›
›
›

Các dạng toán trắc nghiệm Toán Lớp 11 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (Có lời giải)

docx 75 trang Hàn Vy 03/03/2023 4183
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các dạng toán trắc nghiệm Toán Lớp 11 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxcac_dang_toan_trac_nghiem_toan_lop_11_dai_cuong_ve_duong_tha.docx

Nội dung text: Các dạng toán trắc nghiệm Toán Lớp 11 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (Có lời giải)

  1. CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Khái niệm mở đầu 1. Mặt phẳng + Mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ nước yên lặng . . . Cho ta hình ảnh của một phần của mặt phẳng. + Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. P + Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ( ). + mặt phẳng (P ), mặt phẳng ( Q ), mặt phẳng ( ), mặt phẳng () hoặc viết tắt là mp( P ), mp( Q ), mp ( ) , mp ( ) , hoặc ( P ) , ( Q ) , ( ) , ( ), 2. Điểm thuộc mặt phẳng Cho điểm A và mặt phẳng (P). + Điểm A thuộc mặt phẳng (P) ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và kí hiệu A ( P) . A P + Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta nói điểm A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A và kí hiệu A ( P) . A P 3. Hình biểu diễn của một hình không gian
  2. Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta dựa vào những qui tắc sau : + Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. + Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. + Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. + Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN 1. Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. 2. Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. A B C 3. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. * Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P ) thì ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) . Hay (P) chứa d và kí hiệu d  (P) hay (P)  d 4. Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mp thì ta nói những điểm đó đồng phẳng . 5. Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. * Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. * Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) được gọi là giao tuyến của ( P) và (Q) kí hiệu d = ( p)  ( Q ) 6. Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG Có 3 cách xác định mặt phẳng + Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. A B C + Qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó ta xác định duy nhất một mặt phẳng.
  3. A d Kí hiệu mp(A,d) hay (A,d) + Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng. a Kí hiệu mp (a, b) hay (a, b) b IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN 1. Hình chóp: + Hình gồm miền đa giác A 1A2A3. . .An. Lấy điểm S nằm ngoài ( ) . lần lượt nối S với các đỉnh A1, A2, An ta được n tam gíác SA1A2 , SA2A3 . . . SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2A3. . .An và n tam giác SA1A2 , SA2A3 . . . SAnA gọi là hình chóp, kí hiệu là S. A1A2A3. . .An. ta gọi S là đỉnh và đa giác A1A2A3. . .An là mặt đáy. Các tam giác SA1A2 , SA2A3 . . . SAnA gọi là các mặt bên. Các đoạn SA1, SA2 . . SAn là các cạnh bên., các cạnh của đa giác đáy gọi là cạnh đáy của hình chóp. 2. Hình tứ diện + Một hình chóp có đáy là tam giác gọi là tứ diện. + Tứ diện có các mặt là tam giác đều gọi là tứ diện đều. V. HÌNH LĂNG TRỤ 1. Hình lăng trụ: Hình hợp bởi các hình bình hành A 1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ,AnA1A'1A'2 và hai đa giác A1A2 An, A'1A'2 A'n gọi là hình lăng trụ hoặc lăng trụ, và ký hiệu là A1A2 An.A'1A'2 A'n. Trong một hình lăng trụ thì 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau. các cạnh bên song song và bằng nhau các mặt bên là hình bình hành hình lăng trụ tam giác
  4. 2. Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Trong một hình hộp thì Các mặt bên là các hình bình hành Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. hình hộp PHẦN 1 ĐỀ BÀI DẠNG 1 LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. D. Nếu ba điểm phân biệt M, N,P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng. Câu 2. Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 3. Trong mp , cho bốn điểm A , B , C , D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm S mp . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong số bốn điểm nói trên? A. 4. B. 5 . C. 6. D. 8 . Câu 4. Cho 2 đường thẳng a,b cắt nhau và không đi qua điểm A . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. Câu 5. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S ?
  5. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Câu 6. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD , điểm E . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm A, B,C, D, E ? A. 6. B. 7. C. 8 . D. 9 . Câu 7. Cho năm điểm A , B , C , D , E trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8 . D. 14. Câu 8. Trong các hình sau : A A A A B D C C B D B D B C C D Hình (I) Hình (II) Hình (III) Hình (IV) Hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn Câu đúng nhất) A. (I). B. (I), (II). C. (I), (II), (III). D. (I), (II), (III), (IV). Câu 9. Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là : A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh. C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh. Câu 10. Một hình chóp cụt có đáy là một n giác, có số mặt và số cạnh là : A. n 2 mặt, 2n cạnh. B. n 2 mặt, 3n cạnh. C. n 2 mặt, n cạnh. D. n mặt, 3n cạnh. Câu 11. Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu? A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 6. DẠNG 2 TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp : Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b) cần thực hiện: Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của (a) và (b) . Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm (AB = (a) Ç(b)). Chú ý : Để tìm điểm chung của và ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai (a) (b) mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng.  b a A
  6. ïì ï M Î d Khi điểm í Þ M Î (a) ï d Ì a îï ( ) Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD M và AB CD N. Giao tuyến của mặt phẳng SAC và mặt phẳng SBD là đường thẳng A. SN. B. SC. C. SB. D. SM. Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD M và AB CD N. Giao tuyến của mặt phẳng SAB và mặt phẳng SCD là đường thẳng A. SN. B. SA. C. MN. D. SM. Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AB / /CD . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp S.ABCD có 4mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là SO ( O là giao điểm của AC và BD ). C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là SI ( I là giao điểm của AD và BC ). D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SAD là đường trung bình của ABCD . Câu 15. Cho tứ diện ABCD . Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO . Gọi I, J là hai điểm trên cạnh BC , BD . Giả sử IJ cắt CD tại K , BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H , ME cắt AH tại F . Giao tuyến của hai mặt phẳng MIJ và ACD là đường thẳng: A. KM . B. AK . C. MF . D. KF . Câu 16. Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ACD và GAB là: A. AM , M là trung điểm AB . B. AN , N là trung điểm CD . C. AH , H là hình chiếu của B trên CD . D. AK , K là hình chiếu của C trên BD . Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I là trung điểm của SD , J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC . Giao tuyến của hai mặt phẳng ABCD và AIJ là: A. AK , K là giao điểm IJ và BC . B. AH , H là giao điểm IJ và AB . C. AG , G là giao điểm IJ và AD . D. AF , F là giao điểm IJ và CD . Câu 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC và CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MBD và ABN là:
  7. A. MN . B. AM . C. BG , với G là trọng tâm tam giác ACD . D. AH , với H là trực tâm tam giác ACD . Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC .Giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và SAC là: A. SD . B. SO , O là tâm hình bình hành ABCD . C. SG , G là trung điểm AB . D. SF , F là trung điểm CD . Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm SA và SB .Khẳng định nào sau đây là sai? A. IJCD là hình thang. B. SAB  IBC IB . C. SBD  JCD JD . D. IAC  JBD AO , O là tâm hình bình hành ABCD . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD€BC . Gọi M là trung điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là: A. SI , I là giao điểm AC và BM . B. SJ , J là giao điểm AM và BD . C. SO , O là giao điểm AC và BD . D. SP , P là giao điểm AB và CD . Câu 22. Cho tứ diện ABCD .G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm CD , I là điểm trên đoạn thẳng AG , BI cắt mặt phẳng ACD tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM ACD  ABG . B. A , J , M thẳng hàng. C. J là trung điểm AM . D . DJ ACD  BDJ . Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD / /BC . Gọi I là giao điểm của AB và DC , M là trung điểm SC . DM cắt mặt phẳng SAB tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. S , I , J thẳng hàng. B. DM  mp SCI . C. JM  mp SAB . D. SI SAB  SCD . Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA . a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: SAC và SBD A. SC B. SB C. SO trong đóO AC  BD D. S b) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: SAC và MBD A. SM B. MB C. OM trong đó O AC  BD D. SD c) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: MBC và SAD
  8. A. SM B. FM trong đó F BC  AD C. SO trongO AC  BD D. SD d) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAB và SCD A. SE trong đó E AB CD B. FM trong đó F BC  AD C. SO trongO AC  BD D. SD Câu 25. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC . A. PC trong đó P DC  AN , N DO  BC B. PC trong đó P DM  AN , N DA BC C. PC trong đó P DM  AB , N DO  BC D. PC trong đó P DM  AN , N DO  BC b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABD . A. DR trong đó R CM  AQ , Q CA BD B. DR trong đó R CB  AQ , Q CO  BD C. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BA D. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BD c) Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD . A. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BE  IA, E BO CD B. FG trong đó F IACD , G KM  AE , K BA IJ , E BO CD C. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BA IJ , E BO CD D. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BE  IJ , E BO CD Câu 26. Cho tứ diện SABC có AB c, BC a, AC b. AD, BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SBE và SCF là:  b c  A. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  b c  B. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  a  C. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c  a  D. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c
  9. DẠNG 3 TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (a) là xét hai trường hợp: Trường hợp 1: mp(a) chứa đường thẳng D và D cắt d . ïì ï D Ì mp(a) í Þ {I } = d Çmp(a) ï D Çd = I îï { } d I Trường hợp 2: mp(a) không chứa đường thẳng nào cắt d . + Bước 1: Tìm mp(b) É d sao cho (a) Ç(b) = D + Bước 2: Tìm {I } = d ÇD Þ I = d Ç(a) .  d I Câu 27. Cho bốn điểm A, B,C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây: A. BCD . B. ABD . C. CMN . D. ACD . Câu 28. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA .
