Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Các phép tính trong Q
97 trang
24233
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Các phép tính trong Q", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_7_chuyen_de_cac_phep_tinh_t.pdf
Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Các phép tính trong Q
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề:CÁC PHÉP TÍNH TRONG Q. I .Kiến thức cơ bản: a 1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng với a, b Z; b 0. b Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q. 2. Các phép toán trong Q. a) Cộng, trừ số hữu tỉ: a b Nếu x = ; y = (a,b,m Z,m 0) m m a b a +b a b a −b Thì x + y = + = ; x − y = x + (−y) = + (− ) = m m m m m m b) Nhân, chia số hữu tỉ: a c a c a.c * Nếu x = ; y = thì x. y = . = b d b d b.d acada d 1. * Nếu xyythìxyx== ===;(0): bdybcb c . x Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu ( hay x: y) y Chú ý: +) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép cộng và phép nhân trong Z +) Với x Q thì x nêu x 0 x = − x nêu x 0 Bổ sung: * Với m > 0 thì x m −m x m x m x m x − m x =0 *xy .= 0 y =0 *x y xz yz voi z 0 x y xz yz voi z 0 II. Bài tập vận dụng: * Dạng 1: Cộng, trừ số hữu tỉ. PP giải: - Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương. 1
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 - Cộng, trừ hai tử và giữ nguyên mẫu. - Rút gọn kết quả nếu có thể. Bài 1: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí 11 17 5 4 17 a) − − + + 125 18 7 9 14 1 2 3 1 1 1 b) 1− + 2 − + 3 − + 4 − − 3 − − 2 − −1 2 3 4 4 3 2 Hướng dẫn 11 17 5 17 4 11 1 1 11 a) + − − − = + − = 125 14 7 18 9 125 2 2 125 1 1 2 1 3 1 b)(−1+1) + (−2 + 2) + (−3 + 3) + 4 − + − + − + = 4 −1−1−1 = 1 2 2 3 3 4 4 Bài 2: Thực hiện phép tính một cách thích hợp. 7243323 a) 743+−−+++−++ 5358538 1131274 b) −+−−−+−−−+ . 295200671835 1331112 c) −++−+− 345200736159 1111 d) ++++ 1.22.33.42006.2007 Hướng dẫn 1 1 2006 a) 6; b) ; c) ; d) 1- = 2006 2007 2007 * Dạng 2: Nhân, chia số hữu tỉ. PP giải: - Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số. - Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số. - Rút gọn kết quả (nếu có thể). Bài 1: Thực hiện phép tính. ( tính nhanh nếu có thể ) −1 1 1 7 57121 a) − − − b) −−−−− 24 4 2 8 752710 1 3 1 1 2 4 7 c) − − − + − + − − + − d) 2 5 9 71 7 35 18 1 21 67 3 356− +−− −−− + 4 33 54 2 1 2 1 3 5 2 1 1 331211 e) 5+ − − 2 − − 2 + − 8 + − f) −− −+−−+ 5 9 23 35 6 7 18 3 45649 36 15 5 5 13 1 5 3 2 311311 −− g) − − − + + + −11 + − − h) ::1 −+− 7 67 30 2 6 14 5 51565315 3 5 2 1 8 2 1 13 5 2 1 5 i) − + : − 2 + : k) − :: − − + 4 13 7 4 13 7 2 14 7 21 7 7 2
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 281251 l) −+−12.: 3 3 7927182 Hướng dẫn −1117 −1 1 3−15 −1 1 5 −16 −2 a) −−− = −+= − = − = = 24428 2 4 4 82 4 8 2 4 2 4 24 3 57121 5 7 1 21 2 1 b) −−−−− = - - + −− = - - - - 752710 7 5 2 7 10 7 10 52 7 1 1 3 20 4 = − - ++ = - = - 2 = −1 77 5 2 10 7 10 7 1311247 1311247 c) −−−+−+−−+− = −+−+++− 2597173518 2597173518 3 2 4 1 1 7 1 211049271++++ 1 = + + − + + + = −+ = 5 7 35 2 9 18 71 351871 71 121673 121673 d) 356−+−−−−−+ = 356−+−++−+− 433542 433542 217136 66-294 = (356−−+++−−+) = −++81 = -7 + = = -5 334425 5555 1213521 e) 5228+−−−−+−+− 5923356718 12173521 = 528+−−++−−−+ 5923356718 17321251 =(528−−+−−−+ + ) + 5357189623 7731014151 = -5 + + +−−−+ 35353518181823 1 9122 = -5 + 2 -1 + = -4 + = - = -3 23 2323 1331211 1331211 f) −−−+−−+ = −++−−+ 3456493615 3456493615 1 3 1 3 2 1 1 59127811++++ 1 1 = + + - + + + = - + = 1 - 1+ = 3 5 15 4 9 36 64 153664 64 64 5 5 13 1 5 3 2 5 5 13 1 11 17 2 g) − − − + + + −11 + − − = − + + + − + + 7 67 30 2 6 14 5 7 67 30 2 6 14 5 1 17 5 13 2 11 5 7+−+− 17 1013 12 555 = + − + + − + = ++ 2 14 7 30 5 6 67 143067 55 = 1 + ( -1) += 6767 Bài 2: Tính: 4 2 4 0,8: 1,25 1,08 − : 5 25 7 4 E = + + (1,2 0,5): 1 5 1 2 5 0,64 − 6 − 3 2 25 9 4 17 3
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Hướng dẫn 4 2 4 0,8: 1,25 1,08 − : 5 25 7 4 E = + + (1,2 0,5): 1 5 1 2 5 0,64 − 6 − 3 2 25 9 4 17 4 7 1,080,08− : 1 0,8:140,838131( ) ++=++=++= 7 0,6 :2 4 = 11936 * 0,640,0450,6746443− 3617 Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu PP giải: Áp dụng quy tắc chuyển vế 11 5 15 11 Bài 1: Tìm x, biết: − − x = − − ; 13 42 28 13 Hướng dẫn a) 1151511 −+=−+x 13422813 155 x = −+ 2842 5 x =− 12 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x, biết rằng: 1 31 a) x + 4 12=− ; b) + :x 3 =− ; 2 44 x1x1x1x1x1+++++ x4x3x2x1++++ c) + + =+ d) + =+ 1011121314 2000200120022003 Hướng dẫn a) b) 1 1315 − x 12416= −−= − :x 3 = − −= 2 444 1 1 − 15 1 4 1 x = − 16: = − 32 x = : = − . = − 2 4 4 4 15 15 c) d) x+ 4 x + 3 x + 2 x + 1 +1 + + 1 = + 1 + + 1 2000 2001 2002 2003 4
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x+ 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x+ 4 x + 3 x + 2 x + 1 + +− − = 0 +1 + + 1 = + 1 + + 1 10 11 12 13 14 2000 2001 2002 2003 x2004x2004x2004x2004++++ 11111 + = + (x1+−−= + )+0 2000200120022003 1011121314 x2004x2004x2004x2004++++ +0−−= Dễ thấy 2000200120022003 11111 + +0 −− 1111 (x2004+0+−−= ) 1011121314 2000200120022003 11111 Vì Do đó x + 2004 = 0 nên x = -2004 1011121314 Do đó x + 1 = 0 nên x = -1. * Dạng 4: Các bài tập về giá trị tuyết đối của số hữu tỉ. PP giải: Cần nắm vững định nghĩa về giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ. x = x nếu x 0 ; = -x nếu x < 0. Ví dụ: a) = 0 thì x = 0 ; b) =1,375 thì x =1,375 hoặc x=-1,375. 1 1 1 1 c) = thì x = ; d) = 3 thì x = 3 5 5 4 4 Bài 1: Tìm x , biết. 3 1 a) x −1,5 = 2 b) x + − = 0 4 2 4 c) x + − − 3,75 = − − 2,15 15 Hướng dẫn a) x = 3,5 hoặc x = - 0,5 ; b) x = -1/4 hoặc x = -5/4. c) 4 x + −3,75 = − 2,15 15 44 xx+= −+ +=2,153,751,6 1515 44 xx+== 1,6 53 428 xx+= −= −1,6 515 III. Bài tập về nhà: - Xem lại các bài tập đã làm. - Làm từ bài tập 12 đến bài tập 19 (tr 11– Ôn tập Đại số 7) - Làm bài tập trong sách NCPT toán 7 5
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. I. Kiến thức cơ bản: 1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Luỹ thừa bậc n ủa một số hữu tỉ, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1): xn = x. x . x x ( x Q, n N, n > 1) n Quy ước: x1 = x; x0 = 1; (x 0) n a aan Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng (a, b Z , b 0) , ta có: = b bbn 2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: x xmnmn x. = + x xmnmn x: = − (x 0, mn ) a) Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ. b) Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia. 3. Luỹ thừa của luỹ thừa. n (xxmm) n = . Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ. 4. Luỹ thừa của môt tích – luỹ thừa của một thương. n n (xyxy ) = nn (xyxy::) = nn (y 0) Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa. Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa. II. Bài tập vận dụng: * Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên. PP giải: Cần nắm vững định nghĩa: xn = (x Q, n N, n > 1) Quy ước: x1 = x; x0 = 1; (x 0) Bài 1: Tính. 3 3 2 2 2 3 4 a) ; b) − ; c) −1; d) (−0,1;) 3 3 4 0 2 4 1 1 3 1 e) − f) 3 g) (2,5) h) −1 2 2 4 Hướng dẫn 6
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 3 2 28 28 3 49 4 a) = ; b) − = − ; c) −=1; d) (−=0 , 1) 0 ,0 0 0 1; 3 27 3 27 4 16 0 2 4 1 1 49 3 1 625 e) −=1 f) 3 = g) (2,5) =15,625 h) −=1 2 24 4 256 Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông 27 3 a) 1 6 2= b) − = − c) 0 ,0 0 0 1 (= 0 , 1 ) 343 7 Hướng dẫn 3 27 3 a) 1 6 2= 4 b) − = − c) 0,0001= (0,1)4 343 7 Bài 3: Điền số thích hợp vào ô vuông: 5 64 3 2 a) 243 = b) −= c) 0 ,2 5 = 343 Hướng dẫn 3 5 6 4 4 2 a) 243= 3 b) − = − c) 0 ,2 5 0= ,5 3 4 3 7 * Dạng 2: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số. PP giải: Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số. xm. x n= x m+ n xm: x n= x m− n (x 0, mn ) Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa n (xxmm) n = . Sử dụng tính chất: Với a 0, a 1, nếu am = an thì m = n Bài 1: Tính. 3 5 7 3 2 1 1 a) a .a b) 25 : 5 ; c) − . − 3 3 21 6 02 23 39 61 d) (−−2.2;) ( ) e) : f) 3:−−+ 2 7 49 72 Hướng dẫn a) a5.a7 = a12 b) 253 : 52 = 54; 4 11 2 3 5 c) . = −= d) (−2) .( − 2) =( − 2) ; 381 7
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 21 6 9 02 3 9 3 6 1 1 e) : = f) 3− − + : 2 = 2 7 49 7 7 2 8 Bài 2: Tính. n+1 5 2 14 − 2 (2 ) 8 7 a) (2 ) b) 12 c) n ( 1n ) 4 5 − 7 Hướng dẫn 2 1442 24(2 ) 82 18 a) (24256) == b) 1224==2 42 nn+1 555 −−− . 777 5 c) nn==− ;(1)n 55 7 −− 77 Bài 3: So sánh. a) 2225 và 3150 b) 291 và 535 c) 1020 và 910 1050 3050 8 12 11 d) (−−5 )và 3 ( ) e) 64 và 16 f) và 162 Hướng dẫn 75 75 a) Ta có: 2225 = (28375) = và 3150 = (39275) = Vì 875 290 = (232255555181823635) = == ( ) và 535 Vậy 291 > 535 c) Ta có: 1020 = 10010 > 910 Vậy 1020 > 910 1010 d) Ta có : −−=−=5=-5=-125303505 − ; 332431010 ( ) ( ) ( ) ( ) Vì -12510 > -24310 nên (−−5)30 > ( 3) 50 8 12 e) Ta có: 648 = (44324) = ; 1612 = (442) = 24 Vậy 648 = 1612 10 50 510 10 1 1 1 1 f) Ta có: ; == 16 2 2 32 10 10 10 50 11 11 Vì nên < 16 32 16 2 Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng an (a Q, n N). 8
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 2 321 53 1 a) 9.3 . .3 b) 4 . 2 : 2 . 25 2 112 c) 3 .2 . d) . .9 81 16 3 33 Hướng dẫn 331 7378 11 9 . 3 . . 9 = 3 2:2. = 2: = 2 = 4 = 4 3 22 22 11 c) = 3257 . 2 . 2 = d) = . . 3 3 4 = 32 332 * Dạng 3: Dạng toán tìm x. Bài 1: Tìm x, biết: 25 3 2 22 11 1 a) − .;x = − b) −=.;x c) x0−= 33 3 81 2 2 11 2 3 d) x += e) (x 2−= 1 ) f) (2x 1− 8 =) − 2 1 6 Hướng dẫn 25 22 a) −=− .x b) 33 5 2 3 33 2 2 2 11 x = − : − = − x =−= − :1 3 3 3 33 −8 =−x1 =x 27 c) d) 1 11 1 −=x0 x += x =− 2 24 4 1 11 3 =x x +=− x =− 2 24 4 e) f) (2x12−=) −3 3 x21−= x3= 2x− 1 = − 2 1 x21−= − x1= x =− 2 Bài 2: Tìm x, biết. 3 2 11 14 a) x −= b) x += 227 ; 2 25 Hướng dẫn 9
