Các bài Hình học ôn tập thi học kỳ II môn Toán 9 – Thi tuyển sinh vào Lớp 10 - Nguyễn Khánh Ninh

70 trang thaodu 7030

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các bài Hình học ôn tập thi học kỳ II môn Toán 9 – Thi tuyển sinh vào Lớp 10 - Nguyễn Khánh Ninh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cac_bai_hinh_hoc_on_tap_thi_hoc_ky_ii_mon_toan_9_thi_tuyen_s.pdf

Nội dung text: Các bài Hình học ôn tập thi học kỳ II môn Toán 9 – Thi tuyển sinh vào Lớp 10 - Nguyễn Khánh Ninh

Các bài hình học ôn tập thi HKII toán 9 – thi tuyển sinh 10 Lời bàn: Hình học là một trong những phần khó trong các đề thi tuyển sinh 10 môn toán. Do vậy, không ngạc nhiên khi phần điểm hình học trong bài thi chỉ chiếm khoảng từ 3 đến 3,5 điểm trên thang điểm 10. Hình học khó ở chỗ đòi hỏi học sinh không những nhớ công thức mà phải vận dụng để chứng minh một cách phù hợp. Do vậy, chỉ có sự rèn luyện thuần thục mới có thể hình thành tư duy phản xạ hình học nhanh chóng để tìm ra lời giải. Đặc biệt trong các đề thi tuyển sinh, 2 câu hình cuối c và d thường ở dạng khó và rất khó để phân loại học sinh đạt điểm 10. Với lí do giúp cho học sinh có bộ đề hình học để ôn tập trong quá trình luyện thi, tôi đã mạnh dạn biên soạn các bài hình theo cấu trúc vận dụng kiến thức hình học đã học ở HKII toán 9. Mỗi bài hình học sẽ có 4 câu phân loại theo mức độ từ dễ đến khó. Trong đó 2 câu a và b là các câu cơ bản, học sinh chỉ việc vận dụng các kiến thức cơ bản là sẽ làm được. Câu c là câu tương đối khó dành cho các học sinh khá và giỏi. Để giải được đòi hỏi học sinh không chỉ nhận biết mà còn liên kết các kiến thức, mối liên hệ liên quan giữa các tính chất, hệ thức ở trong hình học. Câu d sẽ là câu rất khó nhằm để phân loại học sinh giỏi. Muốn giải được thật sự không dễ một chút nào, đòi hỏi học sinh có khả năng tư duy phải cao, cực kỳ nhạy bén, ghi nhớ và vận dụng ở cấp độ cao thì mới có thể giải được. Trong bộ đề này, tôi có tổng hợp những tính chất các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 từ các diễn đàn toán học và các đề thi tham khảo thi học kì II từ các năm trước đó. Mặc dù trong quá trình biên soạn sẽ không tránh khỏi những sai sót, bất cập. Hơn nữa đó là trình độ ra đề thi giữa các vùng miền khác nhau. Do vậy, sẽ không tránh khỏi nhiều học sinh sẽ thấy bộ đề này quá là khó để làm, tuy nhiên lại có những học sinh cảm thấy bộ đề phù hợp để nâng cao kỉ năng giải quyết hình học. Tài liệu này còn có lợi ích đó là nhiều bài hình mới được tác giả sáng tạo ra nhiều bài mới, tuy nhiên không phải là quá khó để giải quyết chúng. Bộ đề còn là tài liệu bổ ích cho các giáo viên có tài liệu tham khảo trong việc nghiên cứu, chế tạo các bài hình mới dựa trên các bài hình đã sẵn có dùng trong quá trình đánh giá và giảng dạy. Dù sao đi nữa thông qua tài liệu này, kính chúc các học sinh có nhiều sự tự tin trong việc thách thức, giài quyết các bài hình học trong các kì thi tuyển sinh 10 sắp tới. Nguyễn Khánh Ninh
Các đề bài Bài 1: Cho đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác HSB tiếp xúc với các cạnh BS, SH, HB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi I là giao điểm của OD và EF. Qua I kẻ đường thẳng song song với BS cắt HB, HS theo thứ tự tại M và N. Đường thẳng qua H và song song với BS cắt EF tại K. Gọi V là trung điểm BS. Chứng minh : a/ BH + BS – HS = 2.BD b/ OIMF và OIEN là các tứ giác nội tiếp. c/ 3 điểm H, I, V thẳng hàng. d/ OV vuông góc với DK Bài 2. Cho tam giác ABC ( AB < BC < CA ) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) và ba đường cao AD, BE, CF sắt nhau tại H. a/ Chứng minh : tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm M đường tròn đó. b/ Gọi I là trung điểm đoạn BC. Chứng minh : ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. c/ Hai đường phân giác của hai góc 푬̂ và góc 푪푭̂ cắt nhau tại S. Chứng minh : ba điểm M, S, I thẳng hàng. d/ Tia AD cắt cung nhỏ BC tại K. Vẽ đường phân giác KP của góc 푲푪̂ (P thuộc BC), PQ song song BK (Q thuộc CK). Tia CK cắt I tại N khác C. Khi + = . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung 푲 푪푲 푷푲 BC theo R. Bài 3. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) có 푪̂ = và AB < AC. Vẽ các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H. a/ Chứng minh : 푭푬̂ = 푪̂ và BC = 2EF b/ Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh 4 điểm : B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn có tâm D. c/ Gọi I là giao điểm của đoạn AD với (D;DB). Chứng minh : I là tâm đường tròn nội tiếp của ∆ABC và IH = IO. d/ Chứng minh : OI2 = R2 - 2R.r (với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC). Bài 4. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên nữa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại B.
a/ Chứng minh: Tứ giác CPKB nội tiếp. b/ Chứng minh : AI.BK = AC.CB c) Tính số đo góc 푷 ̂ d/ Xác định vị trí điểm C sao cho diện tích tứ giác ABIK lớn nhất. Biết rằng các điểm A, B, I cố định. Bài 5. Cho ΔABCΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD. Đường tròn tâm I đường kính BC cắt đường tròn (O) tại E, AE cắt (O) tại F. a/ Chứng minh: Tứ giác ABCE nội tiếp. b/ Chứng minh: ̂푪 = 푪푭̂ c/ Lấy điểm M đối xứng với D qua A; N đối xứng với D qua đường thẳng BC. Chứng minh: Tứ giác BMCN nội tiếp. d/ Xác định vị trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất. Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường (O;R), có H là trực tâm. Tia AH cắt đường tròn (O) tại E. Kẻ đường kính AOF. a/ Chứng minh : BC // EF b/ Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh: 3 điểm H,I,F thẳng hàng và AH = 2OI c/ Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA, cắt AB và AC lần lượt tại D và K. Chứng minh: AO vuông góc với DK. d/ Chứng minh : SinA + SinB + SinC < 2(CosA + CosB + CosC) Với A, B, C là các góc tam giác ABC Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC) nội tiếp (O, R). Phân giác góc ̂푪 cắt BC tại E và cắt (O) tại N Kẻ đường kính NF, EF cắt (O) tại D. Kẻ DR, DQ, DP lần lượt vuông góc AB, BC, CA tại các điểm R, Q, P. a/ Chứng minh: Các tứ giác RBQD, DQPC nội tiếp b/ Chứng minh: 3 điểm R, D, P thẳng hàng và DR.DC = DB.DP c/ Chứng minh Q là trung điểm cạnh RP d/ Gọi I là trung điểm AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Cho 푶푰̂ = , 푪̂ = . Tính diện tích tam giác BOH theo R
Bài 8. Từ một điểm S bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến SB, SC và cát tuyến SDA không qua tâm O (SD < SA). Kẻ AG _|_ BC tại G, AE _|_ SB tại E, AF _|_ SC tại F. Cho AC cắt FG tại H, AB cắt EG tại K. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHF và đường tròn ngoại tiếp tam giác AKE cắt nhau tại M, OS cắt BC tại N a/ Chứng minh: Các tứ giác ABOC, AEBG, AFCG nội tiếp b/ Chứng minh HK // BC c/ Chứng minh E, M, F thẳng hàng. d/ Chứng minh A, M, N thẳng hàng, Bài 9. Cho (O) đường kính AB = 2R. Trên tia đối tia AB lấy điểm M sao cho AM = R. Kẻ tiếp tuyến ME đến (O) với E là tiếp điểm. Kẻ EH vuông góc AB, EH cắt (O) tại F. kẻ đường kính ED, MD cắt (O) tại C. a/ Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O) và tứ giác MEOF nội tiếp b/ Chứng minh: Tam giác MEF đều và tính diện tích tam giác MEF theo R c/ Chứng minh: 3 đường thẳng AD, BC, EF đồng quy . d/ Gọi P là giao điểm BC và AD. Chứng minh: ퟒ√ .푺푴푶푬푭 AP.AD + PC.BC = . (trong đó S là diện tích) Bài 10. Cho (O;R) có hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Lấy M là trung điểm OB. Tia AM cắt (O) tại E ( E khác A ). a/ Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình vuông. b/ Chứng minh: Tứ giác OMEC nội tiếp và AM.AE = 2R2 c/ Gọi N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh MN // CE. d/ Tính diện tích tam giác ANE theo R. Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao BD,CE,AF cắt nhau tại H. a/ Chứng minh : Tứ giác BEDC nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này . b/ Gọi G là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh : G ∈ (O) c/ Chứng minh : AH = 2OI. d/Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M. Tia IH cắt (O) tại K. (K thuộc cung nhỏ AB). Chứng minh : M,G,K thẳng hàng
Bài 12. Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ tiếp tuyến AB với (O), (B là tiếp điểm). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. a/ Chứng minh : ∆ABC là tam giác cân và tứ giác ABOC nội tiếp. b/ Vẽ đường kính BD của (O). AD cắt (O) tại E (E ≠ D). Chứng minh : AD.AE = AH.AO c/ Gọi I là trung điểm DE. Chứng minh: IA là phân giác của góc 푰푪̂ . d/ Gọi K là giao điểm của BC và OI, và S là giao điểm của BC và AD. Chứng minh : AD.AE = AS.AI và KD = KE Bài 13. Từ một điểm M ngoài đường tròn (O,R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (A, B là tiếp điểm và tia MD nằm giữa hai tia MA và MO). Gọi I là trung điểm CD. Đường thẳng AB cắt OM và OI lần lượt tại E và K. Chứng minh: a/ Các tứ giác MAOB, KIEM nội tiép b/ AB2 = AM.AN và Tứ giác CDOE nội tiếp. c/ 푪푬푫̂ = 푪 푫̂ d/ OI + OK ≥ 2R Bài 14. Cho (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của (O) tại A lấy điểm M. Đoạn MB cắt (O) tại C. Gọi E là trung điểm BC. Tia EO cắt MA tại F. a/ Chứng minh: Tứ giác AEBF nội tiếp. b/ Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm AD. Chứng minh: DB _|_ FB c/ Chứng minh: FC là tiếp tuyến của đường tròn (ACD). d/ Chứng minh : 2 AC) nội tiếp (O, R), đường cao AD. Vẽ đường kính AS của (O) Cắt BC tại M. Gọi K là hình chiếu của C trên AS, CK cắt AD tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác ACDK nội tiếp, xác định tâm I . b/ Chứng minh: DK _|_ AB c/ Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm F, E sao cho MF = MB, ME = MC. Tia MH cắt AC tại N. Chứng minh EF // BC d/ Chứng minh: Trong △AMC có hệ thức tanA.tanM.tanC = tanA + tanM + tanC Bài 16. Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB và MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng
song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đường kính BS. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BS và đường thẳng này cắt MC; SC lần lượt tại K và E. Chứng minh: a/ Tứ giác MOIC nội tiếp b/ OI vuông góc với Mx c/ ME có độ dài không phụ thuộc vị trí của điểm M d/ Khi M di động mà OM=2R thì K chuyển động trên đường nào? Tại sao? Bài 17. Cho △ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O') đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. BE cắt CD tại H. BE cắt (O) ở N, CD cắt (O) ở M. a/ Chứng minh: AH _|_ BC b/ Chứng minh: DE // MN c/ Gọi S là điểm bất kỳ trên cung BC của đường tròn (O), SM cắt AB ở I, SN cắt AC ở K. Chứng minh: 3 điểm I, H, K thẳng hàng. d/ Giả sử tứ giác BHOC nội tiếp . Tính độ dài MN theo R. Bài 18. Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, AFHE nội tiếp b/ Chứng minh: Tia DA là tia phân giác của góc 푬푫푭̂ d/ Đường thẳng AO cắt đường tròn tại điểm K. Chứng minh: BK = CH d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: 푺∆ 푯푮 = 푺∆ 푶푮 Bài 19. Cho tam giác ABC (AB<AC) có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác AEDB, DHEC nội tiếp b/ Chứng tỏ: DH là tia phân giác của 푭푫푬̂ và OC vuông góc DE c/ Đường tròn ngọai tiếp tam giác DEF cắt BC tại I. Chứng minh: I là trung điểm cạnh BC. d) Cho EF = R. Tính độ dài AH. Bài 20.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). a/ Chứng minh: AO vuông góc với BC tại H b/ Vẽ đường kính CD của (O), AD cắt (O) tại M (M khác D).
