Bộ 50 đề thi môn Toán Lớp 9

226 trang Hoài Anh 20/05/2022 5200

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 50 đề thi môn Toán Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_50_de_thi_mon_toan_lop_9.doc

Nội dung text: Bộ 50 đề thi môn Toán Lớp 9

Đề Số 1 Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150’) Câu 1: Giải phương trình. 6x 3 = 3 + 2 x x 2 x 1 x Câu 2: Cho hệ phương trình: x - 3y - 3 = 0 x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0 Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị của biểu thức. 2 2 M = (x1- x2) + (y1-y2) . Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số PQ không đổi khi M di EF chuyển trên cung nhỏ BC. Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức. 2(y+z) = x (yz-1) Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (Thời gian làm bài: 150’) Câu 1: Cho biểu thức. (x + x 2 2006)(y y 2 2006) 2006 Hãy tính tổng: S = x + y 1
x 2 x y 2 y Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: 0 x 2 y 2 1 Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất. Câu 3: Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phương. Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C. a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy. Câu 5: Giải phương trình. x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2 1 Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá Môn: Toán Thời gian: 150 phút Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không? y 5 13 5 13 5 1 1 1 1 Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: . Chứng minh a b c a b c rằng : 1 1 1 1 Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: an bn cn an bn cn Bài 3: Giải hệ phương trình: x 2 2 y 1 9 x y 1 1 Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau: 2
(m 1)x my 2m 1 2 mx y m 2 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất 2 Bài 5: Tìm m để phương trình (x -1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, 1 1 1 1 x3, x4 thoả mãn điều kiện 1 x1 x2 x3 x4 1 Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y x2 2 a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0 Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I 1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được 2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB. Bài 9: Cho tam giác ABC có àA 900 , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2đ) 1 2a 1 2a Rút gọn A Với a = 1 1 2a 1 1 2a 3 4 Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phương trình x3 =7x +3y y3 = 7y+3x 3
Bài III (3đ) Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1 Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx Bài IV (6đ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là trung điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gọi I là giao điểm của MH’ và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D. Bài V (3đ) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc. đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x 6x (x 6) x 3 3 1 A = 2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2 điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1 Câu 2: (3 điểm) giải phương trình x2 48 = 4x - 3 + x2 35 Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x3 y3 + z3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN của biểu thức 1 x10 y10 1 = ( ) (x16 y16 ) (1 x2 y2 )2 2 y2 x2 4 4
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0). Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) ( x y)2 x y x x y y Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= x x y y x y x y 1,Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A và A Câu 2: ( 5 Điểm) 1, Giải phương trình: x2 + 4x + 5 = 2 2x 3 2, Cho 1 a 2 và 1 b 2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= (a b) a 3 b3 Câu 3, (6 điểm) 1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0 Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác là: 2 5 2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng ( ) . Đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng ( ) tại A. Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp xúc với đường thẳng ( ) tại B. 5
Câu 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o 1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng: 1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 2, Tam giác EPQ là tam giác cân. Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 1 1 a 2 1 1 1 Bài 1: Rút gọn A= 2 với a > 0 và a 1 2 2 a 2 2 a 1 a a Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thành nhân tử 15 Bài 3: Tìm m để phương trình x 2 x m 2 0 có hai nghiệm và nghiệm này 4 bằng bình phương nghiệm kia. Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên mx 2y m 1 1 2x my 2m 1 2 Bài 5: Giải phương trình x 2 x 5 5 Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy. Xác định m để S ABO bằng 4. Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đường phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm. Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A, 6
 BAC = 600, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp. Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia. Tài liệu: - Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9 - Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9 - Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9. Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS thanh hoá Môn thi : Toán ( Thời gian làm bài : 150 phút) Bài I (3,0 điểm): a 1 Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là a4 a 1 a2 nghiệm dương của phương trình : 4x2+2 x- 2 = 0 Bài II ( 6,0 điểm): 2 1) Giả sử phương trình : x +ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phương 2 trình :x +cx +d = 0 có hai nghiệm x3 , x4 .Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d) - (a -c )(b-d)+(a+c) (b+d) 2) Chứng minh rằng nếu phương trình : ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0) 2 2 có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a =2b +ac Bài III (5,0 điểm): Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lượt là các đường cao. H là trực tâm AH BH CH 1) Chứng minh rằng: 6 HA' HB' HC' AH 2) Cho biết m . Hãy tính tgB.tgC theo m A' H Bài IV (4,0 điểm): Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta 7
nối với các đỉnh của hình bình hành đó . Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành Bài V (2,0 điểm): Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình : x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y. Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn Sở GD-ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006 (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1: (2,0đ) Tính giá trị biểu thức: 1 1 A= 2 2 3 2 2 3 Bài 2: (5,0đ) 1 Cho parabol(P): y= x 2 4 a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài 3: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R). Trên cung AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC. a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba cố định. b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC. c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R. 8
Bài 4: (4,0 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. a. Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của đáy ABC b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật. Bài 5: (5,0 đ) a.Giải phương trình: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0 b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x2 +7xy + 6y2 = 60 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs Trường thpt trần phú Môn : Toán Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phương trình : x2 + y2 = 5 x4 + x2y2 + y4 = 13 2x- 1 2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. x2+ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2 : (3 điểm) Cho Phương trình : x2 – 2 .(m - 1) x + m – 3 = 0 x2+ 1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m. 2 2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau. 9
Bài 3: (3 điểm) Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d Є R. Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1 Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi: AB. AC = 2DB . DC. Bài 5: ( 4 điểm) Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC, SB SC. Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x. a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x. b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất Sở GD&ĐT Thanh hóa đề xuất ngân hàng đề Trường thpt hậu lộc 3 Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán o0o o0o 1 2 1 2x 2 x 1 Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:A 4 , với x < 0. 1 2 1 2x 2 x 1 4 Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có 2 nghiệm đối nhau: x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0. Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2, biết rằng: x2 + y2 – xy = 4. Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820. Câu 5: (3 điểm) Cho ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AB = AC = R2 . a) Tính BC theo R? 10
b) Cho M là điểm di động trên cung AằC nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AM.AD là hằng số. c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung AằC nhỏ. Hết Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Cho biểu thức a a a a 2 A : a a 1 a a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 B 1 1 2 2 x y x2 1 Bài 3 : Cho phương trình m(x 1) (m là tham số ) 4 2 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt vớim R b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức 2 2 x1 x2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này Bài 4 : Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt được là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao? Bài 5 : Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 1 Bài 6 : Cho parabol(P) : y= x2 và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – 1 4 a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A (P) Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 7x2 13y2 1820 Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác Chứng minh rằng 11
S HIK 1 cos2 A cos2 B cos2 C S ABC Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên 4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất Bài 10 : Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì . tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs Thanh hoá Đề chính thức Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. Bài I (1,0 điểm) Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0. Biết rằng hai phương trình có nghiệm chung và a b nhỏ nhất. Tìm a và b. Bài II (2 điểm) Giải phương trình: x x 5 x x 2 5x 20 . Bài III (2,5 điểm) x 3 y 3 1 1/ Giải hệ phương trình: 7 7 4 4 x y x y 2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21. Bài IV (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F . 1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn. 2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r. Chứng minh: IB.IC = 2r.IM. Bài V (2 điểm) 1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0 a 3 ; 8 b 11 và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b . 2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz . 12
