›
›
›

Chuyên đề Hình học Lớp 11: Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

doc 41 trang thaodu 5791
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Hình học Lớp 11: Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_hinh_hoc_lop_11_phuong_phap_chung_minh_hai_duong_t.doc

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 11: Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

  1. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC Phương phỏp 1 d 1 d 2 d 2 ' d 1 ' Hai đường thẳng gọi là vuụng gúc với nhau nếu gúc giữa chỳng bằng 90o r r r r Phương phỏp 2 a  b u.v 0 Với u , v lần lượt là hai VTCP của a và b Phương phỏp 3 (sử dụng định nghĩa) a b c P Nếu đường thẳng a  (P) thỡ đường thẳng a vuụng gúc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) a  (P)   a  b, a  c b  P , c  P  Phương phỏp 4 ( tớnh chất 5 - tr 99) P a b Nếu đường thẳng a P(P) thỡ mọi đường thẳng b  (P) đều vuụng gúc với a. a / /(P), b  P  b  a Phương phỏp 5( HĐ 2 - tr 97 ) a C A B Nếu một đường thẳng vuụng gúc với hai cạnh của một tam giỏc thỡ nú vuụng gúc với cạnh cũn lại. a  AC, a  BC a  AB Phương phỏp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk) a b c Một đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ nú cũng vuụng gúc với đường thẳng cũn lại. b / /c , a  b a  c Phương phỏp 7 (Định lý ba đường vuụng gúc - tr 100 - sgk) a B A a' A' b B' Cho đường thẳng a khụng vuụng gúc với mp (P) và cho đường thẳng b nằm trong mp (P). Khi đú điều kiện cần và đủ để b vuụng gúc với a là b vuụng gúc với hỡnh chiếu a’ của a trờn (P). a  (P),b  P ,a ' la hinh chieu cua a tren (P) a  b a '  b - 1 -
  2. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC VỚI MẶT PHẲNG Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuụng gúc với một mặt phẳng nếu nú vuụng gúc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đú. a b P I c Phương phỏp 1( ĐL 1 - tr 97) Nếu đường thẳng d vuụng gúc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cựng nằm trong mp (P) thỡ đường thẳng d vuụng gúc với mp (P) a  b,a  c   a  P b  P ,c  P ,b  c I a b P Phương phỏp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk) Mặt phẳng nào vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ cũng vuụng gúc với đường thẳng cũn lại. a / /b ; P  a P  b a P Q Phương phỏp 3 (tc 4 - tr99-sgk) Đường thẳng nào vuụng gúc với một trong hai mặt phẳng song song thỡ cũng vuụng gúc với mặt phẳng cũn lại. P / / Q ; a  P  a  (Q) Phương phỏp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk) d M A C O B N Đường thẳng d đi qua hai điểm phõn biệt cỏch đều ba đỉnh của VABC thỡ d vuụng gúc với mp (ABC). MA MB MC   d  ABC NA NB NC ; M, N d Chỳ ý : Khỏi niệm trục của tam giỏc ABC : là đường thẳng vuụng gúc với mp(ABC) tại tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Phương phỏp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk) P a a c Q c Q H b P Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuụng gúc với nhau thỡ bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuụng gúc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuụng gúc với mặt phẳng (Q). P  (Q), P  Q c   a  Q a  P ,a  c  Phương phỏp 6 (Hệ quả 2 - tr 107) - 2 -
  3. Q P a R Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cựng vuụng gúc với mặt phẳng thứ ba thỡ giao tuyến của chỳng vuụng gúc với mặt phẳng thứ ba. P  Q a ; P  (R) ; (Q)  R  a  R PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUễNG GểC Phương phỏp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuụng gúc với nhau nếu gúc giữa chỳng bằng 90o Phương phỏp 2 (ĐL 2 - tr 105) a P c a Q c Q H b P Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuụng gúc với một mặt phẳng khỏc thỡ hai mặt phẳng đú vuụng gúc với nhau. a  P ,a  Q  P  Q Phương phỏp 3 R P Q Một mặt phẳng vuụng gúc với một trong hai mặt phẳng song song thỡ vuụng gúc với mặt phẳng cũn lại. P / / Q ; R  P  R  Q KHÁI NIỆM GểC 1) Gúc giữa hai đường thẳng :Gúc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là gúc giữa hai đường thẳng d1’ và d2’ cựng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trựng) với d1và d2 d 1 d 2 d 2 ' d 1 ' 2) Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuụng gúc với mặt phẳng (P) thỡ ta núi rằng gúc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 . Nếu đường thẳng a khụng vuụng gúc với mặt phẳng (P) thỡ gúc giữa a và hỡnh chiếu a’ của nú trờn (P) gọi là gúc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . a a a ' P 3) Gúc giữa hai mặt phẳng Gúc giữa hai mặt phẳng là gúc giữa hai đường thẳng lần lượt vuụng gúc với hai mặt phẳng đú. - 3 -
  4. d b p q a Q R P P Q Chỳ ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tớnh gúc giữa chỳng, ta chỉ việc xột một mặt phẳng (R) vuụng gúc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo cỏc giao tuyến p và q. Lỳc đú gúc giữa (P) và (Q) bằng gúc giữa hai đường thẳng p, q B C A D E B ' C ' A ' D ' E ' QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN Bài 1: (VD – tr 101 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a; SA vuụng gúc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hỡnh chiếu của điểm A trờn cỏc đường thẳng SB và SD a/ Chứng minh rằng MN PBD và SC  AMN b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giỏc AMKN cú hai đường chộo vuụng gúc 2. Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a Giải S K N M A D O B C 1.a/ * CMR: MN PBD +) Ta cú: VSAB VSAD AM AN (2 đường cao tương ứng) BM ND (do VMAB VNAD ) SB SD +) Xột VSBD cú MN PBD BM DN * CMR: SC  mp AMN Cỏch 1: BC  AB gt +) Vỡ BC  SAB BC  MA BC  SA do SA  ABCD - 4 -
  5. MA  BC +) Cú MA  SC (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giỏc thỡ  với MA  SB gt cạnh cũn lại) CM tương tự ta cú: NA  SC Vậy SC  mp AMN Cỏch 2: +) Vỡ BC  SAB SB là hỡnh chiếu của SC trờn (SAB) Lại cú: MA  SB MA  SC 1 +) CD  SAD SD là hỡnh chiếu của SC trờn (SAD) Lại cú AN  SD AN  SC 2 Vậy từ (1) và (2) ta cú: SC  mp AMN Cỏch 3: +) MN PBD Mà BD  AC với AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) MN  SC +) AM  SC SC  (AMN) b/ CMR: AK  MN BD  AC Cú BD  SAC BD  SA Mặt khỏc: BD // MN MN  (SAC) MN  AK 2. Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a +) Vỡ AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) gúc giữa (ABCD) và SC là gúc giữa SC và AC +) Vỡ VASC cú AS = AC = a 2 goc SCA 450 gúc cần tỡm là 450 +) VSBC vuụng tại B cú SB a 3, BC a BC a 1 tanCã SB Cã SB 300 SB a 3 3 Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh tứ diện ABCD cú AB, BC, CD đụi một vuụng gúc và AB = a, BC = b, CD = c a/ Tớnh độ dài AD b/ Chỉ ra điểm cỏch đều A, B, C, D c/ Tớnh gúc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), gúc giữa đường thẳng AD và mp (ABC) Giải A O B D C - 5 -
