Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học 11 - Phương trình lượng giác

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học 11 - Phương trình lượng giác

1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC PHẦN 1 x 2 3 sin x. 1 cos x 4cos x.sin2 3 Bài 1. Giải phương trình: 2 0 2sin x 1 Hướng dẫn giải x k 1 6 Điều kiện: sin x ,k,l ¢ (*). 2 5 x l 6 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: x 2 3 sin x. 1 cos x 4cos x.sin2 3 0 2 2 3 sin x 2 3 sin x.cos x 2cos x 1 cos x 3 0 2 3 sin x cos x 3sin2 x 2 3 sin x.cos x cos2 x 0 3 sin x cos x 0 3 sin x cos x 3 sin x cos x 2 0 3 sin x cos x 2 TH1: 3 sin x cos x 0 cot x 3 x k ,k ¢ 6 TH2: 3 sin x cos x 2 2 sin x cos cos xsin 2 sin x 1 6 6 6 2 x k2 x k2 ,k ¢ 6 2 3 Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 7 2 x k2 , x k2 ,k ¢ . 6 3 Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x (2009; 2011) của phương trình : cos x sin x cos2x 1 sin 2x 0 1 sin 2a 2 Bài 3. Chứng minh rằng: cot a . 1 sin 2a 4 x y 1 Bài 4. Cho: sin x sin y 2sin x y , với x y k , k ¢ . Chứng minh rằng: tan tan . 2 2 3 3 1 cot x Bài 5. Giải phương trình : 3tan 2x 2 2cos2x 0 cos2x 1 cot x A B B A Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin .cos3 sin .cos3 . Chứng minh 2 2 2 2 rằng tam giác ABC cân.
2. Bài 7. Giải phương trình sau: 2(sin x 3 cos x) 3cos2x sin 2x. Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin2 x 2sin x.cosx cos2x a 3 Bài 9. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các góc A , B , C lần lượt là l a , l b , l c . l l l l l l 1. Chứng minh rằng: a b b c c a 3 3. c a b C 2. Nhận dạng tam giác, biết: a b tan (a tan a+btanb). 2 2 ax a y cos x Bài 10. Định a để hệ: có nghiệm duy nhất. 2 2 sin x y 1 2cos2 x sin 2x Bài 11. Chứng minh rằng nếu x 2x2 thì: 16 sin2 x.cos2x Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những giá sinx.cos2y m4 2m2 2 trị tìm được của m: . 3 cos x.cos2y m 1 Bài 13. Cho hai phương trình sau: 2sin7 x (1 sin a).sin x a.sin3 x (1) (a 1)(1 cos2 x) 2sin6 x 2sin2 x 2(a 1)3 (2) a. Giải các phương trình trên với a 2 . b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương. 3 3 sin x sin y sin z 2 Bài 14. Giải hệ phương trình: . 3 cos x cos y cos z 2 Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x 0;2  sao cho: 2cos x 1 sin 2x 1 sin 2x 2. Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm: 2 3 x x cos (a x) 2cos (a x) cos .cos 2 0. 2a 2a 3 3 2 Bài 17. Cho tam giác ABC có tan A tan C 2 tan B . Chứng minh rằng: cos A cosC . 4 BC AB BC Bài 18. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: . Tính tổng số đo góc: AB BC AC 3A B. Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max A, B,C . Tìm giá trị lớn của biểu thức: 2 P sin A sin2 B sin3 C.
3. Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m 1)(sin x cos x) (sin x cos x) 2m2 2m 2 0 Bài 21. Chứng minh rằng với mọi x ¡ ta luôn có sin x cos x 1. Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm m sin x cos x 1 sin 2x sin x cos x 2 Bài 23. Giải phương trình: cos2x cos3x sin x cos4x sin 6x . 2x 1 2x 1 2x 1 Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình sin sin 3cos2 0 thỏa x 3x 3x 1 mãn điều kiện x 10 5 Bài 25. Tìm m để phương trình mcosx cos3x cos2x 1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng ( ; ) 2 2 Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P cos2A cos2B cos2C lớn nhất. Bài 27. Giải phương trình : 8cos4x.cos2 2x 1 cos3x 1 0 sin A sin B sinC Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết 1 3 2 Bài 29. Giải phương trình 2cos2 x 1 cot x 2sin2 x 1 0 Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos2A 2 cos2B cos2C 2 0 Bài 31. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm : 3 x x cos2 (a x) 2cos (a x) cos .cos 2 0; 2a 2a 3 3 2 Bài 32. Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A cosC ; 4 Bài 33. Giải phương trình: 1 tan x.tan 2x cos3x Bài 34. Trong tam giác ABC biết số đo ba góc A, B,C lập thành cấp số cộng với A B C và thỏa hệ 1 3 thức cos A cos B cosC . Tính số đo các góc A, B,C . 2 2 5x 2 9x Bài 35. Giải phương trình cos3x sin7x 2sin 2cos 4 2 2 Bài 36. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng ; : 2 2 2 4 x 4 x 4cos x 16m sin cos 14m 1 0 4 4 Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Hướng dẫn giải x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π (cos x 1)(2cos x 1) Bài 38. Giải phương trình: 1 sin 2x 2cos2 x. sin x
