Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án)

260 trang Thái Huy 14/09/2023 3295

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_50_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_10_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án)

Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (3,0 điểm) a) Cho phương trình bậc hai x2 2mx 3m 2 0 , trong đó x là ẩn, m là tham số. Tìm 2 2 tất cả các giá trịcủa m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 và x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c, a 0 . Chứng minh rằng nếu f x 0 với mọi x ¡ thì 4a c 4b . Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 2 3x 1 2x 3 x ¡ 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 b) Giải hệ phương trình x, y ¡ 2 x 6 y 3 x 2x 8 Câu 3 (2,0 điểm) a) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng a b c 3 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 b) Giải bất phương trình 3 3 x 1 x 2 x ¡ Câu 4 (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC AB AC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O), trọng tâm G và a BC, b CA, c AB . Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng nếu bốn điểm A, O, M, G cùng nằm trên một đường tròn thì b2 c2 2a2 . b) Cho tam giác ABC không vuông và a BC, b CA, c AB . Chứng minh rằng nếu a2 b2 2c2 và tan A tan B 2 tan C thì ABC là một tam giác cân. c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy ; cho tam giác ABC có tọa độ 11 1 tâm đường tròn ngoại tiếp, trong tâm lần lượt có tọa độ là I 4;0 , G ; . Tìm 3 3 tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn thẳng d : 2x y 1 0 và điểm M 4;2 nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (3,0 điểm) (2x 3) 4x 1 (2y 3) 4y 1 2 (2x 3)(2y 3) 1. Giải hệ phương trình: y x 4xy 2. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thoả mãn: 1 f (x) f (x y) f (x) y x, y ¡ và f 2 x 0 . x x Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7 p 4 p 7q 4q chia hết cho pq . Câu 3 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi I1, I2 và I3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn (I1) song song với CD (ở vị trí gần CD hơn) cắt tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác I1I2 I3. Câu 4 (2,0 điểm). Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 9 4 L a b c  a 2b c Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập hợp số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi m, n X , m n thì tồn tại k X sao cho n mk 2. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (3,0 điểm). 2 3 2 xy 3y 8y 7 3xy 6y a) Giải hệ phương trình: xy y 7 y 5 3y 1 b) Cho đa thức với hệ số thực P x x4 ax3 bx2 cx d thoả mãn P 1 3, P 3 11, P 5 27 . Tính P 2 7P 6 . Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x; y thoả mãn phương trình: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K. 1) Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn. 2) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. Chứng minh rằng nếu AB AC 2BC thì I là trọng tâm của tam giác AKS. Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số thực a,b,c,d thoả mãn 4a2 b2 2 và c d 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2ac bd cd . Câu 5 (1,0 điểm). Cho tập hợp M gồm 2014 số dương a1,a2 , ,a2014. Xét tất cả các tập con khác rỗng Ti của M, gọi si là tổng các số thuộc tập con Ti . Chứng minh có thể chia tập hợp tất cả các số si được thành lập như vậy thành 2014 tập con khác rỗng không giao nhau, sao cho tỉ số của hai số bất kì thuộc cùng một tập tập con vừa được phân chia không vượt quá 2. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 1 1 Câu 1. a) Giải phương trình 2 x ¡ x 2 x2 b) Cho phương trình bậc hai x2 2mx m2 2m 4 0 ( x là ẩn và m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm không âm x1, x2 . Tính theo m giá trị của biểu thức P x1 x2 và tìm giá trị nhỏ nhất của P . x2 xy y2 x 2y 0 Câu 2. Giải hệ phương trình: x, y ¡ 2x xy y 2 Câu 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 a b c 2 2 2 10 a b c Câu 4. a) Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn O; R . Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM thì AC 2 AB2 2BC 2 12R2 . b) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là m, n, p . Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA theo m, n, p . c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt có phương trình là x 2y 0, x 2 0, x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 10 và đỉnh A có hoành độ âm. Câu 5. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M nằm bên trong tứ giác đó (M không nằm trên các cạnh của tứ giác ABCD). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các góc M· AB, M· BC, M· CD, M· DA có số đo không lớn hơn 450 . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (3,0 điểm). 1 1 x 3y 3x y x 2 y 1. Giải hệ phương trình x, y ¡ 1 1 2 y2 x2 x 2 y 2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình x3 ax2 bx 3a 0 có các nghiệm đều là các số nguyên dương. Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử a,b,c,d là các số nguyên sao cho a b c d là số nguyên lẻ và chia hết a2 b2 c2 d 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n n n n n đều có a b c d chia hết a b c d . Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB CE BF, đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G. 1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn. 2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG AF đồng thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG. 1 Chứng minh rằng EHG ·CAB. 2 Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu ¡ å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên ¡ å , nhận giá trị thực và thỏa mãn 1 y 1 x xf x yf (y) yf y xf (x) x, y 0 y x x y Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số chính phương. 1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số? ĐỀ SỐ 6 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 2 x ¡ . 2 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x2 2 m 1 x m3 m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 3 3 nhất của biểu thức sau: P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 . x2 x3 y xy2 xy y 1 (x, y ¡ ) Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình: 4 2 . x y xy(2x 1) 1 Câu 3 (1,5 điểm). Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện x 1 x2 y 1 y2 2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y . Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm  của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng OA OB OC OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho M· AB M· BC M· CD M· DA . Chứng minh đẳng thức sau: AB2 BC 2 CD2 DA2 cot , 2AC.BD.sin trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam 7 5 13 5 giác ABC tại các điểm M 1; 5 , N ; , P ; (M, N, P không trùng với các 2 2 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn đỉnh của tam giác ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q 1; 1 và điểm A có hoành độ dương. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu I (4 điểm) x y m 2 1. Cho hệ phương trình 2 2 2 (trong đó m là tham số; x và y là x y 2x 2y m 4 ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm. b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A xy 2 x y 2011. 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 3 x4 3m 1 x2 6m 2 0 Câu II (1,5 điểm) x y xy 1 Giải hệ phương trình 2 2 x 3 y 3 4 Câu III (1 điểm) 1 1 1 Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì 1 x 2 1 y 2 1 xy Câu IV (3,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 và B 4;3 . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng 450 . 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng 6 17 D 2;1 , E 3;4 , F ; . 5 5 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3. Cho tam giác ABC, có a BC,b CA,c AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội IA2 IB2 IC 2 tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng 2 c p a a p b b p c DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) xy2 y3 3x 6y 0 Câu I (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 x xy 3 0 2. Giải phương trình 18x 16 4 2x2 5x 3 7 4x2 2x 2 7 2x2 8x 6 Câu II (1,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương m;n; p sao cho mỗi một trong các số 1 1 1 m ; n ; p np pm mn là một số nguyên. Câu III (2,0 điểm) 1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2012 b2012 c2012 2011. Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho b2010 c2010 a2010 an 3 bn 3 cn 3 2011 an 2 bn 2 cn 2 bn 1 cn 1 an 1 2010 bn cn an 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất am 3 bm 3 cm 3 am 2 bm 2 cm 2 đẳng thức bm 1 cm 1 am 1 bm cm am Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY. 2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu V (1,0 điểm) Kí hiệu ¥ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử f : ¥ ¥ là hàm số 2 2 thỏa mãn các điều kiện f 1 0 và f m2 2n2 f m 2 f n với mọi m, n ¥ . Tính các giá trị của f 2 và f 2011 . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 2 Câu 1 (2 điểm) a) Cho parabol (P): y x 4x 5 và điểm I(1;4) . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I. b) Tìm các giá trị của m để phương trình x2 2 m4 m2 có 4 nghiệm phân biệt. 2 Câu 2 (3 điểm) a) Giải bất phương trình: (x 1) x 2 (x 6) x 7 x 7x 12 (x 1)(y2 6) y(x2 1) Giải hệ phương trình: a) 2 2 (y 1)(x 6) x(y 1) 2 b) Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 1 có nghiệm. Câu 3 (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định    2  bởi các hệ thức: AD 2AB; AE AC . Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng 5 b) Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng   1 MH.MA BC 2 4 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M ( 2;0) là trung 7 điểm của cạnh AB, điểm H (1; 1) là hình chiếu của B trên AD và điểm G ;3 là trọng 3 tâm tam giác BCD. Đường thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F. Tìm tọa độ các điểm E, F và B 2 2 Câu 4 (1 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá (x y)2 3y2 trị nhỏ nhất của biểu thức S . xy 1 Câu 5 (1 điểm) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 y 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 5 10 Câu 1 (2 điểm). Giải bất phương trình . x 2 x 1 2 Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình x 4 x 1 3 x 5x 2 6 . 2x2 4xy 2y2 3x 3y 2 0 Câu 3 (2 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 . x y 2y(2x 1) 0 Câu 4 (2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực x: x2 2x m2 2x 4 . Câu 5 (2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của m để tập nghiệm của bất phương trình 2 x mx m 1 0 có biểu diễn trên trục số là một đoạn có độ dài bằng 1. Câu 6 (2 điểm). Giả sử tam giác ABC có diện tích là S; a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng 4S(cot A cot B cot C) a2 b2 c2 . Câu 7 (6 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d1: x+y-6=0 và đường thẳng d2: x+2y-5=0. 1-Gọi là góc giữa đường thẳng d1 và đường thẳng d2. 3cos sin 10 Tính giá trị của biểu thức m . 2 cos sin 2-Viết phương trình của đường tròn (C) có tâm là điểm I thuộc đường thẳng d 1, I có hoành độ bằng 2 và đường tròn (C) cắt đường thẳng d2 tạo thành một dây cung có độ dài bằng 2. 3-Biết tam giác ABC cân tại A, cạnh AB và cạnh BC lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 và d2. Viết phương trình của đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. 2 2 2 Câu 8 (2 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị lớn 3 2 3 2 3 2 nhất của biểu thức S a 7b b 7c c 7a . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: x2 m 0 x2 4x 5 Câu 2 (4 điểm). Giải phương trình, bất phương trình sau: a, 8 (x 2)(x 32) x(x 30) 73 b, x. 3 2x 1 0 Câu 3 (4 điểm). Giải các hệ phương trình sau: 3 2 x x y 2y 2x 5x 2y 3y 7x y a, b, 2 3 x y y y xy 6 Câu 4 (2điểm). Tìm các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm mx y 3m duy nhất (x; y) sao cho x, y là các số nguyên 2mx y m 3 1 1 1 Câu 5 (2điểm). Cho x, y, z > 1 và thoả mãn điều kiện 2 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Câu 6 (2điểm). Trong hệ tọa độ xOy , cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, đáy lớn AD. Biết chu vi hình thang là 16 4 2 , diện tích hình thang là 24. Biết A(1;2),B(1;6) . Tìm tọa độ các đỉnh C và D biết hoành độ điểm D lớn hơn 2. Câu 7 (4điểm). Trong hệ toạ độ xOy cho đường tròn (C) có phương trình x2 y2 2x 4y 3 0 , và đường thẳng d có phương trình : x + y = 0 a, Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 1 b, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ A(0; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất c, Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O tạo với đường thẳng d góc 600 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 2 Câu I (2,0 điểm). Cho parabol (P): y x 2x 1. Tìm tất cá các giá trị của m để đường thẳng d: y x m cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ) Câu II (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : m 2 x4 2 m 1 x2 2m 1 0 4 2 4 3 2. Cho 3sin 8cos 5, 0 . Tính P sin cos . 2 2 2 4 2 Câu III ( 6,0 điểm). 1. Giải phương trình: x 2 x x 1 x 3 x x 1 x 2 5x y 9 2. Giải hệ phương trình: 3 2 2 3x 6 x x y 2 xy 18 2 2 3. Giải bất phương trình: 3 3 x 2 x 2 3 x 2 x . 0 Câu IV ( 2,0 điểm). Cho tam giác ABC có B· AC 60 , AB 5, AC 10 , trung tuyến   AD ( D BC ) và M là một điểm thỏa mãn 3MA 2MC 0 . Tính độ dài đoạn BM và chứng minh AD  BM . x2 y2 Câu V( 4,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 1 có hai tiêu điểm 25 9 F1,F2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc elip (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 4 MF F bằng 1 2 3 2 2 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 2 y 1 8 và đường thẳng d : x 2y 3 0 . a) Tìm điểm M nằm trên d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới đường tròn (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Cho hình thoi ABCD có tất cả các cạnh đều tiếp xúc với đường tròn (C), biết A thuộc đường thẳng d và hoành độ của A không nhỏ hơn 1, BD = 2 AC. Tìm tọa độ A. 2 2 2 Câu VI( 2,0 điểm). Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x y z 3. Tìm giá 1 1 1 trị nhỏ nhất của biểu thức A = . xy 2 yz 2 zx 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm). Cho parabol (P): y x2 2x m . Tìm tất cá các giá trị của m để đường thẳng d: y 2x 1 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=2. Câu II (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: m 2 x4 2mx2 m2 4 0 2sin a b 2. Chứng minh rằng tanb t ana . cos a b cos a b 1 1 4x2 Câu III ( 6,0 điểm). 1. Giải bất phương trình: 3 . x 2. Giải phương trình: 2x2 2x 5 4x 1 x2 3 . 3 2 3 x 3x 6x 4 y 3y 3. Giải hệ phương trình: x, y R . 2 2 2 4 x 3 3 2y y 3x 2 Câu IV ( 1,0 điểm). Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có   AB2 AC 2 BC 2 AB.AC . 2 Câu V( 5,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của một elip , bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi bằng 2 . Viết phương trình chính 1 tắc của elip biết tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip bằng . 2 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 2x y 1 0, d2 : 2x y 3 0 cắt nhau tai I; điểm A thuộc d1 , A có hoành độ dương khác 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua A, cắt d2 tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB 3IA. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 13 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm J ; , đường thẳng 2 2 d :x y 1 0 và đường tròn C :x2 y2 4x 2y 4 0 . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (C). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm). Gọi (J) là đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn (J) có chu vi lớn nhất. Câu VI( 2,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab bc ca 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a6 b6 1 c6 b6 1 a6 c6 1 . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) x3 12x 7 1 Câu 1(2 điểm). Giải bất phương trình x 2 x 2 2 Câu 2(2 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: m 1 x 2 2x m 1 0 3 2 3 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: 2x1 3x1 x2 2x2 3x1 x2 2 (x 1)(y 1)(x y 2) 6 Câu 3(2 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 x y 2x 2y 3 0 Câu 4 (6 điểm). Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1; -2), điểm B(3; -1) và đường thẳng d có phương trình: 2x - y + 4 = 0. a, Viết phương trình đường tròn tâm A tiếp xúc với đường thẳng d. b, Tính chu vi và diện tích tam giác ABO. c, Viết phương trình đường thẳng đi qua B và tạo với đường thẳng d một góc 450. 2 2 d, Tìm tọa độ điểm M thuộc đường tròn (C): (x 2) (y 1) 1 sao cho MA2 MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 Câu 5(2 điểm). Cho sin cos . Tính giá trị của biểu thức: 3 F tan cot tan 2 cot 2 Câu 6 (2 điểm). Giải bất phương trình: x 2 5x 4 1 x3 2x 2 4x 2x 2 4y 2 4. (2x 3y)(x y) 1 Câu 7 (2 điểm). Giải hệ phương trình sau: xy xy 2(x y 3) x y 3 Câu 8 (2 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 1 biểu thức: P a 2 b 2 c 2 ab(a b) bc(b c) ca(c a) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) x x Câu I (1,5 điểm) 1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số y  10 x 10 x 2) Cho các nửa khoảng A (a; a 1], B [b; b 2). Đặt C A  B. Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó. Câu II (2,0 điểm) 1) Tìm m để phương trình x2 1 m4 m2 1 có bốn nghiệm phân biệt. m 1 x 2 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: m 1. x 2 2 Câu III (2,5 điểm) 1) Giải phương trình x 7x 8 2 x. 7x y 2x y 5 2) Giải hệ phương trình x y 2x y 1. B· AC 600. Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB =  c, AC = b và Các điểm M, N được xác định bởi MC 2MB và NB 2NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C '. Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C ', 3 BC ' A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức S S S S. Dấu a b c 2 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? Câu V (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 2 Câu I ( 4 điểm) Cho parabol (P) : y ax bx 1 3 11 1) Tìm các giá trị của a;b để parabol có đỉnh S ; . 2 2 2) Với giá trị của a;b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng : y x(k 6) 1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt M ; N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : 4x 2y 3 0 .   Câu II ( 2 điểm) Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N, P thỏa mãn BM k BC ,  2   4  CN CA, AP AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . 3 15 Câu III(9 điểm) 3m +1 1) Tìm m để phương trình x + 6 x -9 + m x + 2 x -9 -8 = x + 2 có hai nghiệm x1 ,x2 sao cho x1 10 x2 2) Giải phương trình x 3 x. 4 x 4 x. 5 x 5 x. 3 x x2 y2 2y 6 2 2y 3 0 3) Giải hệ phương trình . 2 2 2 2 (x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2 Câu IV( 3 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi E;F là các điểm  1   1  xác định bởi BE BC, CF CD, đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại 3 2 điểm I .   1) Tính giá trị của EA.CE theo a. 2) Chứng minh rằng ·AIC 900 . Câu V ( 2 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a a b b c c P . 