Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8 - Học sinh giỏi tam giác đồng dạng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8 - Học sinh giỏi tam giác đồng dạng

1. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Phần I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đinh lý Talet trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. MN // BC A AM AN AB AC M N AM AN MB NC B C 2. Khái niệm tam giác đồng dạng. Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: + µA' µA ; Bµ' Bµ; Cµ ' Cµ A' B ' B 'C ' A'C ' AB BC AC 3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác: a) Trường hợp thứ nhất (ccc): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng. c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. d) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
2. PHẦN III CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ , DIỆN TÍCH Loại 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG + Ví dụ minh họa: Bài 36 – 79 – SGK (có hình vẽ sẵn) ABCD là h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm D· BA = D· BC x KL x = ? D C Giải ABD và BDC có : D· AB = D· BC (gt) Bµ 1 = Dµ 1 ( so le trong do AB // CD) ABD P BDC (g.g) x AB = BD hay 12,5 = BD DC x 28,5 x2 = 12,5 . 28,5 x = 12,5 . 28,5 18,9(cm) Bài 35 – 72 – SBT: A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm 10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? M N B C Giải Xét ABC và ANM ta có : AM = 10 = 2 AC 15 3 AM AN AN 18 2 = = = AC AB AB 12 3 Mặt khác, có µA chung Vậy ABC P ANM (c.g.c) AB BC 12 18 8.18 Từ đó ta có : = hay = 12(cm) AN NM 18 MN 12 Bài tập 3: a) Tam giác ABC có Bµ = 2Cµ ; AB = 4cm; BC = 5cm.
3. Tính độ dài AC? b) Tính độ dài các cạnh của ABC có Bµ = 2Cµ biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. A Giải a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC B ACD và ABC có µA chung; Cµ = Dµ =  ACD P ABC (g.g) AC = AD AC2 = AB. AD AB AC D C = 4 . 9 = 36 AC = 6(cm) b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Theo câu (a) ta có. AC2 = AB. AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là: b = c + 1 hoặc b= c + 2 * Nếu b = c + 1 thì từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + 1 = ac c(a-2) = 1 (loại) vì c= 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1 tam giác * Nếu b = c + 2 thì từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + 4 = ac c(a – 4) = 4 Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán. Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của BC cắt BC , BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD. + Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quát với BC = a, BC = c. b) Chứng minh rằng BD < 2ac với AB = c; BC = a. a c c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hình thoi bằng d. Loại 2: TÍNH GÓC Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB 5 lấy điểm C sao cho AC = AH. Tính B· AC . 3
4. A ABH; Hµ = 900 ; AB = 20cm 20 GT BH = 12cm; AC = 5 AH 3 KL B· AC = ? B 12 H C Giải: AB 20 5 AC Ta có BH 12 3 AH AB BH AC AH Xét ABH và CAH có : ·AHB = C· HA = 900 AB BH (chứng minh trên) AC AH ABH P CAH (CH cạnh gv) C· AH = ·ABH Lại có B· AH + ·ABH = 900 nên B· AH + C· AH = 900 Do đó : BAC = 900 Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính BKD? M Hình thoi ABCD; µA = 600 ; B GT BN  DM tại K KL Tính B· KD = ? K C A D Giải: N MB MC Do BC // AN (vì N AD) nên ta có : (1) AB NC MC AD Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : (2) NC DN MB AD Từ (1) và (2) AB DN ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và µA = 600 nên là đều AB = BD = DA MB AD MB BD Từ (cm trên) AB DN BD DN Mặt khác : M· BD = D· BN = 1200 MB BD Xét 2 MBD và BDN có : ; M· BD = D· BN BD DN
