›
›
›

Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án)

docx 176 trang Đình Phong 11/10/2023 3478
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_29_de_thi_vao_lop_10_mon_toan_ha_noi_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án)

  1. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  2. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: TOÁN (chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phú ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu x tỉ. 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc B· AC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. 1) Chứng minh năm điểm A,N,O,M và F cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O) . Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Bài V (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
  3. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3,,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . DeThi.edu.vn
  4. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 1 0 x 1. Cách 1: Đặt t x 1,t 0. Ta có: 2 t2 1 t2 1 2 2t 0 t4 t2 2t 2 0 t2 t2 1 2(t 1) 0 t2 (t 1)(t 1) 2(t 1) 0 (t 1) t2 (t 1) 2 0 (t 1) t3 t2 2 0 (t 1) t3 t2 2t2 2 0 (t 1) t2 (t 1) 2(t 1)(t 1) 0 (t 1)(t 1) t2 2t 2 0 (t 1)2 t2 2t 2 0 t 1(TM) 2 t 1 (t 1) 1 0 L Với t 1, suy ra x 1 1 x 1 1 x 0 (TM). Vây phương trình có nghiệm x 0. Cách 2: Ta có: x2 x 2 2 x 1 0 x2 x 1 2 x 1 1 0 x2 ( x 1 1)2 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0(TM) x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 0 Vây phương trình có nghiệm x 0. DeThi.edu.vn
  5. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Ta có: a b b c c a a b b c c a VT 1 c2 1 a2 1 b2 ab bc ca c2 ab bc ca a2 ab bc ca b2 a b b c c a (a b)(a b) (b c)(b c) (c a)(c a) (a c)(b c) (a b)(c a) (a b)(b c) (a b)(a c)(b c) (đpcm). Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Lời giải 1) x2 5xy 6y2 x 2y 2 0 (x 2y)(x 3y) (x 2y) 2 (x 2y)(x 3y 1) 2 (1) Do x; y ¢ suy ra x 2y; x 3y 1 ¢ Vậy từ (1) ta suy ra các trường hợp sau x 2y 2 x 6 TH1: . x 3y 1 1 y 2 x 2y 1 x 1 TH2: x 3y 1 2 y 0 x 2y 2 x 2 TH3: x 3y 1 1 y 0 x 2y 1 x 3 TH4: x 3y 1 2 y 2 Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (6; 2);(1;0);( 2;0);(3; 2) . 2) Ta có P n2 n 16 suy ra 4P 4n2 4n 64 (2n 1)2 63 . TH1: 2n 1 7 suy ra (2n 1)2 49 mà 63 49 suy ra 4P  49 suy ra P  49 . TH2: 2n 1 7 suy ra (2n 1)2  7 mà 637 suy ra 4P  49 suy ra P  49 . Vậy P  49 với mọi n (đpcm) Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu x tỉ. DeThi.edu.vn
  6. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Lời giải 1) Cách 1: 2 2 4 2 4 2 2 Ta có x ¤ suy ra x 2 4 x ¤ x 2 ¤ . x x x x 8 8 2 4 Cùng có 3 suy ra suy ra 3 2 x ¤ 3 ¤ x 3 x x 2 2 ¤ x x x x 4 4 2 Do x2 ¤ x2 2 ¤ nên suy ra x ¤ . x2 x2 x 2 2 Vậy 2x x x ¤ suy ra x ¤ (điều phải chứng minh) x x Cách 2: 2 Ta có: x là số hữu tỉ x x4 2x2 ¤ x3 Mà: x3 ¤ x4 2x2 ¤ (1) 2 x2 1 ¤ (2) 2 x 2 2 Ta lại có: ¤ ; x2 x2 2 ¤ x x2 2 ¤ x 2 x 2 2 3 x x2 2 ¤ x2 2 ¤ (3) x 3 2 Từ (2) và (3) x2 2 3 x2 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 ¤ 2 x2 1 x2 1 3 ¤ x2 1 ¤ x2 2 ¤ x2 2 x Mà: 2  ¤ x 2 2 x ¤ x x 2 2 b c 2 2) 2a 2ab abc 2a ab(c 2) 2a a 2 DeThi.edu.vn
  7. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 7 a 2a 2ab abc 2a a 2 Ta sẽ chứng minh: a2 14a 49 2a a  18 4 a 3 14a 2 57a 72 0 (a 3)2 (a 8) 0 luôn đúng với mọi 0 a 5 Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC , AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. Lời giải 1) Chứng minh năm điểm A, N ,O, M và F cùng thuộc một đường tròn. B· OC B· AC (góc nội tiếp và góc ờ tâm) Mà B· AC 60 B· OC 120 Tứ giác AMON nội tiếp (1) N· AO N· MO (cùng chắn O· N ) M· AO M· NO (cùng chắn O· M ) Mà N· AO N· BO (do OA OB OAB cân) M· AO M· CO (do OA OC OAC cân) Nên N· BM N· MB MBN cân tại N NM NB M· NC M· CN MCN cân tại M MN MC DeThi.edu.vn
  8. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn NB MC Xét FNB và FMC có: NB MC (chưng minh trên) N· BF M· CF (cùng chắn A¶F) FB FC ( F là điểm chính giữa B¶C ) FNB FMC(c.g.c) FN FM · · NFB MFC Mà M· FC M· FB B· FC B· AC 60 N· FB M· FB 60 · o NFM 60 · o NAM 60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, N ,O, M , F cùng thuộc một đường tròn 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O) . Gọi . J . là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . ¶ ¶ ¶ Ta có CQ AF BP , do đó QJMC và BJNP là các tứ giác nội tiếp F là điểm chính giữa cung BC nên B· FC B· AC 60 suy ra BFC đều Suy ra M· QC M· QC F· AC 60 · Lại có MOC 60 suy ra MCQO là tứ giác nội tiếp Suy ra 5 điểm M ,C ,Q, J,O cùng thuộc một đường tròn Chứng minh tương tự B, N ,O, J, P cũng thuộc một đường tròn Suy ra C· JM C· OM 60 B· AC B· AC Suy ra AMJB là tứ giác nội tiếp M· AJ M· BJ 30 2 Suy ra AJ là tia phân giác của góc B· AC 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Theo trên ta có PBQC là hình thang cân, OJ là đường trung trưc của CP B· AC Mặt khác J·AP C· AP C· AP 30 ·JOP O· CF ·JOP O· PK ·JKP 2 Suy ra tứ giác AKJP nội tiếp Suy ra K· AJ J·PK K· CJ 60 B· AK B· AJ K· AJ 30 60 90 DeThi.edu.vn
  9. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hay AK  AB Bài V (1,0 điểm) Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . Lời giải 1) Gọi các phần tử của tập A là A a1 ,a2 ,a3 ,a100  . Không mắt tính tổng quát già sử a1 a2 a3  a100 Giả sử tập A không có hai số tự nhiên nào liên tiếp thì ta có a2 a1 2;a3 a2 2.;a100 a99 2 Suy ra a100 a100 a90  a3 a2 a2 a1 a1 99.2 a1 178 vậy a100 không thuộc tập hợp {1,2,3,178} (trái với giả thiết) suy ra điều giả sử là sai từ đó ta có điều phải chứng minh. 2) Với n {2,3,4 ,22} giả sử không tồn tại hai phần tử nào của A có hiệu bẳng n (*). Ta có ai aj kn (k ¥ )i, j {1,2,3,100} Với các phần tử a1 ,a2 ,a3 ,a12 Ta có khi đó tập không thể có các phần tử có dạng * a1 79 A a1 k,n k ¥ 178 a 99 Xét bất phương trình a k.n 178 k 1 4 1 n 22 Vậy ít nhất có 4 số thuộc tập {1, 2, 3 178} không thuốe A . Tưong tự như vậy với a2 ,a3 a12 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 4 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trương hợp là khác nhau). Với các phần tử a13 ,a14 ,a15 a34 Ta có khi đó tập không thể có các phằn tử có dạng * a13 91 A a13 k.n k ¥ 178 a 87 Xét bất phương trình a kn 178 k 13 3 13 n 22 Vậy ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A . Tương tự như vậy với a14 ,a15 a34 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trường họp là khác nhau). Suy ra tập A không nhiều hơn 178 114 64 phẩn tử ( trái với giả thiết) vậy điều giả sử (*) là sai tử đó ta có điều phải chứng minh. HẾT ĐỀ SỐ 2 DeThi.edu.vn
  10. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THCS MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 120 phút) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (2,0điểm) Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng. Câu 1: Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(5; 2). Khi đó a bằng 25 1 2 A. B. C. 25 D. 2 25 25 Câu 2: Phương trình (m + 2)x2 – 2mx + 1 = 0 là phương trình bậc hai khi: A. m ≠ 1. B. m ≠ -2. C. m ≠ 0. D. mọi giá trị của m. Câu 3: Cho phương trình x2 – 6x – 8 = 0. Khi đó: A. x1 + x2 = - 6; x1.x2 = 8. B. x1 + x2 = - 6; x1.x2 = - 8. C. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 8. D. x1 + x2 = 6; x1.x2 = - 8. 2x y 3 Câu 4: Hệ phương trình x 2 y 4 có nghiệm là: 10 11 2 5 A. ; B. ; C. (2;1) D.(1;-1) 3 3 3 3 Câu 5: Tổng hai nghiệm của phương trình: 2x2 k 1 x 3 k 0 là: k 1 k 1 k 3 k 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 6: Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R. Trên »AB lớn lấy điểm M. Số đo ·AMB là: A. 600 B. 900 C. 300 D. 1500 Câu 7: Câu nào sau đây chỉ số đo 4 góc của một tứ giác nội tiếp ? A. 600 ;1050 ;1200 ;850 B. 750 ;850 ;1050 ;950 C. 800 ;900 ;1100 ;900 D. 680 ;920 ;1120 ;980 Câu 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm nằm trên đường tròn (M khác A và B). Số đo ·AMB bằng: A. 900 B. 3600 C. 1800 D. 450 B. PHẦN TỰ LUẬN: (8,0điểm) Câu I (1,5Đ) Với x >0 ; x ≠ 1, cho hai biểu thức sau : x 1 2 x A = và B = ( ) : x 1 x 1 x 1 3 DeThi.edu.vn
  11. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1)Rút gọn biểu thức B . 2)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B nhận giá trị là số nguyên . Câu II (2,0Đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai ôtô vận tải khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120km. Mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km nên xe thứ nhất đã đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu III (1,5Đ) 2 3 5 x y x y 1) Giải hệ phương trình: 1 2 1 x y x y 2) Cho phương trình (ẩn x): mx2 2. m 1 x 2 0 Tìm m để phương trình có nghiệm kép . Câu IV (3,0Đ) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và C là điểm thuộc đường tròn (O) (C không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm C và vuông góc với CI cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại E, F. 1) Chứng minh AECI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh CFI = CBI và EIF = 900 . 3) Gọi D là điểm chính giữa của cung AB không chứa C của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác EIF theo R khi ba điểm C, I, D thẳng hàng. Câu V (0,5Đ) Cho biết a 2 1 a b2 1 b 1. Hãy tính tổng a + b. Hết TRƯỜNG THCS ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM DeThi.edu.vn
