Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2015 - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2015 - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIấN TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015 MễN THI: TOÁN (cho tất cả cỏc thớ sinh) Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề) Cõu I: 1) Giả sử a,b là hai số thực phõn biệt thỏa món a2 3a b2 3b 2 a) Chứng minh rằng a b 3 b) Chứng minh rằng a3 b3 45 2x 3y 5xy 2) Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 4x y 5xy Cõu II 1) Tỡm cỏc số nguyờn x, y khụng nhỏ hơn 2 sao cho xy 1 chia hết cho x 1 y 1 2) Với x, y là những số thực thỏa món đẳng thức x2 y2 2y 1 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức xy P 3y 1 Cõu III Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB. 1) Chứng minh rằng EF song song với BC. 2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trỡn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn. 3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng. Cõu IV 1) Cho bảng ụ vuụng 2015 2015 . Kớ hiệu ụ i, j là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết cỏc số nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau : i) Số 1 được viết vào ụ (1,1). 1 3 6 10 ii) Nếu số k được viết vào ụ i, j , i 1 thỡ số 2 5 9 k+1 được viết vào ụ i 1, j 1 . 4 8 7 iii) Nếu số k được viết vào ụ 1, j thỡ số k+1 được viết vào ụ j 1,1 . (Xem hỡnh 1.) Hỡnh 1 Khi đú số 2015 được viết vào ụ m,n. . Hóy xỏc định m và n. 2) Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món ab bc ac abc 4. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ac Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIấN TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015 MễN THI: TOÁN (vũng II) Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề) Cõu I 1)Với a,b,c là cỏc số thực thỏa món: (3a 3b 3c)3 24 (3a b c)3 (3b c a)3 (3c a b)3 Chứng minh rằng : a 2b b 2c c 2a 1 2x 2y xy 5 2) Giải hệ phương trỡnh: 3 3 2 27(x y) y 7 26x 27x 9x Cõu II 1)Tỡm số tự nhiờn n để n 5 và n 30 đều là số chớnh phương (số chớnh phương là bỡnh phương của một số nguyờn) 2)Tỡm x, y nguyờn thỏa món đẳng thức:1 x y 3 x y 3)Giả sử x, y, z là cỏc số thực lớn hơn 2.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P y z 4 z x 4 x y 4 Cõu III Cho tam giỏc ABC nhọn khụng cõn với AB AC.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đoạn AM.Trờn tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN 2MH 1) Chứng minh rằng BN AC 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N .Đường thẳng AC cắt BQ tại D .Chứng minh rằng bốn điểm B, D, N,C cựng thuộc một đường trũn,gọi đường trũn này là O 3) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AQD cắt O tại G khỏc D .Chứng minh rằng NG song song với BC Cõu IV . Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phõn biệt trờn một mặt phẳng.Giả sử tất cả cỏc điểm của S khụng cựng nằm trờn một đường thẳng.Chứng minh rằng cú ớt nhất 2015 đường thẳng phõn biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ớt nhất hai điểm của S Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUYấN KHOA HỌC TỰ NHIấN 2015-2016 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Cõu 1: 1) Giả sử a,b là hai số thực phõn biệt thỏa món a2 3a b2 3b 2 a) Chứng minh rằng a b 3