  6. a/ Vỡ AB  BC và AB  CD nờn AB  mp BCD Mặt khỏc BC  CD nờn AC  CD (định lý ba đường vuụng gúc) Vậy AD2 AC 2 CD2 AB2 BC 2 CD2 tức là: AD a2 b2 c2 b/ Vỡ ãABD ãACD 900 nờn điểm cỏch đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh tứ diện OABC cú ba cạnh OA, OB, OC đụi một vuụng gúc. a/ Chứng minh tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn b/ Chứng minh rằng hỡnh chiếu H của điểm O trờn mp (ABC) trựng với trực tõm tam giỏc ABC 1 1 1 1 c/ Chứng minh rằng OH 2 OA2 OB2 OC 2 Giải O A C H A' B a/ Ta cú: AB2 OA2 OB2 BC 2 OB2 OC 2 AC 2 OA2 OC 2 Vậy BC 2 AB2 AC 2 , tức là gúc BAC của tam giỏc ABC là gúc nhọn. Tương tự như trờn, ta chứng minh được tam giỏc ABC cú cả ba gúc đều nhọn. b/ * Cỏch 1: Vỡ H là hỡnh chiếu của điểm O trờn mp (ABC) nờn OH  ABC Mặt khỏc OA  OBC nờn OA  BC Vậy AH  BC (định lý ba đường vuụng gúc), tức là H thuộc một đường cao của tam giỏc ABC. Tương tự như trờn, ta cũng cú H thuộc đường cao thứ hai của tam giỏc ABC. Vậy H là trực tõm của tam giỏc ABC. * Cỏch 2: Nếu K là trực tõm của tam giỏc ABC thỡ AK  BC , mặt khỏc OA  BC nờn BC  AOK , suy ra BC  OK . Tương tự như trờn ta cũng cú: AB  OK . Vậy OK  ABC , tức là K trựng với H. c/ Nếu AH  BC tại A thỡ BC  OA Vỡ OH là đường cao của tam giỏc vuụng AOA (vuụng tại O) và OA là đường cao của tam giỏc vuụng BOC (vuụng tại O) nờn 1 1 1 1 1 1 ; OH 2 OA2 OA 2 OA 2 OB2 OC 2 1 1 1 1 Vậy OH 2 OA2 OB2 OC 2 Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK) - 6 -
  7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA  mp ABC , cỏc tam giỏc ABC và SBC khụng vuụng.Gọi H và K lần lượt là trực tõm của cỏc tam giỏc ABC và SBC. Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/ SC  mp BHK c/ HK  mp SBC Giải S K A C H A' B a/ Gọi AA là đường cao của tam giỏc ABC, do SA  ABC nờn SA  BC (định lý ba đường vuụng gúc) Vỡ H là trực tõm của tam giỏc ABC, K là trực tõm của tam giỏc SBC nờn H thuộc AA , K thuộc SA Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A b/ Do H là trực tõm của tam giỏc ABC nờn BH  AC , mà BH  SA nờn BH  SC Mặt khỏc K là trực tõm của tam giỏc SBC nờn BK  SC Vậy SC  BHK c/ Từ cõu b ta suy ra HK  SC . Mặt khỏc HK  BC do BC  SAA Vậy HK  mp SBC Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC a/ Chứng minh rằng: SG  mp ABC . Tớnh SG b/ Xột mặt phẳng (P) đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng SC. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đú hóy tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chúp S.ABC khi cắt bởi mp(P) Giải a/ S A C H B - 7 -
  8. Kẻ SH  mp ABC , do SA SB SC nờn ta cú HA HB HC Mặt khỏc, ABC là tam giỏc đều nờn H trựng với trọng tõm G của tam giỏc đú. Vậy SG  ABC 2 2 2 2 2 a 3 SG SA AG b 3 a2 Từ đú: SG b2 (Với 3b2 a2 ) 3 b/ S C1 A C G C' B Dễ thấy AB  SC . Vỡ (P) đi qua A và vuụng gúc với SC nờn AB nằm trong (P). Kẻ đường cao AC1 của tam giỏc SAC thỡ (P) chớnh là mp ABC1 Do tam giỏc SAC cõn tại S nờn điểm C1 nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi ãASC 900 Điều này tương đương với AC 2 SA2 SC 2 hay a2 2b2 Trong trường hợp này, thiết diện của hỡnh chúp bị cắt bởi (P) là tam giỏc ABC1 1 1 S .AB.C C .a.C C ABC1 2 1 2 1 (Với C là trung điểm của AB) SG.CC Mặt khỏc C C .SC SG.CC C C 1 1 SC a2 a 3 b2 . a 3b2 a2 Tức là: C C 3 2 1 b 2b a2 3b2 a2 Vậy S ABC1 4b Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK) Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuụng gúc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hỡnh lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giỏc đều. Tớnh diện tớch thiết diện đú. Giải - 8 -
  9. B M C N A D S P B' C' R A' Q D'     AC AB AD AA a/ Ta cú    và BD AD AB        Vậy AC .BD AB AD AA . AD AB 0   Tương tự ta cú AC .BA 0 Vậy AC  A BD Do A BD // B CD nờn AC  B CD a 5 b/ Gọi M là trung điểm của BC thỡ MA MC (vỡ cựng bằng ) 2 nờn M thuộc mặt phẳng trung trực của AC Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng cú tớnh chất đú (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD , D A , A B , B B ) Vậy thiết diện của hỡnh lập phương bị cắt bởi mp là MNPQRS. Dễ thấy đú là lục giỏc đều cạnh bằng a 2 2 Từ đú ta tớnh được diện tớch của thiết diện là: 2 a 2 3 3 3 2 S 6. . a 2 4 4 Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a và SA  mp ABCD , SA = x. Xỏc định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau gúc 60o Giải S O1 A D O B C Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuụng gúc với SC, dễ thấy mp BO1D vuụng gúc với SC. - 9 -
  10. Vậy gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng gúc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1 ã 0 Mặt khỏc OO1  BD,OO1 OC mà OC = OB nờn BO1O 45 ã 0 ã 0 Tương tự DO1O 45 , tức là BO1D 90 Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau gúc 600 khi và chỉ khi ã 0 ã 0 BO1D 120 BO1O 60 (Vỡ VBO1D cõn tại O1 ) BO OO .tan 600 1 BO OO1. 3 SA Ta lại cú: OO OC.sin Oã CO OC.sin ãACS OC. 1 1 SC SA Như vậy BO OO 3 BO 3.OC. SC 3SA 1 SC x2 2a2 3x x a Vậy khi x = a thỡ hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau gúc 600 Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK) Cho hai tam giỏc ACD, BCD nằm trờn hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tớnh AB, IJ theo a và x b/ Với giỏ trị nào của x thỡ hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuụng gúc? Giải A I C D J B a/ Vỡ J là trung điểm của CD và AC = AD nờn AJ  CD Do mp ACD  mp BCD nờn AJ  mp BCD Mặt khỏc: AC = AD = BC = BD nờn tam giỏc AJB vuụng cõn, suy ra AB AJ 2, AJ 2 a2 x2 hay AJ a2 x2 Vậy AB 2 a2 x2 với a > x 1 1 Do IA = IB, tam giỏc AJB vuụng tại J nờn JI AB , tức là IJ 2 a2 x2 2 2 b/ Rừ ràng là CI và DI vuụng gúc với AB. Vậy mp ABC  mp ABD 1 Cã ID 900 IJ CD 2 1 1 a 3 2 a2 x2 .2x x 2 2 3 Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT) - 10 -
  11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi, cạnh bờn SA = AB và SA vuụng gúc với BC a/ Tớnh gúc giữa hai đường thẳng SD và BC b/ Gọi I, J lần lượt là cỏc điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng gúc giữa AC và IJ khụng phụ thuộc vào vị trớ của I và J Giải S J I A D B C a/ Vỡ BC // AD nờn gúc giữa SD và BC bằng gúc giữa SD và AD. Từ giả thiết, ta cú SA  BC nờn SA  AD Mặt khỏc SA bằng cạnh của hỡnh thoi ABCD, nờn Sã DA 450 là gúc phải tỡm. Vậy gúc giữa BC và SD bằng 450 b/ Do ABCD là hỡnh thoi nờn AC  BD Mặt khỏc IJ // BD nờn AC  IJ tức là gúc giữa IJ và AC bằng 900 khụng đổi. Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a/ Chứng minh rằng SO  mp ABCD b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng SO  mp d,d1 Giải S B C O A D a/ Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành và O AC  BD nờn OA = OC và OB = OD. Mặt khỏc SA = SC nờn SO  AC và SB = SD nờn SO  BD Vậy SO  mp ABCD b/ Vỡ AB // CD mà d = mp SAB  mp SCD nờn d // AB và d qua S Tương tự d1 // AD và d1 qua S - 11 -
