Chủ đề Hình học Lớp 11: Góc – Khoảng cách trong không gian

173 trang thaodu 9611

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chủ đề Hình học Lớp 11: Góc – Khoảng cách trong không gian", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chu_de_hinh_hoc_lop_11_goc_khoang_cach_trong_khong_gian.docx

Nội dung text: Chủ đề Hình học Lớp 11: Góc – Khoảng cách trong không gian

TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN I. GÓC 1. DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A B C D , góc giữa hai đường thẳng A B và B C là A. 90 . B. .C. .D. 60 . 30 45 Lời giải Chọn B C B D A C' B' D' A' Ta có B C // A D ·A B; B C ·A B; A D D· A B . Xét DA B có A D A B BD nên DA B là tam giác đều. Vậy D· A B 60 . Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: A. 45 . B. .C. .D. 60 . 30 90 Lời giải Chọn A Có CD//AB BA ,CD BA , BA ·ABA 45 . Câu 3. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau, biết AB AC AD 1 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45 .B. .C. .D. 60 . 30 90 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AB  AC CÁCH 1. Vì  AB  ACD AB  CD . AB  AD CÁCH 2. D 1 P A N 1 C 1 M B Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD . MN // AB Trong ABC , có 1 1 MN AB 2 2 NP // CD Trong ACD , có 1 2 NP CD 2 2 2 2 2 2 1 2 3 Trong AMP , có MP AP AM . 2 2 2 MN // AB Ta có AB;CD MN; NP M· NP NP // CD Áp dụng định lý Cosin cho MNP , có 2 2 2 2 1 3 NP2 NM 2 MP2 2 2 2 cos M· NP 0 M· NP 90 2NP.NM 2 1 2. . 2 2 Hay AB;CD 90 . Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai đường thẳng AC và A D bằng
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH A. 45 .B. .C. .D. 30 . 60 90 Lời giải Chọn C Ta có: ·AC, A D ·A C , A D D· A C 60 . Vì A D A C C D . Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a , BC a 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và SC ta được kết quả: A. 90 .B. . 30C. . 60D. . 45 Lời giải Chọn C * Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC , theo đầu bài SA SB SC và tam giác ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC . Gọi M , N lần lượt là trung MN // AB điểm của SA , SB ta có: Góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN . HN // SC AB a SC a SA a Xét tam giác MNH ta có: MN ; HN ; MH 2 2 2 2 2 2 tam giác MNH là tam giác đều M· NH 60 . Vậy góc cần tìm là 60 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S M N C A H B Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA BC 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , và SC , MN a 3 . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC . A. .3B.0 .C. .D. . 150 60 120 Lời giải Chọn C S N P O A C Q M B Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của SB , AC . Khi đó MP , NQ , MQ , PN lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB , SAC , ABC , SBC nên MP // NQ // SA ; 1 1 PN // MQ // BC và MP NQ SA a ; PN MQ BC a . Suy ra góc giữa hai đường 2 2 thẳng SA và BC là góc P· MQ và tứ giác MPNQ là hình thoi. a 3 Xét hình thoi MPNQ : gọi O giao điểm của hai đường chéo; vì MN a 3 nên MO ; 2 3a2 a trong tam giác vuông MOQ thì OQ a2 PQ a , khi đó tam giác PMQ đều 4 2 hay P· MQ 60 . Câu 7. Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB AC AD BC BD a và CD a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng A. .3B.0 .C. .D. . 90 45 60 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH A a K I B D M 2a N C Gọi M , N , I , K lần lượt là trung điểm các cạnh BD , DC , AC , AB thì MNIK là hình 2 2 2 2 a 3 a 2 a thoi. KCD cân tại K nên KN  CD KN KD ND 2 2 2 NIK là tam giác đều N· IK 60 ·AD, BC I·N, IK N· IK 60 . Câu 8. Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng ,1 cạnh bên bằng . 2Gọi C là1 trung điểm của CC . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng BC1 và A B . 2 2 2 2 A. .B. .C. .D. . 6 4 3 8 Lời giải Chọn B A C B C1 A C B · · · Ta có A B // AB BC1, A B BC1, AB ABC1 . 2 2 2 AB BC1 AC1 2 Tam giác ABC1 có AB 1 ; AC1 BC1 2 và cos B cos B . 2AB.BC1 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cos bằng 3 2 3 1 A. B. C. D. 6 2 2 2 Lời giải: Chọn A Gọi N là trung điểm của AC MN là đường trung bình của ABC MN / / AB 1 MN AB 2 Vì BCD và ACD là các tam giác đều cạnh bằng a a 3 MD ND . 2 Vì MN / / AB ·AB, DM ·MN, DM Xét MND , ta có: MN 2 MD2 ND2 cos N· MD 2MN.MD 2 2 2 a a 3 a 3 2 2 2 1 3 0 a a 3 2 3 6 2. . 2 2 N· MD 90 ·MN, DM N· MD 3 Vậy cos cos N· MD . 6 Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng 2 2 3 3 A. B. C. D. 2 4 2 4 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi I là trung điểm của SD OI là đường trung bình của SBD OI / /SB SB SA2 AB2 3a2 a2 OI a 2 2 2 Vì OI / /SB ·SB, AC ·OI, AC ·AOI SD SA2 AD2 3a2 a2 Ta có: AI a 2 2 2 AI OI AOI cân tại I. Gọi H là trung điểm của OA IH  OA OA AC a 2 Và OH 2 4 4 a 2 OH 2 Xét OHI , ta có: cos H· OI 4 OI a 4 2 Vậy cos ·SB, AC cos H· OI . 4 Chú ý: Để tính cos ·AOI ta có thể tính cách khác như sau: 2 a 2 a2 a2 OA2 OI 2 AI 2 2 2 cos ·AOI . 2OA.OI a 2 4 2. .a 2 Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ, CD bằng: A. 90 .B. .C. .D. 45 . 30 60 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S I A K D B O J C Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có: OJ //CD . Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ . Xét tam giác IOJ có 1 a 1 a 1 a IJ SB ,OJ CD , IO SA . 2 2 2 2 2 2 Nên tam giác IOJ đều. Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ bằng góc I·JO 600 . Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD,C D . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và CP . B C M A D N B' C' P A' D' 3 10 1 15 A. .B. .C. .D. . 10 5 10 5 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi Q là trung điểm B C . Khi đó PQ // MN . a 5 Ta có MN,CP PQ,CP C· PQ vì tam giác CPQ cân tại C do CP CQ . 2 a 2 a 2 Gọi H trung điểm PQ nên CH  PQ ; PQ PH . 2 4 PH a 2 2 1 Vậy cosC· PH . . CP 4 a 5 10 Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng AC và BB . Tính cos 1 1 2 2 A. cos .B. .C.c os .D. co .s cos 4 3 5 3 Lời giải Chọn A. Ta có A H  ABC AH là hình chiếu của AA lên mặt phẳng ABC AA ; ABC AA ; AH ·A AH 60 . Ta có : AA // BB AC; BB AC; AA ·A AC .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Có AH a A H AH tan 60 a 3 ; AA AH 2 A H 2 2a ; CH a 3 A C a 6 . AA 2 AC 2 A C 2 4a2 4a2 6a2 1 Xét A AC , ta có: cos ·A AC . 2AA .AC 2.2a.2a 4 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ,CD bằng A 3B.0.C D 45 60 90 Lời giải Chọn C. S I A B O J D C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). Từ (1) và (2) SO  ABCD . Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của SAB ). IJ,CD SB, AB . Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó S· BA 60 SB, AB 60 IJ,CD 60 . Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Gọi M là trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC . A. .6B.0 .C. .D. . 30 90 120 Lời giải Chọn A C N S B M A Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó góc giữa SM và BC bằng góc giữa SM và MN .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có:  AB BC CA 1  SM AB (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền). 2 1  SN AC (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền). 2 1  MN BC . 2 Suy ra SM MN SN hay tam giác SMN đều. Do đó S·M ; BC S·MN 60 . Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là A. 45 .B. .C. .D. 60 . 30 90 Lời giải Chọn D S N A M D a P B a C Gọi P là trung điểm của CD . Ta có: NP // SC MN, SC MN, NP . a a a 2 Xét tam giác MNP ta có: MN , NP , MP 2 2 2 a2 a2 a2 MN 2 NP2 MP2 MNP vuông tại N 4 4 2 M· NP 90 MN, SC MN, NP 90 . Câu 17. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết tam giác BCD vuông tại a 6 C và AB , AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AC . Góc giữa đường 2 thẳng AB và DE bằng A. 45o .B. .C. .D. . 60o 30o 90o
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm BC . Vì AB / /HE AB; DE HE; DE D· EH AB a 6 3 2a Ta có: HE ; DH HC 2 CD2 2 4 4 DH tan D· EH 3 D· EH 60o . HE Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN,SC bằng: A. .3B.0 .C. .D. . 45 60 90 Lời giải Chọn D S N A B M O D C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). Từ (1) và (2) SO  ABCD . Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của SAD ). MN,SC SA,SC . SA2 SC 2 a2 a2 2a2 Xét SAC , ta có: SAC vuông tại S SA  SC . 2 2 AC 2AD 2a SA,SC MN,SC 90 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 19. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết tam giác BCD vuông tại a 6 C và AB , AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AD . Góc giữa hai đường 2 thẳng AB và CE bằng? A. 45 . B. .C. D. . 60 30 90 Lời giải Chọn A A E K B D C Gọi K là trung điểm AB AB//MK ·AB;CM ·KM ;CM K· MC . a 2 a 6 a 6 a 6 a 3 Ta có BC , BD , MK , CK , CM . 2 2 4 4 2 Xét tam giác CKM vuông tại K và KC KM CKM vuông cân tại K . Vậy 45 Câu 20. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA B C có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , B· AC 120 , cạnh bên AA a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC . A. .9B.0 .C. .D. . 30 45 60 Lời giải Chọn D B C A B C D A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Trong ABC : kẻ AD sao cho ACBD là hình bình hành. Ta có: BC // AD Nên AB ; BC AB ; AD B· AD . Ta có AD BC a 3 , AB AB2 AB 2 a 3 , DB BB 2 AC2 a 3 . Vậy tam giác B AD đều nên B· AD 60 . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB . A. .3B.0 .C. .D. . 60 90 120 Lời giải Chọn B Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM. Và cắt đường thẳng SA tại N. Do đó ·SM , BC ·BN, BC N· BC . Ta có SM / /BN và M là trung điểm của AB Nên SN SA SC a NC a 2 và NB 2SM a 2 . Mà BC SB2 SC 2 a 2 NBC là tam giác đều. Vậy N· BC 60 ·SM , BC 60 . Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB , SAD , SAD là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA a 3 , AB a , AD 3a . 1 3 4 8 A. .B. .C. .D. . 2 2 130 130 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Nên SA  AB, SA  AD SA  ABCD . Gọi O AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM / /SC . Hay SC / / MBD nên ·SC, BD ·OM , BD M· OB . SA2 a 7 SC a 13 Có BM AM 2 AB2 AB2 , MO . 4 2 2 2 BD a 10 BO . Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB. 2 2 Ta được BM 2 OM 2 OB2 2OM.OB.cos M· OB OM 2 OB2 BM 2 8 cos M· OB . 2OM.OB 130 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD DC a , 2a 3 AB 2a , và SA . 3 1 2 3 4 A. .B. .C. .D. . 42 42 42 42 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM AD DC a . Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A. Do đó DM song song với BC. Suy ra ·SD, BC ·SD, DM S·DM . a 21 Lại có SM SA2 AM 2 . 3 a 21 Và DM a 2, SD SA2 AD2 3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được SD2 DM 2 SM 2 3 cos S·DM . 2.SD.DM 42 Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với đáy. Biết SA a , AB a , BC a 2 . Gọi I là trung điểm của BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là: 2 2 2 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 8 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của SB IH song song với SC. Do đó SC / / AHI ·AI, SC ·AI, HI ·AIH . a 6 SC SA2 AC 2 Ta có AI AB2 BI 2 và IH a . 2 2 2 AB2 AS 2 BS 2 a 2 AH . 2 4 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI , có
