›
›
›

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

pdf 702 trang thaodu 2991
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_phuong_phap_chung_minh_bat_dang_thuc.pdf

Nội dung text: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

  1. MỤC LỤC Trang Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3 Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính Chủ đề 2 44 chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 1. Sử dụng tính chất của tỉ số 45 2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54 3. Sử dụng tính chất tam thức bậc hai. 59 Chủ đề 3 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng 68 Chứng minh các bất đẳng thức về tổng, tích của dãy số - Phương Chủ đề 4 86 pháp quy nạp Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY 117 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang 118 trung bình nhân 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang 141 trung bình cộng. 3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy 161 4. Kỹ thuật thêm bớt 175 5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 191 6. Kỹ thuật đổi biến số 199 Chủ đề 6 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI 220 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi 221 2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản 236 3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 252 4. Kỹ thuật thêm bớt 275 5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki 289 Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề 7 Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức 307 Chủ đề 8 Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức 319 Chủ đề 9 Ứng dụng một hệ quả của bất đẳng thức SCHUR 333 Chủ đề 10 Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán 344
  2. tìm cực trị. 1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh 344 điển 2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số. 367 3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 382 4. Phương pháp tiếp tuyến 389 5. Khảo sát hàm nhiều biến số 393 6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 398 7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 405 Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề 11 Một số bất đẳng thức hay và khó 409 Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và Chủ đề 12 649 tuyển sinh lớp 10 chuyên toán.
  3. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó + AB;AB;AB;AB được gọi là các bất đẳng thức. + Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau A B 0; A B 0; A B 0; A B 0 + Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai. Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng. II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức + Tính chất giao hoán Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có AB BA + Tính chất bắc cầu Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có AB,BC AC + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có AB AMBM - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có AB;CD ACBD AB;CD ADBC + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có AB;M0 A.MB.M AB;M0 A.MB.M - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có 0AB 0A.CB.D 0CD + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có AB0 Ann B 0, với n là số thực dương. AB Ann B, với n là số tự nhiên lẻ. AB Ann B0, với n là số tự nhiên chẵn. mn0;A1 Amn A mn0;0A1 Amn A + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo 11 - Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có AB AB III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ + A02 với  A
  4. + A02k với  A và k là số tự nhiên + A0 với A + AB A B + AB A B
  5. Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung cơ bản của chương I gồm: Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên. Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được trình bày cụ thể. Giới thiệu một số bài tập tự luyện. Chủ đề 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức AB . Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: AB AB0 + Dạng tổng bình phương: AB mXnYkZ0222 , với các số m, n, k dương. + Dạng tích hai thừa số cùng dấu: AB X.Y0 hoặc AB X.Y02n + Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z [a, b] thì ta nghĩ ngay tới một trong các bất đẳng thức đúng sau đây xaxb 0;xayaza 0;xbybzb 0 Một số đẳng thức cần nhớ 22 2 ab ab + ab a2222 2abb;ab 22 2 + abc a222 b c 2ab2bc2ca + a b b c c a a222222 b ab b c bc c a ca 2abc + abcabbccaababbcbccaca3abc 222222 + a b b c c a abc a b c ab bc ca + a1b1c1 abcabbccaabc1 + a1b1c1 abcabbccaabc1 + abc3abcabcabcabbcca333 222 3 + abc a333 b c 3abbcca + abcabc 222 abcababbcbccaca 3332 22 22 2 Một số bất đẳng thức cơ bản 2 + a22 b 2ab; 2 a 22 b a b 4ab
  6. 2 3a b + abab22 4 + abcabbcca222 2 + 3a 222 b c a b c 3abbc ca 2 + 3 a444 b c ab bc ca 3abc a b c + Bất đẳng thức tam giác bc a bc abc0 ca bca bca 0 ab cab cab0 Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức. + Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức. + Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức. + Kỹ thuật đặt biến phụ. + Kỹ thuật sắp thứ tự các biến. + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến. 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: a) a222 b c ab bc ca b) a222 b c 3 2 a b c Phân tích: Các bất đẳng thức trên khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Lời giải a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức a222222 2ab b b 2bc c c 2ca a abc222 abbcca 2 222 ab bc ca 0 2 Suy ra abcabbcca222 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức abc32abca2a1b2b1c2c1222 2 2 2 222 a1 b1 c1 0 Suy ra abc32abc222 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc1 Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
  7. 2 abc222 abc 33 Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Lời giải Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 2 2 222 abc222 abc 3a b c a b c a 33 9 222 ab bc ca 9 2 abc222 abc Suy ra 33 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất 22 2 hiện các đại lượng ab ;; bc ca với điều kiện dấu đẳng thức xẩy ra tại abc . Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí. Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: abcdeabcde22222 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Để được các tích ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau a22222 b c d e abcde 22 22 akbakcakdake0 Trong trường hợp trên ta có thể chọn k2 , tức là ta phải nhân hai vế với 4. Lời giải Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức a22222 b c d e abcde 4abcde 22222 4abacadae 4 a22222222 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ae 4e 4 22 22 a2b a2c a2d a2e 0 4 Suy ra a22222 b c d e abcde Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2b2c2d2e .
  8. Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh. Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c 1 . Chứng minh rẳng: 11 2 111 3 a) b) 1a 22 1b1ab 1a 333 1b 1c 1abc Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương. Chú ý đến giả thiết a, b 1 ab 1 0 . Lời giải a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 112 1111 1a 22 1b1ab 1a 2 1ab 1b 2 1ab 2 ab ab1 0 a1b1ab122 11 2 Suy ra 1a 22 1b 1ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab1 . b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. 111 3 111 1 4 1a 333 1b 1c1 abc 1a 333 1b 1c 1 abc 1 abc Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được 111 1 2 2 333 1a 1b 1c 1abc 1ab1abc 33 4 44 33 4 1abc 1ababc 111 3 Suy ra 1a 333 1b 1c 1abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc1 . Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abab33 . Chứng minh rẳng: abab122 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức abab22 . Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức ab . Vậy mối liên hệ của hai biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức aba 22 b aba 33 b. Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức abab22 để làm xuất hiện ab33 và abab22 , khi đó ta được ab33 ab33 aabb22 . Tới đây chỉ cần chứng minh 1 là xong. ab33 ab33 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được
  9. abab33 abaabb 332 2 abaabb 2 2 ab33 abaabbab332 2 33 aabb 2 2 33 ab Ta cần chứng minh được ab33 1abab33 33 02b0b 3 ab33 Do b0 hiển nhiên đúng. Nên bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab . Chứng minh rằng: ab22 2abba 2 Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa các bình phương, lại có thêm điều kiện ab0 , nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 ab22 2abb 2 a 2 a22 b 2 a 22 b . 2ab b 2 2ab b 2 a 2 2b a b 2 a22 b . 2ab b 2 0 Vì ab0 nên ba b 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: abcabcabc444 Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy thừa bậc chẵn. Để ý ta thấy abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a4442 b c abcbaccab0 2 2 2a2b2c2abc2bac2cab0 4 4 4 2 2 2 222 a2 b 2 2a 2 b 2 b 2 c 2 2b 22 c c 2 a 2 2a 22 c 2a 2 bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 222 222 a22 b b 22 c c 22 a ab bc bc ac ab ac 0 Suy ra abcabcabc444 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc Ví dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: a101022 bab abab 8844 Phân tích: Để ý ta thấy a.a10 2 a.a,b.b 8 4 10 2 b.b 8 4 , do đó ta biến đổi tương đương để thu gọn và chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức
  10. a10 bab 10 2 2 abab 8 8 4 4 aababbaababb12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12 ab82222822 a b ab b a 0 ab 222266 a b a b 0 2 ab22 a 2 b 2 a 4 ab 22 b 4 0 Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện abc0 . Chứng minh rằng: ab 2bc 3ca 0 Phân tích: Từ giả thiết abc0 ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn cab , thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được 3a22 4ab 2b là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Theo giả thiết thì cab , nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với ab c 2a 3a 0 ab a b 2b 3a 0 2 ab 2ab 3a22 2b 3ab 0 3a 2 4ab 2b 2 0 a 2 2 a b 0 Từ đó ta có điều phải chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc0 . 2 a115a 1 Ví dụ 10. Chứng minh với các số thực a dương, ta có: a12 2a 2 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh. Để ý thêm nữa ta thấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng 2 a12 và 2a làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức a1 , lại thấy đẳng thức xẩy ra khi a1 nên suy 2 nghĩ rất tự nhiên là biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng a1 xem có thể 2 a15a 1 11 1 chứng minh bài toán được không. Với a1 khi đó ta có ;5 và 5 nên a12 22a 22 ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức 22 a11a15a 1 5a 1 50 a122 2a 2 a1 2 2a 22 2 a1 5a1 a1 51 00 2 2a 2 1 2a 2 a a1 2 222 a1 5a2 a 5 a1 a1 9a1 .0. 0 22aa 22 1 2a 1 Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 .
  11. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab33 bcca 3333 2a b c ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy những đặc điểm sau: + Hai vế của bất đẳng thức cùng có bậc một. + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến một bất bất đẳng thức khá hay dùng xyxyxy33 . Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức xyxyxy33 với x, y là các số dương Thật vậy 2 x33 y xy x y x y x 22 y xy xy x y x y 0 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được abbcca33 3333ab a b bc b c ca c a 2a b c ab bc ca ab bc ca ab33 bc 3333 ca Suy ra 2a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc. Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có 2x 1 . x22 x 1 2x 1 . x x 1 Phân tích: Bất đẳng thức chỉ chứa một biến và có chứa căn bậc hai. Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định của các căn thức 2 2 2 13 2 13 xx1x 0 và xx1x 0 24 24 Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x. Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng x thì vế trái của bất đẳng thức trở là 2x 1 . x2 x 1 và vế phải của bất đẳng thức là 2x 1 . x2 x 1 , khi đó nếu nhân hai vế với 1 thì được 2x1.x 22 x1 2x1.x x1, tức là bất đẳng thức không thay đổi gì cả. Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp x không âm là được. 1 Với 0x , ta thấy vế trái luôn dương và vế phải nhỏ hơn hoặc bằng không nên ta có thể 2 1 1 chia nhỏ các trường hợp 0x và x để chứng minh bất đẳng thức. 2 2 Lời giải 2 2 2 13 2 13 Vì xx1x 0 và xx1x 0 24 24 Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x. Nếu x0 , ta đặt xt,t0 khi đó bất đẳng thức trở thành.