2c a b 2a b c 2b c a DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Bài I ( 5,0 điểm) 1. Giải phương trình x2 2x 3 x 3 . x y x y 2 2. Giải hệ phương trình 2 2 x y x y 4 Bài II ( 5,0 điểm) x 1 1. Tìm tham số m để bất phương trình 1 có tập nghiêm là ¡ . mx2 4x m 3 2 2 x y 2x 2y 2m 2. Tìm tham số m để hệ phương trình 2 có đúng hai nghiệm x y 2 4 phân biệt. 1 Bài III ( 2,0 điểm) Tam thức f (x) x2 bx c thỏa mãn f (x) với x  1;1. Hãy 2 tìm các hệ số b và c . Bài IV (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1. Chứng minh x y z 3 rằng ta luôn có: . x2 1 y2 1 z2 1 2 Bài V ( 6,0 điểm)  1  1. Cho tam giác ABC trọng tâm G. Các điểm M, N được xác định bởi CN BC ;   2 3MA 4MB 0 a/ Chứng minh rằng ba điểm G, M, N thẳng hàng . b/ Đường thẳng MN chia tam giác CAN thành hai tam giác. Tính tí số diện tích của hai tam giác đó. 2. Tam giác ABC có các đường phân giác trong AE, BF và CP. Chứng minh rằng ta luôn có: DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn S 2abc EFP ( với BC a; AC b; AB c) . S ABC (a b)(b c)(c a) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Bài 1 (4 điểm) : 1. Giải phương trình:33 4x -3 - 4 6 - 2x + 5 = 0 2. Cho hai số x, y thoả mãn 4x2 + y2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = x2 -3xy +2y2 Bài 2 (4 điểm) : x2 + y2 + x + y = 8 1.Giải hệ phương trình: 2 2 (x + x)(y + y) = 12. 2 2. Giải phương trình : 2010x - 4x + 3 = 2009x 4x -3 Bài 3 (4,00 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Viết phương trình đường thẳng (d) qua 1 1 M( 5; -2) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho: + đạt giá trị nhỏ nhất. OA2 2OB2 Bài 4 (4,00 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho hai điểm A( 1; 1), B(4 ; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d) : x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. Bài 5 (4,00 điểm) : Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2010. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y P = + 2010 - x 2010 - y DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1. a) Giải bất phương trình: x2 6x 2 2(2 x) 2x 1. 5 4 10 6 x xy y y b) Giải hệ phương trình: 2 4x 5 y 8 6 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x2 m y(x my) 2 x y xy Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(2;4) và các đường thẳng d1 : 2x y 2 0, d2 : 2x y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho 2 2 (C) cắt d1 tại A, B và cắt d2 tại C, D thỏa mãn AB CD 16 5AB.CD. Câu 4. 1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân CM 3 giác trong AL và 5 2 5 . AL 2 b Tính và cos A. c 9 2. Cho a,b ¡ thỏa mãn: (2 a)(1 b) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16 a4 4 1 b4 Câu 5. Cho f x x2 ax b với a,b ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m,n, p đôi một phân biệt và 1 m,n, p 9 sao cho: f m f n f p 7 . Tìm tất cả các bộ số (a;b). DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) 2 i. Cho hàm số y x 2mx 3m và hàm số y 2x 3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương. 2 ii. Giải bất phương trình: x 8x 12 10 2x Câu 2 (2 điểm) 3 3 3 3 c) Giải phương trình: (4x x 3) x 2 2 d) Giải phương trình: 2x 11x 23 4 x 1 Câu 3 (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB. 2 2 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x 2) (y 3) 9 và điểm A(1; 2) . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Câu 4 (3 điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 AB BC CD DA AC BD . 1 1 1 b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 (trong đó AB=c; AC=b; ha b c đường cao qua A là ha ). Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2 2 2 2a 2b 2c a b b c c a 3 b c c a a b a b c 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) 2 a) Cho hàm số y x 3x 2và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau. 1 1 b) Giải bất phương trình: 0 2 x 4x 3 2x 4 Câu 2 (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) . Đường thẳng là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x y 1 0 ; Khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung. b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM và 3 CN của tam giác. Chứng minh rằng sin 5 Câu 3 (2,5 điểm)  2  a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD BC; 3  1  AE AC . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. 4 b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn 2 2 2 hệ thức: b IB c IC 2a IA 0 ; Tìm điểm M sao cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 ( b MB c MC 2a MA ) đạt giá trị lớn nhất. Câu 4 (2,5 điểm) 2 2 a) Giải phương trình: 1 6x 2 2x 1 2 5x 4x b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . Chứng minh rằng: 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 xyz . x y z DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm): 2 Cho parabol (P): y x – 2x 4 và các đường thẳng (dm): y 3x 2m 1 (m là tham số) 1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m. 2) Khi (dm) cắt (P) tại hai điểm A, B (A và B có thể trùng nhau), tìm tập hợp trung điểm I của AB khi m thay đổi. Câu II (3,0 điểm): 2 2 1) Giải bất phương trình: 2x 5 x x 25 x 5x 6 0 2.3 x 3 y 3 5(8x y) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 x y 2x 4y 31 0 Câu III (3,0 điểm): 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là: x 2y 2 0 , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là:   2x y 1 0 . Điểm M(1;2) thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC có giá trị nhỏ nhất.     AM kAB; DN k DC 2) Cho tứ giác ABCD; hai điểm M, N thay đổi sao cho   (0 k 1) . Gọi I là điểm thỏa mãn 3IM 2IN . Tìm tập hợp các điểm I khi M, N thay đổi. Câu IV (2,0 điểm): 2 2 1) Tam giác ABC có S b (a c) với S là diện tích tam giác; a = BC; b = AC; c = AB. Tính tan B . 2 2 2 2) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca M 5a2 10ab 10b2 5b2 10bc 10c2 5c2 10ca 10a2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu I(2,0 điểm) 2 Cho parabol (P): y x và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; 1) và có hệ số góc là k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x1; x2 . 1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. 3 3 2) Chứng minh rằng x1 x2 2 k R Câu II(3,0 điểm) 2 1) Giải phương trình: 3x 1 5x 4 3x x 3 x2 x3 y xy2 xy y 1 2) Giải hệ phương trình: 4 2 x y xy(2x 1) 1 Câu III(4 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6) , chân đường 3 phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm D 2; , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 1 ABC là điểm I ;1 . Viết phương trình của đường thẳng BC. 2 2) Cho tam giác ABC có BC a;CA b;BA c (b ≠ c) và diện tích là S . Kí hiệu ma ; mb ; mc lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết 2 2 2 rằng 2ma mb mc . a) Chứng minh rằng a2 £ 4S.cotA b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc MGO không nhọn. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu IV (1 điểm). Cho a; b; c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3 3 a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 1 1 M . a2 b2 3 b2 c2 3 c2 a2 3 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 24 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Bài 1. ( 4,0 điểm) Giải phương trình x2 2 2x 7 2 3 2x 5(x ¡ ) . Bài 2. ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC ) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn O . Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đường tròn J ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K (K A). Đường thẳng AM cắt đường tròn J tại điểm thứ hai là Q (Q A). EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt đường tròn J tại N. a) Chứng minh các đường thẳng KF, EQ , BC đồng quy hoặc song song và ba điểm K, P, Q thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc nhau. (a b)(b c)(c a) Bài 3. ( 4,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (a,b,c) sao cho số 2 2 là một lũy thừa của 20162017 (Một lũy thừa của 20162017 là một số có dạng 20162017n với n là một số nguyên không âm). Bài 4. ( 4,0 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn b c c a a b 1 1 1 2 2 2 2 . Chứng minh rằng: a b c 3 2(ab bc ca) . a b c ab bc ca Bài 5. ( 4,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 10 10, trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc theo cột hoặc theo một đường chéo của hình vuông kích thước 3 3 (xem hình b) rồi thực hiện: Hoặc là giảm số ở ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở hai ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ở ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở hai ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử rằng sau hữu hạn bước biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1; 2; 3; ; 100}. Chứng minh rằng khi đó các số ghi trên bảng theo đúng vị trí như trước khi biến đổi. 1 2 3 9 10 11 12 13 19 20 21 22 23 29 30 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 91 92 93 99 100 Hình a – Bảng ô vuông ban đầu Hình b- Ba ô vuông con liên tiếp DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 25 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) 3 3 2 7x y 3xy x y 12x 6x 1 Giải hệ phương trình 2 2 2 x 3 9 y 1 Câu 2 (4 điểm) Cho đường tròn (O) và dây AB. Các đường tròn (O1) và (O2) nằm về một phía đối với đường thẳng AB, tiếp xúc với nhau ại T đồng thời tiếp xúc với AB và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Tiếp tuyến chung tại T của các đường trong (O1) và (O2) cắt đường tròn (O) tại C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng AB có chứa hai đường tròn (O1) và (O2)). Chứng minh rằng T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu 3 (4 điểm) Cho m và n là các số nguyên dương thỏa mãn 2016m +1 là ước của 2016n +1. Chứng minh rằng m là ước của n Câu 4. (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = abc. 2 b c a 1 1 1 Chứng minh rằng:3 2 2 2 3 a b c a b c Câu 5. (4 điểm) Cho tập hợp X có 2016 phần tử. Chọn ra 64 tập con X1, X2, X64 của tập X (mỗi tập con đều chứa nhiều hơn 1008 phần tử). Chứng minh tồn tại tập con A của X có số phần tử không vượt quá 6 mà A ∩ X ≠ ∅, với i = 1,64 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 26 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (6,0 điểm) 1. Giải phương trình sau trên ¡ : 4x2 12x x 1 27 x 1 9 2. Giải bất phương trình sau: x 2 x 5 3 Câu 2 (3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n +26 và n – 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào nào đó. Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC và điểm k thuộc cạnh BC sao cho KB = 2KC, L là hình chiếu cảu B trên AK, F là trung điểm cua rBC, biết rằng K¼AB 2K¼AC . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC. Câu 4. (4,0 điểm) Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử, tìm số lớn nhất của các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. Câu 5. (4,0 điểm) Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức: x 1 y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 x 1 2 x y z 3 33 z2 x2 1 33 x2 y2 1 33 y2 z2 1 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 27 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y x2 x 2 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ O đến ∆. Câu 2 (6 điểm) xy x 10 y 10 81 a) Giải hệ phương trình: 2 2 x y 10x 10y 18 0 b) Giải phương trình: 2 x2 5x 7 3 x 1 x 4 8 c) Tìm m để phương trình: 4 x 4 x 2 16 x2 m có nghiệm duy nhất. Câu 3 (4 điểm) a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 4 a b c ab ac bc ba ca cb a b b c c a b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x y z Câu 4. (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có diện tích S và các cạnh BC = a, CA = b thỏa mãn điều kiện a2 b2 cotA + cotB= . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 2S b) Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác. M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi D E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của m lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF Câu 5. (3 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC. Gọi a b lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác trong của tam giác. các đường thẳng AD lần lượt có phương trình là x - y - 2 = 0, y = 0. Giả sử B(1;3), Viết phương trình đường thẳng AC và xác định tọa độ điểm C. b) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng bc có phương trình 2 x + y - 1 = 0. Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 28 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y f x x2 2 m 1 x m 1. Tìm m để bất phương trình f x 0 nhận mọi x thuộc R là nghiệm. 2. Tìm m để bất phương trình f x 0 có hai nghiệm x1, x2 lớn hơn 1. Câu 2 (4 điểm) 1. Giải phương trình: 2 x 1 3 x 3 x2 4x 3 6, x ¡ 3 2 2 2 x 2x y 2y x y 2x y 2x 2. Giải phương trình: x, y ¡ 2x 1 2y 1 x 2y 1 Câu 3 (4 điểm) 1. Giải bât phương trình: 3x 2 x 3 x3 3x 1, x ¡ 2. Chứng minh răng biểu thức sau không phụ thuộc vào x A cos4 x sin4 x 2sin2 x 3 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x Câu 4. (6 điểm) 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có 1 GA.GB GB.GC GC.GC . AB2 BC 2 CA2 6 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (1;2). Đường thẳng chứa canh BC có phương trình: x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ B và C, biết AB = 2AC. 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2 2 2 (C1): x 1 y 3 0 và (C2): x 2 y 2 5 Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt tại M, N (M, N không trùng A) Câu 5. (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c 1 a3 b2 c b3 c2 a c3 a2 b DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 29 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) Hãy tìm tất cả các số để khi thêm vào tích sau ta được một số chia hết cho 2011. 2010 A 20112 1 .20102011 Câu 2. (4 điểm) x 1 Tìm tất cả các hàm số f x xác định trên ¡ thỏa mãn f x f x 1, với mọi x x 0, x 1 . Câu 3. (4 điểm) Giải phương trình: 3x2 8x 67 8 4 4x 4 0 . Câu 4. (4 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 1. a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c . Câu 5. (4 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn C có tâm O và bán kính R. Chứng minh: M C MA2 MB2 MC 2 2BC 2 . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 30 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) sin B 2sin C Câu 1 . Cho tam giác ABC có sin A với A, B, C tương ứng là kí hiệu số 2cos B cosC đo của các góc B¼AC, ¼ABC, ¼ACB của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 2 2 x xy 2y 3y 1 Câu 2 . Giải hệ phương trình: x, y ¡ x x y x y 2 a 3c a 3b 2a Câu 3 . Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 5 a b a c b c Câu 4. (5 điểm) Cho các số nguyên n, m, k thỏa m.n = k2 và k không chia hết cho 3. Chứng minh rằng (m – n) chia hết cho 3 Câu 5. (1 điểm) Cho đường tròn (O1) có tâm O1 và đường tròn (O2) có tâm O2, biết hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ tuyến chung d của hai đường tròn. Gọi C, D lần lượt là tiếp điểm của d với (O1), (O2); biết A và C khác phía so với O1 O2. Vẽ đường thẳng đi đi qau A và song song với d lần lượt cắt BD, BC tại E, F. Chứng minh rằng AE = AF. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 31 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 3 3 2 x y 3y 9 Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình sau: 2 2 x y x 4y Câu 2 (4 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Chứng minh x2 y2 z2 bất đẳng thức: 1 x3 8 y3 8 z3 8 Câu 3 (4 điểm) Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE; C1 là giao điểm của CG và MP. Ta xác định các điểm A2, B2, C2 sao cho AGC2F, BGA2N, CGB2P là các hình bình hành. Chứng minh rằng các đường đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy. Câu 4. (4 điểm) Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 + m = 12m3 + n. Chứng minh rằng m – n là lập phương của một số nguyên. Câu 5. (4 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có tọa độ (x; y) với x, y ¡ * và x 12; y 12 . Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ mà tất cả các đỉnh nó thuộc M và được tô màu. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 32 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực: 6x 3 7 3x 15 6x 3x 2 2 9x2 27x 14 11 Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC (BC < AC). Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại P, BQ vuông góc với AC tại Q.Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T. chứng minh rằng TH  CM, trong đó H là trực tâm tam giác ABC. Câu 3 (4 điểm) 3 Cho hàm số f : ¡ ¡ (¡ là tập số thực) thỏa mãn f f x x3 x với mọi 4 x ¡ . Chứng minh rằn tồn tại 3 số thực phân biệt a, b, c sao cho f(a)+f(b)+f(c)=0 Câu 4. (4 điểm) Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 + m = 12m3 + n. Chứng minh rằng m – n là lập phương của một số nguyên. Câu 5. (4 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013n – 1 chia hết cho 22014. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 33 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình y 4x2 1, đường thẳng d có phương trình y x 3 c) Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d sao cho ∆ cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB = 1. d) Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi. Câu 2 (5 điểm) d) Giải phương trình: x 1 x2 1 x x 2 2 x 21 y 1 y e) Giải hệ phương trình: 2 2 y 21 x 1 x Câu 3 (5 điểm) c) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường phân gisc trong của góc C cắt DE tại P. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N, M.      a) Tính BM , BN, BP theo hai vecto BA, BC và theo a, b, c b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng d) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma ,mb ,mc là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng 1 1 1 3 minh rằng nếu thì tam giác ABC đều. abmc bcma camb 2RS Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1;6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 12 . Chứng minh rằng: 1 1 1 8 8 8 a b b c c a a2 28 b2 28 c2 28 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 34 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 . Giải phương trình 2x x2 2x 7 2 4 2x 1 2 2 4x 2y 4x 4y 2xy x y Câu 2 . Giải hệ phương trình: 2 2 2x 1 2 x y 3 8x y 4y 4 x y 1 Câu 3 a) Chứng minh rằng nếu các cạnh của ta giác ABC thỏa mãn. sin2014 A sin2014 B sin2014 C thì tam giác đó nhọn. b) Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH, BK là hai đường cao, HK = 7 , diện tích tứ giác ABHK bằng 7 lần diện tích ta giác CHK. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3;-1) và đường tròn (C) có phương trình x2 y2 2x 8x 14 0. Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm E và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 3 . Câu 5. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 3xyz . 1 1 1 3 Chứng minh: x2 2y2 z2 1 y2 2x2 z2 1 z2 2x2 y2 1 4 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 35 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (5 điểm) 3 2 y 3x y 28 Giải phương trình sau: 2 2 x 6xy y 6x 10y Câu 2 (5 điểm) Cho tia Ax và điểm B cố định sao cho góc Bax nhọn, điểm C chạy trên tia Ax. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC va fAC theo thứ tự của M và N. Chứng minh rằng, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 3 (4 điểm) Cho x, y, z ϵ (0;1). Chứng minh rằng: x x2 y y2 z z2 x yz y xz z yx Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho m2 n2 p là số nguyên tố và m3 n3 4 chi hết cho p. Câu 5. (2 điểm) Trên mạng lưới ô vuông vô hạn người ta điền vào mỗi ô vuông cơ sở 1 số thực sao cho mỗi số này bằng trung bình cộng với 4 số ở 4 hình vuông ở cơ sở có cạnh kề với nó. a) Chứng minh rằng: nếu các số được điện vào các ô vuông cơ sở là những số nguyên dương thì các số đó phải bằng nhau. b) Nếu các số được điện là các số hữu tỉ thì các số được điền vào các ô vuông cơ sở đó cạnh kề với nó, có nhất thiết phải bằng nhau không? Giải thích? DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 36 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 3x Câu 1 (5 điểm) Giải phương trình sau: 3x 1 2x2 1 5x2 3 2 12 (1 ) x 2 y 3x Câu 2 (5 điểm) Giải hệ phương trình: 12 (1 ) y 6 y 3x Câu 3 (3 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 9 a4 b4 c4 25 a2 b2 c2 48 0 a2 b2 c2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P b 2c c 2a a 2b Câu 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BN, AH đồng quy. Câu 5. (1 điểm) Chứng mih rằng trong dãy 9; 99; 999;9999; có vô số số hạng chia hết cho 17. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 37 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình 7x2 7x 9 x2 x 6 2 2x 1 Câu 2: (4 điểm) Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có giao điểm P của hai đường phân giác của các góc B· AD, B· CD nằm trên đường chéo BD. Gọi Q là trung điểm của BD. Đường thẳng qua t song song với AD cắt tia AQ tại K nằm ngoài tứ giác ABCD. Chứng minh rằng am giác CDK là tam giác cân. Câu 3 (4 điểm) Cho ba số thực dương x, y và z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện: xy+ yz + zx = 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. y2 z2 x2 S = x y2 1 y z2 1 z x2 1 Câu 4 (4 điểm) Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu. Câu 5 (4 điểm) Chứng minh rằng tồn tại 16 số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong 16 số đó có thể biểu diexn được dưới dạng: 7x2 9xy 5y2 x, y Z DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 38 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 Cho bộ số gồm 8 số D = {T, R, A, I, H, E, P, N} và T R R A A I I H H E E P P N N T  T ;  2 2 2 2 2 2 2 2  Là một hoán vị của D. Biết rằng T+ R+ A+ I+ H+ E+ P+ N = 2014. Hãy xác định các giá trị N Câu 2 Giải phương trình: x2 x 3 3 2x Câu 3 2 12 2x 4 y Giải hệ phương trình: (1) 2 1 2y y 5 2x Câu 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O. Phân giác trong của góc A cắt BC tai A1 và cắt đường tròn O tại A2. Tương tự ta thu được các điểm B1, B2, C1, C2, tương ứng. A A B B C C 3 Chứn gminh rằng 1 2 1 2 1 2 BA2 A2C CB2 B2 A AC2 C2 B 4 Câu 5. Cho số nguyên tố có 4 chữ số p = abcd . Chứng minh rằng đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx +d không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 39 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (3 điểm) e) Cho phương trình bậc hai x2 2mx 3m 2 0 , trong đó x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm 2 2 x1.x2 và x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. f) Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c, a 0. Chứng minh rằng nếu f x 0 với mọi x R thì 4a + c ≥ 2b. Câu 2 (2 điểm) f) Giải phương trình: x 2 3x 1 2x 3 (x R) 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 g) Giải hệ phương trình: x, y ¡ 2 x 6 y 3 x 2x 8 Câu 3 (2 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 b c a b) Giải bất phương trình: 3 3 x 1 x 2 x R Câu 4. (3 điểm) a) Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông ABE và ACF với B¼AE C¼AF 900 , sao cho tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF. Gọi M là trung điểm BC, chứng minh rằng AM vuông góc với EF. b) Cho tam giác ABC không vuông với a = BC, b = CA , c = AB. Chứng minh rằng nếu a2 b2 2c2 và tan A + tan B = 2tan C thì ABC là một tam giác cân. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn 11 1 ngoại tiếp và trong tâm lần lượt có tọa độ là I (4;0), G ( ; ). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng (d): 2x + y – 1 = 0 và điểm M(4;2) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B cảu tam giác ABC. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 40 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 6. 1. Giải phương trình: 2 x 6 3 x 5 x 3 . 2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a 2b 5c 0 . Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. Câu 7. x2 4xy x 2y 0 Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 x 8x y 3x 4y 0 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A 1;3 , B 5; 3 . Xác định tọa   độ điểm M trên đường thẳng d : x 2y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 9. Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A cotC cot B . 1 1. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA và CC của tam giác ABC khi . 1 1 2 2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2 . Câu 10. 1 1 1 Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1. a2 b2 c2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 41 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1. Cho a, b, c dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: a5 b5 c5 S a3 2b3 b3 2c3 c3 2a3 Câu 2. Cho số nguyên n ≥ 2 a) Hãy xác định tất cả các bộ a1, an nguyên dương sao cho a1 ! 1 an ! 1 9 là số chính phương. b) Hãy xác định tất cả các bộ a1, an nguyên dương sao cho a1 ! 1 an ! 1 1 là số chính phương. Câu 3. Cho tam giác ABC không vuông và không cân, O, H theo thứ tự làm tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC. E, F theo thứ tự là giao điểm của BH, CH và AC, AB. M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. O1,O2 theo thứ tự nằm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BEM, CFN. Chứng minh rằng OH  O1O2 Câu 4. Tìm số nguyên dương K bé nhất sao cho với mỗi tập gồm k số tự nhiên luôn tồn tại 6 phần tử trong tập có tổng là bội của 6 Ngày thi thứ 2 x y 2 Câu 1. Giải hệ phương trình x 15 y 15 8 Câu 2. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn a + b + 1 = 7c và đa thức P(x) = x3 ax2 bx c có ba nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Đặt Q(x) = x2 2x d . Chứng minh rằng: a) Tích ba nghiệm của đa thức P(x) không vượt quá -1 b) Phương trình P(Q(x)) = 0 có tối đa bốn nghiệm thực phân biệt Câu 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròng (O) và không phải là hình tang. M, N theo thứ tự là trung điểm cảu AB, CD. Gọi E = AD ∩ BC, F = AC ∩ BD, P = EF ∩ AB và Q = EF ∩ CD. Chứng minh rằng: a) M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn có tâm là T. b) MQ, NP, OT đồng quy. Câu 4.Cho ba số nguyên dương a, m, n trong đó a là số chẵn và n > 1. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn n 1. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của A = a2 +1 đều có dạng 2n 1 k 1 , với k là số tự nhiên. m 2. Giả sử rằng am 1 chia hết cho A. Chứng minh rằng là số nguyên dương lẻ 2n DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 42 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm) 2014 2015 Tìm tập xác định của hàm số: f x x2 2x 3 x2 2x Câu 2 (1,0 điểm) x a) Chứng minh rằng hàm số f x đồng biến trên khoảng 1; x 1 b) Chứng minh rằng hàm số f x 2015 x 2015 x là một hàm số lẻ Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 19 3x 4 x2 x 6 6 2 x 12 3 x Câu 4. (1,0 điểm) 2 2 x 2y 3xy y 1 0 Giải hệ phương trình: 2 2 x y y 3 0 Câu 5. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị m sao cho bất phương trình 2 m 1 2 m 2 2m 2 0 vô nghiệm (x là ẩn, m là tham số) Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng. Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không vuông và có cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a2 b2 2c2 và tanA + tanC = 2 tanB thì tam giác ABC đều. Câu 8. (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) (đường tròn (I) có tâm là I); điểm H(2;2) là trực tâm tam giác ABC. kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I). tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M (5;3) N (1;3) và đường thẳng BC đi qua điểm P (4;2). Câu 9. (1,0 điểm) Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện A + B + C = 2015 chứng minh rằng 2015a a2 2015b b2 2015c c2 2015 a 2015 b 2015 c 6 2 2 bc ca ab a b c DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 43 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực: 1 x2 x2 x 1 3 1 x 1. Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Gọi (O1) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A; (O2 ) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A. P là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2 ) ; K, L theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1), (O2 ) với đoạn thẳng BC . Gọi (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL . a) Chứng minh rằng: AK, AL tiếp xúc với (S) . b) Gọi Q là giao điểm thứ hai của (S) và AP ; E là giao điểm của QK và AB ; F là giao điểm của QL và AC . Chứng minh rằng các điểm A, K, L, S, E, F cùng thuộc một đường tròn. (Chú ý. Ta kí hiệu (X ) là đường tròn có tâm X ). Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức f (x) x4 x3 mx2 nx p , trong đó m, n, p là các số nguyên đôi một phân biệt, khác không, sao cho f (m) m4 m3 và f (n) n4 n3 . Tìm m, n, p . Câu 4 (4,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) a b2 là lũy thừa của một số nguyên tố; ii) a2 b chia hết cho a b2 . Câu 5 (4,0 điểm) Cho tập S {1,2,3, ,2025}. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho: Với mọi tập con T của S gồm n phần tử, tồn tại hai phần tử phân biệt u,v T sao cho u v 20. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 44 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (1,5 điểm) 2 Cho hàm số y x 3x 2 và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau. Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau trên ¡ : 3x 1 x 1 9 x . 