›
›
›

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án)

docx 133 trang Thái Huy 14/09/2023 6174
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_30_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_7.docx

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án)

  1. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 1
  2. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) ĐỀ SỐ 1 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): a. (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+ +52008+52009 1 1 1 1 b. (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh 1 : 1 625 5 25 25 C©u 2 (2®iÓm): 2x 1 3y 2 2x 3y 1 a. (1®) T×m x, y biÕt : 5 7 6x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b. (1®) T×m x biÕt 10 11 12 13 14 C©u 3 (1,5®iÓm): 2 VÏ ®å thÞ hµm sè: y = - x 3 C©u 4 (3®iÓm): a. (1,5®) HiÖn nay anh h¬n em 8 tuæi. Tuæi cña anh c¸ch ®©y 5 n¨m vµ tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a tØ lÖ víi 3 vµ 4. Hái hiÖn nay anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi? b. (1,5®) Cho ABC (gãc A=900). KÎ AH  BC, kÎ HP  AB vµ kÐo dµi ®Ó cã PE = PH. KÎ HQ  AC vµ kÐo dµi ®Ó cã QF = QH. a./ Chøng minh APE = APH vµ AQH = AQF b./ Chøng minh 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n) a. (1,5®) TÝnh tæng 3n 1 1 S = 1 + 2 + 5 + 14 + + (víi n Z+) 2 b. (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) C©u 5 B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n) a. (1,5®) T×m x Z ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn 5x 2 A = x 2 b. (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 DeThi.edu.vn 2
  3. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (0,75®) - Nh©n 2 vÕ tæng B víi 5 2010 - LÊy 5B - B rót gän vµ tÝnh ®­îc B = 5 1 4 b. (0,75®) - Khai c¨n råi quy ®éng 2 ngoÆc 2 - Thùc hiÖn phÐp chia ®­îc kÕt qu¶ b»ng -1 29 C©u 2 (2®) a. (1®) - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (2) ®­îc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (3) vµ tØ sè (4) ta cã 6x + 12 x = 2 tï ®ã tÝnh ®­îc y = 3 b. (1®) - ChuyÓn c¸c sè h¹ng ë vÕ ph¶i sang vÕ tr¸i - §Æt thõa sè chung ®­a vÒ 1 tÝch b»ng 0 - TÝnh ®­îc x = -1 C©u 3 (1,5®) (Mçi ®å thÞ cho 0,75®) 2 2 y = - x = - x víi x 0 3 3 2 x víi x 0), tuæi em hiÖn nay lµ y (y>0) tuæi anh c¸ch ®©y 5 n¨m lµ x – 5 Tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a lµ y + 8 x 5 y 8 Theo bµi cã TLT: vµ x - y = 8 3 4 Tõ ®ã tÝnh ®­îc: x = 20; y = 12 - VËy tuæi anh hiÖn nay lµ 20 tuæi em lµ 12 b. (1,5®) - APE = APH (CH - CG  ) - AQH = AQF (CH - CG  ) - gãc EAF = 1800 E, A, F th¼ng hµng II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5A (2®) 1 30 3 32 3n 1 a. (1,5®) - BiÕn ®æi S = n + ( ) 2 2 2 2 2 - §­a vÒ d¹ng 3S – S = 2S 2n 3n 1 - BiÕn ®æi ta ®­îc S = (n Z ) 4 b. (0,5®) - NghiÖm l¹i c¸c gi¸ trÞ 1, -1, 5, -5 vµo ®a thøc - Gi¸ trÞ nµo lµm cho ®a thøc b»ng 0 th× gi¸ trÞ ®ã lµ nghiÖm DeThi.edu.vn 3
  4. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 5 B (2®) 8 a. (1,5®) A = 5 + x 2 8 A nguyªn nguyªn x – 2 ­ (8) x 2 LËp b¶ng x -2 -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 x -6 -2 0 1 3 4 6 10 V× x Z x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A Z b. (0,5®) 76 + 75 – 74 = 74 (72 + 7 – 1) = 74 . 55  55 DeThi.edu.vn 4
  5. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm) 4 4 4 4 a. (1®) TÝnh tæng: M = -  1.5 5.9 9.13 n 4 n b. (0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 C©u 2 (1,5®iÓm) a. (1®) T×m x, y, z biÕt: x3 y3 z3 vµ x2 + y2 + z2 = 14 8 64 216 b. (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + + x50 + x51 = 0 vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = = x49 + x50 = 1 tÝnh x50 C©u 3 (2®iÓm) a. (1®) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é, cho 2 ®iÓm M(-3;2) vµ N(3;-2). H·y gi¶i thÝch v× sao gèc to¹ ®é O vµ hai ®iÓm M, N lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng? 2 x 1 3 1 1 4 2 b. (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x x x x x 2 2 2 2 a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x) 1 b./ TÝnh Q 2 c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh­ nhau. Thêi gian 3 tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy. Tæ A nhiÒu h¬n tæ C lµ 10 ng­êi. Hái mçi tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? (N¨ng suÊt lao ®éng cña c¸c c«ng nh©n lµ nh­ nhau) b. (2®) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®iÓm B bê lµ ®­êng th¼ng AD vÏ tia AM (M CD) sao cho gãc MAD = 200. Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia AN (N BC) sao cho gãc NAD = 650. Tõ B kÎ BH  AN (H AN) vµ trªn tia ®èi cña tia HB lÊy ®iÓm P sao cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iÓm N, P, M th¼ng hµng b./ TÝnh c¸c gãc cña AMN B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13 b. (1®) T×m sè d­ cña phÐp chia 109345 cho 7 C©u 5 B. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m sè nguyªn d­¬ng n biÕt DeThi.edu.vn 5
  6. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65  = 2n 35 35 35 25 25 b. (1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho 6 ®¸p ¸n I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (1®)- §­a dÊu “ – “ ra ngoµi dÊu ngoÆc 1 - T¸ch mét ph©n sè thµnh hiÖu 2 ph©n sè råi rót gän ®­îc A = 1 n 3 b. (0,5®) BiÕn ®æi råi rót gän ta ®­îc x = - 4 C©u 2 (1,5®) a c e a. (1®)- BiÕn ®æi c¸c mÉu d­íi d¹ng lËp ph­¬ng ®­a vÒ d¹ng b d f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN råi t×m x, y, z b. (0,5®) KÕt qu¶ x50 = 26 C©u 3 (2®) a. (1®) Gäi ®­êng th¼ng (d) ®i qua O vµ M(-3;2) lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng y = ax (a 0) tõ ®ã tÝnh a ®Ó x¸c ®Þnh hµm sè OM lµ ®å thÞ hµm sè. - KiÓm tra ®iÓm N(3;-2) cã thuéc ®å thÞ hµm sè kh«ng? kÕt luËn: O, M, N th¼ng hµng x3 x2 b. (1®) - Thu gän Q(x) = bËc Q(x) lµ 3 (0,25®) 2 1 1 1 1 ( )3 ( )2 1 3 - Q(- ) = 2 2 = 8 4 (0,25®) 2 2 2 16 x 2 (x 1) - Q(x) = lµ mét sè ch½n Q(x) Z (0,5®) 2 C©u 4(3®) a. (1®) Gäi sè ng­êi tæ A, tæ B, tæ C lÇn l­ît lµ x, y,z tØ lÖ nghÞch víi 14, 15, 21 1 1 1 x, y, z TLT víi ; ; Tõ ®ã tÝnh ®­îc x = 30; y = 28; z = 20 14 15 21 b. (2®) * - BNA = PNA (c.c.c) gãc NPA = 900 (1) - DAM = PAM (c.g.c) DeThi.edu.vn 6
  7. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) gãc NPM = 1800 KÕt luËn * Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; gãc AMN = 700 II. phÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) V× 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + - 888.9109 + 9110) = 13.69 (888110 – 888109.9 + - 888109 + 9110) 13 KL b. (1®) Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + 1. v× 109345 – 4345  7 4345 – 1  7 109345 chia hÕt cho 7 d­ 1 C©u 5 B (2®) §¸p ¸n 2 a. (1®) VT: - §­a tæng c¸c luü thõa b»ng nhau d­íi d¹ng tÝch vµ biÕn ®æi ®­îc 212 n = 12 b. (1®) - Nhãm sè h¹ng thø nhÊt víi sè h¹ng thø 3 råi ®Æt TSC. Sè h¹ng thø 2 víi sè hµng thø 4 råi ®Æt TSC - §­a vÒ mét tæng cã c¸c sè h¹ng  cho 2 vµ 3 mµ UCLN(2;3) = 1 tæng  6 DeThi.edu.vn 7
  8. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (2,5®iÓm): 1 1 1 761 4 5 a. (1,75®) TÝnh tæng: M = 3  4 417 762 139 762 417.762 139 b. (0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 C©u 2 (1®iÓm): 3x y 3 x a. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc tÝnh gi¸ trÞ cña x y 4 y a c 2a 3b 2c 3d b. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc chøng minh r»ng b d 2a 3b 2c 3d C©u 3 (2,5®iÓm): 1 a. (1,5®) Cho hµm sè y = - x vµ hµm sè y = x -4 3 1 * VÏ ®å thÞ hµm sè y = - x 3 * Chøng tá M(3;-1) lµ giao cña hai ®å thÞ hµm sè trªn * TÝnh ®é dµi OM (O lµ gèc to¹ ®é) b. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« con lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tr­íc 45 phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB. C©u 4 (2®iÓm): Cho ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D AC ; E AB) chóng c¾t nhau t¹i O. a. (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC b. (1®) Trªn BC lÊy ®iÓm M vµ N sao cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c. (0,5®) Gäi I lµ giao cña BD vµ AN chøng minh AIM c©n. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh chuyªn b. (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiÖm: 5 P(x) = 2x2 + 2x + 4 c. (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 C©u 5 B (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m nghiÖm cña ®a thøc 5x2 + 10x b. (1®) T×m x biÕt: 5(x-2)(x+3) = 1 DeThi.edu.vn 8
  9. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 9
  10. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (2,5®) 1 1 1 a. (2®) - BiÕn ®æi M d­íi d¹ng mét tæng råi ®Æt a = ; b = ; c = 417 762 139 3 - Rót gän råi thay gi¸ trÞ a, b, c vµo ta tÝnh ®­îc M = 762 b. (0,5®) (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + + (-1)100 = 1 + 1 +1 + + 1 = 50 C©u 2 (1®) a. (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc a c x 7 ad bc b d y 9 a c a b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2c 3d b. (0,5®) Tõ b d c d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2a 3b 2c 3d C©u 3 (2,5®) a. (1,5®) 1 * VÏ ®å thÞ hµm sè y = - x 3 1 * Tõ 2 hµm sè trªn ta ®­îc ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é - x = x -4 3 1 - Thay ®iÓm M(3; -1) vµo ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é ta ®­îc - . 3 = 3 – 4 = -1 3 M(3; -1) lµ giao cña 2 ®å thÞ hµm sè trªn. * Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy OMP vu«ng t¹i P OM 2 OP 2 PM 2 12 32 OM 1 9 10 (®v®d) b. (1®) 45 3 - §æi 45 phót = h h 60 4 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« con lµ v1 vµ v2 (km/h) t­¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2 v1 t2 3 - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng TLN ; t2 – t1 = v2 t1 4 3 - TÝnh ®­îc t2 = . 4 = 3 (h) 4 3 9 T1 = 3 (h) 4 4 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km DeThi.edu.vn 10
  11. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 4 (2®) a. (0,5®) Cã gãc B + gãc C = 900 900 gãc OBC + gãc BCO = 450 (BD, CE lµ ph©n gi¸c) 2 gãc BOC = 1800 – 450 = 1350 b. (1®) B ABD = MBD (c.g.c) N gãc A = gãc M = 900 DM  BC (1) I ECN = ECA (c.g.c) M 0 E gãc A = gãc N = 90 EN  BC (2) O Tõ (1) vµ (2) EN // DM C A D c. (0,5®) IBA = IBM (c.g.c) IA = IM thay IAM c©n t¹i I II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) 1 1 a. (1®) P(x) = (x+1)2 + x2 + víi  x 4 4 vËy P(x) kh«ng cã nghiÖm b. (1®) 2454 . 5424 . 210 = (23.3)54 . (2.33)24 . 210 = 2196 . 3126 7263 = (23 . 32)63 = 2189 . 3126 Tõ ®ã suy ra 2454 . 5424 . 210  7263 C©u 5 B (2®) a. (1®) Cho 5x2 + 10x = 0 5x 0 x 0 5x(x + 10) = 0 x 10 0 x 10 NghiÖm cña ®a thøc lµ x = 0 hoÆc x = -10 (x-2)(x+3) 0 x 2 0 x 2 b. (1®) 5 = 1 = 5 (x-2)(x+3) = 0 x 3 0 x 3 VËy x = 2 hoÆc x = -3 DeThi.edu.vn 11
