›
›
›

Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng - Lê Việt Hưng

pdf 46 trang thaodu 4360
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng - Lê Việt Hưng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_bat_dang_thuc_va_cac_ung_dung_le_viet_hung.pdf

Nội dung text: Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng - Lê Việt Hưng

  1. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản : 1.1 Số thực dương, số thực âm Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu a 0 Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu a 0 Nếu a là số thực dương hoặc a 0, ta nói a là số thực không âm, ký hiệu a 0 Nếu a là số thực âm hoặc a 0, ta nói a là số thực không dương, ký hiệu a 0 Chú ý: Với hai số thực ab, chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra: ab hoặc ab hoặc ab Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " a 0" Phủ định của mệnh đề "a b nếu ab là một số dương, tức là ab 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: abab 0 Nếu ab hoặc ab , ta viết a b. Ta có: a b a b 0 1
  2. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1.3 Định nghĩa 2 Giả sử A, B là hai biểu thức (bằng số hoặc chứa biến) Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu AB " A nhỏ hơn B ", ký hiệu AB " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu AB " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu AB được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 1.4 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức ab 1.4.1 Tính chất 1. ac (Bắc cầu) bc 1.4.2 Tính chất 2. abacbc (Cộng hai vế với cùng một số) Hệ quả 1. abacbc (Trừ hai vế với cùng một số) Hệ quả 2. acbabc (Chuyển vế) ab 1.4.3 Tính chất 3. acbd (Cộng hai vế hai cd bđt cùng chiều) acbc khi c > 0 1.4.4 Tính chất 4. ab (Nhân hai vế với acbc khi c 0 cc Hệ quả 4. ab (Chia hai vế với cùng ab khi c < 0 cc một số) 2
  3. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ab 0 1.4.5 Tính chất 5. acbd (Nhân hai vế hai cd 0 bđt cùng chiều) 11 1.4.6 Tính chất 6. ab 00 (Nghịch đảo hai vế) ab 1.4.7 Tính chất 7. a b 0,n N * a n bn (Nâng lũy thừa bậc n) 1.4.8 Tính chất 8. a b 0,n N * n a n b (Khai căn bậc n) Hệ quả 5. Nếu a và b là hai số dương thì : a b a 2 b 2 (Bình phương hai vế) Nếu a và b là hai số không âm thì : a b a 2 b 2 (Bình phương hai vế) 2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất. xx 0 , x 2, xx2 , -xx Với mọi a,b R ta có : abab abab ababab .0 ababab .0 3. Bất đẳng thức trong tam giác Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : a > 0, b > 0, c > 0 bcabc cabca a b c a b a b c A B C II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ cơ bản : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi 3
  4. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 a, b R ab22 a = b ab 2 2 a b, R 2 a = b ab ab 2 3 ab,0 ab a = b ab 2 4 a b, R 2 22 ab abab 2 5 a b,, c R abcabbcca222 a b c abcabcabc444 6 a b,, c R 222 2 a b c 3 abcabc 2 7 a b,, c R abcabbcca 3 8 a b, R và 112 hoặc +³ ab 1 111+++abab22 ab 1 ab,0 11 ab ab 4 9 ab 114 abab abc,,0 1 1 1 a b c 9 10 a b c 1119 abcabc ab,0 2 11 ab ab 8 22 ab 11 1 1 8 22+³ 2 ab(ab+ ) 12 abcR,, 2 222222 abc axbyczabcxyz , xyz (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) x,, y z R 13 2 abcR,, , xyz222 xyz xyzR,, abcabc (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) 3 14 a, b, c, x, y, z, a3 b 3 c 3 x 3 y 3 z 3 m 3 n 3 paxm 3 byn czp Các dãy tương m, n, p > 0 ứng tỉ lệ (Hệ quả bất đẳng thức Holder) * Các bất đẳng thức quan trọng và mở rộng : 4
  5. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bất đẳng thức AM - GM ___ Nếu a12 a, ,.a . . , n là các số thực không âm thì aaa 12 n n aaa n 12 n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a12 a a n . Bất đẳng thức AM - GM suy rộng ___ Cho các số dương w12 w, ,. w . . , n thoả mãn www12 1 n . Nếu là các số thực không âm thì ww12 wn w112212 awawaaaa nnn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ___ Cho hai dãy số thực và b12 b, ,.b . . , n . Ta có: 2 222222 a1 ba 1221212 ba baaabbb nnnn aa a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 n bbb12 n Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ___ Cho hai dãy số thực và . Ta có: 2 aa22 a 2 aaa 12 n 12 n bbbbbb1212 nn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bất đẳng thức Holder ___ Với m dãy số dương aaaaaaaaa1,11,21,2,12,22,,1,2,,, ,,, , ,, ,nnmmm n ta có: m mm nn aa m  i,, ji j ii 11 jj 11 Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ. +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2. Bất đẳng thức Minkowski ___ Cho hai dãy số thực và . Ta có: 2 2 2 2 2 2 22 abab1 1 2 2 abn n aa 1 2 abb n 1 2 b n Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng ___ Cho hai dãy số thực và . Ta có: 5