  10. a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD . A. Điểm H, trong đó E AB CD , H SA EM B. Điểm N, trong đó E AB CD , N SB  EM C. Điểm F, trong đó E AB CD , F SC  EM D. Điểm T, trong đó E AB CD ,T SD  EM b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD . A. Điểm H, trong đó I AC  BD , H MA SI B. Điểm F, trong đó I AC  BD , F MD  SI C. Điểm K, trong đó I AC  BD , K MC  SI D. Điểm V, trong đó I AC  BD , V MB  SI Câu 29. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN . A. Điểm K, trong đó K IJ  SD , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD B. Điểm H, trong đó H IJ  SA , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD C. Điểm V, trong đó V IJ  SB , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD D. Điểm P, trong đó P IJ  SC , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của SAB và SCD . Nhận xét nào sau đây là sai: A. d cắt CD . B. d cắt MN . C. d cắt AB . D. d cắt SO . Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC . MA Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM vơí mặt phẳng SBD . Khi đó tỉ số bằng bao nhiêu: IA 3 4 A. 2 . B. 3 . C. . D. . 2 3 Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn AD = 2BC, G là trọng KB tâm tam giác SCD . Mặt phẳng SAC cắt cạnh BG tại K . Khi đó, tỷ số bằng: KG 3 1 A. 2 B. C. 1 D. 2 2 Câu 33. Cho tứ diện ABCD có P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . M là điểm thuộc cạnh AD NB sao cho MA = 2MD.Gọi N là giao điểm của BC với MPQ . Tỉ số bằng: NC 1 2 A. B. C. 2 D. 1 2 3
  11. Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang AD // BC,AD > BC , E là điểm thuộc cạnh SF SA sao cho SE = 2EA . Mặt phẳng EBC cắt cạnh SD tại F. Khi đó, tỷ số bằng: SD 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 4 Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P lần lượt là trung SH điểm của AB, AD và SO . Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm SP . Gọi R là giao điểm của SR SB với mặt phẳng (MNP) . Tính ? SB 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 5 Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là các BM 2 NC 1 PD 1 điểm nằm trên cạnh AB, AD sao cho , . Gọi P là điểm trên cạnh SD sao cho . MA 3 BN 2 PS 5 SJ J là giao điểm của SO với MNP . Tính ? SO 10 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 11 11 4 2 Câu 38. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AP 1 SQ AB sao cho . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng MNP .Tính AB 3 SC 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Câu 39. Cho tứ diện SABC, E, F lần lượt thuộc đoạn AC, AB. Gọi K là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của SAK với BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? AK BK CK AK BK CK A. 6 . B. 6 . KD KE KF KD KE KF AK BK CK AK BK CK C. 6 . D. 6 . KD KE KF KD KE KF Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, D, M lần lượt là trung điểm của BC, AD . Gọi E là giao điểm của MF ME SBM với AC, F là giao điểm của SCM với AB . Tính ? CM ME BM ME 1 1 A. 1. B. 2 . C. D. . 2 3
  12. DẠNG 3 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 1. Chứng minh ba điểm A; B; C thẳng hàng: Phương pháp + Bước 1: Chứng minh 3 điểm A,B,C Î mp(a) . + Bước 2: Chứng minh 3 điểm A,B,C Î mp(b) . + Bước 3: Kết luận 3 điểm A,B,C thuộc giao tuyến chung của 2 mặt phẳng mp(a) và mp(b) Þ A,B,C thẳng hàng.  d A B C 2. Chứng minh 3 đường thẳng d ,d ,d đồng quy: d 1 2 3 3 Phương pháp d I 1 + Bước 1: Tìm I = d1 Çd2 . d2 + Bước 2: Chứng minh d3 đi qua I . Þ d1,d2,d3 đồng quy tại I . 3. Chứng minh đường thẳng trong không gian qua một điểm cố định Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp là: A Ta cần tìm trên d hai điểm tùy ý A , B và chứng minh hai điểm B I (cố định) đó thẳng hàng với điểm I cố định có sẵn trong không gian Þ d đi qua điểm I cố định. d Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là: I (cố định) d
  13. - Bước 1: Tìm đường thẳng D cố định ở ngoài mặt phẳng cố định (a) chứa d di động. - Bước 2: Tìm giao điểm I của D và d Þ I là điểm cố định mà d đi qua. Câu 41. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD . Mặt phẳng qua MN cắt AD và BC lần lượt tại P , Q . Biết MP cắt NQ tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I , A , C . B. I , B , D . C. I , A , B . D. I , C , D . Câu 42. Cho tứ diện SABC . Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ba điểm B, J, K thẳng hàng B. Ba điểm I, J, K thẳng hàng C. Ba điểm I, J, K không thẳng hàng D. Ba điểm I, J,C thẳng hàng Câu 43. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M , N . Một mặt phẳng  đi qua BC cắt SD, SA tương ứng tại P và Q . a) Gọi I AM  DN, J BP  EQ . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm S, I, J,G thẳng hàng. B. Bốn điểm S, I, J,G không thẳng hàng. C. Ba điểm P, I, J thẳng hàng. D. Bốn điểm I, J,Q thẳng hàng. b) Giả sử K AN  DM , L BQ  EP . Khằng định nào sau đây là đúng? A. Ba điểm S, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm S, K, L không thẳng hàng C. Ba điểm B, K, L thẳng hàng D. Ba điểm C, K, L thẳng hàng Câu 44. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tưng ứng tại các điểm M , N, P,Q . Khẳng định nào đúng? A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui. B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau. C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song. D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau. Câu 45. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong P lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc P . Các đường thẳng SA, SB cắt Q tương ứng tại các điểm C, D . Gọi E là giao điểm của AB và a.Khẳng định nào đúng? A. AB,CD và a đồng qui. B. AB,CD và a chéo nhau. C. AB,CD và a song song nhau. D. AB,CD và a trùng nhau
  14. Câu 46. Cho hình bình hành ABCD , S là điểm không thuộc ABCD ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC. Xác định các giao điểm I, J của AN và MN với SBD , từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểmJ, I, M thẳng hàng. B. Ba điểmJ, I, N thẳng hàng. C. Ba điểmJ, I, D thẳng hàng. D. Ba điểmJ, I, B thẳng hàng. Câu 47. Cho tứ giác ABCD và S ABCD . Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SCtại M. Xác định các giao điểm K, L của IJ và DJ với SAC , từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểm A, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm A, L, M thẳng hàng. C. Bốn điểm A, K, L, M thẳng hàng. D. Bốn điểm A, K, L, J thẳng hàng. Câu 48. Cho tứ diện SABC .Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LMkhông song song với AB, LN không song song với SC. Gọi LK giao tuyến của mp LMN và ABC . Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BC và SC với LMN . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Ba điểm L, I, J thẳng hàng. B. Ba điểm L, I,K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, Jthẳng hàng. D. Ba điểm M, I,K thẳng hàng. Câu 49. Cho tứ giác ABCD và S không thuộc mặt phẳng ABCD . Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD. Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BN và MN với SAC . Từ đó tìm bộ 3 điểm thẳng hàng trong những điểm sau: A. Ba điểm A, I, Jthẳng hàng. B. Ba điểm K, I,K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, Jthẳng hàng. D. Ba điểm C, I,Jthẳng hàng. Câu 50. Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các điểm thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD sao cho     HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳng B. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng. D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng. Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành BC / / AD .Mặt phẳng P di động chứa đường thẳng AB và cắt các đoạn SC, SD lần lượt tại E, F . Mặt phẳng Q di động chứa đường thẳng CD và cắt SA, SB lần lượt tại G, H.I là giao điểm của AE, BF; J là giao điểm của CG, DH . Xét các mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 2 Đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định. 3 Đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố dịnh.
  15. Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 52. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA sao cho MN không song song với AC . M , N, P,Q đồng phẳng khi : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A. . . . 1 B. . . . 1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C. . . . 1 D. . . . 1. AM BN CP AQ BM CN CP DQ Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử AD và BC cắt nhau tại H. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E và F lần lượt là trung điểm của SA và SB. Điểm M di động trên cạnh SC. Gọi N là giao điểm của SD và mp(EFM). Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM. A. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = CF  SH. B. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = DE  SH. C. Tập hợp J là đoạn thẳng SH. D. Tập hợp J là đường thẳng SH. Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD, trong đó AD không song song với BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AD và BC. Điểm M di động trên cạnh SB, EM cắt SC tại N. Tập hợp giao điểm I của AN và DM. A. Tập hợp giao điểm I là đoạn thẳng SO. B. Tập hợp giao điểm I là đường thẳng SO. C. Tập hợp giao điểm I là đoạn thẳng SO trừ 2 điểm S và O. D. Tập hợp giao điểm I là đoạn thẳng SE. Câu 55. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng P di động luôn song song với AB và CD cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M , N, E, F . Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF. A. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD (trừ 2 điểm P và Q). B. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. C. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC (trừ 2 điểm P và Q). D. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.
