Các phương pháp chứng minh hình học trong chương trình THCS

Nội dung text: Các phương pháp chứng minh hình học trong chương trình THCS

1. Thích Nhất Toán- CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác bằng nhau A A';B B';C C' a) Khái niệm: ABC A'B'C' khi AB A'B';BC B'C';AC A'C' b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. 2.Chứng minh hai góc bằng nhau - Sử dụng hai góc có cùng số đo. - Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3; hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với 1 góc. - Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tương ứng bằng nhau. - Sử dụng định nghĩa tia phân giác của 1 góc. - Hai góc đối đỉnh. - Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song (2 góc đồng vị, 2 góc so le ). - 2 góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng vuông góc hoặc song song. - Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc kề đáy của hình thang cân, 2 góc đối hình bình hành, - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, hệ quả góc nội tiếp. - Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đường tròn. - Sử dụng các tỉ số lượng giác sin, cos, tg, cotg của góc nhọn 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau - Hai đoạn thẳng có cùng số đo. - 2 đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ 3. 1 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
2. Thích Nhất Toán- - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một. - Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. - Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành - Trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuông, - Ứng dụng các định nghĩa: Trung điểm đọan thẳng, trung tuyến tam giác - Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, - Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang. - Tính chất các tỷ số bằng nhau; tính chất hai đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đường thẳng song song. 4.Chứng minh hai đƣờng thẳng, hai đoạn thẳng song song - Dùng định nghĩa 2 đường thẳng song song - Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, - Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba. - Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. - Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt (2 cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hai cạnh đáy hình thang, đường trung bình của tam giác, hình thang. - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3. - Sử dụng kết quả của ácc đoạn thẳng tỷ lệ suy ra các đường thẳng tương ứng song song (ĐL Ta lét đảo) - Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn. 5. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc - Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc. - Tính chất 2 tia phân giác của hai góc kề bù - Dùng tính chất 2 góc nhọn trong tam giác vuông - Dùng đ/n tính chất 3 đường cao, 3 đường trung trực của tam giác. - Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác. 2 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
3. Thích Nhất Toán- - Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. - Đường kính đi qua trung điểm của dây. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. - Tính chất tam giác cân, tam giác đều - Định lý Pitago - tính chất đường kính đi qua trung điểm 1 dây không qua tâm hoặc qua điểm chính giữa một cung. - Tính chất tiếp tuyến của đường tròn. - Đường nối tâm và dây chung của hai đường tròn. 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng. - Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, - Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng. - Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên. - Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B. 7. Chứng minh các đƣờng thẳng đồng quy - Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác. - Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó. - Dùng định lý đảo của định lý Talet. 3 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
4. Thích Nhất Toán- CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG; HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng A A';B B';C C' - Khái niệm: ABC A'B'C' khi AB AC BC A'B' A'C' B'C' - Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c-c-c; c-g-c; g-g. - Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông * Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 2.Phƣơng pháp chứng minh hệ thức hình học - Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, Giả sử cần chứng minh MA.MB MC.MD - Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. - Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba. Nếu cần chứng minh MT2 MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba. Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Phƣơng pháp chứng minh - Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. - Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. - Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. 4 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
5. Thích Nhất Toán- - Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. - Nếu MA.MB MC.MD hoặc NA.ND NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó M AB  CD; N AD  BC ) -Nếu PA.PC PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P  AC BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đƣờng tròn ta có thể chứng minh lần lƣợt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đƣờng tròn” 5 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
6. Thích Nhất Toán- PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường: Cạnh – Góc – Cạnh (c-g-c) Góc – Cạnh – Góc (g-c-g) Cạnh – Cạnh – Cạnh (c-c-c) Trường hợp đặc biệt của tam giác vuông: Cạnh huyền – Góc nhọn. Cạnh huyền – Cạnh góc vuông CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Sử dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng: Hai đọan thẳng có cùng độ dài ( đo được) Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba(tính chất bắt cầu) Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng (hay hiệu) của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một. Sử dụng hai tam giác bằng nhau: Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Sử dụng định nghĩa tính chất các hình: Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, trung tuyến của tam giác. Cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân. Các cạnh của tam giác đều. Bán kính của đường tròn. Đường trung trực của đoạn thẳng, đường trung bình của tam giác của hình thang. Đoạn chắn song song. Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Các cạnh của hình bình hành. Hai dây trương cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU. Hai góc có cùng số đo góc Hai góc cùng bằng góc thứ ba. Hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với góc thứ ba Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 6 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
