Các dạng bài toán có khả năng có trong đề thi vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019- 2020 (Tham khảo) - Nguyễn Thanh Hưng

Nội dung text: Các dạng bài toán có khả năng có trong đề thi vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019- 2020 (Tham khảo) - Nguyễn Thanh Hưng

1. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 CÁC DẠNG BÀI TOÁN CÓ KHẢ NĂNG CÓ TRONG ĐỀ THI 2019- 2020 ( THAM KHẢO) DẠNG 1: PHẦN CĂN THỨC Bài toán tính đơn giản Bài toán rút gọn Bài 1: (1,5 điểm) 1) Thực hiện phép tính : 4 16 – 3 9 a a a a 2) Rút gọn biểu thức M = ( + 1)(1 + ) , với a ≥ 0 ; a 1. a 1 1 a Bài 1: (1,5 đ) 1) Thực hiện phép tính: 4 9 9 4 . x ( x +1) x ( x -1) 2) Rút gọn biểu thức: P = + ; Với x ≥ 0; x ≠ 1. x +1 x -1 Bài 1: ( 1,5 điểm ) 1) Tính : 3 16 5 36 . x 1 x 1 2) Chứng minh rằng với x > 0 và x 1 thì . x 1 x x x Bài 1. (1,5điểm). 1/ Thực hiện phép tính : (2 – 1)(2 + 1). Bài 1: (1.5 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 29 + 3 16 2 Bài 1. (2điểm). Cho biểu thức P = ( a b) 4 ab :ab . a b a b b a a) Xác định a, b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi a = 15 6 6 + 33 12 6 và b = 24 . Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: 1 2 x 1 A với x > 0; x 1 x x x 1 x x B (2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3 Bài 2: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A ( 10 2) 3 5 1 1) Rút gọn biểu thức: A= 1 x x ; với x ≥ 0. x 1 Câu 2 (2,0 điểm): Cho biểu thức: a a a a A = : với a và b là các số dương khác nhau. a b b a a b a b 2 ab a b 2 ab a) Rút gọn biểu thức A – . b a Gv: Nguyễn Thanh Hưng 1
2. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 b) Tính giá trị của A khi a = 7 4 3 và b = 7 4 3 . Câu II ( 1,0 điểm) 1 1 a + 1 Rút gọn biểu thức P = + : với a > 0 và a 4 . 2 a - a 2 - a a - 2 a 6 a) Cho biểu thức : M (2 3)2 75 2 3 Câu I ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 43 x x 1 10 x 2 x 3 x 1 2) Rút gọn biểu thức: A ( x 0; x 1) x 3 x 4 x 4 1 x Câu 1 (2,0 điểm) 2 2 1) Rút gọn biểu thức P 3 2 3 2 Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: 5 5 5 3 5 A 5 2 5 1 3 5 x 1 2 6 B : 1 (x>0) x 3 x x 3 x x 3 x Bài I (2,0 điểm) x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biểu thức P . với x > 0 và x 1 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 4 c/ Rút gọn biểu thức A = : với x 0 và x 4 x 2 x 2 x 2 Bài 1: (2 điểm) 1 2 3 1 a) Thực hiện phép tính: : 4 2 3 2 1 Bài 1: (2,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: 15 10 35 10 a) 3 2 7 2 2 248 b) 2 1 2 3 124 Bài 1: (3 điểm) 3 5 3 5 1) Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5 Bài 1: (3 điểm) Gv: Nguyễn Thanh Hưng 2
3. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 1 1 1) Rút gọn biểu thức: 2 5 2 5 DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL - Vẽ đường thẳng y = ax ; y = ax + b ; y = ax2 - Tìm giao điểm của (p) và (d). - Tìm tham số để hàm số đi qua một điểm, đồng biến, nghịch biến. - Mối liên quan của (p) và (d) để chuyển về các dạng bài toán của vi-et. 1.Cho đường thẳng (d): y = 2014x + m. Xác định m để (d) đi qua điểm A (1; –1) 3) Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x – 6 . a) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên R? b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A (1;2 ). Bài 2. (2 điểm). Cho parapol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m2 + 1 (m là tham số) 1/ Xác định tất cả các giá trị của m để (d) song song với đường thẳng (d’): y = 2m2x + m2 + m 2/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 2 2 3/ Kí hiệu xA, xB là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho xA + xB = 14 Bài 2: (2,0 điểm) Cho parapol P : y x2 và đường thẳng d : y 2x m2 1 (m là tham số). 1/ Xác định tất cả các giá trị của m để d song song với đường thẳng d ' : y 2m2 x m2 m . 2/ Chứng minh rằng với mọi m, d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. 2 2 3/ Ký hiệu xA ; xB là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho xA xB 14 . Bài 2: (2.5điểm) 1) Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = x + 2 a) Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ toạ độ Oxy b) Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của ( P ) và ( d ) 2) Trong cùng một hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(2;4);B(-3;-1) và C(-2;1) . Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Bài 2. (1,5điểm). 1) Cho hàm số y = 1 x2 có đồ thị là (P) . 2 a) Vẽ (P). b) Với giá trị nào của a thì điểm M(2; 4a) thuộc (P) . 2 2) Cho hai đường thẳng (d1): y = m x + 2m – 1 và(d2): y = 4x + m + 1. Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. Bài 1. (2điểm). Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 4mx + 10 . Gv: Nguyễn Thanh Hưng 3
4. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 a) Chứng minh rằng với mọi m,(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x1 + x2 + x1.x2 khi m thay đổi. Bài 2: (1,5 điểm) 1 1 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 và đường thẳng (D): y x 2 trên cùng một hệ trục toạ độ. 4 2 b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính. Bài 3: (1,5 điểm) y=ax2 Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y = ax2. 1) Tìm hệ số a. 2) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N. 2 2 a) Tìm m để đường thẳng y = (2m-3)x-3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . 3 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm m để các đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Câu 3 : ( 1,5 điểm) Cho parabol (P) : y = x2 a) Vẽ đồ thị (P) b) Xác định m để đường thẳng ( d) : y = mx – 4 tiếp xúc với (P) Bài 2: (2.0 điểm) Cho parabol (P): y 2x2 và đường thẳng (D): y=x-m+1( với m là tham số). a) Vẽ Parabol (P) b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P)cắt (D) có đúng một điểm chung. c) Tìm tọa độ các diểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ. Bài 2: (2 điểm) 2 Cho đường thẳng (d): y = mx – m – 1 (m là tham số) và Parabol (P): y = x 2 2 3 1 a) Các điểm A(0; 0); B(1; 2); C(; ) có nằm trên Parabol (P) không ? Vì sao ? 2 4 b) Với giá trị nào của m thì (d) tiếp xúc với (P) ? Hãy tìm tọa độ tiếp điểm trong trường hợp đó. 3) Cho hàm số: y = 3mx – 3(m + 1). Với giá trị nào của m thì độ thị hàm số đi qua điểm (2; –6) ? Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m vừa tìm được. 3) Cho hàm số y = ax2. Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm có tọa độ (– 2; 2). Vẽ độ thị của hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được. 2) Xác định a để đường thẳng ax – y – 1 = 0 đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x – y + 3 = 0 và x + y +3 = 0 2) Cho hàm số: y = (m+2)x – 2m – 1 a) Tìm m để hàm số đã cho là đồng biến và đồ thị của nó qua hai điểm (– 2; 1) 1 b) Tìm giá trị của m để cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của hàm số đã cho cắt đồ thị hàm số y x 2 tại 4 một điểm duy nhất. Bài 1: (3 điểm) 1) Vẽ đồ thị hàm số: y = x + 1 Gv: Nguyễn Thanh Hưng 4
5. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 2) Tìm m để đồ thị hàm số (m + 1)x + my – 6 = 0 và mx + (2m – 1)y + 7 = 0 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. Bài 1: (3điểm) Tìm a để đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x – 1 song song. DẠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Giải hệ phương trình đơn giản - Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm - Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn (x,y)=m . x y xy 1 Bài 1: (NH2013-2014)Giải hệ phương trình : x 2y xy 1 Bài 2. (2 điểm). NH 2008-2009 x my 3m a) Cho hệ phương trình 2 mx y m 2 Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – 2x – y > 0 a) Giải phương trình : x2 – x – 1 + 1 – 10 = 0. x x2 Bài 1: (1,5điểm) NH 2001-2002 3x 2y 6 Cho hệ phương trình: ax y 3 b) Giải hệ phương trình trên với a = 4 3 c) Tìm giá trị của a sao cho hệ trên có nghiệm x, y thỏa mãn: y = x 4 nx y 2 Bài 2: Cho hệ pt ( NH 2003-2004) 3x ny 5 a) Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo n. n2 b) Với giá trị nào của n thì hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x + y = 1 n2 3 x ay 2 Bài 2: Cho hệ pt: (NH 2003-2004) ax 2y 1 a) Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo a. b) Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > 0 và y 0, y > 0. 2 m x 4y m Bài 3 (NH 2005) Tìm các giá trị của m để hệ vô nghiệm x 2y 2 2 Bài 1: (3điểm) 1) Tìm a để đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x – 1 song song. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 5
6. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 x ay a 2) Cho hệ pt: ax y 1 Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo a và tìm a để nghiệm (x; y) của hệ thoả mãn x = y. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI- VIET VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, - Giải phương trình đơn giản - Giải phương trình quy về phương trình bậc hai: Pt tích, Pt trùng phương, Pt căn thức. - Các bài toán liên quan vi-ét - Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Vòi nước, công việc, thêm bớt ( sản xuất theo dự định, thực tế),(bàn ghế).(xe chở hàng), về chuyển động, Quãng đường(km) Vận tốc(km/h) Thời gian(h) Xe thứ nhất Xe thứ hai Quãng đường(km) Vận tốc(km/h) Thời gian(h) Lúc đi Lúc về Số sản phẩm Năng suất Thời gian(ngày) Dự định Thực tế Số tấn hàng Trọng tải(tấn/xe) Số lương xe Dự định Thực tế Số người Số người/dãy Số dãy ghế Lúc đầu Lúc sau 2. Cho phương trình: x2 + 2(m - 3)x - 4m + 7 = 0 (với m là tham số). a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. Bài 3: (2,0 điểm) Cho hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 7 giờ 12 phút sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và cho vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 1 bể nước. 2 Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ? Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình và hệ phương trình: 2x y 1 a) x2 + 3x – 4 = 0. b) 3x 2y 12 2) Cho phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số) Gv: Nguyễn Thanh Hưng 6
7. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức 2 2 x1 + x2 – x1x2 – 4 = 0. Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu ? Bài 2: (2,0 đ) 1) Giải phương trình: x2 – 6x + 8 = 0 2) Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m – 3 = 0 (1) (Với m là tham số). a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: (2,0 đ) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào Thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyên chở thêm 28 tấn hàng, nên công ty đó phải điều động thêm 1 xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới có thể đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không được chở quá 15 tấn hàng. Bài 2: ( 2,0 điểm ) 1) Giải phương trình 2x2 +3x – 5 = 0 2 2) Tìm giá trị của tham số m để phương trình x +mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức x1 x2 2 . x y xy 1 3) Giải hệ phương trình : x 2y xy 1 Bài 3: ( 2,0 điểm ) Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó, tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm? Bài 3. (2điểm). Hai xe ô tô cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất là 1 giờ. Lúc trở về, xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5km mỗi giờ, xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một điểm trên đường hết 40 phút sau đó về đến cảng Dung Quất cùng lúc với xe thứ nhất. Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120 km và khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc. Bài 3: (1.5điểm) Hai bến sông cách nhau 15 km. Thơì gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, tại bến B nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h. Bài 3. (2,0điểm). Gv: Nguyễn Thanh Hưng 7
8. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc với vận tốc không đổi tại địa điểm A để đi đến địa điểm B cách nhau 300 km. Biết rằng mỗi giờ ô tô thứ hai đi nhanh hơn ô tô thứ nhất 10 km nên ô tô thứ nhất đến B chậm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Bài 2. (2,5 điểm). 1. Giải phương trình x2- 5x + 6 = 0 2 2 2 2. Tìm m để phương trình x - 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức x1 x2 13 . 3. Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y = -x + 2 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). Bài 3. (1,5 điểm). Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được 2 bể nước. 3 Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ? Bài 2. (2 điểm). a) Cho hệ phương trình x my 3m 2 mx y m 2 Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – 2x – y > 0 b) Giải phương trình : x2 – x – 1 + 1 – 10 = 0. x x2 Bài 3. (2 điểm). Một ô tô đi quãng đường AB dài 80 km trong một thời gian đã định , ba phần tư quãng đường đầu chạy nhanh hơn dự định 10km/h. Quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn dự định 15km/h. Biết ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường AB. Bài 3. (2 điểm). Một phòng họp có 360 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi và thêm một hàng như thế nửa mới đủ chổ. Tính xem lúc đầu ở phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế ngồi. Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì 5 người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 1 2 x y 1) Giải hệ phương trình: 6 2 1 x y 2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2 2 biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 x2 7 Bài 4: (1,5 điểm) Gv: Nguyễn Thanh Hưng 8
9. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 Cho phương trình x2 2mx m 2 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. 24 Tìm m để biểu thức M = 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất x1 x2 6x1x2 Câu 1. (2,5đ) 2) Giải phương trình: a) 2x2 – 7x + 3 = 0. b) 9x4 + 5x2 – 4 = 0. 3) Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số của nó đi qua 2 điểm A(2;5) ; B(-2;-3). Câu 2. (1,5đ) 2) Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Câu 3. (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0. 1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. 2 2 2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (2,0 điểm): 3 1 a) Rút gọn biểu thức P . x 2 với x 0 và x 4 . x x 2 x 1 b) Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình 2x2 – 6x + m + 7 = 0 (x là ẩn số, m là tham số) a/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2. b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: x1 = – 2x2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 mx 2m2 3 0 (1) (m là tham số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị m 2 2 b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa mãn hệ thức: x1 x2 11 Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 ( với x là ẩn số ) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thõa mãn hệ thức: x1 x2 17 . c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập đối với m. Bài tập 1 : Chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. Bài tập 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho. Bài 4: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ Huế đến Đà Nẵng cách nhau 120km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h, nên đến Đà Nẵng sớm hơn xe thức hai 1giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 33: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ B về A mất tất cả 4 giờ. Tìm vận tốc thực của ca nô, biết rằng quãng đường sông từ A đến B dài 30km và vận tốc của dòng nước là 4km/h Gv: Nguyễn Thanh Hưng 9
10. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 Bài 47: Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Tính số học sinh lớp 9A. Hướng dẫn: Số cây Năng suất Số Hs Dự định 480 480 x, x Z,x > 8 x Thực tế 480 480 x - 8 x 8 480 480 2 x 40(N) Ta có Pt: 3 x 8x 1280 0 x 8 x x 32(L) Vậy: Số Hs lớp 9A là 40 học sinh. Bài 51: Để vận chuyển 18 tấn hàng, người ta dự định điều động một số xe loại nhỏ. Nhưng khi vào việc do điều động được các xe có trọng tải lớn hơn 1 tấn, nên số lượng xe ít hơn số dự định ban đầu là 3 xe. Hỏi trọng tải mỗi xe loại nhỏ là bao nhiêu. Hướng dẫn: Số tấn hàng Trọng tải(tấn/xe) Số lương xe Dự định 18 x; x > 0 18 x Thực tế 18 x + 1 18 x 1 18 18 2 x 3 Ta có Pt: 3 x x 6 0 x x 1 x 2 Vậy: trọng tải xe loại nhỏ là: 2 tấn Bài 57: Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành, đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn nữa. Tính số xe phải điều theo dự định. Hướng dẫn: Số tấn hàng Trọng tải(tấn/xe) Số lương xe Dự định 40 40 x, x Z; x > 0 x Thực tế 14 + 40 = 54 54 x + 2 x 2 40 54 2 x 10 Ta có Pt: 0,5 x 26x 160 0 x x 2 x 16 Vậy : đoàn xe lúc đầu có 10 xe hoặc 16 xe. Bài 58: Một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người ngồi mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi. Hướng dẫn: Số người Số người/dãy Số dãy ghế Lúc đầu 80 80 x, x z; x > 2 x Lúc sau 80 80 x - 2 x 2 Gv: Nguyễn Thanh Hưng 10
11. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 80 80 2 x 10 Ta có Pt: 2 x 2x 80 0 x 2 x x 8 Vậy: Lúc đầu có 10 dãy ghế; mỗi dãy ghế có 8 người ngồi. Bài 59: Trong một phòng họp có 70 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 4 người ngồi mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi? Hướng dẫn: Số ghế Số ghế/dãy Số dãy ghế Lúc đầu 70 70 x, x z; x > 2 x Lúc sau 70 70 x - 2 x 2 70 70 2 x 7 Ta có Pt: 4 x 2x 35 0 x 2 x x 5 Vậy: Lúc đầu có 7 dãy ghế; mỗi dãy ghế có 10 người ngồi. DẠNG 5: HÌNH HỌC - Chứng minh tứ giác nội tiếp - Chứng minh hệ thức: A.B=C.D; A.B=C2,Tính A.B+C.D theo R. - Chứng minh : 3 điểm thảng hàng, song song, bàng nhau, tam giác vuông,cân, Tứ giác là hình thang, thang