  12. 2t 1 t22 t 1 2t 1 t t 1 2t 1 t22 t 1 2t 1 t t 1 Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng hơn lúc này ta lại có t0 . Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài toán trong trường hợp x0 là đủ. Lúc này có hai khả năng xảy ra : 1 + Nếu 0x thì 2x 1 . x22 x 1 0; 2x 1 . x x 1 0 2 suy ra 2x1x 22 x1 2x1x x1. Nên bất đẳng thức đúng. 1 + Nếu x thì hai vế cùng dương, nên bình phương hai vế ta được 2 22 22 2x 1 x x 1 2x 1 x x 1 4x42 x 3x 1 4x 42 x 3x 1 x 0 1 Mà x nên bất đẳng thức cuối cùng đúng. 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 13. Cho các số thực a, b, c [0, 1]. Chứng minh rằng: abcabbcac1432 Phân tích: Từ giả thiết a, b, c [0, 1] ta được 0a,b,c1 , khi đó theo tính chất của lũy thừa ta được aa;bb;cc 432. Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được thay bằng đại lượng abcabbcca . Cũng từ giả thiết a, b, c [0, 1] và biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích 1a1b1c 0. Do đó ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên. Lời giải Theo giả thiết a, b, c [0, 1] ta có 1a1b1c 0 1 a b c ab bc ac abc 0 1 a b c ab bc ac abc Cũng từ giả thiết a, b, c [0, 1] nên abc 0và aa;bb;cc 432. Do đó ta suy ra 1 a b c ab bc ac a432 b c ab bc ac Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc1 hoặc a1;bc0 và các hoán vị. abab22 Ví dụ 14. Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có: ba22ba
  13. 2 ab22 ab Phân tích: Để ý ta thấy 2, do đó ta có thể biến đổi bất đẳng thức thành 22 ba ba 2 ab ab 20 . Đến đây ta có thể phân tích thành tích rồi quy đồng hoặc đặt biến phụ ba ba ab t , chú ý điều kiện t2 . ba Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 a22 b ab ab ab ab ab 20120 22 ba ba ba ba ba ba Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên. + Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức 2 ababab22 0 ab22 2 ab a22 b Mà abab22 0 2 Do đó bất đẳng thức được chứng minh. 2 ab 2 ab + Hướng 2: Đặt t , khi đó ta được t4t2 ba ba Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành t1t2 0. - Nếu t2 , suy ra t2 0 nên t1t2 0. - Nếu t2 , suy ra t10;t2 0 nên t1t2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab Ví dụ 15. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: ab a 2 b 6 12a22 24a 3b 18b 36 0 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của có sự xuất hiện các đại lượng 2 aa 2;bb 6 và chú ý thêm các đại lượng bên ta nhận thấy aa 2 1 a 1 và 2 bb 6 9 b 3 . Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên. 22 + Thứ nhất là ta biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương a1,b3 . + Thứ hai là đặt biến phụ xaa2;ybb6 và sử dụng điều kiện của biến phụ để chứng minh. Lời giải Cách 1: Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có Paba2b6 12a24a3b18b3622 a a 2 b b 6 12 3 b b 6 12 22 bb 6 12aa 2 3 b 3 3 a 1 2 0
  14. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 ab a 2 b 6 12 a 1 3 b 3 3 0 2 xaa2 x1 a1 0 Đặt 2 ybb6 y9 b3 0 Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành xy 12 x 1 3 y 9 3 0 x 3 y 12 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì x10;y30 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 1019a24 18b 1007c 2 30ab 22 6b c 2008ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn và vế phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương. Tuy nhiên vì hệ số khác nhau nên ta cần phải tinh ý khi phân tích. 222 Sau khi chuyển vế ta phân tích thành ma b22 nb c kc a và cần tìm m, n, k sao cho m k 1019; n k 18; k m 1007 . Giải hệ điều kiện trên ta tìm được m 15; n 3; k 1004 . Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 15 a222422 2ab b 3 b 2b c c 1004 c 2 2ca a 2 0 22 2 15 a b22 3 b c 1004 c a 0 Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 2 c. Ví dụ 17. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a1;b1 . Chứng minh rằng: ab 1 ba 1 ab Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và đẳng thức xẩy ra tại ab2 , do đó ta có các ý tưởng chứng minh bất đẳng thức sau đây: + Thứ nhất là đặt biến phụ xa1;yb1 để làm mất căn bậc hai và phân tích thành các bình phương. + Thứ hai là khử căn bậc hai bằng một đánh giá quen thuộc xy2xy22 . Để ý đến chiều bất đẳng thức và điều kiện dấu bằng xẩy ra tại ab2 ta đánh giá được a11 a b11 b a1 a1.1 ;b1 b1.1 22 22 Lời giải Cách 1: Đặt xa1;yb1 , khi đó x0;y0 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x1yy1yx1y122 22
  15. x1yy1yx1y122 22 x1y12x1yx1y12y1x022 2 22 2 22 x1y122 y1x10 Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy1 hay ab2 . Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được a11 a a1 a1.1 22 b11 b b1 b1.1 22 ab ab Do đó ta được ab 1 ba 1 ab 22 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab2 . Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2a 44 b ab 33 ab 2ab 22 Phân tích: Để ý ta thấy, với ab thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử 2 chung ab . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a2abbaabbab042244343 ab 22 abab0 33 22 2 2 ab ab a22 abb 0 ab 3ab a 22 b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 19. Cho a, b là hai số thực khác không. Chứng minh rằng: 4a22 b a 2 b 2 3 222 ab22 ba Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khi ab22 thì bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng và 2 22 ab22 ab 2 . Nên ta có các ý tưởng biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau: ba22 ab 22 2 + Thứ nhất là quy đồng hai về và phân tích làm xuất hiện nhân tử chung ab22 2 2ab + Thứ hai là đặt biến phụ t , chú ý điều kiện 0t1 . 22 ab Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với.
  16. 2 22 2 2 4a22 b a 2 b 24a b a b a 4 2a 22 b b 4 120 0 222 2 22 ab22 ba ab 22 ab 22 22 22 ab ab 2 22 11 0ab 0 222 222 ab22 ab ab ab22 22 22 22 22 2 ab ab ab ab22 abab 4422 00 22 ab22 a 2 b 2 ab 22 a 2 b 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . 2 22 4a22 b ab Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành 5 . 222 ab22 ab 2 2 22 2 2ab ab ab22 4 Đặt t , khi đó ta được 0t1 . Suy ra 4 22 22 ab ab 2ab t Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4 t5t5t40t1t40 2 t Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì 0t1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 20. Cho các số thực dương a, b, m, n m n . Chứng minh rằng: ab2 na mb mb na m n Phân tích: Nhận thấy bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng tại ab, do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến biến 2 đổi bất đẳng thức làm xuất hiện ab , chú ý đến điều kiện mn Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a1b1 ma b ma b 00 na mb n m nb ma n m na mb n m nb ma n m 2 ma b 11 ma b mn 0. 0 n m na mb nb ma n m na mb nb ma Vì a, b 0 và mn nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi ab hoặc mn . Ví dụ 21. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab22 2 a 2ab 2a33 b3 2a 22 b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra với ab , khi đó rất tự nhiên ta 2 nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng ab . Mặt khác với ab ta lại có
  17. ab22 1 a 2ab 21 ;1. Để ý là 1 , nên ta ta biến đổi bất đẳng thức thành 2a33 b3 2a 22 b 33 ab22 1 a 2ab 1 . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân tích thành các bình phương. 2a33 b3 2a 22 b Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab22 2 a 2ab ab 22 1 a 2ab 1 2a33 b33 2a 22 b 2a 33 b 2a 22 b 22 ab 2ab ab 2 12ab ab 0 32ab33 2a22 b 2a 22 b 32ab33 2 ab 32ab33 2ab 22 2ab 0 2 4 a b 2a332 2b 2a b 2ab 2 0 a b a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 22. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 2ab b2 3 a4b3a2b22 225 2ab 2 b2 1 Phân tích: Dấu đẳng thức xảy ra với ab , khi đó ; . Nên ta ta biến đổi a4b22 55 3a2b 22 22ab1 b2 bất đẳng thức thành 0 . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân tích thành 55a4b22 3a2b 22 các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab b22 3 2 2ab 1 b 0 a4b3a2b22 2255 a4b 22 5 3a2b 22 2a2222 10ab 8b 3a 3b 2aba 4b3aba b 00 a4b22 3a2b 22 a4b 22 3a2b 22 a b 2 a 4b 3a22 2b 3 a b a 22 4b 0 22 a b 9a32 21a b 16ab 23 4b 0 a b 3a 2b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab hoặc 3a 2b Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a) a a b a c b b c b a c c a c b 0 b) a6665 b c a b b 5 c c 5 a Phân tích:
  18. a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy ac ab bc do đó bất đẳng thức lúc này 2 tương đương với aa b ca c b c 0. Đến đây chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho ca c b c 0 là xong. b) Tương tự như trên ta có ac ab bc , biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được bất đẳng thức aba 55 b acb 55 c 0. Đến đây ta chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho acb 55 c 0 là xong. Lời giải a) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử abc0 . Khi đó ta có aa b a c ab c b a cc a c b 0 aa b a b b c bb c b a cc a c b 0 2 aab aabbc abcab cacbc 0 2 ab abc cacbc 0 Vì abc0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử ac0;bc0 . Khi đó ta có aabbbccca0aabbbccca065 65 65 5 5 5 aa55 b b a b ca cca 5 0 aba 55 b acb 55 c 0 Vì ac0;bc0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 24. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: bc ca ab abc abc Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau: 222 + Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện bc ca ab và vế phải xuất hiện abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab . Như vậy chỉ cần chuyển vế trái ta viết được thành tổng các bình phương 2 bc ca ca b + Để ý ta thấy 2c . Như vậy ta cần nhân hai vế với 2 và ghép tương tự. ab ab Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau
  19. bc ca ab 222 abc bccaababcabc abc 222 2bc 2ca 2ab 2abca b c 0 222 ab bc bc ca ca ab 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau bc ca ab bc ca ab abc 2 2abc abc abc bc ca ca ab ab bc 2c 2a 2b 0 ab bc ca cba2abacb2bcbca2ca 22 22 22 0 ab bc ca 222 ca b ab c bc a 0 ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 25. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: abc222 abc bca 2 a2 ab Phân tích: Nhận thấy 2a b . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh. bb Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với abc222 2a b 2b c 2c a 0 bca a222222 2ab b b 2bc c c 2ca a 0 bca 222 ab bc ca 0 bca Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 26. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức. k1182k 22 2 2 2 aba b ab Phân tích: Vì vai trò của a, b như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab , do đó khi biến đổi 2 bất đẳng thức ta cần làm xuất hiện nhân tử ab . Khi đó bất đẳng thức trở thành 2 a b a222222 4ab b a b ka b 0 . Để tìm k lớn nhất ta cho ab , khi đó ta được 12a44 ka 0 k 12. Đến đây ta chỉ cần chứng minh k12 bất đẳng thức đúng là được. Lời giải