9 b) Giải bất phương trình sau: x 2 . x 5 3 Câu 3 (1,0 điểm) 2 2 2x y 3xy 3x 2y 1 0 Giải hệ phương trình 2 2 4x y x 4 2x y x 4y Câu 4 (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2). Đường thẳng là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x y 1 0 , khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung. b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn 2 2 2 hệ thức: b IB c IC 2a IA 0 . Tìm điểm M sao cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 ( b MB c MC 2a MA ) đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. E sin4 a 4cos2 a cos4 a 4sin2 a b) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB 2KAC . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . Chứng minh rằng: 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 xyz . x y z DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 45 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) 4 2 2 2 y 2xy 7y x 7x 8 Giải hệ phương trình sau: 2 3 2 2 3 x y 1 x x 4y 3 Câu 2 (4 điểm) Cho đường tròn (w1) và (w2) cắt nhau tại P và Q, một đường thẳng d thay đổi đi qua B Cắt w1 tại A và các (w2) tại B sao cho P nằm giữa a và b; C, D là hai điểm cố định lần lượt thuộc (w1) và (w2) sao cho P thuộc tia đối của tia DC. tia BD và đoạn AC cắt nhau tại X, điểm y thuộc (w1) sao cho đường thẳng PY song song với đường thẳng BD, điểm Z thuộc (w2) sao cho đường thẳng PZ song song với đường thẳng AC. Gọi I và J lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABQ và CDQ. a) chứng minh rằng đường thẳng IJ vuông góc với đường thẳng XQ b) chứng minh rằng đường thẳng YZ luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi. Câu 3 (4 điểm) Cho số nguyên tố p và ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x < y < z < p. Chứng minh rằng nếu x3  y3  z3 (mod p) thì x2 y2 z2 chia hết cho x + y + z. Câu 4. (4 điểm) 3 Xét các số thực dương x,y và z thỏa mãn x + y + z ≤ . 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P x y y z z x x y z Câu 5. (4 điểm) Có 42 học sinh tham iga một buổi giao lưu. Biết rằng cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau. Kí hiệu k là số cặp đôi như thế. Tìm giá trị nhỏ nhất cuả k. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 46 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực x3 x2 3x 1 x3 6x 2 5 Câu 2 (4 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Goin H là trực tâm ∆ABC và P là điểm trên đoạn BC (P ≠ B; P ≠ C). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC tại T (T ≠ H). Đường thẳng TP cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC tại K (K ≠ T). Giả sử BK cắt AC tại M; CK cắt AB tại N. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của BN, CM a) chứng minh rằng tứ giác ANKM nội tiếp. b) chứng minh rằng ·XPY có số đo không đổi khi P di động trên BC Câu 3 (4 điểm) 1 1 1 Xét các số thực dương x,y và z thỏa mãn 3 . x y z x y z 3 Chứng minh rằng: x4 1 2xy y4 1 2yz z4 1 2zx 4 Câu 4. (4 điểm) Với tam thức bậc hai a2 bx c cho phép thực hiện các phép biến đổi sau: (i) Đổi chỗ a và c cho nhau hoặc, (ii) Thay đổi x bởi x + t với t là một số thực bất kì. Bằng cách lặp lại các phép biến đổi trên có thể biến đổi tam thức x2 8x 2015 thành tam thức 2016x2 8x 1hay không? Câu 5. (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số n7 n5 2n4 n3 n2 1 có đúng một ước số nguyên tố. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 47 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 MÔN TOÁN (Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề) 2 2 2 2 5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3 x y Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2x y 1 2 3 7x 12y 8 2xy y 5 Câu 2 (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm di động trên (O) không trùng với A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại N, AN cắt (O) tại D khác A. Tiếp tuyến của (O) tại D cắt CN tại P. Chứng minh rằng P di động trên một đường cố định khi C di động trên (O). Câu 3 (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh: a b c 1 7a2 b2 c2 a2 7b2 c2 a2 b2 7c2 Câu 4. (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình: x2 y2 x y kxy có nghiệm nguyrn dương x,y. Câu 5. (1,0 điểm) Cho trước số nguyên dương n 2 . Trong một giải đấu cờ vua có 2n động viên tham gia mỗi người đối với người khác đúng một ván.Tại thời điểm trong giải, người ta thấy có n2 1 ván đấu đã diễn ra. Chứng minh rằng khi đó có thể chọn ra 3 vận động viên sao cho hai người bất kỳ trong ba người được chọn đều đã thi đấu với nhau. Câu 6. (1,0 điểm) Cho hàm số f:N* → N* \ {1} (N* là tập hợp các số nguyên dương) thỏa mãn: f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) – 168 Tính f(2014) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 48 ®Ò thi chän ®éi tuyÓn h.s.g m«n to¸n líp 10 Thêi gian: 90 phót Bµi 1.(3 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2(x 1) x2 2x 1 x2 2x 1.(1) x y x2 y2 8 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: xy(1 x)(1 y) 12 Bµi 2.(2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) = 4x2 - 4x - 3|2x - 1| + 3. Bµi 3.(3 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC vµ ®êng th¼ng d. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng th¼ng d sao cho biÓu thøc S = MA2 + 2MB2 - MC2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1 Bµi 4.(2 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, AC = b, AB = c vµ diÖn tÝch S (a2 b2 ) . H·y t×m sè 4 ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. HÕt & DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 49 Së GD &§T L¹ng S¬n ®Ò Thi chän HS Giái líp 10 Trường THPT Bắc Sơn M«n: To¸n häc (Thời gian làm bài : 180 phút) Câu 1: ( 4 điểm) Giải bất phương trình : 7x 7 7x 6 2 49x2 7x 42 181 14x Câu 2: ( 5 điểm) Cho hệ phương trình : xy x2 m(y 1) 2 (I) xy y m(x 1) a) Giải hệ PT với m= -1 b) Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất Câu 3: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại T, đường thẳng CT cắt đường tròn tại K khác T. Giả sử K là trung điểm CT và CT 6 2 .Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Câu 4 : ( 4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho tam giác 3 ABC có diện tích: S ; hai đỉnh A(2;-3) , B(3;-2) và trọng tâm của tam giác thuộc 2 đường thẳng (d) : 3x-y-8 =0 .Tìm toạ độ đỉnh C. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5 : ( 3 điểm) Xét các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện: abc=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 P a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) Hết DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 50 TRƯỜNG THPT MINH CH¢U ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN THI: TOÁN 10 – Thời gian làm bài: 180 phút. ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình: x2 4x 3 2m 1 có đúng 2 nghiệm. Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2 mx 2 m 1 x 3 m 2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 2x2 1. Câu3. (3 điểm) 7x y 2x y 5 1) Giải hệ phương trình: 2x y x y 1 2) Giaûi phöông trình: 9( 4x 1 3x 2) x 3 3)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 4 x 1 x 4 1 x m. Câu 4. (4điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì. Chứng minh rằng: MA2 MB2 MC 2 3MG2 GA2 GB2 GC 2 . Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tìm vị trí của M để MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị bé nhất. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M(1; 1) và hai đường thẳng d1 : x y 1 0, d2 : 2x y 5 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 . a. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên d1 , đi qua điểm M và tiếp xúc với d2 . b. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt d1 , d2 lần lượt ở B và C sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB. 3) Trong hệ trục Oxy cho ABC có B 2; 1 , đường cao hạ từ A và phân giác góc C lần lượt có phương trình 3x 4y 27 0 và x 2y 5 0. Tìm tọa độ điểm A và điểm C. Phân giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài? Câu 5. (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 a bc b ca c ab 2 HẾT Họ và tên học sinh: .Lớp: DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ 1. Câu 1. (3,0 điểm) 1a (2,0 điểm) 2 m 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm ' m 3m 2 0 m 1 Theo định lí Vi – ét ta có x1 x2 2m, x1x2 3m 2 2 2 2 2 2 Do đó x1 x2 x1 x2 2x1x2 4m 2 3m 2 4m 6m 4 Lập bảng biến thiên của hàm số f m 4m2 6m 4 trên ;12; ta được m - 1 2 + + + f m 2 8 Từ bảng biến thiên ta được f m 4m2 6m 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi m 1. 1b (1,0 điểm) Do f x 0 với mọi x ¡ nên f 0 0 c 0 . a 0 a 0 Mặt khác f x 0 với mọi x ¡ 2 2 b 4ac 0 b 4ac Ta có 4a c 2 4ac 2 b2 2 b 2b . Câu 2. 2a (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3x 0 x 0 Đkxđ x 2 0 x 2 x 2 2x 3 0 3 x 2 Phương trình đã cho tương đương với: x 2 2x 3 3x 1 x 2 2x 3 2 x 2 2x 3 3x 1 2 3x x 2 2x 3 3x x 2 2x 3 3x 2 2 x 1 2x x 6 3x 2x 4x 6 0 x 3 Kết hợp với đkxđ ta được x 3. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 . 2b (1,0 điểm) Đkxđ: x 6, y 3 Từ phương trình đầu của hệ ta có: x y x2 xy y2 3 3 x2 y2 2 x y x2 xy y2 3 x y 3x2 3y2 2 x3 y3 3x 3y 3x2 3y2 2 x 1 3 y 1 3 x 1 y 1 y x 2 x 1 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x 6 x 1 x2 2x 8 x 6 3 x 1 2 x2 2x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 1 0 x 6 3 x 1 2 1 1 x 3 x 1 0 x 6 3 x 1 2 x 3 So sánh với đkxđ ta được x, y 3,1 . Câu 3. 