  6. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng nnn a12121122 aabbbababab nnnn Dấu ‘‘=’’ của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz. Bất đẳng thức Vonicur Schur ___ Cho các số thực không âm a, b, c. Nếu r 0, thì aabacbbcbaccacbrrr 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0, b = c và các hoán vị. Với bất đẳng thức này ta có các hệ quả sau: Trong trường hợp r = 1, ta có các dạng tương đương sau: a. abcabcab333 abbc3()()() bcca ca b. 4()15()abcabcabc3333 9abc c. abcabbcca222 2() abc abcabc 4 d. 2 bccaababbcca ()()() Trong trường hợp r = 2, ta có các dạng tương đương: a. aabc422 abcab()() ab 6()(2)()abc abcabaaab 22 b.  Bất đẳng thức Bernolli ___ Với mọi số nguyên r 0 và x > -1 r 11 xrx III ) Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho x 3 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 Ax x Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng abab 2 ta có: 11 Axx 2.2 xx 1 Ta thấy lời giải trên sai vì trong đánh giá trên , dấu bằng xảy ra khi x , vì vậy x x=1, tuy nhiên x=1 lại không nằm trong khoảng giá trịx 3 mà bài toán đã quy định. Vì vậy với lời giải trên thì ta đã tìm sai điểm rơi cho bài toán. Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ra thì ta có lời giải như sau: 6
  7. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 8x x 1 8.3 x 1 24 2 10 A 2. 9 9xx 9 9 9 3 3 Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho x 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 Bx 3 2x Ví Dụ 3:Cho x>2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 Cx 43 x 4 Ví Dụ 4:Cho a,b >0 và a+2b = 3 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D ab 2 Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: abbcca 6 2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > 0 , xyz=1. Chứng minh rằng : 1113 1112 xyz yzx (Lê Việt Hưng) abc xyc ;; Lời giải : Từ xyz=1 ta có thể đặt : bca 1113 bca acbacbacabbc 2  bbccaa (Bất đẳng thức Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: a b c a2 b 2 c 2 1 bc ca ab 3 3 3 a b c (NguyenDungTN) bccaab xyz;; Lời giải :Từ đây ta đặt: abc xy yz zx x y z Từ đó ta cần chứng minh: 33 7
  8. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 3 xyyzzxxyz ( Đây là 1 dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > 0 , abc=1 . Chứng minh rằng : 1113 abbcca 111 2 (Sưu tầm) xyz abc ;; Lời giải : Từ abc=1 ta có thể đặt yzx , khi đó : 1113 yzzxxy xyyzzxxyzxyzxyzxyz 2 (1)(1)(1) VT yzzxxy (Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng: 111 abc 1111 bca (IMO 2000) Lời giải :Từ abc=1 ta có thể đặt ()()()xyzyzxzxy VT 1 Ta có: xyz  ()()()xyzyzxzxyxyz (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 và b 0.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: acab22 T acbc2222 2a (Nguyễn Phúc Tăng) a22 c a b1 1 1 b T 1 Lời giải : a2 c 2 b 2 c 222aa c 2 b 2 11 ac22 8
  9. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng cb Đặt : xy ; ac 111 xy Ta được: T 11 xy222 1 1 2 Từ đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức phụ: 11 xy221 xy 11121 xyxy  T 2 11 xy22212 xy Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 tại x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Chưng minh rằng: 1 1  2 1 ab Lời giải: Đặt: axbycz 333;;, ta được: 1 1  36 1 xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 4411 zxzx 422 2 1 yy22 xx yz z x  3622 1 xy 1 222222 1 xyzx364 xyzxyz 2 y Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 xyzxy22242 2zxyz xyz  2 22 22 2 x yy zz xxyz xyz 111 222 xyyzyzzxzxxy 0 222 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) xyyzzx Lời giải: Vì a,b,c nên ta có thể đặt: abz ;; zxy222 Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: 9
  10. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xyz444 1 y222422242224 zx yzxz xxy zyx yxyzz Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 222 xyz444 xyz y2 zx 2242 yzxz 2242 xxy 224 zyx yxyzz xy42 zxyz 2 xyz Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 xyz2 2 2  x 4 yzxyzxyz 2 2 xy2 2 yz 2 2 zx 2 2 xyzx y z 12 1 2 1 2 xyyz yzzx zxxy 0 2 2 2 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 111 1 111 cbcacabab222222 (Lê Việt Hưng) xyz Lời giải: Vì abc=1 nên ta có thể đặt: abc ;; yzx Bất đẳng thức được viết lại thành: xyz222 1 xzyzyxzxzyxy222222 xyz444 1 xx42 zx 2242 yzyx 2242 yxy 22 zzy zxyz Chứng minh bất đẳng thức trên tương tự như ví dụ 7. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 3. a b c a 2 b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) 111 9111 9111 9 Lời giải : ;; (Cauchy-Swcharz) abba 2 bbccbccaac 2 2 a 1 1 1 1 1 1  39 a b c a 2 b b 2 c c 2 a 10
  11. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 111111  3 abcabbcca 222 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c 111 Ví Dụ 2: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 1 .Chứng minh rằng : bccaab 111 abcabbcca ( Romania IBMO Team Selection Test 2007 ) 1 bc Lời giải : 1 Ta có: bcbc 11 bc 2   bc 1 Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: 2 abbcca VP  bcbc 1 2 abc 1  aaba2 Từ đây ta suy ra được: abcabbcca Ví Dụ 3: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 1113 abbcca222222 222 4 (Iranian IMO Team Selection Test 2009) 11ab22 Lời giải:Ta có: ab22 2 2 22 ab22 ab22 3 Viết lại thành:  22 ab 2 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 22 abbcca222222 abbcca 222222 VT a2 b 22 b 2 c 2 2 c 2 a 2 2 2 a 2 b 2 c 2 6 Ta lại có: 2 abbcca222222 22 abc 222  abbc 2222 2 2 abc2 2 2 2 abc 2 3 abc 2 2 2 abc 3 abc 2 2 2 9 11
