Các dạng bài tập về phương trình bậc hai trong chương trình Đại số Lớp 9

Nội dung text: Các dạng bài tập về phương trình bậc hai trong chương trình Đại số Lớp 9

1. 2 Dạng 1: Tỡm điều kiện để phương trỡnh bậc hai ax bx c 0 cú nghiệm là x1= x0. Tớnh nghiệm cũn lại x2? Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x 2 3 m x 2 m 5 0 với m là tham số. a) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m phương trỡnh luụn cú nghiệm x 2 . b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh trờn cú nghiệm x 1 2 2 . (Đề thi lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2009-2010) HƯỚ NG DẪ N GIẢ I: Tuy nhiờn nếu biết khai thỏc kết quả cõu a và sử dụng Hệ thức Vi-et ta cú thể đưa ra lời giải hợp lý hơn như sau: Cỏch 2: Vỡ phương trỡnh luụn cú nghiệm x1 2 . Gọi x2 là nghiệm cũn lại. b Theo hệ thức Vi-et ta cú: x x m 3 1 2 a Với x1 2 ta cú: x2 m 3 x1 m 3 2 m 5 Do đú phương trỡnh cú nghiệm x 1 2 2 m 5 1 2 2 m 6 2 2 . Vậy m 6 2 2 là giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh x2 x 2m 0 với m là tham số. a) Giải phương trỡnh khi m 1. 2 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thoả món x1 x1x2 2 . ( Đề thi lớp 10 mụn Toỏn tỉnh Nam Định năm 2011) Bài tập ỏp dụng: Bài 1. Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh: a) x2 + 2mx – 3m + 2 = 0 cú 1 nghiệm x = 2. Tỡm nghiệm cũn lại. b) 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0 cú 1 nghiệm x = –2. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài 2. Cho phương trỡnh x2 - 2.(m - 1)x +2m - 3 = 0. Xỏc định m để phương trỡnh cú 1 nghiệm bằng -1 và khi đú hóy xỏc định nghiệm cũn lại của phương trỡnh. Bài 3. Xỏc định m trong phương trỡnh bậc hai: x2 – 8x + m = 0 để 4 3 là nghiệm của phương trỡnh. Với m tỡm được, phương trỡnh cũn một nghiệm nữa. Tỡm nghiệm cũn lại ấy? ( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2002 -2003) Bài 4. Cho phương trỡnh x2 + (2m - 5)x - 3n = 0. Xỏc định m và n để phương trỡnh cú hai nghiệm là 3 và -2. Bài 5. Cho phương trỡnh x2 3 m x m 4 0 với m là tham số. a) Giải phương trỡnh khi m 21 b) Khi phương trỡnh nhận x 4 2018 là nghiệm. Hóy tỡm m.
2. Dạng 2: Tỡm điều kiện để phương trỡnh bậc hai ax2 bx c 0 cú hai nghiệm phõn biệt (hai nghiệm khỏc nhau), cú nghiệm kộp (hai nghiệm bằng nhau), cú nghiệm (hai nghiệm), vụ nghiệm. Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) ( m là tham số) 1) Giải phương trỡnh (1) với m = - 5. 2) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m. (Đề thi lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2007-2008) Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt, trong đú cú 1 nghiệm bằng - 2. HƯỚNG DẪN GIẢI : Ta cú ∆’ = b’2 - ac = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1 Phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt ∆’ > 0 - 1 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*) 2 Phương trỡnh cú nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 m2 - 4m = 0 m(m – 4) = 0 m = 0 hoặc m = 4. Ta thấy m = 0 và m = 4 đều thoả món điều kiện (*). Vậy m = 0 ; m = 4 là cỏc giỏ trị cần tỡm. Bài tập ỏp dụng: Bài 1. Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm kộp: a) 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0. b) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = 0. c) mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0. d) mx2 – 4(m – 1)x – 8 = 0. Bài 2. Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm : a) 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0. b) mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0. Bài 3. Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú 2 nghiệm phõn biệt: a) x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0. b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0. Bài 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x2 – 2mx – m2 – 1= 0. b) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0. c) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0. d) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0.
3. Dạng 3: Tỡm điều kiện liờn quan đến dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh bậc hai. Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x2 2x m 2017 0 với m là tham số. Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu. Vớ dụ 2: Tỡm m để phương trỡnh x2 2x m2 2m 1 0 (với m là tham số) cú hai nghiệm trỏi dấu. Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) a) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm õm. b) Chứng minh rằng khụng cú giỏ trị nào của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm dương. Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) a) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm õm. b) Chứng minh rằng khụng cú giỏ trị nào của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm dương. Vớ dụ: 2: Cho phương trỡnh m 1 x2 2m 3 x m 4 0 với m 1.Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm dương. Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x2 + 2mx + m – 1 = 0. a) Chứng minh phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m. b) Hóy xỏc định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm dương. ( Đề thi lúp 10 tỉnh Nam Định năm 2008-2009) Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh x2 – mx + m – 1 = 0. Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm õm. Bài tập ỏp dụng: Bài 1. Cho phương trỡnh x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0. a) Chứng minh phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm dương. Bài 2. Cho phương trỡnh bậc hai x2 + 2(m - 1).x + 1 - 2m = 0 (với m là tham số) a) Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú hai nghiệm với mọi m. b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh trờn cú hai nghiệm õm. Bài 3. Cho phương trỡnh x2 - 2(m + 1)x + m- 6 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm với mọi m. b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm trỏi dấu. c) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm dương. d) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm đối nhau.
4. 2 Dạng 4: Tỡm điều kiện để phương trỡnh bậc hai ax bx c 0 cú hai nghiệm x1; x2 thỏa món điều kiện liờn quan đến cỏc nghiệm của phương trỡnh cú tớnh đối xứng, chẳng hạn: m m 1) p(x1 + x2) = q. x1. x2. 2) n . 3) (x1 - m)( x2 - m) = b. x1 x2 2 2 3 3 4) x1(a - x2) + x2( a - x1) < c. 5) x1 x2 d . 6) x1 x2 cú GTNN Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh (ẩn x): x2 – x + m = 0. Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương 2 trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món: (x1x2 – 1) = 9( x1 + x2 ). Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – m – 1 = 0 (1) với m là tham số. a) Giải phương trỡnh (1) khi m = 1. b) Xỏc định m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món điều kiện: x1(x1 + 2) + x2(x2 + 2) = 10. (Đề thi lớp 10 tỉnh Nam Định năm học 2013 – 2014) Vớ dụ 3. Cho phương trỡnh : x2 (m 5)x 3m 6 0 (x là ẩn số). a) Chứng minh phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc cú độ dài cạnh huyền bằng 5. Bài tập ỏp dụng: Bài 1. Cho phương trỡnh x2 2mx m2 9 0 (m là tham số). Tỡm m để phương trỡnh 2 cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món x1 x2 (x1 x2 ) 12 . Bài 2. Cho phương trỡnh x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) a) Giải phương trỡnh (1) với m = 2. b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x1, x2 thỏa món: 2 (x1 + m)(x2 + m) = 3m + 12. Bài 3. Cho phương trỡnh x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0. Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm 2 2 x1, x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 - x1x2 nhận GTNN. Bài 4. Cho phương trỡnh x2 + (m + 2)x + 2m = 0. Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm phõn biệt x1, x2 sao cho 2x1 x2 x1 2x2 0 .