 4x 4 m ; Pm . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 1. b) Tìm m để Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1;4 2 Câu 2. (3.0 điểm) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 3x a 0 ; x3 và 2 x2 x3 x4 x4 là hai nghiệm của phương trình x 12x b 0 . Biết rằng . Tìm a và b. x1 x2 x3 Câu 3. (6.0 điểm) a)Giải phương trình: x 2 x 2 x 1 0 x 3 3x 2 4x 2 y 3 y b)Giải hệ phương trình: 4x 6 x 1 7 4x 1 y Câu 4. (3.0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Cho tam giác OAB. Đặt OA a, OB b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho 1 1 AC 2.AB, OD OB, OE OA. Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ a, b 2 3 . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1 ; B 2;4 . a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B. b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A. Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 2019 . Tìm giá trị nhỏ x y nhất của biểu thức P 2019 x 2019 y Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2 Môn: Toán – Lớp 10 – THPT Câu ĐÁP ÁN Điểm 2 1 Cho hàm số y x 4x 4 m ; Pm . 3.0 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 1 b) Tìm m để Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1;4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 1 2.0 Với m=1 thì y x 2 4x 3 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh I( 2;-1). hệ số a 1 0 parabol có bề lõm hướng 0.5 lên trên Lập BBT 0.5 Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ. 0.5 b) Tìm m để Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn 1.0  1;4 Xét pt hoành độ giao điểm x 2 4x 4 m 0 x 2 4x 3 m 1 0.5 Dựa vào đồ thị tìm được 1 m 1 3 0 m 4 0.5 Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y x 2 4x 3 hoặc y x 2 4x 4 2 2 Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 3x a 0 ; x3 và x4 là hai nghiệm 3.0 x x x của phương trình x 2 12x b 0 . Biết rằng 2 3 4 . Tìm a và b. x1 x2 x3 1 9 4a 0 0.5 Điều kiện có nghiệm ' 2 36 b 0 x2 kx1 x2 x3 x4 2 Đặt k x3 kx2 k x1 x x x 1 2 3 x kx k 3 x 4 3 1 0.5 Theo định lý viet ta có hệ 0.5 x1 1 k 3 2 x1k 1 k 12 2 x1 k a 2 5 x1 k b k 2 0.5 Với k 2 thì x1 1 ta được a 2, b 32 (tm) 0.5 Với k 2 thì x1 3 ta được a 18, b 288 (tm) 0.5 3 1. Giải phương trình: x 2 x 2 x 1 0 2.0 Điều kiện: x 1 0.5 x 2 x 2 0 0.5 Phương trình x 1 0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 1 0.5 x 2 x 1 Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm x 1;2 0.5 x 3 3x 2 4x 2 y 3 y 4.0 2. Giải hệ phương trình: 4x 6 x 1 7 4x 1 y Phương trình thứ nhất (x 3 3x 2 3x 1) x 1 y 3 y x 1 3 x 1 y 3 y 0.5 Đặt a x 1 ta được a 3 a y 3 y a y a 2 ay y 2 1 0 a y 0. 2 2 0.5 y 3y Vì a 2 ay y 2 1 a 1 0; a, y 2 4 0.5 Ta được y x 1 thay vào pt thứ hai ta được 6 x 1 x 8 4x 2 . ĐK: x 1 0.5 2 x 1 3 2x 2 x 1 3 2x 0.5 3 0.5 x x 1 2x 3 2 x 2 y 3 0.5 2 x 1 2x 3 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y 2;3 0.5 Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích +) pt 6 x 1 x 8 4x 2 , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích. 4 a) Cho tam giác OAB. Đặt OA a, OB b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho 3.0 1 1 AC 2.AB, OD OB, OE OA. Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ 2 3 a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED a) Cho tam giác OAB. Đặt OA a, OB b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho 2.0 1 1 AC 2.AB, OD OB, OE OA. Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ 2 3 a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng. OC a 2b 0.5 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 CD a b 2 0.5 1 1 DE a b 3 2 Ta được CD 3DE . Vậy C,D,E thẳng hàng 0.5 b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm 1.0 của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B Ox; C Oy . Giả sử AB AC 2 thì 0.5 A 0;0 ; B 0;2 ; C 2;0 ta được H 1;1 ; E 0;1 ; D 1; 1 . Khi đó EC 2; 1 ; ED 1; 2 . Nhận thấy EC.ED 0 chứng tỏ EC  ED 0.5 5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1 ; B 2;4 . 3.0 a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B. b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A. a) Gọi C x;0 . 0.5 Sử dụng AB.BC 0 C 6;0 0.5 AB.AD 0 b) Gọi D x; y . Giải hệ AB AD 1.0 Tìm được D 2; 2 hoặc D 4;4 1.0 6 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2.0 x y thức P 2019 x 2019 y 2019 y 2019 x 1 1 1 1 4 P 2019 x y ,a,b 0 . Áp dụng y x x y a b a b 1.0 4 P 2019 x y x y 2 Lại có x y 2. x y 4038 x y 4038 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 2019 0.5 Ta được P 2019. 