Các bài toán liên quan đến lãi suất

Nội dung text: Các bài toán liên quan đến lãi suất

1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT PHẦN I. BỐN BÀI TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI KÉP (THƯỜNG GẶP): Để tiện diễn đạt, ở đây ta lấy lãi suất theo tháng. Tổng quát là tính theo kỳ hoặc kỳ hạn: kỳ hạn có thể là 1 tháng, 2 tháng, 3 tháng, 6 tháng, 1 năm ) Các công thức sau đây được chứng minh từ phương pháp qui nạp toán học và từ cách tính tổng các số hạng của cấp số nhân. Học sinh có thể không cần quan tâm đến cách chứng minh mà chỉ cần nhớ công thức và hiểu cách áp dụng để xử lý nhanh đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông. 1. Bài toán Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi khi đến kỳ hạn mà người gửi không đến rút ra thì được ngân hàng nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép là r/tháng . Tổng số tiền cả vốn và lãi khách hàng nhận được sau n tháng được cho bởi công thức: n Sn A 1 r (1) Lưu ý: + Nếu nói lãi suất là k%/tháng thì khi thay lãi suất vào tính toán ta phải k thay là chứ không phải chỉ thay là k. Chẳng hạn nói lãi suất là 100 0,7 0,7%/tháng thì thay vào tính toán phải là 0,007. 100 + Hệ thức (1) có 4 đại lượng là Sn , A, r và n. Nếu biết được 3, ta tìm được đại lượng còn lại. +Tiền lãi sau n tháng là: Sn – A (lấy cả vốn lẫn lãi trừ ra vốn, còn lại lãi). Ví dụ: Ông An gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng. Hỏi tối thiểu là bao nhiêu tháng ông An sẽ có được số tiền 600 triệu đồng cả vốn lẫn lãi? Lời giải: Áp dụng công thức (1) để tìm giá trị gần đúng của n rồi lấy số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng n, ta có: n 0,7 n 6 600 500. 1 6 5. 1,007 n log1,007 26,14 100 5 Vậy ít nhất là 27 tháng thì ông An sẽ có được số tiền 600 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. 2. Bài toán Gửi tiền đều hàng tháng: 1
2. Một khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép là r/tháng. Sau đó, cứ mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, khách hàng lại đến gửi đều đều vào ngân hàng cùng một số tiền là A đồng. Tổng số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là : (1 r)n 1 S A(1 r) (2) n r Ví dụ: Bà Lành cứ đều đặn mỗi tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng một khoản tiền A đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8% mỗi tháng. Biết sau 2 năm bà nhận được số tiền là 150 triệu đồng. Hỏi số tiền A bà Lành gửi hàng tháng là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? Lời giải : Ta có: 2 năm = 24 tháng; 0,8% 0,008 . Sử dụng công thức (2) tìm A, ta có: rS 0,008.150000000 A n 5648887,659 . (1 r) (1 r)n 1 (1 0,008) (1 0,008)24 1 Vậy số tiền A bà Lành gửi hàng tháng là 5 649 000 đồng. 3. Bài toán Rút tiền gửi xài dần hàng tháng: Một khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép là r/tháng. Sau đó, cứ mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, khách hàng đến rút ra số tiền X đồng để xài. Sau n tháng, khách hàng nhận được số tiền còn lại được tính bởi công thức: (1 r)n 1 S A(1 r)n X (3) n r Ví dụ: Ông Hạnh gửi tiết kiệm ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ông Hạnh đến ngân hàng rút ra 6 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau 10 năm số tiền còn lại trong ngân hàng của ông Hạnh là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? Lời giải: 10 năm là 120 tháng. Áp dụng công thức (3), ta có: (1 r)n 1 S A(1 r)n X 120 r (1,0075)120 1 1000000000.(1,0075)120 6000000. 1290271416 0,0075 Vậy, sau 10 năm số tiền còn lại trong ngân hàng của ông Hạnh là 1 290 271 000 đồng. 4. Bài toán Vay trả góp hàng tháng: 2
3. Một người vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất kép r/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ cùng một số tiền là X đồng. Số tiền người này còn nợ ngân hàng sau n tháng được tính bởi công thức: (1 r)n 1 S A(1 r)n X (4) n r Lưu ý: Hai công thức (3) và (4) hoàn toàn giống nhau. Ví dụ: (trắc nghiệm) Bà Phúc vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 12%/năm, mỗi tháng trả góp 20 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì bà Phúc mới trả hết nợ? A. 23 tháng B. 29 tháng C. 28 tháng D. 30 tháng Lời giải: 12%/năm = 1%/tháng. Sử dụng công thức (4), ta tìm cần n để Sn= 0. Ta có: (1 r)n 1 S 0 A(1 r)n X 0 rA(1 r)n X (1 r)n X 0 n r X (1 r)n rA X X 0 (1 r)n X rA X n log 1 r X rA 20000000 n log 28,91 1,01 20000000 0,01.500000000 Vậy sau 29 tháng thì bà Phúc mới trả hết nợ. Chọn B. PHẦN II. BA BÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT (ÍT GẶP): 1. BÀI TOÁN LÃI ĐƠN: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp, cho dù khi đến kỳ hạn người gửi không đến rút tiền lãi ra. Khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất đơn r/kỳ hạn. Số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ là: S A(1 nr) (5) 3
4. 2. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ: Nếu A là tổng số dân, r là tỉ lệ tăng dân số mỗi năm thì sau n năm, tổng số dân được ước tính bởi công thức thực nghiệm sau: nr Sn A.e (6) 3. BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì mức lương tháng được tăng thêm một tỉ lệ là r so với lương cũ (ví dụ nếu nói lương được tăng 20% thì lương mới là A + 20%.A, ở đây r = 20%) . Khi đó, sau kn tháng người đó được nhận được tổng cộng tiền lương là: (1 r)k 1 S An (7) kn r BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Ông Hòa gửi tiết kiệm 600 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng. Hỏi sau hai năm ông Hòa thu được số tiền lãi là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? Bài 2: Bà Bình cứ đều đặn mỗi tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng một khoản tiền 6 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,75% mỗi tháng? Hỏi ít nhất là bao nhiêu tháng thì bà Bình có được số tiền cả vốn lẫn lãi là 200 triệu đồng? Bài 3: Ông Thịnh gửi tiết kiệm ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,8% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ông đến ngân hàng rút ra một số tiền để chi tiêu. Biết sau 10 năm thì ông đã rút hết tiền ở ngân hàng. Hỏi số tiền ông Thịnh rút ra mỗi tháng là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? Bài 4: Bà Vượng vay trả góp ngân hàng một số tiền với lãi suất 12%/năm, mỗi tháng trả góp 15 triệu đồng. Biết sau 3 năm bà Vượng trả hết nợ ngân hàng. Hỏi số tiền gốc bà Vượng vay của ngân hàng là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? oOo 4