  16. DẠNG 4 XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1 A2 An cắt bởi mặt phẳng , ta tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp) Câu 56. Cho ABCD là một tứ giác lồi. Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp S.ABCD ? A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB . Mặt phẳng ADM cắt hình chóp theo thiết diện là A. tam giác.B. hình thang. C. hình bình hành.D. hình chữ nhật. Câu 59. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD . a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì? A. Tam giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD . Điểm C nằm trên cạnh SC . Thiết diện của hình chóp với mp ABC là một đa giác có bao nhiêu cạnh? A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 6. Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng IBC là: A. Tam giác IBC. B. Hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ). D. Tứ giác IBCD . Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P là ba điểm trên các cạnh AD,CD, SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành
  17. Câu 63. Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là trung điểm AB và AC . Mặt phẳng ( ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là tam giác. C. T là hình thoi. D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành. Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNQ là đa giác có bao nhiêu cạnh ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là 2 điểm thuộc cạnh SB,SD sao cho SM = MB,SN = 2ND . Mặt phẳng AMN cắt SC tại P thỏa mãn SP = kSC . Số k bằng? 2 3 3 2 A. B. C. D. 5 5 2 3 Câu 66. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm AB , F là điểm thuộc cạnh BC sao cho BF 2FC,G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG 2GD . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD của hình chóp ABCD theo a . 19 a 141 a 34 15 3 a 34 15 3 A. a . B. . C. . D. . 15 30 15 15 Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho SD 3SE . F là trọng tâm tam giác SAB,G là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên SCD . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG có thể là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác.   Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD, E là trung điểm của SB, F thuộc SC sao cho 3SF 2SC, G là một điểm thuộc miền trong tam giác SAD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 70. Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a, DF a . Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF là: a2 33 a2 a2 a2 33 A. S . B. S . C. S . D. S . 18 3 6 9
  18. Câu 71. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm E, F, G, H . Gọi I AC  BD, J EG  SI . Mệnh đề nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SI A. . B. 2 . SE SG SF SH SE SG SJ SA SC SB SD SB SD SI C. . D. 2 . SE SG SF SH SF SH SJ Câu 72. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm BC ). Gọi Q là giao điểm của MNP với AD, I là giao điểm của MN với PQ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SMNPQ 2SMPN . B. SMNPQ 2SMPQ . C. SMNPQ 4SMPI D. SMNPQ 4SPIN . Câu 73.*Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy là đa giác lồi A1 A2 An n 3,n ¥ . Trên tia đối của tia A1S lấy điểm B1, B2 , Bn là các điểm nằm trên cạnh SA2 , SAn . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng B1B2 Bn là: A. Đa giác n 2 cạnh. B. Đa giác n 1 cạnh. C. Đa giác n cạnh. D. Đa giác n 1 cạnh. PHẦN 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
  19. CHỦ ĐỀ 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Khái niệm mở đầu 1. Mặt phẳng + Mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ nước yên lặng . . . Cho ta hình ảnh của một phần của mặt phẳng. + Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. P + Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ( ). + mặt phẳng (P ), mặt phẳng ( Q ), mặt phẳng ( ), mặt phẳng () hoặc viết tắt là mp( P ), mp( Q ), mp ( ) , mp ( ) , hoặc ( P ) , ( Q ) , ( ) , ( ), 2. Điểm thuộc mặt phẳng Cho điểm A và mặt phẳng (P). + Điểm A thuộc mặt phẳng (P) ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và kí hiệu A ( P) . A P + Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta nói điểm A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A và kí hiệu A ( P) . A P 3. Hình biểu diễn của một hình không gian
  20. Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta dựa vào những qui tắc sau : + Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. + Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. + Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. + Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN 1. Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. 2. Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. A B C 3. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. * Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P ) thì ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) . Hay (P) chứa d và kí hiệu d  (P) hay (P)  d 4. Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mp thì ta nói những điểm đó đồng phẳng . 5. Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. * Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. * Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) được gọi là giao tuyến của ( P) và (Q) kí hiệu d = ( p)  ( Q ) 6. Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG Có 3 cách xác định mặt phẳng + Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. A B C
  21. + Qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó ta xác định duy nhất một mặt phẳng. A d Kí hiệu mp(A,d) hay (A,d) + Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng. a Kí hiệu mp (a, b) hay (a, b) b IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN 1. Hình chóp: + Hình gồm miền đa giác A 1A2A3. . .An. Lấy điểm S nằm ngoài ( ) . lần lượt nối S với các đỉnh A1, A2, An ta được n tam gíác SA1A2 , SA2A3 . . . SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2A3. . .An và n tam giác SA1A2 , SA2A3 . . . SAnA gọi là hình chóp, kí hiệu là S. A1A2A3. . .An. ta gọi S là đỉnh và đa giác A1A2A3. . .An là mặt đáy. Các tam giác SA1A2 , SA2A3 . . . SAnA gọi là các mặt bên. Các đoạn SA1, SA2 . . SAn là các cạnh bên., các cạnh của đa giác đáy gọi là cạnh đáy của hình chóp. 2. Hình tứ diện + Một hình chóp có đáy là tam giác gọi là tứ diện. + Tứ diện có các mặt là tam giác đều gọi là tứ diện đều. V. HÌNH LĂNG TRỤ 1. Hình lăng trụ: Hình hợp bởi các hình bình hành A 1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ,AnA1A'1A'2 và hai đa giác A1A2 An, A'1A'2 A'n gọi là hình lăng trụ hoặc lăng trụ, và ký hiệu là A1A2 An.A'1A'2 A'n. Trong một hình lăng trụ thì 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau. các cạnh bên song song và bằng nhau các mặt bên là hình bình hành hình lăng trụ tam giác
  22. 2. Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Trong một hình hộp thì Các mặt bên là các hình bình hành Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. hình hộp DẠNG 1 LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. D. Nếu ba điểm phân biệt M, N,P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
  23. Lời giải Chọn B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng chung B sai. Câu 2. Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn C. Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm 3 đã cho là C4 4. Câu 3. Trong mp , cho bốn điểm A , B , C , D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm S mp . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong số bốn điểm nói trên? A. 4. B. 5 . C. 6. D. 8 . Lời giải Chọn C. Điểm S cùng với hai trong số bốn điểm A , B , C , D tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có 6 cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả 6 mặt phẳng tạo bởi S và hai trong số bốn điểm nói trên. Câu 4. Cho 2 đường thẳng a,b cắt nhau và không đi qua điểm A . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. Lời giải Chọn B. Có 3 mặt phẳng gồm a,b , A,a , B,b . Câu 5. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Lời giải Chọn A. 2 Có C4 1 7 mặt phẳng. Câu 6. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD , điểm E . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm A, B,C, D, E ? A. 6. B. 7. C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn B.
  24. Điểm E và 2 điểm bất kì trong 4 điểm A, B,C, D tạo thành 6 mặt phẳng, bốn điểm A, B,C, D tạo thành 1 mặt phẳng. Vậy có tất cả 7 mặt phẳng. Câu 7. Cho năm điểm A , B , C , D , E trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8 . D. 14. Lời giải Chọn A. Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm A , B , C , D , E ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có 10 cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có 10 phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho. Câu 8. Trong các hình sau : A A A A B D C C B D B D B C C D Hình (I) Hình (II) Hình (III) Hình (IV) Hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn Câu đúng nhất) A. (I). B. (I), (II). C. (I), (II), (III). D. (I), (II), (III), (IV). Lời giải Chọn B. Hình (III) sai vì đó là hình phẳng. Câu 9. Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là : A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh. C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh. Lời giải Chọn C. Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy. Câu 10. Một hình chóp cụt có đáy là một n giác, có số mặt và số cạnh là : A. n 2 mặt, 2n cạnh. B. n 2 mặt, 3n cạnh. C. n 2 mặt, n cạnh. D. n mặt, 3n cạnh. Lời giải Chọn A.
  25. Lấy ví dụ hình chóp cụt tam giác ( n 3) có 5 mặt và 9 cạnh đáp ánB. Câu 11. Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu? A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 6. Lời giải Chọn D. Hình tứ diện là hình chóp có số cạnh ít nhất. DẠNG 2 TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp : Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b) cần thực hiện: Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của (a) và (b) . Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm (AB = (a) Ç(b)). Chú ý : Để tìm điểm chung của (a)và (b) ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng.  b a A
  26. ïì ï M Î d Khi điểm í Þ M Î (a) ï d Ì a îï ( ) Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD M và AB CD N. Giao tuyến của mặt phẳng SAC và mặt phẳng SBD là đường thẳng A. SN. B. SC. C. SB. D. SM. Lời giải Chọn D. Giao tuyến của mặt phẳng SAC và mặt phẳng SBD là đường thẳng SM. Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD M và AB CD N. Giao tuyến của mặt phẳng SAB và mặt phẳng SCD là đường thẳng A. SN. B. SA. C. MN. D. SM. Lời giải Chọn A. Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AB / /CD . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp S.ABCD có 4mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là SO ( O là giao điểm của AC và BD ). C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là SI ( I là giao điểm của AD và BC ).
  27. D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SAD là đường trung bình của ABCD . Lời giải Chọn D. Hình chóp S.ABCD có 4mặt bên SAB , SBC , SCD , SAD nên A đúng. S , O là hai điểm chung của SAC và SBD nên B đúng. S , I là hai điểm chung của SAD và SBC nên C đúng. Giao tuyến của SAB và SAD là SA , rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD . Câu 15. Cho tứ diện ABCD . Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO . Gọi I, J là hai điểm trên cạnh BC , BD . Giả sử IJ cắt CD tại K , BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H , ME cắt AH tại F . Giao tuyến của hai mặt phẳng MIJ và ACD là đường thẳng: A. KM . B. AK . C. MF . D. KF . Lời giải Chọn D.