  20. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với k1182k 22 2 2 2 aba b ab k2k1414 0 22 2 2 2 2 2 ab ab a ab b ab 2 k a b b a b 3a a b 3a b 0 22 2 a22 b ab aab 2 bab 2 2 2 a b a22 4ab b ka b 0 22 ab22 a b a 2 b 2 a b 2 ab a222222 4abb a b kab 0 2 Vì ab 0 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi a222222 4ab b a b ka b 0 Cho ab thì bất đẳng thức trên trở thành 12a44 ka 0 k 12 . Ta chứng minh k12 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Thật vậy, ta xét các trường hợp sau + Với k12 thì ta được a222222 4ab b a b ka b 0 . + Với k12 thì bất đẳng thức a222222 4ab b a b ka b 0 trở thành a222222 4ab b a b 12a b 0 2 2 2 a22 b 4a 22 b 4ab a 22 b 2ab 0 a 22 b 4ab a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy hằng số k lớn nhất là 12. Ví dụ 27. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức k11164k 33 3 3 3 aba b ab Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được k11164k 33 3 3 3 aba b ab k4k1818 0 33 3 3 3 3 3 ab ab a ab b ab 2 a b 7b2222 4ab a 7a 4ab b 3k a b a b 0 33 3 3 ab ba a33 b ab 2 2 ab a43 5ab12ab5abb 22343k a b 0 ab33 a 2 ab b 2 2 a b a43 5a b 12a 22342 b 5ab b a ab b 2 3ka 33 b 0 2 Vì ab 0 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi
  21. a43 5a b 12a 22342 b 5ab b a ab b 2 3ka 33 b 0 Cho ab thì bất đẳng thức trên trở thành 24a66 3ka 0 k 8 . Ta chứng minh k8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho. Thật vậy, ta xét các trường hợp sau + Với k8 thì a43 5a b 12a 22342 b 5ab b a ab b 2 3ka 33 b 0 . + Với k8 thì bất đẳng thức trên được viết lại thành a43 5a b 12a 22342 b 5ab b a ab b 2 24a 33 b 0 Ta có a44 b 2a 2222 b ; a b 2ab nên a4 5a 3 b 12a 22 b 5ab 3 b 4 a 4 b 4 5ab a 2 b 2 12a 22 b 24a 22 b Và aabbab22 Do đó ta có a43 5a b 12a 22342 b 5ab b a ab b 2 24a 33 b Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy hằng số k lớn nhất là 8. Ví dụ 28. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3a22 2ab 3b 22a22 b ab Phân tích: Đẳng thức xẩy ra khi ab , do đó ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 2 2 ab . Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất hiện nhân tử chung có dạng ab ta 22 cần chú ý đến phép biến đổi 2a 22 b a b a b 2 ab Khi đó ta có 2a 22 b a b 2a 22 b a b Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau 3a22 2ab 3b 22a 22 b ab 3a22 2ab 3b 2a b 2 2a22 b 2a b ab 22 ab 2ab 0 ab 2a 22 b a b 2 ab 2ab22 ab 2ab 0 4 2 ab ab 2ab22 ab 0 0 2a 22 b a b Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2ab a22 b a b ab ab 22
  22. 22 ab 2ab ab 4abab Phân tích: Để ý ta thấy 2ab 2a b 2a b 22 ab 2 22 ab ab ab Lại có ab 2 2 ab22 ab22 ab 2ab 2 2 Do đó ta biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi như sau 2 ab22 ab2ab ab 1 1 ab 0 22 22ab2 ab ab ab 2 2 a b 2a 2b 2 a22 b 2 ab 0 2 Vì ab 0 nên ta cần chứng minh 2a 2b 2 a22 b 2 ab 0 Thật vậy, ta có 2 ab ab 2ab 22 2a 22 b a b 2 2 ab ab2ab a b 2 ab Do vậy bất đẳng thức trên tương đương với 2 11 ab 0 2 22 ab 2a b a b 2 2 22 ab 2ab ab a b 0 22 222a b 4ab ab 2ab22 2ab0 ab 0 2a 22 b 2 ab 4 2a b 0 2a 22 b 2 ab Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng, Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 30. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a) a222 b c 2 ab bc ca b) abc a b c b c a c a b Lời giải a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
  23. 0abc aa(bc)2 2 0bac b b(ac) 0cab cc(ab)2 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được abc2abbcca222 b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có 2 a22 a bc abcabc 0 Chứng minh tương tự ta được bb(ca)0;cc(ab)022 2 22 2 Nhân vế các bất đẳng thức ta được 222 abc222 a 2 b c b 2 c a c 2 a b 222 abc222 a b c b c a c a b Mà ta lại có abc0;bca0;cab0 Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc a b c.b c a.c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Nhận xét: Bất đẳng thức abc a b c b c a c a b không chỉ đúng với a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Bât đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur. Trong phần Phụ lục 3, ta sẽ bàn nhiều về bất đẳng thức này hơn. Bài 31. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: 222 ab c bc a ca b a333 b c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 222 ab c bc a ca b a333 b c 222 ab c bc a ca b a333 b c 0 222 abc a222 bca b cab c 0 abcabca bcabcab cabcabc 0 abccabcab 0 Do a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 32. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc1 . Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 1 ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau: 1 + Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi abc . 3
  24. + Khi thay 1 bằng abc vào bất đẳng thức và chuyến vế thì ta được các nhóm abca bc;bcab ca;cabc ab. Vì vai trò a, b, c như nhau nên ta dự đoán mỗi nhóm trên không âm. Để chứng minh dự doán trên ta có thể bình phương làm mất căn bậc hai rồi biến đổi tương đương thành tổng các bình phương. + Để ý giả thiết abc1 , khi đó ta có abc abac . Dễ dàng nhận ra abac a bc. Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp còn lại thì bất đẳng thức được chứng minh. Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a bc b ca c ab a b c ab bc ca abca bc bcab ca cabc ab0 Ta cần chứng minh a bc a bc 0; b ca b ca 0; c ab c ab 0 Thật vậy, ta có a bc a bc 0 a bc a bc a bc a2 2a bc bc 2 1a2bcabca2bc b c 0 Chứng minh tương tự ta được bcab ca0;cabc ab0 . 1 Đến đây bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . 3 Cách 2: Kết hợp với giả thiết abc1 ta có abc abac;bca abbc;cab cabc Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành abac abbc cabc 1 abbcca Mặt khác ta có abac a bca22 abbccaa 2abcbc 2 bc2bc b c 0 Chứng minh tương tự ta được bcab b ca;cabc c ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được abac abbc cabc abc abbcca Hay abac abbc cabc 1 abbcca 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . 3 Ví dụ 33. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
  25. abca222 bcab ca bc 3abc Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có những nhận xét sau: + Dễ thấy đẳng thức xẩy ra khi abc và vai trò các biến là như nhau. + Để ý ta thấy abcabca 2 aabac , như vậy bất đẳng thức được viết lại thành aa b a c bb c b a ca c b c 0, là bất đẳng thức được chứng minh ở Ví dụ 23. + Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể sử dụng cách đặt biến phụ: xbca;ycab;zabc Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 222 xyz yzx zxy 3xyyzzx 444 8 Chú ý đến đẳng thức x y y z z x x222222 y xy y z yz z x zx 2xyz ta có thể biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên. Lời giải Cách 1: Vai trò của a, b ,c là như nhau nên có thể giả thiết abc0 . Bất đẳng thức đã cho tương đương với abc a222 b c a abc b c a b abc c a b c 0 aa b a c bb c b a ca c b c 0 abaac bbc cacbc 0 2 ab abc cacbc 0 Vì abc0 nên abc0;acbc 0, suy ra bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc hoặc ab;c0 và các hoán vị. Cách 2: Đặt xbca;ycab;zabc . Khi đó ta được yz zx xy a;b;c 222 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 222 xyz yzx zxy 3xyyzzx 444 8 Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 222 xyz yzx zxy 3xyyzzx 444 8 2xyxyyzyzzxzx6xyz3xyyzzx 222222 2xyy zz x 8xyz3xyy zz x 8xyz x y y z z x Ta cần chứng minh 8xyz x y y z z x Thật vậy, áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được
  26. xy2xy;yz2yz;zx2zx Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 8xyz x y y z z x . Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc hoặc ab;c0 và các hoán vị. Ví dụ 34. Cho các số thực a, b, c [-1, 2] và abc0 . Chứng minh rằng: a) a222 b c 6 b) 2abc a222 b c 2abc 2 c) a222 b c 8 abc Phân tích: a) Từ điều kiện a, b, c [-1, 2], để tạo ra a2 ta có thể sử dụng các bất đẳng thức a1a2 0, áp dụng tương tự và để ý đến giả thiết abc0 b) Để chứng minh được bất đẳng thức ta cần làm như thế nào để vừa có thể tạo ra abc222 vừa làm xuất hiện tích abc . Để ý giả thiết abc0 có thể biến đổi tương đương thành abc222 ab bc ca . Như vậy trong bất đẳng thức có thêm sự xuất hiện của ab bc ca . Từ 2 điều kiện a, b, c [-1, 2] ta cũng nên để ý đến bất đẳng thức a1b1c1 0. c) Cũng tương tự như câu b nhưng trong bất đẳng thức ở câu c có sự xuất hiện của biểu thức 8abc nên ta lại chú ý đến a2b2c2 0. Lời giải a) Do a, b, c [-1, 2] nên ta có a1a2 0 hay aa22 . Chứng minh tương tự ta được bb2;cc222 . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết abc0 ta được abcabc66222 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Trước hết ta chứng minh abc2abc2222 Do a, b, c [-1, 2] nên ta có a1b1c1 0 Hay abc ab bc ca a b c 1 0 abc ab bc ca 1 0 2 Mặt khác, vì abc0 nên abc 0 abc222 Hay ab bc ca 2 abc222 Khi đó ta được abc 1 0 a222 b c 2abc 2 2 Ta cần chứng minh abc2abc222 . Thật vậy, vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử abc . Từ đó suy ra abc 1c 0 c 1 3
  27. Khi đó ta được 2abc 2a.b.c 2a.b 2 Suy ra a222 b c 2abc a 222 b c 2a.b a b c 2 0 Do đó ta có abc2abc222 Kết hợp hai kết quả trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh chứng minh. c) Do a, b, c [-1, 2] nên ta có a2b2c2 0 Hay abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 0 abc 2 ab bc ca 8 0 abc222 Mà ta có ab bc ca 2 Nên abc a222 b c 8 0 hay abc8abc222 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 35. Cho các số thực a, b, c [0, 2] và abc3 . Chứng minh rằng: 3a 222 b c 5 Lời giải Đặt x a 1; y b 1; z c 1 , khi đó ta được x, y, z [ 1, 1] và xyz0 Ta có 222 abc222 x1 y1 z1 xyz2xyz3xyz33222 222 Dấu đẳng thức có khi xyz0 hay abc1 . Mặt khác do x, y, z [ 1, 1] nên ta có 1x1y1z 1x1y1z 0 2 2 2 xy yx zx 0 2 x222 y z x y x 0 xyz2222 Suy ra abc5222 . Đẳng thức xẩy ra khi a2;b1;c0 và các hoán vị. Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được 3a 222 b c 5. Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 36. Cho các số thực a, b, c [0, 2] và abc3 . Chứng minh rằng: 3 a333 b c 3a1b1c1 9 Lời giải Đặt x a 1; y b 1; z c 1 , khi đó ta được x, y, z [ 1, 1] và xyz0 Đặt P a333 b c 3a1b1c1 , khi đó P được viết lại thành 333 P x 1 y 1 z 1 3xyz x333 y z 3xyz3x 222 y z 3x y z 3 Mà xyz0 nên ta có xyz3xyzxyzxyzxyyzxz0333 222 Do đó P3xy 222 z 3
