Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 (Có đáp án)

196 trang Đình Phong 11/10/2023 6089

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_30_de_thi_chuyen_toan_vao_lop_10_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào Lớp 10 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH PHƯỚC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 9/6/2021 (Đề thi gồm có 01 trang) x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A : x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x 2x 3 3x 2 6x 1 2 2 2x 4xy 3x 4y 4 9 x 1 x 2xy x 2y b) Giải hệ phương trình: x 1 x 2y 2x 2y 5 Câu 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 2(m 3)x 3m2 8m 5 0 , với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 phân biệt thỏa mãn điều kiện: 2 2 x1 2x2 3x1x2 x1 x2. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn O , D là điểm chính giữa trên cung nhỏ BC của đường tròn O , H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Hai điểm K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. a) Chứng minh AL.CB AB.KL. b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho BD DE . Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. c) Đường thẳng KL cắt đường tròn O tại hai điểm M , N ( K nằm giữa M , L ). Chứng minh AM AN AH. Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x y x y 3 2x y 5 x y 22. b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 a 3b2 b. Chứng minh rằng 2a 2b 1là số chính phương. Câu 6. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 b a) a . a2 b2 2 a3 b3 c3 a b c b) . a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI TUYỂN SINH BÌNH PHƯỚC LỚP 10 (Hướng dẫn chấm gồm 07 trang) MÔN THI: TOÁN CHUYÊN DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lưu ý: - Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,125. - Học sinh giải cách khác với đáp án thì giám khảo xem xét, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Câu Nội dung Điểm x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 1,5 1 Cho biểu thức A : . x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. 1,0 0,25 ĐKXĐ: x 0, x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 Ta có x x x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 0,5 x x x x 1 x 2 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 x 1 0,25 Vậy A : x x x 1 x 1 b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên 0,5 x 1 2 Ta có A 1 0,125 x 1 x 1 Để A nhận giá trị nguyên thì x 1 là ước của 2. Hay x 1 2; 2;1; 1. x 1 2 x 1 l 0,25 x 1 1 x 0 x 0 l Suy ra x 1 2 x 3 x 9 n x 1 1 x 2 x 4 n Vậy có 2 giá trị x 4; x 9 thì A nguyên. 0,125 a) Giải phương trình: 2x 2x 3 3x 2 6x 1. b) Giải hệ phương trình: 2,0 2 2 2 2x 4xy 3x 4y 4 9 x 1 x 2xy x 2y x 1 x 2y 2x 2y 5. a) Giải phương trình: 2x 2x 3 3x 2 6x 1. 1,0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 ĐKXĐ: x 0,125 2 Ta có 2 2 0,25 Pt x2 2x 3 2x 2x 3 4x2 8x 4 x 2x 3 2x 2 x 2x 3 2x 2 2x 3 x 2 x 2x 3 2x 2 2x 3 3x 2 x 2 x 2 x 1(n) 2 x 2x 1 0 2 0,5 x 2 3 x 3 x 1 (n) 9x2 10x 1 0 1 x (l) 9 Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là x 1. 0,125 b) Giải hệ phương trình: 2 2 2x 4xy 3x 4y 4 9 x 1 x 2xy x 2y 1,0 x 1 x 2y 2x 2y 5. x 1 x2 2xy x 2y 0 x 1 0 Điều kiện: 0,125 x 2y 0 2x 2y 5 0 Ta có phương trình (2) x 1 2 x 1 x 2y x 2y 2 x y 5 0,25 2 x 1 x 2y 4 x 1 x 2y 2 x 1 x 2y 4 x2 2xy x 2y 4 (*) Ta có phương trình (1) 2 x2 2xy x 2y x 4 9 x 1 x2 2xy x 2y 8 x 4 36 x 1 36 x 1 x 4 x 4 0,25 x 4 x 4 2 2 x 2 (n) 36 x 1 x 8x 16 x 28x 52 0 x 26 (n) • Với x 2 thay vào (*) ta có: 1 pt(*) 4 4y 2 2y 4 6y 2 y (thỏa mãn). 3 0,25 • Với x 26 thay vào (*) ta có: 349 (*) 676 52y 26 2y 4 54y 698 y .(thỏa mãn). 27 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 2 x 26 0,125 Kết luận: Hệ có 2 nghiệm là: 1 và 349 . y y 3 27 Cho phương trình: x2 2(m 3)x 3m2 8m 5 0 , với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. 3 1,5 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 phân biệt thỏa mãn điều 2 2 kiện x1 2x2 3x1x2 x1 x2 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. 0,75 Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 2 0,25 x1.x2 0 3m 8m 5 0 m 1 3m 5 0 m 1 m 1 0 5 m 3m 5 0 3 5 1 m 0,375 m 1 0 m 1 3 3m 5 0 5 m 3 5 Vậy 1 m thì thỏa yêu cầu bài toán. 0,125 3 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 phân biệt thỏa mãn điều 2 2 0,75 kiện x1 2x2 3x1x2 x1 x2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì m 3 2 3m2 8m 5 0 m2 6m 9 3m2 8m 5 0 0,125 2m2 2m 4 0 1 m 2 x1 x2 2(m 3) (1) Theo định lý Vi-et ta có: 2 0,125 x1x2 3m 8m 5 (2) Theo đề ta có 2 2 x1 x2 0 x1 2x2 3x1x2 x1 x2 x1 x2 x1 2x2 x1 x2 0,25 x1 2x2 1 0 • TH1: x1 x2 0 (loại vì x1 x2 ). • TH2: x1 2x2 1 0, kết hợp với (1) ta có hệ: 2m 7 x2 x1 x2 2 m 3 3x2 2m 7 3 x 2x 1 0 x 2x 1 4m 11 1 2 1 2 x 1 3 Thay x ; x tìm được vào (2) ta có: 1 2 0,25 4m 11 2m 7 . 3m2 8m 5 3 3 m 2 l 2 19m 22m 32 0 16 m tm 19 16 Kết hợp với điều kiện ta có m thì thỏa yêu cầu bài toán. 19 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn O , D là điểm chính giữa trên cung nhỏ BC của đường tròn O , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai điểm K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC . 4 a) Chứng minh AL.CB AB.KL . 3,0 b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho BD DE . Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. c) Đường thẳng KL cắt đường tròn O tại hai điểm M , N ( K nằm giữa M , L ). Chứng minh AM AN AH. a) Chứng minh AL.CB AB.KL . 1 Xét hai tam giác AKL và ACB , có: + µA chung AK AL + AK.AB AH 2 AL.AC . 0,5 AC AB Suy ra hai tam giác AKL và ACB đồng dạng. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AL KL Suy ra AL.CB AB.KL. AB CB 0,5 b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho BD DE . Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 1,0 Ta có D là điểm chính giữa trên cung nhỏ BC nên AE là đường phân giác trong 0,25 của góc A của tam giác ABC. (*) + Tam giác DBE cân tại D nên : B· ED E· BD 1 . 0,125 + B· ED B· AD ·ABE B· CD ·ABE D· BC ·ABE 2 . 0,25 + Ta có E· BD D· BC E· BC 3 0,125 Từ (1), (2), (3) suy ra ·ABE E· BC hay BE là phân giác trong của góc B của tam giác ABC . 0,25 Từ (*) và ( ) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. c) Đường thẳng KL cắt đường tròn O tại hai điểm M , N ( K nằm giữa 1,0 M , L ). Chứng minh AM AN AH. + Hai tam giác AKL và ACB đồng dạng. 1 1 Suy ra ·ALK ·ABC sd¼AM sd N»C sd »AC 2 2 1 1 sd ¼AM sd N»C sd »AN sd N»C 0.5 2 2 sd ¼AM sd »AN AN AM 4 + Chứng minh được hai tam giác ALN và ANC đồng dạng vì có góc A chung và ·ANL ·ACN (cùng chắn 2 cung bằng nhau). AL AN 0,5 Suy ra AN 2 AL.AC. Mà AL.AC AH 2 AN AH 5 AN AC Từ (4) và (5) ta suy ra AM AN AH. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x y x y 3 2x y 5 x y 22 1,0 5 b) Cho hai số tự nhiên a,b thỏa mãn 2a 2 a 3b 2 b. Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 0,5 2x y x y 3 2x y 5 x y 22 Ta có 2x y x y 3 2x y 5 x y 22 2x y x y 3 5 x y 3 7 0,125 2x y 5 x y 3 7 Vì 7 1.7 7.1 1 . 7 7 . 1 nên ta có 4 trường hợp xảy ra. 0,125 10 x 2x y 5 1 3 TH1: (loại). 0,125 x y 3 7 2 y 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 10 x 2x y 5 7 3 TH2: (loại). x y 3 1 16 y 3 2x y 5 1 x 2 TH3: (thỏa mãn) x y 3 7 y 8 2x y 5 7 x 2 0,125 TH4: (thỏa mãn) x y 3 1 y 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x; y là 2;8 và 2;2 b) Cho hai số tự nhiên a,b thỏa mãn 2a 2 a 3b 2 b. Chứng minh rằng 2a 2b 1 0,5 là số chính phương. Ta có 2a2 a 3b2 b a b 2a 2b 1 b2 * Gọi d a b,2a 2b 1 với d ¥ * a b Md 0,25 2 Suy ra a b 2a 2b 1 Md b2 Md 2 bMd. 2a 2b 1 Md Vì a b Md aMd 2a 2b Md mà 2a 2b 1 Md nên 1Md d 1 0,125 Do đó a b,2a 2b 1 1. Từ (*) ta được a b và 2a 2b 1 là số chính phương. Vậy 2a 2b 1 là số chính phương. 0,125 Cho a,b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 b a) a . 1,0 6 a2 b2 2 a3 b3 c3 a b c b) . a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 a3 b a) a . 0,5 a2 b2 2 2 2 2 a3 a a b ab ab2 Ta có 2 2 2 2 a 2 2 . 0,25 a b a b a b ab2 ab2 b Theo BĐT Cauchy ta có a a a . a2 b2 2ab 2 0,25 a3 b3 c3 a b c b) . 0,5 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 b3 c c3 a Tương tự theo câu a) ta có : b , c . b2 c2 2 c2 a2 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: 0,125 a3 b3 c3 a b c . a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a3 a3 2 a3 Ta có: . . a2 ab b2 a2 b2 3 a2 b2 0,125 a2 b2 2 b3 2 b3 c3 2 c3 Tương tự ta có . , . . b2 bc c2 3 b2 c2 c2 ca a2 3 c2 a2 0,125 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 2 a3 b3 c3 a b c 0,125 2 2 2 2 2 2 . 3 a b b c c a 3 HẾT. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (CHUYÊN) (Đề thi có 2 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức ― 1 1 1 푃 = ( ― 1) + ― 3 ― : với x > 1 và x ≠ 2. ― 2 ― 1 + 1 ( ― 1) ― 1 ― + 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi = 7 + 4 3 ― ( 5 + 1) 7 ― 4 3 + 5| 3 ― 2|. Câu 2. (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –2mx – 2m. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 thỏa mãn | 1| + | 2| = 2 3. Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực: a) + 2 2 + 1 = 4 +2. ( + 2)2 = 12 + 4 + 1 b) ( ― 1)2 = 2 + 4 + 2 . Câu 4. (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 + 5y2 + 4xy + 4y + 2x – 3 = 0. b) Lúc 7 giờ, anh Toàn điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến 3 thành phố B. Khi đi được quãng đường, xe bị hỏng nên anh Toàn dừng lại để sửa chữa. 4 Sau 30 phút sửa xe, anh Toàn tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10 km/h. Lúc 10 giờ 54 phút, anh Toàn đến thành phố B. Biết rằng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là 160 km và vận tốc của xe trên mỗi đoạn đường không đổi. Hỏi anh Toàn dừng xe để sửa chữa lúc mấy giờ? Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB > BC > AC) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB cắt đường thẳng AB tại điểm D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC. b) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Các đường thẳng CO, AB cắt nhau tại điểm H và các đường thẳng BE, CF cắt nhau tại điểm K. Chứng minh 퐾 = . c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và CE. Chứng minh IA. IB = ID. IH. Câu 6. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 + + ≥ 12 + + + DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HẾT Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức ― 1 1 1 푃 = ( ― 1) + ― 3 ― : với x > 1 và x ≠ 2. ― 2 ― 1 + 1 ( ― 1) ― 1 ― + 1 a) Rút gọn biểu thức P. Với x > 1 và x ≠ 2 ta có: ― 1 1 1 푃 = ( ― 1) + ― 3 ― : ― 2 ― 1 + 1 ( ― 1) ― 1 ― + 1 ― 1 1 1 푃 = ( ― 1) ― 1 + 1 ― : ― 2 ― 1 + 1 ( ― 1) ― 1 ― + 1 ― 1 ― 1 ― 1 1 푃 = ( ― 1)( ― 1 + + 1) + : ― 2 ― 1 + 1 ( ― 1) ― 1 ― + 1 ― 1 ― 1 ― 1 ― 1 1 푃 = ( ― 1)( + 1)( + ) + : ( ― 2)( ― 1 + 1) ― 1 + 1 ( ― 1) ― 1 ― + 1 ― 1 ― 1 푃 = + + ∙ ( ― 1) ― 1 ― + 1 ― 1 + 1 ― 1 + 1 + 2 ― 1 ( ― 1)( ― 1 ― 1) 푃 = ― 1 + 1 ∙ ― 1 + 2 ― 1 + 1 ( ― 1)( ― 1 ― 1) 푃 = ― 1 + 1 ∙ ( ― 1 + 1)2 ( ― 1)( ― 1 ― 1) 푃 = ― 1 + 1 ∙ 푃 = ( ― 1 + 1) ∙ ( ― 1)( ― 1 ― 1) P = (x – 1)(x – 2) = x2 – 3x + 2 Vậy P = x2 – 3x + 2 với x > 1 và x ≠ 2. b) Tính giá trị của P khi = 7 + 4 3 ― ( 5 + 1) 7 ― 4 3 + 5| 3 ― 2|. = 7 + 4 3 ― ( 5 + 1) 7 ― 4 3 + 5| 3 ― 2| = 4 + 4 3 + 3 ― ( 5 + 1) 4 ― 4 3 + 3 + 5(2 ― 3) (do 3 0 ) = 2 + 3 ― (2 ― 3)( 5 + 1 ― 5) = 2 + 3 ―2 + 3 = 2 3 (thỏa điều kiện) Thay = 2 3 vào P ta được 푃 = (2 3)2 ―3 ∙ 2 3 +2 = 14 ― 6 3 Vậy 푃 = 14 ― 6 3. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2. (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –2mx – 2m. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 và x2 thỏa mãn | 1| + | 2| = 2 3 . Giải: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x2 = –2mx – 2m ⇔ x2 + 2mx + 2m = 0 (1) Ta có: ∆’ = m2 – 2m. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 ⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 > 2 2 > 0 > 2 ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m – 2m > 0 ⇔ m. (m – 2) > 0 ⇔ 2 thì (*) trở thành: 4m2 – 4m + 4m = 12 ⇔ m2 = 3 (loại vì m2 > 4) • Với m 0 , +2 > 0 ) ⇔ 2 + 1 = +1 ⇔2 + 1 = + 1 + 2 ⇔2 = 2 = 0 ⇔ x – 4x = 0 ⇔ = 4 (thỏa điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; 4} DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (x + 2)2 = 12x + 4y + 1 b) (y ― 1)2 = 2y + 4x + 2 . 2 + 4 + 4 = 12 + 4 + 1 2 ― 8 ― 4 + 3 = 0(1) ⇔ 2 ― 2 + 1 = 2 + 4 + 2 ⇔ 2 ― 4 ― 4 ― 1 = 0(2) 2 2 2 2 ― 2 = Lấy (1) – (2) ta được: x – y – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2) = y ⇔ ― 2 = ― TH1: y = x – 2 thay vào (1) ta được: x2 – 8x – 4(x – 2) + 3 = 0 ⇔ x2 – 12x + 11 = 0 ⇔ = 1 = 11 • Với x = 1 thì y = 1 – 2 = –1 • Với x = 11 thì y = 11 – 2 = 9 TH2: –y = x – 2 thay vào (1) ta được: x2 – 8x + 4(x – 2) + 3 = 0 ⇔ x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ = ―1 = 5 • Với x = –1 thì y = 2 – (–1) = 3 • Với x = 5 thì y = 2 – 5 = –3 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm: S = {(1 ; –1) ; (11 ; 9) ; (–1 ; 3) ; (5 ; –3)} Câu 4. (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 + 5y2 + 4xy + 4y + 2x – 3 = 0. Ta có: x2 + 5y2 + 4xy + 4y + 2x – 3 = 0 ⇔ (x2 + 4xy + 4y2) + y2 + 2(x + 2y) + 1 – 4 = 0 ⇔ [(x + 2y)2 + 2(x + 2y) + 1] = 4 ⇔ (x + 2y + 1)2 + y2 = 4 ( + 2 + 1)2 = 4 2 = 0 ( ) Vì x, y ∈ ℤ nên phương trình trên tương đương với ( + 2 + 1)2 = 0 2 = 4 ( ) • Giải (I): + 1 = 2 = 1 ( + 2 + 1)2 = 4 ( + 1)2 = 4 = 1 , = 0 2 ⇔ ⇔ + 1 = ―2 ⇔ = ―3 ⇔ = 0 = 0 = 0 = 0 = ―3 , = 0 • Giải (II): 2 + 1 = 0 ( + 2 + 1)2 = 0 + 2 + 1 = 0 = 2 = ―5 , = 2 = 2 2 = 4 ⇔ ⇔ + 2 + 1 = 0 ⇔ = 3 , = ―2 = ―2 = ―2 Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là: S = {(1; 0); (–3; 0); (–5; 2); (3; –2)}. b) Lúc 7 giờ, anh Toàn điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến thành 3 phố B. Khi đi được quãng đường, xe bị hỏng nên anh Toàn dừng lại để sửa chữa. Sau 4 30 phút sửa xe, anh Toàn tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10 km/h. Lúc 10 giờ 54 phút, anh Toàn đến thành phố B. Biết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn rằng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là 160 km và vận tốc của xe trên mỗi đoạn đường không đổi. Hỏi anh Toàn dừng xe để sửa chữa lúc mấy giờ? Giải: Gọi vận tốc xe ban đầu là x (km/h) (x > 10). Vận tốc sau khi sửa chữa xe là: x – 10 (km/h) 3 Quãng đường từ A đến đoạn đường bị hỏng xe là: (km) 4 ∙ 160 = 120 Quãng đường còn lại là: 160 – 120 = 40 (km). 120 Thời gian đi từ A đến đoạn đường bị hỏng xe là: (h), thời gian đi từ lúc đã sửa xe đến 40 B là (h) ― 10 Anh Toàn phải dừng lại sửa xe 30 phút = 0,5 h nên tổng thời gian đi từ A đến B là: 120 40 (h) +0.5 + ― 10 Vì lúc đi từ A là 7 giờ và đi đến B là 10 giờ 54 phút nên tổng thời gian đi từ A đến B (kể cả thời gian sửa xe là 3 giờ 54 phút = 3,9 (h) 120 40 Vậy ta có phương trình: +0.5 + ― 10 = 3,9 120 40 ⇔ + ― 10 = 3,4 ⇒ 120(x – 10) + 40x = 3,4x. (x – 10) ⇔ 3,4x2 – 194x + 1200 = 0 (1) ∆’ = 972 – 3,4. 1200 = 5329 = 732 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 50 (thỏa đk) 120 (không thỏa đk) 2 = 17 BC > AC) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB cắt đường thẳng AB tại điểm D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Xét (O): = (2 góc nôi tiếp chắn cung AC) ∆CBD có CB = CD (bán kính (C)) ⇒∆CBD cân tại C ⇒ = Suy ra = Mà ta có: = + = + ∆CED có CE = CD (bán kính (C)) ⇒∆CED cân tại C ⇒ = Suy ra: = nên ∆ADE cân tại A ⇒ AE = AD Ta lại có: CE = CD (bán kính (C)) nên AC là trung trực của ED Suy ra AC ⊥ ED b) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Các đường thẳng CO, AB cắt nhau tại điểm H và các đường thẳng BE, CF cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng: 퐾 = . *Ta có: 퐹 = ó 푡 표푛 ằ푛 ó 푛 표à푖 đố푖 푖ệ푛 ủ 푡ứ 푖á 푛ộ푖 푡푖ế 퐹 Mà 퐹 = 퐹 (2 góc nội tiếp chắn cung FA của (O)) Và = (chứng minh câu a) Nên 퐹 = hay 퐹 = 퐹 Do đó ∆FBD cân tại F ⇒ FB = FD Mà CB = CD (bán kính (C)) Nên FC là trung trực của BD ⇒ FC ⊥ DB hay BH ⊥CK *Ta có: CE = CB (bán kính (C)) và OE = OB (bán kính (O)) Suy ra OC là trung trực của BE ⇒ OC ⊥BE hay CH ⊥BK Xét ∆BCK: CH ⊥BK (cmt) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BH ⊥CK (cmt) Suy ra H là trực tâm ∆BCK nên KH ⊥BC ⇒ 퐾 + 퐾 = 900 Mà BH ⊥CK (cmt) ⇒ + 퐾 = 900 Nên 퐾 = (đpcm) c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và CE. Chứng minh IA. IB = ID. IH. *Xét ∆IAE và ∆IBC có: = (2 góc nội tiếp chắn cung AC của (O)) = (2 góc đối đỉnh) ∆IAE ∽ ∆ICB (g – g) ⇒ ⇒ = ⇒IE. IC = IB. IA * Ta có: B đối xứng E qua CO (OC là trung trực của BE) ⇒ = (tính chất đối xứng) Và: = (∆CBD cân tại C) Nên: = ⇒ CDEH nội tiếp (2 đỉnh kề nhau E, D cùng nhìn cạnh CH dưới các góc bằng nhau) ⇒ = Xét ∆IED và ∆IHC có: = (cmt) = (2 góc đối đỉnh) ∆IED ∽ ∆IHC (g – g) ⇒ ⇒ = ⇒IE. IC = ID. IH Mà IE. IC = IB. IA (cmt) Vậy IB. IA = ID. IH (đpcm) Câu 6. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( + 2)2 2 ( + 2)2 ( + 2) + + + + + ≥ 12 2 2 2 2 Áp dụng Bất dẳng thức phụ ( + + ) + + ≥ + + . Dấu “=” xảy ra khi = = , a, b, c > 0 Chứng minh BĐT phụ: Áp dụng BĐT B.C.S cho hai bộ số ; ; và ( ; ; ) ta có: 2 2 2 2 2 2 ( + + )2 + + ( + + ) ≥ ( + + )2 ⇔ + + ≥ + + DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Khi đó ta có: ( + 2)2 2 ( + 2)2 ( + + + 6)2 ( + 2) + + + + + ≥ 2( + + ) ( + 2)2 2 ( + 2)2 ( + + )2 + 12( + + ) + 36 ( + 2) ⇒ + + + + + ≥ 2( + + ) ( + 2)2 2 ( + 2)2 + + 18 ( + 2) ⇒ + + + + + ≥ 2 + + + +6 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 + + 18 ⇒ + + ≥ 2 ∙ +6 (BĐT Cauchy) + + + 2 + + ( + 2)2 2 ( + 2)2 ( + 2) 9 ⇒ + + + + + ≥ 2 +6 = 12 + 2 = + 2 = + 2 + + + = = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi + + 18 ⇔ 2 ⇔ x = y = z = ( + + ) = 36 2 + + = 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Môn thi: TOÁN (chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phú ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu tỉ. x 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc B· AC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. 1) Chứng minh năm điểm A,N,O,M và F cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O) . Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Bài V (1,0 điểm) Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3,,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x 2 2 x 1 0 . 2) Cho ba số thực a,b và c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 1 0 x 1. Cách 1: Đặt t x 1,t 0. Ta có: 2 t2 1 t2 1 2 2t 0 t4 t2 2t 2 0 t2 t2 1 2(t 1) 0 t2 (t 1)(t 1) 2(t 1) 0 (t 1) t2 (t 1) 2 0 (t 1) t3 t2 2 0 (t 1) t3 t2 2t2 2 0 (t 1) t2 (t 1) 2(t 1)(t 1) 0 (t 1)(t 1) t2 2t 2 0 (t 1)2 t2 2t 2 0 t 1(TM) 2 t 1 (t 1) 1 0 L Với t 1, suy ra x 1 1 x 1 1 x 0 (TM). Vây phương trình có nghiệm x 0. Cách 2: Ta có: x2 x 2 2 x 1 0 x2 x 1 2 x 1 1 0 x2 ( x 1 1)2 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0(TM) x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 0 Vây phương trình có nghiệm x 0. a b b c c a a b b c c a 2) Ta có: VT 1 c2 1 a2 1 b2 ab bc ca c2 ab bc ca a2 ab bc ca b2 a b b c c a (a b)(a b) (b c)(b c) (c a)(c a) (a c)(b c) (a b)(c a) (a b)(b c) (a b)(a c)(b c) (đpcm). Bài II (2,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0. 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 . Lời giải 1) x2 5xy 6y2 x 2y 2 0 (x 2y)(x 3y) (x 2y) 2 (x 2y)(x 3y 1) 2 (1) Do x; y ¢ suy ra x 2y; x 3y 1 ¢ Vậy từ (1) ta suy ra các trường hợp sau x 2y 2 x 6 TH1: . x 3y 1 1 y 2 x 2y 1 x 1 TH2: x 3y 1 2 y 0 x 2y 2 x 2 TH3: x 3y 1 1 y 0 x 2y 1 x 3 TH4: x 3y 1 2 y 2 Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (6; 2);(1;0);( 2;0);(3; 2) . 