  28. Do K là giao điểm của IJ và CD nên K MIJ  ACD (1) Ta có F là giao điểm của ME và AH Mà AH  ACD , ME  MIJ nên F MIJ  ACD (2) Từ (1) và (2) có MIJ  ACD KF Câu 16. Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ACD và GAB là: A. AM , M là trung điểm AB . B. AN , N là trung điểm CD . C. AH , H là hình chiếu của B trên CD . D. AK , K là hình chiếu của C trên BD . Lời giải Chọn B. A là điểm chung thứ nhất của ACD và GAB G là trọng tâm tam giác BCD , N là trung điểm CD nên N BG nên N là điểm chung thứ hai của ACD và GAB . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ACD và GAB là AN . Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I là trung điểm của SD , J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC . Giao tuyến của hai mặt phẳng ABCD và AIJ là: A. AK , K là giao điểm IJ và BC . B. AH , H là giao điểm IJ và AB . C. AG , G là giao điểm IJ và AD . D. AF , F là giao điểm IJ và CD . Lời giải Chọn D.
  29. A là điểm chung thứ nhất của ABCD và AIJ IJ và CD cắt nhau tại F , còn IJ không cắt BC , AD , AB nên F là điểm chung thứ hai của ABCD và AIJ . Vậy giao tuyến của ABCD và AIJ là AF . Câu 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC và CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MBD và ABN là: A. MN . B. AM . C. BG , với G là trọng tâm tam giác ACD . D. AH , với H là trực tâm tam giác ACD . Lời giải Chọn C. B là điểm chung thứ nhất của MBD và ABN . G là trọng tâm tam giác ACD nên G AN,G DM do đó G là điểm chung thứ hai của MBD và ABN . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng MBD và ABN là BG .
  30. Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC .Giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và SAC là: A. SD . B. SO , O là tâm hình bình hành ABCD . C. SG , G là trung điểm AB . D. SF , F là trung điểm CD . Lời giải Chọn B. S là điểm chung thứ nhất của SMN và SAC . O là giao điểm của AC và MN nên O AC,O MN do đó O là điểm chung thứ hai của SMN và SAC . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và SAC là SO . Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm SA và SB .Khẳng định nào sau đây là sai? A. IJCD là hình thang. B. SAB  IBC IB . C. SBD  JCD JD . D. IAC  JBD AO , O là tâm hình bình hành ABCD . Lời giải Chọn D. Ta có IAC  SAC và JBD  SBD . Mà SAC  SBD SO trong đó O là tâm hình bình hành ABCD .
  31. Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD€BC . Gọi M là trung điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là: A. SI , I là giao điểm AC và BM . B. SJ , J là giao điểm AM và BD . C. SO , O là giao điểm AC và BD . D. SP , P là giao điểm AB và CD . Lời giải Chọn A. S là điểm chung thứ nhất của MSB và SAC . I là giao điểm của AC và BM nên I AC , I BM do đó I là điểm chung thứ hai của MSB và SAC . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là SI . Câu 22. Cho tứ diện ABCD .G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm CD , I là điểm trên đoạn thẳng AG , BI cắt mặt phẳng ACD tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM ACD  ABG . B. A , J , M thẳng hàng. C. J là trung điểm AM . D . DJ ACD  BDJ . Lời giải Chọn C. M BG Ta có A ACD  ABG , M ACD  ABG nên AM ACD  ABG . M CD
  32. Nên AM ACD  ABG vậy A đúng. A , J , M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt ACD , ABG nên A , J , M thẳng hàng, vậy B đúng. Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM . Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD / /BC . Gọi I là giao điểm của AB và DC , M là trung điểm SC . DM cắt mặt phẳng SAB tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. S , I , J thẳng hàng. B. DM  mp SCI . C. JM  mp SAB . D. SI SAB  SCD . Lời giải Chọn C. S , I , J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp SAB và SCD nên A đúng. M SC M SCI nên DM  mp SCI vậy B đúng. M SAB nên JM  mp SAB vậy C sai. Hiển nhiên D đúng theo giải thích A. Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA . a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: SAC và SBD A. SC B. SB C. SO trong đóO AC  BD D. S b) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: SAC và MBD A. SM B. MB C. OM trong đó O AC  BD D. SD c) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: MBC và SAD A. SM B. FM trong đó F BC  AD C. SO trongO AC  BD D. SD
  33. d) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAB và SCD A. SE trong đó E AB CD B. FM trong đó F BC  AD C. SO trongO AC  BD D. SD Lời giải S M A D F O C B E a) Chọn C. O AC  SAC Gọi O AC  BD O SAC  SBD O BD  SBD Lại có S SAC  SBD SO SAC  SBD . b) Chọn C. O AC  SAC O AC  BD O SAC  MBD . O BD  MBD Và M SAC  MBD OM SAC  MBD . c) Chọn B. F BC  MBC Trong ABCD gọi F BC  AD F MBC  SAD F AD  SAD Và M MBC  SAD FM MBC  SAD d) Chọn A. Trong ABCD gọi E AB CD , ta có SE SAB  SCD . Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề ôn thi 12 file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 12 file word thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 11 file word ( 3042 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 9 file word ( 1062 trang) thì liên hệ Câu 25. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO
  34. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC . A. PC trong đó P DC  AN , N DO  BC B. PC trong đó P DM  AN , N DA BC C. PC trong đó P DM  AB , N DO  BC D. PC trong đó P DM  AN , N DO  BC b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABD . A. DR trong đó R CM  AQ , Q CA BD B. DR trong đó R CB  AQ , Q CO  BD C. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BA D. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BD c) Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD . A. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BE  IA, E BO CD B. FG trong đó F IACD , G KM  AE , K BA IJ , E BO CD C. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BA IJ , E BO CD D. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BE  IJ , E BO CD Lời giải A R G P M D Q J O E B K I N C F a) Chọn D. P DM  CDM Trong BCD gọi N DO  BC , trong ADN gọi P DM  AN P AN  ABC P CDM  ABC
  35. Lại có C CDM  ABC PC CDM  ABC . b) Chọn D. Tương tự, trong BCD gọi Q CO  BD , trong ACQ gọi R CM  AQ R CM  CDM R CDM  ABD R AQ  ABD D là điểm chung thứ hai của MCD và ABD nên DR CDM  ABD . c) Chọn D. Trong BCD gọi E BO CD, F IJ CD , K BE  IJ ; trong ABE gọi G KM  AE . F IJ  IJM Có F IJM  ACD , F CD  ACD G KM  IJM Mà G AE  ACD FG IJM  ACD Câu 26. Cho tứ diện SABC có AB c, BC a, AC b. AD, BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SBE và SCF là:  b c  A. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  b c  B. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  a  C. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c  a  D. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c Lời giải Chọn A. S B F A I D E C   Do I thuộc đoạn AD nên AI, ID cùng hướng. Do đó B, D bị loại. AD là phân giác trong của tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác ta có:
  36. BD AB c ac BD DC AC b b c Ta có: BI là phân giác trong của tam giác ABD nên theo tính chất đường phân giác ta có: IA BA b c b c  b c  IA ID . Do đó: AI ID ID BD a a a DẠNG 3 TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (a) là xét hai trường hợp: Trường hợp 1: mp(a) chứa đường thẳng D và D cắt d . ïì ï D Ì mp(a) í Þ {I } = d Çmp(a) ï D Çd = I îï { } d I Trường hợp 2: mp(a) không chứa đường thẳng nào cắt d . + Bước 1: Tìm mp(b) É d sao cho (a) Ç(b) = D + Bước 2: Tìm {I } = d ÇD Þ I = d Ç(a) .  d I Câu 27. Cho bốn điểm A, B,C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây: A. BCD . B. ABD . C. CMN . D. ACD . Lời giải Chọn D. I BD I (BCD),(ABD) I MN I (CMN)
  37. Câu 28. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA . a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD . A. Điểm H, trong đó E AB CD , H SA EM B. Điểm N, trong đó E AB CD , N SB  EM C. Điểm F, trong đó E AB CD , F SC  EM D. Điểm T, trong đó E AB CD ,T SD  EM b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD . A. Điểm H, trong đó I AC  BD , H MA SI B. Điểm F, trong đó I AC  BD , F MD  SI C. Điểm K, trong đó I AC  BD , K MC  SI D. Điểm V, trong đó I AC  BD , V MB  SI Lời giải Chọn B. S M N K A I D B C E a) Chọn B. Trong mặt phẳng ABCD , gọi E AB CD . Trong SAB gọi. Ta có N EM  MCD N MCD và N SB nên N SB  MCD . b) Chọn C. Trong ABCD gọi I AC  BD . Trong SAC gọi K MC  SI . Ta có K SI  SBD và K MC nên K MC  SBD .
  38. Câu 29. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN . A. Điểm K, trong đó K IJ  SD , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD B. Điểm H, trong đó H IJ  SA , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD C. Điểm V, trong đó V IJ  SB , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD D. Điểm P, trong đó P IJ  SC , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD Lời giải Chọn A. S K I A M B J N O D C Trong mặt phẳng ABCD gọi O AC  BD, J AN  BD . Trong SAC gọi I SO  AM và K IJ  SD . Ta có I AM  AMN , J AN  AMN IJ  AMN . Do đó K IJ  AMN K AMN . Vậy K SD  AMN Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của SAB và SCD . Nhận xét nào sau đây là sai: A. d cắt CD . B. d cắt MN . C. d cắt AB . D. d cắt SO . Lời giải Chọn B.