3. b) Chứng minh rằng a3 b3 45 2x 3y 5xy 2) Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 4x y 5xy Hướng dẫn a2 3a 2 a) 2 b 3b 2 a2 b2 3 a b 0 a b a b 3 a b 0 a b a b 3 0 a b 0 loai a b 3 a b 3 27 a3 b3 3ab a b 27 a3 b3 9ab 27 a2 3a b2 3b 4 a b 2 2ab 3 a b 4 ab 2 vậy a3 b3 45 2)Ta thấy x=y =0 là nghiệm của phương trỡnh. Nếu y 0 nhõn hai vế của phương trỡnh với y 2xy 3y2 5xy2 2 2 2 4x y 5xy 2x 3y 5xy 2x 3y 5xy 2x 3y 5xy 2 2 2 2 2 4x y 5xy 2x xy y 0 x y 2x y 0 2x 3y 5xy x y 1 2x 3y 5xy x y 0 x y 2x y 0 2x 3y 5xy 2 4 x , y x y 0 5 5 2 4  Vậy hệ cú 3 nghiệm (x;y) 0;0 ;(1;1);  3 5  Cõu 2 3) Tỡm cỏc số nguyờn x, y khụng nhỏ hơn 2 sao cho xy 1 chia hết cho x 1 y 1 4) Với x, y là những số thực thỏa món đẳng thức x2 y2 2y 1 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức xy P 3y 1 Hướng dẫn
4. 1) x 1 y 1 Ta cỳ xy – 1 M x 1 y 1 suy ra xy - 1M xy +1- x –y Mà xy +1- x –yM xy +1- x –y Suy ra : (x-1) + (y -1) M x 1 y 1 suy ra x-1 M y -1 và y-1 M x -1 Suy ra x= y x2 – 1 M (x -1)2 ta cú x+1 M x-1 suy ra 2 M x- 1 suy ra x= 2 hoặc x= 3 xy 1 (x 1)(y 1) x y 2 1 1 Cỏch khỏc: đặt a 1 (x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x 1 y 1 1 1 Với x; y 2 0 1;0 1 11 a 3;a Z x 1 y 1 1 1 x 3 *Với a=2 ta cú: 1 (x 2)(y 2) 1 x 1 y 1 y 3 * Với a=3 ta tỡm được x=y=2 x2 y2 1 2) x2 y2 2y 1 0 2y x2 y2 1 y 2 2xy 2xy P 3Px2 y2 2xy P 0 3(x2 y2 1) 2 3x2 y2 1 4 12P2 1 1 1 Phương trỡnh cú nghiệm khi 0 suy ra 4 – 12p2 0 Suy ra P 2 P 3 3 3 1 3 2 1 3 2 Vậy: Min(P) x ; y ; Max(P) x ; y 3 2 3 3 2 3 Cõu 3. Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC.IB. 4) Chứng minh rằng EF song song với BC. 5) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn. 6) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.
5. A E J F M N P B D C Hướng dẫn BD AB a) Ta cú : AD là phõn giỏc mà BED, CDF là tam giỏc cõn, DC AC BE AB BC PFE CF AC b) Ta cú : BC PFE FãED EãDB BãED mà ãAPM 180 ãAEM BãED ãAPM Dã EF Tương tự : Dã FE ãAPN ãAPN ãAPM Dã FE FãED Mã PN mà Mã JN Mã DN EãDF Mã JN Mã PN 180 MPNJ nội tiếp c) Ta cú : ãAPM Dã EF và JãPM JãNM JãEM JãPM ãAPM A, PJ thẳng hàng Cõu 4. 2) Cho bảng ụ vuụng 2015 2015 . Kớ hiệu ụ i, j là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết cỏc số nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau : i) Số 1 được viết vào ụ (1,1). 1 3 6 10 ii) Nếu số k được viết vào ụ i, j , i 1 thỡ số k+1 2 5 9 được viết vào ụ i 1, j 1 . 4 8 iii) Nếu số k được viết vào ụ 1, j thỡ số k+1 được 7 viết vào ụ j 1,1 . (Xem hỡnh 1.) Hỡnh 1 Khi đú số 2015 được viết vào ụ m,n. . Hóy xỏc định m và n.