7. Thích Nhất Toán- Định nghĩa tia phân giác của một góc. Hai góc đối đỉnh. Hai góc so le trong, so le ngoài, đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến. Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc tương ứng vuông góc. Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân Các góc của tam giác đều. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chứng minh các cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau. Chứng minh hai đường thẳng cùngsong song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang. Chứng minh các cặp góc cùng phía bù nhau. Các cạnh đối của hình bình hành. Hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. Ba điểm cùng thuộc một tiahoặc một đường thẳng. Hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm ấy tạo thành góc 1800 Dùng tiên đề Ơclic Tính chất hai góc đối đỉnh. Tính chất hai tâm và tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc Đường kính thì đi qua tâm. Tính chất giao điểm hai đường chéo trong hình bình hành. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. Góc tạo bởi hai đường thẳng đó bằng 900 Dựa theo định lí:” Hai đường thẳng song song, đường nào vuông góc với đường thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai. Chứng minh chúng là đường cao và cạnh tương ứng trong tam giác Phân giác của hai góc kề bù. Đường kính đi qua trung điểm của dây cung( không đi qua tâm) Đường trung trực của đoạn thẳng. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. 7 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
8. Thích Nhất Toán- CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN. Tam giác có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau. Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác. Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều. CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG. Tam giác có một góc vuông. Dự theo định lí đảo của định lí Pitago Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG Tứ giác có hai cạnh song song. DẤU HIỆU NHÂN BIẾT HÌNH THANG VUÔNG Hình thang có một góc vuông DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH Tứ giác có các cạnh đối song song Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau. Tứ giác có các góc đối bằng nhau. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH CHỮ NHẬT Tứ giác có ba góc vuông Hình thang cân có một góc vuông. Hình bình hành có một góc vuông. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THOI Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc 8 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
9. Thích Nhất Toán- Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH VUÔNG Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc. Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc. Hình thoi có một góc vuông . Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. 9 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
10. Thích Nhất Toán- CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC I. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. 1. Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7) 2. Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân. (lớp 7) 3. Sử dụng tính chất trung điểm. (lớp 7) 4. Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc. (lớp 7) 5. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng. (lớp 7) 6. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (lớp 7) 7. Dùng tính chất bắc cầu. 8. Có cùng độ dài hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 9. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. 10. Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác. (lớp 8) 11. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt. (lớp 8) 12. Sử dụng kiến thức về diện tích. (lớp 8) 13. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn. (lớp 9) 14. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. (lớp 9) 15. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn. (lớp 9) II. Chứng minh hai góc bằng nhau. 1. Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7) 2. Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân. (lớp 7,8) 3. Các góc của tam giác đều. (lớp 7) 4. Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc. (lớp 7) 5. Có cùng số đo hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 6. Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau. 7. Hai góc ở vị trí đồng vị, so le trong, so le ngoài. (lớp 7) 8. Hai góc đối đỉnh. (lớp 7) 9. Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc khác. (lớp 6) 10. Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng. (lớp 8) 11. Sử dụng tính chất về góc của các tứ giác đặc biệt. (lớp 8) 12. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp. (lớp 9) 10 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
11. Thích Nhất Toán- 13. Sử dụng tính chất của góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau. (lớp 9) 1 III. Chứng minh một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng khác. 2 1. Sử dụng tính chất trung điểm. 2. Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. 3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác. 4. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 5. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giácgiác. 6. Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số . 7. Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường tròn. IV. Chứng minh một góc bằng nửa góc khác. 1. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 2. Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc. 3. Sử dụng số đo tính được hay giả thiết cho. 4. Sử dụng quan hệ giữa góc ở tâm, góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn. V. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 1. Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90. 2. Hai đ. thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù. 3. Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông. 4. Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai. 5. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng. 6. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác. 7. Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân. 8. Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi. 9. Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn. 10. Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn. VI. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. 1. Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC. 11 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
12. Thích Nhất Toán- 2. Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (1800 ) 3. Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau. 4. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit) 5. Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng. 6. Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai cạnh của một góc. 7. Sử dụng tính chất đồng qui của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác. 8. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 9. Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn. 10. Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau. VII. Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xÔy. 1. Chứng minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và xOz yOz hay xOz xOy . 2. Chứng minh trên tia có một điểm cách đều hai tia Ox vàOy . 3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của cân. 4. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác. 5. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông. 6. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. 7. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác. VIII. Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh M nằm giữa A, B và MA MB hayMA AB . 2. Sử dạng tính chất trọng tâm trong tam giác. 3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang. 4. Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm. 5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 6. Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung trong đường tròn. 7. Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường tròn. IX. Chứng minh hai đường thẳng song. 1. Hai đường thẳng đó cắt một đường thẳng thứ ba và tạo thành một cặp góc ở vị trí so le trong, so le ngoài hay đồng vị bằng nhau. 2. Hai đường thẳng đó cùng song song hay cùng vuông góc với một đg thẳng thứ ba. 12 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