4038 4038 . Dấu "=" xảy ra khi x y 4038 2 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa. 2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Môn thi: Toán - Khối 10 ( Thời gian làm bài: 90 phút) Câu 1 (3.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 1. 3x2 2x 3 3x 1 2 2. 3x 1 3 3x 1 x2 y2 3 x y xy 9 3. x y xy 3 Câu 2 (2.0 điểm). Cho f (x) x2 m 1 x m 1 1. Tìm m để f (x) > 0 với x R 2. Biết m = 2, tìm x để f (x) 2 5x 1 5x2 x 3 Câu 3 (2.0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1. Cho là góc thỏa mãn điều kiện và sin . Tính A = 3cos 4 tan 2 3 2. Cho ba số thực dương x, y, z chứng minh rằng: x 1 y 1 z 1 1 y z 2 z x 2 x y 2 Câu 4 (3.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(1; -2), B(3; 1) , C(-1; 3) . 1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành 2. Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC 3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh ;Số báo danh ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10 Câu Đáp án Điểm 1 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 3.0 (3đ) 1. 3x2 2x 3 3x 1 1.0 1 3x 1 0 x 3 pt 2 2 0.5 3x 2x 3 3x 1 2 6x 4x 2 0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x 3 x 1 x 1 0.5 1 x 3 2 2. 3x 1 3 1.0 3x 1 1 đk x 3 bpt 3x 1 x 1 , từ đk nên 2 vế đều dương do đó 0.5 2 bpt 3x 1 x 1 x2 x 0 1 x 1 x 0 đối chiếu với đk ta được 3 tập nghiệm của bpt đã x 0 x 1 0.5 1 cho là S = ;0  1; . 3 x2 y2 3 x y xy 9 3. 1.0 x y xy 3 2 x y 3 x y xy 9 s x y 2 hpt ; đặt (đk s 4 p ) 0.25 x y xy 3 p xy s2 3s p 9 s 2 s 6 ta có hệ pt hoặc s p 3 p 1 p 9 0.25 s 2 x y 2 với x y 1 0.25 p 1 xy 1 s 6 x y 6 với x y 3 0.25 p 9 xy 9 2 Cho f (x) x m 1 x m 1 2.0 2 f (x) x R (2đ) 1. Tìm m để > 0 với 1.0 a 1 0 f (x) > 0 với x R 2 0.5 (m 1) 4(m 1) 0 m 3 m 1 m 3 0 m 1 0.5 2. Biết m = 2, tìm x để f (x) 2 5x 1 5x2 x 3 1.0 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Khi m = 2 ta có f (x) 2 5x 1 5x2 x 3 5x2 x 3 2 5x 1 x2 3x 3 0 0.25 1 Đk x 5 pt 5x2 x 3 2x 1 2 5x 1 x 1 x2 3x 2 0 0.25 2 1 2 x 3x 2 1 0 0.25 5x2 x 3 2x 1 5x 1 x 1 1 2 vì 1 >0 nên pt 5x2 x 3 2x 1 5x 1 x 1 0.25 2 x 1 x 3x 2 0 x 2 3 1 1.0 1. Cho là góc thỏa mãn điều kiện và sin . (2đ) 2 3 Tính A = 3cos 4 tan 2 2 cos = 2 2 2 8 3 ta có sin cos 1 cos 9 2 2 0.5 cos =- 3 2 2 do nên cos < 0 cos =- 2 3 sin 1 khi đó tan 0.25 cos 2 2 ta có A = 2 2 2 3 2 0.25 2. Cho hai số thực dương x, y chứng minh rằng: x 1 y 1 z 1 1.0 1 y z 2 z x 2 x y 2 x 1 2x y z x y x z x y . x z ta có: (1) 0.5 y z 2 2 y z 2 y z y z tương tự ta cũng có : 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y 1 y z . y x (2) z x 2 x z z 1 z x . z y (3) x y 2 x y x 1 y 1 z 1 Nhân theo vế ba bđt trên ta được: 1 0.25 y z 2 z x 2 x y 2 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết (3đ) A(1; -2), B(3; 1) , C(-1; 3) . 3.0 1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành 1.0 gọi D(a ; b) là điểm cần tìm   0.25 tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC (*)   với AB 2;3 ; DC 1 a;3 b 0.25 1 a 2 a 3 khi đó (*) D 3;0 0.5 3 b 3 b 0 2. Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM 1.0 của tam giác ABC  +) Ta có AH đi qua điểm A(1; -2) và nhận vec tơ BC 4;2 làm vtpt 0.5 nên pt AH: -4(x - 1) + 2(y - 2 ) = 0 pt AH : 2x - y - 4 = 0 1 +) vì M là trung điểm của AC nên M (0; ) 2  1 ta có đường trung tuyến BM nhận BM 3; làm vtcp BM nhận 2 0.5 n 1; 6 làm vtpt mà BM đi qua B(3; 1) nên pt BM: x - 3 - 6(y - 1) = 0 pt BM: x - 6y + 3 = 0. 3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung 1.0 điểm E của BC. +) gọi I là tâm của đường tròn (C). Do E là trung điểm của BC E(1; 2); 0.25 gọi F là trung điểm của AE F(1; 0) +) do (C) tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC nên IE  BC do đó IE đi  0.25 qua E(1; 2) và nhận BC 4;2 làm vtpt pt IE: 2x - y = 0 IF  AE +)  vì (C) đi qua A và E nên do đó IF đi qua F(1; 0) và nhận AE 0;4 làm vtpt pt IF: y = 0 0.25 do I IE  IF nên I(0 ; 0) DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + khi đó (C) có bán kính R = IE = 5 và tâm I(0; 0) nên 0.25 pt (C) : x2 y2 5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 Câu 1 (3 điểm) 2 a) Cho parabol (P): y x 4x 5 và điểm I(1;4) . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I. b) Tìm các giá trị của m để phương trình x2 2 m4 m2 có 4 nghiệm phân biệt. Câu 2 (5 điểm) 2 a) Giải bất phương trình: (x 1) x 2 (x 6) x 7 x 7x 12 (x 1)(y2 6) y(x2 1) Giải hệ phương trình: b) 2 2 (y 1)(x 6) x(y 1) 2 c) Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 1 có nghiệm. 