›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7: Dãy các số viết theo quy luật

doc 81 trang thaodu 7950
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7: Dãy các số viết theo quy luật", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_7_day_cac_so.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7: Dãy các số viết theo quy luật

  1. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n(n 1) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) n(n 3) 2 h) (n 1)(n 2) 2 i) n(n 1)(n 2) 3 Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: 1
  2. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 2 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 2
  3. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) 3
  4. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(12+22+32+ +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: 4
  5. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). b d Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: a c Tính chất 1: Nếu thì ad bc b d Tính chất 2: Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c a c a c -Tính chất: Từ suy ra: b d b d b d b d -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e a b c a b c suy ra: b d f b d f b d f b d f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). a b c * Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 5
  6. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. x y Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và x y 20 2 3 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt k , suy ra: x 2k , y 3k 2 3 Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4 Do đó: x 2.4 8 y 3.4 12 KL: x 8 , y 12 Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x y 20 4 2 3 2 3 5 x Do đó: 4 x 8 2 y 4 y 12 3 KL: x 8 , y 12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y Từ giả thiết x 2 3 3 2y mà x y 20 y 20 5y 60 y 12 3 2.12 Do đó: x 8 3 KL: x 8 , y 12 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và 2x 3y z 6 3 4 3 5 Giải: 6
  7. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y x y Từ giả thiết: (1) 3 4 9 12 y z y z (2) 3 5 12 20 x y z Từ (1) và (2) suy ra: (*) 9 12 20 x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 Ta có: 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 x Do đó: 3 x 27 9 y 3 y 36 12 z 3 z 60 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 x y z Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k ( sau đó giải như cách 1 của 9 12 20 VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z y 3 5 5 3z 3. x y 3y 9z x 5 3 4 4 4 20 9z 3z z mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60 20 5 10 3.60 9.60 Suy ra: y 36 , x 27 5 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và x.y 40 2 5 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) 7
  8. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y Đặt k , suy ra x 2k , y 5k 2 5 Theo giả thiết: x.y 40 2k.5k 40 10k 2 40 k 2 4 k 2 + Với k 2 ta có: x 2.2 4 y 5.2 10 + Với k 2 ta có: x 2.( 2) 4 y 5.( 2) 10 KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10 Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0 x y x 2 xy 40 Nhân cả hai vế của với x ta được: 8 2 5 2 5 5 2 x 16 x 4 4 y 4.5 + Với x 4 ta có y 10 2 5 2 4 y 4.5 + Với x 4 ta có y 10 2 5 2 KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 10 6 21 3 4 5 7 2x 3y 4z x y c) và x y z 49 d) và xy 54 3 4 5 2 3 x y x y z e) và x 2 y 2 4 f) x y z 5 3 y z 1 z x 1 x y 2 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 10 6 21 3 4 5 7 8
  9. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2x 3y 4z x y c) và x y z 49 d) và xy 54 3 4 5 2 3 x y x y z e) và x 2 y 2 4 f) x y z 5 3 y z 1 z x 1 x y 2 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28 x y z x y z Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28 x y z x y z Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1 2y 1 4y 1 6y 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 1 2y 1 4y 1 6y 18 24 6x a b c d Bài 7: Cho a b c d 0 và b c d a c d a b d a b c a b b c c d d a Tìm giá trị của: A c d a d a b b c a b c d a b c d 1 Giải: ( Vìa b c d 0 ) b c d a c d a b d a b c 3(a b c d) 3 =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 9
  10. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: x 7 x y a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34; y 3 19 21 x3 y3 z3 2x 1 3y 2 2x 3y 1 b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) 8 64 216 5 7 6x Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. a b c Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: , , . Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ b c c a a b số đó ? Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: ab ab 2cd c 2 d 2 .ab ab 2 2(ab 1) 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. 2 2 Giải: ab ab 2cd c d .ab ab 2 2(ab 1) 0 => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm 10
  11. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A và C có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: a na +) (n 0) b nb n n a c a c +) b d b d Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a c a b c d Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: b d a b c d Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a b)(c d) ac ad bc bd (1) (a b)(c d) ac ad bc bd (2) a c Từ giả thiết: ad bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a b)(c d) (a b)(c d) a b c d (đpcm) a b c d Cách 2: (PP2) a c Đặt k , suy ra a bk , c dk b d a b kb b b(k 1) k 1 Ta có: (1) a b kb b b(k 1) k 1 11
  12. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c d kd d d(k 1) k 1 (2) c d kd d d(k 1) k 1 a b c d Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) a b c d Cách 3: (PP3) a c a b Từ giả thiết: b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a b c d c d c d a b c d (đpcm) a b c d Hỏi: Đảo lại có đúng không ? a c ab a 2 b 2 Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d cd c 2 d 2 Giải: a c Cách 1: Từ giả thiết: ad bc (1) b d Ta có: ab c 2 d 2 abc 2 abd 2 acbc adbd (2) cd a 2 b 2 a 2cd b 2cd acad bc.bd (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c 2 d 2 cd a 2 b 2 ab a 2 b 2 (đpcm) cd c 2 d 2 a c Cách 2: Đặt k , suy ra a bk , c dk b d 12
  13. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 ab bk.b kb 2 b 2 Ta có: (1) cd dk.d kd 2 d 2 a 2 b 2 (bk) 2 b 2 b 2 k 2 b 2 b 2 k 2 1 b 2 (2) c 2 d 2 (dk) 2 d 2 d 2 k 2 d 2 d 2 k 2 1 d 2 ab a 2 b 2 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) cd c 2 d 2 a c a b ab a 2 b 2 a 2 b 2 Cách 3: Từ giả thiết: b d c d cb c 2 d 2 c 2 d 2 ab a 2 b 2 (đpcm) cd c 2 d 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG: a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d các tỉ số đều có nghĩa). 2 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2 1) 2) 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2 a b c d ab a b 2 3) 4) a b c d cd c d 2 2a 5b 2c 5d 2005a 2006b 2005c 2006d 5) 6) 3a 4b 3c 4d 2006c 2007d 2006a 2007b a c 7a 2 5ac 7b 2 5bd 7) 8) a b c d 7a 2 5ac 7b 2 5bd a c Bài 2: Cho tỉ lệ thức: . b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 13
  14. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2 a b c d a) b) c) 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2 a b c d ab a b 2 2a 5b 2c 5d d) e) f) cd c d 2 3a 4b 3c 4d 2008a 2009b 2008c 2009d 2009c 2010d 2009a 2010b 2 2 a c 7a 2 5ac 7b 2 5bd 7a 3ab 7c 3cd g) h) i) a b c d 7a 2 5ac 7b 2 5bd 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 3 a b c a b c a Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d 3 a b c a b c a Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d a b c Bài 5: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a) 2 a a a a Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008 a 2 a 3 a 4 a 2009 2008 a a a a a CMR: Ta có đẳng thức: 1 1 2 3 2008 a 2009 a 2 a 3 a 4 a 2009 a1 a2 a8 a9 Bài 7: Cho và a1 a2 a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 a2 a9 a b c Bài 8: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a) 2 14
  15. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a b a 2 b 2 a Bài 9: Chứng minh rằng nếu : thì b d b 2 d 2 d a1 a2 a8 a9 Bài 10: Cho và a1 a2 a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 a2 a9 a b c a Bài 11: CMR: Nếu a 2 bc thì . Đảo lại có đúng không? a b c a a b a 2 b 2 a Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thì b d b 2 d 2 d a b c d a c Bài 13: Cho . CMR: a b c d b d a 2 b 2 a b a c Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: . c 2 d 2 c d b d a 2 b 2 ab 2ab a 2 2ab b 2 a b 2 ab a b a b a.b Giải. Ta có : = ; c 2 d 2 cd 2cd c 2 2cd d 2 c d 2 cd c d c d c.d c a b b c d ca cb bc bd ca bd a c 1 ca cb ac ad cb ad a c d d a b ac ad da db ca bd b d u 2 v 3 u v Bài 15: Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 2 3 a b c a Bài 16: CMR: Nếu a 2 bc thì . Đảo lại có đúng không? a b c a Bài 17: CMR nếu a(y z) b(z x) c(x y) y z z x x y trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b c) b(c a) c(a b) a b c d a c Bài 18: Cho . CMR: a b c d b d 15