2) Ta có P n2 n 16 suy ra 4P 4n2 4n 64 (2n 1)2 63 . TH1: 2n 1M 7 suy ra (2n 1)2 M49 mà 63M 49 suy ra 4P M 49 suy ra P M 49 . TH2: 2n 1M 7 suy ra (2n 1)2 M 7 mà 63M7 suy ra 4P M 49 suy ra P M 49 . Vậy P M 49 với mọi n (đpcm) Bài III (2,0 điểm) 2 1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu tỉ. x 2) Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh 2a 2ab abc 18 Lời giải 1) Cách 1: 2 2 4 2 4 2 2 Ta có x ¤ suy ra x 2 4 x ¤ x 2 ¤ . x x x x 8 8 2 4 Cùng có 3 suy ra suy ra 3 2 x ¤ 3 ¤ x 3 x x 2 2 ¤ x x x x 4 4 2 Do x2 ¤ x2 2 ¤ nên suy ra x ¤ . x2 x2 x 2 2 Vậy 2x x x ¤ suy ra x ¤ (điều phải chứng minh) x x Cách 2: 2 Ta có: x là số hữu tỉ x x4 2x2 ¤ x3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mà: x3 ¤ x4 2x2 ¤ (1) 2 x2 1 ¤ (2) 2 x 2 2 Ta lại có: ¤ ; x2 x2 2 ¤ x x2 2 ¤ x 2 x 2 2 3 x x2 2 ¤ x2 2 ¤ (3) x 3 2 Từ (2) và (3) x2 2 3 x2 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 1 ¤ 3 x2 1 3 x2 1 ¤ 2 x2 1 x2 1 3 ¤ x2 1 ¤ x2 2 ¤ x2 2 x Mà: 2  ¤ x 2 2 x ¤ x x 2 2 b c 2 2) 2a 2ab abc 2a ab(c 2) 2a a 2 2 7 a 2a 2ab abc 2a a 2 Ta sẽ chứng minh: a2 14a 49 2a a  18 4 a3 14a2 57a 72 0 (a 3)2 (a 8) 0 luôn đúng với mọi 0 a 5 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc B· AC 60 và AB AC . Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M,N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn. Lời giải DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Chứng minh năm điểm A,N,O,M và F cùng thuộc một đường tròn. B· OC B· AC (góc nội tiếp và góc ờ tâm) Mà B· AC 60 B· OC 120 Tứ giác AMON nội tiếp (1) N· AO N· MO (cùng chắn O· N ) M· AO M· NO (cùng chắn O· M ) Mà N· AO N· BO (do OA OB OAB cân) M· AO M· CO (do OA OC OAC cân) Nên N· BM N· MB MBN cân tại N NM NB M· NC M· CN MCN cân tại M MN MC NB MC Xét FNB và FMC có: NB MC (chưng minh trên) N· BF M· CF (cùng chắn A¶F) FB FC ( F là điểm chính giữa B¶C ) FNB FMC(c.g.c) FN FM · · NFB MFC Mà M· FC M· FB B· FC B· AC 60 N· FB M· FB 60 · o NFM 60 · o NAM 60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A,N,O,M , F cùng thuộc một đường tròn 2) Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O) . Gọi . J . là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc B· AC . Ta có C¶Q A¶F B¶P , do đó QJMC và BJNP là các tứ giác nội tiếp F là điểm chính giữa cung BC nên B· FC B· AC 60 suy ra BFC đều Suy ra M· QC M· QC F· AC 60 Lại có M· OC 60 suy ra MCQO là tứ giác nội tiếp Suy ra 5 điểm M,C,Q, J,O cùng thuộc một đường tròn Chứng minh tương tự B,N,O, J,P cũng thuộc một đường tròn Suy ra C· JM C· OM 60 B· AC B· AC Suy ra AMJB là tứ giác nội tiếp M· AJ M· BJ 30 2 Suy ra AJ là tia phân giác của góc B· AC 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK . Theo trên ta có PBQC là hình thang cân, OJ là đường trung trưc của CP DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn B· AC Mặt khác J·AP C· AP C· AP 30 ·JOP O· CF ·JOP O· PK ·JKP 2 Suy ra tứ giác AKJP nội tiếp Suy ra K· AJ J·PK K· CJ 60 B· AK B· AJ K· AJ 30 60 90 Hay AK  AB Bài V (1,0 điểm) Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3,,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,,22} , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n . Lời giải 1) Gọi các phần tử của tập A là A a1 ,a2 ,a3 ,a100  . Không mắt tính tổng quát già sử a1 a2 a3  a100 Giả sử tập A không có hai số tự nhiên nào liên tiếp thì ta có a2 a1 2;a3 a2 2.;a100 a99 2 Suy ra a100 a100 a90  a3 a2 a2 a1 a1 99.2 a1 178 vậy a100 không thuộc tập hợp {1,2,3,178} (trái với giả thiết) suy ra điều giả sử là sai từ đó ta có điều phải chứng minh. 2) Với n {2,3,4,22} giả sử không tồn tại hai phần tử nào của A có hiệu bẳng n (*). Ta có ai aj kn (k ¥ )i, j {1,2,3,100} Với các phần tử a1 ,a2 ,a3 ,a12 Ta có khi đó tập không thể có các phần tử có dạng * a1 79 A a1 k,n k ¥ 178 a 99 Xét bất phương trình a k.n 178 k 1 4 1 n 22 Vậy ít nhất có 4 số thuộc tập {1,2,3 178} không thuốe A . Tưong tự như vậy với a2 ,a3 a12 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 4 số thuộc tập{ 1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trương hợp là khác nhau). Với các phần tử a13 ,a14 ,a15 a34 Ta có khi đó tập không thể có các phằn tử có dạng * a13 91 A a13 k.n k ¥ 178 a 87 Xét bất phương trình a kn 178 k 13 3 13 n 22 Vậy ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A . Tương tự như vậy với a14 ,a15 a34 mỗi trường hợp cũng có ít nhất có 3 số thuộc tập {1,2,3,178} không thuộc A ( các số bỏ đi trong các trường họp là khác nhau). Suy ra tập A không nhiều hơn 178 114 64 phẩn tử ( trái với giả thiết) vậy điều giả sử (*) là sai tử đó ta có điều phải chứng minh. HẾT DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN KIÊN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (chuyên) (Đề thi gồm 02 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x 2 2x x x 2 Bài 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức A (với x 0, x 1, và x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A tại x 3 2 2 . Bài 2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số thực a,b sao cho phương trình (ẩn x ) x2 ax b 0 có hai a 1 nghiệm là và . 3 a 2 Bài 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 3 2 x 2y x 2x y 0 x 1 16 y 3 Bài 4 (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 8. Trên cạnh BC , lấy điểm M sao cho BM 5 . Gọi N là giao điểm của đường thẳng CD và đường thẳng vuông góc với AM tại A . Gọi I là trung điểm của MN . Hãy tính độ dài đoạn thẳng DI . Bài 5 (2,5 điểm). Cho O1 , O2 là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm A, M , sao cho O1 AO2 là góc tù. Tiếp tuyến tại A của O1 cắt O2 tại điểm thứ hai B (khác A ). Tiếp tuyến tại A của O2 cắt O1 tại điểm thứ hai D (khác A ). a) Trên cung AD không chứa M của O1 , lấy điểm K , khác A và D , sao cho đường thẳng KM cắt cung AB không chứa M của O2 tại điểm L , khác A và B . Chứng minh rằng đường thẳng AK song song với đường thẳng BL . b) Gọi C là điểm đối xứng của A qua M . Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp. Bài 6 (1,5 điểm) a) Cho m, p,r là các số nguyên tố thỏa mãn mp 1 r . Chứng minh rằng m2 r hoặc p2 r là số chính phương. b) Tìm tất cả các số nguyên tố q , sao cho tồn tại số nguyên dương n để n2 22q là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11. Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phòng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có một con chuột trốn trong các căn phòng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phòng. Có một chú mèo tìm cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng, và nếu con chuột đang trốn ở căn phòng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang trốn ở căn phòng nằm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ngay bên cạnh. Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con chuột sau tối đa bốn tối hay không? Vì sao? 1 1 1 2 Bài 8 (0,5 điểm). Cho x, y, z là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn . Chứng minh x y z 2021 rằng, ta có bất đẳng thức sau: x y z x 2021 y 2021 z 2021 . Đáp án Bài 1. a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức x( x 2) 2( x 1) (2x x x 2) A ( x 1)( x 2) x x 2x 2 x 2 2x x x 2 Ta có: ( x 1)( x 2) 2 x 4 2( x 2) 2 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) x 1 b) (0,5 điểm) ta có x 3 2 2 ( 2 1)2 2 2 do đó: A 2 ( 2 1)2 1 2 1 1 Bài 2. (1,0 điểm) Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo), a,b là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi a 2 (1) a 1 a (2) 3 a 2 a 1  b (3) 3 a 2 1 3 Với a thỏa mãn (1) ta có (2) 4a2 8a 3 0 a ,a 2 2 1 1 Thay a vào (3) ta được b 2 9 3 Thay a vào (3) ta được b 1 2 1 1 3 Vậy có tất cả hai cặp số thực a,b thỏa mãn yêu cầu là ; , ; 1 . 2 9 2 Bài 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 2 x 2y x 2x y 0 x 1 16 y 3 Điều kiện: x 1 và y 16 . (1) Với điều kiện đó, ta có: 3 2 2 x 2y x 2x y 0 (x 2y) x 1 0 x 1 16 y 3 x 1 16 y 3 x 2y 2y 1 16 y 3. Ta có: (3) ( 2y 1 5) ( 16 y 2) 0 2(y 12) y 12 0 2y 1 5 16 y 2 2 1 (y 12) 0 2y 1 5 16 y 2 y 12. Thay y 12 vào (2), ta được x 24 . Cặp số x, y 24,12 thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho. Bài 4. (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 8. Trên cạnh BC , lấy điểm M sao cho BM 5 . Gọi N là giao điểm của đường thẳng CD và đường thẳng vuông góc với AM tại A . Gọi I là trung điểm của MN . Hãy tính độ dài đoạn thẳng DI . Xét hai tam giác vuông ABM và ADN , ta có: AB AD , BAM DAN (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) Do đó tam giác ABM ADN (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, DN BM (1). Qua M kẻ đường thẳng song song ID cắt NC tại E . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Xét tam giác MNE : Do I là trung điểm của MN và ID / /ME , nên D là trung điểm của NE . Vì thế DE DN BM (theo (1)). Suy ra, MC CE (2) Do I, D tương ứng là trung điểm của MN, NE , nên ID là đường trung bình của tam giác. Do đó, 1 DI EM . 2 Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có: EM MC 2 CE 2 2MC 2 (do (2)) 2MC 2 BC BM 2 8 5 3 2 . 3 2 Vì thế DI . 2 Bài 5. Cho O1 , O2 là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm A, M , sao cho O1 AO2 là góc tù. Tiếp tuyến tại A của O1 cắt O2 tại điểm thứ hai B (khác A ). Tiếp tuyến tại A của O2 cắt O1 tại điểm thứ hai D (khác A ). a) (1,0 điểm) Trên cung AD không chứa M của O1 , lấy điểm K , khác A và D , sao cho đường thẳng KM cắt cung AB không chứa M của O2 tại điểm L , khác A và B . Chứng minh rằng đường thẳng AK song song với đường thẳng BL . Với giả thuyết O1 AO2 là góc tù, ta có thế hình như ở trên. Xét O1 , ta có: AKM MAB (góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (1) Xét O2 , ta có: MLB MAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2) Từ (1) và (2), suy ra, AKM MLB . Do đó, AK / /LB (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) (1,5 điểm) Gọi C là điểm đối xứng của A qua M . Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp. . Xét O1 ta có: MDA MAB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (3) Xét O2 ta có MAD MBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không chứa B) (4) Từ (3) và (4), suy ra, AMD∽ BMA. MA MB MC MB Do đó, ; mà MC MA (gt), nên . (5) MD MA MD MC Do trong một tam giác, mỗi góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó, nên cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được: DMC CMB (6) Từ (5) và (6), suy ra, DMC∽ CMB . Do đó, DCM CBM . Vì thế, ta có: DCB DCM MCB CBM MCB 180 BMC 180 (BAM MBA) 180 (BAM MAD) (do(4)) 180 BAD Suy ra, BAD DCB 180o . Do đó, ABCD là tứ giác nội tiếp. Bài 6. a) (1,0 điểm) Cho m, p,r là các số nguyên tố thỏa mãn mp 1 r . Chứng minh rằng m2 r hoặc p2 r là số chính phương. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vì m, p là các số nguyên tố nên mp 4 . Do đó, r 5. Mà r là nguyên tố nên r là số lẻ. Vì thế, mp r 1 là một số chẵn. Suy ra, trong hai số m, p , có ít nhất một số bằng 2. - Nếu m 2 thì r 2 p 1. Do đó: p2 r p2 2 p 1 p 1 2 , Là một số chính phương. - Nếu p 2 thì r 2m 1. Do đó m2 r m2 2m 1 m 1 2 là một số chính phương b) Tìm tất cả các số nguyên tố q , sao cho tồn tại số nguyên dương n để n2 22q là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11. Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương n,k sao cho n2 22q 11k . (1) Do n2 22q 11 nên 11k 11; suy ra k 2 . Vì thế, từ (1), ta có: n2 22q M112 . (2) Do 22qM11 nên từ (1) suy ra, n2 M11; mà 11 là số nguyên tố, nên n2 M112 . (3) Từ (2) và (3) suy ra, 22qM112 . Do đó, qM11; mà q là số nguyên tố nên q 11. Ngược lại, với q 11, ta có: 332 22.11 112. 9 2 113 . Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là q 11. Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phòng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có một con chuột trốn trong các căn phòng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phòng. Có một chú mèo tìm cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng, và nếu con chuột đang trốn ở căn phòng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang trốn ở căn phòng nằm ngay bên cạnh. Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con chuột sau tối đa bốn tối hay không? Vì sao? Câu trả lời là "có". Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự các căn phòng bởi 1,2,3,4. Với mỗi k 1,2,3,4 , gọi căn phòng được đánh số k là "phòng k ". Trong phần trình bày dưới đây, thứ tự của các ngày được tính từ ngày đầu tiên mèo vào dãy phòng để lùng bắt chuột. Xét lịch trình lùng bắt chuột như sau của mèo: - Tối ngày 1: Vào phòng 2 ; - Tối ngày 2 : Vào phòng 3 ; - Tối ngày 3: Vào phòng 3 ; - Tối ngày 4: Vào phòng 2 . Khi đó, nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 2 hoặc phòng 4, thì mèo sẽ bắt được chuột vào tối ngày 1, hoặc vào tối ngày 2 (bắt được vào tối ngày 1 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng , và bắt được vào tối ngày 2 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng 4). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 1 hoặc phòng 3, thì nó s thoát được mèo trong hai tối đầu tiên. Tuy nhiên, do sang ngày 3, theo cách trốn của mình, chuột sẽ lại trốn ở phòng 1 hoặc phòng 3 , nên nó sẽ bị mèo bắt vào tối ngày 3 , hoặc vào tối ngày 4 (bị bắt vào tối ngày 3 , nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 3; và bị bắt vào tối ngày 4, nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 1 ). Vậy, với lịch trình lùng bắt nêu trên, mèo sẽ bắt được chuột, sau tối đa bốn tối. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi của bài ra là "có". Lưu ý: Lịch trình lùng bắt trên đây không phải là lịch trình duy nhất để mèo đạt được mục tiêu đặt ra ở đề bài. 1 1 1 2 Bài 8. (0,5 điểm). Cho x, y, z là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn . Chứng minh x y z 2021 rằng, ta có bất đẳng thức sau: x y z x 2021 y 2021 z 2021 . 2021 2021 2021 Từ giả thuyết đề bài suy ra 2 x y z x 2021 y 2021 z 2021 Do đó 3 2 1 x y z x 2021 y 2021 z 2021 Suy ra x y z (x y z) (*) x y z Do x, y, z 2021 nên x 2021, y 2021, z 2021 0 . Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức x 2021 y 2021 z 2021 Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương x, y, z và , , , từ x y z (*) ta được: x y z ( x 2021 y 2021 z 2021)2 Do đó, x y z x 2021 y 2021 z 2021 . 6063 (Đẳng thức xảy ra khi x y z ) 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG Môn thi: TOÁN – CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: A 4 10 2 5 4 10 2 5 . Câu 2. (2,0 điểm) Cho B 2 22 23 24 22021 22022. Chứng minh rằng B 2 không phải là số chính phương. Câu 3. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC .Biết BC AB 2cm, AC 10cm và C· AH 300. Tính diện tích tam giác ABC. Câu 4. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a b 20c c3. Chứng minh rằng a3 b3 c3 chia hết cho 6. Câu 5. (2,0 điểm) Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo? 2x y 3 x2 9 0 Câu 6. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 y 2xy 9 0. Câu 7. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 m 1 x m2 2 0 ( x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2 x1 x2 4 (biết x1 x2 ). Câu 8. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC và đường tròn A; AB chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B ). Tia CE cắt AD tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của AD. Câu 9. (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a b c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất a3 b3 c3 biểu thức: P . a2 4ab b2 b2 4bc c2 c2 4ca a2 Câu 10. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có B· AD 900 . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K . Chứng minh rằng bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn. HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Ký tên Giám thị 2: Ký tên: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG Môn thi: TOÁN – CHUYÊN (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Câu 1 Tính giá trị biểu thức: A 4 10 2 5 4 10 2 5 . (2,0 điểm ) - Lập luận : A 0 0,5 điểm 2 2 A 4 10 2 5 4 10 2 5 0,5 điểm 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2. ( 5 1)2 0,5 điểm 8 2( 5 1) 6 2 5 ( 5 1)2 A 1 5. 0,5 điểm Câu 2 Cho B 2 22 23 24 22021 22022 . Chứng minh rằng (2,0 điểm ) B 2 không phải là số chính phương. - Biến đổi: B 2 22 23 24 22021 22022 2B 2 2 22 23 24 22021 22022 2 3 2022 2023 2B 2 2 2 2 0,5 điểm - Tính được: 2B B 22023 2 B 22023 2 0,5 điểm - Tính được: B 2 22023 2 2 22023 0,5 điểm - Lập luận được: Vì 22023 là lũy thừa với số mũ lẻ nên 22023 không là số chính phương. Vậy B 2 không là số chính phương 0,5 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 3 Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC . Biết AC 10cm, (2,5 điểm ) 0 BC AB 2cm và C· AH 30 . Tính diện tích tam giác ABC. A 10cm 30° C H B - Tính được: CH AC.sin300 5cm AH AC.cos300 5 3cm 0,5 điểm - Viết được: AB2 HB2 AH 2 2 2 2 AB BC 5 5 3 0,5 điểm - Lập luận : BC AB 2cm AB BC 2 0,5 điểm 2 2 BC 2 BC 5 75 BC 2 BC 5 BC 2 BC 5 75 0,5 điểm - Tính được: BC 16 cm AH.BC 5 3.16 - Vậy S 40 3 cm2 0,5 điểm ABC 2 2 Câu 4 Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a b 20c c3 . (2,0 điểm ) Chứng minh rằng a3 b3 c3 chia hết cho 6. - Biến đổi được: a b 20c c3 a b c c3 c 18c a b c c c 1 c 1 18c 0,5 điểm - Chứng minh được: a b c c c 1 c 1 18cM6 0,5 điểm - Mặt khác: a3 b3 c3 (a b c) (a 1)a(a 1) (b 1)b(b 1) (c 1)c(c 1)M6 0,5 điểm 3 3 3 - Lập luận kết luận a b c chia hết cho 6 0,5 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5 Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả (2,0 điểm ) thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo? - Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường THCS X x, y N *; x, y 60 0,5 điểm - Lập luận được pt: x y 60 0,25 điểm 38x 50y - Lập luận được pt: 42 60 0,5 điểm x y 60 x 40 - Giải hệ pt: 38x 50y 42 y 20 0,5 điểm 60 0,25 điểm - Trả lời: Cô giáo : 40 , thầy giáo : 20 2 Câu 6 2x y 3 x 9 0 1 Giải hệ phương trình: (1,5 điểm ) 2 y 2xy 9 0. 2 - Điều kiện 2x y 3 0, 0,25 điểm 2 2 - Phương trình (2) y x x 9 0,25 điểm - Phương trình 1 2x y 3 y x 2 0 0,25 điểm 2x y 3 0 x 3 0,5 điểm y x 0 y x - Kiểm tra điều kiện và kết luận hệ phương trình có nghiệm 3;3 0,25 điểm Câu 7 Cho phương trình: x2 m 1 x m2 2 0 (*) ( x là ẩn, m là (2,0 điểm ) tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2 x1 x2 4 (biết x1 x2 ). - Lập luận được phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu thì P < 0 ac 1. m2 2 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu với 0,5 điểm mọi giá trị m. - Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và x1 x2 Suy ra x1 0, x2 0 x1 x1, x2 x2 do đó từ gt: 2 x1 x2 4 2x1 x2 4 1 0,5 điểm x1 x2 1 m (2) - Theo định lí Viet ta có: 2 0,25 điểm x1.x2 m 2 (3) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x1 x2 1 m (2) x1 m 5 - Giải hệ 2x x 4 (1) x 6 2m 1 2 2 0,25 điểm Mà x1 0 x2 nên ta được m 3. - Thay x1 m 5, x2 6 2m vào (3) ta được phương trình: 2 m 2 (m 5)(6 2m) m 2 . 