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AI 2 HI 2 AH 2 6 2 cos ·AIH . 2.AI.HI 3 3 Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a, SB a 3 và SAB vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là: 2 2 1 1 A. .B. .C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D a Kẻ ME song song với DN với E AD suy ra AE . 2 Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên ·SM , ME . Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH  ABCD . Suy ra SH  AD AD  SAB AD  SA . 5a2 a 5 a 5 Do đó SE 2 SA2 AE 2 SE và ME . 4 2 2 5 Tam giác SME cân tại E, có cos cos S·ME . 5 Câu 26. Cho hình hộp ABCD.A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA , A AB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA ,CD . Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C , giá trị của cos bằng: 2 1 3 3 5 A. .B. .C. .D. . 5 5 5 10 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AD / /B C Ta có với P là trung điểm của DC . MN / / A P Suy ra ·MN, B C ·A P, A D D· A P . Vì B· AD D· AA' ·A' AB 60 và các cạnh của hình hộp bằng a. Do đó A D a,C D C A a 3 . A D2 A C 2 DC 2 5a Suy ra A P A P . 2 4 2 Áp dụng định lý cos cho tam giác A DP , ta có A D2 A P2 DP2 3 5 cos . 2A D.A P 10 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA  ABCD và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của SD , cosin góc giữa 2 đường thẳng CM và SB là: 5 2 2 2 3 2 2 A. .B. .C. .D. . 8 7 5 8 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm của đáy khi đó OM / /SB Mặt khác SB SA2 AB2 2a SD OM a ;
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AC a 2 OC . Lại có CD  SA,CD  AD CD  SD 2 2 Khi đó CM CD2 DM 2 a 2 . OM 2 MC 2 OC 2 5 2 cosOMC cos OM , MC 2.OM.MC 8 5 2 Do đó cos SB,CM . 8 Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a và AD 3a . Tam giác SAB vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa 2 đường thẳng SC và AB . Khẳng định nào sau đây là đúng. 1 1 1 1 A. .cB.os . C. . D. . cos cos cos 5 11 11 2 2 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB khi đó ta có: SH  AB . Mặt khác SAB  ABCD nên AB SH  ABCD . Ta có: SH a (do tam giác SAB vuông tại S) 2 Do AB / /CD ·SC, AB ·SC,CD Ta có: SC SH 2 HC 2 SH 2 HB2 HC 2 a 11;SD SH 2 HD2 a 11 SC 2 CD2 SD2 1 1 Khi đó cos S· CD cos 2SC.CD 11 11 Câu 29. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết khoảng cách giữa 2 đường a 3 thẳng AB và B C bằng . Gọi là góc giữa 2 đường thẳng B C và AA . Chọn khẳng 4 định đúng.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 7 2 2 A. .cB.os . C. . D. . cos cos cos 8 8 2 4 Lời giải Chọn D Ta có: B H  AB,CH  AB AB  B HC a 3 +) Dựng HK  B C HK  AB HK 4 1 1 1 a +) Mặt khác: B H HK 2 B H 2 HC 2 2 Do AA / /BB ·B C, AA ·B C, BB a Ta có: BB , BC a, B C a . 2 Khi đó cos ·B C, AA cosC· B B B C 2 BB 2 BC 2 2 . 2B C.BB 4 Câu 30. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB a và AC a 3 . Biết rằng A C a 7 và N là trung điểm của AA . Góc giữa 2 đường thẳng A C và BN là . Khẳng định nào sau đây là đúng. 14 14 3 14 A. .cB.os . C. . D. . cos cos cos 7 28 14 14 Lời giải Chọn A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có BC AB2 AC 2 2a Mặt khác AA' A'C 2 AC 2 2a Gọi M là trung điểm của BB ' . Dễ thấy BN / / A'M Khi đó ·BN, A'C ·A'M , A'C Ta có: A'M A' B '2 B 'M 2 a 2; A'C a 7 CM BC 2 BM 2 a 5 A'M 2 A'C 2 MC 2 14 Do đó cos M· A'C 2.A'M.A'C 7 14 Do vậy cos . 7 Câu 31. Cho hình chóp đều S.ABC có SA 9a ,AB 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 SM MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng 2 1 7 19 14 A. .B. .C. .D. . 2 2 48 7 3 48 Lời giải Chọn D S 3a M 3a N 2a 3 I 3a 3a A 3a C a 7 2a K B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi N là trung điểm của MC ,I là trung điểm AC , K trên CB sao cho CK 2a . AM //NI Khi đó ta có ·AM , SB N· I, NK . SB//NK CA2 CS 2 SA2 1 Trong tam giác SAC cosC 2CA.CS 3 Trong tam giácCNI ta có IN CN 2 CI 2 2CN.CI.cosC 2a 3 . Trong tam giác CIK ta có IK CI 2 CK 2 2CI.CK.cos60 a 7 . NI 2 NK 2 IK 2 7 3 Trong tam giác NIK có cos I·NK . 2NI.NK 18 14 7 3 Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng . 3 48 18 Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 4 2cm , cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC 2cm . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30 .B. .C. .D. 60 . 45 90 Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm của BM , ta có NI //CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và 1 1 3 NI . Xét tam giác SNI có SN SC 2 CN 2 4 8 2 3 ; NI CM 4 2. 6 ; 2 2 2 CI CM 2 MI 2 24 2 26 SI SC 2 CI 2 4 26 30 . SN 2 NI 2 SI 2 12 6 30 12 2 Vậy cos S· NI S· NI 135 . 2SN.NI 2.2 3. 6 3 2.4 2 Vậy góc giữa SN và CM bằng 45 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , A H a 3 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng A B và B C . Tính cos . 1 6 6 3 A. .cB.os . C. .D. . cos cos cos 2 8 4 2 Lời giải Chọn B A' a 3 C' B' E C A a H B K D    Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD HK A B . Ta có B K  ABC và B D / / A B A B, B C B D, B C D· B C . 2 Ta tính được BC 2a BH a ; B D A B a 3 a2 2a. 3a2 9a2 CD AC 2 AD2 3a2 4a2 a 7 ; CK CE 2 EK 2 a 3. 4 4 B C B K 2 CK 2 3a2 3a2 a 6. B D2 B C 2 CD2 4a2 6a2 7a2 6 cosC· B D . 2.B D.B C 2.2a.a 6 8 Câu 34. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC AC AB a , ·ABC 45 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC . A. .6B.0 .C. .D. . 120 90 30 Lời giải Chọn A Ta có tam giác ABC vuông cân tại A , tam giác BDC vuông cân tại D .          Ta có AB.CD DB DA CD DB.CD DA.CD         1 DB CD cos DB,CD DA CD cos DA,CD a2 . 2           AB.CD 1 Mặt khác ta lại có AB.CD AB CD cos AB.CD cos AB,CD   AB CD 2   AB, DC 120 AB,CD 60 . Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có SA a , SB 2a , SC 3a , ·ASB B· SC 60 , C· SA 90 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 7 7 2 A. .cB.os . C. .D. . cos cos 0 cos 7 7 3 Lời giải Chọn A            SA.BC SA.(SC SB) SA.SC SA.SB cos cos(SA, BC) SA.BC SA.BC SA.BC SA.SC.cos90 SA.SB.cos60 7 . a. 4a2 9a2 2.2a.3a.cos60 7 Câu 36. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với Ilà trung điểm của AD . 3 1 3 3 A. .B. .C. .D. . 6 2 4 2 Lời giải Chọn A A I M D B C Gọi M là trung điểm của BD . Ta có: IM // AB .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AB, IC IM , IC .   cos AB, IC cos IM , IC cos IM , IC cos M· IC . 2 2 2 a a 3 a 3 MI 2 IC 2 MC 2 2 2 2 3 Mà: cos M· IC . 2.MI.IC a a 3 6 2. . 2 2 3 cos AB, IC cos M· IC . 6 Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a và BC a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là ? A. B.45 C. D. 90 60 30 Lời giải Chọn C S A B I C Ta có BC a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA SB SC a nên hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .     AB.SC Ta có cos AB, SC cos AB, SC . AB.SC        1   1 a2 AB.SC AB SI IC AB.SI BA.BC BA.BC.cos 45 . 2 2 2 a2 1 cos AB, SC 2 ·AB, SC 60 . a2 2     AB.SC Cách 2: cos AB, SC cos AB, SC AB.SC          a2 Ta có AB.SC SB SA SC SB.SC SA.SC SB.SC.cos90 SA.SC.cos60 . 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH a2 2 1 Khi đó cos AB, SC a2 2 Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1 , BC 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. .4B.5 .C. .D. . 120 30 60 Lời giải Chọn D S B C H A  Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB AC 1 , BC 2 và SB SC 1, BC 2 .          1  Ta có SC.AB SC SB SA SC.SB SC.SA 0 SC.SB.cos60 . 2     SC.AB 1  Suy ra cos SC; AB cos SC; AB . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB , SC.AB 2 SC bằng 60 . Câu 39. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 60 .B. .C. .D. 45 . 90 30 Lời giải Chọn A A C B A' C' B'               Ta có AB .BC AB BB BC CC AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH         a2 3a2 AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 0 0 2a2 . 2 2 2   3a   AB .BC 1 Suy ra cos AB , BC   2 ·AB , BC 60 . AB . BC a 3.a 3 2 2. DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB . A. 45o .B. .C. .D. 30 .o 90o 60o Lời giải Chọn B Dễ thấy CB  SAB SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SAB . Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là C· SB . CB a 1 Tam giác CSB có Bµ 90;CB a;SB a 3 tan C· SB . SB a 3 3 Vậy C· SB 30 . Câu 41. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a , gọi là góc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng BB D D . Tính sin . 3 3 3 1 A. B. C. D. 4 2 5 2 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi H là tâm hình vuông A B C D . Ta có A H  B D , A H  BB A H  BB D D . BH là hình chiếu của A B trên a 2 A H 1 BB D D ·A H, BB D D ·A BH . sin 2 . A B a 2 2 Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB a , AD 3a . Cạnh bên SA a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng: A. .7B.5 .C. .D. . 60 45 30 Lời giải Chọn D S A D H B C Kẻ BH  AC và H AC BH  SAC . SH là hình chiếu của BH trên mặt phẳng SAC . Góc giữa SB và mặt phẳng SAC là B· SH . AB.BC a 3 Ta có BH , SB SA2 AB2 a 3 . AB2 BC 2 2 BH 1 Trong tam giác vuông SBH ta có sin B· SH B· SH 30 . SB 2 Câu 43. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi là góc giữa SC và mặt phẳng SAB , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau 3 51 4 3 2 3 A. B. C. D. 17 17 17 17 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi M là trung điểm của AB CM  AB . CM  AB Vì SA  ABC CM  SA do CM ABC  CM  SAB SM là hình chiếu vuông góc của SC trên SAB . Khi đó: ·SC, SAB ·SC, SM C· SM CM  SAB (vì CM  SM SCM vuông tại S C· SM 90 ) SM  SAB a 3 CM CM 51 Xét SCM vuông tại S, ta có: tan C· SM 2 SM SA2 AM 2 a2 17 4a2 4 51 Vậy tan tan C· SM . 17 a 3 Câu 44. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A; BC a và SA SB SC . 3 Góc giữa đường thẳng SA và ABC bằng A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Lời giải Chọn A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi H là trung điểm của BC. BC a Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và AH . 2 2 Mà SA SB SC SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC SH  ABC . HA là hình chiếu của SA trên ABC ·SA, ABC ·SA, HA S· AH . (vì SHA vuông tại H nên S· AH 90 ). a AH 3 Xét SHA vuông tại H, ta có: cos S· AH 2 S· AH 30 SA a 3 2 3 Vậy ·SA, ABC S· AH 30 . Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và mp SAB . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 1 1 A. .tan B. .C. .tan D. . 300 tan 8 7 6 Lời giải Chọn B Do BC  SAB nên SB là hình chiếu của SC lên SAB SC, SAB SC, SB B· SC BC a 1 Xét tam giác SBC có tan B· SC . SB a 7 7 Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC không vuông. Gọi H , K lần lượt là trực tâm ABC và SBC . Số đo góc tạo bởi SC và BHK là: A. .4B.5 .C. .D. . 120 90 65 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S A C K H B BH  AC gt Ta có: BH  SAC BH  SC BH  SA SA  ABCD Mà BK  SC SC  BHK . Câu 47. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác ABC vuông, AB BC 2a , cạnh bên A A a 2 , M là trung điểm của BC . Tính tang của góc giữa A M với ABC . 10 2 2 3 2 10 A. .B. .C. .D. . 5 3 3 5 Lời giải Chọn A A' C' B' A C M B Ta có: A A  ABC nên AM là hình chiếu của A M lên ABC ·A M , ABC ·A M , AM ·A MA. AM AB2 BM 2 2a 2 a2 a 5 . A A a 2 10 tan ·A MA . AM a 5 5
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 48. Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B . Biết SA AB BC . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC . 1 A. .3B.0 .C. .D. . 45 60 arc cos 3 Lời giải Chọn A S I C A B Gọi I là trung điểm của AC BI  AC (vì ABC vuông cân tại A ). 1 Mặt khác: SA  BI (vì SA  ABC ) 2 Từ 1 và 2 , suy ra: BI  SAC . SI là hình chiếu của SB lên SAC . ·SB, SAC ·SB, SI B· SI . AB 2 BI 1 Xét BSI vuông tại I , ta có: sin B· SI 2 . SB AB 2 2 B· SI 30. Câu 49. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O là trung điểm của của A C . Tính tan với là góc tạo bởi BO và mặt phẳng ABCD . 2 A. B.3 C. D. 2 1 2 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có O B là hình chiếu của BO trên ABCD BB BB B·O , ABCD B·O , B O B· O B , tan 2 . O B 2A B 2 Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt phẳng SAB vuông góc với đáy ABCD . Gọi H là trung điểm của AB ,SH HC, SA AB . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . Giá trị của tan là: 1 2 1 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 2 Lời giải Chọn D S A D H O B C . 1 a Ta có AH AB . 2 2 SA AB a . a 5 SH HC BH 2 BC 2 . 2 5a2 Có AH 2 SA2 SH 2  SAH vuông tại A nên SA  AB . 4 Do đó SA  ABCD nên S·C, ABCD S· CA .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH SA 1 Trong tam giác vuông SAC , có tan S· CA . . AC 2 Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 3a, AD 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA a . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mp ABS . Khi đó tan bằng? 5 14 17 10 A. .B. .C. .D. . 10 11 7 5 Lời giải Chọn D S A B D C Ta có CB  AB CB  SAB CB  SA Hay SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SAB . Vậy C· SB là góc giữa SC với SAB . CB 2a 10 Xét SBC vuông tại B ta có tan . SB a 10 5 Câu 52. Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác đều cạnh bằng a và AB  (BCD) ,AB a . Gọi M là trung điểm của CD . Góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng BCD bằng: A. .4B.5 .C. .D. . 49 53 43 Lời giải Chọn B A a a B D a a M C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 3 Tam giác BCD đều có cạnh bằng a , M là trung điểm CD nên BM a . 2 Vì AB  (BCD) nên góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng đáy BCD là góc ·AMB . AM a 2 +Tam giácABM vuông tại B nêntan ·AMB ·AMB 49. . BM 3 3 a 2 Câu 53. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Biết tam giác ABC đều cạnh a và AA' a 3 . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng A B C bằng: A. .3B.0 .C. .D. . 45 60 90 Lời giải Chọn C Do ABC.A B C là lăng trụ đứng nên AA  A B C nên A B là hình chiếu của AB lên mặt A B C . Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng A B C bằng góc giữa AB và A B và bằng ·AB A . AA Có tan ·AB A 3 ·AB A 60 . A B Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 3a, AD 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA a . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mp ABCD . Khi đó tan =? 13 11 7 5 A. .B. .C. .D. . 13 11 7 5 Lời giải Chọn A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Có SA  ABCD nên AC là hình chiếu của SC lên ABCD S·C, ABCD S·C, AC S· CA . Có AC AB2 AC 2 13a2 . SA a 13 Vậy tan S· CA . AC a 13 13 Câu 55. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B C , là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A B C D . Giá trị sin bằng: 1 2 5 2 5 A. B. C. D. 2 5 2 2 Lời giải Chọn B A D M B C A' D' M' B' N C' Gọi M là trung điểm cạnh A C ,ta có MM  A B C D nên hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng A B C D là M N a 5 MM ' 2 5 M· NM , MN sin . 2 MN 5
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 2a , BC a , ·ABC 120 . Cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy . Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng SAC S D C A B 3 3 1 3 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 7 Lời giải Chọn C d B; SAC d D;SAC Ta có sin ·SB; SAC . SB SB Xét tam giác ABC ta có AC BA2 BC 2 2BA.BC.cos B· AC a 7 . BA2 BC 2 AC 2 4a2 a2 7a2 a 3 BO 2 4 2 4 2 BD a 3 và SB SD2 BD2 3a2 3a2 a 6 . AD AC AD.sin Dµ a.sin120 21 Xét tam giác ADC ta có sin Cµ . sin Cµ sin Dµ AC a 7 14 Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có AC  DK DI  SK AC  DI . Do đó d D; SAC DI . AC  SD DI  AC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH DK 21 a 21 Mặt khác sin Cµ DK DC.sin Cµ 2a. . DC 14 7 a 21 a 3. SD.DK 6 Xét tam giác SDK ta có DI 7 a . 2 2 21 4 SD DK 3a2 a2 49 6 a d D;SAC DI 1 Vậy sin ·SB; SAC 4 . SB SB a 6 4 Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a , AD = a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. SA a 3 . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng: 5 7 6 10 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC é· ù · Do đó ëSC,(ABCD)û= SCA AC = AB2 + AD2 = 4a2 + a2 = a 5 Þ SC = 2a 2 AC a 5 10 Trong tam giác vuông SAC : cos S· CA = = = . SC 2a 2 4 Câu 58. Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên hợp với ABC góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng BCC B . 3 3 1 2 A. .B. .C. .D. . 13 2 13 13 13 Lời giải
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Chọn A A' C' B' H A G C M B Ta có B G  ABC nên BG là hình chiếu của BB lên mặt phẳng ABC . BB , ABC BB , BG B· BG 60. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B M , ta có BC  AM BC  AB M BC  AH . BC  B G Mà AH  B M nên AH  BCC B . Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng BCC B . AB, BCC B AB, HB ·ABH . AH Xét tam giác ABH vuông tại H có sin ·ABH . AB 3 2 B G BG.tan 60 a . . 3 a . 2 3 2 a 3 1 a 39 2 2 2 B M B G GM a . . 2 3 6 a 3 a. AM.B G 3a Ta có AHM : B GM AH 2 . B M a 39 13 6 3a 3 Vậy sin ·ABH 13 . a 13
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 59. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tan góc giữa AG và ABCD bằng . 17 5 5 A. B. C. D. 17 7 3 5 Lời giải Chọn A S G D A O Q I B C Kẻ GQ song song với SO . Suy ra GQ  ABCD . Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳng. ABCD Xét tam giác vuông SOC vuông tại O , theo định lý Pytago, ta có 2 2 2 2 2 2 2 AC a 2 SO OC SC SO SC OC SC . 2 2 Xét tam giác SOI có GQ song song với SO , theo định lý Talet và do G là trọng tâm tam giác 1 a 2 SCD nên suy ra GQ SO . 3 6 1 a 5a a a 34 Tính được IQ OI , HQ , AH AQ . 3 6 6 2 6 GQ 17 Do đó tan AQ, ABCD AQ 17 Câu 60. Cho hình lập phương ABCD.A B C D (hình bên). Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BDD B . A. .6B.0 .C. .D. . 90 45 30 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH B' C' D' A' C B O A D Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO  BD (1). Mặt khác ta lại có ABCD.A B C D là hình lập phương nên BB  ABCD BB  AO (2). Từ (1) và (2) ta có AO  BDD B AB , ABCD AB , B O ·AB O . AO 1 Xét tam giác vuông AB O có sin AB O ·AB O 30 . AB 2 Vậy AB , ABCD 30 . Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , SAC vuông góc với ABC , biết AB SC a, SA BC a 3. Gọi là góc tạo bởi SA và SBC . Tính sin . 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 13 3 13 13 13 Lời giải Chọn D Kẻ SH vuông góc với AC SH vuông góc với ABC . d A, SBC Vì SA SBC S nên sin sin S·A,(SBC) . SA d A,(SBC) AC Lại có: AH  SBC C nên . d H,(SBC) HC Kẻ HI  BC và HK  SI . Ta chứng minh HK  SBC . Từ đó, suy ra d H,(SBC) HK.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có: AC AB2 BC 2 2a. Vì SAC ABC c.c.c nên SAC vuông tại S 1 1 1 1 1 4 a 3 SH . SH 2 SA2 SC 2 3a2 a2 3a2 2 3a2 a Xét tam giác AHC có: HC SC 2 SH 2 a2 . 4 2 a a. HI HC AB.HC a Vì HI //AB nên HI 2 . AB AC AC 2a 4 1 1 1 4 16 52 a 3 Xét tam giác vuông SHI có: HK . HK 2 SH 2 HI 2 3a2 a2 3a2 52 AC a 3 2 3a Từ đó, d A,(SBC) .HK 4. . HC 52 13 d A, SBC 2 3a 2 Vậy sin sin S·A,(SBC) . SA 13. 3a 13 Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA  ABCD và SA a 2 . Gọi M là trung điểm SB . Tính tan góc giữa đường thẳng DM và ABCD . 5 2 2 10 A. .B. .C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D S M A D N B C Gọi N là trung điểm AB . 1 a 2 Ta có: MN là đường trung bình của SAB nên MN//SA và MN SA . 2 2 Lại có: SA  ABCD .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Do đó MN  ABCD 1 . Suy ra MN  DN . Ta có: N là hình chiếu vuông góc của M lên ABCD (do 1 ) và D là hình chiếu vuông góc của D lên ABCD . Suy ra DM ; ABCD DM ; ND M· DN (M· DN nhọn vì MND vuông tại N ). a 5 Ta có: DN AD2 AN 2 . 