  16. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a c Bài 19: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng: za tb zc td u 2 v 3 u v Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 2 3 Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd và b3 c 3 d 3 0 a 3 b3 c 3 a Chứng minh rằng: b3 c 3 d 3 d Bài 22: CMR nếu a(y z) b(z x) c(x y) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì y z z x x y : a(b c) b(c a) c(a b) ax 2 bx c a b c Bài 23: Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P a1 x b1 x c1 a1 b1 c1 không phụ thuộc vào x. a b' b c' Bài 24: Cho biết : 1; 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0. a' b b' c a c Bài 25: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng: za tb zc td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd và b3 c 3 d 3 0 a 3 b3 c 3 a Chứng minh rằng: b3 c 3 d 3 d 16
  17. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 ax 2 bx c a b c Bài 27: Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P a1 x b1 x c1 a1 b1 c1 không phụ thuộc vào x. 2a 13b 2c 13d a c Bài 28: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: . 3a 7 b 3c 7 d b d b z cy cx az ay b x x y z Bài 29: Cho dãy tỉ số : ; CMR: . a b c a b c Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A> MỤC TIÊU Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. B> THỜI LƯỢNG Tổng số :(6 tiết) 1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 1. Lý thuyết *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực) * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu a 0 a a Nếu a 0 a a Nếu x-a 0=> |x - a| = x-a Nếu x-a 0=> |x - a| = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm TQ: a 0 với mọi a R Cụ thể: | a | =0 a=0 | a | ≠ 0 a ≠ 0 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. 17
  18. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a b TQ: a b  a b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ: a a a và a a a 0;a a a 0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu a b 0 a b * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn TQ: Nếu 0 a b a b * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ: a.b a.b * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. a a TQ: b b * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. TQ: a 2 a 2 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. TQ: a b a b và a b a b a.b 0 2. Các dạng toán : I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A(x) k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: - Nếu k 0 thì ta có: A(x) k  A(x) k Bài 1.1: Tìm x, biết: 1 5 1 1 1 1 3 7 a) 2x 5 4 b) 2x c) x d) 2x 1 3 4 4 2 5 3 4 8 Giải a 1 ) | x | = 4 x= 4 a 2 ) 2x 5 4 2x-5 = 4 * 2x-5 = 4 18
  19. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2x = 9 x = 4,5 * 2x-5 = - 4 2x =5-4 2x =1 x =0,5 Tóm lại: x = 4,5; x =0,5 1 5 1 b) 2x 3 4 4 | -2x| = - Bài 1.2: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 2x 3 b) 7,5 35 2x 4,5 c) x 3,75 2,15 2 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: x 2 1 1 1 a) 23x 1 1 5 b) 1 3 c) x 3,5 d) x 2 2 5 2 3 5 Bài 1.4: Tìm x, biết: 1 3 3 1 5 3 4 3 7 3 1 5 5 a) x 5% b) 2 x c) x d) 4,5 x 4 4 2 4 4 2 5 4 4 4 2 3 6 Bài 1.5: Tìm x, biết: 9 1 11 3 1 7 15 3 1 a) 6,5 : x 2 b) : 4x c) 2,5 : x 3 d) 4 3 4 2 5 2 4 4 2 21 x 2 3 : 6 5 4 3 2. Dạng 2: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: a b A(x) B(x) Vận dụng tính chất: a b  ta có: A(x) B(x)  a b A(x) B(x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) 5x 4 x 2 b) 2x 3 3x 2 0 c) 2 3x 4x 3 d) 7x 1 5x 6 0 a) 5x 4 x 2 * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 x= 19
  20. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Vậy x= 1,5; x= Bài 2.2: Tìm x, biết: 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 a) x 4x 1 b) x x 0 c) x x d) x x 5 0 2 2 4 2 8 5 5 3 3 4 8 6 2 3. Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: A(x) B(x) (1) Điều kiện: B(x) 0 (*) A(x) B(x) (1) Trở thành A(x) B(x)  ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều A(x) B(x) kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a 0 a a Nếu a 0 a a Ta giải như sau: A(x) B(x) (1) Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) VD1: Giải : a0) Tìm x Q biết |x + | =2x * Xét x+ 0 ta có x+ =2x *Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x Bài 3.1: Tìm x, biết: 1 a) x 3 2x b) x 1 3x 2 c) 5x x 12 d) 7 x 5x 1 2 Bài 3.2: Tìm x, biết: a) 9 x 2x b) 5x 3x 2 c) x 6 9 2x d) 2x 3 x 21 Bài 3.3: Tìm x, biết: a) 4 2x 4x b) 3x 1 2 x c) x 15 1 3x d) 2x 5 x 2 Bài 3.4: Tìm x, biết: a) 2x 5 x 1 b) 3x 2 1 x c) 3x 7 2x 1 d) 2x 1 1 x Bài 3.5: Tìm x, biết: 20
  21. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a) x 5 5 x b) x 7 x 7 c) 3x 4 4 3x d) 7 2x 7 2x 4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A(x) B(x) C(x) m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x 1 x 3 2x 1 (1)  Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x Giải Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 0 x > 1 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây: x 1 3 x – 1 - 0 + + x – 3 - - 0 + Xét khoảng x 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 - 4 = -1 ( Vô lí) 3 Kết luận: Vậy x = . 2 VD2 : Tìm x |x + 1| + |x - 1| =0 Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu x -1 1 x+1 - 0 + + x-1 - - 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x<-1 Nếu -1 x 1 21
  22. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Nếu x >1 Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 43x 1 x 2 x 5 7 x 3 12 b) 3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5 1 1 1 1 1 1 c) 2 x x 8 1,2 d) 2 x 3 x 3 2 x 5 5 5 2 2 5 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) 2x 6 x 3 8 c) x 5 x 3 9 d) x 2 x 3 x 4 2 e) x 1 x 2 x 3 6 f) 2 x 2 4 x 11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x 2 x 3 2x 8 9 b) 3x x 1 2x x 2 12 c) x 1 3 x 3 2 x 2 4 d) x 5 1 2x x e) x 2x 3 x 1 f) x 1 x x x 3 Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x 2 x 5 3 b) x 3 x 5 8 c) 2x 1 2x 5 4 d) x 3 3x 4 2x 1 5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) B(x) C(x) D(x) (1) Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x 1 x 2 x 3 4x b) x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1 3 1 c) x 2 x x 4x d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x 5 2 Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 a) x x x x 101x 101 101 101 101 1 1 1 1 b) x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 c) x x x x 50x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 d) x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: 22
  23. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 4 2 1 2 3 a) 2x 1 b) x 2 x x 2 c) x 2 x x 2 2 5 2 4 Bài 6.2: Tìm x, biết: 1 1 1 3 2 2 3 a) 2x 1 b) x 1 c) x x x 2 5 2 4 5 4 Bài 6.3: Tìm x, biết: 2 3 1 3 3 1 3 3 a) x x x b) x 2x 2x c) x 2x 2x 4 2 4 4 2 4 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 2x 3 x 1 4x 1 b) x 1 1 2 c) 3x 1 5 2 7. Dạng 7: A B 0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. * Cách giải chung: A B 0 A 0  B1: đánh giá:  A B 0 B 0 A 0 B2: Khẳng định: A B 0 B 0 Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: 9 a) 3x 4 3y 5 0 b) x y y 0 c) 3 2x 4y 5 0 25 Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 2 1 3 11 23 a) 5 x y 3 0 b) x 1,5 y 0 c) 4 7 3 2 4 17 13 x 2007 y 2008 0 * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: A B 0 (1) A 0   A B 0 (2) B 0 A 0 Từ (1) và (2) A B 0 B 0 Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: 23
  24. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a) 5x 1 6y 8 0 b) x 2y 4y 3 0 c) x y 2 2y 1 0 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12x 8 11y 5 0 b) 3x 2y 4y 1 0 c) x y 7 xy 10 0 * Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 a) x y 2 y 3 0 b) x 3y y 4 0 c) x y 2006 2007 y 1 0 d) x y 5 2007 y 3 2008 0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) x 1 2 y 3 2 0 b) 2 x 5 4 5 2y 7 5 0 2000 2004 1 1 c) 3 x 2y 4 y 0 d) x 3y 1 2y 0 2 2 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: 7 5 2 a) x 2007 y 2008 0 b) 3 x y 10 y 0 3 2006 1 3 1 2007 4 6 2008 2007 c) x y 0 d) 2007 2x y 2008 y 4 0 2 4 2 2008 5 25 8. Dạng 8: A B A B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a b a b Từ đó ta có: a b a b a.b 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x 5 3 x 8 b) x 2 x 5 3 c) 3x 5 3x 1 6 d) 2 x 3 2x 5 11 e) x 1 2x 3 3x 2 f) x 3 5 x 2 x 4 2 Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x 4 x 6 2 b) x 1 x 5 4 c) 3x 7 32 x 13 d) 5x 1 3 2x 4 3x e) x 2 3x 1 x 1 3 f) x 2 x 7 4 1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết: a) 2x 6 x 3 8 Ta lập bảng xét dấu x -3 3 x+3 - 0 + + 2x-6 - - 0 + 24