  12. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 222 39 abc 3 VT 26 abc222 2 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 thõa mãn a b222 c 3 .Chứng minh rằng: 9 1 1 1 2 2 2 2 a b c a 2 b 2 c 2 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 111 bcbc2222 22222 a 2 abc 111 abc 222 : 32 abc 9 22 abcabc Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5:Cho abc,, > 0 thõa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a 2 b c b 2 c a c 2 a b Lời giải : Sử dụng BĐT Bunhia-copsxki cho 3 cặp số ta được : 1112.3 3 b cb c 23 a b c 1 222 2 ab c ab cb c 1 a b ca b c 9 Bất đẳng thức đã được đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1 Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b c a b b c 1 b c a b c a b (Belarusian MO 1998) Lời giải: Có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: a a b b c c b 1 bbc cbc aab ab ca b2 bc a 2 b b b c c b c a a b ab Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 12
  13. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 cabacba 222 bca bc . b bcc bcc bcc bcc ab baba Bất đẳng thức trên tương đương với: abc bcab 2 cabaab ab abc bc ab2 ca 2 bca 0 ca Từ đây , bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222abc 3 abcaca (Chinese Western MO 2004) Lời giải:Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 22aa 8 a b c ab bc ca  ac bc a b a ca b b c c a Ta cần chứng minh: 89abcabbccaabbcca Đây là 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc222 2 . Chứng minh rằng: a 2 1 6  2 bca (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải: Ta có: 1 a2 b 2 c 2 ab bc ca Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2222 2 222 2 abca 1113 b 211 cab a 1   22 2 22 2 2 b ca a b c ab bc caa b c ab bc ca a22 1 b 1 ab 1 Ta lại có: 13
  14. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng aabcabbcca2222 132226  2222 bcaabcabbcca abcabbccaabcabbcca222222 5222466 6 222222 abcabbccaabcabbcca 1 a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 3 4 ) Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho x,y > 0 và x + y = 2 . Chứng minh rằng : xyxy3333 2 (Sưu tầm) Lời giải : Ta được :xyxyxxyyxxyy332222 2 Quy về bài toán chứng minh: xyxxyy3322 1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có: 4 4 2 xy xy xy x22 xy y xy xy3 3 x 2222 xy yxy xy xy x xy y 1 44 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x=y=1 Ví Dụ 2: Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: a 3  22 ab 2 4 (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: aaa 112 . 2 222 a bab 211 211 ab22 2 11 a 32  2 24 a 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho a,b,c>0 thoả mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c ab bc ca (Russian MO 2002) Lời giải : Sử dụng bất đẳng thức Holder: 14
  15. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 3 abcabcabc 222 27 Theo AM-GM, Ta có: 3 222 2 222 abcabbcca 222 abcabbcca 27 3 abcabbcca Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng : ababbcbccacaabc222222 3335 ( Trần Hữu Thiên ) Lời giải: 5 Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau: ababab22 3() (*) 2 (*)4(3)5() ababab222 Ta có: ()0ab2 55 Tương tự ta có: b2 c 2 3 bc ( b c ); c 2 a 2 3 ca ( c a ) 22 Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta sẽ được đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 5:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz Chứng minh rằng: 1113 222 2 111 xyz (Korea MO 1998) Lời giải: xyz xyxz Ta thấy rằng: 11. xx22 xyzyz yz 3 Vì vậy ta cần chứng minh:  x y x z 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: 2 xy yz zx x y z 2 1 V T xy yz zx  x y x z x y y z z x Từ đây ta có thể sử dụng 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc: 15
  16. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 89 xyzxyyzzxxyyzzx Từ đây , bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y z 3 Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 4 aababcabc 3 3 Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 11 aababcaababc 33.4.4.16 24 1414164ababc aabc . 22433 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a=4b=16c Ví Dụ 7: Cho x,y,z >0 và xyzxyz222 . Chứng minh rằng: x 1  2 cyc x yz 2 (Diễn đàn toán học VMF) Lời giải:Ta thấy: x y z 1 1 1 x2 y 2 z 2 xyz 1 yz zx xy x y z Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x 1 1 1 1 1 1 1 2   x yz yz22 x y z x 2 yz x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=3 Ví Dụ 8:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: a b c 1 2 2 2 ab a 1 bc c 1 ca c 1 a b c (Diễn đàn toán học VMF) Lời giải: Ta thấy rằng: a b c 2 2 2 ab a 1 bc c 1 ca c 1 ac2 abc 2 2 c acabccacacc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cac 1 cac 1 cac 1 cac 1 cac 1 Sử dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có: 16
  17. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 acaccabccac2 1 acacc2 1 2 cac 1 abc abc 1 222 ababcccac 111 abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 5) Kỹ thuật thêm bớt : Ví Dụ 1: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: abcabc333222 bca222 bca (Junior Banlkan 2000) Lời giải: aaba3332 ab() ab ba bbb222 b aa32 abcabc 2 b b aa32 2 b b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c,d là 4 cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng: abcd 2 bcdaabcdabcdabcd (Lê Việt Hưng) Lời giải: aa1 () 2 b c d ab c d a 2 a b c da b c d 1 22 2()2b c d ab c d a a b c d 16 .2 2 22() a b c d Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d Ví Dụ 3:Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: a b c a b c bccaababbcca Lời giải:Đầu tiên, ta có thể chuyển vế trái qua vế phải và viết lại thành: 17