3a (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c 3 Ta có a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 4a c 1 4b a 1 4c b 1 3 a 1 b 1 c 1 4 ab bc ca 4 a b c 3abc 3 3 ab bc ca 3 a b c ab bc ca a b c 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho ba số dương ta được: ab bc ca 33 ab.bc.ca 3 a b c 33 abc 3 Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được ab bc ca a b c 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Vậy bđt được chứng minh. 3b (1,0 điểm) Đkxđ x 2 . Đặt t x 2, t 0 suy ra x t 2 2, thay vào bất phương trình ta được: 3 1 t 2 1 t 1 t 2 1 t 3 3 1 t 2 1 t 1 t 2 1 t 3 t3 4t 2 3t 0 t t 1 t 3 0 t 3 x 2 3 x 11 0 t 1 0 x 2 1 2 x 3 Kết hợp với đkxđ ta được tập nghiệm là S 2;311; . Câu 4. (3,0 điểm) 4a (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A M G O B C        2 Ta có OA OB OC 3.OG 9.OG2 OA OB OC       OA2 OB2 OC 2 2.OA.OB 2.OB.OC 2.OC.OA 3R2 OA2 OB2 AB2 OB2 OC 2 BC 2 OC 2 OA2 CA2 9R2 a2 b2 c2 . Do 4 điểm A, G, O, M cùng nằm trên một đường tròn nên OG vuông góc với GA hay 1 1 OG2 GA2 OA2 9R2 a2 b2 c2 2b2 2c2 a2 R2 9 9 9R2 a2 b2 c2 2b2 2c2 a2 9R2 b2 c2 2a2 4b (1,0 điểm) 2S sin A 4S Ta có tan A bc . Tương tự ta tính được tan B, tan C cos A b2 c2 a2 b2 c2 a2 2bc Theo giả thiết 4S 4S 4S tan A tan B 2 tan C 2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 2 2 2 a4 b2 c2 b4 c2 a2 2 c4 a2 b2 a4 b4 c4 2b2c2 b4 c4 a4 2c2a2 2c4 2a4 2b4 4a2b2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2c4 a2 b2 c2 a2 b2 2 2c4 a2 b2 2c4 a b Hay tam giác ABC cân 4c (1,0 điểm) A M N H G I (d) C B   Ta chứng minh IH 3.IG x 4 y 2 Suy ra H 3;1 pt MH : x y 2 0 . 3 4 1 2 Do B là giao của (d) và đường thẳng MH nên tọa độ B là nghiệm của hệ: x y 2 0 x 1 B 1; 1 . 2x y 1 0 y 1  3  Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó BN BG N 5;1 2   Ta có nAC uMN 1;1 pt AC :1 x 5 1. y 1 0 x y 6 0 . Do A thuộc đường thẳng AC nên A t;6 t , kết hợp với I là tâm đường tròn ngoại tiếp 2 2 2 2 t 3 tam giác ABC nên IA IB t 4 6 t 10 t 7 +) Với t 3 A 3;3 ,C 7; 1 +) Với t 7 A 7; 1 ,C 3;3 Vậy A 3;3 , B 1; 1 ,C 7; 1 hoặc A 7; 1 , B 1; 1 ,C 3;3 ĐỀ 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 1 1.1 2,0 điểm (2x 3) 4x 1 (2y 3) 4y 1 2 (2x 3)(2y 3) (1) y x 4xy (2) 1 1 Điều kiện xác định: x ; y 4 4 x y (2) x y(4x 1) 4x 1 4y 1 thay vào (1) ta được y x x y (2x 3) (2y 3) 2 (2x 3)(2y 3) y x x y Do (2x 3) (2y 3) 2 (2x 3)(2x 3) y x Suy ra (1) x(2x 3) y(2y 3) (x y)(2x 2y 3) 0 x y thay vào (2) ta được x 0 (lo¹i) 2 2x x 0 1 1 x y 2 2 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ; . 2 2 1.2 1,0 điểm Ta có: f x y f x y f (y) f (0) y y ¡ . f (x) a x với a f (0) . 1 1 1 f f (0) a x 0. x x x 1 f (x) f (0) x a x Mặt khác f 2 2 2 x 0 . x x x x 1 a x a x 0 ax2 a x 0 a 0. x x2 Vậy f (x) x x ¡ . Câu 2. 2,0 điểm p, q đều khác 2, 7 . Không mất tính tổng quát ta giả sử q p . Khi đó từ giả thiết ta được 7 p 4 p  p hoặc 7q 4q  p DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn TH1. 7 p 4 p  p , theo định lí Fermat ta có: 7 p 4 p  3 mod p 3  0 mod p p 3. TH2. 7q 4q  p , ta có p 1, q 1 tồn tại 2 số nguyên dương u , v sao cho qv p 1 u 1 7q  4q mod p 7qv  4qv mod p 71 p 1 u  41 p 1 u mod p 7  4 mod p 3  0 mod p p 3. Với p 3 , từ giả thiết ban đầu ta được: 73 43 7q 4q 3q 9.31. 7q 4q 3q q 3, q 31. Vậy p, q 3, 3 , 31, 3 , 3, 31 . Câu 3. 2,0 điểm A B I1 H K I3 E D I L 2 C F Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn I1 cắt BC tại K và đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một hình bình hành. Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD HL AD CK AD BC BK AB CD BK AB BK CD AH HK CD AH LC CD AH DL Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với (I3 )     Vì FD  KH; FH  HA nên các đường phân giác HI1 của góc AHK và FI3 của góc HFD vuông góc với nhau; hay I1H  I2 I3 (Do F, I2 , I3 thẳng hàng) (1) DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chứng minh tương tự, cũng được HI3  EI2 hay I3H  I1I2 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Câu 4. 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 4 4 3 4 a 2 a· 4 a 3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2 a a 4 a 9 9 1 9 b 2 b· 6 b 3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 3 b b 2 b 16 16 1 16 c 2 c· 8 c 2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 4 c c 4 c 3a b c 3 9 4 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được 8 (1) 4 2 4 a 2b c a b 3c Mặt khác, do a 2b 3c 20 nên 5 (chia hai vế cho 4) (2) 4 2 4 3 9 4 Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được L a b c 13. a 2b c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2,b 3,c 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức L bằng 13, đạt được khi a 2,b 3,c 4. Câu 5. 1,0 điểm Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và m n là hai phần tử bé nhất của X. Khi đó, do cách xác định X nên tồn tại k X sao cho n mk 2 . Suy ra m k n và do đó k m hoặc k n . Với k n n m.n2 m.n 1 vô lí. Với k m m n m3 m 1 +) Nếu | X | 2 thì tập hợp X m,m3 m 1 . +) Nếu | X | 3 , gọi q là phần tử bé thứ ba của X (tức là m n q ). Khi đó tồn tại  X sao cho q m2. Do q  nên hoặc  m hoặc  n . Nếu  m thì q m3 n , vô lý. Vậy  n m3 và q m2 m7 . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Nhưng tồn tại t X sao cho q nt 2 , do đó t m2 . Mà m m2 m3 m2  X , vô lý. Vậy | X | 2 và X m,m3 m 1 . Đề 3 Câu 1. a) Điều kiện: y 0, xy 2 0, xy y 7 0 . y 0 không thoả mãn hệ. y 0 chia hai vế phương trình thư nhất trong hệ cho y và chia hai vê phương trình thứ hai trong hệ cho y ta được 7 7 x 3y 8 3xy 6 x 3y 8 3xy 6 y y 7 7 7 x 1 3xy 1 5 x 3y 2 2 x 3y 3xy 21 1 25 y y y 7 a x 3y Đặt y b 3xy 6 a 8 b Hệ có dạng 2 a 2 2 a b 16 25 8 3 a;b 11;3 x; y 1;1 , ; 3 8 b) Nhận xét f x x2 2 thoả mãn f 1 3, f 3 11, f 5 27 Xét đa thức Q x P x f x là đa thức bậc 4 có các nghiệm là x 1, x 3, x 5 Nên Q x x 1 x 3 x 5 x m Ta có P 2 Q 2 f 2 216 105m, P 6 Q 6 f 6 128 15m Vậy P 2 7P 6 216 105m 7 128 15m 1112 Câu 2. 2 PT x2 4 y2 7 17 x4 y2 7 2 4 2 2 2 2 2 2 16x 8x y 7 y 7 0 4x y 7 0 4x2 y2 7 0 2x y 2x y 7 Do x, y nguyên dương nên 2x y 2x y và 2x y 0 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x y 7 Vậy x; y 2;3 2x y 1 Vậy phương trình có nghiệm x; y 2;3 Câu 3 1) A I O K B H L C A' M N 1 Ta có O· AC 900 ·AOC 900 ·ABC B· AH mà AI là phân giác góc A nên 2 H· AI O· AI , suy ra tam giác ANA' cân tại A. Gọi L là giao điểm của MA và BC. Ta có H· KN 900 H· NK H· AM L· AA' , suy ra tứ giác ALA'K nội tiếp. Do đó MA'.MK ML.MA (1) Dễ thấy ngay hai tam giác MCL và MAC đồng dạng, suy ra ML.MA MC 2 (2) Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên MI MC (3). Từ (1), (2), (3) suy ra MN.MK MI 2 N· IK 900 . Vậy tứ giác NHIK nội tiếp. A D T l O S K B H L C A' M N 2) * Từ tứ giác NHIK nội tiếp suy ra I·HK I·NK I·A'M I·AD . Suy ra tứ giác AIHS nội tiếp. Do đó ·AIS I·HS 900 . DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Gọi T là trung điểm của cạnh SA. Khi đó T¶IA T· AI I·NK M· IK , suy ra ba điểm T, I, K thẳng hàng (4). * Tiếp theo ta sẽ chứng minh L là trung điểm của SK. AI AB BL AB BL AB AB 1 Ta có và BL AB IL BL LC AC BC AB AC 2BC 2 AI Do đó 2 (5) IL Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ASL với cát tuyến TIK ta có: TA KS IL . . 1 (6). Từ (5) và (6) suy ra KS 2KL , tức L là trung điểm của SK (7). TS KL IA Từ (4) và (7) suy ra I là trọng tâm tam giác AKS (đpcm). Câu 4. c2 Ta có 2ac 4a2 1 4 d 2 bd b2 2 4 2 c d cd cd 3 8 2 Cộng vế 1 , 2 , 3 ta có 2 2 c2 d 2 cd c d 3 c d P 2ac bd cd 4a2 b2 4a2 b2 8 4 4 2 8 8 1 P 8 a;b;c;d ;1;2;2 . Vậy giá trị lớp nhất cảu P bằng 8. 2 Câu 5. Đặt n 2014 . Giả sử các phần tử của M thoả mãn a1 a2 an Đặt S0 0, Sm a1 a2 am 0 m n . Gọi P là tập tất cả những số si được xác định trong đề bài. Kí hiệu Pm s P | Sm 1 s Sm với m 1,2,3, ,n . Ta chứng minh cách chia P thành các tập Pm như vậy thoả mãn điều kiện bài toán. Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh b Pm thì Sm 2b h Thật vậy b S a a a và b a nên phai tồn tại i để i m m 1 1 2 m 1  ik k k k 1 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b a a S S S b 2b S Vậy ik m m m 1 m m Đề 4 Câu 1. x 0 x 2;0  0; 2 a) Điều kiện: 2 2 x 0 1 1 Đặt y 2 x2 0 . Thay vào ta được: 2 . Do đó ta có hệ phương trình: x y 2 2 x y 2 2 x2 y2 2 x y 2xy 2 1 1 2 x y 2xy x y 2xy x y x y 2 2 x y x y 2 0 xy 1 x y 2xy x y 1 xy 0,5 x y 2 y 2 x x 1 +) 2 xy 1 x 2x 1 0 y 1 1 3 x x y 1 x 1 y 2 +) 2 (do y 0 ) xy 0,5 2y 2y 1 0 3 1 y 2 1 3  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S ;1 2  b) Phương trình x2 2mx m2 2m 4 0 (1) có hai nghiệm không âm ' m2 m2 2m 4 0 S 2m 0 m 2. 2 P m 2m 4 0 2 Theo định lý Vi-ét ta có x1 x2 2m; x1x2 m 2m 4 . Do đó 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 2m 2 m 1 3 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do m 2 x1 x2 8 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 2 . Câu 2. Đặt z y 1, thay vào hệ ta được: 2 2 x2 xz z2 1 x z 3xz 1 x z 3 x z 2 0 x xz z 1 x z 1 xz x z 1 xz x z 2 x z 2 xz 1 x z 1 x z 1 xz x z 1 xz 0 x z 2 z 2 x x 1 x 1 +) 2 xz 1 x 2x 1 0 z 1 y 2 x z 1 z 1 x x 1, z 0 x 1, y 1 +) 2 xz 0 x x 0 x 0, z 1 x 0, y 2 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;2 , 1;1 , 0;2  Câu 3. Do a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn nên có một trong các bất đẳng thức sau xảy ra: a2 b2 c2 , b2 c2 a2 ,c2 a2 b2 . Giả sử a2 b2 c2 , khi đó ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 b c 2 2 1 1 a b c 2 2 2 1 a 2 2 2 b c 2 2 a b c b c a b c 4 b2 c2 1 a2. 4 b2 c2 a2 3a2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 4 1 3 2 . 