›
›
›

Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12: Luỹ thừa - Mũ – Logarit

doc 30 trang thaodu 6810
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12: Luỹ thừa - Mũ – Logarit", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_luyen_thi_thpt_quoc_gia_mon_giai_tich_lop_12_luy_t.doc

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12: Luỹ thừa - Mũ – Logarit

  1. CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA - MŨ – LOGARIT DANG 1. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC, SO SÁNH DẠNG 2. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH DẠNG 3. TÍNH ĐẠO HÀM DẠNG 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU DẠNG 5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 6. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ DẠNG 7. ĐƯỜNG TIỆM CẬN DẠNG 8. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT DẠNG 9. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 10. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 11. BÀI TOÁN THỰC TẾ NỘI DUNG DANG 1. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC, SO SÁNH 1. Tính chất biến đổi a) Luỹ thừa   a  a a   a .a a ; a ; (ab) a b ; ; (a ) a ; a b b b) Lôgarit loga b a b loga b loga 1 0, loga a 1; a b, loga a b1 * Với các số dương a, b1, b2 và a 1 , ta có : loga b1b2 loga b1 loga b2 ; loga loga b1 loga b2 . b2 * Với các số dương a, b1, b2 và a 1 , R, n N * , ta có : 1 1 log log b; log b log b; log n b log b . a b a a a a n a log b 1 1 * Với các số dương a, b, c và a 1 , c 1 , ta có : log b c ; log b b 1 ; log b log b 0 a a a a logc a logb a . Câu 1. Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x , y . x loga x x A. .l oga B. . loga loga x y y loga y y x x C. .l og log x log D.y . log log x log y a y a a a y a a 2 3 Câu 2. Cho loga b 2 và loga c 3 . Tính P loga b c . A. .P 108 B. . P 1C.3 . D.P . 31 P 30 1 Câu 3. Rút gọn biểu thức P x3 . 6vớix x . 0 1 2 A. .P x2 B. . P C.x . D. P. x8 P x 9 Câu 4. Cho a là số thực dương tùy ý khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 1 A.log2 a loga 2. B.log2 a . C.log2 a . D. log2 a loga 2. log2 a loga 2 Câu 5. Với các số thực dương x , y tùy ý, đặt log3 x , log3 y  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
  2. 3 3 x x A. .l og 9 B.  log  27 27 y 2 y 2 3 3 x x C. log 9  .D. lo .g  27 27 y 2 y 2 a2 Câu 6. Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I log a . 2 4 1 1 A. .IB. .C. .D. I 2 . I I 2 2 2 1 2 Câu 7. Cho log3 a 2 và log2 b . Tính I 2log3 log3 3a log 1 b . 2 4 5 3 A. I .B. .C. .D.I 4 . I 0 I 4 2 5 Câu 8. Rút gọn biểu thức Q b3 : 3 b với b 0 . 5 4 4 A. Q b2 .B. .C. Q .bD.9 . Q b 3 Q b 3 a 7 1.a2 7 Câu 9. Rút gọn biểu thức: a 0 . 2 2 a 2 2 A. a4. B. a. C. .a 5. D. a3. Câu 10. Cho log6 9 a. Tính log3 2 theo a . a a 2 a 2 2 a A. . B. C. D. . . . 2 a a a a 2logb Câu 11. Cho a , b là các số thực dương, a 1. Rút gọn biểu thức: P log2 ab 1 a log a A. .PB. .C.lo .gD.a b. P loga b 1 P loga b 1 P 0 Câu 12. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 A. log 0,1 1. B. log xy log x log y (xy 0). 1 C. log log v 1 (v 0). D. 2log2 3 3. v 1 6 1 1 1 2  2 2 2 Câu 13. Cho biểu thức P a 3 a 2b 3 a b 3  với a , b là các số dương. Khẳng định nào sau đây là  đúng? a a b3 a A. P . B. C.P b3 a. D. P . P . ab3 b3 a Câu 14. Cho log6 9 a. Tính log3 2 theo a . a a 2 a 2 2 a A. . B. C. D. . . . 2 a a a a Câu 15. Cho biểu thức P 4 x5 , với x 0 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? 2
  3. 5 4 A. .P x 4 B. . P xC.5 . D. P. x20 P x9 Câu 16. Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 3a3 1 3a3 A. . B. . log3 2 1 log3 a 2log3 b log3 2 1 3log3 a 2log3 b b 3 b 3a3 3a3 C. . D. . log3 2 1 3log3 a 2log3 b log3 2 1 3log3 a 2log3 b b b 1 2 Câu 17. Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và abc 1 . Biết log 3 2 , log 3 và log 3 . a b 4 abc 15 Khi đó, giá trị của logc 3 bằng bao nhiêu? 1 1 A. .l og 3 B. . lC.og . 3 3 D. . log 3 2 log 3 c 2 c c c 3 Câu 18. Cho a , b là các số thực dương thỏa a 1, a b , mệnh đề nào sau đây đúng. 2 3 A. .l og 3 b log a B. . log 3 b log b a 3 b a 2 a 3 2 C. .l og 3 b log a D. . log 3 b log b a 2 b a 3 a Câu 19. Biểu diễn biểu thức P x 3 x2 4 x3 dưới dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ. 23 1 23 12 A. P x12 . B. P x 4 . C. P x 24 . D. .P x 23 Câu 20. Cho a , b , x , y ¡ , 0 a 1 , b 0 , xy 0 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. log b a3 6 A. .l oga xy loga x B.log .a y a a C. .l og b3 18log b D. . log x2018 2018.log x 3 a a a a Câu 21. Cho x, y, z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1 . Đặt a log x y , b log z y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2 3ab 2a 3 2 3ab 2b A. .l og xyz y z B. . log xyz y z a b 1 ab a b 3 2 3ab 2a 3 2 3ab 2b C. .l og xyz y z D. . log xyz y z ab a b a b 1 HD 3 2 2 log y z 3 3 2 y b 3ab 2a log xyz y z xyz log 1 1 a b ab y 1 a b Biết rằng với , là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 22. log42 2 1 mlog42 3 nlog42 7 m n A. m.n 2. B. .m .n 1 C. . m.nD. . 1 m.n 2 HD: 3
  4. log42 2 1 mlog42 3 nlog42 7 2 42.3m.7n 2 2.3m 1.7n 1 m 1 n 1 x1a + y1b + z1 Câu 23. Biết a = log30 10 , b = log30 150 và log2000 15000 = với x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 là x2a + y2b + z2 x các số nguyên, tính S = 1 . x2 1 2 A. S = . B. S = 2 . C. S = . D. S = 1. 2 3 HD: Đổi log2000 15000 theo logarit cơ số 30. Câu 24. Với số thực a thỏa mãn 0 a 1 . Cho các biểu thức: 1 1 A log ; B log 1;C log log 2a ; D log log a . a a a 2 2 4 a 4 a Gọi m là số biểu thức có giá trị dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. .m 2 B. . m 0 C. . mD. 3. m 1 HD: Thử bằng máy tính 1 giá trị của a được đáp án D Câu 25. Cho các số thức a , b , c thỏa mãn loga b 9 , loga c 10 . Tính M logb a c 2 5 7 3 A. .M B. . M C. . D. M. M 3 2 3 2 HD Rút b = a9 ,c = a10 rồi thế vào M được đáp án A 5 3x 3 x a a Câu 26. Cho 9x 9 x 23 . Khi đó biểu thức A với tối giản và a,b ¢ . Tích a.b có 1 3x 3 x b b giá trị bằng: A. .1 0 B. . 8 C. . 8 D. . 10 HD Từ 9x 9 x 23 ta rút ra được 3x + 3- x = 5 . Thế vào A được đáp án D 2017 2016 Câu 27. Tính giá trị của biểu thức P 7 4 3 4 3 7 . A. .P 1 B. P 7 .4 3 C. . 7 4 3 2016 D. P 7 4 3 2017 2016 2016 HD: P = 7 + 4 3 4 3 - 7 = é7 + 4 3 4 3 - 7 ù 7 + 4 3 = 7 + 4 3 ( ) ( ) ëê( )( )ûú ( ) ( ) Câu 28. Choa , b là các số thực dương và a 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. .l og a2 ab B.4 . 2log b log a2 ab 4log a b a a a a C. .l og a2 aD.b . 2 2log a b log a2 ab 1 4log b a a a a HD: 4
