Chủ đề 9: Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Hình học Lớp 7

Nội dung text: Chủ đề 9: Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Hình học Lớp 7

1. CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. Đây là kiến thức thường áp dụng đến chương 2 Hình Lớp 7 D 1. Phương pháp 1: (Hình 1) * Nếu ABD D BC 1800 thì ba điểm A; B; C thẳng hàng. o A B C Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo bằng 180 là góc bẹt hình 1 2. Phương pháp 2: ( Hình 2) Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng. a Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7 A B C 3. Phương pháp 3: ( Hình 3) hình 2 * Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng. A Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước B * Hoặc chứng minh A; B; C cùng thuộc một đường trung trực C a hình 3 của một đoạn thẳng. 4. Phương pháp 4: ( Hình 4) x * Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì A B ba điểm O; A; B thẳng hàng. O hình 4 Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia y phân giác . * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , x OA x OB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng. 5. Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K ’ là trung điểm BD thì K’  K thì A, K, C thẳng hàng. Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
2. B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I/ PHƯƠNG PHÁP 1 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh B MC C MD 1800 Do AMB B MC 1800 nên cần chứng minh AMB D MC Hướng dẫn Xét AMB và CMD có: B AB = DC (gt). = 0 B AM D CM 90 / / C A M MA = MC (M là trung điểm AC) = hình 5 Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: AMB D MC D Mà AMB B MC 1800 (kề bù) nên B MC C MD 1800 . Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng. Gợi ý: Chứng minh C AM C AN 1800 Từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng. Hướng dẫn N ABC = ADE (c.g.c) E // D C E A ACM = AEN (c.g.c) M AC N AE // B M C Mà E AN C AN 1800 (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) hình 6 => C AM C AN 1800 Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
3. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có ABC 600 . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng. Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng. Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho B Ax ABy .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng. Bài 5. Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm. II/ PHƯƠNG PHÁP 2 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. Gợi ý: Ta chứng minh AD // BC và AE // BC. Hướng dẫn E A Xét BMC và DMA có: D MC = MA (do M là trung điểm AC) = / N M B MC D MA (hai góc đối đỉnh) / = MB = MD (do M là trung điểm BD) B C Hình 7 Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ACB D AC , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
4. Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng. Gợi ý: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng. Hướng dẫn Xét AOD và COD có: A OA = OC (vì O là trung điểm AC) x = * AOD C OB (hai góc đối đỉnh) X O B / / D OD = OB (vì O là trung điểm BD) = * Vậy AOD = COB (c.g.c) X M C N Suy ra: D AO O CB . Do đó: AD // BC. Nên D AB C BM (ở vị trí đồng vị) Hình 8 Xét DAB và CBM có : AD = BC ( do AOD = COB), D AB C BM , AB = BM ( B là trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra ABD B MC . Do đó BD // CM. (1) Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2) Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
5. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2 Bài 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A). Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng. III/ PHƯƠNG PHÁP 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC. a) Chứng minh AM  BC. b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được. - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC - hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC. Hướng dẫn A Cách 1. Xử dụng phương pháp 3. a) Chứng minh AM  BC. = = XétΔABM và ΔACM có: P AB =AC (gt) / / B M C AM chung Q MB = MC (M là trung điểm BC) Hình 9 Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: AMB AMC (hai góc tương ứng) Mà AMB AMC 1800 (hai góc kề bù) nên AMB AMC 900 Do đó: AM  BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c). Suy ra: P MB P MC (hai góc tương ứng), mà P MB P MC 1800 nên P MB P MC = 900 Do đó: PM  BC. Lập luận tương tự QM  BC Từ điểm M trên BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC => ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Cách 2. Xử dụng phương pháp 4. Chứng minh : ΔBPA = ΔCPA B AP C AP . Vậy AP là tia phân giác của B AC . (1)
6. ΔABQ = ΔACQ B AQ C AQ .Vậy AQ là tia phân giác của B AC . (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng. IV/ PHƯƠNG PHÁP 4 Ví dụ: Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng. Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy Hướng dẫn Xét ΔBOD và ΔCOD có: OB = OC (gt) ; OD chung BD = CD (D là giao điểm của hai đường x tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). B Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). => B OD C OD . / = = A Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa O D / = = hai tia Ox và Oy. C y Do đó OD là tia phân giác của x Oy . Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác Hình 10 của x Oy . Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
7. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 4 Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM  AC, CN  AB (M AC, N AB ), H là giao điểm của BM và CN. a) Chứng minh AM = AN. b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng. Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng. V/ PHƯƠNG PHÁP 5 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp 5 A Hướng dẫn M = Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F BC) K' C F B E K = BME và CNF vuông tại E và F có: hình 11 N BM = CN (gt), M BE N CF ( cùng bằng ACB ) Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF. Gọi K’ là giao điểm của BC và MN. MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), E MK ' F NK ' ( so le trong của ME A // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ . Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng. M = Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) ACB M EB (hai góc đồng vị) K' C B E K Hình 12 = Mà ACB ABC nên M BE M EB . Vậy ΔMBE cân ở M. N Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN. Gọi K’ là giao điểm của BC và MN. Xét ΔMEK’ và ΔNCK’ có: K 'ME K ' NC (so le trong của ME //AC) ME = CN (chứng minh trên) M EK ' N CK ' (so le trong của ME //AC) Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’.
8. Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng. Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A , B AC 1080 , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho C BO 120 . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng. Gợi ý: Chứng minh O CA O CM từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau. Hướng dẫn 1800 1080 Tam giác ABC cân ở A nên ABC ACB 360 (tính chất của tam giác cân). 2 Mà CO là tia phân giác của ACB , nên ACO B CO 180 . Do đó B OC 1500 ΔBOM đều nên B OM 600 . Vậy : M OC 3600 (1500 600 ) 1500 Xét ΔBOC và ΔMOC có: M OB = OM ( vì ΔBOM đều) A = B OC M OC 1500 = 108 / O / // 12 C OC chung B Hình 13 Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) Suy ra: O CB O CM mà O CB O CA (gt) nên O CA O CM . Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và O CA O CM nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)