5. MBD P BDN (c.g.c) ¶ µ M1 = B1 ¶ µ · · · 0 MBD và KBD có M1 = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 120 Vậy B· KD = 1200 Bài tập đề nghị: ABC có AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC b) Biết A = 1050; D = 450. Tính các góc còn lại của mỗi Loại 3: TÍNH TỶ SỐ ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ CHU VI, TỶ SỐ DIỆN TÍCH Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho B· DC ·ABC . Biết AD = 7cm; DC = 9cm. Tính tỷ số BD BA B ABC; D AC : B· DC ·ABC ; GT AD = 7cm; DC = 9cm KL Tính BD . BA C B A Giải: CAB và CDB có C chung ; ·ABC = B· DC (gt) CB CA CAB P CDB (g.g) do đó ta có : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) Do đó CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) DB 3 Mặt khác lại có : BA 4 + Bài 2: (Bài 29 – 74SGK) A A’ ABC và A’B’C’: AB =6 ; 6 9 GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = 8 6 4 KL a) ABC P A’B’C’ 6 B 12 C B’ 12 C’ b) Tính tỉ số chu vi của A’B’C’ và ABC Giải: a) A’B’C’ P ABC (c.c.c) A'B' A'C' B'C' 2 Vì AB AC BC 3 A' B' A'C' B'C' A'B' A'C' B'C' b) A’B’C’ P A+B+C+ (câu a) = AB AC BC AB AC BC 4 6 8 18 = 6 9 12 27 Chuvi A'B'C' 18 Vậy Chuvi ABC 27
6. + Bài 3: Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của Ab, BC, S CE cắt DF ở M. Tính tỷ số CMB ? SABCD D C Hình vuông ABCD; AE = EB ; M GT BF = CF; CE  DF tại M S F KL Tính CMB ? SABCD A E B Giải: Xét DCF và CBE có DC = BC (gt); Cµ = Bµ = 900; BE = CF µ µ DCF = CBE (c.g.c) D 1 = C 2 µ µ µ µ Mà C 1 + C 2 = 1v C 1 + D 1 = 1v CMD vuông ở M µ µ µ ¶ DC CM CMD P FCD (vì D 1 = C 2 ; C = M ) FD FC 2 2 SCMD CD CD = 2 SCMD = 2 . SFCD SFCD FD FD 1 1 1 1 2 Mà SFCD = CF.CD = . BC.CD = CD 2 2 2 4 2 4 CD 1 2 1 CD Vậy SCMD = . CD = . (*) FD2 4 4 FD2 Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( 1 BC)2 = CD2 + 1 CD2 = 5 CD2 2 4 4 Thay DF2 = 5 CD2 ta có : 4 1 2 1 SCMD = CD = SABCD 5 5 S CMB = 1 SABCD 5 Bài tập đề nghị: Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. a) BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng củ P qua M. Chứng minh rằng PA = P’D. Tính tỷ số PA và AP PC AC b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh rằng PQ // BC. Tính tỷ số PQ và PM BC MB c) Chứng minh rằng diện tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau. Tính tỷ số diện tích MAP và ABC. Loại 4: TÍNH CHU VI CÁC HÌNH + Bài 1(bài 33 – 72 – SBT) ABC; O nằm trong ABC;
7. GT P, Q, R là trung điểm của OA, OB, OC KL a) PQR P ABC b) Tính chu vi PQR. Biết chu vi ABC 543cm Giải: a) PQ, QR và RP lần lượt là đường trung bình của OAB , ACB và OCA. Do đó ta có : PQ = 1 AB; QR = 1 BC ; RP = 1 CA 2 2 2 PQ QR RP 1 Từ đó ta có : A AB BC CA 2 1 PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = P 2 b) Gọi P là chu vi của PQR ta có : O P’ là chu vi của PQR ta có : Q R P' 1 1 1 K P’ = P = .543 = 271,5(cm) B C P 2 2 2 Vậy chu vi của PQR = 271,5(cm). + Bài 2: Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho DE // BC. Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi ABE = 2 chu vi ABC. 5 Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tổng 2 chu vi = 63cm A ABC; DE//BC; C.vi ADE= 2 C.vi ABC 5 GT C.vi ADE + C.vi ADE = 63cm D E KL Tính C.vi ABC và C.vi ADE B C Giải: Do DE // BC nên ADE P ABC theo tỷ số đồng dạng. K = AD = 2 . Ta có . AB 5 Chuvi ADE' 2 Chuvi ABC Chuvi ADE Chuvi ABC Chuvi ADE 63 = = 9 Chuvi ABC 5 5 2 % 2 7 Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) Bài tập đề nghị: + Bài 1: A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = 2 . 5 Tính chu vi của mỗi tam giác, biết hiệu chu vi của 2 tamgiasc đó là 51dm.