  12. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn I.PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN:(2,0 điểm) (Mỗi câu đúng được 0,25 điểm) 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A II.PHẦN TỰ LUẬN: (8,0 điểm) Câu Đáp án Điểm 3 1/ B = 1,0 x.( x 1) 1 2/ A.B= 3 0,5 x 1 A.B nhận giá trị nguyên nếu (x-1) là ước của 3 x=2 hoặc x=4 Gọi vận tốc của xe thứ nhất là : x km/h (với x > 10). Vận tốc của xe 0,25 thứ hai là (x – 10) km/h. 120 0,25 Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là giờ, xe thứ hai đi từ A x 120 0,5 đến B mất giờ, Vì xe thứ hai đi lâu hơn 1giờ so với xe thứ x -10 120 120 nhất nên ta có phương trình : + 1 = 0,25 x x -10 2 120 (x – 10) + x (x – 10) = 120x x2 – 10x – 1200 = 0 ’ = 25 + 1200 = 1225 = 352 ; ' 35 Phương trình có hai nghiệm là : x1 = 40 (TM) 0,5 x2 = - 30 ( Loại) Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h). Vận tốc của xe thứ hai 0,25 là 30(km/h). 1) x=1 ;y=0 1,0 2) Để phương trình có nghiệm kép thì a 0 m 0 m 0 2 2 0,25 ' 0 (m 1) 2m 0 m 4m 1 0( ) 2 Có m = (-4) - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 DeThi.edu.vn
  13. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 12 4 2 3 m1 = 2 3 (TM) 2.1 2 4 12 4 2 3 0,25 m2 = 2 3 (TM) 3 2.1 2 Vậy với m1 = 2 + 3 ; m2 2 3 thì pt có nghiệm kép . F G C E A 4 I O B D 1) Xét từ giác EAIC có 2 góc vuông là góc A, và góc C (đối nhau) nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính EI. 1,0 2) Tương tự ta có tứ giác CFBI nội tiếp đường tròn đường kính IF. Vậy góc CFI = góc CBI (vì cùng chắn cung CI) Tương tự góc CEI = góc CAI (vì cùng chắn cung CI) Mà góc CAI + góc CBI = 900 ( CAD vuông tại C) góc EIF = 1800 – (góc CEI + góc CFI) 1,0 = 1800 – 900 = 900 3) Gọi G là điểm đối xứng của D qua AB. Ta có AE + BF = 2OG (2) (Vì tứ giác AEFB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AE và FN) Ta có : AI = R , BI = 3R 2 2 3R2 Từ (1) và (2) AE + BF = 2R và AE.BF = 4 3R2 Vậy AE, BF là nghiệm của phương trình X2 – 2RX + = 4 0 0,5 DeThi.edu.vn
  14. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AE = R hay BF = 3R . Vậy ta có 2 tam giác vuông cân là 2 2 R 2 R EAI cân tại A và FBI cân tại B EI = và FI = 2 2 3R 2 3R 2 2 1 R 3R 3R 2 S(EIF) = . . 2 2 2 4 Nhân hai vế lần lượt với các biểu thức liên hợp của các nhân tử ở 0,5 vế phải ta được 5 b 2 1 b a 2 1 a a 2 1 a b 2 1 b Cộng từng vế ta có a + b = 0 ( Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa) DeThi.edu.vn
  15. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x 4 3 x 1 2 Cho hai biểu thức A = và B = với x ≥ 0, x ≠ 1 x 1 x 2 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B = x 1 A x 3) Tìm tất cả giá trị của x để 5. B 4 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Bài III (2,0 điểm) 4x y 2 3 Giải hệ phương trình . x 2 y 2 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P): y = x2. a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo C· SD . 3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. DeThi.edu.vn
  16. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 x 1 x 2 x . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2: DeThi.edu.vn
  17. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Đáp án tham khảo chi tiết 1. 1) x 4 9 4 7 Ta có A x 1 9 1 2 2) 3 x 1 2 3 x 1 2 Ta có B x 2 x 3 x 3 ( x 3)( x 1) x 3 3 x 1 2 x 1 x 3 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 A x 3) Ta có 5 B 4 x 4 1 x x 4 x : 5 . x 1 5 x 1 x 1 4 x 1 4 x x x 4 5 x 1 0 4 4 x 4 x 4 0 ( x 2)2 0 Mặt khác ( x 2)2 0 với mọi x 0 Do đó ( x 2)2 0 x 2 0 x 2 x 4 A x Vậy với x 4 thì 5 B 4 2. Nửa chu vi là: 28 : 2 = 14 (m) Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét). Điều kiện: 0 Chiều rộng mảnh đất là 14 – x (mét). Ta có chiều dài lớn hơn chiều rộng nên x > 14 – x => x > 7. Vì độ dài đường chéo là 10 mét nên ta có phương trình x2 + (14 – x)2 = 102 2x2 – 28x + 196 = 100 DeThi.edu.vn
  18. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 – 14x + 48 = 0 x 8 7 (TM ) x 6 7(L) Vậy chiều dài mảnh đất là 8 mét, chiều rộng là 14 – 8 = 6 (mét). 3. 1) 4x y 2 3 8x 2 y 2 6 Ta có: x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 9x 9 x 1 x 2 y 2 3 2 y 2 3 1 2 x 1 x 1 x 1 y 2 1 y 1 y 2 1 x 1 x 1 y 2 1 y 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; -1) và (1; -3) 2) Loading 4. 1) 1) Ta có OH  HS (Tính chất trung điểm dây cung) DeThi.edu.vn
  19. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn => H nằm trên đường tròn đường kính SO. Ta có C, D là tiếp điểm nên OC  SC; OD  SD => C, D nằm trên đường tròn đường kính SO. 2) Ta có OD = R; SO = 2R Do đó, SD = SO2 OD2 4R2 R2 R 3 Và ta có OSD = 300 (Cạnh đối diện bằng nửa cạnh huyền) Tương tự, ta có SC = SD = R 3 ; OSC = 300. Do đó, tam giác SCD cân và có CSD = 600 Tam giác SCD đều 3) Ta có AK // SC nên AKD = SCD = ½ cung SD của đường tròn đường kính SO. Ta có SHD = ½ cung SD của đường tròn đường kính SO. => AKD = AHD => Tứ giác ADHK nội tiếp. 4) Loading 5. Điều kiện: 0 x 1 Ta có: P 1 x x 1 2 x ( 1 x x) ( 1 x x) Đặt A 1 x x Ta có: A2 1 2 x. 1 x 1 x 0 Dấu “=” xảy ra khi x. 1 x 0 x 1 Đặt B 1 x x 1 0 1 Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Do đó P A B 1 1 2 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 DeThi.edu.vn
  20. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Giá trị nhỏ nhất là P = 2 khi x = 0 DeThi.edu.vn
  21. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: TOÁN (chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phú ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là x số hữu tỉ. 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Bài IV (3,0 điểm) DeThi.edu.vn
  22. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), với gốc B· AC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. 1) Chứng minh năm điểm A,N,O,M và F cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O). Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Bài V (1,0 điểm) Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3,,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . DeThi.edu.vn
  23. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 1 0 x 1. Cách 1: Đặt t x 1,t 0. Ta có: 2 t2 1 t2 1 2 2t 0 t4 t2 2t 2 0 t2 t2 1 2(t 1) 0 t2 (t 1)(t 1) 2(t 1) 0 (t 1) t2 (t 1) 2 0 (t 1) t3 t2 2 0 (t 1) t3 t2 2t2 2 0 (t 1) t2 (t 1) 2(t 1)(t 1) 0 (t 1)(t 1) t2 2t 2 0 (t 1)2 t2 2t 2 0 DeThi.edu.vn
  24. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn t 1(TM) 2 t 1 (t 1) 1 0 L Với t 1, suy ra x 1 1 x 1 1 x 0 (TM). Vây phương trình có nghiệm x 0 . Cách 2: Ta có: x2 x 2 2 x 1 0 x2 x 1 2 x 1 1 0 x2 ( x 1 1)2 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0(TM) x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 0 Vây phương trình có nghiệm x 0 . 2) Ta có: a b b c c a a b b c c a VT 1 c2 1 a2 1 b2 ab bc ca c2 ab bc ca a2 ab bc ca b2 a b b c c a (a b)(a b) (b c)(b c) (c a)(c a) (a c)(b c) (a b)(c a) (a b)(b c) (a b)(a c)(b c) (đpcm). Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Lời giải 1) x2 5xy 6y2 x 2y 2 0 (x 2y)(x 3y) (x 2y) 2 (x 2y)(x 3y 1) 2 (1) Do x; y ¢ suy ra x 2y; x 3y 1 ¢ Vậy từ (1) ta suy ra các trường hợp sau DeThi.edu.vn
  25. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 2y 2 x 6 TH1: . x 3y 1 1 y 2 x 2y 1 x 1 TH2: x 3y 1 2 y 0 x 2y 2 x 2 TH3: x 3y 1 1 y 0 x 2y 1 x 3 TH4: x 3y 1 2 y 2 Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (6; 2);(1;0);( 2;0);(3; 2) . 2) Ta có P n2 n 16 suy ra 4P 4n2 4n 64 (2n 1)2 63 . TH1: 2n 17 suy ra (2n 1)2 49 mà 63 49 suy ra 4P  49 suy ra P  49 . TH2: 2n 17 suy ra (2n 1)2  7 mà 637 suy ra 4P  49 suy ra P  49 . Vậy P  49 với mọi n (đpcm) Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là x số hữu tỉ. 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Lời giải 1) Cách 1: 2 2 4 2 4 2 2 Ta có x ¤ suy ra x 2 4 x ¤ x 2 ¤ . x x x x DeThi.edu.vn
  26. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 8 8 2 4 3 2 Cùng có x ¤ suy ra 3 ¤ suy ra x 3 x x 2 2 ¤ x x x x 4 4 2 Do x2 ¤ x2 2 ¤ nên suy ra x ¤ . x2 x2 x 2 2 Vậy 2x x x ¤ suy ra x ¤ (điều phải chứng minh) x x Cách 2: 2 Ta có: x là số hữu tỉ x x4 2x2 ¤ x3 Mà: x3 ¤ x4 2x2 ¤ (1) 2 x2 1 ¤ (2) 2 x 2 2 Ta lại có: ¤ ; x2 x2 2 ¤ x x2 2 ¤ x 2 x 2 2 3 x x2 2 ¤ x2 2 ¤ (3) x 3 2 Từ (2) và (3) x2 2 3 x2 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 ¤ 2 x2 1 x2 1 3 ¤ x2 1 ¤ x2 2 ¤ x2 2 x 2  Mà: ¤ x 2 2 x ¤ x x 2 DeThi.edu.vn
  27. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 b c 2 2) 2a 2ab abc 2a ab(c 2) 2a a 2 2 7 a 2a 2ab abc 2a a 2 Ta sẽ chứng minh: a2 14a 49 2a a  18 4 a3 14a2 57a 72 0 (a 3)2 (a 8) 0 luôn đúng với mọi 0 a 5 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), với gốc B· AC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. Lời giải 1) Chứng minh năm điểm A,N,O,M và F cùng thuộc một đường tròn. B· OC B· AC (góc nội tiếp và góc ờ tâm) Mà B· AC 60 B· OC 120 DeThi.edu.vn