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 3 3 2 1 1 1 1 14 a) x− = x − = b) x += 2 27 2 3 2 25 11 1 2 1 x −= xx+ = = − 23 2 5 10 1 1 5 1 2 9 x = + = xx+ = − = − 3 2 6 2 5 10 Bài 3: Tìm x, biết. 3 57 11 44 a) x : − = − b) .x = 33 55 2 11 3 c) x += d) (3 x 1+ 2 = 7) − 5 2 5 Hướng dẫn a) x : b) 3 7 5 2 111 4 4 4 16 x = −−= . x:= = = 3381 5 5 5 25 d) c) (3x13+=−) 11 3x13+=− x += x0= 55 3x31=−− 2 3 x 4=− 11 x =− x + = − 5 4 55 x =− 3 Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 2.16 2n 4 b) 9.27 3n 243 . Hướng dẫn a) 2.16 25 2n > 22 2 < n 5 n = {3; 4; 5} b) 9.27 35 3n 35 n = 5. Bài 5: Chứng minh 8718 - 2 chi hết cho 14. Hướng dẫn Ta có: = 221 – 218 = 217 (24 – 2) = 217.14 14. Bài 6: Tìm n biết rằng: 81 64 a) = 3 b) =−8 3n (2)− n Hướng dẫn 81 34 a) =3 = 3 34n− = 3 4 − n = 1 n = 3. 33nn 10
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 6 64 (−2) 3 6− n 3 b) =− 8 =−( 2) −( 2) =−( 2) −= = 6 n 3 n 3. (− 2)n (−2)n III. HDHS học tập ở nhà: - Xem lại các bài tập đã làm. Chuyên đề: LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. I.Kiến thức cơ bản: - HS nhắc lại các kiến thức cơ bản về lũy thừa của một số hữu tỉ. II. Bài tập vận dụng: * Dạng 4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương. PP giải: Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương: n n (xyxy ) = nn (xyxy::) = nn (y 0) Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa n (xxmm) n = . Bài 1: Tính. 0 4 3 1 3 a) − b) − 2 c) (2,5) d) 253 : 52 e) 22.43 f) 4 3 5 1 55 5 3 4 4 3 2 1 2 2 1 1 1203 390 4 g) 103 h) − : 2 4 i) 9 2 k) l) m) 5 3 3 2 4 403 130 4 n) 273:93 p) 324 : 43; q) (0,25)4 . 1024 Hướng dẫn 0 44 3 1 7 74 a) −=1 b) −2 = − = 4 c) 4 3 3 3 (2,5)3 = 15,625 5 3 2 6 2 4 2 3 2 6 8 1 5 d) 25 : 5 = 5 : 5 =5 e) 2 .4 = 2 .2 = 2 f) =51 5 3 4 4 1 33 214 2 24 g) =10 2 h) −=:2 4 i) =92 5 33 3 11
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 2 7 3 3 4 1 1 1 120 120 3 390 4 k) = l) 3 == 3 m) 4 = 3 2 4 2 40 40 130 n) 273:93 = 39 : 36 =33 q) 324 : 43 = 220 : 26 = 214 q) (0,25)4 . 1024 =4 Bài 2: Tính. 7 2 4 1 7 90 790 a) − .3 ; b) (0,125)3.512 c) d) 3 152 794 Hướng dẫn 7 −177 . 3 1 7 ( ) ( ) −.3 = = − 1; 3 a) 7 b) (0,125) .512=1 3 (3) 2 4 90902 7907904 c) == 36 d) == 10000 15152 79794 Bài 3: Thực hiện tính. 222 a) −++−+−22123200 2 b) 352223 −−+− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 4 221 (−2) 3 11(−2) 2 d) 28.2:2.42+−−+−( ) ( ) e) 232.42:.8+−+− ( ) 2 22 Hướng dẫn a) b) =(8)411−+++ = 925822−+− 2 = -2 ( ) = 81 – 625 + 64 = -480 d) e) 1 = 16 + 8 - .4 + 4 = 8 + 3 - .4 + 4.2.8 4 = 28 – 1 = 27 = 75 – 1 = 74 Bài 4: So sánh 9920 và 999910. Hướng dẫn Cách 1: Ta có: 999910 = (99.101)10 = 9910.10110 > 9910.9910 = 9920. Do đó 9920 990010 = (99.100)10 = 9910.10010 > 9910.9910 = 9920. Vậy: 9920 < 999910 Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau. a) 128 . 912 = 1816 b) 7520 = 4510 . 530. Hướng dẫn 8 12 3 8 2 12 16 8 24 16 32 a) 12 . 9 = (2 .3) .(3 ) = 2 3 .3 = 2 .3 (1) 1816 = (2.32)16 = 216.332 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 128 . 912 = 1818 12
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 b) 7520 = (3.52)20 = 320 .540; (1) 4510 . 530 = (5.32)10 .530 = 320 . 510.530 = 320 .540 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 7520 = 4510 . 530 Bài 6: Chứng minh rằng 106 – 57 chia hết cho 59. Hướng dẫn 106 – 57 = (2 .5)6 - 57 = 26. 56 - 57 = 56(26 – 5) = 56. 59 59. Bài 7: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ. 321 3 1 a) 25 .5 . .5 b) 4. 32: 2 . 625 16 2 2 25 3 112 c) 5 .3 . d) . .49 5 77 Hướng dẫn 7 1 3 7 1 8 a) = 5 . 4 = 5 ; b) = 2 : = 2 5 2 32 1 c) = 5257 . 3 . 3 = d) = .7 74 = 52 73 * Dạng 5: Tìm số mũ của lũy thừa. PP giải: Khi giải dạng toán này, ta có thể sử dụng tính chất được thừa nhận sau đây. Với a 0, a 1, nếu a mn = a thì m = n. Bài 8: Tìm số nguyên n, biết rằng. 25 a) 27n : 3n = 9; b) = 5 5n 81 1 c) =−243 d) .24.29.2nn5+= (−3)n 2 Hướng dẫn a) 27n : 3n = 9 b) 33n : 3n = 32 2n 2 3 = 3 2 5 2n = 2 n = 5 n = 1 5 52-n = 5 2-n = 1 n = 1 c) d) 2 4 n 13 2 5 n 2 5 (− 3) 5 2 .+ 4 = 3 .2 2 . = 3 .2 n =−( 3) 22 (−3) 2n−− 1 .3 2= 3 2 .2 5 2 n 1 = 2 5 4-n = 5 n− 1 = 5 n = 6 13
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 n = -1 Bài 9: Tìm số nguyên m; n, biết rằng. m n 11 3 4 3 7 a) = b) = 2 3 2 1 2 5 5 Hướng dẫn a) =m5 b) =n3 Bài 10: Tìm số nguyên n, biết rằng . 16 ( 3− ) n a) = 2 b) =−27 c) 8n : 2n = 4. 2n 81 Hướng dẫn a) n = 3 b) n = 7 c) 8n : 2n = 4 n = 1 Bài 11: Tìm số nguyên n, biết rằng. n n n 11 −−512 8 −3 81 a) = b) = c) = 3 81 343 7 4 256 Hướng dẫn n4 11 a) = = n4 33 3n −−88 b) = = n3 77 n4 −−33 c) = = n4 44 * Dạng 6: Tìm cơ số của lũy thừa. PP giải: - Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ nguyên dương: xn = x. x . x x (x Q, n N, n > 1) n - Sử dụng tính chất: Nếu a n = bn thì a = b nếu n lẻ; a = b nếu n chẵn. (n N, n 1) Bài 12: Tìm x biết. a) x3 = 343 b) (x – 2,5)4 = (x – 2,5)2 Hướng dẫn a) x3 = 343 Ta có : 343 = 73 . Do đó x3 = 73 nên x = 7. b) (x – 2,5)4 = (x – 2,5)2 Nếu x = 2,5 ta có 04 = 02 (hiển nhiên đúng) Nếu x 2,5, chia cả hai vế cho (x – 2,5)2 0 ta được (x – 2,5)2 = 1 14
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x2,51x3,5−== x2,51x1,5−=−= Vậy x = {1,5; 2,5; 3,5} x8 Bài 13: Tìm x biết: = 27 243 Hướng dẫn x8 Ta có 243 = 35, 27 = 33, do đó = ==3x3.3338538 35 Vậy x = {-3; 3} * Dạng 7: Tìm giái trị của biểu thức. PP giải: - Cần thực hiện đúng thứ tự của các phép tính: Lũy thừa →Nhân Chia Cộng Trừ. Nếu có dấu ngoặc cần làm theo thứ tự: ( ) [] {}. - Áp dụng các qui tắc của phép tính và các tính chất của các phép tính đó. Bài 14: Tính giá trị biểu thức. 5 4 51 . 05 1 0 (0 ,8) 21 .9 5 4 a) b) c) d) 7510 (0 ,4 )6 633 .8 841010+ 84411+ Hướng dẫn 1010 10 45.545.5 10 a) 10 == 3 b) 7575 5 5 (0,8) 10,85 54 6 === 25.280 (0,4) 0,40,42 2154158158 .92 .32 .3 c) === 235 .3 d) 633339 .82 .3( .22.3.2)3 9 20 10 810++ 4 10 2 30 2 20 2( 2+ 1) = = = 28 84++ 4 11 2 12 2 22 212( 2 10 + 1) Bài 15: Tính. a) (2-1 + 3-1):( 2-1 - 3-1) +( 2-1.20).23 −1 0 2 1 3 1 2 b) − − − + :2 3 5 2 1 Biết rằng với x 0 và n N+ thì x-n = x n Hướng dẫn 15
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 -1 -1 -1 -1 -1 0 3 11 11 1 3 5 a) (2 + 3 ):( 2 - 3 ) +( 2 .2 ).2 = + : − + .1 .2 = .6 + 4 = 9 23 23 2 6 −1 0 2 1 3 1 2 1 1 1 15 b) − − − + :2 = 1: -1 + :4= - 3 – 1 + = -4 + = -3 3 5 2 3 4 16 16 III. HDHS học tập ở nhà: - Xem lại các bài tập đã làm. - Làm bài tập 5.1 đến 5.31 – Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 (44;45;46) DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n nn( 1 )+ c) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) nn(+ 3) g) 2 (nn++ 1)( 2) h) 2 i) nnn(1)(2)++ 3 Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 16
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 2 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 17
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) 18
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(12+22+32+ +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: 19
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề:TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số = (hoặc a : b = c : d). b d Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu thì ad = bc Tính chất 2: Nếu và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a b d c d b , = , = , = c d b a c a Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a + c a − c -Tính chất: Từ suy ra: = = = b d b + d b − d -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e a + b + c a − b + c = = suy ra: = = = = = b d f b d f b + d + f b − d + f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). a b c * Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 20
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. x y Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết = và x + y = 20 2 3 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt = = k , suy ra: x = 2k , y = 3k 2 3 Theo giả thiết: x + y = 20 2k + 3k = 20 5k = 20 k = 4 Do đó: x = 2.4 = 8 y = 3.4 = 12 KL: x = 8 , y = 12 Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x + y 20 = = = = 4 2 3 2 + 3 5 x Do đó: = 4 x = 8 2 y = 4 y = 12 3 KL: Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y Từ giả thiết = x = 2 3 3 2y mà x + y = 20 + y = 20 5y = 60 y = 12 3 2.12 Do đó: x = = 8 3 KL: x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: = , = và 2x − 3y + z = 6 3 4 3 5 Giải: x y x y Từ giả thiết: = = (1) 3 4 9 12 21
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 y z y z = = (2) 3 5 12 20 x y z Từ (1) và (2) suy ra: = = (*) 9 12 20 x y z 2x 3y z 2x − 3y + z 6 Ta có: = = = = = = = = 3 9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2 x Do đó: = 3 x = 27 9 y = 3 y = 36 12 z = 3 z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 x y z Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt = = = k ( sau đó giải như cách 1 của 9 12 20 VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z = y = 3 5 5 3z 3. x y 3y 9z = x = = 5 = 3 4 4 4 20 9z 3z z mà 2x − 3y + z = 6 2. − 3. + z = 6 = 60 z = 60 20 5 10 3.60 9.60 Suy ra: y = = 36 , x = = 27 5 20 KL: x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: = và x.y = 40 2 5 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) x y Đặt = = k , suy ra x = 2k , y = 5k 2 5 22
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Theo giả thiết: x.y = 40 2k.5k = 40 10k 2 = 40 k 2 = 4 k = 2 + Với k = 2 ta có: x = 2.2 = 4 y = 5.2 = 10 + Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10 Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0 x y x 2 xy 40 Nhân cả hai vế của = với x ta được: = = = 8 2 5 2 5 5 2 x = 16 x = 4 4 y 4.5 + Với x = 4 ta có = y = = 10 2 5 2 − 4 y − 4.5 + Với x = −4 ta có = y = = −10 2 5 2 KL: hoặc Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) = = và 5x + y − 2z = 28 b) = , = và 2x + 3y − z = 124 10 6 21 3 4 5 7 2x 3y 4z x y c) = = và x + y + z = 49 d) = và xy = 54 3 4 5 2 3 x y x y z e) = và x 2 − y 2 = 4 f) = = = x + y + z 5 3 y + z +1 z + x +1 x + y − 2 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) , và c) và d) và 23