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P). Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Chữ ký của hai người coi thi: Số 1: Số 2: Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THPT Hoằng Hoá 2 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2 điểm) Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 P = 1 5 5 9 9 13 2001 2005 Bài 2 (2 điểm) Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1 Hãy tính giá trị của biểu thức sau : (1 y 2 )(1 z 2 ) (1 z 2 )(1 x 2 ) (1 x 2 )(1 y 2 ) S = x y z 1 x 2 1 y 2 1 z 2 Bài 3 ( 2 điểm) 2x 13x Giải phương trình : 6 3x 2 5x 2 3x 2 x 2 Bài 4 (2 điểm) x3 y 3 3(x y) Giải hệ phương trình : x y 1 Bài 5 (2 điểm) Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng : 3x 2 18x 28 4x 2 24x 45 = – x2 + 6x -5 Bài 6 (2 điểm) 13
1 Cho Parabol (P) : y =x 2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) 4 có hoành độ lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng có hoành độ x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Bài 7 ( 2 điểm) x 4 2 Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho là số nguyên dương. x 2 y 1 14
Bài 8 (2 điểm): Cho 2 đường tròn (01 , R1 ) và (02 , R2 ) có R1 > R2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (01 , R1 ) tại M và đường tròn (02 , R2 ) tại N ( các điểm M, N khác A). Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A. Bài 9 (2 điểm): Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng 2 , có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm. Bài 10 (2 điểm): Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng (BCD) dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PR; QR; QP. Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./ Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính: 5 17 5 17 10 4 2 4 A 3 5 3 5 2 2 Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử 24x3 - 26x2 + 9x - 1 Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình: x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm: x 2 y 3 2 x y m Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ: mx y 1 2x 3y m 1 có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1 Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2 a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2) b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất. 15
2x 3 x 2 11x 5 Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả y 2x 3 Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a  b. Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C Thoả IA.ID = IB.IC. a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm E trên FD sao cho AE  FI. Khi đó ICED là hình gì? Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên AB thoả AM = MN = NB. P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC AQ cắt DN, BP lần lượt tại A1D1 CM cắt DN, BP lần lượt tại B1C1 Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị lớn nhất. Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3. 2 đáy là 2 đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O), C di động trên đường tròn (O). S thuộc đường tròn tâm (O'). a) Xác định C để diện tích ABC là lớn nhất b) Khi ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp SABC. Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trường THPT bc lê viết tạo Bài 1: a) Chứng minh rằng: 1 2 4 3 3 2 1 3 3 3 9 9 9 b) Tính giá trị biểu thức E 2x 5 x 3 3x 2 x 1 với x 1 2 Bài 2: Cho a b , a c , b c chứng minh rằng b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 b c c a a b (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c c a a b Bài 3: Cho phương trình: x 2 2mx 2m 1 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia. Bài 4: Giải phương trình: 8 x 5 x 5 Bài 5: Chứng minh nếu a 2 thì hệ sau vô nghiệm: 16
x 5 2y a 2 2 x y 1 1 1 Bài 6: Cho Parabol (P) y x 2 và đường thẳng (d): y x 2 . Gọi A và B 4 2 là giao điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích MAB lớn nhất. Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 8x 4 4y 4 2z 4 t 4 Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung NB AB 2 tuyến AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh: NC AC 2 Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu. Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0) tại A cắt BM và BN tại M1, N1. Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1. Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đường kính MN thay đổi. Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thời gian: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức x 3 x x 3 x 2 9 x P 1 : x 9 2 x 3 x x x 6 a. Rút gọn biểu thức P b. Tìm giá trị của x để P = 1 Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4) a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng b. Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C c. Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ? Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau 17
5 2 x 1 y 4 a) 2 x 4x 1 0 b) x 4x 5 x y 7 Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng b. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC. c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 2 với x 1, y 1 1 x 2 1 y2 1 xy Người ra đề Nguyễn Thị Tuyết Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9 Trường THPT Quảng Xương 1 Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006 (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5 điểm) 1 x x 1 x x 1> cho P x x 1 x 1 x a> Rút gọn P 1 b> Tìm giá trị lớn nhất của P 2>> Tìm trên đường thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn: y2 - 3yx + 2x =0 Bài 2: (5 điểm) 2 1> Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x + mx + n =0. Tìm m, n thoã mãn hệ 18
x1 x2 5 3 3 x1 x2 35 2> Giải phương trình: x 2 x 4 ( x 1 1) 2 Bài 3: (5 điểm) 1> Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp điểm của AB và CD với đường tròn (O). BE DF a> CMR: AE CF b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD 2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Bầi 4: (5 điểm) 2 11 2 1> Tìm a R để phương trình ẩn x sau: 2x (4a )x 4a 7 0 2 có nghiệm nguyên 2> Chứng minh rằng: 4x 2 y 2 x 2 y 2 3 với x, y khác 0 (x 2 y 2 ) 2 y 2 x 2 Hết Sở GD & ĐT Thanh Hoá Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Trường THPT Quảng Xương II Môn: Toán  Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài1 (5điểm) a. Rút gọn 19
3 3 1 1 P= 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 b. Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 3 5x Bài2 (5điểm) a. Giải hệ phương trình x y 4z 1 y z 4x 1 x z 4y 1 b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9 Bài3 (5điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4a 9b 16c P= b c a a c b a b c Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình: x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm Bài 4 (5điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O. a. Chứng minh ABH đồng dạng với MKO IO3 IK 3 IM 3 2 b. Chứng minh 3 = IA3 IH 3 IB3 4 Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Thời gian: 150 phút. Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III Bài 1: 1) (2đ) Rút gọn biểu thức: 1 1 1 1 A 3 a 3 a 27a 4 6a 2 3 a 3 a 27a 4 6a 2 . 3 3 3 3 1 2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: A . 1 33 2 23 4 Bài 2: 20
1) (2đ) Giải phương trình: x 2 5y 2 9z 2 x 4xy 6yz 1 1 x 2 x 2 x . 2 2 x y 10 2) (2đ) Giải hệ phương trình sau: . 2 2 x y y x 12 Bài 3: 1) (2đ) Giải phương trình: x 4 2x 2 12 x 2 1 12 0 2) (2đ) Lập phương trình đường thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số y x 2 x x 2 x (C). Bài 4: 1 1 1 1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của T với a, b, c N và T < 1. a b c 2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM. Chứng minh 2 AM AB rằng 2 1 . MC BC Bài 5: Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam giác AEB và CED trong các trường hợp: 1) (2đ) AB và CD song song. 2) (2đ) AB và CD không song song. Hết. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán - Thang điểm: 20 Bài 1: (6đ) 2 3 2 3 1. (2đ) Rút gọn biểu thức A = 2 2 3 2 2 3 2. (4đ) Tính giá trị của tổng 1 1 1 1 1 1 B = 1 . 1 1 12 22 22 32 992 1002 Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dương đôi một khác nhau thoả mãn: 3x + 3y + 3z = 6831 21
Bài 3: (4đ). 1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số: y = x 3 6 x a b c 2. (2đ) Cho các số dương a, b, c biết 1 1 a 1 b 1 c 1 Chứng minh rằng: abc 8 Bài 4: (2đ) Giải phương trình: x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7 Bài 5: (6 đ). Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng. a. (2đ) HPQ ~ ABC b. (2đ) KP // AB, KQ // AC. c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp được sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 truờng thpt đặng thai mai môn : Toán thời gian: 150 phút Câu1:(4đ) 1.Đơn giản các biểu thức sau: A 5 2 2 9 4 2 a 6 2a 5 a 2 B ; a 1 . a 5 1 2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi a 5 25 16 và x y x z x z 2 z y 2x y z Câu2:(4đ) Giải các phương trình sau: 22
1. x 2 2x 1 x 2 6x 9 2 27 2. x 1 2 x 3 với 1 x 2 256 Câu3: (4đ) m 1 m 2 Cho họ đường thẳng (Dm) có phương trình : y x m 2 m 1 m 2 m 1 1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (Dm). 2 2.Tìm m để đường thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x tại hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy. Câu4: (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn đó . Gọi A/,B/,C/ lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC , CA , AB . 1.Chứng minh các tứ giác BC/A/M và CA/MB/ nội tiếp. / / / 2.Chứng minh 3 điểm A , B , C thẳng hàng. 3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M1 M. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu của M1 lên các đường thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M1 trên đường tròn tâm O để đường thẳng A1B1C1 vuông góc với đường thẳng A/B/C/. Câu5: (4đ) Chứng minh rằng: 1.x8 x 5 x 2 x 1 0 với mọi số thực x. 1 1 1 2.  1 với mọi số tự nhiên n 1 ./. n n 1 n 2 đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs môn toán ( Thời gian: 150 phút) Câu 1: a.(1 đ) Rút gọn biểu thức A = 4 10 2 5 + 4 10 2 5 b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức 1 2x 1 2x 3 B = + với x = 1 1 2x 1 1 2x 4 Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0 23