  25. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x 3 2x-6 + x + 3 = 8 3 x = 11 x = ( thỏa mãn x >3) 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2x 1 2 5 * |2x - 1| + = |2x - 1| = - |2x - 1| = 2x-1= 2x = + 1 x= [ [ [ 2x-1= - 2x = - + 1 x= * |2x - 1| + =- |2x - 1| =- - (không thỏa mãn) 3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x y 2 y 3 0 x-y-2 =0 x=-1 { { y+3 =0 y= -3 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn : a) x 1 2 y 3 2 0 25
  26. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) x 2007 y 2008 0 Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x 5 3 x 8 II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A B m với m 0 * Cách giải: A 0 * Nếu m = 0 thì ta có A B 0 B 0 * Nếu m > 0 ta giải như sau: A B m (1) Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 2007 x 2008 0 b) x y 2 y 3 0 c) x y 2 2 y 1 0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 3y 5 y 4 0 b) x y 5 y 3 4 0 c) x 3y 1 3 y 2 0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x 4 y 2 3 b) 2x 1 y 1 4 c) 3x y 5 5 d) 5x 2y 3 7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 x 5 y 4 5 b) x 6 4 2y 1 12 c) 23x y 3 10 d) 34x y 3 21 Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) y 2 3 2x 3 b) y 2 5 x 1 c) 2y 2 3 x 4 d) 3y 2 12 x 2 2. Dạng 2: A B m với m > 0. * Cách giải: Đánh giá A B m (1) A 0   A B 0 (2) B 0 Từ (1) và (2) 0 A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k m Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x y 3 b) x 5 y 2 4 c) 2x 1 y 4 3 d) 3x y 5 4 Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5 x 1 y 2 7 b) 4 2x 5 y 3 5 c) 3 x 5 2 y 1 3 d) 32x 1 4 2y 1 7 26
  27. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị của ẩn số. Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 1 4 x 3 b) x 2 x 3 5 c) x 1 x 6 7 d) 2x 5 2x 3 8 Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và x 2 y 6 b) x +y = 4 và 2x 1 y x 5 c) x –y = 3 và x y 3 d) x – 2y = 5 và x 2y 1 6 Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và x 1 y 2 4 b) x – y = 3 và x 6 y 1 4 c) x – y = 2 và 2x 1 2y 1 4 d) 2x + y = 3 và 2x 3 y 2 8 4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích: * Cách giải : A(x).B(x) A(y) Đánh giá: A(y) 0 A(x).B(x) 0 n x m tìm được giá trị của x. Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 2 x 3 0 b) 2x 1 2x 5 0 c) 3 2x x 2 0 d) 3x 1 5 2x 0 Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 2 x x 1 y 1 b) x 3 1 x y c) x 2 5 x 2y 1 2 Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x 1 3 x 2 y 1 b) x 2 5 x y 1 1 c) x 3 x 5 y 2 0 5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A m (1) Đánh giá: B m (2) A m Từ (1) và (2) ta có: A B B m Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 a) x 2 x 1 3 y 2 2 b) x 5 1 x y 1 3 10 6 c) y 3 5 d) x 1 3 x 2x 6 2 2 y 3 3 Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 8 16 a) 2x 3 2x 1 b) x 3 x 1 2 y 5 2 2 y 2 y 2 12 10 c) 3x 1 3x 5 d) x 2y 1 5 y 3 2 2 y 4 2 Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 27
  28. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 14 20 a) x y 2 2 7 b) x 2 2 4 y 1 y 3 3 y 2 5 6 30 c) 2 x 2007 3 d) x y 2 5 y 2008 2 3 y 5 6 III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1 a) A x 3,5 4,1 x b) B x 3,5 x 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x 0 5 5 5 5 5 2 2 ===&=&=&=== IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a 2 a) M = a + 2ab – b với a 1,5;b 0,75 b) N = với a 1,5;b 0,75 2 b Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 3 1 a) A 2x 2xy y với x 2,5; y b) B 3a 3ab b với a ; b 0,25 4 3 5a 3 1 1 c) C với a ; b 0,25 d) D 3x 2 2x 1 với x 3 b 3 2 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức: 2 1 a) A 6x 3 3x 2 2 x 4 với x b) B 2 x 3 y với x ; y 3 3 2 5x 2 7x 1 1 c) C 2 x 2 31 x với x = 4 d) D với x 3x 1 2 28
  29. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức: Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3 x 2 2 x 3 a) A 0,5 x 3,5 b) B 1,4 x 2 c) C d) D 4 x 5 3 x 1 e) E 5,5 2x 1,5 f) F 10,2 3x 14 g) G 4 5x 2 3y 12 5,8 h) H i) I 2,5 x 5,8 k) K 10 4 x 2 2,5 x 5,8 1 12 l) L 5 2x 1 m) M n) N 2 x 2 3 3 x 5 4 Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 1,7 3,4 x b) B x 2,8 3,5 c) C 3,7 4,3 x d) D 3x 8,4 14,2 e) E 4x 3 5y 7,5 17,5 f) F 2,5 x 5,8 2 3 g) G 4,9 x 2,8 h) H x i) I 1,5 1,9 x 5 7 k) K 23x 1 4 l) L 23x 2 1 m) M 51 4x 1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 1 21 4 20 a) A 5 b) B c) C 43x 7 3 3 815x 21 7 5 3x 5 4y 5 8 24 2 21 d) D 6 e) E 2 x 2y 32x 1 6 3 x 3y 2 5 x 5 14 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 7x 5 11 2y 7 13 15 x 1 32 a) A b) B c) C 7x 5 4 2 2y 7 6 6 x 1 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8 6 14 15 28 a) A 5 b) B c) C 45x 7 24 5 56y 8 35 12 3 x 3y 2x 1 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 214x 6 33 6 y 5 14 15 x 7 68 a) A b) B c) C 34x 6 5 2 y 5 14 3 x 7 12 2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 2 x b) B 2x 1 2x 6 c) C 3x 5 8 3x d) D 4x 3 4x 5 e) E 5x 6 3 5x f) F 2x 7 5 2x 29
  30. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 2 x 3 2x 5 b) B 3 x 1 4 3x c) C 4 x 5 4x 1 Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A x 5 x 4 b) B 2x 3 2x 4 c) C 3x 1 7 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 2 x 5 2x 6 b) B 3 x 4 8 3x c) C 55 x 5x 7 Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 1 x 5 b) B x 2 x 6 5 c) C 2x 4 2x 1 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a b a b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 2 x 3 b) B 2x 4 2x 5 c) C 3 x 2 3x 1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 x 1 4 b) B 3x 7 3x 2 8 c) C 4 x 3 4x 5 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 3 2x 5 x 7 b) B x 1 3x 4 x 1 5 c) C x 2 4 2x 5 x 3 d) D x 3 56x 1 x 1 3 Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 y 2 Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: B x 6 y 1 Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 2x 1 2y 1 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2x 3 y 2 2 30
  31. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT, DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp) Bài 1 : Tính tổng: 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 - 2008 Hướng dẫn: Bài 2: Cho A 1 2 3 4 99 100. a) Tính A. b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? Hướng dẫn: Bài 3: Cho A 1 7 13 19 25 31 a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? Hướng dẫn: Bài 4: Cho A 1 7 13 19 25 31 a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: (x 2) (x 7) (x 12) (x 42) (x 47) 655 Hướng dẫn: Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 Hướng dẫn: Bài 7: Tính tổng: S 9.11 99.101 999.1001 9999.10001 99999.100001 Hướng dẫn: Bài 8: Cho A 3 32 33 3100 31
  32. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Hướng dẫn: Bài 9: Cho A 3 32 33 32004 a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng A130 . c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ? Hướng dẫn: Bài 10: a) Cho A 1 3 32 33 32003 32004 Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3. b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A 4 23 24 25 22003 22004 Hướng dẫn: Bài 11: a) Cho A 2 22 23 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15. b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn: Bài 12: Cho A = 2 + 22 + 23 + +299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31 Hướng dẫn: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S  126 b, Tìm chữ số tận cùng của S Hướng dẫn: Bài 14: Cho A 1.2.3 29.30 B 31.32.33 59.60 a) Chứng minh: B chia hết cho 230 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61. Hướng dẫn: Bài 15: Cho A 3 22 23 24 22001 22002 và B 22003 So sánh A và B. Hướng dẫn: Bài 16: Cho M = 3 32 33 399 3100 . 32
  33. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Hướng dẫn: Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 + + 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Hướng dẫn: 1 1 1 2 2003 Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 3 6 10 n(n 1) 2004 Hướng dẫn: Bài 19: 2 2 2 2 a) Tính: 1.3 3.5 5.7 99.101 3 3 3 3 b) Cho S n N * 1.4 4.7 7.10  n(n 3) Chứng minh: S 1 Hướng dẫn: 2 2 2 2 Bài 20: So sánh: A 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 5 5 và B 40.44 44.48 76.80 2003 Hướng dẫn: Bài 21: 1 1 1 1 1 1 a) Tính A 10 40 88 154 238 340 1 1 1 1 2 b) Tính: M 3 6 10 15 2004.2005 1 1 1 c) Tính tổng: S 1.2.3 2.3.4 98.99.100 Hướng dẫn: 1 1 1 1 Bài 22: So sánh: A 1 và B = 2. 2 22 23 2100 Hướng dẫn: Bài 23: So sánh: 2 2 2 2 5 5 5 5 A và B 60.63 63.66 117.120 2006 40.44 44.48 76.80 2006 Hướng dẫn: 33