  12. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 12
  13. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): 4 3 3 4 a. (0,75®) TÝnh tæng M = 5  27 4  ( 5 ) 23 47 47 23 b. (0,75®) Cho c¸c sè a1, a2, a3 an mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ 1 hoÆc -1 BiÕt r»ng a1a2 + a2a3 + + ana1 = 0. Hái n cã thÓ b»ng 2002 ®­îc hay kh«ng? C©u 2 (2 ®iÓm) 1 2y 1 4y 1 6y a. (1®) T×m x biÕt 18 24 6x b. (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 C©u 3 (1,5®iÓm) Cho h×nh vÏ, ®­êng th¼ng OA lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax (a 0) y y 2 o B a. TÝnh tØ sè y0 xo 4 2 A b. Gi¶ sö x0 = 5 tÝnh diÖn tÝch OBC C 1 X0 o 1 2 3 4 5 x C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« con lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tr­íc 45 phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB. b. (2®) Cho ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm E sao cho NE = NC. Chøng minh r»ng: • Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng • A lµ trung ®iÓm cña ED B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 + 1 b. (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) So s¸nh 2300 vµ 3200 DeThi.edu.vn 13
  14. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b. (1®) TÝnh tæng A = 1 + 2 + 22 + + 22010 ®¸p ¸n I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (0,75®) - BiÕn ®æi M d­íi d¹ng mét tæng 1 1 - §Æt a ; b 23 47 - Rót gän råi thay gi¸ trÞ cña a, b vµo ®­îc A = 119 b. (0,75®) XÐt gi¸ trÞ cña mçi tÝch a1a2, a2a3, ana1 n sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng 1 b»ng sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng -1 vµ b»ng 2 v× 2002  2 n = 2002 C©u 2 (2®) 1 2y (1) 1 4y (2) 1 6y (3) a. (1®) T×m x biÕt 18 24 6x - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®­îc tØ sè (4) - XÐt mèi quan hÖ gi÷a tØ sè (4) vµ (2) 6x = 2 . 24 = 48 x = 8 a c e b. (1®) - §­a vÒ d¹ng b d f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN tÝnh x, y, z C©u 3 (1,5®) a. (0,75®) - Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy ®iÓm B(x0;y0) ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax y0 y0 = ax0 = a x0 1 y Mµ A(2;1) a = 0 2 x0 y 2 y 2 0 0 x0 4 x0 4 b. (0,75®) - OBC vu«ng t¹i C 1 1 S = OC.BC = OC.y OBC 2 2 0 1 5 Víi x0 = 5 S 5 = 6,25 (®vdt) OBC 2 2 C©u 4 (3®) 45 3 a. (1®) - §æi 45 phót = h h 60 4 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« con lµ v1 vµ v2 (km/h) t­¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2 DeThi.edu.vn 14
  15. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn v1 t2 3 - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng TLN ; t2 – t1 = v2 t1 4 3 3 9 - TÝnh ®­îc t2 = . 4 = 3 (h) t1 = 3 (h) 4 4 4 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km b. (2®) - MAD = MCB (c.g.c) E gãc D = gãc B AD // BC (1) A D - NAE = NBC (c.g.c) N gãc E = gãc C AE // BC (2) M Tõ (1) vµ (2) E, A, D th¼ng hµng - Tõ chøng minh trªn A lµ trung ®iÓm cña C ED B II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 1 ta cã 2 2300 b. (1®) - Nh©n hai vÕ cña tæng víi A víi 2 2010 - LÊy 2A – A rót gän ®­îc A = 2 1 2 DeThi.edu.vn 15
  16. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) A/ PhÇn ®Ò chung 1 1 1 3 3 3 0,6 C©u 1 (1,5 ®iÓm): (1®) TÝnh tæng: A = 9 7 11 + 25 125 625 4 4 4 4 4 4 0,16 9 7 11 5 125 625 a. (0,5®) T×m c¸c sè a1, a2, a3, a9 biÕt a1 1 a2 2 a3 3 a9 9 vµ a1 + a2 + a3 + + a9 = 90 9 8 7 1 C©u 2 (2 ®iÓm) 1 3y 1 5y 1 7y a. (1®) T×m x, y biÕt 12 5x 4x b. (1®) ChØ ra c¸c cÆp (x;y) tho¶ m·n x2 2x y 2 9 = 0 C©u 3 (1,5®iÓm) a. (1®) Cho hµm sè y = f(x) = x + 1 víi x ≥ -1 -x – 1 víi x < -1 * ViÕt biÓu thøc x¸c ®Þnh f * T×m x khi f(x) = 2 2 b. (0,5®) Cho hµm sè y = x 5 * VÏ ®å thÞ hµm sè * T×m trªn ®å thÞ ®iÓm M cã tung ®é lµ (-2), x¸c ®Þnh hoµnh ®é M (gi¶i b»ng tÝnh to¸n). C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh víi vËn tèc 40km/h. Sau khi ®i ®­îc 1/2 qu·ng ®­êng AB th× «t« t¨ng vËn tèc lªn 50km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. Do ®ã «t« ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 18 phót. TÝnh qu·ng ®­êng AB. b. (2®) Cho ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iÓm cña BC, ®iÓm E n»m gi÷a M vµ C. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H vµ K thuéc ®­êng th¼ng AE). Chøng minh r»ng: * BH = AK * MBH = MAK * MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) T×m c¸c sè x, y, z tho¶ m·n ®¼ng thøc (x 2)2 + (y 2)2 + x y z = 0 b. (1®) T×m x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x – y) C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 DeThi.edu.vn 16
  17. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 49 49 (7 7)2 b. (1®) Rót gän biÓu thøc sau mét c¸ch hîp lÝ: A = 2 64 4 2 4 2 7 7 343 §¸p ¸n I. phÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®: mçi ý ®óng 0,75®) a. A = 1 b. ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y TSBN ta tÝnh ®­îc a1 = a2 = = a9 = 10 C©u 2 (2®iÓm: mçi ý ®óng 1®) a. - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®­îc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2)  12 + 4x = 2.5x  x = 2 1 - Tõ ®ã tÝnh ®­îc y = - 15 b. - V× x2 2x 0 vµ y 2 9 0 x2 + 2x = 0 vµ y2 – 9 = 0 tõ ®ã t×m c¸c cÆp (x;y) C©u 3 (1,5®) a. (1®) - BiÓu thøc x¸c ®Þnh f(x) = x 1 - Khi f(x) = 2 x 1 = 2 tõ ®ã t×m x 2 b. (0,5®) - VÏ ®å thÞ hµm sè y = x 5 x 0 5 O (0;0) y 0 2 A (5;2) 2 - BiÓu diÔn O(0;0); A(5;2) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é OA lµ ®å thÞ hµm sè y = x 5 2 2 - M ®å thÞ y = x -2 = x x = -5 5 5 C©u 4 (3®iÓm) 18 3 a. (1®) 18 phót = (h) 60 10 - Gäi vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh ®i nöa qu·ng ®­êng tr­íc lµ v1; t1, vËn tèc vµ thêi gian ®· ®i nöa qu·ng ®­êng sau lµ v2; t2. - Cïng mét qu·ng ®­êng vËn tèc vµ thêi gian lµ 2 ®¹i l­îng TLN do ®ã: v2 v1 v2 v1 100 V1t1 = v2t2 B t1 t2 t1 t2 3 DeThi.edu.vn M 17 K E H A C
  18. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 t (giê) thêi gian dù ®Þnh ®i 1 2 c¶ qu·ng ®­êng AB lµ 3 giê - Qu·ng ®­êng AB dµi 40 . 3 = 120 (km) b. (2®) - HAB = KCA (CH – GN) BH = AK - MHB = MKA (c.g.c) MHK c©n v× MH = MK (1) Cã MHA = MKC (c.c.c) gãc AMH = gãc CMK tõ ®ã gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) MHK vu«ng c©n t¹i M II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) – V× (x 2)2 0 víi  x (y 2)2 0 víi  y x y z 0 víi  x, y, z 2 (x 2) 0 x 2 2 §¼ng thøc x¶y ra (y 2) 0 y 2 z 0 x y x 0 b. (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y 2y(2y – x) = 0 mµ y 0 nªn 2y – x = 0 x = 2y 4 2 Tõ ®ã x = ; y = 3 3 C©u 5 B (2®) a. (1®) - §Æt 2x lµm TSC rót gän - BiÕn ®æi 120 d­íi d¹ng luü thõa c¬ sè 2 råi t×m x 1 b. (1®) BiÕn ®æi tö vµo mÉu råi rót gän ®­îc A = 4 DeThi.edu.vn 18
  19. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THỊ XÃ Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ¥ biết: 25 y2 8(x 2009)2 DeThi.edu.vn 19
  20. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: 3 điểm 1 1 2 2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 = 6 2 5 3 4 109 6 15 17 38 8 19 = ( : . ) : 19 . 0.5đ 6 100 2 5 100 3 4 109 3 2 17 19 38 = . . : 19 1đ 6 50 15 5 50 3 109 2 323 19 = : 0.5 6 250 250 3 109 13 3 = . = 0.5đ 6 10 19 506 3 253 = . 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a c a) Từ suy ra c2 a.b 0.5đ c b a2 c2 a2 a.b khi đó 0.5đ b2 c2 b2 a.b a(a b) a = 0.5đ b(a b) b a2 c2 a b2 c2 b b) Theo câu a) ta có: 0.5đ b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 1đ a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a hay 0.5đ a2 c2 a b2 a2 b a vậy 0.5đ a2 c2 a Bài 3: 1 a) x 4 2 5 1 x 2 4 0.5đ 5 1 1 1 x 2 x 2 hoặc x 2 1đ 5 5 5 DeThi.edu.vn 20
  21. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 9 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 1 1 11 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 b) 15 3 6 1 x x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x 0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 ( )x 0.5đ 5 4 14 49 13 x 0.5đ 20 14 130 x 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4.y 3.z và x x y z 59 1đ x y z x x y z 59 hay: 60 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x 60. 12 ; x 60. 15 ; x 60. 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ · · 200 suy ra DAB DAC M Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên D ·ABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nên D· BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra B C ·ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 DeThi.edu.vn 21
  22. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y2 8(x 2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 Vì y2 0 nên (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ¥ ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ DeThi.edu.vn 22
  23. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 ®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H· EM và B· ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC DeThi.edu.vn 23
  24. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn d) AM = BC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 0,5 điểm 6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 điểm 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 0,5 điểm 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 điểm 6 3 2 b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 điểm =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm DeThi.edu.vn 24
  25. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 4 2 1 4 16 2 0,5 điểm x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 0,5 điểm x 1 2 1 x 2 3 0,5 điểm 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 0,5 điểm x 2 1 5 3 3 b) (2 điểm) x 1 x 11 x 7 x 7 0 0,5 điểm x 1 10 x 7 1 x 7 0 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 0,5 điểm DeThi.edu.vn 25