  28. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tứ giác AMON nội tiếp (1) N· AO N· MO (cùng chắn O· N ) M· AO M· NO (cùng chắn O· M ) Mà N· AO N· BO (do OA OB OAB cân) M· AO M· CO (do OA OC OAC cân) Nên N· BM N· MB MBN cân tại N NM NB M· NC M· CN MCN cân tại M MN MC NB MC Xét FNB và FMC có: NB MC (chưng minh trên) N· BF M· CF (cùng chắn A¶F) FB FC ( F là điểm chính giữa B¶C ) FNB FMC(c.g.c) FN FM · · NFB MFC Mà M· FC M· FB B· FC B· AC 60 N· FB M· FB 60 · o NFM 60 · o NAM 60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A,N,O,M , F cùng thuộc một đường tròn 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O). Gọi . J . là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . DeThi.edu.vn
  29. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có C¶Q A¶F B¶P , do đó QJMC và BJNP là các tứ giác nội tiếp F là điểm chính giữa cung BC nên B· FC B· AC 60 suy ra BFC đều Suy ra M· QC M· QC F· AC 60 Lại có M· OC 60 suy ra MCQO là tứ giác nội tiếp Suy ra 5 điểm M,C,Q, J,O cùng thuộc một đường tròn Chứng minh tương tự B,N,O, J,P cũng thuộc một đường tròn Suy ra C· JM C· OM 60 B· AC B· AC Suy ra AMJB là tứ giác nội tiếp M· AJ M· BJ 30 2 Suy ra AJ là tia phân giác của góc B· AC 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Theo trên ta có PBQC là hình thang cân, OJ là đường trung trưc của CP B· AC Mặt khác J·AP C· AP C· AP 30 ·JOP O· CF ·JOP O· PK ·JKP 2 Suy ra tứ giác AKJP nội tiếp Suy ra K· AJ J·PK K· CJ 60 B· AK B· AJ K· AJ 30 60 90 Hay AK  AB Bài V (1,0 điểm) Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3,,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . Lời giải DeThi.edu.vn
  30. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Gọi các phần tử của tập A là A a1 ,a2 ,a3 ,a100  . Không mắt tính tổng quát già sử a1 a2 a3  a100 Giả sử tập A không có hai số tự nhiên nào liên tiếp thì ta có a2 a1 2;a3 a2 2.;a100 a99 2 Suy ra a100 a100 a90  a3 a2 a2 a1 a1 99.2 a1 178 vậy a100 không thuộc tập hợp {1,2,3,178} (trái với giả thiết) suy ra điều giả sử là sai từ đó ta có điều phải chứng minh. 2) Với n {2,3,4,22} giả sử không tồn tại hai phần tử nào của A có hiệu bẳng n (*). Ta có ai aj kn (k ¥ )i, j {1,2,3,100} Với các phần tử a1 ,a2 ,a3 ,a12 * Ta có a1 79 khi đó tập A không thể có các phần tử có dạng a1 k,n k ¥ 178 a 99 Xét bất phương trình a k.n 178 k 1 4 1 n 22 Vậy ít nhất có 4 số thuộc tập {1,2,3 178} không thuốe A . Tưong tự như vậy với a2 ,a3 a12 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 4 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trương hợp là khác nhau). Với các phần tử a13 ,a14 ,a15 a34 * Ta có a13 91 khi đó tập A không thể có các phằn tử có dạng a13 k.n k ¥ 178 a 87 Xét bất phương trình a kn 178 k 13 3 13 n 22 Vậy ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A . DeThi.edu.vn
  31. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tương tự như vậy với a14 ,a15 a34 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trường họp là khác nhau). Suy ra tập A không nhiều hơn 178 114 64 phẩn tử ( trái với giả thiết) vậy điều giả sử (*) là sai tử đó ta có điều phải chứng minh. HẾT DeThi.edu.vn
  32. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: TOÁN (chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phú ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu x tỉ. 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC , AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. 1) Chứng minh năm điểm A, N ,O, M và F cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O) . Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Bài V (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
  33. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . DeThi.edu.vn
  34. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 1 0 x 1. Cách 1: Đặt t x 1,t 0. Ta có: 2 t2 1 t2 1 2 2t 0 t 4 t 2 2t 2 0 t2 t2 1 2(t 1) 0 t2 (t 1)(t 1) 2(t 1) 0 (t 1) t2 (t 1) 2 0 (t 1) t3 t2 2 0 (t 1) t3 t2 2t2 2 0 (t 1) t2 (t 1) 2(t 1)(t 1) 0 (t 1)(t 1) t2 2t 2 0 (t 1)2 t2 2t 2 0 t 1(TM) 2 t 1 (t 1) 1 0 L Với t 1, suy ra x 1 1 x 1 1 x 0 (TM). Vây phương trình có nghiệm x 0. Cách 2: Ta có: x2 x 2 2 x 1 0 x2 x 1 2 x 1 1 0 x2 ( x 1 1)2 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0(TM) x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 0 Vây phương trình có nghiệm x 0. DeThi.edu.vn
  35. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Ta có: a b b c c a a b b c c a VT 1 c2 1 a2 1 b2 ab bc ca c2 ab bc ca a2 ab bc ca b2 a b b c c a (a b)(a b) (b c)(b c) (c a)(c a) (a c)(b c) (a b)(c a) (a b)(b c) (a b)(a c)(b c) (đpcm). Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Lời giải 1) x2 5xy 6y2 x 2y 2 0 (x 2y)(x 3y) (x 2y) 2 (x 2y)(x 3y 1) 2 (1) Do x; y ¢ suy ra x 2y; x 3y 1 ¢ Vậy từ (1) ta suy ra các trường hợp sau x 2y 2 x 6 TH1: . x 3y 1 1 y 2 x 2y 1 x 1 TH2: x 3y 1 2 y 0 x 2y 2 x 2 TH3: x 3y 1 1 y 0 x 2y 1 x 3 TH4: x 3y 1 2 y 2 Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (6; 2);(1; 0);( 2; 0);(3; 2) . 2) Ta có P n2 n 16 suy ra 4P 4n2 4n 64 (2n 1)2 63 . TH1: 2n 1 7 suy ra (2n 1)2 49 mà 63  49 suy ra 4P  49 suy ra P  49 . TH2: 2n 1 7 suy ra (2n 1)2  7 mà 637 suy ra 4P  49 suy ra P  49 . Vậy P  49 với mọi n (đpcm) Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu x tỉ. 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 DeThi.edu.vn
  36. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lời giải 1) Cách 1: 2 2 4 2 4 2 2 Ta có x ¤ suy ra x 2 4 x ¤ x 2 ¤ . x x x x 8 8 2 4 Cùng có 3 suy ra suy ra 3 2 x ¤ 3 ¤ x 3 x x 2 2 ¤ x x x x 4 4 2 Do x2 ¤ x2 2 ¤ nên suy ra x ¤ . x2 x2 x 2 2 Vậy 2x x x ¤ suy ra x ¤ (điều phải chứng minh) x x Cách 2: 2 Ta có: x là số hữu tỉ x x4 2x2 ¤ x3 Mà: x3 ¤ x4 2x2 ¤ (1) 2 x2 1 ¤ (2) 2 x 2 2 Ta lại có: ¤ ; x2 x2 2 ¤ x x2 2 ¤ x 2 x 2 2 3 x x2 2 ¤ x2 2 ¤ (3) x 3 2 Từ (2) và (3) x2 2 3 x2 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 ¤ 2 x2 1 x2 1 3 ¤ x2 1 ¤ x2 2 ¤ x2 2 x Mà: 2  ¤ x 2 2 x ¤ x x 2 2 b c 2 2) 2a 2ab abc 2a ab(c 2) 2a a 2 DeThi.edu.vn
  37. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 7 a 2a 2ab abc 2a a 2 Ta sẽ chứng minh: a2 14a 49 2a a  18 4 a 3 14a 2 57a 72 0 (a 3)2 (a 8) 0 luôn đúng với mọi 0 a 5 Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC , AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. Lời giải 1) Chứng minh năm điểm A, N ,O, M và F cùng thuộc một đường tròn. B· OC B· AC (góc nội tiếp và góc ờ tâm) Mà B· AC 60 B· OC 120 Tứ giác AMON nội tiếp (1) N· AO N· MO (cùng chắn O· N ) M· AO M· NO (cùng chắn O· M ) Mà N· AO N· BO (do OA OB OAB cân) M· AO M· CO (do OA OC OAC cân) Nên N· BM N· MB MBN cân tại N NM NB M· NC M· CN MCN cân tại M MN MC DeThi.edu.vn
  38. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn NB MC Xét FNB và FMC có: NB MC (chưng minh trên) N· BF M· CF (cùng chắn A¶F) FB FC ( F là điểm chính giữa B¶C ) FNB FMC(c.g.c) FN FM · · NFB MFC Mà M· FC M· FB B· FC B· AC 60 N· FB M· FB 60 · o NFM 60 · o NAM 60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, N ,O, M , F cùng thuộc một đường tròn 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O) . Gọi . J . là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . ¶ ¶ ¶ Ta có CQ AF BP , do đó QJMC và BJNP là các tứ giác nội tiếp F là điểm chính giữa cung BC nên B· FC B· AC 60 suy ra BFC đều Suy ra M· QC M· QC F· AC 60 · Lại có MOC 60 suy ra MCQO là tứ giác nội tiếp Suy ra 5 điểm M ,C ,Q, J,O cùng thuộc một đường tròn Chứng minh tương tự B, N ,O, J, P cũng thuộc một đường tròn Suy ra C· JM C· OM 60 B· AC B· AC Suy ra AMJB là tứ giác nội tiếp M· AJ M· BJ 30 2 Suy ra AJ là tia phân giác của góc B· AC 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Theo trên ta có PBQC là hình thang cân, OJ là đường trung trưc của CP B· AC Mặt khác J·AP C· AP C· AP 30 ·JOP O· CF ·JOP O· PK ·JKP 2 Suy ra tứ giác AKJP nội tiếp Suy ra K· AJ J·PK K· CJ 60 B· AK B· AJ K· AJ 30 60 90 DeThi.edu.vn
  39. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hay AK  AB Bài V (1,0 điểm) Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . Lời giải 1) Gọi các phần tử của tập A là A a1 ,a2 ,a3 ,a100  . Không mắt tính tổng quát già sử a1 a2 a3  a100 Giả sử tập A không có hai số tự nhiên nào liên tiếp thì ta có a2 a1 2;a3 a2 2.;a100 a99 2 Suy ra a100 a100 a90  a3 a2 a2 a1 a1 99.2 a1 178 vậy a100 không thuộc tập hợp {1,2,3,178} (trái với giả thiết) suy ra điều giả sử là sai từ đó ta có điều phải chứng minh. 2) Với n {2,3,4 ,22} giả sử không tồn tại hai phần tử nào của A có hiệu bẳng n (*). Ta có ai aj kn (k ¥ )i, j {1,2,3,100} Với các phần tử a1 ,a2 ,a3 ,a12 Ta có khi đó tập không thể có các phần tử có dạng * a1 79 A a1 k,n k ¥ 178 a 99 Xét bất phương trình a k.n 178 k 1 4 1 n 22 Vậy ít nhất có 4 số thuộc tập {1, 2, 3 178} không thuốe A . Tưong tự như vậy với a2 ,a3 a12 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 4 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trương hợp là khác nhau). Với các phần tử a13 ,a14 ,a15 a34 Ta có khi đó tập không thể có các phằn tử có dạng * a13 91 A a13 k.n k ¥ 178 a 87 Xét bất phương trình a kn 178 k 13 3 13 n 22 Vậy ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A . Tương tự như vậy với a14 ,a15 a34 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trường họp là khác nhau). Suy ra tập A không nhiều hơn 178 114 64 phẩn tử ( trái với giả thiết) vậy điều giả sử (*) là sai tử đó ta có điều phải chứng minh. HẾT ĐỀ SỐ 6 DeThi.edu.vn