  28. Mà ta chứng minh được 0x 222 y z 2 nên 3P9 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 37. Cho các số thực a, b, c [0, 1] . Chứng minh rằng: abc 2 1bc1ca1ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy + Với abc0 thì abc0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Như vậy ta cần tìm cách chứng minh cho trường hợp abc0 + Từ giả thiết a, b, c [0, 1] và trường hợp abc0 dẫn đến 0a,b,c1 . Khi đó để tạo ta 1bc ta nghĩ đến bất đẳng thức 1b1c 0 1bcbc. Để ý vế phải của 2a b c bất đẳng thức có thể được viết thành , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng abc a2a thức . 1bcabc Lời giải Vì a, b, c [0, 1] nên ta có 0a,b,c1 . + Xét trường hợp abc0 suy ra abc0 , khi này bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. + Xét trường hợp abc0 , khi đó ta có a1 a1 b1c1 0 bc1bc0 abc 2bc2 bc 0 0 bc 12 a2a Khi đó ta có 1bcabc 1bcabc b2bc2c Chứng minh tương tự ta được ; 1caabcab1 abc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được abc 2a2b2c 2 1bc1ca1ababc abc abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab1;c0 và các hoán vị Ví dụ 38. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc1 . Chứng minh rằng: abcbcacab3 abcbcacab2 Phân tích: Để ý từ giả thiết abc1 ta có abcabac , khi đó bất đẳng thức có thể viết lại thành aabc bcbabc cacabc ab 3 abac bcba cacb 2 Đến đây ta quy đồng hai vế và biến đổi tương đương bất đẳng thức, chú ý đến đẳng thức a b b c c a ab22 ac bc 2 ba 222 ca cb 2abc Lời giải Áp dụng giả thiết abc1 ta được
  29. abcaabc bcabac Áp dụng tương tự ta được bcabcab;cabcabc Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với aabc bcbabc cacabc ab 3 abac bcba cacb 2 aabacbcbcbbabccaca22 3 ccbcaabab2 abbcca 2 ab22 ac bc 2 ba 222 ca cb 6abc 222 ab c bc a ca b 0 1 Vậy bất đẳng thứ được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . 3 Nhận xét: Trong bất đẳng thức trên, có một kinh nghiệm nên nhớ khi tìm lời giải đó là tìm cách đổi chiều bất đẳng thức. Cách đơn giản nhất là nhân hai vế với 1 khi đó ta được: bc a ca b ab c 3 abcbcacab 2 Bây giờ ta chưa biến đổi ngay mà tìm cách triệt tiêu các đại lượng âm trong các biểu thức trước và đổi dấu vế phải. Để ý ta thấy abcbca 2 bc, do vậy chỉ cần cộng 1 vào mỗi phân số rồi quy đồng là ta triệt tiêu được các đại lượng âm, không những vậy ta còn đổi được dấu bên vế phải, cụ thể là bc a ca b ab c32 bc 2 ca 2 ab 3 111 3 abc bca cab22 abcbcacab Đến đây ta sẽ tìm thấy các hướng khác để xử lí bài toán. Ví dụ 39. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: abc3 bc ca ab 2 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau a 1 ab ac + Thứ nhất ta xét hiệu hai vế và chú ý , khi đó ta có 6 phân thức. bc2 2b c 2b c Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi abc , nên ta ghép hai phân thức làm một nhóm sao cho có thể phân tích được thành bình phương của hiệu hai trong ba số a, b, c. Để ý là 2 abab ab . bc ca bcca aabc + Thứ hai ta để ý đến biến đổi 1 . Do đó ta cộng vào hai vế của bất đẳng thức với bc bc 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng như sau 111 2a 2b 2c 9 , đến đây ta có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt bc ca ab biến phụ xbc;yca;zab .
  30. + Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ xbc;yca;zab ngay từ đầu, khi đó ta được yzx zxy xyz a;b;c và bất đẳng thức cần chứng minh thu được ở đây là 222 yzx zxy xyz 3 sẽ chứng minh dễ dàng hơn. xyz Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a1b1c1 0 bc2 ca 2 ab2 ab ac bc ba ca cb 0 bc bc ca ca abab abab bc bc ca ca 0 bc ca ca ab ab bc 22 2 ab bc cb 0 bcca caab abbc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với a1b1c19 1 1 1 2a 2b 2c 9 bc 2 ca 2 ab 2 2 bc ca ab Đặt xbc;yca;zab , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 111 xyyzzx xyz 9 6 xyz yxzxxz 222 xy yz xz xy yz zx 2220 0 yx zy zx 2xy 2yz 2zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 3: Đặt xbc;yca;zab , khi đó ta được yzx zxy xyz a;b;c 222 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yzx zxy xyz 3 xyz 222 xy yz xz xy yz zx 2220 0 yx zy zx 2xy 2yz 2zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 40. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a 2b 3c 11 . Chứng minh rằng: 2b 3c 16 6a 3c 16 6a 2b 16 15 6a 1 2b 1 3c 1 Phân tích: Quan sát giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến việc đổi biến x6a1;y2b1;z3c1 , chính việc đổi biến này ta thu được kết quả không thể hợp lý hơn là xyz14 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
  31. xy yz zx 111 14 15 yx zy xz xyz Đến đấy việc chứng minh bất đẳng thức hết sức đơn giản. Lời giải Đặt x6a1;y2b1;z3c1 , suy ra xyz14 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành y z 14 z x 14 x y 14 15 xyz xy yz zx 111 14 15 yx zy xz xyz xy yz zx 111 xyz 15 yx zy xz xyz xy yz zx 222315 yx zy xz 222 xy yz xz xy yz zx 2 220 0 yx zy zx 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 14 11 11 11 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xyx hay a;b;c . 3 18 6 9 Ví dụ 41. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b 0 Phân tích: Với bất đẳng thức trên ta có các ý tưởng chứng minh sau: + Thứ nhất là ta khai triển các tích và nhóm các hạng tử với nhau một cách hợp lý, chú ý là 2 ab22 ac 2abc a b 22 c 2bc a b c . ab a b 2c ab + Thứ hai là vì a là số thực dương nên ta có 2 , áp dụng tương tự ta biến abc c c đổi được bất đẳng thức về dạng đơn giản. Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a22 b ab 2abc b 22 c bc 2abc c 22 a ca 2abc 0 ab 22 c 2bc bc 2 a 2 2ca ca 2 b 2 2ab 0 222 ab c bc a ca b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b 0 abc abc abc a b 2c b c 2a c a 2b a b b c c a 06 cab bacbac Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 42. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
  32. 2 2a 333 b c 9a b c 33 abc abc222 Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại abc . Khi đó ta có được kết quả đẹp là 2 2a 333 b c 9a b c 6; 27 , do đó ta rất tự nhiên ta nghĩ đến xét hiệu hai vế của bất đẳng abc abc222 thức. Hơn nữa ta lại có hai kết quả sau 2a 333 b c 6abc2a b ca 222 b c abbcca 2 27 a222 b c 9 a b c 18 a 222 b c ab bc ca Đến đây càng thấy yên tâm là đã đi đúng hướng. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2a 333 b c 9a b c 6270 abc abc222 2a b ca 222 b c abbcca 18a 222 b c abbcca 0 abc abc222 abc 9 2a222 b c abbcca 0 222 abc abc 222 ab bc ca abca 222 b c 9abc0 222 Do ab bc ca 0 nên ta chỉ cần chứng minh abca 222 b c 9abc0 abc3abcabc333 22 bca 22 cab 22 6abc0 Bất đẳng thức này đúng vì ta có 222 abc ab bc ca abc3abc333 0 2 222 Và ab 22 c bc 2 a 2 ca 2 b 2 6abcab c bc a ca b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc Ví dụ 43. Cho a, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 4444 abc bca cab abc 28ab 444 c Phân tích: Bài toán gợi cho ta hằng đẳng thức: 44 xy xy 2x6xyy 4224 Khi đó ta có 4442 a bc bca 2bc 6abc24 a 4442 cab a bc 2bc 6abc24 a 44 bc bc 2b6bcc 4224 Để ý đến bất đẳng thức xyzxyyzzx222 Lời giải
  33. 44 Dễ dàng chứng minh được xy xy 2x6xyy 4224 Áp dụng hằng đẳng thức trên ta được 4442 a bc bca 2bc 6abc24 a 4442 cab a bc 2bc 6abc24 a 44 bc bc 2b6bcc 4224 Do đó ta được 4444 abc bca cab abc 22 4 a444 b c 24b 222 c 12a b c b c 4a 444 b c 24ab 222222 bc ca Như vậy ta cần chứng minh 4 a444 b c 24 a 222222 b b c c a 28 a 444 b c ab22 bc 22 ca 22 a 4 b 4 c 4 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc Ví dụ 44. Cho a, b, c là các số thực khác 1 thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: abc222 1 222 a1 b1 c1 111 Phân tích: Từ giả thiết abc 1 ta nghĩ đến cách đặt biến phụ a;b;c . Khi đó bất đẳng xyz 111 thức cần chứng minh trở thành 1. 222 1x 1y 1z Sử dụng các biến đổi cơ bản và giả thiết xyz 1 ta có các kết quả sau 111 3xyz 1 1x 1y 1z xy yz zx x y z 1113xyz 1x1y 1y1z 1z1x xyyzzxxyz Đến đây ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 111 1 1 1 21 1x 1y 1z 1x1y 1y1z 1z1x Và sử dụng các kết quả trên. Lời giải 111 Vì abc 1 nên a, b, c 0 . Đặt a;b;c , khi đó xyz 1 và x, y, z 1 xyz 111 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 222 1x 1y 1z Bất đẳng thức trên tương đương với
  34. 2 111 1 1 1 21 1x 1y 1z 1x1y 1y1z 1z1x 2 32xyz xyyzzx 3 xyz 21 xy yz zx x y z xy yz zx x y z 2 3xyz 3xyz 12110 xy yz zx x y z xy yz zx x y z 2 3xyz 10 xy yz zx x y z Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 45. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 222 ab bc ca 2 222 ab bc ca Phân tích: Quan sát kĩ bất đẳng thức cần chứng minh ta có các nhận xét như sau ab 2aab 2b + Để ý ta thấy 1, 1, do đó ta có kết quả sau ab abab ab ab bc ca ab bc ca 111 111 ab bc ca ab bc ca ab bc ca Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể đặt x;y;z , khi đó ta được ab bc ca x1y1z1 x1y1z1 hay xy yz zx 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là xyz2222 . Đến đây ta có thể chứng minh được bất đẳng thức ab bc + Với cách đặt x;y như trên ta có được một kết quả khác như sau ab bc xy 1 a b b c a b b c a c .1: xy abbc ab bc ac Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 xy 1 xy 1 xy 2 xy 2xy2 xy xy Đến đây ta cũng có thể chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải ab bc ca Cách 1: Đặt x;y;z . ab bc ca 8abc Khi đó ta có x1y1z1 abbcca 8abc Và x1y1z1 abbcca Suy ra x1y1z1 x1y1z1 2 xy yz zx 2 xy yz zx 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