  34. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 24. Tính 2 2 2 2 2 a. A = . 15 35 63 99 143 3 3 3 3 b. B = 3+ . 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 100 Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức: 1 1 1 1 1 a) A = 3 5 97 99 1 1 1 1 1 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 1 1 b) B = 2 3 4 100 99 98 97 1 1 2 3 99 Hướng dẫn: Bài 26: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 3 99 100 - 1 2 3 100 2 3 4 100 Hướng dẫn: Bài 27: Tính A biết: B 1 1 1 1 1 2 3 198 199 A = và B = 2 3 4 200 199 198 197 2 1 Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ; 3 8 15 24 35 Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; 6 66 176 336 Hướng dẫn: Bài 30: Tính A biết: B 1 1 1 1 1 A = 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 34
  35. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 1 1 1 1 B = 11 12 13 19 20 Hướng dẫn: Bài 31: Tìm x, biết: 1 1 1 1 1 1 x 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 Hướng dẫn: Bài 32: Tính : a) S 1 a a2 a3 an , với (a 2, n N ) 2 4 6 2n b) S1 1 a a a a , với (a 2, n N ) 3 5 2n 1 * c) S2 a a a a , với (a 2, n N ) Hướng dẫn: B Bài 33: Cho A 1 4 42 43 499 , B 4100 . Chứng minh rằng: A . 3 Hướng dẫn: Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a) A 9 99 999 999 9  50 ch÷ sè b) B 9 99 999 999 9  200 ch÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1-Kiến thức cơ bản: x x 0 x x x 0 x 0; x x; x x x y x y x y x y 2- Các dạng toán cơ bản: * Dạng toán 1: Tính x biết 1 3 3 1 1) x 1 2) x 2 : 3) x 25 0 5 5 13 2 1 1 1 1 1 1 1 x 4) 5) 1.3 3.5 47.49 x 1.4 4.7 97.100 2 35
  36. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4 4 4 2x 5 1 1 1 1 1 6) 7) 1 1 1 1 x 2 1.5 5.9 97.101 101 2 3 4 100 5 1 1 8) 1.2 2.3 3.4 99.100 2 x 1 9) (12 22 492 )(2 x) 1 5 5 * Dạng 2: Tìm x biết 3 25 5 1) x 3 2) x 0 3) 5 x 0 4) 5 8 23 1 1 2x . 1 5 3 1 3 2 5) 1,75 2,5 x 1,25 6) 2x 5 13 7) 3 2x 3 7 3 1 11 1 8) 2 3x 7 9) (2x 5)2 9 10) x2 4 11) (3 7x)2 5 10 4 * Dạng 3: Tìm x, y, z biết 1) x y z 0 2) 3x 5 2y 7 0 1 5 1 1 1 3) x 1 2y 3 z 0 4) (x 1)2 (y )2 (z )2 0 2 2 3 2 3 5) 1 2x 2 3y 3 4y 0 6) x 1 (x 1)(x 1) 0 *Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau. 1 1) A x2 2x 5 với x 3 2) B xy 2 5(x 3) x2 2xy y2 với x=y=2 1 1 3) C x2 x 2 2x 1 với x 4 2 4) D 3x2 6x 3 với x 1 5) E 2x 5y 7xy với x y 2 0 6) G 2x2 3y2 6xy với x 1 y 2 0 * Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau 1) M x 5 2x 9 3x 13 với x 6,5 2) N=x 1 x 2 x 3 với 2 x 1 3) P=2x 5 3x 7 5x 15 với x 3 *)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: C 4,5 2x 0,5 0,25 2, Tìmgiá trị lớn nhất của : D 3x 4,5 0,75 3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : E x 2005 x 2004 3- Các bài toán tự học : Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết: a) 2.| 2x-3|= 1/ 2 b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0 36
  37. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất: a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất: F= 4- |5x-2|- | 3y+12| CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12,(1) 2,3(6): 4,(21) 1 c) 0,(3) 3 0,4(2) 3 116 Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số dưới dạng số 99 thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị (11,81 8,19).2,25 (4,6 5 : 6,25).4 a) A b) B 6,75 4.0,125 2,31 Bài toán 6: Rút gọn biểu thức 0,5 0,(3) 0,1(6) M 2,5 1,(6) 0,8(3) Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết 3 0,(3) 0,(384615) x 0,1(6) 0,(3) 50 a) .x 0,(2) b) 13 0,(3) 1,1(6) 0,0(3) 85 c) 0,(37) 0,(62)x 10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9: m3 3m2 2m 5 Cho phân số A ;(m N) m(m 1)(m 2) 6 a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? 37
  38. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 10: So sánh các số sau 4 1 9 a) 0,5 100 và 1 : 5 b) 25 9 và 25 9 25 9 16 c) CMR: với a, b dương thì a b a b Bài toán 11: Tìm x biết 2 a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; 2 3 b) 2x 3 2 3 2x c) x 1 2 2x 1 2 0 Bài toán 12: Tìm x biết 9 a) x 2 x 0 b) x x c) x 1 2 16 x 1 16 25 Bài toán 13: Cho A . CMR với x và x thì A có giá trị là một số x 1 9 9 nguyên Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên 7 3 2 a) A b) B c) C= x x 1 x 3 x 1 Bài toán 15: Cho A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x 3 Bài toán 16: thực hiện phép tính  2   2   2  2  1 5 2 2 2 2 2 : 2,4 5,25 : 7  : 2 :  : 2 :     7 7 81     Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý. 1 1 1 1 2 49 49 7 7 A 2 64 4 2 4 2 7 7 343 Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý. 2 5 5 25 5 M 1 2 196 2 21 204 374 Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức 2 2 x 2 y 2 x y z 0 Bài toán 20: thực hiện phép tính 2 1 2 49  1 6 7  1704 M 18 : 225 8 . :  12 8  : 3 3 4 3 7 2 445  3 2  38
  39. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG. Bài toán 1: Tính 3 11 12 1 1 1 1 1 5 5 4 5 a) .31 0,75.8 b) 2 3 : 4 3 7 c) 4 : 5 : 4 23 23 3 2 6 7 2 9 7 9 7 1 5 5 1 3 13 2 10 .230 46 4 27 6 25 4 25 9 125 27 2 1 3 d) e) 4 25 : : g) 4 3 10 1 2 16 16 64 8 3 2 4 1 : 12 14 7 3 3 7 Bài toán 2: Tính 1 1 1 1 1 1 a) A b) B 1 1 1 với n N 1.2 2.3 99.100 2 3 n 1 1 1 1 7 33 3333 333333 33333333 c) C 66. 124.( 37) 63.( 124) d) D 2 3 11 4 12 2020 303030 42424242 Bài toán 3: Tính 1 1 1 A 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 16) 2 3 16 Bài toán 4: Tìm x biết 3 2 5 3 21 1 2 a) (2x 3) x 1 0 b) x c) x 4 3 7 10 13 3 3 3 3 2 1 3 1 3 d) x 2 1 e) (5x 1) 2x 0 g) : x 7 8 5 3 7 7 14 1 1 1 1 Bài toán 5: Cho A 1 1 1 . So sánh A với 2 3 10 9 1 1 1 11 Bài toán 6: Cho B 1 1 1 . So sánh B với 4 9 100 21  2 3 193 33  7 11 1931 9  Bài toán 7: Tính  .  :  .   193 386 17 34  1931 3862 25 2 1,11 0,19 13.2 1 1 7 1 23 Bài toán 8: Cho A : 2 B 5 2 0,5 : 2 2,06 0,54 2 4 8 4 26 a) Rút gọn A, B b) Tìm x Z để A<x<B Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 0,125 0,2 5 a) A 3 7 13 . 4 16 64 256 b) 5 7 2 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 1 8 0,375 0,5 3 7 13 4 16 64 5 7 4 10 20 4141 636363 Bài toán 10: Tìm x biết x 128 4 5 : 1 : 1 21 4242 646464 39
  40. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ A.KIẾN THỨC: Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán : 1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x 2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x 3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / / x / / y / Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/ /x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a x = a x a / x / > a  x a / x/ -a x = 0,5 hoặc x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75 2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 / Giải : với x - 5 0 x 0 thì / x -5 / = x - 5 với x –5 x x = 1 b/ 3x - 1 = 2 => x = - 1 3 40
  41. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A A 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b 2 Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét 4 trường hợp : a/ a 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra ) b/ a 0, b 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a 0, b 0 thỏa mãn bài toán . c/ a 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a 0, b 0 hoặc a 0 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ HD:Ta có x 0 / x 3/ 0 GTNN 0 Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 0 GTLN 0khix 2 41
  42. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 1 GTLNlla0khix 3/ 2 Bài 8: Tìm GTNN của C = 6 với x là số nguyên / x / 3 - Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 . Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x 0 => C = x - x = 0 (1) - Xét x C = x – (- x ) = 2x x 0 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = 6 x3 3x 2 2 / x / 4 với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x 3 ;5x+ 3 với x GTNN của A = -1 x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4 c/ C = x2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c GTNN của D = 0 x 0 Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2 f/ F = 1 => GTLN của F =1/3 x =2 / x 2 / 3 42
  43. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 g/ G = x 2 với x là số nguyên / x / HD : Xét 3 TH : * x 2 C 1 * x = 1 C = 1 x 2 2 * x 1 G 1 x x Ta thấy G lớn nhất khi 2 nhỏ nhất . Mà 2 lớn nhất x nhỏ nhất x x tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x - 2 / -a -4 -4+2 -2 A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1 1/2 x 3/ 2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2 X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1 Vậy với x 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 43
