Chuyên đề: Bất đẳng thức - Phần 1: Dùng AM-GM

Nội dung text: Chuyên đề: Bất đẳng thức - Phần 1: Dùng AM-GM

1. BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN 1: DÙNG AM-GM 1 1 4 Câu 1. [bdt1] Chứng minh rằng với mọi số thực dương a và b ta có + ≥ . a b a + b 1 1 1 9 Câu 2. [bdt2] Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có + + ≥ . a b c a + b + c Câu 3. [bdt3] Chứng minh với mọi a,b,c là các số thực ta có a2 + b2
   b2 + c2
   c2 + a2
   ≥ 8a2b2c2. Câu 4. [bdt4] (TSĐH Khối D 2005) Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng √ p1 + x3 + y3 p1 + y3 + z3 1 + z3 + x3 √ + + ≥ 3 3. xy yz zx Câu 5. [bdt5] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng √ pa (b + c) + pb (c + a) + pc (a + b) ≥ 3 2abc. Câu 6. [bdt6] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều a > b; a + b + c = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của c3 biểu thức P = 4a + 3b + . (a − b) b Câu 7. [bdt7] (IMO 2012) Cho a2, a3, . . . , an là các số thực dương thoả mãn điều kiệna2a3 ··· an = 1. Chứng 2 3 n n minh rằng (1 + a2) (1 + a3) ··· (1 + an) > n . Câu 8. [bdt8] Cho x,y,z là các số thực chứng minh 1 (x + y)(y + z)(z + x) (1 − xy) (1 − yz) (1 − zx) 1 − ≤ ≤ . 8 (1 + x2)2 (1 + y2)2 (1 + z2)2 8 Câu 9. [bdt9] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≥ max{y, z} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x r y r z P = + 2 1 + + 3 3 1 + . y z x √ √ Câu 10. [bdt10] Chứng minh rằng với mọi a, b ≥ 1ta có a b − 1 + b a − 1 ≤ ab. ( 0 ≤ x ≤ 3 Câu 11. [bdt11] Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (3 − x) (4 − y) (2x + 3y) . 0 ≤ y ≤ 4 Câu 12. [bdt12] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (a + 2b + 3c) (6a + 3b + 2c). Câu 13. [bdt13] Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (5a + b)(b2 + 4ac). Câu 14. [bdt14] Chứng minh rằng với mọi số thực dương a và b ta có q 3 p 2a (a + b) + b 2 (a2 + b2) ≤ 3 a2 + b2
   . Câu 15. [bdt15] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh 81abc a2 + b2 + c2
   ≤ (a + b + c)5. Câu 16. [bdt16] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng r r a + b √ a + b a + b + c a + 3 ab · + 3 abc ≤ 3 3 a · · . 2 2 3 Câu 17. [bdt17] Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có r 3 3 r 3 3 r 3 3 3 3 3 3 y + z 3 z + x 3 x + y (x + y) + (y + z) + (z + x) yz + zx + xy ≤ . 2 2 2 8 Truy cập gõ từ khóa [bdt1] để xem lời giải Trang 1
2. Câu 18. [bdt18] Cho a,b,c là các số thực không âm chứng minh rằng (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≥ 4 a2 + bc
   b2 + ca
   c2 + ab
   . Câu 19. [bdt19] Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [0, 1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c). a + bc b + ca c + ab Câu 20. [bdt20] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 chứng minh + + ≥ 2. b + c c + a a + b r1 + a2 r1 + b2 r1 + c2 Câu 21. [bdt21] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh + + ≥ 3. b + c c + a a + b Câu 22. [bdt22] Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 a + b + c + + ≤ . a2 + bc b2 + ac c2 + ab 2abc Câu 23. [bdt23] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh 1 1 1 1 + + ≤ . a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc Câu 24. [bdt24] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng √ a b c 3 3 + + ≥ . b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 2 Câu 25. [bdt25] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng ab bc ca 1 √ + √ + √ ≤ . c + ab a + bc b + ca 2 Câu 26. [bdt26] Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + ≤ . x2 + 2y2 + 3 y2 + 2z2 + 3 z2 + 2x2 + 3 2 1 1 1 Câu 27. [bdt27] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện + + = 1. Chứng minh rằng a b c a2 b2 c2 a + b + c + + ≥ . a + bc b + ca c + ab 4 Câu 28. [bdt28] Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + 3c 4b 8c P = + − . a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c Câu 29. [bdt29] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh s s s a3 b3 c3 + + ≥ 1. a3 + (b + c)3 b3 + (c + a)3 c3 + (a + b)3 Câu 30. [bdt30] Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh rằng r a r b r c + + > 2. b + c c + a a + b Câu 31. [bdt31] Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3 chứng minh s s s a2 + b2 + c b2 + c2 + a c2 + a2 + b + + ≥ 3. a + b + c2 b + c + a2 c + a + b2 Câu 32. [bdt32] Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ra (b + c) rb (c + a) rc (a + b) P = + + . a2 + bc b2 + ca c2 + ab Truy cập gõ từ khóa [bdt1] để xem lời giải Trang 2