8. + Bài 2: Tính chu vi ABC vuông ở A biết rằng đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm. Loại 5: TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH + Bài 1(Bài 10 – 63 – SGK): A ABC; đường cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự tại B’, C’, H’ AH ' B'C' B’ H’ C’ KL a) AH BC 1 2 b) Biết AH’ = AH; S ABC = 67,5cm 3 B H C Tính S A’B’C’ Giải: a) Vì d // BC AH ' = B'H ' = H 'C' = B'H ' H 'C' = B'C' (đpcm) AH BH HC BH HC BC AH ' B'C' AH ' AH '.B'C' 2S S b) Từ ( )2 = = AB'C' = AB'C' AH BC AH AH.BC 2S ABC S ABC Mà AH’ = 1 AH AH ' = 1 ( AH ' )2 = ( 1 )2 = 1 3 AH 3 AH 3 9 S AB'C' 1 2 Vậy = và S ABC = 67,5cm S ABC 9 S 1 S 1 Nên ta có : AB'C' = AB'C' = S ABC 9 67,5 9 67,5 2 S AB’C’ = = 7,5(cm ) 9 + Bài 2(bài 50 – 75 – SBT) ABC(µA = 900); AH  BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính S AMH Giải: A Xét 2 vuông HBA và vuông HAC có : B· AH + H· AC = 1v (1) H· CA + H· AC = 1v (2) Từ (1) và (2) B· AH = H· CA Vậy HBA P HAC (g.g) B 4 H M C HB HA HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 9 HA HC HA = 6cm Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 1 6.13 2 S ABM = S ABC = . = 19,5(cm ) 2 2 2 1 2 S AHM = S BAH = 19,5 - .4.6 = 7,5(cm ) 2 2 Vậy S AMH = 7,5(cm )
9. + Bài 3: Cho ABC và hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC. 2 2 Tính diện tích hình bình hành biết rằng : SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm ; ABC hình bình hành AEDF 2 2 GT SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm KL Tính SAEDF Giải: µ µ Xét EBD và FDC có B = D 1 (đồng vị do DF // AB) (1) E1 = D2 ( so le trong do AB // DF) µ µ E 1 = F 1 (2) D2 = E1 ( so le trong do DE // AC) Từ (1) và (2) EBD P FDC (g.g) 1 2 Mà SEBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( ) 2 EB ED 1 1 Do đó : FD = 2EB và ED = FC A FD FC 2 2 AE = DF = 2BE ( vì AE = DF) F 1 AF = ED = EC ( vì AF = ED) E 1 2 2 Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm ) 1 2 1 1 2 SADF = SFDC = . 12 = 6(cm ) B D C 2 2 2 SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm ) Bài tập đề nghị: + Bài 1:Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính diện tích tứ giác EIHD +Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích ABC là 11cm2. Qua B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tính diện tích MND. + Bài 3: Cho ABC có các B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M AB; N AC; PQ BC. a) Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông. b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất. DẠNG II: CHỨNG MINH HỆ THỨC, ĐẲNG THỨC NHỜ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. Các ví dụ và định hướng giải: 1. Ví dụ 1: Bài 29(SGK – T79) – (H8 – Tập 2) Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chéo AC và BD a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC. b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. CMR: OA = AB OK CD * Tìm hiểu bài toán : Cho gì?