  44. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối . Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : a/ x 1 x 3 6 (1) GIẢI: Xét x-1 = 0 x = 1 và xét x-3 = 0 x = 3 x-1 x x 0 x > 1 x-3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau : x 1 3 x - 1 - 0 + / + x - 3 - / - 0 + Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6 -2x=2 0x = 4 2x = 10 x=-1 (không có giá trị x = 5 (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc khoảng đang xét) khoảng đang xét) Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1) b/x 2 x 5 7 x -2 5 x+2 - 0 + / + x-5 - / - 0 + * Xét khoảng x x= -2 (loại) Xét khoảng-2 x 5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét . Vậy -2 x 5 Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại) Kết luận: -2 x 5 c/ x 3 2x x 4 x -3 4 x+3 - 0 + / + x- 4 - / - 0 + 44
  45. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 *Xét khoảng x x= -3,5( thuộc khoảng đang xét) *Xét khoảng -3 x 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn. * Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét . Kết luận : vậy x = -3,55 Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x 1 x 3 x 1 (2) Tương tự: Xét khoảng x (1-x)+*3-x) -3x x>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng đang xét) Xét khoảng 1 x 3 thì (2)=>(x-1)+(3-x) 2 x>1 => Ta có các giá trị 1 3 => ta có (x-1)+(x-3) x f(x)= a Dạng 2 f (x) = g(x) 1/g(x) 0 & 2/f(x)= g(x) Dạng 3 f (x) g(x) hay f (x) -g(x) = 0 f(x)= g(x) Dạng 4 f (x) + g(x) = 0 f(x)=0 và g(x) = 0 Dạng 5 f (x) -a a ( a là hừng số dương) a<f(x)<-a Cách giải từng dạng như sau : Dạng 1 f (x) = a ( a là hằng số dương) Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được một đáp số. BÀI 18: Tìm x . Biết : a/ 5x 4 7 26 HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19 5x = 15 5x = -23 x = 3 x = -23/5 = -4,6 45
  46. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Vậy x = 3 ; -4,6 b/ 39 2x 17 16 HD: x=-1 và x = 10. c/ 3 - 45 6x 7 HD:5 6x 1 Không có giá trị nào của x thoả mãn d/ x 5 4 3 Hướng dẫn: - Ta có: x 5 4 3. x 5 4 3 x 5 7 2; 12 - Xét x 5 4 3 x 5 1 x 4; 6 Dạng 2 f (x) = g(x) Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện: 1/ g(x) 0 2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x) Bài 19: Tìm x . a/ Biết: x 1 2x 5 - Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 0 x 2,5 x 1 2x 5 x 4(t / mdk(1) - Xét điều kiện thứ hai x 1 2x 5 x 2(khongtmdk(1) Vậy x = 4 b/ Biết: 9 7x 5x 3 . 3 - Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 0 x 5 9 7x 5x 3 x 1(tmdk(1) - Xét điều kiện thứ hai   9 7x 3 5x x 3(tmdk(1) Vậy x = 1 ; 3 c/ Biết: 8x 4x 1 x 2 4x 17x 2 x 1 Dạng 3 f (x) g(x) hay f (x) - g(x) = 0 Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) 46
  47. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 hoặc f(x) =-g(x) BÀI 20 : Tìm x . a/ Biết: 17x 5 17x 5 0 HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5 0 x = 10 34x = 0 Vô nghiệm x = 0 Vậy x = 0 b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 / HD: 3x 4 2 2x 9 x =22 và 2 Dạng 4. f (x) g(x) 0 Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x .Biết : 13 3 a/ x x 0 14 7 13 3 HD: a/ x x 0 cả hai số hạng đồng thời bằng 0. 14 7 x + 13/14 = 0 x = -13/14 và x- 3/7 = 0 x=3/7. 13 3 Vậy x = & 14 7 b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn : x 1,38 2y 4,2 0 / x 1,38/ 0 x 1,38 0 x 1,38 HD: b/ /12y 4,2 / 0 2y 4,2 0 y 2,1 c/ x 2 3x (x 1)(x 3) 0 x(x 3) 0 x 0hoac3 HD: c/ x 3 (x 1)(x 3) 0 x 1hoac3 d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn: 47
  48. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0 24 1 HD: / 2x- / 3y .0,1(5) / 0 99 10 24 1 5 / 2x / / 3y .1 / 0 99 10 9 8 7 / 2x - / / 3y / 0 33 45 8 7 Vì: /2x- / 0 & 3y 0 33 45 8 2x 0 8 7 33 4 Nên: /2x- /+/3y+/ 0 x 33 45 7 33 3y 0 45 7 y 45 Dạng 5. f (x) a a f (x) a ( a là hằng số dưong) BÀI 22: Tìm x. a/ Biết 3x 1 5 HD : a/ 3x 1 5 -5 -37 -4,4 -19 3-8x 19 2 x 4 Dạng 6. f (x) a f(x) > a f(x) < -a BÀI 23: Tìm x . 48
  49. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ Biết; 15x 1 31   15x 1 31  32 HD:  x 15x 1 31  15   x 2 b/ Tìm x . Biết 2x 5 4 25 2x 5 21 x 13   2x 5 21 x 8 Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau : a/ x y 4 HD: Nếu x =0 thì y = 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4) Nếu x= 1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x= 2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là : Nếu x= 3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là : Nếu x= 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho. b/ x y 4 HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho BÀI 25: a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0 HD: a/ Cách 1 x 2 / 3 0 x 2 / 3 1/ 4 x 0 x 1/ 4 (x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0  x 2 / 3 0 x 2 / 3  (khongthedongthoixayra)  1/ 4 x 0 x 1/ 4 -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu: 49
  50. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Giá trị x -2/3 1/4 dấu x+3/2 - 0 + / + dấu 1/4-x + / + 0 - dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 - Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 AB . Vẽ phân giác AD ( D BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác . BÀI 3 Cho ABC có góc A = 50
  51. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O . a/ Tính góc BOC theo ? b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo ? A D E O C B I Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 + và góc I = 900 - 2 2 BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết Aˆ Bˆ Bˆ Cˆ = 20 0 HD : => Â = Bˆ + 200 , Cˆ Bˆ 200 Aˆ Bˆ Cˆ = 3Bˆ = 1800 , ˆ 0 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 => B = 60 , Â = 80 ; C = 40 & B1 = 120 , A1 =100 ; C1 = 140 BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = Aˆ Bˆ a A O b B $2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Tam giác Tam giác vuông TH 1. C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông TH 2. C-G-C Hai cạnh góc vuông TH 3. G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn $ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : Tam giác . Cân . ĐỀU VUÔNG vuông cân Định nghĩa A,B,C ABC: ABC : ABC : ABC : Aˆ 900 không AB = AC Aˆ = 90 AB=AC thẳng hàng AB=BC=AC 0 Quan hệ Â+Bˆ Cˆ =1 Bˆ Cˆ các góc 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 80 ˆ 180 A A B C 6 B C = 90 B C = 45 ˆ ˆ B = 0 C1 A 2 0 ˆ ˆ Â=180 C1 B 0 2Bˆ 51
  52. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Quan hệ 1 cạnh Hiệu BC > AB 2cạnh còn BC > AC lại BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , Bˆ = 60 độ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng minh góc BDC = góc C ? A HD: Tính góc C = 40 độ . D Tính góc BDC = 1800 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc I C B BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 Bˆ và Bˆ = 3 Cˆ . a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C . Tính góc AEC ? B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 Cˆ => góc C = 180 => Bˆ = 54 độ; Â = 108 độ. b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ A => AC E = 81 độ và Â2 =B C =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27 độ . C E BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ 52
  53. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 => Tamgiác ABC vuông tại A . BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB n= 2 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ; AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ABC CDA & b / ABD CDB ? D C HD : ABC CDA(cgc) & CDB ABD(cgc) A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ? A HD : Chứng minh ABC CNA(gcg); ABC BAP MCB. =>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm . B C M BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH  AM và CK AM . Chứng minh : a/ BH // CK 53
  54. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A b/ M trung điểm của HK c/ HC // BK ? H H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM . B M C b/ BHM CKM MH MK c/ HCM KBM gocHCB gocKBC HC // BK BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ? AMN LMB(cgc) NA BL HD : => LB = MC = NA . ALN MLC(cgc) NA CM L A M N B BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; Bˆ = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ? b/ Tính góc BIC ? A HD:a/ Góc I 1 > góc A1 Góc ngoài tam giác BIM Góc I2 > góc A2 góc ngoài tam giác CIM  góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù . C b/ => góc BIC = 180 – 45 = 135 độ . M B BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ? ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 A HD : => Ta có D1 B A1; D2 C A2 D1 D2 B C = 20 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 Mà D1 D2 = 180 độ => D1 =100 , D2 = 80 B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ? 54