  39. S N A D M O C B I Gọi I AB CD . Ta có: I AB, AB  SAB I SAB I SAB  SCD I CD,CD  SCD I SCD Lại có S SAB  SCD . Do đó SI SAB  SCD . d  SI. Vậy d cắt AB,CD, SO . Giả sử d cắt MN . Khi đó M thuộc mp SAB . Suy ra D thuộc SAB (vô lý). Vậyd không cắt MN .Đáp án B sai. Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC . MA Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM vơí mặt phẳng SBD . Khi đó tỉ số bằng bao nhiêu: IA 3 4 A. 2 . B. 3 . C. . D. . 2 3 Lời giải Chọn C. S M I B A O C D Gọi O AC  BD . Ta có: SO mp SAC  SBD ; I AM  SO .
  40. Suy ra I AM  SBD . Xét tam giác SAC có hai đường trung tuyến SO và MA cắt nhau tại điểm I . Vậy I là trọng tâm tam MA 3 giác SAC . Vậy ta có . IA 2 Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn AD = 2BC, G là trọng KB tâm tam giác SCD . Mặt phẳng SAC cắt cạnh BG tại K . Khi đó, tỷ số bằng: KG 3 1 A. 2 B. C. 1 D. 2 2 Lời giải Chọn B. Gọi M là trung điểm của BC ABCD : BM  AC = I; SBM : SI  BG K BG  SAC N ABCD : BM  AD = N BI BC 1 MC MC 1 Ta có: AD // BC 1 ; 1 BM = BN IN AD 2 MN MD 2 Suy ra, I là trung điểm của BM KB SG IM KB 3 Xét BGM: . . = 1 KG SM IB KG 2 Câu 33. Cho tứ diện ABCD có P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . M là điểm thuộc cạnh AD NB sao cho MA = 2MD.Gọi N là giao điểm của BC với MPQ . Tỉ số bằng: NC 1 2 A. B. C. 2 D. 1 2 3 Lời giải Chọn C.
  41. ACD : MG  AC = I; ABC : PI  BC = N Suy ra: BC  MNP N IC MG QD IC 1 Xét ACD: . . = 1 IA MD QC IA 2 NB IC PA NB Xét ABC: . . = 1 1 NC IA PB NC Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang AD // BC,AD > BC , E là điểm thuộc cạnh SF SA sao cho SE = 2EA . Mặt phẳng EBC cắt cạnh SD tại F. Khi đó, tỷ số bằng: SD 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 4 Lời giải Chọn A. EBC  SAD d, E d Ta có: BC  EBD , AD  SAD d // BC // AD BC//AD SAD : d SD = F EF// AD // BC
  42. SF SE 2 Suy ra: SD SA 3 Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P lần lượt là trung SH điểm của AB, AD và SO . Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Lời giải Chọn B. Trong mp ABCD , gọi I MN  AO . Dễ thấy H PO  SC . Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm AO. AI 1 Suy ra và PI là đường trung bình của tam giác OSA . Do đó IH / /SA . AC 4 SH AI 1 Áp dụng định lý Thales ta có: . SD AC 4 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm SP . Gọi R là giao điểm của SR SB với mặt phẳng (MNP) . Tính ? SB 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 5 Lời giải Chọn D. Trong mp (ABCD) , gọi I BD  MN,O AC  BD . Dễ thấy R IP  SB . DI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm DO. Suy ra . IB 3 Áp dụng định lý Menelaus vào taam giác SBD ta có: BR PS BI BR 1 SR 2 . . 1 .2. 1 RS PD ID RS 3 SB 3 Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là các BM 2 NC 1 PD 1 điểm nằm trên cạnh AB, AD sao cho , . Gọi P là điểm trên cạnh SD sao cho . MA 3 BN 2 PS 5 SJ J là giao điểm của SO với MNP . Tính ? SO 10 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 11 11 4 2 Lời giải Chọn A.
  43. S D A J K M O I B N C BA BC 5 3 2BO BO OI 1 OI 1 Theo chú ý câu 30 ta có: 4 4 2 BM BN 2 2 BI BI BO 2 OD 2 IO PD JS JS SJ 10 Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SOD ta có: . . 1 10 ID PS JO JO SO 11 Câu 38. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AP 1 SQ AB sao cho . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng MNP .Tính AB 3 SC 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Lời giải Chọn A. Trong mặt phẳng ABC , gọi E NP  AC Khi đó Q chính là giao điểm của SC với EM. AP BN CE CE Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có: . . 1 2 PB NC EA EA AM SQ CE SQ 1 SQ 1 Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: . . 1 MS QC EA QC 2 SC 3 Câu 39. Cho tứ diện SABC, E, F lần lượt thuộc đoạn AC, AB. Gọi K là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của SAK với BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? AK BK CK AK BK CK A. 6 . B. 6 . KD KE KF KD KE KF
  44. AK BK CK AK BK CK C. 6 . D. 6 . KD KE KF KD KE KF Lời giải Chọn A. AK BK CK Nếu K trùng với trọng tâm G thì 6 .Do đó C, D bị loại. KD KE KF DK EK FK S S S Ta có KBC KAC KAB 1 DA EB FC SABC SABC SABC Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có: DK EK FK DA EB FC 9 DA EB FC DK EK FK DA EB FC AK BK CK 9 6 DK EK FK KD KE KF S F B A K D E C Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, D, M lần lượt là trung điểm của BC, AD . Gọi E là giao điểm của MF ME SBM với AC, F là giao điểm của SCM với AB . Tính ? CM ME BM ME 1 1 A. 1. B. 2 . C. D. . 2 3 Lời giải Chọn A. S F B A M D E C
  45. BM S S S S S S BD BF BF BM BM ME Ta có: ABM CBM ABM CBM ABM CBM 1 1 . ME SAME SCME SAME SCME SAME CD FA AF ME ME CM CE CD CE CM CM MF Tương tự ta cũng chứng minh được: 1 2 MF AE BD AE MF MF AM AE AF Và 1 3 MD CE BF MF ME Từ (1), (2), (3) suy ra 1 CM MF BM ME DẠNG 3 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 1. Chứng minh ba điểm A; B; C thẳng hàng: Phương pháp + Bước 1: Chứng minh 3 điểm A,B,C Î mp(a) . + Bước 2: Chứng minh 3 điểm A,B,C Î mp(b) . + Bước 3: Kết luận 3 điểm A,B,C thuộc giao tuyến chung của 2 mặt phẳng mp(a) và mp(b) Þ A,B,C thẳng hàng.  d A B C 2. Chứng minh 3 đường thẳng d ,d ,d đồng quy: d 1 2 3 3 Phương pháp d I 1 + Bước 1: Tìm I = d1 Çd2 . d2 + Bước 2: Chứng minh d3 đi qua I . Þ d1,d2,d3 đồng quy tại I . 3. Chứng minh đường thẳng trong không gian qua một điểm cố định Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp là: A Ta cần tìm trên d hai điểm tùy ý A , B và chứng minh hai điểm B I (cố định) đó thẳng hàng với điểm I cố định có sẵn trong không gian Þ d đi qua điểm I cố định. d
  46. Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là: - Bước 1: Tìm đường thẳng D cố định ở ngoài mặt phẳng cố định (a) chứa d di động. I (cố định) - Bước 2: Tìm giao điểm I của D và d d Þ I là điểm cố định mà d đi qua. Câu 41. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD . Mặt phẳng qua MN cắt AD và BC lần lượt tại P , Q . Biết MP cắt NQ tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I , A , C . B. I , B , D . C. I , A , B . D. I , C , D . Lời giải Chọn B. I MP I ABD Ta có MP cắt NQ tại I . I NQ I CBD I ABD  CBD . I BD . Vậy I , B , D thẳng hàng. Câu 42. Cho tứ diện SABC . Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ba điểm B, J, K thẳng hàng B. Ba điểm I, J, K thẳng hàng C. Ba điểm I, J, K không thẳng hàng D. Ba điểm I, J,C thẳng hàng Lời giải Chọn B.
  47. S D F K A E C B I J Ta có I DE  AB, DE  DEF I DEF ; AB  ABC I ABC 1 . J EF DEF Tương tự J EF  BC 2 J BC  ABC K DF  DEF K DF  AC 3 K AC  ABC Từ (1),(2) và (3) ta có I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng ABC và DEF nên chúng thẳng hàng. Câu 43. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M , N . Một mặt phẳng  đi qua BC cắt SD, SA tương ứng tại P và Q . a) Gọi I AM  DN, J BP  EQ . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm S, I, J,G thẳng hàng. B. Bốn điểm S, I, J,G không thẳng hàng. C. Ba điểm P, I, J thẳng hàng. D. Bốn điểm I, J,Q thẳng hàng. b) Giả sử K AN  DM , L BQ  EP . Khằng định nào sau đây là đúng? A. Ba điểm S, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm S, K, L không thẳng hàng C. Ba điểm B, K, L thẳng hàng D. Ba điểm C, K, L thẳng hàng Lời giải
  48. L S Q K N P J M I A D C G E B a) Chọn A. Ta có S SAE  SBD , (1) G AE  SAE G SAE G AE  BD 2 G BD  SBD G SBD I DN  SBD I SBD I AM  DN 3 I AM  SAE I SAE J BP  SBD J SBD J BP  EQ 4 J EQ  SAE J SAE Từ (1),(2),(3) và (4) ta có S, I, J,G là điểm chung của hai mặt phẳng SBD và SAE nên chúng thẳng hàng. b) Chọn A. Câu 44. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tưng ứng tại các điểm M , N, P,Q . Khẳng định nào đúng? A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui. B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau. C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song. D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau. Lời giải Chọn A.