  40. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi : Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) x 10 x 5 Cho A Với x 0,x 25. x 5 x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x = 9. 1 3) Tìm x để A . 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2x m2 9. 1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d 1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ENI EBI và MIN 900 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI . 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) 1 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x2 3x 2011. 4x Hết DeThi.edu.vn
  41. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐÁP SỐ VÀ KHÔNG CÓ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Bài I x( x 5) 10 x 5( x 5) A (2,5 đ) x 25 1) Rút gọn : x 10 x 25 x 5 A x 25 x 5 1 2) Khi x = 9 thì A 4 1 x 5 1 3) A 2 x 20 x 100 3 x 5 3 Đối chiếu với điểu kiện : 0 x 100,x 25 . Bài II (Hỏi gì đặt ẩn đấy) Gọi số ngày chở theo quy định là x ngày (2,5 đ) (x>0) 140 một ngày đội xe chở được tấn. x 140 Nếu 1 ngày chở vượt mức 5 tấn : 5 x thì số ngày chở giảm 1 : x-1 ; và chở thêm được 10 tấn : 140 + 10 = 150 tấn. 140 Ta có phương trình : ( 5)(x 1) 150 5x2 15x 140 0 x x 7,x 4(loại) Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày để vận chuyển. Bài III 1) với m = 1 ta có (d): y = 2x + 8 (1,0 đ) giải PT : x2 2x 8 x2 2x 8 0 x 2 y 4 x 4 y 16 Vậy toạ độ các giao điểm là (-2 ; 4), (4 ; 16). 2) PT giao điểm : x2 2x m2 9 x2 2x m2 9 0(1) để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì PT (1) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu DeThi.edu.vn
  42. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a.c 0 m2 9 0 (m 3)(m 3) 0 3 m 3 Bài IV 1) ta có MAI MEI 900 nên MAI MEI 1800 (3,5 đ) tứ giác AMEI nội tiếp. (tương tự tứ giác BNEI nội tiếp) 2) do tứ giác BNEI nội tiếp nên ENI EBI ( cùng chắn cung EI) (Để cho tiện và dễ gọi, kí hiệu các góc như trên hình vẽ) I1 B1 (góc nội tiếp) , I2 A2 (góc nội tiếp), mà A2 B2 (cùng phụ A1) 0 Nên MIN I1 I2 B1 B2 90 3) do M1 NIB ( cùng phụ góc MIA) nên hai tam giác vuông : DeThi.edu.vn
  43. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AM AI AMI và BIN đồng dạng AM.BN = AI.BI BI BN 4) Do F là điểm chính giữa cung AB nên cung AF = 900 0 0 từ đó E1 E2 45 M1 45 nên AMI vuông cân tại A R ( BIN vuông cân tại B) nên MI AI 2 2 2 3R Tương tự : NI BI 2 2 2 1 3R2 Vậy S MI.NI MIN 2 4 Câu V 1 M (2x 1)2 ( x )2 2011 2011 (0,5 đ) 2 x min M 2011 khi x = 1/2 Nhận xét bài IV và V (ý để học sinh lấy điểm tuyệt đối) 1. Bài toán diện tích ý 4 : học sinh biết được công thức tính diện tích 1 S MI.NI MIN 2 (do tam giác MIN vuông tại I) và vấn đề là tính MI, NI theo R như thế nào. giả thiết F là điểm chính giữa cung AB cho tương đối mạnh (mang tính đối xứng, tam giác vuông cân ABF, góc AOF = 900 ) và do đó nếu học sinh nắm được góc nội tiếp chắn cung thì sẽ giải quyết được bài này. 1 Hoặc có thể học sinh biết được S MN.EI nhưng tính toán tương đối khó. MIN 2 mở rộng bài toán này: khi biết MI, NI MN từ đó tính EI, tính EF Tính diện tích hình thang vuông ABNM, đường thẳng MN đi qua điểm chính giữa cung AB chứa điểm E 1 2. Bài V : nhận xét tinh tế là biến đổi M thành : ( )2 ax hằng số. 4x 1 Cô si : ax a (ta không sử dụng cô si thì sử dụng hiệu bình phương) 4x Xác định điểm rơi để dấu bằng xảy ra ở cả 2 biểu thức hằng số 2011 chẳng có ý nghĩa gì trong bài toán này, chỉ mang ý nghĩa tinh thần là đánh dấu năm thi mà thôi. mở rộng bài toán này: tìm min 1 M (ax 1)2 ( x )2 10000000000000000 với a x (Đố đọc được số cuối cùng là bao nhiêu đấy đừng hoa mắt nhé) DeThi.edu.vn
  44. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài IV ý 4: chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho gốc O O,Ox  AB, Oy OF . Chuẩn hoá bài toán cho R = 1 ( lát nữa ta nhân tỉ lệ với R). Ta có : A(-1 ; 0), B(1 ; 0), F(0 ; -1), I(-1/2 ; 0) ; PT đường tròn : x2 y2 1. PT đường thẳng FI là : y = - 2x - 1. Điểm E là giao điểm của FI và đường tròn ta giải HPT x2 y2 1 và y = - 2x - 1 ta được x = 0 ( điểm F) , x = -4/5 (điểm E) nên E(-4/5 ; 3/5) 1 Phương trình đường thẳng MN qua E và vuông góc với FI là : y x 1 2 Do đó M(-1 ; -1/2) và N(1; 3/2) [ lý do xM xA;xN xB ] 1 1 1 9 9 3 IM ; IN 4 4 2 4 4 2 1 3 3R2 Vậy S MI.NI do chuẩn hoá theo tỉ lệ R nên S . MIN 2 4 MIN 4 DeThi.edu.vn
  45. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x 4 3 x 1 2 Cho hai biểu thức A = và B = với x ≥ 0, x ≠ 1 x 1 x 2 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B = x 1 A x 3) Tìm tất cả giá trị của x để 5 . B 4 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Bài III (2,0 điểm) 4x y 2 3 1) Giải hệ phương trình x 2 y 2 3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P): y = x2. a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo C· SD . 3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. DeThi.edu.vn
  46. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 x 1 x 2 x . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2: DeThi.edu.vn
  47. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Đáp án tham khảo chi tiết 1. a) Thay x 9 thỏa mãn điều kiện xác định vào biểu thức A ta có: 9 4 7 A 9 1 2 7 Vậy khi x 9 thì A . 2 b) 3 x 1 2 3 x 1 2 B x 2 x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 3 x 1 2 x 2 x 3 B x 1 x 3 x 1 x 3 1 B x 1 Với x 0; x 3. Suy ra điều phải chứng minh. c) A x 4 1 : x 4 x 0; x 1; x 3 B x 1 x 1 A x x x 5 x 4 5 x 1 0 B 4 4 4 2 x 4 x 4 0 x 2 0 2 Mà x 2 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định. 2 x 2 0 x 2 0 x 2 x 4 . So với điều kiện, thỏa mãn. A x Vậy x 4 thì 5 . B 4 2. Nửa chu vi là: 28 : 2 = 14 (m) DeThi.edu.vn
  48. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét). Điều kiện: 0 Chiều rộng mảnh đất là 14 – x (mét). Ta có chiều dài lớn hơn chiều rộng nên x > 14 – x => x > 7. Vì độ dài đường chéo là 10 mét nên ta có phương trình x2 + (14 – x)2 = 102 2x2 – 28x + 196 = 100 x2 – 14x + 48 = 0 x 8 7 (TM ) x 6 7(L) Vậy chiều dài mảnh đất là 8 mét, chiều rộng là 14 – 8 = 6 (mét). 3. 1) 4x y 2 3 8x 2 y 2 6 Ta có: x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 9x 9 x 1 x 2 y 2 3 2 y 2 3 1 2 x 1 x 1 x 1 y 2 1 y 1 y 2 1 x 1 x 1 y 2 1 y 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; -1) và (1; -3) 2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 m 2 x 3 x2 m 2 x 3 0(*) Vì ac = -3 < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu  (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt (đpcm) b) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) DeThi.edu.vn
  49. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x1 x2 m 2 x1x2 3 Vì x1;x2 nguyên => x1;x2 U( 3) , ta có bảng sau: 1 -3 -1 -3 x1 -3 1 3 1 x2 -2 -2 2 2 x1 x2 m -4 -4 0 0 Kết luận: Vậy m = 0 hoặc m = -4 . 4. 1) D O B H A S C 1) Ta có OH  HS (Tính chất trung điểm dây cung) => H nằm trên đường tròn đường kính SO. Ta có C, D là tiếp điểm nên OC  SC; OD  SD => C, D nằm trên đường tròn đường kính SO. DeThi.edu.vn
  50. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Ta có OD = R; SO = 2R Do đó, SD = SO2 OD2 4R2 R2 R 3 Và ta có OSD = 300 (Cạnh đối diện bằng nửa cạnh huyền) Tương tự, ta có SC = SD = R 3 ; OSC = 300. Do đó, tam giác SCD cân và có CSD = 600  Tam giác SCD đều 3) D E O B H A S K I P C Ta có 3.1) AK // SC nên AKD = SCD = ½ cung SD của đường tròn đường kính SO. Ta có SHD = ½ cung SD của đường tròn đường kính SO. => AKD = AHD => Tứ giác ADHK nội tiếp. 3.2) Chứng minh BK đi qua trung điểm của SC - Gọi I là giao điểm của tia AK và đoạn thẳng BC, P là giao điểm tia BK và SC. Ta chứng minh K là trung điểm của AI, AI//SC từ đó suy ra BK đi qua trung điểm P của CS. (Dùng hệ quả định lý Ta-let) DeThi.edu.vn
  51. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4) D E F O M R B H A S K P C - Gọi M là trung điểm OH, R là trung điểm OA, dễ chứng minh M cố định, MR là đường trung bình ∆ OAH, từ đó suy ra MR // HA, mà HA vuông góc OH => MR vuông góc OH =>  OMR vuông - Có  MOR = 1/2  AOB =  ADB =  EDF DF DE DB ∆ DFE đồng dạng ∆ OMR (g-g) => OM OR OA ∆ DFB đồng dạng ∆ OMA(c-g-c) =>  DFB =  OMA (góc tương ứng)  Mà  DFB kề bù  AFB;  OMA kề bù  AMH   AFB =  AMH =>  AFB = 1/2  AMB Xét đường tròn (M;MA) có:  AMB là góc ở tâm chắn cung AB  AFB = 1/2  AMB (cmt)   AFB là góc nội tiếp chắn cung AB của đường tròn (M;MA) Mà M, A cố định.  F luôn thuộc đường tròn (M;MA) cố định khi S di chuyển trên tia đối của tia AB. 5. Bài V: Tìm giá trị nhỏ nhất của P 1 x 1 x 2 x Điều kiện : 0 x 1. Dùng : a b a b,a,b 0 DeThi.edu.vn
  52. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x x 1 x x 1 Ta có P 2 MinP 2 x 0 1 x x 1 0 1 DeThi.edu.vn