3. Câu 33. [bdt33] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh a3 b3 c3 3 + + ≥ . (b + 3c)3 (c + 3a)3 (a + 3b)3 64 Câu 34. [bdt34] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh 1 1 a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)4 . 8 64 Câu 35. [bdt35] Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứng minh √ √ √ √ √ √ 3 a + b − c + 3 b + c − a + 3 c + a − b ≤ 3 a + 3 b + 3 c. Câu 36. [bdt36] Cho x,y,z là các số thực dương chứng minh rx + y rx + y rx + y √ r x r y r z  4 + 4 + 4 ≥ 2 4 + 4 + 4 . z z z y + z z + x x + y 1 1 1 Câu 37. [bdt37] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện + + = 2. Chứng minh a + 1 b + 1 c + 1 rằng 1 1 1 + + ≥ 1. 4a + 1 4b + 1 4c + 1 1 1 1 Câu 38. [bdt38] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện + + = 2. Chứng minh a + 1 b + 1 c + 1 rằng 1 1 1 + + ≥ 4 (a + b + c) . a b c Câu 39. [bdt39] Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1 chứng minh 1 1 1 2 + + ≥ + 1. a + 1 b + c c + 1 a + b + c + 1 Câu 40. [bdt40] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3 chứng minh ab2 + bc2 + ca2
   (ab + bc + ca) ≤ 9. Câu 41. [bdt41] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất √ √ √ của biểu thức P = a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1. Câu 42. [bdt42] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a4b + b4c + c4a. Câu 43. [bdt43] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãnn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 − ab + b2
   b2 − bc + c2
   c2 − ca + a2
   . Câu 44. [bdt44] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3 chứng minh a b c 3 + + ≥ . 1 + b2 1 + c2 1 + a2 2 Câu 45. [bdt45] Cho x,y,z là các số thực dương chứng minh √ √ √ yz zx xy √ + √ + √ . x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy Câu 46. [bdt46] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥ 1. a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 Truy cập gõ từ khóa [bdt1] để xem lời giải Trang 3
4. a Câu 47. [bdt47] Cho a,b,c là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + b3 + 16 b c + . c3 + 16 a3 + 16 1 1 1 Câu 48. [bdt48] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng + + ≥ 2 + a2b 2 + b2c 2 + c2a 1. Câu 49. [bdt49] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện (a + b)(b + c)(c + a) = 1. Chứng minh 3 rằng ab + bc + ca ≤ . 4 1 1 1 Câu 50. [bdt50] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c ≥ + + . Chứng minh rằng a b c 1 1 1 3 + + ≤ . (2a + b + c)2 (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 16 Câu 51. [bdt51] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ≤ 1. Chứng minh rằng √  1 1 1  a + b + c + 3 ≥ 8abc + + . a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 Câu 52. [bdt52] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh s 2 2 2 3 (a + b) (b + c) (c + a) 4 ≥ (a + b + c) . abc 3 Câu 53. [bdt53] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ 3 a2b + b2c + c2a