Chứng minh: Tứ giác AMHC nội tiếp c/ BM cắt AO tại N. Chứng minh: N là trung điểm AH. d/ Gọi I và K lần lượt là các giao điểm của AO với (O) (I nằm giữa A và O). Chứng minh: = + 푵 푰 푲 Bài 21. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE không qua tâm O (AD AC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (O) và AEHF nội tiếp (I). b/ Gọi D là giao điểm AH và BC. Chứng minh: OE là tiếp tuyến (I). c/ Chứng minh: 5 điểm O, D, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. d/ Gọi S, T là giao điểm của tia AD và đường tròn (O) (T thuộc cung EF) 푻 푫 Chứng minh: = 푻푯 푺푫 Bài 24. Cho △ABC nhọn có AB < AC. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại F, E, BE cắt CF tại H. Tia EF cắt tia CB tại M. Đường tròn (I) ngoại tiếp △COE cắt AO ở K. a/ Chứng minh: 푶 푪̂ = 푴푪푲̂ b/ Chứng minh: 5 điểm A, E,K, H, F cùng thuộc một đường tròn.
c/ Chứng minh: 3 điểm M, H, K thẳng hàng. d/ Tìm điều kiện góc A của △ABC để sin2B + sin2C = 2sin2A Bài 25. Cho nữa đường (O) có đường kính AB và một điểm C trên nữa đường tròn ( CA BD). Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh : Các tứ giác OACM, OBDM nội tiếp. b/ BC cắt đường tròn tại E. Chứng minh : CM2 = CE.CB c/ Kẻ đường cao MH của tam giác AMB; BM cắt AC tại F; FE cắt (O) tại K. Chứng minh : 3 điểm M, H, K thẳng hàng. d/ Gọi I là giao điểm của BC và MH. Chứng minh: 퐒∆퐀퐈퐁 = 퐒∆퐀퐈퐌 + 퐒∆퐁퐈퐌 Bài 28. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . a/ Chứng minh : Các tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp b/ Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE và CF với (O) (M≠ C,N ≠ B) .
Chứng minh : OA _|_ MN c/ Chứng minh : AH.AD + FH.BE = BA2 d/ Tia phân giác góc 푪̂ cắt (O) tại K và BC tại I. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC. Chứng minh : KO và CJ cắt nhau tại điểm thuộc (O). Bài 29. Cho đường tròn (O;R) và dây BC = 푹√ . Trên cung lớn BC lấy một điểm D sao cho 푪푶푫̂ = , A là điểm chính giữa cung nhỏ BC. a/ Chứng minh: DA là tia phân giác của góc 푫푪̂ . b/ Đường thẳng kẻ từ C vuông góc với AD tại I cắt BD tại E. Chứng minh: tam giác DEC đều. c/ Chứng minh: Tứ giác BEOC nội tiếp, xác định tâm và bán kính. d/ Tính diện tích tam giác ACD theo R. Bài 30. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) với AB AC ) nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao BE của tam giác ABC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt AB tại F. a/ Chứng minh : Tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. b/ BE cắt CF tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC; HM cắt BC tại D. Chứng minh : tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (K) và AD đồng quy. c/ Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD. d) Cho 푪 ̂ = ퟒ ; 푪 푬̂ = . Tính diện tích tam giác AEF theo R. Bài 32. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H và cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa D và F). Gọi M là giao điểm
của OD và BC. Chứng minh: a/ Tứ giác EMOF nội tiếp b/ AE, AF là 2 tiếp tuyến của (O) c/ Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OF cắt CF tại P và EF tại Q. Chứng minh: Q là trung điểm BP d/ DF cắt BC tại I, cm: 4MI.MA = BC2 Bài 33. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD sao cho BC không song song với AB. Cho 2 đường chéo AC, BD cắt nhau ở E. Hình chiếu vuông góc của E lên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a/ Tứ giác CEFD nội tiếp b/ Tia FA là tia phân giác của góc 푭푴̂ . c/ BE.DN = EN.BD d/ BC cắt AB tại I. Chứng minh: IF.IO = IA.ID Bài 34. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b/ Các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . c/ AC song song với FG . d/ Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy Bài 35. Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn. b/ CM là phân giác của góc 푪푺̂ 푻 푻푪 c/ = và đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN đi qua trung điểm cạnh BC. 푻푫 푻 d/ Gọi E là điểm đối xứng D qua A. Chứng minh: Tứ giác BETS nội tiếp Bài 36. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì không
qua tâm O cắt đường tròn tại P, Q (AP < AQ). Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh: 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh: LA là phân giác của góc 푴푳푵̂ c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA2 = AI.AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ và tam giác KLN cân Bài 37. Cho tam giác ABC cỏ 3 góc nhọn (AB < AC), đường cao AH, nội tiếp trong đ- ường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh a/ Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N b/ HE// CD c/ M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF. d/ Nếu 푪̂ − 푪 ̂ = . Tính tĩ số diện tích 2 tam giác ABC và HEF Bài 38. Cho đường tròn (O) có đường kính AB =2R. Gọi M là điểm bất kì thuộc (O) (MA <MB). Qua B vẽ đường thẳng (d) vuông góc với AB, tiép tuyến tại M cắt (d) tại N và AB tại K. AM cắt (d) tại E. OM cắt (d) tại H, gọi F là điểm đối xứng của E qua B. a/ Chứng minh: Tứ giác OAMN là hình thang và các tứ giác OMNB, AHFK nội tiếp trong đường tròn. b/ Gọi C là giao điểm của AM và HK. Chứng minh: HB.HE = HM2 c/ Vẽ cát tuyến KPQ đến (O) bất kì (KP < PQ). Chứng minh: HB.HE + KA.KB = HK2 và tứ giác CPQH nội tiếp d/ Giả sử tứ giác OCMN là hình bình hành. Tính OH theo R Bài 39. Cho (O;R) và S nằm ngoài đường tròn sao cho OS = 2R Từ S kẻ 2 tiếp tuyến SA và SB. Vẽ cát tuyến SDE bất kỳ đến (O) không qua tâm O sao cho SD < SE a/ Chứng minh: Tứ giác SAOB nội tiếp, xác định tâm I b/ Chứng minh: SA2 = SD.SE c) Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt SB tại M Chứng minh: MI là tiếp tuyến của (O) d) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt AB tại H và cắt EB tại K Chứng minh: H là trung điểm cạnh DK
Bài 40. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này. b/ Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường tròn (O) tại K và T (K nằm giữa M và T). Chứng minh: MK.MT = ME.MF c/ Chứng minh: Tứ giác IDKT là tứ giác nội tiếp d/ Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt các đường thẳng AB, AC và AD lần lượt tại N, S và J. Chứng minh: J là trung điểm của đoạn NS Bài 41. Cho △ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp (O) và ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt AH tại K, I là trung điểm AH. Từ K vẽ đướng thẳng d // BC cắt AB, BE lấn lượt tại M, N. Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, AFHE nội tiếp b/ Chứng minh: K là trung điểm MN. c/ Chứng minh K là trực tâm △BIC d/ Khi 푺∆ 푪 = 푺∆ 푯, chứng minh △ABC có tanA + tanB = 2tanC Bài 42. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với (O). Trên (O) lấy Điểm M (MA < MB) và trên đoạn OA lấy điểm C. Đường vuông góc với MC tại M cắt Ax, BY lần lượt tại P, Q a/ Chứng minh : Các tứ giác APMC, BQMC nội tiếp. b/ Chứng minh : PC _|_ QC c/ MA cắt PC tại D, MB cắt QC tại E. Gọi N là trung điểm của DE. Chứng minh : 3 điểm M, N, O thẳng hàng. d/ Gọi I, K lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác APMC và BQMC. Chứng minh : IK đi qua N và IO _|_ KO Bài 43. Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của BC và OA. a./ Chứng minh: OH.OA = R2 b/ Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ khác B và C. Tiếp tuyến tại K cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh: chu vi tam giác APQ không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. c/ Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự
tại M và N. Chứng minh: ΔOMP ∼ ΔQNO d/ Chứng minh: PM + QN ≥ MN Bài 44. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trong đó B và C cố định a/ Chứng minh : Tứ giác AFHE nội tiếp và AF.AB = AE.AC b/ Các tia AD, BE, CF lần lượt cắt đường tròn (O) tại M, N, Q. Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNQ và EF // QN. c/ MQ cắt AB tại I, MN cắt AC tại J. Chứng minh : 3 điểm I, H, J thẳng hàng. d/ Vẽ ML vuông góc với tia AB tại L, MK vuông góc với tia AC tại K. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC ( M khác B, C ) để LK đạt giá trị lớn nhất. Bài 45. Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Đường tròn này cắt AB tại E và cắt AC tại D. BD và CE cắt nhau tại H a/ Chứng minh: BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. Suy ra AH vuông góc với BC tại F. b/ Chứng minh: ∆ 푫푬 ~ ∆ 푪, suy ra AD.AC = AE.AB c/ Chứng minh: FH là phân giác của góc DFE d/ Cho BC = 2a và 푪̂ = . Chứng minh: DEFO là tứ giác nội tiếp và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác này theo a. Bài 46. Cho tam giác ABC có góc ̂ = , nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi BF, CE là 2 đường cao cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn tâm I, xác định tâm I b/ Vẽ đường kính AK. Chứng minh: 3 điểm H, I, K thẳng hàng. c/ So sánh AH và EF d/ Tính CH.CF + BF.AB theo R Bài 47. Cho đường tròn (O;R) và điểm I nằm trong đường tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN, EIF. Gọi H, K, P, Q là các trung điểm của IM, IN, IE, IF. a/ Chứng minh: IM.IN = IE.IF b/ Chứng minh: Các tứ giác HPKQ nội tiếp. c/ Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác HPKQ có bán kính không đổi. d/ Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác HPKQ có diện tích
lớn nhất và nhỏ nhất. Bài 48. Cho △ABC (AB 푪푯 d/ Nếu BC cố định. Cho 푪 푯̂ = . Chứng minh: sin ≤ √ 푯. 푪 Bài 49. Cho △ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có BE, CF là các đường cao, các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Cho BS cắt OS tại M a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, OBSC nội tiếp 푺 b/ Chứng minh: = 푬 푴푬 c/ Chứng minh: △AEM ∼ △ABS d/ Gọi N là giao điểm của AM và EF , P là giao điểm của SA và BC. Chứng minh: NP _|_ BC Bài 50. Cho △ABC, AB < AC có ba góc nhọn và nội tiếp (O;R). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BD cùa △ABC. Đường thẳng qua D và song song MA cắt AB tại E. a/ Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp, xác định tâm S của đường tròn. b/ Tia OS cắt (O) tại N và AN cắt BC tại H. Chứng minh AN là phân giác của góc 푪̂ và MH2 = MB.MC c/ Cho 푪̂ = , Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. 푰 푲푪 푰 푲푪 Chứng minh: . = + 푰푪 푲푬 푰푪 푲푬 d/ Cho BC = 푹√ , gọi F là giao điểm BD và CE. Chứng minh: OF = AC – AB Bài 51. Cho △ABC, AB < AC có ba góc nhọn và nội tiếp (O;R). Kẻ 2 đường cao AD và BE của △ABC cắt nhau tại H. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh HD, BM cắt AC tại I và cắt (O) tại N, AN cắt BE tại K a/ Chứng minh: Các tứ giác ABDE, DHEC nội tiếp
b/ Chứng minh: IA.IC = IB.IN và BD.EK = AE.MD c/ Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại P. Chứng minh: AC // KP d/ Chứng minh: DE đi qua trung điểm cạnh MK Bài 52. Cho △ABC, AB AC nội tiếp (O), đường kính BC = 2R, có đường cao AH. Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC lần lượt tại E,D a/ Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AD.AC = AE.AB b/ Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp c/ Chứng minh: OA vuông với DE d/ (O) căt (I) tại F khác A. Đường thằng AF cắt BC tại M Chứng minh: 3 điểm M, D, E thằng hàng Bài 54. Cho đường tròn(O; R), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn với B và C là tiếp điểm. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp b/ Chứng minh: AB2 =AE.AD c/ Chứng minh: 푶푪̂ = 푪 ̂ và tam giác DBC cân d/ CE kéo dài cắt AB ở I. Chứng minh: IA = IB. Bài 55. Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O).M là điểm di động trên d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn với P và Q là tiếp điểm.Hạ OH _|_ d tại H và dây cung PQ cắt OH tại I; cắt OM tại K. a/ Chứng minh: 5 điểm O, P, M, H, Q cùng thuộc 1 đường tròn. b/ Chứng minh: OJ.OH = OK.OM = R2 c/ Chứng minh: khi M di động trên d thì vị trí của I luôn cố định. Nếu như