  26. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. 0,5 điểm Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180, ta được: a = 72 ; b = 135; c = 30 0,5 điểm Khi đó ta có só A = 72 +( 135) + ( 30 ) = 237. b) (1,5 điểm) a c 2 0,5 điểm Từ suy ra c a.b c b a2 c2 a2 a.b 0,5 điểm khi đó b2 c2 b2 a.b 0,5 điểm a(a b) a = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) Thang Đáp án điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = E· MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) DeThi.edu.vn 26
  27. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra ·AMI = E· MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên B· ME = H· EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1điểm suy ra D· AB D· AC 0,5 điểm Do đó D· AB 200 : 2 100 0,5 điểm b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nên D· BC 600 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) DeThi.edu.vn 27
  28. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC ĐỀ SỐ 8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KIẾN XƯƠNG MÔN: TOÁN 7 === === (Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1(4 điểm): Tính giá trị biểu thức 0 3 1 3 9 2 3 5 7 19 a) + . 2 . 1 + 2 b) 2 + 2 + 2 + + 2 4 4 16 3 (1.2) (2.3) (3.4) (9.10) Bài 2(3,5 điểm): x y z a) Biết = = ; x 2y + 3z = 51. Tính giá trị của A = 2x y + z + 1 2 3 7 b) Tìm x biết: x 2013 x 2014 x 2015 = 2 Bài 3(3 điểm): Cho hàm số y = m. x a) Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm P( 0,5; 1) b) Với m vừa tìm được, tìm trên đồ thị hàm số những điểm Q(x0; y0) thỏa mãn x0 y0 = 9 Bài 4(3,5 điểm): 3 x 1 4 1 2 1 1 4 2 x a) Cho đa thức M(x) = x + x + x x + x + 2 2 2 3 2 3 Thu gọn và chứng minh M(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x. b) Tìm số nguyên x, y biết 2017x2 + 2018 = y2 Bài 5(6 điểm): Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Kẻ EI vuông góc với AH tại I, tia phân giác của B· AC cắt BE tại M. Chứng minh rằng: 1) ABM vuông cân 2) IE = AH DeThi.edu.vn 28
  29. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3) A· HM 450 Họ và tên thí sinh Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 KIẾN XƯƠNG KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG === === Bài Câu Đáp án Điểm 1. a. 0 2,0đ 3 1 3 9 2 Tính + . - 2 . 1 + - 2 (4,0đ) 4 4 16 3 0,5 3 1 3 25 = + . - 2 . + 1 4 4 16 3 1 5 0,5 = + . - 8. + 1 4 4 4 3 1 0,5 = + .- 10 + 1 4 4 3 1 3 - 9 - 3 0,5 = + . - 9 = + = 4 4 4 4 2 3 5 7 19 2,0đ b. Tính + + + + (1.2)2 (2.3)2 (3.4)2 (9.10)2 3 5 7 19 0,5 = + + + + 1.4 4.9 9.16 81.100 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 = - + - + - + + - 1 4 4 9 9 16 81 100 1 0,5 = 1 - 100 99 = 0,5 100 2. a. x y z 2,0đ Biết = = ; x - 2y + 3z = 51. Tính A = 2x - y + z + 1 2 3 7 DeThi.edu.vn 29
  30. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (3,5đ) x y z 2y 3z 0,5 Ta có = = = 2 3 7 6 21 áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau có 0,5 x y z 2y 3z x - 2y + 3z 51 = = = = = = 3 2 3 7 6 21 2 - 6 + 21 17 => x = 6; y = 9; z = 21 0,5 => A = 2x - y + z + 1 = 25 = 5 0,5 b. Tìm x biết: x 2013 x 2014 x 2015 = 2 1,5đ x 2013 - x - 2013 - x - 2013 x Ta có x 2015 x 2015 x x 2014 0x 0,5 x 2013 x 2014 x 2015 2 0,25 x 2013 0 2013 x 2015 x 2015 0 Dấu bằng xảy ra x 2014 x 2014 0 0,5 KL : x 2014 0,25 3. a. Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm P(-0,5; 1) 1,5đ (3,0đ) Đồ thị hàm số đi qua điểm P(-0,5; 1) => khi x = -0,5 thì y = 1 0,5 Thay x = - 0,5; y = 1 vào hàm số y = m. x ta được: 0,25 0,5 m. - 0,5 = 1 => m = 2 KL : Vậy m = 2 là giá trị cần tìm 0,25 b. Với m vừa tìm được, tìm trên đồ thị hàm số những điểm Q(x0; y0) 1,5đ thỏa mãn x0 - y0 = - 9 Vì điểm Q(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = 2. x 0,25 => y0 = 2. x0 Từ x - y = - 9 => x - 2. x = - 9 (1) 0 0 0 0 0,25 +) Nếu x0 < 0 thì (1) trở thành 3x0 = - 9 0,25 DeThi.edu.vn 30
  31. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn => x0 = - 3(thỏa mãn x0 Q(- 3; 6) 0,25 +) Nếu x0> 0 thì (1) trở thành - x0 = - 9 => x0 = 9(thỏa mãn x0 > 0) => Q(9; 18) 0,25 Vậy tìm được 2 điểm Q thỏa mãn yêu cầu: Q(- 3; 6); Q(9; 18) 0,25 Chú ý: Nếu Hs không đối chiếu với x0 ở 2 trường hợp hoặc xét 1 trường hợp trừ 0,5 điểm ở câu b 4. a. Thu gọn và chứng minh M(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi số 2,5đ (3,5đ) nguyên x x3 x4 x2 x x4 x 0,5 M(x) = - + + + - x2 - 2 2 2 3 2 3 4 4 3 2 x x x x 2 x x 0,5 M(x) = - + + - x + - 2 2 2 2 3 3 x3 x2 0,5 M(x) = - 2 2 x3 x2 1 0,5 Ta có M(x) = - = .x.x.(x - 1) 2 2 2 Vì x là số nguyên => x, x - 1 là hai số nguyên liên tiếp => x.(x - 1) 0,25 chia hết cho 2 => M(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x 0,25 b. Tìm số nguyên x, y biết 2017x2 + 2018 = y2 1đ Có 2016x2 + 2018 = y 2 - x2 = (y + x)(y - x) (*) 0,25 Từ (*) => (y + x)(y - x) chẵn Có y + x + y - x = 2y chẵn 0,25 => y + x; y - x cùng chẵn => (y + x)(y - x)  4 0,25 Mà 2016x2 + 2018 không chia hết cho 4 0,25 DeThi.edu.vn 31
  32. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy không tìm được số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức trên Bài 5(6 điểm): Cho ABC vuông tại A (AB ABE cân tại A 0,5 2điểm => A· BE 450 0,5 0 0,5 mà M· AB 45 ( vì AM là phân giác B· AC ) 0,5 => ABM cân tại M Xét ABH và EAI có: A· HB A· IE 900 H· AB I·EA 900 I·AE 0,5 2) 2điểm AB = AE (GT) => ABH = EAI ( cạnh huyền – góc nhọn ) 1 => AH = EI 0,5 - Vì ABE cân tại A, mà AM là đường phân giác của ABE => AM là trung tuyến của ABE => M là trung điểm của BE 1 Từ đó suy ra AM = BE 2 A 0,5 3) - Kẻ EK vuông góc với BC tại K 2điểm 1 Từ đó suy ra KM = BE => KM = AM 0,5 2 I E - c/m được IHE = KEH (g.cg) M => KH = EI B H K C Mà AH = EI => KH = AH 0,5 - c/m được AHM = KHM (c.c.c) 1 => A· HM K· HM A· HK 450 2 0,5 DeThi.edu.vn 32
  33. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn * Lưu ý: - HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Bài hình HS không vẽ hình hoặc hình vẽ không đúng yêu cầu đề bài thì không chấm điểm bài hình - Điểm bài thi là tổng điểm đạt được các bài, không làm tròn. ĐỀ SỐ 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (3 điểm). 7 5 5 2 5 18 a. Tính giá trị biểu thức    13 9 9 13 9 13 b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13 Bài 2 (4 điểm). x2 3 Cho biểu thức A . x 2 a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được. b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ? c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài 3 (2 điểm). Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96 . 4 5 6 Tìm x; y; z. Bài 4: (3 điểm). Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c DeThi.edu.vn 33
  34. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm. Bài 5 (8 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN. b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. Chứng minh BMK CMD . c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Bài Nội dung Điểm Bài 1 7 5 5 2 5 18 (3đ) a. Tính giá trị biểu thức    13 9 9 13 9 13 7 5 5 2 5 18    13 9 9 13 9 13 5 7 2 18 5 7 2 18 5 9 5 1.5đ . . . 9 13 13 13 19 13 13 13 9 13 13 b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13 0.5đ (a + 4b)  13 10(a + 4b)  13 Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b  13 0.5đ Do 10(a + 4b)  13 nên (10a +b )  3 0.5đ Bài2 (4đ x2 3 ) Cho biểu thức A . x 2 a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được. Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x-2 = 0 0.5đ Kết luận : Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x = 2 0.5đ b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ? Nhận xét : x2 0  x x2 +3 > 0  x 0.5đ A nhận giá trị là số âm khi x-2 nhận giá trị là số âm 0.5đ A nhận giá trị là số âm khi x < 2 0.5đ c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên DeThi.edu.vn 34
  35. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 x 3 x4 4 7 7 0.5đ A (x 2) x 2 x 2 x 2 7 A nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên 0.5đ x 2 7 nhận giá trị nguyên khi 7  (x-2) x 2 x-2 nhận các giá trị : -7 ; -1 ; 1; 7 Giải ra, thử lại và kết luận: x 0.5đ 5;1; 3; 9 Bài Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 3(2đ) 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96 . 4 5 6 Tìm x; y; z. 5z 6y 6x 4z 4y 5x Từ 4 5 6 20z 24y 30x 20z 24y 30x 0.5đ 16 25 36 0.5đ 20z 24y 30x 20z 24y 30x 0 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x 10 25 36 0.5đ = 0 20z = 24y = 30x 10z = 12y = 15x 0.5đ x y z 3x 2y 5z 3x 2y 5z 96 3 4 5 6 12 10 30 12 10 30 32 Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 Bài 4 Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c (3đ) a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c 0.5đ Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012 4025 1 0.25đ Tính được: 2a = 4025 và tính được a ; b 2 2 0.5đ 4025 1 Kết luận : a ; b và c = 0 2 2 0.25đ b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm. Tính được : 2012 = f(1) = a + b +c (1) 2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2) 2036 = f(3) = 9a +3b +c (3) 0.5đ DeThi.edu.vn 35
  36. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (1) và (2) có a – b = 8 (4) Từ (2) và (3) có a + b = 0 (5) 0.5đ Từ (4) và (5) tìm được a = 4 ; b = -4 và tìm được c = 2012. Như vậy f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = .= (2x – 1)2 + 2011 > 0  x Kết luận: Đa thức vô nghiệm 0.5đ Bài 5 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm (8đ) D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. B N M E D A C K a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN 1.0đ * Chứng minh được: BAD = BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và · · · 0 0 0 DBC DBA ABC = 45 + 45 = 90 0.5đ Kết luận BDC vuông cân tại B. 0.5đ 1.0đ * Chứng minh được BDM = BCN DM = CN b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. Chứng minh BMK CMD . Vì BDM = BCN suy ra B· NC B· MD 0.5đ BNC vuông tại B nên B· NC B· CN 900 0.5đ · · 0 CME vuông tại E nên MCE CME 90 0.5đ Từ đó suy ra C· ME B· MD 0.5đ Vì C· ME B· MD B· MK C· MD 0.5đ DeThi.edu.vn 36
  37. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chứng minh BMK = CMD (g.c.g) 0.5đ c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK * AB = a, tính được BC = a 2 do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC 1 a 2 0.5đ Và cũng tính được BD = BC = a 2 ; BM = BC 2 2 * Vì BMK = CMD suy ra MD = MK. Vậy chu vi DMK bằng 2MD + DK 0.5đ a 5 Tính được DM do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông 2 BDM 0.5đ Chứng ming được BDK = BCK DK BC a 2 Chu vi tam giác DMK bằng 0.5đ 5 2DM DK 2a a 2 a 10 a 2 a 10 2 2 Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm. - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ). DeThi.edu.vn 37