4. Bài 39. Cho phương trình: (m 3)sin3 x (m 1)cos3 x cos x (m 2)sin x 0 a) Giải phương trình khi m 5 . 5 b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x , . 4 Bài 40. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 1 1 1 A B C cos A cos B cosC sin sin sin 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. x 2sin2 ( )sinx - cos3 x Bài 41. Giải phương trình : 4 2 0. sin3 x cos3 x 4x 2x Bài 42. Tìm m để phương trình cos cos m 0 có nghiệm. x 2 1 x 2 1 Bài 43. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức : 8cos Asin Bsin C 4 3(sin A cos B cosC) 17 0 . Hãy tính các góc của tam giác đó. cos 2x 3cos x 1 Bài 44. Giải phương trình: 1 sin x 1 Bài 45. Giải phương trình sau sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0 . Hướng dẫn giải PT sin x cos x 2 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 0 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 0 sin x cos x 1 sin x 2cos x 4 0 x k2 sin x cos x 1 ,(k ¢ ) sin x 2cos x 4(VN) x k2 2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k2 , x k2 ,(k ¢ ) 2 4 Bài 46. Cho cos2 với . Tính giá trị của biểu thức: P 1 tan cos 5 2 4 Hướng dẫn giải Do nên sin 0,cos 0 . Ta có: 2 1 cos2 1 1 cos2 cos , 2 10 10 9 3 sin sin2 1 cos2 sin , tan 3 10 10 cos 1 1 1 3 2 5 Khi đó: P 1 tan . cos sin 1 3 . 2 2 10 10 5
5. 1 cot x Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số y 2cos x 1 Hướng dẫn giải 1 cos x x k2 Ñieàu kieän xaùc ñònh 2 3 , k,l ¢ sin x 0 x l Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos2 x tan2 x Hướng dẫn giải 1 * y cos2 x 1 cos2 x 1 * cos2 x 2 cos2 x * y 1 GTNN y = 1 1 * y = 1 cos2 x cos4 x 1 sin x 0 x k ,k ¢ cos2 x Bài 49. Giải phương trình 3 cos2x sin 2x 2 Hướng dẫn giải 3 1 3 cos 2x sin 2x 2 cos x sin 2x 1 2 2 cos 2x.cos sin 2x.sin 1 6 6 cos 2x 1 6 2x k2 6 x k , k ¢ 12 Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc 0; : 2 cot2 x 2 m 1 cot x 3m 1 0 Hướng dẫn giải * t = cotx , x 0; t 0 2 * cot2 x 2 m 1 cot x 3m 1 0 (1) t 2 2 m 1 t 3m 1 0 (2)
6. Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt x 0; pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt 2 ' 0 S 0 P 0 1 keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m< 3 3 Bài 51. Giải phương trình (7 5 2)cos x (17 12 2)cos x cos3x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = R. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3 (1 2)3cos x (1 2)4cos x 4cos3 x 3cos x 3 (1 2)3cos x 3cos x 4cos3 x (1 2)4cos x Xét hàm số f(t) = (1 2)t t , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x k cos3x = 0 x = , k Z 6 3 Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx + 1 + sin2x 2m – 1 Hướng dẫn giải Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx . Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x) 2m – 1. Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 2 1 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx, 2 t 2 . Ta có: f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 2 2t2 + 2t – 1 với 2 t 2 . Xét sự biến thiên của g(t) ta có: max g(t) 4( 2 1)2 2; 2 Vì f(x) 0 nên ta có: maxf(x) = max f 2 (x) max g(t) 2( 2 1) 3 2 2 Vậy ta có: 2( 2 1) 2m 1 m . 2 1 1 1 Bài 53. Rút gọn tổng S = trong đó n là một số tự cos x cos 2x cos 2x cos3x cos nx cos(n 1)x nhiên.
7. 1 Bài 54. Biết rằng sin2x + sin2y = , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg2x + tg2y. 2 2 3 n Bài 55. Rút gọn : P = cos cos cos cos . 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 tg 1 cos 2 Bài 56. Chứng minh rằng nếu ta có thì sin(3  ) 7sin(  ) . tg 1 sin 2 p q Bài 57. Trong tam giác ABC có A = 360, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử x , hãy tìm cặp số 2 nguyên (p, q). sin 4 x cos 4 x 1 sin 8 x cos8 x 1 Bài 58. Cho . Chứng minh rằng: , (a > 0, b > 0). a b a b a 3 b3 (a b)3 Bài 59. Cho tg 2 xtg 2 y tg 2 ytg 2 z tg 2 ztg 2 x 2tg 2 xtg 2 ytg 2 z 1. Tính giá trị của biểu thức P sin 2 x sin 2 y sin 2 z 1 1 1 Bài 60. Tính giá trị của biểu thức: Q . 3 5 cos cos cos 7 7 7 A B C Bài 61. Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức M cos cos cos đạt 2 2 2 giá trị lớn nhất. Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a 2 b 2 c 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b 2 sin x csin 2x , trong đó x (0; ) . 2 x Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f (x) sin 2 x với x [ ; ]. 2 2 2 n n 1 1 Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) 1 1 với n là số tự nhiên. sin 2 x cos 2 x Bài 65. Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng: 3 2 a) B , b) cosA+ cosC . 3 4 A B 1 Bài 66. Cho tam giác ABC thoả mãn: tg tg . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác 2 2 2 A B C 1 ABC vuông là sin sin sin . 2 2 2 10