  35. 2 xyz2222 xyz2xyyzzx0 222 xyz0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xyz0 hay một trong ba số a, b, c bằng 0. ab bc Cách 2: Đặt x;y . Khi đó ta được ab bc xy 1 a b b c a b b c .1: xy abbc ab bc abbc abbc abbc abbc : abbc abbc 2ab 2bc a c 2ab 2bc a c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 xy 1 xy 1 xy 2 xy 2xy2 xy xy 2 2 xy 1 Dễ thấy xy 2xy1 xy 2 2 xy 1 Do đó ta được x y 2xy 2 xy 1 2xy 2 xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi một trong ba số a, b, c bằng 0. Ví dụ 46. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: abc3 2abc a2bcab2c4 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đưa ra các ý tưởng sau aabc + Thứ nhất ta để ý đến biến đổi sau 1 . Áp dụng tương tự ta có thể đổi 2a b c 2a b c chiều bất đẳng thức. Đến đây để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể đặt biến phụ x 2a b c; y a 2b c; z a b 2c . + Đặt biến phụ x 2a b c; y a 2b c; z a b 2c ngay từ đầu và khi đó ta được bất 3x y z 3y x z 3z x y 3 đẳng thức . 4x 4y 4z 4 + Đặt biến phụ x b c; y a c; z a b và viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau yzx zxy xyz 3 . 2y z 2z x 2x y 4 Với các bất đẳng thức ở cả ba ý tưởng trên ta có thể chứng minh tiếp bằng biến đổi tương đương. Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh abc9 111 2abc a2bc ab2c4 abc abc abc 9 2abc a2bcab2c4 111 4a b c 9 2a b c a 2b c a b 2c
  36. Đặt x2abc;ya2bc;zab2cxyz4abc Khi đó bất đẳng thức trên trở thành 111 xy yz xz xyz 9 2 2 2 0 xyz yx zy zx 222 xy yz zx 0 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 2: Đặt x2abc;ya2bc;zab2c 3x y z 3y x z 3z x y Suy ra a;b;c 444 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 3x y z 3y x z 3z x y 3 4x 4y 4z 4 1x y y z z z 3 x y y z z z 6 4y x z y x x 2 y x z y x x 222 xy yz xz xy yz zx 2220 0 yx zy zx 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 3: Đặt x b c; y a c; z a b yzx xzy xyz Suy ra a;b;c 222 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành yzx zxy xyz 3 x y z 3 2y z 2z x 2x y 4yzzxxy2 Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Neibizt. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 47. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 111 bc ca ab abcabcbcacab222 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh thực sự đã gây ra rất nhiều khó khăn khi giải nó. Khi thực hiện biến đổi tương đương thì ý nghĩ đầu tiên là chuyển vế và xét các hiệu theo nhóm, nhưng ta cần ghép các nhóm như thế nào cho phù hợp. Để ý một công cụ rất hiệu quả trong lúc bế tắc đó là vai trò các biến như nhau nên có thể sắp thứ tự các biến. Cho nên ta ghép đại các nhóm như sau 1ab 1bc 1ca 22 2 acbcab abc bca 2 ca cabcababbcba ca a22 bc c ab babc3
  37. Đến đây thì hay rồi, chỉ cần chọn b là số lớn nhất trong ba số a, b, c là bài toán coi như xong. Nói thật nếu khi ghép theo cách khác và được kết quả khác thì ta có thể sắp thứ tự các biến theo kiểu khác cũng không sao cả. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 111 bc ca ab abcabcbcacab222 1ab 1bc 1ca 0 22 2 acbcab abc bca 11 bcba ca22 0 3 ac22 ab ca bc babc 2 c a c a bc ab ab b c b a 0 ca a22 bc c ab babc3 Không mất tính tổng quát ta giả sử b là số lớn nhất trong ba số a, b, c khi đó ta được bcba bc ab ca 0; 0 babc3 Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 48. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: abcabc222 bc22 ac 22 ab 2 2bc ca ab Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức cồng kềnh và phức tạp, ở đây ta cũng có dấu bằng xẩy ra tại abc nên khi biến đổi tương đương ta thường nghĩ đến các đại lượng 222 ab;bc;ca . Ta để ý đến việc xét các hiệu aabbcc22 2 ;; bc22 bc ac 22 ca ab 2 2 ab Kết quả thu được là aa2 ab a b ac c a bc22 bc bcbc22 bcbc 22 bb2 bc b c ab a b ac22 ca caca22 caca 22 cc2 ca c a bc b c ab22 ab abababab22 22 Khi đó có 6 phân thức rất phức tạp. Đến đây ta chọn các biểu thức cùng tử để ghép cặp vì ghép các phân thức cùng mẫu lại không cho ta kết quả tốt. Chẳng hạn abab abab bcbc22 caca 2 2 Với các biểu thức như trên ta có thể biến đổi tiếp hoặc tìm cách sắp thứ tự biến. Lời giải Xét hiệu hai vế ta được bất đẳng thức
  38. aabbcc222 0 bc22 bc ac 22 ca ab 2 2 ab aa22 bb c 2 c Đặt A;B;C bc22 bc ac 22 ca ab 2 2 ab Ta có 222 aa2 abc ab c ab a b ac c a A bc22 bc b22 c bc b 22 c bc b 22 c bc Chứng minh tương tự ta được bc b c ab a b ca c a bc b c B;C caca22 caca 22 abab 22 abab 22 Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab a b ac c a bc b c ab a b bcbc22 bcbc 22 caca 2 2 caca 2 2 ca c a bc b c 0 a22 b ab a 22 b ab Đến đây ta có hai hướng chứng minh bất đẳng thức trên + Hướng 1: Xét các hiệu sau 2 ab a b ab a b ab a b a222 b c ab bc ca 0 b22 c bc c 2 a 2 ca b 22 c bcc 2 a 2 ca 2 bc b c bc b c bc b c a222 b c ab bc ca 0 caca22 abab 22 cacaabab 22 22 2 caca acca ca c a a222 b c ab bc ca 0 abab22 bcbc 22 ababbcbc 22 22 Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . + Hướng 2: Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử abc0 . Khi đó ta có abab abab ab ab ab 0 b22 c bc c 2 a 2 ca b 22 c bc c 2 a 2 ca bc b c bc b c bc bc bc 0 caca22 abab 22 caca 22 abab 22 ca c a ac c a ca ca ac 0 a22 b ab b 22 c bc b 22 c bc a 22 b ab Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc .
  39. Một số bài toán khác Ví dụ 49. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abcabbcca222 22 22 22 bca 2 2 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với abc222 abbccaabc 222222 2a b 2b c 2c a bca 2222 222 ab bc ca ab22 abbc 22 bcca 22 ca bcc 222222 222 2 ab bc ca ab bcc22a 22 b 2a b 22 bc ca 22b 22 c 2b c 22c 2 a 2 2c a 222 Aa b Bb c Cc a 0 Với 11 A b 22a 22 b 2a b 11 B c 22b 22 c 2b c 11 C c 22c 22 a 2c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A, B, C 0 . Thật vậy 22 11 22a b 2ab A0 b 22a 22 b 2a b 22a 22 b 2a b Hoàn toàn tương tự ta có B, C 0 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 50. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abc222 ababbcbccaca22 22 22 bca Lời giải Nhận thấy 2 2 a2 ab ab 3a b 2a b và aabb22 bb 2 4a22 abb 2a2b Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức tương đương với
  40. 222 2 ab bc ca 3ab bcc4a22 b 2ab2a b 22 3b c 3c a 4b22 c bc2b c 4c 22 a ca2c a 222 Aa b Bb c Cc a 0 Với 13 A b 4a22 b ab2a b 13 B c 4b22 c bc2b c 13 C c 4c22 a ca2c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A, B, C 0 . Thật vậy 13 4abab2ab22 A0 b 4a22 b ab2a b 4a 22 b ab2a b Hoàn toàn tương tự ta có B, C 0 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Nhận xét: Hai bất đẳng thức trên ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể chứng minh bằng nhiều cách khác nhau. Lời giải các cách khác được trình bày trong chủ đề “Tuyển chọn các bất đẳng thức hay và khó”. Ví dụ 51. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abc222 abc 222 bc ca ab ab bc ca Lời giải ab22 bc 2222 ca Ta có abbcca 0 ab bc ca abcbca222222 Do đó ab bc ca ab bc ca 2a222222222 2b 2c a b b c c a Khi đó ta cần chứng minh bc ca ab ab bc ca Bất đẳng thức trên tương đương với 2a222 b c 2b 222 c a 2c 222 a b 0 bc ca ab 222 ab ab bc bc ca ca 0 acbc abac abbc Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 52. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab22 bc 22 ca 22 5 a222222 2ab b b 2bc c c 2ca a 2 Lời giải
  41. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2222 ab ab bc bc ca ca 5 222 ab bc ca 222 ab bc ca 2 222 ab bc ca ab bc ca Đặt x;y;z , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab bc ca xyz2222 Ta có abbc bccacaab xy yz zx    abbcbcca caab abbcca bccaab caabbc abbcca abbcca 1 abbcca 2 Mà xyz 0, do vậy x222 y z 2 xy yz zx 2. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi abc . Ví dụ 53. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 222 abbc22 2222 ca 3a b c ab bc ca abc Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 222 abbc22 2222 ca 3a b c ab bc ca abc ca 22 b ab 22 c bc 22 a 2a222 b c 3a222 b c ab bc ca 222 ca b 2ababc 2bcbca 2ca abc222 ab bc ca 222 111 2abbcca a b c abc abbc ca 111 9 Theo bất đẳng thức dạng ta được xyzxyz 222 111 222 9abc abc2abc abc ab bc ca abc 9abc Ta cần chỉ ra được abc222 2abbcca , bất đẳng thức này tương đương với abc abc3abcabcbcacab333 . Không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có
  42. 2 ab abc cacbc 0 abc3abcabcbcacab333 Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi abc . Ví dụ 54. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 5b33 a 5c 33 b 5a 33 c abc ab 3b232 bc 3c ca 3a Lời giải 5b33 a Cách 1: Ta sẽ chứng minh 2b a với a, b là các số thực dương. ab 3b2 Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 5b33 a 2b a ab 3b 2 5b 33 a 2ab 2 6b 32 a b 3ab 2 2 ababababab0332 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. 5c33 b 5a 33 c Chứng minh tương tự ta được 2c b; 2a c bc 3c32 ca 3a 5b33 a 5c 33 b 5a 33 c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được abc ab 3b232 bc 3c ca 3a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Cách 2: Ta có a5b2bab3bab2ab33 2332 aabbab2ababab32 32 22 2 2a22222 b 2ab 2ab a b ab a ab 3b 2 a5b33 5b33 a Do đó ta có 2b a hay ta được 2b a ab 3b2 ab 3b2 5c33 b 5a 33 c Áp dụng tương tự ta được 2c b; 2a c bc 3c32 ca 3a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 5b33 a 5c 33 b 5a 33 c abc ab 3b232 bc 3c ca 3a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Nhận xét: Trong hai cách chứng minh trên, mục đích chung đều là đi chứng minh bất đẳng thức 5ba33 2ba, nhưng vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra được đại lượng 2ba . Câu trả lời sẽ ab 3 b2 được trình bày trong phụ lục “Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức”. Ví dụ 55. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0a,b,c2 và abc3 . Chứng minh rằng: abc9333 Lời giải Cách 1: Đặt Aa 333 b c và kết hợp với giả thiết của bài toán ta được
  43. 3 Aa 333 b c abc 3abbcca 27 3 3 c 3 a 3 b 27 9 ab bc ca 3abc Mặt khác, do 0a,b,c2 nên 2a2b2c 0 hay 8 4 a b c 2 ab bc ca abc 0 2abbcca abc 4a b c 8 4 2abbcca abc4 Khi đó ta được 2A 54 9.2 ab bc ca 6abc 54 9. abc 4 3abc 18 6abc 18 Suy ra A9 , do đó ta được bất đẳng thức abc9333 . abc 0 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2abbc ca 4 abc3 Giải hệ trên ta được a2;b1;c0 và các hoán vị của nó. Cách 2: Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất. Khi đó ta được 3abc3a , suy ra 1a2 . Do đó ta được a1a2 0 Ta có 33 Aa 333333 b c a b c 3bcbc a 3 bc a 3 3a 9 a1a2 9 Hay ta được bất đẳng thức abc9333 . Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2;b1;c0 và các hoán vị của nó.