  38. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn UBND HUYỆN THÁI THỤY KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ 10 Bài 1 (3 điểm ) 2012 1- Tìm x và y thoả mãn : 2x 2011 3y 2012 0 2- Có tìm được hai chữ số a và b để 2011ab là bình phương của một số tự nhiên không? Vì sao ? Bài 2 (3 điểm ) x y y z 2x 3y 4z 1. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z 2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: b3 c3 d 3 d Bài 3 (4 điểm ) 1 1 1 1 1 . Tính : P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 2012) 2 3 4 2012 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 x 2- Tìm x thoả mãn : . 2 35 35 35 25 25 Bài 4 (2 điểm ) Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau. Bài 5 (8 điểm) Cho tam giác ABC có Bµ < 900 và Bµ = 2Cµ . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. 1- Chứng minh: B· EH ·ACB 2- So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA. 3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ? DeThi.edu.vn 38
  39. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2 HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN 7 Bài Nội dung Điểm 1- Tìm x và y thoả mãn : 2x 2011 3y 2012 2012 0 2x 2011 0 x Nhận xét: 2012 3y 2012 0 y Đẳng thức xảy ra khi 2x – 2011 = 0 và 3y + 2012 = 0 0.75đ 2011 2012 Tìm được x = và y = 0.75đ Bài 1 2 3 (3đ) 2- Có tìm được hai chữ số a và b để 2011ab là bình phương của một số tự nhiên không? Vì sao ? 0.75đ Ta có: 0 ab 99 201100 2011ab 201199 4482 2011ab 4492 0.25đ 448 và 449 là hai số tự nhiên liên tiếp nên 2011ab không là bình phương của một 0.5đ số tự nhiên x y y z 2x 3y 4z 1. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z x y x y y z y z x y z ; (1) 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 0.5đ 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3x 4y 5z 3x 4y 5z Từ (1) và 30 60 96 30 60 96 45 80 120 45 80 120 0.25đ 0.25đ 2x 3y 4z : 3x 4y 5z = 2x : 3x = 1 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 3x 4y 5z : = 1 0.25đ Bài 2 30 60 96 45 80 120 (3đ) 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0.25đ 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: b3 c3 d 3 d a b c a3 b3 c3 a3 b3 c3 Từ b2 = ac và c2 = bd ta có : = (2) b c d b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 0.75đ a3 a.a.a a a a a b c a Mà . . . . (3) b3 b.b.b b b b b c d d 0.5đ Từ (2) và (3) có điều cần chứng minh 0.25đ Bài 3 1 . Tính : (4đ) DeThi.edu.vn 39
  40. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 2012) 2 3 4 2012 0.75đ 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 2012.2013 = 1 . . . . 2 2 3 2 4 2 2012 2 0.5đ 2 3 4 5 2013 1 . 2 3 2013 2 2 2 2 2 2 1 1 2012.2013 2025077 0.75đ 1 2 3 2013 1 1 2 2 2 2 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 2- Tìm x thoả mãn : . 2x 35 35 35 25 25 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 4.45 6.65 46 66 . . = . 1.0đ 35 35 35 25 25 3.35 2.25 36 26 6 6 6 4 12 x 12 1.0đ = . 2 2 2 x = 12 3 2 Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau. * Với x = 0 ta có - 2012 . f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0 Bài 4 0.5đ * Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) 0.5đ (2đ) Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0 0.5đ Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011 0.25đ Từ đây suy ra điều cần chứng minh 0.25đ Cho tam giác ABC có Bµ < 900 và Bµ = 2Cµ . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. A 1 D Bài 5 (8đ) B 2 1 H B’ C E 1- Chứng minh: B· EH ·ACB µ ¶ Tam giác BEH cân tại B nên E H1 0.5đ DeThi.edu.vn 40
  41. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn µ · µ ¶ µ · · 1.0đ Mà 2C ABC E H1 2E . Vậy BEH ACB 2-.So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA. 0.5đ Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC = DH. (1) D· AH 900 Cµ Chứng minh được 0.5đ · 0 ¶ 0.5đ DAH 90 H2 Suy ra D· AH ·AHD DAH cân tại D nên DA = DH. (2) 0.5đ Từ (1) và (2) ta có : DC = DH = DA 0.5đ 3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ? · ' · ' µ · ' µ µ ABB’ cân tại A nên AB B ABB 2C , mà AB B A1 C 1.0đ Vậy 2Cµ µA Cµ µA Cµ . Kết luận : Tam giác AB’C cân tại B’ 1 1 1.0đ 4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2 Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông tại A thì · 0 · 0 ABC 60 ; ACB 30 0.5đ Chứng minh được: Tam giác AHD đều nên DA= AH 0.5đ Chứng minh được : AHC DAE suy ra : DE = AC 0.5đ Do AC2 = BC2 – AB2 từ đó DE2 = BC2 – AB2 0.5đ Lưu ý: - Trên đậy là hướng dẫn chấm, đề nghị trước khi chấm tổ nghiên cứu kỹ và thống nhất - Điểm bài thi tính đến 0,25 điểm - Không cho điểm hình vẽ, song nếu không có hình thì không chấm phần chứng minh hình - Học sinh có các cách giải khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa DeThi.edu.vn 41
  42. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TIỀN HẢI MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tính A. b) Tìm chữ số tận cùng của A. c) A có là số chính phương không? Vì sao? Bài 2 (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x 1 2 3 1 b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các 70 mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x). Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN. d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN. Bài 5 (2,0 điểm) Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng DeThi.edu.vn 42
  43. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN 7 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tính A. b) Tìm chữ số tận cùng của A. c) A có là số chính phương không? Vì sao? Câu Nội dung Điểm Ta có: A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016 0,5 3A = 32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 a/ Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + 0,5 (1,5 đ) + 32015 + 32016) 32017 3 A = . 0,5 2 Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) 0,75 b/ = 3(1 + 3 + 32 + 33) + + 32013(1 + 3 + 32 + 33) (1,5 đ) = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) 0,5 Suy ra A có chữ số tận cùng là 0 0,25 Lập luận được A chia hết cho 3 0,25 c/ Lập luận được A không chia hết cho 32 0,25 (1,0 đ) Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương 0,5 Bài 2 (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x 1 2 3 1 b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các 70 mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Câu Nội dung Điểm Lập luận được x 1 2 > 0. 0,5 a/ Nên x 1 2 3 x 1 2 = 3 x 1 1 (2,0 đ) 0,75 x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 x = 2 hoặc x = 0. 0,5 Vậy x = 2 ; x = 0 0,25 a b c Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là ; ; thì ta có b/ x y z 0,5 (2,0 đ) a b c 1 a b c x y z 1 và ; x y z 70 3 4 5 5 1 2 DeThi.edu.vn 43
  44. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c a x b y c z y : : : x z 0,75 3 5 4 1 5 2 3 4 5 5 1 2 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c 1 1 y x y z 1 a 3 b 4 c 5 x z = 70 = ; ; 0,5 3 4 5 3 4 5 71 7 x 35 y 7 z 14 5 1 2 5 1 2 10 3 4 5 Vậy 3 phân số cần tìm là ; ; . 0,25 35 7 14 Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x). Câu Nội dung Điểm Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: 0,5 a/ a2- a = a(a+1) +4. (1,5đ) a2 - a = a2 +a + 4 a = -2. 0,75 Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25 Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4 0,5 f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. b/ 1 Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) -6x + 6 = 6x + 2 x = . 0,75 (1,5đ) 3 1 Vậy khi x = thì f(3x- 1) = f(1- 3x). 0,25 3 Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN. d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN. Câu Nội dung Điểm DeThi.edu.vn 44
  45. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn N M A E F D B C a/ C/minh được M· AC B· AN (Cùng bằng 900 +B· AC ). 0,75 (2,0đ) MA = AB ( MAB vuông cân tại A) 0,75 AC = AN ( tam giác NAC vuông cân tại A) AMC = ABN(c-g-c) 0,5 Gọi giao điểm của BN với AC là F. 0,5 Chỉ ra được A· FN D· FC( vì AMC = ABN) b/ · · 0,5 (2,0đ) ANF = FCD ( vì AMC = ABN ) Từ đó suy ra F·DC = F·AN = 900 1,0 Do đó: BN  CM. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông MDN, BDC, 1,0 c/ MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2. (1,5đ) Tính được MN = 21 cm 0,5 Trên tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD 0,5 CM AMD = ABE (c-g-c) Suy ra AD = AE ADE cân tại A (1) d/ AMD = ABE M· AD B· AE D· AE M· AB 900 0,75 (1,5đ) ADE vuông tại A (2) 1 Từ (1) và (2) A· DE 450 A· DE M· DN 2 0,25 DA là phân giác của M· DN Bài 5 ( 2,0 điểm) Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 Câu Nội dung Điểm Vì 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 0.25 Þ 2016a + 13b – 1 và 2016a + 2016a + b là 2 số lẻ (*) * Nếu a 0 Þ 2016a + 2016a là số chẵn 0.5 Vì 2016a + 2016a + b lẻ Þ b lẻ DeThi.edu.vn 45
  46. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Với b lẻ Þ 13b – 1 chẵn do đó 2016a + 13b – 1 chẵn (không t/m (*)) * Nếu a = 0 Þ (13b – 1)(b + 1) = 2015 = 1.5.13.31 Vì b N Þ (13b – 1)(b + 1) = 5.403 = 13.155 = 31.65 0,25 và 13b – 1 > b + 1 +) Nếu b + 1 = 5 Þ b = 4 Þ 13b – 1 = 51 (loại) +) Nếu b + 1 = 13 Þ b = 12 Þ 13b – 1 = 155 (t/m) 0.75 +) Nếu b + 1 = 31 Þ b = 30 Þ 13b – 1 = 389 (loại) Vậy (a; b) = (0; 12) 0.25 *) Mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a theo thang ®iÓm. *) Gi¸m kh¶o b¸m s¸t biÓu ®iÓm th¶o luËn ®¸p ¸n vµ thèng nhÊt. *) ChÊm vµ cho ®iÓm tõng phÇn, ®iÓm cña toµn bµi lµ tæng c¸c ®iÓm thµnh phÇn kh«ng lµm trßn. DeThi.edu.vn 46
  47. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Phßng Gi¸o dôc §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái HuyÖn Vò th­ M«n: To¸n líp 7 Thêi gian lµm bµi : 120 phót Bµi 1: 5®iÓm 1.Thùc hiÖn phÐp tÝnh (theo c¸ch hîp lÝ nÕu cã thÓ) 1 2009 1 a)2008. 2009. 2 2007 1004 2007 9 5 10 2 9 3 .109 : 5 4 16 b) 412 169 2) Chøng tá r»ng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31 Bµi 2 (4®iÓm) 1 5 1)T×m x biÕt : x 1 0,25 3 12 y z z 2)T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng 2x vµ x y 20 3 5 2 Bµi 3 (4®iÓm) Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6 Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x §Æt H(x) = P(x) - Q(x) 1.Chøng minh ®a thøc H(x) kh«ng cã nghiÖm 2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi x Z Bµi 4(5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, trªn c¸c c¹nh AB vµ AC theo thø tù lÊy c¸c ®iÓm M,N sao cho AM = AN ( M n»m gi÷a A vµ B, N n»m gi÷a A vµ C) 1.Chøng minh r»ng : NÕu AB = AC th× BN = CM 2) Cho biÕt AB > AC: a) chøng minh r»ng : BN > CM b) Gäi giao ®iÓm cña BN vµ CM lµ K, so s¸nh BK vµ CK Bµi 5 (2®iÓm) 1 1 1 1 2 Chøng minh r»ng: víi n N, n 4 22 32 42 n2 3 DeThi.edu.vn 47