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y x y z e) = và x 2 − y 2 = 4 f) = = = x + y + z 5 3 y + z +1 z + x +1 x + y − 2 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: x −1 y − 2 z − 3 a) 3x = 2y , 7y = 5z và x − y + z = 32 b) = = và 2x + 3y − z = 50 2 3 4 x y z c) 2x = 3y = 5z và x + y − z = 95 d) = = và xy z = 810 2 3 5 y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1 e) = = = f) 10x = 6y và 2x 2 − y 2 = −28 x y z x + y + z Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) và c) và d) và e) f) và Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: a b c d Bài 7: Cho a +b + c + d 0 và = = = b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c a + b b + c c + d d + a Tìm giá trị của: A = + + + c + d a + d a + b b + c a b c d a+ b + c + d 1 Giải: = = = = = ( Vì ) bcdacdabdabc++ ++ ++ ++3( abcd +++ ) 3 =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: 24
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x7 xy a) = và 5x – 2y = 87; b) = và 2x – y = 34; y3 19 21 x3 y 3 z 3 2x+ 1 3y − 2 2x + 3y1 − b) == và x2 + y2 + z2 = 14. c) == 8 64 216 5 7 6x Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. abc Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: ,,. Biết a+b+c 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ bccaab+++ số đó ? Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: ab(ab − 2cd )+ c 2d 2 .ab(ab − 2)+ 2(ab +1) = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. 22 Giải: ab( abcdc−+−++=2.22(1)0 dab) abab ( ) => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C Để chứng minh tỉ lệ thức: = ta thường dùng một số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 25
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A và C có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: a na +) = (n 0) b nb n n a c a c +) = = b d b d Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a c a + b c + d Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức = .Chứng minh rằng: = b d a − b c − d Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a + b)(c − d) = ac − ad + bc − bd (1) (a − b)(c + d) = ac + ad − bc − bd (2) a c Từ giả thiết: = ad = bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d) = (a − b)(c + d) (đpcm) Cách 2: (PP2) a c Đặt = = k , suy ra a = bk , c = dk b d a + b kb+ b b(k +1) k +1 Ta có: = = = (1) a − b kb− b b(k −1) k −1 c + d kd + d d(k +1) k +1 = = = (2) c − d kd − d d(k −1) k −1 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) 26
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Cách 3: (PP3) a c a b Từ giả thiết: = = b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a + b a − b = = = c d c + d c − d a + b c + d = (đpcm) a − b c − d Hỏi: Đảo lại có đúng không ? a c ab a 2 − b 2 Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức = . Chứng minh rằng: = b d cd c 2 − d 2 Giải: a c Cách 1: Từ giả thiết: = ad = bc (1) b d Ta có: ab(c 2 − d 2 )= abc 2 − abd 2 = acbc − adbd (2) cd(a 2 − b2 )= a 2cd − b2cd = acad − bc.bd (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ab(c 2 − d 2 ) = cd(a 2 − b2 ) (đpcm) a c Cách 2: Đặt = = k , suy ra a = bk , c = dk b d ab bk.b kb2 b 2 Ta có: = = = (1) cd dk.d kd2 d 2 a 2 − b2 (bk)2 − b2 b2k 2 − b2 b2 (k 2 −1) b2 = = = = (2) c 2 − d 2 (dk)2 − d 2 d 2k 2 − d 2 d 2 (k 2 −1) d 2 27
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 ab a 2 − b 2 Từ (1) và (2) suy ra: = (đpcm) cd c 2 − d 2 a c a b ab a 2 b 2 a 2 − b 2 Cách 3: Từ giả thiết: = = = = = b d c d cb c 2 d 2 c 2 − d 2 (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG: a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức: = . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d các tỉ số đều có nghĩa). 2 3a + 5b 3c + 5d a + b a 2 + b 2 1) = 2) = 3a − 5b 3c − 5d c + d c 2 + d 2 a − b c − d ab (a − b)2 3) = 4) = a + b c + d cd (c − d )2 2a + 5b 2c + 5d 2005a − 2006b 2005c − 2006d 5) = 6) = 3a − 4b 3c − 4d 2006c + 2007d 2006a + 2007b a c 7a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd 7) = 8) = a + b c + d 7a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd Bài 2: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). a) b) c) d) e) 2008a−− 2009 b 2008 c 2009 d f) = 2009c++ 2010 d 2009 a 2010 b 28
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a c 7a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd 7a22++ 3ab 7c 3cd g) = h) = i) = a + b c + d 7a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd 11a2−− 8b 2 11c 2 8d 2 3 a b c a + b + c a Bài 3: Cho = = . Chứng minh rằng: = b c d b + c + d d Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: a b c Bài 5: Cho = = 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a)2 aaaa Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 12=== 32008 aaaa2342009 2008 a aaa a++++ CMR: Ta có đẳng thức: 1 = 1232008 aaaa a20092342009 ++++ a1 a2 a8 a9 Bài 7: Cho = = = = và a1 + a2 + + a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 = a2 = = a9 Bài 8: Cho Chứng minh rằng: a b a 2 + b 2 a Bài 9: Chứng minh rằng nếu : = thì = b d b 2 + d 2 d Bài 10: Cho và Chứng minh rằng: 29
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a + b c + a Bài 11: CMR: Nếu a 2 = bc thì = . Đảo lại có đúng không? a − b c − a a b a 2 + b 2 a Bài 12: Chứng minh rằng nếu : = thì = b d b 2 + d 2 d a + b c + d a c Bài 13: Cho = . CMR: = a − b c − d b d a b22 a+ b ac Bài 14. Cho tỉ lệ thức : = . Chứng minh rằng: = . c d22 c+ d bd a 2 + b2 ab 2ab a 2 + 2ab + b2 (a + b)2 ab (a + b)(a + b) a.b Giải. Ta có : = = = = = = ; c 2 + d 2 cd 2cd c 2 + 2cd + d 2 (c + d )2 cd (c + d )(c + d ) c.d c(a + b) b(c + d) ca + cb bc + bd ca − bd a c = = = = =1 ca + cb = ac + ad cb = ad = a(c + d) d(a + b) ac + ad da + db ca − bd b d u + 2 v + 3 u v Bài 15: Chứng minh rằng nếu: = thì = u − 2 v − 3 2 3 Bài 16: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không? Bài 17: CMR nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) y − z z − x x − y trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : = = a(b − c) b(c − a) c(a − b) Bài 18: Cho . CMR: Bài 19: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb 0 và zc +td 0 xa+ yb xc+ yd Chứng minh rằng: = za + tb zc + td Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thì Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 = ac ; c 2 = bd 30
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 và b3 + c3 + d 3 0 a 3 + b3 + c3 a Chứng minh rằng: = b3 + c3 + d 3 d Bài 22: CMR nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì y − z z − x x − y : = = a(b − c) b(c − a) c(a − b) ax 2 + bx + c a b c Bài 23: Cho P = 2 . Chứng minh rằng nếu = = thì giá trị của P a1 x + b1 x + c1 a1 b1 c1 không phụ thuộc vào x. '' a b b c ’ ’ ’ Bài 24: Cho biết : + =1; + = 1 . CMR: abc + a b c = 0. a'' b b c a c Bài 25: Cho = . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb 0 và zc +td 0 b d xa+ yb xc+ yd Chứng minh rằng: = za + tb zc + td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 = ac ; c 2 = bd và Chứng minh rằng: Bài 27: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. 2a++ 13b 2c 13d ac Bài 28: Cho tỉ lệ thức: = ; Chứng minh rằng: = . 3a−− 7b 3c 7d bd bz− cy cx − az ay − bx x y z Bài 29: Cho dãy tỉ số : ==; CMR: ==. a b c a b c 31
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN: *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực) * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu a 0 a = a Nếu a 0 a = −a Nếu x-a 0=> |x-a| = x-a Nếu x-a 0=> |x-a| = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm TQ: a 0 với mọi a R Cụ thể: |a| =0 a=0 |a| ≠ 0 a ≠ 0 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a = b TQ: a = b a = −b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ: − a a a và − a = a a 0;a = a a 0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu a b 0 a b * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn TQ: Nếu 0 a b a b * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ: a.b = a.b * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. a a TQ: = b b * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. TQ: a 2 = a 2 32
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. TQ: a + b a + b và a + b = a + b a.b 0 II BÀI TẬP VẬN DỤNG : I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: - Nếu k 0 thì ta có: A(x) = k A(x) = −k Bài 1.1: Tìm x, biết: 1 5 1 1 1 1 3 7 a) 2x − 5 = 4 b) − − 2x = c) − x + = d) − 2x +1 = 3 4 4 2 5 3 4 8 Giải a1) |x| = 4 x= 4 a2) 2x-5 = 4 * 2x-5 = 4 2x = 9 x = 4,5 * 2x-5 = - 4 2x =5-4 2x =1 x =0,5 Tóm lại: x = 4,5; x =0,5 b) 5 1 1 -2x = - 4 3 4 Bài 1.2: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 2x − 3 = b) 7,5 − 35 − 2x = −4,5 c) x + − − 3,75 = − − 2,15 2 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: x 2 1 1 1 a) 23x −1 +1 = 5 b) −1 = 3 c) − x + + = 3,5 d) x − = 2 2 5 2 3 5 Bài 1.4: Tìm x, biết: 33
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 3 3 1 − 5 3 4 3 7 3 1 5 5 a) x + − = 5% b) 2 − x − = c) + x − = d) 4,5 − x + = 4 4 2 4 4 2 5 4 4 4 2 3 6 Bài 1.5: Tìm x, biết: 9 1 11 3 1 7 15 3 1 a) 6,5 − : x + = 2 b) + : 4x − = c) − 2,5 : x + = 3 d) 4 3 4 2 5 2 4 4 2 21 x 2 + 3 : − = 6 5 4 3 2. Dạng 2: A ( x ) = B ( x ) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: a = b A(x) = B(x) Vận dụng tính chất: a = b ta có: A(x) = B(x) a = −b A(x) = −B(x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) 5x − 4 = x + 2 b) 2x − 3 − 3x + 2 = 0 c) 2 + 3x = 4x − 3 d) 7x +1 − 5x + 6 = 0 a) * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 1 x= 3 1 Vậy x= 1,5; x= 3 Bài 2.2: Tìm x, biết: 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 a) x + = 4x −1 b) x − − x + = 0 c) x + = x − d) x + − x + 5 = 0 2 2 4 2 8 5 5 3 3 4 8 6 2 3. Dạng 3: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: A(x) = B(x) (1) Điều kiện: B(x) 0 (*) (1) Trở thành ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a 0 a = a 34
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Nếu a 0 a = −a Ta giải như sau: A(x) = B(x) (1) • Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) • Nếu A (x ) 0 x > 1 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây: x 1 3 35