  49. S Q M I N P D A O B C Trong mặt phẳng MNPQ gọi I MP  NQ . Ta sẽ chứng minh I SO . Dễ thấy SO SAC  SBD . I MP  SAC I NQ  SBD I SAC I SO I SBD Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I . Câu 45. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong P lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc P . Các đường thẳng SA, SB cắt Q tương ứng tại các điểm C, D . Gọi E là giao điểm của AB và a.Khẳng định nào đúng? A. AB,CD và a đồng qui. B. AB,CD và a chéo nhau. C. AB,CD và a song song nhau. D. AB,CD và a trùng nhau Lời giải Chọn A.
  50. Q C D a E B A P S Trước tiên ta có S AB vì ngược lại thì S AB  P S P (mâu thuẫn giả thiết) do đó S, A, B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng SAB . C SA  SAB C SAB Do C SA Q 1 C Q C Q D SB  SAB D SAB Tương tự D SB  Q 2 D Q D Q Từ (1) và (2) suy ra CD SAB  Q . E AB  SAB E SAB Mà E AB  a E CD . E a  Q E Q Vậy AB,CD và a đồng qui đồng qui tại E . Câu 46. Cho hình bình hành ABCD , S là điểm không thuộc ABCD ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC. Xác định các giao điểm I, J của AN và MN với SBD , từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểmJ, I, M thẳng hàng. B. Ba điểmJ, I, N thẳng hàng. C. Ba điểmJ, I, D thẳng hàng. D. Ba điểmJ, I, B thẳng hàng. Lời giải Chọn D. *Xác định giao điểm I AN  SBD
  51. Chọn mặt phẳng phụ SAC  AN Tìmgiao tuyến của SAC và SBD : SAC  SBD SO Trong (SAC), gọi I AN  SO , I AN , I SO mà SO  SBD I SBD Vậy: I AN  SBD * Xác địnhgiao điểm J MN  SBD Chọn mp phụ SMC  MN Tìmgiao tuyến của SMC và SBD , S là điểm chung của SMC và SBD Trong ABCD , gọi E MC  BD SAC  SBD SE Trong SMC , gọi J MN  SE , H SE mà SE  SBD J SBD Vậy J MN  SBD * Chứng minh I, J, B thẳng hàng Ta có: B là điểm chung của ANB và SBD • I SO mà SO  SBD I SBD • I AN mà AN  ANB I ANB Ilà điểm chung của ANB và SBD • J SE mà SE  SBD J SBD • J MN mà NM  ANB J ANB Jlà điểm chung của ANB và SBD . Vậy: B, I, Jthẳng hàng. Câu 47. Cho tứ giác ABCD và S ABCD . Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SCtại M. Xác định các giao điểm K, L của IJ và DJ với SAC , từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểm A, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm A, L, M thẳng hàng. C. Bốn điểm A, K, L, M thẳng hàng. D. Bốn điểm A, K, L, J thẳng hàng. Lời giải Chọn C.
  52. S J M L K B A I E F C D O * Tìmgiao điểm K IJ  SAC Chọn mp phụ SIB  IJ Tìmgiao tuyến của SIB và SAC , S là điểm chung của SIB và SAC . Trong ABCD , gọi E AC  BI SIB  SAC SE Trong SIB , gọi K IJ  SE. K IJ, K SE mà SE  SAC K SAC Vậy: K IJ  SAC * Xác địnhgiao điểm L DJ  SAC Chọn mp phụ SBD  DJ Tìmgiao tuyến của SBD và SAC , S là điểm chung của SBD và SAC Trong ABCD , gọi F AC  BD SE SBD  SAC Trong SBD , gọi L DJ  SE, L DJ, L SF mà SF  SAC L SAC Vậy: L DJ  SAC * Chứng minh A,K,L,Mthẳng hàng Ta có:A là điểm chung của SAC và AJO K IJ mà IJ  AJO K AJO K SE mà SE  SAC K SAC Klà điểm chung của SAC và AJO L DJ mà DJ  AJO L AJO L SF mà SF  SAC L SAC Llà điểm chung của SAC và AJO M JO mà JO  AJO M AJO
  53. M SC mà SC  SAC M SAC M là điểm chung của SAC và AJO Vậy: Bốn điểm A,K,L,M thẳng hàng Câu 48. Cho tứ diện SABC .Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LMkhông song song với AB, LN không song song với SC. Gọi LK giao tuyến của mp LMN và ABC . Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BC và SC với LMN . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Ba điểm L, I, J thẳng hàng. B. Ba điểm L, I,K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, Jthẳng hàng. D. Ba điểm M, I,K thẳng hàng. Lời giải Chọn C. S L C N A M I J B K * Tìm giao tuyến của mp LMN và ABC Ta có: N là điểm chung của LMN và ABC Trong (SAB), LM không song song với AB Gọi K AB  LM K LM mà LM  LMN K LMN K AB mà AB  ABC K ABC * Tìm giao điểm I BC  LMN Chọn mp phụ ABC  BC Tìmgiao tuyến của ABC và LMN ABC  LMN NK . Trong ABC , gọi I NK  BC , I BC, I NK mà NK  LMN I LMN Vậy: I BC  LMN *Tìm giao điểm J SC  LMN Trong SAC , LN không song song với SC. Gọi J LN  SC, J SC, J LN mà LN  LMN J LMN Vậy: J SC  LMN
  54. * Chứng minh M, I, Jthẳng hàng Ta có: M, I, Jlà điểm chung của LMN và SBC Vậy: M, I, Jthẳng hàng Câu 49. Cho tứ giác ABCD và S không thuộc mặt phẳng ABCD . Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD. Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BN và MN với SAC . Từ đó tìm bộ 3 điểm thẳng hàng trong những điểm sau: A. Ba điểm A, I, Jthẳng hàng. B. Ba điểm K, I,K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, Jthẳng hàng. D. Ba điểm C, I,Jthẳng hàng. Lời giải Chọn D. S N I J D A O K C B M * Tìm giao điểm I BN  SAC Chọn mp phụ SBD  BN Tìmgiao tuyến của SBD và SAC Trong ABCD , O AC  BD SBD  SAC SO Trong SBD , gọi I BN  SO, I BN, I SO mà SO  SAC I SAC Vậy: I BN  SAC * Tìm giao điểm J MN  SAC : Chọn mp phụ SMD  MN Tìmgiao tuyến của SMD và SAC Trong ABCD , gọi K AC  DM SMD  SAC SK Trong SMD , gọi J MN  SK, J MN, J SK mà SK  SAC J SAC Vậy: J MN  SAC * Chứng minh C, I, Jthẳng hàng: Ta có: C, I, Jlà điểm chung của BCN và SAC Vậy: C, I, Jthẳng hàng
  55. Câu 50. Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các điểm thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD sao cho     HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳng B. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng. D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng. Lời giải Chọn A. A E D F B H J C I Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E, F, H, J đồng phẳng. BE CF DH AJ 5 2 AE BF CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên E, F, I, J không đồng phẳng. BE CF DI AJ 5 5 2 25 AE BG CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E,G, H, J không đồng phẳng. BE CG DH AJ 5 2 AE BG CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên E,G, I, J không đồng phẳng. BE CG DI AJ 5 5 2 25 Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành BC / / AD .Mặt phẳng P di động chứa đường thẳng AB và cắt các đoạn SC, SD lần lượt tại E, F . Mặt phẳng Q di động chứa đường thẳng CD và cắt SA, SB lần lượt tại G, H.I là giao điểm của AE, BF; J là giao điểm của CG, DH . Xét các mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 2 Đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định. 3 Đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố dịnh. Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D.
  56. S F G I A E D H J O B C M Trong mp ABCD , gọi M AB CD;O AC  BD . Khi đó M ,O cố định. Như vậy: E, F, M cùng nằm trên hai mp P và SCD , do đó ba điểm E, F, M thẳng hàng. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định M . Tương tự, ta có G, H, M cùng nằm trên hai mp Q và SAB ,do đó G, H, M thẳng hàng. Vậy các đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định M . I AE  SAC Do I SAC  SBD . I BF  SBD Tương tự ta cũng có J SAC  SBD ;O SAC  SBD Do đó ba điểm I, J,O thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua điểm cố định O . Câu 52. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA sao cho MN không song song với AC . M , N, P,Q đồng phẳng khi : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A. . . . 1 B. . . . 1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C. . . . 1 D. . . . 1. AM BN CP AQ BM CN CP DQ Lời giải Chọn A. + Giả sử M , N, P,Q cùng thuộc mặt phẳng . Nếu MN cắt AC tại K thì K là điểm chung của các mặt phẳng , ABC , ADC nên PQ cũng đi qua K. Áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác ABC, ADC ta được : AM BN CK AK CP DQ AM BN CP DQ . . 1 ; . . 1 . . . 1 BM CN AK CK DP AQ BM CN DP AQ Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC thì ví dụ trên vẫn đúng.
