Các dạng Toán thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia - Chuyên đề 14: Hình nón, khối nón

Nội dung text: Các dạng Toán thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia - Chuyên đề 14: Hình nón, khối nón

1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN HÌNH NÓN, KHỐI NÓN ĐỀ 14 MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI 1 Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện 1 Dạng 2. Thể tích 3 Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện 6 Dạng 4. Bài toán thực tế 8 Dạng 5. Bài toán cực trị 9 PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO 10 Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện 10 Dạng 2. Thể tích 17 Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện 24 Dạng 4. Bài toán thực tế 29 Dạng 5. Bài toán cực trị 32 PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện Câu 1. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi l, lầnh,r lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là: 1 A. .S rB.2h . C.S . rl D. . S rh S 2 rl xq 3 xq xq xq Câu 2. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình nón có bán kính đáy bằng , đườnga cao là 2a . Tính diện tích xung quanh hình nón? A. .2 5 a2 B. . 5 aC.2 . 2D.a2 . 5a2 Câu 3. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r và3 độ dài đường sinh l . Tính4 diện tích xung quanh của hình nón đã cho. A. Sxq 8 3 B. Sxq 12 C. S xq 4 3 D. S xq 39 Câu 4. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3và abán2 kính đáy bằng a . Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho. 3a 5a A. .l 3a B. . l 2C.2 . a D. l. l 2 2 Câu 5. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 và acó2 bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: 3a A. 3a B. 2a C. D. 2 2a 2 1
2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 6. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác vuông A tạiBC ,A AB và a AC a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB . A. l a 3 B. l 2a C. l a D. l a 2 Câu 7. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón. 2 a2 2 a2 2 a2 2 A. . B. . C. . D. . a2 2 3 4 2 Câu 8. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng vàa độ dài đường sinh bằng 2a . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. .4 a2 B. . 3 a2 C. . 2 aD.2 . 2a2 Câu 9. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a2 , bán kính đáy bằng a . Tính độ dài đường sinh của hình nón đó 3a A. .2 a 2 B. . C. . 2a D. . 3a 2 Câu 10. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho khối nón Ncó thể tích bằng 4 và chiều cao là 3 .Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón N . 2 3 4 A. .2 B. . C. . 1 D. . 3 3 Câu 11. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho một hình nón có chiều cao h a và bán kính đáy r 2a . Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P) . 3a 5a 2a A. d B. d C. d D. d a 2 5 2 Câu 12. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hình nón đỉnh , đườngS cao SO, A a 3 và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB bằng và 3 S· AO 300 , S· AB 600 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng A. a 2 B. a 3 C. 2a 3 D. a 5 Câu 13. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 2 3 a2 4 3 a2 A. .S 4 a2B. . C. . S D. . S S 2 a2 xq xq 3 xq 3 xq 2
3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 14. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a , vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng: 2 2 2 3 2 a2 3 3 a 1 3 a 2 2 a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 15. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình nón có chiều cao h ,2 bán0 kính đáy r . 2Một5 thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 1 .2 Tính diện tích S của thiết diện đó. A. S 500 B. S 400 C. S 300 D. S 406 Câu 16. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cắt hình nón ( Nđỉnh) choS trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a 2. Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC ) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC . 4a2 2 4a2 2 2a2 2 2a2 2 A. B. C. D. 3 9 3 9 Câu 17. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng và4 bán kính bằng 3. Mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2 . Diện tích của thiết diện bằng. A. . 6 B. . 19 C. . 2 6 D. . 2 3 Câu 18. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình nón. A. 4a2 (đvdt). B. 4 2a2 (đvdt). C. a2 2 1 (đvdt). D. 2 2a2 (đvdt). Câu 19. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C' D cạnh' . a Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA' . A. . 3 2B. a. 2 C. . 2 D. . 2 1 a2 2 6 1 a2 6 2 a2 Câu 20. Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng . Mặt1 phẳng Pqua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1 . Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng P bằng 7 2 3 21 A. . B. . C. . D. 7 2 3 7 Câu 21. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho hình nón đỉnh , đáyS là đường tròn O;5 .Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA AB 8 . Tính khoảng cách từ O đến SAB . 3 3 3 2 13 A. .2 2 B. . C. . D. . 4 7 2 Dạng 2. Thể tích 3