2 Xét MND vuông tại N , có: MN 10 tan MDN . DN 5 10 Vậy tan DM ; ABCD . 5 Câu 63. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông tại B có AB a 3; BC a . Biết A'C 3a . Cosin góc tạo bởi đường thẳng A' B và mặt đáy ABC là: 10 10 6 15 A. .B. .C. .D. . 4 6 4 5 Lời giải Chọn C Ta có: AC AB2 BC 2 2a; AA' A'C 2 AC 2 a 5 Do AA'  ABC nên ·A' B, ABC ·A' BA AB AB a 3 6 Lại có cos ·A' BA . A' B AB2 AA'2 3a2 5a2 4 Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy ABCD và SA 2a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD . 5 2 5 1 A. .B. .C. .D. . 1 5 5 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Lời giải Chọn B SAB  ABCD Do SA  ABCD SAC  ABCD AB  AD Lại có: AB  SAD AB  SA Ta có: SA SA 2 2 5 cos B· SA cos ·SB, SAD . SB SA2 AB2 5 5 Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . Tính tan của góc tạo bởi giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SHK . 2 7 14 A. .B.7 .C. .D. . 4 7 4 Lời giải Chọn C d A, SHK d Ta có sin ·SA, SHK . SA a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 a2 a2 a2 a Lại có d.HK S d AHK a 2 8 4HK 4. 2 2 2 2 1 sin ·SA, SHK 2 2 1 1 tan ·SA, SHK 2 2 . 1 7 1 8 Câu 66. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng 4a , cạnh bên SA 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn thẳng AO . Tính tan góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD . 10 A. .B.5 .C. .D. . 1 3 5 Lời giải Chọn C Ta có SD  ABCD D và SH  ABCD ·SD, ABCD ·SD, HD S·DH 1 1 2 2 Ta có AH AC 4a 4a a 2 4 4 HD AH 2 AD2 2AH.AD.cos 45 a 10 SA 2a 10 tan S·DH . AH a 10 5 Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 . Hình chiếu a vuông góc H của S lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và SH . Gọi 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , SC. Tính tan của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD . 4 3 2 A. .B. .C. .D. . 1 5 4 3 Lời giải Chọn B Qua N kẻ đường thẳng song song với SH cắt CH tại K NK  ABCD . Ta có MN  ABCD M và NK  ABCD ·MN, ABCD M· N, MK K· MN 1 a 1 2a Ta có NK SH . Ta có BH BH 2 4 3 3 5a 1 5a SB SH 2 HB2 MN SB 6 2 12 a NK 3 MK MN 2 NK 2 tan K· MN . 3 MK 4 Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a , SO vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Tính góc giữa đường thẳng a 10 MN và mặt phẳng ABCD , biết MN . 2 A. .3B.0 .C. .D. . 45 60 90 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt AC tại H MH  ABCD . Ta có MN  ABCD N và MH  ABCD . ·MN, ABCD ·MH, HN M· NH 3 3 3a 2 Ta có CH AC a2 a2 4 4 4 a 10 HN CH 2 CN 2 2CH.CN.cos 45 4 a 30 MH MH MN 2 NH 2 tan M· NH 3 4 HN M· NH 60 . Câu 69. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , biết rằng AB BC a , AD 2a, SA a 2, SA  ABCD . Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . A. .3B.0 .C. .D. . 45 60 90 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của AD CM  AD
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH CM  AD Ta có CM  SAD CM  SA mà SC  SAC S ·SC, SAD ·SC, SM M· SC . Ta có CM a, SC SA2 AC 2 2a SM SC 2 CM 2 a 3 . SM tan M· SC 3 M· SC 60 . CM Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , B· AD 60 . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SCD bằng A. B.30 C. D. 60 90 45 Lời giải Chọn D S B H C G A D Dễ thấy hình chóp S.ABD đều. Gọi G là trọng tâm của ABD . Khi đó SG  ABCD . Do ABD đều nên GD  CD CD  SGD . Kẻ GH  SD , H SD . Khi đó: GH  SCD d G; SCD GH . 2 a 3 a 3 a 6 Ta có: GD . SG SD2 GD2 . 3 2 3 3 a 2 Xét SGD vuông tại G : GH.SD SG.GD GH . 3 AC a 2 Mà d A; SCD .d G; SCD . GC 2 Gọi K là hình chiếu của A lên SCD . Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng SCD là ·ASK .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AH 2 Xét ASK vuông tại K thì: sin SAK S· AK 45 . SA 2 Câu 71. Cho hình chópS.AVBC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a , SA  AB , SC  BC , SB 2aũ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA , BC . Gọi là góc giữa MN với ABC . Tính cos . V 2 11 6 2 6 10 A. cos . B.ă .cC.os . D. . cos cos 11 n 3 5 5 B Lời giải ắ Chọn B c S 2 a M D C H N a A a B Gọi D là hình chiếu của S lên ABC , ta có: BC  SC AB  SA BC  CD và AB  AD . BC  SD AB  SD Mà ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông. Gọi H là trung điểm của AD , ta có MH // SD mà MH  ABCD . Do đó HN là hình chiếu của MN lên ABC . MN, ABC MN, NH M· NH . SC SB2 BC 2 4a2 a2 a 3 . SD SC 2 DC 2 3a2 a2 a 2 . 1 a 2 .SD MH 2 tan 2 2 . NH AB a 2 1 1 6 cos . 2 1 1 tan 1 3 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC và AD . Góc giữa MN và mặt đáy ABCD bằng A. 90 .B. .C. .D. 30 . 45 60 Lời giải Chọn B S M A D N H P B C a 3 Gọi H là trung điểm AB SH  ABCD và SH . 2 Gọi P là trung điểm CH MP//SH MP  ABCD , suy ra góc giữa MN với mặt đáy ABCD là góc M· NP (do M· PN 90 ) a a 1 a 3 AH CD 3a Có MP SH , PN 2 2 4 2 2 4 a 3 MP 1 tan M· NP 4 M· NP 30 . PN 3a 3 4 Câu 73. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. .3B.00 .C. .D. . 450 600 750 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S B H C A Ta có ABC , SBC là các tam giác đều cạnh a . a 3 Ta được hai đường cao của hai tam giác là SH AH 2 Mà SH  ABC HA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC . SA, ABC SA, HA S·AH a 3 Tam giác vuông SAH có SH AH S·AH 450 . 2 3. DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu 74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông a 3 góc với mặt phẳng đáy ABCD và SO . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và 2 ABCD A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Lời giải: Chọn C Gọi M là trung điểm của BC OM  BC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH BC  OM Ta có BC  SOM BC  SO · SBC , ABCD S·MO SO Ta có tan S·MO 3 S·MO 60 OM Câu 75. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 2, BC 2 3 , cạnh bên 3 SA và vuông góc với mặt đáy ABC . Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa 2 hai mặt phẳng SMC và mặt đáy ABC . 4 13 2 A. B. C. 1D. 13 4 2 Lời giải: Chọn B CM  AH Kẻ AH  CM ta có CM  SAH CM  SA · SMC , ABC ·AH,SH S· HA S 2 39 SA 13 Ta có AH ABC tan S· HA CM 13 AH 4 Câu 76. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng BDA' và ABCD . 3 3 6 2 A. B. C. D. 3 2 3 2 Lời giải:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Chọn A BD  AC Ta có BD  A' AC BD  A' A · BDA' , ABCD ·A'OA a 2 a 6 Ta có AO , A' A a A'O AO2 A' A2 2 2 AO 3 cos ·A'OA A'O 3 Câu 77. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB AC a ; cạnh bên SA a và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC . 6 2 3 3 A. B. C. D. 3 2 3 2 Lời giải: Chọn C AB  AC Kẻ AH  SC ta có AB  SAC AB  SA AB  SC mà SC  AH SC  SHB
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH · SAC , SBC ·AH, HB ·AHB 1 1 1 2 a 2 Ta có AH AH 2 AS 2 AC 2 a2 2 a 6 AH 3 HB AB2 AH 2 cos ·AHB 2 BH 3 Câu 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60°. Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng SCD và ABCD . 15 15 15 A. B.1 C.5 D. 2 5 15 Lời giải: Chọn B Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB Mặt khác SAB  ABCD suy ra SH  ABCD . · Khi đó SC, ABCD S· CH 60 Lại có HC HB2 BC 2 a 5 SH a 5.tan 60 a 15 Dựng HK  CD lại có SH  CD CD  SKH S· KH · SCD , ABC SH SH a 15 15 Khi đó tan S· KH HK BC 2a 2 Câu 79. Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng A'BC và mặt đáy ABC .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 3 2 21 21 A. B. C. D. 2 3 7 21 Lời giải: Chọn C Gọi M là trung điểm của BC khi đó AM  BC Lại có AA'  BC suy ra A'MA  BC ·A'BC, ABC ·A'MA a 3 a 3 MA' MA' 21 Mặt khác AM do đó cos ·A'MA 2 2 A'M AA'2 AM 2 3a2 7 a2 4 Câu 80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB 2a , AD DC a , SA a và SA  ABCD . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng SBC và ABCD là: 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 2 Lời giải: Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH · Ta có SBC , ABCD ·ACS Ta có AC AD2 DC 2 a 2 SA 1 tan ·ACS AC 2 Câu 81. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC , SA a 3 . Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SBC là: 2 2 1 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 Lời giải: Chọn D Gọi M là trung điểm AB CM  AB Ta có CM  SAB CM  SB CM  SA SB  MN Kẻ MN  SB ta có SB  CMN SB  CM
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH · SAB , SBC ·MN, NC M· NC SA Ta có tan S· BA 3 S· BA 60 AB MN a 3 1 Ta có sin S· BA MN cos M· NC MB 4 5 Câu 82. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy bằng 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 2 Lời giải Chọn B Ta có SO  ABCD và tứ giác ABCD là hình vuông. Kẻ OP  CD P CD · SCD , ABCD S· PO . 2 2 2 2 2 a a Cạnh SO SC OC a SO 2 2 2 2 2 2 2 a a a 3 SP SO OP SP . 2 2 2 a OP 1 cos S· PO 2 . SP a 3 3 2 Câu 83. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB BC a và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng A. 60 .B. .C. .D. 90 . 30 45 Lời giải Chọn A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S K H A C B Gọi H là trung điểm cạnh AC Ta có SAC  ABC (vì SA  ABC ) và BH  AC BH  SAC . Trong mặt phẳng SAC , kẻ HK  SC thì SC  BHK SC  BK . ·SAC , SBC S· KH . Mặt khác a 2 Tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC a nên AC a 2 và BH . 2 HC.SA HC.SA a 2 Hai tam giác CKH và CAS đồng dạng nên HK HK . SC SA2 AC 2 3 BH Tam giác BHK vuông tại H có tan 3 60 . BK Vậy ·SAC , SBC 60 . Câu 84. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB = a ; BC = a 2 ; AA¢= a 3 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ACD¢) và (ABCD) . Giá trị tan a bằng: 2 6 3 2 2 A. 2 .B. .C. .D. . 3 2 3 Lời giải Chọn C + Kẻ DH ^ AC (H Î AC ). Khi đó ta có D¢H ^ AC . Vì thế góc giữa hai mặt phẳng (ACD¢) và (ABCD) là góc D·¢HD .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH A' D' B' C' A D H B C + Xét tam giác ADC vuông tại D ta có: 1 1 1 1 1 3 2a2 a 6 = + = + = Þ DH 2 = Þ DH = . DH 2 DA2 DC 2 2a2 a2 2a2 3 3 + Trong tam giác DHD vuông tại D ta có: D¢D 3 3 2 tan D·¢HD = = a 3. = . DH a 6 2 Câu 85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA AB a , AD 3a . Gọi M là trung điểm BC . Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM . 5 6 3 1 A. .B. .C. .D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S A D B M C H A D M B C H Trong SMD kẻ SH  MD H MD . Ta có: SA  ABCD AH là hình chiếu của SH lên ABCD . MD  AH Mặt khác: ABCD  SMD MD . · ABCD , SMD ·SH, AH S· HA . 2 2 2 2 3a a 13 Xét DCM vuông tại C , ta có: MD CD CM a . 2 2 1 3a2 Ta lại có: S .a.3a . AMD 2 2 2S 3a2 6a AH ADM . MD a 13 13 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 2 2 2 2 6a 7a Xét SAH vuông tại A , ta có: SH SA AH a . 13 13 AH 6a 13 6 cos S· HA . . SH 13 7a 7 6 Vậy cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM là . 7 Câu 86. Cho tứ diện ABCD có BD 2 . Hai tam giác ABD và BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10 . Biết thể tích khối tứ diện ABCD bằng 16 . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ABD , BCD . 4 4 4 4 A. arccos .B. arc .C.sin . arcD.co s . arcsin 15 5 5 15 Lời giải Chọn B 1 3V 24 Gọi H là hình chiếu của A xuống BCD . Ta có VABCD AH.SBCD AH . 3 SBCD 5 Gọi K là hình chiếu của A xuống BD , dễ thấy HK  BD . Vậy ·ABD , BCD ·AKH 1 2S Mặt khác S AK.BD AK ABD 6 . ABD 2 BD · · AH 4 Do đó ABD , BCD AKH arcsin arcsin . AK 5 Câu 87. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với a 6 mặt phẳng ABCD . Biết BC SB a, SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng 3 SBC và SCD . A. 90 .B. .C. .D. 60 . 45 30
