›
›
›

Chuyên đề: hình học không gian - Trần Duy Thúc

pdf 16 trang thaodu 5350
Download
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề: hình học không gian - Trần Duy Thúc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_hinh_hoc_khong_gian_tran_duy_thuc.pdf

Nội dung text: Chuyên đề: hình học không gian - Trần Duy Thúc

  1. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Lời nói đầu Chào các Em học sinh thân mến ! Câu hình học không gian là một nội dung quan trọng trong đề thi của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.Câu này không quá khó. Tuy nhiên nhiều Em học sinh cũng lúng túng khi gặp phần này. Đặc biệt là khi các Em tính khoảng cách hay ý sau của bài toán. Qua nhiều năm tham gia chấm thi Thầy nhận ra được rằng đa phần các Em hay bị mất đi 0,5 điểm ở ý sau của câu này. Với mục tiêu có thể giúp Em cảm thấy nhẹ nhàn với hình học không gian và có thể lấy được trọn điểm câu này. Thầy biên soạn một quyển tài liệu “CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” gửi đến các Em. Với cách hệ thống lý thuyết và các ví dụ được xây dựng từ cái góc của vấn đề, nâng dần đến giải quyết các vấn đề tổng quát. Thầy tin rằng có thể mang đến cho các Em một cái nhìn hết sức rỏ ràng về hình không gian và có được sự tự tin về hình học không gian. Để thuận lợi cho việc đọc tài liệu Thầy chia ra thành 4 chương. Chương 1. Tóm tắt lý thuyết quan trọng Chương 2. Phân dạng các bài toán khoảng cách Chương 3. Thể tích và khoảng cách Chương 4. Phương pháp tọa độ hóa tối ưu bài toán hình không gian Cuối cùng, Thầy cũng không quên nói rằng dù đã cố gắng nhưng tài liệu chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót nhất định. Hi vọng nhận được phản hồi từ phía các Bạn đọc. Để lần chỉnh sửa sau sẽ mang đến cho chúng ta một tài liệu tiến về mong ước. Trần Duy Thúc ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 1
  2. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chương 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG Trong phần này Thầy chỉ điểm qua những lý thuyết hay sữ dụng nhất khi giải bài toán hình không gian. Những phần lý thuyết khác nếu có sữ dụng Thầy sẽ nhắc lại trong các bài tập mẫu. A. Hình học phẳng I. Các hệ thức lượng trong tam giác thường A 1. Định lí côsin c b a2 b 2 c 2 2 bc .cos A 2 2 2 a b a c 2 ac .cos B C B c2 b 2 a 2 2 ab .cosC 2. Định lí sin a b c 2R . Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. sinAB sin sinC II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM.Ta có: BC2 AB 2 AC 2 A AH BC AB AC 1 1 1 AH2 AB 2 AC 2 MA MB MC H BH.;. BC AB22 CH CB AC C B M III. Diện tích tam giác 1 1 1 S ah bh ch ABC2 a 2 b 2 c 1 1 1 A S absinC bc sin A ac sin B ABC 2 2 2 a.b.c b S ; S pr c ABCR ABC abc a S ABC p p a p b p c , p C 2 B ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 2
  3. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM + habc,, h h lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của ABC . + R: bán kính đường tròn ngoại tiếp. + r: bán kính đường tròn nội tiếp. + p: nữa chu vi của . IV. Diện đa giác 1. Diện tích tam giác vuông A Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích hai cạnh góc vuông. 1 S AB. AC . B C ABC 2 2. Diện tích tam giác đều Cho tam giác ABC đều cạnh a, ta có: a2 3 A + S ABC 4 a 3 + AH . a 2 + Diện tích tam giác đều bằng cạnh bình phương nhân 3 chia 4. + Đường cao bằng cạnh nhân chia 2. B C H 3. Diện tích hình chữ nhật và hình vuông. Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng. 4. Diện tích hình thang. Diện tích hình thang bằng một nữa đường cao nhân tổng hai cạnh đáy. 1 A D S h AD BC . ABCD 2 h B C A 5. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc. 1 S AC. BD . B D ABCD 2 C ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 3
