Chuyên đề Hình học Lớp 7: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 7: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

1. CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I. Lý thuyết: + Định lý 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này. + Định lý 2: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. II. Các dạng bài tập: Dạng 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Bài 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC vuông tại A. Bài 2: Cho tam giác ABC có ̂ > 90°. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại D và E. Nối AD, AE, OB, OC. Tìm tam giác bằng tam giác OAD, tam giác bằng tam giác OAE. Dạng 2: Đường trung trực đối với tam giác vuông và tam giác cân. Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực của AC tại K. Chứng minh rằng KA = KB = KC. Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, ̂ > 90°. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng: a. OA là đường trung trực của BC. b. BD = CE. c. Tam giác ODE là tam giác cân. Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường trung trực của DE đi qua O. Bài 6: Tam giác ABC cân tại A có AB = 14 cm. Đường trung trực của AB cắt cạnh AC ở E. Biết chu vi tam giác BEC bằng 24 cm. Tính BC. Bài 7: Cho tam giác ABC có ̂ > 90°. Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng minh rằng d là đường trung trực của AE. BÀI TẬP Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng: a. OA = OB = OC. b. O nằm trên đường trung trực của DE.
2. Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có ̂ = 36°, đường phân giác CD. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của AC tại O. Chứng minh rằng: a. O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC. b. O là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ACD. Bài 10: Cho góc nhọn xOy và một điểm M trong góc ấy. Từ M kẻ các đường vuông góc MA, MB xuống Ox và Oy. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM, P là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh CP là đường trung trực của tam giác ABC. Bài 11: Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Từ một điểm P thuộc đoạn DC, kẻ đường thẳng song song AD, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN đi qua A. Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a. Δ AEB = Δ CED. b. AE là tia phân giác trong tại đỉnh A của tam giác ABC. Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE lần lượt vuông cân tại D và E. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, F là giao điểm của MD và AB, K là giao điểm của ME và AC. Chứng minh rằng: a. 3 điểm D, A, E thẳng hàng. b. DM ⊥ AC và EM ⊥ AC. c. Tam giác DME là tam giác vuông cân. d. FK // BC và BC = 2FK. Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại điểm D nằm ngoài đoạn thẳng BC. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. Chứng minh rằng: AD = CE. Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của AC cắt BC ở I. Chứng minh rằng: IA = IB = IC. Bài 16: Tam giác ABC có ̂ = 110°. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại I. Tính 퐼 ̂ . Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Tia phân giác của góc HAB cắt BC tại D, tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E. Chứng minh rằng điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC chính là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ADE. Bài 18: Cho tam giác nhọn ABC có BC là cạnh nhỏ nhất. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại I và cắt đường thẳng BC theo thứ tự ở E và F. a. Chứng minh rằng FI là tia phân giác của góc AFE, EI là tia phân giác của góc AEF. b. Cho ̂ = 훼. Tính 퐹 퐸̂. Bài 19: Cho hai điểm phân biệt, cố định A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Tìm một điểm C trên đường thẳng d sao cho ΔABC có chu vi nhỏ nhất.
3. LUYỆN TẬP Bài 20: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM + AN = AB. a. Đường trung trực của AB cắt tia phân giác góc A tại O. Chứng minh Δ BOM = Δ AON. b. Chứng minh rằng khi M, N di động trên hai cạnh AB, AC nhưng vẫn có AM + AN = AB thì đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 21: Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và của AC cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: a. Δ AOB = Δ COE. b. AO là tia phân giác của góc A. Bài 22: Tam giác ABC có ̂ = 110°. Các đường trung trực của AB và của AC cắt BC theo thứ tự tại E và F. Tính 퐸퐹̂ . Bài 23: Cho 푂 ̂ = °, A là một điểm di động trong góc đó. Lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng Ox là đường trung trực của AM, đường thẳng Oy là đường trung trực của AN. a. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. b. Tìm a để O là trung điểm của đoạn MN. Bài 24: Cho 푂 ̂ = 90°, A là một điểm cố định trong góc đó. Một góc vuông đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh lần lượt cắt Ox, Oy tại B và C. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng M luôn di động trên một đường thẳng cố định. Bài 25: Cho tam giác ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng tia AO là phân giác của góc MAN. Bài 26: Cho ΔABC. Trên tia BA lấy điểm M, trên tia CA lấy điểm N sao cho BM + CN = BC. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 27: Cho tam giác ABC trong đó có hai đỉnh A và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường trung trực của AB. Chứng minh rằng CA < CB. Bài 28: Cho tam giác ABC, tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vi nhỏ nhất. Bài 29: Tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D và E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất. Bài 30: Cho điểm A nằm trong góc xOy. Tìm B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho ΔABC có chu vi nhỏ nhất. Bài 31: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC). Tia phân giác của góc HAB cắt BC tại D, tia phân giác góc HAC cắt BC tại E. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC là giao điểm các đường trung trực của tam giác ADE.
4. Bài 32: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 33: Dựng ΔABC có ̂ = 30°, AB = 5 cm, BC – AC = 2 cm. Bài 34: Dựng ΔABC có ̂ = 60°, ̂ = 40° và chu vi tam giác bằng 8 cm. Bài 35*: a. Cho tam giác ABC có AC > AB. Các điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định. c. Đề giống câu a nhưng D thuộc cạnh AB còn E thuộc tia đối của tia CA. Bài 36*: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên đoạn thẳng AD lấy các điểm E và F sao cho 퐸̂ = 퐹̂. Chứng minh rằng 퐸̂ = 퐹̂. Bài 37*: Cho tam giác ABC, có K là giao điểm các đường phân giác, O là giao điểm các đường trung trực, BC là đường trung trực của OK. Tính các góc của tam giác ABC. Bài 38: Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các điểm A’, B’, C’ sao cho BC, CA và AB theo thứ tự là các đường trung trực của OA’, OB’, OC’. Chứng minh rằng Δ ABC = Δ A′B′C′.