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của SC , do tam giác SBC cân tại B nên ta có SC  BM . Theo giả thiết ta có BD  SAC SC  BD . Do đó SC  BCM suy ra SC  DM . Từ và suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là góc giữa hai đường thẳng BM và DM . a 6 Ta có SBO CBO suy ra SO CO . 3 1 a 3 Do đó OM SC . 2 3 a 3 Mặt khác OB SB2 SO2 . Do đó tam giác BMO vuông cân tại M hay góc 3 B· MO 45 , suy ra B· MD 90 . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là 90 . Câu 88. Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , góc B· AD 60 , AA a 2 . M là trung điểm của AA . Gọi của góc giữa hai mặt phẳng B MD và ABCD . Khi đó cos bằng 2 5 3 3 A. .B. .C. .D. . 3 3 4 3 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH B' C' A' D' a 2 M B C 60o A D N Gọi N B M  BA , khi đó B MD  ABCD DN . Vì ABCD là hình thoi có B· AD 60 nên tam giác ABD đều cạnh a . AM là đường trung bình của tam giác NBB nên AN AB a , suy ra ADN cân tại A , D· AN 180 B· AD 120 . Do đó ·ADN 30 . Suy ra N· DB 60 30 90 hay BD  DN . Theo định lý ba đường vuông góc ta có B D  DN , do đó góc giữa mặt phẳng B 'MD và ABCD là góc giữa B D và BD là B· DB . BD BD a 3 Xét tam giác B DB vuông tại B , cos B· DB . B D BD2 BB 2 a2 2a2 3 Câu 89. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA  ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với nhau một góc 60 . a 3 a A. B.x C.a D.3 x a x x 2 2 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có SCD  SAD , vẽ AN  SD tại N AN  SCD . SAB  SBC , vẽ AM  SB tại M AM  SBC . · SBC , SCD AM AN M· AN . ax SM MN SM.BD Ta có SB SD x2 a2 , AM AN , MN x2 a2 SB BD SB x2 .a 2 x2 x2 a2 x2a 2 SM MN MN 2 2 . x2 a2 x2 a2 x a 2 xa x a 2 2 2 AMN đều cho ta MN AM 2 2 x a x 2 x a . x2 a2 x a Câu 90. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Cho biết AB 2AD 2DC 2a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC . 1 A. B.arc C.co sD. 30 45 60 4 Lời giải Chọn D Gọi K là trung điểm của AB và H là hình chiếu của C lên SB . CK  AB SB  CH Ta có CK  SB . Do đó HK  SB . CK  SA SB  CK SAB  SBC SB Ta có CH  SB nên góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC là góc C· HK . HK  SB
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AC a 2 Ta có BC a 2 suy ra tam giác ABC vuông tại C . KB a CB  AC 1 1 1 2 3 Ta có CB  SC nên . 2 2 2 CH a CB  SA CH CB CS 3 Mặt khác CK AD a . CK 3 Xét tam giác CHK vuông tại K có sin C· HK C· HK 60 . CH 2 Câu 91. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . Gọi M là trung điểm của SC . Góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD bằng A. 90 . B. .C. .D. 30 . 45 60 Lời giải Chọn C Gọi O là tâm hình vuông ABCD , Ta có: BD  SO  BD  SOC BD  OM . BD  AC MBD  ABCD BD ·  BD  OM MBD , ABCD O·M ,OC M· OC . BD  OC SC a a 2  OM MC MOC cân tại M ; OC . 2 2 2 a 2 OC 2  cos M· OC cos M· CO 2 M· OC 45 . SC a 2 Vậy ·MBD , ABCD 45 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 92. Trong mặt phẳng P cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P tại A lấy điểm S thỏa mãn SA 2a . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và SBC là A. 30o .B. .C. .D. 45 .o 90o 60o Lời giải Chọn D Ta có SCD  SAD , vẽ AN  SD N SD AN  SCD SAB  SBC , vẽ AM  SB M SD AM  SBC · SCD , SBC ·AM , AN M· AN . Ta có MN là đườngg trung bình của SBD MN a 2 . Các SAD , SAB vuông cân cho ta AM AN a 2 AMN đều nên M· AN 60o . Câu 93. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB 2a , SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng: 2 2 2 2 A. .B. .C D 2 3 4 5 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi I AD  BC . BD  AD ta có: BD  SAD BD  SI . BD  SA SI  BD · · Kẻ DE  SI , ta có: SI  BDE SAD , SBC DE, BE . SI  DE SA 3 Ta có: sin ·AIS . SI 7 DE a 3 DB 2 Mà sin ·AIS DE DI sin ·AIS tan D· EB 7 cos D· EB . DI 7 ED 4 Câu 94. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD . 2 3 A. B.6 C. D. 2 2 2 Lời giải: Chọn đáp án D Ta có SO  ABCD và tứ giác ABCD là hình vuông. CO  BD Như vậy CO  SBD . CO  SO
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH OC Kẻ OP  SD P SD tan · SCD , SBD tanC· PO . OP a2 a a Ta có SO2 SA2 OA2 a2 OS OD OP 2 2 2 a tan ·SCD ; SBD 2 2 a 2 Câu 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là cân tại C, AC a . Các mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC a 3 và tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Lời giải: Chọn đáp án C Dựng CK  AB , lại có CK  SA · Do đó CK  SAB C· SK CS, SAB 30 a 3 Suy ra CK SC sin30 . Xét tam giác ABC cân tại C có đường cao 2 a 3 CK ABC đều suy ra B· AC 60 . 2 · Mặt khác CAB  SA SAC , SAB C· AB 60 Câu 96. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB a;BC a 3 . Cạnh bên SA  ABC , biết SC a 5 , gọi M là trung điểm của AC tính tan góc giữa 2 mặt phẳng SBM và mặt phẳng đáy ABC .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 2 3 A. 3B. 4C. D. 3 2 Chọn đáp án C BC Ta có: AC AB2 BC 2 2a BM a 2 Mặt khác SA SC 2 AC 2 a Dựng AE  BM , lại có SA  BM BM  SEA · Do đó SBM , ABC S· EA 1 1 a2 3 1 a 3 Do S S AB.BC .AE.BM AE ABM 2 ABC 4 4 2 2 Hoặc do tan B· AC 3 µA 60 do đó tam giác ABM đều cạnh a a 3 SA 2 Suy ra AE . Do đó tan S· EA 2 AE 3 Câu 97. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có góc BAD 120 , hình chiếu vuông góc của điểm H trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết đường cao của khối a 6 chóp là SH và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt phẳng SAD và 3 SCD A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Chọn đáp án D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Do H là trọng tâm tam giác ABC nên HA 2HO Dễ thấy HD 2HB . Mặt khác tam giác SBD vuông tại S có đường cao SH suy ra SH 2 HB.HD 2HB2 a 3 a 3 HB OB 3 2 a Do đó AB AC a OA . 2 AC  BD Ta có: AC  SBD AC  SD AC  SH Dựng CK  SD ACK  SD HD.SH 2a 3 a Ta có d H;SD OK d H;SD HD2 SH 2 3 4 2 OK 1 cosO· KC O· KC 45 KC 2 ·SAD,SCD ·AKC 90 1 a Hoặc OK AC ·AKC 90 (tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh 2 2 ấy). Câu 98. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB AC 2a và BC 2a 3 . Tam giác SBC đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SAC là: 5 6 4 7 A. B. C. D. 13 13 13 13 Chọn đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi H là trung điểm của BC khi đó SH  BC Mặt khác SBC  ABC suy ra SH  ABCD . BC  AH Ta có: BC  SA BC  SH Dựng BI  SA , lại có BC  SA BIC  SA 2a 3. 3 Mặt khác SH 3a; AH AB2 BH 2 a 2 SH.AH 3a a 390 Do đó IH IB IC IH 2 HB2 SH 2 HA2 10 10 II. KHOẢNG CÁCH 1. DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG a. LOẠI 1: KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐẾN MẶT PHẲNG CẮT ĐƯỜNG CAO Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông góc với đáy và SA a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBD . 2a a a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 6 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi O là giao điểm của AC và BD . BD  AC Ta có BD  SAC , BD  SBD SBD  SAC và BD  SA SAC  SBD SO Trong mặt phẳng SAC , kẻ AH  SO thì AH  SBD AH d A, SBD . Mặt khác 1 a 1 1 1 Tam giác SAO vuông tại A có OA AC , SA a và 2 2 AH 2 SA2 OA2 1 2 1 3 a AH AH 2 a2 a2 a2 3 a Vậy d A, SBD . 3 Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều S.ABCD bằng a . Gọi O là tâm đáy. Tính khoảng cách từ O tới mp SCD . a a a a A. B. C. D. 6 2 3 2 Lời giải Chọn A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Tính khoảng cách từ O tới mp SCD : Gọi M là trung điểm của CD . Theo giả thiết SO  ABCD  CD . CD  SO  SOM CD  OM  SOM CD  SOM mà CD  SCD SCD  SOM . OM  SO O Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM OH  SM SCD  SOM , suy ra OH  SCD nên d O, SCD OH . 2 2 2 2 a 2 a 2 Ta có SO SC OC a . 2 2 Trong SOM vuông tại O , ta có: 1 1 1 1 1 6 a a 2 2 2 2 2 2 OH d O, SCD OH . OH OM OS a a 2 a 6 6 2 2 Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA 2a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC 2 5a 5a 3 5a A. .2 5a B. . C. . D. . 5 5 5 Lời giải Chọn B A' C' B' 2a H A C a B Dựng AH  A B . BC  AB  Ta có  BC  A AB BC  AH BC  AA  Vậy AH  A BC d A, A BC AH .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 1 1 2 5a Xét tam giác vuông A AB có AH . AH 2 AA 2 AB2 5 Câu 4. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC , AC AD 4 , AB 3 , BC 5 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BCD . 12 60 769 34 A. d B. d C. d D. d 34 769 60 12 Lời giải Chọn.A Ta có BC 2 AB2 AC 2 nên ABC vuông tại A , gọi H là hình chiếu của A trên BCD . 1 1 1 1 1 1 1 17 Tứ diện ABCD là tứ diện vuông nên ta có AH 2 AB2 AC 2 AD2 32 42 42 72 12 Vậy d A; BCD AH . . 34 Câu 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên bằng a 5 2a 3 3 2 A. B. C. a D. a 2 3 10 5 Lời giải Vì O là tâm của đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC nên SO  ABC SO a 3 Gọi M là trung điểm của BC. AM  BC Vì ABC đều cạnh bằng 2a 2a 3 AM a 3 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 a 3 Khi đó OM AM 3 3 BC  AM Vì BC  SAM SBC  SAM BC  SO Trong SAM , kẻ OH  SM , H SM . SAM  SBC Vì SAM  SBC SM OH  SBC d O, SBC OH SAM  OH  SM Xét SOM vuông tại O có đường cao OH, ta có: a 3 a 3. OS.OM 3 d O, SBC OH 3 a . 