10. Chứng minh gì? * Xác định dạng toán: ? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì? TL: OA = OB OC OD ? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào. TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA. OD = OB.OC Sơ đồ : µ µ + A 1 = C 1 (SLT l AB // CD) H + ·AOB = C· OD ( Đối đỉnh) A B  OAB P OCD (g.g) O  OA OB = D C OC OD K  OA.OD = OC.OC b) OH = AB OK CD Tỷ số OH bằng tỷ số nào? OK TL : OH = OA OK OC ? Vậy để chứng minh OH = AB ta cần chứng minh điều gì. OK CD TL: AB = OA CD OC Sơ đồ : + Hµ = Kµ = 900 µ µ + A 1 = C 1.(SLT; AB // CD) Câu a   OAH P OCK(gg) OAB P OCD   OH = OA AB = OA OK OC CD OC OH = AB OK CD 2. Ví dụ 2:
11. Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc với AB tại I. CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD O C P6 A I B Định hướng: - Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB) - Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P) Sơ đồ : + Dµ = I = 900 + Cµ = I = 900 + P· BI chung + P· AI chung   ADB P PIB ACB P AIP (gg)   AB = DB AB = AC PB IB AP AI   AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP  AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP  AB2 = BP . PD + AC . AP 3. Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đưa ra bài toán sau: Cho nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. A CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE D Định hướng: Trên cơ sở bài tập 2 E Học sinh đưa ra hướng giải quyết bài tập này. H Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K BC). Sử dụng P chứng minh tương tự ví dụ 2 B C 4. Ví dụ 4: Cho ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng. a) AM . BI = AI. IM A b) BN . IA = BI . NI M I
12. 2 AM AI c) = BN BI * Định hướng: a) ? Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI. B N C AM IM IM ta cần chứng minh điều gì. AI BI b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì. ( AMI P AIB) Sơ đồ:  µ  µ µA1 = µA 2 (gt) I 1 = B1 * CM: I 1 = B1 Cµ v MIC: I·MC = 900 - 2 AMI P AIB (gg) ABC: µA + Bµ +Cµ = 1800(t/c tổng ) µ µ µ  A + B + C = 900 2 2 2 AM IM µA Bµ = Do đó: I·MC = + (1) AI BI 2 2 · µ µ  Mặt khác: IMC = A1 + I1 (t/c góc ngoài ) µA AM. BI = AI . IM hay I·MC = + Iµ (2) 2 1 Bµ Từ 91) và (2) = Iµ hay Bµ = Iµ 2 1 1 1 µ ¶ µ µ AMI P AIB ( A1 = A2 ; I1 = B1 ) AM = IM AM . BI = AI. IM AI BI b) Tương tự ý a. Chứng minh BNI P BIA (gg) BN = NI BN . IA = BI. IN BI IA c) (Câu a) (Câu b)   2 AI AI 2 - HS nhận xét = 2 AMI P AIB BNI P BIA IA BI   AI 2 Tính AI2 ; BI2 AM = IM BI = BN BI 2 AI BI AB BI   (Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 = AM . AB BI2 = BN . AB
13. 2 AI = AM BI 2 BN  2 AI AM = BI BN II. Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J. CMR : a) 1 = 1 + 1 OI AB CD b) 2 = 1 + 1 IJ AB CD + Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho ·ACI = B· DA. CMR: a) AD . DI = BD . DC b) AD2 = AB . AC - BD . DC DẠNG 3: CHỨNG MINH QUAN HỆ SONG SONG I. Mục tiêu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, các trường hợp đồng dạng của tam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải quyết các bài toán về chứng minh quan hệ song song. - Thông bao các bài tập khắc sâu các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lý Ta – lét đảo. - Rèn kỹ năng tư duy, suy luận lô gic, sáng tạo khi giải bài tập. II. Kiến thức áp dụng. - Định nghĩa tam giác đồng dạng. - Các trường hợp đồng dạng của tam giác. - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. * Ví dụ minh họa: + Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA  DB = E MB  AC = F KL EF // AB
14. D M C Định hướng giải: - Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt)   AB // DM AB // MC   MED P AEB GT MFC P BFA    ME = MD ; MD = MC MF = MC EA AB FB AB  ME = MF EA FB  EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường cao của AEF. Chứng minh MN // BC Sơ đồ phân tích AMF P AFC (g.g); AFN P ABE A   M N AM = AE AF = AN F E AF AC AB AE  AM . AF = AE . AE B C AF AB AC AC  AM = AN AB AC  MN // BC (định lý Ta – lét đảo) + Ví dụ 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng IK // BC. Gọi M là trung điểm của AF