  5. log a2 + ab = 2+ 2log a + b a ( ) a ( ) 2 Û (a2 + ab) = a2.(a + b)2 Chọn C a Câu 29. Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn log a log b log a b . Tính . 4 6 9 b 1 1 5 1 5 1 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 HD: log4 a = log6 b = log9 (a + b)= t Þ a = 4t ,b = 6t ,a + b = 9t Þ 4t + 6t = 9t a - 1+ 5 Þ = b 2 Câu 30. Cho các số a, b 0 thỏa mãn a2 b2 14ab. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau a b a b 1 A. log2 2 log2 a log2 b . B. log2 log2 a log2 b . 4 16 2 2 C. D. log a b 4 log a log b . log 2 a b 4 log2 a log2 b. 2 2 2 HD Từ a2 b2 14ab. ta rút ra được (a + b)2 = 16ab Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế của đẳng thức ta được đáp án C 0,3 a10 Câu 31. Với các số thực dương a , b bất kì, đặt M . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 b5 1 1 A. .l og M 3log a B.lo g. b log M 3log a logb 2 2 C. .l og M 3log a 2lD.og .b log M 3log a 2logb HD: Lấy logarit cơ số 10 và sử dụng tính chất của logarit. Đáp án A b 16 Câu 32. Cho a 0 , b 0 , a 1 thỏa mãn log b và log a . Tính tổng a b. a 4 2 b A. 16 .B. .C. .D. . 12 10 18 HD loga b.log2 a 4 b log2 4 b 16 a 2 Chọn đáp án D 4x 9x y Câu 33. Nếu 8 , 243 , x, y là các số thực, thế thì xy bằng: 2x y 35 y 12 A. 6 .B. .C. .D. . 12 4 5 HD Đưa về cùng cơ số 2 và cùng cơ số 3 để giải hệ tìm ra x, y 5
  6. Chọn D 4x 1 2 100 Câu 34. Cho hàm số f x x . Tính giá trị biểu thức A f f f 4 2 100 100 100 149 301 A 5B.0.C D 49 3 6 Hướng dẫn giải X 100 4100 301 Cách 1. Bấm máy tính theo công thức .  X X 1 100 6 4 2 4x Cách 2. Sử dụng tính chất f x f 1 x 1 của hàm số f x . Ta có 4x 2 1 99 2 98 49 51 50 100 A f f f f f f f f 100 100 100 100 100 100 100 100 1 42 4 301 49 1 4 2 6 42 2 4x PS: Chứng minh tính chất của hàm số f x . 4x 2 4x 41 x 4x 4 4x 2 Ta có f x f 1 x 1. 4x 2 41 x 2 4x 2 4 2.4x 4x 2 2 4x 2. Tính chất so sánh a) Luỹ thừa - mũ So sánh cùng cơ số Nếu a 1 thì a a  Nếu 0 a 1 thì a a  So sánh cùng số mũ Cho a,b 0 b) Lôgarit Nếu a 1,b 0,c 0 thì loga b loga c b c Nếu 0 a 1,b 0,c 0 thì loga b loga c b c 1 1 Câu 34. Nếu a 2 4 a 2 3 thì khẳng định nào sau đây đúng. A. .a 3 B. . a 3 C. . D.2 . a 3 a 2 HD: + Vì mũ không nguyên nên a 2 + Vì biểu thức đúng theo tính nghịch biến nên a 3 Vậy chọn C 3 5 2 3 Câu 35. Cho các số thực 0 a,b 1 , biết a 4 a 6 và log log . Kết luận nào sau đây là đúng? b 3 b 4 A. a 1, b 1 . B. a 1, 0 b 1 . C. 0 a 1, b 1 . D. 0 a 1, 0 b 1 . HD + Điều kiện lũy thừa mũ không nguyên và tính nghich biến của biểu thức nên 0 a 1 + Điều kiện logarit và tính đồng biến của biểu thức nên b 1 Vậy chọn C 6
  7. DẠNG 2. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH 1. Hàm số y [u(x)] 2. Hàm số y au(x) 3. Hàm số y loga [u(x)] 3 Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y x2 x 2 . A. .DB. ¡ . D 0; C. .D ; 1  2; D. . D ¡ \ 1;2 2 Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y log3 x 4x 3 A. .D 2 2;1 B. 3 ;.2 2 D 1;3 C. .D ;1  3; D. . D ;2 2  2 2; 1 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số f x x 3 . A. .D 0; B. . C. . D ¡ D.\ .0 D 0; D ¡ e Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số y x2 3x 4 . A. . 0; B. . 1;4C. . ¡ D. . ¡ \ 1;4 Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y log2 3 x 1 A. . ;3 B. . ;1C. . D. . ;1 1;3 HD 3 x 2 Điều kiện . Chọn B 3 x 0 Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số: y log 1 5 x 1. 4 19 19 19 A. B. C. ; 5D. . ; . ;5 . ;5 . 4 4 4 HD: 5 x 0 Điều kiện 1 . Chọn C 5 x 4 1 1 4 3 2 Câu 7. Cho các hàm số f1 x x , f2 x x , f3 x x , f4 x x . Trong các hàm số trên, hàm số nào có tập xác định là nửa khoảng 0; ? A. f1 x và f2 x . B. f1 x , f2 x và f3 x . C. f3 x và f4 x D. Cả 4 hàm số trên Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln(x2 2x m 1) có tập xác định là ¡ A. m 0. B. .0 m 3 C. hoặc m . D. 1. m 0 m 0 Câu 9. Tập xác định của hàm số y logx 1 2 x là: A. . ;2 B. . C. 1 .; 2 \0 D. . 1;2 ;2 \ 0 7
  8. DẠNG 3. TÍNH ĐẠO HÀM Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số y 31 x . 3 31 x.ln 3 A. . y 1 B.x 3x C. . y 3D 3 .x.ln 3 y .3x y ln 3 1 x Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y log2 2x 1 . 2 1 2 1 A. . y B. . C. y. D. y y 2x 1 2x 1 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 Câu 3. Tìm đạo hàm của hàm số y e x ln 3x. x 1 x 1 A. y e ln 3x . B. y e ln 3x . 3x 3x x 1 x 1 C. D.y e ln 3x . y e ln 3x . x x log 2x Câu 4. Tìm đạo hàm của hàm số y . x2 1 2ln 2x 1 4ln 2x 1 2log 2x 1 A. y . B. y C. . y D. . y . x3 ln10 2x3 ln10 x3 2x2 ln10 x 1 Câu 5. Đạo hàm của hàm số y là 81x 1 4(x 1)ln 3 4ln 3 x 1 1 4(x 1)ln 3 4ln 3 x 1 A. . y B. . C. . D. y y 4 y 4 34x 4ln 3.34x 3x 4ln 3.3x Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? log1 (x) x log (1 2x) 3 5x 1 2 1 A. . y 2 2 B. . C.y . e D. . y y 2 3 1 1 sin x 1 Câu 7. Trong các hàm số f x ln , g x ln , h x ln , hàm số nào sau đây có đạo hàm sin x cos x cos x 1 bằng ? cos x A. g x và h x . B. .g x C. . f x D. . h x Câu 8. Hàm số f x log 2x 4x 1 có đạo hàm là 2 2x 2x ln 2 A. . f x B. . f x 4x 1 4x 1 2x ln 2 C. . f x D. . f x 4x 1ln 2 4x 1 x 1 Câu 9. Cho hàm số f x ln 2017 ln . Tính tổng S f 1 f 2 f 2017 . x 4035 2016 2017 A. .S B. . SC. . 2017 D. . S S 2018 2017 2018 HD 1 1 1 Tính được f '(x) x(x 1) x x 1 8