6. 2) Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món ab bc ac abc 4. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ac Hướng dẫn Theo đề bài, cỏc số nguyờn dương được sắp xếp theo từng hàng chộo của bảng: Hàng chộo thứ nhất cú 1 số, hàng chộo thứ hai cú 2 số, Giả sử số x nằm ở hàng chộo thứ k thỡ ta cú: k(k 1) k(k 1) 1 1 8x 1 1 8x 1 1 8x x k k 2 2 2 2 2 1 1 8.2015 Áp dụng x 2015 ta cú k 63 2 k(k 1) Số đầu tiờn ở hàng chộo thứ k 63 là 1 1954 2 Như vậy số 2015 nằm ở vị trớ thứ 2015 1954 1 62 của hàng chộo thứ 63(Vị trớ ỏp chút) Tọa độ của nú là (2,62) 2) Theo Cauchy 4 số ta cú : 4 abc ab bc ac 4 4 a3b3c3 1 abc a b c 33 abc 33 a2b2c2 BĐT tương đương : a2 b2 c2 33 a2b2c2 2 ab bc ac (1) Đặt 3 a2 x, 3 b2 y, 3 c2 z x, y, z 0 1 x3 y3 z3 3xyz 2 x3 y3 2 z3 x3 2 z3 y3 Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x3 y3 z3 3xyz xy x y yz y z xz x z x x y x z y y x y z z z x z y 0 với mọi số thực khụng ừm x, y, z Chứng minh BĐT : Do vai trũ x, y, z như nhau , giả sử x y z z z x z y 0 Ta xột : x x z y y z x2 xz yz y2 x y x y z 0 x x z x y y y z x y 0 x x z x y y y z y x 0 x x y x z y y x y z z z x z y 0 dpcm Ta cú : x3 y3 z3 3xyz xy x y yz y z xz x z 2 x3 y3 2 z3 x3 2 z3 y3 x y z Dấu = xảy ra khi a b c 1 x y, z 0 HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUYấN KHOA HỌC TỰ NHIấN 2015-2016 MễN THI:TOÁN(VềNG II) Cõu I.(3 điểm) 1)Với a,b,c là cỏc số thực thỏa món: (3a 3b 3c)3 24 (3a b c)3 (3b c a)3 (3c a b)3 Chứng minh rằng : a 2b b 2c c 2a 1
7. 2x 2y xy 5 3) Giải hệ phương trỡnh: 3 3 2 27(x y) y 7 26x 27x 9x Hướng dẫn 3a b c x 1) Đặt 3b c a y 3c a b z (3a 3b 3c)3 24 (3a b c)3 (3b c a)3 (3c a b)3 (x y z)3 24 x3 y3 z3 (x y z)3 24 (x y z)3 3(x y)(y z)(z x) 24 3(x y)(y z)(z x) 0 Ta cú: 24 3(2a 4b)(2b 4c)(2c 4a) 0 24 24(a 2b)(b 2c)(c 2a) 0 (a 2b)(b 2c)(c 2a) 1 2) 2x 2y xy 5 3 3 2 27(x y) y 7 26x 27x 9x (x 2)(y 2) 9 3 3 2 27(x y) y 7 26x 27x 9x y3 x3 7 3(x y)(x 2)(y 2) 27x3 27x2 9x y3 x3 8 3xy(x y) 12(x y) 6(x y)2 (3x 1)3 (x y 2)3 (3x 1)3 x y 2 3x 1 y 1 2x x 1 y 1 x 2 2x 1 9 x 3,5 y 8 Vậy x, y  1,1 ; 3,5, 8  Cỏch khỏc: từ PT(2) ta cú: (x y 2)3 (3x 1)3 2x y 1 2 x 1 Thay vào PT(1) ta được (x+2)(2x+1)=9 2x 5y 7 0 (x 1)(2x 7) 0 x 3,5 Cõu II.(3 điểm) 1)Tỡm số tự nhiờn n để n 5 và n 30 đều là số chớnh phương (số chớnh phương là bỡnh phương của một số nguyờn) 2)Tỡm x, y nguyờn thỏa món đẳng thức:1 x y 3 x y 3)Giả sử x, y, z là cỏc số thực lớn hơn 2.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P y z 4 z x 4 x y 4 Hướng dẫn 1) n 5 x2 x, y Ơ , x, y 0 Đặt 2 n 30 y y2 x2 25 (y x)(y x) 1.25 vỡ x, y Ơ , x, y 0 y x 1 y 13 Lại cú y x y x nờn y x 25 x 12
