Chuyên đề Bài tập trắc nghiệm Toán học 12 - Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

88 trang xuanha23 09/01/2023 2541

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bài tập trắc nghiệm Toán học 12 - Nguyên hàm tích phân và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_bai_tap_trac_nghiem_toan_hoc_12_nguyen_ham_tich_ph.docx

Nội dung text: Chuyên đề Bài tập trắc nghiệm Toán học 12 - Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 1 Chủ đề III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Vấn đề cần nắm: Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng I. Nguyên hàm và các tính chất cơ 1. Định nghĩa bản II. Hai phương Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của pháp cơ bản tìm hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x thuộc K. nguyên hàm III. Khái niệm và Định lý 1 tính chất cơ bản tích phân 1. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số IV. Hai phương C, hàm G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm f x trên K. pháp cơ bản tính tích phân 2. Đảo lại nếu F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên K thì V. Ứng dụng hình học của tích phân tồn tại hằng số C sao cho F x G x C . Định lý 2 Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. STUDY TIP Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên Từ định nghĩa nguyên hàm trên K.” hàm ta có được: f x dx ' f x Từ hai định lý trên ta có - Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì F x C,C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K. Kí hiệu Chú ý f x dx F x C . Biểu thức f x dx 2. Tính chất của nguyên hàm chính là vi phân của Tính chất 1 nguyên hàm F x của f ' x dx f x C f x , vì Tính chất 2 dF x F ' x dx f x dx kf x dx k f x dx Từ đây ta suy ra hệ quả Tính chất 3 Với u ax b, a 0 f x g x dx f x dx g x dx ta có f ax b dx 1 F ax b C a
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 3 Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u liên tục sao cho hàm hợp f u x xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì f u x u ' x dx F u x C Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm x 1 10 dx . STUDY TIP Lời giải Với phương pháp đổi biến ta cần chú trọng Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng f u du . công thức mà suy ra từ định lý như sau: Mà u ' x 1 ' 1, do vậy Nếu u f x , khi đó 11 10 10 10 x 1 du f ' x dx x 1 dx x 1 . x 1 'dx x 1 d x 1 C . 11 Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến. Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng Nếu tính nguyên hàm theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số tiền theo biến mới cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn. u u u x thì sau Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một khi tính nguyên hàm kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng dồn vào vốn để tính lãi kép. Ví xong, ta phải trở lại dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar, tháng 2, tháng 3 cũng là ar, sau hết biến x ban đầu bằng kỳ hạn 3 tháng mà không rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào cách thay u bởi u x . tiền gốc. Lời giải tổng quát 1. Đặt u g x . 2. Biến đổi x và dx về u và du. 3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp f u du , sau đó thay biến x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả. Ta đến với ví dụ 2
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 3 Ví dụ 2: Tìm x2 1 x 7 dx . Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp hơn là x2 . Do vậy ta sẽ đặt 1 x 7 để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng gợi ý các bước trên. Lời giải Đặt u 1 x du 1 x 'dx du dx ta có x2 1 x 7 dx 1 u 2 .u7 . 1 du u7 2u8 u9 du 8 9 10 u8 2u9 u10 1 x 2 1 x 1 x C C 8 9 10 8 9 10 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Định lý 4 Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì Chú ý u x v ' x dx u x .v x v x u ' x dx Đẳng thức trong định lý 4 còn dc viết dưới Nếu nguyên hàm có dạng p x .q x dx thì ta có thể nghĩ đến phương pháp dạng udv uv vdu nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm p x .q x dx . Hàm dưới dấu tích phân Cách đặt p x là đa thức, q x là hàm lượng giác u p x dv q x dx x x p x là đa thức, q x f ' e .e u p x dv q x dx p x là đa thức, q x f ln x u q x dv p x dx x p x là hàm lượng giác, q x f e u q x dv p x dx 1 p x là đa thức, q x f ' ln x u p x x dv q x dx
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB p x là đa thức, q x f ' u x . u x ', u x là các hàm u p x lượng giác sin x,cos x, tan x,cot x dv q x dx Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “Tìm sin x cos xdx ” thì ba bạn Huyền, Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau Bạn Huyền giải bằng Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên Bạn Minh Hằng chưa phương pháp đổi biến số hàm từng phần như sau: học đến hai phương như sau: “Đặt u cos x,v ' sin x . Ta có pháp trên nên làm như sau: “Đặt u sin x , ta có: u ' sin x,v cos x . du cos xdx “ sin x.cos xdx Công thức nguyên hàm từng phần cho ta Vậy sin x.cos xdx udu 2 sin 2x sin x cos xdx cos x sin x cos xdx dx u2 sin2 x 2 C C ” Giả sử F là một nguyên hàm của sin x.cos x . cos 2x 2 2 C ”. Theo đẳng thức trên ta có 4 F x cos2 x F x C . cos2 x C Suy ra F x . 2 2 cos2 x Điều này chứng tỏ là một nguyên 2 hàm của sin x.cos x . cos2 x Vậy sin x.cos xdx C .” 2 Kết luận nào sau đây là đúng? A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai STUDY TIP B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng. Bài toán củng cố về C. Ba bạn đều giải sai. định lý 1 đã nêu ở trên, D. Ba bạn đều giải đúng. và củng cố các cách giải nguyên hàm cơ bản. Đáp án D. Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích ở lời giải sau Lời giải
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 5 sin2 x cos2 x cos 2x Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số ; và đều là 2 2 4 nguyên hàm của sin x.cos x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy sin2 x cos2 x 1 ; 2 2 2 2 2 sin2 x cos 2x 2sin x 1 2sin x 1 . 2 4 4 4 3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng 1 1 ax b ax b dx C, 1 cos ax b dx sin ax b C a 1 a dx 1 1 ln ax b C sin ax b dx cos ax b C ax b a a 1 1 eax bdx eax b C tan ax b dx ln cos ax b C a a 1 1 max bdx max b C, m 0 cot ax b dx ln sin ax b C a ln m a dx 1 x dx 1 arctan C cot ax b C a2 x2 a a sin2 ax b a dx 1 a x dx 1 x a ln C ln C a2 x2 2a a x x2 a2 2a x a dx dx 1 ln x x2 a2 C tan ax b C 2 2 2 x a cos ax b a dx 1 a x2 a2 x a2 x2 a2 x ln C a2 x2 dx arcsin C 2 2 x x a a x 2 2 a b dx 1 ax b ln ax b dx x ln ax b x C ln tan C a sin ax b a 2 eax asin bx bcosbx eax a cosbx bsin bx eax sin bxdx C eax cosbxdx C a2 b2 a2 b2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB III. Các dạng toán về nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x trên D  ¡ . Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công thức! Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos3x . sin 3x A. cos3xdx 3sin 3x C B. cos3xdx C 3 sin 3x C. cos3xdx C D. cos3xdx sin 3x C 3 Đáp án B. STUDY TIP Lời giải sin ax b cos ax b dx C a 1 sin 3x . Ta có cos3xdx d sin 3x C 3 3 1 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 5x 2 dx 1 dx 1 A. ln 5x 2 C B. ln 5x 2 C 5x 2 5 5x 2 2 dx dx C. 5ln 5x 2 C D. ln 5x 2 C 5x 2 5x 2 Đáp án A. Lời giải dx 1 d 5x 2 1 Ta có f x dx ln 5x 2 C 5x 2 5 5x 2 5 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 7x . 7x A. 7x dx 7x ln 7 C B. 7x dx C ln 7 7x 1 C. 7x dx 7x 1 C D. 7x dx C x 1 Đáp án B. Lời giải x x d 7 d 7 7x Ta có 7x dx 7x. C . 7x.ln 7 ln 7 ln 7
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 7 x Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số f x là 1 x 5 1 1 A. F x C B. F x C 3 x 1 3 4 x 1 4 1 1 1 1 C. F x C D. F x C 3 x 1 3 4 x 1 4 4 x 1 4 3 x 1 3 Đáp án D. Lời giải Đặt u x 1 thì u ' 1 . x u 1 1 1 Khi đó dx du du u 4du u 5du 5 5 5 1 x u u u 1 1 1 1 . . C . 3 u3 4 u4 x 1 1 Thay u x 1 ta được dx C 5 4 3 x 1 4 x 1 3 x 1 Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số x.ln x là x2.ln x x2.ln x x2 A. C B. C 2 2 4 x2.ln x x2 x2 C. C D. C 2 4 4 STUDY TIP Ở đây xuất hiện tích của Đáp án B. x.ln x nên ta áp dụng Lời giải nguyên hàm từng phần. 1 ln x u dx du x Ta có x.ln xdx . Đặt x2 dv xdx v 2 Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có x2 x2 1 x.ln xdx udv uv vdu .ln x . dx 2 2 x x2.ln x x x2.ln x x2 dx C . 2 2 2 4
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng 2: Chứng minh F x là một nguyên hàm của hàm f x trên D  ¡ . Ví dụ 1: Cho F x ln ln ln x . Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 1 1 Chú ý A. f x B. f x x.ln ln x ln ln ln x Sai lầm thường gặp là 1 1 không biết cách đạo C. f x D. f x ln x.ln ln x x.ln x.ln ln x hàm hàm hợp. Ở đây ta cần đạo hàm như sau: Đáp án D. ln ln ln x ln u Lời giải với u ln ln x lần Để tìm F x là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo lượt như thế ta sẽ ra hàm F x từ đó suy ra f x . được kết quả như bên. 1 1 1 Ta có F ' x ln ln ln x ' . ln ln x ' . ln x ' ln ln x ln ln x ln x 1 1 1 1 . . f x . ln ln x ln x x x.ln x.ln ln x 1 x 3 1 Ví dụ 2: Cho F x .ln . Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số nào 6 x 3 12 dưới đây? 1 1 A. f x B. f x x2 9 x 9 1 x 1 x C. f x D. f x x2 9 12 x2 9 12 STUDY TIP Công thức cần nhớ: Đáp án A. dx Lời giải a2 x2 1 x 3 1 1 1 1 Cách 1: Ta có F ' x .ln ' .ln x 3 .ln x 3 ' 1 a x 6 x 3 12 6 6 12 ln C 2a a x 1 1 1 1 1 6 1 . . . dx 6 x 3 6 x 3 6 x2 32 x2 9 2 2 x a Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng 1 x a ln C nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng). 2a x a 1 Áp dụng công thức trên ta có ngay f x . x2 9
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 9 Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc. Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin x cos x thỏa mãn F 2 . 2 A. F x cos x sin x 3 B. F x cos x sin x 3 C. F x cos x sin x 1 D. F x cos x sin x 1 Đáp án D. Lời giải Với các bài toán đơn giải như ở ví dụ 1, ta Ta có F x f x dx sin x cos x dx sin x cos x C . chỉ đi tìm nguyên hàm như thông thường, sau Do F 2 nên sin cos C 2 1 C 2 C 1. 2 2 2 đó dùng điều kiện ràng buộc có sẵn để tìm Vậy hàm số cần tìm là F x sin x cos x 1. hằng số C. Ví dụ 2: Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x 3 5sin x và f 0 10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 5cos x 5 B. f x 3x 5cos x 2 C. f x 3x 5cos x 2 D. f x 3x 5cos x 15 Đáp án A. Lời giải STUDY TIP Ta có f x f ' x dx 3 5sin x dx 3x 5cos x C Rõ ràng trong bài toán này, việc sử dụng công Do f 0 10 nên 3.0 5cos0 C 10 C 5 . Vậy f x 3x 5cos x 5 . thức nguyên hàm từng 2 2x phần sẽ mang lại kết quả Ví dụ 3: Cho F x x là một nguyên hàm của hàm số f x e . Tìm nguyên nhanh hơn. Do hàm của hàm số f ' x e2x ? d x a 2 x 2 1 a x có sự xuất l n C 2x 2 2x 2 2 a a x A. f ' x e x 2x C B. f ' x e x x C hiện của tích hai phần tử, nếu sử dụng nguyên C. f ' x e2x 2x2 2x C D. f ' x e2x 2x2 2x C hàm từng phần sẽ xuất hiện ngay Đáp án D. d x x 2 a 2 1 x a Lời giải l n C 2 a x a và f ' x e 2 x dx kết Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm f x dx F x F ' x f x . hợp dữ kiện đề bài sẽ có Từ giả thiết, ta có ngay đáp án. 2x 2x 2 2x f x e dx F x f x e F ' x x ' 2x f x 2x e