  9. Thay vào được đáp án D 7 Câu 10. Cho hàm số y ln . Hệ thức nào sau đây là hệ thức đúng? x 7 A. .x y 7 B. e .y C. . xy 1 eD.y . xy 1 e y xy 7 e y HD Tính y’ Tính e y Tính y’x và thay vào đáp án C thỏa mãn DẠNG 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ? x x x x 2 A. . y B. . C.y . D. . y y 2 2e e 4 x x e 3 Câu 2. Cho các hàm số y log x , y , y log x , y . Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm 2 1 2 2 số đồng biến trên tập xác định của hàm số đó? A. .3 B. . 4 C. . 1 D. . 2 Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ . x x 2 x2 2 1 A. .y loB.g2 . x 1 C. . y 3 D. . y 2 Câu 4. Hàm số y x2ex nghịch biến trên khoảng nào? A. ;1 . B. ; 2 . C. 1; . D. 2;0 . mln x 2 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến trên e2 ; . ln x m 1 A. mhoặc 2 . m 1 B. hoặc m . 2 m 1 C. mhoặc 2 . m 1 D. . m 2 HD Đặt t ln x , t 2; ) , mt 2 m2 m 2 hàm số y nghịch biến trên t 2; ) khi y ' 0 và t m 1 0 t m 1 t m 1 2 Chọn đáp án D e3x m-1 e x +1 4 Câu 6. Cho hàm số y . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . 2017 A. .3 e3 1 m 3e4 1 B. . m 3e4 1 C. .3 e2 1 m 3e3 1 D. . m 3e2 1 Hướng dẫn giải e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . e m 1 e 1 = 2017 2017 e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . 3e m 1 e 2017 2017 Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 9
  10. e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . 3e m 1 e 0,x 1;2 (*), mà 2017 2017 e3 x m 1 ex 1 4 0,x ¡ 2017 3x x . Nên (*) 3e m 1 e 0,x 1;2 4 ln 0 2017 3e2x 1 m,x 1;2 Đặt g x 3e2x 1,x 1;2 , g x 3e2x .2 0,x 1;2 x 1 2 g x | | . g x | Z | Vậy (*) xảy ra khi m. g 2 m 3e4 1 DẠNG 5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3 2 Câu 1. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y ex 3x 9x 1 . A. 1. B. 3. C. e6 . D. e 26 . Câu 2. Tìm cực tiểu của hàm số y x2 3x 1 ex . A. 1. B. 4. C. e 1. D. 5e 4 . Câu 3. Gọi S tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y x2 mx 1 ex đạt cực đại tại x 1 . Số phần tử của tập S là A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 4. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x2 mx 2 e2x đạt cực trị tại hai điểm 2 2 x1, x2 thoả mãn x1 x2 17 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln x x2 1 mx có cực trị. A. m 0;1 . B. m ;1 . C. m ;0 . D. m 0;1. DẠNG 6. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ 1 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ bằng 0. x 1 A. x y 1 0. B. x y 1 0. C. x y 1 0. D. x y 1 0. Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x 1 ex tại điểm có hoành độ bằng 0 là A. y 3x 1 . B. y 3x 1 . C. y 3x 1 . D. y 3x 1 . DẠNG 7. ĐƯỜNG TIỆM CẬN 1 Câu 1. Cho các hàm số y 2x , y log x , y , y x2 . Chọn phát biểu sai. 2 2x A. Có 2 đồ thị có tiệm cận ngang. B. Có 2 đồ thị có tiệm cận đứng. C. Có 2 đồ thị có chung một đường tiệm cận. D. Có đúng 2 đồ thị có tiệm cận. HD 1 Cả 3 đồ thị y 2x , y log x , y đều có tiệm cận nên D sai 2 2x Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Đồ thị của hàm số y ln x có tiệm cận đứng. 10
  11. B. Đồ thị của hàm số y 2 x có tiệm cận đứng. C. Đồ thị của hàm số y 2x có tiệm cận ngang. D. Đồ thị của hàm số y ln x không có tiệm cận ngang. DẠNG 8. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 2 Câu 1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 4x 5 trên đoạn 0;3 . Tính P M.m . A. P 6 2. B. P 2 2. C. P 10 2. D. P 5 2. 3 x2 3x 11 Câu 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;3 . x 1 3 3 203 3 3 Tính P M.m . A. P 77 . B. P . C. P 76 . D. P 78 . 4 Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x e2x trên đoạn 0;1 . A. 1. B. .e2 1 C. e2 . D. 2e . 3 2 Câu 4. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y ex 3x 9x 1 trên đoạn 0;3 . Tính P M.m. A. P e29 . B. P e27 . C. P e25. D. P e24 . Câu 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 3x 1 ex trên đoạn  2;1 . M Tính P . m A. P 5e2 . B. P 5e3. C. P 5e2 . D. P e. 2 Câu 6. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y xln x trên đoạn e ;e . Tính P M.m. A. P 1. B. P e2 . C. P 1. D. P 2e 1. 2 2 Câu 7. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 32sin x 3cos x . Tính giá trị của 3 2m biểu thức P M . 9 10 35 32 A. .P B. . P 1 C. . D.P . P 3 3 3 HD 2 3 Đặt 3sin x t 1 t 3 . Lập BBT của f (t) t 2 1 t 3 t Chọn D 1 xy Câu 8. Xét các số thực dương x ,y thỏa mãn log 3xy x 2y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của 3 x 2y min P x y . 9 11 19 9 11 19 A PB P min 9 min 9 18 11 29 2 11 3 C PD P min 9 min 3 Hướng dẫn giải 11
  12. 1 xy log 3xy x 2y 4 3 x 2y log3 1 xy log3 x 2y 3 xy 1 x 2y 1 log3 3 1 xy log3 x 2y 3 xy 1 x 2y log3 3 1 xy 3 1 xy log3 x 2y x 2y Xét f t log3 t t , t 0 1 f t 1 0,t 0 t ln 3 3 2y Suy ra : f 3 1 xy f x 2y 3 3xy x 2y x 1 3y 1 xy 5y 2 2 Điều kiện 0 0 y x 2y 6y2 3 5 3 2y P x y y 1 3y 1 11 y 11 3 P 1 2 0 1 3y 1 11 y 3 Bảng biến thiên: - 1- 11 1 2 - 1+ 11 x - ¥ - + ¥ 3 3 5 3 y¢ + 0 - 0 + 2 + ¥ y 2 11- 3 - ¥ - ¥ 3 2 11 3 Vậy P . min 3 9t Câu 9. Xét hàm số f t với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 9t m2 f x f y 1 với mọi x, y thỏa mãn ex y e x y . Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có nhận xét: et e.t,t ¡ ex y e x y x y 1 . ( Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x y 1 ). Do đó ta có: f (x) f (y) 1 f (x) f (1 x) 1 9x 91 x 9 m2.9x 9 m2.91 x 1 1 9x m2 91 x m2 9 m2.9x m2.91 x m4 12