  12. Do SO  mp ABCD nờn SO  d, SO  d1 Vậy SO  mp d,d1 Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT) Cho hai hỡnh chữ nhật ABCD, ABEF nằm trờn hai mặt phẳng khỏc nhau sao cho hai đường chộo AC và BF vuụng gúc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giỏc BCE và ADF. Chứng minh rằng a/ ACH và BFK là cỏc tam giỏc vuụng b/ BF  AH và AC  BK Giải A K D F B H E C AB  BCE  a/ Ta cú  CH  AH CH  BE  Vậy ACH là tam giỏc vuụng tại H Tương tự, ta cú BKF là tam giỏc vuụng tại K CH  BE b/ Ta cú  CH  BF CH  AB Mặt khỏc AC  BF Vậy BF  AH Tương tự ta cú AC  BK Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT) a/ Cho tứ diện DABC cú cỏc cạnh bằng nhau. Gọi H là hỡnh chiếu của D trờn mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC cú IA, IB, IC đụi một vuụng gúc. b/ Cho tứ diện IABC cú IA = IB = IC và IA, IB, IC đụi một vuụng gúc; H là hỡnh chiếu của I trờn mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC cú cỏc cạnh bằng nhau. Giải D I A C H M B a/ Kớ hiệu cạnh của tứ diện đó cho là a, dễ thấy H là trọng tõm của tam giỏc ABC. Từ đú - 12 -
  13. 2 2 2 2 2 2 a 3 6a DH DA AH a 3 9 a 6 DH 3 a 6 Do I là trung điểm của DH nờn IH 6 2 2 2 2 2 2 a 6 a 3 a Khi đú IM IH HM 6 6 4 a Tức là: IM 2 1 Xột tam giỏc IBC cú IM là trung tuyến và IM BC 2 Vậy IB  IC Tương tự như trờn, ta cú IA, IB, IC đụi một vuụng gúc b/ Vỡ IA, IB, IC đụi một vuụng gúc, IA = IB = IC và H là hỡnh chiếu của I trờn mp(ABC) nờn ABC là tam giỏc đều nhận H làm trọng tõm. 1 1 1 1 3 IA Ngoài ra hay IH IH 2 IA2 IB2 IC 2 IA2 3 2IA Do D là điểm đối xứng với H qua I nờn DH và DA = DB = DC 3 2x Đặt IA = x thỡ DH , AB x 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4x x 2. 3 4x 2x 2 Khi đú DA DH HA 2x 3 3 3 3 Vậy DA DB DC x 2 Do đú tứ diện DBCA cú cỏc cạnh bằng nhau Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT) Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi S là điểm trong khụng gian sao cho SAB là tam giỏc đều và mp(SAB) vuụng gúc với mp(ABCD) a/ Chứng minh rằng mp SAB  mp SAD và mp SAB  mp SBC b/ Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng mp SHC  mp SDI Giải S B I C H A D a/ Gọi H là trung điểm của AB thỡ SH  AB - 13 -
  14. Do SAB  ABCD nờn SH  ABCD SH  AD Mặt khỏc AD  AB Vậy AD  SAB Từ đú SAD  SAB Tương tự như trờn ta cú SBC  SAB b/ Giả sử SAD  SBC St , dễ thấy St // AD, từ đú mp ASB  St Do ãASB 600 nờn gúc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng 600 c/ Vỡ ABCD là hỡnh vuụng; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nờn HC  DI , mặt khỏc DI  SH Vậy DI  SHC , từ đú SDI  SHC . Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT) Cho hỡnh chữ nhật ABCD với tõm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong khụng gian sao cho SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SMN) với cỏc mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tỡm hệ thức liờn hệ giữa h và a để mp(SMN) vuụng gúc với cỏc mặt phẳng (SAB) và (SCD) b/ Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tớnh h theo a để hai mặt phẳng đú vuụng gúc. Giải S B C M O N A D a/ Vỡ MN  AB, SO  AB nờn AB  SMN SAB  SMN Vậy gúc giữa SMN và SAB bằng 900 Tương tự như trờn, gúc giữa SMN và SCD cũng bằng 900 Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tuỳ ý thỡ SMN vuụng gúc với cả hai mặt phẳng SAB và SCD b/ Dễ thấy SAB  SCD St, St // AB Như vậy St  SMN , từ đú Mã SN hoặc 1800 Mã SN là gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tớnh Mã SN Ta cú: SM 2 SN 2 h2 a2 MN 2 SM 2 SN 2 2SM.SN cos Mã SN 4a2 h2 a2 h2 a2 2 h2 a2 cos Mã SN - 14 -
  15. 2h2 2a2 h2 a2 Tức là cos Mã SN 2 h2 a2 h2 a2 h2 a2 Vậy gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là mà cos h2 a2 Từ đú hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuụng gúc khi và chỉ khi h = a Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt đỏy, SA = a. Tớnh: a/ Cỏc gúc giữa hai mặt phẳng chứa cỏc mặt bờn và mặt phẳng đỏy của hỡnh chúp b/ Gúc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bờn liờn tiếp hoặc hai mặt bờn đối diện của hỡnh chúp. Giải S C1 B I C A D J SAB  ABCD a/ Dễ thấy SAD  ABCD nờn gúc giữa mặt bờn (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 900 Ta cú SDA  CD và SDA là tam giỏc vuụng tại A nờn Sã DA là gúc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD) 1 Từ đú tan Sã DA 2 Tương tự tan Sã BA 1 Sã BA 450 1 Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) gúc bằng mà tan và mp(SBC) tạo với 2 mp(ABCD) gúc 450 b/ Vỡ SAD  SAB nờn gúc giữa hai mặt phẳng đú bằng 900 Ta cũng cú CD  SAD nờn SCD  SAD Vậy gúc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 900 . Tương tự, ta cũng cú gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 900 Ta cần phải tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) Trong mp(ABCD), qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC, nú cắt hai đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J, thỡ IJ  SC ã 0 ã Do đú, IC1J hoặc 180 IC1J là gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) Ta cú: AJ AC.tan ãACD 2a 5 - 15 -
  16. 1 1 1 1 1 6 a 5 2 2 2 2 2 2 AC1 AC1 AS AC a 5a 5a 6 ã AJ 2a 5 Đặt AC1J thỡ tan 2 6 AC1 a 5 6 1 ã a 5. ã AI AC tan ACI 2 6 Đặt AC1I  thỡ tan  AC1 AC1 a 5 2 6 6 2 6 6 Đặt IãC J thỡ tan 2 1 6 2 1 2 6. 2 6 Vậy gúc giữa mp(SBC) và (SCD) là 1800 mà tan 2 Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT) 2a 6 Trong mp (P), cho hỡnh thoi ABCD với AB = a, AC . Trờn đường thẳng vuụng 3 gúc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chộo của hỡnh thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng: a/ Tam giỏc ASC vuụng b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuụng gúc với nhau. Giải S A1 D A O C B 2a 6 4a2 a2 a/ Ta cú AC 2 BD2 4a2 , AC nờn BD2 OB2 3 3 3 2a2 a 6 Xột tam giỏc vuụng SOB, ta cú SO2 SB2 OB2 SO 3 3 Vậy tam giỏc SAC cú trung tuyến SO bằng nửa AC nờn SAC là tam giỏc vuụng cõn tại S b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuụng gúc với SA thỡ SA  mp A1BD ã 0 ã Từ đú BA1D hoặc 180 BA1D là gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) OA.OS OA.OS 1 a 6 a 3 Ta cú OA1 . . 2 SA OA2 OS 2 2 3 3 2a 3 Mặt khỏc BD , từ đú Bã A D 900 hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuụng gúc. 3 1 - 16 -