OP = 6cm ; MP = 8cm ; KI = 3cm. Tính diện tích tam giác MKH d/ HP cắt (O) tại S. Chứng minh: giao điểm của SK và HQ nằm trên 1 đường tròn cố định Bài 56. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm AH. a/ Chứng minh : tứ giác BNMC nội tiếp và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH. b/ Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh : AM.AC = AN.AB và điểm L thuộc (O). c/ Gọi I là giao điểm của AH và MN. Chứng minh : MB là tia phân giác của góc 퐍퐌퐃̂ và IH.AD = AI.DH. d/ Chứng minh : I là trực tâm của tam giác BKC. Bài 57. Cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp (O; R), đường kính AB. Vẽ đường tròn (A) bán kính AC cắt (O) tại D. Lấy M trên cung nhỏ AC tùy ý (M khác A, C), tia BM cắt CD tại K và (A) tại N. a/ Chứng minh: AB vuông góc CD b/ Chứng minh: MB là tia phân giác của góc 푪푴푫̂ c/ Chứng minh: MN2 = MB.MK 푹 d) Cho AC = R, AM = . Tính MN theo R Bài 58. Cho đường tròn(O) đường kính AB.P là điểm trên OB, qua P vẽ dây cung CD.Gọi M là trung điểm CD, hạ AH vuông góc CD tại H. MB giao AH tại N. Chứng minh rằng: a/ AN = 2OM b/ OM.PA = OP.AH c/ CN vuông góc AD d/ Tìm quỹ tích M khi CD quay quanh P. Bài 59. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh: Các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp. b/ Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 푺∆푫푬푭 풓 c/ Chứng minh: OA _|_ EF và = (với r là bán kính đường tròn nội tiếp 푺∆ 푪 푹
tam giác DEF). d/ EF cắt BC tại M. Chứng minh: + = 푪푴 푪푫 푪 Bài 60. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn (O), ở đây A,B là các tiếp điểm và C nằm giữa M,D. a/ Chứng minh: MA.MA = MC.MD b/ Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn c/ Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc 푪푯푫̂ d/ Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: 3 điểm A,B,K thẳng hàng Bài 61. Cho tam giác nhọn ABC(AB>AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H a/ Chứng minh: CE.CA = CD.CB và CH vuông góc AB tại F b/ Gọi M là trung diểm BC. Chứng minh: Tứ giác EFMD nội tiếp c/ Từ D kể đường tẳng song song EF cắt AB tại R, AC kéo dài tại Q. Gọi P là giao điểm của EF và BC. Chứng minh: đường tròn nội tiếp tam giác PQR đi qua M d/ Cho diện tích tam giác ABC = 1(đvdt), 푪̂ = . Tính diện tích tứ giác BCEF Bài 62. Cho tam giác ABC có góc ̂ = ퟒ nội tiếp trong đường tròn (O;R). Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. BE và CD cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Tứ giác AEHD nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn đó b/ Tứ giác BDOE là hình gì? Vì sao? c/ Chứng minh: 3 đường thẳng OH, DE, IK đồng quy d/ Chứng minh: 푺 푫푬푪 = 푺∆ 푫푬 (S là diện tích) và tính DE theo R Bài 63. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB; đường này cắt đường tròn lần lượt tại E và F; cắt AC tại I (điểm E thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh a/ Tứ giác BDCO nội tiếp b/ DC2 = DE.DF c. Tứ giác DOIC nội tiếp
d/ I là trung điểm cạnh EF Bài 64. Cho (O;R). Điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE không qua O sao cho AD AC) nội tiếp (O;R). Đường cao CD của tam giác ABC cắt đường tròn (O;R) ở E. Vẽ EF vuông BC tại F. a/ Chứng minh: DA.DB = DC.DE b/ Chứng minh : 4 điểm B, E, D, F cùng thuộc đường tròn. c/ Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng DF và AC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho DH = DE. Chứng minh: Tứ giác ADEM nội tiếp và H là trực tâm ∆ABC d/ Giả sử AC = 퐑√ .Gọi N là giao điểm của EF và BD. Chứng minh: Tứ giác AHNE là hình vuông. Bài 67. Cho AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O;R) (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc với AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. a/ Chứng minh: CO = CD b/ Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thoi c/ Gọi M là trung điểm của CE. BM cắt OH tại I. Chứng minh: IO = IH d/ Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh: O, M, K thẳng hàng Bài 68. Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O,R) (AB < AC). Vẽ đường kính AD. Vẽ dây cung DE // BC. Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh: AE _|_ BC tại F và 푬̂ = 푪 푫̂ b/ Vẽ EH _|_ AB tại H, EK _|_ AC tại K. Chứng minh: Các tứ giác BFEH và
EFKC nội tiếp c/ Chứng minh: EH.EC = EB.EK và 3 điểm H, F, K thẳng hàng d/ Chứng minh: AE.BC = 푺 푪푫 và 2 góc 푬푲̂ và 푯 ̂푪 có chung tia phân giác Bài 69. Cho nửa đường tròn (O;R). Đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB, K là trung điểm dây cung BC, AK cắt (O) tại M, vẽ CI vuông AM tại I, CI cắt AB tại D. a/ Chứng minh : 푶푪̂ = 900 và tứ giác ACIO nội tiếp, tính số đo góc 푶푰푫̂ . b/ Chứng minh: OI là tia phân giác góc 푪푶푴̂ . 푰푶 c/ Chứng minh: ∆CIO đồng dạng ∆CMB. Tính tỉ số ? 푴 d/ Tính độ dài AM, BM theo R. Bài 70. Cho nửa đường tròn tâm O bán kính AB. I là trung điểm của OA, tia Ix vuông góc với AB và cắt (O) tại K. Trên IK lấy M bất kì. AM cắt (O) tại C. IK cắt BC tại D và cắt tiếp tuyến của C tại E. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác CMIB nội tiếp. b/ Tứ giác AICD nội tiếp và AK2 = AM.AC c/ E là trung điểm của DM và IK2 = IM.ID d/ Khi M di chuyển động trên IK thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADM luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định. Bài 71. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm). BC Cắt AO tại H. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng của C qua D. CD cắt cung nhỏ BC tại M. a/ Chứng minh: OA _|_ BC và BC2 = 4HA.HO
b/ Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn (ABM) c/ Gọi I là trung điểm của AOAO. Chứng minh: Tứ giác DHMI nội tiếp. d/ Khi đường tròn ngoại tiếp △ABM đi qua trung điểm K của đoạn AC. Tính sinBKC Bài 73. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (C là tiếp điểm), AC cắt OM tại E, MB cắt (O) tại D và D khác B a/ Chứng minh: Tứ giác AMCO nội tiếp b/ Chứng minh: 퐀퐃퐄̂ = 퐀퐂퐎̂ c/ Kẻ CH _|_ AB tại H. Chứng minh: MB đi qua trung điểm P cạnh CH. d/ BE cắt (O) tại G, AG cắt ME tại S. Chứng minh: S là trung điểm cạnh ME. Tính diện tích tam giác SPE theo R nếu như AM = R Bài 74. Từ 1 điểm M ở ngoài (O;R) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O (MC < MD). Trên (O) lấy B sao cho MB2 = MC.MD. a/ Chứng minh: MB là tiếp tuyến của (O). b/ Đường qua B và vuông góc với OM tại H cắt (O) tại điểm thứ hai A.Đường qua O và song song với AB lần lượt cắt MA, MB tại E, F. Chứng minh: 푶푴 푬 = . 푯푴 푶푯 c/ Tiếp tuyến tại C cắt MA, MB lần lượt tại I, J. OI và OJ cắt AB lần lượt tại S và T. Chứng minh: 3 đường thẳng OC, IT, JS đồng qui. d/ Chứng minh: 4IE.JF = EF2. Cho biết chu vi ΔMIJ bằng 푹√ . Tính diện tích tứ giác ABFE theo R. Bài 75. Cho (O) đường kính AB. (d1) và (d2) là 2 tiếp tuyến tại A và B của (O). M là điểm di động trên (O) (M ≢ A; M ≢ B) và I ∈ OA (I và OA cố định). Lấy C thuộc d1 , lấy D thuộc d2 sao cho CM _|_ MI và ID _|_ IC, CI cắt MA tại E, ID cắt MB tại F. a/ Chứng minh: 3 điểm C, M ,D thẳng hàng và các tứ giác ACMI, MEIF nội tiếp. b/ Chứng minh: FE // AB c/ Vẽ dây MN của (O), MN qua I và (O') nội tiếp tam giác ABN tiếp xúc NA, NB lần lượt tại T và V. Kẻ TP, VQ và NH cùng vuông góc với AB. 푵푯 Chứng minh: không đổi khi M di động trên (O). 푻푷.푽푸
d/ Giả sử I là trung điểm cạnh OA và MI hợp với AB một góc là . Tính diện tích tam giác CID theo R Bài 76. Cho đường tròn (O;R). Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (OA = 2R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là 2 tiếp điểm).M là điểm di động trên cung nhỏ BC. a/ Chứng minh: Tứ giác DBOM nội tiếp. b/ Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính góc DOE và chu vi ∆DAE theo R. c/ BC cắt OD và OE lần lượt tại K và I. Chứng minh: OM, DI, EK đồng quy. d/ Chứng minh: Diện tích tam giác DOE gấp 4 lần diện tích tam giác KOI và 푲푰 tỉ số không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC 푫푬 Bài 77. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt 2 tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn thứ tự tại M, N sao cho 푴푶푵̂ = a/ Chứng minh: (d) là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). b/ Gọi H là tiếp điểm của (d) và (O), I là giao của AN và BM. Chứng minh: IH // BN. c/ Tìm vị trí của (d) để tứ giác HIBN nội tiếp. 풓 d/ Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ΔMON. Chứng minh: < < 푹 Bài 78. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AB (B, C là 2 tiếp điểm). a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC tại H b/ Trên cung nhỏ BCBC lấy điểm M bất kì, kẻ MI _|_ BC tại I, MK _|_ AC tại K, ML _|_ AB tại L. Chứng minh: MI2 =MK.ML c/ Tia AM cắt đường tròn (O) tại N (N ≠ M), đường thẳng qua O vuông góc với MN cắt BC tại S. Chứng minh: 5 điểm O, H, M, S, N cùng nằm trên 1 đường tròn. d/ Cho OA = 2R. Tìm vị trí của MM trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.ML có giá trị lớn nhất. Tính GTLN đó theo R Bài 79. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối tia AB lấy điểm E bất kỳ. Vẽ đường thẳng xy _|_ AB tại E. Trên xy lấy điểm I bất kỳ(I ≠ E). Vẽ tiếp tuyến ID với (O) (D ∈ (O) ( I và D cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là AB)
a/ Chứng minh: 4 điểm I, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn. b/ Đường thẳng qua D và vuông góc với IO tại H cắt AB và IE lần lượt tại F và C. Chứng minh: ID2 = IE.IC c/ Chứng minh: = + 푫푯 푫푭 푫푪 d/ Kẻ tiếp tuyến CK với (O) (K là tiếp điểm , K và C cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là AB). Chứng minh: 3 điểm I, F, K thẳng hàng. Bài 80. Từ điểm A nằm ngoài đt (O;R) sao cho OA > 2R. Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE của đt (O) ( C, B là các tiếp điểm; AD < AE ). Gọi M là trung điểm của dây DE. a/ Chứng minh: 5 A, B, O, M, C cùng thuộc đường tròn. b/ Đường trung trực đoạn AB cắt AB , BC lần lượt tại N và F. Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đt ngoại tiếp ∆ACF. c/ Đường thẳng qua D và vuông góc với OB cắt BC, BE lần lượt tại H, K. Chứng minh: 퐇퐃퐌̂ = 퐇퐂퐌̂ và H là trung điểm của đoạn DK. d/ AK cắt BD tại I. Chứng minh: 4 điểm E, H, I, N thẳng hàng. Bài 81. Cho (O ; R) có 2 đưởng kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC. a/ Chứng minh: Tứ giác ACBD là hình vuông. b/ AM cắt CD, BC lần lượt tại P và I. Gọi J là giao của DM và AB. Chứng minh: IB.IC = IA.IM. c/ Chứng minh: IJ // PD và IJ là phân giác của góc 푪푱̂푴 d/ Tính diện tích ΔAID theo R. Bài 82. Cho (O,R) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm M khác A,B. Qua C tùy ý trên AB, kẻ CH vuông góc AM tại H. a/ Chứng minh: CH // BM và AC.MB = AB.HC. b/ Đường phân giác trong của góc 푴 ̂ cắt CH tại E và cắt (O) tại F, đường thẳng ME cắt (O) tại N. Chứng minh: Tứ giác AECN nội tiếp. c/ Chứng minh: 3 điểm N, C, F thẳng hàng. d/ Cho AB = 7cm. Xác định vị trí điểm C để CN.CF đạt GTLN, tính GTLN đó. Bài 83. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp. Xác định tâm O đường tròn (BFEC).