15. Gọi N là giao điểm của DM và EF A Xét ADM và ABC có : D M N F AD = AM = 1 Góc A chung AB AC 3 I K ADM P ABC (c.gc) B E C ·ADM = ·ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN Ta có : EK = EK . EF = 2 . 1 = 1 (1) EN EF EN 3 2 3 mà EI = 1 (gt) (2) ED 3 Từ 91) và (2) EK = EI Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo) EN ED Vậy IK // BC. * Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD. Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng mi9nh rằng EG // DC DẠNG 4 : CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. Các ví dụ và định hướng giải: + Ví dụ: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm, trên AC F lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F. B a) CMR : ABC P AED b) FBD P FEC D 3,6 c) Tính ED ; FB? Bài toán cho gì? C A Dạng toán gì? E 2,4 Để chứng minh 2 đồng dạng có những phương pháp nào? Bài này sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT  µA chung AB = AC = 2 AE AD  ABC P AED (c.g.c) ABC P AED (câu a) b) 
16. µ ¶ ¶ ¶ C = D1 ; D1 = D2  µ ¶ C = D2 Fµ chung  FBD P FEC (g.g) c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB. + Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho D· ME = Bµ . a) CMR : BDM P CME A b) MDE P DBM c) BD . CE không đổi ? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều gì. E D 1 ? Từ gt nghĩ đến 2 có thể P theo trường hợp nào (g.g) 1 ? Gt đã cho yếu tố nào về góc. ( Bµ = Cµ ) B C ¶ ¶ M ? Cần chứng minh thêm yếu tố nào ( D1 = M 2 ) a) Hướng dẫn sơ đồ gt góc ngoài DBM   µ ¶ · ¶ ¶ · ¶ µ B = M1 ; DMC = M1 + M 2 ; DMC = D1 + B1 ABC cân   µ µ ¶ ¶ B = C ; D1 = M 2  BDM P CME (gg) Câu a gt   b) DM = BD ; CM = BM ME BM  DM = BD ME BM  DM ME Bµ = M¶ (gt) ; 1 1 BD BM  DME P DBM (c.g.c) c) Từ câu a : BDM P CME (gg) BD BM BD . CE = Cm . BM CM CE Mà CM = BM = BC = a 2
17. a2 BD . CE = (không đổi) 4 Lưu ý: Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi Bài đã cho BC = 2a không đổi Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD. CE theo a + Ví dụ 3: Cho ABC có các trung điểm A của BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao E cho BM = MN = NC. Gọi P là F giao điểm của AM và BE; Q Q là giao điểm của CF và AN. P CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng. B C M D N b) ABC P DQP * Hướng dẫn a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp. Bài này chọn phương pháp nào? - Lưu ý cho học sinh bài cho các trung điểm nghĩ tới đường trung bình . Từ đó nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC PD là đường trung bình BEC PD // AC F, P, D thẳng hàng FP là đường trng bình ABE FP // AC Tương tự cho 3 điểm D, Q, E b) PD = 1 . EC = 1 . AC = AC 2 2 2 4 AC 4AC = 4 PD 4 B· AC D· EC (Đơn vị EF // AB) AB 4QD = 4 QD QD D· EC E· DP (so le trong PD // AC)   AC AB ; B· AC E· DP DP QD  ABC P DQP (c.g.c) Dạng chứng minh tam giác đồng dạng. II. Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho ABC, AD là phân giác µA ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy điểm I sao cho ·ACI B· DA . Chứng minh rằng. a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB. AC - BD . DC + Bài 2: Cho ABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của . Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh : a) OED P HCB b) GOD P GBH c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG
18. + Bài 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt ở D, E. a) CMR : ABC P MDC b) Tính các cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC + Bài 4: Cho ABC; O là trung điểm cạnh BC. Góc x¶oy = 600; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N. a) Chứng minh: OBM P NCO b) Chứng minh : OBM P NOM c) Chứng minh : MO và NO là phân giác của B· MN và C· NM d) Chứng minh : BM. CN = OB2 DẠNG 5: CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, GÓC BẰNG NHAU Ví dụ 1: Bài 20 T 68 – SGK Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng : OE = Oì A B E F D C Định hướng Sơ đồ giải H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) OE = OF TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn  thẳng tỷ lệ OE = OF H: EO và đoạn nào trên hình vẽ sẽ thường DC DC lập được tỷ số?  TL: EO . OE = AO ; OF = BO ; AO = BO DC DC AC DC BD AC BD H: Vậy OF trên đoạn nào? (gợi ý)    TL: OF AEC BOF AOB DC P P P ADC BDC COD   EF // DC AB // CD  gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đưa về chứng minh điều gì?