2x1 x2 3 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức C 2 2 x1 x2 2(x1 x2 1) Với x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Câu 3: a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(41 x -9) = 27 xy yz zx b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên: + + =3 z x y Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27 Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp. b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA. c.(1 đ) Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R. sở gd&đt thanh hóa trường thpt tĩnh gia 3 đề thi tuyển sinh vào chuyên toán trường l am sơn hệ thpt ( vòng thi thứ 2) môn thi : toán thời gian :150 phút Câu 1 (3diểm) a. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất x 2 2m 2 x 2m 4 7m 2 6 0 x 2 7x 12 b. Giả hệ phương trình sau 24
1 x2 +y2 = (1) 2 4x( x3 –x2 +x-1) =y2+2xy -2 (2) Câu 2 (1.5điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1) Câu 3 (1.5 điểm ) Cho ba số thực dương x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 Q = 2(x y z) 3( ) x y z Câu 4 (1điểm) Tìm các số tự nhiên m,n sao cho 2 A= 33m 6n 61 4 là số nguyên tố Câu5 (3 điểm) Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d sao cho AB=2 ; BC=4 (đơn vị dài ) .Một đường tròn (O) di động có tâm O và đi qua BC .Gọi AT ,AT’ là hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn (O) với T,T’ là hai tiếp điểm . a. Tìm quỹ tích điểm T và T’ b. Vễ đường kính MB của đường tròn (O) .Gọi P là giao điểm của AM và (O) .Chứng minh rằng : AM.AP = AO2-OC2 c. Tìm quỹ tích các điểm M và P. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán Đề đề xuất Thời gian150’ Bài 1:(4đ) Cho biểu thức: 3 1 4 P x4 x3 x 1 x4 x3 x 1 x5 x4 x3 x2 x 1 a\ Rút gọn biểu thức P b\ Chứng minh rằng: 0 4 m 0 Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0 a. Giải và biện luận theo thámố m 25
b. Khi phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với tham số m Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Kẻ BB1  AO , AA1  BO Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng. Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2=-2(x6-x3y-32) Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian: Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ Hà Quang Hiểu Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 2 2 x 4 16x 2 A = x 6x 9 x 2 a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài 2: (4điểm) Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m 1 0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt b) Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2  x1 x2 1 Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1 1 1 x y 7 Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phương trình 1 x x 2 3 y 2 y 1 x x 3 y y Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm tam giác; M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a) Tìm vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. 26
b) Gọi E,F lần lượt là 2 điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh rằng E,H,F thẳng hàng. Bài 6: (2 điểm) Cho a 0;1 Chứng minh rằng: a 2 a 1 a a 2 1 2 dấu bằng xảy ra khi nào? Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán. Bảng A (Thời gian làm bài: 150 phút ) Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 =0 Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, 4 4 4 4 x3, x4 thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 32 Bài 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình 2x2 xy y2 5x y 2 0 2 2 x y x y 4 0 Bài 3: (3,5 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R (R là một độ dài cho trước). M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng R 3 1) Tính độ dài đoạn MN theo R. 2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R. 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán. Bài 5: (2,5 điểm) Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2. 27
Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9 Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) 1) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1 1 y 2 1 z 2 1 z 2 1 x 2 1 x 2 1 y 2 Tính: T = x y z 1 x 2 1 y 2 1 z 2 x y z 5 2) Tìm nghiệm nguyên của hệ: xy yz zx 8 Bài 2: (6 điểm) 1) Cho phương trình: x2+(1-2m)x+m2-1=0 a- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có 2 nghiệm trái dấu? b- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 2006x 4 x 4 x 2 2006 x 2 2) Giải phương trình: 2006 2005 Bài 3: (4 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AD Chứng minh 3 đường thẳng CM, DE, BF đồng qui. 2) Chứng minh rằng nếu các cạnh của một tam giác không lớn hơn 1 (đơn vị 3 dài) thì diện tích của nó không lớn hơn (đơn vị diện tích). 4 Bài 4: (6 điểm) 1) Cho n số thực: a1, a2, , an [-1;1] 3 3 3 Thoả mãn a1 a2 an 0 n Chứng minh rằng: a1+ a2+ + an 3 x 1 2) Cho BPT: m (1) x 2 x 1 a- Tìm m để bất phương trình có nghiệm? b- Xác định m để (1) đúng với mọi x? Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá môn thi : toán Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề) Bài 1 : Tính giá trị biểu thức: 3 3 2 2006 17 5 38 A 3x 8x 2 với x 5 2 5 14 6 5 28
Bài 2 : Cho x o ,hãy tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức : 6 1 1 x x 6 2 x x 6 P 3 1 1 x x 3 x x 3 Bài 3 :Chứng minh rằng phương trình : x 2 2mx 2.20052006 0 không có nghiệm nguyên với mọi m Z Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 5: Giải phương trình :x 2 2 x 2x 2 . 2 x 1 Bài 6 : Cho Parabol (P):y x 2 và đường thẳng (D) qua hai điểm A,B trên (P) 4 có hoành độ lần lượt là : -2 và 4. Bài 7 : Trên một đường tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung bình cộng của 2 số đứng liền trước và sau nó. Chứnh minh rằng tất cả các số đó bầng nhau . Bài 8 : Các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . Biết rằng HC=AB , tìm góc ở đỉnh C. Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA và PB với A,B là các tiếp điểm .Gọi H là chân đường vuông goc hạ từ điểm A đến đường kính BC . a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH . b.Tính AH theo R và PO =d . Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối từng cặp 2 điểm với nhau ta được các đoạn thẳng .Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không? Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài I (3 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức: A = 4 5 3 5 48 10 7 4 3 2/ Giải phương trình: 29
x 2y 1 3x y 7 = 0. Bài II: (5 điểm) 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x 3 B = x 2 1 2/ Cho parabol y = x2. gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = kx + 2 với parabol (k là tham số). Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất. Cho biết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) là: 2 2 AB = (x 2 x1 ) (y 2 y1 ) Bài III: (4 điểm) 1/ Giải phương trình: 5 x 6 3 3x 4 2 1 2/ Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 2 ab bc ca 33 (a b)(b c)(c a) Bài IV: (4 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F là hai tiếp điểm của AB, BC với đường tròn (O), K là giao điểm của đường phân giác trong BAC với EF. Chứng minh rằng CKA = 900 Bài V: (4 điểm) Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N. Biết MB = a, NA = b. Tính diện tích của hình thoi theo a và b. Sở gd & ĐT thanh hoá đề thi tuyển sinh vào 10 - thpt chuyên lam sơn Trường thpt triệu sơn 3 môn: toán chuyên === === (Thời gian: 150 phút, không kể giao đề) Giáo viên ra đề : Trịnh Quốc Phượng Bài 1(2đ) ( Đề thi vào chuyên toán THPT Lê Hồng Phong- Nam Định – 2002 và chuyên toán tin -ĐHSPHN-2003 ) 1/ Không sử dụng máy tính và bảng số , chứng minh rằng 7 2 3 2 3 29 5 2 2 3 2 2 3 20 2/ Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x 3 2 3 .6 7 4 3 x A x 4 9 4 5 . 2 5 x 30
Bài 2(2đ) (Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ) Ba số thực x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 3 3 3 3 3 (y z) 1 x (z x)3 1 y (x y) 1 z 0 Chứng minh rằng 3 3 3 3 (1 x )(1 y )(1 z ) (1 xyz) Bài 3(2đ) (Tuyển chọn các bài toán từ các cuộc thi của một số nước Đông Âu- Th.s Nguyễn Văn Nho) Giả sử phương trình x 2 (m 4) x m 2 3m 3 0 ( với m 0, m 2) có hai nghiệm x1 và x2 2 2 1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho x1 + x2 = 6. 2 2 mx1 mx 2 121 2/ Chứng minh rằng 1 8 1 x1 1 x2 9 Bài 4(2đ) (Phương pháp giải toán đại số – Lê Hồng Đức chủ biên) x y x y 4 Giải hệ phương trình 2 2 x y 128 Bài 5(2đ) (Đề thi vào 10 – THPT Chu Văn An –2003) 2 2 1 1 1/ Giải phương trình 15 x x 1 2 2 2/ Giải phương trình x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 Bài 6(2đ) ( Thi học sinh giỏi Toán 9 – TPHCM 1994 –1995) x 2 Trong mặt phẳng toạ độ oxy cho Parabol (P) y và điểm I(0;-2), gọi (d) 4 là đường thẳng đi qua I có hệ số góc là m. 1/ Vẽ (P) . Chứng minh rằng với mọi số thực m , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB ngắn nhất . Bài 7(2đ) ( Phương trình và các bài toán nghiệm nguyên – Vũ Hữu Bình) x y z 3 Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình 3 3 3 x y z 3 Bài 8(2đ) (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2001) Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K . Tính AM BN CK AH BE CF Bài 9(2đ) ( Bất đẳng thức hình học – TSKH Vũ Đình Hoà) 31
Từ một điểm M trong tam giác ABC cho trước , hạ các đường vuông góc MA1 , MB1 và MC1 xuống các đường thẳng BC, CA và AB. Với vị trí nào của điểm M thì đại lượng a b c P đạt giá trị nhỏ nhất ? ( với BC = a, CA = b, BA = MA1 MB1 MC1 c). Bài 10(2đ)(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2002) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm đối xứng của O qua A .Một cát tuyến qua M ( không đi qua O) cắt đường tròn tại C và D. Tìm quỹ tích giao điểm P của các đường thẳng AC và BD khi cát tuyến chuyển động nhưng luôn đi qua M. ===Hết=== Sở GD - ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THPT Triệu Sơn 4 Năm học 2005-2006 Môn: Toán; Thời gian: 150 phút. Câu 1: (36 bộ đề Toán – Võ Đại Mau – Trang 212) Rút gọn biểu thức sau: 2 3 2 3 A= 2 2 3 2 2 3 Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. (sáng tác) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 Câu 3: (sáng tác) Cho phương trình. x2 – 2mx + 5m –4 =0 Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoã mãn 2 2 x1 + x2 8 Câu 4: (sáng tác) Giải hệ phương trình 2 1 1 2 1 y 3x x 6x 2 4 6 2 18 y 3x 2x 12x 1 Câu 5: (sáng tác) Giải phương trình (x+1)(x+2)(x+4)(x+8)=28x2 Câu 6:(sáng tác) Cho (P) : y=ax2 và đường thẳng d: y=bx+c. Tìm a,b,c sao cho (P) tiếp xúc với d tại I(1;4). Câu 7: (sáng tác) 32
Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c =0 không có nghiệm nguyên nếu a,b,c là các số nguyên lẻ. Câu 8: (Toán bồi dưỡng hình học 9 – trang 58) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O và O’ là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác AHB và AHC. Đường thẳng OO’ cắt AB ở M và AC tại N. Chứng minh AM = AN. Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87) Cho hình vuông ABCD. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AD tại M D. Chứng minh DM đi qua trung điểm BC. Câu 10: (36 bộ đề – Võ đại Mau – Trang 187) Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A và các trung điểm E, F của các cạnh CB, CD. đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x 6x (x 6) x 3 3 1 A = 2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2 điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1 Câu 2: (3 điểm) giải phương trình x2 48 = 4x - 3 + x2 35 Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x3 y3 + z3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN của biểu thức 1 x10 y10 1 = ( ) (x16 y16 ) (1 x2 y2 )2 2 y2 x2 4 33
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0). Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút Đề thi bảng A Câu1: Cho a, b, c là 3 số dương n N ; n 2 chứng minh rằng: a b c n n n n n  n 1 (3 điểm) b c c a a b n 1 Câu 2: Các số nguyên không âm a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a 2 2b 2 3c 2 4d 2 36 (1) 2 2 2 2a b 2d 6 (2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 + c2 + d2. (3 điểm) Câu 3: Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, ) được xác định bởi 28 27 a0 9; an 1 27an 28an với mọi n = 0, 1, 2, Chứng minh số a11 viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9. (4 điểm) Câu 4: Cho a, b, c là 3 số khác nhau và giả sử x, y, z là một nghiệm của hệ phương trình: (x a)(y a)(z a) d (x b)(y b)(z b) d (x c)(y c)(z c) d Hãy tính x3 + y3 + z3. (4 điểm) 34
Câu 5: Trên mặt phẳng cho góc = 600 cố định. Một tam giác cân MAB (MA = MB = a không đổi ; = 1200 thay đổi vị trí sao cho 2 đỉnh A, B chạy trên 2 tia tương ứng Ox , Oy. Tìm quĩ tích của điểm M. ( 6 điểm) Thi học sinh giỏi lớp 9 bảng A (Thời gian 150 phút , không kể giao đề) Bài 1 (2,0 điểm) : Rút gọn biểu thức sau : m 2 m 2 (m 2) 2 m 2 3 A = n 1 n 2 2 m 3m 4m 4 m m Bài 2(2,0 điểm) 1) Cho ba số hữu tỉ a ; b ; c thoả mãn điều kiện ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng ( a2 +1 )( b2 + 1)( c2 + 1 ) là bình phương của một số hữu tỉ 2) Chứng minh rằng nếu c2 + 2(ab – ac – bc ) = 0 với b c , a + b c thì a 2 (a c) 2 a c b 2 (b c) 2 b c Bài 3( 2,0 điểm) Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x 0: ( m+1 )x2 – 2x + (m-1 ) = 0 (1) Bài 4 (2,0 điểm) x y 1 0 Cho hệ phương trình : (x y 2)(x 2y 1) 0 a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số và phương pháp đồ thị b) Từ đồ thị hãy tìm xem có thể thay số hạng –1 của phương trình thứ nhất bằng số nào để hệ đã cho chỉ có một nghiệm. Có thể thay đổi hệ số của x và y của phương trình thứ nhất sao cho hệ đã cho vô nghiệm được không ? Bài 5 (2,0 điểm) Giải phương trình :2x 3 5 8x 4x 7 (1) Bài 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy , cho parabol (P) có phương trình: x 2 y = và diểm I ( 0 ; -2) ; gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m. 4 1) Vẽ (P) . Chứng tỏ với mọi m R , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B 2) Tìm giá trị của m để đoạn AB là ngắn nhất . Bài 7 (2,0 điểm ) Cho a , b , c là ba số dương có tổng là hằng số. Tìm a , b , c sao cho ab +bc +ca là lớn nhất 35
Bài 8 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a ( a > 0 ) cho trước và BC = 2AB .Gọitam giác DEF là nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác ABC ( D trên cạnh BC ; E trên cạnh AC ; F trên cạnh AB và góc EDF vuông ) . Tìm vị trí D , E , F để diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất , tính theo a giá trị nhỏ nhất đó. Bài 9 ( 2,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) . Aˆ Bˆ 600 , có một đường tròn tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB , BC , CD , DA , lần lượt tại M , N , P , Q . 1) Chứng minh AD , MP , BC đồng quy tại điểm S. 2) Chứng minh QN là đường trung bình của SAB 3) Gọi S1 là diện tích hình QNCD , S2 là diện tích tứ giác ABNQ S .Tính1 . S 2 Bài 10 ( 2,0 điểm ) Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn tâm O , bán kính r . Một dây cung AB của đường tròn (O) nhưng luôn đi qua P. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại C . Tìm quỹ tích điểm C . Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn Toán-Thời gian 150 phút Bài 1: (5 điểm) 1. Tính giá trị của biểu thức: A= 21 6 6 21 6 6 . 2. Rút gọn biểu thức sau: 3 a 4 3 a2b2 3 b4 B= (ab 0) 3 a2 3 ab 3 b2 Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x2 4x 5 2 2x 3 Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình sau: 36
1 1 2 2 x y 1 1 2 2 y x Bài 4: (3 điểm) Cho 4 số x, y, z, t. Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88=0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S. Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác đó. M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC. Gọi diện tích của hình chữ nhật MNPQ là S1. Chứng minh rằng: S 2S1. Bài 6: (3 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC trên đó có 1 điểm A di động. Gọi D là chân đường cao AD của tam giác ABC và M, N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và tam giác ACD. Chứng minh rằng đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố định. Sở GD - ĐT Thanh hóa Trường THPT Thống Nhất Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 Thời gian : 150 Phút Giáo viên ra đề : Nguyễn Quốc Tuấn Chức vụ : Giáo viên Toán Trường THPT Thống Nhất Câu 1: (2điểm) 2 6 Cho x= và y = 23 2 2 4 3 23 2 2 4 3 a) Rút gọn biểu thức x và y b) Tính : -x3y+xy3 Câu 2( 2điểm): Cho phương trình : 2x2+(2m-1)x+m-1=0 Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1,x2và 3x1-4x2=11 Câu 3( 2điểm ): 37
1 1 0 x 1 y Giải hệ phương trình 2 1 3 x 1 y Câu 4( 2điểm ) Giải phương trình 2 2 3x 6x 7 +5x 10x 14 = 4 - 2x - x2 Câu 5 (2điểm) Cho hàm số y=ax+b a) (1điểm ) Tìm a,b sao cho đồ thịhàm số qua A(0;1) và B(-1;0) b) (1điểm )Vẽ trên 1 hệ tọa độ hai đồ thị : y= x2 - 1 và đồ thị hàm số trên .Qua đó giải phương trình : x2 - x - 2 = 0 Câu 6( 4điểm ) a) Chứng minh rằng : |a| +|b| | a+b | b) Tìm giá trị nhỏ nhất : M = | x-2004 | + |x - 2006| Câu 7 ( 6điểm ) Cho đoạn thẳng AB, C ở giữa A và B . Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy I , Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K . Nửa đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a) Chứng minh CPKB nội tiếp và AI.BK = AC.CB. b) Tam giác APB vuông. c) Giả sử A,I,B cố định .Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất . Sở GD-ĐT Thanh Hoá Đề thi Trường THPT Trần Khát Chân Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Trường THPT chuyên Lam Sơn năm 2006-2007 Thời gian làm bài: 150 phút Đề bài : Bài 1 : 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P (x) = (x+1)4 + (x2 + x + 1)2 125 125 2. Chứng minh rằng số x = 3 3 9 - 3 3 9 là một số hữu 27 27 tỉ. Bài 2 : 1. Giải phương trình : x = 2005-2006 (2005-2006 x2)2 2. Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình : x2 + px + 1 = 0 38
và b,c là hai nghiệm của phương trình : x2 + qx + 2 = 0 Chứng minh rằng : (b-a)(b-c) = Pq-6. Bài 3 : Chứng minh rằng tổng : A= 2 + 22+ 23+ + 299+ 2100 chia hết cho 3 Bài 4 : Cho tam giác ABC có A = 500 , B = 200 . Trên đường phân giác BE của góc ABC lấy điểm F sao cho FAB = 200. Gọi I là trung điểm AF ; K là giao điểm của tia EI với BC ; M là giao điểm của CK với EB. Chứng minh rằng : 1 AI2 + EI2 = AE(MF + KE ) 2 Bài 5 : Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x y z và 3z - 3x2 = z2 = 16 - 4y2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : zy + yz + zx Vĩnh Lộc, ngày 13 tháng 01 năm 2006 G/v : Hoàng Văn Hoan Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề thi vào 10 chuyên Lam Sơn Môn : Toán chuyên Thời gian: 150' Bài1: (2 điểm) (a b) 4 6a 2b 2 215 Giải hệ phương trình: 2 2 ab(a b ) 78 Bài 2: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A= x+y+z 3x 2 biết y 2 yz z 2 1 2 Bài 3: (1,5 điểm) 4 1 5 Giải phương trình: x x 2x x x x Bài 4: (1,5 điểm) Cho 2 tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng: nếu A’B’C’ có 3 cạnh lần lượt bằng 3 trung tuyến của ABC thì ABC đồng dạng với A1B1C1 có 3 cạnh lần lượt bằng 3 trung tuyến của A’B’C’. 39
Bài 5: (2 điểm) Cho ABC , Â=900; D là một điểm trên cạnh AC( A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ 2 là BF đến đường tròn (D), F là tiếp điểm. Gọi M là trung điểm của BC; BF cắt AM tại N. Chứng minh: AN=NF. Bài 6: (1,5 điểm) Cho Parabol (P): y=x2 . Trên (P) lấy các điểm M, N lần lượt có hoành độ 1 x0 và ( x0>0). Tìm tọa độ M, N để diện tích tam giác OMN nhỏ nhất. x0 - Hết - Sở GD&ĐT Thanh hoá Trường THPT Thọ Xuân 4 Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Năm học 2005-2006 Môn thi: Toán- (thời gian làm bài 150phút) Đề bài: Câu1.(4đ) 8x x 1 x x 1 3x x 2 Xét biểu thức: M= : 1 3 9x 1 3x x 1 3x x 1 3x x 1 1. Rút gọn M 3 2. tìm x để M = 2 Câu2. ( 6đ) 1. Cho pt: x2 + 5x + 3m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm x2 xy y2 x2 y2 185 2. Giải hệ: 2 2 2 2 x xy y x y 65 3. Cho Parabol ( P ) y = x2. Tìm hàm số có đồ thị ( P’) đối xứng với (P) qua đường thẳng x = 2. Câu3. ( 5đ) 1. Gải phương trình: x 3 x 3 2. Giải phương trình: x2 1 3y với x, y z . Câu4. ( 5đ) Cho tam giác ABC. Dựng điểm D sao cho tứ giác ABCD là tứ giác có tính chất vừa nội tiếp trong một đường tròn, vừa ngoại tiếp được trong đường tròn. 40
đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : toán Thời gian : 150’ ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2đ): Giải các phương trình sau a. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0 20052 2005 b.x 2 2x 1 x2 4x 4 = 1 20052 2006 2 2006 Câu 2 (2đ): x 2 y x 2 (x 2 y) 1 Cho biểu thức: A= 2x 4 x 4 y 2 y 2 2 a. Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn dương với mọi x, y. b. Với giá trị nào của x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó Câu 3 (1,5đ) 1 1 1 1 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z 2006 và x y z 2006 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006. Câu 4 (2đ): a. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 5 1 1 1 1 x y z Chứng minh rằng < (1 ) 3 x y z xy b. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết a b b c c a 8abc Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều Câu 5 (2,5): Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm di động trên đường tròn. Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). a. Tìm vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất. 41