8. Bài 67. Tính tổng S = sin 390 sin 690 sin1830 sin 2130 . 2 4 6 5 33 7 Bài 68. Chứng minh rằng: 3 cos 3 cos 3 cos 3 . 7 7 7 2 sin x sin y sin z sin t 1 Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa và thoả mãn: 10 . 2 2 cos 2x cos 2y cos 2z cos 2t 3 Chứng minh rằng: 0 x, y, z, t . 6 1 1 Bài 70. Tìm GTNN của hàm số y , x (0; ) . sin x cos x 2 2x 4x Bài 71. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y sin cos 1. 1 x 2 1 x 2 2cos 2 x cos x 1 Bài 72. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y . cos x 1 Bài 73. Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của OH tam giác ABC . Tính tỷ số trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. R Bài 74. Cho tam giác ABC vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma ,mb lần lượt là r 2 độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2 . ma mb Bài 75. Giải các phương trình sau: 1/ sin 3 x cos3 x sin 3 x cot gx cos3 xtgx 2sin 2x . 2/ 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x . sin 3x sin 5x 3/ . 3 5 4/ 2 3 sin(x )cos(x ) 2cos 2 (x ) 3 4 sin 2 x cos( x)cos( x) 8 8 8 3 3 5/ 2sin 5x(16sin 4 x 20sin 2 x 5) 1. 6/ (16sin 4 x 20sin 2 x 5)(16sin 4 5x _ 20sin 2 5x 5 1 Bài 76. Chứng minh rằng: 4cos36 0 cot g7030 1 2 3 4 5 6
9. 1 1 1 1 Bài 77. Cho 7 . Tính sin 2 2x . tg 2 x cot g 2 x sin 2 x cos 2 x 2 1 Bài 78. Chứng minh rằng: cos cos . 5 5 2 Bài 79. Thu gọn tổng S =tga.tg2a tg2a.tg3a tg(na).tg(n 1)a . Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1) (2cos 2n 1 a 1) Bài 81. Tính các tổng: 1 1 1 5 7 S = , P = tg 8 tg 8 tg 8 , R = 2 2 2 3 2 6 18 18 18 sin sin sin 7 7 7 5 7 tg 6 tg 6 tg 6 18 18 18 Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x ) trong đó k, là các tham số thực. Chứng minh rằng: M 2 m 2 2 Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau: A B C tg tg tg 1 2 2 2 B C C A A B A B C 1 tg tg 1 tg tg 1 tg tg 4tg tg tg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PHẦN 2 Câu 1: Giải các phương trình sau đây: sin x 1 sin 2x cos 2x Hướng dẫn giải: Ta có: sin x sin x cos2 x cos x 1 1 sin x sin x cos2 x cos x 4 4 2 2 1 1 sin x cos x 2 2 cos x 1 1 1 sin x cos x 2 2 sin x cos x 1 sin x 0 1 1 cos x 0 sin x cos x sin x cos x 2 2 2 sin x cos x
10. x k2 ,k Z cos x 1 cos x 0 cos x 0 2 1 5 sin x sin x 1 0 sin x 2 . x k2 5 1 k,m ¢ x arcsin m2 2 Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin x cos x 2 3 cos 2x 2 t anx 1 b) 2 sinx cot x 1 c) 4(cos4 x sin4 x) 1 sin 2x Hướng dẫn giải: a) sin x cos x 2 3 cos 2x 2 sin 2x 3 cos 2x 1 1 sin(2x ) 3 2 2x k2 x k 3 6 12 k Z 5 2x k2 x k 3 6 4 t anx 1 b) 2 sinx cot x 1 sinx 0 Điều kiện: cos x 0 cot x 1
11. sinx cos x sinx pt . 2 sinx cos x cos x sinx sinx 2 sinx 0 cos x 1 sinx( 2) 0 cos x sinx 0 1 cos x 2 Với sinx 0, không thỏa mãn điều kiện 1 Với cos x x k2 0 k Z 2 4 Giá trị x k2 0 k Z bị loại do điều kiện cot x 1 4 Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: x k2 0 k Z 4 c) 4(cos4 x sin4 x) 1 sin 2x 4(1 2sin2 x.cos2 x) 1 sin 2x 1 4(1 sin2 2x) 1 sin 2x 2 2sin2 2x sin 2x 3 0 sin 2x 1 . 3 sin 2x 2 sin 2x 1 x k k Z 4 1 Câu 3: Giải phương trình cosx.cos2x . 4 Hướng dẫn giải x k không phải là nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa về pt sin 4x sin x . k2 k2 Suy ra x ; x . 3 5 5 2 3 Vì x k nên pt có các nghiệm x k2 ; x k2 ; x k2 . 3 5 5
12. Câu 4: Giải phương trình 5 sin2 x sinx 2cosx . Hướng dẫn giải VT 5 sin2 x 5 . Theo BĐT Bunhiacôpski sinx 2cosx (12 22 )(sin2 x cos2 x) 5 . Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi k x sin 2x 0 2 (Hệ phương trình vô nghiệm). sin x 2cos x 5 2 1 sin(x ) 1; sin ;cos 5 5 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos( x2 ) cos[ (x2 2x 1)]. Hướng dẫn giải x2 x2 2x 1 2k cos( x2 ) cos[ (x2 2x 1)] x2 [ (x2 2x 1)]; k ¢ 2 2 x (x 2x 1) 2k 2x 1 2k 0 (1) 2 2x 2x 1 2k 0 (2) Ta có: 1 2k 1 (1) x ; k ¢ x (nghiệm dương nhỏ nhất khi k 1). 2 min 2 1 (2) có 4k 1 0 k k 1(do k nguyên). 4 1 4k 1 1 4k 1 (2) có hai nghiệm x 0; x 0. 1 2 2 2 1 3 Suy ra nghiệm dương x nhỏ nhất khi k 1. Khi đó x 0 1 1min 2 1 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là x . 1min 2 Câu 6: Cho phương trình: cos 2x – 2m 1 cos x m 1 0 . 3 a. Giải phương trình khi m . 2
13. 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ; . 2 2 Hướng dẫn giải 3 a. khi m phương trình 2cos 2x 8cos x 5 0 4cos 2 x 8cos x 3 0 . 2 x k2 (k ) . 3 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ; . 2 2 1 2 cos x phương trình 2cos x (2m 1)cos x m 0 2 . cos x m 3 1 với x ; ta có 1 cos x 0 nên cos x không thoả mãn. 2 2 2 3 Do đó phương trình đã cho có nghiệm x ; 1 m 0 . 2 2 Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình cos x sin x cos 2x. 1 sin 2x 0 thỏa mãn điều kiện: 2004 x 2005. Hướng dẫn giải cos x sin x cos 2x. 1 sin 2x 0 (*) + 1 sin 2x cos x sin x cos2x cos x sin x cos x sin x + * cos x sin x 1 cos x sin x cos x sin x  0 cos x sin x 0 1 hoặc cos x sin x cos x sin x 1 2 + 1 cos2x 0 (1) + 2 1 sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 0 (vì sin 2x 0 không thể xảy ra) Ta có: * cos2x 0 hoặc sin 2x 0 sin 4x 0 x k , k ¢ . 4 + Với điều kiện 2004 x 2005, chọn số nguyên k 2552 . Vậy x 638 . Câu 8: Cho phương trình msin x cos x 1 m (1) ( m là tham số).