  48. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn H­íng dÉn gi¶i Bµi 1: c©u 1: 3,5 ® - ý a: 1,5 ®; ý b: 2®; C©u 2: 1,5 ® 1) Thùc hiÖn phÐp tÝnh (theo c¸ch hîp lÝ nÕu cã thÓ) 1 2009 1 2008 2008.2009 2009 a)2008. 2009. 2 2.2009 2007 1004 2007 2007 1004 2007 (0,5®) 2008 2009 2.2009 2.2009 (0,5®) 2007 2007 2008 2009 1 (0,5®) 2007 2007 2007 9 5 10 9 10 10 2 9 3 2 3 3 .109 : .29.59 : 5 4 16 5 210 240 b) (0,5®) 412 169 224 236 218 230 218 (1 212 ) 1 1 (0,5®) (0,5®) 224 236 224 (1 212 ) 26 64 2) Chøng tá r»ng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25®) = (1 + 5 + 52) + 53. (1 + 5 + 52) + + 527. (1 + 5 + 52) (0,5®) = 31 + 53.31 + + 527. 31 (0,25®) = 31.(1 + 53 + + 527) chia hÕt cho 31 (0,25®) VËy 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31 (0,25®) Bµi 2 Mçi c©u ®óng cho 2 ® Bµi 3 Lµm ®óng mçi c©u cho 2®iÓm 1.Chøng minh ®a thøc H(x) kh«ng cã nghiÖm +.TÝnh ®óng H(x) = x2 + 2x + 2 (1®) = ( x + 1)2 + 1 (0,25®) 2 Do x 1 0x (0,25®) 2 x 1 1 1 0x (0,25®) => H(x) kh«ng cã nghiÖm 2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi x Z H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2 Gi¶ sö tån t¹i x Z ®Ó H(x)= 2008 (0,25®) => x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25®) => x hoÆc x+ 2 chia hÕt cho 2 => x vµ x+ 2 chia hÕt cho 2 (0,25®) => x(x + 2) chia hÕt cho 4 tøc lµ 2006 kh«ng chia hÕt cho 4 (0,25®) M©u thuÉn , v× 2006 kh«ng chia hÕt cho 4 , ®iÒu gi¶ sö lµ sai (0,25®) VËy H(x) 2008 víi x Z DeThi.edu.vn 48
  49. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 4 C©u 1 : 1®: C©u 2 4® VABN VACM(cgc) 1) A BN CM M N B C 2) ý a ®óng cho 2®iÓm, ý b ®óng cho 2 ®iÓm a) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC Khi ®ã D n»m gi÷a B vµ M. Nèi D víi N A +.c/m: VADN VACM(c.g.c) DN CM · · 0 M +.Trong VADC cã ADN ACM 180 N I => A·DN 900 D K Mµ B·DN N·DA 180 B·DN 900 => Trong tam gi¸c BDN cã BN > DN, mµ DN = CM B => BN > CM C b) Gäi giao ®iÓm cña DN vµ CM lµ I. Ta c/m : VDNM VCMN I·NM I·MN Do D n»m gi÷a B vµ M nªn tia ND n»m gi÷a 2 tia NB vµ NM · · · · => BNM DNM KNM INM K·NM K·MN KM KN MÆt kh¸c theo c/m trªn ta cã : BN > CM => BK > CK Bµi 5 1 1 1 1 2 Chøng minh r»ng: víi n N, n 4 22 32 42 n2 3 1669 1 2 +.Víi n = 5 dÔ dµnh tÝnh ®­îc gi¸ trÞ biÓu thøc lµ vµ B§T lu«n ®óng 3600 2 3 +.Víi n > 5 1 1 1 1 1 1 §Æt A vµ cã k N;k 2 22 32 42 n2 k2 k(k 1) 1 1 1 1 1 1 1669 1 1 1 A ( ) 22 32 42 52 62 n2 3600 5.6 6.7 n(n 1) 1669 1 1 1 1 A 3600 5 6 n 1 n 1669 1 1 1669 1 2389 2 A ( ) ( ) 3600 5 n 3600 5 3600 3 DeThi.edu.vn 49
  50. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 Phßng Gi¸o dôc §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái KIÕn X­¬ng M«n: To¸n líp 7 Thêi gian lµm bµi : 90 phót Bµi 1 (4®iÓm). Cho c¸c ®a thøc f(x) = x4 – 3x2 + x – 1; g(x) = x4 – x3 + x2 + 5 T×m ®a thøc h(x) sao cho 1) f(x) + h(x) = g(x) 2) f(x) + g(x) – 2h(x) = 0 Bµi 2 (4®iÓm). T×m x biÕt 1) 2,5 x 1,3 2) x 2007 2008 x 0 Bµi 3 (2®iÓm). TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a 1 16 25 M víi a ;b b 1 9 9 a c Bµi 4(3®iÓm). Cho . Chøng minh r»ng b d ac a2 c2 1) 2 2 bd b d 7a2 3ab 7c2 3cd 2) 11a2 8b2 11c2 8d2 Bµi 5 (7®iÓm). Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AB> AC) . Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. KÎ DH vu«ng gãc víi BC, trªn tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = AB. §­êng vu«ng gãc víi AE t¹i E c¾t tia DH ë K DeThi.edu.vn 50
  51. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABH c©n 2) Tõ B kÎ Bx //AE, ®­êng th¼ng nµy c¾t tia EK ë I. TÝnh sè ®o gãc DBK. H­íng dÉn gi¶i Bµi 1 1.TÝnh h(x) = - x3 + 4x2 – x + 6 (2®iÓm) 2.TÝnh h(x) = x4 – 1 x3 – x2 – 1 x + 2 (2®) 2 2 Bµi 2 1.T×m x = 1,2 hoÆc x = 3,8 (1,5®) 2. T×m x = 2007 vµ x = 2008 (1,5®) §iÒu nµy lµ v« lÝ. VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x t/m bµi to¸n (0,5®) Bµi 3 16 4 5 TÝnh a ; b (1®) 9 3 3 Thay sè vµo M ta cã M = 3,5 (1®) Bµi 4 1. Lµm ®óng (2®) 2 2 a c a c a c Tõ . (0,5®) b d b d b d ac a2 c2 a2 c2 (1®) bd b2 d2 b2 d2 ac a2 c2 => (0,5®) bd b2 d2 2> Lµm ®óng : 1® a c a b ab a2 b2 Tõ (0,25®) b d c d cd c2 d2 3ab 7a2 11a2 8b2 => (0,25®) 3cd 7c2 11c2 8d2 DeThi.edu.vn 51
  52. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3ab 7a2 11a2 8b2 = (0,25®) 3cd 7c2 11c2 8d2 => ®pcm (0,25®) Bµi 5 1. Lµm ®óng : 4® 2. lµm ®óng 3 ® Cã IE  AE;BA  AE(gt) BA // IE (1) B I Bx // AE (gt) => BI //AE (2) 4 1 23 Tõ 1,2 => BI = AE (t/c ®o¹n ch¾n //) µ µ K Chøng minh BH = BI vµ VBHD VBHK B3 B4 ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ µ µ µ H B1 B2 ;B3 B4 B1 B4 B2 B3 ¶ µ µ µ 0 A D C E Mµ B1 B4 B2 B3 90 (do Bx //AE, AE  AB) ¶ µ µ µ 0 · 0 B1 B4 B2 B3 45 DBK 45 DeThi.edu.vn 52
  53. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 UBND huyÖn ®«ng ®Ò kiÓm tra chän nguån HSG m«n h­ng to¸n líp 7 Phßng gi¸o dôc (Thêi gian lµm bµi : 90 phót)  ®Ò bµi C©u 1(4®iÓm) 1 144 a. Thùc hiÖn phÐp tÝnh A = 6561 9 324 b. Cã hay kh«ng mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ : 17 ; 5 1 ; 3 5 C©u 2(4 ®iÓm). T×m x biÕt : x 2 x 2  x 2 2005x 0 ; ( x 0 ) n = 2003 C©u 3(3®iÓm). 3 x 5 3 y 1 3 z T×m x, y, z biÕt : vµ 2 x 7 y 3z 14 3 5 7 C©u 4(2®iÓm). Cho a, b, c lµ 3 sè ®«i mét kh¸c nhau. 1 b c c a a b 1 1 1 Chøng minh r»ng 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a C©u 5(7®iÓm). Cho ABC cã ¢ = 1V , h¹ AH  BC (H BC) , ph©n gi¸c gãc BAH vµ gãc HAC c¾t BC lÇn l­ît t¹i E vµ F. a. Chøng minh r»ng : ABF c©n t¹i B. DeThi.edu.vn 53
  54. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b. Gäi ®é dµi ba c¹nh BC , CA ; AB cña tam gi¸c ABC lÇn l­ît lµ a ; b ; c . TÝnh EF theo c¸c c¹nh cña ABC. S AEF c. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó cã gi¸ trÞ lín nhÊt. S ABC ®¸p ¸n biÓu ®iÓm m«n to¸n líp 7 C©u 1 (4 ®iÓm) 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh (2®iÓm) 2 1 12 A = 812 (0,5 ®iÓm) 9 18 1 12 = .81 (0,5 ®iÓm) 9 18 = 9 + 2 (0,5 ®iÓm) 3 = 9 2 (0,5 ®iÓm) 3 2. Cã hay kh«ng mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ : 17 ; 5 1 ; 3 5 (2®iÓm) Trong ba sè 17 ; 5 1 ; 3 5 th× 3 5 lµ sè lín nhÊt. VËy nÕu 17 + 5 1 > 3 5 th× sÏ tån t¹i mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ 17 ; 5 1 ; 3 5 (1 ®iÓm ) ThËt vËy : 17 > 16 4 5 1> 4 1 3 => 17 + 5 1 > 7 = 49 > 45 = 3 5 (1 ®iÓm ) C©u 2 ( 4 ®iÓm) T×m x biÕt : x 2 x 2  x 2 2005x 0 ; (x x-2 x 2 x 2 (1 ®iÓm) Nªn tõ (1) ta cã 2006(-x+2) + 2005x = 0 (0,5 ®iÓm) => -2006x + 4012 + 2005x = 0 => x = 4012 (kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x<0) VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n bµi to¸n. (0,5 ®iÓm) C©u 3(3®iÓm) 3 x 5 3 y 1 3 z T×m x, y, z biÕt : (1) vµ 2 x 7 y 3z 14 (2) 3 5 7 DeThi.edu.vn 54
  55. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 x 5 3 y 1 3 z §Æt k (0,5®iÓm) 3 5 7 3k 5 5k 1 => x ; y ; z = 3- 7k (0,5®iÓm) 3 3 3k 5 5k 1 Thay vµo (2) ta cã : 2. 7. 3 3 7k 14 (0,5®iÓm) 3 3 => 6k - 10 + 35k +7 + 27 - 63k = - 42 => -22k = - 66 => k = 3 (0,25®iÓm) 3.3 5 4 4 => x => x (0,25®iÓm) 3 3 3 16 T­¬ng tù ta thÊy : y = ; z = -18 (0,25®iÓm) 3 vËy cã 4 bé sè x;y;z tho¶ m·n bµi to¸n lµ: 4 16 4 16 x= ; y ; z 18.hoÆc x= ; y ; z 18. 3 3 3 3 4 16 4 16 hoÆc x= ; y ; z 18.hoÆc x= ; y ; z 18. (0,5 ®iÓm). 3 3 3 3 C©u 4 ( 2 ®iÓm) : Cho a, b, c lµ 3 sè ®«i mét kh¸c nhau. 1 b c c a a b 1 1 1 Chøng minh r»ng : 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a b c a c a b 1 1 1 1 Ta cã : = = - = + (1)(0,5®iÓm) a b a c a b a c a b a c a b c a c a b a b c 1 1 1 1 (2) (0,5®iÓm) b c b a b c b a b c b a b c a b a b c b c a 1 1 1 1 (3) (0,5®iÓm) c a c b c a c b c a c b c a b c Tõ (1) ; (2) ; (3) ta suy ra : b c c a a b 2 2 2 + (0,25®iÓm) a b a c b c b a c a c b a b b c c a 1 b c c a a b 1 1 1 => 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a §iÒu ph¶i CM(0,25®iÓm) A C©u 5(7®iÓm). A 4 b 1 2 3 ABC ; ¢ = 1V ; AH  BC = H (H BC) c A GT ¢1 = ¢2 ; ¢3 = ¢4 (E , F BC) DeThi.edu.vn 55
  56. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BC = a ; CA = b ; AB = c a. ABF c©n t¹i B B E H F C KL b. TÝnh EF theo a ; b ; c a S AEF c. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. S ABC VÏ h×nh, ghi GT + KL ®óng cho (0,5®iÓm) a. Chøng minh r»ng : Tam gi¸c ABF c©n t¹i B.(2®iÓm) V× ¢ = 1V => Bˆ Cˆ 900 Tam gi¸c vu«ng HAB cã HAˆB + Bˆ = 900 => gãc c b»ng gãc HAB (1) (1 ®iÓm ) ˆ ˆ ˆ Mµ BFA C A4 (gãc ngoµi cña tam gi¸c AFC) ˆ ˆ ˆ => BFA C A3 (v× ¢3= ¢4) (0,5®iÓm) ˆ ˆ ˆ => BFA HAB A3 ( Theo 1) => BFˆA BAˆF => BAF c©n ë B (0,5®iÓm b. TÝnh EF theo c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. (2,0 ®iÓm) Chøng minh t­¬ng tù ë ý a ta cã AEC c©n ë C => AC = CE = b (1 ®iÓm) Nªn ta cã CE = b ; BF = c = AB => BF + CE = BF + EF + CF=EF+BC. (0,5 ®iÓm) => b + c = a + EF => EF = b + c – a (0,5 ®iÓm) S AEF c. T×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®Ó cã gi¸ trÞ lín nhÊt. (2,5®iÓm) S ABC Theo ®Þnh lý PiTaGo ta cã : a2 = b2 + c2. Mµ (b-c)2 0 (DÊu b»ng x¶y ra khi b = c) (0,5§iÓm) => b2 + c2 - 2bc 0 => b2 + c2 2bc => 2.( b2 + c2) 2bc + b2 + c2 => 2.( b2 + c2) (b + c)2 => 2.a2 (b + c)2 v× a2 = b2 + c2 => ( 2.a) 2 (b + c)2 => a 2 b+c (v× a;b;c>0) (0,5 ®iÓm) S AEF EF.AH EF MÆt kh¸c : (0,5 ®iÓm) S ABC BC.AH a Mµ theo CM ë ý b ta cã : EF = b + c - a S AEF b c a a 2 a => = 2 1 (0,5 ®iÓm) S ABC a a S AEF => ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 2 1 khi dÊu b»ng cña (2) x¶y ra tøc b=c hay: S ABC ABC vu«ng c©n t¹i A. (0,5 ®iÓm) DeThi.edu.vn 56
  57. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 57