b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMH. Tìm quỹ tích của điểm I. Sở GD & ĐT Thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn thi ; toán Thời gian : 150 phút Câu 1: Thay dấu * bởi các chữ số sao cho 5 4 là một số nguyên (Bài 76 trang 22 sách “ 255 bài toán đại số chọn lọc “ của Vũ Dương Thuỵ) Câu 2: Cho a , b , c , x , y , z thoả mãn hệ phương trình ax 3 by 3 cz 3 1 1 1 1 x y z Chứng minh rằng : 3 ax 2 by 2 cz 2 3 a 3 b 3 c (Đề 33 “Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng “ ) Câu 3: Chứng minh rằng :Điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (k+1)2ac = kb2 (Đề 2 “ Giả toán đại số “ Nguyễn Cam ) Câu 4: a) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 b1 ≤ b2 ≤ b3 Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 ) b) Chứng minh rằng : với 0 a b c a 2005 b 2005 c 2005 3 (sáng tác ) a 2006 b 2006 c 2006 a b c Câu 5: ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho MBA MAB 150 Chứng minh rằng : Tam gác MCD đều (sáng tác) đề thi học sinh giỏi lớp 9- Bảng B 42
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút(Không kể thời gian giao đề) Người ra đề: Nguyễn Văn Hải – Trường THPT Thạch Thành II. x 2 9 (4x 2)(x 3) Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: A x 2 6x 9 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của A khi x 16 4 6 20 c) Tìm x để A 2 Câu 2 (3 điểm): Cho phương trình (x2+4x-5)(x2-9)=m a) Giải phương trình với m=45 b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Câu 3 (2,5 điểm) Cho parabol (P) có phương trình: y=a.x2 a) Tìm a biết (P) đi qua A(2;4), khi đó hãy vẽ (P). b) Chứng minh rằng đường thẳng qua A(2,4) và B(1,2) vuông góc với đường thẳng x+2y- 3=0 Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A (x 2005) 2 (x 2006) 2 Câu 5 (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x3y+xy3-3x-3y=17 Câu 6 (1,5 điểm) Cho ABC, đường phân giác AE (E BC). Chứng minh rằng: AB BE AC EC Câu 7 (2,5 điểm): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). M là điểm di chuyển trên cung bé BC không chứa điểm A. D thuộc tia đối của MB sao cho MD=MC. a) Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều. b) Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn nhất. Câu 8 (2 điểm): Cho ABC đều cạnh a. G là trọng tâm. Đường thẳng (d)mp(ABC) tại G. S (d) sao cho SG=2a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABC. Sở GD - ĐT Thanh Hoá Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trường THPT Thạch Thành 3 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Bảng B Môn : Toán Thời gian: 150 phút 43
Câu 1: 1 1 1 1 1. Tính: 1 2 2 3 3 4 2005 2006 2 2. Xác định m để phương trình: x m 1 x 2m 0 có 2 nnghiệm x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 Câu 2: 4 x y 5 x y 1. Giải hệ phương trình: 40 40 9 x y x y 2. Giải phương trình : x 3 x 1 x 3 2 x 1 8 x 1 Câu 3: 1 Cho đường thẳng y 2x , y x , y 2 cắt nhau tạo thành một tam 2 giác. Tính diện tích tam giác đó. Câu 4: 1. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: a2( b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 2.Cho x, y là 2 số thực thoả mãn:x 2 y 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của : A x y 1 y x 1 Câu 5: 1. Cho (O) đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đoạn AB. Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CE, CF với (O) (E, F là 2 tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và EF. Qua C kẻ 1 cát tuyến bất kì cắt (O) tại Mvà N (M nằm giữa C và N). Chứng minh rằng: a. ~ CIM . CNO Từ đó chứng minh tứ giác DIMN nội tiếp trong đường tròn.   b. góc AIM BIN . 2. Cho (O) đường kính AB, điểm C thuộc đường kính ấy. Dựng dây DE AB sao cho AD EC. Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2005-2006 Trường THPT Cầm Bá Thước Môn: Toán (Đề dự bị) Thời gian: 150 phút 44
  câu 1:(4 điểm) Cho: A = 2x 2 2x 3 4 + 2x 2 2x 3 4 a) Tính A với x = 5 . b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất câu 2:(2 điểm) phân tích đa thức sau thành nhân tử : P(x) = -6x4 + 11x3 + 3x2 - 11x + 3 câu 3:(2 điểm) Giải hệ : a 2 x ay az 2 b 2 x by bz 2 với a,b,c đôi một khác nhau 2 c x cy cz 2 câu 4:(2 điểm) Giải phương trình : 4x2 + 28x + 23 + 3x 2 7x 7 = 2 câu 5:(2 điểm) Trong hệ trục toạ độ Đê-các vuông góc xoy cho A(o;a) , a o . Gọi d là đường thẳng có phương trình: y = -a . Hãy tìm quỹ tích các điểm M(x,y) sao cho khoảng cách từ M tới d bằng MA câu 6:(2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = x(2004 + 2006 x 2 ) , với - 2006 x 2006 câu 7:(4 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AH . Gọi I,K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : a) MI = MK b) Bốn điểm I,H,M,K thuộc cùng đường tròn. câu 8:(2 điểm) Tìm điểm M trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' sao cho MA2 + MB2+ MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hết TrườngTHPT Cẩm Thuỷ 1 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Môn : Toán 45
( Thời gian 180 phút ) Bài 1:Tìm phần dư trong phép chia đa thức: x 3 x 5 x 7 x11 x13 x17 x19 Cho nhị thức : x2 1 Bài 2: Chứng minh rằng nếu: x 0, y 0, z 0 và: 1 1 1 x y z y z x Thì hoặc x= y= z hoặc xyz=0. Bài 3: Tớnh : A u4 5u3 6u2 5u . Trong đú : u 2 3 a1x a2 y a3z 0 a1,b2 ,c3 0 Bài 4: Cho hệ : b1x b2 y b2 z 0 Sao cho: a2 ,a3,b1,b3,c1,c2 0 c1x c2 y c3z 0 a1 a2 3,b1 b2 b3,c1 c2 c3 0 Chứng minh rằng hê có nghiệm duy nhất. Bài 5: Giải phương trình: x 3 2x2 4x 2 x 1 Bài 6: Trong hệ trục xoy .Cho điểm M (2;2), N(4;1).Xác định điểm P trên trục ox sao cho tổng khoảng cách MP+NP là nhỏ nhất. Bài 7: Tìm x: x N Và: x 2 8 là số chính phương. Bài 8:Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm tương ứng: P, Q, R ( không trùng với các đỉnh và không có quá 2 điểm thuộc 2 cạnh của tam giác ). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 3 điểm P ,Q, R thẳng hàng là: PB QC RA . . 1 PC QA RB Bài 9:Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AB + BD không lớn hơn AC + CD .Chứng minh rằng: AB < AC. Bài10: Cho 1 dường tròn và 1 điểm A cố định. Một điển M di chuyển trên đường tròn và MN là 1 dây cung vuông góc với AM.Dựng hình chữ nhật AMNP. Hết đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán 46
Câu I : Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn ax by 3 (1) 2 2 ax by 5 (2) ax3 by3 9 (3) ax4 by4 17 (4) Hãy tính A = ax2005 + by2005 Câu II : Tính giá trị của biểu thức : 1 1 1 A x(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x n 2)(x n 1)(x n) Với : x = 1 ; n = 2005 (n 2) Câu III : Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - 2 = 0 (2) 3 3 Tìm m để (1) có 2 nghiệp phân biệt thoả mãn : x1 x2 8 Câu IV : Cho hệ phương trình mx 2y m 1 2x my 2m 5 Giả sử (1) có nghiệm (x ; y). Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với đối số m. Câu V : Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x xy y x y 185 2 2 2 2 x xy y x y 65 Câu VI : Cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1 và parabol (P) : y = mx2. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Câu VII : Cho a, b, c [0 ; 1]. Chứng minh rằng : a b c (1 a)(1 b)(1 c) 1 b c 1 a c 1 a b 1 47
Câu VIII : Cho ABC có ABC = 30 0 ; BAC = 1300. Gọi Ax là tia đối của tia AB. Đường phân giác của góc ABC cắt đường phân giác của góc CAx tại D. Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD tại E. Hãy so sánh các độ dài AC và CE. Câu IX : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O ; bán kính R. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AO với BC ; 9R BO với AC ; CO với AB. Chứng minh rằng : AD BE CF . 2 Câu X : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. 1 1 1 1 Gọi H là trực tâm ABC. Chứng minh rằng : . OH 2 OA2 OB 2 OC 2 Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9_THCS Trường THPT như xuân Thời gian :150 phút Câu1 (4điểm) :1. Cho phương trình x2 + a.x +1 =0 x 2 x1 2 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoã mãn ( 1 ) + ( ) > 7 x x2 2 2.Giải phương trình : 5 x + x 3 = x2 -8.x +18 Câu 2 (4điểm) : 1 x 2 y 1 1.Giải hệ phương trình : y 2 z 1 z 2 x 1 x 2y 5 2.Giải hệ phương trình : x 2y x 2y 6 x 2y Câu 3 (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF . a.Chứng minh rằng các điểm E,F luôn nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi . b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB . c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi. Câu 4(5điểm ) : 48
2 1 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A= + với 0 5y2 + 5y - 3 = 0 (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm y1, y2 mà y2 + y2 = -1 3 y1y2 = - 5 2 2 2 Lại có x1 - x2 = 3(y1- y2) => M = (x1 - x2) + (y1 - y2) = 10 (y1- y2) . 2 = 10 (y1+y2) -4y1y2 = 34 Câu 3: (2 điểm) 49
A F M E I G H B C P Q O J K Giả sử EO cắt (O) tại I và J ; FO cắt (O) tại G và K (hình vẽ) Ta có: FEP = 1 sđ (MJ - MI) = 1 sđ (IJ - 2MI) ; = 1 (1800 - sđ MB) (1) 2 2 2 FQP = 1 sđ (GB + CK) 2 = 1 sđ (MB + MG + CK) 2 = 1 sđ (MB + GC + CK) 2 = 1 sđ (MB + 1800) (2) 2 Từ (1) và (2) => FEP + FQP = 1800 => PQO = FEO => FEO ~ PQO PQ OH => (Với OH  BC). EF OM Vì A và (O;R) cố định nên OH, OM không đổi => PQ không đổi khi M EF di chuyển trên đường tròn. Câu 4: (2 điểm) • Với x = 1 => (y-2) (z-2) = 5 => (x;y;z) là (1;3;7) và (1;7;3) • Với x > 2 từ PT đã cho => 2(y+z) > 2(yz-1) => yz - y - z - 1 (y-1)(z-1) z y 2 từ (*) => y = 2 ; z chỉ nhận 1 trong 2 giá trị 2 hoặc 3 . thay vào PT đã cho nghiệm (x;y;z) = (2; 2 ;3) 50
Do vai trò của y , z bình đẳng nên khi đổi vai trò của y , z ta có 4 nghiệm nữa Kết luận phương trình có 10 nghiệm (x; y; z) là (1; 3; 7); (1; 7; 3); (3; 1; 5); (4;1;3); (6;1;2); (2;2;3); (3;5;1); (4;3;1); (6;2;1); (2;3;2) Câu 5: (2 điểm) Giả sử ngũ giác ABCDE thoả mãn đk bài toán A Xét BCD và ECD và SBCD = SECD đáy CD chung, các đường cao hạ từ. E B và E xuống, CD bằng nhau => EB CD, B Tương tự AC// ED, BD AE, CE AB, DA BC Gọi I = EC  BC => ABIE là hình bình hành. => SIBE = SABE = 1. Đặt SICD = x S = S - S = 1-x = S - S = S IBC BCD ICD ECD ICD IED C S IC S x 1 x D Lại có ICD IBC hay S IDE IE S IBE 1 x 1 3 5 => x2 - 3x + 1 = 0 => x = 3 5 do x x = . 2 2 5 1 Vậy SIED = 2 Do đó SABCDE = SEAB + SEBI + SBCD + SIED = 3 +5 1 = 5 5 2 2 Người ra đề: Nguyễn Xuân Hùng Trường PTTH Lam Sơn Tài liệu tham khảo : - Các đề thi học sinh giỏi các tỉnh - Đề thi học sinh giỏi quốc gia . Đáp án Đề số 2 Câu 1: (2 điểm) Ta có: ( x x 2 2006)(y y 2 2006)(x x 2 2006x)(y y 2 2006) 2006(x x 2 2006)(y y 2 2006x) 2006 (x x 2 2006))(y y 2 2006) Vậy(x x 2 2006)(y y 2 2006) (x x 2 2006)(y y 2 2006) x y 2 2006 y x 2 2006 (*) 51