2 2 2 10 OS OM 2 a 3 a 3 3 Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a , BC a 3 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết SB a 2 . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBC . a 3 2a 3 a 5 2a 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C. +) Kẻ HK  BC, HP  SK d H, SBC HP . HK  BC HK CH 1 AB a Từ HK / / AB HK . AB  BC AB CA 2 2 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH +) ABC vuông tại B có H là trung điểm của cạnh AC 1 1 1 HB AC AB2 BC 2 a2 3a2 a HS SB2 HB2 2a2 a2 a 2 2 2 1 1 1 1 4 a 5 a 5 HP d H, SBC HP2 HS 2 HK 2 a2 a2 5 5 Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm H của AB đến mặt phẳng SBD là? a 3 a 3 a 10 A. B. a C. D. 3 2 2 Lời giải Chọn A Vì SAB là tam giác vuông cân tại S nên SH  ABCD . Từ H kẻ HI  BD , từ H kẻ HK  SI với I BD, K SI . Ta có SH  BD BD  SHI BD  HK HK  SBD . HI  BD 1 1 1 Do đó d H, SBD HK . Mặt khác . HI 2 SH 2 HK 2 1 a AB Mà HI d A, BD và SH a . 2 2 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 1 1 3 a Nên 2 2 2 2 HK HK a a a 3 2 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABC BAD 90 , BA BC a ; AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và SAD bằng 30°. Tính khoảng cách từ A đến SCD . a A. a B. a 2 C. D. a 3 2 Lời giải Chọn A Gọi E là trung điểm của AD khi đó ABCE là hình vuông cạnh a suy ra CE  AD , lại có CE  SA Do đó CE  SAD C· SE ·SC, SAD 30 . Lại có: SC sin30 CE a SC 2a 1 SA SC 2 AC 2 a 2 . Do CE AD nên tam giác ACD vuông tại C suy ra 2 AC  CD , dựng AF  SC . SA.SC Ta có: d A, SCD AF a . SC Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng b và đường cao SH a . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC bằng: 2ab ab ab ab 3 A. B. C. D. 12a2 b2 12a2 b2 a2 b2 a2 b2 Hướng dẫn giải
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Chọn B Gọi E là trung điểm của BC suy ra AE  BC Dựng HF  SE HF  SBC d H, SBC HF b 3 1 b 3 Lại có AE HE AE 2 3 6 SH.HE ab 3 Xét tam giác vuông AHE ta có: HF SH 2 HE 2 b2 6 a2 12 ab d H, SBC . 12a2 b2 Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AD . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SCN bằng 3a 2 3a 2 3a 2 5a 2 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 2 Lời giải Chọn B AB 3 a 3 Ta có ngay SM  ABCD và SM . 2 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Kẻ MK  NC tại K và MP  SK tại P d d M, SCN MP . 1 3a2 Lại có S MK.CN S S S S . MNC 2 ABCD AMN CDN MBC 8 3a2 1 3a2 / 4 3a2 3a Mà MK.NC MK 8 2 CN a2 2 5 4 a2 4 1 1 1 4 20 32 3a 3a 2 d . d 2 SM 2 MK 2 3a2 9a2 9a2 4 2 8 Câu 11. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA a 3 , AB a 3 . Khoảng cách từ A đến SBC bằng: a 3 a 2 2a 5 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 2 Lời giải Chọn D. BC  SA Kẻ AH  SB . Ta có: BC  SAB BC  AH . BC  AB Suy ra AH  SBC d A; SBC AH .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 1 1 SA.AB 6a Trong tam giác vuông SAB ta có: AH . AH 2 SA2 AB2 SA2 AB2 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , ·ABC 600 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBD , biết rằng SA a 3 là. a 3 a 3 a 3 A. .d B. . dC. a. 3 D. . d d 4 2 3 Lời giải Chọn C S H C D O B A . Gọi các điểm như hình vẽ. AH d AO a Khi đó A, SBD , ta có . Trong tam giác SAO ta có: AS2.AO2 3a4 a 3 CH . AS2 AO2 4a 2 2 a 3 Vậy d . A, SBD 2 Câu 13. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA a 3 ,AB a 3 . Khỏang cách từ A đến SBC bằng: a 3 a 2 a 6 a 6 A. B. C. D. 2 3 6 2 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Kẻ AH  SB H SB BC  AB Ta có BC  (SAB) BC  AH BC  SA SB a 6 AH  SBC d A, SBC AH 2 2 Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: a 5 2a 3 3 2 A. B. C. a D. a 2 3 10 5 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm BC . Kẻ OH vuông góc SM . Ta chứng minh được: OH  SBC => d O, SBC OH 1 a 3 SO.OM 3 OM AM ; OH a 3 3 SO2 OM 2 10
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 15. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh 1 , AA 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC bằng 3 15 2 15 3 A. B. C. D. 2 5 5 4 Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC AM  BC , Do AA  ABC AA  BC suy ra BC  AA M . Kẻ AH  A M AH  BC . Do đó AH  A BC hay d A; A BC AH . 3 Ta có AM (đường cao của tam giác đều cạnh bằng 1 ). 2 1 1 1 1 4 5 3 15 Suy ra AH . AH 2 AA 2 AM 2 3 3 3 5 5 15 Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC bằng . 5 Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CB D bằng a 3 a 3 a 2 2a 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn D C B D A I H C' B' O' D' A'
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi I AC CO ta có I AC  CB D . Gọi H là hình chiếu của C lên CO . Khi đó CC .C O a 3 d C ; CB D C H . CC 2 C O 2 3 2a 3 Mặt khác, ta có AI 2C I nên d A; CB D 2d C ; CB D . 3 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , AC a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SBC theo a . a 13 3a 26 a 13 A. .B. .C. .D. . 1 m 5 26 13 2 Lời giải Chọn D Gọi M , H lần lượt là trung điểm của BC và BM . Do ABC là tam giác đều nên AM  BC . Mà HI là đường trung bình nên HI  BC . Kẻ IE  SH tại E . Ta chứng minh được IE  SBC tại E . Suy ra: d I, SBC IE . AM IS.IH IC.tan 60. 3a 13 Ta có: IE 2 . 2 2 2 26 IS IH 2 AM IC.tan 60 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a ; cạnh bên SA a và vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD bằng: 2a 3 2a 2a 5 a 3 A. B. C. D. 3 3 5 2 Lời giải Trong ABCD , kẻ AE  BD, E BD . Trong ABCD , kẻ AH  SE, H SE (1) BD  SA Vì BD  SAE BD  AH (2) BD  AE Từ (1) và (2) AH  SBD d A, SBD AH . Xét ABD vuông tại A có đường cao AE, ta có: AB.AD a.2a 2a AE . AB2 AD2 a2 4a2 5 Xét SAE vuông tại A có đường cao AH, ta có: 2a a. SA.AE 2a AH 5 2 2 2 3 SA AE 2 2a a 5 2a Vậy d A, SBD AH . 3 Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a , BC a 3 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh A. BiếtC SB a . Tính2 theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB . a 21 a 21 3a 21 7a 21 A. . B. . C. . D. . 3 7 7 3 Lời giải Chọn đáp án B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AC AC AB2 BC 2 2a BH a 2 Do vậy SH SB2 BH 2 a . Dựng HE  AB; HF  SE BC a 3 SH.HE a 21 Ta có: HE d H, SAB 2 2 SH 2 HE 2 7 Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và SA  ABC . Biết AB BC 2a , ABC 120 . Tính khoảng cách từ A đến SBC ? a 3a A. 2a B. C. a D. 2 2 Lời giải Chọn D Từ A kẻ AH  BC , kẻ AK  SH với H BC, K SH . Ta có SA  BC BC  SAH BC  AK AK  SBC AH  BC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 1 1 Do đó d A, SBC AK thỏa mãn . SA2 AH 2 AK 2 3 Mà SA 3a và AH sin 60.AB .2a a 3 2 1 1 1 4 3a 3a Nên AK d A, SBC AK 2 9a2 3a2 9a2 2 2 Câu 21. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng A'BC bằng a 3 a 2 a 5 a A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Do AD / /BC d D, A'BC d A, A'BC BC  AB Kẻ AH  A'B ta có BC  A' AB BC  AH BC  AA' Mà AH  A'B AH  A'BC 1 1 1 2 a 2 Ta có AH . AH 2 AB2 AA'2 a2 2 Câu 22. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc BAC 60 ,SA vuông góc với mp ABCD góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ A đến mp SBC bằng: a 2 3a A. .B. .C. .D. 2 .a a 3 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Lời giải Chọn C S H A D B M C + ABCD là hình thoi, góc BAC 60 nên ta có tam giác ABC đều. + Gọi M là trung điểm BC ta có góc giữa SBC và đáy ABCD bằng góc SMA 60 . + Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SM ta có: BC  SA + BC  SAM BC  AH . BC  AM Lại có: AH  SM AH  SBC d A, SBC AH . a 3 + AM . 2 AH 3 a 3 3 3a sin 60 AH . . AM 2 2 2 4 Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC). a 7 a 21 a 21 a 21 A. B. C. D. 29 4 29 3 29 29 Lời giải Chọn B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S A I E H A C H B I' A' HK' C I H' B a 3 Ta có CI AC 2 AI 2 2 a 7 a 21 Do đó AH AI 2 IH 2 , suy ra SH Ah.tan 600 . 4 4 Gọi A', H ', I 'lần lượt là hình chiếu của A, I, H trên BC, E là hình chiếu của H trên SH thì' HE  SBC d H; SBC HE. 1 1 a 3 1 1 1 a 21 Ta có: HH ' II ' AA' . Từ HE 2 4 8 HE 2 HS 2 HH '2 4 29 a 21 Vậy d H, SBC . 4 29 Câu 24. Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a, ·ABC 1200. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại G, lấy điểm S sao cho A· SC 900. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBD theo a. a 7 a 2 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 9 5 Hướng dẫn giải Chọn A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH ·ABC 1200 B· AD 600 ABD đều cạnh a. Gọi O là giao điểm giữa AC với BD. a 3 2 a 3 AO ; AG AO ; AC a 3 2 3 3 a 6 SG GA.GC 3 KẻGH  SO GH  SBD a 6 BD  GH  SAO d G; SBD GH 9 Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, AA' 2a, A'C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC . 2a 3 a 3 a 5 2a 5 A. B. C. D. 5 3 3 5 Hướng dẫn giải Chọn D. Hạ IH  AC H AC IH  ABC , nên IH là đường cao của tứ diện IABC, suy ra IH CI 2 2 4a IH / / AA' IH AA' . AC A'C 2 A' A2 a 5 , AA' CA' 3 3 3 BC AC 2 AB2 2a . Hạ AK  A' B K A' B . Vì BC  ABB'A' nên AK  BC AK  IBC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC là AK. Ta có 2S AA'.AB 2a 5 AK AA'B . A' B AA'2 AB2 5
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 26. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Gọi O là tâm của đáy ABC , d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC . Tính d d1 d2 . 2a 2 2a 2 8a 2 8a 2 A. .d B. . C.d . D. . d d 11 33 33 11 Lời giải Chọn C. S a 3 H A C K a O M B Do tam giác ABC đều tâm O suy ra AO  BC tại M là trung điểm của.BC a 3 1 a 3 2 a 3 Ta có:AM , MO AM ,OA AM . 2 3 6 3 3 3a2 2a 6 Từ giả thiết hình chóp đều suy ra SO  ABC , SO SA2 OA2 3a2 . 9 3 OK OM 1 Dựng OK  SM , AH  SM AH //OK; . AH AM 3 BC  SO Có BC  SAM BC  OK . BC  AM OK  SM Có OK  SBC , AH  SBC do AH //OK . OK  BC Từ đó có d1 d A, SBC AH 3OK;d2 d O, SBC OK . Trong tam giác vuông OSM có đường cao OK nên: 1 1 1 36 9 99 2a 2 OK . OK 2 OM 2 SO2 3a2 24a2 8a2 33 8a 2 Vậy d d d 4OK . 1 2 33
