Chuyên đề Hệ phương trình đại số Lớp 9

Nội dung text: Chuyên đề Hệ phương trình đại số Lớp 9

1. CHUYấN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐẠI SỐ A/ Kiến thức cơ bản 1. Phương phỏp thế Bước 1: Từ một phương trỡnh của hệ đó cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trỡnh thứ hai (PT (2)) để được một phương trỡnh mới (chỉ cũn một ẩn). Bước 2: Dựng phương trỡnh mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia). 2. Phương phỏp cộng đại số Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trỡnh của hệ phương trỡnh đó cho để được một phương trỡnh mới. Bước 2: Dựng phương trỡnh mới ấy thay thế cho một trong hai phương trỡnh của hệ (giữ nguyờn phương trỡnh kia). Chỳ ý: Trong phương phỏp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, cú thể nhõn hai vế của mỗi phương trỡnh với một số thớch hợp (nếu cần) sao cho cỏc hệ số của một ẩn nào đú trong hai phương trỡnh của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. Đụi khi ta cú thể dựng phương phỏp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trỡnh đó cho về hệ phương trỡnh với hai ẩn mới, rồi sau đú sử dụng một trong hai phương phỏp giải ở trờn. B/ Cỏc dạng bài tập ax by c Dạng 1: Hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn đó ở dạng cơ bản a ' x b' y c ' Phương phỏp giải: Áp dụng phương phỏp cộng và thế để đưa về pt bậc nhất một ẩn để giải Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau: ỡ 2x + 3y = - 2 ùỡ 4x + 3y = 6 ù ù ớù ớ Dạng 1 a) ù 3x - 2y = - 3 b) ù 2x + y = 0 ợù ợù ỡ x y ỡ a b 1 ù + - 2 = 0 ù + = - ù 3 4 ù Dạng 2 a) ớ b) ớ 5 3 3 ù 5x - y = 11 ù 4a - 5b - 10 = 0 ợù ợù ùỡ 6(x + y) = 8 + 2x - 3y ùỡ (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) ù ù ớù ớ Dạng 3: a) ù 5(y - x) = 5 + 3x + 2y b) ù (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) ợù ợù ùỡ x 2 - y 3 = 1 ùỡ ( 2 - 1)x - y = 2 ù ù Dạng 4: a) ớ b) ớ ù x + y 3 = 2 ù x + ( 2 + 1)y = 1 ợù ợù Dạng 2: Hệ phương trỡnh cú một phương trỡnh bậc nhất và một phương trỡnh bậc hai. a/ Phương phỏp giải: Rỳt một ẩn từ phương trỡnh bậc nhất thế vào phương trỡnh bậc hai ta đưa được về dạng hệ phương trỡnh gồm một phương trỡnh bậc nhất và một phương trỡnh bậc hai một ẩn => giải phương trỡnh bậc hai một ẩn. b/ Vớ dụ: giải hệ phương trỡnh sau: x 2y 4 x 4 2y x 4 2y x 4 2y x 2 2 2 2 2 2 2 x 4y 8 4 2y 4y 8 0 8y 16y 8 0 8 y 1 0 y 1 c/ Bài tập ỏp dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: ùỡ x - y + 1 = 0 ùỡ x - 5y = - 1 ù ù ớ ớù a) ù 2x2 - xy + 3y2 - 7x - 12y + 1 = 0 b) ù x2 + y2 - 3xy + x + y = 10 ợù ợù ỡ 2 2 ỡ 2 ù x + y - 2x - 2y - 23 = 0 ù 3x + 6xy - x + 3y = 0 ớù ớù c) ù x - 3y - 3 = 0 d) ù 4x - 9y = 6 ợù ợù