  18. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng abbcca 0 bccaab Để triệt tiêu dấu trừ ta có thể làm như sau: a b b c c a 1 1 1 3 b c c a a b abcabc Đưa về bài toán chứng minh : 3 cabcab abcabcabcabc Ta có: 3 33 cabcabcabcab Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 4:Cho a,b,c,d>0.Chứng minh rằng: addbbcca 0 bdcbcada (Vasile Cirtoaje) Lời giải: Để triệt tiêu dấu trừ, ta có thể làm theo cách của ví dụ 3 như sau: addbbcca 11114 bdcbcada Từ đây , ta đưa về dạng toán chứng minh: abcdabcd 4 bdcbcada Ta có: a b c d a b c d 1111 a bc d bdcb ca dabd cacb da 444 VTa bc da b c d 4 abcdabcdabcd Từ đây bất đẳn thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d Ví Dụ 5: Cho a,b,c là độ dài của một tam giác. Chứng minh rằng : abcab bc ca 5 b c c a a b abc222 2 (Phạm Kim Hùng) Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 18
  19. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 abbccaabc 111 222 2 abc bccaab 2 bcacababc abc bccaab 2 abc222 Ta thấy a,b,c là các cạnh của 1 tam giác, vì vậy: b+c – a > 0 ; a+b – c > 0 ; c+a – b > 0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 a b c a b c  a b c  ab  a b a b c 2 a2 b 2 c 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực thực dương sao cho a+b+c=1. Chứng minh rằng: abcabc 111 2 bcaabc 111 (Japanese MO 2004) 12 aa Lời giải:Ta thấy : 1 1 a b c Vì vậy , bất đẳng thức đã cho tương đương với : bcaabc 3 abcbccaab 2 bbccaa 3 acababcbc 2 abbcca 3 c bca cab ab 2 Sử dụng bất đẳng thức cauchy – Schwarz ta có: 222 ab ab bc caab bc caab bc ca 3  2 cb cabcb  cabca b c2 ab bc ca 2 2 3 Từ đây , bất đẳng thức đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 3 (1 b )(1 c ) (1 c )(1 a ) (1 a )(1 b ) 4 (IMO Shortlist 1998) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 19
  20. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng abca3 113 (1)(1)884 bc bcab3 113 (1)(1)884 ca cabc3 113 (1)(1)884 ab Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: abc333 313 ()abc (1)(1)(1)(1)(1)(1)422 bccaab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: aabc 2 0  ab 1 Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: a abc 2 a 1  393 abab 11 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: aabc 1111 3 3  ababbcca 1111 Ta chỉ cần chứng minh: abcabbcca 111111 2 2 2 abc ab bc caa 11 b c abcabca b cab bc ca 10abc abc a b c Theo AM – GM ta lại có: 331 abcabcabc 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 6) Kỹ Thuật AM-GM ngược dấu: Ví Dụ 1: Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: abc 3 111 bca222 2 a ab22 ab ab Lời giải: Ta thấy : a 11 11 bb2222b a b c ab bc ca 33  33 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 2: Cho a,,, b c d >0 thỏa mãn a b c d 4 . Chứng minh rằng 20
  21. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 1 1 1 2 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 1 (Vasile Cirtoaje) 1 a 2 a 2 a Giải : Ta nhận thấy rằng: 1 1 1 a 2 1 a 2 1 2a 2 1 b Tương tự ta có : 1 b2 1 2 1 c 1 c2 1 2 1 d 1 d 2 1 2 11114 abcd  442 abcd2222 1111 22 Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d=1 Ví Dụ 3:Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: abc 111 3 bca222 111 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 22 abab 1 b ab 11 a aaa 111 bb22 1122b Vì vậy ta có: abcabcabbcca 111 33 bca222 111 22 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4:Cho a,b,c >0 và abc=1 . Chứng minh rằng: 111 abc abc 111 bca (Phạm Kim Hùng) 1 a ba 1 Lời giải:Ta thấy: 1 a 11 bb Vì vậy ,bất đẳng thức đã cho tương đương với: b 1 a c 1 b a 1 c 3 1 b 1 c 1 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Dễ dàng chứng minh được bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số: bacbac 1 1 1 bacbac 1 1 1 33 . . 3 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a Ví Dụ 5:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 21
  22. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng abcabc333 abbcca222222 2 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: aababb322 aaa abab2222 22ab Vì vậy, ta có: abcabcabc333 abc abbcca222222 22 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 6: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: xyyzzx444 3 222 xyz 111 2 (Trần Quốc Anh) xyxyxyxy422 xyxyxy222 22 Lời giải: Ta thấy rằng: xx 1122x Tương tự: y44 zyzz xzx y22 zz x ; 22 yz 1122 Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 3 xyyzzx x222 yy zz x 22 x222 yy zz xxyz 33 Theo AM – GM ta dễ thấy: 222 Ta chỉ cần chứng minh: x222 yy zz xxyyzzx Sử dụng bất đẳng thức AM – GM kết hợp với điều kiện xyz=1 ta có: xy222222 xy zxxyxyyzxy3 33 Chứng minh tương tự: y2 z y 2 z z 2 x 3 yz 2 2 2 z x z x x y 3 zx Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên , ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 7)Kỹ thuật ghép đối xứng: Ví Dụ 1:Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 22