14. a. Giải phương trình (1) với m 1. b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải a. Với m 1. Thay vào phương trình 1 ta được: 1 sin x cos x 0 2 sin x 0 sin x 0 x k x k . 4 4 4 4 b. Phương trình có nghiệm m2 1 1 m 2 m2 1 1 2m m2 m 1. 2 x (2 3)cos x 2sin 2 4 Câu 9: Giải phương trình: 1 2cos x Hướng dẫn giải Điều kiện: cos x 0 . 2 x (2 3)cos x 2sin 2 4 Ta có: 1 2cos x 2 x 2 3 cos x 2sin 2cos x 2 4 3 cos x 1 cos x 0 sin x 3 cos x 1 2 1 3 1 1 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 2 2 2 3 3 2 x k2 x k2 3 6 2 sin x sin , k ¢ . 3 6 7 x k2 x k2 3 6 6 7 Vậy phương trình có họ nghiệm là x k2 và x k2 , k ¢ . 2 6 m Câu 10: Cho phương trình msin x m 1 cos x . Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho cos x có nghiệm. Lời giải ĐKXĐ: cos x 0 . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x , ta được: m tan x m 1 m 1 tan2 x m tan2 x m tan x 1 0 Đặt tan x t , ta được phương trình: mt 2 mt 1 0 *
15. Do phương trình tan x t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2 m 0 * có nghiệm m 4m 0 . m 4 Câu 11: Giải phương trình sin 2x cot 3x sin 2x 2 cos5x 0 2 Lời giải ĐKXĐ: sin 3x 0 . Ta có: sin 2x cot 3x sin 2x 2 cos5x 0 2 cos3x cos 2x sin 2x 2 cos5x 0 sin 3x cos 2x cos3x sin 2xsin 3x 2 cos5xsin 3x 0 cos5x 1 2 sin 3x 0 . 5x k x k 2 10 5 cos5x 0 2 2 3x k2 x k k ¢ . sin 3x 4 12 3 2 2 3x k2 x k 4 4 3 1 Câu 12: Giải phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x Lời giải Điều kiện: x k . 2 1 2 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x 1 cos 2x 2 tan x 2sin 2x sin 2x 2sin2 x 2 tan x 2sin 2x 2sin 2x tan x 2sin x cos x tan x 2sin 2x . 4sin x 4cos2 x 1 0 sin x 2cos 2x 1 0 sin x 0 l 2 1 2x k2 x k , k ¢ . cos 2x 3 3 2 Câu 13: Giải phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x
16. Lời giải sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x cos12x cos6x cos10x cos8x 0 sin 9x.sin 3x 2sin 9x.sin x 0 sin 9x sin 3x sin x 0 2sin 9x.sin 2x.cos x 0 sin 9x 0 9x k x k 9 sin 2x 0 2x k k ¢ cos x 0 x k x k 2 2 Câu 14: Giải phương trình 3cos x 2 sin x 2 Lời giải 2 3cos x 2 sin x 2 2 sin x 2 3cos x (Điều kiện: cos x ) 3 4 1 cos2 x 4 12cos x 9cos2 x 13cos2 x 12cos x 0 . cos x 0 12 cos x 0 x k , k ¢ . cos x l 2 13 Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos2 x 4cos x m 0 có nghiệm. Lời giải Đặt t cos x , điều kiện 1 t 1. Phương trình cos2 x 4cos x m 0 (1) trở thành t 2 4t m 0 f t 4t t 2 m (2). Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t  1;1. Lập bảng biến thiên của f t , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là 5 m 3 . Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2x 3 cos 2x 1 m có nghiệm? Lời giải 1 3 1 m sin 2x 3 cos 2x 1 m sin 2x cos 2x 2 2 2 1 m 1 m sin 2x cos cos 2xsin sin 2x 3 3 2 3 2
17. 1 m 1 m Phương trình có nghiệm 1 1 1 2 1 m 2 3 m 1. 2 2 Câu 17: Cho 3 số thực a b c 0 . Số nghiệm của phương trình asin x bcos x c trên khoảng ;0 2 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. thay đổi theo a,b,c . Lời giải a b c asin x bcos x c sin x cos x (1) a2 b2 a2 b2 a2 b2 c sin x sin  (2) (vì 0 1) a2 b2 Trên khoảng ;0 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 2 Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sin u sin v sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất. Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos2 x 2sin x cos x sin2 x m có nghiệm Lời giải 2 2 Ta có: cos x 2sin x cos x sin x m cos 2x sin 2x m 2 sin 2x m 4 m sin 2x . 4 2 m Phương trình có nghiệm khi 1 2 m 2 . 2 Câu 19: Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x 2cos x 2sin 2x . Lời giải Đặt t sin x cos x 2 cos x , 2 t 2 . 4 Ta có t 2 sin x cos x 2 1 sin 2x sin 2x t 2 1. Ta được hàm số y 2t 2 2t 2, 2 t 2 . Bảng biến thiên: 1 t 2 2 2