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2x 2x 2x '.e 2x. e ' 2 4x e2x 2 4x Suy ra f ' x 2 2 2x . e2x e2x e 2 4x Vậy f ' x e2xdx .e2xdx 2 4x dx 2x 2x2 C e2x Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: u x v ' x dx u x .v x v x .u ' x dx . Ta có e2x . f ' x dx e2x . f x f x .2e2xdx f x e2x 2 f x e2xdx Từ giả thiết: f x e2xdx F x x2 f x e2x F ' x x2 ' 2x . Vậy f ' x e2xdx 2x 2x2 C . Ví dụ 4: Cho F x x 1 ex là một nguyên hàm của hàm số f x e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' x e2x . 2 x A. f ' x e2xdx 4 2x ex C B. f ' x e2xdx ex C 2 C. f ' x e2xdx 2 x ex C D. f ' x e2xdx x 2 ex C Đáp án C. Lời giải Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm f x dx F x F ' x f x . 2x 2x x x Từ giả thiết, ta có f x e dx F x f x e F ' x x 1 e ' xe xex x f x 2 x . ex e x x x '.e x. e ' ex x.ex ex 1 x 1 x Suy ra f ' x 2 2 2 x . ex ex ex e 1 x Vậy f ' x e2xdx .e2xdx 1 x exdx . ex u 1 x du dx Đặt . x x dv e dx v e 1 x exdx 1 x ex exdx 1 x ex ex C 2 x ex C . Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 11 Ta có e2x . f ' x dx e2x . f x f x .2e2xdx f x e2x 2 f x e2xdx Từ giả thiết: f x e2xdx F x x 1 ex 2x x x f x e F ' x x 1 e ' xe . Vậy f ' x e2xdx xex 2 x 1 ex C 2 x ex C . Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để F x là một nguyên hàm của f x . Ví dụ 1: Tìm a, b, c, d để F x ax3 bx2 cx d ex là một nguyên hàm của f x 2x3 9x2 2x 5 ex . A. a 3;b 3;c 7;d 13 B. a 2;b 3;c 8;d 13 Với các bài toán dạng C. a 2;b 3;c 8;d 13 D. a 3;b 3;c 8;d 15 này ta chỉ cần tìm đạo Đáp án B. hàm của F x F ' x Lời giải sau đó cho 2 x 3 2 x F ' x f x và sau Ta có F ' x 3ax 2bx c e ax bx cx d e đó sử dụng hệ số bất 3 2 x ax 3a b x 2b c x c d e định để tìm giá trị của tham số. a 2 a 2 3a b 9 b 3 F ' x f x ,x 2b c 2 c 8 c d 5 d 13
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, phương. Cho hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K. Lúc này ta có bảng sau: Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm Tổng f x u ' v ' u v ' F x u v Với các bài toán dạng này ta chỉ cần tìm đạo Hiệu f x u ' v ' u v ' F x u v hàm của vdu 2 f x e2xdx Tích f x u 'v uv ' uv ' F x uv sau đó cho 2 x uv f x e và sau u 'v uv ' u / u F x Phương f x 2 đó sử dụng hệ số bất v v v định để tìm giá trị của tham số. 1 Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số f x là: 1 ex A. f x dx x ln ex 1 C B. f x dx ln ex 1 C ln ex 1 C. f x dx C D. f x dx x ln ex 1 C x Đáp án A. Lời giải Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài toán bằng bảng ở trên như sau: 1 ex ex x 1 ex ' 1 e x f x x x 1 x x ' x x ' ln e 1 ' 1 e 1 e 1 e 1 e x ln ex 1 ' f x dx x ln ex 1 C 1 1 Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số f x là ln x 2 ln x 1 1 1 1 A. f x dx C B. f x dx C ln3 x ln2 x ln3 x ln2 x
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 13 x x C. f x dx C D. f x dx C ln x ln x Đáp án D. Lời giải / 1 1 1 ln x x '.ln x x . ln x ' x Ta có f x 2 2 2 ln x ln x ln x ln x ln x x f x dx C . ln x Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x x.ln ex2 với x 0 . A. F x ex2.ln ex C B. F x x2.ln ex C C. F x x2.ln x C D. F x x ln x C Đáp án C. Lời giải Ta có 1 f x x. ln e 2ln x x 1 2ln x x2. 2x ln x x2. ln x ' x2 '.ln x x x2 ln x ' F x x2.ln x C Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm ex . Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa ex . Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) x x x e F x u x .e F ' x u ' x u x e f x x x x e F x u x .e F ' x u ' x u x e f x ax b ax b ax b e F x u x e F ' x u ' x au x e f x v x v x v x e F x u x e F ' x u ' x v ' x u x e f x Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số f x 5x2 13x 9 ex là A. F x 5x2 6 ex C B. F x ex x2 1 5x C C. F x 5x2 3x ex C D. F x 5x2 3x 6 ex C Đáp án D.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Lời giải 2 x 2 2 x Ta có f x 10x 3 5x 3x 6 e 5x 3x 6 ' 5x 3x 6 e Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên F x 5x2 3x 6 ex C là nguyên hàm của hàm số đã cho. ex x.ex .ln x Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x A. F x ex .ln 2x C B. F x ex .ln x C C. F x e x .ln x C D. F x ex .ln x C Đáp án B. Lời giải x x x e x.e .ln x 1 x ln x e 1 x x Ta có f x ln x e ln x ' ln x e x x x F x ex .ln x C là nguyên hàm của hàm số đã cho. 1 1 x Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số f x 2 e là x x e x e x A. F x C B. F x 2 C Tương tự với hai nhận x x dạng còn lại, quý độc e x e x C. F x C D. F x C giả có thể áp dụng vào x x2 các bài toán phức tạp Đáp án A. hơn. Lời giải x 1 1 x 1 1 x e Ta có f x 2 e ' e F x C là nguyên hàm x x x x x của hàm số đã cho.
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 15 Nguyên hàm một số hàm lượng giác a. Dạng sinm x.cosn xdx trong đó m, n là các số tự nhiên. Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ. Lũy thừa của cos x là số lẻ, n 2k 1 thì Lũy thừa của sin x là số lẻ, m 2k 1 thì đổi biến u cos x đổi biến u sin x k k sinm x.cosn xdx sinm x cos2 x cos xdx sinm x.cosn xdx cosn x sin2 x sin xdx k k sinm x 1 sin2 x . sin x 'dx cosn x. 1 cos2 x cos x 'dx k k um 1 u2 du 1 u2 .undu Ví dụ 1: Tìm sin5 x.cos2 xdx . Lời giải Vì lũy thừa của sin x là số lẻ nên ta đổi biến u cos x du cos x 'dx . 2 sin5 x.cos2 xdx 1 cos2 x .cos2 x. cos 'dx 5 3 7 2 2u u u 1 u2 .u2du 2u4 u2 u6 du C 5 3 7 2cos5 x cos3 x cos7 x C . 5 3 7 Trường hợp 2: Cả hai số m ,n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của sin x;cos x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn. b. Dạng sin mx.cos nxdx, sin mx.sin nxdx, cos mx.cos nxdx . Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác. tanm x c. Dạng dx trong đó m, n là các số nguyên. cosn x Lũy thừa của cos x là số nguyên dương Lũy thừa của tan x là số nguyên dương chẵn, n 2k thì ta đổi biến u tan x 1 lẻ, m 2k 1 thì ta đổi biến u cos x tanm x tanm x 1 sin x dx . dx Khi đó u ' 2 , do đó cosn x cos2k 2 cos2 x cos x
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB tanm x tanm x tan2k x tan x tan x 'dx dx . dx k 1 n n 1 cos2 x cos x cos x cos x 1 k m 2 k 1 tan x. 1 tan x .d tan x 2 1 cos x sin x n 1 . 2 dx k 1 cos x cos x um. 1 u2 du k u2 1 un 1.du Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm tan6 x tan5 x a. dx b. dx cos4 x cos7 x Tương tự với hai nhận Lời giải dạng còn lại, quý độc a. Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt u tan x . Từ công thức giả có thể áp dụng vào tổng quát đã chứng minh ở trên ta có các bài toán phức tạp 6 9 7 9 7 tan x 6 2 1 u u tan x tan x hơn. 4 du u . 1 u du C C . cos x 9 7 9 7 1 b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt u , do vậy, từ công thức cos x tổng quát chứng minh ở trên ta có 5 11 9 7 tan x 2 2 6 u 2u u 7 dx u 1 .u du C cos x 11 9 7 1 2 1 C . 11cos11 x 9cos9 x 7cos7 x Đổi biến lượng giác Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng x2 a2 , x2 a2 , a2 x2 , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau: Biểu thức có chứa Đổi biến x2 a2 x a tan t,t ; 2 2 Hoặc x a cot,t 0; 2 2 a x a x ,t ; \ 0 sin t 2 2 a  Hoặc x ,t 0;  \  cost 2 
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 17 2 2 a x x a sin t,t ; 2 2 Hoặc x a cost,t 0;  a x a x x a cos 2t  a x a x x a b x x a b a sin2 t,t 0; 2 Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ P x Cho hàm số y f x có dạng f x trong đó P và Q là các đa thức, và P STUDY TIP Q x Kí hiệu deg P x là không chia hết cho Q. bậc của đa thức P x . Hàm f x được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu deg P deg Q . Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu f x chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho mẫu thức để được P x R x f x S x S x h x , Q x Q x Khi đó, h x sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự. Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn giản hơn. 1 1 ax b ax b Đó là các biểu thức có dạng ; k ; 2 ; k là các hàm x a x a x px q x2 px q số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định. a. Trường hợp phương trình Q x 0 không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn. Q x a1x b1 a2 x b2 ak xk bk (Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q x ). Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng R x A A A g x 1 2 k Q x a1x b1 a2 x b2 ak x bk Sau khi biểu diễn được g x về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 4x 3 Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x là x2 3x 2 x 1 A. F x 4ln x 2 ln C x 2 x 1 B. F x 4ln x 2 ln C x 2 x 2 C. F x 4ln x 2 ln C x 1 x 2 D. F x 4ln x 2 ln C x 1 Phân tích Đáp án B. 4x 3 4x 3 A B Ax 2A Bx B Ta có x2 3x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 Khi đó A B x 2A B 4x 3 , đồng nhất hệ số thì ta được A B 4 A 1 Kiểm tra khả năng vận 2A B 3 B 5 dụng từ ví dụ 3 Lời giải x2 2x 1 4x 3 1 5 Tìm 3 2 dx 2x 3x 2x Ta có 2 dx dx ln x 1 5.ln x 2 C x 3x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 4.ln x 2 ln C 4.ln x 2 ln C x 1 x 2 Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng: x2 2x 1 1 1 1 dx .ln x .ln 2x 1 .ln x 2 C 2x3 3x2 2x 2 10 10 b. Trường hợp Q x 0 không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là nghiệm bội. Nếu phương trình Q x 0 có các nghiệm thực a1;a2 ; ;an trong đó a1 là nghiệm R x bội k thì ta phân tích g x về dạng Q x
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 19 A A A B B B g x 1 2 k 1 2 n 1 x a 2 k x a x a x a 1 x a1 x a1 2 3 n Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau: 2x Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số f x 1 x 3 2 1 2 1 A. F x C B. F x C x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 1 1 1 1 C. F x C D. F x C 1 x 4 1 x 4 1 x 4 1 x 4 Phân tích Nhận thấy x 1 là nghiệm bội ba của phương trình x 1 3 0 , do đó ta biến đổi 2 2x A B C A x 2x 1 B 1 x C 1 x 3 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 3 Ax2 2A B x A B C 1 x 3 A 0 A 0 Từ đây ta có 2A B 2 B 2 A B C 0 C 2 Kiểm tra khả năng vận dụng từ ví dụ 4 Lời giải Tìm 2x 2 2 2 1 Ta có dx dx C x4 2x2 4x 1 1 x 3 1 x 2 1 x 3 x 1 x 1 2 dx x3 x2 x 1 Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4: x4 2x2 4x 1 x2 2 dx x ln x 1 ln x 1 C x3 x2 x 1 2 x 1 TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được đưa về các dạng nguyên hàm sau: A 1. dx A.ln x a C k 1 x a A A 1 2. dx . C k k 1 x a k 1 x a
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng Trang 21 2017 x Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f e là: 1 2017 x 2017 x x A. e C B. e C Câu 1: Tìm nguyên hàm I 2x 1 e dx . 2017 x 1 A. I 2x 1 e C C. 2017.e 2017 x C D. e 2017 x C 2017 B. I 2x 1 e x C Câu 6: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số x C. I 2x 3 e C 4 f x 2 biết F 3 . x cos 3x 9 D. I 2x 3 e C 4 3 Câu 2: Tìm nguyên hàm I x ln 2x 1 dx . A. F x tan 3x 3 3 4x2 1 x x 1 A. I ln 2x 1 C B. F x 4 tan 3x 3 3 8 4 4 3 4x2 1 x x 1 C. F x tan 3x B. I ln 2x 1 C 3 3 8 4 4 3 4x2 1 x x 1 D. F x tan 3x C. I ln 2x 1 C 3 3 8 4 2 Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x x . 4x 1 x x 1 D. I ln 2x 1 C 8 4 2 A. f x dx x2 x C Câu 3: Tìm nguyên hàm I x 1 sin 2x.dx 5 2 1 2x cos 2x sin 2x B. f x dx x x C A. I C 5 2 1 2 2 2x cos 2x sin 2x C. f x dx x x C B. I C 2 2 3 D. f x dx x C 1 2x cos 2x sin 2x 2 C. I C 4 Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số 2 2x cos 2x sin 2x f x 2x 3 2 . D. I C 4 2x 3 3 Câu 4: Cho f x , g x là các hàm số liên tục A. f x dx C 3 trên ¡ . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định 3 sau? B. f x dx 2x 3 C A. k. f x dx k. f x dx với k là hằng số 2x 3 3 C. f x dx C 6 B. f x g x dx f x dx g x dx 2x 3 3 C. f x .g x dx f x dx. g x dx D. f x dx C 2 D. f x g x dx f x dx g x dx Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB f x 3sin 3x cos3x . ln 4x 6 B. F x 10 4 A. f x dx cos3x sin 3x C ln 2x 3 2 C. F x 5 B. f x dx cos3x sin 3x C 4 1 3 C. f x dx cos3x sin 3x C ln x 3 2 D. F x 1 1 1 2 D. f x dx cos3x sin 3x C 3 3 Câu 14: Tìm nguyên hàm F x của hàm số Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số 2 x x 1 x f x ex e x . f x .e x2 1 x x A. f x dx e e C A. F x x2 1.ex C B. f x dx ex e x C B. F x x2 1.ex C x x C. f x dx e e C 2 2x C. F x 2x x 1.e C D. f x dx ex e x C D. F x x1 1.e x C Câu 11: Tìm nguyên hàm F x của hàm số Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 3x 4 , biết F 0 8. 3x 7 f x x 2 1 38 A. F x 3x 4 3 3 A. f x dx x 13ln x 2 C 2 16 B. F x 3x 4 3x 4 B. f x dx ln x 2 C 3 3 2 56 C. f x dx 3x 13ln x 2 C C. F x 3x 4 3x 4 9 9 D. f x dx 3x 7ln x 2 C 2 8 D. F x 3x 4 3x 4 3 3 Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số x4 5 1 f x . Câu 12: Tìm nguyên hàm I dx x 1 4 x2 1 1 1 1 x 2 1 x 2 A. f x dx x4 x3 x2 A. I ln C B. I ln C 4 3 2 2 x 2 2 x 2 x 6ln x 1 C 1 x 2 1 x 2 C. I ln C D. I ln C B. 4 x 2 4 x 2 1 4 1 3 1 2 1 f x dx x x x x 6ln x 1 C Câu 13: Cho hàm số f x . Gọi F x là 4 3 2 2x 3 C. f x dx x4 x3 x2 x 6ln x 1 C một nguyên hàm của f x . Chọn phương án sai. D. f x dx x4 x3 x2 x 6ln x 1 C ln 2x 3 A. F x 10 2