0,25 điểm m 14 - Kết hợp m 3 ta được m 2 thỏa yêu cầu bài toán. 0,25 điểm Câu 8 Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính (2,5 điểm ) BC và đường tròn A; AB chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B). Tia CE cắt AD tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của AD . B O C H E D A F 0,5 điểm - Kẻ đoạn nối tâm OA và dây chung BE OA  BE - Chứng minh được: BE  CF 0,5 điểm 0,5 điểm - Chứng minh được:OA / /CF - Chứng minh được tứ giác AOCF là hình bình hành 0,5 điểm OC FA . BC AD AD 0,5 điểm - Lập luận: từOC AF F là trung điểm của 2 2 2 AD . Câu 9 Cho a, b, c là các số dương và a b c 6. Tìm giá trị nhỏ (1,5 điểm ) nhất biểu thức: a3 b3 c3 P . a2 4ab b2 b2 4bc c2 c2 4ca a2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a3 b Với a,b 0, ta chứng minh a . a2 b2 2 2 1 1 - Áp dụng: a b 0 a2 b2 2ab 0,25 điểm a2 b2 2ab Khi đó: a3 a(a2 b2 ) ab2 ab2 ab2 b 2 a a a a2 b a2 b2 a2 b2 2ab 2 0,25 điểm b3 c c3 a b ; c b2 c2 2 c2 a2 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 2 - Áp dụng: a b 0 2 a2 b2 4ab 0,25 điểm Ta có: a3 a3 1 a3 . ; a2 4ab b2 a2 2(a2 b2 ) b2 3 a2 b2 b3 b3 1 b3 . ; 0,25 điểm b2 4bc c2 b2 2(b2 c2 ) c2 3 b2 c2 c3 c3 1 c3 . c2 4ac a2 c2 2(c2 a2 ) a2 3 c2 a2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 0,25 điểm a2 4ab b2 b2 4bc c2 c2 4ca a2 3 3 3 1 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 1 3 a b b c c a 6 0,25 điểm -Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, dấu “=” xảy ra khi a b c 2. Câu 10 0 Cho hình bình hành ABCD có B· AD 90 .Gọi H là chân (2,0 điểm ) đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K .Chứng minh rằng bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn K O A M B C D H Gọi M là trung điểm AB . Để chứng minh bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn, ta đi chứng minh D· KH D· CH . - Chứng minh được: D· CH ·ABC ·AKC 0,5 điểm Khi đó ta đi chứng minh D· KA H· KM . Bài toán được hoàn thành nếu ta chứng minh được tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM. - Chứng minh được: K· AD K· MH 0,5 điểm Ta có: K· AD 180 K· AC 180 D· AC K· BC ·ACH mà K· MH M· HC M· CH M· BC M· CA ·ACH K· BC ·ACH Suy ra K· AD K· MH (1) - Chứng minh được: KMA # BMC KA BC AD AK MK (2) KM BM MH AD MH - Từ (1) và (2) suy ra DKA # HKM D· KA H· KM 0,5 điểm Mà D· KH D· KA ·AKH H· KM ·AKH ·AKC D· KH D· CH Và kết luận bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn. 0,5 điểm (Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng giám khảo phân bước cho điểm tương ứng) Hết . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI Môn: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ BÀI: Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tìm tất cả các giá a a a a a 2 trị nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Câu 3. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng: a) AF 2 AP.AD b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phân giác của ·PQT d) ·ADF ·QDE Câu 4. (2,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 1 1 A 53x 53y . x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x2 y2 z2 3 . Chứng minh rằng: x4 y4 z4 x3 y3 z3 3 x y z . Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y3 p 6xy 8. Tìm giá trị lớn nhất của p . Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tìm tất cả các giá a a a a a 2 trị nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Lời giải: a 0 a) Với: a 1,2 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 2 Ta có: A : : a a a a a 2 a a 1 a a 1 a 2 a a 1 a a 1 a 2 a 2 2a 4 8 A : 2 2 a a a 2 a 2 a 2 a 2 8 Để A ¢ 2 ¢ a 2 U 8 1; 2; 4; 8 a 2 a ¢ Do: a 2 5 a 2 8 a 6 TM a 1;2 Vậy a 6 A ¢ b) Đặt: M x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021 x5 2x4 2020x3 x3 2x2 2020x x2 2x 2020 1. M x3 x2 2x 2020 x x2 2x 2020 x2 2x 2020 1 x2 2x 2020 x3 x 1 1 Mà: x 1 2021 x 1 2021 x 1 2 2021 x2 2x 2020 0. M 1 Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Lời giải: 1) Gọi vận tốc dự định của xe đạp là: x km / h ; x 0. Vận tốc sau khi tăng tốc là: x 3 km / h . 40 Thời gian dự định là: h . x Quãng đường từ lúc tăng tốc là: 40 20 20 km . 20 Thời gian lúc chưa tăng tốc là: h . x 20 Thời gian từ lúc tăng tốc là: h . x 3 20 1 20 40 x 12 TM Theo đề bài ta có: x 3 x 3 x x 15 KTM Vậy vận tốc dự định của xe đạp là: 12 (km/h) 2 2 2 2) a) Ta có: ' m 1 2m 5 m 4m 6 m 2 2 0 m => Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. x1 x2 2 m 1 b) Theo Vi-et ta có: x1 x2 2m 5 Do: x1 ; x2 là nghiệm của phương trình nên ta có: x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2x 2m 1 4 0 x2 2mx 2m 1 4 2x 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2x 2m 1 4 0 x2 2mx 2m 1 4 2x 2 2 2 2 2 2 2 2 Mà: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0 4 2x1 4 2x2 0 16 8 x1 x2 4x1x2 0 3 16 8.2 m 1 4 2m 5 0 12 8m 0 m 2 Câu 3. (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng: a) AF 2 AP.AD b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phân giác của ·PQT d) ·ADF ·QDE Lời giải: A 1 2 T P E Q F I O 2 B C 1 D M N 1 a) Xét AFP và ADF có: ·AFP ·ADF F»P ; ¶A Chung 2 AF AP AFP ∽ ADF g .g AF 2 AP.AD (đpcm) AD AF b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của I AI là trung trực của FE AI  FE tại Q. AP AI A F 2 AQ.AI (hệ thức lượng) AQ.AI AP.AD A F 2 AQ AD AP AI Xét APQ và AID có: cmt ; ¶A Chung AQ AD DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn APQ ∽ AID c.g .c ·AQP ·ADI PQID nội tiếp (vì: ·AQP là góc ngoài tại đỉnh Q) ¶ ¶ » » ¶ ¶ Ta có: A1 A2 (vì: AI là tia phân giác) NB NC B1 A2 ¶ ¶ · Xét ABN và BMN có: B1 A2 cmt ; N Chung AN BN ABN ∽ BMN g .g NB2 NA.NM (đpcm) BN MN ·IPD ·IDP IP ID r c) Ta có: ·IDP ·IQD · · 1 º IPD IQD ID 2 · · IDP AQP cmt Mà: ·AQP ·AQT đpcm · · AQT IQD doi dinh d) Gọi K là giao điểm của AI với I F»K E»K Mà: ·AQP ·AQT cmt K»P K»T F»P E»T ·FDP ·EDT đpcm Câu 4. (2,0 điểm) 2 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 1 1 A 53x 53y . x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x2 y2 z2 3 . Chứng minh rằng: x4 y4 z4 x3 y3 z3 3 x y z . Lời giải: 1 1 Co Si 1 1 a) Dự đoán điểm rơi: x y ax ax 3.3 ax ax 3.3 a2 ax a 27 3 x2 x2 x2 1 1 1 1 Ta có: A 53x 53y 2 2 27x 27x 2 27y 27y 2 x y x y x y Co Si 1 1 2 160 A 3.3 27x 27x  3.3 27y 27y  x y 27 27 x y 54 x2 y2 3 3 1 Dấu “=” xảy ra khi x y 3 160 1 Vậy Min A x y 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Ta có: x4 1 2. x4 .1 2x2 ; y4 1 2. y4 .1 2y2 ; z4 1 2. z4 .1 2z2 x4 y4 z4 2 x2 y2 z2 3 VT 2 x2 y2 z2 3 x3 y3 z3 Tương tự: x3 x 2. x3 .x 2x2 ; y3 y 2. y3 . y 2y2 ; z3 z 2. z3 .z 2z2 x3 y3 z3 2 x2 y2 z2 x y z VT 2 x2 y2 z2 x y z 2 x2 y2 z2 3 VT x2 y2 z2 x y z 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 x y z 3.3 3 VT x2 y2 z2 x y z 6 Mà: x2 1 2. x2 .1 2x ; y2 1 2. y2 .1 2y ; z2 1 2. z2 .1 2z x2 y2 z2 2 x y z 3 VT 2 x y z 3 x y z 6 x y z 3 (đpcm) Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y3 p 6xy 8. Tìm giá trị lớn nhất của p . Lời giải: a) Ta có: x2 2x 2y2 2 xy 1 x2 2x 2y2 2xy 2 x2 2xy y2 y2 2x 2 x y 2 2x y2 2y 1 2y 3 x y 2 2 x y y 1 2 3 x y 2 2 x y 1 y 1 2 4 x y 1 2 y 1 2 4 02 22 x y 1 0 x y 1 0 y 1 0 y 1 0    y 1 2 y 1 2 x y 1 2 x y 1 2 x 4 x 0 y 1 y 1    y 3 y 1 x 0 x 4 Vậy x ; y 4 ; 3 ; 0; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 1 . b) Ta có: x3 y3 p 6xy 8 p x3 y3 6xy 8 p x y 3 3xy x y 6xy 8 p x y 3 8 3xy x y 2 p x y 2 x y 2 2 x y 4 3xy x y 2 1 2 Do p là số nguyên tố nên: 2 x y 2 x y 4 3xy 1 x y 2 x y 4 3xy 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (Vì: x; y ¢ x y 2 4 ) x y 2 2 x y 4 3xy 1 x2 2xy y2 2x 2y 3xy 3 x2 xy y2 2x 2y 3 4x2 4xy 4y2 8x 8y 12 2x y 2 3y2 4 2x y 4 12y 12 4 2x y 2 2 3 y 2 2 4 12 3.12 2x y 2 1 2x y 2 1 2x y 2 1 2x y 2 1    y 2 1 y 2 1 y 2 1 y 2 1 x 3 x 2 x 2 x 1    y 3 y 1 y 3 y 1 x 3 TH1: p 8 KTM y 3 x 2 TH2: p 5 TM y 1 x 2 TH3: p 7 TM y 3 x 1 TH4: p 4 KTM y 1 Vì: p là số nguyên tố lớn nhất p 7 Vậy p 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 điểm). 4 x 3 x a) Giải phương trình: 1. 4x 8 x 7 4x 10 x 7 2x3 3x3 y 8 b) Giải hệ phương trình: 3 xy 2x 6 0 Câu 2 (2,0 điểm). a) Tìm số nguyên tố p để 2 p 1 là lập phương của một số tự nhiên. b) Trong bảng 11 11 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5. Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D, E, F tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, B,C; gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC; gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh CA, AB. a) Chứng minh rằng HE  MN HF  MP. b) Chứng minh rằng tứ giác EFPN nội tiếp. 2 BD  BM AB c) Chứng minh rằng . CD CM AC Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1. 2 a2b 2 b2c 2 c2a Câu 5 (1,0 điểm). Điểm M x; y của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0). ———— HẾT———— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Họ và tên thí sinh Số báo danh DeThi.edu.vn
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin ————————— A. LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó. B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 3,0 a x 0 Đk: 4x 8 x 7 0 x 0 0,25 4x 10 x 7 0 Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra x 0 . 4 3 Khi đó, phương trình đã cho tương đương: 1 1 0,25 7 7 4 x 8 4 x 10 x x 7 4 3 Đặt 4 x 8 t 4 7 8 (1) trở thành 1 x t t 2 t 1 2 0,5 t 9t 8 0 . t 8 Kết hợp với điều kiện t 4 7 8 t 8 7 49 x x 7 2 4 Với t 8 4 x 16 4x 16 x 7 0 x 1 1 x x 0,5 2 4 49 1 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x và x . 4 4 b Ta thấy x 0 không thỏa mãn hệ đã cho, suy ra x 0 . 3 2 2 3y x Hệ đã cho tương đương: 3 2 y 2 3 0,5 x 2 a3 2 3y Đặt a hê đã cho có dạng a y a2 ay y2 3 0 3 x y 2 3a
a y 2 2 2 2 y 3y y 3y a y do a 3 0 vô nghiệm 0,25 a 3 0 2 4 2 4 y 1 Với a y y3 3y 2 0 y 1 y2 y 2 0 y 2 0,25 +) y 1 a 1 x 2 hệ đã cho có nghiệm x; y 2; 1 +) y 2 a 2 x 1 hệ đã cho có nghiệm x; y 1;2 0,5 Vậy, hệ đã cho có nghiệm x; y là: 2; 1 và 1;2 . 2 2,0 a Do 2 p 1 là lập phương của một số tự nhiên, suy ra 2 p 1 z3 z lẻ 0,5 z 2k 1,k ¥ Khi đó, 2 p 1 2k 1 3 p k 4k 2 6k 3 . 3 0,5 Vì p là nguyên tố nên k chỉ có thể là 1 2 p 1 3 p 13 . Vậy, số nguyên tố p cần tìm là 13. b Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 121, khi đó hiệu giữa hai số ghi ở hai ô 0,25 này là 120. Số ô vuông cách nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 121 nhiều nhất là 20 cặp ô vuông (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột). Ví dụ trong bảng trên ô ghi số 1 và ô ghi số 121 cách nhau 4 cặp ô vuông 1;a1 , a1;a2 a2 ;a3 , a3;121 . 0,25 1 a1 a2 a3 121 Nếu hiệu của hai số trong hai ô kề nhau nào đó cũng chỉ là 5 thì qua 20 cặp ta có sự chênh lệch là 20.5 100 . Như vậy 1 100 101 121. Do đó ắt có hai ô kề nhau 0,5 nào đó sao cho hiệu hai số viết trong hai ô lớn hơn 5. 3 3,0 A E F O P H N B D M C 2