  23. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng abbcca abc cab (Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hồ Chí Minh 2008-2009) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: abbcabbc 2.2 b caca b c ca ab ca Tương tự: 2c ; 2a ab cb Cộng 3 vế lại ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 2: Cho x,y,z >0 thỏa mãn a b222 c 3 . Chứng minh rằng: xyyzzx 3 zxy (Prance MO 2005) Lời giải:Bình phương 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh ta được: x2 yy 22 zz 22 x 2 29xyz222 222 zxy x2 yy 22 zz 22 x 2 3 zxy222 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x222 yy 2222 zx yy 2 z 2.2 y 2 zxzx2222 2222 2222 xyzx 2 yzzx 2 Tương tự ta có: 2x ; 2z zy22 xy22 Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 Ví Dụ 3:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a2 b 2 c 2 3 . Chứng minh rằng: a 3 3  b2 3 2 Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 332332 aabaab 33 3 2 3 3 a bbbb2222 3333 882 b3 b 3 c 2 33 Tương tự ta có: b2 cc22 3382 23
  24. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng cca332 33 c2 aa22 3382 Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được: 222 a 3 39 abc 3  abc222 2 82 b 3 a 3 3  b2 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 111 abc222 3 bccaab Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số ta có: 111111 abcabc222222 3 3 bccaabbccaab 2 Ta cần chứng minh: 11 abab22 2 2 2 2 2 2 1 a2 1 b 2 1 c 2 a b b c c a 2 2 2 1 a 1 b 1 c a b b c c a 1 a2 1 b 2 1 c 2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 33 . . 3 bccaab bccaab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: bc 4 abc  cyc a abbcca Lời giải: Đưa bất đẳng thức đã cho về dạng: bc  abcaabc 4 cyc a Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxki ta có: 2 abaca bcabac a bc Tương tự ta có: b a b c b ca cacbcab b c b c b c  abca  abc  bcabc 2 cyca cyc a cyc a 24
  25. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng bc Ta cần chứng minh:  bcabc 2 cyc a Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: bcbcbccaabbcabca bcabc 22 cyccyc aaabcacb Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: bccaab222222 3 abcbcacab222 (Nguyễn Việt Hùng) Lời giải:Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: bccaab222222 bccaab 222222 3 . . a2 bc b 2 ca c 2 ab a 2 bc b 2 ca c 2 ab Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 bcacabc22222 2 22222 abcbacb 2 cababca22222 Nhân 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: bccaababcbcacab222222222 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 abc 3 abc bca 3 abc Lời giải: Ta chuẩn hóa abc=1 Ta cần chứng minh: abc 3 abc222 bca Bình phương 2 vế ta được: 2 a b c 2 2 2 3 a b c b c a a2 b 2 c 2 b a c 2 2 2 3 a2 b 2 c 2 2 2 2 b c a a c b Bằng kỹ thuật ghép đối xứng kết hợp với bất đẳng thức AM – GM ta được: 25
  26. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng aaaaa242 3333 a2 222 bb c cc 3 ab222 c bbbccc22 Tương tự, ta có: 3;3bc22 ca22aabb Cộng 3 vế bất đẳng thức trên theo vế ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 8:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab 6 a b c  c 3 abc Lời giải: Đầu tiên, ta chuẩn hóa abc=1. Ta cần chứng minh: ab 6 abc  c Sử dụng bất đẳng thức Minkowxki ta có: 22 ababcbca  cbcaabc Áp dụng bất đẳng thức ở ví dụ 7 ta có: 2 2 abc 3 abc 3 abc bca 3 abc 2 2 bca 3 abc 3 abc abc 3 abc 22 abcbca 6 ab c  bcaabc Từ đây, bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi:a=b=c 8)Kỹ thuật biến đổi tương đương: Ví Dụ 1:Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh rằng: aabb22 1  22 aabb Lời giải: 26
  27. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng aabb22 1  22 aabb aabb22 1 0  22 aabb 3 2 2 ab 0  22 aabb Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 abcabc222 2223 (APMO 2004) Lời giải: Ta có đẳng thức sau: 2 abcabc222 2223 13222 cababacbc2 22120 22 2 abcabc222 2223 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 3 xxyyxyzxyyzzx22 Lời giải: Ta có đẳng thức: 222 2222 313 xxyyxyxyxxyyxy 444 3322 Tương tự ta có: yyzzyzzzxxzx2222 ; 44 Nhân 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 2 27 222 xxyyxyyzzx22  64 Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 2 264 2 2 xyyzzx xyzxyyzzx 81 8 xyyzzx xyzxyyzzx 9 222 x y z y z x z x y 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z Ví Dụ 4:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 27
  28. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xxyyzxzyz 222222 xyz222 xyyzzx Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 1111 xyyxyzyz 0 xyzxyzzx xyxyyzyzyzxy 0 xyzxyzzx Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z Ví Dụ 5:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abc 22 abcabbcca222  bc (Lê Việt Hưng) abc 22 Lời giải: Đầu tiên ta đi chứng minh: abc222  bc ab abac acab abac ac  00 bcbcbc ab abba b a  0 bcca 2 ab ab  0 bc ca abc 22 Ta cần chứng minh tiếp: abbcca  bc Ví Dụ 6: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 69 abc (Diễn đàn toán học VMF) Lời giải:Áp dụng hệ quả bất đẳng thức schur bậc 1 ta có: a3 b 3 cabc 3 3 ab a b bc b c ca c a aabac bbcba ccacb 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử: abc c c a c b 0 Ta có: 28
  29. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng aabacb bcbaabaacb bc 2 ababcbaababc 22 0 aabacbbcbaccacb 0 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: abcabcabcabbccaabbccaabbcca333 63.9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abc222 111 6 abc bccaababc (Lê Việt Hưng) Lời giải:Quy đồng vế trái ta được : abcabc333 6 VT abc Quy đồng vế phải ta được 1 1 1 a b c ab bc caab a babc 3 VPa b c a b cabcabc Vậy ta chỉ cần chứng minh: abcabcab333 ababc63 a ab acb bcbac cacb 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử: abc ccacb 0 Ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c IV) Bài tập ứng dụng: Bài 1: Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng : 29