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc ·ABC 30 ; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SAB vuông góc mặt phẳng ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là: a 6 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 5 3 3 6 Lời giải. Chọn D S E A B H K C a a 3 Ta có tam giácABC vuông tại A góc ·ABC 30 và BC a , suy ra AC , AB . 2 2 SAB  ABC Lại có AC  SAB , suy ra tam giác SAC vuông tại A . CA  AB 2 2 2 2 a a 3 Suy ra SA SC AC a . 2 2 a 3 a 3 Tam giác SAB có SA , AB , SB a . Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính 2 2 a2 2 2S a 6 a 3 2AB được S SH SAB BH . SAB 4 AB 3 3 3 2 Suy ra d H, SBC d A, SBC . Từ H kẻ HK  BC . 3 a 3 a 6 Kẻ HE  SK HE  SBC . Ta dễ tính được HK d H, SBC . 6 9 3 3 a 6 a 6 Vậy d A, SBC d H, SBC  . 2 2 9 6 b. LOẠI 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG CHỨA HOẶC SONG SONG VỚI ĐƯỜNG CAO
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 28. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C ' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E thuộc BC sao cho BC 3EC . Biết hình chiếu vuông góc của A' lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Cạnh bên AA' 2a và tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng A'HE là a 39 3a 3a 4a A. . B. . C. . D. . 3 5 4 5 Lời giải Chọn D. Ta có AA' tạo với đáy một góc 60° nên ·A' AH 60 . Khi đó AH A' A.cos60 a AB BC 2a . 4a Do vậy BH a;BE 3 Dựng BK  HE , lại có BK  A'H BK  A'HE BH.BE 4a Do đó d B, A'HE BK BH 2 BE 2 5 Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng SBD a 2a 3a 4a A. B. C. D. 5 5 5 5 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH SAC  ABCD Ta có SBD  ABCD và SAC  SBD SO SO  ABCD với O AC  BD AH  BD Kẻ AH  BD ta có AH  SBD AH  SO 1 1 1 5 2a Ta có AH AH 2 AB2 AD2 4a2 5 2a d A, SBD 5 Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB 2HA . Biết SC tạo với đáy một góc 45° và cạnh bên SA 2a 2 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB a 3 2a 2 3a 3 a 2 A. B. C. D. 2 3 2 3 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có ·SC, ABC S· CH 45 Giả sử AB BC CA 3x Ta có CH AH 2 AC 2 2AH.AC.cos60 x 7 Ta lại có SA2 SH 2 AH 2 8a2 8x2 x a AB BC CA 3a CK  AB Kẻ CK  AB ta có CK  SAB CK  SH 3a 3 3a 3 Mà CK d C, SAB 2 2 Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường   thẳng AB sao cho 3HA HB 0 . Hai mặt phẳng SAB và SHC đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SHC . 5a 5a 12a 6a A. B. C. D. 12 6 5 5 Lời giải Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH SAB  ABCD Ta có mà SAB  SHC SH SHC  ABCD SH  ABCD BK  CH Kẻ BK  CH ta có BK  SHC BK  SH 1 1 1 25 12a Ta có BK BK 2 BH 2 BC 2 144a2 5 12a d B, SHC 5 Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD k.AB . Hình chiếu vuông   góc của đỉnh S xuống mặt đáy là H thỏa mãn HB 2HA . Tỷ số khoảng cách từ A đến mặt phẳng SDH và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SHC là: 4 9k 2 1 4 9k 2 1 1 A. . B. . C. . . D. . 1 9k 2 2 1 9k 2 2 2k Lời giải Chọn B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Không mất tính tổng quát. Đặt AB 3 AD 3k Dựng AE  DH , lại có AE  SH AE  SDH AH.AD Do đó d A, SDH AE d1 AH 2 AD2 Tương tự dựng BF  HC ta có: BH.BC d B, SHC BF d2 BH 2 BC 2 d AH BH 2 BC 2 1 4 9k 2 Do vậy 1 . 2 2 2 d2 BH AH AD 2 1 9k Câu 33. Cho hình lăng trụ ABCD. A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng A BD . A' D' B' C' A D O B C a 3 a 3 a 3 a 3 A. .B. .C. .D. . 3 4 2 6
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Hướng dẫn giải Chọn C A' D' B' C' A D H O B C Ta có: d B , A BD d A, A BD . Gọi H là hình chiếu của A lên BD . Ta có: AH  A BD d A, A BD AH . 1 1 1 1 1 a 3 a 3 Mà: AH . Vậy d B, A BD . AH 2 AB2 AD2 a2 3a2 2 2 c. LOẠI 3: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP TRƯỢT ĐỈNH VỀ CHÂN ĐƯỜNG CAO 1 Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB BC AD a . Biết 2 SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Tính theo a khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD . 1 1 2 A. .d a B. . d C.a . D.d . a d a 2 4 2 Lời giải Chọn A S H I A D B C E Gọi I là trung điểm của đoạn AD . Ta có AI // BC và AI BC nên tứ giác ABCI là hình vuông hay 1 CI a AD ACD là tam giác vuông tại C . 2 Kẻ AH  SC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH AC  CD Ta có CD  SCA AC  SA hay CD  AH nên AH  SCD d A, SCD AH ; AC AB2 BC 2 a 2 . SA.AC a 2.a 2 AH a . SA2 AC 2 2a2 2a2 EB BC 1 Gọi AB CD E , mặt khác nên B là trung điểm của đoạn AE . EA AD 2 d B, SCD 1 a 1 . Vậy d a . d A, SCD 2 2 2 Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a , mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2 3a , S· BC 30 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC . 6 7a 3 7a A. .6 7a B. . C. . D. . a 7 7 14 Lời giải Chọn B S I K A C H 30 B Ta có SBC  ABC và SBC  ABC BC Trong mặt phẳng SBC , kẻ SH  BC thì SH  ABC SH  BC . Tam giác SBH vuông tại H có SH SB.sin 30 a 3 ; BH SB.cos30 3a HC a . BC Vì 4 nên d B, SAC 4d H, SAC . HC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Trong mặt phẳng ABC , kẻ HK  AC ; SH  AC AC  SHK ; AC  SAC SAC  SHK và SAC  SHK SK Trong mặt phẳng SHK , kẻ HI  SK thì HI  SAC HI d H, SAC HK CH CH.AB 3a Tam giác CKH và tam giác CBA đồng dạng nên HK . AB CA AB2 BC 2 5 1 1 1 3 7a Tam giác SHK vuông tại H có HI . HI 2 SH 2 HK 2 14 6 7a Vậy d B, SAC . 7 Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy và SA AB 3 . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC bằng 6 6 6 A. . B. . C. . 3 D. . 3 6 2 Lời giải Chọn B S M G A C B Gọi M là trung điểm của SB AM  SB (vì tam giác SAB cân). BC  AB Ta có BC  SAB BC  AM . BC  SA AM  SB Và AM  SBC GM  SBC tại M . AM  BC Do đó d G, SBC GM .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH SB 6 AM 6 SB AB 2 6 , AM GM . 2 2 3 6 Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B cóAB BC a , tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng. a 42 a 42 a 21 A. . B. . 2a C. . D. . 14 7 14 Lời giải Chọn C S K C A H M B Gọi H và M lần lượt là trung điểm của AC và BC . Ta có d A, SBC 2d H, SBC . Theo giả thiết tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC nên SH  ABC SH  BC 1 Do tam giác tam giác ABC vuông cân tại B nên HM  BC 2 Từ 1 và 2 ta có BC  SHM SHM  SBC . Trong mặt phẳng SHM kẻ HK  SM thì d H, SBC HK . Theo đề bài ta có có tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC a 1 a AC BA2 BC 2 a 2 , HM AB . 2 2 a 6 Mặt khác tam giác SAC đều nên SH . Xét tam giác vuông SHM ta có 2 1 1 1 1 1 1 1 28 a 42 HK . HK 2 HM 2 SH 2 HK 2 6a2 a2 HK 2 6a2 14 4 4 a 42 Vậy d A, SBC 2HK 7 Câu 38. Hình hộp đứng ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, góc B· AD 60 đồng thời AA' a . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD.Khoảng cách từ G tới mặt phẳng A'BD bằng 2a 21 2a 7 a 21 a 21 A. B. C. D. 7 7 7 21
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Lời giải BD  AC Vì BD  AA'O A' BD  AA'O BD  AA' Trong AA'O , kẻ AH  A'O, H A'O . A' BD  AA'O Vì A' BD  AA'O A'O AH  A' BD AA'O  AH  A'O AA'.AO d A, A' BD AH AA'2 AO2 a 3 Tam giác ABD cân có B· AD 60 ABD đều có cạnh bằng a AO 2 a 3 a. d A, A' BD AA'.AO a 21 Vậy d G, A' BD 2 . 3 2 2 2 21 3 AA' AO a 3 3 a2 2 Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác MBC, cạnh 2a bên SC . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB . 3 a 6 a 6 a 6 a 6 A. d B. d C. d D. d 12 6 4 8 Lời giải Gọi I là trung điểm của MB. Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra SG  ABC . Từ G kẻ GH  AB , kẻ GK  SH với H AB, K SH . Nên GK  SAB d G; SAB GK . a 13 2 a 13 Ta có IC MC 2 MI 2 ,GC IC 4 3 6 a 3 1 a 3 SG SC 2 GC 2 ,GH MC 6 3 6 Do đó SGH vuông cân tại G nên 1 1 a 6 a 6 GK SH . 2 2 6 12
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 3a 6 a 6 Mà d C; SAB 3d G; SAB . 12 4 Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 45. Gọi O là giao điểm của AC và.B TínhD khoảng cách từd điểm đếnO mặt phẳng SB . C a 2 a a 2 3a A. .d B. . d C. . D. . d d 2 2 4 2 Lời giải Chọn đáp án C d O, SBC OC 1 1 +) d O, SBC d A, SBC d A, SBC AC 2 2 AP Kẻ AP  SB d A, SBC AP d O, SBC 2 +) · SCD , ABCD S· DA S· DA 45 AD SA a 1 1 1 1 1 2 AP2 SA2 AB2 a2 a2 a2 a 2 a 2 AP d O, SBC 2 4 Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB a; BC 2a . Hình chiếu vuông 3a góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm của A. BiếtC SB , khoảng cách từ 2 điểm C đến mặt phẳng SAB là 2a a 2 A. . B. . a 2 C. . D. . 2a 2 5 2 Lời giải
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Chọn đáp án B AC AB2 + BC2 a 5 Ta có: BH = = = 2 2 2 Do đó SH SB2 BH 2 a Dựng HE  AB; HF  SE khi đó HF  SAB BC Do vậy d H, SCD HF . Lại có HE a 2 1 1 1 a 2 Mặt khác HF HF 2 HE 2 SH 2 2 Lại có CA 2HA d C, SAB 2d H, SAB a 2 Câu 42. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB AC 3a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC 2HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng B AC bằng 2a 3a 3 a A. . B. . a 3 C. . D. . 3 2 2 Lời giải Chọn đáp án B Ta có: BC 3a 2 HB a 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Lại có B ' H BB '2 HB2 a 2 Dựng HE  AC; HF  B ' E HF  B ' AC HE CH 2 Ta có HE 2a AB BC 3 HE.B ' H 2a HF HE 2 B ' H 2 3 d B, B ' AC BC 3 Mặt khác d H, B ' AC HC 2 3 Do đó d .HF a 3 . 2 Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi H nằm trên đoạn AD sao cho HD 2HA . Khi SA 3 3 , tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBD . 9 21 21 2 21 3 21 A. .d B. . dC. . D. . d d 14 7 7 7 Lời giải Chọn đáp án C Ta có AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABCD . SA ·SB, ABCD ·SB, AB S· BA 60 AB 3 tan 60 Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến SBD . Lại có ba cạnh SA, AB, AD đôi một vuông góc với nhau. 1 1 1 1 1 2 3 21 Nên 2 2 2 2 2 2 h h SA AB AD 3 3 3 7 2 2 21 Mà d H, SBD d A, SBD . 3 7
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên ABC trùng với trung điểm H của AC. Biết A'H 3a . Khi đó, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB' A' bằng 6a 5a 3a 4a A. B. C. D. 7 7 7 7 Lời giải Chọn A. Ta có d C, ABB' A' 2d H, ABB' A' AB  HE Kẻ HE  AB, HF  SE ta có AB  A'HE AB  A'H AB  HF mà HF  A'E HF  ABB' A' 1 1 a 3 a 3 Ta có HE CM . 2 2 2 4 1 1 1 49 3a Ta có HF HF 2 HA'2 HE 2 9a2 7 6a d C, ABB' A' . 7 Câu 45. Cho hình chóp S.ABC , có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và đều bằng 45 . Biết AB 3 , AC 4 , BC 5 . Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng SAB . 20 41 15 46 5 46 10 41 A. .d B. . C. .d D. . d d 41 46 46 41 Lời giải
