Các phương pháp chứng minh Hình học Lớp 9 - Nguyễn Tiến

Nội dung text: Các phương pháp chứng minh Hình học Lớp 9 - Nguyễn Tiến

1. CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG TÀI LIỆU (O) : Đường tròn tâm O (O; R) : Đường tròn tâm O, bán kính R ABC : Tam giác ABC SABC : Diện tích ABC a, b, c : Độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của ABC ha, hb, hc : Độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC ma, mb, mc : Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC R, r : Bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đpcm : Điều phải chứng minh a++ b c 2p : Chu vi của tam giác (p = là nửa chu vi) 2 Các phương pháp chứng minh hình học. 1
2. CHỦ ĐỀ 1 KIẾN THỨC VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC 1. Tam giác cân: Các phương pháp chứng minh tam giác cân: - Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân. - Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân. - Tam giác có một đường cao vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác của một góc và ngược lại thì tam giác đó là tam giác cân. 2. Tam giác đều: Các phương pháp chứng minh tam giác đều: - Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều. - Tam giác có ba góc bằng nhau và bằng 600 là tam giác đều. - Tam giác cân có số đo góc ở đỉnh cân bằng 600 là tam giác đều. - Tam giác có các đường cao vừa là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực và ngược lại là tam giác đều. 3. Tam giác vuông: Các phương pháp chứng minh tam giác vuông: - Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông. - Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc là tam giác vuông. - Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông. - Nếu một tam giác thỏa mãn bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. - Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông. 4. Tam giác vuông cân: Các phương pháp chứng minh tam giác vuông cân: - Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân. - Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 450 là tam giác vuông cân. - Tam giác cân có số đo một góc ở đáy bằng 450 là tam giác vuông cân. 5. Hình thang, hình thang cân, hình thang vuông: Diện tích hình thang: 1 SABCD =+( AB CD) .AH 2 Tính chất: Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. A B M N D C Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. Các phương pháp chứng minh hình học. 2
3. Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 1 MN( AB+ CD) 2 Phương pháp chứng minh hình thang: Phương pháp 1: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Phương pháp chứng minh hình thang vuông: Phương pháp 1: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Phương pháp chứng minh hình thang cân: Phương pháp 1: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Phương pháp 2: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Phương pháp 3: Hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau. 6. Hình bình hành: Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. A B O D H C Diện tích hình bình hành: SABCD == AH.CD AH.AB Các phương pháp chứng minh hình bình hành: - Tứ giác có các cạnh đối song song. - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau. - Tứ giác có các cạnh đối song song và bằng nhau. - Tứ giác có các góc đối bằng nhau. - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 7. Hình chữ nhật: Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. A B D C Chu vi hình chữ nhật: CABCD = 2( AB + BC) = 2( AD + DC) Diện tích hình chữ nhật: SABCD = AB.CD Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật: - Tứ giác có ba góc vuông. - Hình thang cân có một góc vuông. - Hình bình hành có một góc vuông. - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. Các phương pháp chứng minh hình học. 3
4. 8. Hình thoi: A B D O C Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Chu vi hình thoi: CABCD = 4AB = 4BC = 4CD = 4DA Diện tích hình thoi: 1 S= AC.BD = BO.AC = OD.AC ABCD 2 Các phương pháp chứng minh hình thoi: - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc. 9. Hình vuông: A B D C Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. Chu vi hình vuông: CABCD = 4AB = 4BC = 4CD = 4AD Diện tích hình vuông: 2 2 2 2 SABCD = AB = BC = CD = AD Phương pháp chứng minh hình vuông: - Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. - Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau. - Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc. - Hình thoi có một góc vuông. - Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. Các phương pháp chứng minh hình học. 4
5. CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SONG SONG Các phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba. Phương pháp 2: Dựng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bằng nhau, Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo của định lý Talét. Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Phương pháp 4: Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác. Phương pháp 5: Áp dụng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng bằng nhau của đường tròn. CHỦ ĐỀ 3 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác. Phương pháp 2: Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Phương pháp 3: Dựng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. Phương pháp 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây. Phương pháp 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau. bSử dụng góc nối tiếp nửa đường tròn. Phương pháp 7: Sử dụng tính chất đường trung trực. Phương pháp 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn. CHỦ ĐỀ 4 CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng độ dài (theo cùng đơn vị đo chiều dài). Phương pháp 2: Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba thì bằng nhau. Phương pháp 3: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau là các cạnh của các tam giác, tứ giác đặc biệt (hình đặc biệt), tam giác bằng nhau. Phương pháp 4: Chứng minh tỉ số độ dài của các cặp cạnh cần chứng minh luôn đạt giá trị bằng 1. Phương pháp 5: Sử dụng định nghĩa, tính chất của: Trung điểm, trung trực của đoạn thẳng. Đường trung tuyến, đường trung bình, đường trung trực, trong tam giác. Đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, 2 điểm, 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm, 1 trục. Phương pháp 6: Chứng minh hai tam giác cùng diện tích với các đường cao, cạnh đáy tương ứng. Phương pháp 7: Sử dụng tính chất của dây cung và tiếp tuyến với đường tròn. Các phương pháp chứng minh hình học. 5