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng Trang 23 Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số 1 A. F B. F 1 f x 2 2 4 x x2 1  C. F D. F 1 x2 1 1 2 4 2 A. f x dx .ln C 2 2 x 1 1 Câu 21: Biết F x là nguyên hàm của f x 4x x2 1 1 1 B. f x dx ln C và F 1 . Khi đó giá trị F 2 bằng 2 x 1 1 ln 2 7 8 1 x2 1 1 A. B. C. f x dx .ln C ln 2 ln 2 2 2 x 1 1 9 3 C. D. 1 1 x2 1 D. f x dx .ln C ln 2 ln 2 2 2 1 x 1 Câu 22: Nguyên hàm của hàm số Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số x x e 1 f x e 2 2 là: f x . cos x x 1 x 1 A. F x 2ex cot x C 2 2 A. f x dx x 1 3 x 1 3 C x B. F x 2e tan x C 3 3 x B. f x dx x 1 2 x 1 2 C C. F x 2e tan x C D. F x 2ex tan x 1 2 3 C. f x dx x 1 3 x 1 2 C 3 Câu 23: Tìm nguyên hàm F x x sin x dx 1 3 3 biết F 0 19 . D. f x dx x 1 2 x 1 2 C 3 1 A. F x x2 cos x 20 Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1 f x . B. F x x2 cos x 20 ex 3 2 1 ex C. F x x cos x 20 A. f x dx ln C x 3 e 3 1 D. F x x2 cos x 20 x 2 e B. f x dx ln C ex 3 1 C. f x dx ln ex ex 3 C 3 1 . D. f x dx ln ex ex 3 C 6 Câu 20: Biết F x là một nguyên hàm của hàm 3 số f x sin x.cos x và F 0 . Tìm F . 2
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng Trang 25 Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án A. Câu 6: Đáp án A. Đặt u 2x 1 du 2dx ; 4 4 Ta có F x dx .tan 3x C 2 e xdx dv v e x cos 3x 3 Lúc này ta có Mà x x x 4 3 2x 1 e dx 2x 1 .e 2e dx F 3 .tan C 3 C 9 3 3 3 x x x 2x 1 .e 2e C 2x 1 e C Câu 7: Đáp án A. Câu 2: Đáp án C. 3 2 5 2 x xdx x 2 dx x 2 C x2 x C . Đặt 5 5 2 x2 Câu 8: Đáp án C. u ln 2x 1 du dx;dv xdx v 2x 1 2 1 3 Ta có f x dx 2x 3 C Khi đó 3.2 x2 x2 2 Câu 9: Đáp án C. x ln 2x 1 dx .ln 2x 1 . dx 2 2 2x 1 3 1 3sin 3x cos3x dx . cos3x .sin 3x C x2 x2 3 3 .ln 2x 1 dx 2 2x 1 Câu 10: Đáp án A. x2 x 1 1 Câu 11: Đáp án C. .ln 2x 1 dx 1 3 2 2 4 4 2x 1 2 F x 3x 4dx 3x 4 2 dx . 3x 4 2 C 9 x2 x2 x 1 .ln 2x 1 .ln 2x 1 C 2 4 4 8 2 . 3x 4 3x 4 C 2 9 4x 1 x x 1 .ln 2x 1 C 56 8 4 Mà F 0 8 C , ta chọn C. 9 Câu 3: Đáp án D. Câu 12: Đáp án D. I x 1 sin 2xdx Ta có Đặt x 1 u dx du . 1 1 dx dx 1 2 2 sin 2xdx dv v .cos 2x a x a x a x 2 1 1 1 x 1 1 dx Khi đó I .cos 2x cos 2xdx 2a a x a x 2 2 1 x a 1 x cos 2x 1 .ln C .sin 2x C 2a x a 2 4 Áp dụng vào bài ta chọn D. Câu 4: Đáp án C. Câu 13: Đáp án B. Câu 5: Đáp án D. 1 1 1 2017 x 1 2017 x Ta có F x dx . d 2x 3 Ta có e dx e C 2x 3 2 2x 3 2017
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB ln 2x 3 2 2 C d x 1 d x 1 1 x2 1 1 2 .ln C 2 2 2 x x2 1 1 2 x 1 1 Từ đây ta thấy A đúng. du 1 u a Với B ta thấy (Áp dụng công thức .ln C ) u2 a2 2a u a ln 4x 6 ln 2 ln 2x 3 10 10 F x , B sai. 4 4 Câu 18: Đáp án D. Câu 14: Đáp án A. Ta có 2 x2 x 1 x 1 x dx x 1 x 1 dx Ta có f x .ex .ex 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 2 x x 1 e x 1 ' x 1 e 3 3 2 1 1 2 x 1 x 1 x 1 dx . x 1 2 x 1 2 C 2 2 3 2 x F x x 1.e C (áp dụng bảng ở lý 1 3 3 x 1 2 x 1 2 C thuyết). 3 Câu 15: Đáp án C. Câu 19: Đáp án A. 3x 7 3 x 2 13 x x Ta có f x dx dx dx dx e dx d e Ta có x 2 x 2 x x x x x e 3 e e 3 e e 3 13 d x 2 3 dx 3dx 13 x x 2 x 2 1 1 1 x 1 e x x d e ln x C 3 e e 3 3 e 3 3x 13ln x 2 C Câu 20: Đáp án C. Câu 16: Đáp án B. F x f x dx sin3 x.cos x.dx 4 x4 5 x 1 6 Ta có dx dx 1 x 1 x 1 sin3 x.d sin x sin4 x C 4 2 6 x 1 x 1 dx 1 4 x 1 F 0 C F x sin x 4 d x 1 x3 x2 x 1 dx 6 1 x 1 F 2 4 1 1 1 x4 x3 x2 x 6ln x 1 C Câu 21: Đáp án A. 4 3 2 1 Câu 17: Đáp án A. Ta có 4x dx .4x C F x ln 4 2 1 xdx 1 d x 1 dx 1 4 1 1 2 2 2 2 2 Mà F 1 C C . x x 1 x x 1 2 x . x 1 ln 2 ln 4 ln 2 ln 2 1 1 16 1 7 Do đó F 2 .42 . ln 4 ln 2 2ln 2 ln 2 ln 2 Câu 22: Đáp án C.
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng Trang 29 e x F x f x dx ex 2 dx 2 cos x dx 2 exdx 2ex tan x C cos2 x Câu 23: Đáp án D. x2 F x x sin x dx cos x C 2 x2 F 0 19 C 20 F x cos x 20 2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân b Ta gọi là dấu tích 1. Định nghĩa a phân, a là cận dưới, b Cho hàm số f x là hàm số liên tục trên đoạn a;b . Giả sử F x là một nguyên là cận trên, f x dx là hàm của f x trên đoạn a;b . biểu thức dưới dấu tích Hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên phân và f x là hàm b đoạn a;b ) của hàm số f x , kí hiệu là f x dx . số dưới dấu tích phân. a b b Chú ý Vậy f x dx F x F b F a . a a 1. Định nghĩa tích phân b b f x dx F b F a F x a a chỉ được áp dụng khi 2. Nhận xét biết một nguyên hàm b F x của f x trên a. Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f x dx hay a đoạn a;b . b f t dt . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc b 2. Tích phân f x dx a a vào biến số x hay t. là một số, còn nguyên b. Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f x liên tục và không âm hàm là một (họ) hàm b số (nó còn được gọi là trên đoạn a;b , thì tích phân f x dx là diện tích S của hình thang cong giới tích phân không xác a định). hạn bởi đồ thị f x , trục Ox và hai đường thẳng x a; x b . Vậy b b 3. f x dx không S f x dx . a a phụ thuộc vào chữ viết biến số trong dấu tích 3. Các tính chất của tích phân phân, mà chỉ phụ thuộc Tính chất 1 vào hàm số f và đoạn b b a;b . kf x dx k f x dx với k là hằng số. a a Tính chất 2 Ta quy ước b b b b f x g x dx f x dx g x dx f x dx 0 ; a a a a b b Tính chất 3 f x dx f x dx c b b a a f x dx f x dx f x dx với a c b . a c a
Định lý 1 Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm số G x xác định trên K bởi công thức x G x f t dt a Khi đó G là một nguyên hàm của f. Định lý 2 Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên ¡ . a a 1. Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó f x dx 2 f x dx a 0 a 2. Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó f x dx 0 . a Đọc thêm Ta vừa đưa ra 3 tính chất của tích phân theo chương trình chuẩn. Dưới đây là các tính chất bổ sung: b 1. 0dx 0 a b 2. cdx c b a a b 3. Nếu f x 0,x a,b thì f x dx 0 . a Hệ quả 3: Nếu hai hàm số f x và g x liên tục và thỏa mãn b b f x g x ,x a;b thì f x dx g x dx a a b Chú ý: Nếu f x liên tục và dương trên a;b thì f x dx 0 . a b b 4. f x dx f x dx, a b . a a 5. Nếu m f x M ,x a;b;m, M là các hằng số thì b 1 b m b a f x dx M b a hay m f x dx M . a b a a
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB VI. Hai phương pháp cơ bản để tìm tích phân 1. Phương pháo đổi biến số Định lý 1 Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b . Giả sử hàm số x t có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;  sao cho a; b b và a t b với mọi t  ; . Khi đó b  f x dx f t ' t dt a Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số 1. Đặt x t , ta xác định đoạn  ;  sao cho a,  b và a t b , t  ;  ; 2. Biến đổi f x dx f t ' t dt g t dt 3. Tìm một nguyên hàm G t của g t  4. Tính g t dt G  G b 5. Kết luận f x dx G  G . a 3 x2 Ví dụ 1: Tính tích phân I dx ? 3 0 1 x 33 4121 A. I ln 4 B. I ln 4 32 4000 33 C. I ln 4 1 D. I ln 4 32 Đáp án D. Lời giải Đặt 1 x u dx du . Đổi cận x 0 u 1; x 3 u 4 2 4 4 u 1 4 u2 2u 1 4 1 2 1 2 1 Khi đó I du du du ln u 3 2 2 3 2 1 u 1 u 1 u u u u 2u 1 33 ln 4 32
Định lý 2 Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b . Nếu hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và u x  với mọi x a;b sao cho f x g u x u ' x , g u liên tục trên đoạn  ;  thì b u b f x dx g u du a u a Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số 1. Đặt u u x , 2. Biến đổi f x dx g u du . 3. Tìm một nguyên hàm G u của g u . u b 4. Tính g u du G u b G u a . u a b 5. Kết luận f x dx G u b G u a a 2 Ví dụ 2: Tính tích phân I sin2 x.cos xdx 0 1 1 2 1 A. I B. I C. I D. I 2 3 3 5 Đáp án B. Lời giải Đặt u sin x , ta có sin2 x cos xdx sin2 x sin x 'dx u2du . 3 2 u Hàm số g u u ;u 0;1 do u 0 0;u 1 có nguyên hàm G u . 2 3 1 2 1 u3 1 Vậy sin2 x cos xdx u2du . 0 0 3 0 3 2. Phương pháp tích phân từng phần Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau: Định lý
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Nếu u u x và v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b thì b b b b b u x v ' x dx u x v x u ' x v x dx hay udv uv b vdu a a a a a a Ta có bảng sau P x exdx P x cos xdx P x ln xdx Trong thực tế, đôi khi việc sử dụng phương u P x P x ln x pháp tính tích phân từng phần phải linh dv exdx cos xdx hoạt, đôi khi phải dự P x dx đoán khác thường như ví dụ 1 dưới đây. 2 1 x 1 b Ví dụ 3: Cho I 1 x e x dx ae c với a;b;c ¡ ; a 0 . Lúc này 1 x S a b c có giá trị bằng Ta thấy trong bài toán 1 3 1 9 bên việc sử dụng tích A. S B. S C. S D. S 2 2 3 2 phân từng phần ở đây rất thông minh khi phát Đáp án D. hiện được Lời giải / 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x x 1 x x 1 2 khi x x x x x Ta có I 1 x e dx e dx x e dx (1) x x nhân thêm x sẽ triệt tiêu 1 1 1 2 1 2 1 x 1 x x x Đặt I e dx . được x e dx . 1 1 x 1 1 1 x x x 1 x u e du 1 2 e dx Đặt x dv dx v x 1 2 2 1 x x x 1 x Theo công thức tích phân từng phần ta có I1 xe x e dx (2) x 1 1 Từ (1); (2) ta có 1 2 2 1 2 1 x 1 x 1 x I x.e x x e x dx x e x dx x x 1 1 1 1 2 1 1 3 x 2 1 x.e x 2.e 2 1.e 1 2.e 2 1 1 3 9 a 2;b ;c 1 a b c . 2 2
VII. Ứng dụng hình học của tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x a; x b được tính theo công thức b S f x dx a Chú ý: Trong trường hợp dấu của f x thay đổi trên đoạn a;b thì ta phải chia đoạn a;b thành một số đoạn con để trên đó dấu của f x không đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó. b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a;b . Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x và hai đường b thẳng x a, x b là S f x g x dx . a Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của f x g x không đổi. Chú ý Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình f x g x 0 trên đoạn a;b . Giả sử phương trình có hai nghiệm c;d c d . Khi đó f x g x không đổi dấu trên các đoạn a;b,c;d ,d;b . Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn a;c thì ta có c c f x g x dx f x g x dx a a
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng (hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4. Lời giải Nhận thấy trên a;c và d;b thì f1 x f2 x ; trên c;d  thì f1 x f2 x Do vậy b c d S f x f x dx f x f x dx f x f x dx 1 2 1 2 2 1 a a c b f x f x dx 1 2 d (Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối) Ví dụ 5: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 và x ln 4 . Đường thẳng x k 0 k ln 4 chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 2S2 . 2 8 A. k ln 4 B. k ln 2 C. k ln D. k ln 3 3 3 Lời giải Đáp án D. Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau: k ln 4 k ln 4 exdx 2. exdx ex 2.ex ek e0 2.eln 4 2.ek 3ek 9 0 k 0 k ek 3 k ln 3 . Ví dụ 6: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải Đáp án B. Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng. Ta có hình vẽ bên: Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.