b/ Chứng minh: AB.AF = AC.AE. c/ Tiếp tuyến tại F của (O) gặp AH tại S. Chứng minh: S là trung điểm AH và SE là tiếp tuyến (O). d/ Kẻ tiếp tuyến AM của (O)(M là tiếp điểm). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh: M, I, O thẳng hàng. Bài 84. Cho (O, R) và điểm A nằm ngoài (O), vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC. Gọi H là giao điểm của OA và BC. a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC. b/ Vẽ đường thẳng (d) vuông góc OA tại A. Từ M trên (d) vẽ 2 tiếp tuyến MD, ME đến (O) (theo thứ tự E, B, D, C trên (O)). Tia OD cắt (d) tại K. Chứng minh: KD.KO = KA.KM. c/ Chứng minh: 3 điểm E, H, D thẳng hàng d/ Cho OA = 2R, đoạn thẳng ED cắt OM tại I. Tìm vị trí điểm M trên (d) để diện tích tam giác OIH lớn nhất. Bài 85. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) ( AB < AC ). Điểm M cung nhỏ BC. Vẽ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với AB, BC, AC tại D, E, F. a/ Chứng minh: Tứ giác MEFC nội tiếp và D, E, F thẳng hàng. b/ Chứng minh: MB.MF = MD.MC c/ Gọi I là trung điểm AB và K là trung điểm EF. Chứng minh: MK vuông góc với KI d/ Gọi V là trực tâm ∆ABC. Chứng minh: = + và DE đi qua 퐹 trung điểm cạnh MV Bài 86. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < BC < AC) nội tiếp trong đường tròn (O; R). Hai đường cao AD va BE cắt nhau tại H. CH cắt AB tai F. Gọi M là điểm đối xứng của H qua AB. a/ Chứng minh: Các tứ giác DHEC và BDHF nội tiếp b/ Chứng minh điểm M thuộc đường tròn (O) c/ Tia FD cắt đường tròn tâm K ngọai tiếp tứ giác DHEC tại N. Chứng minh: EN // AB d/ Đường tròn (O) và đường tròn (K) cắt nhau tại điểm thứ hai P. Chứng minh: BN.BP = BF.BA
Bài 87. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn ( M không trùng với A,B ). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. a/ Chứng minh: AM.AC = AN.AD b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tích AC.AD c/ Chứng minh: tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNC thuộc một đường thẳng cố định. d/ Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh: C, E, N thẳng hàng. Bài 88. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là trung điểm cạnh AD, BE cắt CD tại F. Dựng đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác BFC tiếp xúc với các cạnh FC, BC, BF lần lượt tại K, J, G. a/ Chứng minh: Tứ giác ABDF là hình bình hành và tứ giác FAIK nội tiếp b/ Chứng minh: Tứ giác BGIJ nội tiếp và tứ giác IKCJ là hình vuông. Tính độ dài BJ và r theo cạnh a c/ EC cắt IJ tại L và cắt IK tại Q. Chứng minh: Q là trung điểm cạnh IK và L thuộc đường tròn (I) d/ LC cắt (I) tại điểm thứ hai là H. Chứng minh: Tứ giác DEGH nội tiếp. Tính diện tích tam giác DGH theo a Bài 89. Từ điểm ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA MB và đường kính AD, OM cắt AB tại H, DM cắt (O) tại C a/ Chứng minh: OM//DB và tứ giác AHCM nội tiếp b/ BC cắt OM tại I. Chứng minh: I là trung điểm HM c/ AC cắt OM tại N AB cắt CD tại K Gọi E là trung điểm CD, OE cắt DB tại P Chứng minh: 3 điểm K , N , P thẳng hàng d/ Đường thẳng vuông góc với OM tại I cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại S Chứng minh: S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCH Bài 90. Cho tam giác ABC có tia phân giác trong ở đỉnh B cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh C tại I, tia phân giác trong ở đỉnh C cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh B tại K. BI cắt CK ở H. M là trung điểm IK. Chứng minh: a/ Tứ giác BCIK nội tiếp
b/ 3 điểm I, A, K thẳng hàng c/ Các tứ giác AHBK, AHCI nội tiếp d/ Tứ giác BCMA nội tiếp Bài 91. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M thuộc cung BC không chứa A. Hạ MH vuông góc BC tại H; ME vuông góc AB tại E; MF vuông góc AC tại F. Lấy Q đối xứng M qua E; L đối xứng M qua F; P đối xứng M qua H. a/ Chứng minh: 3 điểm E, H, F thẳng hàng b/ Chứng minh: 3 điểm Q, P, L thẳng hàng c/ Gọi V là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: Các tứ giác AVBQ, AVCL nội tiếp. Từ đó suy ra QL đi qua V. d/ Gọi I là giao của VM và EF. Chứng minh: I là trung điểm của VM Bài 92. Cho 풙 풚̂ = trên Ax lấy điểm B cố định, trên Ay lấy điểm C di động. Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Hai đường thẳng DE và OA cắt nhau tại G. a/ Chứng minh: Tứ giác AFOD nội tiếp và tứ giác AFOE là hình vuông b/ Chứng minh: 5 điểm O, D, G, B, F cùng nằm trên 1 đường tròn. c/ Chứng minh: đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định và 푺∆ 푪 = 푫 . 푫푪 (S là diện tích) d/ Nếu AB = 15cm; AC = 20cm. Tính diện tích 2 tam giác DEF và BGC Bài 93. Cho △ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC tại M. Gọi K là trung điểm BC. a/ Chứng minh: Tứ giác MAOK nội tiếp. b/ Vẽ đường cao BD và CE của △ABC. Chứng minh: DE // AM c/ Khi B là trung điểm MC. Chứng minh: AE = 푫√ d/ Gọi H là trung điểm của ED. Tia AH cắt (O) tại L. Chứng minh: ML là tiếp tuyến của (O). Bài 94. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O),vẽ 2 tiếp tuyến AE,AF và cát tuyến AID không qua tâm O sao cho AI < AD, vẽ OK vuông góc ID tại K. Chứng minh: a/ 5 điểm A, E, O, K, F cùng thuộc 1 đường tròn b/ AI + AD = 2AK và 푰푭푬̂ = 푲푭푫̂ c/ FI.DE + FD.IE = FE.ID d/ Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) lần lượt cắt AF và AE tại B,C. Vẽ
DH vuông góc EF tại H. Đường trung trực BC cắt EF tại M. Chứng minh: Tứ giác BHMC nội tiếp Bài 95. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E (BC không là đuờng kính của đường tròn tâm O và O và A nằm ở 2 mặt phằng bờ BC khác nhau). Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K. 1/ Chứng minh: 푫푬̂ = 푪 ̂ 2/ Chứng minh: OK vuông góc với DE 3/ Trường hợp K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH 4/ DE cắt BC tại I. Trên cạnh AI lấy điểm F sao cho AD.AC = AF.AI. Chứng minh: I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 95. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên tia đối tia AB lấy điểm M sao cho AM = R. Từ M vẽ cát tuyến MCD đến (O) sao cho MC < MD, AD cắt BC tại I. Vẽ IN _|_ AB tại N. Chứng minh rằng: a/ MC.MD = 3R2 và các tứ giác ACIN, BDIN nội tiếp b/ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CND c/ Tứ giác CNOD nội tiếp và Tam giác IAO là tam giác cân d/ Trong trường hợp OC _|_ OD. Tính diện tích tứ giác CNOD theo R Bài 96. Cho ΔABC nội tiếp (O). Tia phân giác góc 푪̂ cắt (O) ở M và cắt BC ở N a/ Chứng minh: AB. AC = AM . AN và AN2 = AB.AC – BN.NC b/ Tiếp tuyến tại M của M của (O) cắt tia AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh: ΔABM ~ ΔMCE c/ Chứng minh: Nếu AC = CE thì AM2 = MD. ME d/ Đường tròn (O') qua A, M cắt tia AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi I, K là trung điểm BC, PQ. Chứng minh: IK vuông góc với AM Bài 97. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;6cm) có AO = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là tiếp điểm). BC cắt AO tại H. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt cung nhỏ BC tại E. Tia AE cắt đường tròn tại F (khác E). Kẻ OK vuông góc với EF tại K. Chứng minh: a/ 퐾 ̂ = ̂
b/ Tứ giác EHKC nội tiếp. c/ Tam giác OHK cân và tính độ dài OK . d/ Tia FH cắt AB tại I. Chứng minh: I là trung điểm của AB. Bài 98. Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. a/ Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp b/ Tính góc 푪푯푲̂ c/ Chứng minh: KH.KB = KC.KD d/ AM cắt DC tại N. Chứng minh: = + 푫 푴 푵 Bài 99. Cho điểm M nằm ngoài (O;R) có đường kính AB sao cho AM > MB. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O) tại D, K. Tia DK cắt tia AB tại C, tia BM cắt tia AD tại N, DO cắt AM tại E, KO cắt BM tại F. Vẽ MH _|_ AB tại H a/ Chứng minh: 5 điểm O, E, M, F, H cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh: OD.OE = OC.OH = AD.BK c/ Chứng minh: NO _|_ AK d/ Tia AM cắt tia BK tại S. Chứng minh: 3 điểm N, S, C thẳng hàng. Bài 100. Cho điểm M ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB đến O và cát tuyến MCD không qua tâm O ( MC < MD , B và C nằm ở 2 mặt phằng bờ OA khác nhau) a/ Chứng minh: Tứ giác MABO nội tiếp. b/ Gọi giao điểm MO và AB là H. Chứng minh: tứ giác CHOD nội tiếp. c/ Từ C kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường kính AF tại I, FD cắt CI tại K. Chứng minh: I là trung điểm CK. d/ DI cắt OM tại S. Điểm P thuộc cạnh AM sao cho PS // AB. Trong trường hợp BC // AF, chứng minh: PM = PD Bài 101. Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, AD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác BFEC, DHEC nội tiếp b/ AD là tia phân giác góc 푬푫푭̂ và CD.CB = CE.AC c/ AF.BD.EC = BF.CD.AE d/ Trong trường hợp cho biết BD2 + CD2 = R2 và tanB.tanC = 4 (B,C là các góc
tam giác ABC). Tính tỉ số diện tích 2 tam giác BHC và HEF Bài 102. Cho tam giác ABC (AB R) có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó. Kẻ đường kính AI. Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối MB lấy một điểm D sao cho MD = MC a/ Nếu như 푪̂ = . Tính góc 푴푪̂ và 푰푶푪̂ b/ Chứng minh rằng tia MA là tia phân giác của góc 푴풙̂ c/ Gọi K là giao điểm thứ 2 của đường thằng DC với đường tròn (O;R). Tứ giác MIDK là hình gì ? Vì sao ?. Tìm quỹ tích của D khi M di động trên cung nhỏ AC d/ Nếu OB // IC và AM = 2MC. Tính diện tích tam giác AMC theo R Bài 105. Cho (O) đường kính AC và điểm B thuộc đoạn OC. Gọi M là trung điểm của AB. Vẽ dây DE vuông góc với AB tại M. Kẻ BF vuông góc với DC tại F. a/ Chứng minh: ADBE là hình thoi và tứ giác DMBF nội tiếp. b/ Chứng minh: CF.CD = CB.CM c/ Chứng minh: 3 điểm B, E, F thẳng hàng và 2EB.EF = DE2 d/ Gọi S là giao của BD và MF, CS cắt DA tại H và cắt DE tại K. 푫 푫 푫푬 Chứng minh: + = 푫푯 푫푺 푫푲
Bài 106. Cho ∆ ABC vuông tại A ( AB < AC ), có đường cao AH và O là trung điểm BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. a/ Chứng minh: AM.AB = AN.AC và tứ giác BMNC nội tiếp. b/ Gọi D là giao điểm của OA và MN. Chứng minh: Tứ giác ODIH nội tiếp và = + 푫 푯 푯푪 c/ Gọi P là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng BC. Đường thẳng AP cắt đường tròn đường kính AH tại điểm K ( khác A ). Tính góc 푲푪̂ . 4/ Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Bài 107. Từ 1 điểm M ngoài (O;R). Kè 2 tiếp tuyến MB và MC đến (O) với B và C là tiếp điểm. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O vuông góc với BD cắt các cạnh BC, MC, CD lần lượt tại I, E, F a/ Chứng minh: Các tứ giác MBOC, CDOI nội tiếp b/ Chứng minh: MF = R và CD.CF = CI.CB c/ Kẻ tiếp tuyến FK đến (O)( K thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh: MF // IK d/ Khi OM = 2R. Chứng minh: E di động trên 1 đường tròn cố định và tính diện tích tam giác DIM theo R Bài 108. Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F. (ME < MF). Vẽ cát tuyền MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với MO). a/ Chứng minh: MA.MB = ME.MF b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng MO Chứng minh: Tứ giác AHOB nội tiếp. c/ Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF, nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) taỊ K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh: MS _|_ KC d/ Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm cạnh KS. Chứng minh: 3 điểm P, Q, T thẳng hàng. Bài 109. Cho đường tròn tâm O, đg kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho 푶 AI = . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N, B. Nối AC cắt MN tại E.