  17. Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT) Cho tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giỏc ABC; H và K lần lượt là trực tõm của tam giỏc ABC và tam giỏc DBC . Chứng minh rằng : a)mp ADE  mp ABC va mp BFK  mp ABC c) HK  mp ABC Bài làm A F D C H K B a)Vỡ AD vuụng gúc (DBC) nờn AD vuụng gúc BC Mặt khỏc AE vuụng gúc BC. Vậy BC vuụng gúc (ADE), từ đú ta cú (ABC) vuụng gúc (ADE) vỡ K là trực tõm tam giỏc DBC nờn BK vuụng gúc DC. Theo giả thiết AD vuụng gúc(DBC) Vậy BK vuụng gúc với AC ( định lý 3 đương vuụng gúc). Kết hợp với BF vuụng gọc với AC ta cú AC vuụng gúc (BFK) từ đo (ABC) vuụng gúc (BFK) b) từ a) ta cú (BFK) vuụng gúc (ABC) và (ADE) vuụng gúc (ABC) HK là giao của (ADE) và (ABC) Vậy HK vuụng gúc (ABC) Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT) S D' H A K B E H' K' F D C Trong mặt phẳng (P), cho hỡnh chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuụng gúc với (P) Bài làm Vỡ (SEF) vuụng gúc (ABCD) và AD vuụng gúc EF nờn AD vuụng gúc (SEF) Từ đú (SEF) vuụng gúc (SBC) Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD Do AD vuụng gúc (SEF), từ đú St vuụng gúc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180o- cung - 17 -
  18. ESF là gúc giữa hai mặt phẳng (ASD) và (SBC) Vỡ S thuộc đường trũn đường kớnh ẩ nờn cung ESF là 90o Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT) Hỡnh lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a a) Tớnh gúc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh A'B', BC, Đ' Chứng minh rằng AC' vuụng gúc với mp( MNP) A D C B N P D' A' M B' C' Bài làm a) ta cú C ' B '  ABB ' A' , B ' A  A' B nờn A' B  AC ' ( định lý ba đường vuụng gúc) Vậy gúc giữa AC’ và A’B bằng 90ob) b) Ta cú NP2 NC 2 CD2 DP2 a2 a2 3a 2 a2 4 4 2 3a 2 Tương tự , ta cú MN2=MP2= 2 Vậy MNP là tam giỏc đều mặt khỏc 5a 2 AN 2 AP2 AM 2 4 5a 2 A' N 2 C ' P2 C 'M 2 4 Từ đú AC '  MNP Bài 20 (BT 54 - tr 124 m- SBT) Hỡnh lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a . Xột tứ diện AB'CD'.Cắt tứ diện đú bằng mặt phẳng đi qua tõm của hỡnh lập phương và song song với mp(ABC). Tớnh diện tớch thiết diện thu được . Hóy xột kết quả của bài toỏn khi ABCD.A'B'C'D' là hỡnh hộp chữ nhật với ba kớch thước là a,b,c Bài làm - 18 -
  19. B' C' A' D' Q M P N B C A D Vỡ ABCD.A'B'C'D' là tứ diện đều Dễ thấy thiết diện là tứ giỏc MNPQ Trong đú M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB', AD', D'C,B'C. Do AB'CD' là tứ diện đều nờn B'D' vuụng AC Vậy tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng nờn cú diện tớch là (a2:2) Bài 21 ( BT 55a - tr 124 - sbt) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A'B'C' cú tất cả cỏc cạnh bằng a Gọi C1là trung điểm của C'C tớnh gúc giữa hai đường thẳng C1B và A'B'. Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC) C' A' C'' B' O C A M B Bài làm Vỡ AB//A’B’ nờn gúc giữa BC’’ và A’B’ là gúc giữa BC’’ và AB, Dễ thấy AC’’=BC’’ nờn ABC’’ là tam giỏc cõn . từ đú ãABC '' 900 Vậy gúc giữa AB và BC’’ là ãABC '' Gọi M là trung điểm của AB thỡ a a 5 MB .BC '' , MB  MC '' 2 2 MB 1 Từ đú cosãABC '' BC '' 5 Cũng từ kết quả trờn, ta cú CMC ''  AB và CMC’’ là tam giỏc vuụng tại C Nờn gúc giữa mp BAC '' và CAB là Cã MC '' a CC '' 1 Ta cú tan Cã MC '' 2 MC a 3 3 2 Vậy Cã MC '' 30o hay gúc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng 30o - 19 -
  20. ĐỀ BÀI Bài 1: (VD – tr 101 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a; SA vuụng gúc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hỡnh chiếu của điểm A trờn cỏc đường thẳng SB và SD a/ Chứng minh rằng MN PBD và SC  AMN b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giỏc AMKN cú hai đường chộo vuụng gúc 2. Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh tứ diện ABCD cú AB, BC, CD đụi một vuụng gúc và AB = a, BC = b, CD = c a/ Tớnh độ dài AD b/ Chỉ ra điểm cỏch đều A, B, C, D c/ Tớnh gúc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), gúc giữa đường thẳng AD và mp (ABC) Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh tứ diện OABC cú ba cạnh OA, OB, OC đụi một vuụng gúc. a/ Chứng minh tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn b/ Chứng minh rằng hỡnh chiếu H của điểm O trờn mp (ABC) trựng với trực tõm tam giỏc ABC 1 1 1 1 c/ Chứng minh rằng OH 2 OA2 OB2 OC 2 Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA  mp ABC , cỏc tam giỏc ABC và SBC khụng vuụng.Gọi H và K lần lượt là trực tõm của cỏc tam giỏc ABC và SBC. Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/ SC  mp BHK c/ HK  mp SBC Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC a/ Chứng minh rằng: SG  mp ABC . Tớnh SG - 20 -
  21. b/ Xột mặt phẳng (P) đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng SC. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đú hóy tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chúp S.ABC khi cắt bởi mp(P) Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK) Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuụng gúc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hỡnh lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giỏc đều. Tớnh diện tớch thiết diện đú. Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a và SA  mp ABCD , SA = x. Xỏc định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau gúc 60o Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK) Cho hai tam giỏc ACD, BCD nằm trờn hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tớnh AB, IJ theo a và x b/ Với giỏ trị nào của x thỡ hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuụng gúc? Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi, cạnh bờn SA = AB và SA vuụng gúc với BC a/ Tớnh gúc giữa hai đường thẳng SD và BC b/ Gọi I, J lần lượt là cỏc điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng gúc giữa AC và IJ khụng phụ thuộc vào vị trớ của I và J Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a/ Chứng minh rằng SO  mp ABCD b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng SO  mp d,d1 Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT) Cho hai hỡnh chữ nhật ABCD, ABEF nằm trờn hai mặt phẳng khỏc nhau sao cho hai đường chộo AC và BF vuụng gúc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giỏc BCE và ADF. Chứng minh rằng a/ ACH và BFK là cỏc tam giỏc vuụng b/ BF  AH và AC  BK Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT) a/ Cho tứ diện DABC cú cỏc cạnh bằng nhau. Gọi H là hỡnh chiếu của D trờn mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC cú IA, IB, IC đụi một vuụng gúc. b/ Cho tứ diện IABC cú IA = IB = IC và IA, IB, IC đụi một vuụng gúc; H là hỡnh chiếu của I trờn mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC cú cỏc cạnh bằng nhau. Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT) Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi S là điểm trong khụng gian sao cho SAB là tam giỏc đều và mp(SAB) vuụng gúc với mp(ABCD) a/ Chứng minh rằng mp SAB  mp SAD và mp SAB  mp SBC b/ Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) - 21 -
