Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit

Nội dung text: Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit

1. HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. LÝ THUYẾT: Hàm lũy thừa: 1.1. Định nghĩa: Hàm số y x với ¡ được gọi là hàm số lũy thừa. 1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y x là: D ¡ nếu là số nguyên dương * D ¡ / 0với nguyên âm hoặc bằng 0. vớiD 0 không; nguyên. 1.3. Đạo hàm: Hàm số y x , ¡ có đạo hàm với mọi x 0 và x ' .a 1 . 1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng 0; y x , 0 y x , 0 a. Tập khảo sát: 0; a. Tập khảo sát: 0; b. Sự biến thiên: b. Sự biến thiên: + t 5x + y ' .x 1 0, x 0. + Giới hạn đặc biệt: + Giới hạn đặc biệt: lim x 0, lim x . lim x , lim x 0. x 0 x x 0 x + Tiệm cận: không có + Tiệm cận: - Trục Ox là tiệm cận ngang - Trục Oy là tiệm cận đứng. c. Bảng biến thiên: c. Bảng biến thiên: d. Đồ thị: Đồ thị của hàm số lũy thừa y a luôn đi qua điểm I 1;1 . Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta hải xét hàm số đó trên toàn bộ tậ xác định của nó.Chẳng hạn: y x3 , y x 2 , y x . 2.Hàm số mũ: y a x , a 0,a 1 2.1. Tập xác định: D ¡ 2.2. Tập giá trị: T 0; , nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t a f x thì t 0 . 2.3. Tính đơn điệu: + Khi a 1 thì hàm số y a x đồng biến, khi đó ta luôn có:a f x a g x f x g x . + Khi 0<a<1thì hàm số y a x nghịch biến, khi đó ta luôn có: a f x a g x f x g x. 2.4. Đạo hàm: a x ' a x .ln a au ' u '.au .ln a ex ' ex eu ' eu .u ' u ' n u ' n.n un 1
2. 2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang. 3. Hàm số logarit: y loga x, a 0,a 1 3.1. Tập xác định: D 0; . 3.2. Tập giá trị: T ¡ , nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t loga x thì tkhông có điều kiện. 3.3. Tính đơn điệu: + Khi a 1 thì hàm số loga x đồng biến, khi đó ta luôn có:loga f x loga g x f x g x . + Khi 0<a<1thì hàm số y loga x nghịch biến, khi đó ta luôn có: loga f x loga g x f x g x. 3.4. Đạo hàm: 1 u ' loga x ' loga u ' x.ln a u.lna " u ' n 1 ln u ' n. .ln u 1 u ' u ln x ' , x 0 ln u ' x u 3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng
3. Bài Tập Áp dụng: 4 2 Bài 1: Tìm tập xác địnhvà tính đạo hàm của các hàm số : 15/ y log2017 x 2 log2018 9 x x 2 x 1 ex e x 1/ . y = 2ln³ (x² – x) 2/ . y = log 3/ . y = ln ( ) 4 . y = 3 x 3 x 1 ex e x 5 /. y = ln (x² + 1) 6/. y = x ln x 7/ . y = (1 + ln x) ln x 8 . y = ex ln x x 2x 9 . y = sin x ln x 10/ log2 (x² – x + 1) 11/. y = (x² – 2x)e . 12. y = (sin x – cos x) e 1 13/y 1 log x 3 log 1 x 14/ y 2x2 5x 2 ln 2 2 x 1 Bài 2: Tìm cực trị các hàm số sau : ln x 1/ y x2 2x ex 2/y x2 ln x 3/ f x 3 ln x ln x 4/ y 5/ f(x) = x2 ln x x x 2 x2 2 e 3 2 2 6/ y (x 2x)ln x 7/ y e (x 1) 8/ y 9/y ln(x 4x) x 10/ y log2 x 2x 3 x 1 Bài 3:Tìm giá trị LN và giá trị NN của các hàm số sau : 1/ số y x2ex trên 3;2 2/ f x x2 ln 1 2x trên 2;0 3/ f x x2 3 ex trên đoạn 0;2       ln x 4/ f (x) x.ln2 x 3x trên 1;e2 5/ y trên 1;e2 x Bài 4: Tổng hợp Câu 1: Hàm số f(x) = xlnx đạt cực trị tại điểm: 1 1 A. x = e B. x = e2 C. x = D. x = e e Câu 2: Hàm số y = ax (a 0) có đạo hàm tại x = 3 là : A. axln3 B. 3a2 C. a3 D. a3lna Câu 3: Một cửa hàng bánbưởi da xanh với giá bán mỗi quả là 50.000đồng. Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để của hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng. A. 44.000đ B. 43.000đ C. 41.000đ D. 42.000đ Câu 4: Cho hàm số y = lnx – x kết luận nào sau đây đúng : A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 C. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. D. Hàm số không có cực trị Câu 5: Cho hàm số f x 3x 3x 2 có đồ thị C như hình vẽ sau: Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? (I) Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số C tại điểm có hoành độ là x log3 2 ( II) Bất phương trình f x 1 vô nghiệm. ( III) Bất phương trình f x 0 có tập nghiệm là: log3 2; . (IV) Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số C tại 2 điểm phân biệt. A. 2 . B. .4 C. 1 D. .3 x x Câu 6: Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y a , y b , y logc x .