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x – 1 - 0 + + x – 3 - - 0 + Xét khoảng x 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 - 4 = -1 ( Vô lí) Kết luận: Vậy x = . VD2 : Tìm x |x+1| + |x-1| =0 Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu x -1 1 x+1 - 0 + + x-1 - - 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x 1 Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 43x −1 + x − 2 x − 5 + 7 x −3 =12 b) 3 x + 4 − 2x +1 −5 x + 3 + x −9 = 5 1 1 1 1 1 1 c) 2 − x + x − + 8 = 1,2 d) 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x 5 5 5 2 2 5 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) 2x −6 + x +3 = 8 c) x + 5 + x − 3 = 9 d) x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2 e) x +1 + x − 2 + x + 3 = 6 f) 2 x + 2 + 4 − x =11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x − 2 + x −3 + 2x −8 = 9 b) 3x x +1 − 2x x + 2 =12 36
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c) x −1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4 d) x + 5 − 1− 2x = x e) x − 2x + 3 = x −1 f) x + 1− x = x + x − 3 Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x − 2 + x − 5 = 3 b) x − 3 + x + 5 = 8 c) 2x −1 + 2x − 5 = 4 d) x − 3 + 3x + 4 = 2x +1 5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1) Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x +1 + x + 2 + x + 3 = 4x b) x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x −1 3 1 c) x + 2 + x + + x + = 4x d) x +1,1 + x +1,2 + x +1,3 + x +1,4 = 5x 5 2 Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 a) x + + x + + x + + + x + = 101x 101 101 101 101 1 1 1 1 b) x + + x + + x + + + x + = 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 c) x + + x + + x + + + x + = 50x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 d) x + + x + + x + + + x + = 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: 1 4 2 1 2 3 a) 2x −1 + = b) x + 2 x − = x + 2 c) x 2 x + = x 2 2 5 2 4 Bài 6.2: Tìm x, biết: 1 1 1 3 2 2 3 a) 2x −1 − = b) x +1 − = c) x x + = x 2 5 2 4 5 4 Bài 6.3: Tìm x, biết: 2 3 1 3 3 1 3 3 a) x x − = x b) x + 2x − = 2x − c) x − 2x − = 2x − 4 2 4 4 2 4 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 2x − 3 − x +1 = 4x −1 b) x −1 −1 = 2 c) 3x +1 − 5 = 2 7. Dạng 7: A + B = 0 37
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. * Cách giải chung: A + B = 0 A 0 B1: đánh giá: A + B 0 B 0 A = 0 B2: Khẳng định: B = 0 Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: 9 a) 3x − 4 + 3y + 5 = 0 b) x − y + y + = 0 c) 3− 2x + 4y + 5 = 0 25 Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 2 1 3 11 23 a) 5 − x + y − 3 = 0 b) − + x + 1,5 − + y = 0 c) 4 7 3 2 4 17 13 x − 2007 + y − 2008 = 0 * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: (1) (2) Từ (1) và (2) Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) 5x +1 + 6y −8 0 b) x + 2y + 4y − 3 0 c) x − y + 2 + 2y +1 0 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12x + 8 + 11y − 5 0 b) 3x + 2y + 4y −1 0 c) x + y − 7 + xy−10 0 * Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 a) x − y − 2 + y + 3 = 0 b) x − 3y + y + 4 = 0 c) (x + y)2006 + 2007 y −1 = 0 d) x − y − 5 + 2007(y − 3)2008 = 0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) (x −1)2 + (y + 3)2 = 0 b) 2(x − 5)4 + 5 2y − 7 5 = 0 38
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2000 2004 1 1 c) 3(x − 2y) + 4 y + = 0 d) x + 3y −1 + 2y − = 0 2 2 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: 7 5 2 a) x − 2007 + y − 2008 0 b) 3 x − y +10 y + 0 3 2006 1 3 1 2007 4 6 2008 2007 c) x − + y + 0 d) 2007 2x − y + 2008 y − 4 0 2 4 2 2008 5 25 8. Dạng 8: A + B = A+ B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b a + b Từ đó ta có: a + b = a + b a.b 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x + 5 + 3− x = 8 b) x − 2 + x − 5 = 3 c) 3x −5 + 3x +1 = 6 d) 2 x −3 + 2x + 5 =11 e) x +1 + 2x − 3 = 3x − 2 f) x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2 Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x − 4 + x − 6 = 2 b) x +1 + x + 5 = 4 c) 3x + 7 + 32 − x =13 d) 5x +1 + 3− 2x = 4 + 3x e) x + 2 + 3x −1 + x −1 = 3 f) x − 2 + x − 7 = 4 1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết: a) 2x −6 + x +3 = 8 Ta lập bảng xét dấu x -3 3 x+3 - 0 + + 2x-6 - - 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x 3 2x-6 + x + 3 = 8 3 x = 11 39
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 11 x = ( thỏa mãn x >3) 3 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2x −1 + = 2 5 1 4 * |2x-1| + = 2 5 4 1 |2x-1| = - 5 2 3 |2x-1| = 10 3 3 13 2x-1= 2x = + 1 x= 10 10 20 3 3 7 2x-1= - 2x = - + 1 x= 10 10 20 1 4 * |2x-1| + =- 2 5 4 1 |2x-1| =- - (không thỏa mãn) 5 2 3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x − y − 2 + y + 3 = 0 x-y-2 =0 x=-1 y+3 =0 y= -3 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn : a) (x −1)2 + (y + 3)2 = 0 Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 0 Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x + 5 + 3− x = 8 40
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A + B = m với m 0 * Cách giải: A = 0 * Nếu m = 0 thì ta có A + B = 0 B = 0 * Nếu m > 0 ta giải như sau: (1) Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − 2007 + x − 2008 = 0 b) x − y − 2 + y + 3 = 0 c) (x + y)2 + 2 y −1 = 0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − 3y 5 + y + 4 = 0 b) x − y − 5 + (y − 3)4 = 0 c) x + 3y −1 + 3 y + 2 = 0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x + 4 + y − 2 = 3 b) 2x +1 + y −1 = 4 c) 3x + y + 5 = 5 d) 5x + 2y + 3 = 7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 x − 5 + y + 4 = 5 b) x + 6 + 42y −1 =12 c) 23x + y + 3 =10 d) 34x + y + 3 = 21 Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) y 2 = 3− 2x − 3 b) y 2 = 5 − x −1 c) 2y 2 = 3− x + 4 d) 3y 2 =12 − x − 2 2. Dạng 2: A + B m với m > 0. * Cách giải: Đánh giá A + B m (1) A 0 A + B 0 (2) B 0 Từ (1) và (2) 0 A + B m từ đó giải bài toán A + B = k như dạng 1 với 0 k m Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x + y 3 b) x + 5 + y − 2 4 c) 2x +1 + y − 4 3 d) 3x + y + 5 4 Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5 x +1 + y − 2 7 b) 42x + 5 + y + 3 5 c) 3 x + 5 + 2 y −1 3 d) 32x +1 + 42y −1 7 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b a + b xét khoảng giá trị của ẩn số. Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x −1 + 4 − x = 3 b) x + 2 + x − 3 = 5 c) x +1 + x − 6 = 7 d) 2x + 5 + 2x − 3 = 8 41
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và x + 2 + y = 6 b) x +y = 4 và 2x +1 + y − x = 5 c) x –y = 3 và x + y = 3 d) x – 2y = 5 và x + 2y −1 = 6 Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và x +1 + y − 2 = 4 b) x – y = 3 và x − 6 + y −1 = 4 c) x – y = 2 và 2x +1 + 2y +1 = 4 d) 2x + y = 3 và 2x + 3 + y + 2 = 8 4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích: * Cách giải : A(x).B(x) = A(y) Đánh giá: A(y) 0 A(x).B(x) 0 n x m tìm được giá trị của x. Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) (x + 2)(x − 3) 0 b) (2x −1)(2x −5) 0 c) (3− 2x)(x + 2) 0 d) (3x +1)(5 − 2x) 0 Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) (2 − x)(x +1) = y +1 b) (x + 3)(1− x) = y c) (x − 2)(5 − x) = 2y +1 + 2 Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) (x +1)(3− x) = 2 y +1 b) (x − 2)(5 − x)− y +1 =1 c) (x − 3)(x − 5)+ y − 2 = 0 5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A m (1) Đánh giá: B m (2) A = m Từ (1) và (2) ta có: A = B B = m Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 a) x + 2 + x −1 = 3 − (y + 2)2 b) x − 5 + 1− x = y +1 + 3 10 6 c) y + 3 + 5 = d) x −1 + 3 − x = (2x − 6)2 + 2 y + 3 + 3 Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 8 16 a) 2x + 3 + 2x −1 = b) x + 3 + x −1 = 2(y − 5)2 + 2 y − 2 + y + 2 12 10 c) 3x +1 + 3x − 5 = d) x − 2y −1 + 5 = (y + 3)2 + 2 y − 4 + 2 Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 20 a) (x + y − 2)2 + 7 = b) (x + 2)2 + 4 = y −1 + y − 3 3 y + 2 + 5 6 30 c) 2 x − 2007 + 3 = d) x + y + 2 + 5 = y − 2008 + 2 3 y + 5 + 6 42
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: • Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1 a) A = x − 3,5 + 4,1− x b) B = − x + 3,5 + x − 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x 0 5 5 5 5 5 2 2 ===&=&=&=== IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a 2 a) M = a + 2ab – b với a =1,5;b = −0,75 b) N = − với 2 b Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: − 3 1 a) A = 2x + 2xy− y với x = 2,5; y = b) B = 3a −3ab −b với a = ; b = 0,25 4 3 5a 3 1 c) C = − với d) D = 3x 2 − 2x +1 với x = 3 b 2 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức: − 2 1 a) A = 6x3 − 3x2 + 2 x + 4 với x = b) B = 2 x − 3 y với x = ; y = −3 3 2 5x 2 − 7x +1 c) C = 2 x − 2 − 31− x với x = 4 d) D = với 3x −1 V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức: 43
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3 x + 2 2 x + 3 a) A = 0,5 − x −3,5 b) B = −1,4 − x − 2 c) C = d) D = 4 x − 5 3 x −1 e) E = 5,5 − 2x −1,5 f) F = −10,2 − 3x −14 g) G = 4 − 5x − 2 − 3y +12 5,8 h) H = i) I = − 2,5 − x − 5,8 k) K =10 − 4 x − 2 2,5 − x + 5,8 1 12 l) L = 5 − 2x −1 m) M = n) N = 2 + x − 2 + 3 3 x + 5 + 4 Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A =1,7 + 3,4 − x b) B = x + 2,8 − 3,5 c) C = 3,7 + 4,3− x d) D = 3x + 8,4 −14,2 e) E = 4x − 3 + 5y + 7,5 +17,5 f) F = 2,5 − x + 5,8 2 3 g) G = 4,9 + x − 2,8 h) H = x − + i) I =1,5 + 1,9 − x 5 7 k) K = 23x −1 − 4 l) L = 23x − 2 +1 m) M = 51− 4x −1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 −1 21 4 20 a) A = 5 + b) B = + c) C = + 43x + 7 + 3 3 815x − 21 + 7 5 3x + 5 + 4y + 5 + 8 24 2 21 d) D = −6 + e) E = + 2 x − 2y + 32x +1 + 6 3 (x + 3y)2 + 5 x + 5 +14 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 27x + 5 +11 2y + 7 +13 15 x +1 + 32 a) A = b) B = c) C = 7x + 5 + 4 2 2y + 7 + 6 6 x +1 + 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: − 8 6 14 15 28 a) A = 5 + b) B = − c) C = − 45x + 7 + 24 5 56y − 8 + 35 12 3 x − 3y + 2x +1 + 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 214x + 6 + 33 6 y + 5 +14 −15 x + 7 − 68 a) A = b) B = c) C = 34x + 6 + 5 2 y + 5 +14 3 x + 7 +12 2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 5 + 2 − x b) B = 2x −1 + 2x + 6 c) C = 3x + 5 + 8 − 3x d) D = 4x + 3 + 4x − 5 e) E = 5x − 6 + 3+ 5x f) F = 2x + 7 + 5 − 2x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 2 x − 3 + 2x + 5 b) B = 3 x −1 + 4 − 3x c) C = 4 x + 5 + 4x −1 44