x2 y2 Ta có phương trình đường elip đã cho là 1. Xét trên 0;4 nên y 0 thì 82 52 5 4 5 y 82 x2 . Khi đó S 82 x2 dx , vậy diện tích trồng hoa của ông An cheo 8 0 8 4 5 trên mảnh đất là S 4. 82 x2 dx 76,5289182 0 8 Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là 76,5289182.100000 7.653.000 đồng. c. Tính thể tích vật thể Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng x a và x b . Gọi S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ( a x b ). Giả sử S x là một hàm liên tục. Khi đó thể tích b V của H là V S x dx . (hình 3.5) a Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. (hình 3.6) 2 8 A. k ln 4 B. k ln 2 C. k ln D. k ln 3 3 3 Đáp án A Lời giải Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: x2 y2 a2 và x2 z2 a2 ( a 0 ).
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi x 0;a thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh y a2 x2 (chính là phần gạch chéo trong hình 3.7). Do đó diện tích thiết diện sẽ là: S x a2 x2 . a2 x2 a2 x2 , x 0;a . Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng: a a a 3 3 2 2 2 x 16a V 8 S x dx 8 a x dx 8 a x 3 3 0 0 0 Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể H biết rằng đáy của H là hình tròn x2 y2 1 và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành luôn là tam giác đều. Lời giải Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ là x 1 x 1 cắt vật thể H theo thiết diện là tam giác ABC đều, với AB chứa trong mặt phẳng xOy (hình 3.8). AB2 3 Ta có AB 2 1 x2 . Do đó S x 3 1 x2 . Vậy 4 1 1 1 3 2 x 4 3 S S x dx 3 1 x dx 3 x (đvtt). 3 3 1 1 1
d. Tính thể tích khối tròn xoay Định lý Chú ý Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn a;b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó b là V f 2 x dx . a Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y sin x , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x (hình 3.10) quanh trục Ox là 2 A. (đvtt)B. (đvtt) C. (đvtt) D. 2 (đvtt) 2 2 Lời giải Đáp án B. Áp dụng công thức ở định lý trên ta có 2 2 1 V sin xdx 1 cos 2x dx x sin 2x . 0 2 0 2 2 0 2 Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh. Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y A2 x2 và trục hoành quanh trục hoành. Lời giải tổng quát Ta thấy y A2 x2 y2 A2 x2 x2 y2 A2 Do A2 x2 0 với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R A (hình 3.11). Do vậy ta có luôn 4 V . .A3 3 Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đọc thêm Định lý Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn a,b a 0 . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục tung tạo nên một khối xoay. Thể tích V của khối b tròn xoay đó là V 2 xf x dx . a
VIII. Một số dạng tích phân thường gặp Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Trong bài toán này, ta sẽ tham khảo lại phần “Nguyên hàm phân thức hữu tỉ” phía trên để hiểu được các định nghĩa phân thức hữu tỉ, phân thức hữu tỉ thực sự và phân thức đơn giản, cùng các định lý đã được nêu ở phần nguyên hàm ở phần trước. Dưới đây là một số bài toán thường gặp về dạng này. A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI du 1 u a du 1 a u 1. ln C 2. ln C . u2 a2 2a u 1 a2 u2 2a a u Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai 2 2 2 b b 4ac 2 2 2 1. ax bx c a x 2 2. ax bx c mx n p 2a 4a B. CÁC DẠNG TOÁN  dx Dạng 1: Tích phân dạng I . 1 2 ax bx c Phương pháp chung STUDY TIP  Khi mẫu thức có dạng  dx 1 mx n p Biến đổi I ln tam thức bậc hai thì 1 2 2 mx n p 2mp mx n p thường đưa về dạng 2 ax bx c a b 3 ln 2 2 1 mx n p dx 13 Ví dụ 1: Cho I , với a,b,c ¡ ;c 0 . Đặt 2 0 4x 8x 1 c 3 S a b c , lúc này S có giá trị bằng A. S 20 37 3 B. S 37 24 3 C. S 57 D. S 61 Đáp án D. Lời giải Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có STUDY TIP 1 1 b dx 1 2x 2 3 dx I 2 ln I1 2 2 0 2x 2 3 4 3 2x 2 3 a mx n p 0 b 1 mx n p 37 20 3 ln ln 2mp mx n p 1 2.1 2 3 2.0 2 3 13 a ln ln 4 3 2.1 2 3 2.0 2 3 4 3
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB S a b c 37 37 20 4 61. 0 dx 1 b 53 Ví dụ 2: Cho I .ln với a;b ¡ ;a 0 . Tích ab 2 1 7 10x 4x a 53 b 53 có giá trị bằng A. ‒24 B. 24 C. ‒48 D. 48 Đáp án A. Lời giải Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có 0 dx 0 dx I 2 2 2 2 1 53 5 1 5 53 2x 2x 2 2 2 2 0 1 4x 5 53 1 4.0 5 53 4. 1 5 53 .ln . ln ln 2 53 4x 5 53 2 53 4.0 5 53 4. 1 5 53 1 1 12 53 .ln 2 53 12 53 a 2;b 12 ab 24 .  mx n Dạng 2: Tính tích phân I dx 2 2 ax bx c Phương pháp chung STUDY TIP Cách 1: Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thì m mb  2ax b n   thường đưa về dạng 2a 2a m 2ax b dx mb dx I n 2 2 2 2 2 ax bx c ax bx c 2a ax bx c 2a ax bx c 2 2 mx n p  2  m d ax bx c mb m mb n I ln ax2 bx c n I 2 1 1 2a ax bx c 2a 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm) 2 2 * Nếu mẫu số có nghiệm kép x x0 tức là ax bx c a x x0 ta giả sử mx n A B ax2 bx c x x 2 0 x x0 Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.  B Sau khi tìm được A; B thì ta có I2 A.ln x x0 . x x 0
2 * Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 : ax bx c a x x1 x x2 thì ta giả sử: mx n A B 2 ax bx c x x1 x x2 Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.  Sau khi tìm được A; B ta có I Aln x x B ln x x . 2 1 2 0 2x 9 Ví dụ 1: Cho I dx a ln 3 bln 2 , a;b ¢ thì a 2b có giá trị 2 2 x 3x 2 bằng A. ‒35 B. ‒2 C. 2 D. 3 Đáp án D. Lời giải 0 2x 3 6 0 2x 3 0 6dx Cách 1: Ta có I dx dx 2 2 2 2 x 3x 2 2 x 3x 2 2 x 3x 2 0 3 1 0 dx x2 3x 2 0 x dx 2 2 2 6 ln x 3x 2 6ln x2 3x 2 2 2 3 1 2 2 3 1 x x 2 2 2 2 2 0 x 2 0 ln x 1 x 2 6ln 7ln x 1 5ln x 2 x 1 2 2 7ln1 5ln 2 7ln 3 5ln 4 7ln 3 10ln 2 5ln 2 7ln 3 5ln 2 . a 2b 3. 2 x 1 Cách 2: Ta thấy x 3x 2 0 . x 2 2x 9 A B 2x 9 A B x 2A B Giả sử x2 3x 2 x 1 x 2 x2 3x 2 x2 3x 2 A B 2 A 7 Đồng nhất hệ số ta có 2A B 9 B 5 0 Áp dụng công thức ta có I 7ln x 1 5ln x 2 7ln 3 5ln 2 . 2 Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay. Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b). I b.ln 2 Ta thấy I a.ln 3 b.ln 2 a . ln 3
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho Giải thích cách sử dụng biến A. MTCT Ta thấy khi nhập vào màn hình A X.ln 2 f X thì ta đã 2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ln 3 ra bảng giá trị tương ứng của a. coi b (biến X) chạy trong khoảng từ  5;5 và step là 1. Ở đây ta chọn STEP 1 vì đề cho a; b nguyên. Lúc này màn hình sẽ hiện giá trị của b (chính là X) và giá trị tương ứng của a (chính là cột f X ). Do a; b nguyên nên ta sẽ chọn a;b 7;5 . Ta thấy chỉ có trường hợp X 5; F X 7 là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a 7;b 5 a 2b 3 . Đọc thêm: Tích phân hàm phân thức chứa căn ở mẫu thức  dx Dạng 1: Tính tích phân I 3 2 ax bx c Chú ý Phương pháp chung u u 1 1 Phương pháp này chỉ 2 2 2 u k u k 1 áp dụng được khi hệ số Ta có ln u u k ' 2 2 2 a 0 . u u k u u k u k du ln u u2 k C 2 u k Áp dụng bài toán vừa chứng minh ở trên ta áp dụng vào bài toán biến đổi sau:    dx dx 1 2 I .ln mx n mx n k 3 2 2 m ax bx c mx n k  mx n dx Dạng 2: Tính tích phân I . 4 2 ax bx c Phương pháp chung
 mx n dx m  2ax b dx mb  dx Ta có I 4 2 2 2 ax bx c 2a ax bx c 2a ax bx c 2 m  d ax bx c mb .I 2 3 2a ax bx c 2a  dx Dạng 3: Tính tích phân I 5 2 px q ax bx c Phương pháp chung 1 dt 1 1 Đặt px q pdx 2 ; x q . Khi đó t t p t 1  dx p q dt I 5 2 2 1 px q ax bx c 2 1 a 1 b 1 p q pt . 2 q q c t p t p t 1 p q dt (quay trở về bài toán dạng 1). 2 1 At Bt  p q
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Tích phân hàm lượng giác A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI Các công thức nguyên hàm của hàm lượng giác 1 1 cos ax b dx sin ax b C sin ax b dx cos ax b C a a dx 1 dx 1 tan ax b C cot ax b C cos2 x ax b a sin2 ax b a B. CÁC DẠNG TOÁN b1 b2 Dạng 1: Tính tích phân: I sin x n dx;I cos x n dx 1 2 a1 a2 1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc. 2. Nếu n 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3. 3. Nếu n 3 và n lẻ n 2 p 1 thì ta thực hiện biến đổi. b1 b1 b1 b1 p I sin x n dx sin x 2 p 1 dx sin x 2 p .sin xdx 1 cos2 x d cos x 1 a1 a1 a1 a1 p Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển 1 cos2 x . Từ đây ta giải quyết dc bài toán. b2 b2 b2 b2 p I cos x ndx cos x 2 p 1 dx cos x 2 p .cos x.dx 1 sin2 x d sin x 2 a2 a2 a2 a2 p Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển 1 sin2 x . Từ đây ta giải quyết dc bài toán. 10 Ví dụ 1: Cho I cos4 3xdx . Đẳng thức nào sau đây đúng? 0 3 1 1 10 1 1 10 A. I x sin 6x sin12x B. I sin 6x sin12x 12 96 8 12 96 0 0 3 1 1 10 3 1 10 C. I x sin 6x sin12x D. I x sin12x 8 12 96 0 8 96 0 Đáp án A. Lời giải Ta có
10 2 10 10 Ta thấy bậc của cos3x là 4 1 cos6x 1 2 1 1 cos12x dx 1 2cos6x cos 6x dx 1 2cos6x dx là một số chẵn. Từ 1 trong 0 2 4 0 4 0 2 phần phương pháp chung ta sẽ sử dụng công thức hạ 3 1 1 10 bậc như lời giải bên. x sin 6x sin12x . 8 12 96 0 Từ đây ta giải quyết được bài toán. Ví dụ 2: Cho: 3 3 9 1 3 5 7 1 9 I sin5x dx cos5x acos 5x bcos 5x ccos 5x cos 5x . 0 5 9 0 Đặt S a b c . Giá trị của S bằng 74 5 1 A. S 3 B. S C. S D. S 105 4 9 Đáp án B. Lời giải 3 3 8 1 4 Ta có I sin5x sin5xdx 1 cos2 5x d cos5x 0 5 0 3 1 2 4 6 8 1 4cos 5x 6cos 5x 4cos 5x cos 5x d cos5x 5 0 3 1 4 3 6 5 4 7 1 9 cos5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x 5 3 5 7 9 0 4 6 4 74 a ;b ;c S . 3 5 7 105 b Dạng 2*: Tính tích phân I sinm x.cosn xdx . a Phương pháp chung a. Trường hợp 1: m; n là các số nguyên 1. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. 2. Nếu m chẵn, n lẻ n 2 p 1 thì biến đổi b b I sin x m cos x 2 p 1dx sin x m cos x 2 p cos xdx a a b 2 sin x m 1 sin2 x d sin x . a Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán. 3. Nếu m lẻ m 2 p 1 , n chẵn thì ta biến đổi