  57. AM BN CP DQ + Liệu trường hợp ngược lại, có . . . 1 thì M , N, P,Q có đồng phẳng hay không ? BM CN DP AQ Câu trả lời là trường hợp ngược là ví dụ vẫn đúng. Ta sẽ cùng chứng minh nhé : Trong mặt phẳng ACD , KO cắt AD tại Q thì các điểm M , N, P,Q đồng phẳng. AM BN CP AQ DQ DQ Theo ví dụ 2 ta có: . . . 1 Q  Q . Ví dụ được chứng minh. BM CN DP DQ AQ AQ + Ví dụ này có thể được mở rộng đối với các điểmM , N, P,Q bất kì trên các đường thẳng AB, BC,CD, DA như sau : AM BN CP DQ M , N, P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi . . . 1 ( khẳng định này dôi khi còn được gọi là BM CN DP AQ định lí Menelaus mở rộng trong không gian) Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử AD và BC cắt nhau tại H. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E và F lần lượt là trung điểm của SA và SB. Điểm M di động trên cạnh SC. Gọi N là giao điểm của SD và mp(EFM). Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM. A. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = CF  SH. B. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = DE  SH. C. Tập hợp J là đoạn thẳng SH. D. Tập hợp J là đường thẳng SH. Lời giải Chọn A. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra (SAC) cắt (SBD) theo giao tuyến là SO. Gọi I là giao của EM và SO. Khi đó FI cắt SD tại N. Do FM thuộc mp (SBC) cố định và EN thuộc mp (SAD) cố định nên giao điểm J của FM và EN thuộc giao tuyến của mp (SBC) và mp (SAD). Gọi H =AD  BC, suy ra (SBC) (SAD) =SH. Do đó I thuộc đường thẳng SH. Giới hạn: Nếu M  S thì J  S ; Nếu M  C thì J  J1 với J1= CF  SH. Vậy tập hợp J là đoạn thẳng SJ1.
  58. Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD, trong đó AD không song song với BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AD và BC. Điểm M di động trên cạnh SB, EM cắt SC tại N. Tập hợp giao điểm I của AN và DM. A. Tập hợp giao điểm I là đoạn thẳng SO. B. Tập hợp giao điểm I là đường thẳng SO. C. Tập hợp giao điểm I là đoạn thẳng SO trừ 2 điểm S và O. D. Tập hợp giao điểm I là đoạn thẳng SE. Lời giải Chọn C. Do AN thuộc mp (SAC) cố định và DM thuộc mp (SBD) cố định nên giao điểm I của AN và DM thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. Khi M trùng S thì I trùng S; Khi M trùng B thì I trùng O. Vậy tập hợp I là đoạn thẳng SO. Câu 55. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng P di động luôn song song với AB và CD cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M , N, E, F . Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF. A. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD (trừ 2 điểm P và Q). B. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. C. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC (trừ 2 điểm P và Q). D. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Lời giải Chọn B.
  59. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó AQ cắt MN tại K; BQ cắt FE tại H. Dễ thấy H, K lần lượt là trung điểm của MN và FE nên I thuộc KH, đồng thời là trung điểm KH. Do đó I thuộc đường trung tuyến QP của tam giác QAB. DẠNG 4 XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP
  60. Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1 A2 An cắt bởi mặt phẳng , ta tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp) Câu 56. Cho ABCD là một tứ giác lồi. Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp S.ABCD ? A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. Lời giải Chọn D. Hình chóp S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của hình chóp có tối đa 5 cạnh. Vậy thiết diện không thể là lục giác. Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. Lời giải Chọn A. Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp. Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến. Hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của với S.ABCD có không qua 5 cạnh, không thể là hình lục giác 6 cạnh. Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB . Mặt phẳng ADM cắt hình chóp theo thiết diện là A. tam giác.B. hình thang. C. hình bình hành.D. hình chữ nhật. Lời giải Chọn B. Câu 59. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD . a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì? A. Tam giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành Lời giải a) Chọn B.
  61. S P A Q B D C E Trong mặt phẳng ABCD , gọi E AB CD . Trong mặt phẳng SCD gọi Q SC  EP . Ta có E AB nên EP  ABP Q ABP , do đó Q SC  ABP . Thiết diện là tứ giác ABQP . b) Chọn A. S P H F A D K M B N C G Trong mặt phẳng ABCD gọi F,G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD Trong mặt phẳng SAD gọi H SA FP Trong mặt phẳng SCD gọi K SC  PG . Ta có F MN F MNP , FP  MNP H MNP H SA Vậy H SA MNP H MNP
  62. Tương tự K SC  MNP . Thiết diện là ngũ giác MNKPH . Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD . Điểm C nằm trên cạnh SC . Thiết diện của hình chóp với mp ABC là một đa giác có bao nhiêu cạnh? A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 6. Lời giải Chọn B. S M A' A D C B I A SC, SC  SCD Xét ABA và SCD có A là điểm chung 1. A ABA Gọi I AB CD I AB, AB  ABA Có I là điểm chung 2. I CD,CD  SCD ABA  SCD IA Gọi M IA  SD . Ta có: ABA  SCD A M ABA  SAD AM ABA  ABCD AB ABA  SBC BA Thiết diện là tứ giác ABA M .
  63. Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng IBC là: A. Tam giác IBC. B. Hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ). D. Tứ giác IBCD . Lời giải Chọn B. S I J B G C O A D Gọi O là giao điểm của AC và BD , G là giao điểm của CI và SO . Khi đó G là trọng tâm tam giác SAC . Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD . Gọi J BG  SD . Khi đó J là trung điểm SD . Do đó thiết điện của hình chóp cắt bởi IBC là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P là ba điểm trên các cạnh AD,CD, SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành Lời giải Chọn A. S H R T P F N D C K M O E A B
  64. Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của MN với DA, DB, DC . Trong mặt phẳng SDB gọi H KP  SB Trong mặt phẳng SAB gọi T EH  SA Trong mặt phẳng SBC gọi R FH  SC . E MN Ta có EH  MNP H KP T SA T SA MNP . T EH  MNP Lí luận tương tự ta có R SC  MNP . Thiết diện là ngũ giác MNRHT . Câu 63. Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là trung điểm AB và AC . Mặt phẳng ( ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T là tam giác. C. T là hình thoi. D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành. Lời giải Chọn D. A M N D B C qua MN cắt AD ta được thiết diện là một tam giác. qua MN cắt hai cạnh BD và CD ta được thiết diện là một hình thang. Đặc biệt khi mặt phẳng này đi qua trung điểm của BD và CD , ta được thiết diện là một hình bình hành. Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNQ là đa giác có bao nhiêu cạnh ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C.