2 2 Câu 3 (2 điểm)Cho f (x) x 2(m 1)x m 3 . T×m m ®Ó f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 3 2 3 2 x1, x2 tháa m·n x1 x1x2 4x1 x2 x2 x1 4x2 . Câu 4 (2 điểm)Trong mÆt ph¼ng täa ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho hai ®iÓm A(1 ; 1) vµ B(4 ; -3). T×m ®iÓm C thuéc ®êng th¼ng x – 2y – 1= 0 sao cho kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ®êng th¼ng AB b»ng 6. Câu 5 (5 điểm) a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ    2  thức: AD 2AB; AE AC . Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng 5 b) Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng   1 MH.MA BC 2 4 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M ( 2;0) là trung 7 điểm của cạnh AB, điểm H (1; 1) là hình chiếu của B trên AD và điểm G ;3 là trọng 3 tâm tam giác BCD. Đường thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F. Tìm tọa độ các điểm E, F và B 2 2 Câu 6 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá (x y)2 3y2 trị nhỏ nhất của biểu thức S . xy 1 Câu 7 (1,5 điểm) T×m m ®Ó hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x y 3 x 5 y 3 m DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY ĐỀ THAM KHẢO HSG TOÁN 10 HIỆU MÔN THI: TOÁN (Đáp án gồm 05 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 2 Cho parabol (P): y x 4x 5 và điểm I(1;4) . Tìm trên (P) hai 1 a 1,50 điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I Vì I không thuộc trục đối xứng của (P) nên hai điiểm M,N thỏa đề bài 0,25 thuộc đường thẳng qua I và có hsg k có phương trình y k(x 1) 4 2 2 Xét pt x 4x 5 k(x 1) 4 x (k 4)x k 1 0 (1) 0.25 2 2 (k 4) 4(k 1) 0 k 4k 20 0,k cắt (P) tại M và N 0,25 Gọi 2 nghiệm của (1) là x1, x2 M (x1;k(x1 1) 4), N(x2 ;k(x2 1) 4) 0,25 M, N đối xứng nhau qua điểm I I là trung điểm của MN x x 1 2 1 2 4 k 0,25 1 k 2 k(x 1) 4 k(x 1) 4 2 1 2 4 2 2 Khi đó (1) x 2x 3 0 x 1 hoặc x 3. Vậy M ( 1;0), N(3;8) 0,25 2 4 2 1 b Tìm m để phương trình x 2 m m có 4 nghiệm phân biệt 1,50 Điều kiện cần m4 m2 0 m 1 hoặc m 1 (1) 0,5 x2 2 m4 m2 x2 2 m4 m2 0,25 Khi đó 2 4 2 2 4 2 x 2 (m m ) x 2 (m m ) 0,25 Điều kiện đủ 2 (m4 m2 ) 0 1 m2 2 0,25 Kết hợp với ĐK (1) ta được 1 m 2 hoặc 2 m 1 0,25 Cách khác. Pt có 4 nghiệm đường thẳng y m4 m2 cắt đths y x2 2 tại 4 điểm. Từ đồ thị suy ra 0 m4 m2 2 1 | m | 2 2 a Giải bất phương trình: (x 1) x 2 (x 6) x 7 x2 7x 12 2,00 ĐK : x 2 . 0,25 2 BPT (x 1) x 2 2 (x 6) x 7 3 x 2x 8 0,25 x 2 x 2 (x 1) (x 6) (x 2)(x 4) x 2 2 x 7 3 0,25 x 1 x 6 (x 2) (x 4) 0 0,25 x 2 2 x 7 3 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 1 x 6 Ta có (x 4) x 2 2 x 7 3 x 2 x 2 x 6 x 6 1 0,25 x 2 2 2 x 7 3 2 x 2 2 (x 2) x 2 (x 6)( x 7 1) 1 0,x 2 x 2 2 x 7 3 x 2 2 0,25 BPT x 2 0 x 2 0,25 Vậy tập nghiệm của BPT là S  2;2 0,25 (x 1)(y2 6) y(x2 1) Giải hệ phương trình: 1,50 2 b 2 2 (y 1)(x 6) x(y 1) Trừ vế ta được x y x y 2xy 7 0 0,25 TH 1. x y . Thế vào pt thứ nhất ta được 0,25 2 x 2 x 5x 6 0 0,25 x 3 TH 2. x y 2xy 7 0 2xy x y 7 Cộng hai pt theo vế ta được 2 2 2 0,25 5 x y x y 12 0 5 x y x y 2xy 12 0 2 x y 1 x y 6 x y 5 0 0,25 x y 5 x y 1 xy 4 (Loại) 0,25 x 2, y 3 x y 5 xy 6 x 3, y 2 0,25 Vậy hệ có 4 nghiệm là 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2 2 2 c Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 1 có nghiệm 1,50 ĐK: x 1. Chia hai vế cho x 1 ta được x 1 x 1 0,25 3 m 2 4 x 1 x 1 x 1 2 2 0,25 Đặt t 4 ,0 t 1 ta được 3t m 2t 3t 2t m (2) x 1 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Pt (1) có nghiệm x 1 pt (2) có nghiệm t 0;1 0,25 2 Lập bảng biến thiên của f t 3t 2t trên 0;1 0,25 1 Từ BBT suy ra pt (2) có nghiệm t 0;1 1 m 0,25 3 cho f (x) x 2 2(m 1)x m2 3 . tìm m để f(x) có hai nghiệm phân 3 2 3 2 2 3 biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x1x2 4x1 x2 x2 x1 4x2 . điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ' (m 1)2 (m2 3) 0 m 2 0,5 3 2 3 2 2 biến đổi x1 x1x2 4x1 x2 x2 x1 4x2 (x1 x2 )[(x1 x2 ) 2x1 x2 4] 0 0,5 Do x1 x2 2 0,25 (x1 x2) 2x1x2 4 0 [2(m 1)]2 2(m2 3) 4 0 0,25 m 1 0,25 m 3 Kết luận m=-1 0,25 trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc oxy cho hai điểm a(1 ; 1) và 4 b(4 ; -3). tìm điểm c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 sao cho khoảng cách 2 từ c đến đường thẳng ab bằng 6. x 1 y 1 đường thẳng ab có phương trình 4x 3y 7 0 4 1 3 1 do c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 nên c = (2c + 1; c) 4(2c 1) 3c 7 c 3 ta có d(C;AB) 6 6 11c 3 30 42 32 c 27 /11 0,25 + với c 3 C (7;3) 43 27 + với c 27 /11 C ; 11 11 43 27 vậy có hai điểm C (7;3); C ; 11 11 0,25 0,75 0,5 