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB b b I sin x 2 p 1 . cos x n dx sin x 2 p . cos x n .sin xdx a a b p 1 cos2 x . cos x n d cos x . a Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán. 4. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn. b. Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ b b n 1 sin b n 1 m I sinm x.cosn xdx sin x . cos2 x 2 cos xdx um 1 u2 2 du * a a sin a 3 Ví dụ 1: Cho I sin 2x 7 . cos2x 100 dx . Đẳng thức nào sau đây là đúng? 0 cos2x 101 3 cos2x 103 3 cos2x 105 cos2x 107 3 A. I . 10 103 105 107 0 cos2x 101 3 cos2x 103 3 cos2x 105 cos2x 107 3 B. I 2 10 103 105 107 0 101 103 105 107 1 cos2x 3 cos2x 3 cos2x cos2x 3 C. I 2 10 103 105 107 0 101 103 105 107 1 cos2x 3 cos2x 3 cos2x cos2x 3 D. I 2 101 103 105 107 0 Đáp án C. Lời giải 3 3 100 6 1 100 2 3 Trong bài toán này, ta thấy I cos2x . sin 2x .sin 2xdx cos2x 1 cos 2x d cos2x 0 2 0 m lẻ, n chẵn nên ta áp dụng phương pháp 3 trong bài 3 1 100 toán tổng quát phía trên. cos2x . 1 3cos2 2x 3cos4 2x cos6 2x d cos2x 2 0 101 103 105 107 1 cos2x 3 cos2x 3 cos2x cos2x 3 . 2 101 103 105 107 0 b1 b2 Dạng 3: Tính tích phân I tan x n dx;I cot x n dx n * . 1 2 ¥ a1 a2 Phương pháp chung
Sử dụng các công thức sau: 2 dx 1 tan x dx 2 d tan x tan x C cos x 2 dx 1 cot x dx 2 d cot x cot x C sin x sin x d cos x tan xdx dx ln cos x C cos x cos x cos x d sin x cot xdx dx ln sin x C sin x sin x Dạng 4*: Tích phân liên kết. Phương pháp chung b cos xdx Bài toán 1: Tính tích phân I a sin x cos x b cos xdx b sin xdx I I * 1 . Xét tích phân liên kết 2 a sin x cos x a sin x cos x b I I dx x b 1 1 a Ta có a b b cos x sin x d sin x cos x b I I dx ln sin x cos x 1 2 a a sin x cos x a sin x cos x b 1 I1 x ln sin x cos x 2 Giải hệ phương trình ta được a b 1 I2 x ln sin x cos x 2 a Các trường hợp thường gặp:  sin xdx Bài toán 2: Tính tích phân I 1 acos x bsin x * I1 I2 khi đó tính I I I I . Phương pháp chung 1 2 1 2 2  cos xdx * I là một tích phân đơn Xét tính phân liên kết với I là I 2 1 2 acos x bsin x giản, thường thì các hàm số   dưới dấu tích phân f x ; acos x bsin x  bI aI dx dx x 1 2 g x (của hai tích phân liên acos x bsin x Ta có   kết) thường có tính cân xứng bcos x asin x d acos x bsin x  bI aI dx ln acos x bsin x hoặc bổ sung cho nhau như 2 1 acos x bsin x acos x bsin x ở bài toán 1 và bài toán 2. Giải hệ phương trình ta được I ;I . Việc tìm được tích phân liên 1 2 kết phụ thuộc vào kinh nghiệm giải toán của người đọc.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Từ hai bài toán trên ta đưa ra kết luận về tích phân liên kết như sau: b I f x dx Trong một số bài toán tính tích phân 1 , ta sẽ sử dụng tích phân a b I g x dx là tích phân liên kết của I sao cho ta có thể xác lập được mối quan 2 1 a hệ ràng buộc giữa I1 và I 2 thành hệ phương trình như sau: mI1 nI2 pI1 qI2  Giải hệ phương trình ta dễ dàng tìm được I1;I2 .
Một số bài toán tích phân gốc thường gặp Bài toán 1: Cho f là hàm số chẵn và liên tục trên  b;b với b 0 . Chứng minh b f x b rằng dx f x dx (với a 0 và a 1) (1) x b a 1 0 Lời giải tổng quát Đặt x t thì dx dt; f t f t nên 0 f x 0 f t b at f t b a x f x dx dt dt dx x t t x b a 1 b a 1 0 a 1 0 a 1 Do đó b f x b a x f x b f x b dx dx dx f x dx x x x b a 1 0 a 1 0 a 1 0 1 x4 x2 1 Ví dụ 1: Tính tích phân dx x 1 2 1 23 15 A. B. C. 1D. 1 15 23 Đáp án A. Lời giải Ta thấy hàm số f x x4 x2 1 là hàm số chẵn, áp dụng bài toán 1 ở trên ta có: 1 1 4 2 1 5 3 x x 1 4 2 x x 23 x dx x x 1 dx x . 2 1 5 3 15 1 0 0 Bài toán 2*: Cho f là hàm số liên tục trên đoạn a;b . Chứng minh rằng: b b f a b x dx f x dx 2 a a b b Đặc biệt f b x dx f x dx 3 0 0 Lời giải tổng quát Đặt t a b x thì dt dx . Khi đó b a b f a b x dx f t dt f x dx a b a Khi a 0 , ta nhận được công thức (3). 4 Ví dụ 2: Cho ln 1 tan x dx .lnb , a ;b 0 . Khi đó tổng a b bằng 0 a A. 8 B. 10 C. 5D. 4
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp án B. Lời giải Nhận xét: f x ln 1 tan x liên tục trên 0; , áp dụng (3) với bài toán này ta 4 có: 4 4 2 4 I ln 1 tan x dx ln dx ln 2 ln 1 tan x dx 0 4 0 1 tan x 0 4 ln 2dx I 2I ln 2.x 4 I .ln 2 . 0 0 8 Vậy a b 10 . Bài toán 3: Cho hàm số f liên tục trên 0;1. Chứng minh rằng: 2 2 f sin x dx f cos x dx 4 0 0 Lời giải tổng quát 2 0 2 Đặt t x thì dt dx , khi đó f sin x dx f cost dt f cos x dx 2 0 0 2 2 2011 sin x2011 Ví dụ 3: Tính tích phân: I dx 2011 2011 2011 2011 0 cos x sin x A. B. 1 C. D. 2 4 8 Đáp án C. Lời giải 2 2011 cos x2011 Sử dụng công thức (4) ta có I dx 2011 2011 2011 2011 0 sin x cos x 2 Từ đây suy ra 2I 1dx I . 0 4 Bài toán 4: (đọc thêm) Cho f là hàm số liên tục trên a;b thỏa mãn b a b b f x f a b x . Chứng minh rằng: xf x dx f x dx (8) a 2 a Đặc biệt xf sin x dx f sin x dx 9 . 0 2 0 Lời giải tổng quát
Thực hiện phép biến đổi x a b t thì b b b b xf x dx a b t f t dt a b f x dx xf x dx a a a a Từ đó suy ra (8). Chọn a 0,b ta có (9).
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB A. 3B. 2C. 4 D. 6 Bài tập rèn luyện kỹ năng 2 cos3 x 1. Bài toán tính tích phân Câu 7: Tích phân dx bằng sin x 1 4 Câu 1: Biết tích phân I 2x 1 exdx a be 0 1 1 A. ln 2 B. ln 2 a ¤ ;b ¤ . Khi đó tích a.b có giá trị bằng 4 4 1 1 A. 1B. 1C. 2 D. 3 C. ln 2 D. ln 2 4 4 1 1 Câu 2: Biết f x dx 2 và f x là hàm số lẻ. 2 x 0 Câu 8: Tích phân xe dx bằng 0 0 Khi đó I f x dx có giá trị bằng e 1 e 1 e 1 e 1 1 A. B. C. D. 2 2e 2 2e A. I 1 B. I 0 C. I 2 D. I 2 1 x 1 Câu 9: Tính tích phân: dx 2 x 1 Câu 3: Tích phân I x x 1dx có giá trị bằng 0 0 1 5 2 2 1 2 A. ln 2 B. 2ln2 A. I B. I 6 3 3 3 4 2 2 1 2 2 2 C. D. ln 2 C. I D. I 3 6 3 3 Câu 10: Giá trị dương a sao cho 3 x Câu 4: Cho tích phân I dx nếu đặt a x2 2x 2 a2 dx a ln3 là 0 1 x 1 0 x 1 2 2 t x 1 thì I f t dt trong đó A. 5B. 4C. 3 D. 2 1 5 dx A. f t t 2 t B. f t 2t 2 2t Câu 11: Giả sử ln c . Giá trị của c là 1 2x 1 C. f t t 2 t D. f t 2t 2 2t A. 9B. 3C. 81 D. 8 1 4 1 sin3 x x Câu 12: Tích phân I 3 dx có giá trị là Câu 5: Tính tích phân 2 dx 0 x 1 sin x 6 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 2 2 A. B. 2 8 8 4 2 2 1 3 f t dt 5 f r dr 6 3 2 3 2 2 2 Câu 13: Giả sử và . Tính C. D. 1 1 2 2 3 I f u du a cos2x 1 1 Câu 6: Cho I dx ln3 . Tìm giá trị 0 1 2sin 2x 4 A. I 4 B. I 3 C. I 2 D. I 1 của a là
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing e Câu 14: Tính tích phân I cos x dx Câu 23: Tích phân I 2x 1 ln x dx bằng 0 1 A. I 0 B. I 1 C. I 2 D. I 3 e2 1 e2 e2 3 e2 3 A. B. C. D. f x 2 2 4 2 Câu 15: Cho biết t 2dt xcos x . Tính f 4 . 0 Câu 24: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm x x 2 A. f 4 2 3 B. f 4 1 của hàm số f x ? x 1 2 1 C. f 4 D. f 4 3 12 x2 x 1 x2 x 1 2 A. B. a x 1 x 1 Câu 16: Đẳng thức cos x a2 dx sin a xảy ra x2 x 1 x2 0 C. D. nếu x 1 x 1 1 x 2 A. a B. a Câu 25: Biết dx a ln 12 bln 7 , 2 0 x 4x 7 C. a 3 D. a 2 với a, b là các số nguyên. Tính tổng a b bằng 2 1 A. 1B. 1C. D. 0 Câu 17: Tính tích phân I x.sin xdx 2 0 1 A. I 3 B. I 2 C. I 1 D. I 1 2 1 5 dx Câu 26: Cho xndx và ln m , với n, a 64 2x 1 Câu 18: Nếu xexdx 1 thì giá trị của a bằng: 0 1 0 m là các số nguyên dương. Khi đó: A. 0B. 1C. 2 D. e A. n m B. 1 n m 5 C. n m D. n m 6 1 Câu 19: Nếu sinn x cos xdx thì n bằng 4 dx Câu 27: Biết a ln 3 bln 4 c ln 5 , với a, 0 64 2 3 x x A. 3B. 4C. 5 D. 6 b, c là các số nguyên. Tính S a b c n 1 1 Câu 20: Giá trị của lim dx bằng A. S 6 B. S 2 C. S 2 D. S 0 n x n 1 e 1 Câu 28: Kết quả tích phân I 2x 3 exdx A. 1B. 1C. e D. 0 0 2 được viết dưới dạng I ae b với a, b là các số 2 Câu 21: Tích phân 4 x xdx có giá trị bằng hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng. 0 3 3 2 5 8 10 A. a b 28 B. a 2b 1 A. B. C. D. 3 3 3 3 C. a b 2 D. ab 3 4 2 sin 2xdx Câu 22: Tích phân cot x.dx có giá trị bằng Câu 29: Xét tích phân I . Nếu đặt 1 cos x 0 6 t 1 cos x , ta được: A. ln 2 B. ln 2 C. ln 4 D. ln 2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 1 4t3 4t 2 A. I dt B. I 4 t 2 1 dt 4 B. I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx 2 t 1 0 0 1 3 2 4t 4t 2 C. I dx D. I 4 x 1 dx 4 4 t 1 1 2 1 C. I x 1 cos 2x cos 2xdx 2 0 2 0 Câu 30: Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn a sin x 2 4 1 4 1 ;2 thỏa mãn dx . D. I x 1 cos 2x cos 2xdx 4 0 1 3cos x 3 2 0 2 0 A. 2B. 1C. 4 D. 3 Câu 36: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn Câu 31: Cho hàm số g x có đạo hàm trên đoạn m x2dx 1 ln 2 :  1;1. Có g 1 3 và tích phân 0 x 1 2 1 A. m 3 B. m 2 C. m 1 D. m 3 I g ' x dx 2 . Tính g 1 . 4 1 a Câu 37: Biết I x ln 2x 1 dx ln 3 c , 3 b A. 1B. 5C. 6 D. 0 2 b trong đó a, b, c là các số nguyên dương và là 2 4 x c Câu 32: Cho f x dx 3, tính I f dx . phân số tối giản. Tính S a b c . 1 2 2 A. S 60 B. S 70 C. S 72 D. S 68 3 A. 6B. C. 1D. 5 2 3 dx b Câu 38: Biết a ln , với a, b, Câu 33: Biết rằng: c sin x.sin x ln 2 6 1 1 a 5 6 x x dx ln 2 bln 2 c ln . Trong 2e 1 2 3 b 0 c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S a b c c bằng Tính S a b c . A. 2B. 3C. 4 D. 5 A. S 7 B. S 8 C. S 10 D. S 9 Câu 34: Có bao nhiêu số a 0;20 sao cho Câu 39: Biết rằng: 2x 2x a e .cos3x.dx e a cos3x bsin 3x c , trong 2 sin5 x.sin 2xdx . đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a b có giá 0 7 trị là A. 20B. 19C. 9 D. 10 1 5 5 1 A. B. C. D. 4 13 13 13 13 Câu 35: Cho I x 1 sin 2xdx . Tìm đẳng thức 1 0 Câu 40: Biết tích phân I 2x 1 exdx a be, đúng. 0 a ¤ ;b ¤ . Khi đó tích a.b có giá trị bằng: 4 A. I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx 0 A. 1B. 1C. 2 D. 3 0 Câu 41: Cho đồ thị hàm số y f x trên đoạn 0;6 như hình vẽ.