2. Dạng 3: Hệ phương trỡnh cú một phương trỡnh đưa được về dạng phương trỡnh tớch. A(x, y).B(x, y) 0 A(x, y) 0 B(x, y) 0 a/ Cỏch giải: hoac rồi giải hai trường hợp. C(x, y) 0 C(x, y) 0 C(x, y) 0 Chỳ ý: Thụng thường dạng này gồm một phương trỡnh bậc nhất hai ẩn và một phương trỡnh bậc hai nờn ta cú thể giải theo cỏch làm ở dạng 1: b/ Vớ dụ: Giải hệ phương trỡnh sau: ùỡ x + y + xy + 1 = 0 ùỡ x + 1 y + 1 = 0 ùỡ x + 1 = 0 ỡ ù ù ( )( ) ù ù y + 1 = 0 ớ Û ớ Û ớ hoặc ớù ù 3x - 2y = 22 ù 3x - 2y = 22 ù 3x - 2y = 22 ù 3x - 2y = 22 ợù ợù ợù ợù ỡ ùỡ ùỡ ỡ ù y = - 1 ù x + 1 = 0 ù x = - 1 ù y + 1 = 0 ù 1/ ớ Û ớ 2/ ớ Û ớ 20 ù 3x - 2y = 22 ù y = - 12,5 ù 3x - 2y = 22 ù x = ợù ợù ợù ợù 3 c/ Bài tập ỏp dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: ùỡ x + y + xy + 1 = 0 ùỡ (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0 ù ù a) ớ 2 2 b) ớ ù x + y - x - y = 22 ù xy + y2 + 3y + 1 = 0 ợù ợù ùỡ (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = 0 ùỡ (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = 0 ù ù c) ớ d) ớ ù x - 3y = 1 ù 3x2 + 32y2 + 5 = 0 ợù ợù ỡ 2 ỡ 2 2 ù (x + y) - 3(x + y) + 2 = 0 ù (x - 1) - (y + 1) = 0 ớù ớù e) ù 3x - 5y - 5 = 0 f) ù 2x + 3y - 5 = 0 ợù ợù Dạng 4: Hệ giải bằng phương phỏp đặt ẩn phụ: Chỳ ý: Cần sử dụng cỏc phộp biến đổi đồng nhất để đưa cỏc hệ phương trỡnh đó cho về dạng hệ phương trỡnh đặt được ẩn phụ. x 2 2 6 x 1 y 2 a/ Vớ dụ: Giải hệ phương trỡnh sau: ĐKXĐ: x - 1, y 2 5 1 3 x 1 y 2 x 2 2 1 2 1 2 6 1 6 5 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 2 5 1 5 1 5 1 3 3 3 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 2 1 1 Đặt u = , v = Hệ phương trỡnh đó cho trở thành: x 1 y 2 u 2v 5 u 1 5u v 3 v 2 1 1 x 1 1 x 0 x 1 Suy ra 1 5 (Thoả món ĐKXĐ) 1 y 2 y 2 2 2 y 2 5 Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm là: (x;y) = (0; ) 2 b/ Bài tập ỏp dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
3. 1 1 x 2 2 1 6 1 x y 2 x 1 y 2 2 x y 3 1/ 2/ 3/ x 4 3 5 1 5 3 3x x y x 2 x y 2 x 1 y 2 2 5 2 x y 1 x 2y x x y 2 3 x 2 y 2 4/ 5/ x 2y x y 1 6/ 3 1 2 x y 1 1,7 3x y 4 x x y 2 1 1 x 1 y 1 2 x 6 3 y 1 5 x y 3 1 7/ 8/ 9/ 1 1 5 x 6 4 y 1 1 y x 3 2 x 1 y 1 3 5 3 2 17 2 2 2x y 2x y x y 3 x y 4 10/ 11) x 2 y 1 5 12) 1 1 2 2x 3y 12 2x 2 y 2 26 2x y 2x y 15 x 2 y 1 5 Dạng 5: Hệ đối xứng loại I ( Là hệ phương trỡnh vai trũ của x và y là như nhau) f (x; y) 0 trong đú f(x;y) = f(y;x), g(x;y) = g(y;x). g(x; y) 0 a/ Cỏch giải: Tớnh tổng (hoặc tớch) hai ẩn (đưa về phương trỡnh ẩn phụ là tổng hoặc tớch hai ẩn), tỡm nốt tớch (hoặc) tổng hai ẩn ỏp dụng hệ thức vi ột đưa về pt bậc 2 một ẩn . b/ Vớ dụ: Giải hệ phương trỡnh: 7x 7y 2xy 24 7 x y 2xy 24 7 x y 2xy 24 5x 5y xy 5 5 x y xy 5 10 x y 2xy 10 17 x y 34 x y 2 5 x y xy 5 xy 5 Do đú x; y là hai nghiệm của phương trỡnh: X 2 2X 5 0 X 1 6 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm: 1 6;1 6 ; 1 6;1 6 c/ Bài tập ỏp dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 2 2 ùỡ x + y + xy = 7 x y 25 xy 2 ù 2/ 3/ ớ 2 2 1/ 2 2 ù x + y + xy = 13 xy 12 x y xy 3 ợù ỡ x + y + xy = - 1 ù ùỡ x2 + y2 - x - y = 102 ùỡ 3(x + y) = xy ù ù ù 4/ ớ 2 2 5/ ớ 6/ ớ ù x y + y x = - 6 ù xy + x + y = 69 ù x2 + y2 = 160 ợù ợù ợù ỡ 2 2 ù xy(x + 2)(y + 2) = 9 ùỡ x + y + 2x(y - 3) + 2y(x - 3) + 9 = 0 ù ù 7/ ớ 2 2 8/ ớ ù x + y + 2(x + y) = 6 ù 2(x + y) - xy + 6 = 0 ợù ợù ùỡ x2 + y2 + xy = 1 ỡ x(x + 1) + y(y + 1) + xy = 17 ù ù ớù ớù 9/ ù x 3 + y 3 = x + y 10/ ù (x + 1)(y + 1) = 8 ợù ợù