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = − x − 5 + x + 4 b) B = − 2x + 3 + 2x + 4 c) C = −3x −1 + 7 − 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = −2 x − 5 + 2x + 6 b) B = −3 x − 4 + 8 − 3x c) C = −55 − x + 5x + 7 Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x +1 + x − 5 b) B = x − 2 + x − 6 + 5 c) C = 2x − 4 + 2x +1 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b a + b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 2 + x − 3 b) B = 2x − 4 + 2x + 5 c) C = 3 x − 2 + 3x +1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 5 + x +1 + 4 b) B = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 c) C = 4 x + 3 + 4x − 5 +12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 3 + 2x −5 + x − 7 b) B = x +1 + 3x − 4 + x −1 + 5 c) C = x + 2 + 42x −5 + x −3 d) D = x + 3 + 56x +1 + x −1 + 3 Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x +1 + y − 2 Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: B = x − 6 + y +1 Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 2x +1 + 2y +1 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 2x + 3 + y + 2 + 2 CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Số thập phân hữu hạn- Số TP vô hạn tuần hoàn: - Một P/S TG được viết dưới dạng STPHH nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 - Một PSTG nếu có mẫu có 1 ước nguyên tố khác 2, và 5 thì được viết dưới dạng STPVHTH 45
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 - Tập hợp STPHH, STPVHTH là tập số hữu tỷ 2. Khái niệm căn bậc hai: - Căn bậc hai của số không âm a là các số x sao cho x2 = a - Một số dương a có 2 căn bậc hai là a và - a 3. Số thực: Tập hợp số vô tỷ và hữu tỷ gọi là tập số thực II. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Dạng 1: Viết số thập phân VHTH dưới dạng phân số tối giản: Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12,(1) − 2,3(6): 4,(21) 1 c) 0,(3) + 3 − 0,4(2) 3 116 Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số dưới dạng số 99 thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị (11,81+ 8,19).2,25 (4,6 + 5 : 6,25).4 a) A = b) B = 6,75 4.0,125 + 2,31 Bài toán 6: Rút gọn biểu thức 0,5 + 0,(3) − 0,1(6) M = 2,5 +1,(6) − 0,8(3) Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết 3 0,(3) + 0,(384615) + x 0,1(6) + 0,(3) 50 a) .x = 0,(2) b) 13 = 0,(3) +1,1(6) 0,0(3) 85 c) 0,(37) + 0,(62)x = 10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9: m3 + 3m2 + 2m + 5 Cho phân số A = ;(m N) m(m +1)(m + 2) + 6 a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? 46
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 10: So sánh các số sau 1 9 4 a) 0,5 100 − và 1 − : 5 b) 25 + 9 và 25 + 9 25 9 16 c) CMR: với a, b dương thì a + b a + b Bài toán 11: Tìm x biết 2 a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; (2 − 3) b) (2x − 3)2 = 3 − 2x c) (x −1)2 + (2x −1)2 = 0 Bài toán 12: Tìm x biết 9 a) x − 2 x = 0 b) x = x c) (x −1)2 = 16 x +1 16 25 Bài toán 13: Cho A = . CMR với x = và x = thì A có giá trị là một số x −1 9 9 nguyên Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên 7 3 2 a) A = b) B = c) C= x x −1 x − 3 x +1 Bài toán 15: Cho A = Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x − 3 Bài toán 16: thực hiện phép tính 2 2 2 2 1 ( 5) 2 (2 2) (2 2) : 2,4 5,25 : ( 7 ) : 2 : : 2 : 7 7 81 Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý. 1 1 1 1− + − 2 49 49 (7 7) A = 2 64 4 2 4 − + − 2 7 7 343 Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý. 2 5 5 25 ( 5) M = 1− − 2 − − 196 (2 21) 204 374 Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức 2 2 (x − 2) + (y + 2) + x + y + z = 0 Bài toán 20: thực hiện phép tính 2 1 2 49 1 6 ( 7) 1704 M = 18 : 225 + 8 . : 12 + 8 − : 3 3 4 3 7 2 445 (3 2) 47
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT, DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp) Bài 1 : Tính tổng: 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 - 2008 Hướng dẫn: Bài 2: Cho A =1− 2 +3− 4 + +99 −100. a) Tính A. b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? Hướng dẫn: Bài 3: Cho A =1−7 +13 −19 + 25 −31+ a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? Hướng dẫn: Bài 4: Cho A =1−7 +13 −19 + 25 −31+ a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: (x + 2) + (x + 7) + (x +12) + + (x + 42) + (x + 47) = 655 Hướng dẫn: Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 Hướng dẫn: 48
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 7: Tính tổng: S = 9.11+99.101+999.1001+9999.10001+99999.100001 Hướng dẫn: Bài 8: Cho A = 3+ 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Hướng dẫn: Bài 9: Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32004 a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng A130 . c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ? Hướng dẫn: Bài 10: a) Cho A = 1− 3 + 32 − 33 + − 32003 + 32004 Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3. b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A = 4 + 23 + 24 + 25 + + 22003 + 22004 Hướng dẫn: Bài 11: a) Cho A = 2 + 22 + 23 + + 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15. b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn: Bài 12: Cho A = 2 + 22 + 23 + +299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31 Hướng dẫn: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S 126 b, Tìm chữ số tận cùng của S Hướng dẫn: Bài 14: Cho A =1.2.3 29.30 B = 31.32.33 59.60 a) Chứng minh: B chia hết cho 230 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61. Hướng dẫn: 49
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 15: Cho A = 3 + 22 + 23 + 24 + + 22001 + 22002 và B = 22003 So sánh A và B. Hướng dẫn: Bài 16: Cho M = 3+ 32 + 3 3 + + 3 99 + 3 100 . a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Hướng dẫn: Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 + + 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Hướng dẫn: 1 1 1 2 2003 Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: + + + + = 3 6 10 n(n +1) 2004 Hướng dẫn: Bài 19: 2222 a) Tính: ++++ 1.33.55.799.101 3 3 3 3 b) Cho S = + + ++ n N * 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) Chứng minh: S 1 Hướng dẫn: 2222 Bài 20: So sánh: A =++++ 60.6363.66117.1202003 5 5 5 5 và B = + + + + 40.44 44.48 76.80 2003 Hướng dẫn: Bài 21: 1 1 1 1 1 1 a) Tính A = + + + + + 10 40 88 154 238 340 1 1 1 1 2 b) Tính: M = + + + + + 3 6 10 15 2004.2005 1 1 1 c) Tính tổng: S = + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 Hướng dẫn: 1 1 1 1 Bài 22: So sánh: A = 1+ + + + + và B = 2. 2 22 23 2100 Hướng dẫn: 50
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 23: So sánh: 2222 5555 A =++++ và B =++++ 60.6363.66117.1202006 40.4444.4876.802006 Hướng dẫn: Bài 24. Tính 22222 a. A = ++++ . 15356399143 3 3 3 3 b. B = 3+ + + + + . 1+ 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + + 100 Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức: 1 1 1 1 1+ + + + + a) A = 3 5 97 99 1 1 1 1 1 + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 1 1 + + + + b) B = 2 3 4 100 99 98 97 1 + + + + 1 2 3 99 Hướng dẫn: Bài 26: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 3 99 100 - 1+ + + + = + + + + 2 3 100 2 3 4 100 Hướng dẫn: A Bài 27: Tính biết: B 1 1 1 1 1 2 3 198 199 A = + + + + và B = + + + + + 2 3 4 200 199 198 197 2 1 Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ; 3 8 15 24 35 Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; 6 66 176 336 Hướng dẫn: 51
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 30: Tính A biết: B 1 1 1 1 1 A = + + + + + 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 1 1 1 1 1 B = + + + + + 11 12 13 19 20 Hướng dẫn: Bài 31: Tìm x, biết: 1 1 1 1 1 1 + + + x = + + + 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 Hướng dẫn: Bài 32: Tính : a) Saaaa=+++++1 23 n , với ( a 2, n N ) 2462 n b) Saaaa1 =+++++1 , với ( ) 3521 n+ * c) Saaaa2 =++++ , với ( a n N2 , ) Hướng dẫn: B Bài 33: Cho AB=+++++=1444 4,2399100 4 . Chứng minh rằng: A . 3 Hướng dẫn: Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: aA) 999999 999 9=++++ 50 ch÷ sè bB) 999999 999 9=++++ 200 ch÷ sè Hướng dẫn: 52
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1-Kiến thức cơ bản: x x 0 x = − x x 0 x 0; x x; x = − x x + y x + y x − y x − y 2- Các dạng toán cơ bản: * Dạng toán 1: Tính x biết 1 3 3 1 1) x = −1 2) x = −2 : 3) x + 25 = 0 5 5 13 2 1 1 1 1 1 1 1 x 4) + + + = 5) + + + = 1.3 3.5 47.49 x 1.4 4.7 97.100 2 4 4 4 2x + 5 1 1 1 1 1 6) + + + = 7) 1− 1− 1− 1− + x = 2 1.5 5.9 97.101 101 2 3 4 100 5 1 1 8) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 = 2 x −1 9) (12 + 22 + + 492 )(2 − x) = −1 5 5 * Dạng 2: Tìm x biết 3 25 5 1) x = 3 2) x − = 0 3) 5 x − = 0 4) 5 8 23 1 1 2x .− = −1 5 3 1 3 2 5) 1,75 − 2,5 − x = 1,25 6) 2x − 5 = 13 7) 3 − 2x − = − 3 7 3 1 11 1 8) 2 3x − 7 = 9) (2x − 5)2 = 9 10) x2 = 4 11) (3 − 7x)2 = 5 10 4 53
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 * Dạng 3: Tìm x, y, z biết 1) x + y + z = 0 2) 3x − 5 + 2y − 7 = 0 1 5 1 1 1 3) x −1 + 2y − + 3 − z = 0 4) (x −1)2 + (y − )2 + (z − )2 = 0 2 2 3 2 3 5) 1− 2x + 2 − 3y + 3− 4y = 0 6) x −1 + (x −1)(x +1) = 0 *Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau. 1 1) A = x2 − 2x + 5 với x = − 3 2) B = xy− 2 + 5(x − 3) x2 − 2xy+ y2 với x=y=2 1 1 3) C = x2 − x + − 2 2x +1 với x = 4 2 4) D = 3x2 − 6x + 3 với x = 1 5) E = 2x − 5y + 7xyvới x + y − 2 = 0 6) G = 2x2 − 3y2 + 6xy với x −1 + y − 2 = 0 * Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau 1) M = x − 5 + 2x − 9 + 3x −13 với x 6,5 2) N= x +1 + x + 2 + x − 3 với − 2 x −1 3) P= 2x −5 + 3x − 7 − 5x −15 với x 3 *)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: C = 4,52x − 0,5 − 0,25 2, Tìmgiá trị lớn nhất của : D = −3x + 4,5 + 0,75 3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : E = x − 2005 + x − 2004 3- Các bài toán tự học : Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết: a) 2.| 2x-3|= 1/ 2 b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất: a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất: F= 4- |5x-2|- | 3y+12| CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG. Bài toán 1: Tính 54