18. y 5 2 2 2 2 2 2 2 5 Suy ra M ; m 2 2 2 . 2 Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m2 2 cos2 x 4msin x cos x m2 3 vô nghiệm. Lời giải 1 cos 2x m2 2 cos2 x 4msin x cos x m2 3 m2 2 4msin x cos x m2 3 2 m2 2 cos 2x 4msin 2x m2 4 . 2 2 Phương trình vô nghiệm m2 2 16m2 m2 4 m2 1 1 m 1. Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x mcos x 1 m có nghiệm x ; . 2 2 Lời giải x cos 0 không là nghiệm của phương trình. 2 x 2t 1 t 2 Đặt t tan sin x ; cos x . 2 1 t 2 1 t 2 2t 1 t 2 Ta được phương trình 2. m. 1 m t 2 4t 1 2m 0 1 . 1 t 2 1 t 2 Phương trình có nghiệm x ; 1 có nghiệm t  1;1. 2 2 Phương trình 1 t 2 4t 1 2m là phương trình hoành độ giao điểm parabol P : y t 2 4t 1 và đường thẳng d : y 2m . Bảng biến thiên của hàm số y t 2 4t 1 t 1 1 2 6 y 2 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 1 có nghiệm x ; 2 2m 6 1 m 3 . 2 2 2 Câu 22: Phương trình sin x 3 cos x 5 cos 4x có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 10? 3 Lời giải
19. 2 2 sin x 3 cos x 5 cos 4x 4sin x 5 cos 4x . 3 3 3 2 2 Ta có: 0 sin x 1 0 4sin x 4 . 3 3 1 cos 4x 1 4 5 cos 4x 6 . 3 3 2 sin x 1 x k 3 3 2 Dấu " " xảy ra x k , k ¢ 6 cos 4x 1 4x l2 , k,l ¢ 3 3 Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k 0,k 1,k 2,k 3 . 2cos 4x Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cot x tan x trên đường tròn lượng giác ta được sin 2x bao nhiêu điểm? Lời giải k Điều kiện: sin 2x 0 2x k x , k ¢ . 2 2cos 4x cosx sin x cos 4x cot x tan x cos 2x cos 4x sin 2x sin x cos x sin x.cos x 1 cos 2x 2cos2 2x cos 2x 1 0 2 . cos 2x 1 + Với cos 2x 1 sin 2x 0 (không thỏa điều kiện). 1 + Với cos 2x x k , k ¢ (thỏa điều kiện). 2 3 Biểu diễn hai họ nghiệm x k , k ¢ trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm. 3 PHẦN 3 (cos x 1)(2cos x 1) Bài 1. Giải các phương trình sau: 1 sin 2x 2cos2 x. sin x Hướng dẫn giải. Điều kiện: sin x 0 x m (m Z). Phương trình đã cho tương đương với: 2cos2 x 3cos x 1 sin x 2sin2 x.cos x 2sin x.cos2 x . cos 2x 3cos x 2 sin x cos x(1 cos 2x) sin x(1 cos 2x) . cos x2x 2(sin x cos x 1) cos2x(sin x cos x) 0 . cos 2x 2 0 cos 2x 2 sin x+cos x 1 0 . sin x+cos x 1 0
20. cos 2x 2 x k2 . 2 (k Z). sin x x k2 4 2 2 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x k2 ( k ¢ ). 2 2 x 2 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 4sin 3 cos 2x 1 2cos x . 2 4 Hướng dẫn giải. 3 Phương trình đã cho tương đương với 2 1 cos x 3 cos 2x 1 1 cos 2x . 2 2cos x 3 cos 2x sin 2x . 1 3 sin 2x cos 2x cos x . 2 2 sin 2x cos x . 3 sin 2x sin x . 3 2 5 2 2x x k2 x k 3 2 18 3 (k ¢ ). 5 2x x k2 x k2 3 2 6 Bài 3. Giải phương trình sin 2x 2cos x 0. Hướng dẫn giải. Phương trình đã cho tương đương với 2sin x.cos x 2cos x 0 . 2cos x(sin x 1) 0 . cos x 0 . sin x 1 x k 2 x k (k ¢ ). . 2 x k2 2 3tan 2x Bài 4. Giải phương trình: 2 3.sin 2x 3 . 2 sin 2x 1 Hướng dẫn giải.