  53. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài I. ( 2,0 điểm ) 4 x 1 15 x 2 x 1 Cho hai biểu thức A và B : với x 0; x 25 . 25 x x 25 x 5 x 5 1) Tìm giá trị của biểu thức A khi x 9 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât. Bài II. (2,5 điểm). 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên? 2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m2 . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). Bài III.(2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x4 7x2 18 0. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y 2mx m2 1 và parabol (P) : y x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 1 1 2 thỏa mãn 1. x1 x2 x1x2 Bài IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O . Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF . DeThi.edu.vn
  54. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . Bài V. ( 0,5 điểm) Cho biểu thức P a4 b4 ab với a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 ab 3 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . HẾT DeThi.edu.vn
  55. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN GIẢI Bài I. ( 2,0 điểm ) 4 x 1 15 x 2 x 1 Cho hai biểu thức A và B : với x 0; x 25 . 25 x x 25 x 5 x 5 1) Tìm giá trị của biểu thức A khi x 9 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât. Lời giải 1) Với x 9 4 x 1 4 9 1 4. 3 1 Thay vào A ta có : A 1. 25 x 25 9 16 2) Rút gọn biểu thức B . 15 x 2 x 1 Với x 0 , x 25 , ta có B : . x 25 x 5 x 5 15 x 2 x 1 B : . x 5 x 5 x 5 x 5 15 x 2 x 5 x 1 B : . x 5 x 5 x 5 15 x 2 x 10 x 1 B : . x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 B  . x 5 x 5 x 1 1 B . x 1 3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P A.B đạt giá giá trị nguyên lớn nhất. 4 x 1 1 4 Ta có P A.B  . 25 x x 1 25 x Để P nhận giá trị nguyên khi x Z thì 4 25 x hay 25 x U 4 4; 2; 1;1; 2; 4. Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 x 4 2 1 1 2 4 x 29 27 26 24 23 21 DeThi.edu.vn
  56. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn P A.B 1 2 4 4 2 1 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P 4 . Khi đó giá trị cần tìm của x là x 24 . Bài II. (2,5 điểm). 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên. 2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m2 . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). Lời giải 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : - Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x và y x 15,y 15 , đơn vị (ngày). 1 Một ngày đội thứ nhất làm được (công việc). x Một ngày đội thứ hai làm được 1 (công việc). y - Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày 1 1 1 1 cả hai đội làm được (công việc). Suy ra, ta có phương trình : (1). 15 x y 15 3 - Ba ngày đội đội thứ nhất làm được (công việc). x 5 - Năm ngày đội thứ hai làm được (công việc). y - Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai 1 3 5 1 đội hoàn thành xong 25% (công việc). Suy ra, ta có phương trình : (2). 4 x y 4 1 1 1 1 1 x y 15 x 24 x 24 - Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : .(TMĐK). 3 5 1 1 1 y 40 x y 4 y 40 - Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 24 (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 40 (ngày). 2) Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như vậy số mét khối đựng được của bồn sẽ là : V 0,32.1,75 0,56 m3 . DeThi.edu.vn
  57. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x4 7x2 18 0. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y 2mx m2 1 và parabol (P) : y x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 1 1 2 thỏa mãn 1 x1 x2 x1x2 Lời giải 1) Giải phương trình: x4 7x2 18 0 1 ❖ Cách 1 : Đặt t x2 t 0 * *Phương trình 1 trở thành : t 2 7t 18 0 2 Ta có : 7 2 4.1. 18 121 112 11 Suy ra :Phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt là: 7 11 7 11 t 9 t / m và t 2 ktm 1 2 2 2 Thay t 9 vào * ta có : x2 9 x 3 Vậy nghiệm của phương trình là : x 3 ❖ Cách 2 : Ta có : x4 7x2 18 0 x4 2x2 9x2 18 0 x2 x2 2 9 x2 2 0 x2 2 x2 9 0 x2 2 0 vôli 2 x 9 0 x2 9 x 3 Vậy nghiệm của phương trình là : x 3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y 2mx m2 1 và parabol (P) : y x2 a) Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 2mx m2 1 1 DeThi.edu.vn
  58. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt với m a 1 0 Ta có : ' ' 2 b ac 0 m Xét ' m2 m2 1 m2 m2 1 1 0, m Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa 1 1 2 mãn 1 2 x1 x2 x1x2 2 Ta có x1x2 0 m 1 0 m 1 Hai nghiệm của phương trình : x1 m 1; x2 m 1 1 1 2 x1 x2 2 x1x2 Biến đổi biểu thức 2 ta có : 1 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 Thay x1 m 1; x2 m 1 vào biểu thức x1 x2 2 x1x2 ta có : m -1 m 1 -2 m -1 m 1 m2 -1- 2 2m m2 2m 3 0 m 3 m 1 0 m 3 0 m 3 m 1 0 m 1 L Kết Luận : Với m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O . Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF . 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . Lời giải DeThi.edu.vn
  59. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A E M x P F H O B D K I C S 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác BCEF ta có : B· EC 90 ( BE là đường cao) B· FC 90 (CF là đường cao) BCEF là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông). 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF. Vẽ tiếp tuyến Ax như hình vẽ B· AF ·ACB (tính chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung). Do tứ giác BCEF nội tiếp ·AFE ·ACB. Ta suy ra B· AF ·AFE EF //Ax (do hai góc so le trong) Lại có Ax  OA OA  EF (đpcm). 3) Chứng minh APE ∽ ABI Ta có : ·AEB ·ABI ( Vì ·AEB E· FC ·ABI E· FC 180) Mặt khác ·APE P· AI 90 (vì AI  PE ) DeThi.edu.vn
  60. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ·AIB P· AI 90 ( Vì AH  BC ) ·APE ·AIB Vậy APE ∽ ABI ( g-g). * Chứng minh KH //PI Gọi M là giao điểm của AO và EF , dung đường kính AS Ta có BE / /CS cùng vuông góc AC BS / /CF cùng vuông góc AB BHCS là hình bình hành nên H, K, S thẳng hàng Ta có AE.AC AH.AD và AE.AC AM.AS AH AM AH.AD AM.AS AHM : ASD ·AHM · ASD AS AD HMSD Nội tiếp đường tròn Kết hợp PMID nội tiếp đường tròn P· IM P· DM H· SM HS//PI . Bài V. ( 0,5 điểm) Cho biểu thức P a4 b4 ab với a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 ab 3 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Lời giải Ta có a2 b2 ab 3 a2 b2 3 ab thay vào P ta được. 2 2 P a4 b4 ab a2 b2 2a2b2 ab 3 ab 2a2b2 ab 9 6ab a2b2 2a2b2 ab 2 2 2 2 7 49 49 7 85 9 7ab a b ab 2.ab. 9 ab . 2 4 4 2 4 Vì a2 b2 3 ab , mà a b 2 0 a2 b2 2ab 3 ab 2ab ab 3. 1 Và a b 2 0 a2 b2 2ab 3 ab 2ab ab 1. 2 DeThi.edu.vn
  61. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 7 7 7 1 7 9 Từ 1 và 2 suy ra 3 ab 1 3 ab 1 ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 7 81 81 7 1 81 85 7 85 1 85 ab ab ab 4 2 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 7 85 1 ab 21 2 4 ab 3 a 3 b 3 Vậy Max P 21. Dấu = xảy ra khi v . 2 2 a b 6 b 3 a 3 ab 1 a 1 a 1 Min P 1. Dấu = xảy ra khi hoặc . 2 2 a b 2 b 1 b 1 DeThi.edu.vn
  62. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯỜNG SƯ PHẠM HÀ NỘI MÔN THI: TOÁN (Toán chung) (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Bài 1. (2,5 điểm) 1 5 Cho a 2 a) Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) b) Cho đa thức: P(x) x5 x4 x 1. Tính giá trị của P( ) Bài 2. (3,0 điểm) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn O tại D và E ( D nằm giữa C, E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm O, B,M , E tạo thành tứ giác OBME . Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CD.CE CO2 R2 . c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. Bài 3. (2,0 điểm) DeThi.edu.vn
  63. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở x2 y 1 dạng với x, y là hai số nguyên dương. xy 1 Bài 4. (2,5 điểm) Cho a , b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau. Bài 1. (2,5 điểm) 1 5 Cho a 2 a) Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) b) Cho đa thức: P(x) x5 x4 x 1. Tính giá trị của P( ) Lời giải a).Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) Cách 1: 1 5 Có 2 1 5 4 2 4 4 0 2 1 0 . 2 1 5 1 5 Phương trình x2 x 1 0 có hệ số nguyên và có 2 nghiệm ,  . 2 2 Vậy Q x x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. Cách 2: 1 5 1 5 Có , đặt  2 2  1 Ta có . 1 DeThi.edu.vn
  64. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Phương trình có hệ số nguyên nhận ,  làm nghiệm là x2 x 1 0 Vậy Q x x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. b) P(x) x5 x4 x 1 x5 x4 x3 x3 x 1 P(x) x3 x2 x 1 x3 x2 x x2 1 P(x) (x2 x 1)(x3 x) x2 1 P( ) ( 2 1)( 3 ) 2 1. P( ) 0 2 1 (Do là nghiệm của phương trình: x2 x 1). Mà 2 1 2 nên 1 5 5 5 P( ) 2 1 2 2 . 2 2 5 5 Vậy P( ) . 2 Bài 2. (3,0 điểm) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn O tại D và E ( D nằm giữa C, E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm O, B,M , E tạo thành tứ giác OBME . Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CD.CE CO2 R2 . c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. Lời giải DeThi.edu.vn