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Chọn A S K 0 450 H 45 C B I A Gọi H là hình chiếu của S trên mặt ABC . Mà SA SB SC SAH SBH SCH HA HB HC H là tâm tam giác ABC . Mặt khác AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại A H là trung điểm của BC . Ta có S·A, ABC S·B, ABC S·C, ABC S· AH S· BH S· CH 45 . BC 5 Khi đó SBC vuông cân SH . 2 2 AC Lấy I là trung điểm của AB AB  SHI , HI 2 . 2 Dựng HK  SI tại K HK  SAB d H, SAB HK . Do H là trung điểm của BC d C, SAB 2d H, SAB 2HK . 1 1 1 41 10 20 41 Trong SHI có: HK d C, SAB . HK 2 SH 2 HI 2 100 41 41 Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng ABCD góc 60 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SC , khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ABK bằng: a 15 a 10 a 7 a 5 A. B. C. D. 4 5 4 3 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S A D K I O M H B C Ta có ·SC; ABCD S· CA 60 AC a 2 , SA a 6 , SC 2 2a . SK SA2 SK 3 Xét tam giác SAC có SK.SC SA2 . SC SC 2 SC 4 1 a 6 Kẻ KH  AC tại K suy ra KH  ABCD và KH SA . 4 4 3 3 Kẻ HM  AB tại M suy ra HM BC a . 4 4 Kẻ HI  KM tại I suy ra HI  ABK hay d H; ABK HI . 1 1 1 3 10 Xét tam giác KHM có HI a . HI 2 HK 2 HM 2 20 4 4 3 10 10 Ta có d D; ABK d C; ABK d H; ABK . a a . 3 3 20 5 Câu 47. Cho hình chóp đều S.ABC có SA 2cm và cạnh đáy bằng 1cm . Gọi M là một điểm thuộc  2  miền trong của hình chóp này sao cho SM SG , với G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 3 ABC . Gọi a , b , c lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng SAB , SAC , SBC . Tính giá trị của biểu thức P a b c . 165 7 165 2 165 2 165 A. .P B. . C.P . D. . P P 45 45 135 45 Lời giải Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S E M A K C G P N B S.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC là tam giác đều và G cũng là trọng tâm tam giác ABC . 2 3 3 1 3 3 33 AG  , GN  , SG SA2 AG2 . 3 2 3 3 2 6 3 2 2 2 SG.GN d M , SAB d M , SAC d M , SBC d G, SBC GK  3 3 3 SG2 GN 2 2 165  . 3 45 2 165 Suy ra P a b c . 45 Câu 48. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2. Tam giác (SAD) cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD 4 bằng a3. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) . 3 2 4 8 3 A. h = a. B. h = a. C. h = a. D. h = a. 3 3 3 4 Lời giải Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S A B K H D C Gọi H là trung điểm AD . Suy ra SH ^ AD Þ SH ^ (ABCD). Đặt SH = x . 1 2 4 Ta có V = .x. a 2 = a3 Þ x = 2a . 3 ( ) 3 Ta có d éB, SCD ù= d éA, SCD ù ëê ( )ûú ëê ( )ûú 4a = 2d éH,(SCD)ù= 2HK = . ëê ûú 3 Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AD // BC , a 2 AB BC . Biết SA vuông góc với đáy, góc giữa SC mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính 2 khoảng cách từ trung điểm I của AC đến mặt phẳng SBC theo a . a 3 a 21 a 21 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 14 7 4 Lời giải Chọn B S H A D I 60° B C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có: SA  ABCD suy ra SC, ABCD S· CA 60 . Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC AB 2 a . Suy ra SA AC.tan 60 a 3 . 1 Vì I là trung điểm AC nên d I, SBC d A, SBC 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB AH  SBC AB2.SA2 a 21 1 a 21 Suy ra: d A, SBC AH d I, SBC AH . AB2 SA2 7 2 14 Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB AD 2a , DC a . Điểm I là trung điểm đoạn AD , mặt phẳng SIB và SIC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 . Tính khoảng cách từ D đến SBC theo a . 2a 15 9a 15 9a 15 a 15 A. .B. .C. .D. . 5 10 20 5 Lời giải Chọn D Cách 1: S A E A B B I 60 H D D C C SIB  ABCD Ta có SIC  ABCD SI  ABCD . SIB  SIC SI Trong mp ABCD , kẻ IH  BC thì BC  SIH ·SBC , ABCD S· HI . Mặt khác
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 1 1 3a2 S S S S S AD AB CD ID.DC IA.AB S . IBC ABCD ICD IAB IBC 2 2 2 IBC 2 1 2SIBC 2SIBC 3a Lại có SIBC IH.BC IH IH IH . 2 BC AB2 DE 2 5 3a 3 6a Tam giác SHI vuông tại I có SI IH.tan 60 và SH 5 5 Khi đó SI.SBCD VS.DBC VD.SBC d D, SBC SSBC 1 Mà S S S a2 ; S SH.BC 3a2 BCD ABCD ABD SBC 2 a 15 d D, SBC . 5 Cách 2: S A E B K I 60 F H D C SIB  ABCD Ta có SIC  ABCD SI  ABCD . SIB  SIC SI Trong mp ABCD , kẻ IH  BC thì BC  SIH ·SBC , ABCD S· HI . Mặt khác: 1 1 1 3a2 S S S S S AD AB CD ID.DC IA.AB S . IBC ABCD ICD IAB IBC 2 2 2 IBC 2 1 2SIBC 2SIBC 3a Lại có SIBC IH.BC IH IH IH . 2 BC AB2 DE 2 5
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH 3a 3 6a Tam giác SHI vuông tại I có SI IH.tan 60 và SH . 5 5 Gọi E là trung điểm cạnh AB và F là giao điểm của DF và IH Vì BCDF là hình bình hành nên DF // BC d D, SBC d F, SBC KF . DI.AE a 2a Hai tam giác DFI và DAE đồng dạng nên IF FH . DE 5 5 SI.HF a 15 Hai tam giác HKF và HIS đồng dạng nên KF . SH 5 a 15 Vậy d D, SBC . 5 Câu 51. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB 2a ; AC=2a 3 .Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng (SAC). a 3 a 5 a 5 3a A. B. C. D. 5 3 5 5 Lời giải Chọn C. S M C B H 60° K A Trong mặt phẳng (ABC) kẻ HK  BC tại K BC  SHK Từ giả thuyết ta có S·HK 300 BC AB2 AC 2 4a AC HK 3 a 3 sin ·ABC HK BC HB 2 2 a Trong VSHK có: SH HK.tan S· KH 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Do M là trung điểm cạnh BC nên MH//BC do đó MH// (SAC) Suy ra: d M ;(SAC) d H;(SAC) Trong (SAB) kẻ HtạiD  . SA D Ta có: AC  (SAB) AC  DH DH  (SAC) 1 1 1 5 HD a DH 2 HA2 SH 2 5 5 Vậy d M ;(SAC) d H;(SAC) HD a 5 Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc B·AC = 600 . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD 2HB . Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng ABCD góc 600 với O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD theo a. 3a 7 3a 7 a 7 2a 7 A. B. C. D. 15 14 11 15 Lời giải Chọn B. 1 a 3 a Trong tam giác SHO có: SH HO.tan 600 . . 3 . Tính khoảng cách từ B đến mặt 3 2 2 a 57 a 21 phẳng SCD : SD SH 2 HD2 ; SC SH 2 HC 2 ; 6 6 a 57 a 21 SD ;SC ; 6 6 SC SD CD CD a, p 2 a2 21 S = p(p- SC)(p- SD)(p- CD)= (3) DSCD 12 3a 7 Từ (1),(2),(3) ta có d (B,(SCD))= . 14
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a ; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) . 3a 21 a 21 4a 21 2a 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn B. Kẻ SH ^ AC, H Î AC Do (SAC)^ (ABCD)Þ SH ^ (ABCD) SA.SC a 3 SA = AC 2 - SC 2 = a, SH = = . AC 2 Ta có a AH = SA2 - SH 2 = Þ CA = 4HA 2 Þ d (C,(SAD))= 4d (H,(SAD)) Do BC / /(SAD)Þ d (B,(SAD))= d (C,(SAD))= 4d (H,(SAD)) Kẻ HK ^ AD(K Î AD), HJ ^ SK (J Î SK) Chứng minh được (SHK)^ (SAD) mà HJ ^ SK Þ HJ ^ (SAD)Þ d (H,(SAD))= HJ a 2 SH.HK a 3 DAHK vuông tại K Þ HK = AH.sin450 = Þ HJ = = . 4 SH 2 + HK 2 2 7 2a 3 2a 21 Vậy d (B,(SAD))= = . 7 7
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm I của AC và BC. Mặt bên (SAB) hợp với đáy một góc 600. Biết rằng AB BC a, AD 3a . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) theo a. 4a 3 3a 3a 3 3a 3 A. B. C. D. 5 4 7 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi K là hình chiếu của I lên AB. Suy ra S· KI 600 . KI BI Do IK // AD AD BD BI BC a 1 BI 1 BI 1 Mà ID AD 3a 3 BI ID 4 BD 4 KI 1 3a 3a 3 Suy ra KI SI AD 4 4 4 AB  IK Gọi H là hình chiếu của I lên SK. Ta có AB  IH . AB  SI Từ đó suy ra IH  SAB d I; SAB IH Mà do DB = 4IB d D; SAB 4d I; SAB 4IH 1 1 1 16 16 3a 3 Lại có IH IH 2 IS 2 IK 2 27a2 9a2 8 3a 3 Vậy d D; SAB . 2 Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc DAB = 1200. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 600. Tính thể khoảng cách từ A đến (SBC). a 3 3a 3a 3a 3 A. B. C. D. 5 4 7 2 Hướng dẫn giải Chọn B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH SAC  ABCD SBD  ABCD SO  ABCD SO  BC SAC  SBD SO Kẻ OK  BC BC  SOK SBC , ABCD SKO 600 SH.HK a 3 HJ SH 2 HK 2 2 7 AO Ç(SBC)= C Þ d (A,(SBC))= 2d (O,(SBC)) ì ï (SBC)^ (SOK) ï í (SBC)Ç(SOK)= SK Þ OH ^ (SBC)Þ d (O,(SBC))= OH ï ï îï OH ^ SK 1 1 1 3a 3a = + Þ OH = Þ d (A,(SBC))= . OH 2 OK 2 OS 2 8 4 Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , BC 2a 2 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC . 3a 21 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 15 13 5 Lời giải Chọn A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S A D I H O B K C Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và O là tâm hình chữ nhật ABCD 2 2 1 1 2 Ta có: BH BO . AC a2 2a 2 a 3 3 2 3 Ta có SH  ABCD nên góc giữa SB và mặt phẳng ABCD là S· BH 60 Trong tam giác vuông SBH có SH BH.tan S· BH a.tan 60 a 3 3 Khoảng cách d A, SBC 2d O, SBC 2. d H, SBC 3d H, SBC 2 Kẻ HK  BC (với K BC ), HI  SK (với I SK ) (1) Ta có SH  ABCD SH  BC . Suy ra BC  SKH BC  HI (2) 1 a Từ (1) và (2) suy ra HI  SBC d H, SBC HI ; HK DC 3 3 a a 3. SH.HK a 21 Trong tam giác vuông SHK có HI 3 SH 2 HK 2 a2 14 3a2 9 3a 21 Vậy d A, SBC 3d H, SBC 3.HI . 14 Câu 57. Cho hình chóp S.ABC có AB AC và BC a 3 , B· AC 120 . Gọi I là trung điểm cạnh AB . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60 . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC . 3a 37 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 37 15 13 5 Lời giải Chọn A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH S E A C H K I H' B Theo định lý Cô-sin trong tam giác ABC ta có AB AC a 7a2 Ta có CI 2 AI 2 AC 2 2.AI.AC.cos120 4 a 7 CI 2 2 AI 2 AC 2 CI 2 3a2 Do đó AH 2 4 16 a 3 3a AH . Suy ra SH AH.tan 60 4 4 AH cắt BC tại K A I H B I' A' H' K C Gọi A , H , I lần lượt là hình chiếu của A, H, I lên BC , ta có: d A, SBC AK AA 4 d A, SBC 4.d H, SBC d H, SBC HK HH Gọi E là hình chiếu của H lên SH thì HE  SBC d H, SBC HE 1 1 1 1 3a HH AA , từ HE 4 HE 2 HS 2 HH 2 4 37 3a 37 KL: Vậy d A, SBC 4.HE . 37
TÀI LIỆU ÔN THI THPT NĂM 2020 CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bênSAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH 2AH . Gọi I là giao điểm của HC và BD . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SCD . a 33 3a 22 3a 33 a 23 A. . B. . C. . D. . 15 55 11 12 Lời giải Chọn C. S M B C H I K A D 2a2 a 2 Ta có SH 2 HA.HB SH 9 3 d I, SCD IC IC CD 3 IC 3 và d H, SCD HC IH BH 2 HC 5 13 CH 2 BH 2 BC 2 a2 9 1 1 1 11 a 22 HM HM 2 SH 2 HK 2 2a2 11 3a 22 d I, SCD . 55 Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD a , AA a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng B MC 3a 21 a a 21 2a 21 A. .h B. . C.h . D. . h h 7 21 14 7 Lời giải Chọn D