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 11 12 11111 5545 a) −−.31 0,75.8 b) 23:437+−++ c) 4:5: −+− 4 23 23 32672 9797 15513 13210.23046−−+ 4276254 25 9 125− 27 2 1 3 d) e) 4+ 25 : : g) −+4 31012 16 16 64 8 3 2 4 1:1214+− 7337 Bài toán 2: Tính 111 111 a) A =+++ b) B =−−− 11 1 với nN 1.22.399.100 231 n + 111 733333333333333333333 c) C = −−++−+−66.124.(37)63.(124) d) D =+++ 2311 412202030303042424242 Bài toán 3: Tính 111 A =+++++++++++1(12)(123) (123 16) 2316 Bài toán 4: Tìm x biết 3 2 5 3 21 1 2 a) (2xx− 3) + 1 = 0 b) x += c) − + = x 4 3 7 10 13 3 3 3 3 2 1 3 1 3 d) x +=21 e) (51)20xx−−= g) +=: x 7 8 5 3 7 7 14 111 1 Bài toán 5: Cho A =−−− 11 1 . So sánh A với − 2310 9 111 11 Bài toán 6: Cho B =−−− 11 1 . So sánh B với − 49100 21 231933371119319 Bài toán 7: Tính −+++ .:. 193386173419313862252 1,11+− 0,19 13.2 1 1 7 1 23 Bài toán 8: Cho A = − + :2 B = 5 − 2 − 0,5 : 2 2,06+ 0,54 2 4 8 4 26 a) Rút gọn A, B b) Tìm xZ để A<x<B Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau 1113333 1111 −−−−− 0,1250,2−++− 5 a) A =+371341664256. b) 5723 + 222111 3333 −−−−− 1 8 0,3750,5−++− 371341664 57410 20 4141 636363 Bài toán 10: Tìm x biết x −128 = 4 − 5 : − 1 : − 1 21 4242 646464 Chuyên đề: I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ 55
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A.KIẾN THỨC: Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán : 1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x 2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / 3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / / x /+ / y / Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/ /x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a x = a x a / x / > a x a / x/ -a x = 0,5 hoặc x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75 2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 / Giải : với x - 5 0 x 0 thì / x -5 / = x - 5 với x –5 x x = 1 b/ 3x - 1 = 2 => x = - 1 3 Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A A 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : 56
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b 2 Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét 4 trường hợp : a/ a 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra ) b/ a 0, b 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a 0, b 0 thỏa mãn bài toán . c/ a 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a 0, b 0 hoặc a 0 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ HD:Ta có x 0 = / x −3/ 0 = GTNN = 0 Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 0 = GTLN = 0khix = −2 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 1= GTLNlla0khix = 3/ 2 57
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 8: Tìm GTNN của C = 6 với x là số nguyên / x /− 3 - Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 . Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x 0 => C = x - x = 0 (1) - Xét x C = x – (- x ) = 2x x 0 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = 6 x 3 −3x 2 + 2 / x /+ 4 với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x −3 ;5x+ 3 với x GTNN của A = -1 x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4 c/ C = x 2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c GTNN của D = 0 x 0 Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2 f/ F = 1 => GTLN của F =1/3 x =2 / x − 2 /+ 3 g/ G = x + 2 với x là số nguyên / x / HD : Xét 3 TH : * x −2 = C 1 * x = 1 C = 1 58
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x + 2 2 * x 1 = G = = 1+ x x Ta thấy G lớn nhất khi 2 nhỏ nhất . Mà lớn nhất x nhỏ nhất x tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x - 2 / -a -4 -4+2 -2 A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1 • 1/2 x 3/ 2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2 • X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1 Vậy với x 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối . 59
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : a/ x −1 + x − 3 = 6 (1) GIẢI: Xét x-1 = 0 x = 1 và xét x-3 = 0 x = 3 x-1 x x 0 x > 1 x-3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau : x 1 3 x - 1 - 0 + / + x - 3 - / - 0 + Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6 -2x=2 0x = 4 2x = 10 x=-1 (không có giá trị x = 5 (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc khoảng đang xét) khoảng đang xét) Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1) b/ x + 2 + x − 5 = 7 x -2 5 x+2 - 0 + / + x-5 - / - 0 + * Xét khoảng x x= -2 (loại) • Xét khoảng-2 x 5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét . Vậy -2 • Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại) Kết luận: -2 c/ x + 3 − 2x = x − 4 x -3 4 x+3 - 0 + / + x- 4 - / - 0 + *Xét khoảng x x= -3,5( thuộc khoảng đang xét) *Xét khoảng -3 x 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn. * Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét . Kết luận : vậy x = -3,55 60
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x −1 + x − 3 x +1 (2) Tương tự: • Xét khoảng x (1-x)+*3-x) -3x x>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng đang xét) • Xét khoảng 1 x 3 thì (2)=>(x-1)+(3-x) 2 x>1 => Ta có các giá trị 1 3 => ta có (x-1)+(x-3) x f(x)= a Dạng 2 = g(x) 1/g(x) 0 & 2/f(x)= g(x) Dạng 3 f (x) = g(x) hay - = 0 f(x)= Dạng 4 + = 0 f(x)=0 và g(x) = 0 Dạng 5 -a a ( a là hừng số dương) a x=-1 và x = 10. 61
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c/ 3 - 4 5 − 6x = 7 HD: 5 − 6x = −1 = Không có giá trị nào của x thoả mãn d/ x + 5 − 4 = 3 Hướng dẫn: - Ta có: x + 5 − 4 = 3. x + 5 − 4 = 3 = x + 5 = 7 = 2;−12 - Xét x + 5 − 4 = −3 = x + 5 = 1 = x = −4;−6 Dạng 2 f (x) = g(x) Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện: 1/ g(x) 0 2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x) Bài 19: Tìm x . a/ Biết: x −1 = 2x − 5 - Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 0 = x 2,5 x −1 = 2x − 5 x = 4(t / mdk(1) - Xét điều kiện thứ hai = x −1 = −2x + 5 x = 2(khongtmdk(1) Vậy x = 4 b/ Biết: 9 − 7x = 5x − 3. 3 - Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 0 = x 5 9 − 7x = 5x − 3 x = 1(tmdk(1) - Xét điều kiện thứ hai = 9 − 7x = 3 − 5x x = 3(tmdk(1) Vậy x = 1 ; 3 c/ Biết: 8x − 4x +1 = x + 2 4x +17x − 2 = x =1 Dạng 3 f (x) = g(x) hay - = 0 Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) hoặc f(x) =-g(x) BÀI 20 : Tìm x . a/ Biết: 17x − 5 − 17x + 5 = 0 HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5 62
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5 0 x = 10 34x = 0 Vô nghiệm x = 0 Vậy x = 0 b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 / HD: 3x + 4 = 22x − 9 x =22 và 2 Dạng 4. f (x) + g(x) = 0 Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x .Biết : 13 3 a/ x + + x − = 0 14 7 HD: a/ cả hai số hạng đồng thời bằng 0. x + 13/14 = 0 x = -13/14 và x- 3/7 = 0 x=3/7. −13 3 Vậy x = & 14 7 b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn : x −1,38 + 2y + 4,2 = 0 / x −1,38/ = 0 x −1,38 = 0 x = 1,38 = = HD: b/ /12y + 4,2 / = 0 2y + 4,2 = 0 y = −2,1 c/ x 2 − 3x + (x +1)(x − 3) = 0 x(x − 3) = 0 x = 0hoac3 HD: c/ = = x = 3 (x +1)(x − 3) = 0 x = −1hoac3 d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn: / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0 24 1 HD: / 2x- /+ 3y + .0,1(5) / = 0 99 10 24 1 5 / 2x − /+ / 3y + .1 / = 0 99 10 9 63
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 8 7 / 2x - /+ / 3y + / = 0 33 45 8 7 Vì: /2x- / 0 & 3y + 0 33 45 8 2x − = 0 8 7 33 4 Nên: /2x- /+/3y+ / = 0 = x = 33 45 7 33 3y + = 0 45 − 7 y = 45 Dạng 5. f (x) a = −a f (x) a ( a là hằng số dưong) BÀI 22: Tìm x. a/ Biết 3x −1 5 HD : a/ -5 -37 -4,4 -19 3-8x 19 = −2 x 4 Dạng 6. f (x) a = f(x) > a f(x) < -a BÀI 23: Tìm x . a/ Biết; 15x −1 31 64
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 15x −1 31 32 HD: = x 15x −1 −31 15 x −2 b/ Tìm x . Biết 2x − 5 + 4 25 2x − 5 21 x 13 = 2x − 5 −21 x −8 Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau : a/ x + y = 4 HD: Nếu x =0 thì y = 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4) Nếu x= 1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x= 2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là : Nếu x= 3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là : Nếu x= 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho. b/ x + y 4 HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho BÀI 25: a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0 HD: a/ Cách 1 x + 2 / 3 0 x −2 / 3 = 1/ 4 − x 0 x 1/ 4 (x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0 x + 2 / 3 0 x −2 / 3 = (khongthedongthoixayra) 1/ 4 − x 0 x 1/ 4 -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu: Giá trị x -2/3 1/4 dấu x+3/2 - 0 + / + 65
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 dấu 1/4-x + / + 0 - dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 - Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 AB . Vẽ phân giác AD ( D BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác . BÀI 3 Cho ABC có góc A = Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O . a/ Tính góc BOC theo ? 66
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo ? A D E O C B I Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 + và góc I = 90 - 2 BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết Aˆ − Bˆ = Bˆ −Cˆ = 20 HD : => Â = Bˆ + 20 , Cˆ = Bˆ − 200 = Aˆ + Bˆ + Cˆ = 3 = 180 , ˆ ˆ ˆ ˆ => = 60 , Â = 80 ; C = 40 & B1 = 120 , A1 =100 ; C1 = 140 BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = Aˆ + Bˆ a A O b B $2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Tam giác Tam giác vuông TH 1. C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông TH 2. C-G-C Hai cạnh góc vuông TH 3. G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn $ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : Tam giác . Cân . ĐỀU VUÔNG vuông cân Định A,B,C không ABC: ABC : ABC : ABC : Aˆ = 900 nghĩ thẳng hàng AB = AC AB=BC=AC Aˆ = 90 a AB=AC Qua Â+ Bˆ + Cˆ =180 Bˆ = Cˆ n hệ 180 − Aˆ Aˆ = Bˆ = Cˆ = 60 = 90 = 45 ˆ ˆ = các C1 A 2 góc ˆ ˆ C1 B Â=180 0 −2Bˆ Qua 1 cạnh< Tổng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB=AC= c 67