a Ta có: E· HF F· AE 180o và P· MN P· AN 180o F· HE P· MN 1 0,25 Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC nên 0 1 0 0,25 M· AC O· AC 90 C· OA 90 ·ABC H· AF 2 Lại có tứ giác AFHE và APMN nội tiếp H· AF H· EF, M· AC M· PN 0,25 Suy ra H· EF M· PN 2 MP MN Từ (1) và (2) suy ra MNP ∽ HFE HE  MN HF  MP W. 0,25 HE HF b Do ·AEF H· EF 90o , ·APN M· PN 90o và kết hợp với (2) 0,5 Suy ra ·AEF ·APN · · o · · o · · o Lại có NEF AEF 180 NEF APN 180 hay NEF EPN 180 0,5 Do đó tứ giác EFPN nội tiếp. c BD S HF  AB Ta có: AHB CD S HE  AC AHC 0,5 BM S AB  MP và ABM CM S ACM AC  MN BD  BM AB2  HF  MP Suy ra 0,25 CD CM AC 2  HE  MN 2 BD  BM AB Do HF  MP HE  MN , suy ra W. 0,25 CD CM AC 4 1,0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 1 a2b 33 a2b và 33 ab2 a b b a 2b. 2 0,25 2 2 1 a b 1 3 2 1 Suy ra 2 1 a b 2 1 1 a  ab 1 a a 2b 2 a b 1 1 a b 33 a2b 3 9 1 1 1 Suy ra (a2 2ab) (1) 0,25 2 a2b 2 18 1 1 1 Tương tự, cũng có: (b2 2bc) (2) 2 b2c 2 18 0,25 1 1 1 (c2 2ca) (3) 2 c2a 2 18 Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được 1 1 1 3 1 2 a b c 1. Điều phải chứng minh. 0,25 2 a2b 2 b2c 2 c2a 2 18 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 5 1,0 + n 4 không thỏa mãn, vì ta có thể chọn bốn điểm nguyên là đỉnh của một hình vuông đơn vị, khi đó, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm nguyên đang xét có 1 0,25 diện tích bằng không phải là số nguyên. 2 + Ta chứng minh n 5 là số nguyên bé nhất thỏa mãn. Ta chia các điểm nguyên M (x; y) của mặt phẳng thành 4 loại: Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn. 0,25 Khi đó, trong 5 điểm nguyên đang xét, luôn có hai điểm cùng loại, ta gọi đó là hai điểm A, B. Ta sẽ chứng minh, với mọi điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn là số nguyên. 3
Thật vậy: + Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì do A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn. 1 0,25 Gọi h là khoảng cách d(C; AB), với C(c ;c ), khi đó S AB h là số nguyên. 1 2 ABC 2 Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên. + Xét trường hợp A(a1;a2 ), B(b1;b2 ) thuộc cùng một loại, nhưng a1 b1, a2 b2 . Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D(b1;a2 ) (Hình vẽ). Khi đó, theo lập luận ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích là 0,25 số nguyên, suy ra SACBD là số nguyên. Nhưng SACBD SABC SABD , nên SABC là số nguyên. Điều phải chứng minh. Hết 4
ĐỀ SỐ 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG BẮC GIANG MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu I. (5,0 điểm) 3x 5 x 1 14 x 1 2 x 1 x 1 1) Cho biểu thức A x 3 x 1 x 1 1 x 1 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị của x để Anhận giá trị là số nguyên Nhóm đã tổng hợp và giải chi tiết 46 đề thi tuyển sinh vào 10 hệ chuyên của 46 tỉnh thành 2) trên cả nước tất cả có giải chi tiết, vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 2 m(m là tham số). Tìm m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho 1 1 biểu thức T 4 4 đạt giá trị nhỏ nhất x1 1 x2 1 Câu II. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 1 x 1 5x 13 x3 xy 2x2 2y 0 2) Giải hệ phương trình: x y 2 x 1 y x 5 9x 5 x 2 Câu III. (3,0 điểm) a2 3 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a;b để biểu thức nhận giá trị là số ab 3 nguyên 2) Trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cmchứa không ít hơn 1010điểm trong 2020 điểm đã cho Câu IV. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC đồng quy tại H.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC,K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF 1) Chứng minh rằng KB.KC KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp DEF 2) Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q.Chứng minh FP FQ 3) Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM Câu V. (1,0 điểm) Cho a,b,clà các số thực dương. Chứng minh rằng: 5
a2 b2 c2 1 5a2 b c 2 5b2 c a 2 5c2 a b 2 3 ĐÁP ÁN Câu I. 1.a) 3x 5 x 1 14 x 1 2 x 1 A x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 6 x 1 8 x 1 1 x 1 7 x 1 7 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 2 x 1 7 Vậy A ,với điều kiện x 1, x 2 x 1 2 5 5 5 1b) Ta có: A 1 .Với x 1 0 x 1 2 x 1 2 2 5 Vì Anhận giá trị nguyên nên nhận giá trị nguyên x 1 2 5 Th1: 1 x 1 3 x 10(tm) x 1 2 5 1 5 Th2: 2 x 1 x (tm) x 1 2 2 4 5  Vậy các giá trị x cần tìm là x ;10 4  2) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là : x2 mx 2 m x2 mx m 2 0 1 Nhóm đã tổng hợp và giải chi tiết 46 đề thi tuyển sinh vào 10 hệ chuyên của 46 tỉnh thành trên cả nước tất cả có giải chi tiết, vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu 2 Ta có: m2 4 m 2 m2 4m 8 m 2 4 0 m ¡ Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m ¡ .Suy ra d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 6
2 Nhận xét x1, x2 khác 1vì 1 m. 1 m 2 1 0,đúng với mọi m ¡ x1 x2 m Theo định lý Vi – et, ta có: x1x2 m 2 4 4 4 4 Ta có: x1 4 . x2 1 x1x2 x1 x2 1 m 2 m 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: 1 1 1 1 T 4 4 2 4 . 4 T 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 4 4 x1 1 x2 1 x1 x2 khi x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 x2 2 Vì x1 x2 x1 x2 2 m 2 m 2(tm) Vậy m 2 Câu II. 1) Điều kiện : x 1 0 x 1. Phương trình đã cho tương đương: x 1 x 2 x 1 x 1 1 6x 12 0 6 x 2 0 x 1 1 x 2(tm) x 1 x 2 6 0 x 1 x 1 1 6 VN x 1 1 Vậy x 2 2) Điều kiện: x 1, x 2, y ¡ . Ta có: 3 2 2 x 2(ktm) x xy 2x 2y 0 x 2 x y 0 2 y x 2 x y 2 x 1 Thay y x vào phương trình y x 5 9x 5,ta được phương x 2 x x2 2 x 1 trình : x2 x 5 9x 5 x 2 7
x2 x 2 x 1 x3 5x2 9x 5 1 x 2 Với điều kiện bài toán 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x2 4x 5 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 4x 5 0 x 1 y 1 2 x 2 x 1 x 2 x 4x 5 0 (2) 3 2 x 1 x 1 x 2 3 x 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 1 0 x 1 x 2 (3) 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 1 0 4 2 Vì x 1 x 2 x 1 x 2 2 1 2 2 1 3 x 2 x 1 x 2 1 0,x 1nên (4) vô nghiệm 2 4 x 2 5 13 x 2 x 2 x 5 13 3 x (tmdk) 2 2 2 x 1 x 2 x 5x 3 0 2 5 13 x 2 5 13 19 5 13 x y 2 2 5 13 19 5 13  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm 1;1 ; ;  2 2  Câu III. 1) Yêu cầu bài toán tương đương a2 3chia hết cho ab 3 2 b a 3 M ab 3 a ab 3 3 a b M ab 3 3 a b k ab 3 ,k ¥ * Nếu k 1 3 a b ab 3 a 3 b 3 6 Nhóm đã tổng hợp và giải chi tiết 46 đề thi tuyển sinh vào 10 hệ chuyên của 46 tỉnh thành trên cả nước tất cả có giải chi tiết, vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu 8
a 3 2 Do a,b ¥ * b 3 2 a 3 6 a 9 a 3 3 a 6 (tm) (tm) b 3 1 b 4 b 3 2 b 5 th1: ;th2: a 3 1 a 4 a 3 2 a 5 (ktm) (ktm) b 3 6 b 9 b 3 3 b 6 Nếu k 2 3 a b 2 ab 3 2a 3 2b 3 3 2a 3 1 Doa,b ¥ * 2b 3 1 2a 3 3 a 3 2b 3 1 b 1 Ta có: . Thử lại thì a;b 3;1 2a 3 1 a 1 2b 3 3 b 3 Nếu k 3 3 a b k ab 3 3 ab 3 a 1 b 1 2 0 (vô lý vì a,b ¥ *) Vậy các cặp số a,b thỏa mãn là 3;1 ; 6;5 ; 9;4 2) Gọi Alà một điểm bất kỳ trong số 2020 điểm đã cho Xét hình tròn A;1cm Trường hợp 1: Nếu hình tròn A;1cm chứa tất cả 2019 điểm còn lại ta có điều phải chứng minh. Trường hợp 2: Nếu trong 2019 điểm còn lại tồn tại điểm B nằm ngoài hình tròn A;1cm thì AB 1cm, vẽ đường tròn B;1cm .Ta chứng minh 2018điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn A;1cm hoặc thuộc hình tròn B;1cm C B A 9
Thật vậy, giả sử tồn tại điểm C trong 2018 điểm còn lại nằm ngoài cả hai hình tròn A;1cm ; B;1cm như hình vẽ. Khi đó AC 1cm,BC 1cm.Như vậy với ba điểm A,B,C thì khoảng cách của hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn 1 (mâu thuẫn với đề bài) Vậy 2018 điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn A;1cm hoặc thuộc hình tròn B;1cm Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình tròn chứa ít nhất 1009điểm đã cho và chứa thêm điểm A hoặc điểm B Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm, chứa không ít hơn 1010điểm đã cho. Câu IV. A I E P N F H O Q K B D M C A' 1) Chỉ ra tứ giác BFEC nội tiếp và KBF : KEC KF KB Khi đó KB.KC KE.KF KC KE Chỉ ra tứ giác BDHF nội tiếp , suy ra F· BH F· DH (1) Chỉ ra tứ giác CDHE nội tiếp, suy ra H· DE H· CE (2) Ta có: F· BE F· CE 3 vì tứ giác BFEC nội tiếp Từ 1 , 2 , 3 FDH EDH HD là phân giác của F· DE (4) 10
Chứng minh tương tự, ta được: HE là phân giác của F· ED 5 Từ (4) và (5) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF 2) Gọi N là giao điểm của AD,KE Nhóm đã tổng hợp và giải chi tiết 46 đề thi tuyển sinh vào 10 hệ chuyên của 46 tỉnh thành trên cả nước tất cả có giải chi tiết, vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu NF DF Theo tính chất đường phân giác trong của DEF 6 NE DE Ta có KD là phân giác ngoài của FDE tại đỉnh D. Theo tính chất đường phân giác KF DF ngoài của DEF 7 KE DE NF KF Từ (6) và(7) 8 NE KE Vì PQ / / AC , theo định lý Ta – let mở rộng ta có: NF FQ KF FP và 9 NE AE KE AE FQ FP Từ (8) và (9) FQ FP(dfcm) AE AE 3) Gọi I là giao điểm của KA với đường tròn O (I khác A) và A'là điểm đối xứng với Aqua O. Chứng minh được BHCA'là hình bình hành Suy ra ba điểm H,M , A'thẳng hàng Vì tứ giác AIBC nội tiếp đường tròn (O) KI.KA KB.KC Theo ý 1) thì KB.KC KF.KE Suy ra KI.KA KF.KE AIFE là tứ giác nội tiếp Vì ba điểm A,E,F thuộc đường tròn đường kính AH I đường tròn đường kính AH AI  HI Ta có ·AIA' 900 AI  A'I Kết hợp với AI  HI H,I, A'thẳng hàng Mặt khác ba điểm H,M , A'thẳng hàng nên 4 điểm H,M ,I, A'thẳng hàng Xét AKM có AH  KM và MH  AK H là trực tâm AKM Suy ra KH  AM (dfcm) Câu V. 1 1 1 Chứng minh với ba số dương x, y, z ta có: x y z 9 1 x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 11