  4. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Chú ý: Trường hợp không nhớ công thức tính diện tích của tứ giác thì chia ra thành các tam giác hoặc các hình dễ tính, sau đó cộng lại ta co diện tích cần tính. B. Hình không gian I. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng d 1. Định nghĩa: d P d  a,  a P . a P 2. Định lí ( cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng) d da db dP . b a a,, b P a  b O P 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng a. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của nó trên (P). b. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và (P): d S B1: Tìm A  d P . B2. Lấy điểm Sd (thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên (P). A Suy ra AH là hình chiếu của d trên (P). H P Suy ra d;; P d AH SAH . II. Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng Q 1. Định nghĩa: d Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một trong hai mặt phằng chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia. P ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 4
  5. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2.Định lí 1 d PQ  P  Q a d  Q a d P,d a P d P2 3.Định lí 2 P1 PP1  P2  P d  Q P12  P d P 4. Góc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt S phẳng cùng vuông góc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. b. Cách xác định góc giữa (P) và (Q) P B1: Xác định d  P Q . B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên (Q). A B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d). H d Ta sẽ chứng minh được SA vuông góc với d. Q Suy ra P ;; Q SA HA SAH . III. Hình chóp đều 1. Định nghĩa Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: + Hình chóp đều có các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. + Các cạnh bên bằng nhau và cung với đáy các góc bằng nhau. 2. Các hình chóp đều thường gặp a) Hình chóp tam giác đều S Hình chóp tam giác đều đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau và chân đường cao của hình chóp là trọng tâm của tam giác.Cho hình chóp đều S.ABC, khi đó: +Tam giác ABC đều;chân đường cao của hình chóp là trọng tâm G của C A ABC . G M ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 5 B
  6. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM +Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau. +Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. Chú ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. + tứ diện đều các cạnh bên bằng cạnh đáy và các mặt bên các tam giác đều. Hình chóp tam giác đều đáy là + hình chóp tam giác đều các cạnh bên chưa chắc đã bằng cạnh đáy. b) Hình chóp tứ giác đều Hình chóp tứ giác đều đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau và S chân đường cao của hình chóp là tâm của hình vuông.Cho hình chóp đều S.ABCD, khi đó: +ABCD là hình vuông;chân đường cao của hình chóp là I hình vuông ABCD. A D +Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau. I B C +Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. IV. Xác định đường cao của hình chóp 1. Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên chứa trong mặt phẳng vuông góc đáy. Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy. Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là đường cao của hình chóp. 2. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy Đường cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên. Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy. Khi đó đường cao là SA. V. Khoảng cách 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta phải dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng. Cho điểm M và (P) để dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ M đến (P) ta thường dùng một trong hai cách sau: Q Cách 1: M + Xây dựng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P). + Xác định d ()() P Q . d H + Dựng MH d MH d M;( P ) . P Cách 2: M Nếu trong bài toán đã có SA () P . Ta dựng MH song song với SA (H thuộc S (P)). Khi đó: + Nếu MH// SA thì d M;( P ) d S ;( P ) . I H A P ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 6