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Câu 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị x hàm số y 2 x e 2 và hai trục tọa độ là A. 2e2 10 B. 2e2 10 Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất: C. 2e2 10 D. 2e2 10 1 2 A. f x dx B. f x dx Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ x 1 0 0 thị hàm số y và các trục tọa độ. Chọn kết 3 6 x 2 C. f x dx D. f x dx quả đúng? 0 0 3 A. 3ln 6 B. 3ln 5 dx Câu 42: Tính tích phân: I được kết 2 1 x 3x 1 3 3 C. 3ln 2 D. 3ln 1 quả I a ln 3 bln 5. Giá trị a2 ab 3b2 là 2 2 A. 4B. 1C. 0 D. 5 Câu 4: Cho hàm số f x x3 3x2 2x . Tính 6 2 diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm Câu 43: Cho f x dx 12 . Tính I f 3x dx 0 0 số y f x , trục tung, trục hoành và đường thẳng A. I 6 B. I 36 C. I 2 D. I 4 x 3 2 2 10 12 11 9 A. S B. S C. S D. S Câu 44: Cho f x dx 2 và g x dx 1. 4 4 4 4 1 1 2 Câu 5: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai Tính I x 2 f x 3g x dx . mặt phẳng x 0 và x 3 , biết rằng thiết diện của 1 vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox 5 7 17 11 tại điểm có hoành độ x 0 x 3 là một hình chữ A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 nhật có hai kích thước là x và 2 9 x2 . 2 A. 18B. 19C. 20 D. 21 Câu 45: Cho f x dx 5 . Tính 0 Câu 6: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2x và y 3 x , trục hoành và 2 I f x 2sin x dx . trục tung. 0 5 1 A. S B. S 2 A. I 7 B. I 5 2 ln 2 2 1 C. S 2 D. S 4 C. I 3 D. I 5 ln 2 2. Ứng dụng của tích phân trong hình học Câu 7: Công thức tính diện tích S của hình thang Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ cong giới hạn bởi hai đồ thị y f x , y g x , 2 thị hàm số y x 2 và y 3x : x a , x b , a b 1 1 1 b A. 1B. C. D. 4 6 2 A. S f x g x dx a
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB b C. V 2 2 D. V 12 B. S f x g x dx a Câu 13: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường b 2 2 cong y x 1, trục hoành và các đường thẳng C. S f x g x dx x 1; x 0 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D a quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? b D. S f 2 x g 2 x dx 4 A. V B. V 2 a 3 Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 4 3 2 C. V D. V 2 C của hàm số y 2x x x 5 và đồ thị 3 C ' của hàm số y x2 x 5 bằng Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 1 A. 0B. 1C. 2 D. 3 hàm số y , trục hoành và hai đường thẳng x Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ x 1, x e là thị hàm số y x 1 e2x , trục hoành và các đường 1 thẳng x 0 , x 2 . A. 0B. 1C. e D. e e4 e2 3 e4 e2 3 A. B. Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường 4 2 4 4 2 4 cong y2 4x và đường thẳng x 1 bằng S. Giá trị e4 e2 3 e4 e2 3 của S là C. D. 4 2 4 4 2 4 3 8 A. 1B. C. D. 16 Câu 10: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình 8 3 2 phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 2x Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh và y x2 quay quanh trục Ox. đường cong y x2 với x 0 , đường thẳng 4 4 1 y 2 x và trục hoành bằng A. B. C. D. 3 3 3 3 7 1 5 A. 2B. C. D. Câu 11: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường 6 3 6 cong y 2 cos x , trục hoành và các đường Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ax3 a 0 , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x . Khối tròn xoay tạo thành khi 2 15a thẳng x 1, x k k 0 bằng . Tìm k. quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 4 nhiêu? 1 A. k 1 B. k A. V 1 B. V 1 4 1 C. V 1 D. V 1 C. k D. k 4 14 2 Câu 12: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình cong y 2 sin x , trục hoành và các đường thang ABCD với A 1;2 , B 5;5 , C 5;0 , thẳng x 0 , x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao D 1;0 . Quay hình thang ABCD xung quanh nhiêu? trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng A. V 2 1 B. V 2 1 bao nhiêu? A. 72 B. 74
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing C. 76 D. 78
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Hướng dẫn giải chi tiết 1. Bài toán tính tích phân 4 1 sin x dx cot x 4 cos x 4 Câu 1: Đáp án A 2 sin x 6 6 1 1 1 6 I 2x 1 exdx 2xexdx exdx 2 2 3 3 2 2 0 0 0 . 1 2 2 2 x 2xe dx e 1 Câu 6: Đáp án C 0 exdx dv v ex a cos 2x 1 a cos 2xd2x 1 a d sin 2x Đặt I dx 1 2sin 2x 2 1 2sin 2x 2 1 2sin 2x x u dx du 0 0 0 1 1 1 I 2 udv e 1 2uv 2 vdu e 1 0 a 0 0 1 d 2sin 2x 1 1 a ln 2 sin 2x 1 1 1 4 0 1 2sin 2x 4 0 2x.ex e exdx e 1 e 1 0 0 1 2 1 ln 2sin 1 ln 3 . a b 1 ab 1. 4 a 4 Câu 2: Đáp án C 2 Suy ra: 2sin 1 3. f x là hàm số lẻ a 0 1 Trong các đáp án a 4 . f x dx f x dx 2 Câu 7: Đáp án D 1 0 Cách 1: Thử Câu 3: Đáp án A 1 Cách 2: Đặt sin x t . I x x2 1dx Câu 8: Đáp án D 0 Cách 1: Thử bằng máy tính Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả. 1 1 2 1 2 Câu 4: Đáp án D Cách 2: I x.e x dx 2x e x dx 0 2 0 3 x I dx 1 1 1 x 1 1 x2 2 1 x2 1 1 1 0 e d x e .e 2 0 2 0 2 2 t x 1 t 2 x 1 2tdt dx 1 1 e 1 3 x 1 x 1 3 2 2e 2e I dx x 1 1 dx 0 1 x 1 0 Câu 9: Đáp án C 2 2 Cách 1: Thử trực tiếp bằng máy tính I 2 t 1 tdt t 2 1 2dt f t 2t 2 2t Cách 2: Đặt x 1 t , biến đổi 1 1 Câu 5: Đáp án B Câu 10: Đáp án D 2 a x2 2x 2 a x 1 1 I dx dx 0 x 1 0 x 1
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB a 1 Trong 4 phương án, chỉ có phương án D thỏa mãn. x 1 d x 1 Câu 17: Đáp án C 0 x 1 Cách 1: Thử bằng máy tính 2 a 2 x 1 a a 1 1 ln x 1 ln a 1 sin xdx dv 2 0 2 2 Cách 2: Tích phân thành phần: 0 x u a2 Câu 18: Đáp án B a ln a 1 2 Theo như biến đổi câu 1, ta có: a a a 1 3 a 2 . a I x.exdx x.ex exdx Câu 11: Đáp án B. 0 0 0 Câu 12: Đáp án B. a.ea ea 1 1 Thử máy tính. a 1 1 1 1 Gợi ý: I d x 1 Câu 19: Đáp án A 2 3 0 x 1 x 1 6 Câu 13: Đáp án D I sinn x.cos xdx 3 3 1 0 I f u du f u du f u du 6 5 1 Đặt sin x t . Đổi cận: x 0 t 0 1 1 1 1 Câu 14: Đáp án C x t 6 2 2 1 1 n 1 I cos x dx cos x dx cos x dx 2 t n 1 2 1 1 1 I t ndt . 0 0 2 0 n 1 0 2 n 1 64 n 3. 2 cos xdx cos xdx sin x 2 sin x Câu 20: Đáp án D 0 2 0 Cách 1: Thử bằng máy tính 2 1 1 2 Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử n 100 . 101 Câu 15: Đáp án D 1 Nhập biểu thức dx x Ta có: 100 1 e f x f x 44 t3 f 3 x f 3 x Máy tính cho kết quả 2.35 10 0 . t 2dt x.cos x 0 3 0 3 3 Cách 2: Giải chi tiết n 1 n 1 n 1 x n 1 x f 3 4 1 e e I x dx 1dx x dx 1 x dx Thay x 4 4.cos 4 1 e 1 e 1 e 3 n n n n f 3 4 12 f 4 3 12 . n 1 x d e 1 n 1 Câu 16: Đáp án D I 1 1 ln 1 ex 1 ex n a n cos x a2 dx sin a I 1 ln 1 en ln 1 en 1 0 sin a a2 sin a2 sin a
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing ln 1 en x2 x2 x 1 Ta luôn có lim 1 1 n n x 1 x 1 n 1 1 Ta thấy 3 phương án B, C, D có cùng đạo hàm. lim dx lim 1 ln 1 en ln 1 en 1 n x n Vậy phương án A sai. n 1 e Câu 25: Đáp án D ln 1 en ln 1 en 1 1 lim .n . n 1 1 x 2 1 1 2x 4 n n n 1 dx . dx 2 2 0 x 4x 7 2 0 x 4x 7 1 n n 1 0 2 1 1 d x 4x 7 1 1 Câu 21: Đáp án C 2 . 2 ln x 4x 7 2 x 4x 7 2 Cách 1: Thử bằng máy tính 0 0 1 1 Cách 2: Đặt 4 x2 t ln12 ln 7 ln 12 ln 7 2 2 Câu 22: Đáp án D a 1;b 1 a b 0 Cách 1: Thử bằng máy tính Câu 26: Đáp án D 2 1 2 1 2 n 1 Cách 2: Đặt sin x t I dt n 1 1 1 1 t x dx . n 3 1 64 2 n 1 64 2 0 Câu 23: Đáp án D 5 dx 1 5 d 2x 1 1 5 ln 2x 1 e e e 1 2x 1 2 1 2x 1 2 1 I 2x 1 ln x dx 2x.ln xdx 2xdx 1 1 1 1 1 ln 9 ln1 ln 3 e 2 2 2 e 1 2 x.ln xdx m n 3 1 Câu 27: Đáp án D 1 dx du 4 4 4 ln x u x dx 1 1 1 I dx dx Đặt 2 2 xdx dv x 3 x x 3 x x 1 3 x x 1 v 2 4 ln x ln x 1 ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 e e e 3 e x ln xdx udv uv vdu 1 ln 3 2ln 4 ln 5 1 1 1 S a b c 0 e x2 e x ln x. dx Câu 28: Đáp án B 2 2 1 1 1 1 1 I 2x 3 .exdx 2 x.exdx 3 exdx e2 e2 1 e2 1 0 0 0 2 4 4 4 4 Tương tự các bài trên 2 2 2 e 1 e 3 1 1 I e 1 1 2 2 x.exdx x.ex exdx 0 0 0 Câu 24: Đáp án A 1 1 1 x2 x2 x 1 I 2x.ex exdx 2x.ex ex 3e 1 Dễ nhận thấy 1 0 0 x 1 x 1 0
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB a 3;b 1 2 2 I 2 f t dt 2 f t dt 2. 3 6 Suy ra, đáp án B: a 2b 1 1 1 Câu 29: Đáp án D Câu 33: Đáp án C t 1 cos x,t 0 t 2 1 cos x ln 2 1 ln 2 ln 2 2ex 1 2ex x dx xdx dx x x 2tdt sin xdx 0 2e 1 0 0 2e 1 Đổi cận: ln 2 ln 2 2ex x 1 dx dx 2ex 1 x 0 t 2; x t 1 0 0 2 ln 2 2 ln 2 x x d 2e 1 x 2 sin 2xdx 2 2cos x.sin x x 2 0 2e 1 I dx 0 0 1 cos x 0 1 cos x 2 ln 2 ln 2 x 2 ln 2 ln 2e 1 1 4 t 1 t 2 2 2 0 dt 4 t 2 1 dt 4 x2 1 dx t 2 2 2 1 1 ln 2 ln 2 5 ln 2 ln 5 ln 3 ln 2 ln Câu 30: Đáp án A 2 2 3 a sin x a 2;b 1;c 1 a b c 4 I dx 0 1 3cos x Câu 34: Đáp án D a a Đặt 1 3cos x t,t 0 I sin5 x.sin 2xdx 2 sin6 x.cos xdx 0 0 t 2 1 3cos x 2tdt 3sin xdx a 7 a 7 2tdt 6 sin x 2sin a sin xdx 2 sin x.d sin x 2. 3 0 7 0 7 1 3cosa 1 3cosa 2 2 tdt 2 I sin a 1 a k2 I dt 7 2 3 2 t 3 2 1 2 2 a 0 k2 0 k2 k 1 3cos a .2 2 2 4 3 3 1 39 2 a 20 2k 20 k Mà I 1 3cos a 1 cos a 0 2 4 3 k 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Có 10 giá trị của a. 3 a ; 2 2 Câu 35: Đáp án C Suy ra, đáp án A 1 sin 2xdx dv cos 2x v Câu 31: Đáp án A Đặt 2 x 1 u 1 dx du I g ' x dx 2 g 1 g 1 2 1 4 4 4 I x 1 sin 2xdx udv uv 4 vdu 0 g 1 2 g 1 2 3 1 0 0 0 Câu 32: Đáp án A 1 4 1 4 x x 1 cos 2x cos 2xdx Đặt t dx 2dt 2 2 2 0 0