  22. c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng mp SHC  mp SDI Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT) Cho hỡnh chữ nhật ABCD với tõm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong khụng gian sao cho SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SMN) với cỏc mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tỡm hệ thức liờn hệ giữa h và a để mp(SMN) vuụng gúc với cỏc mặt phẳng (SAB) và (SCD) b/ Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tớnh h theo a để hai mặt phẳng đú vuụng gúc. Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt đỏy, SA = a. Tớnh: a/ Cỏc gúc giữa hai mặt phẳng chứa cỏc mặt bờn và mặt phẳng đỏy của hỡnh chúp b/ Gúc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bờn liờn tiếp hoặc hai mặt bờn đối diện của hỡnh chúp. Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT) 2a 6 Trong mp (P), cho hỡnh thoi ABCD với AB = a, AC . Trờn đường thẳng vuụng 3 gúc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chộo của hỡnh thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng: a/ Tam giỏc ASC vuụng b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuụng gúc với nhau. Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT) Cho tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giỏc ABC; H và K lần lượt là trực tõm của tam giỏc ABC và tam giỏc DBC . Chứng minh rằng : a)mp ADE  mp ABC va mp BFK  mp ABC c) HK  mp ABC Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT) Trong mặt phẳng (P), cho hỡnh chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuụng gúc với (P) Lời giải Bài 1: 1.a/ * CMR: MN PBD +) Ta cú: VSAB VSAD AM AN (2 đường cao tương ứng) BM ND (do VMAB VNAD ) SB SD +) Xột VSBD cú MN PBD BM DN * CMR: SC  mp AMN Cỏch 1: BC  AB gt +) Vỡ BC  SAB BC  MA BC  SA do SA  ABCD - 22 -
  23. MA  BC +) Cú MA  SC (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giỏc thỡ  với MA  SB gt cạnh cũn lại) CM tương tự ta cú: NA  SC Vậy SC  mp AMN Cỏch 2: +) Vỡ BC  SAB SB là hỡnh chiếu của SC trờn (SAB) Lại cú: MA  SB MA  SC 1 +) CD  SAD SD là hỡnh chiếu của SC trờn (SAD) Lại cú AN  SD AN  SC 2 Vậy từ (1) và (2) ta cú: SC  mp AMN Cỏch 3: +) MN PBD Mà BD  AC với AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) MN  SC +) AM  SC SC  (AMN) b/ CMR: AK  MN BD  AC Cú BD  SAC BD  SA Mặt khỏc: BD // MN MN  (SAC) MN  AK 2. Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a +) Vỡ AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) gúc giữa (ABCD) và SC là gúc giữa SC và AC +) Vỡ VASC cú AS = AC = a 2 goc SCA 450 gúc cần tỡm là 450 +) VSBC vuụng tại B cú Bài 17 (Đề số 32 – tr 42- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam gớac cõn với AB = AC = a và gúc BAC 1200 , cạnh bờn BB’ = a. Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giỏc AB’I vuụng ở A. Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Lời giải A' C' B' a I H A C a a B +)Sẽ tính được : - 23 -
  24. 13a2 IB'2 IC '2 B' C '2 4 13a2 AI '2 AB'2 4 Vậy AB' I vuông tại A +)Chú ý rằng ABC chính là hình chiếu vuông góc của AB' I nên ta có: S S .cos ABC AB' I a2 3 a2 10 3 30 .cos cos 4 10 10 10 Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu của điểm A’ lờn mặt phẳng (ABC) là trực tõm H của tam giỏc ABC, gúc giữa đường thẳng chứa cạnh bờn và mặt phẳng đỏy của hỡnh lăng trụ bằng . Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuụng gúc với nhau. Tớnh diện tớch mặt bờn BCC’B’ của hỡnh lăng trụ. Lời giải A' C' B' A C H M B Gọi H là trực tâm ABC .Theo giả thiết A' H  (ABC) nên AH là hình chiếu của A' A trên mp(ABC) ãA' AH Ta có A' H  (ABC), BC  AH AA'  BC BC  BB ' Mặt bên BCC ' B ' là hình chữ nhật SBCC 'B' BB '.BC a 3 2 a 3 Trong ABC đều cạnh a H là trực tâm cũng là trọng tâm nên AH . 2 3 3 AH a 3 a 3 Trong tam giác vuông A' AH : A' A , B ' B A' A cos 3cos 3cos a 3 a2 3 Vậy S .a BCC 'B' 3cos 3cos Bài19 ( Đề CĐ Giao thụng Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc vuụng tại A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0) .Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và BC’. Lời giải - 24 -
  25. z A' C' B' C y A B x Chonj trục hệ toạ độ 0xyz sao cho các đỉnh của hình lăng trụ có toạ độ là: A(0;0;0),B(a;0:0), C(0;a;0),C '(0;a;a) có  AC (0;a;0)  BC ' ( a;a;a)  AB (a;0;0)   2 2 AC, BC ' (a ;0a )    3 AC, BC ' .AB a 0 AC, BC ' chéo nhau KHoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC ' là:    3 AC, BC ' .AB a a a 2 d(AC; BC ')   a4 0 a4 2 2 AC, BC ' Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007)(Đề số 37 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a 3 , cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và Sa = 2a. Tớnh khoảnh cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a. Lời giải - 25 -
  26. S H C A M B Gợi M là trung điểm của BC ta có BC  AM ( ABC đều) BC  SA(gt) BC  mp(SAM ) (1) Kẻ AH  SM tại H,AH  BC theo (1) AH  SBC . Vậy d(A,(SBC)) AH Có AM là đường cao của đều ABC cạnh a 3 (a 3). 3 3a AM 2 2 Có AH là đường cao của vuông SAM ta có 1 1 1 4 1 6a AH (đơn vị dài) AH 2 AM 2 SA2 9a2 4a2 5 Bài 21 ( Đề CĐ cơ khớ luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho tứ diện ABCD cú ABC là tam giỏc đều cạnh a, AD vuụng gúc BC, AD = a và khoảng cỏch từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh BC vuụng gúc mặt phẳng (ADH) và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của hai đường thẳng AD, BC. Lời giải D K C A H I B +)Theo giả thiết ABC đều. Và HB HC BC  AH Mặt khác: BC  AD(gt) BC  (ADH ) - 26 -