  7. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM d M;() P + Nếu MH SA I thì MI . d S;() P SI ng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P). + Xác định d ()() P Q . + Dựng MH d MH d M;( P ) . 2. Khoảng giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và (P) ta có: d P O + d d;0 P . dP + d/ / P d d ; P d A ;( P ) ,  A d . 3. Khoảng giữa hai mặt phẳng ()Q P d + d ( Q ); P 0 . ()QP + (Q)/ / P d (Q); P d A ;( P ) ,  A (Q) . 4. Khoảng giữa hai hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng 12; khi đó: 12   + d 12;0 . 12  + 1//;;;,; 2d 1 2 d M 2 d N   1 M 1 N 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó đoạn thẳng MN đồng thời vuông góc với 1 và 2 (M thuộc 1 ;N thuộc 2 ) được gọi là đoạn thẳng vuông góc chung của 1 và 2 . MN chính là khoảng cách giữa và . Phương pháp: Cách 1:Dựng mặt phẳng (P) chứa và song song . Khi đó: d 1; 2 d 2 ;( P ) . Cách 2:Dựng đoạn thẳng vuông góc chung và tính độ dài của đoạn thẳng đó. Phần này ta sẽ tìm hiểu kỉ hơn và sẽ được giải quyết nhanh gọn ở S chương 2. VI. Thể tích khối đa diện 1. Thể tích khối chóp h V 1 Bh 3 A D + B:Diên tích đáy. + h: độ dài đường cao của hình chóp. B oảng cách C 2. Thể tích khối lăng trụ V Bh + B:Diên tích đáy. + h: độ dài đường cao của hình chóp. ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 7
  8. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3. Thể tích hình hộp chữ nhật V a b c 3 Thể tích hình lập phương: Va S C' 4. Tỉ số thể tích: A' B' VSABC.''' SA''' SB SC . A VS. ABC SA SB SC C B Chương 2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH A. Phương pháp tính trực tiếp I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 1. Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên S Phương pháp: Cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H. Để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng bên chứa S ta thực hiện các bước sau: K A + Xác định giao tuyến d giữa mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy. D + Từ chân đường cao H dựng đoạn HM d . Kẻ HK SM , khi đó H B d M HK là khoảng cách cần tính. Để tính được HK ta nhớ là phải tính C đường cao của hình chóp trước nhé. Chú ý: Trong khi tính khoảng cách ta nên vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho dễ phát hiện các tính chất vuông góc, song song, cũng như để thuận tiện cho việc tính độ dài. Tức là nếu đáy là hình vuông thì ta vẻ đúng hình vuông bên cạnh 2. Bài tập mẫu ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 8
  9. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy. SC hợp với đáy 1 góc 60 . a) Tính d A; SBC . b) Tính d A; SBD . Phân tích: Tính khoảng cách từ chân đường cao tới các mặt bên là khá dễ, nhưng hầu như khi tính khoảng cách đều quy về khoảng cách của chân đường cao. Do vậy các Em phải làm thật vững phần này nếu muốn tính được các khoảng cách ở phần sau. Bởi vì trong lúc tính khoảng cách ta sẽ dựng thêm các đường vuông góc trong mặt phẳng đáy nên tốt nhất là ta vẽ mặt đáy ra. Để có thể dự đoán được chân đường vuông góc cũng như để tính chúng. Trong một số bài toán thì đường vuông góc từ chân đường cao kẻ đến mặt bên có sẳn nên ta không cần kẻ thêm. Ví dụ như bài này để tính d A; SBC thì ta cần kẻ AE vuông góc BC vì AB BC E  B . Tiếp theo ta chỉ cần kẻ AK vuông góc SB thì AK là khoảng cách cần tính. Giải S a) Ta có C  SC ABCD và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC trên (ABCD). Do đó: SC;( ABCD SCA 60 . Tam giác SAC vuông tại C nên H K tanSCA SA SA a 2.tan60 a 6 . D AC A I Ta đã có AB BC , kẻ AK SB 1 . Ta chứng minh 60 B C AK SBC . AB BC Ta có: BC  SAB BC  AK 2 . Từ (1) và (2) suy ra SA BC AK SBC AK d A; SBC . Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên ta có: 1 1 1 1 1 1 AK a 42 . Vậy d A; SBC a 42 . AK2 AS 2 AB 2 AK 26 a 2 a 2 7 7 b) Gọi I là giao điểm giữa AC và BD thì AI BD . Kẻ AH SI 3 , ta chứng minh AH SBD . BD AI Ta có: BD  SAI BD  AH 4 . BD SA Từ (3) và(4) suy ra AH SBD AH d A; SBD . Tam giác SAI vuông tại A, có đường cao AH nên ta có: ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 9