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 n hệ và > Hiệu AB=AC AB=BC=AC BC= c 2 các 2cạnh còn lại BC > AB cạnh BC > AC BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , Bˆ = 60 độ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng minh góc BDC = góc C ? A HD: Tính góc C = 40 độ . D Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc I C B BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 và = 3 Cˆ . a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C . Tính góc AEC ? B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 => góc C = 18 => = 54 độ; Â = 108 độ. b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ A => AC E = 81 độ và Â 2 = B + C =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27 độ . C E BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vuông tại A . 68
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB n= 2 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ; AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ABC = CDA&b/ ABD = CDB ? D C HD : ABC = CDA(cgc) & CDB = ABD(cgc) A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ? A HD : Chứng minh ABC = CNA(gcg); ABC = BAP = MCB. =>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm . B C M BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH ⊥ AM và CK ⊥ AM . Chứng minh : a/ BH // CK A b/ M trung điểm của HK c/ HC // BK ? H 69
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM . B M C b/ BHM = CKM = MH = MK c/ HCM = KBM = gocHCB = gocKBC = HC // BK BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ? AMN = LMB(cgc) = NA = BL HD : => LB = MC = NA . ALN = MLC(cgc) = NA = CM L A M N B BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; Bˆ = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ? b/ Tính góc BIC ? A HD:a/ Góc I 1 > góc A Góc ngoài tam giác BIM Góc I 2 > góc A góc ngoài tam giác CIM góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù . C b/ => góc BIC = 180 – 45 = 135 độ . M B BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ? ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 A HD : => Ta có D1 = B + A1; D2 = C + A2 = D1− D2 = B − C = 20 ˆ ˆ ˆ ˆ Mà D1 + D2 = 180 độ => D1 =100 , D2 = 80 B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ? b/ DC ⊥ BE ? E HD : a/ ADC = ABE(gcg) => DE = BE D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao 70
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A điểm DC với BE. ==ADHKBHgocDAHBKH&90 0 B C BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ? HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK A => ABE = KCA(cgc) => AE = AK . D B C K E BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ? HD: AKM = BKC(cgc) = gocKAM = gocKBC = AM // BC AEN = CEB = AN = BC & AN // BC M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2) Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN . K E B C BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ADB ; ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng a/ DM = AH N E b/ MN đi qua trung điểm DE . D M 71
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A HD : a/ => ADM = BAH = DM = AH b/ => tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và B H C DE => DMO = ENO(gcg) = OD = OE . BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng : A a/ DB = CF b/ BDC = FCDˆ 1 D E F c/ DE // BC & DE = BC 2 HD: a/ => AED = CEF (cgc) = AD = CF = BD = CF B C b/ => DBC = FCD(cgc) 1 1 c/ => BDC = FCD = BC = DF = DE = DF = DE = BC . 2 2 BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK AD= NK ( vì cùng bằng EB ). Chứng minh ADM = NKC(cgc) = DM = KC => E N B F C BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ? Bˆ + Cˆ 120 A HD : => Bˆ + Cˆ = = = 600 1 1 2 2 ˆ 0 ˆ ˆ 0 BIC := BIC = 120 = I1 = I 4 = 60 ˆ ˆ ˆ 0 E I D IK phân giác BIC = I1 = I 2 = 60 BIE = BIK (gcg) = IE = IK CDI = CIK(gcg) = ID = IK = ID = IE B K C BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác ACˆE & DBˆE 72
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BAˆC + BDˆC cắt nhau ở K . Chứng minh : BKˆC = ? 2 K D HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE ˆ ˆ ˆ ˆ A H Xét KGB & AGC = K + B1 = A + C1 (1) ˆ ˆ ˆ ˆ G Xét KHC & DHB = K + C2 = D + B2 (2) Aˆ + Dˆ E Từ (1) &(2) => 2 Kˆ = Aˆ + Dˆ => Kˆ = 2 C B 73
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC . Chứng minh : a/ AM = 1 ED 2 b/ AM ⊥ DE H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi chứng minh DE = AK A - Xét ABK & DAE : AD = AB(gt); AE = BK (= AC) ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 Và DAE + A = 180 (viA1 + A2 = 180 ) (1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ B + B1 = B + C = ABK + A = B + C + A = 180 (vibuA) (2) DE Vậy : ABˆK = DAˆE = ABK = DAE = AK = DE = AM = 2 B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có BAˆK + DAˆH = 900 = Dˆ + DAˆH = 900 = ADˆH = 900 BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz = yÔz .Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng minh tam gíc AOD cân ? HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB A Ta thấy : AEˆB = 900 − & ABˆE = OBˆH = 900 − = AEˆB = ABˆ E => AOB = ADE(cgc) => AO=AD => AOD cân E D B O H h 74
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ? HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x. y => EOI đều => OC = EK . z M Vẽ EH ⊥ MA; EK ⊥ OI dễ dàng chứng minh được B MH = MB ; EK = OC MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC H E t C O I x A K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD . ˆ ˆ ˆ 0 0 A HD : Ta có D1 = B2 + C = 20 + 40 trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho BDˆK = 600 & BDˆE = 800 = BDA = BDK (gcg) = DA = DK (1) Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB . Chứng minh AIK vuông cân ? HD : Ch/minh ABI = KCA(cgc).AI = AK A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt) Suy ra : tam giác AIK vuông cân B C 75
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA . a/ Chứng minh AB = E F và AB ⊥ E F b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam giác OMN vuông cân ? HD : a/ OAB = Oß E(2 cgv) = AB = E F & AB ⊥ E F b/ OMB = ONE(cgc) = OM = ON & gocMOM = 90do = y OMN vuông cân B F N M E O A x BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng : A a/ CM = B N b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN. ˆ ˆ M HD: a/ ACM = CBN (cgc) = CM = BN & C1 = B1 ˆ 0 ˆ ˆ 0 0 0 b/ BOCcoBOC = 180 − (B1 + C2 ) = 180 − 60 = 120 N O B C 76
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN A. TAM GIÁC VUÔNG : 1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ? 2/ Tính chất : - Tam giác ABC : Â=90 độ Bˆ + Cˆ = 900 - Định lý PyTago: ABC : Aˆ = 900 BC 2 = AB2 + AC 2 - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29) - Các hệ thức trong tam giác vuông: ABC : Aˆ = 900 ; AH ⊥ BC = AH.BC = AB.AC ; AB2 = BH .BC; AC 2 = CH.BC. 1 - ABC : Aˆ = 90 ; AB = MC = AM = BC 2 S AM B = S AMC - Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ) là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ). - Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền Toán nâng cao: BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB . Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF . Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B CˆF =1350 A Ch/minh : BAE = FCB(cgc) BE = CF D b/ ABF : Aˆ = 900 = ABˆF + Fˆ = 900 Fˆ = Bˆ(cmt) = ABˆF + Bˆ = 900 A C F Mà: hayEBˆF = 900 = BE ⊥ BF BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm BM . Chứng minh : AC = 2 AD A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA => ADB = EMD(cgc) = AB = ME; ABˆD = EMˆD 1 => AB=ME= BC = ME = MC(1) 2 (1) 77
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B D M C Mặt khác: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ EMA = M 1 + M 2 ;CMA = B + BAM (gocngoai) ˆ ˆ ˆ Mà: M 1 = B(cmt); M 2 = ABM Vậy : AMˆE = AMˆC (2) và AM chung (3) E Từ (1),(2) và(3) suy ra MCME = AMC = AE = AC = AC = 2AD BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x ⊥ BC và lấy CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA . Chứng minh : a/ A C E đều b/ E,A,F thẳng hàng ? Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => C E A c a n Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ Suy ra : CAE đều E b/ Ta có : BA = BF (gt) => BF A c a n Suy ra : góc BA F = 30 độ; A Vậy: FBˆA+ BAˆC + CAˆE = 300 + 900 + 600 =1800 Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF F B C BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O . Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E . Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi . b/ DE = DB + EC ˆ 0 ˆ ˆ 0 0 0 A HD : a/ BOC = 180 − (B2 + C2 ) = 180 − 45 = 135 b/ DBOcan = DB = DO O EOC can = EC = EO D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE B C BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn minh : FH = FA = FC . ˆ ˆ A Hướng dẫn: Ta có BH= BE => BEH cân => E = H1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà H1 = H 2 = &B = 2H1 = B = 2H 2 = H 2 + C F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1) 0 ˆ ˆ 0 ˆ Mặt khác : Â = 90 −C & AHF = 90 − H 2 B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2) 78
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 H C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC E Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF). a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ? b/ Từ A và F kẻ các đường D D ' , FF ' vuông góc xuống BC . Chứng minh : DD' + FF ' = BC HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng DBD ' = BAH = DD ' = BH A b/ Kẻ AH ⊥ BC => CFF ' = AHC = FF ' = HC = DD' + FF ' = BH + HC = BC B C Bài 7 : Cho ABC : BAˆC =1200 Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE AB ; DF AC . a/ Tam giác DE F tam giác gì ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác ACM là tam giác gì ? A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ => đều F b/Tam giác ACM đều . E B D C BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: AB + AC AB − AC a/ BE = CF b/ AE = ; BE = 2 2 ACˆB − Bˆ c/ góc BME = 2 HD: a/ Chứng minh góc F = góc E Kẻ CD // AB =>BE=CD (1) A Mà CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF b/ Ta có AE = AB - BE Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC AB + AC AE= 2 79