4. y y b x y a x 3 2 y lo g c x 1 1 O 1 2 3 x . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. c a b. B. a c b. C. b c a. D. a b c. e3x m-1 e x +1 4 Câu 7: Cho hàm số y . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . 2017 A. 3e3 1 m 3e4 1 B. m 3e4 1. C. 3e2 1 m 3e3 1. D. .m 3e2 1 Câu 8: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y = ax với 0 1 đồng biến trên khoảng (- ; + ) C. Đồ thị hàm số y = ax (0 1 ta có 0 1 ta có logax > 0 khi x > 1 C. Với 0 logax2 Câu 10: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ? x x x x 3 4 A. y = 0, 2 B. y = 2 C. y = D. y = 5 y' Câu 11: Cho hàm số y = logx khi đó có kết quả là : y x x 1 1 1 1 A. B. C. D. x logx xlnx x Câu 12: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Với 0 1 ta có ax > 1 khi x > 0 x1 x2 x1 x2 C. Với 0 a D. Với a > 1 ta có x1 1 nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) B. Hàm số y = logax (0 0) ' 1 ' 1 C. (logx) = (x > 0) D. (lnx) = - (x > 0) xlnx x Câu 16: Cho điểm H 4;0 , đường thẳng x 4 cắt hai đồ thị hàm số y loga x và y logb x lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB 2BH . Khẳng định nào sau đây là đúng?
5. A. a 3b . B. b 3a . C. b a3 . D. a b3 . Câu 17: Cho hàm số y ex e x khi đó y.y’ có kết quả bằng: A. ex e x B. ex e x ; C. e2x e 2x ; D. e2x e 2x ; Câu 18: Hàm số y = ln(x - x2 ) có tập xác định là: A. (0;1) B. R C. (0; + ) D. ;0  1; Câu 19: Hàm số f(x) = xex đạt cực trị tại điểm: A. x = e B. x = 0 C. x = 1 D. x = -1 Câu 20: Hàm số y = logax (0 0) có đạo hàm tại x = e là : 1 1 1 1 A. B. C. D. e elna xlnx x 2 2 Câu 21:Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2cos x 21 sin x m có nghiệm. A. m 5 B. C. m 4 D. 4 m 5 m 0 Câu 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y ex e x 2ln x 1 x2 , với x 0 A. min y 0 B. C. D. min y 10 min y 2 min y 10 x 0 x 0 x 0 x 0 Câu 23: Đồ thị (hình bên) là đồ thị của hàm số nào? y 1 -1 1 x O 2 A. .y log2 x 1B. . C. . y log2 xD. 1 . y log3 x y log3 x 1 3 Câu 24: Cho hàm số y f x ln 2.ex m có f ln 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. .m 1;3 B. . mC. . 5; 2 D. . m 1; m ;3 Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y log x2 2mx 4 có tập xác định là ¡ . m 2 A. . B. m 2. C. m 2. D. 2 m 2. m 2 Câu 26: Cho a , b , c là các số thực dương khác 1 . Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số x x y a , y b , y logc x .
6. y y a x y bx 1 O 1 x y logc x Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b c. B. c b a. C. a c b. D. c a b. Câu 27: Cho các hàm số lũy thừa y x , y x , y x  có đồ thị như hình vẽ. Chọn đáp án đúng: y A.   β y=xα y=x B.   6 C.   4 D.   2 y=xγ -2 -1 O 1 2 x -1 Câu 28: Cho đồ thị của các hàm số y a x , y bx , y cx (a,b,c dương và khác 1). Chọn đáp án đúng: A. a b c y y=bx B. b c a y=ax y=cx C. b a c 6 D. c b a 4 2 -2 -1 O 1 2 x -1 Câu 29: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 2 x trên  2;2 là 1 1 A. max y 4 , min y B. max y 4 , min y [ 2;2] [ 2;2] 4 [ 2;2] [ 2;2] 4 1 C. max y 1, min y D. max y 4 , min y 1 [ 2;2] [ 2;2] 4 [ 2;2] [ 2;2] 2 Câu 30: Cho hàm số y ln 1 x (C). Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 1bằng: 1 A. ln 2 B. 1 C. 1 D. 2 x 2 Câu 31: Giả sử đồ thị C của hàm số y cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của C tại A cắt trục hoành ln 2 tại điểm B . Tính diện tích tam giác OAB 1 1 2 A. S B. S C. S D. S ln2 2 OAB ln 2 OAB ln2 2 OAB ln2 2 OAB HẾT