  10. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 1 1 1 1 1 AK a 78 . Vậy d A; SBC a 78 . 2 2 2 2 2 2 AH AS AI AK a 6 a 2 13 13 2 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy. SC hợp với đáy 1 góc 60 . Gọi M là trung điểm BC. Tính d A; SMD . Phân tích: Giao tuyến giữa SMD  ABCD MD . Do đó ta cần kẻ AH vuông góc MD. Ở ví dụ 1 thì ta không vẽ mặt phẳng đáy ra vì việc xác định hình chiếu vuông góc từ A đến các giao tuyến có sẳn. Nhưng ví dụ này ta vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho việc xác định hình chiếu từ A đến MD và cũng như tính độ dài AH. Giải S A a D K a H a D A H a B M C B M C Ta có C  SC ABCD và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC trên (ABCD). Do đó: SC;( ABCD SCA 60 . Tam giác SAC vuông tại C nên tanSCA SA SA a 2.tan60 a 6 . AC Giao tuyến giữa (SDM) và (ABCD) là MD nên ta kẻ AH vuông góc MD tại H. Kẻ AK vuông góc SH tại K. MD AH Ta chứng minh AK SMD . Ta có: MD  SAH MD  AK 2 . MD SA Từ (1) và (2) suy ra AK SBC AK d A; SMD . Ta có: MD BD22 BM a 5 . 2 2 2 2 2 Và S S S S a2 a a a . Mà S 1 AH. MD aa AH 25. AMD ABCD AMM BMD 4 4 2 AMD 2 2 5 Xét tam giác SAH vuông tại A, có đường cao AK nên ta có: ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 10
  11. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 1 1 1 1 5 AK 2a 51 . Vậy d A; SBC 2a 51 . AK2 AS 2 AH 2 AK 264 a 2 a 2 17 17 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD 3a ; hình chiếu vuông góc của S trên 2 mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. a) Tính d H; SDC . b) Tính d H; SBD . Giải S B a C K M E H C B M H N A D A D a) H là trung điểm của AB và SH ABCD SH  HD . Suy ra: SH SD2 HD 2 SD 2 HA 2 AD 2 a . Kẻ HN DC tại N;kẻ HK SN 1 tại K . Ta chứng DC HN minh HK SDC .Ta có: DC  SHN DC  HK 2 . DC SH Từ (1) và (2) suy ra HK SDC HK d H; SDC . Tam giác SHN vuông tại H, có đường cao HK nên: 1 1 1 HK a 2 . Vậy d H; SDC a 2 . HK2 HS 2 HN 2 2 2 b) Kẻ HM BD tại M;kẻ HE SM 1 tại E . Ta chứng minh HE SBD .Ta có: BD HM BD  SHM BD  HE 2 . BD SH Từ (1) và (2) suy ra HE SBD HE d H; SBD . Ta có HM HB.sin45 a 2 . 4 Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên: ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 11
  12. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 1 1 HE a . Vậy d H; SBD a . HE2 HS 2 HM 2 3 3 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 . a) Tính d H; SAC . b) Tính d H; SBC . Giải a) Ta có C  SC ABC và H là hình chiếu của S trên (ABC). Suy ra HC là hình chiếu của SC trên (ABC). Do đó: SC; ABC SCA 60 . Xét tam giác BHC ta có: 2 HC2 HB 2 BC 2 2 HB . BC .cos HBC HC 2 a a 2 2. a . a .cos60 HC a 7 . 3 3 3 S C K N E M A 60 C N A H B H M B Xét tam giác SHC ta có: SH HC.tan SCH aa7 . 3 21 . Kẻ HM BC tại M;kẻ HE SM 1 tại 33 BC HM K . Ta chứng minh HE SBC .Ta có: BC  SHM BC  HE 2 . BC SH Từ (1) và (2) suy ra HE SBC HE d H; SBC . Tam giác HBM vuông tại M, có HM HB.sin60 aa . 33 . Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên: 3 2 6 1 1 1 HE a 609 . Vậy d H; SBC a 609 . HE2 HS 2 HM 2 87 87 b) Kẻ HN AC tại N;kẻ HK SN 1 tại K . Ta chứng minh HK SAC .Ta có: AC HN AC  SHN AC  HK 2 . Từ (1) và (2) suy ra HK SAC HK d H; SAC . AC SH ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 12