2 x2 y2 z2 x y z Chứng minh được bất đẳng thức m,n, p 0 2 . Đẳng thức m n p m n p x y z xảy ra khi và chỉ khi m n p a2 b2 c2 Đặt P 5a2 b c 2 5b2 c a 2 5c2 a b 2 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 1 2 2 2 2 2 a b c 2a bc 2a bc . 2 2 2 2 2 9 a b c 2a bc 2a bc 2 2 9a 9a 2 1 2 2 a 2 2 2 2 5b2 b c a2 b2 c2 2a2 bc 2a2 bc a b c 2a bc Chứng minh tương tự, ta được: 2 9b 2 1 2 2 b 2 2 2 2 5b2 c a a b c 2b ac 2 9c 2 1 2 2 c 2 2 2 2 5c2 a b a b c 2c ab Khi đó ta có: 9a2 9b2 9c2 2a2 2b2 2c2 2 2 2 1 2 2 2 5a2 b c 5b2 c a 5c2 a b 2a bc 2b ca 2c ab bc ca ab Suy ra 9P 4 2 2 2 2a bc 2b ca 2c ab Ta có : bc ca ab b2c2 c2a2 a2b2 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab 2a2bc 2ab2c c2a2 2abc2 a2b2 Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được: 2 bc ca ab ab bc ca 1 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab ab bc ca 1 Vậy 9P 3 P . Đẳng thức xảy ra a b c 3 12
ĐỀ SỐ 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐẮK LẮK Môn thi: TOÁN – CHUYÊN Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Cho phương trình x4 2(m 4)x2 m2 8 0 (*), với m là tham số. a) Giải phương trình (*) khi m = 0. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3, x4 thỏa mãn 4 4 4 4 điều kiện x1 x2 x3 x4 240 . Câu 2 (2,0 điểm) x3 6x2 y 7 a) Giải hệ phương trình . 3 2 2y 3xy 5 b) Giải phương trình x2 4x 12 2x 4 x 1 . Câu 3 (2,0 điểm) 1 1 1 a) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình . x y 617 b) Tìm số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số biết nó chia cho 7 được số dư là 2 và bình phương của nó chia cho 11 được số dư là 3. Câu 4 (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hai đường thẳng BH, CH cắt đường tròn (I) lần lượt tại hai điểm P và Q (P khác B và Q khác C). 1) Chứng minh IA vuông góc PQ. 2) Trên hai đoạn HB và HC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM vuông góc MC; AN vuông góc NB. Chứng minh tam giác AMN cân. 1 1 1 b) Cho tam giác ABC có B· AC 2C· BA 4·ACB . Chứng minh rằng . AB BC CA Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 350 386 2015. xy yz zx x2 y2 z2 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: 13
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐẮK LẮK Môn thi: TOÁN – CHUYÊN ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm gồm tất cả 05 trang) A. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Giải phương trình khi m = 0 Với m = 0, ta được phương trình x4 8x2 8 0 0,25 Đặt t x2 . Phương trình trên trở thành phương trình 0,25 t 2 8t 8 0 t 4 2 2  t 4 2 2 0,25 Với t 4 2 2 , ta được x2 4 2 2 x 4 2 2 2 Với t 4 2 2 , ta được x 4 2 2 x 4 2 2 0,25 Vậy với m = 0, phương trình đã cho có 4 nghiệm là x 4 2 2 , x 4 2 2 b) (1,0 điểm) x4 2(m 4)x2 m2 8 0 (*) Đặt t x2 ,t 0 . Phương trình (*) trở thành phương trình 0,25 Câu 1 t 2 2(m 4)t m2 8 0 (1) (2,0 điểm) (*) có 4 nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0 8m 8 0 2 0,25 P 0 m 8 0 m 1 S 0 2(m 4) 0 Gọi t1,t2 là hai nghiệm dương phân biệt của (1). Ta được 0,25 x1 t2 , x2 t1 , x3 t1 , x4 t2 Khi đó, 4 4 4 4 2 2 2 2 x1 x2 x3 x4 240 t2 t1 t1 t2 240 2 2 2 t1 t2 120 (t1 t2 ) 2t1t2 120 0 0,25 2 m 2 m 16m 36 0 m 18(loai) Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. x3 6x2 y 7 Câu 2 a) (1,0 điểm) Giải hệ 3 2 (2,0 điểm) 2y 3xy 5 14
Điều kiện x, y ¡ . Khi đó, x3 6x2 y 7 x3 6x2 y 7 x3 6x2 y 7 3 2 3 2 3 2 2 3 2y 3xy 5 8y 12xy 20 8y 12y x 6yx x 27 0,25 x3 6x2 y 7 x3 6x2 y 7 3 (2y x) 27 2y x 3 2x3 9x2 7 0 (x 1)(2x2 7x 7) 0 0,25 2y 3 x 2y 3 x x 1 7 105 x 4 0,25 3 x y 2 Vậy hệ đã cho có ba nghiệm (x;y) là 7 105 5 105 7 105 5 105 0,25 (1;1), ; , ; 4 8 4 8 b) (1,0 điểm) Giải phương trình x2 4x 12 2x 4 x 1 Điều kiện x 1. 0,25 Nhận thấy x = – 1 không là nghiệm của phương trình đã cho nên x2 4x 12 2x 4 x 1 (x 2)2 8(x 1) 2(x 2) x 1 (x 2)2 (x 2) 0,25 8 2 1 ( ) x 1 x 1 x 2 Đặt t , phương trình ( ) trở thành phương trình t 2 8 2t 1 x 1 0,25 2t 1 0 2t 1 0 2 2 2 t 1 t 8 (2t 1) 3t 4t 7 0 x 2 x 2 0 Với t 1, ta được 1 x 1 x 2 2 x 1 x 1 (x 2) x 2 x 2 0 5 13 x 2 5 13 5 13 0,25 x 5x 3 0 x  x 2 2 2 5 13 So với điều kiện ban đầu, nghiệm của phương trình đã cho là x 2 1 1 1 a) (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Câu 3 x y 617 (2,0 điểm) 1 1 1 Phương trình 617(x y) xy 0,25 x y 617 15
2 (x 617)(y 617) 617 (a) 0,25 Vì 617 là số nguyên tố nên 2 x 617 1 x 617 617 x 617 617 0,25 (a) 2   y 617 617 y 617 1 y 617 617 x 618 x 6172 617 381306 x 1234 2   0,25 y 617 617 381306 y 618 y 1234 b) (1,0 điểm) Tìm n ¥ có 4 chữ số bé nhất thỏa n chia 7 dư 2; n2 chia 11 dư 3 Vì n2 chia 11 dư 3 nên n2 – 3 chia hết cho 11. Suy ra n2 25M11 (n 5)(n 5)M11 0,25 n 5M11 n 5M11 Suy ra n chia 11 dư 6 hoặc n chia 11 dư 5. 0,25 Nếu n chia 11 dư 6 thì n chia 77 dư 6, 17, 28, 39, 50, 61 hoặc 72. Vì n chia 7 dư 2 nên n chia 77 dư 72. 0,25 Trong trường hợp này số cần tìm là 1073. Nếu n chia 11 dư 5 thì n chia 77 dư 5, 16, 27, 38, 49, 60 hoặc 71. Mà n chia 7 dư 2 nên n chia 77 dư 16. 0,25 Trong trường hợp này số cần tìm là 1017. Vậy 1017 là số cần tìm. a) (2,0 điểm) A P E I Q H F Câu 4 M N (3,0 điểm) B C 1) (1,0 điểm) PQ vuông góc với AI Trong tam giác ABC, gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B và C. Khi 0,25 đó, ABE vuông tại E và ACF vuông tại F. Từ đó suy ra ·ABP B· AC 90o ·ABP ·ACQ 0,25 · · o ACQ BAC 90 16
» » sđ AP = sđ AQ 0,25 A là điểm chính giữa cung PQ AI vuông góc với PQ (đpcm) 0,25 2) (1,0 điểm) tam giác AMN cân Theo giả thiết, Tam giác AMC vuông tại M có ME là đường cao nên AM 2 AE.AC (i) 0,25 Tam giác ANB vuông tại N có NF là đường cao nên AN 2 AF.AB (ii) ·AEB ·AFC 900 Tam giác AEB và tam giác AFC có nên chúng đồng · · 0,25 EAB FAC dạng với nhau. Do đó, AE AB AE.AC AF.AB (iii) 0,25 AF AC Từ (i), (ii), (iii) ta được AM 2 AN 2 AM AN . Hay tam giác AMN 0,25 cân tại A 1 1 1 b) (1,0 điểm) Chứng minh AB BC CA D 3a A 3a 4a a 2a a B C · · · o Đặt ACB a suy ra CBA 2a , BAC 4a và 7a 180 . Gọi D là giao 0,25 điểm của AB với đường trung trực cạnh BC. Khi đó, BDC cân tại D suy ra D· CB 2a . Suy ra CA là phân giác trong AB AD 0,25 của D· CB . Do đó, (a) BC DC Mặt khác, DCA cân tại C vì D· AC ·ADC 3a . Do đó, AB AB 0,25 CA CD (b) CA CD AB AB 1 1 1 Từ (a), (b) ta được 1 (đpcm) 0,25 BC CA BC CA AB Câu 5 350 386 Đặt P . Phân tích P như sau 0,25 (1,0 điểm) xy yz zx x2 y2 z2 17
1 1 1 P 157 386 2 2 2 xy yz zx 2 xy yz zx x y z Ta luôn có (x y)2 (y z)2 (z x)2 0 x2 y2 z2 xy yz zx 0 (x y z)2 3(xy yz zx) 1 0,25 Theo giả thiết x + y + z = 1 suy ra 3 (i). Đẳng thức xảy ra xy yz zx 1 khi và chỉ khi x y z . 3 1 1 4 Mặt khác, (a b)2 0 ,a 0,b 0. Đẳng thức xảy ra a b a b khi và chỉ khi a = b. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 0,25 1 1 4 4 (ii) 2(xy yz zx) x2 y2 z2 (x y z)2 Từ (i), (ii) suy ra P 157.3 386.4 2015 (đpcm). 1 x y z Hệ 3 vô nghiệm nên đẳng thức không 0,25 2 2 2 2(xy yz zx) x y z xảy ra. B. HƯỚNG DẪN CHẤM 1. Điểm bài thi đánh giá theo thang điểm từ 0 đến 10. Điểm của bài thi là tổng của các điểm thành phần và không làm tròn. 2. Học sinh giải theo cách khác nếu đúng và hợp lí vẫn cho điểm tối đa phần đó. Hết 18
ĐỀ SỐ 10 sí gi¸o dôc ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thanh ho¸ THPT chuyªn Lam s¬n m«n: to¸n (chuy£n to¸n) (Thêi gian 150 phót – kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 (1,5 ®iÓm) 3a 9a 3 a 1 a 2 Cho A a a 2 a 2 1 a Rót gän A. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a ®Ó A lµ mét sè nguyªn. Bµi 2 ( (1,5 ®iÓm) 1. Chøng minh r»ng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng kh¸c nhau x, y sao cho hai sè xy + x vµ xy + y ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng. Cã hay kh«ng hai sè nguyªn d¬ng kh¸c nhau x, y trong kho¶ng (668; 2005) sao cho hai sè xy + x vµ xy + y ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3 ( (2 ®iÓm) x 1 y 1 a Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ sau cã nghiÖm. x y 2a 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 Bµi 4 ( (2 ®iÓm) Trªn hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy: VÏ tËp hîp c¸c ®iÓm M cã to¹ ®é (x; y) tho¶ m·n: x 1 y 2 1 x 1 y 2 1 T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 2 x y m x y 1 x y 0 Bµi 5 ( (3 ®iÓm) Cho ABC vu«ng t¹i C, cã ®êng cao CH. Hai ®iÓm I vµ K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña 3 ®êng ph©n gi¸c cña CHA vµ CHB. §êng th¼ng IK c¾t c¸c c¹nh CA, CB lÇn lît t¹i M, N. Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c AMIH vµ BNKH néi tiÕp. KÎ Cx vu«ng gãc víi MN , Chøng minh r»ng Cx lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Gi¶ sö AB cè ®Þnh C di chuyÓn trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. T×m vÞ trÝ cña C ®Ó diÖn tÝch CMN lµ lín nhÊt. Cho ®êng th¼ng x’x vµ hai ®iÓm A, B kh«ng n»m trªn x’x. H·y dùng ®iÓm M thuéc x’x sao cho x’MA = xMB . HÕt Hä vµ tªn ch÷ ký thÝ sinh: Sè b¸o danh: Hä vµ tªn ch÷ ký gi¸m thÞ : Sè 1 : Sè 2 : 19
sí gi¸o dôc ®µo t¹o híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm Lam s¬n. thanh ho¸ m«n: to¸n (chuyªn to¸n) (§¸p ¸n nµy gåm cã 4 trang) Tªn bµi Néi dung §iÓm Bµi 1 1,5 3a 9a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 0,25 A a 2 a 1 3a 9a 3 a 1 a 4 a 3 a 2 0,75 0,25 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 0,25 2 2 0,25 A 1 §Ó A Z ⇔ Z , víi a 0, a 1 a 1 a 1 a 1 2; 1; 1; 2 0,25 0,75 Víi a 1 = - 2 Víi a = - 1 x xy + x > x2 m2 > x2 m > x Ta cã y – x = xy + y – (xy + x) = n2 – m2 (m + 1)2 – 1,0 2 m 0,25 2 2 y – x > (x + 1) – x = 2x + 1 y > 3x + 1 0,25 V× x (668; 2005) y > 3.668 + 1 = 2005 y (668; 2005). Bµi 3 2,0 §iÒu kiÖn x 1; y - 1. §Æt x 1 u, y 1 v u 0, v 0 0,25 u v a u, v 0 Khi ®ã hÖ 2 2 u v 2a 1 1,0 u v a u, v 0 u v a u, v 0 1 0,25 u v 2 2uv 2a 1 uv a2 2a 1 2 Khi ®ã ®Ó hÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi a 0, 0,25 20