  58. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7 CẤP HUYỆN Câu 1. (2,5 điểm) Tính: a)7,3.10,5 7,3.15 2,7.10,5 15.2,7 b) 69.210 1210 : 219.273 15.49.94 Câu 2. (5 điểm) So sánh Avà B trong mỗi trường hợp sau: 2012 1999 a) A ;B 4025 3997 b) A 321;B 231 2011 2011 2011 2011 2012 2012 2012 2012 c) A ; B 1.2 3.4 5.6 1999.2000 1001 1002 1003 2000 Câu 3. (5 điểm) a) Chứng minh rằng: 3x 1 3x 2 3x 3 3x 100 chia hết cho 120 x ¥ 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z b) Cho .Chứng minh rằng: 4 3 2 2 3 4 c) Cho f x là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f x1.x2 f x1 . f x2 và f 2 10.Tính f 32 Câu 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC.Trên tia đối của tia CAlấy điểm D sao cho CD AB.Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD a) Chứng minh AIB DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của B· AC 1 c) Kẻ IE vuông góc với AB,chứng minh AE AD 2 Câu 5. (2,5 điểm) Cho 100số hữu tỉ trong đó tích của bất kỳ ba số nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng tất cả 100 số đó đều là số âm. DeThi.edu.vn 58
  59. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a)7,3.10,5 7,3.15 2,7.10,5 15.2,7 10,5. 7,3 2,7 15. 7,3 2,7 10,5.10 15.10 10. 10,5 15 10.25,5 255 b) 69.210 1210 : 219.273 15.49.94 39.29.210 220.310 : 219.39 3.5.218.38 19 9 18 9 2 .3 1 2.3 : 2 .3 . 2 5 2.7 : 7 2 Câu 2. 2012 2012 1 1 1999 1999 2012 1999 a) ; 4025 4024 2 2 3998 3997 4025 3997 2012 1999 . Vậy A B 4025 3997 10 b)A 321 3. 32 3.910 10 B 231 2. 23 2.810 Suy ra A B 2011 2011 2011 2011 c)A 1.2 3.4 5.6 1999.2000 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 2 3 4 5 6 1999 2000 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 3 5 1999 2 4 6 2000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 2. 2 3 4 5 6 1999 2000 2 4 6 2000 1 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 1 2 3 1999 2000 2 3 999 1000 1 1 1 1 1 2011. 1001 1002 1003 1999 2000 DeThi.edu.vn 59
  60. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 B 2012. 1001 1002 1003 2000 Suy ra A B Câu 3. a)3x 1 3x 2 3x 3 3x 100 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 3x 5 3x 6 3x 7 3x 8 3x 97 3x 98 3x 99 3x 100 3x 3 32 33 34 3x 4. 3 32 33 34 3x 96. 3 32 33 34 3x.120 3x 4.120 3x 96.120 120. 3x 3x 4 3x 96 120(dfcm) 3x 2y 2z 4x 4y 3z b) 4 3 2 4 3x 2y 3 2z 4x 2 4y 3z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 0 16 9 4 29 3x 2y x y Vậy 0 3x 2y (1) 4 2 3 2z 4x x z 0 2z 4x (2) 3 2 4 x y z Từ 1 và 2 2 3 4 c) Vì f x1.x2 f x1 . f x2 nên: f (4) f 2.2 f 2 . f 2 10.10 100 f 16 f 4.4 f 4 . f 4 100.100 10000 f 32 f 16.2 f 16 . f 2 10000.10 100000 DeThi.edu.vn 60
  61. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4. A P B C E I D a) Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD nên IB IC,IA ID Lại có AB CD gt , do đó AIB DIC(c.c.c) b) AID cân ở I, suy ra D· AI Dµ AIC DIC (câu a) B· AI Dµ , do đó: D· AI B· AI Vậy AI là tia phân giác của B· AC c) Kẻ IP  AD,ta có: AIE AIP (cạnh huyền – góc nhọn) AD AE AP mà AP (vì P là trung điểm AD) 2 1 Suy ra AE AD 2 Câu 5. Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều dương thì tích của 3 số bất kỳ không thể là một số âm). Ta tách riêng số âm đó ra. 99 số còn lại chia thành 33 nhóm, mỗi nhóm 3 thừa số Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm là số âm, tức là của 99 số là một số âm DeThi.edu.vn 61
  62. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100 số là một số dương Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn: a1 a2 a3 a100 Các số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài) Xét tích a98.a99.a100 0 a98 0(vì nếu a98 0thì a99 0,a100 0,tích của ba số này không thể là một số âm). Vậy a1,a2 ,a3, ,a98 là các số âm. Xét tích: a1.a2.a99 0mà a1a2 0nên a99 0 Xét tích: a1.a2.a100 0 mà a1a2 0nên a100 0 Vậy tất cả 100số đã cho đều là số âm. DeThi.edu.vn 62
  63. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 ®Ò kiÓm tra m«n to¸n líp 7 Häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1. (2,0 ®) T×m x biÕt: a) x3 125 b) x x 1 c) x2 x a c a c 2. (1,5 ®) Cho c¸c sè h­ò tØ: x ; y ; z ( a,b,c,d ¢ ; b > 0, d > 0). b d b d Chøng minh r»ng nÕu x < y th× x < z < y. 3. (1,5 ®) Cho bèn sè a, b, c, d sao cho a + b + c + d 0. b c d c d a d a b a b c BiÕt k tÝnh gi¸ trÞ cña k. a b c d 4. (2,0 ®) C¶ ba vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ. NÕu vßi thø nhÊt vµ vßi thø hai cïng ch¶y trong 6 giê th× ®Çy 3 bÓ. NÕu vßi thø thø hai vµ vßi thø ba cïng ch¶y trong 5 giê th× ®Çy 5 7 bÓ. NÕu vßi thø thø ba vµ vßi thø nhÊt cïng ch¶y trong 9 giê th× ®Çy 3 bÓ. Hái nÕu 12 4 c¶ ba vßi cïng ch¶y th× bao l©u bÓ sÏ ®Çy n­íc. 5. (3,0 ®) Cho tam gi¸c ABC, trung truyÕn AM. VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c nµy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ë A lµ ABD vµ ACE. a) Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm F sao cho MF = AM. Chøng minh gãc ABF b»ng gãc DAE. b) Chøng minh DE = 2AM. DeThi.edu.vn 63
  64. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn h­íng dÉn chÊm m«n to¸n líp 7 C©u Néi dung §iÓm 1.(2,0 ®) a) x3 125 x3 5 3 0,5 x = -5 b)Víi x 0 th× x = x + 1 kh«ng cã x tho· m·n. 0,25 Víi x < 0 th× -x = x + 1 hay –x – x = 1 1 -2x = 1 x 0,5 2 c)Víi x = 0 , ®¼ng thøc ®óng. Víi x 0, chia c¶ hai vÕ cho x, ta cã x = 1. 0,75 VËy x= 0; x= 1. a c 2.(1,5 ®) V× nªn ad < bc (1). b d  XÐt tÝch a(b + c) = ab + ad (2) b(a + c) = ba + bc (3)  0,75 Tõ (1) , (2) vµ (3) suy ra a(b + c) < b(a + c) do ®ã a a c (4). b b d  a c c T­¬ng tù ta cã (5). 0,25 b d d a a c c KÕt hîp (4) vµ (5) ta ®­îc . 0,5 b b d d 3.(1,5 ®) Céng thªm 1 vµo mçi tØ sè ta cã: b c d c d a d a b a b c 1 1 1 1 a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d 1,0 a b c d V× a + b + c + d 0 nªn a = b = c = d. 0,25 3a 0,25 Suy ra k 3. a 5 1 4.(2,0 ®) Trong 1 giê vßi 1 vµ vßi 2 ch¶y ®­îc: : 6 (bÓ). 6 10 7 7 Trong 1 giê vßi 2 vµ vßi 3 ch¶y ®­îc: :5 (bÓ). 0,5 12 60 3 1 Trong 1 giê vßi 3 vµ vßi 1 ch¶y ®­îc: :9 (bÓ). 4 12 1 7 1 3 Trong 2 giê c¶ ba vßi ch¶y ®­îc: bÓ. 0,5 10 60 12 10 3 3 Trong 1 giê c¶ ba vßi ch¶y ®­îc: : 2 bÓ. 0,5 10 20 DeThi.edu.vn 64
  65. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn NÕu c¶ ba vßi cïng ch¶y ®Çy bÓ sÏ mÊt thêi gian: 3 20 0,25 1: giê = 6 giê 40 phót. 20 3 §¸p sè: 6 giê 40 phót. 0,25 5.(3,0 ®) -Gi¶ thiÕt, kÕt luËn, h×nh vÏ ®óng: e d a 0,25 m b c f 0,25 a)C/m AMC = FMB (c-g-c) 0,25 C· AM B· FM AC // BF. Do ®ã ·ABF B· AC 1800 (1) 0,5 Vµ D· AE B· AC 1800 (Do D· AB E· AC 1800 - GT) (2) So s¸nh (1) vµ (2) ta cã: ·ABF D· AE . 0,25 b) C/m ABF = DAE (c-g-c) 1,0 AF = OE. 0,25 Ta cã AF = 2AM nªn DE = 2AM 0,25 *L­u ý: +HS lµm c¸ch gi¶i kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. +§iÓm sè toµn bµi lµm trßn ®Õn ch÷ sè thËp ph©n thø nhÊt. DeThi.edu.vn 65
  66. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 ĐỀ ÔN HSG 3x 2y 2z 4x 4y 3z x2 2xy z2 2) Cho (xyz≠0) và . Tính giá trị biểu thức: P 2017 2018 2019 x2 y2 z2 a1 a2 a3 a15 3) Cho các số 0 a1 a2 a3 a15 . Chứng minh rằng 5 a5 a10 a15 DeThi.edu.vn 66
  67. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 67
  68. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 68
  69. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 69
  70. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 70
  71. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn 71
  72. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 Vì x x x x 0 x 0 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 99x+ + +L + =100x 1.2 2.3 99.100 DeThi.edu.vn 72
  73. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 99 x= 100 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Từ  2017 2018 2019 2 3 4 x y z Đặt k k 0 x = 2k, y = 3k, z = 4k 2 3 4 x2 2xy z2 4k2 2.2k.3k 16k2 24 P x2 y2 z2 4k2 9k2 16k2 29 Cho các số 0 a1 a2 a3 a15 . a a a a Chứng minh rằng 1 2 3 15 5 a5 a10 a15 Ta có a a a a a 5a a a a a a 5a 1 2 3 4 5 5 ; 6 7 8 9 10 10 a a a a a 5a Suy ra a a a 5(a a a ) 11 12 13 14 15 15 ; 1 2 15 5 10 15 a a a a Vậy 1 2 3 15 5 a5 a10 a15 DeThi.edu.vn 73
  74. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Câu 1: (4,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 3 4 7 4 7 7 212.35 46.92 a) A = : : b) B = 2 6 4 5 7 11 11 7 11 11 (2 .3) 8 .3 x y 5x2 3y2 2. Cho . Tính giá trị biểu thức: C = 3 5 10x2 3y2 Câu 2: (4,5 điểm) 1. Tìm các số x, y, z, biết: x y y z a) ; và x + y + z = 92 2 3 5 7 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6 Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a). a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE là tam giác cân c) E· IC 600 và IA là tia phân giác của D· IE Câu 5: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + .+ 3x+100 chia hết cho 120 ( với x Z) DeThi.edu.vn 74
  75. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1: 1. 3 4 7 4 7 7 3 4 11 4 7 11 a) A = : : = . . 7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11 7 11 3 4 4 7 11 3 4 4 7 11 11 A = = = ( 1) 1 .0 0 7 7 11 7 11 7 7 7 11 11 7 7 212.35 46.92 212.35 (22 )6.(32 )2 212.35 212.34 212.34 (3 1) b) B = = = (22.3)6 84.35 212.36 (23 )4.35 212.36 212.35 212.35 (3 1) 212.34.2 1 B = 212.35.4 6 x y x 3k 2. Đặt = k . Khi đó: 3 5 y 5k 5x2 3y2 5(3k)2 3(5k)2 45k2 75k2 120k2 C = = = 8 10x2 3y2 10(3k)2 3(5k)2 90k2 75k2 15k2 x y x y 2 3 10 15 x y z Câu 2: 1. a) Ta có: y z y z 10 15 21 5 7 15 21 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được: x 2 10 x 20 x y z x y z 92 y = 2 2 y 30 10 15 21 10 15 21 46 15 z 42 z 2 21 b ) Ta có: (x – 1)2016 0  x (2y – 1)2016 0  y |x + 2y – z|2017 0  x, y, z (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 0  x, y, z DeThi.edu.vn 75
  76. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x – 1 2016 0 2016 2016 2017 2016 Mà (x – 1) + (2y – 1) + |x + 2y – z| = 0 nên dấu "=" xảy ra 2y – 1 0 x 2y – z 2017 0 x 1 x 1 1 1 y y 2 2 1 z 2 1 2. – z 0 2 2. Ta có: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x – 1 1 3 – 1 – 3 y + 3 3 1 – 3 – 1 x 2 4 0 – 2 y 0 – 2 – 6 – 4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: 1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 2. a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + 2 a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2 a = 1 b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2 1 Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2 4x = 2 x = 2 B Câu 4: D Aµ 0 1 I ABC, = 90 , ABD và ACE 2 1 1 GT đều 1 A 3 2 2 C I = BE  CD DeThi.edu.vn 76 2 1 2 E