  13. 9 m2.9x 9 m2.91 x 9 m2.9x m2.91 x m4 m4 9 m 3 . Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. Câu 10. Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log (2x y) 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức x2 2 y2 T 2x y bằng: 9 9 9 A B C D.9. 4 2 8 Hướng dẫn giải x2 2y2 1 0 x2 2y2 1 Bất PT log (2x y) 1 (I), (II) . x2 2 y2 2 2 2 2 2x y x 2y 0 2x y x 2y Xét T= 2x y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 T 2x y x2 2y2 1 1 9 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x2 2y2 2x y (x 1)2 ( 2y )2 . Khi đó 2 2 8 1 1 9 2 1 2 1 2 9 9 9 9 9 2x y 2(x 1) ( 2y ) (2 ) (x 1) ( 2y ) . 2 2 2 4 2 2 2 4 2 8 4 2 9 1 Suy ra : maxT (x; y) (2; ) 2 2 Câu 11. Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 2 2 a P log a a 3logb . b b A. .P min 19 B. . PmC.in . 13 D. . Pmin 14 Pmin 15 Hướng dẫn giải Với điều kiện đề bài, ta có 2 2 2 2 a a a a P log a a 3logb 2log a a 3logb 4 log a .b 3logb b b b b b b b 2 a 4 1 log a b 3logb . b b 2 3 2 3 Đặt t log a b 0 (vì a b 1 ), ta có P 4 1 t 4t 8t 4 f t . b t t 2 3 8t3 8t 2 3 2t 1 4t 6t 3 Ta có f (t) 8t 8 t 2 t 2 t 2 1 1 Vậy f t 0 t . Khảo sát hàm số, ta có P f 15 . 2 min 2 x y Câu 12. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P 2x2 y 2y2 x 9xy . 27 A PB C. .D P 18 P 27 P 12 max 2 max max max Hướng dẫn giải 13
  14. Ta có 4 2x 2 y 2 2x y 4 2x y x y 2 . 2 x y Suy ra xy 1 . 2 Khi đó P 2x2 y 2y2 x 9xy 2 x3 y3 4x2 y2 10xy . P 2 x y x y 2 3xy 2xy 2 10xy 4 4 3xy 4x2 y2 10xy 16 2x2 y2 2xy xy 1 18 Vậy Pmax 18 khi x y 1 . DẠNG 9. ĐỒ THỊ Câu 1. Cho hai hàm số y a x , y bx với a , b là 2 số thực dương khác 1 , lần lượt có đồ thị là C1 và C2 như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 0 a b 1 .B. 0 .b 1 a C. 0 a 1 b .D. 0 .b a 1 HD: + Theo đồ thị ta có (C2) nghịch biến nên b 1 Câu 2. Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1 . Đồ thị các hàm số y loga x, y logb x, y logc x được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? y y loga x y logb x O 1 x y logc x A. .a b c B. . cC. a. b D. . c b a b c a HD: Theo hình vẽ có đồ thị y logc x nghịch biến nên c<1 Đồ thị hàm số y loga x, cao hơn đồ thị hàm số y logb x, nên a<b Câu 3. Cho hàm số f x x ln x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số y f x . Tìm đồ thị đó? y y y y 1 1 x O 1 x O 1 O 1 x O x A. . B. . C. . D. 14
  15. x x x 1 x 1 Câu 4. Cho bốn hàm số y 3 1 , y 2 , y 4 3 , y 4 có đồ thị là 4 đường cong 3 4 theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là C1 , C2 , C3 , C4 như hình vẽ bên. y C3 Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là A. . 1 C2 , 2 C3 , 3 C4 , 4 C1 C1 C4 B. 1 C1 , 2 C2 , 3 C3 , 4 C4 . C. . 1 C4 , 2 C1 , 3 C3 , 4 C2 D. 1 C1 , 2 C2 , 3 C3 , 4 C4 . Hướng dẫn giải x Ta có y 3 và y 4x có cơ số dương nên hàm đồng biến 2 2 O x nên nhận đồ thị là C3 hoặc C4 . Lấy x 2 ta có 3 4 x x nên đồ thị y 4 là C3 và đồ thị y 3 là C4 . x x x 1 1 Ta có đồ thị hàm số y 4 và y đối xứng nhau qua Oy nên đồ thị y là C2 . Còn lại 4 4 x 1 C1 là đồ thị của y . 3 Vậy 1 C4 , 2 C1 , 3 C3 , 4 C2 x x Câu 5. Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y a , y b , y logc x . y y bx y a x 3 2 y logc x 1 1 O 1 2 3 x . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. c a b. B. a c b. C. b c a. D. a b c. Hướng dẫn giải Từ đồ thị Ta thấy hàm số y a x nghịch biến 0 a 1 . x Hàm số y b , y logc x đồng biến b 1,c 1 a b,a c nên loại A, C 15
  16. x Nếu b c thì đồ thị hàm số y b và y logc x phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất y x . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số y logc x cắt đường y x nên loại D. DẠNG 10. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản a x b a 0, a 1 Nếu b 0 , phương trình vô nghiệm. Nếu b 0 , phương trình có nghiệm duy nhất x loga b . 2. Phương trình mũ đơn giản a) Phương trình có thể đưa về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : * Đưa về cùng một cơ số * Đặt ẩn phụ * Lấy lôgarit hai vế (lôgarit hoá). b) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ. II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phương trình lôgarit cơ bản loga x b a 0, a 1 Phương trình luôn có nghiệm duy nhất x ab . 2. Phương trình lôgarit đơn giản a) Phương trình có thể đưa về phương trình lôgarit cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : * Đưa về cùng một cơ số * Đặt ẩn phụ * Mũ hoá hai vế. b) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số lôgarit. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số Cần nhớ: Cho 0 a 1 , ta có f (x) g (x) a a f (x) g(x) loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0 Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3x m có nghiệm thực. A. .m 1 B. m 0 C. m 0 D. m 0 x2 1 1 Câu 2. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? 2 5 A. .2 B. . 3 C. . 1 D. . 0 3x 1 x 4 1 Câu 3. Giải phương trình 3 . 9 6 1 7 A. x . B. x 1. C. x . D. x . 7 3 6 2 Câu 4. Giải phương trình 2x x 4x 1 . x 1 x 1 x 1 A. .B. . C. Phương trình vô nghiệm. D. . x 2 x 2 x 2 2 Câu 5. Tìm tập nghiệm của phương trình 2x 1 256 . A. . 3;3 B. . 2;3 C. . D. 2. ;2  3;2 16
  17. Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình log2 1 x 2 . A. .x 3 B. . x 4C. . xD. .3 x 5 Câu 7. Tìm tập nghiệm S của phương trình log x 1 log x 1 1 . 2 1 2 3 13  A. S  . B. S 3 . C. S 2 5;2 5 . D. .S 2 5 2  Câu 8. Tìm tập nghiệm S của phương trình log3 (2x 1) log3 (x 1) 1 . A. S 4. B. S 3. C. S  2. D.S 1. 1 Câu 9. Phương trình log5 x 10 log 1 có nghiệm x a. Khi đó đường thẳng y ax 1 đi qua điểm nào 5 5 trong các điểm sau đây ? A. . 4; 1 B. . 2;3 C. . D. . 1; 14 3;5 Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình 2x 3 8 . A. x 3 . B. x 5 . C. x 6 . D. x 7 . Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình log3 x 2017 2 . A. x 2021 . B. x 2023 . C. x 2025 . D. x 2026 . Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình 3x 1 27 . A. x 9. B. x 3. C. x 4. D. x 10. 2 Câu 4. Số nghiệm nguyên của phương trình 22x 7 x 5 1 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình 2x 2x 1 12 . A. x 3 . B. x 2 . C. x 1 . D. x 4 . Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình log2 x 2 3 . A. x 7. B. x 4. C. x 8. D. x 6. Câu 7. Cho số thực dương m. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 125mx 1 0,04 x 2 theo m. 7 7 7 7 A. S ; . B. S ; . C. S ; . D. S ; . 3m 2 3m 2 3m 2 3m 2 Câu 8. Cho số thực dương m. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log3 x log9 3x log9 m log9 6 theo m. m m m m A. S 0; . B. S 0; . C. S ; . D. S ; . 2 3 3 2 2 2 Câu 9. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 4x 1.52x 1 2.102x 5 bằng A. 4. B. 5. C. 10. D. 17. Câu 10. Số nghiệm phân biệt của phương trình log3 (2x 1) log1 (3 x) 0 là 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 3 2 3 3 Câu 11. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log2 x 2 6 2log 1 4 x log2 x 6 bằng 2 4 A. 38 2 33 . B. 4 . C. 36 . D. 36 2 33 . 3 2 2 Câu 12. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 8x 2x 2 4x x 1 bằng 26 40 76 A. . B. 8 . C. . D. . 3 9 9 2 Câu 13. Cho phương trình : 3x 3x 8 92x 1 , khi đó tập nghiệm của phương trình là: 17
  18. 5 61 5 61  5 61 5 61  A.S 2;5 B. S ;  C. S ;  D. S  2; 5 . 2 2  2 2  Câu 14. Phương trình log3 (3x 2) 3 có nghiệm là: 29 11 25 A. B.x C. D. x x x 87 3 3 3 2 2 1 x Câu 15. Phương trình 28 x .58 x 0,001. 105 có tổng các nghiệm là: A. 5.B. 7.C. .D. – 5 . 7 Câu 16. Số nghiệm của phương trình log5 5x log25 5x 3 0 là : A. 3.B.4.C. 1.D. 2. Câu 17. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số nguyên m thỏa mãn phương trình 2 log0,5 (m 6 x) log2 ( x 2x 3) 0 duy nhất một nghiệm. Khi đó hiệu của a b bằng. A a B.b . C.22 . D. . a b 24 a b 26 a b 4 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 log3 (1 x ) log1 (x m 4) 0 . 3 1 21 21 1 A m 0 B.5 m C 5 m D . m 2 4 4 4 4 x2 x 2 x3 2 Câu 19. Tính tích t của tất cả các nghiệm của phương trình 3 2 2 3 2 2 . A. t 0. B. t 2. C. .t 1 D. t 1. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Cần nhớ: Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là chuyển các bài toán đã cho về phương trình đã biết cách giải. - Dạng .a2u .au  0 , đặt t au 0. 2 - Dạng .loga u .loga u  0 , đặt t loga u. 1 - Dạng (a b) f (x) (a b) f (x) c với (a b)(a b) 1 , đặt t (a b) f (x) đưa về dạng t c . t f (x) 2 f (x) f (x) 2 f (x) 2 f (x) u - Dạng au b(uv) cv 0 , chia hai vế cho v rồi đặt t đưa phương trình về dạng v at 2 bt c 0 . Câu 1. Tìm tập nghiệm của phương trình 4x 1 6.2x 1 8 0 . A. 2;4. B. 0;1. C. 1;2. D. 0;2. 2 2 Câu 2. Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4x 1 10.2x 2 4 0 . A. 4. B. 4. C. 3. D. 3. 2 Câu 3. Tìm tập nghiệm của phương trình log3 x 2log3 x 3 0 . 1  1  A. 27. B. ;3. C. 3;27. D. ;27. 27  3  Câu 4. Số nghiệm phân biệt của phương trình log2 4x log x 2 3 bằng 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 5. Tích tất cả các nghiệm của phương trình (4 15)x (4 15)x 62 bằng A. 4. B. 1. C. 62. D. 4. Câu 6. Số nghiệm của phương trình 3.49x 2.14x 4x 0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 18
  19. 4 2 2 3 Câu 7. Tích các nghiệm của phương trình log2 2x 3 log2 2x 3 25 bằng A. 1. 35 25 25 B. . C. . D. . 8 16 16 2 2 Câu 8. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2log2 x 2 m 2 log2 x m 4m 3 0 có nghiệm ? A. 5. B. 4. C. 3. D. Vô số. Câu 9. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 m 8 log3 x m 2 log3 3x 2m 2 0 có hai nghiệm phân biệt ? A. 7. B. 8. C. 9. D. Vô số. Định lí Vi-ét 2 Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3 x m 2 log3 x 3m 1 0có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 27. ? A B.m.C. .D.2. m 1 m 1 m 2 x x 1 Câu 11. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 2.3 m 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 1. A. m 6. B. m 3. C. m 3. D. m 1. x x 2 Câu 12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình 9 m.3 9m 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2thỏa 5 mãn x x 3 . A. .m 3B. . C.m . 4 D. . m 1 m 1 2 2 2 Câu 13. Giả sử m là số thực sao cho phương trình log3 x m 2 log3 x 3m 2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 9. Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây? A. m 4;6 . B. m 1;1 . C. mD. 3;4 . m 1;3 . Câu 14. Cho phương trình 42x 10.4x 16 0 . Tính tổng các nghiệm của phương trình đó. 7 A. .1 6 B. . C. . 2 D. . 10 2 Câu 15. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22x 1 5.2x 2 0 bằng bao nhiêu? 3 5 A. . B. 1. C. . D. 0. 2 2 2x x Câu 16. Nếu phương trình 3 4.3 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và x1 x2 thì A. x .x 1 B. x x 0 C. x 2x 1 D. .2x x 1 1 2 . 1 2 . 1 2 . 1 2 x x x 2 2 Câu 17. Phương trình 3 5 3 5 3.2 có hai nghiệm x1, x2 . Tính A x1 x2 A. .9 B. . 13 C. . 1 D. . 2 Câu 18. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9x 13.6x 9.4x 0 . 13 1 A. .T 2 B. . T 3 C. . TD. . T 4 4 Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x 2x 1 m 0 có hai nghiệm thực phân biệt A. .m ;1B. . C.m . 0;1 D. . m 0;1 m 0; 2 2 Câu 2. Tìm tấ cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x 2x 2 6 m có 3 nghiệm phân biệt. A. .m 2 B. . m 3 C. . D. 2. m 3 2 m 3 Câu 3. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình 2.4 x 1 5.2 x 1 m 0 1 có hai nghiệm phân biệt 19