6. CHỦ ĐỀ 5 CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Hai góc có cùng một số đo thì bằng nhau. Phương pháp 2: Hai góc của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của cùng một đáy trong hình thang cân, hai góc đối của hình bình hành, thì bằng nhau. Phương pháp 3: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3. Phương pháp 4: Tia phân giác chia một góc thành hai phần bằng nhau. Phương pháp 5: Các góc so le trong, đồng vị, đối đỉnh, Phương pháp 6: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một đường tròn thì bằng nhau. Phương pháp 7: Tứ giác nội tiếp có góc ngoài bằng góc đối trong. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến, đối xứng, quay CHỦ ĐỀ 6 CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác Trường hợp1: Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh). A A' B C B' C' AB= A' B'  AC= A' C' ABC = A' B' C' (cạnh-cạnh-cạnh) BC= B' C'  Trường hợp 2: Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và cặp góc xen giữa các cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-góc-cạnh). A A' B C B' C' AC= A' C' C= C' ABC = A'B'C' (cạnh-góc-cạnh) BC= B' C'  Các phương pháp chứng minh hình học. 6
7. Trường hợp 3: Hai tam giác có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc kề với cặp cạnh ấy bằng nhau thì bằng nhau (góc-cạnh-góc). A A' B C B' C' B= B'  BC= B'C' ABC = A'B'C' (góc-cạnh-góc) CC'=  Lưu ý: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông: Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. CHỦ ĐỀ 7 CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ. Xét ABC và A'B'C', ta có: AB AC BC Nếu == và A= A'; B = B'; C = C' thì ABC ∽ A'B'C'. A'B' A'C' B'C' Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. A M N B C (MN // BC) AM AN AM AN Ta có: = ; = AB AC MB NC Các phương pháp chứng minh hình học. 7
8. Phương pháp 3: Chứng minh các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau. Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp thứ nhất (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. AB AC BC ABC A' B' C' = = ∽ A' B' A' C' B' C' Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp thứ 3 (góc-góc): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. A= A' ABC ∽ A’B’C’ . B= B' Phương pháp 6: Sử dụng chứng minh cho tam giác vuông: Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. CHỦ ĐỀ 8 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC A (2) AB.AC = AH.BC (3) AH2 = BH.HC 1 1 1 (4) =+ AH2 AB 2 AC 2 (5) BC2 = AB2 + AC2 B H C CHỦ ĐỀ 9 CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC Kiến thức cơ bản - Dùng định lý Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, Giả sử cần chứng minh: MA.MB = MC.MD MA MD Lập sơ đồ: MA.MB = MC.MD  =  MAD ∽ MCB hoặc MAC ∽ MDB MC MB Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. Các phương pháp chứng minh hình học. 8
9. CHỦ ĐỀ 10 TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN m B Phương pháp chứng minh A - Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cho trước. - Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 (bù nhau). α - Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc bằng nhau. O - Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; * Góc với đường tròn: Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. n s® AmB= AOB Số đo cung lớn bằng hiệu số giữa 3600 và số đo cung nhỏ. 1 s®AmB=− 3600 s® AnB 2 ( ) Số đo của nửa đường tròn bằng 1800. * Góc nội tiếp: A 1 1 AOB= s® AB; AOB== ACBs® AB O 2 2 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 1 * Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: ( sđ AB= ABb ) 2 a B b b * Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn m D A E O B C n 1 BEC=( s®BmC+s® AnD) 2 * Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn B M M B M B D n A A O O O A m C C 1 1 1 CMD= s®CD-s®AB ; BMC = s® BC - s® AB ; AMB = s® AmB - s® AnB 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Các phương pháp chứng minh hình học. 9
10. CHỦ ĐỀ 11 CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác. Phương pháp 2: Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng cũng đi qua điểm đó. Phương pháp 3: Dùng định lý đảo của định lý Talet. CHỦ ĐỀ 12 CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Chứng minh qua một điểm có hai đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng cho trước tại điểm đó. Phương pháp 2: Chứng minh tổng hai góc bằng 180 độ (sử dụng tứ giác nội tiếp, các góc bằng nhau ). Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường cao, phân giác, trung trực, trung tuyến Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt. Phương pháp 5: Sử dụng 2 tia trùng nhau . CHỦ ĐỀ 13 CỰC TRỊ HÌNH HỌC Một số kiến thức liên quan đến cực trị Nguyên lí đường vuông góc ngắn hơn đường xiên: Đoạn vuông góc bao giờ cũng ngắn hơn đường xiên. Định lí cạnh và góc trong tam giác: Trong một tam giác ứng với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại. Chúc các em học sinh thi tuyển sinh THPT đạt kết quả cao ! Các phương pháp chứng minh hình học. 10