  27. +)Trong mặt phẳng (ADH) dựng KH  AD Vì BC  (ADH ) BC  HK KH là đường vuông góc chung của AD và BC Theo gt ta có: DH a DHA cân tại D DI  AH DI.AH 2S DI.AH HK.AD HK ADH AD 2 a 3 2 2 2 a 3 a 13 Mà AD a; AH ; DI DA AI a 2 4 4 a 39 Vậy HK 8 Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007)(Đề số 39 – tr 51- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N là trung điểm BC và C’D’. mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ ở P. Tớnh tỉ số PC ' B 'C ' Lời giải Nối AM cắt CD tại Q Gọi I CD 'QN P MI  B 'C ' MB MC CQ BA (Talét) CQ CD NC ' 1/ 2C ' D ' 1/ 2CD 1/ 2QC IC ' 1 IC ' N đồng dạng ICQ IC 2 PC ' IC ' 1 IC ' P đồng dạng ICM MC IC 2 PC ' 1 MC 1/ 2BC 1/ 2B 'C ' B 'C ' 4 Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)(Đề số 40 – tr 52- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O và cú SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Lời giải SAC cân và OA OC SO  AC SBD cân và OB OD SO  BD AC  BO O .Vậy SO  (ABCD) Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)(Đề số 41 – tr 53- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a và SA a 3 . Tớnh gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy của hỡnh chúp S.ABCD. Lời giải - 27 -
  28. S N M I D K C O A H B Goi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có: SH  AB, SK  CD Hã SK 60o HSK là tam giác đều cạnh bàng a Gọi I SK  (ABMN) HI (SHK)  (ABMN) do (ABMN)  (SCD) và (SHK)  (SCD) HI  (SCD) HI  SK I là trung điểm của SK và M,N lần lượt là trung diểm của SC,SD Tứ giác ABMN là hình thang cân , có diện tích là: 1 3 3a2 S (AB MN).HI 2 8 Bài 25( Đề CĐ Cụng nghiệp Tp HCM 2007)(Đề số 42 – tr 54- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a. Cỏc mặt bờn (SAB) và (SCD) tạo với nhau một gúc 600. Qua AB dựng mặt phẳng ( ) vuụng gúc với mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại M và N. Tớnh diện tớch thiết diện ABMN. Bài làm S N M I D K C O A H B Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD ta cú: SH  AB, SK  CD Hã SK 600 HSK là tam giỏc đều cạnh a Gọi I SK  ABMN - 28 -
  29. HI SHK  ABMN Do (ABMN) vuụng gúc với (SCD) và (SHK)vuụng gúc với (SCD) Suy ra HI  SCD HI  SK I là trung điểm của SK và M,N lần lượt là trung diểm của SC,SD Tứ giác ABMN là hình thang cân , có diện tích là: 1 3 3a2 S (AB MN).HI 2 8 Bài 26 ( Đề CĐ KTKT- 2007)(Đề số 44 – tr 57- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho tứ diện ABCD cú : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c. Chứng minh rằng bốn mặt của tứ diện là cỏc tam giỏc cú 3 gúc nhọn. Bài làm Vỡ 4 mặt của tứ diện là cỏc tam giỏc bằng nhau nờn Bã AC ãACD, Bã AD ãADC Xột tam giỏc ACD cú: ãACD Cã AD ãADC 1800 Bã AC Cã AD Dã AB 1800 Tại gúc tam diện đỉnh A cú : Bã AC Cã AD Dã AB (1) Cộng 2 vế của (1) dốc Bã AC ta cú: (1) 2Bã AC Cã AD Dã AB Bã AC 1800 Bã AC 900 , ỏc gúc khỏc chứng minh tương tự. Vậy 4 mặt tứ diện là cỏc tam giỏc cú 3 gúc nhọn Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006)(Đề số 54 – tr 67- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, đường cao SH a 3 . Tớnh gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy của hỡnh chúp SABCD. Bài làm S N I M K D C O A H B Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta cú: - 29 -
  30. SH  AB, SK  CD Hã SK 600 SHK là tam giỏc đều cạnh bằng a Gọi I SK  ABMN HI SHK  ABMN Do ABMN  SCD và SHK  SCD HI  SCD HI  SK I là trung điểm của SK và m, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Tứ giỏc ABMN là hỡnh thang cõn , cú diện tớch là : 1 a q 3 S AB MN .HI , với AB=a, MN .HI 2 2 2 3 3a2 Ta cú S 8 Bài 28( Đề CĐ HV – 2006)(Đề số 55 – tr 69- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SC. Bài làm S I K A B O D C Ta cú SA  BD BD  SAC và AC  BD BD  SAC tại O trong mặt phẳng (SAC), kẻ AI  SC và kẻ OK  SC tại K; OK  BD OK là đường vuụng gúc chung của SC và BD 1 Khoảng cỏch d(SC;BD)=OK=AI ( vỡ OK//AI, qua O là trung điểm AC). 2 Trong tam giỏc vuụng AIC, ta cú: 1 1 1 1 1 3 a 6 AI AI 2 AS2 AC 2 a2 2a 2 2a 2 3 AI a 6 Vậy d(BD; SC)=OK= 2 6 Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002)(Đề số 19 – tr 26 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) - 30 -
  31. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC đỉnh S, cú độ dài cạnh đỏy bằng a. Gọi M và N lần lựot là trung điểm của cỏc cạnh SB và SC. Tớnh theo a diện tớch tam giỏc AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuụng gúc với mặt phẳng (SBC). Bài làm S N I M C A K B Gọi K là trung điểm của BC và I= SK  MN Từ giả thiết 1 a MN BC 2 2 MN//BC I là trung điểm của SK và MN Ta cú AMN cõn tại A suy ra AI  MN Mặt khỏc SBC  AMN SBC  AMN MN AI  AMN AI  MN AI  SBC AI  SK Suy ra SAK cõn tại A a 3 SA AK SB 2 3a 2 a2 a2 SK 2 SB2 BK 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 SK 3a a a 10 AI SA SI SA 2 4 8 4 Ta cú 1 a2 10 S MN.AI SAK 2 16 Bài 30( Đề ĐH Khối B – 2002)(Đề số 20 – tr 28 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh lập phương ABCD.A1B1C1D1 cú cỏc cạnh bằng a. a.Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng A1B và B1D. b.Gọi M, N, P lần lượt là cỏc trung điểm của cỏc cạnh B1B, CD, A1D1. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng MP và C1N. - 31 -
  32. Bài làm A' D' B' C' G I A D B C a)Tỡm khoảng cỏch giữa A;B và B’D Chọn hệ tọa độ đề cỏc vuụng gúc 0xyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;a),D(0;a;0),A’(0,0,a) C a;a;0 ; B ' a;0;a ;C ' a;a;a , D ' 0;a;a      A' B a,0, a , B ' D a;a; a , A' B ' a;0;0 và [A' B, B ' D] a2 ;2a 2 ;a2    3 A' B, B ' D A' B ' a a Vậy d A' B, B ' D  a2 6 6 A' B, B ' D c) từ trờn ta tỡm được M,N,P a a a   MP a, ; , NC ' ,0,a MP.NC ' 0 2 2 2 Vậy MP vuụng gúc với C’N Bài 31( Đề ĐH Khối D – 2002)(Đề số 20 – tr 28 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm.Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (BCD). Bài làm D H C A E B Từ giả thiết suy ra tam giỏc ABC vuụng tại A, do đú AB  AC Lại cú AD  mp ABC AD  AB và AD  AC nờn AB,AC,AD dooi một vuụng gúc nhauDo đú cú thể chọn hệ tọa độ đề cỏc vuụng gúc, gốc A sao cho B(3;0;0) C(0;4;0), D(0;0;4). Mặt phẳng (BCD) cú phương trỡnh: - 32 -
  33. x y z 1 0 3 4 4 1 6 34 Khoảng cỏch cần tớnh là 1 1 1 17 9 16 16 Bài 32( Đề ĐH Khối D – 2003)(Đề số 18 – tr 25 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuụng gúc với nhau, cú giao tuyến là đường thẳng . Trờn lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuụng gúc với và AC = BD = AB. Tớnh bỏn kiớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Bài làm C P H B A Q D Ta cú P  Q và = P  Q Mà AC  AC  Q AC  AD Hay Cã AD 900 Tương tự ta cú BD  Nờn BD  P do đú Cã BD 900 Vậy A và B nằm trờn mặt cầu là: CD 1 R . BC 2 BD2 2 2 1 a 3 AB2 AC 2 DB2 2 2 Gọi H là trung điểm của BC AH  BC do BD  P nờn BD  AH AH  BCD 1 a 2 Vậy AH là khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (BCD) và AH BC 2 2 Bài 33( Đề ĐH Khối D – 2007)(Đề số 6 – tr 11 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang, gocABC gocBAD 900 ., BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA a 2 . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng của A trờn SB. Chứng minh tam giỏc SCD vuụng và tớnh theo a khoảng cỏch từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài làm - 33 -