  44. Chủ đề 2 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Một số tính chất của tỉ số 11 + Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có ab ab + Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: a aac - Nếu 1 thì b bbc a aac - Nếu 1 thì b bbc ac aacc - Nếu thì bd bbdd 2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức + aa;a0 + ab bab ab + ab0 ab + ab a b. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + ab ab. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + abab . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab0 hoặc ab0 . + Cho các số thực a12 ,a , ,a n, thế thì hiển nhiên ta có a12 a a n a 1 a 2 a n + Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có ab 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . ba 3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức. Cho tam thức bậc hai f(x) ax2 bx c với a0 . Khi đó ta viết được 2 b f(x) ax2 bx c a ax với b2 4ac 2 2a 4a Từ đó ta có một số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi b2 4ac 0 Tính chất 2: Nếu b2 4ac 0 thì af(x) 0 . Tính chất 3: Nếu b2 4ac 0 và đa thức có hai nghiệm x;x x x thì 12 1 2 + af(x) 0 với mọi giá trị xxx12 .
  45. + af(x)>0 với mọi giá trị xx 1 hoặc xx 2 . B. Một số ví dụ minh họa. 1. Sử dụng tính chất của tỉ số. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab 1 2a b a 2b ab Phân tích: Để ý ta thấy 1, như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần đánh giá được abab aabb ; . 2a b a b 2b a a b Lời giải Do a, b là các số dương nên ta có 2abab;a2bab aabb Từ đó suy ra ; 2a b a b 2b a a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ababab 1 2ab2ba abab ab Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abc 12 abbc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra. Để ý một chút ta có abc aa 1 , như vậy cần đánh giá được . Dễ nhận thấy abcabcabc abc ab đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. a ac Để chứng minh được bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được , việc này ab abc hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số. Lời giải a Do a, b, c là các số dương nên ta có 1. Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta được ab aaac abc ab abc Áp dụng tương tự ta có bbab cc bc , abc bc abc abc ca abc Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được abc 12 abbc ca Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
  46. abcd 12 abc bcd cda dab Lời giải Theo tính chất của tỉ số ta có aaad 1 abc abc abcd aa Mặt khác ta lại có abc abcd Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được aaad abcd abc abcd Tương tự ta có bbba abcd bcd abcd ccbc abcd cda abcd dddc abcd dab abcd Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được. abcd 12 abc bcd cda dab Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức ta cần tinh ý sử dụng các tính chất của tỉ số. Ngoài ra các bất đẳng thức trong ở hai ví dụ trên có thể được phát biểu lại như sau: Cho các biểu thức với a, b, c là các số thực dương. abc A ab bc ca abcd B abc bcd cda dab Chứng minh A, B không thể nhận các giá trị nguyên. ac Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: bd aabcdc bdbd22 ac abcd Phân tích: Để ý ta nhận thấy , đến đây ta áp dụng tính chất của tỉ số để chứng minh bd bd22 bất đẳng thức. Lời giải ac ab cd Từ suy ra , theo tính chất tỉ số ta được bd bd22 ab ab cd cd c bbdd2222 d aabcdc Do đó ta có bdbd22 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
  47. abc 1 bc ca ab Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên để đánh giá được bất đẳng thức theo Cauchy không hề đơn giản tí nào với những ai mới học bất đẳng thức. a Chú ý đến giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ như thế nào với , bc a do bca nên ta thấy được 01 , với kết quả đó ta có thể khử căn bằng đánh giá bc aa . Đến đây thì bài toán đươc giải quyết triệt để tương tự như ví dụ thứ nhất. bc bc Lời giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có aaa 01 bc bc bc aa Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được bc abc aa Do đó ta có bc abc bb c c Chứng minh tương tự ta được ; ca abc ab abc abc Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 1 bc ca ab Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 1a b ab a b 2a1 b1 ab1 a1 b1 a aaaab Phân tích: Để ý ta thấy 1 nên có và , áp dụng tương tự ta a1 ab1a1 a1 ab1 chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải 1a b ab + Trước hết ta chứng minh 2a 1 b 1 a b 1 a aab Do a là số thực dương nên ta có 1 suy ra a1 a1 ab1 bab Chứng minh tương tự ta có b1 ab1 Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cuối ta được 1a b ab 2a 1 b 1 a b 1 ab a b + Ta chứng minh ab1a1b1 aa bb Do a, b dương ta có và a1 ab1 b1 ab1
  48. ab a b Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được ab1a1b1 Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được bài toán cần chứng minh. Ví dụ 7. Cho a12 ; a ; ; a n12 ; b ; b ; ; b n là các số thực dương. Kí hiệu aa a aa a M Max 12 ; ; ; n ; m Min 12 ; ; ; n bb b bb b 12 n 12 n a a a Chứng minh rằng: mM 12 n bb b12 n aa a aa a a Phân tích: Nhận thấy M Max 12 ; ; ; n ; m Min 12 ; ; ; n nên ta có mM i bb b bb b b 12 n 12 n i với mọi i1,2,,n . Do đó ta được mbii a Mb i, đến đây ta áp dụng cho i1,2,,n  thì ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Lời giải aa a aa a Vì M Max 12 ; ; ; n ; m Min 12 ; ; ; n nên ta được bb b bb b 12 n 12 n a mM i với mọi i1,2,,n . bi Suy ra mbii a Mb i với mọi i1,2,,n . Lần lượt cho i bằng các giá trị 1, 2, , n rồi cộng các theo vế lại với nhau ta được b12 b b n m a 12 a a n M b 12 b b n a a a Hay mM 12 n . Vậy bài toán được chứng minh. b12 b b n Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 1111 ababcbcabccaabc33 33 33 abc Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại abc . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượng nhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu được vẫn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải. Điều đó có nghĩa là cần tìm vế phải cho bất đẳng thức ababc?33 , để ý trong vế trái của bất đẳng thức ta không đánh giá được gì từ tích abc, cho nên ta tập trung đánh giá ab33 . Trong vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc ở mẫu nên khi đánh giá mẫu vế trái ta cũng cần làm xuất hiện tích abc ở các phân thức, như vậy khi đánh giá ab33 cần làm xuất hiện tích ab, điều này gợi ý cho ta đánh giá rất đẹp ababab33 . Nếu chứng minh được bất đẳng thức đó thì ta thu được kết quả là ababab33 khi đó ta suy ra được đánh giá ababc33 ababc . Đến đây ta có các đánh giá tiếp theo 11 c ababc33 ababc abcabc
  49. Như vậy ta cần tập trung chứng minh ababab33 , bất đẳng thức này được biến đổi tương 2 đương thành abab 0 là một đánh giá đúng. Lời giải Ta có a33 b abab aba 2 abb 2 abab a b a22 ab b ab a b a 2 2ab b 2 2 abab 0 Suy ra ababab33 a 33 b abc ab a b abc ababc33 ababc 11 c Từ đó ta được ababc33 ababc abcabc Chứng minh tương tự ta có 11 a bcabc33 bc a b c abc a b c 11 b caabc33 acabc abcabc Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được 1111 ababcbcabccaabc33 33 33 abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hay. Để chứng minh được nó ta cần chứng minh ababab33 . Nhưng vấn đề là làm sao tìm ra được bất đẳng thức phụ đó. Đầu tiên là do yêu cầu làm xuất hiện tích ab, kế đến là cần phải làm cho hai vế đồng bậc 3 và cuối cùng là chú ý khi ab thì hai vế của bất đẳng thức đó bằng nhau. Khi phân tích bài toán ta cần chú ý đến các yếu tố như đẳng thức xẩy ra ở đâu, tính đồng bậc của bất đẳng thức, chọn chiều đánh giá như thế nào cho hợp lí, Tuy nhiên khi tiến hành các bước phân tích mà giả thiết càng gần với kết luận thì cơ hội càng lớn. Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1111 a2b3b2c3c2a322 22 22 2 Phân tích: Ý tưởng tương tự như ví dụ trên, ở đây ta chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra khi abc1 , như vậy ta cần có các đánh giá sao cho đảm bảo có đẳng thức xẩy ra. Nhận thấy ab2ab;b12b22 2 nên a2b32abb122 . 111 Khi đó ta có đánh giá  . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức a2b322 2abb 1 1111111 22 22 22 a2b3b2c3c2a3 2abb 1 bcc 1 aca 1 111 Vấn đề còn lại là chứng minh được 1. Đây là một đẳng ab b 1 bc c 1 ca a 1 thức quen thuộc và nhiều hướng để xử lí nó. Lời giải
  50. Ta có ab2ab;b12ba2b32abb122 2 2 2 111 Do đó ta được  a2b322 2abb 1 Chứng minh tương tự ta có 111 111 ;  b2c322 2bcc 1 c2a3 2 2 2aca 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1111111 22 22 22 a2b3b2c3c2a3 2abb 1 bcc 1 aca 1 111 Ta cần chứng minh 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau xyz Cách 1: Do abc 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để a;b;c yzx Khi đó ta có 111111 ab b 1 bc c 1 ca a 1 x y y z x z 111 zz xx yy zxy 1 xyz xyz xyz Cách 2: Do abc 1, nên ta được 111 abca 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b abc abc ac a ca a 1 ac a 1 1 a1ac1aca caa1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 . Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 222 1 222 a1 b222 1 b1 c 1 a1 b 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 a 1 b222 1 a b 2a 2 2ab 2a 2 Áp dụng tương tự ta được 222 222 222 a1 b 1 b1 c 1 a1 b 1 111 ab a 1 bc b 1 ca c 1 111 Ta cần chứng minh 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau xyz Cách 1: Do abc 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để a;b;c yzx Khi đó ta có