  20. 25 25 25 A. m . B. m 2. C. 2 m . D. 2 m . 8 8 8 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 3x 3 5 3x m nghiệm đúng với mọi x ;log3 5. A. m 2 2 .B. .C. . m 4 D. m . 4 m 2 2 x x Câu 5. Tìm m để phương trình 2 3 m 4 1 có hai nghiệm phân biệt. 1 A. B.m C. D 3 m 10 m 10. 1 m 3. 3 x x Câu 6. Tập các giá trị m để phương trình 4. 2 1 2 1 m 1 0 có đúng hai nghiệm âm phân biệt là A. . 5;7 B. . 4;5 C. . 5;D.6 . 7;8 Câu 7. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 91 x 2 m 1 31 x 1 0 có 2 nghiệm phân biệt. A. .m 1 B. . m 1 C. . m D.0 . 1 m 0 3. Phương pháp lôgarit hóa Cần nhớ: Phương pháp lôgarit hóa rất có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tích các lũy thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. Cho 0 a 1,b 0,c 0 . Ta có : f (x) +) a b f (x) loga b f (x) g (x) f (x) g (x) +) a b loga a loga b f (x) g(x).loga b f (x) g (x) f (x) g (x) Hoặc a b logb a logb b f (x).logb a g(x) f (x) g (x) +) a .b c f (x) g(x)loga b loga c x x x 2 Câu 1. Biết phương trình 3 .8 6 có hai nghiệm x1, x2 x1 x2 . Hiệu P 2x2 x1 bằng A. P 2 2log3 6 . B. P 3 2log3 2 . C. P 4 . D. P 2log3 2 . x2 4 x x 3 x2 2 Câu 2. Biết phương trình 2 11.3 3 7.2 có hai nghiệm x1, x2 x1 x2 . Tổng P x2 x1 bằng A. P log2 3. B. P log2 12. C. P log3 2. D. 4 log3 2 . x 1 x x 1 Câu 3. Biết phương trình 3 .2 72 có hai nghiệm x1, x2 x1 x2 . Tổng P 2x1 x2 bằng A. P 5 log3 4 B. P 5 log4 3. C. P 4 4log3 2. D. 4 2log3 2 . 4. Phương pháp mũ hóa g x Cần nhớ: Với 0 a 1 , ta có loga f x g x f x a . x Câu 1. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log2 3.2 4 1 2x 0 bằng A. 10. B. 5. C. 20. D. 17. x 14 Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình log3 3 2 x 1 bằng 9 A. log3 12 . B. log3 10 . C. log3 14 D. log3 15 . 5. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số - Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b thì phương trình f x 0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng a;b . Khi đó, nếu x0 a;b và f x0 0 thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0 . 20
  21. - Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có một nghiệm duy nhất thuộc khoảng a;b . - Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi M, m lần lượt là giá lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn a;b . Khi đó, phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a;b khi và chỉ khi m k M. - Giả sử trên khoảng a;b , hàm số y f x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là M, m. Khi đó, phương trình f x k có nghiệm thuộc khoảng a;b khi và chỉ khi m k M. - Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng a;b thì phương trình f x m có nghiệm thuộc khoảng a;b khi và chỉ khi f a m f b . - Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và hai số u, v a;b thì f u f v u v. Câu 1. (Đề minh hoạ lần 3) Hỏi phương trình 3x2 6x ln x 1 3 1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 6x 3 m .2x m 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . A. 3;4 . B. 2;4. C. 2;4 . D. 3;4 . Câu 3. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc 20;20 để phương trình log x m2 m log x2 1 x2 x m2 m 1 có nghiệm hai nghiệm phân biệt? A. 35. B. 37. C. 17. D. 18. x Câu 4. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 m log5 x có nghiệm thuộc khoảng 1;5 ? A. 239. B. 240. C. 241. D. 242. x Câu 5. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m.2x 32 1 có nghiệm thuộc nứa khoảng 2;6 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. m 4 Câu 6. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log (x 1) 1 có nghiệm thuộc 3 5 x 2 nửa khoảng 0;26? A. 26. B. 25. C. 24. D. Vô số. m Câu 7. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x 2x 3 1 0 có đúng hai nghiệm 3 x 1;3 . A. 10. B. 12. C. 14. D. 16. x m x m Câu 8. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 25 1 .5 2 0 có nghiệm trái dấu? 10 10 A. 9. B. 11. C. 13 D. 15. 3 Câu 9. Biết a;b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 9x 2m 1 .3x m 0 có 2 hai nghiệm phân biệt thuộc 1;1 . Tính P b a. 4 4 7 15 A. P . B. P . C. P . D. P . 7 15 4 4 21
  22. Câu 10. Biết a;b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2x 10x 2.6x m m có nghiệm thuộc khoảng 1;1 . Tính P 30a b. A. 16. B. 17. C. 18. D. 19. Câu 11. Biết a;b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 13 log2 x 2m 1 log x m 0 có nghiệm thuộc khoảng 1;16 . Tính P a b. 2 2 2 A. P 9. B. P 10. C. P 11. D. P 12. 2 Câu 12. Biết a;b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình log3 x log3 x m 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng ;1 . Tính P 4a b. 9 A. P 4. B. P 3. C. P 1. D. P 1. sin x Câu 13. Số nghiệm phân biệt của phương trình e 4 tan x trên đoạn 0;2  là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 3 4 5 Câu 14. Hỏi phương trình e2017 x 1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? 1 x 2 x 3 x 4 x A. 1. B. 4. C. 5. D. 2017. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Bất phương trình mũ a) Bất phương trình mũ cơ bản với 0 a 1. Dạng 1: a x b Dạng 2: a x b - Nếu b 0 , tập nghiệm của BPT là R. - Nếu b 0 , tập nghiệm của BPT là R. - Nếu b 0 và : - Nếu b 0 và : + a 1 , tập nghiệm là loga b; . + a 1 , tập nghiệm là loga b; . + 0 a 1 , tập nghiệm là ;loga b . + 0 a 1 , tập nghiệm là ;loga b . Dạng 3: a x b Dạng 4: a x b - Nếu b 0 , tập nghiệm của BPT là  . - Nếu b 0 , tập nghiệm của BPT là  . - Nếu b 0 và : - Nếu b 0 và : + a 1 , tập nghiệm là ;loga b . + a 1 , tập nghiệm là ;loga b + 0 a 1 , tập nghiệm là loga b; . + 0 a 1 , tập nghiệm là loga b; . . b) Bất phương trình mũ đơn giản Để giải các bất phương trình mũ, ta có thể biến đổi để đưa về bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số. 2. Bất phương trình lôgarit a) Bất phương trình lôgarit cơ bản với 0 a 1. Dạng 1: loga x b. Dạng 2: loga x b. b b - Nếu a 1 , tập nghiệm là a ; . - Nếu a 1 , tập nghiệm là a ; . b b - Nếu 0 a 1 , tập nghiệm là 0;a . - Nếu 0 a 1 , tập nghiệm là 0;a . Dạng 3: loga x b. Dạng 4: loga x b. b b - Nếu a 1 , tập nghiệm là 0;a . - Nếu a 1 , tập nghiệm là 0;a . b b - Nếu 0 a 1 , tập nghiệm là a ; . - Nếu 0 a 1 , tập nghiệm là a ; . b) Bất phương trình lôgarit đơn giản 22