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Suy ra, đáp án C. 3 3 cos x cos x 6 Câu 36: Đáp án C I 2 dx 2 dx sin x Thử các đáp án, suy ra m 1 sin x 6 6 6 Câu 37: Đáp án B 4 3 1 3 2.ln 2ln 2ln1 2ln I x ln 2x 1 dx 2 2 2 0 2 3 3 3 dx du 4ln 2ln 2 2ln 2ln 2 2ln ln 2x 1 u 2x 1 2 4 2 Đặt xdx dv x2 1 v S 2 3 2 7 2 8 Câu 37: Đáp án C 4 4 4 I udv uv vdu 2x 0 2x e 0 0 e dx dv v Đặt 2 4 cos3x u 4 x2 1 x2 1 2 3sin 3xdx du ln 2x 1 . dx 2 8 0 2 8 2x 1 0 I udv uv vdu 4 2 4 63 4x 1 63 1 2x 2x ln 9 dx ln 9 2x 1 dx e e 8 4 2x 1 8 4 .cos3x .3sin 3xdx 0 0 2 2 63 1 4 63 e2x 3 ln 9 x2 x ln 3 3 .cos3x e2x .sin 3xdx 8 4 0 4 2 2 a 63;b 4;c 3 S 63 4 3 70 Đặt sin 3x u1 3cos3xdx du1 Câu 38: Đáp án A e2x .sin 3xdx u dv u v vdu 1 1 1 3 dx e2x e2x e2x 3 I .sin 3x .3.cos3xdx .sin 3x .I 2 2 2 2 sin x.sin x 6 6 e2x .cos3x 3 e2x .sin 3x 3 I . I Ta có: 2 2 2 2 13 2x cos3x 3 sin x x sin x .cos x cos x .sin x I e .sin 3x 6 6 6 4 2 4 1 sin sin 2x 2cos3x 3 6 6 I e .sin 3x 13 13 2 3 5 a b . cos x 1 1 cos x 6 13 13 13 . sin x Câu 40: Đáp án A sin x.sin x sin sin x 6 6 6 Câu 41: Đáp án B Câu 42: Đáp án D 5 dx I 1 x 3x 1
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đặt 3x 1 t 3x t 2 3dx 2tdt Đổi cận: x 1 t 2 x 5 t 4 2 4 tdt 4 dt I 2 2 3 2 t 1 2 t 1 t 1 t 3 4 1 1 dt 2 t 1 t 1 4 ln t 1 ln t 1 2ln 3 ln 5 2 a 2;b 1 a2 ab 3b2 5 Câu 43: Đáp án D Đặt t 3x dt 3dx . Đổi cận: x 0 t 0; x 2 t 6 2 1 6 1 6 I f 3x dx f t dt f x dx 0 3 0 3 0 1 .12 4 3 Câu 44: Đáp án C 2 Ta có I x 2 f x 3g x dx 1 2 2 2 xdx 2 f x dx 3 g x dx 1 1 1 2 x2 3 17 I 2.2 3 1 4 3 2 1 2 2 Câu 45: Đáp án A Ta có 2 2 2 I f x 2sin x dx f x dx 2 sin xdx 0 0 0 5 2cos x 2 7 0
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing 2. Ứng dụng của tích phân trong hình học Câu 6: Đáp án A x Câu 1: Đáp án C Giao điểm 2 3 x Nhẩm được nghiệm 1 1 2 1 2x x2 Giao điểm tại x 2 3x x 1 2 S 2x x 3dx 3x 2 0 ln 2 2 0 S x2 2 3x dx 2 1 1 1 5 1 3 2 3 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 2 x 3x 2 1 x2 2 3x dx 2x 1 Câu 7: Đáp án B 1 3 2 6 Câu 8: Đáp án B Câu 2: Đáp án C Ta xét phương trình hoành độ giao điểm x y 2 x e 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2x3 x2 x 5 x2 x 5 bằng 2 x 0 2x3 2x 0 2 x 1 Thể tích V 2 x 2 exdx 0 1 Lúc này ta có S 2x3 2x dx 1 Sử dụng phương pháp tích phân thành phần 1 V 2e2 10 Ta bấm máy và cũng được kết quả như trên: Câu 3: Đáp án D 0 x 1 0 3 S dx 1 dx 1 x 2 1 x 2 0 Câu 9: Đáp án A x 0 3ln x 2 1 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm 1 3ln 2 3ln 3 x 1 .e2x 0 x 1. Vậy diện tích hình phẳng 2x 2 3 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 .e , 1 3ln 3ln 1 3 2 trục hoành và các đường thẳng x 0 , x 2 được tính bởi công thức: Câu 4: Đáp án C 1 2 1 S x 1 .e2xdx x 1 .e2xdx S x3 3x2 2xdx 0 1 0 0 2 3 2 2x 2x 3 2 3 2 x 1 .e dx x 1 .e dx x 3x 2x dx x 3x 2x dx 1 1 0 1 0 2 3 Đặt I x 1 .e2xdx ; I x 1 e2xdx x3 3x2 2x dx 1 2 1 1 2 1 1 1 9 11 Đặt x 1 u dx du;vdv e2xdx v .e2x 2 4 4 4 4 1 b 1 b Câu 5: Đáp án A Khi đó I .e2x . x 1 e2xdx 0 3 2 a 2 a V 2x 9 x2 dx 18 0
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 1 b 1 b Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình .e2x . x 1 .e2x . phẳng giới hạn bởi các đường y 2 sin x , 2 a 4 a 2 x 0 , x và trục hoành khi quay quanh Ox là: 1 1 0 1 2 e 3 Vậy từ đây ta có I .e .e . 1 2 4 4 4 4 V 2 sin x dx 2x cos x 2 1 x 0 4 2 0 1 4 1 4 1 2 e e I2 .e .e .e (đvtt). 2 4 4 4 4 Câu 13: Đáp án A e4 e2 3 Suy ra I I1 I2 Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình 4 2 4 phẳng giới hạn bởi các đường Câu 10: Đáp án C y x2 1, x 0, x 1 và trục hoành khi quay Xét phương trình hoành độ giao điểm quanh Ox là: 2 2 x 0 1 x 2x x 1 x3 4 x 1 V x2 1 dx x (đvtt). x 0 3 3 Khi đó thể tích khối tròn xoay có được khi quay 0 hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số Câu 14: Đáp án B 2 2 e e 1 1 e y x 2x; y x quay quanh trục Ox được tính Ta có S dx dx ln x 1 . 1 bởi công thức 1 x 1 x 1 2 2 Câu 15: Đáp án C V x2 2x x2 dx 0 Ta có: Phương trình tung độ giao điểm 2 2 2 2 2 y Ta thấy trên 0;1 thì x x 2x , do vậy 1 y 2 4 ta có công thức 2 2 2 3 1 y y 4 4 8 V x4 x4 4x3 4x2 dx S 1 dy y . 2 4 12 3 3 3 0 2 1 1 4 Câu 16: Đáp án B 4x3 4x2 dx . x4 x3 (đvtt) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 0 3 0 3 2 2 Câu 11: Đáp án C x 2 x x x 2 0 x 1 hoặc x 2 (loại vì x 0 ). Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình 1 7 phẳng giới hạn bởi các đường y 2 cos x , Ta có S x2 2 x dx 6 0 x 0 , x và trục hoành khi quay quanh Ox là: 2 Câu 17: Đáp án D 2 V 2 cos x dx 2x sin x 2 1 x 0 0 (đvtt). Câu 12: Đáp án B
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Ta thấy hàm số y ax3 , a 0 luôn đồng biến trên ¡ và có tâm đối xứng là O 0;0 . Hình vẽ minh họa ở bên ta thấy với x 1;0 thì ax3 0 , với x 0;k thì ax3 0 . k 15a Vậy S ax3 dx 1 4 0 k 15a ax3 dx ax3dx 1 0 4 0 k ax4 ax4 15a (Do k 0 ). 4 1 4 0 4 a ak 4 15a k 4 14 k 4 14 4 4 4 (vì k 0 ). Câu 18: Đáp án D Phương trình đường thẳng AB là: x 1 y 2 1 5 y x 5 1 5 2 2 2 Thể tích khối tròn xoay là: 5 5 2 2 1 5 V f x dx x dx 78 1 1 2 2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB IX. Ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong thực tế Ví dụ 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 5t 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2 m B. 2 m C. 10 m D. 20 m Lời giải Đáp án C. Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường s t mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe. Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t 0 . Thời điểm ô tô dừng lại ứng với t1 , khi đó v t1 0 t1 2 . STUDY TIP Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là: 2 Hàm số thể hiện quãng 2 5 s 5t 10 dt t 2 10t 10m đường vật đi được tính 0 2 0 theo thời gian là biểu thức nguyên hàm của hàm số Ví dụ 2: Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc v t 2 t 0 t 30 vận tốc. (m/s). Giả sử tại thời điểm t 0 thì s 0 . Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là 4 4 A. s t3 (m) B. s 2 (m)t C. s(m) D.t3 (m) s 2t 3 3 Đáp án A. Lời giải STUDY TIP 1 1 3 4 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có s t 2 tdt 2 t 2 dt 2. .t 2 . t3 (m) Biểu thức gia tốc là đạo 1 1 3 hàm cấp một của biểu thức 2 vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng Ví dụ 3: Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy đường. luật, và có gia tốc a 0,3 (m/s2). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên. A. 12000mB. 240 m C. 864000 m D. 3200 m Đáp án C. Phân tích Nhận thấy bài toán này khác với hai ví dụ trên ở chỗ bài toán cho biểu thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ở đây ta có thêm một kiến thức như sau:
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với 2 ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường”. Từ đây ta có lời giải: Lời giải Ta có v t 0,3dt 0,3t (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0). Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là: 40.60 0,3 2400 0,3tdt .t 2 864000 (m) 0 2 0
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ năng trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t 3t 2 A. 20mB. 10 mC. 22,5mD. 5m , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi Câu 6: Cho chuyển động thẳng xác định bởi 3 được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm t 2 s phương trình S 2t t 1 , trong đó t được tính thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của điểm t 30s thì vật đi được quãng đường là bao chuyển động khi t 2s là: nhiêu? A. 63 m/s2 B. 64 m/s2 A. 1410 mB. 1140 mC. 300 mD. 240 m C. 23 m/s2 D. 24 m/s2 Câu 2: Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s Câu 7: Cho một vật chuyển động có phương trình thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu là: chuyển động chậm dần đều với vận tốc 2 s 2t3 3 (t được tính bằng giây, S tính bằng v t 200 20t (m/s). Trong đó t là khoảng thời t gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. mét). Vận tốc của chuyển động thẳng t 2s là: Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m 49 A. 3 m/sB. m/s (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây 2 so với lúc tàu dừng hẳn? 47 A. 5 sB. 8 sC. 15 sD. 10 s C. 12 m/sD. m/s 2 Câu 3: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t 0 Câu 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi (s) chuyển động thẳng với vận tốc v t t 5 t phương trình S 2t 4 t 1 , trong đó t được tính (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của dừng lại. chuyển động khi t 1s là: 125 125 A. (m)B. (m) A. 24 m/sB. 23 m/sC. 7 m/sD. 8 m/s 12 9 Câu 9: Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận 125 125 C. (m)D. (m) tốc tăng dần đều với vận tốc v 10t (m/s) t là 3 6 khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu Câu 4: Một người đi xe đạp dự định trong buổi chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ 1 lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)? sáng đi hết quãng đường 60 km. Khi đi được 2 A. 10mB. 20mC. 30mD. 40m quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ Câu 10: Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì 2 bằng vận tốc dự định, anh ta bèn đạp nhanh hơn người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần 3 đều với vận tốc v t 38t 19 (m/s), trong đó t là vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng đạp là bao nhiêu? hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 5km/hB. 12km/h A. 4,75mB. 4,5mC. 4,25mD. 5m C. 7km/hD. 18 km/h Câu 11: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s Câu 5: Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyể động chậm dần đều với vận tốc v 5t 15 (m/s), động chậm dần đều với gia tốc a m/s 2. Biết ô tô