8. Thay vào ta tớnh được n 139 thoả món 2) Ta thấy : 1 x y 3 x y và x, y Ơ x, y là cỏc số chớnh phương x y 3, x, y Ơ Đặt x a, y b, x y 3 c a,b,c Ơ a b c 1 a b c 1 x y a2 b2 2 2 2 2 c a b 3 x y 3 c a b 1 2 a2 b2 3 2a 2b 2ab 3 a 1 b 1 2 a 2 x 4 b 3 y 9 a 3 x 9 b 2 y 4 3) Ta cú : x y z P y z 4 z x 4 x y 4 4x 4y 4z P 4 y z 4 4 z x 4 4 x y 4 4x 4y 4z y z 4 4 x z 4 4 x y 4 4 x y z 4 6 y z x z x y Dấu = xảy ra khi x y z 4 Min(P)=4 x y 4 Cõu III.(3 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn khụng cõn với AB AC.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đoạn AM.Trờn tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN 2MH 1) Chứng minh rằng BN AC 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N .Đường thẳng AC cắt BQ tại D .Chứng minh rằng bốn điểm B, D, N,C cựng thuộc một đường trũn,gọi đường trũn này là O 3) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AQD cắt O tại G khỏc D .Chứng minh rằng NG song song với BC Hướng dẫn
9. Q N G D A H B M C P a ) P là điểm đối xứng của A qua M. Suy ra HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN Suy ra H là trung điểm của NP. Mà BH  NP nờn Tam giỏc PNB cõn tại B suy ra BN = BP. Mặt khỏc lại cú: M là trung điểm của BC, AP nờn Tứ giỏc ACPB là hỡnh bỡnh hành nờn AC = BP suy ra AC = BN b)Do tứ giỏc ACPB là hỡnh bỡnh hành suy ra PAC APB Mà tam giỏc PBN cõn tại B suy APB ANB ANB PAC CAN BNQ Cú : AC = NB, NQ = AN VBNQ VCAN NBD NCD N, B, C, D cựng thuộc một đường trũn. c) G là giao điểm (DQG) với (DBC) CAG BQG Mà GBQ GCA Tam giỏc GBQ đồng dạng tam giỏc GCA GA GQ GA GQ AC QB NB NC Mà BNC BDC AGQ Tam giỏc NBC đồng dạng với tam giỏc GAQ GQA NCB NCB GDC GC = NB NG//BC Cõu IV.(1 điểm)
10. Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phõn biệt trờn một mặt phẳng.Giả sử tất cả cỏc điểm của S khụng cựng nằm trờn một đường thẳng.Chứng minh rằng cú ớt nhất 2015 đường thẳng phõn biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ớt nhất hai điểm của S Hướng dẫn Giả sử trũn mặt phẳng cú n điểm thẳng hang thỡ tồn tại một đường thẳng . Theo bài ra cỏc điểm đú cho khụng cựng nằm trờn một đường thẳng nờn tồn tại ớt nhất một điểm khụng cựng nằm trờn đường thẳng đú nối điểm đú với n- 1 điểm đú cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng. Thay n = 2015 thỡ tồn tại ớt nhất 2015 đường thẳng ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015 Mụn thi :TOÁN ( Dựng cho mọi thớ sinh vào trường chuyờn ) 2 a b 1 1 1 b a a b Cõu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức P với a>0 , b>0 a b a2 b2 a b 2 2 b a b a 1 1 Chứng minh p ab 2 Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b ab 1 . Tỡm min P Hướng dẫn 2 2 2 2 2 a 2ab b 4 4 3 3 a b 1 1 a b ab a b a b ab 1 2 2 b a a b ab a b 3 3 1 1) P a b a2 b2 a b a4 b4 a3b ab3 a4 b4 a3b ab3 ab 2 2 2 2 2 2 b a b a a b a b 2) Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú 1 4a b ab 5 ab 1 25 ab 1 2 Min(P)=25 khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100a2 suy ra a ;b ; 10 5 Cõu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trỡnh. x my 2 4m mx y 3m 1 Với m là tham số 1 Giải phương trỡnh khi m = 2 2. Chứng minh hệ luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ 2 2 phương trỡnh .chứng minh đẳng thức x0 y0 5 x0 y0 10 0 Hướng dẫn 1)Thay m = 2 ta cú