cân, vuông, chữ nhật, thoi.tính diện tích tam giác hay tứ giác - Chứng minh: Tìm vị trí 1 điểm sao cho diện tích lớn nhất, nhỏ nhất - Bài toàn về chuyển động của một điểm. DẠNG 6: TOÁN KHÓ - Tìm nghiệm nguyên x,y - Giải phương trình Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: biến đổi về dạng bình phương hoặc dùng BDT Cô-si. PHẦN HÌNH HỌC D¹ng 5:Bµi tËp h×nh häc -VÏ h×nh ghi GT+ KL chÝnh x¸c ng¾n gän ph¶i vÏ h×nh ra nh¸p tr­íc . -C¸c ph­¬ng ph¸p CM tø gi¸c néi tiÕp: Tæng hai gãc ®èi = 1800 , Hai ®Ønh cïng nh×n 1 c¹ch d­íi 1 gãc b»ng nhau -Chøng minh hÖ thøc : §­a vÒ tØ sè chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng hoÆc tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c trong ngoµi tam gi¸c. - Chøng minh ®ång quy: Dùa vµo tÝnh chÊt §­êng cao, ph©n gi¸c, trung tuyÕn, trung trùc, tæng c¸c gãc = 1800. - Bµi to¸n diÖn tÝch: Ph¶i ¸p dông hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng nªn ph¶i chøng minh tam gi¸c vu«ng. §¬n vÞ ph¶i thèng nhÊt. Chó ý: Ph¶i nh×n quy vÒ tø gi¸c néi tiÕp b»ng mäi c¸ch, cã thÓ ph¶i vÏ thªm h×nh phô, kh«ng ngé nhËn trong chøng minh. D¹ng 6: To¸n n©ng cao -Khai th¸c triÖt ®Ó GT b»ng c¸ch biÕn ®æi nh©n víi biÓu thøc liªn hîp . ®Ó ®­îc biÓu thøc cÇn chøng minh. - §èi víi bµi to¸n cùc trÞ ta ¸p dông mét sè H§T + B§T ( AM- GM) víi a, b d­¬ng a + b 2 ab hoÆc a2 b2 2ab DÊu b»ng s¶y ra khi a = b Gv: Nguyễn Thanh Hưng 11
12. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 + Cauchy( C«si) (ax +by+cz)2 ( a2 + b2+c2) (x2 +y2+z2) DÊu b»ng s¶y ra khi a/x = b/y=c/z a b + 2 víi a,b >0 b a DÊu b»ng s¶y ra khi a = b 1 1 4 + DÊu b»ng s¶y ra khi x = y x y x y x4 y4 x y + DÊu b»ng s¶y ra khi x = y x3 y3 2 - Ngoµi ra cßn nhËn xÐt ®­a vÒ d¹ng H§T ( a b)2 c ®Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt. - §èi víi bµi to¸n t×m nhiÒu Èn ta cã thÓ ®­a vÒ tæng c¸c b×nh ph­¬ng hoÆc tæng c¸c biÓu thøc kh«ng ©m tõ ®ã t×m ®­îc gi¸ trÞ cña biÕn. - Bµi to¸n t×m nghiÖm nguyªn: Ph¶i ®­a vÒ d¹ng tÝch råi ¸p dông tÝnh chÊt chia hÕt, nhËn xÐt tÝnh chÝnh ph­¬ng, ®­a vÒ d¹ng ph©n sè duy nhÊt - §èi víi d¹ng to¸n gi¸ trÞ thuéc ®o¹n ch¼ng h¹n x, y, z [0;1] th× khai th¸c tÝnh chÊt (1- x )(1- y)(1 – z) 0 . - §èi víi tam gi¸c cã c¸c c¹nh a, b, c th× khai th¸c : a - b < c < a+ b; a- c < b < a + c; b – c < a < b + c suy ra ac – bc < c2 < ac + bc Lưu ý: Nếu học sinh chỉ thực hiện bước tính toán mà không lí luận thì sẽ bị mất điểm. Khi làm bài thi học sinh cần lưu ý các điều sau đây: 1) Đọc toàn thể đề bài. 2) Phân biệt câu dễ câu khó ®¸nh dÊu ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn. 3) Làm câu dễ trước câu khó sau. 4) Sử dụng các kiến thức trong chương trình, có lí luận chặt chẽ. 5) Vẽ hình theo tõng b-íc rõ ràng, trực quan. 6) Làm xong nhớ kiểm tra lại các kết quả. H­íng dÉn chÊm tõ ®ã cã c¸ch tr×nh bµy lêi gi¶i: -Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm. -Bài hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình thì mới chấm điểm, nếu không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó. -Điểm toàn là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn. Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 1 3. Chứng minh ED = BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 900. AB2 3.Chứng minh AC. BD = . 4 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 12
13. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 6.Chứng minh MN  AB. 7.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh 4 điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn 2. Cminh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). 4. Chứng minh BE = BH + DE. Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Cm tg OBNP là hbh . 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. C m I, J, K thẳng hàng. Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM.IB 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng: Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1/ Chứng minh AC. AE không đổi. 2/ Chứng minh  ABD =  DFB. 3/ Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. S 1 Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A, Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. 1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2. BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . .Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn Gv: Nguyễn Thanh Hưng 13
14. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 3. AC // FG. 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3. Chứng minh OH  PQ. Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . Bài 19. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 20. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MDGC nội tiếp . 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn 3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 4. B, E, F thẳng hàng 5. DF, EG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF là tiếp tuyến của (O’). Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2. Chứng minh IP // OQ. 3. Chứng minh rằng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 2. Tính góc CHK. 3. Chứng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào? Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng. 2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân. 3. Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1. Chứng minh AE = EB. 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ BDE. Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 14
15. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp . 3. Chứng minh MI2 = MH.MK. 4. Chứng minh PQ  MI. Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh : KC AC 1. 2. AM là tia phân giác của CMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp KB AB 4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M. Bài 27 Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chứng minh : 1. Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. 2. E, F nằm trên đường tròn (O). 3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. 4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. Chứng minh a) OM  BC. b) MC2 = MI.MA. c) Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn. Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh AM2 = AE.AC. 4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh : 1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật. 2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. Bài 37 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp . 2. Chứng minh  BAC = 900 . 3. Tính số đo góc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B (O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh : 1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . 2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. 3. Chứng minh AE. AB = AF. AC. 4. Cminh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 40 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N. 1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB. 2. Chứng minh AM. BN = R2. S MON R 3. Tính tỉ số khi AM = . S APB 2 4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra. Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho  DOE = 600 . 1)Chứng minh tích BD. CE không đổi. 2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE 3)Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 15
16. ÔN TẬP HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ 2019 Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh : 1. BD2 = AD.CD. 2. Tứ giác BCDE nội tiếp . 3. BC song song với DE. Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . 2. Chứng minh NE  AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Cm FA là tiếp tuyến của (O). 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. 1. Chứng minh CO = CD. 2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH. PAB. Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. b. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. d. Cho A·BC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH  (d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP c. Giả sử P·MQ = 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ. Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. DM CM b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . DE CE c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. e. Đặt A·OC = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD. Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R, không phụ thuộc vào α. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 16
17. \ Gv: Nguyễn Thanh Hưng 17
18. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác bằng nhau a) Khái niệm: A A'; B B'; C C' ABC A'B'C' khi AB A'B'; BC B'C'; AC A'C' b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. 2.Chứng minh hai góc bằng nhau - Sử dụng hai góc có cùng số đo. -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3; hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với 1 góc. - Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tương ứng bằng nhau. - Sử dụng định nghĩa tia phân giác của 1 góc. - Hai góc đối đỉnh. -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song (2 góc đồng vị, 2 góc so le ). - 2 góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng vuông góc hoặc song song. - Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc kề đáy của hình thang cân, 2 góc đối hình bình hành, - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, hệ quả góc nội tiếp. - Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đường tròn. - Sử dụng các tỉ số lượng giác sin, cos, tg, cotg của góc nhọn 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau - Hai đoạn thẳng có cùng số đo. - 2 đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ 3. - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một. - Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 18
19. - Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam -Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình trong một tam giác. hành -Đường kính đi qua trung điểm của dây. - Trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. với góc 300 của tam giác vuông, - Tính chất tam giác cân, tam giác đều - Ứng dụng các định nghĩa: Trung điểm đọan - Định lý Pitago thẳng, trung tuyến tam giác - tính chất đường kính đi qua trung điểm 1 dây -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung không qua tâm hoặc qua điểm chính giữa một của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một cung. đường tròn, - Tính chất tiếp tuyến của đường tròn. -Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, - Đường nối tâm và dây chung của hai đường hình thang. tròn. - Tính chất các tỷ số bằng nhau; tính chất hai đoạn 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng thẳng song song chắn giữa 2 đường thẳng song -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, song. C thẳng hàng. 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam song song giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại - Dùng đ/n 2 đường thẳng song song tiếp, -Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, -Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, bẹt: Nếu góc ABC bằng 180 0 thì A, B, C thẳng -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với hàng. đường thẳng thứ ba. -Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia -Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt (2 cạnh nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thẳng trên. vuông, hai cạnh đáy hình thang, đường trung bình -Chứng minh AC là đường kính của đường tròn của tam giác, hình thang. tâm B. - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 7. Chứng minh các đường thẳng đồng quy đường thẳng thứ 3. -Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong - Sử dụng kết quả của ácc đoạn thẳng tỷ lệ suy ra tam giác. các đường thẳng tương ứng song song (ĐL Ta lét -Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một đảo) điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một -Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua nhau của một đường tròn. điểm đó. 5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Dùng định lý đảo của định lý Talet. - Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI - Tính chất 2 tia phân giác của hai góc kề bù TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG; - Dùng tính chất 2 góc nhọn trong tam giác vuông HỆ THỨC HÌNH HỌC - Dùng đ/n tính chất 3 đường cao, 3 đường trung A.KIẾN THỨC CƠ BẢN trực của tam giác. 1.Tam giác đồng dạng - Chứng minh chúng song song với hai đường -Khái niệm: vuông góc khác. A A';B B';C C' -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một ABC: A'B'C' khi AB AC BC trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với A'B' A'C' B'C' đường thẳng còn lại. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c-c- c; c-g-c; g-g. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 19
20. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba. Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba. Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó M AB  CD; N AD  BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn” Gv: Nguyễn Thanh Hưng 20
21. Gv: Nguyễn Thanh Hưng 21