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định    2  5 a bởi các hệ thức: AD 2AB; AE AC . Chứng minh rằng: D, E, G 1,50 5 thẳng hàng Gọi M là trung điểm của BC ta có:  2  1  1  AG AM AB AC 0,25 3 3 3     2  2   DE DA AE 2AB AC 5AB AC (1) 0,5 5 5     1  1  5  1  1   DG DA AG 2AB AB AC AB AC 5AB AC (2)0,5 3 3 3 3 3  6  Từ (1) và (2) suy ra DE DG D, E, G thẳng hàng 0,25 5 Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh   1 1,50 5 b MH.MA BC 2 4   1    A Ta có MH.MA BA CA MH 2 1     H BA.MH CA.MH 2 0,25 1       BA MC CH CA MB BH 2 B A' M C 1         BA.MC BA.CH CA.MB CA.BH 2 0,25         Vì BA  CH BA.CH 0;CA  BH CA.BH 0   1   1   0,25 MH.MA BA.MC CA.MB 2  2        Mặt khác ta có BA.MC BA'.MC;CA.MB CA'.MB và MB MC 0,25   1   1   1    Nên MH.MA BA'.MC CA'.MC MC BA' CA' 0,25 2 2 2     1 1 1 1 2 MC.BC . BC.BC BC (đpcm) 0,25 2 2 2 4 5 C Tìm tọa độ các điểm E, F và B 2,00 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,5   Chứng minh được HM ME từ đó suy ra E( 5;1)   Chứng minh được HG 2GF từ đó suy ra F(3;5) 0,5 Giả sử B(x; y) . Từ giả thiết suy ra B, E, F thẳng hàng và BE  BH 0,25 Đến quan hệ vecto 0,25 Đến hệ pt 0,25 Tìm được tọa độ B( 1;3) 0,25 (x y)2 3y2 6 Tìm max và min của biểu thức S . 1,50 xy 1 x2 2xy 2y2 0,25 Thế x2 y2 1 vào S ta được S xy x2 y2 TH 1. y 0 x2 1 S 1 0,25 2 x x 2 2 2 y y x t 2t 2 TH2. y 0 S 2 . Đặt t S 2 0,25 x x y t t 1 1 y y S(t 2 t 1) t 2 2t 2 (S 1)t 2 (S 2)t S 2 0 0,25 Với S 1, tồn tại t (S 2)2 4(S 1)(S 2) 0 Biến đổi ta được (S 2)( 3S 6) 0 2 S 2 0,25 Do S 1  2;2 nên max S 2,min S 2 0,25 Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 1,50 A (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 y 2 A (1 x)2 y2 (x 1)2 y2 y 2 (1 x x 1)2 (y y)2 y 2 0,25 Vậy A 4 4y2 y 2 . 2 TH 1. y 2 A 2 1 y 2 5 0,25 2 TH 2. y 2 A 2 1 y 2 y 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 3 1 1 y 2 y 3.1 1.y 2 y 3 2 0,25 1 0,25 A 2 3 khi và chỉ khi x 0, y 3 Ta có 2 3 2 5 min A 2 3 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị (P) . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (dm ) : y x m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 1 1 2 . x1 x2 2) Cho hàm số y (m 1)x2 2mx m 2 ( m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) . Câu II (3,0 điểm) 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 1) Giải hệ phương trình 2 2 x y x 2x 12 0 2) Giải phương trình (x 3) 1 x x 4 x 2x2 6x 3. 3) Giải bất phương trình x3 (3x2 4x 4) x 1 0. Câu III (3,0 điểm)    1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 . Gọi PA P là giao điểm của AC và GN , tính tỉ số . PC 2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B,C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK . Biết rằng DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 9 S 4S , chứng minh sin 2 A sin 2 B sin 2 C . ABC HEK 4 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình x y 3 0 , đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0 . Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh A, B,C . Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất? Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz 3. x2 y2 z2 Chứng minh bất đẳng thức 1. x3 8 y3 8 z3 8 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị coi thi số 1: Giám thị coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 6 trang) Câu Nội dung Điể m DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị (P) . Tìm giá trị của tham số m để đường I.1 thẳng (dm ) : y x m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa 1,0đ 1 1 mãn 2 . x1 x2 Phương trình hoành độ giao điểm x2 4x 3 x m x2 5x 3 m 0 (1) 0,25 Đường thẳng (dm ) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 13 (1) có hai nghiệm phân biệt 0 13 4m 0 m . 0,25 4 x1 x2 5 Ta có 0,25 x1x2 3 m 1 1 x1 x2 2x1x2 5 2(3 m) 1 2 m (thỏa mãn) 0,25 x1 x2 x1x2 0 m 3 2 Câu Cho hàm số y (m 1)x2 2mx m 2,( m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch I.2 biến trên khoảng ( ;2) . 1,0 đ Với m 1 y 2x 3 . Hàm số nghịch biến trên ¡ . Do đó m 1 thỏa mãn. 0,25 m 1 0 Với m 1. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) khi và chỉ khi m 0,25 2 m 1 1 m 2 . 0,25 Vậy 1 m 2 0,25 2 2 2 2 CâuII x y x xy y 3 3 x y 2 1 Giải hệ phương trình .1 2 2 x y x 2x 12 0 2 1,0 đ x y x2 xy y2 3 3 x2 y2 2 x y x2 xy y2 3(x y) 3(x2 y2 ) 2 0,25 x3 y3 3(x y) 3x2 3y2 2 x3 3x2 3x 1 y3 3y2 3y 1 0,25 (x 1)3 (y 1)3 x 1 y 1 y x 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Thế y x 2 vào phương trình (2) ta có 0,25 x2 (x 2) x2 2x 12 0 x3 x2 2x 12 0 . 