4. ỡ xy + x + y = 11 ỡ xy + x + y = 7 ỡ x + y + xy = 5 ù ù ù ù ù ù ớù 6 6 ớù x y 10 11/ ớ 2 2 12/ ù 13/ ù ù x + y + xy = 7 ù + + xy = 11 ù + = ợù ợù x y ợù y x 3 ỡ 2 2 ùỡ 1 ùỡ 1 ù x + y = 52 ù x + = - 1 ù y + = - 5 ù ù x + y ù 2x - y 14/ ớ 1 1 5 15/ ớ x 16/ ớ x ù + = ù ù ù x y 12 ù = - 2 ù = 6 ợù ợù x + y ợù 2x - y ùỡ x 3 + y 3 = 9 ùỡ x + y = 7 ỡ x y + y x = 30 ù ù ù ớ ớ ớù 17/ ù x2 + y2 = 5 18/ ù x 3 + y 3 = 133 19/ ù x x + y y = 35 ợù ợù ợù Dạng 6: Hệ đối xứng loại II ( Là hệ phương trỡnh vai trũ của x ở phương trỡnh này là y của phương trỡnh kia và ngược lại) f (x; y) 0 trong đú f(x;y) = g(y;x). g(x; y) 0 a/ Cỏch giải: Trừ hai vế của phương trỡnh (1) cho hai vế của phương trỡnh (2) để được một phương trỡnh mới dạng: (x - y).k(x; y) = 0. b/ Vớ dụ: Giải hệ phương trỡnh: 2x2 x y2 2x2 y2 x 0 3x2 3y2 x y 0 2 2 2 2 2 2 2y y x x 2y y 0 2x y x 0 2 2 2x y x 0 2x2 y2 x 0 2x2 y2 x 0 hoac x y 3x 3y 1 0 x y 0 3x 3y 1 0 2x2 y2 x 0 x2 x 0 x y 0 1/ x y 0 x y x y 1 2 2 1 3x 2 1 5 1 5 2 2 2x x 0 9x 3x 1 0 x x 2x y x 0 3 6 6 2/ 1 3x hoac 3x 3y 1 0 1 3x y 1 5 1 5 y 3 y y 3 6 6 Kết luận: Vậy hệ phương trỡnh cú 4 cặp nghiệm: c/ Bài tập ỏp dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: ùỡ 2x = y2 - 4y + 5 ùỡ y2 = 2x + 3 ùỡ x2 - 2y2 = 7x ù ù ù 1) ớ 2 2) ớ 2 3) ớ 2 2 ù 2y = x - 4x + 5 ù x = 2y + 3 ù y - 2x = 7y ợù ợù ợù 3 2 2 2 ỡ ùỡ 2x - 3xy = y - 3x - 1 ùỡ x = 2- y ù x - 2y = 4 ù ù ù 4) ớ 5) ớ 2 6) ớ 3 ù 2y2 - 3xy = x2 - 3y - 1 ù y = 2- x ù y - 2x = 4 ợù ợù ợù 3 ùỡ 2x2 - 3x + 2 = y2 ùỡ x 3 = 5x + y ùỡ x = 2y - x ù ù ù ớ ớù ớ 7) ù 2y2 - 3y + 2 = x2 8) ù y 3 = 5y + x 9) ù y 3 = 2x - y ợù ợù ợù ùỡ x 3 = 13x - 6y ùỡ y2 = x 3 - 4x2 + 3x ỡ 3 ù ù ù x - 2y = 1 ớ ớ ớù 10) ù y 3 = 13y - 6x 11) ù x2 = y 3 - 4y2 + 3y 12) ù y 3 - 2x = 1 ợù ợù ợù
5. ax2 bxy cy2 0 (1) Dạng 7: Hệ phương trỡnh đẳng cấp: f (x; y) 0 a/ Cỏch giải: Đặt y = xt ta đưa phương trỡnh đẳng cấp (1) về dạng phương trỡnh tớch: x2 at 2 at c 0 x2 xy 2y2 0 b/ Vớ dụ: Giải hệ pt: 2 x 2y 3 Đặt y = xt ta cú x2 1 t 2t 2 0 do x = 0 khụng phải là nghiệm nờn 2t 2 t 1 0 t 1 hoặc t 0,5 2 +) Nếu t = 1 x = y 2x x 3 0 x1 1; x2 1,5 . 2 +) Nếu t = -0,5 -0,5x = y x 2x 6 0 x3 1 7; x4 1 7 . Từ đú tỡm ra y. c/ Bài tập ỏp dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 2 2 2 2 ùỡ x - 4xy + y = 1 ùỡ x2 - xy + y2 = 21 ùỡ 3x + 5xy - 4y = 38 ù ù ù 1) ớ 2 2) ớ 3) ớ ù y - 3xy = 4 ù y2 - 2xy + 5 = 0 ù 5x2 - 9xy - 3y2 = 15 ợù ợù ợù 2 2 2 2 ùỡ 3x + y = 5 ùỡ 2x2 + 3y2 = 36 ùỡ x + 2xy + 3y = 9 ù ù ù 4) ớ 2 2 5) ớ 6) ớ ù x - 3y = 1 ù 3x2 + 7y2 = 37 ù 2x2 + 2xy + y2 = 2 ợù ợù ợù ùỡ x2 + 4xy - 2y2 = 3 ùỡ x2 + 3xy = 54 ùỡ 2x2 - y2 = 1 ù ù ù 7) ớ 2 2 8) ớ 9) ớ ù 2x - xy + 3y = 4 ù xy + 4y2 = 115 ù xy + x2 = 2 ợù ợù ợù Dạng 8: Hệ phương trỡnh khụng mẫu mực *Dựng phương phỏp giải pt bậc hai của một ẩn, ẩn cũn lại coi là tham số. 2 x y 1 x y 0 (1) Vớ dụ: Giải hệ pt 2 y 2xy 1 0 (2) c (1) là pt bậc 2 ẩn x ta cú: a - b + c = 1 + (y - 1) - y = 0 suy ra x 1; x y 1 2 a +)Với x = -1 suy ra y2 2y 1 0 y 1 . +)Với x = y suy ra y2 2y2 1 1 y2 0 y 1 . Vậy nghiệm của hệ là x; y  1; 1 , 1;1  * Dựng tớnh chất tổng cỏc bỡnh phương mà bằng 0. x3 y3 z3 3xyz 0 (1) Vớ dụ: Giải hệ pt x y z 3 (2) (1) 0,5 x y z x y 2 y z 2 z x 2 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 (vỡ x + y + z 0 ) suy ra x = y = z kết hợp với (2) ta cú x = y = z = 1. *Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức: x y 1 Vớ dụ: Tỡm x, y dương thoả món hệ: 4 4 1 8 x y 5 xy Giải: Ta cú: x y 2 0 x2 y2 2xy 2 x2 y2 x y 2 . 2 1 4 1 Tương tự 2 x4 y4 x2 y2 2 x4 y4 x y 8 x4 y4 1 . 4 4
6. 1 4 4 4 1 Mặt khỏc: 2 4 8 x y 5 . Đẳng thức xảy ra khi x y 0,5 . xy x y xy Vậy nghiệm của hệ pt trờn là: x; y 0,5; 0,5 . Một số hệ phương trỡnh đó thi ở cỏc năm. 1 1 1 2 2 x y 2 x y 25 (Năm 1999-2000) (Năm 2001-2002) 4 3 xy 12 5 x y 2 2 5 2 x x y x(y 2) y 6 (Năm 2003 - 2004) (Năm 2004-2005) 3 1 x 2y 3 0 1,7 x x y xy 6 12 y 2 x y 2xy 0 (Năm 2008-2009) ( Năm 2009-2010) 2 2 2 2 xy 3 x x y x y (xy 1) 1 x y 1 x 2y 1 1 2 4 x 2y x y 1 (Năm 2010-2011) x y (Năm 2011 - 2012) 3x y 4 x(1 4y) y 2 x 2 2 1 1 6 1 x 1 y 2 x y 1 (Năm 2012-2013) (Năm 2013-2014) 5 1 3y 1 xy 3 x 1 y 2 x y 2 y 6 x x 1 y y 1 6 (Năm 2014-2015) (Năm 2015-2016) x 2y 3 0 x y 3 5 2y 4 2x 3y xy 5 2 x 2 y 3 (Năm 2016-2017) 1 1 (Năm 2017-2018) x 2 2 1 4 x y 1 x 2 y 3 4 xy 3 x 2y 3 xy (Năm 2018-2019) (Dự bị 2015-2016) 2 2 x 2y 2x 3y 4 x(1 y) 15 0 x 1 2 y 5 (Dự bị 2014-2015) 2 x 1 3 y 4
7. C/ Những lỗi và khú khăn học sinh thường gặp phải khi học chuyờn đề này. + Chưa xỏc định được dạng bài và phương phỏp thực hiện đưa ra cỏch giải tương ứng.=> hỡnh thành nờn cỏc dạng tổng quỏt cụ thể và hỡnh thành cỏc bước giải tương ứng cho cỏc dạng. + Thiếu điều kiện xỏc định và quờn đối chiếu điều kiện xỏc định dẫn đến kết luận nghiệm sai. => phải đặt điều kiện với cỏc hệ chứa mẫu thức, căn thức, dựa vào cỏc bước giải cho từng dạng. + Khi đặt ẩn phụ mà ẩn phụ là căn bậc hai hoặc bỡnh phương quờn điều kiện lớn hơn hoặc bằng 0. + Nhầm dấu khi tỏch một phõn thức mà đứng trước phõn thức cú dấu trừ => khỏc phục phải dựng dấu ngoặc. + Dựng dấu tương đương khi quy đồng khử mẫu hoặc bỡnh phương hai vế khi hai vế chưa cựng khụng õm. + Khai căn hai vế khi hai vế chưa khụng õm.