a/ Chứng minh: tứ giác IECB nội tiếp b/ Chứng minh: ΔAME ∼ ΔACM và AM2 = AE.AC c/ Chứng minh: AE.AC – AI.IB = AI2 d/ Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 110. Từ 1 điểm M ngoài (O;R) sao cho OM > 2R, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB đến (O) với A và B là tiếp điểm. Gọi I là trung điểm cạnh AM, BI cắt (O) tại D, MD cắt AB tại K và cắt (O) tại E, OM cắt AB tại H. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác MAOB nội tiếp và KD.KE = KB.KA b/ IA2 = ID.IB và ∆푰푴푫 ~ ∆푰 푴 c/ 3 đường thẳng AE, IK, BM đồng quy tại 1 điểm d/ EH cắt AM tại S. Chứng minh: Tam giác ABS là tam giác cân Bài 111. Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến bất kì qua B cắt (O) tại E, cắt (O') tại F. Cát tuyến BCD vuông góc với AB tại B (C ∈ (O); D ∈ (O')).Gọi K là giao điểm của CE và FD và I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: a/ AE = AF b/ Các tứ giác AEKF và ACKD nội tiếp. c/ ΔEKF cân và 3 điểm I, A, K thẳng hàng d/ Khi cát tuyến BEF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào? Bài 112. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại E và F a/ Chứng minh: Tứ giác HEAC là hình chữ nhật b/ Chứng minh: HB. HC = EB.EA + FA.FC và tứ giác CFEB nội tiếp c/ Chứng minh: Đường trung tuyến AM tam giác ABC vuông góc với EF. Tam giác ABC cần có điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác AEHF d/ Chứng minh: BC + AH > AB + AC và AB + AC + BC ≥ ( √ + ). 푯. Tính góc B và C tam giác ABC khi AB2 = 4AE.AF Bài 113. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm a/ Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp và OA _|_ BC tại H
b/ Vẽ đường kính CD của (O); AD cắt (O) tại M. Chứng minh: 푯푴̂ = 푴 푪̂ c/ Tia BM cắt AO tại N. Chứng minh: NA = NH d/ Vẽ ME là đường kính của (O), gọi I là trung điểm DM. Chứng minh: 3 điểm B, I, E thẳng hàng và BI // MH. Bài 114. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, tam giác này nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O. Trên đoạn AH lấy 1 điểm D (D khác A và H); tia BD lần lượt cắt AC và nửa đường tròn (O) tại I và M. a/ Chứng minh: IA. IC = IM.IB b/ Chứng minh AB2 = BD.BM c/ Gọi N là trung điểm của đoạn IC, K là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh BC. Chứng minh: Tứ giác AMNK nội tiếp d/ Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM. Xác định vị trí của điểm D trên đoạn AH sao cho đoạn HJ có độ dài ngắn nhất. Bài 115. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm) . Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO có chứa điểm B vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa A và D). a/ Chứng minh: AB2 = AC.AD b/ Gọi M là trung điểm của CD, kẻ BH vuông góc với AO, BH cắt AD tại K. Chứng minh: Các tứ giác KMOH, ABMO nội tiếp và AC.AD = AK.AM c) Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp suy ra KC.AD = KD.AC. d/ Đường thẳng qua A vuông góc với AO cắt BD, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: AE = AF Bài 116. Cho ∆ABC có ba góc nhọn . Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . a/ Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp . Xác định tâm O của (BFEC) b/ Chứng minh: AB.AF = AC.AE c/ Tiếp tuyến tại F của đường tròn (O) cắt AH tại S. Chứng minh: S là trung điểm AH và SE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O . d/ Kẻ tiếp tuyến AM của đường tròn (O) (M là tiếp điểm), gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh: 3 điểm M, I, O thẳng hàng . Bài 117. Qua điểm H nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến HAB và HFC sao cho hai đường thẳng AC và BF cắt nhau tại một điểm D nằm trong đường tròn. a/ Chứng minh: 푯̂ + 푫푬̂ = 푪̂
푺∆푫 푭 푫 .푫푭 b/ Chứng minh: = (S là diện tích) 푺∆푫 푪 푫 .푫푪 c/ Chứng minh: AB.CF + AF.CB = AC.BF d/ Đường thẳng qua A vuông góc với AB và cắt đường thẳng qua F vuông góc với FC cắt nhau tại P. Chứng minh: 3 điểm O, P, D thẳng hàng. Bài 118. Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho BC>AC . Các tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại D. a/ Chứng minh: Tứ giác ADOC nội tiếp và OD // BC . b/ CD cắt AB tại S, vẽ AH vuông DS tại H. Chứng minh: DC2 = DH.DS và SD.HC = SC.CD c/ Qua S kẽ đường thẳng (d) // AD. Gọi M và E lần lượt là giao điểm của đường thẳng BD và AC đến đường thẳngt (d). Chứng minh: SE = 2SM. d/ Vẽ MN vuông BE tại N. Gọi R là trung điểm của AS. Chứng minh: 3 điểm M, R, N thẳng hàng. Bài 119. Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). M là 1 điểm nằm trên cung nhỏ BC (M khác B và C). AM cắt BC tại D. a/ Chứng minh: AB2 =AD.AM và tâm đường tròn ngoại tiếp tam gíac BMD di động trên đường nào khi M di động trên cung nhỏ BC. b/ Khi MB < MC, trên AM lấy điểm I sao cho MI = MB. Chứng minh: Tứ giác AOBI nội tiếp và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó theo R. c/ Chứng minh: = + 푴푫 푴 푴푪 d/ Vẽ góc ̂ có số đo bằng 600 sao cho Dx cắt AB tại E và Dy cắt AC tại F. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để BE.CF đạt giá trị lớn nhất. Bài 120. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) tia OA cắt đường tròn (O) tại D (D khác A).Lấy M trên cung nhỏ BA( M khác A và B).Dây MD cắt dây BC tại I.Trên tia đối của MC lấy điểm E sao cho ME = MB.Chứng minh rằng: a/ MD là tia phân giác góc 푴푪̂ b/ MI song song BE c/ Goi giao điểm của đường tròn (D) bán kính DC với MC là K (K khác C). Chứng minh: tứ giác DCKI nội tiếp d/ Gọi giao điểm thứ 2 của đường thẳng KI với (D, DC) là P.
Chứng minh: M,B,P thẳng hàng Bài 121. Cho đường tròn (O) và dây cung BC với góc 푶푪̂ = . Các tiếp tuyến tại B và C với đường tròn cắt nhau tại A.Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC (trừ B,C). Tiếp tuyến M với đường tròn ( O) cắt AB tại E, cắt AC tại F. a/ Tính số đo góc 푬푶푭̂ b/ Tính chu vi tam gicá AEF, biết bán kính đường tròn ( O) đã cho là R. c/ Gọi I và K tương ứng là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh: EF = 2KI. d/ Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC của đường trón (O) để: 풑 = 푶푴 + 푬푲 + 푭푰 trong đó p là 1/2 chu vi tam giác EOF. Bài 122. Cho ∆ABC ( AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc 푪̂ cắt BC tại D, cắt (O) tại E. Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh: a/ Tứ giác AMDK nội tiếp. b/ Tam giác AKM cân. c/ AD2 = AB.AC – DB.DC d) Diện tích tứ giác AKEM bằng với diện tích tam giác ABC Bài 123. Từ một điểm A nằm ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là 2 tiếp điểm). Vẽ đường kính BD của (O). AD cắt (O) tại E (E khác D). Gọi I là trung điểm của DE. a/ Chứng minh: 5 điểm A,B,O,I,C cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn đi qua 5 điểm này b/ Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: HE _|_ CE c/ Gọi M là giao điểm của AO và BI, N là gaio điểm của OC và AD, MC cắt AD tại K. Chứng minh: AM.AO – NI.AK = AI.AK. 푰.푶푰+ .푶 d/ Chứng minh: sinBAI = 푰. +푶 .푶푰 Bài 124. Cho một điểm M cố định ở trong đường tròn (O;R) và hai dây cung AB, CD vuông góc với nhau tại M. Gọi E,F lần lượt là trung điểm AC và AD. a/ Chứng minh: Tứ giác AEOF nội tiếp và MA.MB = MC.MD b/ Các đường thẳng EM và FM cắt BD, BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: EP vuông góc với BD và 4 điểm M,Q,B,P cùng nằm trên một đường tròn.
c/ Chứng minh: BD = 2EO d/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ACBD Bài 125. Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn sao cho OA>2R, kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm), OA cắt DE tại K a/ Chứng minh: Tứ giác ADOE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này. b/ Kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH, CP cắt đường tròn (O) tại Q, AQ cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh: AQ.AM = AI.AO c/ Chứng minh: Đường thẳng AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ d/ Dựng hình bình hành ADKS. Chứng minh: 3 điểm D, Q, S thẳng hàng, Bài 126. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến xy tại M của nửa đường tròn cắt trung trực của AB tại I . Đường tròn tâm I bán kính IO giao với xy tại C, D (C thuộc góc 푶푴̂ ) a/ Chứng minh: 푰푪푶̂ = 푰푶푪̂ và BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm o b/ OC cắt AM tại P, OD cắt BM tại Q . Chứng minh: Các tứ giác APQO, CPQD nội tiếp c/ Chứng minh: PO.OC = QO.OD và tứ giác OHKI là hình bình hành d/ Xác định vị trí M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD có giá trị nhỏ nhất Bài 127. Cho tam giác ABC nhọn có ̂ = nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi S là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và C của (O). Gọi M là giao điểm của BC và SO. a/ Chứng minh: Tứ giác OBSC nội tiếp đường tròn tâm I. Xác định I. b/ Kẻ bán kính IE vuống góc với OB. Gọi F là đối xứng của điểm E qua BC. Chứng minh rằng AF là tia phân giác của 푰̂ c/ Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi T, P, Q lần lượt là trung điểm của CH, MC, BS. Tia AT cắt (O) tại N. Chứng minh: PQ song song với CN. d/ Tính diện tích ΔFBE theo R. Bài 128. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C trên AB.Tia phân giác của 푪푫̂ cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là E, cắt tia phân giác của góc 푪̂ tại H. a/ Chứng minh: CD2 = DA.DB và 푶푪̂ = 푫푬푪̂
b/ Chứng minh: AE // BH c/ Tia phân giác của 푪 ̂ cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là F, cắt CE tại I. Tính diện tích tam gíac FID trong trường hợp tam giác đó đều. d/ Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AK và BH. Xác định vị trí của C để tổng khoảng cách từ các điểm I , J , K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất Bài 129. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC (B và C là tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại E. a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp. b/ Chứng minh BE.BC = 4R2 c/ Chứng minh: AD vuông góc với OE d/ Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi CE, DE và cung nhỏ CD khi BC = 푹√ Bài 130. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O;R) có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đoạn BC và AH. a/ Chứng minh: Các tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp. Xác định các tâm đường tròn ngoại tiếp. b/ AH cắt BC tại D. Chứng minh: tam giác DÈF nội tiếp đường tròn đường kính IK. c/ Các đường thẳng È và BC cắt nhau tại M. Đoạn thẳng AM cắt (O) tại N. Chứng minh: HN vuông góc với AM. d/ Kẻ tiếp tuyến tại B của (O) cắt đướng thẳng ME tại S. Chứng minh: 5 điểm B, S, N, E, I cùng thuộc 1 đường tròn. Bài 131. Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến AEF (Tia AF nằm giữa hai tia AB và AO). Kẻ dây BC của (O) vuông góc với OA tại H a/ Chứng minh: AB2 = AE.AF và 푪푶̂ = b/ Chứng minh: Tứ giác OHEF nội tiếp c/ Gọi I là trung điểm của EF. Đường thẳng OI cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh: PF là tiếp tuyến của (O) d/ Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và N). Đường thẳng NB cắt đường thẳng CM tại S. Chứng minh: SA vuông góc với MN.