  30. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 111321 abbcca 333 111 abc 3232 ( Thái Nguyên TST 2016 ) Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b222 c 3 . Chứng minh rằng: ab22 3  ab Bài 3:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c 1 a 2 bc b 2 ca c 2 ab 1 1 1 Bài 4:Cho x,y,z>1 thỏa mãn: 2 .Chứng minh rằng: x y z xyzxyz 111 (Iranian MO 1998) 1 1 1 Bài 5:Cho x,y,z>2 và 1.Chứng minh rằng: x y z (2)(2)(2)1xyz (ĐTTS lớp 10 chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa 2005-2006) Bài 6:Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau : abcabbcca333 9() 12 abcabc 222 Bài 7:Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta luôn có bất đẳng thức sau : abcabc222 8 2 abbccaabbcca ()()() Bài 8:Cho a, b, c 0 trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng : a() b c 2  b22 bc c (Darij Grinberg) Bài 9: Cho xyz 0 Chứng minh rằng : 2 xy 2 2 2  x y z z (Việt Nam MO 1991) Bài 10:Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: (b c a )2 3( a 2 b 2 c 2 )  2a2 ( b c ) 2 ( a b c ) 2 (Võ Quốc Bá Cẩn) 30
  31. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 11:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 1 1 1 abc2 2 2 abc2 2 2 (Romania TST 2006) Bài 12:Cho a,b,c >0 thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 111 1 3(1)3(1)3(1)aabbcc222222 (Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế) Bài 13:Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: abcab222 abbccaaabbc  2 (Trần Quốc Anh) Bài 14:Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: abcab222 abbccaabcb  22 (Trần Quốc Anh) Bài 15 :Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: abcab222 abbccabbcc  22 (Trần Quốc Anh) Bài 16:Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: abca2222 abbccaaabbc  2 (Trần Quốc Anh) Bài 17: Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng 1112() abc222 5 abc222 3 (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng) Bài 18: Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca = 1. Chứng minh rằng:  a3 a 2 a b c (Iranian TST 2008) Bài 19:Cho a,b > 0 thõa mãn a b ab a22 ab b .Chứng minh rằng: 11 16 ab33 (Đề thi HSG Thành Phố Đông Hà 2016) Bài 20:Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: 31
  32. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a 3  22 ab 2 4 Bài 21:Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng: xyz333 3 2 xyz 4 (Nguyễn Việt Hùng) Bài 22: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a 3  bc 2 (Romania 2005) Bài 23: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : (2)bca 2 8  2()abc22 (USA MO 2003) Bài 24: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y z. Chứng minh rằng: 1 4  2 cyc ()xy (ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017) Bài 25: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 19 ()xyyzxz  2 xy 4 (Iranian Mathematical Olumpiad 1996) Bài 26 : Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc222 3 . Chứng minh rằng: 2a2 abc  2 cyc ab (Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017) Bài 27: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d > 0 ta luôn có : 1 1 1 1 a b c d a3 b 3 c 3 d 3 abcd (Đề thi Austrian MO 2005) Bài 28 :Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 32
  33. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng abcd5555 abcd abcd (Collection) Bài 29:Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 82 abcbcacababbcca 8 3 (Lê Việt Hưng) Bài 30:Cho a,b,c > 0 thỏa mãn x+y+z = 1 . Chứng minh rằng: 11  4xyzxyz cyc (Lê Việt Hưng) Bài 31:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng: 11 3  xyz cyc xy 1 (Lê Việt Hưng) Bài 32: Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng : abc() 2  bbcc22 (Darij Grinberg) Bài 33: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a 2 aa 2 a,, b c cyc 41b (Đề thi Greece MO 2002) Bài 34:Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 13  cyc a( a c ) 2 (Đề thi Zhaukovty 2008) Bài 35: Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : x 32  1 yz 2 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 42, Tháng 7/2012) Bài 36: Cho x, y, z là các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng: 33
  34. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng x3 3  (1)(1)4 yz ( IMO Shortlist 1998) Bài 37:Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyyzzx 0 . Chứng minh rằng: 1 xyyzzx 4  2 xy (Trần Nam Dũng, VMO 2008) Bài 38:Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2 abc 111 abc bcaabc (British MO 2005) Bài 39:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: bccaab 111 222 abc abcbcacab (Sưu tầm) Bài 40:Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: abc 3 abbcca 2 (Phạm Hữu Đức) Bài 41:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = xyz. Chứng minh rằng: 1113 111 xyz222 2 (Korean MO 1998) Bài 42:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: bc ca ab 1 2 a bc b ca c ab (Sưu tầm) Bài 43:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 89a b cab bc caa bb cc a (Sưu tầm) Bài 44:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 34