  23. Để giải các bất phương trình lôgarit, ta có thể biến đổi để đưa về bất phương trình lôgarit cơ bản hoặc bất phương trình đại số. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số Cần nhớ: Với 0 a 1 . Ta có f (x) g (x) f (x) g(x) khi a 1 f (x) g(x) 0 khi a 1 a a loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) khi 0 a 1 0 f (x) g(x) khi 0 a 1 x2 2 1 4 3x Câu 1. Nghiệm của bất phương trình 2 là 2 A.x 1. B. xhoặc 1 .x 2 C. .1 x 2 D. x 2 . Câu 2. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 5x 1 6.5x 3.5x 1 104. A. S log5 11; . B. S 10; . 7 D. S log5 10; . C. S ; . 5 2 Câu 3. Nghiệm của bất phương trình log 1 x 5x 7 0 là 5 A.x 2. B. x 2 hoặc x 3 . C. .2 x 3 D. x 3 . 2 Câu 4. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 x 1 log1 2x 1 . 9 3 1 A. S 2; . B. S ;2 . C. S ;2 . D. S 1;2 . 2 Câu 5. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 4x 11 3 log x2 6x 8 . 0,125 0,5 A. S 2;1 . B. S ; 4  1; . C. S 3;1 . D. S ; 3  1; . x x 2 Câu 6. Biết bất phương trình log5 (4 144) 4log5 2 1 log5 (2 1) có tập nghiệm S a;b . Tính P b a . A. 2. B. 12. C. 3. D. 4. x 1 Câu 7. Hỏi bất phương trình ( 5 2) x 1 ( 5 2)x 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng 2017;2017 ? A. 4031. C. 2017. C. 2018. D. 2019. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Cần nhớ: Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là chuyển các bài toán đã cho về bất phương trình đã biết cách giải. - Dạng .a2u .au  0 , đặt t au . 2 - Dạng .loga u .loga u  0 , đặt t loga u. 1 - Dạng (a b) f (x) (a b) f (x) c với (a b)(a b) 1 , đặt t (a b) f (x) đưa về dạng t c . t u - Dạng au2 f (x) b(uv) f (x) cv2 f (x) 0 , chia hai vế cho v2 f (x) rồi đặt t ( ) f (x) đưa phương trình về dạng v at 2 bt c 0 . Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 34x 8 4.32x 5 27 0 . 3 B. S ; 1. 3 1 3 A. S ; 1 . C. S ; . D. S ; . 2 2 2 2 2 Câu 9. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2 x 3log2 x log 1 x 2 2 1 1 C. S 0; 2 . 1 A. S ;2 . B. S 0;  2; . D. S ; . 2 2 2 23
  24. 6 4 Câu 10. Biết S a;b  c;d , a b c d tập nghiệm của bất phương trình 2 3 . Tính log2 2x log2 x P b3 a3 d 2 c2 . 123 123 123 123 A. P . B. P . C. P . D. P . 2 16 4 8 10 7 10 66 10 Câu 11. Tìm số nghiệm nguyên phân biệt của bất phương trình 25 x .10 x .4 x 0 . 2 25 A. 90. B. 89. C. 87. D. 86. Câu 12. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ( 10 1)log3 x 30.( 10 1)log3 x 11x. A. 187. B. 189. C. 190. D. Vô số. 2 2 Câu 13. Biết a, b là hai nghiệm phân biệt của bất phương trình 4x 3.2x x 2x 3 41 x 2x 3 0 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P a b . 1 3 A. P . B. P 1. C. P . D. P 2. 2 2 4 Câu 14. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log2 x2 1 x log x2 1 x 3 0. A. 494. B. 495. C. 395. D. 394. 3. Phương pháp lôgarit hóa Cần nhớ: Phương pháp lôgarit hóa rất có hiệu lực khi hai vế của bất phương trình có dạng tích các lũy thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. Cho 0 a 1,b 0,c 0 . Ta có : f (x) f (x) +) a b f (x) loga b nếu a 1. +) a b f (x) loga b nếu 0 a 1. f (x) g (x) f (x) g (x) +) a b loga a loga b f (x) g(x).loga b nếu a 1. f (x) g (x) f (x) g (x) +) a b loga a loga b f (x) g(x).loga b nếu 0 a 1. f (x) g (x) +) a .b c f (x) g(x)loga b loga c nếu a 1. f (x) g (x) +) a .b c f (x) g(x)loga b loga c nếu 0 a 1. 2 Câu 15. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x 99 5x 99 . A. 17. B. 19. C. 20. D. Vô số. 2 2 2 2 Câu 16. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình 10 2x 2x 3 310x 4 m 310x 2 m có nghiệm. A. 12. B. 13. C. 15. D. Vô số. 2 2 Câu 17. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình 5x 10m m .4x 1 có nghiệm đúng với mọi x R. A. 0. B. 7. C. 1. D. 3. 4. Phương pháp mũ hóa Sử dụng phương pháp mũ hóa rất có hiệu quả cho những bất phương trình lôgarit để đưa bất phương trình lôgarit để đưa về bất phương trình mũ, đại số, đã biết cách giải. Cần nhớ: Với 0 a 1 và b 0,c 0 thì f (x) a g (x) khi a 1 0 f (x) a g (x) khi a 1 +) log f (x) g(x) +) log f (x) g(x) a g (x) a g (x) 0 f (x) a khi 0 a 1 f (x) a khi 0 a 1 x 1 Câu 18. Biết S a;b là tập nghiệm của bất phương trình log3 (3 2) 2x . Tính P a 2b. A. P 2log2 3 . B. P log3 6 . C. .P log3 4 D. P log3 2 . a Câu 19. Biết S a;b là tập nghiệm của bất phương trình log1 (log3 (log5 (2x 1))) 3 .Tính P 2b. 3 2 27 27 27 3 A. P 53 . B. P 3 . C. P 5 . D. P 527 . 24
  25. Câu 20. Hỏi bất phương trình 32log2 x 2x1 log2 x 8x2 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên phân biệt? A. 10. B. 8. C. 12. D. Vô số. 5. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số - Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng a;b và hai số u, v a;b thì f u f v u v. - Giả sử trên khoảng a;b hàm số y f x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là M, m. Khi đó: + Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc khoảng a;b khi và chỉ khi k m. + Bất phương trình f x k có nghiệm đúng với mọi x a;b khi và chỉ khi k M. + Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc khoảng a;b khi và chỉ khi k m. + Bất phương trình f x k có nghiệm đúng với mọi x a;b khi và chỉ khi k M. + Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc khoảng . . khi và chỉ khi k M. + Bất phương trình f x k có nghiệm đúng với mọi x a;b khi và chỉ khi k m. + Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc khoảng a;b khi và chỉ khi k M. + Bất phương trình f x k có nghiệm đúng với mọi x a;b khi và chỉ khi k m. 2 Câu 21. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log4 (x x 8) 1 log3 x 1 33 1 33 1 33 A. S ;9 . B. S 9; . C. S ; . D. S ;9 . 2 2 2 Câu 22. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m trong đoạn  100;100 để bất phương trình x x 2 3 2 3 m.4x 2 có nghiệm thuộc khoảng 1;2 ? A. 117. B. 116. C. 101. D. 100. Câu 23. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m trong đoạn  100;100 để bất phương trình x x 3 2 2 3 2 2 m.6x 2 có nghiệm đúng với mọi x 2;3 ? A. 65. B. 66. C. 67. D. 68. 2 Câu 24. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình 2mx 101 2x x 1 x2 m 1 x 100 có nghiệm đúng với mọi x ¡ ? A. 36. B. 37. C. 38. D. 39. x2 x 5 Câu 25. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình ln 2x2 2 1 m x 400 0 có mx 195 nghiệm ? A. 56. B. 57. C. 58. D. 59. x 1 5x 7 2 Câu 1. Giải bất phương trình 2,5 . 5 A. .x 1 B. . x 1 C. . x 1D. . x 1 Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 3.9x 10.3x 3 0 có dạng S a;b . Khi đó tính giá trị của b a . 3 5 A. .b a 2 B. . b C.a . D. . b a b a 1 2 2 x2 x 4 x 1 1 Câu 3. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2 2 A. 2; . B. ; 2  2; . C. 2; . D. . 2;2 x Câu 4. Giải bất phương trình 8 x 2 36.32 x. 25