Bài 132. Cho điểm A ở trong đường tròn (O) và điểm B thuộc (O) sao cho < 푶 ̂ < . Đường thẳng vuông góc với OA tại A cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại M. a/ Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp . xác định tâm I của đường tròn này. b/ (I) cắt (O) tại C. Tia BC cắt MO, MA, tia OA lần lượt tại H, D, E. Chứng minh: DC.EB = DB.EC 푯푫 푯푪 c/ Chứng minh : = 푪푫 푬푪 d/ Khi ME = 푯√ . Chứng minh: ΔMEO có (cotgM + 1)(cotgE + 1) = 2 Bài 133. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F, EC cắt FB tại H a/ Chứng minh: AH vuông góc BC tại M và MH.MA = MB.MC b/ Chứng minh: Tứ giác EFOM nội tiếp c/ Vẽ tiếp tuyến AL với (O) ( L là tiếp điểm và L thuộc cung FC). Chứng minh: AL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MHL. d/ Gọi D là giao điểm của EF và BC. Chứng minh: 3 điểm L, H, D thẳng hàng. Bài 134. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, 푪̂ = .Gọi M là trung điểm AC và AH vuông góc BC a/ Chứng minh: Tứ giác AMHO nội tiếp đường tròn tâm I b/ Chứng minh: (O) tiếp xúc (I) c/ Gọi N là giao điểm của AB với (I). Chứng minh:3 điểm N, I , M thẳng hàng d/ Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung AB Bài 135. Từ điểm A ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm) qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt OC tại M. a/ Chứng minh: 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này b/ Chứng minh: Tam giác AOM cân c/ Chứng minh: OA2 = 2OC.OM d/ Trên đoạn OD lấy điểm D sao cho BC = CD√ . Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt OC tại E. Chứng minh: CD đi qua trung điểm đọan EB Bài 136. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) bán kính AH .Từ H vẽ dây AC vuông góc HE tại S. Từ B vẽ tiếp tuyến BD của (A) (D khác H )
a/ Chứng minh: CE là tiếp tuyến của (A) b/ Đường thẳng CD cắt (A) tại V (V khác D). Chứng minh: 3 điểm D, A, E thẳng hàng c/ Chứng minh: CS.AC = CV.CD d/ Đường tròn tâm O đường kính BC cắt (A) tại M,N. Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh: 3 điểm M,I,N thẳng hàng Bài 137. Cho △ABC nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH. Vẽ đường kính AK của (O). a/ Chứng minh: AB.AC = AH.AK b/ Đường tròn đường kính AK cắt AB, AC lần lượt tại D và E. AK cắt DE, BC lần lượt tại F và I. Chứng minh: BDEC nội tiếp c/ Chứng minh: AK _|_ DE 푯푫 푰푴 d/ Hạ IM _|_ AB tại M, IN _|_ AC tại N. Chứng minh: . = 1 푯푬 푰푵 Bài 138. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm), vẽ cát tuyến ADE không đi qua tâm O và nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường OA có chứa điểm B (D nằm giữa A và E). a/ Chứng minh AB2 = AD .AE b/ Gọi M,S lần lượt là trung điểm của DE và OA. Chứng minh: 5 điểm A, M, B, O, C cùng thuộc đường tròn tâm S c/ Chứng minh: MA là tia phân giác của góc 푴푪̂ d/ Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC, BE lần lượt tại I, N. Chứng minh: 푰푫푴̂ = 푴̂ góc IDM = góc BAM và tứ giác IDCM nội tiếp. Bài 139. Cho hình vuông ABCD cố định, cạnh a. E là điểm di chuyển trên canh CD( E khác D). Đường thẳng AE và BC nhau tại tại F. Đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K a/ Chứng minh: AF.(CK−FC) = BD.FK b/ Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp ACFK và chứng minh I di động trên 1 đường cố định c/ AF cắt BI ở H. Chứng minh BH.AI = BA.HF d/ Đặt DE = x. Tính chu vi và diện tích tam giác AEK theo a và x . Chỉ ra vị trí điểm E để độ dài EK ngắn nhất
Bài 140. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O). a/ Chứng minh: Tứ giác AMON nội tiếp. b/ Chứng minh: AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm c/ Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh: MT // AC d/ Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh: K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài Bài 141. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao AD, AD cắt (O) tai E. Trên AD lấy điểm H sao cho D là trung điểm của EH, BH cắt AC tại K và cắt (O) tại F. a/ Chứng minh: Tứ giác HKCD nội tiếp b/ Chứng minh: EF // KD c/ Chứng minh: CO vuông góc KD d/ Cho AB = 8KD. Tính KD theo R Bài 142. Cho đường tròn (O;R) điểm P nằm ngoài đường tròn sao cho OP = 2R vẽ cát tuyến PAB và 2 tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. Kể MH vuông góc OP tại H a/ Chứng minh: MO vuông góc AB tại I và tứ giác MIHP nội tiếp b/ Chứng minh: OH.OP = OI.OM c/ Chứng minh độ dài OH luôn không đổi khi cát tuyến PAB quay quanh P 푹 d/ Cho OI = . Tính diện tích ∆PHA theo R Bài 143. Từ điểm A ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến (O) với B, C là các tiếp điểm, D nằm giữa A và E. Gọi K là trung điểm của DE. a/ Chứng minh: 5 điểm A, B, O, K, C cùng thuộc một đường tròn b/ Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ dây EF của (O) vuông góc với OA. Chứng minh: 3 điểm D, H, F thẳng hàng c/ Chứng minh: Tứ giác ADOF nội tiếp d/ Kẻ đường kính BI của (O). Hai tia ID và IE cắt OA lần lượt tại M và N. Chứng minh: OM = ON.
Bài 144. Cho ΔABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. DA cắt đường tròn tại E. a/ Chứng minh: Tứ giác ABCD nội tiếp b/ Chứng minh: CD.AM = MD.AB và CA là tia phân giác của 푪푬̂ c/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh: bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔNBC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔMBC d/ Cho AB = 15cm; AC = 20cm, AM = 8cm. Tính diện tích tam giác ABE Bài 145. Cho tam giác ABC có góc 푪̂ tù, BC = √ cm, 푪̂ = nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ đường kính AD, gọi H là hình chiếu của A trên BC và E là hình chiếu của B trên AD a/ Tính số đo góc 푶푪̂ và điện tích hình tròn (O) b/ Chứng minh: 4 điểm B, H, A, E cùng thuộc 1 đường tròn c/ Chứng minh: HE vuông góc AC 푹 d/ Nếu AH = . Tính độ dài AB và AC Bài 146. Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Trên d lấy M (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vuông góc MB, BD vuông góc MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a/ Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp và 5 điểm O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh: OI.OM = R2 và OI.IM = IA2 c/ Chứng minh: Tứ giác OAHB là hình thoi và 3 điểm O, H, M thẳng hàng d/ Tìm quỹ tích điểm H khi M chuyển động trên d. Bài 147. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB >AC), đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. a/ Chứng minh: AD.AB = AE.AC b. Gọi G là giao điểm của BE và DC, H là giao điểm của AG và BC. Chứng minh: Tứ giác DOHE nội tiếp c/ GH cắt (O) tại K. Tiếp tuyến tại K cắt BC tại F. Chứng minh: 3 điểm D, E, F thẳng hàng d/ Nếu tam giác DKF vuông cân tại K, tính diện tích tứ giác DOHE theo R
Bài 148. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên AB lấy điểm E, trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE = CF. Đường kính AD cắt EF tại M và BC cắt EF tại N. a/ Chứng minh: Tam giác DEF là tam giác cân b/ Chứng minh: MA.MD = ME.MF c/ Chứng minh: N là trung điểm của EF. d/ Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF khi E chuyển động trên AB Bài 149. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R) có BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn có tâm là I. Xác định vị trí của I b/ Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh: EB là tia phân giác của góc 푫푬푭̂ c/ Vẽ tiếp tuyến xAy của (O). Chứng minh: OA vuông góc với EF d/ Đường thằng EF cắt (O) tại N và M (điểm F nằm giữa N,E ). Chứng minh: AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác NHD Bài 150. Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Gọi K là điểm nằm giữa 2 điểm B và C. Tia AK cắt (O) tại M a/ Tính số đo góc 푪 ̂ và 푴푪̂ b/ Vẽ CI vuông góc với AM. Chứng minh: Tứ giác AOIC nội tiếp. c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB d/ Nếu K là trung điểm của BC. Tính tanMAB Bài 151. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O).Các đường cao AF, CE cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác AEFC nội tiếp b/ Kẻ đường kính AK của (O). Chứng minh: ∆ 푲 ~ ∆ 푭푪 c/ Kẻ FM // BK (M thuộc AK). Chứng minh: CM vuông góc với AK d/ Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh: 3 điểm M,I,E thằng hàng Bài 152. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Vẽ các tiếp tuyến AB,AC với (O). Gọi I là giao điểm của OA và (O) a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp b/ Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
c/ Vẽ cát tuyến AMN với (O) ( AMN không qua O ). Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh: 푲 ̂ = 푲푪̂ d/ Chứng minh: AB.AC = AM.AN Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AM, AN nếu MN = 푹√ Bài 153 .Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) AB< AC.Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Các tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp b/ Kẻ đường kính BK của (O). Chứng minh: AE.BK = AB.KC c/ Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Gọi D là giao điểm của tia AI với (O). Chứng minh: Tam giác BDI cân d/ Gọi M,N lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC. Kẻ CQ vuông góc với AD tại Q. Chứng minh: 3 điểm M,N,Q thằng hàng Bài 154. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), bán kính R.Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC a/ Chứng minh: Các tứ giác AEHF và AEDB nội tiếp b/ Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh: AB.AC= AK.AD c/ Chứng minh: OC vuông góc DE 푲 d/ Cho BC = . Tính AB.CK + AC.BK theo R ퟒ Bài 155. Cho (O;R). Từ A nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến AB,AC với (O) và cát tuyến ADE. Gọi H là giao điểm của OA và BC a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC b/ Chứng minh: AB2 = AD.AE c/ Chứng minh: Tứ giác DHOE nội tiếp d/ Tia DH cắt (O) tại F. Chứng minh: EF // BC Bài 156. Cho BC là một dây cung cố định của đường tròn (O;R) ( BC ≠ 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, BDHF nội tiếp b/ Chứng minh: ∆ 푬푭 ~ ∆ 푪 c/ Gọi I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh: IH.BE = BI.HE d/ Xác định vị trí của A để tổng DE + EF + DF đạt giá trị lớn nhất
Bài 157. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), có đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE a/ Chứng minh: Các tứ giác CEHD, AEDB nội tiếp b/ Chứng minh: ED = BC c/ Chứng minh: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) d/ Vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) tại A, gọi K là điểm cố định trên AH, trên xy lấy điểm M di động. Vẽ đường tròn (M;KM), đường tròn này cắt đường tròn (O) tại G và F. Chứng minh: Đường thẳng GF luôn đi qua điểm cố định Bài 158. Cho 3 điểm M,N,P cố định thẳng hàng (N nằm giữa M và P). Vẽ đường tròn (O;R) đi qua N,P ( O không nằm trên MP). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (O). Gọi C là trung điểm của NP, AB cắt MP, OM lần lượt tại E, D a/ Chứng minh: 5 điểm M, B, C, O, A cùng thuộc 1 đường tròn b/ Chứng minh:MB2 = MN.MP c/ Chứng minh: EN.MP = MN.EP d/ Xác định vị trí điểm O để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COE cách 푹 MP một khoảng đúng bằng ퟒ Bài 159. Cho (O;R) từ M ở ngoài (O) vẽ tiếp tuyến MA, MB. Lấy C bất kỳ trên cung nhỏ AB. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của C trên AB, AM, MB a/ Chứng minh: Tứ giác AECD nội tiếp được b/ Chứng minh: 푪푫푬̂ = 푪 ̂ c/ AC cắt ED tại I, CB cắt DF tại K. Chứng minh: IK//AB d/ Xác định vị trí C trên cung nhỏ AB để AC2 + BC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính GTNN đó khi OM = 2R Bài 160. Cho (O) đường kính AB. I đối xứng với O qua A . kẻ tia Ix vuông góc với IA. Trên Ix lấy M bất kì. gọi C, D lần lượt là giao điểm thứ 2 của MA, MB với (O), E là giao điểm thứ 2 của IC với (O) . a/ Chứng minh: Các tứ giác CIMB, IMDA nội tiếp b/ Chứng minh: AD là tia phân giác góc 푰푫푪̂ c/ Chứng minh: BD.BM = 2ID.IC
d/ Tìm vị trí của M trên tia Ax sao cho IMED là hình thoi Bài 161. Cho điểm A ở ngoài (O;R) từ A kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với (O). Kẻ dây BC của (O) vuông góc với OA tại H a/ Chứng minh AB2 = AM.AN và AC là tiếp tuyến của (O) b/ Chứng minh: Tứ giác OHMN nội tiếp được c/ Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại S Chứng minh: 3 điểm S, B, C thẳng hàng d/ Kẻ đường kính BE của (O) gọi P là hình chiếu của C trên BE gọi I là giao điểm của AE và PC. Chứng minh: I là trung điểm PC Bài 162. Gọi P là một điểm cố định nằm trên (O;R), góc 풙푷풚̂ = α ( α CM). Gọi D là giao điểm của AM và (O) (D khác A). a/ Chứng minh: MA.MD = MB.MC b/ Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC, ED cắt BC tại N. Chứng minh: BN.CM = BM.CN c/ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD, OM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD tại F. Chứng minh: 3 điểm B, I, E thằng hàng và tứ giác BOCF nội tiếp d/ Xác định vị trí các điểm M để 2AM + AD đạt GTNN Bài 164. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O, vẽ hình bình hành ABCD. a/ Chứng minh: AD _|_ OA b/ Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.Chứng minh: Tứ giác ABCH nội tiếp c/ Tiếp tuyến tuyến tại C của đường tròn tâm O cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh: 3 đường thẳng AC,ON,BD đồng quy
d/ Cho AB = 20cm ; BC = 24cm. Tính bán kính đường tròn O và diện tích tam giác ABH Bài 165. Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định (BC AC) và đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm BE và CF, tia AH cắt BC tại D. a/ Chứng minh: AE.AC = AF.AB = AH.AD b/ Chứng minh: 4 điểm O, D, F, E cùng thuộc đường tròn c/ Tính diện tích tứ giác BCEF khi biết BD = 6cm; HC = √ cm; BC = 21cm d/ Qua A vẽ đường thẳng song song với BH, đường thẳng này cắt tia CF và tia BC lần lượt tại M và K, MK cắt BE tại N. Chứng minh: AMHN là hình bình hành. Bài 168. Cho tam giác ABM nhọn, nội tiếp đường tròn (O1). Trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho AM là phân giác của góc BAC. Gọi (O2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC. a/ Cho 푪̂ + 푶 푴̂ = ퟒ . Tính độ dài BM theo bán kính đường tròn (O1) b/ Chứng minh: 2 tam giác AO1O2 và tam giác ABC đồng dạng. c/ Gọi O là trung điểm của O1O2 và I là trung điểm của BC. Chứng minh: tam giác AOI cân.