  77. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) BE = CD b) VBDE là tam giác cân KL c) E· IC 600 và IA là tia phân giác của D· IE · µ 0 0 0 0 DAC A1 90 60 90 150 a) Ta có: D· AC B· AE · µ 0 0 0 0 BAE A2 90 60 90 150 Xét VDAC và VBAE có: DA = BA (GT); D· AC B· AE (CM trên) AC = AE (GT) VDAC = VBAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng) 0 0 0 0 0 0 b) Ta có: Aµ 3 Aµ 1 B· AC Aµ 2 360 Aµ 3 60 90 60 360 Aµ 3 150 0 Aµ 3 = D· AC = 150 Xét VDAE và VBAE có: DA = BA (GT); Aµ 3 = D· AC (CM trên); AE: Cạnh chung VDAE = VBAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng) VBDE là tam giác cân tại E µ µ c) Ta có: VDAC = VBAE (CM câu a) E1 = C1 (Hai góc tương ứng)  µ · 0 Lại có: I1 E2 ICE 180 (Tổng 3 góc trong VICE)  · µ µ µ 0  0 µ µ 0 0 I1 (AEC E1) (C1 C2 ) 180 I1 60 E1 C1 60 180  0 0 µ µ  0 I1 120 180 (Vì E1 = C1 ) I1 60 µ µ Vì VDAE = VBAE (Cm câu b) E1 = E2 (Hai góc tương ứng) EA là tia phân giác của D· EI (1) DAC BAE µ µ Vì VDAC = VDAE D1 = D 2 (Hai góc tương ứng) DA là tia DAE BAE phân giác của E· DC (2) Từ (1) và (2) A là giao điểm của 2 tia phân giác trong VDIE IA là đường phân giác thứ ba trong VDIE hay IA là tia phân giác của D· IE Câu 5: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + .+ 3x+100 = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 ) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8 ) + + (3x+97+3x+89 +3x+99 + 3x+100) DeThi.edu.vn 77
  78. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn = 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x+4(3 + 32 + 33 + 34 ) + + 3x+96 (3 + 32 + 33 + 34) = 3x.120 + 3x+4.120 + + 3x+96 .120 = 120.( 3x+ 3x+4 + + 3x+96 ) 120 (đpcm) ĐỀ SỐ 19 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO MÔN: TOÁN 7 TẠO Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề chính thức (Đề gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) a) So sánh: 17 26 1 và 99 . 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: 10. 1 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 c) Cho S 1 và 2 3 4 2013 2014 2015 1 1 1 1 1 P . 1008 1009 1010 2014 2015 Tính S P 2016 . Bài 2: (4,0 điểm) a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r. 2 b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab (a b)3 Bài 3: (6,0 điểm) z x y a) Cho x; y; z 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức B 1 1 1 x y z 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z b) Cho . Chứng minh rằng: 4 3 2 2 3 4 5 x c) Cho biểu thức M . Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất. x 2 Bài 4: (3,0 điểm) Cho x· Ay 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH  Ay tại H, CM  Ay tại M, BK  AC tại K. Chứng minh: AC a) KC = KA b) BH = c) ΔKMC đều. 2 DeThi.edu.vn 78
  79. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có Bµ 2.Cµ 17 26 1 > 16 25 1 4 5 1 10 0,5đ a) Mà 10 = 100 99 0,5đ Vậy: 17 26 1 > 99 . 1 1 1 1 1 Chứng minh: 10 1,0đ 1 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ; ; ; ; 0,5đ 1 100 2 100 3 100 99 100 b) 1 1 1 1 1 Suy ra: 100. 10 1 2 3 100 100 0,5đ 1 1 1 1 Vậy: 10 1 2 3 100 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và 2 3 4 2013 2014 2015 2,0đ 1 1 1 1 1 2016 P . Tính S P 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 1 1 1 Ta có: P Bài1: (4,0 điểm) 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 0,5đ 1 1 1 1 1 c) 2 3 1006 1007 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 1 1 1 1 1 1,0đ 2 2 4 6 2012 2014 1 1 1 1 1 1 1 = S. 2 3 4 2013 2014 2015 0,5đ Do đó S P 2016 = 0 DeThi.edu.vn 79
  80. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r. 2,0đ Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r x = ab 8 => 8 2 x = 3; 4 vì x N * 2 - Nếu x = 3 => ab (a b)3 = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận) 2 3 6 2 3 - Nếu x = 4 => ab (a b) = 4 = 4096 = 64 (6 + 4) = 1000 0,5đ => x = 4 (không thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: ab = 27 Cho x; y; z 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức z x y 2,0đ B 1 1 1 x y z z x y x z y x z y a) Ta có: B 1 1 1 . . 0,5đ x y z x y z Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x 1,0đ y z x Suy ra: B = . . 1(x; y; z 0) 0,5đ x y z 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Cho . Chứng minh rằng: 2,0đ 4 3 2 2 3 4 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) Ta có: 0,5đ 4 3 2 16 9 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: Bài 3: (6,0 điểm) 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) 0 0,75đ 16 9 4 16 9 4 b) 4(3x 2y) x y => 0 3x 2y (1) và 16 2 3 3(2z 4x) x z 0 2z 4x (2) 0,75đ 9 2 4 x y z Từ (1) và (2) suy ra: 2 3 4 DeThi.edu.vn 80
  81. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5 x Cho biểu thức M . Tìm x nguyên để M nhỏ nhất 2,0đ x 2 5 x 3 (x 2) 3 Ta có: M 1 (x 2) 0,5đ x 2 x 2 x 2 c) 3 M nhỏ nhất  nhỏ nhất  x – 2 lớn nhất và x – 2 KM = KC => KMC cân tại K (3) Mặt khác: AMC có ·AMC 900 ; y·Az=300 M· CK 900 300 600 (4) 0,5đ Từ (3) và (4) AMC đều DeThi.edu.vn 81
  82. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A K B C H I D Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng 3,0đ AC Ta có: Bµ 2.Cµ Bµ Cµ nên AC > AB => HC > HB 0,25đ Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => AHI = AHB 0,5đ => AI = AB và A· IB A·BC 2.A·CB Mặt khác: A· IB A·CB I·AC I·AC A·CB Bài 5: (3,0 điểm) 0,5đ Do đó: IA = IC DBH cân tại B 1,0đ 1 Do đó: B·DH B·HD A·BC A·CB 2 Suy ra: K·HC A·CB( B·HD) K·AH K·HA (phụ hai góc bằng nhau) Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC 0,75đ Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa. - Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất. DeThi.edu.vn 82
  83. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn: Toán 7 (Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,5 điểm) Thực hiện phép tính: 3 4 7 4 7 7 1 1 1 1 1 a) : : b) 7 11 11 7 11 11 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bài 2: (3,5 điểm) Tìm x; y; z biết: 2008 2008 2 a) 2009 – x 2009 = x b) 2x 1 y x y z 0 5 Bài 3: (3 điểm) 3a 2b 2c 5a 5b 3c Tìm 3 số a; b; c biết: và a + b + c = – 50 5 3 2 Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA. Câu 1: Chứng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự tại M; N. Chứng minh BM = CN. Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN. Bài 5 (3 điểm): Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 DeThi.edu.vn 83
  84. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đáp án Đề thi HSG môn Toán 7 Bài 1: 3 điểm Câu a: 1 điểm (kết quả = 0). Câu b: 2 điểm 1 1 1 1 1 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 1 1 1 1 1 99.97 1.3 3.5 5.7 95.97 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99.97 2 3 3 5 5 7 95 97 1 1 1 1 99.97 2 97 1 48 99.97 97 4751 99.97 Bài 2: 3,5 điểm Câu a: 2 điểm - Nếu x 2009 2009 – x + 2009 = x 2.2009 = 2x x = 2009 - Nếu x < 2009 2009 – 2009 + x = x 0 = 0 Vậy với  x < 2009 đều thoả mãn. - Kết luận : với x 2009 thì 2009 x 2009 x Hoặc cách 2: 2009 x 2009 x 2009 x x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 Câu b: 1,5 điểm 1 2 9 x ; y ; z 2 5 10 DeThi.edu.vn 84
  85. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 3: 2,5 điểm 3a 2b 2c 5a 5b 3c 5 3 2 15a 10b 6c 15a 10b 6c 25 9 4 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có: 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 0 25 9 4 38 a b 2 3 15a 10b 0 3a 2b a c 6c 15a 0 2c 5a 2 5 10b 6c 0 5b 3c c b 5 3 a b c Vậy 2 3 5 a 10 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau b 15 c 25 Bài 4: 7 điểm A M B O C E D N I Câu 1: mỗi câu cho 1,5 điểm Câu a: Chứng minh VABD VICE cgc Câu b: có AB + AC = AI Vì VABD VICE AD EI (2 cạnh tương ứng) áp dụng bất đẳng thức tam giác trong VAEI có: DeThi.edu.vn 85
  86. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC Câu 2: 1,5 điểm Chứng minh V vBDM = V vCEN (gcg) BM = CN Câu 3: 2,5 điểm Vì BM = CN AB + AC = AM + AN (1) có BD = CE (gt) BC = DE Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có: MO OD  MO NO OD OE NO OE  MN DE MN BC 2 Từ (1) và (2) chu vi VABC nhỏ hơn chu vi VAMN Bài 5: 2 điểm Theo đề bài 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ. Nếu a 0 2008a + 2008a là số chẵn để 2008a + 2008a + b lẻ b lẻ Nếu b lẻ 3b + 1 chẵn do đó 2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Vậy a = 0 Với a = 0 (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b N (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 3b 1 25 b 8 b 1 9 Vậy a = 0 ; b = 8. DeThi.edu.vn 86
  87. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG BẮC GIANG Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 1 3 2 1 1) Rút gọn: A : . 2 5 10 2 3 12 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012 x 2013 với x là số tự nhiên. Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x biết 2x 2.3x 1.5x 10800 . 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 2012 là hợp số. 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n 4 và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI  CE . 2) Phân giác của các góc ·ABC, B· DC cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của góc 1 B· DA cắt BC tại N. Chứng minh rằng: BD MN. 2 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và P . Tính 2 3 4 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 S P 2013 . Hết DeThi.edu.vn 87
  88. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bản hướng dẫn có 03 trang Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu 1 ( 4 điểm) 1 15 4 1 18 8 1 (2điểm) A : 0.5đ 10 10 10 12 12 12 12 11 0.5đ : 10 12 6 12 72 . 5 11 55 0.5đ 72 0.5 Vậy A . 55 P x 2012 x 2013 2 0.5 đ + Nếu x 2012 hoặc x 2013 thì P 1 (2điểm) + Nếu x 2013 thì P x 2012 x 2013 1 x 2013 1 0.5đ + Nếu x 2012 thì P x 2012 x 2013 x 2012 1 1 0.5 + Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x 2012 hoặc x 2013 . 0.5 đ Câu 2 (4điểm) Ta có 2x 2.3x 1.5x 10800 2x.22.3x.3.5x 10800 1.0 đ 1 (2.5điểm) 2.3.5 x 900 0.5 đ 30x 302 x 2 0.5 Vậy x 2 là kết quả cần tìm. 0.5 đ + Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a,b,c . Vì tổng số viên bi 0.5 đ 2 của ba bạn là 74 nên a b c 74 (2.5điểm) a b a b + Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12 0.5 đ DeThi.edu.vn 88
  89. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 0.5 b c b c 4 5 12 15 a b c a b c 74 + Từ đó ta có 2 10 12 15 10 12 15 37 0.5đ 0.5đ + Suy ra a 20;b 24;c 30 Câu 3 (4điểm) 1 + Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p 3k 1 k ¥ ,k 1 0.5 (2điểm) +Với p 3k 1 0.5 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 0.5 +Với p 3k 1 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 Vậy p2 2012 là hợp số. 0.5 2 (2điểm) + Vì n là số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2n 200 0.5đ + Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá 0.5đ trị: 36; 64; 100; 144; 196. + Với 2n 36 n 18 n 4 22 không là số chính phương 2n 64 n 32 n 4 36 là số chính phương 2n 100 n 50 n 4 54 không là số chính phương 0.5 đ 2n 144 n 72 n 4 76 không là số chính phương 2n 196 n 98 n 4 102 không là số chính phương + Vậy số cần tìm là n 32 . 0.5đ Câu 4 (6 điểm) 1 (3điểm) DeThi.edu.vn 89