  35. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng abbcca222 1 222abbcca (Sưu tầm) Bài 45:Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn abcd=1. Chứng minh rằng: ab 4  a ab (Nguyễn Việt Hùng) Bài 46:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng abcabc 9 4 bca abcabbcca (Lê Việt Hưng) 111 Bài 47: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc . Chứng minh rằng: abc 32 a b c a b c abc (Peru TST 2007) Bài 48:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: 2 ababcabcbcacab22 (British National MO 2007) Bài 49:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 36 1 abbccaabc (Macedonia TST 2007) Bài 50:Cho a,b,c,d là các số thực dương và a+b+c+d=1. Chứng minh rằng: 33332222 1 6 abcdabcd 8 (France TST 2007) Bài 51:Cho x,y,z là các số thực dương và a+b+c=1. Chứng minh rằng: xy 1  xyyz 2 (China TST 2006) Bài 52:Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng: 35
  36. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a 3 1 abc  bc (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 53:Cho a,b,c là các số thực không âm và ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: 1115 abbcca 2 (MOSP 2000) Bài 54:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abc642  abbcca cyc 3bc (Trần Hữu Thiên) Bài 55: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: abcabcab  (Trần Quốc Anh) 111 Bài 56:Cho x, y, z > 0 thoả mãn 12 . xyyzzx Chứng minh rằng: 1 3  233xyz (Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017) Bài 57: Cho x, y, z > 0 và xyz222 3. Chứng minh rằng: 13  cyc 12 xy (ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 ) Bài 58: Cho a, b, c > 0 và a + b +c =3. Chứng minh rằng : a 3  2 cyc 12 b (Bulgarian TST 2003) Bài 59: Cho x, y, z >0. Chứng minh rằng: x  1 xxy ()() xz (Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math) Bài 60: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng : 36
  37. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xyzxyzxyz() 222 33 ()()9xyzxyyzzx222 (Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015) Bài 61: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng: 1 3 xyz 3 3 4 xyyzzx 3 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012) Bài 62: Cho a, b, c >0 .Chứng minh rằng : 11  ababcabc33 (Đề thi USA MO 1997) Bài 63: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng : ab 1  abab55 (ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Bài 64:Cho a,b,c là các số thực dương và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: a b c abc 4 b c a (Lê Việt Hưng) Bài 65:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz xy yz xz Chứng minh rằng: xyzxyz 3 (India 2001) Bài 66:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abacbcabc acbcabbca (Mathlinks Contests) Bài 67:Cho a,b,c,d >0 và a2 b 2 c 2 d 2 4 . Chứng minh rằng: a3 bc b 3 cd c 3 da d 3 ab 4 (Trần Quốc Anh) Bài 68:Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng: 1 a 21aa (Trần Hữu Thiên) 37
  38. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 69: Cho x,y,z>0 và a,b R . Chứng minh rằng: x2 y 2 z 2 3 (ay bz )( az by )( ax bz )( az bx )( ax by )( ay bx ) ()ab 2 (Olympiad 30-4) Bài 70:Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: bc 4()abc  a ()()()abbcca (Darij Grinberg) Bài 71:Cho a,b,c 0 và a+b+c=2. Chứng minh rằng: abbcca 1 111 cab222 (Phạm Kim Hùng) Bài 72: Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 222 abc 1 abbcca (IMO 2008) Bài 73:Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng : a 9  ()4()bcabc 2 (Darij Grinberg) Bài 74: Cho a,b,c > 0 thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: abcbcacaba b c 8 2 2 2 (Nguyễn Việt Hùng) Bài 75:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 abcabc222 2223 (APMO 2004) Bài 76: Cho a,b,c là có số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c 1 b3 16 c 3 16 a 3 16 6 (Trần Quốc Anh) Bài 77: Cho a,b,c là các số thực dương và a2 b 2 c 2 3 . Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 abc 4 b c a (Nguyễn Phúc Tăng) 38
  39. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 78:Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 222 abc 2 bccaab Bài 79: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: aabc a  bc 2 Bài 80: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c không âm ta luôn có: a  abc cyc ab 2 Bài 81: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c không âm ta luôn có: a 3  bc22 3 2 Bài 82: Cho a, b, c 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a 3  1 bbc Bài 83: Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng: 19  2aabbc2 2 abc Bài 84: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a 3  3 6abc333 2 Bài 85: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a  1 7 bc33 Bài 86:Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 14  4abc2 abc Bài 87:Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a  abc b c a 1 1 1 Bài 88:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 1. Chứng minh rằng: a b c a2 b 2 c 2 6 a b c bc ca ab (Lê Việt Hưng) 39