d/ Đường thẳng vuông góc với AM tại A tương ứng cắt đường tròn (O1), (O2) tại D, E ( D & E khác A). Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt DE tại N. Chứng minh: ND.AC = NE.AB Bài 169. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi D là điểm đối xứng của M qua AB và F là giao điểm của hai tia BM, DA. Gọi P là chân đương vuông góc từ F đến AB. a/ Chứng minh: 4 điểm A, M, F, P cùng thuộc 1 đường tròn b/ Gọi E là giao điểm của 2 tia MA và FP. Chứng minh: tam giác PEM cân c/ Chứng minh: PM là tiếp tuyến của đường tròn (O) d/ Tiếp tuyến tại A của (O) cắt PM tại S. Chứng minh: BS đi qua trung điểm cạnh PF Bài 170. Cho tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn (O;R) đường kính AE (AB<R, BC<CE), AC cắt BE tại V, VH vuông góc AE tại H; AB cắt CE tại K a/ Chứng minh: Tứ giác ABVH nội tiếp và VA.VC = VB.VE b/ Chứng minh: 3 điểm K, V, H thẳng hàng c/ M là trung điểm VE. Chứng minh: Tứ giác BHOM nội tiếp và CM.BE = EH.OA d/ CH cắt BE tại N, qua N vẽ đường thẳng vuông góc BE cắt AC, AE lần lượt tại D và I. DE cắt AB tại S. Chứng minh: Tứ giác AIDS nội tiếp Bài 171. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy M sao cho 푴푪 ̂ < 푴푪 ̂ . Đường tròn đường kính MC cắt cạnh BC tại D. Đường thẳng MD cắt đường thẳng AC tại E. a/ Chứng minh: Tứ giác EADB là tứ giác nội tiếp b/ Trên đường tròn đường kính MC lấy điểm H sao cho M là trung điểm của cung DH. Chứng minh: HD // EB c/ Gọi N là giao điểm của các đường thẳng MC và EB Chứng minh: 3 điểm N, H, A thẳng hàng. d/ Khi AB = 30cm ; AC = 40cm và M là trung điểm cạnh AB. Tính diện tích tam giác MHE Bài 172. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH (H thuộc BC). Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB và AC tại E và F. GỌi M, N, P là trung điểm của HO, HB và HC. Chứng minh rằng:
a/ 푯푭̂ = 푪 ̂ b/ Tứ giác BEFC nội tiếp c/ M là trực tâm của tam giác ANP d/ EF là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính BH và CH Bài 173. Cho đường (O) và đường tròn (O') cắt nhau tại A và B, AO và AO' cắt đường tròn O tại C và D, cắt đường tròn O' tại E và F a/ Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp b/ Chứng minh: A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE c/ Gọi H là giao của DB và CE. Chứng minh: AH.CE = CH.AE d/ Nếu DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O') Thì DOO'E là hình gì? vì sao? Bài 174. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB <AC) nội tiếp đường tròn (O;R) và 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Tia EF và CB cắt nhau tại K. Chứng minh: KE.KF = KB.KC c/ Vẽ đường kính AQ của (O;R), tia KH cắt AI tại M. Chứng minh 3 điểm Q, I, H thẳng hàng và tứ giác EFHM nội tiếp d/ Trường hợp BC = 푹√ . Tính theo R bán kính đường trong ngoại tiếp tứ giác EFHM. Bài 175. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M sao cho AM = 2R. Vẽ tiếp tuyến MC đến đường tròn ( C là tiếp điểm ) a/ Chứng minh: BC // MO b/ Giả sử đường thẳng MO cắt AC ở I. Tính MC và AI theo R c/ Giả sử đường thẳng MB cắt đường tròn tại N ( N khác B ) .Chứng minh: Tứ giác MNIA nội tiếp d/ Chứng minh: NI _|_ NC. Tính diện tích tam giác NIC theo R Bài 176. Cho ΔABC nhọn. Đường tròn (O;R) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E, BE cắt CF tại H. a/ Chứng minh: tứ giác AFHE nội tiếp, Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE và AH _|_ BC tại D b/ Chứng minh: IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) c/ Trên đường trung trực của đoạn AH, lấy điểm S sao cho IS = R và S cùng
nằm trên một nửa mặt phẳng chứa điểm C có bờ AH. Gọi M là điểm đối xứng với H qua S. Chứng minh AMCB là hình bình hành. Suy ra S là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHC d/ Đường tròn ngoại tiếp ΔAHC cắt (O) tại K. Gọi N là giao điểm của AH và CK. Chứng minh: 3 điểm F,N,E thẳng hàng. Bài 177. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R) hai đường cao AK và BF cắt nhau tại H. Gọi CD là đường kính của đường tròn (O). Qua D kẽ tiếp tuyến của (O) cắt đường thẳng AB tại E; gọi I là trung điểm của AB. a/ Chứng minh: 4 điểm O, D, E, I cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh: ED2 = EA.EB và OC vuông góc với KF. c/ Chứng minh: 3 điểm D, I, H thẳng hàng d/ Đường thẳng EO cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: O là trung điểm của MN. Bài 178. Cho đường tròn tâm (O;R) và một điểm M nằm ngoài (O). Trên đường thẳng vuông góc với OM tại M lấy một điểm N bất kỳ. Từ N vẽ 2 tiếp tuyến NA, NB đến đường tròn (O). (A, B là tiếp điểm). a/ Chứng minh: 5 điểm O,A,B,M,N cùng thuộc một đường tròn. b/ Gọi I là giao điểm của AB với OM. Tính tích OI.OM theo R. c/ Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt (O) tại K. Chứng minh: MK là tiếp tuyên của (O). d/ AM cắt đường tròn (O) tại C ( C khác A). Chứng minh: 4 điểm O, A, I, C cung nằm trên một đường tròn. Bài 179. Cho ΔABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) ( AB << AC ) Các đường cao AD và CF cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác BFHD ntiếp b/ Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đg tròn (O) ( M # B, C ) N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh: Tứ giác AHCN ntiếp c/ Gọi I là giao điểm của AM và HC. Chứng minh: 푱푻̂ = 푵푪̂ d/ Chứng minh: OA vuông góc với IJ Bài 180. Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H; đường kính AK cắt DE tại F. a/ Chứng minh: tứ giác BEDC nội tiếp. Suy ra 4 điểm K, D, C, F cùng thuộc 1
đường tròn. . 푪. 푪 b/ Chứng minh AH _|_ BC tại L và R = ( S là diện tích ). ퟒ푺 ∆ 푪 c/ Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại S; OS cắt BC tại M. Gọi T, P, Q lần lượt là trung điểm của CE, MC và BS; AT cắt (O) tại N. Chứng minh: PQ // CN. d/ Giả sử BC = 푹√ và A di động trên (O) sao cho ∆ABC nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của tích LH.LA. Bài 181. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R), 2 điểm B và C cố định. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC, AH. a/ Chứng minh: Các tứ giác AEHF, BCEF nôi tiếp b/ Chứng minh: AF.AB = AE.AC và IK // OA c/ Từ B kẻ tiếp tuyến của (O) cắt tia OI tại M. AM cắt (O) tại D. Từ O kẻ OL vuông góc với AD tại L. Chứng minh: 5 điểm L,O,C,M,B thuộc một đường tròn. d/ Qua D kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC, AB lần lượt tại T và S. Chứng minh: TD = TS. Bài 182. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròng (O) có AH là đường cao, M là điểm chính giữa cung nhỏ BC. a/ Chứng minh: OM _|_ BC tại E và AM là tia phân giác của góc 푯 푶̂ . b/ Vẽ dây MN song song với AB, CF vuông góc với MN tại F, MN cắt AC tại G. Chứng minh: Các tứ giác MEFC và AOGN nội tiếp. c/ AM cắt BC tại D. Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC d/ BN cắt AC tại I. Chứng minh: BI2 = AI2 + AI.AB Bài 183. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) sao cho OM = 3R, vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O,R) (A, B là các tiếp điểm). a/ Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp và OM là đường trung trực của AB. b/ Tính độ dài đoạn thẳng MA, AB theo R. c/ Vẽ dây AC song song MB, đường thẳng MC cắt đường tròn (O,R) tại điểm thứ hai là D, tia AD cắt MB tại E. Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MB. d/ Tính diện tích tam giác theo R Bài 184. Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R) có đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. a/ Chứng minh: Các tứ giác ADHE và BDEC nội tiếp.
b/ AO cắt DE tại L. Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC, AI cắt DE và BC lần lượt tại R và S. Chứng minh AI là phân giác của 푯 푶̂ và AR.AH = AS.AL. c/ Chứng minh: AD.HE + AE.DH = DE.AH. d/ Đường tròn (A; AH) cắt (O) tại M (M nằm trên cung nhỏ AC). Chứng minh: AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMC. Bài 185. Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Tia AH cắt BC tại D a/ Chứng minh: Các tứ giác AEHF, DOEF nội tiếp b/ Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF. Chứng minh OS.OD= OB2 c/ Gọi I là giao điểm của AD với đường tròn tâm O. Chứng minh: SI là tiếp tuyến của (O) d/ Từ A kẻ tiếp tuyến AK đến đường tròn (O) (K là tiếp điểm). Chứng minh: 3 điểm S, H, K thẳng hàng Bài 186. Cho đường tròn (O;R), dây cung BC cố định (BC<2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. a/ Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp. b/ giả sử góc 푪̂ = , hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R. c/ Chứng minh: Đường thẳng kẻ qua A và vuông góc với DE luôn đi qua 1 điểm cố định. d/ Phân giác góc 푫̂ cắt CE tại M, cắt AC tại P. Phân giác góc 푪푬̂ cắt BD tại N, cắt AB tại Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? Bài 187. Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB= R*căn 3 cố định .Điểm P di động trên dây AB, P khác A và B . Gọi ( C ; R1) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R ) tại A . Gọi ( D ; R2) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R ) tại B. Các đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại một điểm thứ hai M khác P a/ Chứng minh: R = R1 + R2 b/ Chứng minh: Tứ giác MCDO nội tiếp được c/ Khi điểm P di động , điểm M di động trên đường nào ? Vì sao ? d/ Chứng minh rằng khi điểm P di động , đường thẳng MP luôn luôn đi qua
một điểm cố định Xác định vị trí cuả P để tích PM.PN lớn nhất . Tính giá trị lớn nhất cuả tích PM.PN theo R Bài 188. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi I là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (I khác B và C). Tiếp tuyến tại I của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại E và F. a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp BE + CF = EF. b/ Chứng minh: Chu vi tam giác AEF = 2AB và 푪̂ = 푬푶푭̂ . c/ Các đường thẳng OE và CI cắt nhau tại M, các đường thẳng OF và BI cắt nhau tại N. Chứng minh: EF // MN. d/ Chứng minh: Tứ giác AMIN là hình bình hành. Bài 189. Cho đường tròn (O;R) dây BC khác đường kính. Hai tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại A. Kẻ đường kính CD, kẻ BH vuông góc với CD tại H. a/ Chứng minh: 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh: AO vuông góc với BC. c/ Chứng minh: BC là phân giác của góc 푯̂ d/ Gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh: IH = IB. Bài 190. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B, tại C của đường tròn (O) cắt nhau tại M. a/ Chứng minh: Tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn và xác định tâm K của đường tròn này. b/ Gọi D là giao điểm của MA và đường tròn (O) (D khác A), H là giao điểm của OM và BC. Chứng minh: MB2 = MD.MA. c/ Chứng minh: Tứ giác OADH nội tiếp và 푯푶̂ = 푴푯푫̂ d/ Chứng minh : 푫̂ = 푪 푯̂ Bài 191. Cho đường tròn (O ;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). N là điểm di động trên cạnh AO. Đường thẳng MN cắt (O) tại C và D ; cắt đường thẳng BO tại P. a/ Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp. b/ Chứng minh: MA2 = MC.MD. c/ Chứng minh: AC.BD = AD.BC. d/ Khi OM = 푹√ . Gọi I là trung điểm của AB, đường thẳng IN cắt AP tại E. Tìm vị trí của điểm N để diện tích tam giác AOE lớn nhất.
Bài 192. Cho ΔABC nhọn ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O;R) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAEF. a/ Chứng minh: HE.HB = 2HI.HD b/ Chứng minh: tứ giác DFIE nội tiếp và xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp. c/ BE cắt DF tại M; CF cắt DE tại N. Chứng minh: MN vuông góc với AK. d/ Cho AB = 푹√ ;AC = 푹√ . Tính độ dài EF theo R. Bài 193. Cho (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (A, B là các tiếp điểm) a/ Chứng minh: Tứ giác AOBM nội tiếp. b/ Vẽ đường kính BD của (O). Chứng minh MO là đường trung trực của AB. Suy ra AD song song với MO. c/ Vẽ cát tuyến MEF của (O) (tia ME nằm giữa 2 tia MO và MB, E nằm giữa M và F). Gọi K là giao điểm của MO và DF. Chứng minh: Tứ giác MAKF nội tiếp. d/ Gọi I là giao điểm của DE và MO. Chứng minh: OI = OK. Bài 194. Cho đường tròn (O) và dây cung BC không là đường kính. Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BC. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. Gọi H là hình chiếu của C trên AB và M là trung điểm CH. Tia AM cắt (O) tại điểm thứ hai là N a/ Gọi D là giao điểm SA và BC. Chứng minh: Tứ giác CMDN nội tiếp b/ Tia SN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh: EC // SA c/ Chứng minh: CN đi qua trung điểm cạnh SD d/ Nếu 푶푪̂ = . Tính diện tích tam giác EHS theo R Bài 195. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có các tia AB, DC cắt nhau tại M, các tia DA, CB cắt nhau tại N. Tia phân giác góc BMC cắt BC tại E. Tia phân giác góc ANB cắt AB, ME, MD lần lượt tại F, G, H. Trên đoạn thẳng MN lấy điểm S sao cho: 푴 푺̂ = 푴푵 ̂ . a/ Chứng minh: MA.MB = MS.MN b/ Chứng minh: MA.MB + NB.NC = MN2 c/ Chứng minh: MG vuông góc NG và HE//BD. d/ Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh: 3 điểm K, G, L thảng hàng.