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0 x 2 2006 x Nếu x 0 => y 0 từ (*) => 0 => xy 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2 y 2 2006 y 2 => (x-y)(x+y) = 0 => S = x + y = 0 mà xy x - y 0 Câu 2: (2 điểm ) Đặt S = x +2y => x = S - 2y Xét 2 trường hợp: a. x2+y2 > 1 từ giả thiết => x2 + y2 (S - 2y)2 + y2 5y2 - (4S - 1)y + S2 - S = (4S -1)2 - 20 (S2 - S) > 0 => 4S2 - 12S - 1 S 1 2 3 10 Vậy S = max 2 b. Nếu x2 + y2 S = x + 2y S a lẻ. 2 Đặt a = 2a1 + 1(a1 Z) => 2b = 3.4a1 (a1+1) - 1996 = 3.4a1 (a1+1) - 2000 + 4 => b2  2 ( mod 4) vô lý. Vậy không tồn tại số nguyên dương thoả mãn. Câu 4: (2 điểm) E a. Gọi O1, O2, O3 tương ứng là tâm các N , C đường tròn (C1), (C2), (C3) ta có M, O1 O3 B thẳng hàng => BO1 // NO3 T O2 MB O B MA O A M • = > 1 . Tương tự: 1 MN O 3 N MP O 3 P D O1 O3 A 52 P
Bài, Câu Nội dung lời giải Điểm Bài 1 Dễ thấy y> 5 Bình phương 2 vế ta có: (2 điểm) y2 5 13 5 13 5 2 2 (y 5) 13 5 13 5 0,5 (y2 5)2 13 y y4 10y2 y 12 0 (y 3)(y3 3y2 y 4) 0 0,5 (y 3)(y 3)(y 1)(y 1) 1 0(*) 0,5 Vì y > 5 nên (y 3)(y 1)(y 1) 1>0 (*) y 3 0 y 3 0,5 Bài 2 Giả thiết bài toán tương đương với: MA MB => => AB//NP MP MN Tương tự CD// PM => AEDP là hình bình hành (với E = AB  CD). Do PAT ~ PTM => PT2 = PA.PM tương tự PT2 = PD.PN EB PN PA ED Vậy PA. PM = PD.DN => EC PM PD EA => EBC ~ EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 1800 => ABCD nội tiếp. b. Nối E O2 cắt (C2) tại C' và D' = > ECC' ~ ED'D => ED.EC = ED'.EC' => EC.ED = (EO2 - R2)(EO2+R2) 2 2 => EC.ED = EO2 - O2T . 2 2 Tương tự EB.EA = EO1 - O1T EB ED 2 2 2 2 Mà EB.EA EC.ED EO EO 2 O T OT EC EA 1 1 Hạ ET'  0102 theo định lý Pitago ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 EO1 - EO 2 = (O1T' + T' E ) - (02T' + T' E ) = O1T' - O2T' . 2 2 2 2 => O1T - O2T = 01T' - 02T' vì O1T + O2T = 0102 = O1T' + O2T' => O1T = O1T => T  T' tức PI đi qua E . Câu 5: (2 điểm) Phương trình đưa về dạng ( x 2 1 3)( x 2 1 x) O x 2 1 3 x 2 2 2 x 1 x 53
(2 điểm) 1 1 1 1 a b a b a b a b c c ab c(a b c) (a+b)(ac+bc+c2) = - (a+b)ab (a+b) ( ac+ bc + c2 +ab ) = 0 1,0 (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Vế trái bằng 0 khi có ít nhất 1 trong 3 thừa số bằng 0 tức là trong 3 số a, b, c có 2 số đối nhau. Vì vậy nếu n lẻ thì: 1 1 1 1 1,0 an bn cn an bn cn Bài 3 Từ phương trình x y 1 1 y 1 x 1 Thế vào phương trình (1) ta được x 2 2x 11 (2 điểm) 0,5 Nếu x 2 ta được (2) x 2 2x 11 x 13(loại) Nếu x< 2 ta có (2) 2 x 2x 11 x 3 0,5 y 1 Thay x = -3 vào pt y 1 x 1ta được y 1 2 y 3 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm (x; y) là: (-3; 3); (-3; -1) 1,0 Bài 4 Hệ luôn có nghiệm duy nhất Vì từ (2) y m2 mx 2 (2 điểm) Thay vào (1) ta được: (m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1 (m2 + m + 1)x = m3 – 1 1 3 Mà m2 + m + 1 = (m )2 0m 2 4 0,5 Hệ có nghiệm duy nhất là: x m 1 y m 2 Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m – 2 0,5 9 1 = (m2 3m ) 4 4 3 2 1 1 0,5 = (m ) 2 4 4 3 3 Dấu “=” xảy ra m 0 m 2 2 1 3 Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP = m 4 2 0,5 Bài 5 (x2-1)(x+3)(x+5) = m (1) (x 1)(x 3)(x 1)(x 5) m (2 điểm) (x2 4x 3)(x2 4x 5) m (2) 54
Đặt y = x2 4x 4 (x 2)2 0 . Khi đó (2) có dạng: (y - 1)(y - 9) = m 0,5 y2 10y (9 m) 0 (3) Phương trình (1) có 4 nghiệm pt(3) có 2 nghiệm dương phân ' 16 m 0 0,5 biệt y1, y2 S y1 y2 10 0 16 m 9 (4) P y1.y2 9 m 0 2 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x + 4x +4 – y1 = 0 (5) 2 x3, x4 là nghiệm của phương trình: x + 4x +4 – y2 = 0 (6) Theo ĐL Viet và từ (3), (5) và (6) ta có: 1 1 1 1 x x x x 4 4 0,5 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 x1.x2 x3.x4 4 y1 4 y2 4(y y ) 32 40 32 8 = 1 2 1 16 4(y1 y2 ) y1.y2 16 40 9 m 15 m Suy ra m = -7 thoả mãn điều kiện (4). 0,5 Đáp số m = -7 Bài 6 1 a) Thay x = -2; y = m vào y x2 ta được: 2 (2 điểm) 1 m ( 2)2 m 2 2 b) Tâp hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ là các đường thẳng 0,5 y = x và y = -x 0,5 Gọi điểm A(x; y) thuộc đồ thị và cách đều hai trục toạ độ x, y là nghiệm của hệ: 1 1 y x2 y x2 (I) 2 hoặc (II) 2 y x y x Giải hệ (I) được x1 = 0; x2 = 2 có 2 điểm A1(0; 0); A2 (2; 2) Giải hệ (II) được x = 0; x = -2 có thêm điểm A (-2; 2) 3 4 3 0,5 Trả lời: Có 3 điểm : A (0; 0); A (2; 2); A (-2; 2) 1 2 3 0,5 55
Bài 7 Phương trình đã cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 = 0 (1) (2 điểm) Nhận xét rằng: y2 0 x3 y3 2y2 3y 1 y2 (y 1)3 (2) 5y2 2 0 x3 y3 2y2 3y 1 (5y2 2) (y 1)3 (3) Từ (2) và (3) suy ra: 1,0 (y 1)3 < x3 (y 1)3 , Vì y Z x3 y3 y3 2y2 3y 1 y3 3 3 3 2 3 x (y 1) y 2y 3y 1 (y 1) 2y2 3y 1 0 y 1 (vi y Z) y 1 2 y 0 y 0 y 0 Với y = -1 x= -1 Với y = 0 x= 1 Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0) 1,0 Bài 8 x (2 điểm) A M B O y H I K 56
1. AOM = BOI OM = OI Mã OI Mã HI 1800 tứ giác OMHI nội tiếp 0,5 2. OM = OI OẳM Oằ I Oã HM Oã HI mà IãHA 900 Oã HM Oã HI 450 OKH vuông cân OK = KH 0,5 Ta có OB cố định mà Oã KB 900 K thuộc đường tròn đường kính OB 0,5 Giới hạn: Khi M  O thì K  O Khi M  B thì K  P là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính OB trong nửa mặt phẳng không chứa A 0,5 Bài 9 A (4 điểm) I E D K B C H M a) Xét trường hợp àA 900 . Vẽ AH  BC, H BC Ta có ãADM ãAEM 900 Tứ giác AEMD nội tiếp đường tròn đường kính AM( Tâm I ) , 1 Dã AE nhọn nên Dã AE Dã IE 2 1,0 Vẽ AK  DE, K DE , do đó Dã IK Dã AE , DE = 2 DK Ta có AH  BC AM AH Vậy DE = 2DK = 2DI sin Dã IK AM sin Bã AC AH sin Bã AC (không đổi) 57
dấu “=” xảy ra M  H 1,0 b) Xét trường hợp àA 900 . Tương tự (a) , ta có : Tứ giác AEMD nội tiếp đường tròn đường kính AM( Tâm I) Dã AE là góc tù nên Dã ME 1800 Dã AE nhọn Như vậy ta cũng có: 1,0 DE AM sin(1800 Bã AC) AH sin(1800 Bã AC) (không đổi) dấu “=” xảy ra M  H 1,0 Hết Hướng dẫn chấm Bài I (2đ) 3 Thay a = vào A ta có: 4 2 3 2 3 2 3 2 3 A 2 4 2 3 2 4 2 3 2 ( 3 1)2 2 ( 3 1)2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 3 3 3 Bài II (6đ) a) (3đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 4x = 19-3y2 (1) 2(x+1)2 = 3(7 - y2) (2) Do 2(x+1)2 ⋮ 2 => 3(7 - y2) ⋮ 2 => y lẽ (1đ) Ta lại có 7 - y2≥ 0 nên y2 = 1 Khi đó phương trình (2) có dạng: (0.5đ) 2(x+1)2 x =2 hoặc x = - 4 (1đ) Từ đó ta có các nghiệm (x,y) = (2;1) ,(2;-1), (- 4;1), (- 4;-1) (0.5đ) b) x3 =7x +3y (1) y3 = 7y+3x (2) Lấy (1) - (2) ta được: (x-y)(x2 + xy+ y2 -4) =0 (1đ) * Với x = y kết hợp với phương trình (1) x3 =7x +3y Ta được x =y = 0; x =y = 10 ; x =y = - 10 * Với x2 + xy+ y2 - 4 =0 cộng (1) và (2) ta có x2 + xy +y2 = 4 x+y = S đặt (S2≥ 4P) y3 + x3= 10(y+x) xy = P Ta có S2- P - 4 = 0 Thế P = S2 - 4 58
S3 -3SP -10S = 0 3 2 => S - 3S(S - 4) -10S = 0 S1 =0 hoặc S2 = 1; S3 =- 1 (0.5đ) đ * S1 = 0 => P1 = - 4 Khi đó x,y là nghiệm của phương trình (0.5 ) X2 - 4 = 0 => x =2 hoặc x = - 2 y = -2 y = 2 đ * S2 = 1 => P2 = -3 Khi đó x,y là nghiệm của phương trình (0.5 ) 1+ 13 1 13 X2 - X -3 = 0 => x = hoặc x = 2 2 1 13 1+ 13 y = y = 2 2 đ * S3= -1 => P3 = -3 Khi đó x,y là nghiệm của phương trình (0.5 ) -1+ 13 -1- 13 X2 + X -3 = 0 => x = hoặc x = 2 2 -1 13 -1+ 13 y = y = 2 2 Vậy hệ đã cho có 9 nghiệm. Bài II (3đ) Ta có (x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2(xy+yz+zx) = 1 => 2M = 1- (x2 +y2 +z2) (0.5đ) x2 +y2 z2 +y2 x2 +z 2 Mặt khác: x2 +y2 +z2 = ≥ xy+yz+zx++ + (1 đ) 2 2 2 => 2M ≤ 1- (xy+yz+zx) =>3M ≤ 1 (0.5đ) =>M ≤ 1/3 Vậy GTLN của M = 1/3xảy ra khi và chỉ khi x =y =z = 1/3 (1đ) Bài IV (6đ) • 59
Hạ AP ⊥ BC ; BQ ⊥ AD Từ giả thiết ta có: H là trung điểm của DQ; H’ là trung điểm của CP (1đ) Ta có tứ giác ABPQ nội tiếp => góc(ABP) + góc (DCB) = 180o (1đ) mà góc(ABP) = góc (DCB) (đồng vị) => góc(AQP) + góc (DCB) = 180o (1đ) Hay tứ giác DCPQ nội tiếp (1đ) Lại có HN, MH’ là trung trực của DQ,PC (1đ) Suy ra I =HN ⋂ H’M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DCPQ (1đ) => I cách đều D và C Bài V Từ giả thiết ta có 1 = [ a+(b+c)]2 ≥ 4a(b+c) vì (a+b)2 ≥ 4ab => b + c ≥ 4a(b+c)2 (1) do b+c > 0 (1đ) Lại có (b+c)2 ≥ 4bc (2) (0.5đ) Từ (1) và (2) => b + c ≥ 4a.4bc hay b + c ≥ 16abc (đpcm) (0.5đ) Dấu = xảy ra a = b+c b = c (1đ) Mà a+b+c = 1 => a =1/2 b = c = 1/4 đáp án đề thi hsg lớp 9- môn toán Câu 1: (4đ) . x - 4 x + 3 = x( x 1) 3( x 1) = ( 3 3)( x 1) 0,5 . -2x + 10 x 12 = 2(-x + 2 x 3 x 6) = 2( x 3)(2 x) 0.5 . 3 x x 2 = -1 (2 - x ) + x (2 - x ) = (2 - x ) ( x 1) 0.5 do x 1; x 4; x 9 6x (x 6) x 3 3( x 1) 2( x 3) A = 2( x 1)( x 3)(2 x) 0.5 6x x x 6 x 3 3 x 3 2 x 6 = 2( x 1)( x 3)(2 x) 0.5 (2x 6 x) 2( x 3) x( x 3) x( x 3) = 2( x 1)( x 3)(2 x) 0.5 ( x 1)( x 3)(2 x) 1 = = 2( x 1)( x 3)(2 x) 2 0.5 Câu 2: (3đ) Biến đổi pt ta được x2 48 x2 35 4x 3 60
13 0.5  4x 3 x 48 x2 35 nhận thấy x = 1 là n0 . ta c/m x = 1 là n0 ! 0.5 0 * x > 1 VT 1 => x > 1 k phải là n0 0.5 0 . 0 x 1, VP 0 x 0 ,VP x x + y = - z A = x3+ y3 - x3 y3 3xy( y) + 3xy (x + y) 0.5 A = 0 => A : x + y + z chia A cho x + y + z ta được A = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) 0.5 A = 1/2 (x + y + z) (x y)2 (y z)2 (z x)2  Do max (x; y; z) 1/2 (x+y+z) > ( x; y; z) 05 => 1/2(x+y+z) (x - y)2 z (x - y)2 (1 ) 0.5 1/2 (x+y+z) (y - z)2 x (y - z)2 (2) 0.5 1/2(x+y+z) (z - x)2 x (y - z)2 (3) 0.5 cộng 2 vế ta được 0.5 A z (x - y)2 + x (y - z)2 + y (z - x)2 (4) Dấu “=” (4) tức pt (8) xảy ra  có dấu bằng (1); (2); (3) x = y = z = t 0.5 ; ( t> 0; t N*) Câu 4: (3đ) áp dụng BĐT co - si cho 4 số dương ta có: 0.5 1 x10 y10 1 5 ( ) (x16 y16 ) (1 x2 y2 )2 0.5 2 y2 x2 2 2 5 5 1 => Q - . Do đó GTNN của Q = - 2 2 dấu bằng xảy ra khi x2 = y2 = 1 1 61
Câu 5: (3đ) Gọi H; D; P lần lượt là chân các đường cao, phân giác trung tuyến hạ từ B, xuống cạnh AC. A 2 2 2 Ta có: AB + AC = AC => ABC  tại B 0.5 2 SABC = 6 (cm ) 0.5 S = S = 3 (cm)2 ABP CBP 0.5 SABD DA BA 3 7 VT = nên SABC = SCBD 0.5 SCBD DC BC 4 4 2 0.5 -> SCBD =24/7 (cm ) 24 3 2 S BDP = SCBD - SCBP = - 3 = (cm ) 7 7 0.5 Bài 6: (3đ) Ta có: góc AHQ = gócCHN = gócCBD = gócCAD => QAH cân tại Q nói cách khác Q là TĐ của AD T2 : P là TĐ của CD Do đó PQ // AC Ta thấy: góc CBH = góc NMH (do tứ giác BMHN nội tiếp) Hơn nữa: góc HQP = góc AHQ = góc CHN = góc CBH => góc NQP = góc NMP nên 4 điểm M; N; P; Q cùng nằm trên (0) ơ Sở GD-ĐT thanh hoá Đáp án và biểu điểm chấm toán TrườngTHPT Bỉm Sơn Thi học sinh giỏi lớp 9 bảng A 62
Câu ý Nội dung Điểm I 4,0 I,1 2,0 Điều kiện để A có nghã là x 0, y 0 ; x y 0,5 Khi đố: ( x y )2 x y x y ( x y)(x xy y) 0,5 A . x y x xy y x y ( x y)( x y) x y x xy y x y ( x y)2 (x xy y) 0,5 . x y . x xy y x y x xy y x y xy 0,5 x xy y I.2 2,0 Vì x 0; y và x y nên ( x y)2 >0 x xy y xy 0 0,5 xy xy Do đó : 0 A = 1. hay 0 A<1 0.5 x xy y xy Ta có : A - A A( A 1) 0 Vậy A A 0,5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0  x=0 hoặc y = 0 0,5 II 5,0 II.1/ 3 Điều kiện : x - (*) 0,5 2 Phương trình x2 +6x + 9 = ( 2x + 3) +2 2x 3 +1 x 3 ( 2x 3 1) (x 3)2 ( 2x 3 1)2 0,5 x 3 2x 3 1 Phương trình x+3 = -( 2x 3 1) vô nghiệm do (*) Vậy phương trình đã cho : x 2 2x 3 x2 4x 4 2x 3 0,5 (x+1)2 = 0 x=- 1 thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =-1 0,5 63