8. CHUYấN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH CHỨA THAM SỐ Dạng 1. Giải và biện luận hệ phương trỡnh Phương phỏp giải: Từ một phương trỡnh của hệ tỡm y theo x rồi thế vào phương trỡnh thứ hai để được phương trỡnh bậc nhất đối với x Giả sử phương trỡnh bậc nhất đối với x cú dạng: ax = b (1) Biện luận phương trỡnh (1) ta sẽ cú sự biện luận của hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thỡ hệ cú vụ số nghiệm - Nếu b 0 thỡ hệ vụ nghiệm b ii) Nếu a 0 thỡ (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tỡm y, lỳc đú hệ phương trỡnh cú a nghiệm duy nhất. mx y 2m(1) Vớ dụ: Giải và biện luận hệ phương trỡnh: 4x my m 6(2) Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m 3)(m 2) 2m 3 i) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thỡ x = m 2 4 m 2 m 2m 3 m Khi đú y = - . Hệ cú nghiệm duy nhất: ( ;- ) m 2 m 2 m 2 ii) Nếu m = 2 thỡ (3) thỏa món với mọi x, khi đú y = mx -2m = 2x – 4 Hệ cú vụ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R iii) Nếu m = -2 thỡ (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vụ nghiệm 2m 3 m Vậy: - Nếu m 2 thỡ hệ cú nghiệm duy nhất: (x,y) = ( ;- ) m 2 m 2 - Nếu m = 2 thỡ hệ cú vụ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R - Nếu m = -2 thỡ hệ vụ nghiệm Bài tập: Giải và biện luận cỏc hệ phương trỡnh sau: mx y 3m 1 mx 4y 10 m (m 1)x my 3m 1 1) 2) 3) x my m 1 x my 4 2x y m 5 x my 3m x my 1 m 2 2x y 3 2m 4) 5) 6) 2 2 2 mx y m 2 mx y 1 m mx y (m 1) Dạng 2: Xỏc định giỏ trị của tham số để hệ phương trỡnh thỏa món điều kiện cho trước. Phương phỏp giải: Giải hệ phương trỡnh theo tham số k Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyờn f (m) Tỡm m nguyờn để f(m) là ước của k Vớ dụ1: Định m nguyờn để hệ cú nghiệm duy nhất là nghiệm nguyờn: mx 2y m 1 2x my 2m 1 HD Giải: mx 2y m 1 2mx 4y 2m 2 2 2 2x my 2m 1 2mx m y 2m m
9. (m 2 4)y 2m 2 3m 2 (m 2)(2m 1) 2x my 2m 1 để hệ cú nghiệm duy nhất thỡ m2 – 4 0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (m 2)(2m 1) 2m 1 3 y 2 m 2 4 m 2 m 2 m 1 3 x 1 m 2 m 2 Để x, y là những số nguyờn thỡ m + 2 Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyờn để hệ cú nghiệm duy nhất là nghiệm nguyờn: (m 1)x 2y m 1 2 2 m x y m 2m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm là (2; -1) 2mx (m 1)y m n (m 2)x 3ny 2m 3 HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trỡnh với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trỡnh ax2 -2bx + 3 = 0 cú hai nghiệm là x = 1 và x = -2 HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trỡnh ta được hệ phương trỡnh với ẩn a, b c) Xỏc định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nờn. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thỡ f(- b ) = 0 a 1 a b f ( ) 0 3 0 4 8 4 Giải hệ phương trỡnh ta được a = 2; b = 11 f ( 3) 0 18a 3b 3 0 d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xỏc định cỏc hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 HD: f (2) 6 4a 2b 2 a 1 f ( 1) 0 a b 4 b 3 Bài 3: Xỏc định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta cú hệ phương trỡnh 2a b 1 a 1 a b 2 b 3 Xỏc định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy HD giải:
10. - Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ 3x 2y 4 x 0,5 phương trỡnh: . Vậy M(0,2 ; 1,25) x 2y 3 y 1,25 Để ba đường thẳng trờn đồng quy thỡ điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy khi m = -0,85 thỡ ba đường thẳng trờn đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 Bài 5: Định m để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (x;y) thỏa món hệ thức cho trước mx 4y 9 Cho hệ phương trỡnh: x my 8 Với giỏ trị nào của m để hệ cú nghiệm (x ; y) thỏa món hệ thức: 38 2x + y + = 3 m 2 4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: m 2 - Giải hệ phương trỡnh theo m 8m 9 y mx 4y 9 mx 4y 9 (m 2 4)y 8m 9 m 2 4 x my 8 mx m 2 y 8m x my 8 9m 32 x m 2 4 9m 32 8m 9 - Thay x = ; y = vào hệ thức đó cho ta được: m 2 4 m 2 4 9m 32 8m 9 38 2. + + = 3 m 2 4 m 2 4 m 2 4 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = 0 23 m1 = 1 ; m2 = (cả hai giỏ trị của m đều thỏa món điều kiện) 3 23 Vậy m = 1 ; m = 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx 4y 10 m Cho hệ phương trỡnh (m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trỡnh khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo m c) Xỏc định cỏc giỏ trị nguyờn của m để hệ cú nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giỏ trị nào của m thỡ hệ cú nghiệm (x;y) với x, y là cỏc số nguyờn dương Bài 2: (m 1)x my 3m 1 Cho hệ phương trỡnh : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo m b) Với giỏ trị nguyờn nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong gúc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ cú nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. Bài 3:
11. 3x 2y 4 Cho hệ phương trỡnh 2x y m a) Giải hệ phương trỡnh khi m = 5 b) Tỡm m nguyờn sao cho hệ cú nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 c) Với giỏ trị nào của m thỡ ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: mx 4y 9 Cho hệ phương trỡnh: x my 8 a) Giải hệ phương trỡnh khi m = 1 b) Với giỏ trị nào của m để hệ cú nghiệm (-1 ; 3) c) Với giỏ trị nào của m thỡ hệ cú nghiệm duy nhất, vụ nghiệm Bài 5: x my 9 Cho hệ phương trỡnh: mx 3y 4 a) Giải hệ phương trỡnh khi m = 3 b) Với giỏ trị nào của m để hệ cú nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ rằng hệ phương trỡnh luụn luụn cú nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giỏ trị nào của m để hệ cú nghiệm (x ; y) thỏa món hệ thức: 28 x - 3y = - 3 m 2 3 Bài 6: mx y 2 Cho hệ phương trỡnh: 3x my 5 a) Giải hệ phương trỡnh khi m 2 . b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm (x; y) thỏa món hệ thức m 2 x y 1 . m 2 3 Bài 7: 3x my 9 Cho hệ phương trỡnh mx 2y 16 a) Giải hệ phương trỡnh khi m = 5 b) Chứng tỏ rằng hệ phương trỡnh luụn luụn cú nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ cú nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tỡm giỏ trị nguyờn của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong gúc phần tư thứ IV trờn mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyờn nào của m để hệ cú nghiệm (x ; y) thỏa món x + y = 7