Bài 196. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O;R), có H là giao điểm hai đường cao BM và CN. Tia AH cắt đường tròn (O) tại E. Kẻ đường kính AF. a/ Chứng minh: Tứ giác BEFC là hình thang cân và H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. b/ Vẽ OI vuông góc BC tại I. Chứng minh: 3 điểm H, I, F thẳng hàng và AH = 2OI. c/ Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại D và K. Chứng minh: AO vuông góc với DK. d/ Giả sử tam giác AHO cân tại A. Tính BH.BM + CH.CN theo R. Bài 197. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC giao nhau ở H và giao (O) lần lượt ở K, L (K # B, L # C) a/ Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp b/ Chứng minh: EF // KL c/ Kẻ OI vuông góc BC (I thuộc BC) .đường thẳng vuông góc HI tại H giao với AB tại M và giao với AC tại N. Chứng minh: tam giác IMN cân d/ Chứng minh: IL2 – IK2 = 2.(HF2 – HE2) Bài 198. Cho (O;R) đường kính BC và điểm A nằm trên (O). a/ Chứng minh: Tam giác ABC vuông. b/ Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến tại B của (O) và tia CA, E là giao điểm của tiếp tuyến tại C của (O) với tia BA. Chứng minh: BA.BE = CA.CD = 4R2 . c/ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CE và BD. Chứng minh: IJ là tiếp tuyến của (O). d/ Chứng minh: 1 < sinABC + cos ABC < 2 Bài 199. Cho ∆ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H; trung trực của BC cắt BC tại M và cung nhỏ BC đường tròn (O) tại I. a/ Chứng: minh AI là tia phân giác của góc 푪̂ và AH = 2OM. b/ Chứng minh: Tứ giác FDME nội tiếp. c/ Đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với EF cắt OM tại K. Chứng minh: M là trung điểm của OK.
d/ Gọi Q là hình chiếu của I lên AC; N và P lần lượt là trung điểm của MQ và AB. Chứng minh: IN _|_ PN. Bài 200. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết AC=20cm và HC=16cm. a/ Tính độ dài các đoạn BC, AB b/ Tính số đo góc 푯̂ c/ Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC d/ Gọi K là điểm đối xứng của A qua H và F là trung điểm của AB. Chứng minh: CF vuông góc KE và BE.CD – BD.EC = 2푺∆ 푪 .(S là diện tích) Bài 1. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, HDCE nội tiếp b/ Chứng minh: AE.AC = AF.AB c/ Tính BH.BE + CE.CA theo R nếu 푪̂ = ퟒ d/ Tia phân giác trong góc 푪̂ cắt (O) tại I. Chứng minh nếu 푺 푭푬푪 = 푺∆ 푭푬 thì AI _|_ OH Bài 2. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, AFHE nội tiếp b/ Chứng minh: AE.AC = AF.AB c/ EF cắt BC tại I. Vẽ tiếp tuyến IM đến (O) với M là tiếp điểm và M thuộc cung nhỏ BC của (O). Chứng minh: ∆푰푴푭 ~ ∆푰푬푴 d/ AM cắt EF tại N. Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC. Chứng minh: OA song song với NS Bài 3. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trong đó dây cung BC cố định a/ Chứng minh: Các tứ giác AFDC, BFHD nội tiếp b/ Chứng minh: AD là tia phân giác góc 푬푫푭̂ và BD.BC = BF.BA c/ EF cắt BC tại I. Vẽ tiếp tuyến IM đến (O) với M là tiếp điểm và M thuộc cung nhỏ AB của (O). Cho MF và ME cắt (O) lần lượt tại K và L. Chứng minh: OA
vuông góc với EF và ∆ 푲푳 là tam giác cân d/ Chứng minh: Khi A đi động trên (O) thì MD luôn đi qua 1 điểm cố định Bài 4. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có dây cung BC cố định. Vẽ dây cung AK vuông góc với BC tại D. Gọi H là điểm đối xứng K qua D, BH cắt AC tại E và CH cắt AB tại F a/ Chứng minh: H là trực tâm tam giác ABC và tứ giác BFEC nội tiếp b/ KF cắt (O) tại M. Chứng minh: FK.FM = FB.FA = FH.FC c/ MC cắt EF tại I. Chứng minh: I là trung điểm cạnh EF d/ Chứng minh: Khi A đi động trên (O) thì AI luôn đi qua 1 điểm cố định Bài 5. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 2 đường cao AD và BE cắt nhau tại H, BE cắt (O) tại F, CH cắt AB tại I. Cho biết S là diện tích a/ Chứng minh: Tứ giác AIHE nội tiếp và E là trung điểm cạnh HF b/ Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành và AI.AK = AH.AC 푶푵 푺∆ 푰푬 c/ Kẻ OM _|_ AF tại M, HK cắt BC tại N. Tính tỉ số nếu = 푶푴 푺 푰푬푪 d/ Chứng minh: 푪 + 푭 = ퟒ푴푵 Bài 6. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của (O). a/ Chứng minh: Tứ giác AFHE nội tiếp và BHCK là hình bình hành b/ Chứng minh: AE.AC = AF.AB 푯 푯푪 푪 c/ AK cắt BC tại M. Chứng minh: AK _|_ EF và + = 푪 푴 d/ Chứng minh: 2 tam giác OEK và ODC có diện tích bằng nhau Bài 7. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của (O). a/ Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp và 푬푭̂ = 푲푪̂ b/ Chứng minh: AK _|_ EF và AF.AB = AH.AD c/ EF cắt (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB). Chứng minh: Tam giác AMN cân và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD nằm trên cạnh BK 푪 .(푬푵−푴푭) d/ Chứng minh: EF = 푪 −
Bài 8. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao BD, CE, AF cắt nhau tại H. Cho EF cắt AH tại I, AF cắt (O) tại K a/ Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp và F là trung điểm cạnh HK b/ Vẽ CM _|_ DE tại M. Chứng minh: IH.IA = ID.IE và tứ giác CFIM nội tiếp c/ Dựng hình bình hành AHEL, MH cắt BL tại S. Chứng minh: Tứ giác BSEM nội tiếp d/ Cho HL cắt AB tại G. Chứng minh: Tam giác MGF là tam giác cân Bài 9. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp, xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác này b/ Chứng minh: Các tứ giác BFHD, DFEK nội tiếp c/ EF cắt BC tại I và cắt (O) lần lượt tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB) .Chứng minh: IB.IC = ID.IK và tứ giác MDKN nội tiếp 푴푭.푴푬 푫 d/ Chứng minh: = 푵푭.푵푬 푪푫 Bài 10. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại K a/ Chứng minh: Tứ giác ABDE nội tiếp và HA.HD = HB.HE b/ Chứng minh: Tứ giác DHEC nội tiếp và AK2 = KE.KF c/ Đường thẳng qua E song song với OA cắt AD tại M. 푴푬 푯푪 Chứng minh: MK // FC và = 푲 푪 d/ Trong trường hợp DC = 2DB. Chứng minh: A là trung điểm cạnh MH Bài 11. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp và HB.HE = HF.HC b/ Kẻ OI _|_ BC tại I. Gọi E là điểm đối xứng H qua I Chứng minh: Tứ giác BHCE là hình bình hành và E thuộc đường tròn (O) c/ Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC. Chứng minh: R = r. Từ đó tính AH theo R nếu biết BC = 풓√ d/ EF cắt (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB).
Chứng minh: = + 푫.푪푫 푴. 푵 푪푴.푪푵 Bài 12. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 2 đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AN, AD cắt (O) tại M a/ Chứng minh: Tứ giác BMNC là hình thang cân và tứ giác AEDC nội tiếp b/ Chứng minh: DM = DH và BE.AC = CE.CN c/ HC cắt MN tại I, DE cắt BM tại Q. Đường thẳng qua C song song với ME cắt BQ tại P. Chứng minh: Tứ giác EMQI nội tiếp và AB // IF d/ Đặt a = MN, b = AI. Tính độ dài AH theo a, b và R Bài 13. Cho ∆ 푪 có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ FM _|_ BE tại M, EN _|_ FC tại N, HI _|_ EF tạo I. Biết S là diện tích a/ Chứng minh: Các tứ giác BFEC, FMNE nội tiếp và BC // MN b/ Chứng minh: Tứ giác IHMF nội tiếp và IH là tia phân giác góc 푴푰푵̂ 푺∆ 푬 푺∆ 푬푭 c/ Chứng minh: ∆푰푬푵 ~ ∆ 푭푬 và − = 1 푺∆푯푬푪 푺∆푰푬푵 d/ OA cắt EF tại K. Chứng mnh: IF = EK. Tính A = FH.FN + EH.EM theo R 푺∆ 푬.푺∆ 푬푭. nếu như = 20 푺∆푯푬푪.푺∆푰푬푵 Bài 14. Từ 1 điểm A ngoài (O;R), kẻ tiếp tuyến AB đến (O) với B là tiếp điểm. Kẻ dây cung BC vuông góc với OA tại H a/ Chứng minh: AC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác ABOC nội tiếp b/ Vẽ cát tuyến ADE đến (O) sao cho AD < AE và C và D nằm ờ 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau. Vẽ dây cung BM // DE, CM cắt DE tại I Chứng minh: AB2 = AD.AE và I là trung điểm cạnh DE c/ Chứng minh: Tứ giác DHOE nội tiếp 푫푵 푰푵 d/ BC cắt DE tại N. Chứng minh: = 푫 푰푬 Bài 15. Từ 1 điểm A ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm. Vẽ cát tuyến AMN đến (O) sao cho AM < AN và M và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau, OA cắt BC tại H. Gọi I là trung điểm cạnh MN a/ Chứng minh: BC _|_ OA và tứ giác ABOC nội tiếp b/ Chứng minh: AC2 = AM.AN và IA là tia phân giác của góc 푰푪̂
c/ Chứng minh: Tứ giác MHON nội tiếp và BH là tia phân giác góc 푴푯푵̂ d/ BC cắt MN tại K. Chứng minh: = + 푵푰 푵푲 푵 Bài 16. Từ 1 điểm A ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm. Vẽ cát tuyến AEF đến (O) sao cho AE < AF và E và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau, OA cắt BC tại H a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OH.OA = R2 b/ Chứng minh: ∆ 푬 ~ ∆ 푭 và BE.CF = BF.CE c/ Chứng minh: Tứ giác EHOF nội tiếp d/ 2 tia phân giác trong các góc 푬푯푪̂ và 푬 푪̂ cắt nhau tại M, BC cắt EF tại I Chứng minh: + = và 3 điểm C, M, E thẳng hàng 푬 푭 푰 Bài 17. Từ 1 điểm A ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến AB đến (O) với B là tiếp điểm. Trên (O) lấy điểm C khác B sao cho AB = AC. Vẽ cát tuyến ADE đến (O) sao cho AD < AE và D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau, OA cắt BC tại K a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OA _|_ BC b/ Chứng minh: AB2 = AD.AE và BK2 = OK.AK c/ Chứng minh: Tứ giác EOKD nội tiếp d/ Chứng minh: 푲푬푪̂ = 푫̂ và DB.DC = DK.DE Bài 18. Cho đường tròn (O;R) có AB là dây cung, Gọi C là trung điểm cạnh AB. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt OC tại D. Vẽ cát tuyến AEF đến (O) sao cho AE < AF và E và B nằm ở 2 mặt phẳng bờ OD khác nhau a/ Chứng minh: DA = DB và tứ giác AOBD nội tiếp b/ Chứng minh: AD2 = AE.AF. Tính 푫 ̂ nếu như 푬 ̂ = c/ Chứng minh: Tứ giác ECOF nội tiếp và 푪푭̂ = 푬 푭̂ 푴 푭 d/ AB cắt EF tại M. Chứng minh: = 푴 푭 Bài 19. Từ 1 điểm A ngoài (O;R), kẻ tiếp tuyến AB đến (O) với B là tiếp điểm. Kẻ dây cung AC vuông góc với OA tại H. Vẽ cát tuyến ADE đến (O) sao cho AD < AE và và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau a/ Chứng minh: AC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác ABOC nội tiếp b/ DE cắt BC tại I. Chứng minh: ID.IE = IB.IC và AB2 = AD.AE