  90. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + Xét hai tam giác AIB và BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) 0.5 + Góc I¼AB là góc ngoài của tam giác ABH nên 0 I¼AB ¼ABH ¼AHB ¼ABH 90 0.5 + Ta có E· BC E· BA ·ABC ·ABC 900 . Do đó I·AB E· BC . + Do đó VABI VBEC(c g c) 0.5 đ ABI BEC(c g c) ·AIB B· CE + Do V V nên . 0.5 đ + Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có ·AIB I·BH 900 . 0.5đ Do đó B· CE I·BH 900 . KL: CE vuông góc với BI. 0.5đ 2 (3điểm) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DM  DN . 0.5 đ + Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM FD FN . 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên F· MD M· DF . F· MD M· BD B· DM (góc ngoài tam giác) 0.5 đ M· BD C· DM Suy ra M· BD C· DF (1) 0.5 đ Ta có M· CD C· DF C· FD (2) Do tam giác ABC cân tại A nên M· CD 2M· BD (3) 0.5 đ Từ (1), (2), (3) suy ra M· BD D· FC hay tam giác DBF cân tại D. Do 1 đó BD DF MN 0.5 đ 2 Câu 5 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và (1 điểm) 2 3 4 2011 2012 2013 (1 điểm) 1 1 1 1 2013 P . Tính S P . 1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 1 1 P 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 1 1 1 0.5 đ 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 3 1006 DeThi.edu.vn 90
  91. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 2 4 6 2012 1 1 1 1 1 0.5 đ 1 =S. 2 3 4 2012 2013 Do đó S P 2013 =0 Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng. DeThi.edu.vn 91
  92. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH MÔN TOÁN - LỚP 7 PHÙNG Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 (Thời gian: 90 phút, không kể thời gian ĐỀ CHÍNH THỨC giao đề) Bài 1 (2,5 điểm). Tìm số nguyên x biết : x 303030 616161 929292 a) 1 1 1 . 186 313131 626262 939393 2 m 2 2 b) x 3 2x 1 x m 3 : x 3 0 ( với m N ; x 0 ). 5 5 5 Bài 2 (2,0 điểm). a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11 . x x x x x b) Cho : 1 2 3 4 2008 . Chứng tỏ rằng : x2 x3 x4 x5 x2009 2008 x1 x2 x3 x2008 x1 x2 x3 x4 x2009 x2009 Bài 3 (2,0 điểm). Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với các số 1 ; 2 và 3 ? Bài 4 (3,5 điểm). Cho ABC có A < 900, đường cao AH . Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN. Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K. Chứng minh : a) CI // HM và BK // HN . b) Trong trường hợp A 900, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN. DeThi.edu.vn 92
  93. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7 PHÙNG Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm 30 61 92 + Rút gọn vế phải có 1 1 1 0,25đ 31 62 93 1 1 1 1 = = 0,5đ 31 62 93 186 x 1 + Vậy ta có = x = 1 0,25đ 186 186 + Tính được x = 1 0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng 0,25đ + Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0 0,25đ + Chuyển vế có ( 2x - 1 )m = xm và xét : * Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x x = 1 0,25đ * Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x x = 1 và x = 1 ( loại ) 3 0,25đ + Vậy x = 1 0,25đ Bài 2 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng 0,25đ + Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 0,25đ b) 1,0 điểm x x x x x x x x x + Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì 1 2 3 4 2008 = 1 2 3 2008 x2 x3 x4 x5 x2009 x2 x3 x4 x2009 0,5đ 2008 x1 x2 x3 x2008 x1 + Lập tích các tỉ số để có 0,5đ x2 x3 x4 x2009 x2009 Bài 3 ( 2,0 điểm ) DeThi.edu.vn 93
  94. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 x 9 ; 0 y 9 ; 0 z 9 0,25đ + Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) 0,25đ + Theo điều kiện trên thì 1 x + y + z 27 (2) 0,25đ Từ (1) & (2) x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) 0,25đ x y z x y z Theo bài thì N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 0,25đ 1 2 3 6 + Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 0,25đ Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 0,25đ Bài 4 ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1) + Vì K đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2) + Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của IHK 1,0 điểm + Do AH  BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của IHK (3) Từ (2) & (3) IC là phân giác trong tại đỉnh I của IHK, kết hợp với (1) IC  AB + Có HM  AB & IC  AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta cũng có BK  AC & HN  AC nên BK // HN 0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 900, chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A 1,0đ * Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự 0,75đ Vậy trong trường hợp A 900 ta vẫn có CI // HM và BK // HN 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác (không vượt quá chương trình toán 7) đúng vẫn cho điểm tối đa Hết DeThi.edu.vn 94
  95. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ HSG TOÁN 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1. (4,0 điểm). 13 2 8 19 23 20 100 a) Tính: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 b) So sánh: 16 và 2 15 15 60 24 Bài 2. (3,0 điểm). 1 1 a) Tìm x biết: 2x 7 1 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 1.3n 4.3n 13.35 2 2 Bài 3. (4,5 điểm). 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a) Cho dãy tỉ số bằng nhau: a b c d a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = c d d a a b b c x y z t b) Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số x y z x y t y z t x z t tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 1025 . Bài 4. (6,5 điểm). 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) B· AM = A· CM và BH = AI. b) Tam giác MHI vuông cân. DeThi.edu.vn 95
  96. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE. Bài 5. (2,0 điểm). Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1 . Chứng minh rằng đa thức x2 y4 z6 có giá trị không lớn hơn 2. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài. DeThi.edu.vn 96
  97. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Bài 1. 4,0 đ 7 47 47 + Biến đổi: A : 5 60 24 1,0 7 2 a) 2,0 đ = 5 5 0,50 = 1 0,50 + Biến đổi: 1620 24.20 280 0,5 + Có 280 2100 vì (1 2x 7 1 0,5 2 2 0,5 => 2x 7 1 hoặc 2x 7 1 a) 2,0 đ 0,5 => x 4 hoặc x 3 0,5 Vậy x 4 hoặc x 3. n 1 5 + Biến đổi được 3 .(3 4) 13.3 0,25 => 3n 36 0,25 b) 1,0 đ => n = 6 0,25 KL: Vậy n = 6 0,25 Bài 3. 4,5 đ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d + Biến đổi: a b c d a) 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 0,5 (2,5 đ) a b c d DeThi.edu.vn 97
  98. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c d a b c d a b c d a b c d 0,25 a b c d + Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4 0,25 + Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) 1,0 => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4 0,25 + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d 0 Q = - 4 khi a + b + c + d = 0 0,25 x x + Ta có: x y z x y y y x y t x y z z y z t z t 0,1 t t b) x z t z t (2,0 đ) x y z t M M 0) mà 210 = 1024 < 1025 0,25 Vậy M10 < 1025 0,5 0,25 DeThi.edu.vn 98
  99. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A I Bài 4. D C 0,25 B M H * Chứng minh: B· AM ·ACM + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c) 0,5 + Lập luận được: B· AM C· AM 450 0,25 0,25 + Tính ra được ·ACM 450 0,25 1.a/ => B· AM ·ACM 2,75 đ * Chứng minh: BH = AI. 0,5 + Chỉ ra: B· AH ·ACI (cùng phụ D· AC ) 0,75 + Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) 0,25 => BH = AI (2 cạnh tương ứng) b) Tam giác MHI vuông cân. 1.b/ + Chứng minh được AM  BC 0,25 2,0 đ + Chứng minh được AM = MC 0,25 DeThi.edu.vn 99
  100. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + Chứng minh được H· AM I·CM 0,25 + Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c) 0,25 => HM = MI (*) 0,25 0,25 + Do HAM = ICM => H· MA I·MC => H· MB I·MA (do ·AMB ·AMC 900 0,25 + Lập luận được: H· MI 900 ( ) 0,25 Từ (*) và ( ) => MHI vuông cân A 0,25 2) 1,5đ B E H D C + Chứng minh được : 0,25 ·AEC ·ABC B· AE H· AD D· AC B· AE E· AH H· AD D· AC E· AC (Vì Bµ và H· AC cùng phụ với B· AH ) 0,25 Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE (*) + Tương tự chứng minh được AB = BD ( ) 0,50 + Từ (*) và ( ) => AB + AC = BD + EC = ED + BC 0,25 +) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y 0 => z = - x - y 0 0,25 0,50 Bài 5. +) Vì 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1 = > x2 y4 z6 x y z 0,25 2 4 6 => x y z x y z 0,25 2,0 đ => x2 y4 z6 2z 0,50 0,25 +) 1 z 1 và z 0 => x2 y4 z6 2 DeThi.edu.vn 100
  101. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn KL: Vậy x2 y4 z6 2 Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn 101
  102. Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 24 UBND HUYỆN HOÀI NHƠNKỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,5 điểm) a) Trong ba số a, b, c có một số dương, một số âm và một số bằng 0, ngoài ra còn biết: a b2 b c . Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0 ? b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y 0). c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: a2 a p 0 . Bài 2: (4,5 điểm) a) Cho đa thức f (x) ax5 bx3 2014x 1, biết f (2015) 2 . Hãy tính f ( 2015) . b) Tìm x, biết: x 5 x 1 x 5 x 13 0 3 3 0, 6 0, 75 c) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức: S 13 7 11 11 2, 2 2, 75 7 13 Bài 3: (4.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2 2x 3 3x 4 . 1 200 b) Tìm hai số khác 0 biết tổng, hiệu, tích của hai số đó tỉ lệ với 3; ; 3 3 Bài 4: (4.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm và đường cao AH. Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại D. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = BC. a) Chứng minh KB // AD. b) Chứng minh KD  BC. c) Tính độ dài KB. Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù. Kẽ AD  AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC). Kẽ AE  AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM  DE. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi số: DeThi.edu.vn 102