2 x 3 (x 3)(x 2x 4) 0 x 3 y 1. Hệ có nghiệm 0,25 y 1 CâuII Giải phương trình (x 3) 1 x x 4 x 2x2 6x 3(1) .2 1,0 đ Điều kiện 1 x 4 . Phương trình (1) (x 3)( 1 x 1) x( 4 x 1) 2x2 6x 0,25 x 3 x (x 3) x 2x2 6x 1 x 1 4 x 1 1 1 x(x 3) 2 0 1 x 1 4 x 1 x(x 3) 0 1 1 0,25 2 (2) 1 x 1 4 x 1 x(x 3) 0 x 0; x 3(Thỏa mãn điều kiện). 0,25 Với điều kiên 1 x 4 ta có 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 2 . Dấu " " không xảy 1 1 x 1 4 x 1 4 x 1 1 1 0,25 4 x 1 ra nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 0 và x 3. CâuII .3 Giải bất phương trình x3 (3x2 4x 4) x 1 0 (1) 1,0 đ Điều kiện x 1. 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x3 (3x2 4x 4) x 1 0 x3 3x2 x 1 4(x 1) x 1 0 3 x3 3x2 x 1 4 x 1 0 (2) Xét x 1, thay vào (2) thỏa mãn. 3 Xét x 1 x 1 0 . Chia hai vế của (2) cho x 1 ta được bất phương trình 0,25 3 2 x x 3 4 0 . x 1 x 1 x 3 2 2 Đặt t , ta có bất phương trình t 3t 4 0 (t 1)(t 2) 0 t 1 0,25 x 1 1 x 0 1 x 0 1 x 0 x t 1 1 x 1 x x 0 x 0 1 5 x 1 2 2 0 x x 1 x x x 1 0 2 1 5 1 x 2 0,25 1 5 Kết hợp x 1là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình 1; . 2    Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 . Gọi P là III.1 PA giao điểm của AC và GN , tính tỉ số . PC 1,0 đ   Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt AP k AC . A     1   GP AP AG k AC AB AC 3 G 0,25 P 1  1  N k AC AB . B 3 3 M C    1   1     7  5  GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB 3 6 6 6 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn   Ba điểm G, P, N thẳng hàng nên hai vectơ GP,GN cùng phương. Do đó 1 1 1 k k 2 1 7 4  4  0,25 3 3 3 k k AP AC 7 5 7 5 3 15 5 5 6 6 6 4 PA AP AC 4 . 5 PC 0,25 Câu Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B,C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S và S . Biết III.2 ABC HEK 9 rằng S 4S , chứng minh sin 2 A sin 2 B sin 2 C . 1,0 đ ABC HEK 4 Đặt S SABC thì từ giả thiết suy ra A 3 E S S S S K EAK KBH HCE 4 0,25 SEAK SKBH SHCE 3 C S S S 4 B H 1 AE.AK sin A S AE AK EAK 2 . cos A.cos A cos2 A 1 S AB.AC sin A AB AC 2 1 BK.BH.sin B S BK BH KBH 2 . cos B.cos B cos2 B 1 S AB.BC sin B BC AB 2 0,25 1 CH.CE.sinC S CH CE HCE 2 . cosC.cosC cos2 C 1 S AC.BC sinC AC BC 2 S S S 3 3 EAK KBH HCE cos2 A cos2 B cos2 C S S S 4 4 0,25 2 2 2 3 2 2 2 9 1 sin A 1 sin B 1 sin C sin A sin B sin C . 0,25 4 4 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A . Đường thẳng AB có phương trình x y 3 0 , đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0. Biết điểm M (1;10) III.3 thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh A, B,C . DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1,0 đ x y 3 0 x 2 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình . Vậy A(2;1) x 7y 5 0 y 1 0,25 . x y 3 x 7y 5 Phương trình các đường phân giác của góc A là 2 5 2 x 3y 5 0 (d1) 3x y 5 0 (d2 ) 0,25 Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao. Xét trường hợp d1 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A . Phương trình đường thẳng BC là 3x y 7 0 . x y 3 0 x 1 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B( 1;4) . 3x y 7 0 y 4 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 11 x 0,25 x 7y 5 0 5 11 2 C ; . 3x y 7 0 2 5 5 y 5   16 48  8  MB ( 2; 6), MC ; MC MB M nằm ngoài đoạn BC . Trường 5 5 5 hợp này không thỏa mãn. Nếu d2 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A Phương trình đường thẳng BC là x 3y 31 0 . Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình x y 3 0 x 11 B( 11;14) . x 3y 31 0 y 14 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 101 x x 7y 5 0 5 101 18 0,25 C ; . x 3y 31 0 18 5 5 y 5   96 32  8  MB ( 12;4), MC ; MC MB M thuộc đoạn BC . 5 5 5 101 18 Vậy A(2;1), B( 11;14),C ; . 5 5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một IV 1,0 máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên đ liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất? Giả sử sản xuất x(kg) sản phẩm loại I và y(kg) sản phẩm loại II. Điều kiện x 0, y 0 và 2x 4y 200 x 2y 100 Tổng số giờ máy làm việc: 3x 1,5y 0,25 Ta có 3x 1,5y 120 Số tiền lãi thu được là T 300000x 400000y (đồng). Ta cần tìm x, y thoả mãn: x 0, y 0 x 2y 100 (I) 0,25 3x 1,5y 120 sao cho T 300000x 400000y đạt giá trị lớn nhất. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d1 : x 2y 100; d2 : 3x 1,5y 120 Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100;0) , cắt trục tung tại điểm B(0;50) . Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm C(40;0) , cắt trục tung tại điểm D 0;80 . 