4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 22. (Mã 103 - BGD - 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là 1 4 A. .2 r 2h B. . r 2hC. . D.r 2.h r 2h 3 3 Câu 23. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h 4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 16 3 A. V 12 B. V 4 C. V 16 3 D. V 3 Câu 24. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 4 1 A. . r 2h B. . 2 r 2hC. . D. . r 2h r 2h 3 3 Câu 25. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 1 4 A. . r 2h B. . r 2C.h . D.2 . r 2h r 2h 3 3 Câu 26. (Mã 102 - BGD - 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 4 1 A. . r 2h B. . r2h C. . 2D. r.2h r 2h 3 3 Câu 27. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho khối nón có bán kính đáy r , chiều3 cao h 2 . Tính thể tích Vcủa khối nón. 3 2 9 2 A. V B. V 3 11 C. V D. V 9 2 3 3 Câu 28. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tam giác AB vuôngC tại A, AB c, AC b . Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta được một hình nón có thể tích bằng 1 1 1 1 A. . bc2 B. . bc2 C. . bD.2c . b2c 3 3 3 3 Câu 29. Cho khối N có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính thể tích V của khối nón N A. V 12 . B. V 20 . C. V 36 . D. V 60 . Câu 30. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 25 và bán kính đường tròn đáy bằng 15. Tính thể tích của khối nón đó. A. .1 500 B. . 4500 C. . 3D.75 . 1875 Câu 31. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian cho tam giác AB C vuông tại , A AB vàa · o ACB 30 . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC . 3 a3 3 a3 A. V a3 B. V 3 a3 C. V D. V 9 3 Câu 32. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng và2 abán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng 3 a3 3 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. 3 2 3 3 4
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 33. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối nón có bán kính đáy r chiều2, cao h 3. Thể tích của khối nón là 4 3 4 2 3 A. . B. . C. . D. 4 3. 3 3 3 Câu 34. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho khối nón tròn xoay có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng a . Khi đó thể tích khối nón là 4 2 1 A. . a3 B. . a3 C. . a3D. . a3 3 3 3 Câu 35. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho khối nón có bán kính đáy r và 3 chiều cao h 4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 16 3 A. V 16 3 B. V C. V 12 D. V 4 3 Câu 36. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng 60o và diện tích xung quanh bằng 6 a2. 3 a3 2 3 a3 2 A. V B. V 3 a3 C. V D. V a3 4 4 Câu 37. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho tam giác A BvuôngC tại , cạnhA AB 6, AC 8 và M là trung điểm của cạnh AC . Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh quanh AB là A. 86 B. 106 C. 96 D. 98 Câu 38. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 60 . Tính thể tích của khối nón đó. 8 3 8 3 8 A. . cm3 B. . C.8 . 3 cm3 D. . cm3 cm3 9 3 3 Câu 39. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho tam giác AB C vuông tại , A AB 6cm, AC 8cm . Gọi V1 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V1 V2 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC . Khi đó, tỷ số bằng: V2 3 4 16 9 A. . B. . C. . D. . 4 3 9 16 Câu 40. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình nón Nđỉnh1 đáyS là đường tròn C O; ,R đường cao SO 40cm . Người ta cắt nón bằng mặt phẳng vuông góc với trục để được nón nhỏ N 2có V 1 đỉnh S và đáy là đường tròn C O ; R . Biết rằng tỷ số thể tích N2 . Tính độ dài đường cao nón V 8 N1 N2 . A. .2 0cm B. . 5cm C. . 10D.cm . 49cm Câu 41. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho một đồng hồ cát như bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 . Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm3 . Hỏi nếu cho đầy lượng 5
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG cát vào phần bên trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỷ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 64 8 27 3 3 Câu 42. Cho hinh chữ nhật ABC cóD AB 2, AD 2 và3 nằm trong măt phẳng . QuayP một P vòng quanh đường thẳng BD . Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng 28 28 56 56 A. B. C. D. 9 3 9 3 Câu 43. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chữ nhật A BcóC D AB 2 , AD 2 3 và nằm trong mặt phẳng P . Quay P một vòng quanh đường thẳng BD . Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng 28 28 56 56 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 3 Câu 44. (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Cho hình thang ABC D có µA Bµ 9 , 0 AB BC , a AD 2a . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD . 7 2 a3 7 2 a3 7 a3 7 a3 A. . B. . C. . D. . 6 12 6 12 AD ^ ABC Câu 45. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho hình tứ diện ABC cóD ( , ) ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC = 2(cm) ,AB = 2 3(cm),AD = 6(cm) . Quay các tam giác ABC và ABD ( bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 5 3 3 3 3 3 64 3 3 3 p(cm ) p(cm ) p(cm ) A. 3p(cm ) B. 2 C. 2 . D. 3 . 6