  34. I A B P Tỡm m để tồn tại duy nhất P thuộc d mà từ đú kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường trũn (C) sao cho tam giỏc PAB đều Đường trũn (C): (x 1)2 y 2 2 9 tõm I(1;-2); bỏn kớnh R=3 tam giỏc PAB đều trờn ãAPI Bã PI 300 PI 2IA 2R 6 P thuộc đường trũn bỏn kớnh R’=6, tõm I Mặt khỏc P thuộc d nờn tọa độ của P là nghiệm của hệ 2 2 x 1 y 2 36 3x 4y m 0 Theo giả thiết hệ cú nghiệm duy nhất , tức d phải tiếp xỳc với (C’), tức khoảng cỏch từ tõm I của (C’)tới d bằng 6 3x 4y m H(I.d)=1 1 =6 32 42 3 4 2 m 6 5 m 11 30 m 19 m 41 Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007)(Đề số 5 – tr 10 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuụng gúc với BD và tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài làm - 34 -
  35. S E P M A D O I B N C Gọi P à trung điểm của SA . Theo giả thiết ta cú MP//AD//NC và MP=NC nờn MPCN là hỡnh bỡnh hành Suy ra MN//PC BD  AC BD  SAC BD  SO BD  PC BD  MN Vỡ MN//PC SAC nờn a 2 d MN, AC d MN, SAC d N, SAC NI 4 Bài 35(Đề ĐH Đà Nẵng Khối A-2001- tr 83- sttdt 2001) Cho tứ diện SABC cú SC CA AB a 2. SC  ABC , tam giỏc ABC vuụng tại A, cỏc điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) 1. Tớnh độ dài đoạn thẳng MN. 2. Tỡm giỏ trị của t để đoạn MN ngắn nhất, 3. Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuụng gúc chung của BC và SA Bài làm S M C N H B A - 35 -
  36. 1.Kẻ MH//SC Thỡ MH và (ABC) vuụng gúc Ta cú MN 2 MH 2 NH 2 Do giả thiết tam giỏc SAC vuụng cõn ở C, SC=CA= a 2 t Suy ra MAH vuụng cõn ở H cú cạnh huyền AM =t suy ra AH =MH= 2 Trong tam giỏc cú Cà 450 t 2a-t CH=AC-AH= a 2 2 2 Vỡ CN=t 2 2 2a-t 2a t 2 t 2a NH 2 t 2 2t. . t 2 t 2a t 2 2 2 2 2 t 2 t 2a Do đú MN t 2 t 2a t 3t 2 4at 2a 2 2 2 2a 2.MN ngắn nhất t 3 3. khi MN ngắn nhất thỡ t= 2a 3 2a 2 MN 2 3 2a 4a 2 MA t MA2 3 9 AN 2 CN 2 CA2 2CN.CA.cos450 Trong tam giỏc CNA ta cú 10a 2 9 10a 2 4a 2 2a 2 AN 2 , AM 2 , MN 2 Xột tam giỏc AMN cú 9 9 3 AN 2 AM 2 MN 2 MN  SA Tương tự ta cũng cú MN BC Vậy MN là đương vuồng gúc chung của BC và SA Bài 36(Đề ĐH GTVT Khối A-2001- tr 90- sttdt 2001) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn cú AB = Ac = a, M là trung điểm của cạnh BC. Trờn cỏc nửa đường thẳng AA’ và MM’ vuụng gúc với mp(ABC) về cựng một phớa, lấy tương ứng cỏc điểm N và I N AA'; I MM ' sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng AH vuụng gúc với NI. Bài làm - 36 -
  37. N I H A D B M C Gọi D là giao điểm của NI và AM Ta cú AN//MI Xột AND , theo định lớ ta lột: DM MI 1 DA AN 2 Vậy M là trung điểm của AD Mà M là trung điểm của BC (gt) ABCD là hỡnh chữ nhật Ta cú : AN (ABCD) AN  DB DB  (ABN), AH  ABN Do ABCD là hỡnh vuụng AH  NBD và AH  NI CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN 27/02/2010 Bài 1 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a; SA vuụng gúc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hỡnh chiếu của điểm A trờn cỏc đường thẳng SB và SD a/ Chứng minh rằng MN PBD và SC  AMN b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giỏc AMKN cú hai đường chộo vuụng gúc 2. Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a Bài 2 Cho hỡnh tứ diện ABCD cú AB, BC, CD đụi một vuụng gúc và AB = a, BC = b, CD = c a/ Tớnh độ dài AD - 37 -
  38. b/ Chỉ ra điểm cỏch đều A, B, C, D c/ Tớnh gúc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), gúc giữa đường thẳng AD và mp (ABC) Bài 3 Cho hỡnh tứ diện OABC cú ba cạnh OA, OB, OC đụi một vuụng gúc. a/ Chứng minh tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn b/ Chứng minh rằng hỡnh chiếu H của điểm O trờn mp (ABC) trựng với trực tõm tam giỏc ABC c/ Chứng minh rằng 1 1 1 1 OH 2 OA2 OB 2 OC 2 Bài 4 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA  mp ABC , cỏc tam giỏc ABC và SBC khụng vuụng.Gọi H và K lần lượt là trực tõm của cỏc tam giỏc ABC và SBC. Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/ SC  mp BHK c/ HK  mp SBC Bài 5 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC a/ Chứng minh rằng: SG  mp ABC . Tớnh SG b/ Xột mặt phẳng (P) đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng SC. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đú hóy tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chúp S.ABC khi cắt bởi mp(P) Bài 6 Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuụng gúc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hỡnh lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giỏc đều. Tớnh diện tớch thiết diện đú. Bài 7 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a và SA  mp ABCD , SA = x. Xỏc định x để hai mặt phẳng (SBC) và o (SDC) tạo với nhau gúc 60 Bài 8 Cho hai tam giỏc ACD, BCD nằm trờn hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tớnh AB, IJ theo a và x b/ Với giỏ trị nào của x thỡ hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuụng gúc? Bài 9 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi, cạnh bờn SA = AB và SA vuụng gúc với BC a/ Tớnh gúc giữa hai đường thẳng SD và BC b/ Gọi I, J lần lượt là cỏc điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng gúc giữa AC và IJ khụng phụ thuộc vào vị trớ của I và J Bài 10 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a/ Chứng minh rằng SO  mp ABCD b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng d1 SO  mp d,d1 Bài 11 Cho hai hỡnh chữ nhật ABCD, ABEF nằm trờn hai mặt phẳng khỏc nhau sao cho hai đường chộo AC và BF vuụng gúc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giỏc BCE và ADF. Chứng minh rằng a/ ACH và BFK là cỏc tam giỏc vuụng b/ BF  AH và AC  BK Bài 12 a/ Cho tứ diện DABC cú cỏc cạnh bằng nhau. Gọi H là hỡnh chiếu của D trờn mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC cú IA, IB, IC đụi một vuụng gúc. b/ Cho tứ diện IABC cú IA = IB = IC và IA, IB, IC đụi một vuụng gúc; H là hỡnh chiếu của I trờn mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC cú cỏc cạnh bằng nhau. Bài 13 Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi S là điểm trong khụng gian sao cho SAB là tam giỏc đều và mp(SAB) vuụng gúc với mp(ABCD) a/ Chứng minh rằng mp SAB  mp SAD và mp SAB  mp SBC b/ Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng mp SHC  mp SDI Bài 14 Cho hỡnh chữ nhật ABCD với tõm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong khụng gian sao cho SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SMN) với cỏc mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tỡm hệ thức liờn hệ giữa h và a để mp(SMN) vuụng gúc với cỏc mặt phẳng (SAB) và (SCD) b/ Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tớnh h theo a để hai mặt phẳng đú vuụng gúc. Bài 15 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt đỏy, SA = a. Tớnh: a/ Cỏc gúc giữa hai mặt phẳng chứa cỏc mặt bờn và mặt phẳng đỏy của hỡnh chúp b/ Gúc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bờn liờn tiếp hoặc hai mặt bờn đối diện của hỡnh chúp. 2a 6 Bài 16Trong mp (P), cho hỡnh thoi ABCD với AB = a, AC . Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của 3 hai đường chộo của hỡnh thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng: a/ Tam giỏc ASC vuụng b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuụng gúc với nhau. - 38 -