11. 19 y x 2y 6 2x 4y 12 5y 19 5 2x y 7 2x y 7 2x y 7 19 2x 7 5 19 y 5 9 x 5 2) x my 2 4m x my 2 4m mx y 3m 1 m(my 2 4m) y 3m 1 x my 2 4m 2 2 m y 2m 4m y 3m 1 3m2 3m 2 x my 2 4m x x my 2 4m m2 1 m 1 4m2 (m2 1)y m 1 4m2 2 y 2 m 1 4m m 1 y m2 1 Vỡ m2 +1 khỏc 0 phương trỡnh cú nghiệm duy nhất với mọi m 3m2 3m 2 x 0 m2 1 3) Thay m 1 4m2 y 0 m2 1 Ta cú 2 2 2 2 x0 y0 5 x0 y0 10 x0 3 y0 4 x0 3y0 15 2 2 3m2 3m 2 3m2 3 4m2 m 1 4m2 4 2 2 15 m 1 m 1 2 2 3m2 3m 2 3m 3 12m2 3m 1 m 3 2 2 2 2 m 1 m 1 m 1 m 1 3m2 3m 2 3m 3 12m2 15 0 m2 1 m2 1 Cỏch khỏc 2 2 x0 y0 5 x0 y0 10 0 2 2 x0 5x0 6 y0 5y0 4 0 x0 3 x0 2 y0 1 y0 4 0 3m2 3m 2 x0 2 m 1 2 2 Thay ta đươc . x0 y0 5 x0 y0 10 0 m 1 4m2 y 0 m2 1 Cõu 3 ( 1.5điểm )
12. Cho a, b là cỏc số thực khỏc 0 . Biết rằng phương trỡnh a x a 2 b x b 2 0 Cú nghiệm duy nhất . Chứng minh a b Hướng dẫn a(x a)2 b(x b)2 0 ax2 2a2 x a3 bx2 2b2 x b3 0 x2 a b 2x a2 b2 a3 b3 0 Nếu a + b = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = 0. Nếu a + b 0. ta cú 2 2 a2 b2 a b a3 b3 2a2b2 ab3 a3b ab a b 2 Nếu a và b khỏc dấu thỡ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m Nếu a và b cựng dấu thỡ phương trỡnh vụ nghiệm Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi a và b khỏc dấu và 0 suy ra a b . Cõu 4. ( 3điểm ) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc ABC và gúc ACB nhọn gúc BAC = 600 . Cỏc đường phõn giỏc trong BB1, CC1 của tam giỏc ABC cắt nhau tại I. 1> Chứng minh tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp . 2. Gọi K là giao điểm thứ hai khỏc B của đường thẳng BC với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BC1I . Chứng minh tứ giỏc CKIB1 nội tiếp 2 Chứng minh AK  B1C1 A B1 C1 I C B K Hướng dẫn ã ã o ã ã o o 0 1. Ta cú B1IC1 BIC 120 B1IC1 BAC 120 60 180 . Mà hai gúc này đối nhau Nờn tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp (đpcm). ã ã o ẳ 2. Vỡ tứ giỏc BC1IK nội tiếp nờnBIC1 BKC1 60 ( gúc nội tiếp cựng chắn BC1 ) ã ã ằ Và BIK BC1K ( gúc nội tiếp cựng chắn BK )
13. ã o ã ã o o ã 0 ã Xột tam giỏc ABC: KCB1 180 BAC ABC 180 60 ABC 120 ABC ã ã o ã ã o o ã 0 ã Xột tam giỏc BC1K: BIK BC1K 180 BKC1 ABC 180 60 ABC 120 ABC ã ã Suy raKCB1 BIK Tứ giỏc CKIB1 nội tiếp (đpcm). ã ã o ã ã 3. Vỡ BIC1 BAC 60 Tứ giỏc ACKC1 nội tiếp KAC1 KCC1 (cựng chắn cung KC1) ã ã ã ã Và AKC1 ACC1 (cựng chắn cung AC1). Mà ACC1 KCC1 (GT) ã ã Suy ra KAC1 AKC1 Tam giỏc C1AK cõn tại C1 C1A = C1K (1) CMTT: B1A = B1K (2) Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nờn AK B1C1 (đpcm Cõu 5 ( 1 điểm) . Tỡm cỏc số thực khụng õm a và b thỏa món 2 3 2 3 1 1 a b b a 2a 2b 4 4 2 2 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cụsi 2 2 3 2 3 2 1 1 2 1 1 1 a b b a a b b a a b 4 4 4 2 4 2 2 2 1 1 1 a b 2a 2b 2 2 2 1 Dấu bằng xảy ra khi a= b = 2 Nguyễn Minh sang THCS Lam Thao-Phỳ Thọ