  13. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Tam giác HAN vuông tại N, có HN HA.sin60 2aa . 3 3 .Tam giác SHN vuông tại H, có đường 3 2 3 cao HK nên: 1 1 1 HK a 42 . Vậy d H; SDC a 42 . HK2 HS 2 HN 2 12 12 Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; ABC 30 ; SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. a) Xác định chân đường cao H của hình chóp S.ABC và tính độ dài đường cao này. b) Tính: d H; SAC và d H; SAB . Phân tích: Để xác định chân đường cao của hình chóp các Em xem lại mục 1 của IV. Do mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC) và có chung đường thẳng BC nên ta chỉ cần kẻ SH vuông góc BC; SH sẽ là đường cao của hình chóp. Để ý, do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. Giải S A M E N K C A N 30 C B H H M 30 B a) Kẻ SH BC , do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. Khi đó: SBC  ABC SBC  ABC BC SH  ABC . Vậy SH là đường cao của hình chóp S.ABC. SH BC; SH SBC Tam giác SBC đều cạnh a nên SH a 3 . 2 b) + Tính . Kẻ HN AC tại N;kẻ HE SN 1 tại E . Ta chứng minh HE SAC .Ta có: AC HN AC  SHN AC  HE 2 . Từ (1) và (2) suy ra HE SAC HE d H; SAC . AC SH ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 13
  14. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Tam giác HCN vuông tại N, có HN HC.sin60 aa . 33 .Tam giác SHN vuông tại H, có đường 2 2 4 cao HE nên: 1 1 1 HK a 15 . Vậy d H; SDC a 15 . HE2 HS 2 HN 2 10 10 + Tính d H; SAB . Kẻ HM AB tại M;kẻ HK SM 1 tại K . Ta chứng minh HK SAB .Ta có: AB HM AB  SHM AB  HK 2 . Từ (1) và (2) suy ra HK SAB HK d H; SAB . AB SH Tam giác HBM vuông tại M, có HM HB.sin30 aa . 1 . Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao 2 2 4 HK nên: 1 1 1 HE a 39 . Vậy d H; SBC a 39 . HK2 HS 2 HM 2 26 26 Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B; AB BC2 a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 .Tính d A; SBC . Phân tích: Trước tiên ta cần xác định được đường cao của hình chóp. Bài này ta thấy ngay SA là đường cao của hình chóp. Giải S SAB  ABC Ta có: SAC  ABC SA  ABC . SAC  SAB AB K BC AB Mặt khác, BC  SAB SB  BC . Do đó: BC SH A C SBC ; ABC SB ; AB SBA 30 . Tam giác SAB vuông tai 2a B nên tanSBA SA SA AB .tan30 23 a . 30 AB 3 B Kẻ AK SB tại K, ta có: AK BC BC SAB AK  SBC AK d A; SAB . AK SB Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên: ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 14
  15. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 1 1 AK a . Vậy d A; SBC a . AK2 AS 2 AB 2 Bình luận: Trong ví dụ 6 để tính AK, các Em cung có thể xét tam giác ABK vuông tại K và áp dụng định lý cosin cho tam giác vuông. Tức là: AK AB.sin30 a . Khi đó các Em không cần tính SA. Nhưng vì các bài toán này thường đi chung câu tính thể tích nên ở đây Thầy rèn luyện cho các Em cách tính đường cao luôn. Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60 . a) Tính đường cao A’H. b) Tính: d H;'' ACC A . Giải A' C' a) Ta có: A' H ABC và A' HC 60 . Do đó A' H CH .tan60 aa33 . 3 . 22 B' b) Kẻ HM AC tại M, kẻ HK SM tại K. Khi đó: K HK d H;'' ACC A .Ta có: HM HA.sin60 a 3 , A 60 C M 4 H a 1 1 1 HK 3 13a . HK2 HM 2 HA' 2 26 B Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; DC=2AB=2BC; BC=a; SA ABCD và SB hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính d A; SDC . Phân tích: Bài toán đã cho ta đường cao SA, không khó để ta xác định được độ dài SA. Để tính , ta cần kẻ AH vuông góc DC tại H. Để xác định được vị trí điểm H. Em nên vẻ hình thang ABCD ra, khi đó Em sẽ thấy rằng H trùng C. Tức là AC DC ?? Thử vẻ lại cho đúng tỷ lệ ta tin rằng điều này có thể. Vậy ta sẽ chứng minh .Tiếp theo thì đã biết rồi nhé.! S Giải I A D K a I A D a B C ThS. TrB ần Duy Thúc .C Sđt: 0979.60.70.89 15
  16. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ta có: SA ABCD và SBA 45 . Do đó SA AB a . Gọi I là trung điểm của AD, ta có ABCI là hình vuông CI AB 1 AD ADC vuông tại C hay AC DC và AC a 2 . Kẻ AK SC tại K. Khi 2 đó: AK d A; SDC .Ta có: 1 1 1 AK a 6 . Vậy d A; SDC a 6 . AK2 AS 2 AC 2 3 3 ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 16