Tªn bµi Néi dung §iÓm 1 a2 – 2a – 1 0 vµ ph¬ng tr×nh : t 2 at a 2 2a 1 0 2 cã a 0 0,25 2 nghiÖm a 2a 1 0 1 2 a 2 6 2 2 a 2 a 2a 1 0 x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 2. 0,25 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 5 2 2 x 1 2 x 1 3 5 0,25 x 1 2 x 1 3 5 NÕu x 1 3 0 x 1 9 x 10 Khi ®ã ph¬ng tr×nh 1,0 x 10 x 10 x 10 x 10 0,25 x 1 2 x 1 3 5 x 1 3 x 10 (1) NÕu x 1 3 0 x 1 9 x 10 Khi ®ã ph¬ng tr×nh: 0,25 1 x 10 1 x 10 (2) x 1 2 x 1 3 5 KÕt hîp (1) vµ (2) ®îc 1 x 10 Bµi 4 2,0 Cã 4 trêng hîp x¶y ra : y x 1, y 2 0,25 M thuéc ®o¹n AB A dm x y 4 3 x 1, y 2 0,25 M thuéc ®o¹n BC x y 0 D B 2 m d 1,0 x 1, y 2 0,25 M thuéc ®o¹n CD 1 x y 4 C x 1, y 2 M thuéc ®o¹n DA O 2 x x y 2 1 0,25 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M lµ - 1 h×nh vu«ng ABCD. Ph¬ng tr×nh x 1 y 2 1cã ®å thÞ lµ h×nh vu«ng ABCD Ph¬ng tr×nh: 0,25 x y 2 m x y 1 x y 0 0,25 x y x y 1 m x y 1 0 1,0 y x 1 x y 1 x y m 0 y x m Gäi d : y = x – 1 §êng th¼ng d kh«ng cã ®iÓm chung víi h×nh vu«ng ABCD nªn khi ®ã hÖ v« nghiÖm. 0,25 21
Tªn bµi Néi dung §iÓm Gäi dm : y = x + m lµ hä ®êng th¼ng song song víi ®êng 0,25 ph©n gi¸c gãc (I) vµ song song c¹nh AD, BC cña h×nh vu«ng ABCD, c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ m. Khi ®ã 0 m 2 d m cã ®iÓm chung víi h×nh vu«ng ABCD nªn hÖ cã nghiÖm. VËy 0 m 2 th× hÖ cã nghiÖm. Bµi 5 3,5 1/ 2,0 Ta cã CIH ∽ BKH v× : 0,25 CHI = BHK = 450 , ICH = 1 ACH = 1 CBH = KBH 2 2 0,25 HI HK HIK HCB HKI = HBC HC HB ∽ 0,25 HKN + HBN = 1800. tø gi¸c BNHK néi tiÕp . Tõ HIK ∽ HCB HIK = HCB = CAB 0,25 HAM + HIM = 1800 tø gi¸c BNHK néi tiÕp . Theo c©u a) ta cã tø gi¸c BNHK néi tiÕp CNK = KHB = 450 CMN c©n CM = CN 0,25 0,5 Cx lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc vu«ng ACB Cx c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB t¹i ®iÓm chÝnh gi÷a E cña 0,25 cung AB (®èi diÖn víi C qua AB) cè ®Þnh. Ta cã CMI = CHI (g.c.g) CM = CH 1 1 1 0,25 Mµ S CM.CN CM 2 CH 2 CMN 2 2 2 DiÖn tÝch CMN lín nhÊt ⇔ H  O ⇔ C lµ giao cña 0,25 Cx  AB t¹i O (cã 2 ®iÓm C) C 0,5 N D K A MI B H O E 2/ 1,5 22
Tªn bµi Néi dung §iÓm Ph©n tÝch : Gi¶ sö ®· dùng ®îc ®iÓm M : x’MA = 2. xMB KÎ ®êng ph©n gi¸c y’My MB’ ®èi xøng cña MB qua x’x n»m trªn y’My. VÏ ®êng trßn (C) t©m B’ b¸n kÝnh R = BB’/2 0,5 ®êng th¼ng AM tiÕp xóc víi (C). Tõ ®ã c¸ch dùng C¸ch dùng : Dùng B’ ®èi xøng cña B qua x’x Dùng ®êng trßn C(B’, BB' ) 2 0,5 Dùng tiÕp tuyÕn AT, AT’ víi ®êng trßn (C) (T, T’ lµ tiªp ®iÓm) M = AT  x’x lµ ®iÓm cÇn t×m . Cßn M’ = AT’  x’x cho ta xM’A = 2.x’M’B (lo¹i) Chøng minh : Ta cã xMB = xMB’ (v× MB’ ®èi xøng víi MB qua x’x) x’MA = TMH = 2.xMB. 0,5 1,5 BiÖn luËn : Bµi to¸n lu«n cã mét nghiÖm h×nh (v× trêng hîp M’ = AT’  x’x bÞ lo¹i) A B y’ x’ H M’ x M T’ B’ T y 23
ĐỀ SỐ 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TỈNH VĨNH LONG Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm) x 2x x x x 1 a) Cho biểu thức A và B 1 với x 0, x 1. Rút gọn A và chứng x 1 x x x 1 minh B > A. b) So sánh 24 26 và 10. Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y m 1 x m 4 (m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung. Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 x x 1 x 1 x x y 2 b) Giải hệ phương trình: y 3 2y x y 2 Câu 4. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương. b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 y 2xy y 32x Câu 5. (1,0 điểm) 3 Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, BE BC . Tia Ax vuông góc với 4 AE tại A cắt tia CD tại F. a) Tính diện tích AEF b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: AE2 KF .CF Câu 6. (2,0 điểm) Cho O; R và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với O (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của O tại C cắt OI tại Q. Chứng minh: a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn. b) AMB là tam giác đều. c) OQ  MQ Câu 7. (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 x 6 x T x 3 x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =  24
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (2,0 điểm) x 2x x x x 1 a) Cho biểu thức A và B 1 với x 0, x 1. Rút gọn A và chứng x 1 x x x 1 minh B > A. b) So sánh 24 26 và 10. Lời giải x 2x x x x 2 x 1 Với x 0, x 1. Ta có: A x 1 x x x 1 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 và B 1 1 x x 1 1 x x x 1 x 1 2 Ta lại có: B A x x x 1 x 2 x 1 x 1 0 với x 0, x 1. B A (đpcm) 2 b) Ta co: 24 26 24 26 2. 24.26 50 2. 624 50 2. 625 100 102 24 26 10 Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y m 1 x m 4 (m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung. Lời giải Xét PT hoành độ giao điểm: x2 m 1 x m 4 x2 m 1 x m 4 0 * 2 2 Ta có: m 1 4 m 4 m2 2m 1 4m 16 m2 2m 1 16 m 1 16 0 m pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt m x1 x2 m 1 Theo Vi-et ta có: x1x2 m 4 Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu hay: m 4 0 m 4 Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 x x 1 x 1 x x y 2 b) Giải hệ phương trình: y 3 2y x y 2 25
Lời giải a) ĐK: 43 x 0 x 43 Phương trình x 1 0 x 1 1 x 43 1 x 43 x 7 2 2 2 43 x x 1 43 x x 2x 1 x x 42 0 x 7 x 6 0 b) ĐK: x y 2x 2x 1 x y 2x x y 2x 1 x y 1 Hệ phương trình 2y 4y x y 2y 3 x y 2 4y 3 x y Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: 2x x y 2x 4y x y 2y 2 x y x y 0 x y KTM 2 x y x 2y 0 x 2y 0 x 2y TM 2y 1 7 7 Với x 2y 2y y x 3y 2 12 6 7 x 6 Thử lại ta thấy TM 7 y 12 7 x 6 Vậy hệ pt có nghiệm là: 7 y 12 Câu 4. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương. b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 y 2xy y 32x Lời giải a) Giả sử 6 số nguyên liên tiếp lần lượt là: x; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 x ¢ Ta có: x2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x2 x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9 x2 8x 16 x2 10x 25 x2 x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9 x2 8x 16 x2 10x 25 6x2 30x 55 2 2 32x b) Ta có: x y 2xy y 32x y x 2x 1 32x y 2 x 1 2 2 2 2 Do: x; y ¢ 32x M x 1 32x x 2 M x 1 32x2 64x 32 32 M x 1 32 M x 1 x 1 2 U 32 1;2;4;8;16;32 x 1 2 4;16  (Vì: x 1 2 1 và là số chính phương) 2 x 1 TM TH1: x 1 4 x2 2x 3 0 y 8 TM x 3 KTM 26
2 x 3 TM TH2: x 1 16 x2 2x 15 0 y 6 TM x 5 KTM Vậy nghiệm của pt là: x; y 1;8 ; 3;6 Câu 5. (1,0 điểm) 3 Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, BE BC . Tia Ax vuông góc với 4 AE tại A cắt tia CD tại F. a) Tính diện tích AEF b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: AE2 KF .CF Lời giải x A B 3 1 2 1 E I 1 F C D K ¶ · · a) Ta có: A1 A3 (cùng phụ với A2 ) ¶ · A1 A3 cmt Xét ABE và ADF có: ABE ADF g .c.g ¶ ¶ B D 90 gt AD = AE (2 cạnh tương ứng) AEF  cân tại A. 3 3 Mà: BE BC (gt) BE 4 3 cm 4 4 27
AE.AF 5.5 Theo Pi-Ta-Go ta có: AE AB2 BE2 42 32 5 cm S 12,5 cm2 AEF 2 2 ¶ ¶ b) Vì: AEF  cân tại A (cmt) E1 F1 45 Mà: FI EI gt AI là trung trực của EF AI  EF IAE ; IAF cân tại I. FI EI AI Xét IKF và CEF có: ¶ ¶ I C 90 IF KF IKF ∽ CEF g .g KF.CF IF.EF ¶ CF EF F chung KF.CF IF.EF IF. 2IE 2IE2 IE2 IA2 AE2 (đpcm) Câu 6. (2,0 điểm) Cho O; R và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với O (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của O tại C cắt OI tại Q. Chứng minh: a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn. b) AMB là tam giác đều. c) OQ  MQ Lời giải D A Q I 1 O M H 2 C B a) Ta có: IC ID gt OI  CD tại I (Đường kính vuông góc với dây cung đi qua trung điểm) OI là đường trung trực của CD OQ là đường trung trực của CD QD QC Xét DOQ và COQ có: QD QC cmt ; OC OD R gt ; OQ chung DOQ = COQ c.c.c ·OCQ ·ODQ 90 ·OCQ ·ODQ 180 Y DOCQ nội tiếp. OA R 1 b) Xét AOM  tại A có: sin·M ·M 30 1 OM 2R 2 1 Gọi H là giao điểm của AB và OM ta có: MA = MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 28
Mà: OA = OB = R OM là đường trung trực của AB OM  AB tại H · · · HAM 90 M1 90 30 60 hay BAM 60 Mặt khác: ABM cân tại A (Vì: MA = MB) ABM đều (đpcm) c) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2 OI.OQ OD R OI OM OI.OQ OH.OM 2 2 OH.OM OA R OH OQ OI OM Xét OHI và OQM có: cmt ; ¶O chung OH OQ OHI ∽ OQM c.g .c ·OQM ·OHI 90 OQ  MQ (đpcm) Câu 7. (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 x 6 x T x 3 x Lời giải 3 x 6 x 3 x 3 x 6 x x 9 x2 6x x2 2x2 6x 9 Ta có: T x 3 x x 3 x 3x x2 x2 3x T x2 3x 2x2 6x 9 Tx2 3Tx 2x2 6x 9 0 T 2 x2 6 3T x 9 0 * 2 Có: 6 3T 4 T 2 .9 36 36T 9T 2 36T 72 9 T 2 8T 12 2 2 T 2 Để phương trình (*) có nghiệm thì 0 9 T 8T 12 0 T 8T 12 0 T 6 2x2 6x 9 Với T 2 2 2x2 6x 9 2x2 6x 9 0 (vô lý) x2 3x 2x2 6x 9 3 Với T 6 6 2x2 6x 9 6x2 18x 4x2 12x 9 0 x TM x2 3x 2 3 T 6 x Min 2 Vì: 1 x 2 . Thay x = 2 vào T ta được: 2x2 6x 9 13 T 6,5 2 2x2 6x 9 13 x2 3x x2 3x 2 2 2 2 2 x 1 4x 12x 18 13x 39x 9x 27x 18 0 x 3x 2 0 TM x 2 x 1 TMax 6,5 x 2 29
ĐỀ SỐ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TẠO Môn: Toán (Chuyên Toán) HÀ NAM Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian ĐỀ CHÍNH THỨC giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 2 a a 2a - 3b 3b 2 a - 3b - 2a a Cho biểu thức M = a 2 3ab Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M. 11 8 Tính giá trị của M khi a = 1 3 2 , b = 10 3 Bài 2. (2,0 điểm) Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số. Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3. 2 2 2 Tìm giá trị của m để x1 + x2 + x3 = 11. Bài 3. (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n và các số A = 444  4 (A gồm 2n chữ số 4); B = 888  8 2n n (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD. Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d. MD HA2 Chứng minh = MC HC2 Bài 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013. a b c Chứng minh + + 1. a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab Dấu đẳng thức sảy ra khi nào? HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TẠO Môn: Toán (Chuyên Toán) HÀ NAM 30