2 y Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm E 20;40 . 0,25 Biểu diễn hình học tập nghiệm của D B E hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC . x O C A DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 0 x 0 x 20 T 0; T 20000000 ; T 22000000 ; y 0 y 50 y 40 x 40 T 12000000 0,25 y 0 Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II. Câu Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz 3 . Chứng minh bất đẳng thức V 1,0 x2 y2 z2 1. đ x3 8 y3 8 z3 8 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: (x 2) (x2 2x 4) x2 x 6 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) 2 2 x2 2x2 2 x3 8 x x 6 y2 2y2 z2 2z2 0,25 Tương tự, ta cũng có 2 ; 2 . y3 8 y y 6 z3 8 z z 6 Từ đó suy ra: x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2 2 2 2 . (1) x3 8 y3 8 z3 8 x x 6 y y 6 z z 6 2 a2 b2 a b Chứng minh bổ đề: Cho x, y 0 và a,b ¡ ta có: * x y x y Ta có 2 2 2 a y b x a b 2 2 * a2 y b2 x x y xy a b ay bx 0 xy x y 0,25 a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y Áp dụng bổ đề ta có 2 x2 y2 z2 x y z2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 6 y y 6 z z 6 x y x y 12 z z 6 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2(x y z)2 . x2 y2 z2 (x y z) 18 Đến đây, ta chỉ cần chứng minh: 2(x y z)2 1 3 x2 y2 z2 (x y z) 18 Do x2 y2 z2 (x y z) 18 2 x y z x y z 2 xy yz zx 18 0,25 x y z 2 x y z 12 0 Nên 3 2(x y z)2 x2 y2 z2 (x y z) 18 x2 y2 z2 x y z 6 (4) Mặt khác, do x, y, z là các số dương nên ta có: x2 y2 z2 xy yz zx 3 x y z 3(xy yz zx) 3 0,25 Nên bất đẳng thức (4) đúng. Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1. Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỜNG : THPT QUẾ SƠN KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 10 Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình 25 1 2 18x 9x2 4 25y 2 9 9 x y 2y 2  3 3 2 7x y 3xy(x y) 12x 6x 1 Bài 2: (4 điểm) Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hình vuông; A1, B1,C1 là trung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại một điểm. Bài 3: (3 điểm) Cho x, y, z [0; 2].Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 8x 8y 8z P (2 x)(2 y)(4 z)  8 y z 2 z x 2 x y 2 Bài 4: (3 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x5 y5 (x y)3. Bài 5: (3 điểm) Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác được tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất bao nhiêu tam giác có diện tích nguyên? Bài 6: (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : N* N* thỏa mãn các điều kiện sau: i) f (2) 2; ii) f (mn) f (m). f (n) m,n N*; ii) f (m) f (n) m n. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN 25 1 2 18x 9x2 4 25y 2 Bài 1: ( 4 điểm) Giải hệ phương trình 9 9 x y 2y 2  3 3 2 7x y 3xy(x y) 12x 6x 1 Đáp án Điểm 25 1 2 18x 9x2 4 25y (1) 2 Xét hệ 9 9 x y 2y 2  3 3 2 7x y 3xy(x y) 12x 6x 1 (2) 1.0 (1) 8x3 12x2 6x 1 x3 3x2 y 3xy2 y3 (2x 1)3 (x y)3 2x 1 x y y 1 x 2 18x Thay y 1 x vào PT (1) ta được 25x 9 9x2 4 (3) x x2 1 0.5 2 Giải (3). Điều kiện x 3 2 9 9x2 4 2 18 gVới x , PT (3) tương đương với 25 (4) 3 x x2 x2 1 2 VT(4) 25 do x 0.5 3 Ta có nên PT (4) vô nghiệm, suy ra PT (3) vô nghiệm. 9 162 VP(4) 25 2 13 2 4 2 18 gVới x , PT (3) tương đương với 25 9 9 (5) 3 x2 x2 x2 1 1 9 18t Đặt t 0 t , PT (5) trở thành 25 9 9 4t 2t 0.5 x2 4 1 t 18t 9 1 9 4t 2t 16 1 t 36(t 2) 2(t 2)(t 4) 18 t 4 (t 2) 0 (6) 0.5 1 9 4t 1 t 1 9 4t 1 t 9 18 18 t 4 3 18 18 t 4 Với 0 t có và 1 4 nên 0. 4 1 9 4t 4 1 t 1 t 4 1 9 4t 1 t 0. 5 2 Do đó (6) t 2.Suy ra x 0. 2 2 2 2 Từ đó HPT đã cho có nghiệm là (x; y) ; . 0.5 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 2: (4 điểm) Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hình vuông; A1, B1,C1 là trung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại một điểm. Đáp án Điểm Gọi các giao điểm của các đường thẳng AA , BB ,CC với các cạnh 1 1 1 B1 C1 A BC, CA, AB lần lươt là A2 , B2 , C2 . S · BA ABA AB.BA .sin ABA C2 B 2 1 1 1 2 · 1.0 CA2 SACA AC.CA .sin ACA 1 1 1 B µ sin B a C AB A2  , µ AC sin C a · · với a CBA1 BCA1 và tan = 2. µ A CB BC.sin(C a) 1 2 Tương tự µ 1.0 AB2 AB.sin(A a) µ AC AC.sin(A a) 2 µ 1.0 BC2 BC.sin(B a) BA CB AC Nhân các đẳng thức với nhau ta có: 2 . 2 . 2 1, tức là các CA2 AB2 BC2 1.0 đường thẳng AA2 , BB2 ,CC2 đồng quy tại một điểm. Vậy các đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại một điểm. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 3: ( 3 điểm) Cho x, y, z [0; 2].Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 8x 8y 8z P (2 x)(2 y)(4 z)  8 y z 2 z x 2 x y 2 Đáp án Điểm Đặt x 2a, y 2b, z 2c thì a,b,c [0; 1] a b c 0.5 Khi đó P (1 a)(1 b)(2 c)  b c 1 c a 1 a b 1 Với mọi a,b,c [0; 1] thì 1 a 0; 1 b 0; a b 1 1. Áp dụng BĐT Cauchy, ta có 0.5 (1 a) (1 b) (a b 1) 3 (1 a)(1 b)(a b 1) (1 a)(1 b)(a b 1) 1. 3 Nhân hai vế của BĐT này với 2 c 0, ta được 2 c c 2 0.5 (1 a)(1 b)(2 c) (1 a)(1 b)(2 c) (1) a b 1 a b 1 a b 1 a 2a Mặt khác từ giả thiết, ta có (2) b c 1 a b 1 0.5 Thật vậy, BĐT (2) tương đương với a(b 2c 1 a) 0 (BĐT đúng). b 2b Tương tự (3) 0.5 c a 1 a b 1 Cộng từng vế các BĐT (1), (2), (3) ta được P 2. 1 a 1 b a b 1 a b 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a(b 2c 1 a) 0 c [0;1] 0.5 b(a 2c 1 b) 0 x y 0 Vậy GTLN của P là 2, đạt được khi z [0;2] DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 4: ( 3 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x5 y5 (x y)3. Đáp án Điể m Rõ ràng các cặp số nguyên (x; y) sao cho x y 0 là nghiệm của phương trình đã cho. Ta giả sử (x; y) thỏa mãn phương trình mà x y 0 0,5 Trước tiên, từ phương trình, ta phải có xy 0. Thật vậy, chia cả 2 vế của x5 y5 (x y)3 cho x y ta được x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 (x y)2 Đẳng thức trên tương đương với (x2 y2 )2 x2 y2 (x y)2 (xy 1), từ đó suy ra 0,5 xy 0. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh x y 4. Hàm số f (t) t5 là hàm lồi trên nửa khoảng [0; + ) nên suy ra rằng với mọi 0,5 5 5 5 x y x y 5 5 1 5 số không âm x và y, ta có: x y (x y) . 2 2 16 Nếu x y 4 thì x5 y5 (x y)3. 0,5 Tương tự, nếu x, y đều không dương, đồng thời x y 4 , thì x5 y5 (x y)3. 0,5 Vậy ta chỉ cần xét các x, y mà xy 0 và x y {1;2;3;4}, ta tìm được các nghiệm là (x; y) {(0; 1); ( 1; 0); (2; 2); ( 2; 2)}. 0.5 Tóm lại, các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình là (a; a); (0; 1); ( 1; 0); (2; 2); ( 2; 2) (với a là số nguyên). Bài 5: ( 3 điểm) Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác được tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất bao nhiêu tam giác có diện tích nguyên? Đáp án Điểm gVới tam giác ABC có tọa độ đỉnh A(xA; yA), B(xB; yB ), C(xC ; yC ) thì 1 1.0 S (x x )(y y ) (x x )(y y ) (1) ABC 2 C A B A B A C A gXét 9 điểm A, B, C, D, F, G, H, I có tọa độ nguyên thì tọa độ của mỗi điểm sẽ thuộc một trong các dạng sau: (chẵn, chẵn), (lẻ, lẻ), (lẻ, chẵn), (chẵn, lẻ). 9 1.0 Do đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất 1 3điểm thuộc cùng 4 một dạng, tức là tọa độ cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là A, B, C. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn gVới hai điểm A, B có tọa độ cùng tính chẵn lẻ thì yB yA, xB xA đều là số chẵn nên diện tích tam giác có cạnh AB đều nguyên 0.5 (do(1)). Tương tự diện tích các tam giác có cạnh là AC, BC đều nguyên. gVới mỗi 2 trong 3 điểm A, B, C kết hợp với 6 điểm còn lại thì được 6 tam giác có diện tích nguyên. Vậy có ít nhất 3.6 1 19 tam giác có diện tích 0.5 nguyên. Bài 6: ( 3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¥ * ¥ * thỏa mãn các điều kiện sau: i) f (2) 2; ii) f (mn) f (m). f (n) m,n ¥ *; ii) f (m) f (n) m n. Đáp án Điể m Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn các yêu cầu của bài toán. Ta có f (1) f (1.1) f (1). f (1) f (1) 1. 0.5 Ta thấy rằng 2 f (2) f (3) f (4) f (2). f (2) 4 f (3) 3 và 4 f (4) f (5) f (6) f (2). f (3) 6 f (5) 5. 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp f (n) n, n ¥ * (*) Thật vậy, Với n 1, ta có f (1) 1 (đúng). 0.5 Với n 2, ta có f (2) 2 (đúng) Giả sử (*) đúng vớin k N*, tức là ta có f (k) k. Ta cần chứng minh (*) đúng n k 1, tức là cần chứng minh f (k 1) k 1. Nếu k là số lẻ thì k 1là số chẵn và k 1 k 1 k 1 0.5 f (k 1) f 2. f (2). f 2 k 1. 2 2 2 k 2 Nếu k chẵn thì k 2 chẵn và do k nên theo giả thiết quy nạp ta có 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 f Vậy f (k 2) f 2. f (2). f 2 k 2. 2 2 2 2 2 0.5 Ta có: k f (k) f (k 1) f (k 2) k 2 f (k 1) k 1. Theo nguyên lý quy nạp, ta có: f (n) n, n ¥ * Thử lại, ta thấy f (n) n thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM ĐỀ SỐ 14 Trường THPT Khâm Đức MÔN: TOÁN 10 —————— Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình x2 12 5 3x x2 5 . 3 2 2 3 x 9xy 6x y 4y 0 b) Giải hệ phương trình x y x y 2. Câu 2 (3,0 điểm). x2 5x 2017 a) Tìm tập xác định của hàm số : y . x3 9x2 11x 21 2 b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x2 2 m 1 x m3 m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 3 3 của biểu thức sau: P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 . Câu 3 (3,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x . y. z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 x3 y3 1 z3 y3 1 z3 x3 P . xy yz xz Câu 4 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên. Câu 5 (4,0 điểm).  