  65. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn E T M D O C B A F a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp. E· OB 2B· AE 2B· DC 2B· MC 2 E· MC E· MB 2 180 E· AB E· MB 360 E· OB 2E· MB suy ra E· OB E· MB 180 hay tứ giác OBME nội tiếp. b) Chứng minh CD.CE CO2 R2 . Cách 1. Kẻ CF là tiếp tuyến của O , suy ra CF  OF CF 2 CO2 OF 2 CO2 R2 (1) Mặt khác: CDF ∽ CFE (g.g) CD CF CF 2 CD.CE (2) CF CE DeThi.edu.vn
  66. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (1) và (2) ta có CD.CE CO2 R2 . Cách 2. Gọi T là trung điểm DE . Có CD.CE CT TD CT TE , TD TE CT 2 TD2 CO2 OT 2 TD2 CO2 OD2 CO2 R2 c) Chứng minh M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. O· MC O· MB B· MC O· EB E· AB 90 hay M luôn di chuyển trên đường tròn đường kính OC cố định. Bài 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở x2 y 1 dạng với x, y là hai số nguyên dương. xy 1 Lời giải x2 y N x2 Nxy N y 0 x Ny x y N 1 xy 1 Với N 1 dễ thấy có vô số cách biểu diễn N theo x, y là các bộ số dạng x, y a,a 1 a ¥ * Với N 2 Nếu y N x N 2 Nếu y N thì 1 y Nx y N x suy ra trong hai số y; N có ít nhất một số lớn hơn x Ny x 0 y N 0 y N y x Từ 1 y NNy x y N Ny x 2y x y y x y N 0 ( loại) DeThi.edu.vn
  67. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y Vậy với N 2 thì ta có một biểu diễn duy nhất ở dạng xy 1 Cách khác. x2 y +) N 1 có vô số bộ x; y có dạng k;k 1 k N thỏa mãn N . xy 1 Suy ra N 1 loại +) N 1 x2 y  xy 1 y x2 y x xy 1  xy 1 y2 xxy 1 +) x y x2 y xy y 2xy 2 x2 y x2 y xy xy 2xy 2xy 2 2 N 2 vô lý. xy 1 +) x y xy 1 x y2 x y2 xy 1 y2 x 0 x y2 y4 y N y y2 1 x N 2 Với mọi N 1 thì cặp N 2 ; N là duy nhất Bài 4. (2,5 điểm) Cho a , b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau. DeThi.edu.vn
  68. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lời giải Cách 1: Đặt a 2k ;b 2n ;c 2m k,m,n ¥ 2 Gọi x1; x2 là nghiệm nguyên của phương trình ax bx c 0 2 m m Ta có ax1 bx1 c 0 c x1 b ax1 0 cx1 2 x1 tương tự 2 x2 1 n k x1 x2 2 x1 0 Theo hệ thức Vi-et: 2 m k x 0 x1.x2 2 2 Từ 1 ; 2 x1; x2 là các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2. p q Đặt x1 2 , x2 2 p,q ¥ không mất tính tổng quát giả sử p q . n k q p q n k p q n k q Khi đó x1 x2 2 2 2 1 2 2 1 2 Vì 2 p q 1 2 2n k q 2 2n k q là số chẵn 2 p q 1 là số chẵn p q 2 1 p q 0 p q x1 x2 (đpcm). Cách 2: Đặt a 2n ; b 2m ; c 2 p m;n; p ¥ . Xét phương trình ax2 bx c 0 1 có b2 4ac 22m 2n p 2 . Để phương trình 1 có nghiệm nguyên thì là số chính phương. 22m 2n p 2 k 2 k ¥ 2n p 2 2m k 2m k 2m k 2u 2u 2v u v 2m 2u 1 1 2v u . m v 2 k 2 2 Nếu u v thì 1 2v u là số lẻ và khác 1 (vô lý). DeThi.edu.vn
  69. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Suy ra u v k 0 0 . Do đó, phương trình 1 có hai nghiệm bằng nhau. DeThi.edu.vn
  70. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ TRƯỜNG SƯ PHẠM NỘI MÔN THI: TOÁN (Toán chung) (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Bài 5. (2,5 điểm) 1 5 Cho a 2 a) Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) b) Cho đa thức: P(x) x5 x4 x 1. Tính giá trị của P( ) Bài 6. (3,0 điểm) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn O tại D và E ( D nằm giữa C, E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm O, B, M , E tạo thành tứ giác OBME . Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CD.CE CO2 R2 . c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. Bài 7. (2,0 điểm) DeThi.edu.vn
  71. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở x2 y 1 dạng với x, y là hai số nguyên dương. xy 1 Bài 8. (2,5 điểm) Cho a, b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau. Bài 5. (2,5 điểm) 1 5 Cho a 2 a) Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) b) Cho đa thức: P(x) x5 x4 x 1. Tính giá trị của P( ) Lời giải a).Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) Cách 1: 1 5 Có 2 1 5 4 2 4 4 0 2 1 0 . 2 1 5 1 5 Phương trình x 2 x 1 0 có hệ số nguyên và có 2 nghiệm ,  . 2 2 Vậy Q x x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. Cách 2: 1 5 1 5 Có , đặt  2 2  1 Ta có . 1 DeThi.edu.vn
  72. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Phương trình có hệ số nguyên nhận ,  làm nghiệm là x 2 x 1 0 Vậy Q x x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. b) P(x) x5 x4 x 1 x5 x4 x3 x3 x 1 P(x) x3 x2 x 1 x3 x2 x x2 1 P(x) (x2 x 1)(x3 x) x2 1 P( ) ( 2 1)( 3 ) 2 1. P( ) 0 2 1 (Do là nghiệm của phương trình: x 2 x 1). Mà 2 1 2 nên 1 5 5 5 P( ) 2 1 2 2 . 2 2 5 5 Vậy P( ) . 2 Bài 6. (3,0 điểm) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn O tại D và E ( D nằm giữa C, E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm O, B, M , E tạo thành tứ giác OBME . Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CD.CE CO2 R2 . c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. Lời giải DeThi.edu.vn
  73. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn E T M D O C B A F a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp. E· OB 2B· AE 2B· DC 2B· MC 2 E· MC E· MB 2 180 E· AB E· MB 360 E· OB 2E· MB suy ra E· OB E· MB 180 hay tứ giác OBME nội tiếp. b) Chứng minh CD.CE CO2 R2 . Cách 1. Kẻ CF là tiếp tuyến của O , suy ra CF  OF CF 2 CO2 OF 2 CO2 R2 (1) Mặt khác: CDF ∽ CFE (g.g) CD CF CF 2 CD.CE (2) CF CE DeThi.edu.vn
  74. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (1) và (2) ta có CD.CE CO2 R2 . Cách 2. Gọi T là trung điểm DE . Có CD.CE CT TD CT TE , TD TE CT 2 TD 2 CO 2 OT 2 TD 2 CO 2 OD 2 CO 2 R 2 c) Chứng minh M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. O· MC O· MB B· MC O· EB E· AB 90 hay M luôn di chuyển trên đường tròn đường kính OC cố định. Bài 7. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở x2 y 1 dạng với x, y là hai số nguyên dương. xy 1 Lời giải x2 y N x2 Nxy N y 0 x Ny x y N 1 xy 1 Với N 1 dễ thấy có vô số cách biểu diễn N theo x, y là các bộ số dạng x, y a,a 1 a ¥ * Với N 2 Nếu y N x N 2 Nếu y N thì 1 y Nx y N x suy ra trong hai số y; N có ít nhất một số lớn hơn x Ny x 0 y N 0 y N y x Từ 1 y NNy x y N Ny x 2y x y y x y N 0 ( loại) DeThi.edu.vn
  75. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y Vậy với N 2 thì ta có một biểu diễn duy nhất ở dạng xy 1 Cách khác. x2 y +) N 1 có vô số bộ x; y có dạng k;k 1 k N thỏa mãn N . xy 1 Suy ra N 1 loại +) N 1 x2 y  xy 1 y x2 y x xy 1  xy 1 y2 xxy 1 +) x y x2 y xy y 2xy 2 x2 y x2 y xy xy 2xy 2xy 2 2 N 2 vô lý. xy 1 +) x y xy 1 x y2 x y2 xy 1 y2 x 0 x y2 y4 y N y y2 1 x N 2 Với mọi N 1 thì cặp N 2 ; N là duy nhất Bài 8. (2,5 điểm) Cho a, b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau. DeThi.edu.vn
  76. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lời giải Cách 1: Đặt a 2k ;b 2n ;c 2m k,m,n ¥ 2 Gọi x1; x2 là nghiệm nguyên của phương trình ax bx c 0 2 m m Ta có ax1 bx1 c 0 c x1 b ax1 0 cx1 2 x1 tương tự 2 x2 1 n k x1 x2 2 x1 0 Theo hệ thức Vi-et: 2 m k x 0 x1.x2 2 2 Từ 1 ; 2 x1; x2 là các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2. p q Đặt x1 2 , x2 2 p,q ¥ không mất tính tổng quát giả sử p q . n k q p q n k p q n k q Khi đó x1 x2 2 2 2 1 2 2 1 2 Vì 2 p q 1 2 2n k q 2 2n k q là số chẵn 2 p q 1 là số chẵn p q 2 1 p q 0 p q x1 x2 (đpcm). Cách 2: Đặt a 2n ; b 2m ; c 2 p m;n; p ¥ . Xét phương trình ax2 bx c 0 1 có b2 4ac 22m 2n p 2 . Để phương trình 1 có nghiệm nguyên thì là số chính phương. 22m 2n p 2 k 2 k ¥ 2n p 2 2m k 2m k 2m k 2u 2u 2v u v 2m 2u 1 1 2v u . m v 2 k 2 2 Nếu u v thì 1 2v u là số lẻ và khác 1 (vô lý). DeThi.edu.vn
  77. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Suy ra u v k 0 0 . Do đó, phương trình 1 có hai nghiệm bằng nhau. DeThi.edu.vn
  78. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) Bài I (3 điểm) (n - 8)2 - 48 1) Tìm các số nguyên dương n để A= có giá trị là số nguyên dương. n + 5 2) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thứcx2+y(y2+y-3x)=0 Bài II (2 điểm) ( 2 + 1) = 2 2 Giải hệ phương trình (x, y, z là ẩn) 2 + 1 = 2 2 ( 2 + 1) = 2 2 Bài III. (3 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. 1/ Chứng minh AD.AC=AE.AB 2/ Tia AO cắt BC tại A1và cắt cung nhỏ BC tại A2. Tia BO cắt AC tại B1và cắt cung nhỏ AC tại B2. Tia CO cắt BA tại C1và cắt cung nhỏ AB tại C2. A1A2 B1B2 C1C2 Chứng minh: + + =1 AA1 BB1 CC1 3/ Từ A vẽ tia Ax vuông góc với DE. Cho cạnh BC cố định , đỉnh A di động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn. Chứng minh tia Ax luôn đi qua một điểm cố định. Bài IV. (1 điểm) Cho đa thức P(x)= x4+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d là các hằng số). Biết rằng P(1)=10, P(12) + P( - 8) P(2)=20, P(3)=30. Tính giá trị của biểu thức + 25 10 Bài V (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm bên ngoài đường tròn (O) sao cho ABC có ba góc nhọn thì chu vi của đường tròn ngoại tiệp ABC không lớn hơn chu vi (O) . Hết Họ và tên thí sinh : . Số báo danh: Chữ kí giám thị số 1 . Chữ kí giám thị số 2 . . DeThi.edu.vn