Câu ý Nội dung Đểm II.2/ 0,5 Từ điều kiện đầu bài ta có: (a b)2 (a b)2 a b P = a3 b3 (a b)(a2 ab b2) a2 ab b2 a b a b 1 1 P = 1 1 2 hay P 2 (a b2 ab ab a b Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 đạt được khi a = b =1 Ta lại có 1 a 2 và 1 b 2 nên: (a-1)(a-2) 0 a2 3a-2 (b-1)(b-2) 0  b2 3b-2 (a-2)(b-2) 0 -ab 4-2a-2b Cộng ba bđt trên vế với vế => a2 - ab + b2 a+b Do : a2 –ab +b2 = (a-b)2+ab 0 Nên a b a b P = = 1 hay P 1 a2 ab b2 a b ( ( a-1)(a-2) = 0 a=1;b=2 Dấu đẳng thức xảy ra (b-1)(b-2) =0 a=2;b=1 ( a-2)(b-2) =0 a=2;b=2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 đạt được khi (a,b) (1;2),(2;1),(2;2) III III.1 2.5 Vì số đo cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình: (m-2)x2 –2(m-1)x +m = 0 nên phương trình này phải có 2 nghiệm dương 0,5 m 2 ’ 0 m 0 ( *) S= x + x 0 Giải được m 2 1 2 0,5 P = x1.x2 0 2(m 1) m Khi đó ta có : x1+ x2 = ; x1.x2 = m 2 m 2 1 1 1 Bài toán được thoả mãn 2 + 2 = 0,5 x x 2 2 1 2 ( ) 5 Giải được m=4 thoả mãn đk (*) 0,5 Vây bài toán được thoả mãn với m=4 0,5 64
III,2 3,5 Phân tích : Giả sử đường tròn(o’) đã được thoả mãn bài toán Gọi R là bán kính đường tròn (o) Trên đường thẳng ( ’)  ( ) tại B lấy điểm B’ : BB’ =R ( B’ khác phía với O đối với ( ) . Ta có: O’O = O’B’ = R +R’ ( R’ là bán kính đường tròn (O’) Vậy : (O’) thuộc trung trực của đoạn OB’ Cách dựng - Dựng đường thẳn( ’) vuông góc ( ) tại B. 1,5 - Trên ( ’) lấy điểm B’ sao cho BB’ = R ( (B’ khác giá với O đối với ( )) - Dựng trung trực của OB’, cắt ( ’) tại O. - Dựng đường tròn tâm O’ bán kính R’ = O’B . - Đường tròn (O’) là đường tròn cần dựng 1,0 Chứng minh Từ cách dựng ta thấy (O’) tiếp xúc với ( ) tại B Lại có O’O = O’B’ = R + R’ -> (O’) tiếp xúc với (O). 0,5 Biện luận Từ giả thiết và cách dựng ta thấy : Điểm B’ luôn dựng được và duy nhất . Điểm O’ cũng dựng được và duy nhất. Vậy bài toán luôn có một và chỉ một nghiệm hình 0,5 65
IV 5,0 IV.1 2,0 Do MN // CD nên góc EDC = 0,5 góc ENA Mặt khác góc CDA= góc DNA ( 0,5 Cùng chắn cung DA) 0,5 -> góc EDC= góc CDA hay DC là phân giác góc ADE. 0,5 Lâp luận tương tự -> CD cũng là phân giác góc ACE -> A và E đối xứng nhau qua CD -> AE  CD IV.2 3,0 Do PQ song song với CD nên AE  PQ ( *) 0,5 Gọi I là giao điểm của AB và CD . Ta có AID đồng dạng với DIB ( Do chung góc BID và góc IAD = góc IDB (cùng chắn cung BD)). 0,5 ID IB 0,5 -> = -> ID 2 = IA.IB. (1) IA ID Lập luân tương tự -> IC2 = IA.IB (2) Từ (1) và (2) -> IC = ID IC ID BI 0,5 Mà = ( cùng bằng ) => AP = AQ AP AQ BA 0,5 Kết hợp với (*) -> EPQ cân tại E 0,5 Lưu ý : Nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá đáp án và biểu điểm HSG lớp 9 – bảng b Bài Nội dung Điểm 66
2 2 a 2 2 a a 2 1 a 1 A 2 4 1 a 1 a a 1 a 2 1 a 1 2 . Bài 1 1 a 1 a a 1.0 (2đ) a a 2 a 1 . 1 1 a 1 a a 1.0 6 1 0.5 B x 4 6x 3 7x 2 6x 1 x 2 x 2 6x 7 x x 2 2 2 1 1 x x 2 6 x 7 x x 0.5 Bài 2 2 2 1 1 (2đ) x x 6 x 9 x x 0.5 2 2 2 2 1 1 2 2 x x 3 x x 3x x 3x 1 x x 0.5 15 15 0 m (1) 8 8 2 15 Dk : x1 x2 x1 x1 (2) 4 1.0 3 2 x1 x2 x1 m (3) Giải (2) Bài 3 3 3 3 6 m ( 2 đ) 3 2 27 2 2 4 x1 m (Thoả mãn) 2 8 3 3 3 6 m 2 2 4 5 125 x m 2 (loại) 2 2 8 3 6 Vậy m 1.0 4 mx m 1 0.5 Từ (1) => y 2 Bài 4 Thay vào (2) ta được mx m 1 2x m 2m 1 m 2 4 x m 2 3m 2 0.5 2 67
Với m 2 hệ có nghiệm duy nhất m 2 3m 2 m 1 3 x 1 2 m 4 m 2 m 2 2m 1 3 y 2 m 2 m 2 0.5 Để x, y nguyên thì m+2 là ước của 3 tức là m 2 1 m 2 1 m 1, 3,1, 5 m 2 3 m 2 3 0.5 đk x 5 đặt x 5 t t 2 x 5 t 2 x 5 (1) 0.5 Khi đó phương trình trở thành x2 + t = 5 (2) t 2 x 5 ta có hệ phương trình - 2 x t 5 0.5 t2 – x2 – (x+t)=0 t x (x+t)(t-x-1) = 0 t x 1 Nếu t = -x ta có x 5 x 5 x 0 1 21 Bài 5 x (loại) x 2 x 5 0 2 (2đ) 1 21 x 0.5 2 Nếu t = x+1 ta có x 5 x 1 x 1 1 17 x (loại) x 5 x 2 2x 1 x 2 x 4 0 2 -1 17 x 2 0.5 1 17 1 21 Vậy T ;  2 2  Bài 6 Toạ độ A(3-2m,0), B(0,2m-3) 0.5 (2đ) OAB vuông ở O 68
1 1 0.5 S OAB= OA.OB = 3 2m 2m 3 2 2 1 4m 2 12m 9 = 2m 3 2 4 2 2 0.5 4m 2 12m 1 0 6 4 2 6 4 2 m Vậy với m thì S ABD=4 4 4 0.5 vì x, y, z > 0, x + y + z = 1. áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 3 x y z 1 1 3 số dương xyz (1) 3 3 27 Tương tự 0.5 3 3 x y y z z x 2 8 Bài 7 x y y z z x (2) 3 3 27 (2đ) 8 0.5 Từ (1),(2) xyz(x y)(y z)(z x) 729 8 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là khi x = y = z = 0.5 729 3 0.5 Giả sử PB = 10, PC = 20 PB AB 1 0.5 Tính chất đường phân giác AC 2AB PC AC 2 theo định lý pitago: AB2 + AC2 = BC2 5AC 2 90 AC 6 5 AB 3 5 0.5 Vì ABC vuông ở A nên A 1 1 Bài 8 S ABc = AB.AC .6 5.3 5 45 2 2 0.5 (2đ) Mặt khác S ABC=pr ( c/m bổ đề trước khi sử dụng) B 10 P 20 C S 45.2 90 r p 20 9 5 20 9 5 0.5    Bài 9 1 0 0.5 Ta có BOC = 1200, DOE BOC 60 (2.0đ) 2 69
  0 0.5 IOE ICE 60 Điểm O và C nhìn đoạn IE dưới 1 góc bằng nhau tứ giác 0.5 IOCE nội tiếp. B D 0.5 00oo O. A E C Giả sử tứ diện ABCD có cạnh AB dài nhất. A Trong ABC có AB 2AB 0.5 (2đ) Trong 2 tổng AC + AD; BC + BD C có ít nhất 1 tổng lớn hơn AB D 0.5 Đpcm. B Sở giáo dục và đào tạo đáp án – thang điểm thanh hoá đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Thpt Chuyên lam sơn Môn thi : Toán ( Toán chuyên) Bài ý Nội dung Điểm I 2,5 1 Từ giả thiết suy ra ab + bc + ca =1. Do đó 1+a2= ab+bc+ca+a2 =b(a+c)+a(a+c) = (a+b)(a+c) 0,25 Tương tự, ta có : 1+b2=(a+b)(b+c) ; 1+c2=(a+c)(b+c) 0,25 a b c Suy ra S = (a+b)(b+c)(b+c)( ) 0,25 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) = a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) =2(ab+bc+ca)=2 0,25 2 Đặt n2-10n-312 =k2 , k N (n-5)2- k2= 287 0,25 (n+k-5)(n- k-5) = 287=1.287=7.41 TH1: n+k - 5 = 287 và n - k -5 = 1 ,khi đó n = 149 0,25 TH2: n+k - 5 = -1 và n - k -5 = - 287 ,khi đó n = -139 ( loại) 0,25 TH3: n+k - 5 = 41 và n - k -5 = 7 ,khi đó n = 29 0,25 70
TH4: n+k - 5 = -7 và n - k -5 = - 41 ,khi đó n = -19 (loại) 0,25 Vậy n cần tìm là n = 149 hoặc n=29 0,25 II 2,5 1 Phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m (1) (1) (x2+4x+3)(x2+4x-5) = m (2) đặt y = x2+4x+4=(x+2)2 0 . Khi đó, (2) trở thành : (y-1)(y-9) = m y2-10y+9-m = 0 (3) 0,5 (1) có 4 nghiệm phân biệt (3) có 2 nghệm thoả mãn y1> y2> 0 ' 0 16 m 0 S 0 10 0 16 m 9 P 0 9 m 0 2 Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình : x +4x+4 - y1=0 2 x3,x4 là hai nghiệm của phương trình : x +4x+4 - y2=0 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 Ta có: 1 1 0,5 x1 x2 x3 x4 x1x2 x2 x4 4 4 32 4(y y ) 1 1 2 1 4 y1 4 y2 16 4(y1 y2 ) y1 y2 32 40 72 55 m 1( theo Viét) m 7 16 40 9 m m 55 kết hợp với điều kiện -16 < m< 9 ta có m =-7 là giá trị cần tìm 0,5 2 Vì A(a;b) thuộc đồ thị hàm số y = x+n nên ta có b = a+n Do đó m(a2+b2)+a+b = n  n m[a2+(a+n)2] +a+a+n = n  n 2ma2+2(mn+1)a+mn2 = 0 (*) n TH1: m = 0 (*) trở thành 2a = 0 a = 0  n 0,5 2 2 2 TH2 : m 0, ’= (mn+1) -2m n 1 Với n = thì ’= - 2< 0.Do đó phương trình (*)(ẩn a) m vô nghiệm Như vậy m = 0 là giá trị cần tìm 0,5 III 1,5 TH1: Tất cả các số đều bằng nhau : a1=a2= = a100=2 Ta có thể chọn 50 số a1,a2, , a50 thì a1+a2+ + a50=2.50 =100 0,25 71
TH2: Có ít nhất hai số khác nhau. Giả sử a1 a2 Đặt b0=a1,b1= a2, b2= a1+a2,b3 =a1+a2+a3, , b99= a1+a2+ +a99 Ta có 0 0 nên bk >100 bk khác b0 và b1(do b0=a1,b1=a2 100) - Nếu k = 2 b2= a1+a2 = b0+b1= bm+100 với m = 0 hoặc m=1 một trong hai số b0 hoặc b1 bằng 100 a1=100 hoặc a2=100 - Nếu k >2 bm + am+1 + + ak = bm+100 am+1 + + ak = 100 0,5 IV 2,0 1 Trong tam giác vuông AOM góc OAM = 300 nên AM=2OM. a 3 Lại có : OA2=AM2- OM2 3OM2 = a2 OM = 3 2a 3 2a 3 Do đó AM= MN= 0,5 3 3 Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt tia NM tại H .Ta có 1 diện tích tam giác OMN là S = MN.OH 2 Mặt khác OAM = HMO =300 (cùng phụ với AMO) a 3 1 2a 3 a 3 a 2 0,5 OM=2OH do đó OH= .Do đó S = . . = 6 2 3 6 6 72
2 H O M N’ A I’ I y x P’ N P z t Tứ giác AOMI nội tiếp (vì I +O =1800) Suy ra AOI = AMI =450 Do đó OI là tia phân giác của góc xOy.Kẻ AI’  OI cắt Oy ở N’. Tam giác AON’ là tam giác cân nên ON’=OA=a điểm N’ cố định. AI AI' 1 Ta có NN’// I’I mà I’I  AN’ nên NN’  AN’ tại N’ AN AN' 2 Vậy N chạy trên tia N’z  AN’ tại N’ 0,5 Các điểm P,M,N’ cùng nhìn AN dưới một góc vuông nên năm điểm A,M,N’,N,P thuộc một đường tròn nên AN’P=AMP=450. Vậy điểm P chạy trên tia N’t  OI ở N’. Gọi giao điểm của OI với N’P là P’. Khi M trùng với O thì N trùng N’. Khi đó P trùng P’.Vậy P chạy trên tia P’t thuộc đường thẳng vuông góc với Oy ở N’ 0,5 V 1,5 Gọi S1,S2,S3,S lần lượt là diện tích các tam giác BOC,COA,AOB , ABC. 2 2 2 2 2 2 Đặt S1=x , S2=y , S3=z suy ra S = x +y +z AP S x 2 y 2 z 2 AO y 2 z 2 Ta có 2 1 1 2 OP S1 x OP x AO y 2 z 2 AO y 2 z 2 2 OP x OP x 0,5 73
BO z 2 x 2 CO x 2 y 2 Tương tự, ta có : ; OQ y OR z OA OB OC y 2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 Do đó + + OP OQ OR x y z 0,5 y z z x x y 1 y z x z x y 6 ( ) 3 2 2x 2y 2z 2 x x y y z z 2 OA OB OC Tóm lại 3 2 OP OQ OR 0,5 A Q R O B P C Ghi chú :*Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tương ứng * Bài IV nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm Trường THPT Đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Mai Anh Tuấn Môn Toán – Năm hoc: 2005 - 2006 Bài Câu Nội dung điểm Bài 2,0 1 Nhân cả tử và mẫu với 2 ta có: 2 2 2 2 A= = 2 4 2 3 2 4 2 3 2 ( 3 1) 2 2 ( 3 1) 2 2 2 2(3 3 3 3) = + = = 2 3 3 3 3 32 ( 3) 2 Kết luận A = 2 Bài 5,0 2 74
Câu 2,0 a A;B (P) nên A(2;1),B(-4;4) Đường thẳng (d) đi qua A và B có phương trình: x 2 y 1 1 = y=- x+4 6 3 2 Câu 3,0 b ABC có cạnh AB cố định nên diện tích của tam giác lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất. Do đó C là điểm thuộc cung AB của (P) sao cho tiếp tuyến tại C của (P) song song với AB. 1 Gọi C(x’,y’) thì - 4 x' 2 và y’= x’ 2 4 Đường thẳng qua C và song song với AB có hệ số góc là - 1/2 có phương trình: 1 1 1 1 1 y- x'2 = - (x - x’) y= - x + x'2 + x’ 4 2 2 4 2 Đường thẳng là tiếp tuyến của (P) khi phương trình sau có nghiệm kép: 1 1 1 1 x 2 =- x+ x'2 + x’ 4 2 4 2 x 2 +2x- x’ 2 -2x’=0 có nghiệm kép ’=1+ x’ 2 +2x’=0 x’=-1 1 y’= 4 1 Kết luận C(-1; ) 4 Bài 4,0 3 E B D I 75 A C O
Câu 2,0 a ADC =1V(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CDE vuông cân tại D và EDI = 45 0 góc đối đỉnh của EDI là góc nội tiếp chắn cung 90 0 .Do đó ID phải đi qua B cố định Câu 1,0 b Theo kết quả câu (a) thì E nhìn AC cố định dưới góc 45 0 nên tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC là cung chứa góc 45 0 vẽ trên đoạn AC.Cung này có tâm B và bàn kính BA = R 2 Câu 1,0 c AE luôn là dây cung của cung chứa góc 45 0 chứa góc 45 0 ,do đó AE lớn nhất khi nó là đường kính.Lúc đó D  B và AE=2AB=2 R 2 Bài 4,0 A’ C’ 4 A A o C I B Câu 2,0 a Gọi chân đường cao hạ từ A’ đến đáy ABC là O. Ta có 3 tam giác vuông:A’OA,A’OB,A’OC bằng nhau vì có 76