  65. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNQ là ngũ giác MNPQR. Đa giác này có 5 cạnh. Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là 2 điểm thuộc cạnh SB,SD sao cho SM = MB,SN = 2ND . Mặt phẳng AMN cắt SC tại P thỏa mãn SP = kSC . Số k bằng? 2 3 3 2 A. B. C. D. 5 5 2 3 Lời giải Chọn A. ABCD : AC  BD =O; SBD : MN  BD = T ABCD : AT  CD = K, SCD : KN SC = P TD NS MB TD 1 Xét ABD: . . = 1 TB ND MS TB 2 TD KD KD 1 KC Ta có: 3 TB AB DC 2 KD PS ND KC PS 2 2 Xét SCD: . . = 1 SP= SC PC NS KD PD 3 5
  66. Câu 66. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm AB , F là điểm thuộc cạnh BC sao cho BF 2FC,G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG 2GD . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD của hình chóp ABCD theo a . 19 a 141 a 34 15 3 a 34 15 3 A. a . B. . C. . D. . 15 30 15 15 Lời giải Chọn A. A E H B D I F G C Trong mp BCD , gọi I FG  BD . Trong mp ADB , gọi H IE  AD . Khi đó HG EFG  ACD . Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với ba điểm I,G, F thẳng hàng ta có: ID FB GC ID 1 . . 1 IB FC GD IB 4 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với ba điểm I,H,E thẳng hàng ta có: HD EA IB HD 1 a . . 1 HD HA EB ID HA 4 5 Áp dụng định lý cosin vào tam giác HDG ta có: HG2 HD2 DG2 2DH.DG.cos600 a2 a2 a2 19a2 19 HG a 25 9 15 225 15 Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho SD 3SE . F là trọng tâm tam giác SAB,G là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Lời giải Chọn C. Cách 1:
  67. S E J K F I A D N M L B G C H Gọi M là trung điểm của AB , khi đó S , F , M thẳng hàng. Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của MG với AD . Khi đó SI SMG  SAD . Trong mặt phẳng SMG , gọi J là giao điểm của FG với SI . Ta thấy J thuộc FG nên J thuộc EFG . Trong SAD , gọi K là giao điểm của JE với SA . Trong mặt phẳng SAB , gọi L là giao điểm của KF với AB . Trong mặt phẳng ABCD , gọi H là giao điểm của LG với CD . Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của EH với SC . EFG  ABCD LG; EFG  SBC GN Ta có: EFG  SCD NE; EFG  SAD EK . EFG  SAB KL Vậy ngũ giác LGNEK là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Chú ý:Mấu chốt của ví dụ trên là việc dựng được điểm J là giao điểm của FG với SAD (thông qua việc dựng giao tuyến SI của mặt phẳng SFG với mặt phẳng SAD ). Có thể dựng thiết diện trên bằng nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác E, F,G ) của một trong các đường thẳng EF, FG ; hoặc GE với một mặt của hình chóp. Sau đây, tôi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt là xác định giao điểm của EF với mặt phẳng ABCD . Cách 2:
  68. S E K F A D N M P L B G C H Trong mặt phẳng SM D , gọi P là giao điểm của EF với M D . Trong mặt phẳng ABCD , gọi H, L là giao điểm của P,G với CD , AB . Trong mặt phẳng SAB , gọi K là giao điểm của LF với SA . Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của EH với SC . EFG  ABCD LG; EFG  SBC GN Ta có: EFG  SCD NE; EFG  SAD EK . EFG  SAB KL Vậy ngũ giác LGNEK là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên SCD . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG có thể là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Lời giải Chọn B. Trong mặt phẳng ABCD , gọi H là giao điểm của AB và CD . Trong mặt phẳng SAB , gọi I là giao điểm của FG và SH . Xét các trường hợp sau:
  69. S I J E G A D K F B C H Trường hợp 1: Trong mặt phẳng SCD , IE cắt SC tại J và cắt đoạn CD tại K . Ta có J IE  EFG nên J là giao điểm của EFG với SC , K IE  EFG nên K là giao điểm của EFG với CD . EFG  ABCD FK; EFG  SAB FG Ta có EFG  SBC GJ; EFG  SCD JK Suy ra tứ giác KFGJ là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Trường hợp 2: S I J E G K A M D F L B C H Trong mặt phẳng SCD , IE cắt SC tại J và cắt đoạn SD tại K (cắt CD tại một điểm nằm ngoài đoạn CD ). Trong mặt phẳng SBC :
  70. BG CJ Nếu GJ song song với BC thì ta có: . Gọi T là giao điểm của IE với CD . GS JS Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác SBH và SCH ta có FB IH GS TC IH JS FB TC . . 1 . . . Điều này chỉ xảy ra khi T thuộc đoạn CD (vô lí) FH IS GB TH IS JC FH TH Do vây GJ cắt BC , giả sử tại L . Trong mặt phẳng ABCD , gọi M là giao điểm của LF với AD . EFG  ABCD FM ; EFG  SAB FG Ta có EFG  SBC GJ; EFG  SCD JK EFG  SAD KM Suy ra ngũ giác KJGFM là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG hoặc là tứ giác hoặc là ngũ giác.   Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD, E là trung điểm của SB, F thuộc SC sao cho 3SF 2SC, G là một điểm thuộc miền trong tam giác SAD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Lời giải Chọn B. Trong mặt phẳng SBC , gọi J là giao điểm của EF với BC . Trong mặt phẳng SAD , gọi I là giao điểm của SG với AD . Trong mặt phẳng ABCD , gọi N là giao điểm của IJ với CD . Trong mặt phẳng SIJ , gọi K là giáo điểm của JG với SN . Trong mặt phẳng SCD , có hai khả năng xảy ra như sau: Trường hợp 1: FK cắt đoạn CD tại P . S R G E Q D A I K F P B N C J Trong mặt phẳng ABCD , gọi Q là giao điểm của JP với AD . Trong mặt phẳng SAD , gọi R là giao điểm của QG với SA .
  71. EFG  ABCD PQ; EFG  SAD QR Ta có EFG  SAB RE; EFG  SBC EF EFG  SCD FP Trường hợp này, ngũ giác REFPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi EFG . Trường hợp 2: FK cắt SD tại H ( FK không cắt đoạn CD ). S M G H E K I D A F P B N C J Trong mặt phẳng SAD , gọi M là giao điểm của HG với SA ( HG không thể cắt đoạn AD vì giả sử ngược lại HG cắt cạnh AD tại O , khi đó JO sẽ cắt cạnh CD (vô lí vì EFG đã cắt cạnh SC, SD )). EFG  SCD FH; EFG  SAD MH Khi đó EFG  SAB ME; EFG  SBC EF Trường hợp này, tứ giác MEFH là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Câu 70. Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a, DF a . Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF là: a2 33 a2 a2 a2 33 A. S . B. S . C. S . D. S . 18 3 6 9 Lời giải Chọn C.
  72. A M K H B F D C E Trong mặt phẳng ABC , gọi H là giao điểm của ME với AC . Trong mặt phẳng ABD , gọi K là giao điểm của MF và AD . MEF  ABC MH Ta có: MEF  ABD MK . MEF  ACD HK Do đó tam giác MHK là thiết diện của tứ diện cắt bởi MEF . Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABE và ABF . 2a Ta có: AH AK HK . 3 2a Xét hai tam giác AMH và AMK có AM chung, M· AH M· AK 600 , AH AK nên hai tam giác 3 này bằng nhau. Suy ra MH MK . Vậy tam giác MHK cân tại M . Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH : 2 2 2 2 2 2 2 0 a 2a a 13a a 13 MH AM AH 2AMAH.cos60 MH . 2 3 3 36 6 Gọi I là trung điểm của đoạn HK . Ta có MI  HK . 13a2 a2 a2 a Suy ra: MI 2 MH 2 HI 2 MI . 36 9 4 2 1 1 2a a a2 Diện tích thiết diện MHK là: S MI.HK . . . 2 2 3 2 6 Câu 71. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm E, F, G, H . Gọi I AC  BD, J EG  SI . Mệnh đề nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SI A. . B. 2 . SE SG SF SH SE SG SJ
  73. SA SC SB SD SB SD SI C. . D. 2 . SE SG SF SH SF SH SJ Lời giải Chọn C. S S E H G E J D F A G T C I B C K Xét trường hợp đặc biệt E, F,G, H lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó ta dễ dàng loại được đáp ánD. Dựng AT / /EG T SI ,CK / /EG KESI SA ST SC SK IT IA Theo định lý Thales, ta có: , ; 1 SE SJ SG SJ IK IC SA SC ST SK SI IT SI IK SI Suy ra: 2 SE SG SJ SJ SJ Như vậy, ý B bị loại. SB SD SI Tương tự, ta chứng minh được 2 . SF SH SJ Từ đây ta thấy ngay ý C bị loại và A là đáp án A là đáp án lựa chọn. Chú ý: Cho tam giác ABC. Gọi O là trung điểm AC, M, N là hai điểm nằm trên cạnh AB, AC. MN cắt BO BA BC 2BO tại I. Khi đó: . BM BN BI Câu 72. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm BC ). Gọi Q là giao điểm của MNP với AD, I là giao điểm của MN với PQ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SMNPQ 2SMPN . B. SMNPQ 2SMPQ . C. SMNPQ 4SMPI D. SMNPQ 4SPIN . Lời giải Chọn A.
  74. A M Q B D I j P N C Do tứ diện ABCD có 4 mặt nên thiết diện không thể là ngũ giác hay lục giác. Nó chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác. Trong mp ABC , gọi K MP  AC (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC) Trong mp ACD , gọi Q KN  AD Do Q KN  MNP nên Q MNP  AD MNP  ABD MQ MNP  ABC MP Ta có: MNP  BCD PN MNP  ACD NQ Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MPNQ. Ta chọn đáp án B. AM BP CN DQ BP DQ do M , N, P,Q đồng phẳng nên . . . 1 . 1 BM CP DN AQ CP AQ BP AQ (Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).Từ đây suy ra . CP DQ BP     Giả sử k . Khi đó ta suy ra BP k PC, AQ kQD PC     Suy ra BP AQ k CP QD 1 Do J là trung điểm của PQ.     MJ MB BP PJ    Ta có:     2MJ AQ BP 2 MJ MA AQ QJ    Chứng minh tương tự ta cũng có: 2NJ CP DQ 3   Từ (1,2,3) suy ra MJ k NJ . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J. Điều này suy ra SMNPQ 2SMPN .
  75. Câu 73.*Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy là đa giác lồi A1 A2 An n 3,n ¥ . Trên tia đối của tia A1S lấy điểm B1, B2 , Bn là các điểm nằm trên cạnh SA2 , SAn . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng B1B2 Bn là: A. Đa giác n 2 cạnh. B. Đa giác n 1 cạnh. C. Đa giác n cạnh. D. Đa giác n 1 cạnh. Lời giải Chọn D. S Bn Bk Ik An C1 A1 Ak Ok B2 C2 B1 A2 Trong mặt phẳng SA1 A2 gọi C2 là giao điểm của B1B2 với A1A2 . Trong mặt phẳng SA1 An gọi Cn là giao điểm của B1Bn với A1An . Trong mặt phẳng A1 A2 An gọi Ok k 3,4, ,n 1 là giao điểm của A1Ak với A2 An . Trong mặt phẳng SA2 An , gọi Ik k 3,4, ,n 1 là giao điểm của SOk với B2 Bn . Trong mặt phẳng SA1 Ak , gọi Bk k 3,4, ,n 1 là giao điểm của SAk với B1Ik . Do Bk B1Ik  B1B2 Bn nên Bk là giao điểm của SAk k 3,4, ,n 1 với mặt phẳng B1B2 Bn . Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi B1B2 Bn là đa giác C2B2 BnCn .