21. sin 2x 0 1 Điều kiện: sin 2x * ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm). 4 cos2x 0 sin 2x Khi đó: PT(1) 4 3.sin 2x 2 3.sin 2x 3 2 3.sin 2x 3 . cos 2x 2 3.sin 4x 3sin 2x 3 cos 2x . 3 1 sin 4x sin 2x cos2x sin 4x sin 2x 2 2 6 4x 2x k2 x k . 6 12 k,k ' Z 5 4x 2x k '2 x k ' 6 36 3 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 5 x k , x k ' k,k ' Z, k ' 6m 2, k ' 6m 5, m Z . 12 36 3 Bài 5. Cho phương trình: sin4 x cos4 x cos2 4x m. ( m là tham số). 3 1) Giải phương trình khi m . 2 2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; . 4 4 Hướng dẫn giải. Phương trình đã cho tương đương với: 3 cos 4x cos2 4x m. 4 4cos2 4x cos 4x 4m 3 (1). 3 1) Với m ta có phương trình: 2 cos 4x 1 x k 2 4 2 4cos 4x cos 4x 3 0 3 . cos 4x 1 3 4 x arccos k 4 4 2
22. 2) Đặt t = cos4x ta được: 4t 2 t 4m 3 , (2). Với x ; thì t  1;1. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ; khi và chỉ khi 4 4 4 4 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t  1;1. (3). Xét g(t) = 4t 2 t với t  1;1. ta có bảng biến thiên : t 1 1 1 8 5 3 g(t) 1 16 1 47 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra 4m 3 3 m 16 64 2 47 3 Vậy giá trị m cần tìm là: m . 64 2 Bài 6. Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. Hướng dẫn giải Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 . 2 Đáp số: x k2 , x k (k Z) . 3 4 17 Bài 7. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng 2sin A.cos B.sin C 3(cos A sin B cosC) . 4 Hướng dẫn giải
23. 2 2 2 3 3 3 Đẳng thức cos A sin B cosC 0 . 2 2 2 Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200. Bài 8. Giải phương trình : 2cos x 3 sin x cos x 1 1. Hướng dẫn giải 2cos x 3 sin x cos x 1 1 . cos 2x 3 sin 2x 2cos x . cos 2x- cos x . 3 2x- x k2 3 . 2x- x k2 3 Bài 9. Giải phương trình: 2sin x + 3 = 0. Hướng dẫn giải 3 2sin x + 3 = 0 sin x . 2 sin x sin . 3 x k2 3 (k ¢ ) . 4 x k2 3 2 cos2x sin 2x Bài 10. Giải phương trình: 3 cot x 3 . sinx cosx Hướng dẫn giải 2 cos2x sin 2x 3 cot x 3 . sinx cosx Điều kiện : sin x.cos x 0 sin 2x 0 x n ,n ¢ . 2
24. cos 2x cos x sin 2x sin x PT 3 cot2 x 3 . sin x cos x cos x 3 cot2 x 3 . sin x cos x 3 3 cot2 x . sin x 1 3 2 0 . sin2 x sin x 1 2 t 1(lo¹i) Đặt : t , | t | 1. Ta có: t 3t 2 0 . sin x t 2 x k2 1 1 6 Với t 2 2 sin x (k Z) . sin x 2 5 x k2 6 x k2 3 k ¢ . 2 x k 9 3 Bài 11. Hướng dẫn giải (Sin2x sin x 4)cos x 2 Xét phương trình: 0 (1). 2sin x 3 3 Điều kiện: sin x . 2 1 Phương trình (1) sin 2x.cos x sin 2x 4cos x 2 0 . 2 1 1 sin 2x cos x 4 cos x 0. 2 2 1 cos x sin 2x 4 0 . 2 x k2 . 3
25. Đối chiếu với điều kiện: x k2 . 3 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 . 3 x x2 1 y y2 1 1 (1) Bài 12. Giải hệ: (x, y ¡ ) . 1 1 x2 x 1 2 1 y2 (2) Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1, y 1. x, y ¡ , ta có x x2 1 x x2 1 1 và y y2 1 y y2 1 1. 2 2 y y 1 x x 1 (3) Kết hợp với 1 ta được: . 2 2 x x 1 y y 1 (4) Cộng 3 và 4 ta được y x , thế vào 2 ta được: 1 1 x2 x 1 2 1 x2 (5) Đặt x sin t,t 0; , phương trình 5 trở thành 2 1 cost sin t(1 2cost) t t t 2 t 2 cos 2sin .cos . 1 2 1 2sin 2 2 2 2 4 t k t 3 t 2 t 6 3 3sin 4sin sin 3 sin . 2 2 2 2 4 4 t k 2 3 t 1 6 x Với t 0; , ta được 2 . 2 t x 1 2 1 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là ; và 1; 1 . 2 2
26. Bài 13. Giải các phương trình sau: cos5x 5cos x . Bài 14. 1. Cho phương trình: cos 2x m 1 sin x m 0. a) Giải phương trình với m 1. b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; ]. 2. Tính các góc của tam giác ABC biết: cos3A cos3B cos3C 1,5 . 3 Bài 15. Giải phương trình: 2 2cos x 3cos x sinx 0 . 4 Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x cos4 x sin2 x cos xsin x . 2 Bài 17. Cho số thực x thỏa mãn sin x 2 sin x . 7 tan x 7 Bài 18. Tính giá trị biểu thức P . tan 7 (sin 2x sin x 4)cos x 2 Bài 19. Giải phương trình 0 . 2sin x 3 PHẦN 4 3 cos x sin x 1 Bài 1. Giải phương trình sau: 3tan 2x 2sin 2x 2 2 cos x sin x cos2x Hướng dẫn giải Điều kiện: cos2x 0 x k k ¢ (*). 4 2 Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:
27. sin 2x 2 cos x sin x 1 2 3 2 cos2x 3sin 2x 2 cos2 2x 2 cos x sin x 1 cos2x cos x sin x cos2x sin 2x 1 2 2 3sin 2x 2 1 sin 2x 2 1 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 1 0 1 sin 2x 2 x k 4 x k k ¢ 12 5 x k 12 5 Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x k và x k k ¢ . 12 12 sin4 2x cos4 2x Bài 2. Giải phương trình: cos4 4x . tan x tan x 4 4 Hướng dẫn giải Điều kiện: x k k ¢ (*). 4 Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với: 1 1 cos2 4x cos4 4x 2 cos4 4x cos2 4x 1 0 cos2 4x 1 x k k ¢ . 2 2 4 k Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x k ¢ . 2 Bài 3. Giải phương trình:sinx 1+ 2sin x = cos 2x. æ pö 2sin 2x + 4cosçx- ÷+ 3 èç 6ø÷ Bài 4. Giải phương trình: = 0. 1- cos3x 1 1 9 3 1 Bài 5. Giải phương trình: cos 4 x cos 2 x cos 4 x cos 2 x . 16 2 16 2 2 2 æ pö Bài 6. Giải phương trình: (1+ 2cos3x)sin x + sin 2x = 2sin ç2x + ÷. èç 4ø÷ 5x x 3x Bài 7. Giải phương trình: sin cos 2 cos . 2 4 2 4 2
28. Bài 8. Giải phương trình: 3 tan x + 1(sinx + 2cos x)= 5(sin x + 3cos x). 1 2 Bài 9. Giải phương trình: 4 2 (1 cot 2x.cot x) 48. cos x sin x Bài 10.Giải phương trình: 2(sin x 3 cos x) 3 cos 2x sin 2x. 4sin2 2x 6sin2 x 9 3cos 2x Bài 11. Giải phương trình: 0. cos x Bài 12. Cho hàm số: f x 1 sin4 x cos4 x 2cos2 x 2. Giải phương trình: a) f x 2 2. b) f x 1 5. Bài 13. Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có: sin x 1 sin x 1. Bài 14. Giải phương trình: sin x 1 sin x 2cos x cos2 x. Bài 15. Cho phương trình sau: m 3 sin3 x m 1 cos3 x cos x m 2 sin x 0. a) Giải phương trình khi m 5. b) Xác định tham số m để phương trình có đúng 1 nghiệm . Bài 16. Cho phương trình sau: 1 2x 1 2x cos sin m 0 (với m là tham số). x x 1 a) Khi m 0 , hãy tìm tất cả các nghiệm x 50; của phương trình. 2 1 1 b) Xác định m để phương trình có nghiệm x ; . 2 2 Bài 17. Tìm x thuộc khoảng 0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0 . 3 Bài 18. Giải phương trình: sin x 2 sin x . 4 6 Bài 19. Giải phương trình: 3cos x 4sin x 6 . 3cos x 4sin x 1 Bài 20. Cho phương trình:
29. sin2 4x m2 3 sin 4x m2 4 0. 3 Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc ;2 . 2 cos3 x 3cos x.sin2 x a Bài 21. Cho vôùi a,b ¡ 3 2 sin x 3sin x.cos x b 2 2 Chứng minh rằng: 3 a b 3 a b 2 . 1 1 1 Bài 22. Chứng minh rằng: 1 cos8x 2 cos x,x 0; . 2 8 8 8 1 1 25 5 Bài 23. Giải phương trình: 1 cos4 x cos2 x cos4 x cos2 x 1. 16 2 16 2 3 Bài 24. Giải phương trình: 1 sin3 x cos3 x sin 2x. 2 1 1 9 3 1 Bài 25. Giải phương trình: cos4 x cos2 x cos4 x cos2 x . 16 2 16 2 2 Bài 26. Giải phương trình: cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x 2 . Bài 27. Tìm a để phương trình: a cos2x a cos4x cos6x 1 có nghiệm x k , x k , vôùi k ¢ 3 và chỉ có nghiệm ấy. Bài 28. Giải phương trình: sin 2x sin 4x 2 3sin x 4sin2 x 1 0 . Bài 29. Giải phương trình: cos2x cos3x sin x cos4x sin 6x . sin 4x Bài 30. Giải phương trình: 1 cos x cos x cos2x . 2 3 2 2 Bài 31. Cho phương trình: k sin x 1 2k sin x k 0 4 Tìm k để phương trình có nghiệm. Bài 32. Tính tổng các nghiệm của phương trình: cos2 x cos3 x 1 cos2x tan2 x vôùi x 1;70 . cos2 x Bài 33. Giải phương trình: 1 1 10 cos x sin x . cos x sin x 3
30. Bài 34. Giải phương trình sau: 2 sin x cos x tan 5x cot 5x 3 1 cot x Bài 35. Giải phương trình sau: 3tan 2x 2 2 cos2x 0 . cos2x 1 cot x Bài 84. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 Hướng dẫn giải 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2 x k 4 x k 4 x k2 x k2 k ¢ 6 6 2 5 x k2 x k2 3 6 6 3 1 cotx Bài 85. Giải phương trình: 3tan2x 2 2cos 2x 0 cos 2x 1 cotx Hướng dẫn giải cos 2x 0 cos 2x 0 cos 2x 0 ĐK sin x 0 sin x 0 sin x 0 cot x 1 cos x sin x 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành
31. 3sin 2x 3 sin x cos x 2 2cos 2x 0 cos 2x sin x cos x 3sin 2x 3 cos x sin x 2 2cos 2x 0 cos x sin x cos x sin x sin x cos x 3sin 2x 3 2 cos x sin x 2 2cos2 2x 0 3sin 2x 3 2 1 sin 2x 2 1 sin2 2x 0 1 2sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 1;sin 2x 2 +) sin 2x 1 cos 2x 0 không thỏa mãn ĐK 2x k2 x k 1 3 6 +) sin 2x (thỏa mãn ĐK) k ¢ 2 2 2x k2 x k 3 3 Bài 86. Giải các phương trình sau đây: 1) sin x 1 sin 2x cos 2x 2) (1 t anx)sin2x=2tanx 2 Bài 87. Giải phương trình: 2tan x cot x tan2 x sin 2x Hướng dẫn giải +) §iÒu kiÖn +) T×m ®îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0 +) Gi¶i ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S: x k 4 Bài 88. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 4(sin4 x cos4 x) 4(sin6 x cos6 x) sin2 4x m cã nghiÖm x ( ; ) 8 4 Hướng dẫn giải +) §a PT vÒ d¹ng: 2cos2 4x cos4x 2m 1 (1) +) §Æt t = cos4x víi x ( ; ) t (-1; 0) 8 4 +) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0) 1 +) §S: m ( ;1) 2