   . √ Câu 54. [bdt54] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 chứng minh a2 + b2 + c2 + 2 3abc ≤ 1. Câu 55. [bdt55] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh a b c p3 (a2 + b2 + c2) + + ≥ √ . b c a 3 abc Câu 56. [bdt56] Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh r r s a + b b + c rc + a 6 (a + b + c) + + ≥ √ . c a b 3 abc Câu 57. [bdt57] Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b(a − c) c(3b + a) 2c(a − b) P = + + . c(a + b) a(b + c) b(a + c) Câu 58. [bdt58] Cho x,y,z là các số thực lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx + xyz = 20. Chứng minh rằng 3 ≥ (x − 1) (y − 1) (z − 1) . x + y + z − 3 Câu 59. [bdt59] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức √ √ √ P = 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a. Câu 60. [bdt60] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 của biểu thức P = a + b + c + . abc 3 Câu 61. [bdt61] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 biểu thức 1 1 1 P = a2 + b2 + c2 + + + . a b c Truy cập gõ từ khóa [bdt1] để xem lời giải Trang 4
5. Câu 62. [bdt62] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 12. Chứng minh rằng p3 p3 p3 a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 ≤ 24. ( a + b + c = 9 Câu 63. [bdt63] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất a ≥ 5, a + b ≥ 8 của biểu thức P = abc. 1 1 Câu 64. [bdt64] Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 chứng minh + ≥ 30. a2 + b2 + c2 abc Câu 65. [bdt65] Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện b ≥ a > c > 0. Chứng minh rằng √ c (a − b) 1 ab + √ + ≥ 3. ab c (a − c) Câu 66. [bdt66] Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng r a + b r b + c r c + a + + ≥ 3. c + ab a + bc b + ac Câu 67. [bdt67] Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng s s s 1 + a2 1 + b2 1 + c2 + + ≥ 3. b + c c + a a + b Câu 68. [bdt68] Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng r a r b r c + + ≥ 2. b + c c + a a + b Câu 69. [bdt69] Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh s s s  2a 2  2b 2  2c 2 3 + 3 + 3 ≥ 3. b + c c + a a + b Câu 70. [bdt70] Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có  a b   b c   c a  + + + ≥ 1. b + c c + a c + a a + b a + b b + c Câu 71. [bdt71] Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (a + b + c)(x + y + z) = a2 + b2 + c2
   x2 + y2 + z2
   = 4. 1 Chứng minh rằng abcxyz −1.Chứng minh 1 + a2 1 + b2 1 + c2 + + ≥ 2. 1 + b + c2 1 + c + a2 1 + a + b2 Câu 73. [bdt73] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + 2bc + 3ca = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) + 4a + b + c. Câu 74. [bdt74] Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = a5b5c5 (3 (ab + bc + ca) − 8abc) . Câu 75. [bdt75] Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh 7 (a + b)(b + c)(c + a) ≥ (a + b + c) + 1. 3 Truy cập gõ từ khóa [bdt1] để xem lời giải Trang 5
6. Câu 76. [bdt76] Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (x + y)(y + z)(z + x) = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1 1 P = √ + + + . 3 xyz x + 2y y + 2z z + 2x Câu 77. [bdt77] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca. Câu 78. [bdt78] Cho x,y,z,t là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z + t = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ √ P = xp3 + yz + y 3 + zt + z 3 + tx + tp3 + xy. Câu 79. [bdt79] Cho các số thực a,b,c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3 + b3 + c3 − 3abc. Câu 80. [bdt80] Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a3 + b3
   b3 + c3
   c3 + a3
   . 1 Câu 81. [bdt81] Cho a,b,c,d,e,f là các số thực không âm có tổng bằng 1 và ace + bdf ≥ .Chứng minh rằng 108 1 abc + bcd + cde + def + efa + fba ≤ . 36 Câu 82. [bdt82] Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca > 0và a + 2b + 3c = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P = √ + √ . ab + bc + ca ab + bc + c2 a2 − 1 b2 − 1 c2 − 1 Câu 83. [bdt83] Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn 0 < a ≤ b ≤ c và + + = 0. Tìm giá a b c trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b2014 + c2015. Câu 84. [bdt84] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng b (a + c) c (b + d) d (c + a) a (d + b) + + + ≥ 4. c (a + b) d (b + c) a (c + d) b (d + a) Câu 85. [bdt85] Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh a3 + b3 + c3 3 ≥ abc + |(a − b)(b − c)(c − a)| . 3 4 Truy cập gõ từ khóa [bdt1] để xem lời giải Trang 6