  39. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN (tiếp)26/03/2010 0 Bài 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam gớac cõn với AB = AC = a và gúc BAC 120 , cạnh bờn BB’ = a. Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giỏc AB’I vuụng ở A. Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Bài 18 Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu của điểm A’ lờn mặt phẳng (ABC) là trực tõm H của tam giỏc ABC, gúc giữa đường thẳng chứa cạnh bờn và mặt phẳng đỏy của hỡnh lăng trụ bằng . Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuụng gúc với nhau. Tớnh diện tớch mặt bờn BCC’B’ của hỡnh lăng trụ. Bài19 ( Đề CĐ Giao thụng Vận tải 2007) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc vuụng tại A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0) .Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và BC’. Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a 3 , cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và Sa = 2a. Tớnh khoảnh cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a. Bài 21 ( Đề CĐ cơ khớ luyện kim - 2007)Cho tứ diện ABCD cú ABC là tam giỏc đều cạnh a, AD vuụng gúc BC, AD = a và khoảng cỏch từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh BC vuụng gúc mặt phẳng (ADH) và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của hai đường thẳng AD, BC. Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007) Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N là trung điểm BC và C’D’. mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ ở P. Tớnh tỉ số PC ' B 'C ' Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O và cú SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a và SA a 3 . Tớnh gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy của hỡnh chúp S.ABCD. Bài 25( Đề CĐ Cụng nghiệp Tp HCM 2007) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a. Cỏc mặt bờn (SAB) và (SCD) tạo với nhau một gúc 600. Qua AB dựng mặt phẳng ( ) vuụng gúc với mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại M và N. Tớnh diện tớch thiết diện ABMN. Bài 26( Đề CĐ KTKT- 2007) Cho tứ diện ABCD cú : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c. Chứng minh rằng bốn mặt của tứ diện là cỏc tam giỏc cú 3 gúc nhọn. Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, đường cao SH a 3 . Tớnh gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy của hỡnh chúp SABCD. Bài 28( Đề CĐ HV – 2006) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SC. Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002) Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC đỉnh S, cú độ dài cạnh đỏy bằng a. Gọi M và N lần lựot là trung điểm của cỏc cạnh SB và SC. Tớnh theo a diện tớch tam giỏc AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuụng gúc với mặt phẳng (SBC). Bài 30( Đề ĐH Khối B – 2002) Cho hỡnh lập phương ABCD.A1B1C1D1 cú cỏc cạnh bằng a. a.Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng A1B và B1D. b.Gọi M, N, P lần lượt là cỏc trung điểm của cỏc cạnh B1B, CD, A1D1. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng MP và C1N. Bài 31( Đề ĐH Khối D – 2002) Cho hỡnh tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm.Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (BCD). Bài 32( Đề ĐH Khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuụng gúc với nhau, cú giao tuyến là đường thẳng . Trờn lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuụng gúc với và AC = BD = AB. Tớnh bỏn kiớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Bài 33( Đề ĐH Khối D – 2007) 0 cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang, gocABC gocBAD 90 ., BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA a 2 . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng của A trờn SB. Chứng minh tam giỏc SCD vuụng và tớnh theo a khoảng cỏch từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuụng gúc với BD và tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài 35(Đề ĐH Đà Nẵng Khối A-2001) Cho tứ diện SABC cú SC CA AB a 2. SC  ABC , tam giỏc ABC vuụng tại A, cỏc điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) 4. Tớnh độ dài đoạn thẳng MN. 5. Tỡm giỏ trị của t để đoạn MN ngắn nhất, 6. Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuụng gúc chung của BC và SA Bài 36(Đề ĐH GTVT Khối A-2001) - 39 -
  40. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn cú AB = Ac = a, M là trung điểm của cạnh BC. Trờn cỏc nửa đường thẳng AA’ và MM’ vuụng gúc với mp(ABC) về cựng một phớa, lấy tương ứng cỏc điểm N và I N AA'; I MM ' sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng AH vuụng gúc với NI. Lời giải Bài 1: 1.a/ * CMR: MN PBD +) Ta cú: VSAB VSAD AM AN (2 đường cao tương ứng) BM ND (do VMAB VNAD ) SB SD +) Xột VSBD cú MN PBD BM DN * CMR: SC  mp AMN Cỏch 1: BC  AB gt +) Vỡ BC  SAB BC  MA BC  SA do SA  ABCD MA  BC +) Cú MA  SC (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giỏc thỡ  với MA  SB gt cạnh cũn lại) CM tương tự ta cú: NA  SC Vậy SC  mp AMN Cỏch 2: +) Vỡ BC  SAB SB là hỡnh chiếu của SC trờn (SAB) Lại cú: MA  SB MA  SC 1 +) CD  SAD SD là hỡnh chiếu của SC trờn (SAD) Lại cú AN  SD AN  SC 2 Vậy từ (1) và (2) ta cú: SC  mp AMN Cỏch 3: +) MN PBD Mà BD  AC với AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) MN  SC +) AM  SC SC  (AMN) b/ CMR: AK  MN BD  AC Cú BD  SAC BD  SA Mặt khỏc: BD // MN MN  (SAC) MN  AK 2. Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a +) Vỡ AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) gúc giữa (ABCD) và SC là gúc giữa SC và AC +) Vỡ VASC cú AS = AC = a 2 goc SCA 450 gúc cần tỡm là 450 +) VSBC vuụng tại B cú - 40 -
  41. - 41 -