  79. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 3.0 1 Tìm số nguyên dương n (1.5 điểm) 121 *(n-8)2 -48 = n2 -16n+16 nên A=n-21+ 0.50 n + 5 *121=112 và n+5≥6 ; n+5 Z 0.25 *n+5=11 được n=6 và A=-4 0.25 *n+5=121 được n=116 và A=96 0.25 I *KL n=116 0.25 2 Tìm các số nguyên dương x, y (1.5 điểm) *x2+y(y2+ y-3x)=0 x2-3xy+y2+y3=0 (1) 0.25 *Coi (1) là pt bậc 2 với ẩn x 0.25 *có =y2(5-4y) 0.25 *Nếu y≥2 thì <0 phương trình (1) vô nghiệm 0.25 2 *Với y=1 phương trình (1) trở thành x -3x+2=0 x1=1; x2=2 0.25 *KL: x=1, y=1 và x=2, t=1 0.25 Giải hệ phương trình 2.0 *Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0 thì hai số còn lại bằng 0 0.25 Ta thấy x=y=z=0 là một nghiệm của hệ *Xét trường hợp cả ba số x, y, z khác 0 2 + 1 = 2 1 + 1 ― 2 = 0 2 2 2 2 1 2 0.75 hệ đã cho + 1 = 1 + ― = 0 2 2 2 II + 1 = 2 1 + 1 ― 2 = 0 2 2 *Cộng vế với vế của 3 PT ta được 1 2 1 2 1 2 0.25 1 + ― + 1 + ― +(1 + ― )=0 2 2 2 1 1 1 ―1 = 0 x = 1 ( -1)2 +( -1)2 +( -1)2 =0 ―1 = 0 y = 1(thỏa mãn hệ đã cho) 0.50 x y z ―1 = 0 z = 1 *KL:Hệ đã cho có 2 nghiệm x=y=z=0 và x=y=z=1 .025 3.0 III 1 Chứng minhAD.AC=AE.AB(1 điểm) DeThi.edu.vn
  80. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A Chứng minh được tam giác ABD đồng dang với tam giác ACE R 0.50 L D E H O Chứng minh được AD.AC=AE.AB J B A1 C 0.50 Q A2 2 Chứng minh (1 điểm) *Gọi H là trực tâm của ABC A1A2 JQ 0.25 tia AH cắt BC tại J và cắt cung BC tại Q. CM được: = A1A2 JA JH JQ S BHC *CM được = = JA JA S BAC B1B2 S AHC C1C2 S AHB *Tương tự chứng minh được = , = B1B S BAC C1C S BAC * ABC nhọn nên điểm H nằm trong tam giác. Suy ra SBHC+SBHA+SAHC=SBAC A1A2 B1B2 C1C2 SBHC + SBHA + SCHA SBAC Từ đó + + = = =1 AA1 BB1 CC1 SABC SABC 3. Chứng minh tia Ax (1 điểm) *tia BD cắt cungAC tại R, tia CE cắt cung AB tại L Chứng minh được DE//RL suy ra LRAx * cung AL=cungAR chứng minh Ax di qua tâm O khi A di động t Tính giá trị của biểu thức (1 điểm) *Đặt Q(x)=P(x)-10x *Có Q(1)=Q(2)=Q(3)=0 IV *Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)+10x P(12) + P( - 8) *A= + 25 = 2009 10 Chứng minh rằng (1 điểm) *Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là (I), I nằm trong ABC V Nếu A, B, C nằm trên (O) thì (I) và (O) trùng nhau. *Nếu (O) đựng (I) hoặc (O) và(I) tiếp xúc trong với nhau thì đường kính của (I) nằm trong (O) suy ra chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của (O). DeThi.edu.vn
  81. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn *Nếu (O) và (I) cắt nhau tại M, N. Vì ABC có ba góc nhọn nên số đo cung nhỏ MN 1800, ắt tồn tại đường kính của (I) nằm trong (O). Vậy chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của (O) Thí sinh phải lập luận đấy đủ mới có điểm tối đa, điểm làm tròn đến 0.25 DeThi.edu.vn
  82. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN Môn thi: TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh thi vào Trường Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút 1 a 1 a 1 1 Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức P 1 với 0 < a < 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1. Chứng minh rằng P = –1 Câu 2 (2,5 điểm). Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 2 2 là tung độ của A, B. Tìm m sao cho | y1 y2 | 3 5 Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận 3 1 1 tốc trên quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên quãng đường AB sau bằng vận tốc 4 4 2 3 trên quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn 4 3 vận tốc trên quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h . Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A 4 đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB DP.DA AB c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang. Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 5a 4 5b 4 5c 4 7 ––––––––Hết––––––– DeThi.edu.vn
  83. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 Với 0 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x1 x2 2m Áp dụng Viét ta có: x1x2 1 2 2 2 2 | x1 x2 | (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 4m 4 2 m 1 y1 2mx1 1 2 2 2 2 Khi đó ta có | y1 y2 | | (2mx1 1) (2mx2 1) | y2 2mx2 1 DeThi.edu.vn
  84. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 | y1 y2 | | (2mx1 1 2mx2 1)(2mx1 1 2mx2 1) | | 4m(x1 x2 )[m(x1 x2 ) 1]| 2 2 2 2 | 4m(2m 1)(x1 x2 ) | 4 m(2m 1) | x1 x2 | 4 | m | (2m 1)2 m 1 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 Ta có | y1 y2 | 3 5 64m (2m 1) (m 1) 45 64(4m 4m 1)(m m ) 45 5 Đặt m4 m2 t 0 có phương trình 64t(4t 1) 45 256t 2 64t 45 0 t (vì t ≥ 0) 16 5 1 Suy ra m4 m2 16m4 16m2 5 0 m 16 2 1 Vậy m 2 Câu 3 3 Gọi vận tốc của người đi xe máy trên quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0) 4 1 Vận tốc của người đi xe máy trên quãng đường AB sau là 0,5x (km/h) 4 Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h) 90 30 120 1 Tổng thời gian của chuyến đi là 8,5 x 0,5x x 10 2 90 60 120 150 120 8 8 75(x 10) 60x 4x(x 10) x x x 10 x x 10 4x2 95x 750 0 x 30 (do x > 0) Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h) Câu 4 a) VìCMA DMB 60o CMB DMA 120o. Xét ∆ CMB và ∆ AMD có CM AM MCB MAD CMB DMA CMB AMD(c.g.c) MBC MDA MB MD DeThi.edu.vn
  85. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên CP CM CPM 180o CAM 120o CMB CPM : CMB(g.g) CM CB CP.CB CM 2 CP.CB CM. Tương tự DP.DA DM Vậy CP.CB DP.DA CM DM AM BM AB c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều ⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD CP PM CP PE Ta lại có CPM = DPM = 120o CPM : MPD(g.g) MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang. Câu 5 2 a(1 a) 0 a a 2 Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0 a,b,c 1 b(1 b) 0 b b c(1 c) 0 2 c c Suy ra 5a 4 a2 4a 4 (a 2)2 a 2 Tương tự 5b 4 b 2; 5c 4 c 2 Do đó 5a 4 5b 4 5c 4 (a b c) 6 7 (đpcm) DeThi.edu.vn
  86. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x 4 2x 3 x 2(x 2 x) 0. x 2 2y 4x 0 2) Giải hệ phương trình . 2 2 4 4x 4xy y 2y 4 0 Bài II (2,0 điểm) 1) Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn a 3 b3 c 3 3abc và abc 0 . Tính ab 2 bc 2 ca 2 P . a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn 2 x.x 2 9y 2 6y 16 . Bài III (2,0 điểm) 1) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3. Chứng minh 2a 2 2b 2 2c 2 a b c . a b 2 b c 2 c a 2 2) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 2 12n 2 1 là số nguyên. Chứng minh 2 2 12n 2 1 là số chính phương. Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao BB',CC' cắt nhau tại điểm H . Gọi M là trung điểm BC . Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm P . 1) Chứng minh hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng. 2) Các đường phân giác của các góc BPC', CPB' lần lượt cắt AB , AC tại các điểm E và F . Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ; K là giao điểm của HM và AO' . a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp. b) Chứng minh DeThi.edu.vn
  87. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O') cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (O) . Bài V (1,0 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2: DeThi.edu.vn
  88. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x 4 2x 3 x 2(x 2 x) 0. x 0 4 3 2 2 Điều kiện: . Ta có: x 2x x 2(x x) 0 x(x 1)(x x 1) 2x(x 1) 0 x 1 x(x 1) 0 (1) x(x 1) x 2 x(x 2 x 1) 2 0 2 2 (2) x x(x x 1) 2 0 x 0 - Giải (1) ta có: (1) (thỏa mãn) x 1 - Giải (2): Đặt x 2 x a 0 a 3 a 2 0 a 2 a 2 a 2 1 0 a 2 (vì a 2 a 2 1 0 ) 2 2 x 1 x x 2 x x 2 0 (x 1)(x 2) 0 (thỏa mãn). x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1;0;1;2. x 2 2y 4x 0 2) Giải hệ phương trình . 2 2 4 4x 4xy y 2y 4 0 x 2 2y 4x 0 (x 2) 2 2y 4 0 (1) Ta có: . 2 2 4 2 2 4x 4xy y 2y 4 0 (2x y ) 2y 4 0 (2) x 2 x 2 (x 2) 2 (2x y 2 ) 2 0 Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: 2 . y 4 y 2 Thử lại ta thấy (x; y) (2;2) thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) (2;2) . Bài II (2,0 điểm) 1) Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn a 3 b3 c 3 3abc và abc 0 . Tính ab 2 bc 2 ca 2 P . a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 Ta có: a 3 b3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 0 Ta luôn có: a 2 b 2 c 2 ab bc ca . Tuy nhiên vì a,b,c đôi một khác nhau nên không xảy ra đẳng thức. DeThi.edu.vn
  89. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c Do đó a b c 0 b c a . Từ đó: c a b ab 2 bc 2 ca 2 ab 2 bc 2 ca 2 a b c P 0 a 2 b 2 ( a b) 2 b 2 c 2 ( b c) 2 c 2 a 2 ( c a) 2 2ab 2bc 2ca 2 . Vậy P = 0. 2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn 2 x.x 2 9y 2 6y 16 . 2 x  1(mod3) Ta có: 9y 2 6y 16  1 (mod 3) 2 x.x 2  1 (mod 3). Mà x 2  0;1 (mod 3) . 2 x  1(mod3) - Nếu x lẻ, đặt x 2k 1 (k N) 2 x 2.4k  2 (mod 3) (sai), suy ra x lẻ loại. - Nếu x chẵn, đặt x 2k (k N) 2 x 4k  1 (mod 3) (đúng). Do đó khi x chẵn thì: 2 x.x 2 9y 2 6y 16 (2k.2k ) 2 (3y 1) 2 15 (2k.2k 3y 1)(2k.2k 3y 1) 15. Vì y,k N nên 2k.2k 3y 1 2k.2k 3y 1 0 . Vậy ta có các trường hợp: 2k.2k 3y 1 1 2k.2k 8 + k N (loại). k 2k.2 3y 1 15 3y 1 7 2k.2k 3y 1 3 2k.2k 4 k 1 + . k 2k.2 3y 1 5 3y 1 1 y 0 Vậy: (x; y) (2;0) . Bài III (2,0 điểm) 1) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3. Chứng minh 2a 2 2b 2 2c 2 a b c . a b 2 b c 2 c a 2 DeThi.edu.vn