19. TL : EO = OF (1) DC DC H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? ( AEO; ADC, các tam giác này đã đồng dạng chưa? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC. H: lập tỷ số bằng EO = OF DC DC TL: EO = AO ; OF = BO DC AC DC BD H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: AO = BO AC BD H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB; COD H: Hãy chứng minh điều đó. Ví dụ 2: Bào 10 – T67 – SGK: Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. CMR: MN = PQ Định hướng giải: Đây là bài tập mở rộng hơn so với ví dụ 1. Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh được: MN DM E = AB DA PQ = CQ AB CB A B DM CQ O = (kéo dài AD cắt BC tại E DA CB M N P Q rồi chứng minh MN = CQ MN = PQ DA CB D C Ví dụ 3: Bài 32 – T77 – SGK Trên một cạnh của góc xoy (x¶oy 1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm. a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng. b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC có các góc bằng nhau từng đôi một. x B A 5 O I 8 D 10 C y
20. OC = OB OBC P ODA OA OD Góc O chung c) IAB và ICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau. Do đó để chứng minh chúng có các góc bằng nhau từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng. Vì OBC P ODA nên O· BC = O· DA (1) Mặt khác ta có ·AIB C· ID (đối đỉnh) BAI P DCI (g.g) B· AI D· CI Ví dụ 4: Bài 36 – T72 – SGK Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm Chứng minh : Ta chỉ xét chứng minh B· AD D· BC Xét BAD và DBC có AB // CD do đó : ·ABD B· DC (so le trong ) AB 4 1 BD 8 2 A B BD 8 1 DC 16 2 AB BD 1 ( cùng bằng ) BD DC 2 BAD P DBC (c.g.c) D C B· AD D· BC Ví dụ 4: Bài 60 – T77 – SBT Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau. Định hướng giải: B Từ giả thiết cho song song ta suy ra các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng Ta có : FM FQ L = (1) K FE FP O M N E FQ = FP (cùng AF ) LO CL AL FQ LO 1 LO A1 = (2) ( ta có trung tuyến ) P FP CL 3 CL 3 C Từ (1) và (2) suy ra : FM = 1 FM = 1 FE FE 3 3 Tương tự ta cũng có EN = 1 EF và do đó suy ra MN = 1 EF 3 3 Vậy FM = MN = NE
21. Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán. Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phương pháp thường dùng ở đây là : * Đưa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu. * Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó. * Đưa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng. * Chứng minh 2 tỷ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau suy ra 2 đoạn thẳng ở mẫu bằng nhau. Dạng 6 : TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ I. Mục tiêu chung: - Học sinh biết vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để xác định được các chiều cao, các khoảng cách mà không cần đo trực tiếp. - Rèn kỹ năng nhận biết hình (đọc hình) kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tư duy và óc tưởng tượng. III. Các kiến thức áp dụng: - Các trường hợp đồng dạng của tam giác. - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng. * Ví dụ minh họa: M + Ví dụ 1: Để đo khoảng cách giữa 2 điểm A và M, trong đó M không tới được, người ta tiến hành đo và tính khoảng cách (như hình vẽ) AB  BM; BH  AM. Biết Ah = 15m; AB = 35m. B H Giải : Xét AMB và ABH có ; ·ABM = ·AHB = 900 (gt) ; µA chung A AMB P ABH (gg) AM AB AB2 352 = AM = = 81,7(m) AB AH 5 5 Vậy khoảng cách giữa 2 điểm A và M gần bằng 81,7 mét + Ví dụ 2: A Một ngọn đèn đặt trên cao ở vị trí A, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H. Người ta đặt một chiếc cọc dài 1,6m, thẳng đứng ở 2 vị trí B và C thẳng hàng với H. B’ C’ Khi đó bóng cọc dài 0,4m và 0,6m I Biết BC = 1,4m. Hãy tính độ cao AH. Giải D b B H C c E Giải d
22. Gọi BD, CE là bóng của cọc và B’ ; C’ là tương ứng của đỉnh cao. Đặt BB’ = CC’ = a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; Ah = x. Gọi I là giao điểm của AH và B’C’. AI B 'C ' x a d AH DE a b d c (x – a) (b + d + c) = x.d x = ab ad ac = a(1+ d ) b c b c Thay số ta được AH = 1,6 (1 + 1,4 ) = 3,84(m) 0,4 0,6 Vậy độ cao AH bằng 3,84 mét A Bài tập đề nghị: B C Một giếng nước có đường kính DE = 0,8m (như hình vẽ). Để xác định độ sâu BD của giếng, người ta đặt một chiếc gậy ở vị trí AC, A chạm miệng giếng, AC nhìn thẳng tới vị trí E ở góc của đáy giếng. Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m. Tính độ sâu BD của giếng. D E