  55. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 b/ DC  BE ? E HD : a/ ADC ABE(gcg) => DE = BE D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao A điểm DC với BE. ADH & KBHgocDAH BKH 900 B C BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ? HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK A => ABE KCA(cgc) => AE = AK . D B C K E BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ? HD: AKM BKC(cgc) gocKAM gocKBC AM // BC AEN CEB AN BC & AN // BC M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2) Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN . K E B C BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ADB ; ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng a/ DM = AH N E b/ MN đi qua trung điểm DE . 55
  56. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 D M A HD : a/ => ADM BAH DM AH b/ => tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và B H C DE => DMO ENO(gcg) OD OE . BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng : A a/ DB = CF b/ BDC FCDˆ 1 D E F c/ DE // BC & DE = BC 2 HD: a/ => AED CEF (cgc) AD CF BD CF B C b/ => DBC FCD(cgc) 1 1 c/ => BDC FCD BC DF DE DF DE BC . 2 2 BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK  AD= NK ( vì cùng bằng EB ).  Chứng minh ADM NKC(cgc) DM KC => E N B F C BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ? Bˆ Cˆ 120 A HD : => Bˆ Cˆ 600 1 1 2 2 ˆ 0 ˆ ˆ 0 BIC : BIC 120 I1 I 4 60 ˆ ˆ ˆ 0 E I D IK phân giác BIC I1 I 2 60 BIE BIK(gcg) IE IK CDI CIK(gcg) ID IK ID IE 56
  57. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B K C BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác ACˆE & DBˆE BAˆC BDˆC cắt nhau ở K . Chứng minh : BKˆC ? 2 K D HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE ˆ ˆ ˆ ˆ A H Xét KGB & AGC K B1 A C1 (1) ˆ ˆ ˆ ˆ G Xét KHC & DHB K C2 D B2 (2) Aˆ Dˆ E Từ (1) &(2) => 2Kˆ Aˆ Dˆ => Kˆ 2 C B 57
  58. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC . Chứng minh : a/ AM = 1 ED 2 b/ AM  DE H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi chứng minh DE = AK A - Xét ABK & DAE : AD AB(gt); AE BK( AC) ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 Và DAE A 180 (viA1 A2 180 ) (1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ B B1 B C ABK A B C A 180 (vibuA) (2) DE Vậy : ABˆK DAˆE ABK DAE AK DE AM 2 B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có BAˆK DAˆH 900 Dˆ DAˆH 900 ADˆH 900 BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz = 1 yÔz .Qua điểm A thuộc 2 Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng minh tam gíc AOD cân ? HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB A Ta thấy : AEˆB 900 & ABˆE OBˆH 900 AEˆB ABˆ E => AOB ADE(cgc) => AO=AD => AOD cân E D B O H h 58
  59. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ? HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x. y => EOI đều => OC = EK . z M Vẽ EH  MA; EK  OI dễ dàng chứng minh được B MH = MB ; EK = OC  MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC H E t C O I x A K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD . ˆ ˆ ˆ 0 0 A HD : Ta có D1 B2 C 20 40  trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho BDˆK 600 & BDˆE 800 BDA BDK(gcg) DA DK(1) Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB . Chứng minh AIK vuông cân ? HD : Ch/minh ABI KCA(cgc).AI AK A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt) Suy ra : tam giác AIK vuông cân B C 59
  60. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA . a/ Chứng minh AB = E F và AB  E F b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam giác OMN vuông cân ? HD : a/ OAB Oß E(2 cgv) AB E F & AB  E F b/ OMB ONE(cgc) OM ON & gocMOM 90do y OMN vuông cân B F N M E O A x BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng : A a/ CM = B N b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN. ˆ ˆ M HD: a/ ACM CBN(cgc) CM BN & C1 B1 ˆ 0 ˆ ˆ 0 0 0 b/ BOCcoBOC 180 (B1 C2 ) 180 60 120 N O B C  60
  61. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN A. TAM GIÁC VUÔNG : 1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ? 2/ Tính chất : - Tam giác ABC : Â=90 độ Bˆ Cˆ 900 - Định lý PyTago: ABC : Aˆ 900 BC 2 AB 2 AC 2 - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29) - Các hệ thức trong tam giác vuông: ABC : Aˆ 900 ; AH  BC AH.BC AB.AC ; AB 2 BH.BC; AC 2 CH.BC. 1 - ABC : Aˆ 90 ; AB MC AM BC 2 SAMB = S AMC - Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ) là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ). - Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền Toán nâng cao: BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB . Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF . Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B CˆF 1350 A Ch/minh : BAE FCB(cgc) BE CF D b/ ABF : Aˆ 900 ABˆF Fˆ 900 Fˆ Bˆ(cmt) ABˆF Bˆ 900 A C F Mà: hayEBˆF 900 BE  BF BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm BM . Chứng minh : AC = 2 AD A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA => ADB EMD(cgc) AB ME; ABˆD EMˆD 1 => AB=ME=BC ME MC(1) 2 (1) 61
  62. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B D M C Mặt khác: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ EMA M 1 M 2 ;CMA B BAM (gocngoai) ˆ ˆ ˆ Mà: M 1 B(cmt);M 2 ABM Vậy : AMˆE AMˆC (2) và AM chung (3) E Từ (1),(2) và(3) suy ra MCME AMC AE AC AC 2AD BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x  BC và lấy CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA . Chứng minh : a/ ACE đều b/ E,A,F thẳng hàng ? Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => CEAcan Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ Suy ra : CAE đều E b/ Ta có : BA = BF (gt) => BFAcan Suy ra : góc BA F = 30 độ; A Vậy: FBˆA BAˆC CAˆE 300 900 600 1800 Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF F B C BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O . Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E . Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi . b/ DE = DB + EC ˆ 0 ˆ ˆ 0 0 0 A HD : a/ BOC 180 (B2 C2 ) 180 45 135 b/ DBOcan DB DO O EOC can EC EO D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE B C BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn minh : FH = FA = FC . ˆ ˆ A Hướng dẫn: Ta có BH= BE => BEH cân => E H1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà H1 H 2 &B 2H1 B 2H 2 H 2 C F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1) 0 ˆ ˆ 0 ˆ Mặt khác : Â = 90 C & AHF 90 H 2 B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2) 62
  63. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 H C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC E Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF). a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ? b/ Từ A và F kẻ các đường D D' , FF ' vuông góc xuống BC . Chứng minh : DD ' FF ' BC HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng DBD ' BAH DD' BH A b/ Kẻ AH  BC => CFF ' AHC FF ' HC DD' FF ' BH HC BC B C Bài 7 : Cho ABC : BAˆC 1200 Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE AB ; DF  AC . a/ Tam giác DE F tam giác gì ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác ACM là tam giác gì ? A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ => đều F b/Tam giác ACM đều . E B D C BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: AB AC AB AC a/ BE = CF b/ AE = ; BE 2 2 ˆ ˆ c/ góc BME = ACB B 2 HD: a/ Chứng minh góc F = góc E Kẻ CD // AB =>BE=CD (1) A Mà CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF b/ Ta có AE = AB - BE Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC  AE= AB AC 2 63
  64. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 E Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = AB AC 2 CEˆF ACˆ B - Fˆ & BMˆ E Eˆ - B M C c/ Ta có : ACˆ B - Bˆ 2BMˆ E ACˆ B - Bˆ BMˆ E 2 F B. TAM GIÁC CÂN BỔ SUNG KIẾN THỨC: 1. Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền. 2. Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác vuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều. 3. Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ. 4. Trong tam giác cân: - Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau. - Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. - Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. TOÁN CHO HS GIỎI: BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB ; AC. a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ? b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ? HD: A D M E N B C 64