  40. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 89:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 a 3  cyc bc 8 (Việt Nam MO 2005) Bài 90:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng: x 3 12 xyyzzx  3 cyc y 8 927 (Iranian National Olympiad 3rd Round 2008) Bài 91:Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 P  22 cyc xy 23 (Lạng Sơn TST) Bài 92:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 abc333 abcabc bcaabbcca (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 93:Cho a,b là 2 số thực dương. Chứng minh rằng: ababab 112 ab 3 aabab 11 11 ab ab (Báo toán học và tuổi trẻ) Bài 94:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b b 3 c c 3 a 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Bình) Bài 95:Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=8.Chứng minh rằng: a 2 4  cyc ab33 11 3 (APMO 2005) Bài 96:Cho a,b,c là các số thực khác 0.Chứng minh rằng: 1 x 2 32  2 y (Azerbaijan Junior MO) Bài 97:Cho x,y, là các số thực dương thỏa mãn x2 y 2 z 2 3 xyz . 40
  41. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Chứng minh rằng: xyz222 1 yzx 222 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 98:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abbccaabc ccaaabbbc caabbc Bài 99:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 11127 2 babcbcaca 2 abc Bài 100:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 111111 xyzxyz 11 222 222 xyz xyz Bài 101:Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 . Chứng minh rằng: abbcca222 2 bccaab Bài 102:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: aa2 22 bc bc (Vasile Cirtoaje) Bài 103:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1113 abcbcacab333 2 (IMO 1995) Bài 104:Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 1 c 1 a 1 b 4 Bài 105:Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh rằng: a 3 1  3 a3 b c Bài 106:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 a b c bc ca ab 41
  42. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng (Canada TST 2002) Bài 107:Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện a b222 c 3 . Chứng minh rằng: 1113 1112 abbcca (Belarus TST 1999) Bài 108: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chứng minh rằng: 4 xyyzzx222 27 (Canada TST 1999) Bài 109:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 a 2 abcabc  babbcca Bài 110:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng: a 3  abc 2 (Lê Việt Hưng) Bài 111:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2  a2 abbb 2 2 bcc 2 abc Bài 112:Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc222 2. Chứng minh rằng: a 2 1 6  2 bca (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 113: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 111 1 222 xyz Bài 114:Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b=1. Chứng minh rằng: ab221 ab 1 1 3 (Hungary 1996) Bài 115:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a  1 a2 8 bc (IMO 2001) 42
  43. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 116: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x y z xyz . Chứng minh rằng: xyyzzxxyz 9 (Belarus 1996) Bài 117:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abcabcabbcca222 212 Bài 118:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: abc222 3 abc222 bca (Junior Balkan TST 2006) Bài 119:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abcabc 11121 bca 3 abc (APMO 1998) Bài 120:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 bcacababc 3 222 bcacababc 222 5 (Japan 1997) * Các kí hiệu viết tắt thường dùng : n  aaaakn 12 . k 1  ababbcca2222 (Sigma cyclic: Tổng hoá vị). cyc 2222222 a ba bb cc aabbcca (Sigma Symmetric: Tổng đối xứng ). sym n  akn a12 a a . k 1 R -Tập số thực. R -Tập số thực dương. N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử 0. Q - Tập số hữu tỉ. [a, b] - Đoạn (khoảng đóng) của hai đầu mút a, b. (a, b) - Đoạn mở của hai đầu mút a, b. Chú thích: 43
  44. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng MO - National Mathematical Olympiad. IMO - International Mathematical Olympiad. TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad. VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad. VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad. S.O.S - Sum of Square. MV - Mixing Variables hay dồn biến. SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh. THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ. APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad. R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine. V)Các tài liệu tham khảo: [1] Inequality III Group/ Facebook [2] Solving Inequality / Facebook [3] Mathematical Inequality Group/ Facebook [4] Imad Zak Group/ Facebook [5] Diendantoanhoc.net [6] [7] mathlinks.ro [8] [9] Crux Mathematicorum [10] Mathematical and Youth Magazine [11] Romanian Magazine [12] Kalva.demon.co.uk [13] Mathnfriend.net. [14] k2pi.com. [15] Mathlinks Inequality Forum [16] Vaslie Cirtoaje. [17] Daniel Sitaru. [18] Leonard Giugiuc [19] Mathematical Reflections. [20] Hojoo Lee - Topics in Inequalities. [21] Kavant Magazine. [22] IMO Shortlist. [23] Ha Noi Mathematical Open Compertion. [24] Blog Solving Inequality 44
  45. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 45
  46. Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 46