  51. 111111 ab a 1 bc b 1 ca c 1 x x y y z z 111 zy xz yx yz xz yy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Cách 2: Do abc 1, nên ta được 111abc1 b ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a abc bc b 1 cab bc b bc 1 b 1 bc b 1 bc b 1 1 bc b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 . Nhận xét: Các bất đẳng thức trong ví dụ 8, 9 và 10 cho thấy kỹ thuật đánh giá ở mẫu được sử dụng như thế nào trong chứng minh bất đẳng thức, thực chất của việc đánh giá này là thay thế các mẫu bởi các đại lượng khác sao cho các đánh giá cùng chiều và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Điều quan trọng là biết cách chọn các đánh giá phù hợp sao cho càng chặt càng tốt. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 ababbcbccaca Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại abc1 . Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét là tử của các phân thức là các đại lượng ab, bc, ca. Chú ý đến giả thiết abc 1 ta có thể viết lại phân ab 1 ab 1 thức bên vế trái theo các ý tưởng như hoặc là . a b ab ac bc 1 abab1 1 1 ab Đến đây ta viết được vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành các biểu thức 111 111 hoặc và để đơn giản ta có ac bc 1 ab bc 1 bc ca 1 11 11 11 111 ab bc ca 111 thể đặt xab;ybc;zca333 hoặc x;y;z333 và chú ý đến giả thiết abc 1 dẫn đến abc được xyz 1 , lúc này ta được bất đẳng thức như ví dụ 9. Lời giải Để ý với điều kiện abc 1, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 111 1 11 11 11 111 ab bc ca 111 Đặt x;y;z333 , khi đó ta được xyz 1 . abc Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 111 1 xy1yz1zx133 33 33 Ta chứng minh được x33 y 1 xy x y xyz xy x y z và áp dụng tương tự ta được 1111111 1 33 33 33 xy1yz1zx1 xyzxyyzzx
  52. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại abc1 . Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức khó, khi tôi phân tích để tìm lời giải thì các câu hỏi được đặt ra như biến đổi các biểu thức như thế nào để bài toán đơn giản hơn, sử dụng giả thiết như thế nào đây, thay vì đánh giá cả tử và mẫu ta có quy vế đánh giá mẫu được không. Sau các bước biến đổi như trên thì bài toán nhìn có vẻ dễ hơn đôi chút và nếu tận dụng tốt các lợi thế này thì công việc còn lại sẽ không gây được khó khăn nữa. Ví dụ 12. Cho các số thực a; b; c [0; 1]. Chứng minh rằng: abc 1 ac b 1 ab c 1 bc a 1 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại abc1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể trực tiếp đánh giá tử của các phân thức, do vậy ta tìm cách đánh giá mẫu của mỗi phân thức. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức trên, ta cần một đánh giá kiểu ab c 1 ? . Giả thiết có gợi cho ta điều gì? Nên nhớ là khi a; b; c [0; 1] ta thường thu được các bất đẳng thức dạng 1a1b 0 hay 1abab , đến đây ta cộng vào hai vế với c thì được ab c 1 a b c . Lúc này ta có đánh giá aa tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức là . Chỉ cần áp dụng tương tự cho các ab c 1 a b c trường hợp còn lại là ta hoàn thành chứng minh bài toán. Lời giải Vì a; b [0; 1] nên ta có 1a1b 0 suy ta 1abab aa Do đó ta được ab c 1 a b c suy ra . ab c 1 a b c Chứng minh tương tự ta được bbcc ; ab c 1 a b c bc a 1 a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được abc 1 ac b 1 ab c 1 bc a 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 . Ví dụ 13. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn abc1 . Chứng minh rằng: 1a 222 1b 1c 7 1b 22 1c 1a 22 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy ra tại abc mà xẩy ra tại a1;bc0 và các hoán vị. Trong trường hợp này để dễ có những đánh giá hợp lí ta có thể sắp thứ tự các biến. Vì đẳng thức xẩy ra tại a1;bc0 nên không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự các biến bằng cách chọn a là số lớn nhất. Khi đó ta mạnh dạn có các đánh giá kiểu như 1b 22 1;1c1 mà 1a 22 1b vẫn bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, các đánh giá này dẫn tới 1a;22 1b. Còn 1b 22 1c 1c 2 lại cần phải đánh giá như thế nào để cùng chiều với hai đánh giá trước đó. Để ý là sau khi đánh giá 1a 2 1c 2 hai phân thức đầu ta thu được ab22 như vậy ta cần làm xuất hiện c2 trong đánh giá . Để ý đến a 1a 2
  53. 1c 2 1 là số lớn nhất nên ta có c2 . Kết quả là sau một số bước đánh giá như trên ta thu được 1a 22 1a 1 đại lượng 2a 222 b c , bây giờ nếu biến đổi được thành biểu thức chỉ chứa biến a thì càng 1a 2 dễ chứng minh hơn. Từ giả thiết abc1 và chú ý đến bc0 ta có một đánh giá rất tự nhiên là 22 bc22 bc 1a . Bây giờ việc chứng minh bất đẳng thức hoàn toàn đơn giản. Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có 1b 22 1;1c1 . 1a 222 1b 1c 1 Do đó 1a;222 1b; c 1b 2222 1c 1a 1a Từ đó ta được bất đẳng thức 1a 222 1b 1c 1 2a222 b c 22 2 2 1b 1c 1a 1a 2211 2a22 bc 2a 1a 1a 22 1a Ta cần chứng minh 2 17 2a 23 1a a14a3a1 0 1a 2 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;bc0 và các hoán vị. Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm ra cách chứng minh bất đẳng thức trên chính là các đánh giá 1111 abc222 1;abc222 1; , việc phát hiện ra các đánh giá đó đòi hỏi phải có 1111 bcaa2222 sự suy luận một cách lôgic. abc Ví dụ 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 3 . 1bc1ca1ab abc3 Chứng minh rằng: 1abc1bca1cab4 Lời giải abc Đặt x;y;z , suy ra ta có xyz3 1bc 1ca 1ab Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xyz3 1x 1y 1z 4 xxyyzz Mà ta có ;; 1x 1xyz1y1xyz1z 1xyz Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được xyz3 1x 1y 1z 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a3;bc0 và các hoán vị. 2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối. Ví dụ 15. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
  54. abcbca 1 bcacac abcbcaacbacbabcabc222222 Phân tích: Để ý ta có , phân tích thành nhân bcacac abc tử ac222222 ba cb ab ca bc a b b c c a , mà a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ab c;bc a;ca b. Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Ta có a b c b c a ac222222 ba cb ab ca bc bcacac abc abbcca abc Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có ab c;bc a;ca b Do đó ta suy ra abbcca abc abbcca Hay 1 abc abcbca Suy ra 1 bcacac Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc3 . Chứng minh rằng: aabb222222 bbcc ccaa3 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại abc1 . Quan sát kĩ bất đẳng thức ta có 2 nhận định là cần phải có một đánh giá kiểu aabbkab22 để khi khử căn ta thu được ab . Vấn đề là cần xác định giá trị của k để đánh giá trên là đúng, nhớ là đẳng thức xảy ra tại abc nên ta 1 1 2 xác định được k , tức là ta có aabb22 ab . Một điều nữa cần chú ý là các biến a, b, c là 4 4 các số thực bất kì nên khi khử căn ta cần lấy giá trị tuyệt đối và để ý đến ab ab. Lời giải 2 ab Trước hết ta chứng minh aabb22 . 4 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 4ababab2ab3a2abb 22 22 2 2 0 3ab 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức trên được chứng minh. Từ bất đẳng thức trên ta có
  55. 2 ab ab ab aabb22 422 Chứng minh tương tự ta được bc ca bbcc22 ;ccaa 22 22 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2a b c aabb222222 bbcc ccaa 3 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc1 Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: abcabcabbcca Phân tích: Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta luôn có abab , bây giờ ta tìm cách chứng minh c abc bc ca. Để là mất các giá trị tuyệt đối ta thường sử dùng cách xét dấu các số hoặc là bình phương hai vế, trong trường hợp này ta chọn cách bình phương hai vế vì việc xét dấu rất khó khăn. Khi bình phương hai vế ta thu được kết quả là: ab ca b c a c b c ab ca b c abca b c Bất đẳng thức sẽ được giải quyết nếu như ta khẳng định được ab 0 . Chú ý đến vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức thì việc giả sử ab 0 là hoàn toàn thực hiện được. Bây giờ ta cần trình bày lại lời giải nữa là xong. Lời giải Trong ba số a, b, c có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a, b. Khi đó ta được abab Như vậy ta chỉ cần chứng minh c abc bc ca Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 c2 abc 2cabc ac bc 2acbc abcabc acbc abcabc abcabc Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a, b, c cùng dấu. Ví dụ 18. Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng: ab1ab 1 2 1a1b 4 22 2 Phân tích: Ta có một đẳng thức quen thuộc là 1a 1b 1abab và như vậy nếu ta 1 2 đánh giá được ab1ab 1abab thì bài toán xem như được giải quyết. Để ý đến 4 1 2 đánh giá theo bất đẳng thức Cauchylaf ab1ab 1abab và ta cần chỉ ra được 4 ab1abab1ab , đánh giá này là hoàn toàn đúng đắn theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
  56. Lời giải Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta được ab ab;1ab1ab Do đó ta được 2 a b 1 ab a b 1 ab ab a b 1 1 22 22 22 1a 1b 1a 1b 41a 1b 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a0;b1 hoặc a1;b0 . Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực đôi một không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: abbcca222222 11 abbcca222222 abbcca222222 Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức là 1, như vậy nếu đánh giá được abbcca222222 ab22 ab 22 thì bài toán được chứng minh. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với abbcca222222 1 abbcca222222 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức ab22 ab 22. Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 22 ab22 ab 22 4ab0 22 , Đúng với mọi a, b. Chứng minh tương tự như trên ta được bc22 bc;ca 2222 ca 2 2 Nhân theo vế các kết quả trên ta được abbcca222222 1 abbcca222222 Vì đẳng thức không xẩy ra nên ta được abbcca222222 1 abbcca222222 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 20. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 3abca3 b b c c a a b c Phân tích: Nhận định đầu tiên khi tìm hiểu bất đẳng thức trên là tìm cách phá giá trị tuyệt đối. Quan sát kĩ ta thấy không thể bình phương cũng không thể xét dấu các đại lượng để phá giá trị tuyệt đối được. Trong trường hợp này ta thử nghĩ đến cách sắp thứ tự các biến để phá giá trị tuyệt đối xem có thể chứng minh được hay không. Chẳng hạn ta chọn abc , khi đó ta phá được các giá trị tuyệt đối và bất đẳng