  65. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên: MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân. Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều. b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN đều=>EN=NA=CN=AC:2. Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông tại E => CE vuông góc AB BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ? HD: B N = 1 = M 1 A C 180 Bˆ Tam giác BAM cân tại B=> Mˆ 1 2 180 Cˆ Tam giác CAN cân tại C=> Nˆ 1 2 ˆ ˆ ˆ 0 Vậy : MAN 180 (M 1 N ) 180 135 45 BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ? b/ Tam giấcBM là tam giác đều ? HD: A I B H M C a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh 65
  66. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 1 MAI MAH (C.h g.n) BH MH BM MC Cˆ 300 & HAˆC 600 2 2 Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A. b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều. BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ? HD: A H 1 2 2 1 1 B C D - Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ => góc 1 1 Bˆ 300 CH BC CH CD CDHcan Dˆ ACˆB 300 HDBcan HB HD(1) 1 2 1 2 - Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân. 1 Ta suy ra Dˆ Hˆ 150 ADˆB 30 15 450 2 2 1 ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO KIẾN THỨC BỔ SUNG: 1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 2 2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ: 2 2 2 2 2 A(x1; y1 ); B(x2 ; y2 ) AB (x2 x1 ) (y2 y1 ) AB (x2 x1 ) (y2 y1 ) BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng : 66
  67. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ Tam giác ABC vuông ? b/ góc AMB = 2góc C. HD: A 7 M 24 32 B 40 C a/ Tam giác ABC có: BC 2 40.40 1600 AB 2 AC 2 24.24 32.32 1600 Vậy AB 2 AC 2 BC 2 1600 ABCvuongtaiA 2 2 b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM= 24 7 25 AC AM 32 7 25 Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài) Vậy góc AMB = 2. góc C BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính BC ? A A 25 24 24 26 25 26 B H C H B C (H1) (H.2) - Tính được HB= 7 ; HC= 10 - Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1) - Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC HB=10-7=3 (h2) BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ? 67
  68. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k Ta có AB 2 AC 2 (8k) 2 (15) 2 512 289k 2 2601 k 3 Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng minh EB vuông góc E F ? HD: A D F B H C E Vì AD=HE=>AH=DE Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được: BF 2 AB 2 A F2 (BH 2 AH 2 ) (AD 2 DF 2 ) BF 2 HB 2 DE 2 HE 2 DF 2 (BH 2 HE 2 ) (DE 2 DF 2 ) BE 2 EF 2 Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông góc E F BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ? HD : B = C x? = A D Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là điểm C thì CB=CD . AC 2 AD 2 CD 2 Tam giác vuông ACD có : x 2 32 (9 x) 2 x 4met 68
  69. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1). Tính các góc tam giác ABC ? HD x 4 A(5;4) 3 B(2;3) 1 C(6;1) x O 2 5 6 Ta có : AB 2 (5 2) 2 (4 3) 2 10(1) 2 2 AC (5 6) (4 1) 2 10(2) BC 2 (6 2) 2 (1 3) 2 20 Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB 2 AC 2 BC 2 20 ABCvuong Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦTAM GIÁC VUÔNG BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác . a/ Chứng minh tam giác ABC cân. b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ? HD: (H.1) A A F D H K (H.1) B M C (H.2) B E C a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC. HAM KAM (ch gn) MH MKA Chứng minh HMB KMC(ch cgv) Bˆ Cˆ ABCcantaiA b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC =>BM= AB 2 AM 2 12 BC 24 69
  70. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác đó đều ? b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài a 3 . Tính độ dài mỗi cạnh tam giác 2 đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F. a/ Ta chứng minh FBC ECB(ch cgv) Bˆ Cˆ; Cˆ Aˆ ABCdeu. b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có AC 2 AD 2 CD 2 x a : BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại  và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.? M M A A O O B C B C (H.1) ( H.2) HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)  góc MCA=60-50=10 độ  AMB AMC(CCC) AMˆB AMˆC 600 : 2 300  OBC AMC(gcg) CO CA COAcan. BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ? HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC). Chứng minh tương tự bài 19=> COAcantaiC ACˆO 40 : 2 200 Suy ra: CAˆ O (180 - 20) : 2 80 0 70
  71. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D. a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2) 1 2 D E B C B M N C D ˆ ˆ (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> A1 A2 Suy ra AD phân giác góc  b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng) BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM=CN ? HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh AE=BF ? HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF A E M F O y BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,O F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC. 71
  72. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ Chứng minh OE = O F=O b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG HD: A 1 2 E F O 2 2 1 1 B G D C BOß BOG(ch gn) OF OG (1) a/ Chưng minh: COG COE(ch gn) OE OG(2) T u (1) & (2) OE OF OG 1 1 1 b/ AOE AO F Aˆ Aˆ Aˆ;Bˆ Bˆ Bˆ & Cˆ Cˆ Cˆ 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ˆ ˆ 0 Suy ra A1 B C2 180 : 2 90 (1) ˆ ˆ 0 Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> B1 BOG 90 (2) ˆ ˆ ˆ Từ (1) và(2) => A1 C2 BOG(3)  Từ (3) và (4)=> BOˆG COˆD BOG GOˆD COˆD GOˆD, BOˆD COˆG BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1:Tính giá trị của biểu thức : 72
  73. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = x2 + 4xy – 3y3 với x 5; y 1 4x 9 4y 9 Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = ( x - 3y ; y - 3x y 3y x 3x) Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau : 2 2 2 4 4 8 8 a) A = x (x 2y)(x 2y)(x 2y )(x 2y ) với x = 4 và y = 8 x16 2y16 b) B = 2m2 – 3m + 5 với m = 1 c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a 1 và b = 2 Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa : a) x 1 b) x 1 c) ax by c x 2 4 x 2 1 xy 3y 6x 2 x 3 1 Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N= với x = 2x 1 2 Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0 b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7 Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau : 5x 2 3y 2 x y A = với 10x 2 3y 2 3 5 Bài 8: Cho x, y, z 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức z x y B = 1 1 1 x y z Bài 9: 1 a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) 2 – 10 5 b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D = 4 2x 3 2 5 Bài 10: Cho biểu thức E = 5 x .Tìm các giá trị nguyên của x để : x 2 a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau : a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1 c) (x2 – 16)2 + y 3 - 2 Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = x 2 x 10 Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A = 10x 15 5x 1 Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b Z Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000 Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. 73
  74. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 7 B = x 1 x 3 với x 11 Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) -  2x 3 5x y  b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - 13x 2y 5  Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 d) x2+ 5x + 6 Bài 22: Chứng tỏ rằng : a) Biểu thức x2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x . b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng: 1 2 a) x 1 b) x 5 c) x 3 3 y 3 x d) (x-2)25n 2 5 + y- 2= 0 x x (n N) Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết: x 2 2x 3 a) y b*) y x 1 x 1 ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG Bài tập cơ bản Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức : a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2) c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an Bài 2: Thực hiện các phép tính sau : x x 3x 2 1 a) b) 3ab. ac – 2a.abc - a2bc 3 6 2 5 3 2 2 2 2 1 c) ac .c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c2 3 5 3 4 74