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được thuộc khoảng nào dưới đây: trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần A. 3;4 B. 4 ;C.5 D. 5 ;6 6;7 trăm) Câu 12: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm 3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn) A. 183.000 đB. 180.000 đ C. 185.000 đD. 190.000 đ A. s 23,25 (km)B. s (km)21,58 Câu 13: Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng C. s 15,50 (km)D. s (km)13,83 trường là 9,8 m/s2. Tính quãng đường S viên đạn đi Câu 17: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất. tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là A. S 88,2m B. S 88,5m một phần của đường parabol có đỉnh I 2;9 và C. S 88 mD. m S 89 trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được Câu 14: Một chất điểm đang chuyển động với vận trong 3 giờ đó. tốc v0 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a t t 2 4t (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 68,25 mB. 70,25 m C. 69,75 mD. 67,25 m Câu 15: Một ca nô đang chạy trên Hồ Tây với vận tốc 20 m/s thì hết xăng. Từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 5t 20 m/s, trong đó t là khoảng thời gian A. s 24,25 (km)B. s (km)26,75 tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn, ca nô đi được bao nhiêu C. s 24,75 (km)D. s (km)25,25 mét? Câu 18: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận A. 10 mB. 20 mC. 30 mD. 40 m tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là Câu 16: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận 1 một phần của đường thẳng parabol với I ;8 và tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của 2 vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một Tính quãng đường s người đó chạy được trong phần của đường parabol có đỉnh I 2;9 và trục đối khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB A. s 4,0 (km)B. (km)s 2,3 C. s 4,5 (km)D. (km)s 5,3
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án A Quãng đường vật đi từ lúc đạp phanh cho đến lúc 2 dừng hẳn 3t S v t dt 3t 2 dt 2t c 2 5t 15 0 t 3 3 3.22 0 5t 2 S 2 10 2.2 c 10 c 0 . 5t 15 dt 15t 2 2 3 0 3t 2 S 2t . 5 2 .3 15.3 22,5 m 2 2 Suy ra: Khi t 30 s, vật đi được quãng đường Câu 6: Đáp án D 2 3.30 2 s 2.30 1410 m. v s ' 6t 1 2 a v '' 12t Câu 2: Đáp án A Khi t 2 a 24 m / s2 Khi tàu dừng hẳn: v 0 t 10 (s). 2 Câu 7: Đáp án B S v t dt 200 2t dt s 200t t 2 2 Ta có v s ' 6t 2 2 t 15 10 loai t S 750 200t 10t 750 t 5 2 49 Với t 2 v 6.22 t 10 5 5 (s). 22 2 Câu 3: Đáp án D Câu 8: Đáp án C 5t 2 t3 Ta có v s ' 8t3 1 S t 5 t dt S 2 3 Khi t 1 v 8 1 7 m / s . Khi vật dừng lại v t 5 t 0 t 5 . Câu 9: Đáp án B 5.52 53 53 125 2 Khi đó S m . s 10tdt s 5t . 2 3 6 6 Khi v 20m / s t 2 s 5.22 20m . Câu 4: Đáp án B Câu 10: Đáp án A Vận tốc dự định là v km / h . Khi ô tô dừng lại hẳn Thời gian đi nửa quãng đường đầu 1 30 45 v 0 19 38t 0 t t h . 2 1 2 v v 3 s 19 38t dt s 19t 19t 2 30 Thời gian đi nửa quãng đường sau t . 1 1 1 19 2 t s 19. 19. 4,75 m v 3 2 2 4 4 Ta có phương trình Câu 11: Đáp án C 60 45 30 60 t t 0,75 0,75 Từ giả thiết ta có v a dt v 15 at 1 2 v v v 3 v at 2 Giải phương trình suy ra: v 12 km/h. Mà s vdt 15 at dt s 15t 2 Câu 5: Đáp án C
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ô tô chuyển động được 20m thì dừng tại thời điểm Ta có: t 2 1 v a t dt t 4t dt Suy ra 3 t 2 15 at 0 at 15 v 15 2t v 0 1 1 3 at 2 15t s 20 1 1 4 3 15t1 20 15t1 20 t 2t 2 2 Mà s vdt s 15t . 12 3 at 15 1 45 Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường: 8 a a 5;6 t 8 34 2.33 1 3 s 3 15.3 69,75 m . 12 3 Câu 12: Đáp án A Câu 15: Đáp án D Khi dừng hẳn v 0 m / s t 4 s . Phương trình quãng đường đi được của ca - nô từ khi hết xăng 5t 2 s 20 5t dt s 20t 2 Tại t 4 s 40 Suy ra: ca - nô đi được 40 mét Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với Câu 16: Đáp án B tâm thiết diện Ta tìm được phương trình của parabol là x2 y2 5 Suy ra elip: 1 . Thể tích quả dưa hấu P : v t t 2 5t 4 . 142 12,52 4 chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần 5 31 Khi t 1 thì v 1 5 4 (km/h). gạch chéo quanh trục Ox. 4 4 14 2 2 x 8750 5 2 V 12,5 1 2 dx t 5t 4 khi 0 t 1 14 3 4 14 Vậy v t 31 Số tiền thu được là: khi 1 t 3 4 8750 20000. 183259 183.000 đ. Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 3.1000 giờ là: Câu 13: Đáp án A 1 5 2 31 73 31 Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và s t 5t 4 dt .2 4 4 12 2 quãng đường đi được là v2 v2 2as 0 0 259 2 2 21,58 km v v 0 29,42 12 s 0 44,1 2a 2.9,8 Câu 17: Đáp án C Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất Ta tìm được phương trình của parabol là là s 44,1.2 88,2 m 3 P : y x2 3x 6 Câu 14: Đáp án C 4
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Như vậy, quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ là: 3 3 3 2 3 2 x 3x s x 3x 6 dx 6x 4 4 2 0 0 99 24,75 km 4 Câu 18: Đáp án C Ta tìm được phương trình của parabol là P : v t 32t 2 32t Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là: 0,75 0,75 2 32 3 2 s 32t 32t dt t 16t 0 3 0 4,5 km
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB X. Tổng ôn tập chủ đề 3 Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết. BÀI KIỂM TRA SỐ 1 Câu 1: Nguyên hàm của hàm số 2 2 2 2 A. I tdt B. I t 2dt f x 2sin x cos x là 3 1 3 1 A. 2cos x sin x C B. 2cos x sin x C 2 2 14 C. I t3 D. I C. 2cos x sin x C D. 2cos x sin x C 9 1 9 Câu 2: Biết là một nguyên hàm của hàm số e a F x 3e 1 Câu 7: Biết x3 ln xdx a,b ¢ . Mệnh 1 b f x và F 0 2 . Tính F 1 1 x 1 đề nào sau đây đúng? 1 A. F 1 ln 2 2 B. F 1 A. ab 48 B. ab 64 2 C. a b 20 D. a b 12 C. F 1 ln 2 2 D. F 1 2 Câu 8: Cho 0 b d a c và hàm số f x b Câu 3: Giá trị nào của b để 2x 6 dx 0 ? liên tục trên ¡ thỏa mãn 1 d d ln e f x dx 10, f x dx 8 , ex f ex dx 7 . A. b 5 hoặc b 0 B. b hoặc 0 b 3 a b ln a C. b 0 hoặc b 1 D. hoặcb 1 b 5 ln c Tính I ex f ex dx e 2 x 2ln x lnb Câu 4: Giá trị của tích phân I dx là 1 x A. I 5 B. I 5 e2 1 e2 1 C. I 7 D. I ec eb A. e2 1 B. C.e2 D. 2 2 Câu 9: Nguyên hàm của hàm số f x x 2x là Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số 2x f x x3 sin 2x A. f x dx 1 C ln 2 4 x 2 x A. x3 sin 2x dx cos 2x C x 2 4 B. f x dx C 2 ln 2 4 3 x 1 2 B. x sin 2x dx cos 2x C x x 4 2 C. f x dx 2 ln 2 C 2 4 3 x 2 C. x sin 2x dx cos 2x C x x 4 D. f x dx 2 C 2 x4 1 D. x3 sin 2x dx cos 2x C Câu 10: Biết một nguyên hàm của hàm số 4 2 y f x là F x x2 4x 1 . Khi đó, giá trị của e 1 3ln x Câu 6: Cho tích phân I dx và đặt hàm số y f x tại x 3 là 1 x A. f 3 30 B. f 3 6 t 1 3ln x . Mệnh đề nào dưới đây sai? C. f 3 22 D. f 3 10
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing e Câu 14: Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển 2 a 3 c a Câu 11: Biết rằng x ln xdx e , với và động theo một đường thẳng với gia tốc 1 b d b (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian c a c a t 6 2t là hai phân số tối giản. Khi đó, bằng bao d b d tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. nhiêu? Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị a c 1 a c 1 A. B. lớn nhất là bao nhiêu mét? b d 3 b d 9 45 a c 1 a c 1 A. 18 métB. mét C. D. 2 b d 9 b d 3 27 Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho C. 36 métD. mét 4 vật thể H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số trình x a và x b a b . 1 x f x x sin 2 2 1 x A. f x dx x2 cos C 2 2 1 1 x B. f x dx x2 cos C 4 4 2 1 x C. f x dx x2 cos C Gọi S x là diện tích thiết diện của H bị cắt 4 2 bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có 1 1 x D. f x dx x2 cos C hoành độ là x, với a x b . Giả sử hàm số 4 2 2 y S x liên tục trên đoạn a;b . Khi đó, thể tích 2 x 2 V của vật thể H được tính bởi công thức Câu 16: Biết I 3x 1 e dx a be , với a, b 0 b b 2 2 là các số nguyên. Tính S a b . A. V S x dx B. V S x dx a a A. S 12 B. S C.8 S D. 16 b b S 10 C. V S x dx D. V S x dx Câu 17: Biết F x là một nguyên hàm của hàm a a Câu 13: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và số f x xe 2 và F 0 1 . Tính F 4 . thỏa mãn f x f x 3 2cos x , với mọi A. F 4 4e2 3 B. F 4 3 2 2 7 2 3 I f x dx C. F 4 4e 3 D. F 4 e x ¡ . Khi đó, giá trị của tích phân 4 4 2 2 1 Câu 18: Xét I dx . Đẳng thức nào sau đây bằng bao nhiêu? 2 1 x 3 A. I 2 B. I 2 là đúng? 2 2 1 2 1 1 1 1 A. I 1 C. I D. I x 2 2 3 2 1