Các công thức Đại số và Giải tích Lớp 10+11+12

Nội dung text: Các công thức Đại số và Giải tích Lớp 10+11+12

1. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 CÔNG THỨC TOÁN HỌC ( 10 – 11 – 12) 1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c ⇔ a > c 1.2. Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho. Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a – c > b 1.3 Tính chất 3: a> b  ⇒a + c > b + d c> d Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.4 Tính chất 4: a > b ⇔ a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b ⇔ c.c b > 0  ⇒a c > b d c> d > 0 Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.6 Tính chất 6: a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguyển dương) 1.7 Tính chất 7: a> b >0 ⇒n a > n b (n nguyên dương) 2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si): a+ b Định lí: Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì ≥ a. b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b 2 Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau. Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau. Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất. 1
2. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:  x > 0 nếu x ≥ 0 x =  −x > 0nếu x < 0 Từ định nghĩa suy ra: với mọi x∈ R ta có: a. |x| ≥ 0 b. |x|2 = x2 c. x ≤ |x| và -x ≤ |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: |a + b| ≤ |a| + |b| (1) |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0 |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0 4. Định lí Vi-et: 2 ≠ Nếu phương trình bậc 2: ax + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là: b S = x + x = − 1 2 a c P = x .x = 1 2 a Chú ý: c + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x = 1 và x = 1 2 a c + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x = -1 và x = − 1 2 a Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0 5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước: a. Địnhuuur nghĩa: uuur Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MA= kMB b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1 thì với điểm O bất kì ta có: uuur uuur uuuur OA− kOB OM = 1− k 6. Trọng tâm tam giác: uuur uuur uuur r a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: GA+ GB + GC = 0 uuur uuur uuur uuur b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG= OA + OB + OC 7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác: 2
3. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 7.1. Định lí Cosin trong tam giác: Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có: a2= b 2 + c 2 − 2 bc .cos A b2= a 2 + c 2 − 2 ac .cos B c2= b 2 + a 2 − 2 ba .cos C 7.2. Định lí sin trong tam giác: Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có: a b c = = = 2R sinABC sin sin 7.3. Công thức độ dài đường trung tuyến: b2+ c 2 a 2 m2 = − a 2 4 a2+ c 2 b 2 m2 = − b 2 4 b2+ a 2 c 2 m2 = − c 2 4 8. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ: 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 Góc π π π π 2π 3π 5π 0 π 6 4 3 2 3 4 6 1 2 3 3 2 1 sin 0 1 0 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos 1 0 – – – -1 2 2 2 2 2 2 1 1 tg 0 1 3 || – 3 1 – 0 3 3 1 1 cotg || 3 1 0 – 1 – 3 || 3 3 9. Công thức biến đổi tích thành tổng: 3
4. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 1 cosa .cos b= [cos( a − b ) + cos( a + b )] 2 1 sina .sin b= [cos( a − b ) − cos( a + b )] 2 1 sina .cos b= [sin( a + b ) + sin( a − b )] 2 10. Công thức biến đổi tổng thành tích: a+ b a − b cosa+ cos b = 2cos .cos 2 2 a+ b a − b cosa− cos b = − 2sin .sin 2 2 a+ b a − b sina+ sin b = 2sin .cos 2 2 a+ b a − b sina− sin b = 2cos .sin 2 2 11.Công thức nhân đôi: cos2a= cos2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a sin2a= 2sin a cos a 2tga π π π tg2 a= ( a ≠ + kπ , a ≠ + k , k ∈Z ) 1− tg2 a 2 2 2 12. Công thức nhân ba: sin 3a= 3sin a − 4sin3 a cos3a= 4cos3 a − 3cos a 13. Công thức hạ bậc: cos 2a + 1 cos2 a = 2 1− cos 2a sin 2 a = 2 1− cos 2a tg2 a = 1+ cos 2a 3sina− sin 3 a sin3 a = 4 3cosa+ cos3 a cos3 a = 4 4
5. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 14. Công thức cộng: sin(a+ b ) = sin a cos b + cos a sin b sin(a− b ) = sin a cos b − cos a sin b cos(a+ b ) = cos a cos b − sin a sin b cos(a− b ) = cos a cos b + sin a sin b Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện: tga− tgb tg( a− b ) = (*) 1+ tga . tgb tga+ tgb tg( a+ b ) = ( ) 1− tga . tgb π π π (*) có điều kiện: a≠ + kπ,, b ≠ + k π a − b ≠ + k π 2 2 2 π π π ( ) có điều kiện: a≠ + kπ,, b ≠ + k π a + b ≠ + k π 2 2 2 a 15. Công thức tính tga, cosa, sina theo t= tg : 2 2t sin a = 1+ t 2 1− t 2 cos a = 1+ t 2 2t π tga=, a ≠ + kπ 1− t 2 2 16. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc π π hoặc : 2 16.1. Hai góc bù nhau: sin(π −a ) = sin a cos(π −a ) = − cos a tg()π − a = − tga cotg()π − a = − cotga 16.2. Hai góc phụ nhau: 5
6. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 π sin(−a ) = cos a 2 π cos(−a ) = sin a 2 π tg()− a = cotga 2 π cotg()− a = tga 2 16.3. Hai góc đối nhau: sin(−a ) = − sin a cos(−a ) = cos a tg()− a = − tga cotg()− a = − cotga π 16.4 Hai góc hơn kém nhau : 2 π sin(a+ ) = cos a 2 π cos(a+ ) = − sin a 2 π tg() a+ = − tga 2 π cotg() a+ = − cotga 2 16.5 Hai góc hơn kém nhau π : sin(a+π ) = − sin a cos(a+π ) = − cos a tg() a+π = tga cotg() a+π = cotga 16.6. Một số công thức đặc biệt: π sinx+ cos x = 2 sin( x + ) 4 π sinx− cos x = 2 sin( x − ) 4 17. Phương trình lượng giác 1. Phương trình cơ bản: * sinx = sina x = a + k2π hoặc x = π - a + k2π 6
7. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 * cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π * tgx = tg a ⟺ x = a + kπ (x ≠ k ) * cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ) 2. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx: Các phương trình lượng giác * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1) * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2) * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx. Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về phương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình này. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: * sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0 Có ba cách giải loại phương trình này : - Giả sử a ≠ 0 b c (1)⇔ sinx + cos x + = 0 (2) a a b Đặt : tgϕ = a c c (2)⇔ sinx + tgϕ cos x + = 0 ⇔sin(x +ϕ ) = − cos ϕ a a Ta dễ dàng giải phương trình này. - Đặt : x tg= t 2 2t 1− t 2 (1)⇔a + b + c = 0 1+t2 1 + t 2 Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1). - Do a2+ b 2 ≠ 0 , chia hai vế của phương trình cho a2+ b 2 : a b c (1)⇔ sinx + cos x = − a2+ b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 Đặt :  a  = sinα  a2+ b 2  b  = cosα  a2+ b 2 7
8. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 c (1)⇔ sin(x +α ) = − a2+ b 2 (đây là phương trình cơ bản). Chú ý : Ta luôn có : |a sin x+ b sin x | ≤ a2 + b 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số) Giải phương trình (1) bằng cách đặt : sinx + cosx = t , |t |≤ 2 Đưa (1) về phương trình bt2 +2 at − ( b + 2 c ) = 0 Giải phương trình (2) với |t |≤ 2 . 5. Hệ phương trình lượng giác: 1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn. Chẳng hạn có hệ phương trình : sinx = 1  cosx = 0 Có hai phương pháp giải : * Phương pháp thế, giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương trình còn lại. * Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung. 2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn. Chẳng hạn có hệ phương trình :  π x+ y =  3 sinx+ sin y = 1 Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình tổng tích. 18. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp: 18.1. Hoán vị: 8
9. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 + Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn + Công thức : Pn =1.2.3 n = n ! 18.2 Chỉnh hợp: + Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 ≤k ≤ n ) là một bộ sắp thứ tự gồm k k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là An +Công thức : n! Ak = n ( n− k ) ! k = − − + An n( n 1) ( n k 1) k+1 = − k An() n k A n n = = An P n n! 0 = An 1 n−1 = n = An A n n! (qui ước 0! = 1) 18.3 Tổ chợp: + Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤k ≤ n ) là một tập con của a gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n k phần tử ký hiệu là Cn + Công thức: n! C k = n k!( n− k )! n( n− 1) ( n − k + 1) C k = n k! + Tính chất: k= n− k CCn n 0 =n = CCn n 1 0+ 1 + +n = n CCCn n n 2 k+ k+1 = k + 1 CCCn n n+1 18.4. Công thức Newton: 9
10. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 n = k n− k k Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b) : Tk C n a b +n =0 n + 1 n− 1 + 2 n − 2 2 + + m n − m m + + n n (ab ) CaCabCabn n n Cab n Cb n 19. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian: 19.1 Trong mặt phẳng: r r Cho các vec-tơ a( x1 , y 1 ), b ( x 2 , y 2 ) và các điểm A( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) : r r = + a. b x1 x 2 y 1 y 2 r =2 + 2 |a | x1 y 1 = = −2 + − 2 d AB()() x2 x 1 y 2 y 1 r r x x+ y y cos(a , b ) = 1 2 1 2 2+ 2 + 2 + 2 x1 y 1 x 2 y 2 r r ⊥ ⇔ + = a b x1 x 2 y 1 y 2 0 12.2 Trong không gian: r r Cho các vec-tơ a( x1 , y 1 , z 1 ), b ( x 2 , y 2 , z 2 ) và các điểm A( x1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ) : r r = + + a. b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 r =2 + 2 + 2 |a | x1 y 1 z 1 = = −2 + − 2 + − 2 d AB()()() x2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 r r x x+ y y + z z cos(a , b ) = 1 2 1 2 1 2 2+ 2 + 2 2 + 2 + 2 x1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 r r ⊥ ⇔ + + = a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0 20. Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian: 20.1 Đường thẳng trong mặt phẳng: a. Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0 | Ax+By + C | MH = 0 0 AB2+ 2 10
11. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 + Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0 − |CC1 2 | AB2+ 2 b. Vị trí tương đối 2 đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 (d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0 AB ∩ ≠φ ⇔1 ≠ 1 *(d1 ) ( d 2 ) AB2 2 ABC ⇔1 = 1 ≠ 1 *(d1 ) / /( d 2 ) ABC2 2 2 ABC ≡ ⇔1 = 1 = 1 *(d1 ) ( d 2 ) ABC2 2 2 ⊥ ⇔ + *(d1 ) ( d 2 ) A 1 A 2 B 1 B 2 c. Góc giữa 2 đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 (d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0 α = (,)d1 d 2 |AABB+ | cosα = 1 2 1 2 2+ 2 2 + 2 ABAB1 1 2 2 d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1)và (d2): A x+ B y + C A x + B y + C 1 1 1= ± 2 2 2 2+ 2 2 + 2 (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + ) ABAB1 1 2 2 e. Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d1)và (d2): α+ + + β + + = α2+ β 2 > (A1 x B 1 y C 1 ) ( A 2 x B 2 y C 2 ) 0 với 0 20.2 Đường thẳng trong không gian: Góc giữa 2 đường thẳng: r = (d1) có vector chỉ phương u(,,) a1 b 1 c 1 r = (d2) có vector chỉ phương v(,,) a2 b 2 c 2 α là góc giữa (d1) và (d2) |a a+ b b + c c | cosα = 1 2 1 2 1 2 2+ 2 + 2 2 + 2 + 2 a1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 11
12. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 ⊥ ⇔ + + = (d1 ) ( d 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 21. Mặt phẳng: a. Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: |Ax+ By + Cz + D | MH = 0 0 0 ABC2+ 2 + 2 b. Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng: + + + = (P ) : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 + + + = là phương trình mặt phẳng có dạng: (Q ) : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 α+ + + + β + + + = (AxByCzD1 1 1 1 ) ( AxByCzD 2 2 2 2 ) 0 22.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai. ∀ ∈ = + n N*, Un+1 U n d + Tính chất của cấp số cộng : − = − UUUUn+1 n n + 2 n + 1 + UUn n+2 U + = n 1 2 = + − + Số hạng tổng quát: Un U1 d( n 1) + Tổng n số hạng đầu: ()a+ a n U = 1 n n 2 2a+ d ( n − 1) U= 1 n n 2 23. Cấp số nhân: + Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội. * "n Є N , Un + 1 = Un.q + Tính chất : 12
13. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 UU n+1= n + 2 UUn n+1 = UUUn+1 n. n + 2 , Un > 0 + Số hạng tổng quát : n - 1 Un = U1.q 1− qn + Tổng n số hạng đầu tiên: SUUUU= + + + = n1 2 n 1 1− q + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 U SUUU= + + + = 1 n1 2 n 1− q CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN 12 I. Đạo hàm: 1. Bảng các đạo hàm cơ bản: STT Hàm số y Đạo hàm y’ STT Hàm số y Đạo hàm y’ 1 C 0 u ' 1 u 2 x 1 2 u 3 x2 2x 1 − u ' 1 2 2 4 x u u 2 x 3 eu u'.eu 5 xn n.xn-1 4 au au.lna.u’ 1 − 1 u ' 6 2 5 ln|u| x x u 7 ex ex u ' x x 6 log u 8 a a .lna a u.ln a 1 9 ln|x| (x≠ 0) 7 sinu cosu.u’ x 8 cosu sinx.u’ 1 u ' 10 logax 9 tgu xln a cos2 u α α − 11 x α x 1 u ' 10 cotgu − 12 sinx cosx sin2 u ' 13 cosx sinx 11 y=f(u) và u=g(x) y (x)=y’(u).g’(x) 1 14 tgx cos2 x 13
14. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 1 15 cotgx − sin2 x 2. Tính chất của đạo hàm: a. (u + v)’ = u’ + v’ b. (u – v)’ = u’ – v’ c. (u.v)’ = u’.v + u.v’ d. (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ u ' u'. v− v '. u e.  ÷ = v  v2 II. Nguyên hàm: 1. Bảng các nguyên hàm cơ bản: STT Hàm số & Nguyên hàm 1 ∫ dx= x + C α +1 α x 2 ∫ x dx= + C (α ≠ − 1) α +1 dx 3 ∫ dx=ln | x | + C (x ≠ 0) x 4 ∫ ex dx= e x + C ax 5 ∫ ax dx= + C (0<a ≠ 1) ln a 6 ∫ sinxdx= − cos x + C 7 ∫ cosxdx= sin x + C 1 π 8 ∫ dx= tgx + C ()x≠ + kπ cos2 x 2 1 9 ∫ dx= − cotgx + C ()x≠ kπ sin2 x 2. Một số nguyên hàm khác: a u ' * Hàm y = (m≠ 1) . Hàm số có dạng : = u'.u-m (m≠ 1) với u = x-α ()x −α m um a −1 Nguyên hàm là : ∫ dx = a. − + C ()x −α m (m− 1)( x −α )m 1 2ax+ b * Hàm y = . Đặt t = ax2 + bx + c ⇒ t' = 2ax + b ax2 + bx + c 14
15. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 t ' Hàm số có dạng : ⇒ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln| ax2 + bx + c | + C t 2ax+ b ⇒ ∫ dx=ln | ax2 + bx + c | + C ax2 + bx + c 1 * Hàm y = . Ta có các trường hợp sau : ax2 + bx + c 2 + Mẫu số ax+ bx + c có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và giả sử x1 < x2 . Ta có : 2 − − ax+ bx + c = a( x x1 )( x x 2 ) . Ta có thể viết như sau : 1 1 1 ()()x− x − x − x  dx dx = ∫ dx = ∫ 1 2  ∫ 2 + + − − − − − ax bx c a( x x1 )( x x 2 ) a( x x1 )( x x 2 )  x 2 x 1 1 1 1  − dx = −∫ − − a() x2 x 1 x x 1 x x 2  1 x− x ln 2 + C = − − a() x2 x 1 x x 1 + Mẫu số có nghiệm kép : ax2+ bx + c = a() x − m 2 1dx 1 dx 1− 1 ∫dx= ∫ = ∫ = + C ax2+ bx + c a()() x − m 2 a x − m 2 a x − m + Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm): ax2+ bx + c = a() x + m 2 ± n . Đặt u = ()x+ m 2 . Ta có : * ax2+ bx + c = a. u 2 + n 1 n ⇒ ∫ dx . Đặt u= tgt au2 + n a 1 * ax2+ bx + c = a. u 2 − n ⇒ ∫ dx . Nguyên hàm là : au2 − n n u − 1= 1 1 = 1 1 a + ∫2 dx ∫ ln C au− n a2 n a n n u − 2 u + a a a 3. Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ : 1 1 3.1. Hàm số có dạng : f() x = ; f() x = x2+ k 2 x2− k 2 * Cách 1 : Đặt x2+ k 2 = -x + t ⇒ t = x + x2+ k 2 x x2+ k 2 + x t ⇒ dt = (1+ )dx = dx = dx x2+ k 2 x2+ k 2 x2+ k 2 15
16. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 dx dt dx dt ⇒ = . Do đó : ∫= ∫ =ln |t | + C = ln | x + x2 + k 2 | + C x2+ k 2 t x2+ k 2 t 1 x+ x2 + k 2 *Cách 2: Biến đổi : = ( Nhân tử và mẫu với x+ x2 + k 2 ) x2+ k 2 x 2 + k 2() x + x 2 + k 2 x +1 2+ 2 2+ 2 Ta có : f() x = x k ( Chia tử và mẫu cho x k ) ()x+ x2 + k 2 dt= + x dt Đặt t= x + x2 + k 2 . Suy ra : (1 )dx ⇒ f() x dx = t x2+ k 2 t Vậy nguyên hàm là : ∫ f( x ) dx= ln | t | + C = ln | x + x2 + k 2 | + C 1 Tương tự : ∫ dx =ln |x + x2 − k 2 | + C . x2− k 2 1 1 3.2. Hàm số dạng : f() x = và f() u = k2− x 2 k2− u 2 −π π Đặt x= ksin t với x ∈[;] (hoặc x= kcos t với x ∈[0;π ]) 2 2 1= k cos t . dt kcos t . dt= cos t . dt ⇒ dx= kcos tdt ⇒ ∫dx ∫ = ∫ ∫ k2− x 2 k 2(1 − sin t 2 ) kcos2 t ) | cost | −π π cost . dt cos t Vì t ∈[;] nên cost > 0 ⇒ ∫= ∫dt = ∫ dt = t + C 2 2 | cost | cos t 1 Tương tự: ∫ du = t+ C k2− u 2 3.3. Hàm số dạng : f() x= x2 − k 2 ; f() u= u2 − k 2 x k 2 Nguyên hàm là : ∫ x2− k 2 dx = x 2 − k 2 +ln | x + x 2 − k 2 | + C 2 2 k k π Cách khác: đặt x = hoặc x = với t ∈[0; ] sint cost 2 3.4. Hàm số dạng : f() x= ax2 + bx + c ⇒ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: f() x= u2 − k 2 hoặc f() x= u2 + k 2 rồi áp dụng theo mục 3. 3.5. Hàm số dạng : f() x= x2 + k 2 và f() u= u2 + k 2 π π Đặt x= ktgt , u= ktgt với t ∈[- ; ] 2 2 16
17. Ôn tập toán 10 – 11 - 12 1 1 3.6. Hàm số dạng : f() x = hoặc f() u = x2− m 2 u2− m 2 1 1 1 Phân tích thành : f() x = = + rồi áp dụng theo công thức đã học. x2− m 2 x− m x + m 1 1 3.7. Hàm số dạng : f() x = hoặc f() u = x2+ m 2 u2+ m 2 π π + Đặt x= mtgt , u= mtgt với t ∈[- ; ] 2 2 1 1m | c ost | ⇒ dx=. dt = dx ∫ ∫2 ∫ 2 x2+ m 2 m 2( tg 2 t + 1) cost c os t π π |c ost | c ost Vì t ∈[- ; ] nên ∫dx= ∫ dt 2 2 cos2 t 1− sin 2 t cost 1 1u − 1 + Đặt tiếp : u= sin t ⇒ du = costdt .Do đó : ∫dt= ∫ du = −ln + C 1− sin2t 1 − u 2 2u + 1 4. Các trường hợp tổng quát cần chú ý : a. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx b. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx c. Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx : R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx) d. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx x e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt t= tg 2 * Phương pháp chung: A. Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx : 1− cos 2x (a) ∫sin2n xdx= ∫ ( ) 2 dx 2 1+ cos 2x (b) ∫cos2m xdx= ∫ ( ) 2 dx 2 (c) ∫ sin2nxc os 2m xdx . Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b). sin2n x+ a B. Dạng : f() x = . Đặt t = tgx cos2m + b 17