  75. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức : P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n N) Với giá trị nào của a thì P > 0 Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k N) Với giá trị nào của x và k thì Q < 0 Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n N; n 0) Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1 Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau: 1 1 x5 y3; 3x3 y;4x2;5;ax5 y3; x3 y 7 9 Bài9: Tính tổng : 1 3 4 y2 z5 y2 z5 y2 z5 a) 2 4 3 7 axy 3 bxy 3 xy 3 b) 3 Bài10: Rút gọn các biểu thức sau : a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1 d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1 Nâng cao Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a 0; b 0) Tìm GTNN của M Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0 Bài 3: Chứngminh rằng với n N* n n+1 a) 8.2 + 2 có tận cùng bằng chữ số không b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 75
  76. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300 Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0 Bài 5: Rút gọn: a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4 b) 2y – x - 2x y y 3x 5y x  với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2 c) 5x – 3 - 2x 1 Bài 6: Tìm x,biết : a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6 3 2 1 1 1 b) ( x 3 ) – x 4 - x 1 = x 4 - x 3 4 3 6 3 3 Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : abc bca cab = 666 Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc bca cab là một số chính phương không ? Bài9 : Tính tổng : a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5) b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2) c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2) 5 x 3 d) (4x2+x2y -5y3)+(x 3 6xy 2 x 2 y )+( 10y 3 )+ (6y 3 15xy 2 4x 2 y 10x 3 ) 3 3 Bài 10: Rút gọn biểu thức sau a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z) b / x 3 6x 2 5y 3 2x 3 5x 7y 3 c / 5,7x 2 y 3,1xy 8y 3 6,9xy 2,3x 2 y 8y 3 d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e) 2x x 2 7 5x x 4 M 3x 3 6 9 5 2 5 5 Bài 11: Tìm x biết: a) x +2x+3x+4x+ + 100x = -213 1 1 1 1 x 1 x 2 b) x x c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d) 2 3 4 6 3 4 76
  77. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 32 x 23 x 38 x 27 e) f) 7 8 9 10 11 12 11 12 13 14 1 2 g) x 2 13 h) 3 x 2 4x 8 2 i) 3x 2 5 1 3 x k) x 2 + 3 3 x 2 =3 1 1 m) (2x-1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = p) ( x-1)3 = (x- 2 3 1) q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự nhiên Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. I/ MỤC TIÊU: 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương. 2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan. 3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế. II/ LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên Ví dụ: 3 2 9 ;15 2 225 Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính phương 2. Một số tính chất: a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8. b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. 77
  78. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 2 2 Thật vậy ,giả sử M a5 = (10a 5) 100a 100a 25. Vì chữ số hàng chục của 100 a 2 và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2 c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6. Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ), Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16. Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ. d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ . Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz trong đó a,b,c , là các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,z là các số nguyên tố dương thế thì , A = m2 = (ax by cz )2 = a2x.b2y.c2z Từ tính chất này suy ra -Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. -Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. -Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. -Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 3/ Nhận biết một số chính phương: 4/ Hằng đẳng thức vận dụng: (a b)2 = a2 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b) 5. Các ví dụ: Ví dụ 1. Chứng minh rằng : a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2 họăc 4n +3 (n N); b) Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n N). Giải a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (k N), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k N) , Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1. Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(n N) b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k 1 (k N) khi đó bình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k 1)2= 9k2 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n N). Ví dụ 2: 78
  79. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. Giải Cách 1 . Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương. Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ 2 số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a 2 nên a  4. Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52là số chính phương Ví dụ3: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương Trả lời n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169. Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84. Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị : 37; 73; 121; 181; 253. Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương. Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương Giải Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (1) a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m N) Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ . Đặt m=2k+1 (k N) Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1 do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1) Vậy p+1 không là số chính phương b)Ta có p = 2.3.5 là số chia hết cho 3. Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương III/ BÀI TẬP: BÀI TẬP BÀI GIẢI 79
  80. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – mệnh đề đúng và một mệnh đề 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính sai: phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. 1/ n có chữ số tận cùng là 2 Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái 2/ n + 20 là một số chính giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) phương và (3) đúng. 3/ n – 69 là một số chính Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b N và a > b) phương => a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1 a b 89 Do đó: suy ra a = 45. Vậy n = 45 2 – a b 1 20 = 2005 Bài 2: Cho N là tổng của 2 số Gọi N = a2 + b2 (a, b N) chính phương. Chứng minh a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – rằng: 2ab a/ 2N cũng là tổng của 2 số = (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính phương. chính phương. b/ N2 cũng là tổng của 2 số b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 chính phương. + b2+ 4a2b2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2 Bài 3: Cho A, B, C, D là các số Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = chính phương. Chứng minh d2; rằng:(A + B)(C + D) là tổng của Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) = 2 số chính phương. = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chính phương. Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0 sao cho: x = y + z. Chứng minh => x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0 rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng => 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2 của 3 số chính phương. Bài 5: Cho a, b, c, d là các số Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0 nguyên thoả mãn: a – b = c + d. => 2a(a – b – c – d) = 0 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + Nên ta suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d luôn là tổng của 3 số chính a + b + c + d = a + b + c + d + 2a(a – b – phương. c – d) = (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2 Bài 6: Cho 2 số chính phương Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + liên tiếp. Chứng minh rằng tổng 3n2 + 2n + 1 = của 2 số đó cộng với tích của = (n2 + n + 1)2 chúng là một số chính phương n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ. lẻ. Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ. Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + + a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + + n (n + 1) a/ Tính an+1 80
  81. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 b/ Chứng minh rằng a n + an+1 là (1 n)n (1 n 1)(n 1) b/ an + an+1 = + = một số chính phương 2 2 (n 1)(n n 2) = 2 = (n + 1)2 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4. Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương. Bài 2. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Bài3. Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Bài 4. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính phương không? Bài 5 Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3, , 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không? 81