1   1  a) Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn AN AB; BM BC. Gọi I 3 3 là giao điểm của AM và CN . Chứng minh BI  IC. b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 6 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d1: 3x y 0 và d2: 3x y 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d 1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 và điểm A có hoành độ dương. 2 Hết DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN 10 QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) Giải phương trình x2 12 5 3x x2 5 (1) 2,0 5,0 ĐK: x 5/3 (*). 0,25 Khi đó: (1) x2 12 4 3x 6 x2 5 3 0,25 x2 4 x2 4 3 x 2 2 2 x 12 4 x 5 3 0,5 x 2 x 2 x 2 3 0 x2 12 4 x2 5 3 0,25 x 2(thỏa (*)) 1 1 x 2 x 2 Vì 0 2 2 2 2 x 12 4 x 5 3 x 12 4 x 5 3 0,5 Vậy (1) có nghiệm: x = 2 . 0,25 3 2 2 3 x 9xy 6x y 4y 0 (1) b) Giải hệ phương trình 3,0 x y x y 2. (2) x y 0 Điều kiện: (*) x y 0 0,5 3 2 x x x Nhận thấy y = 0 không thỏa (1) nên (1) 6 9 4 0 0,5 y y y x 1 y x y 0,5 x x 4y 4 y • Với x = y thay vào (2) ta được : 2x 2 x y 2 0,5 • Với x = 4y thay vào (2) ta được: 2 2 5y 3y 2 y 5 3 y 5 3 5 3 0,5 So với (*) ta được nghiệm x; y của hệ là : 2;2 ; (32 8 15;8 2 15) 0,5 Câu Nội dung Điểm DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2 x2 5x 2017 1,0 3,0 a) Tìm tập xác định của hàm số : y x3 9x2 11x 21 x2 5x 2017 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : 0 x3 9x2 11x 21 0,25 x3 9x2 11x 21 0 ( Vì x2 -5x + 2017 > 0 với mọi x) 0,25 1 x 3 x 7 0,25 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = 1;3  7; 0,25 b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): 2 3 2 x 2 m 1 x m m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2,0 x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 3 P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 . Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 4 2 m 2 ' 0 m m 4 0 2 m 0 2 m 0 x1 x2 4 2 m 1 4 2 m 3 0,5 m 3 3 2 Theo định lí Viet ta có x1 x2 2 m 1 , x1x2 m m 1 suy ra 3 3 3 2 2 P x1 x2 8x1x2 8 m 1 8m 8 m 1 16m 40m Bảng biến thiên 0,5 m -2 0 2 3 0 16 P -144 -24 0,5 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m 2 , Pmin 144 khi m 2 . 0,5 Câu 3 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x . y. z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3,0 thức sau: 1 x3 y3 1 z3 y3 1 z3 x3 P . xy yz xz DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x3 y3 3 Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: 1 x3 y3 3xy . 0,75 xy xy 1 y3 z3 3 1 z3 x3 3 Tương tự , ta có : ; yz yz zx xz 0,25 Cộng vế theo vế , ta được: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 1 1 3( ) (1) 0,5 yx yz zx xy yz xz 1 1 1 3 Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: 3 (2) . xy yz zx 3 xyz 0,5 Từ (1) , (2) suy ra P 3 3 0,5 Vậy Pmin = 3 3 , đạt được khi x = y = z = 1 0,5 Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa Điểm 2,0 độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên. Coi đỉnh Ai (xi ; yi), i = 1,2,3,4,5. Khi đó (xi ; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau: (2k ; 2k’) ; (2k ; 2k’ + 1) ; (2k + 1 ; 2k’ + 1) ; (2k + 1 ; 2k’ ) với k,k ' ¢ . 0,75 Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất hai đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên. 0,5 Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh đó sẽ có tọa độ nguyên. 0,25 Do ngũ giác là lồi nên trung điểm đó nằm ở miền trong hoặc tren cạnh của ngũ giác đó. 0,5 Câu Nội dung Điểm Câu 5 a) Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn 2,0 40  1   1  AN AB; BM BC. Gọi I là giao điểm của AM và CN . Chứng minh BI  3 3 IC. DeThi.edu.vn
Bộ 22 Đề thi Toán nâng cao Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn   A Giả sử AI kAM , ta có: 0,25         N CI AI AC kAM AC k. AB BM AC I 2k  k  AB 1 AC 3 3 0,25    1   M C B và CN AN AC AB AC . 3 0,25   3 Vì CI , CN cùng phương nên k 7 0,25   3     3   2  1  Ta có AI AM AB BM AB AC 7 7 7 7    5  1  Suy ra: BI AI AB AB AC 7 7    2  6  0,25 IC AC AI AB AC . 7 7       5 1 2 6 0,25 BI.IC AB AC AB AC 7 7 7 7 1  2  2   10AB 6AC 32AB.AC 0 49 Vì tam giác ABC đều nên AB = AC và 0,25   1 AB.AC AB.AC.cosA AB2 2 Vậy : BI  IC 0,25 b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB 2,0 (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn. DeThi.edu.vn