32. Bài 89. Giải phương trình: 2sin3 x 6cos3 x cos x 3sin x 0 cos2x Bài 90. Giải phương trình: (sinx 2cos x)cos2x sinx (cos4x 1)cos x 2sinx Bài 91. Giải phương trình: Hướng dẫn giải Dùng công thức hạ bậc ta được: Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2 Từ đó suy ra nghiệm của pt: x Bài 92. Giải phương tình : sin 2x cos2x sin x 2cos2 0 2 1 3 Bài 93. Cho hàm số y cos x . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên ; 4 2 2 9x Bài 94. Giải phương trình: cos3x cos 4 2 x x Bài 95. Giải phương trình: cos x cos x 2 2 sin sin( ) 2 2 2 Bài 96. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 sin(x ) sin(x ) 2sin(5x ) 0 3 6 6 Bài 97. sin3x cos3x 2 2cos x 1 0 4 Hướng dẫn giải Ta có: sin3x cos3x 2 2cos x 1 0 4 sin3x cos3x 2 cos x sin x 1 0 sin3x sin x cos3x cos x cos x sin x 1 0 2sin 2xcos x 2sin 2xsin x cos x sin x 1 0 2sin 2x cos x sin x cos x sin x 1 0 Đặt: t cos x - sin x 2 cos x ;t 2; 2 4
33. Ta có: 2(1 t 2 )t t 1 0 2t3 t 1 0 t 1 x k2 1 t 1: 2 cos x 1 cos x 4 4 2 x k2 2 Bài 98. Cho phương trình sau: với m là tham số. 1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 99. Cho phương trình sau: 1) Giải phương trình khi . 2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm cos x 1 2cos x 1 Bài 100. Giải phương trình: 1 sin 2x 2cos2 x sinx Bài 101. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 4sin x 5 cos x 2sin2x 5 . Hướng dẫn giải BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh 4sin x 5 cos x 2sin2x 5 4sin x 5 cos x 4sin x 5 0 4sin x 5 (1 cos x) 0 cos x 1 5 sin x 4 Do ®ã ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ
34. x k3600 0 0 x 33 59'16'' k360 0 0 x 146 0'44'' k360 Bài 102. Cho tam giaùc ABC Coù goùc A,B nhoïn thoûa ñieàu kieän : Sin 2 A SinA.CosB SinBCosA Sin 2 B 0 .Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng Hướng dẫn giải Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 (SinA CosB)(SinB CosA) 0 (1) (2đ) Lại có : Sin 2 A Cos 2 B Sin 2 B Cos 2 A (SinA CosB)(SinB CosA) 0 (2) (2đ)   Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB A B C Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ) 2 2 a) Giải phương trình: sin3x cos3x 2 2cos x 1 0 4 Bài 103. Giải phương trình: x x x 1) Sin sinx - cos . sin2x + 1 = 2 cos2 2 2 4 2 x x x 2) 2 cos 2 2 10 Bài 104. Giải phương trình : 3 1 cot x 3tan2x - 2 2cos 2x = 0 cos 2x 1 cot x Bài 105. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 Hướng dẫn giải 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2
35. x k 4 x k 4 x k2 x k2 k ¢ 6 6 2 5 x k2 x k2 3 6 6 x 3 Bài 106. Giải phương trình: sin x 1 tan x.tan tan x 2 3 2 . 2 cos x Hướng dẫn giải x ĐKXĐ: cos x.cos 0 . Phương trình đã cho tương đương 2 x x cos x.cos sin x.sin sin x 2 2 tan x 2 3 3 3 tan2 x x cos x.cos 2 sin x tan x 2 3 3 3 tan2 x cosx 1 3 tan2 x 2 tan x 3 0 tan x 3 hoặc tan x . 3 tan x 3 x k . 3 1 tan x x k . 3 6 Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là x k ; x k , k ¢ . 3 6 Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm. 2 3 x x cos (a x) 2cos (a x) cos .cos 2 0 2a 2a 3 cos x 1 2cos x 1 Bài 107. Giải phương trình: 1 sin 2x 2cos2 x sinx 3 x 1 3x Bài 108. Giải phương trình: sin sin 10 2 2 10 2 Bài 109. Giải phương trình: cos x 3 3 sin x cos7x Hướng dẫn giải cos x cos7x 3 3 sin x 0 2sin 3xsin 4x 3 3 sin x 0
36. 2sin 4xsin x(3 4sin 2 x) 3 3 sin x 0 sin x 0 (1) sin x2sin 4x(1 2cos 2x) 3 3 0 2sin 4x(1 2cos 2x) 3 3 (2) Gi¶i (1) ta ®­îc x=k víi k  3 3 3 3 Gi¶i (2): Ta cã (2) 2sin4xcos2x sin4x 4sin2xcos2 2x sin4x (3) 2 2 cos 2 2x cos 2 2x cos2 2x cos2 2x (sin2xcos2 2x)2 Áp dông B§T C«si cho 3 sè: sin 2 2x, , ta có : 1 sin2 2x 33 2 2 2 2 4 2 2 3 3 sin2xcos2 2x sin2xcos2 2x . Do ®ã 4sin 2x cos 2 2x sin 4x 1< 3 3 3 3 2 Suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm. KÕt luËn: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k víi k  2 x Bài 110. Giải phương trình: sin x cos x 2sin2 sin x 2 3sin x 4 3 . 2 Hướng dẫn giải PT 1 2sin x cos x 1 cos x 2 3 sin2 x 4sin x 3 sin x 2 4sin x 2sin x cos x cos x 2 3 sin2 x 3 sin x 2 1 2sin x cos x 2sin x 1 3 sin x 2sin x 1 2sin x 1 0 2sin x 1 3 sin x cos x 2 0 3 sin x cos x 2 0 +) 3 sin x cos x 2 0 sin x 1 6 x k2 x k2 , k ¢ . 6 2 3 x k2 1 6 +) 2sin x 1 0 sin x k ¢ . 2 5 x k2 6 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k2 , x k2 , x k2 k ¢ 3 6 6