13. Thích Nhất Toán- 3. Hai đường thẳng đó là đường trung bình và cạnh tương ứng trong tam giác, trong hình thang. 4. Hai đường thẳng đó là hai cạnh đối của tứ giác đặc biệt. 5. Sử dụng định lý đảo của định lý Talet. X. Chứng minh 3 đường thẳng đồng qui. 1. Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó. 2. Cm giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba. 3. Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba. 4. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác. 5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt. XI. Chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh d AB tại trung điểm của AB. 2. Chứng minh có hai điểm trên d cách đều A và B. 3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến hay phân giác ứng với cạnh đáy AB của tam giác cân. 4. Sử dụng tính chất đối xứng trục. 5. Sử dụng tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm XII. Chứng minh hai tam giác bằng nhau. ¨ Hai tam giác bất kỳ: 1. Trường hợp: c – c – c. (con cá con) 2. Trường hợp: c – g – c. (con gà con) 3. Trường hợp: g – c – g. (gắp con gà) ¨ Hai tam giác vuông: 1. Trường hợp: c – g – c. 2. Trường hợp: g – c – g. 3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông. 4. Trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn. XIII. Chứng minh hai tam giác đồng dạng. ¨ Hai tam giác bất kỳ: 1. Dùng định lý 1 đường thẳng song song với 1 cạnh và cắt 2 cạnh còn lại của tam giác. 2. Trường hợp: c – c – c. 13 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
14. Thích Nhất Toán- 3. Trường hợp: c – g – c. 4. Trường hợp: g – g. ¨ Hai tam giác vuông: 1. Trường hợp: g – g. 2. Trường hợp: c – g – c. 3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông. XIV. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. 1. Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác. 2. Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1. XV. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác. XVI. Ch. minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp trong . 1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác. 2. Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác. XVII. Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. 1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác. 2. Chứng minh O cách đều ba cạnh của tam giác. XVIII. Chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Chứng minh K là giao điểm của phân giác trong góc BÂC và phân giác ngoài của góc B (hay C). XIX. Chứng minh các tam giác đặc biệt. ¨ Tam giác cân: 1. có hai cạnh bằng nhau. 2. có hai góc bằng nhau. 3. có đường cao đồng thời là đường phân giác hay trung tuyến. ¨ Tam giác đều: 1. có ba cạnh bằng nhau. 2. có ba góc bằng nhau. 3. cân có một góc bằng 60. 4. cân tại hai đỉnh. ¨ Tam giác nửa đều: 1. vuông có một góc 30. 14 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
15. Thích Nhất Toán- 2. vuông có một góc 60. 3. vuông có cạnh huyền gấp đôi cạnh góc vuông ngắn. ¨ Tam giác vuông: 1. Tam giác có một góc vuông. 2. Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc. 3. Dùng định lý đảo của định lý đường trung tuyến trong vuông. 4. Dùng định lý Pitago đảo. 5. Tam giác nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính. ¨ Tam giác vuông cân: 1. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. 2. vuông có một góc bằng 45. 3. cân có một góc đáy bằng 45. XX. Chứng minh các tứ giác đặc biệt. ¨ Hình thang: Tứ giác có hai cạnh song song. ¨ Hình thang cân: 1. Hình hang có hai đường chéo bằng nhau. 2. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 3. Hình thang nội tiếp trong đường tròn. ¨ Hình thang vuông: Hình thang có một góc vuông. ¨ Hình bình hành: 1. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song. 2. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau. 3. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 4. Tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau. 5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ¨ Hình chữ nhật: 1. Tứ giác có 3 góc vuông. 2. Hình bình hành có một góc vuông. 3. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. 4. Hình thang cân có một góc vuông. ¨ Hình thoi: 1. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. 15 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
16. Thích Nhất Toán- 2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. 3. H. bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. 4. Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc. ¨ Hình vuông: 1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc 3. Hình chữ nhật có một đường chéo là tia phân giác. 4. Hình thoi có một góc vuông. 5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. XXI. Chứng minh hai cung bằng nhau. 1. Chứng minh hai cung trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau có cùng số đo độ. 2. Chứng minh hai cung đó bị chắn giữa hai dây song song. 3. Chứng minh hai cung trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau căng hai dây bằng nhau. 4. Dùng tính chất điểm chính giữa cung. XXII. Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn. 1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng1800 . 2. Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 3. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện nó. 4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau. XXIII. Chứng minh đường thẳng (d) là tiếp tuyến tại A của (O). 1. Chứng minh A thuộc (O) và (d) OA tại A. 2. Chứng minh (d) OA tại A và OA R . XXIV. Chứng minh các quan hệ không bằng nhau (cạnh – góc – cung) 1. Sử dụng quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên (cạnh). 2. Sử dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc (cạnh). 3. Sử dụng quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác vuông (cạnh). 4. Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác (cạnh và góc). 5. Sử dụng định lý: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa không bằng nhau thì tam giác nào có góc lớn hơn thì cạnh đối diện lớn hơn và ngược lại. 16 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”
17. Thích Nhất Toán- 6. Sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung (cạnh). 7. Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (cạnh). 8. Sử dụng quan hệ giữa cung và số đo (độ) của cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau (cung) 9. Sử dụng quan hệ giữa dây và cung bị chắn (cung và cạnh). 10. Sử dụng quan hệ giữa số đo (độ) của cung và số đo của góc nội tiếp, góc ở tâm, 17 “Tôi vụng về trong mọi chuyện, trừ dạy toán”