Chuyên đề Hình học Lớp 11: Quan hệ vuông góc - Nguyễn Thị Kim Cương

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 11: Quan hệ vuông góc - Nguyễn Thị Kim Cương

1. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 Dạng I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC A. Phương phỏp chứng minh: C1 : Dựng cỏc quan hệ vuụng gúc đó biết trong mặt phẳng. C2 : a  b gúc(a;b) 90o . C3: Dựng hệ quả: a b a  (P)  a  b P b  (P) C4: Dựng hệ quả: b a b // c , a  b a  c c C5 : Dựng hệ quả: a b a song song (P)  a  b b  (P) P  C6 : Sử dụng định lớ ba đường vuụng gúc. C7: Dựng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuụng gúc với hai cạnh của một tam giỏc thỡ vuụng gúc với cạnh cũn lại của tam giỏc  AB  B   BC  AC  A C B. Bài tập ỏp dụng Bài1.Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = 16a, CD = 12a, MN = 10a. CM AB vuụng gúc với CD Bài2.Cho hỡnh chop S.ABC cú AB = AC, gúc SAC = gúc SAB. M là trung điểm BC. CM a. AM vuụng gúc với BC và SM vuụng gúc với BC b. SA vuụng gúc với BC Bài3.Cho tứ diện ABCD cú AB = CD. ( ) song song với AB và CD cắt cỏc cạnh cũn lại lần lượt tại M, N, P, Q a. Tứ gicỏ MNPQ là hỡnh gỡ b. Xỏc định vị trớ ( ) sao cho Mp vuụng gúc NQ Bài5.Cho hỡnh chop S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang đỏy lớn là AD và gúc A = 90 0. Biết AD = 2BC = 2AB. a. CM: AC vuụng gúc CD b. Với E là trung điểm AD tỡn giao tuyến của 2 mp(SBC) và (SCD) c. biết gúc SCD = 900. Xỏc định gúc giữa SA và BE 1
2. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 DẠNG II. Đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng A. Phương phỏp chứng minh C1 : Dựng định lý: Đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng khi nú vuụng gúc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng a b b , c cắt nhau , b,c  (P) , a  b, a  c a  (P) c P C2 : Dựng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuụng gúc với mặt phẳng thỡ đường thẳng kia cũng vuụng gúc với mặt phẳng b a P a // b , b  (P) a  (P) C3 : Dựng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuụng gúc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuụng gúc với giao tuyến b thỡ đường thẳng a cũng vuụng gúc với mặt phẳngQ kia a b P (P)  (Q) b   a  (P) a  (Q),a  b C4 : Dựng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cựng vuụng gúc với mặt phẳng thứ ba thỡ giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuụng gúc với mặt phẳng thứ ba đú ( )  ()    (P) ( )  (P),()  (P) ( ) () P Lưu ý hs yếu cỏc kiến thức thường gặp: - Tam giỏc ABC cõn ở đỉnh A thỡ đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao - Tam giỏc đều thỡ mọi đường trung tuyến đều là đường cao - Hỡnh thoi, hỡnh vuụng cú 2 đường chộo vuụng gúc với nhau B.Bài tập ứng dụng Bài1.Cho tứ diện ABCD cú 2 mặt ABC và DBC là hai tam giỏc cõn chung đỏy BC. Gọi I là trung điểm BC. a. chứng minh BC vuụng gúc AD 2
3. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 b. kẻ AH là đường cao trong tam giỏc ADI. Chứng minh AH vuụng gúc với mp(BCD) Bài2.Cho hỡnh chop SABC. SA vuụng gúc với đỏy (ABC) và đỏy là tam giỏc vuụng tại B. a. CM BC  SB b. Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giỏc SAB và SAC. CM AH  (SBC), SC  ( AHK) Bài3.Cho hỡnh chop S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh a. SO vuụng gúc với (ABCD) b. AC vuụng gúc SD a 6 Bài4.Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = và cỏc cạnh cũn lại đều bằng a. Gọi I là trung 2 điểm BC. CM: a. BC  SA b. SI  (ABC) DẠNG III. Liờn hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuụng gúc của đường thẳng và mặt phẳng A. Cỏc định lý 1. b a P a // b b  ( ) a  ( )  a b ( ) //( ) a  b a  2. a  ( ) 3. a  //  4. a  a // b 5. a   b a // a   b  B. Bài tập ứng dụng Bài1.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc (ABCD). Gọi là mặt phẳng qua A và vuụng gúc với SC, cắt SC tại I. a. Xỏc định giao điểm của SO và b. CM BD vuụng gúc SC. Xột vị trớ tương đối của BD và c. Xỏc định giao tuyến của (SBD) và Bài2.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc (BCD) và SA = AB. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuụng gúc với (AHD) Bài3.Cho tam giỏc ABC cõn tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH  (ABC). Trờn đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN  (ABC) Bài4.Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B, SA  (ABC) 3
4. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 a. Kẻ đ/cao AH trong tam giỏc SAB. CM BC  (SAB) và AH  (SBC) b. Kẻ đường cao AK trong tam giỏc SAC. CM SC  (AHK) c. Kẻ đường cao BM trong tam giỏc . CM BM //(AHK) DẠNG IV. Mặt phẳng vuụng gúc mặ phẳng A. Phương phỏp chứng minh . C1 : Chứng minh gúc giữa chỳng là một vuụng. ( )  () , Ox  ( ),Ox  , Oy  (),Oy  x y Khi đú: ã o  gúc (( );()) gúc (Ox;Oy) xOy : 0 90 O ( )  () 90o C2 : Dựng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau nếu cú một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuụng gúc với mặt phẳng kia. a  () a  ( )  ()  a  ( ) B. Bài tập ứng dụng: Bài1.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi. Cỏc tam giỏc SAC và tam giỏc SBD cõn tại S. Gọi O là tõm hỡnh thoi a. CM SO  (ABCD) b. CM (SAC)  (SBD) Bài2.Hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng cõn tại B. SA đỏy a. CM: (SAB)  (SBC) b. Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC)  (SBM) Bài3.Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA  (ABC). Tam giỏc ABC vuụng tại B a. CM: (SAC)  (ABC) b. Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn SC. K là hỡnh chiếu của A lờn SB. CM (AHK)  (SBC) c. Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AI AH Bài4.Hai tam giỏc ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau . AC =AD =BC =BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD a. CM: IJ  AB , IJ CD b. Tớnh IJ và AB theo a và x c. Xỏc định x sao cho (ABC) (ABD) 4
5. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 Bài5.Cho tam giỏc đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. a 6 dựng đoạn SD = vuụng gúc với (ABC). CM 2 a. (SAB)  (SAC) b. (SBC) (SAD) Bài6.Cho hỡnh chop S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại C, mặt bờn SAC là tam giỏc đều cú trong mặt phẳng vuụng gúc với (ABC). a. CM: (SBC) (SAC) b. Gọi I là trung điểm của SC. CMR (ABI) (SBC) V.CÁCH XÁC ĐINH GểC A. Lý thuyết 1. Gúc của hai đường thẳng A Chọn điểm O tuỳ ý. a a' Dựng qua O : a’ // a; b’ // b . ã = (a;b) Gúc (a,b) = gúc (a’,b’) =Ã OB O b' Thường chọn điểm O a hoặc O b b B 2. Gúc của hai mặt phẳng Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và  . OA  ( ) OB  () Dựng qua O : và OA  OB  Gúc ( , ) = Gúc (OA,OB) = Ã OB Chỳ ý: * 0 90o * Nếu 90o thi chọn gúc (ã ; ) 180o 3. Gúc của đường thẳng và mặt phẳng Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gúc giữa đường thẳng đú và hỡnh chiếu của nú trờn mặt phẳng Chọn điểm A thuộc đường thẳng a. Dựng qua AB  ( ) tại B. Dựng giao điểm O của a và nếu chưa cú. ( OB là hỡnh chiếu của a trờn mặt phẳng ( )) Khi đú: Gúc(a;( )) = Gúc(OA,OB) = ã B. Bài tập AOB . 5
6. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 Bài1.Cho tứ diện đều ABCD. Tớnh cỏc gúc sau: a. Gúc giữa AB và (BCD) b. Gúc giữa Ah và (ACD) với H là hỡnh chiếu của A lờn (ABC) Bài2.Cho hỡnh chop S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng tõm O, cạnh a, SO vuụng gúc với đỏy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) gúc 600. a. Tớnh MN và SO b. Tớnh gúc giữa MN và (SBD) VI.KHOAÛNG CAÙCH A. Lý thuyết Khoảng cỏch từ một điểm M Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng đến một mặt phẳng M H H Dựng MH  : d(M, ) = MH Dựng: MH  ( ), H thuộc ( ) ta có: d(M,( )) = MH Khoảng cỏch giữa hai Khoảng cỏch giữa mặt đường thẳng song song phẳng và đường thẳng // song song M 1 // 2 1 // ( ) M H 2 H Chọn điểm M thuộc , dựng MH  Chọn điểm M trên 1, dựng MH  2 ( H thuộc ( )), ta có d( ,( )) = MH ( H thuộc 2) ta có d( 1, 2) = MH Khoảng cỏch giữa hai Khoảng cỏch giữa hai Đường thẳng chộo nhau mặt phẳng song song Cỏch1 M Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a A ( ) // (), chứa trong ( ) a Dựng MH ( ), M thuộc a, H thuộc ( ) M Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a  đường thẳng a' cắt đường thẳng b tại B a' H Dựng qua B và // MH, cắt a tại A H B Khi đó: d(a,b) = d(a,( )) b = d(M,( )) = MH = AB Ta có: d(( ),()) = d( ,( )) = MH a và b chéo nhau (M thuộc , MH  ( ), H thuộc ) 6
7. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 B. Bài tập Bài1.Cho tứ diện S.ABC, tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và AC = 2a, cạnh SA  (ABC) và SA = a a. CM: (SAB) (SBC) b. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(SBC) c. Tớnh khoảng cỏch từ trung điểm O của AC đến mp(SBC) Bài2.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA  (ABCD) & SA = 5. Tớnh cỏc khoảng cỏch từ: a. A đến (SBD) c. O đến (SBC) b. A đến (SBC) Bài3.Cho hỡnh chop S.ABCD cú đỏy SA  (ABCD), đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A AD và B. AB = BC = = a, SA = a 2 a. CM cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng b. Tớnh k/c từ A đến mp(SBC) c. Tớnh khoảng cỏch từ B đến đt SD Bài4.Cho tứ diện ABCD cú 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuụng gúc với nhau. Tam giỏc ABC vuụng tại A và AB = a, AC =b, tam giỏc ADC vuụng tại D và DC = a. a. CMR cỏc tam giỏc BAD và BDC đều vuụng b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: Ị là đương vuụng gúc chung của AD và BC HèNH VẼ MỘT SỐ HèNH CHểP ĐẶT BIỆT A. HèNH CHểP TAM GIÁC ĐỀU S Hỡnh chúp tam giỏc đều: Đỏy là tam giỏc đều Cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn Đặc biệt: Hỡnh tứ diện đều cú: Đỏy là tam giỏc đều Cỏc mặt bờn là những tam giỏc đều h A  C H B I B.Hỡnh chúp tứ giỏc đều S A D  I H B C 7
8. CHUYấN ĐỀ QUAN HỆ VUễNG GểC 11 .GV Nguyễn Thị Kim Cương 2020 C. Hỡnh chúp cú một cạnh bờn vuụng gúc với đỏy S SA  (ABC) Gúc giữa cạnh bờn SB và mặt đỏy là: SãBA Gúc giữa cạnh bờn SC và mặt đỏy là: SãCA   A C B S . SA  (ABCD) Gúc giữa cạnh bờn SB và mặt đỏy là: SãBA Gúc giữa cạnh bờn SC và mặt đỏy là: ã A D SCA   Gúc giữa cạnh bờn SD và mặt đỏy là: SãDA B C 8