  57. thức được viết lại thành 3abca3 b 3c0 , nhận thấy ab0;3abc3c0 3 nên bất đẳng thức thu được hoàn toàn đúng. Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử abc . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3abcab3 bc ac abc 3abca333 b 3c0 a b 3c ab 3 c2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì abc . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: ab bc ca 2ab222 c abbcca Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử abc . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành abbcac2ab 222 c abbcca 2a c 2 a222 b c abbcca 2222 4a c 2 a b b c c a 2222 22 ac bc ca ab bc bc ca 2a b b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do abc . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: abc333 3a b b c c a abc 34 Phân tích: Trước hết ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại abc . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải xuất hiện các đại lượng ab;bc;ca nên suy nghĩ đầu tiên khi biến đổi bất đẳng thức là cần phải làm thế nào để xuất hiện ở vế trái các đại lượng ab;bc;ca , chính yêu cầu này làm ta liên tưởng đến một hằng đẳng thức bậc ba hết sức quen thuộc đó là 1 222 abc3abcabcab333 bc ca. Như vậy sau khi áp dụng thì vế trái 2 222 của bất đẳng chứa đại lượng ab bc ca mà bên vế phải lại là tích các đại lượng ab;bc;ca , từ chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến đánh giá 222 2 ab bc ca 33 abbcca . Bây giờ ta cần một đánh giá kiểu 2a b c 33 a b b c c a là hoàn thành chứng minh bất đẳng thức. Chú ý đến dấu giá trị tuyệt đối và các biến không âm ta có được các đánh giá đúng là ab ab;bc bc;ca ca, đến đây thì các yêu cầu để chứng minh bài toán đã được xử lí, việc trình bày lời giải hoàn toàn đơn giản. Lời giải
  58. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 abc ab bc ca 3a b b c c a 64 222 2a b c a b b c c a 9 a b b c c a Theo tính chất của bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có ab ab;bc bc;ca ca Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2a b c a b b c c a a b b c c a 3abbcca3 222 2 Và ab bc ca 33 abbcca Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 222 2a b c a b b c c a 9 a b b c c a Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 23. Cho n số thực x12 ; x ; ;x n (với n3 ). Chứng minh rằng: x x x xx xx x x Max{x ; x ; ; x } 12 n 12 23 nx1 12 n n2n Trong đó Max{x12 ; x ; ; x n } là số lớn nhất trong các số thực x12 ; x ; ;x n Lời giải Để ý là trong hai số thực x, y bất kì ta luôn có xy xy Min{x, y} x, y Max{x, y} và Max{x, y} 2 xy xy Sử dụng đẳng thức Max{x, y} , ta có: 2 x x x x x x x x x 12 n 12 23 n1 n2n xx xx xx xx xx xx 12 12 22 23 n1 n1 2n 2n 2n Max{x , x } Max{x , x} Max{x , x } 12 2 n1 Max{x ; x ; ; x } n 12 n Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x12 x x n. 3. Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai. Ví dụ 24. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a22 a 2b 4b 4ab 0 Chứng minh rằng: 0a2b1
  59. 2 Phân tích: Để ý rằng bất phương trình bậc hai At Bt C 0 t12 t t với A0 , trong đó At2 Bt C t;t12 là các nghiệm của tam thức . Phân tích bất đẳng thức giả thiết ta thu được 2 a2b a2b0 , ta xem vế trái là đa thức biến a2b , khi đó ta có lời giải sau. Lời giải Bât đẳng thức giả thiết tương đương với 2 a22 4ab4ba2b0 a2b a2b0 Đặt t a 2b t2 t 0 0 t 1 0 a 2b 1 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 25. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: a24 b 2 a 2 2 b 2 4ab a 2 4ab 3 Phân tích: Bất đẳng thức có hai biến và biến a có bậc cao nhất là 2, do đó ta biến đổi bất đẳng thức theo hướng xuất hiện một tam thức bậc hai có biến là a như sau 2 b1a4b1ba4b022 2 2 2 Ta xem vế trái của bất đẳng thức là tam thức bậc hai, để ý đến b12 0, ta cần chứng minh được biệt thức của tam thức có giá trị âm. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 b1a4b1ba4b022 2 2 2 Xét đa thức f(a) b22 1 a 4b 1 b 2 a 4b 2 2 2 Khi đó ta có 4b 1 b2222 4 b 1 .4b 16b 0 2 2 Do đó ta có b1f(a)02 mà b12 0 nên ta được 2 f(a) b22 1 a 4b 1 b 2 a 4b 2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 26. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn bcd . Chứng minh rằng: 2 abcd 8acbd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a2 2b3cdabcd 8bd0 2 Xét tam thức f(a)a 2 2b3cdabcd 8bd 22 Khi đó ta có 'b3cd bcd8bdcbcd 8 Do bcd nên ta được '0 suy ra f(a) 0 2 Hay a2 2b3cdabcd 8bd0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
  60. Ví dụ 27. Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: abcde22222 abcde Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh bằng kĩ thuật biến đổi tương đương. Ở đây ta sử dụng tư tưởng của tam thức bậc hai để chứng minh. Để ý ta viết lại được bất đẳng thức như sau f(a) a22222 b c d e ab c d e, đến đây ta cần phải chứng minh được bcde 22222 4bc d e 0. Việc này hoàn toàn thực hiện được nhờ phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng thức Bunhiacpoxki. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a22222 b c d e abcde 0 Xét f(a) a22222 b c d e ab c d e Khi đó ta có bcde 22222 4bc d e Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 4b 22 c d 22 e 1111b 22 c d 22 e 2 bcce Suy ra bcde 22222 4bc d e 0 Do đó ta được f(a) a22222 b c d e ab c d e 0 Hay bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 28. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 1 a,b,c 2 và abc0 . Chứng minh rằng: abc222 6 Phân tích: Từ giả thiết 1a2 , ta có thể thiết lập được bất đẳng thức bậc hai dạng a2a1 0, áp dụng tương tự và chú ý đến giả thiết abc0 . Giải Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai ta có 1a2 a2a1 0 1b2 b2b1 0 1c2 c2c1 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được aa2bb2cc2222 0 a 222 b c a b c 6 Vì abc0 nên abc222 6. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki. a) Cho các số thực bất kỳ a,a,a,b,b,b123123 khác 0. Chứng minh rằng: 2 ababab aaabbb222222 11 22 33 1 2 3 1 2 3
  61. aaa Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 123 bbb123 b) Cho các số thực bất kỳ a12 , a , , a n12 , b , b , , b n khác 0. Chứng minh rằng: 2 a b a b a b a22 a a 222 b b b 2 11 22 n n 1 2 n 1 2 n aa a Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 n bb12 b n Lời giải a) Xét đa thức f(x) a2222 a a x 2 a b a b a b b 222 b b 123 112233123 a22 x 2a b x b 2 a 22 x 2a b x b 2 a 22 x 2a b x b 2 111122223333 222 ax11 b ax 22 b ax 33 b 0 Vì f(x)  0, x R nên ta có 2 'abababaaabbb 222222 0 112233123123 2 Hay ababab aaabbb222222 11 22 33 1 2 3 1 2 3 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi aaa123 ax112233 b ax b ax b bbb123 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Xét da thức f(x) a22 a a 22 x 2 a b a b a b b 22 b b 2 12 n 1122 nn12 n a22 x 2a b x b 2 a 22 x 2a b x b 2 a 22 x 2a b x b 2 11112222 nnnn 22 2 a11 x b a 22 x b a n x b n 0 Vì f(x)  0, x R nên ta có 2 ' a b a b a b a22 a a 222 b b b 2 0 11 22 nn 1 2 n 1 2 n 2 Hay a b a b a b a22 a a 222 b b b 2 11 22 n n 1 2 n 1 2 n Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi aa12 a n a1122 x b a x b a n x b n bb12 b n Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 30. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn adbc . Chứng minh rằng: Nếu tồn tại số thực m sao cho 2m ad bc thì với mọi xR ta luôn có: xaxbxcxd m2 0 Phân tích: Quan sát biểu thức bên vế trái ta nhận thấy ngay đây là đa thức bậc 4, với phép đặt biến phụ y x22 a d x x b c x , khi đó vế trái trở thành đa thức bậc hai, bây giờ ta cần chứng minh được
  62. biệt thức âm, cần chú ý đến giả thiết 2m ad bc vì chắc chắn phải cần đến nó mới có thể chứng minh được. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với xadxadxbcxbcm022 2 Do adbc nên ta đặt y x22 a d x x b c x , khi đó ta được bất đẳng thức yadybcm0y 22 adbcyabcdm0 2 Xét f(y) y22 ad bc y abcd m 22 Ta có ad bc 4.1. abcd m22 ad bc 4m y 2 2 Vì 2m ad bc nên 4m ad bc y 0 do đó ta có f(y) 0 Hay xaxbxcxd m2 0 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 31. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc1 . Chứng minh rằng: 2 3a 4b 5c 44 ab bc ca Phân tích: Bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến, nên ta nghĩ đến việc đưa về tam thức bậc hai. Bất đẳng thức có ba biến nhưng có thêm điều kiện abc1 cho nên ta có thể chuyển bất đẳng thức thành bất đẳng thức chỉ có hai biến. Đến đây ta chọn một biến làm biến chính, còn lại ta xem như là tham số và sử dụng tính chất tam thức bậc hai là một ý tưởng không tồi chút nào. Lời giải Từ giả thiết abc1 suy ra c1ab , thay vào bất đẳng thức ta được 2 3a 4b 5 5a 5b 44ab 44 a b 1 a b 48a22 16 3b 4 a 45b 54b 25 0 Xét f(a) 48a22 16 3b 4 a 45b 54b 25 , khi đó ta được 22 ' 64 3b 4 48 45b2 54b 25 176 3b 1 0 Do đó suy ra f(a) 0 hay 48a22 16 3b 4 a 45b 54b 25 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 111 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a;b;c . 236 Ví dụ 32. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 31 a a22 1 b b 21 ab ab 22 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, bất đẳng thức có tính đối xứng với hai biến a, b và là có bậc hai đối với mỗi biến do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh. Trước hết ta viết lại bất đẳng thức b3b3a3b5b3a3b3b102222 Xem vế trái là một tam thức bậc hai biến a khi đó, để ý đến b3b302 ta cần chứng minh được biệt thức 0 .