  90. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (a b c) 2 Ta có: 3 a 2 b 2 c 2 a b c 3 . Do đó: 3 2a 2 2b 2 2c 2 4a 4 4b 4 4c 4 (2a 2 2b 2 2c 2 ) 2 a b 2 b c 2 c a 2 2a 3 2a 2b 2 2b3 2b 2c 2 2c 3 2c 2 a 2 2a 3 2b3 2c 3 2a 2b 2 2b 2c 2 2c 2 a 2 36 36 36 3 a b c a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 2a 2b 2 2b 2c 2 2c 2 a 2 (a 2 b 2 c 2 ) 2 a 2 b 2 c 2 9 3 . Xảy ra đẳng thức khi a b c 1. 2) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 2 12n 2 1 là số nguyên. Chứng minh 2 2 12n 2 1 là số chính phương. Hiển nhiên 2 2 12n 2 1 là số nguyên mà 12n 2 1 là số lẻ nên tồn tại số tự nhiên k mà 12n 2 1 (2k 1) 2 12n 2 1 4k 2 4k 1 k(k 1) 3n 2 . Vì (k;k 1) 1 nên xảy ra 2 trường hợp: k a 2 - Trường hợp 1: (a,b N) a 2 3b 2 1  2 (mod 3) a 2  2 (mod 3) (vô lí). 2 k 1 3b - Trường hợp 2:. k 3a 2 b 2 (b 2 1) 3n 2 2 2 12n 2 1 2 2 4b 4 4b 2 1 2 2(2b 2 1) 4b 2 2 k 1 b Vì 4b 2 (2b) 2 nên 2 2 12n 2 1 là số chính phương. Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao BB',CC' cắt nhau tại điểm H . Gọi M là trung điểm BC . Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm P . 1) Chứng minh hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng. 2) Các đường phân giác của các góc BPC', CPB' lần lượt cắt AB , AC tại các điểm E và F . Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ; K là giao điểm của HM và AO' . a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp. b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O') cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (O) . DeThi.edu.vn
  91. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O) . HBA'C là hình bình hành HA'đi qua M HA'đi qua P APH 90 AB' H AC' H PAB'C' nội tiếp PC' A PB' A PC' B PB'C , mà PBC' PCB' PBC' ~ PCB' (g.g) 2) a) Kẻ đường kính AK' của (O') AEK' AFK' 90 HC'// K' E // A' B, HB'// K' F // A'C . EC' PC' PB' FB' Lại có: K' thuộc HA' K' K AKEF nội tiếp. EB PB PC FC C' PB B' PC Lại có PEA PFA ( vì EPB FPC , và PBE PCF ) PAFE nội tiếp 2 2 PEKF nội tiếp. HC' HB' B'C' PC' PB' FB' EC' b) Có PB'C' ~ PCB (c.g.c) HE, HF HB HC BC PB PC FC EB lần lượt là phân giác của BHC',CHB' E, H, F thẳng hàng và AE AF AK là phân giác của BAC . Gọi giao điểm của AK với (O) là T và giao điểm của AK với BB' là G . CHB' BAC Ta có: FHB' GAE AEHG nội tiếp AEG AHG AHB' ACB ATB 2 2 DeThi.edu.vn
  92. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BEGT nội tiếp ATE ABG 90 BAC mà AT  EF TEF 90 ATE BAC ET là tiếp tuyến của (O') mà TE TF TF cũng là tiếp tuyến của (O') Tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O') cắt nhau tại T trên (O) . Bài V (1,0 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau. Giả sử tồn tại 2017 số hữu tỷ được sắp xếp một cách thoả mãn nếu bỏ 2 số bất kì cạnh nhau thì 2015 số còn lại chia được thành hai nhóm có tổng bằng nhau. Gọi 2017 số được sắp xếp thoả mãn là 2017 số có tính chất P. Vì có 2017 số hữu tỷ có tính chất P nên nếu nhân mẫu của các số hữu tỷ đó lên thì được 2017 số tự nhiên có tính chất P. Gọi 2017 số đó lần lượt xếp theo chiều kim đồng hồ là a1;a2 ; ;a2017 . Giả sử trong 2017 số đó có 1 số chẵn, 1 số lẻ thì vì 2017 là số lẻ nên lúc đó trên vòng tròn tồn tại 22 số liền kề cùng tính chẵn lẻ và 22 số liền kề không cùng tính chẵn lẻ. Vì vậy có thể bỏ một trong hai cặp số đó để tổng 2015 số còn lại lẻ, lúc đó thì không thể có cách chia 2015 số còn lại thoả mãn đề bài. Giả sử tất cả các số trên vòng tròn cùng tính chẵn lẻ, 2017 số đó không thể cùng lẻ vì cho dù bỏ đi 22 số nào thì tổng các số còn lại đều lẻ nên không thể chia được. Vậy tất cả các số trên vòng tròn đều chẵn. Đặt ai 2bi với i chạy từ 1 đến 2017. Vì 2017 số a1;a2 ; ;a2017 tính chất P nên b1;b2 ; ;b2017 cũng có tính chất P. Lập luận tương tự b1;b2 ; ;b2017 đều chẵn. Tiếp tục đặt bi 2ci và lặp lại vô hạn bước như vậy, ta có a1 a2 a2017 0 (vô lí vì các số hữu tỉ ban đầu dương). Suy ra điều phải chứng minh. DeThi.edu.vn
  93. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán ( Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên ) Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức: 2 3 b a a 2b 3 2 2 a a a ab a b b P : 2 2 1 b a b a b 1 a a b 2 a a với a 0,b 0,a b,a b a2 . 1. Chứng minh P a b . 2. Tìm a,b biết rằng P 1 và a3 b3 7. 1 1 1 Câu 2 ( 1 điểm ) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn: . x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 Hãy tính S . x2 1 y2 1 xy 1 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2ax 4a, với a là tham số. 1 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi a . 2 2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn | x1 | | x2 | 3. Câu 4 ( 1 điểm ) Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C ) anh Nam đi với vận tốc không đổi là a (km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tính bằng giờ ) kể từ B là v 8t a (km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là S 4t2 at . Tính quãng đường AB, biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16 km. Câu 5 ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D,E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC. 1. Chứng minh M· EP M· DP 2. Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. Câu 6 ( 1 điểm ) Các số thực không âm x1, x2 , , x9 thỏa mãn: DeThi.edu.vn
  94. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x1 x2 x9 10 x1 2x2 9x9 18 Chứng minh 1.19x1 2.18x2 9.11x9 270 , đẳng thức xảy ra khi nào? DeThi.edu.vn
  95. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hướng dẫn giải: b2 a3 a 2b a a a 1 a b b Câu 1 1. Ta có: P : a a b a b a b a b . a a b a a4 a2 2ab b2 a2 a b : a2 a b a b 2 2 a a b a a b a b . a2 a b a2 a b a b a b 1 a b 1 a b 1 2. b 1 Vậy a 2 và b 1. 3 3 2 2 a b 7 a ab b 7 b 2 loai 1 1 1 Câu 2 Ta có: x2 1 y2 1 xy 1 xy3 y2 xy 1 x3 y x2 xy 1 2x2 2y2 2x2 y2 2 x y 2 xy 1 0 xy 1 Do x y 1 y x Thay vào ta có S 2. 1 Câu 3 1. Với a ta có pt đường thẳng (d) là: y x 2. 2 Khi đó ta có pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 x 2 x2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 x 1 1 Vậy với a thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm M(2;4) và N(-1;1). 2 2. Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 2ax 4a x2 2ax 4a 0 1 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt ' 0 DeThi.edu.vn
  96. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 4a 0 a a 4 0 a 4 a 0 Với a 4 hoặc a 0 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 . x1 x2 2a Theo định lí Vi-ét ta có x1x2 4a Theo đề bài ta có: | x1 | | x2 | 3 2 2 x1 2 | x1x2 | x2 9 2 x1 x2 2x1x2 2 | x1x2 | 9 Thay hệ thức Vi-ét vào ta được: 4a2 8a 8 | a | 9 (2) 9 3 Với a 4 thì 2 4a2 9 a2 a (ktm) Do a 4 4 2 2 1 9 Với a 0 thì 2 4a 16a 9 0 4 a a 0 2 2 1 a 2 9 a (ktm) 2 Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 1 thỏa mãn | x | | x | 3 khi a 1 2 2 a Câu 4 Vì tại C xe dừng hẳn nên thời gian t để xe đi từ B đến C là 8t a 0 t o o o 8 2 2 a a 2 Do đó quãng đường BC là 16 4to ato 4 a. a 256 a 16 8 8 Vậy quãng đường AB là S vt 16.1,5 24 (km) Câu 5 1. M là trung điểm BC BC  OP Ta có tứ giác BMPD nội tiếp M· BP M· DP 1 Tương tự tứ giác MCEF nội tiếp M· EP M· CP 2 Tam giác BCP cân tại P M· CP M· BP 3 Từ 1 , 2 , 3 M· EP M· DP 2. Aµ C· BP ( Cùng chắn cung BC ) Ta có Aµ ·ABC ·ACB 180O và C· BP ·ABC P· BD 180O ·ACB P· BD DeThi.edu.vn
  97. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mà ·ACB M· PE ( Cùng bù góc E· CM ) và M· PE P· MD (Cùng chắn cung PD do BMPD nội tiếp ) M· PE P· MD MD/ /PE Tương tự ME//PD nên MEPD là hbh Suy ra ED đi qua trung điểm F cố định của MP 3. Tam giác ABC đều thì A,O,M,F thẳng hàng và AF  DE , M là trung điểm AP 27 3 S R2 ADE 16 Câu 6 Nhân cả hai vế pt đầu với 9 rồi trừ cho pt sau ta có 8x1 7x2 x8 72 Đặt P 1.19x1 2.18x2 9.11x9 8.1x1 7.2x2 6.3x3 1.8x8 11 x1 2x2 9x9 8.1x 7.2x 6.3x 1.8x 198 1 2 3 8 8x1 7x2 x8 7x2 2.6x3 7x8 198 7x2 2.6x3 7x8 270 Vậy P 270 khi x1 9, x2 x8 0, x9 1 DeThi.edu.vn
  98. Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM Môn thi: Toán ( Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên ) Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức: 2 3 b a a 2b 3 2 2 a a a ab a b b P : 2 2 1 b a b a b 1 a a b 2 a a với a 0,b 0,a b,a b a2 . 3. Chứng minh P a b . 4. Tìm a,b biết rằng P 1 và a3 b3 7. 1 1 1 Câu 2 ( 1 điểm ) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn: . x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 Hãy tính S . x2 1 y2 1 xy 1 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2ax 4a, với a là tham số. 1 3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi a . 2 4. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn | x1 | | x2 | 3. Câu 4 ( 1 điểm ) Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C ) anh Nam đi với vận tốc không đổi là a (km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tính bằng giờ ) kể từ B là v 8t a (km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là S 4t2 at . Tính quãng đường AB, biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16 km. Câu 5 ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D,E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC. 4. Chứng minh M· EP M· DP 5. Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 6. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. Câu 6 ( 1 điểm ) Các số thực không âm x1, x2 , , x9 thỏa mãn: DeThi.edu.vn