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 E Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = AB − AC 2 CEˆF = ACˆ B - Fˆ & BMˆ E = Eˆ - B M C c/ Ta có : ACˆ B - Bˆ 2BMˆ E = ACˆ B - Bˆ = BMˆ E = 2 F B. TAM GIÁC CÂN BỔ SUNG KIẾN THỨC: 1. Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền. 2. Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác vuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều. 3. Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ. 4. Trong tam giác cân: - Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau. - Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. - Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. TOÁN CHO HS GIỎI: BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB ; AC. a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ? b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ? HD: A D M E N B C 80
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên: MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân. Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều. b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN đều=>EN=NA=CN=AC:2. Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông tại E => CE vuông góc AB BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ? HD: B N = 1 = M 1 A C 180 − Bˆ Tam giác BAM cân tại B=> Mˆ = 1 2 180 − Cˆ Tam giác CAN cân tại C=> Nˆ = 1 2 ˆ ˆ ˆ 0 Vậy : MAN = 180 − (M1 + N ) = 180 −135 = 45 BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ? b/ Tam giấcBM là tam giác đều ? HD: A I B H M C a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh 81
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 1 MAI = MAH (C.h + g.n) = BH = MH = BM = MC = Cˆ = 300 & HAˆC = 600 2 2 Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A. b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều. BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ? HD: A H 1 2 2 1 1 B C D - Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ => góc 1 1 Bˆ = 300 = CH = BC = CH = CD = CDHcan = Dˆ = ACˆB = 300 = HDBcan = HB = HD(1) 1 2 1 2 - Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân. 1 Ta suy ra Dˆ = Hˆ = 150 = ADˆB = 30 +15 = 450 2 2 1 ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO KIẾN THỨC BỔ SUNG: 1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 2 2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ: 2 2 2 2 2 A(x1; y1 ); B(x2 ; y2 ) = AB = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) = AB = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng : 82
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ Tam giác ABC vuông ? b/ góc AMB = 2góc C. HD: A 7 M 24 32 B 40 C a/ Tam giác ABC có: BC 2 = 40.40 = 1600 AB 2 +AC 2 = 24.24 + 32.32 = 1600 Vậy AB2 + AC 2 = BC 2 =1600 = ABCvuongtaiA 2 2 b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM= 24 − 7 = 25 AC − AM = 32 − 7 = 25 Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài) Vậy góc AMB = 2. góc C BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính BC ? A A 25 24 24 26 25 26 B H C H B C (H1) (H.2) - Tính được HB= 7 ; HC= 10 - Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1) - Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC HB=10-7=3 (h2) BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ? 83
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k Ta có AB2 + AC 2 = (8k)2 + (15)2 = 512 = 289k 2 = 2601 = k = 3 Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng minh EB vuông góc E F ? HD: A D F B H C E Vì AD=HE=>AH=DE Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được: BF 2 = AB2 + A F2 = (BH 2 + AH 2 ) + (AD2 + DF 2 ) BF 2 = HB 2 + DE 2 + HE 2 + DF 2 = (BH 2 + HE 2 ) + (DE 2 + DF 2 ) = BE 2 + EF 2 Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông góc E F BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ? HD : B = C x? = A D Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là điểm C thì CB=CD . AC 2 + AD2 = CD2 Tam giác vuông ACD có : x 2 + 32 = (9 − x)2 = x = 4met 84
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1). Tính các góc tam giác ABC ? HD x 4 A(5;4) 3 B(2;3) 1 C(6;1) x O 2 5 6 Ta có : AB 2 = (5 − 2)2 + (4 − 3)2 = 10(1) 2 2 AC = (5 − 6) + (4 −1) 2 = 10(2) BC 2 = (6 − 2)2 + (1− 3)2 == 20 Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB 2 +AC 2 = BC 2 = 20 = ABCvuong Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦTAM GIÁC VUÔNG BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác . a/ Chứng minh tam giác ABC cân. b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ? HD: (H.1) A A F D H K (H.1) B M C (H.2) B E C a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC. HAM = KAM(ch + gn) = MH = MKA Chứng minh HMB = KMC(ch + cgv) = Bˆ = Cˆ = ABCcantaiA b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC =>BM= AB2 − AM 2 = 12 = BC = 24 85
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác đó đều ? b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài a 3 . Tính độ dài mỗi cạnh tam giác 2 đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F. a/ Ta chứng minh FBC = ECB(ch + cgv) = Bˆ = Cˆ; = Cˆ = Aˆ = ABCdeu. b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có AC 2 = AD2 + CD2 = x = a : BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại  và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.? M M A A O O B C B C (H.1) ( H.2) HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) góc MCA=60-50=10 độ AMB = AMC(CCC) = AMˆB = AMˆC = 600 : 2 = 300 OBC = AMC(gcg) = CO = CA = COAcan. BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ? HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC). Chứng minh tương tự bài 19=> COAcantaiC = ACˆO = 40 : 2 = 200 Suy ra: CAˆ O = (180 - 20) : 2 = 80 0 86
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D. a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2) 1 2 D E B C B M N C D ˆ ˆ (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> A1 = A2 Suy ra AD phân giác góc  b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng) BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM=CN ? HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh AE=BF ? HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF A E M F O y BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,O F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC. 87
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ Chứng minh OE = O F=O b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG HD: A 1 2 E F O 2 2 1 1 B G D C BOß = BOG(ch + gn) = OF = OG (1) a/ Chưng minh: COG = COE(ch + gn) = OE = OG(2) T u (1) & (2) = OE = OF= OG 1 1 1 b/ AOE = AO F = Aˆ = Aˆ = Aˆ;Bˆ = Bˆ = Bˆ & Cˆ = Cˆ = Cˆ 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ˆ ˆ 0 Suy ra A1 + B + C2 =180 : 2 = 90 (1) ˆ ˆ 0 Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> B1 + BOG = 90 (2) Từ (1) và(2) => Aˆ + Cˆ = BOˆG(3) 1 2 Từ (3) và (4)=> BOˆG = COˆD = BOG = GOˆD = COˆD + GOˆD, = BOˆD = COˆG BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1:Tính giá trị của biểu thức : 88
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = x2 + 4xy – 3y3 với x = 5; y =1 4x − 9 4y + 9 Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = − ( x - 3y ; y - 3x + y 3y + x 3x) Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau : 2 2 2 4 4 8 8 a) A = x (x + 2y)(x − 2y)(x + 2y )(x + 2y ) với x = 4 và y = 8 x16 + 2y16 b) B = 2m2 – 3m + 5 với m = 1 c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a = 1 và b = 2 Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa : a) x +1 b) x −1 c) ax + by + c x 2 − 4 x 2 +1 xy− 3y 6x 2 + x − 3 1 Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N= với x = 2x −1 2 Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0 b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7 Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau : 5x 2 + 3y 2 x y A = với = 10x 2 − 3y 2 3 5 Bài 8: Cho x, y, z 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức z x y B = 1− 1− 1+ x y z Bài 9: 1 a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) 2 – 10 5 b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D = 4 (2x − 3)2 + 5 Bài 10: Cho biểu thức E = 5 − x .Tìm các giá trị nguyên của x để : x − 2 a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau : a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1 c) (x2 – 16)2 + y − 3 - 2 Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = x − 2 + x −10 Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A = 10x +15 5x +1 Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b Z Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000 Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. 89
- Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 7 B = x −1 − x + 3 với x 11 Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) - (2x + 3)− (5x + y) b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - 13x + (2y − 5) Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 d) x2+ 5x + 6 Bài 22: Chứng tỏ rằng : a) Biểu thức x2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x . b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng: 1 2 a) x + =1 b) x + = 5 c) x 3 +3= y 3 − x d) (x-2) 25n2 + 5 + y- 2= 0 x x (n N) Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết: x + 2 2x − 3 a) y = b*) y = x −1 x +1 ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG Bài tập cơ bản Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức : a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2) c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an Bài 2: Thực hiện các phép tính sau : x x 3x 2 1 a) + + b) 3ab. ac – 2a.abc - a2bc 3 6 2 5 3 2 2 2 1 c) ac .c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c2 3 3 4 90