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Dạng 3. Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện Câu 46. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD 2 a3 a3 a3 2 a3 A. V B. V C. V D. V 2 2 6 6 Câu 47. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Hình nón N có đỉnh A có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính diện tích xung quanh S xq của N . 2 2 2 2 A. Sxq 12 a B. Sxq 6 a C. Sxq 3 3 a D. Sxq 6 3 a Câu 48. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuôngABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D . Diện tích toàn phần của khối nón đó là a2 a2 a2 a2 A. .S B. . C. . D.3 . 2 S 5 1 S 5 2 S 3 1 tp 2 tp 4 tp 4 tp 2 Câu 49. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp tam giác đều S.AB cóC cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a2 3 a2 7 a2 7 a2 10 A. B. C. D. 3 6 4 8 Câu 50. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình nón có đường sinh tạo với đáy một góc . Mặt phẳng N 60 qua trục của cắt được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng . Tính N N 1 thể tích của khối nón giới hạn bởi . V N A. B. C. D. V 9 V 3 3 V 9 3 V 3 Câu 51. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a2 3 a2 7 a2 7 a2 10 A. B. C. D. 3 6 4 8 Câu 52. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều S.AB CD có độ dài cạnh đáy là a và N là hình nón có đỉnh là S với đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABCD và khối nón N là 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 Câu 53. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp đều S.ABC cóD đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 45 . Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp trên là: 8 2 2 A. πa3 3 B. πa3 3 C. 2πa3 2 D. πa3 2 3 3 3 7
8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 54. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S.AB CcóD vuôngSA góc với mặt phẳng ABCD , tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD, BC . AD 3CB 3a ,   AB a , SA a 3 . Điểm I thỏa mãn AD 3AI , M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD . a3 a3 a3 a3 A. .V B. . VC. . D. . V V 5 5 2 5 5 10 5 Dạng 4. Bài toán thực tế Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng Câu 55. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) 40cm . Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ 1 N có thể tích bằng 2 8 thể tích N1 .Tính chiều cao h của hình nón N2 ? A. 10cm B. 20cm C. 40cm D. 5cm Câu 56. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho một tấm bìa hình dạng tam giác vuông, biết b và c là độ dài cạnh tam giác vuông của tấm một khối tròn xoay. Hỏi thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi tấm bìa bằng bao nhiêu? b2c2 b2c2 2 b2c2 b2c2 A. .V = B. . C. . D. .V = V = V = 3 b2 + c2 3 b2 + c2 3 b2 + c2 3 2(b2 + c2 ) Câu 57. Một chiếc thùng chứa đầy nước có hình một khối lập phương. Đặt vào trong thùng đó một khối nón sao cho đỉnh khối nón trùng với tâm một mặt của khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng. 8
9. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 11 A. . B. . C. . D. . 12 11 12 12 Câu 58. (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ 1 một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi 3 nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. A. 0,501 cm . B. 0,302 cm . C. 0,216 cm . D. 0,188 cm . Câu 59. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm. 1 1 A. 3 7. B. . C. . 3 5 D. . 3 2 Câu 60. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l 10m , bán kính đáy R 5m . Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của S.B Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử. A. 15 m. B. 10 m. C. .5 3 m D. . 5 5 m Câu 61. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Một cái phểu có dạng hình nón, chiều cao của phểu là 20 .c Ngườim ta đổ một lượng nước vào phểu sao cho chiều cao của cột nước trong phểu là 10cm . Nếu bịt kím miêng phểu rồi lật ngược lên chiều cao của cột nước trong phểu gần nhất với giá trị nào sau đây. A. .1 ,07cm B. . 0,97C.cm . D. 0,67cm . 0,87cm Dạng 5. Bài toán cực trị 2 4 2 2 Câu 62. Giả sử đồ thị hàm số y m 1 x 2mx m có 1 3 điểm cực trị là A, B mà,C xA xB . xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây: A. . 4;6 B. . 2;4 C. . D.2 ;.0 0;2 Câu 63. Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cvàm đường kính đáy 24 c bởim một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây? A. .1 70 B. . 260 C. . 294 D. . 208 Câu 64. Một hình nón tròn xoay có đường sinh .2 Thểa tích lớn nhất của khối nón đó là 9
10. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 16 a3 16 a3 4 a3 8 a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 3 3 3 3 3 Câu 65. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Huyền có một tấm bìa như hình vẽ, Huyền muốn biến đường tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán OA , OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phểu lớn nhất? 2 6 A. B. C. D. 3 3 2 4 Câu 66. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: đường sinh l 10m, bán kính đáy R 5m. Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của SB. Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử. A. .1 5m B. . 10m C. . 5 3D.m . 5 5 m PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện Câu 1. Chọn B Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl . Câu 2. 2 2 2 Ta có Sxq Rl a a 4a 5 a (đvdt). Câu 3. Chọn C Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq rl 4 3 . Câu 4. Chọn A 2 Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq rl al 3 a l 3a . Câu 5. Lời giải Chọn A 2 Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl với r a .a.l 3 a l 3a . Câu 6. Chọn B 10
11. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG B A C Xét tam giác ABC vuông tại A ta có BC 2 AC 2 AB2 4a2 BC 2a Đường sinh của hình nón cũng chính là cạnh huyền của tam giác l BC 2a . Câu 7. Chọn D Ta có tam giác SAB vuông cân tại S có SA a. a 2 a 2 a2 2 Khi đó: R OA , l SA a. Nên S Rl . .a . 2 xq 2 2 A 2a O a Câu 8. 2 Ta có: Sxq rl .a.2a 2 a . S 3 a2 Câu 9. . S Rl l xq 3a xq R a 1 Câu 10. Thể tích của khối nón được tính bởi công thức V R (2 h làR bán kính đáy, làh độ dài đường cao 3 của khối chóp). 1 2 2 Theo bài ra: V 4 ,h 3 nên ta có 4 R .3 R 4 R 2 . 3 Vậy R 2 . Câu 11. Chọn C 11
12. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Có P  SAB . Ta có SO a h,OA OB r 2a, AB 2a 3 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là trung điểm AB , gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; SAB OK . Ta tính được OM OA2 MA2 a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra K là trung SM a 2 điểm của SM nên OK 2 2 Câu 12. Chọn A S H B O K A Gọi K là trung điểm của AB ta có OK  AB vì tam giác OAB cân tại O Mà SO  AB nên AB  SOK SOK  SAB mà SOK  SAB SK nên từ O dựng OH  SK thì OH  SAB OH d O, SAB SO SA Xét tam giác SAO ta có: sin S· AO SO SA 2 SK SA 3 Xét tam giác SAB ta có: sin S· AB SK SA 2 12
13. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 1 1 1 Xét tam giác SOK ta có: OH 2 OK 2 OS 2 SK 2 SO2 SO2 1 1 1 4 2 6 3 SA 2a2 SA a 2 OH 2 SA2 3SA2 SA2 SA2 SA2 SA2 a2 4 4 4 S 60 A a O B Câu 13. Giả sử hình nón có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy và AB là một đường kính của đáy. r OA a , ·ASB 60 ·ASO 30 . OA Độ dài đường sinh là l SA 2a . sin 30 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl .a.2a 2 a . A H I x Câu 14. B Xét tam giác AHB vuông tại H . Ta có AH = AB2 HB2 a 3 AH.HB a 3.a a 3 Xét tam giác AHB vuông tại H , HI  AB tại I ta có HI = AB 2a 2 Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích xung quanh là S ) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2). Trong đó: (N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là a 3 3 a2 S = π.HI.AH = . .a 3 1 2 2 (N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là a 3 3 a2 S = π.HI.BH = . .a 2 2 2 13
14. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 3 a2 3 a2 3 3 a S = S + S . 1 2 2 2 2 Câu 15. Giả sử hình nón đỉnh , tâmS đáy vàO có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là SA (hìnhB vẽ). S H B O I A Ta có SO là đường cao của hình nón. Gọi I là trung điểm của AB OI  AB . Gọi H là hình chiếu của O lên SI OH  SI . Ta chứng minh được OH  SAB OH 12 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Xét tam giác vuông SOI có . OH 2 OS 2 OI 2 OI 2 OH 2 OS 2 122 202 225 OI 2 225 OI 15 . Xét tam giác vuông SOI có SI OS 2 OI 2 202 152 25 . Xét tam giác vuông OIA có IA OA2 OI 2 252 152 20 AB 40 . 1 1 Ta có S S AB.SI .40.25 500 . ABC 2 2 Câu 16. Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra r = SO = a 2 · 0 Ta có góc giữa mặt phẳng (SBC ) tạo với đáy bằng góc SIO = 60 SO 2 6 · 6 Trong tam giác SIO vuông tại O có SI = = a và OI = SI .cosSIO = a sinS·IO 3 3 14
15. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 4 3 Mà BC = 2 r 2 - OI 2 = a 3 1 4a2 2 Diện tích tam giác SBC là S = SI .BC = 2 3 Câu 17. Ta có: h OI 4, R IA IB 3, AB 2 . Gọi M là trung điểm AB MI  AB AB  SMI AB  SM . Lại có: SB OI 2 IB2 42 32 5 ; SM SB2 MB2 52 12 2 6 . 1 1 Vậy: S .SM.AB .2 6.2 2 6 . SAB 2 2 15