chung cạnh góc vuông A’O và cạnh huyền bằng nhau OA=OB=OC.Điều này chứng tỏ O là tâm của tam giác ABC Câub 2,0 Gọi I là trung điểm BC Theo gt: Tam giác ABC đều BC  AI (1) Tam giác A’BC cân tại A’ BC  A’I (2) Từ (1) và (2) BC  mp(A'AI) BC  A'A BC  BB’. Do đó mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật Bài 5,0 5 Câu 2,0 a Phương trình tương đương với (x-1)(x-6) (x-3)(x- 4)+9=0 (x 2 -7x+6) (x 2 -7x+12)+9=0 ( x 2 -7x+6) 2 +6(x 2 -7x+6)+9=0 ( x 2 -7x+9) 2 =0 x 2 -7x+9 =0 7 13 x= 2 Câub 3,0 Phương trình tương đương với: 2(x 2 +4xy+4y 2 )-(xy+2y 2 )=60 2(x+2y) 2 -y(x+2y)=60 (x+2y)(2x+3y)=60 x 2y m Đặt (I) 2x 3y n Ta có mn=60 77
2x 4y 2m (I) y 2m n 2x 3y n 3x 6y 3m (I) x 2n 3m 4x 6y 2n Do điều kiện x 0 và y 0 ta có : 3 2n 3m0 n m 3 2 hay mn2m 2m n0 2 n2m Nhân các vế với n>0 và áp dụng mn=60 ta có 90 n 2 x2 . y2 = 4 78
x2; y2, là 2 nghiệm không âm của phương trình. (0,5 điểm) 2 t – tx + 4 = 0 t1 = 1 t2 = 4 (1 điểm) x2= 1 x= 1 => y2 = 4 y = 2 x2 =4 x = 2 y2 = 1 y = 1 Vậy hệ phương trình có 8 nghiệm : ( x;y ) = (1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( 1 ; - 2 ) , ( x;y ) = ( - 1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( -1 ; -2 ) , ( x;y ) = ( 2 ; 1 ) , (2 điểm) ( x;y ) = ( 2 ; -1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; 1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; -1 ) X2+ 2x + 1 – x2 – 2 ( x + 1)2 Có A = ≥ - ≥ - 1 (1 x2+ 2 x2 + 2 điểm) Dấu = xảy ra x + 1= 0 => x= - 1 => A nhỏ nhất = -1 khi x = -1. (1 điểm) Bài 2: ( 3 đ ) 1)Ta có : ∆/ = (m- 1)2 – (m - 3) = m2 - 3m + 4 (0,5 điểm) 3 1 2 4 79
∆/ = (m - )2 + > 0 m (1 điểm) Vậy phương trình luôn có nghiệm m. 2)Phương trình có 2 n0 trái dấu khi P = m -3 m 4. (a2 + b2+ c2 + d2 ) ≥ (a + b+ c + d )2 (0,5 điểm) 4(a2 + b2+ c2 + d2 ) ≥ 22= 4 a2 + b2+ c2 + d2 ≥ 1 (1 điểm) 1 2 Dấu “=” xảy ra a = b = c = d = . A (0,5 điểm) Bài 4( 4 đ ) Gọi E, F là tiếp điểm trên cạnh AB, AC. F Đặt BC = a; AB = c; AC = b. => chu vi 2p = a + b + c Ta có: CD = CF; CD + CF = 2p – 2c B C D 80
=> CD = p - c (0,5 điểm) Tương tự có: BD = p - b (0,5 điểm) Ta có: AB. AC = bc. (0,5 điểm) CD. BD = (p - c) . (p - b) C AB. AC = 2CD . BD (0,5 điểm) 2 bc = 2.(p- c) . (p- b). (0,5điểm) 2bc = (2p – 2 c). (2p – 2b) 2bc = (a + b - c) .(a + c - b) 2bc = a2 – (c – b2) a2 = b2 + c2 hay ABC vuông tại A. (1,5 điểm) Bài 5: Chọn SBA làm đáy thì đường cao hình chóp CS Ta có thể tích hình chóp là: C S V= 1 . CS . 1 SB . SA 3 2 = 1 a.x. (k - x) A B 6 Với : 0 < x < k (1,5 điểm) Thể tích hình chóp lớn nhất khi : x . (k - x) lớn nhất. (0,5 điểm) x (k x) 2 ( ) 81 2
x (k x) Ta luôn có: ( )2 ≥ x. (k - x) 2 k 2 (1điểm) ≥ x (k - x) 4 Dấu “=” xảy ra khi: x = k – x => x = k (0,5 điểm) 2 ak2 Vậy khi SB = SC = thì thểk tích hình chóp lớn nhất V = (0,5 điểm) 2 24 Sở GD&ĐT Thanh hóa đề xuất ngân hàng đề Trường thpt hậu lộc 3 Đáp án đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán o0o o0o Chú ý: + Đáp án gồm 3 trang. +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa. Câu ý Nội dung điểm 1 1 1 1 22x 2 2 2x 1 22x 2 2 2x 1 0,25 A 4 4 1 1 1 22x 2 2 2x 1 22x 2 2 2x 1 4 4 1 2 1 2x 2 x 1 2x 2 x 1 4 2 0,25 1 2 1 x x 2x 2 x 1 2 2 1 4 2 1 x 2 2 x 2x x x 2 2 2 2.2 1 (2 1) 0,25 2x x x 2 x 1 2 2.2 1 (2 1) 2 x 2 2 2x 1 x 1 2 x 0,25 x . (x 0 2 1) 2x 1 1 2 2 Nhận xét rằng phương trình đã cho không có nghiệm x = 0. 0,25 Gọi x0 và -x0 (x0 0) là 2 nghiệm đối nhau của phương 0,25 82
4 3 2 x0 4x0 3x0 8x0 10 0 trình đã cho, ta có: 4 3 2 0,25 x0 4x0 3x0 8x0 10 0 3 2 8x0 – 16x0 = 0 x0 = 2. Khi đó ta có: 0,25 x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0 (x2 – 2)(x2 – 4x + 5) = 0,25 0 0,25 x2 – 2 = 0 x 2 . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 2 . 3 x2 y2 + Với mọi x, y ta có (x - y)2 0 xy 0,25 2 x2 y2 P = 4 + xy 4 + P 8 0,25 2 (x y)2 0 Vậy maxP = 8 x y 2 . 2 2 0,50 x y xy 4 (x y)2 (x2 y2 ) + Ta lại có: x 2 y2 xy x2 y2 0,25 2 3(x2 y2 ) (x y)2 4 3P 8 (x y)2 8 2 0,25 8 (x y)2 0 2 3 Vậy min P x y . 2 2 0,50 3 x y xy 4 3 4 Do 1820 13 và 13y213, x và y là các số nguyên nên ta cần có 7x213 x213 x13 (vì 13 là số nguyên tố) x = 13m với m Z. 0,50 Tương tự do 1820 7 và 7x27, x và y là các số nguyên nên ta cần có 13y27 y27 y7 (vì 7 là số nguyên tố) y = 7n với n Z. 0,50 Khi đó phương trình đã cho trở thành: 83
7(13m)2 + 13(7n)2 = 1820 13m2 + 7n2 = 20 m 0 0,25 13m2 20 m2 1 , (vì m Z). m 1 0,25 20 + Nếu m 0 7n2 20 n2 Z (loại). 7 0,25 2 2 x 13 + Nếu m 1 13 7n 20 n 1 n 1 y 7 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là (-13; -7) 0,25 (-13; 7), (13; -7) và (13; 7). 5 5a A M D B O C Xét OAB ta có: AB2 = 2R2 = R2 + R2 = OA2 + OB2 0,25 OAB vuông tại O (1) Tương tự ta cũng có OAC vuông tại O (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm B, O và C thẳng hàng ABC và BC = 2R. 0,50 5b ã 1 ẳ 1 ằ ẳ Ta có ACM sdAM (sdAC sdCM) (vì M thuộc 0,25 2 2 1 cung AC nhỏ) Ã CM (sdAằC sdCẳM) Ã DC 0,25 2 ACM và ADC đồng dạng theo trường hợp góc - góc 0,25 AC AD AM.AD AC2 2R2 = const. (đpcm) 0,25 AM AC 5c 1 Ta có: Ã CM sdAẳM suy ra AC tiếp xúc với đường 2 0,50 tròn ngoại tiếp MCD tại C. Vậy khi M di động trên cung nhỏ AC thì tâm đường tròn 84
ngoại tiếp MCD di động trên đường thẳng (d) vuông góc với AC tại C. Và vì AC và C cố định nên (d) cũng là đường 0,50 thẳng cố định. Hết Sở gd và ĐT thanh hoá Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Bài Nội dung Điểm Bài 1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa (2 đ) Biểu thức A có nghĩa khi a 0 a 0 a 0 0,25đ 2 a a 0 a 0;a 1 a 1 0,25đ Vậy A có nghĩa khi và chỉ khi a>0 và a 1 b) Rút gọn A(1,5 điểm) 0,5đ a(a a 1) 1 A . a 1 a( a3 1) a a 1 1 . 0,5đ a 1 ( a 1)(a a 1) 1 1 1 . a 1 a 1 a 1 0,25đ 1 Vậy A= 0,25đ a 1 Bài 2 Ta có : (2đ) (x2 1)(y2 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) 0,25 đ P x2 y2 x2 y2 Thay x+y = 1 theo giả thiết, ta được 0,25 đ x 1 y y 1 x (x 1)(y 1) x 1 y xy 2 P 1 0,5 đ xy xy xy 2 P nhỏ nhất khi nhỏ nhất, khi đó xy lớn nhất 0,25 đ xy 85
Vì x+ y=1 y 1 x 1 1 1 0,25 đ xy=x(1-x)=-x 2 +x = -(x- )2 2 4 4 1 1 xy lớn nhất bằng khi và chỉ khi x=y= 4 2 0,25 đ 2 1 Vậy P 1 9 khi x=y= min 1 1 2 . 2 2 0,25 đ Bài 3 x 2 1 a) Ta có m(x 1) (2đ) 4 2 x 2 4mx 4m 2 0 0,25 đ , (2m 1)2 1 0 với m R 0,5 đ Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m (đpcm) 0,25 đ x1 x2 4m b) theo định lý Viet 0,25 đ x1.x2 4m 2 2 2 x1 .x2 x1.x2 x1x2 (x1 x2 ) 0,25 đ 4m(4m 2) 16m2 8m (4m 1)2 1 1 2 2 Vậy Min ( x1 x2 x1x2 )=-1 1 Khi 4m+1=0 m 0,5 đ 4 Bài 4 Gọi x, y lần lượt là số lần bắn trúng vào các vòng 9, 10 điểm (x; y N )Vì vận động viên đã bắn hơn 11 viên nên ta có 0,5 đ (2đ) x+y >11 (1) Vì vận động viên đạt được tổng điểm là 109 nên : 9x+10y = 109 (2) 0,25 đ 9x 9y 109 y 9(x y) 109 y 109 0,25 đ 9(x y) 109 (x y) (3) 9 109 Từ (1) vầ (3) ta có 11<x+y< 9 0,25 đ mà x,y N x y 12 (4) 86
Kết hợp (2) và (4) 0,5 đ 9x 10y 109 x 11 x y 12 y 1 Vậy vận động viên đã bắn 12 viên và kết quả là 11 viên vào 0,25 đ vòng 9 và 1 viên vào vòng 10 Bài 5 (2đ) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 (điều kiện x 1) 0,25 đ ( x 1 2)2 ( x 1 3)2 5 x 1 2 x 1 3 5 (*) 0,25 đ x 1 2 x 1 2 -trường hợp x 1 2 0 x 1 2 x 5 0,25 đ thì (*) x 1 2 x 1 2 0,25 đ x 1 2 x 5 thoả mãn điều kiện x 1 - trường hợp x 1 2 0 x 1 2 1 x 5 0,25 đ (*) 2 x 1 x 1 2 0,25 đ phương trình nghiệm đúng với mọi x 1;5 0,25 đ kết hợp cả 2 trường hợp ta có tập nghiệm của phương trình là 0,25 đ x 1;5 Bài 6 a) phương trình hoành độ giao điểm của (p) và (d) là : (2đ) 1 x2 mx 2m 1 4 x2 4mx 8m 4 0 0,25 đ ' 4m2 8m 4 4(m 1)2 0,25 đ ' Để (d)tiếp xúc với (p) thì 0 m 1 0,5 đ b) (d) : y=mx-2m-1 m(x 2) 1 y 0 0,5 đ Nếu x=2 thì y=-1 với m R Vậy (d) luôn qua điểm cố định A(2;-1) 0,25 đ 0,25 đ 87
A (P) Vì toạ độ của A nghiệm đúng của phương trình (P) (đpcm) Bài 7 Vì 182013và 13y 213 7x2 13 mà (7,13)=1 x2 13 0,25 đ (2đ) 13 là số nguyên tố x13 0,25 đ đặt x=13m (m Z) . tương tự ,18207 và 7x 27 13y2 7 mà (7,13)=1 y2 7 y7 0,25 đ 0,25 đ đặt y=7n(n Z) . 0,25 đ thay x=13m; y=7n (n Z) .vào phuơng trình ta được : 7(13m) 2 13(7n)2 1820 13m2 7n2 20 (*) 20 suy ra : m2 vì (m Z) . 13 m2 1 n2 1 T / M 20 ( loại vì (n Z) 0,25 đ m2 0 n2 7 Với m2 1và n2 1phương trình (*) có các nghiệm : m 1 m 1 m 1 m 1 0,25 đ ; ; ; n 1 n 1 n 1 n 1 Suy ra phương trình đã cho các nghiệm x 13 x 13 x 13 x 13 ; ; ; 0,25 đ y 7 y 7 y 7 y 7 Lưu ý học sinh B không vẽ hình không chấm điểm H Bài 8 (2đ) K A I C SHIK S ABC S AKI SBHK SCIH 0,25 đ Ta có : S S S S HIK 1 AKI BHK CIH S ABC S ABC S ABC S ABC 0,25 đ 88
Hai tam giác AKI và ABC có chng góc A nên ta có : S AK.AI AK AI AKI . S ABC AC.AB AC AB 0,5 đ trong tam giác vuông AKC và AIB ta có : AK AI cos A; cos A AC AB 0,25 đ S AKI 2 do đó cos A 0,25 đ S ABC tương tự : S BH BK BHK . cos2 B S AB BC ABC 0,25 đ S CI CH CIH . cos2 C S ABC CB CA S vậy HIK 1 cos2 A cos2 B cos2 C (đpcm) S ABC 0,25 đ Bài 9 (2đ) Gọi I, J, K lần lượt là Trung điểm của QM, QN D P C PN Ta có : K 0,5 đ QM MN AI ;IJ 2 2 Q J PQ PN JK ;KC 2 2 N I A M B 0,5 đ Chu vi của hình tứ giác MNPQ là : QM+MN+NP+PQ=2(AI+IJ+JK+KC) 2AC 0,25 đ Nên chu vi của tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng 2AC. 0,75 đ Khi đó A, I, J, K, C thẳng hàng hay M, N, P, Q là các đỉnh của các hình chữ nhật có các cạnh song song với các đường chéo của hình vuông , cụ thể như hình vẽ 89
D P C Q N A M B BàI 10 : O2 T P O B C T1 O1 O3 Phần thuận : vì O1 đối xứng với O qua BC nên PO1 = PO là không đổi O1 thuộc đường tròn (P; PO) (0,5đ) * Giới hạn : Có 2 vị trí giới hạn của cát tuyến PBC đó là PT và PT1 là 2 tiếp tuyến của (O;R) kẻ từ P. Gọi O2 là điểm đối xứng của O qua PT; O3 là điểm đối xứng của O qua PT1 thì O1 chỉ di động trên cung O2O3 của đường tròn (P;PO) . (0,5đ) * Phần đảo : lấy một điểm O1 bất kì thuộc cung O2O3, OO1 là một dây 90
cung trong (P;PO), từ P kẻ đường thẳng PBC cắt (O;R) tại B, C và vuông góc với OO1 thì theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung ta suy ra O và O1 đối xứng nhau qua BC (0,5đ) * Kết luận : quỹ tích điểm O1 là cung O2O3 của đường tròn (P;PO) (0,5đ) Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs Thanh hoá Đề chính thức Hướng dẫn chấm Môn: Toán - Hướng dẫn chấm này có 5 trang. - Đây là hướng dẫn chấm , giám khảo phải căn cứ vào bài làm của học sinh để chấm . Mọi cách giải khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa . - Điểm của toàn bài là tổng của các điểm thành phần không làm tròn . Bài I ( 1 điểm ) Điểm Giả sử 2 phương trình có nghiệm chung x0 . Khi đó 2 2 x0 + ax0 + 1 = 0 ( 1) và x0 + bx0 + 17 = 0 (2) 2 => 2x0 + ( a + b ) x0 + 18 = 0 ( 3 ) Phương trình này có nghiệm thì   (a + b ) 2 – 144   a b 12 nhưng a b a b 12 => a b 12 0,25đ Bây giờ ta tìm cặp ( a ; b ) để hai phương trình (1) , (2) có nghiệm chung và a b 12. nếu a b 12. thì a b 12 phương trình (3) có nghiệm kép . 0,25đ Với a + b = 12 thì phương trình (3) có nghiệm kép x0 = - 3 . 10 26 Thay x0 = -3 vào (1) và ( 2 ) ta được a ;b 3 3 khi đó a b 12. Vậy cặp ( a ; b ) này thoả mãn . 0,25đ 91