4 10 . Do đó b2 c2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 2 2 2 1 1 1 a b c 2 2 2 10 . a b c Câu 4. a) Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có:       OA OB OC  OB OC OG , OM . Khi đó 3 2        OG  OM OG.OM 0 OA OB OC OB OC 0       OA.OB OA.OC 2OB.OC 2R2 0 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 1 1 a b a b 2R2 AB2 2R2 AC 2 2R2 BC 2 2R2 0 (chú ý a.b ) 2 2 2 AB2 AC 2 2BC 2 12R2 b) a b c 2S 2S 2S Kí hiệu a BC,b CA,c AB, p . Khi đó ta có a ,b ,c 2 m n p Theo công thức Hê – rông ta có: S p p a p b p c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4S 2S 2S 2S 2S m n p m n p m n p m n p 1 4S 4S 2.k S , trong đó k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k m n p m n p m n p m n p 2 2 2 Do đó a ,b ,c . mk nk pk c) Do BC vuông góc với đường cao kẻ từ A nên BC có dạng 2x y c 0 . Tọa độ đỉnh B là 2x y c 0 x 2 nghiệm của hệ B 2; c 4 , x 2 0 y c 4 tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình 2x y c 0 x c 3 C c 3;c 6 . x y 3 0 y c 6 AB đi qua B 2; c 4 và vuông góc với đường cao kẻ từ C nên AB : 1. x 2 1. y c 4 0 x y c 6 0 . Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ x y c 6 0 x 2c 12 A 2c 12;c 6 . x 2y 0 y c 6 Theo giả thiết ta có AB.AC.BC AB.AC.BC AB.AC 10 10 2 10 4SABC 2.d A, BC .BC d A, BC DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2c 10 2c 10 . 3c 15 c 7 2 10 c 5 2 4c 24 c 6 c c 3 5 +) Nếu c 7 A 2; 1 , B 2;3 ,C 4; 1 . +) Nếu c 3 A 6;3 , B 2; 1 ,C 0;3 không thỏa mãn hoành độ của A âm. Vậy A 2; 1 , B 2;3 ,C 4; 1 . Câu 5. Giả sử min M· AB, M· BC, M· CD, M· DA 450 (1). cos M· AB MA2 AB2 MB2 MA2 AB2 MB2 Ta có cot M· AB . · · sin MAB 2.MA.AB.sin MAB 4SMAB 2 2 2 MA AB MB 0 2 2 2 Kết hợp với (1) ta được cot 45 1 MA AB MB 4SMAB 2 4SMAB Tương tự ta được các bất đẳng thức sau đây : 2 2 2 MB BC MC 4SMBC 3 2 2 2 MC CD MD 4SMCD 4 2 2 2 MD DA MA 4SMDA 5 Cộng theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4), (5) ta được: 2 2 2 2 AB BC CD DA 4 SMAB SMBC SMCD SMDA 4SABCD (6) 2 2 2 2 Mặt khác ta lại có: AB BC CD DA 2AB.BC 2CD.DA 4S ABC 4SCDA 4S ABCD , mâu thuẫn với (6). Do đó giả sử ban đầu là sai suy ra tồn tại ít nhất một trong các góc M· AB, M· BC, M· CD, M· DA có số đo không lớn hơn 450 . Đề 5 Câu 1. 1.1 Điều kiện x, y 0 Đặt x a 0, y b 0; viết hệ đã cho về dạng 1 1 a2 3b2 3a2 b2 (1) a 2b 1 1 2 b4 a4 (2) a 2b DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 (1)+(2) thu được a4 10a2b2 5b4 a5 10a3b2 5ab4 2 (3) a 1 (2)-(1) thu được 5a4 10a2b2 b4 5a4b 10a2b3 b5 1 (4) b Từ (3) và (4) thu được (a b)5 3 và (a b)5 1. 5 3 1 5 3 1 Từ đó, tìm được a và b . 2 2 ( 5 3 1)2 ( 5 3 1)2 Và do đó, tìm được x , y 4 4 1.2 Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương   . Khi đó, theo định lý  Vietta,   a,    b và  3a và do đó   3 (1) 3 3 3   3  3 3 2 9 (2).   Nếu  3 thì  3 và 3   , mâu thuẫn với (1). Vậy 1  3 3 3  3:  3, 3 3 3 3 3.32 9 1  1 4. Với khi đó Từ đó  3 a 9,b 27. Với  2 :  2, 2 3 2 3 3.22 9 2 3 2 3 21.Giải phương trình này với chú ý  2 ta được ; 12;2 , 5;3  . Với 12,  2 a 16, b 52 . Với 5,  3 a 10, b 31.  1:  1, 2 3 2 3 3.12 9 2 3 2 3 12, Với vô lí Vậy tất cả các cặp số a;b 9;27 , 16;52 , 10;31 . Câu 2. + Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a b là ước của x y và là ước của z t thì a b | xz yt ” + Mặt khác, do (a c)2 (b d)2 (a b c d)(a b c d)(a b c d) nên suy ra a b c d | a2 b2 c2 d 2 2(ac bd) . Từ đó, do giả thiết nên thu được a b c d | ac bd (1) + Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. Với n 1,2 : thì kết luận hiển nhiên đúng. Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là a b c d | an bn cn d n với n ¥ ,n 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta cần chứng minh a b c d | an 1 bn 1 cn 1 d n 1 (2) Thật vậy, do a b c d | (a c) (b d) và nhận xét ở trên suy ra a b c d là ước của (a c)(an cn ) (b d)(bn d n ) an 1 bn 1 cn 1 d n 1 ac(an 1 cn 1) bd(bn 1 d n 1) Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra a b c d | ac(an 1 cn 1) (bd(bn 1 d n 1) Vậy suy ra a b c d là ước của (a c)(an cn ) bd(bn d n ) ac(an 1 cn 1) bd(bn 1 d n 1) an 1 bn 1 cn 1 d n 1 (2) được chứng minh. Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra a b c d | an bn cn d n với mọi số nguyên dương n. Câu 3. 3.1 H F G A E N M I B C Không mất tính tổng quát, xét trường hợp AB BC CA, các trường hợp khác xét tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB, (hình vẽ) Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc ABC . Do đó ABC CAB BCA ABC CFA CFB 900 và AIC 1800 900 . Suy ra tứ 2 2 2 giác AFCI nội tiếp. BCA CAB Từ đó AFI ACI và IAC IFC ICF 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BCA CAB CAB Do EBA BEC CAB (900 ) CAB IBE 2 2 2 Hơn nữa, do tính đối xứng nên IEB IBE 900 MGC MCG ICG suy ra tứ giác CIEG nội tiếp. 3.2 BCA Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI ECI AFI 2 Hơn nữa, do IAB IEB nên GEI FAI suy ra GEI đồng dạng FAI EG EG AF HG AF AI Suy ra BI EI AI GE GE BI BCA Nhưng HGE AEB 900 AIB suy ra HGE đồng dạng AIB 2 CAB Từ đó EHG BAI 2 Câu 4. Đặt f (x) x g(x) , phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng 1 1 xg(x ) yg(y) yg(y ) xg(x) x, y 0 (1) y x 1 Cho y 1 thu được xg(x 1) g(1) g(1 ) xg(x) x 0 (2) x 1 Trong (2), thay x bởi , ta được x 1 1 1 1 1 1 g( 1) g(1) g(1 x) g( ) g(1 ) xg(x 1) g( ) xg(1) x 0 (3) x x x x x x 1 Từ (2) và (3) suy ra xg(x) g( ) (x 1)g(1) x 0 (4) x Trong (1), cho y 1, bằng lập luận tương tự, cũng được 1 xg(x) g( ) g( 1)(x 1) n 0 (5) x b Từ (4) và (5) suy ra 2xg(x) (g(1) g( 1))x (g(1) g( 1) x 0 hay g(x) a x 0 , x b ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra f (x) a x x 0 x b Thử lại ta thấy f (x) a x x 0 thỏa mãn phương trình đã cho. x DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. 5.1 Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là ab,1 a,b 9 . Theo giả thiết ta có a2 b2 c2 là số chính phương. Nếu a,b đều không chia hết cho 3 thì a2 b2  2 mod3 , vô lý vì a2 b2 là số chính phương suy ra ab  0 mod3 . +) Nếu a 9 81 b2 c2 c2 b2 81 không có nghiệm nguyên dương với 1 b 9 +) Nếu a 8 b3 b 3;6;9, thử trực tiếp ta thấy b 6 thỏa mãn. Vậy số dễ thương lớn nhất có 2 chữ số là 86. 5.2 2 2 2 2 2 2 2 Xét số A 22221 1 1 . Khi đó 2 2 2 2 1  .1 2025 45 suy ra 2009 so1 2009 so12 A 22221 1 1 là số dễ thương. 2009 so1 Đề 6 Câu 1. 1.1 2 2 2 1 3 2 1 3 Ta có x x 1 x , x x 1 x nên phương trình xác định với mọi 2 4 2 4 x ¡ . Phương trình đã cho tương đương với x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 4 2x2 2 2 x4 x2 1 4 x4 x2 1 1 x2 2 1 x 0 1 x 1 2 4 2 2 x4 x2 1 1 2x2 x4 x x 1 1 x 1 x 1 x 0 . Vậy pt có nghiệm duy nhất x 0. x 0 1.2 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 4 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 m 2 ' 0 m m 4 0 2 m 0 2 m 0 x1 x2 4 2 m 1 4 2 m 3 m 3 3 2 Theo định lí Viet ta có x1 x2 2 m 1 , x1x2 m m 1 suy ra 3 3 3 2 2 P x1 x2 8x1x2 8 m 1 8m 8 m 1 16m 40m Bảng biến thiên m -2 0 2 3 0 16 P -144 -24 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m 2 , Pmin 144 khi m 2 . Câu 2. 2 2 x2 x3 y xy2 xy y 1 (x y) xy(x y) xy 1 Ta có 4 2 2 2 x y xy(2x 1) 1 x y xy 1 a x2 y a ab b 1 Đặt . Hệ trở thành: 2 (*) b xy a b 1 a3 a2 2a 0 a(a2 a 2) 0 Hệ (*) 2 2 b 1 a b 1 a Từ đó tìm ra (a; b) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3) x2 y 0 * Với (a; b) (0; 1) ta có hệ x y 1. xy 1 x2 y 1 * Với (a; b) (1; 0) ta có hệ (x; y) (0; 1);(1;0);( 1;0) . xy 0 * Với (a; b) ( 2; 3) ta có hệ 3 3 x2 y 2 y y x x x 1; y 3 . xy 3 3 2 x 2x 3 0 (x 1)(x x 3) 0 DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Kết luận: Hệ có 5 nghiệm (x; y) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) . Câu 3. t 2 1 Đặt t x 1 x2 thì dễ thấy t 0 và x (1) 2t 2012 20122 t 2 Từ giả thiết ta có y 1 y2 . Từ đây cũng suy ra y (2) t 2.2012.t t 2 1 20122 t 2 2011 2012 Từ (1) và (2) suy ra x y t 2t 2.2012.t 2.2012 t 2011 2012 2011 2011 Do đó x y .2 t. .2 2012 . 2.2012 t 2.2012 2012 2011 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2012 . Từ (1) và (2) suy ra x y 2 2012 2011 2011 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng , khi x y . 2012 2 2012 Câu 4. 4.1 A P N H O B K C M D Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của BC cũng là  trung   điểm   của HD ,  trong  tam  giác  AHD   có OK là đường trung bình nên 2OK AH OB OC OH OA OA OB OC OH     Ta có OB OC 2OK OM và các đẳng thức tương tự ta được:        OM ON OP 2 OA OB OC 2OH   3OL 2OH suy ra O, H, L thẳng hàng. DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4.2 1 AB2 MA2 MB2 Trước hết ta có các kết quả sau: SABCD AC.BD.sin ; cot 2 4SMAB Tương tự ta được: AB2 MA2 MB2 BC 2 MB2 MC 2 CD2 MC 2 MD2 cot 4SMAB 4SMBC 4SMCD DA2 MD2 MA2 AB2 BC 2 CD2 DA2 4SMDA 4 SMAB SMBC SMCD SMDA AB2 BC 2 CD2 DA2 AB2 BC 2 CD2 DA2 4SABCD 2AC.BD.sin 4.3 A N P K I B C M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập được phương trình này là: x2 y2 3x 29 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác 3 ABC có tọa độ là K ; 0 . 2   5 Do AB  KP nên AB có vtpt n KP 2; 1 . Suy ra phương trình AB 2 AB : 2 x 1 1 y 1 0 2x y 3 0. Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương 2x y 3 0 y 2x 3 x 1, y 5 trình 2 2 2 x y 3x 29 0 x 3x 4 0 x 4, y 5   5 Suy ra A 1;5 , B 4; 5 . Do AC  KN nên AC có vtpt là n KN 2;1 AC 2 Suy ra pt AC : 2 x 1 y 5 0 2x y 7 0 . Khi đó tọa độ A, C là nghiệm của hệ phương trình: DeThi.edu.vn
Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x y 7 0 y 2x 7 x 1, y 5 C 4; 1 2 2 2 . Từ đây suy ra . Vậy x y 3x 29 0 x 5x 4 0 x 4, y 1 A 1;5 , B 4; 5 , C 4; 1 . Đề 7 Câu 1. 1.a Đặt S x y; P xy . Khi đó hệ phương trình trở thành S m 2 S m 2 2 2 2 S 2P 2S m 4 P m m 2 2 Để hệ có nghiệm thì S 2 4P m 2 4 m2 m 2 m2 4 2 m 2 1.b Ta có A P 2S 2011 m2 m 2005 Lập bảng biến thiên ta được max A 2011 khi m 2 ; min A 2004,75 khi m 0,5 m 1 -2 - 2 2 2007 2011 A 2004,75 1.2 Đặt t x2 0 , thay vào phương trình ta được t 2 3m 1 t 6m 2 0 t 2 phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi t 3m 1 1 3m 1 0 m 3 . Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm là 2; 3m 1 3m 1 2 m 1 10 Để các nghiệm đều lớn hơn 3 thì 3m 1 3 3m 1 3 m . Vậy các giá trị 3 1 10 của m là m ; \ 1 3 3 Câu 2. ĐK xy 0 , ta thấy từ pt thứ nhất x y 0, do đó x 0, y 0 . Từ đó ta đặt DeThi.edu.vn