  26. 3 x 2 log2 6 x 2 4 x 2 log3 18 x 2 A. . B. C. . D. . . x 4 x 4 x 1 x 4 x2 x 2 Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 2 1 là tập nào trong các tập sau? A. 2;1 . B. ; 2  1; . C. ; 2  1; . D. .¡     2 2 Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình 9x x 1 10.3x x 2 1 0 là : A. B.0; 1 C ; 2  1; . ; 2  1;0  1; . D. 2; 1  1; .            2 Câu 7. Tìm tập nghiệm của bất phương trình:. 2x 4 1 .ln x2 0 A. 1;2 .B. .C. .D. 1;2 . 1;2 2; 1  1;2 x 1 x 1 Câu 8. Nghiệm của bất phương trình 5 2 5 2 x 1 là. A. 2 x 1 hoặc x 1 . B. x 1 . C. 2 x 1 . D. 3 x 1 . x 1 Câu 9. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 3 1 4 2 3 A. .S 1; B. . C. S. 1; D. . S ;1 S ;1 2 2 Câu 10. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 22x 15x 100 2x 10x 50 x2 25x 150 0 A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Câu 11. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 24 x x 1 0 . A. .S ;1B. . C.S . ;3 D. . ;3 3; Câu 12. Bất phương trình 2.5x 2 5.2x 2 133. 10x có tập nghiệm là S a;b thì b 2a bằng A.6 B.10 C.12 D.16 2 2 2 Câu 13. Số các giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 3cos x 2sin x m.3sin x có nghiệm là A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Câu 14. Giải bất phương trình log3 2x 3 2 3 3 A. .x B. . x 6 C. . D.3 . x 6 x 6 2 2 Câu 15. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 x 1 2 . 2 A. S 5; . B. S 1;5 . C. .S D. .;5 S 1;5 2 Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 1 là 2 A. 2; . B. C. 2;0  0; 2 . D. 2; 2 . 0; 2 . Câu 17. Giải bất phương trình log x2 1 log 2x . x 0 A. x 1. B. .x ¡ C. . D. . x 0 x 1 2 Câu 18. Tập nghiệm S của bất phương trình log 1 4x 11 log 1 x 6x 8 là: 2 2 A. S 2;1 . B. S ;1 . C. S 1;2 . D. .S ;0  1; 2 Câu 19. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2 2 x 4log2 2 x 5 . 26
  27. 63 63 A. S ;0 ;2 . B. S ;0 ; . C. 2; . D. .S ;0 32 32 x x 2 3 Câu 20. Giải bất phương trình 2 1 3 2 2 A. .x log 2 2 B. . C.x . log2 D. . x log 2 2 x log 2 2 3 3 3 3 x x 1 Câu 21. Biết bất phương trình log5 5 1 .log25 5 5 1 có tập nghiệm là đoạn a;b . Tính a b . A. a b 1 log5 156 . B. a b 2 log5 156 . C. a b 2 log5 156 . D. a b 2 log5 26 . 1 2 1 Câu 22. Cho bất phương trình log2 x 4x 5 log 1 có tập nghiệm là 2 2 x 7 27 27 27 A. ; . B. ; 7. C. 7; . D. 7; . 5 5 5 2 Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 x 2log2 x 3m 2 0 có nghiệm thực. 2 A. B.m C. 1 D m . m 0. m 1. 3 2 2 Câu 24. Tìm số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log2 x mx m 2 1 log2 x 2 nghiệm đúng với mọi x ¡ . A. .4 B. . 2 C. . 3 D. . 5 2 Câu 25. Giải bất phương trình6log6 x xlog6 x 12 ta được tập nghiệm S a;b . Khi đó giá trị của a.b là 3 A. 1. B. 2. C. 12. D. . 2 2x 3 Câu 26. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log1 log2 0 . 3 x 1 A. 1. B. .2 C. . 0 D. Vô số Câu 27. Tìm m để bất phương trình log2 x 2m 1 log4 x có nghiệm. A. m 1. B. .m ¡ C. . m 0 D. . m 1 Câu 28. Với m là tham số thực dương khác 1 . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 2 logm 2x x 3 logm 3x x . Biết x 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho. 1 1 1 A. S  1;0  ;3 . B. S  1;0  ;2 C. S 2;0  ;3 . D. .S 1;0  1;3 3 3 3 Câu 29. Tìm tập hợp X gồm tất cả các giá trị của tham số thực m để bất phương trình 2 2 1 log5 (x 1) log5 (mx 4x m) có tập nghiệm là ¡ . A. X 2;3 . B. .X 3;5 C. . D.X . 2;3 X 3;5 x x Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5 1).log2 (2.5 2) m có nghiệm x 1? A mB C.6.D m 6 m 6 m 6 DẠNG 11. BÀI TOÁN THỰC TẾ CÔNG THỨC LÃI KÉP 27
  28. Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì kế tiếp, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra), còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Gửi tiết kiệm 1 lần Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì sau n kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là : n An A 1 r Chú ý: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân 1 qn Cho cấp số nhân u có số hạng đầu u và công bội q 1 . S u u q u q2 u qn 1 u n 1 n 1 1 1 1 1 1 q Câu 1. Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,5% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Hỏi sau một năm người đó rút tiền thì tổng số tiền người đó nhận được là bao nhiêu ? A. 100.(1,005)12 (triệu đồng) . B. 100.(1+12 x 0,005)12 (triệu đồng). C. 100.1,005 (triệu đồng). D. 100.(1,05)12 (triệu đồng) . Câu 2. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ ? A. 4.105.(1,004)5 m3. B. 4.105.(1,04)5 m3. C. 4.105.(1,4)5 m3. D. 4.105.(2,04)5 m3. Câu 3. Một người gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Hỏi sau hai năm người đó rút tiền thì tổng số tiền lãi người đó nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn) ? A. 30,877 triệu đồng. B. 30,878 triệu đồng. C. 30,875 triệu đồng. D. 30,876 triệu đồng. Câu 4. Một người gửi vào ngân hàng 300 triệu đồng với lãi suất 0,55% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó có tổng số tiền lãi là 51 triệu đồng ? A. 27 tháng. B. 28 tháng. C. 29 tháng. D. 30 tháng. Câu 5. Một người gửi vào ngân hàng 15 triệu đồng với lãi suất 1,65% một quý, sau mỗi quý lãi suất được nhập vào vốn. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi, một năm có 4 quý) A. 4 năm 2 quý. B. 4 năm 1 quý. C. 4 năm. D. 4 năm 3 quý. Câu 6. Hiện nay anh A có 1,5 tỉ đồng. Anh A muốn xây một căn nhà, dự tính chi phí xây nhà hết 2 tỉ đồng. Vì không muốn vay tiền để xây nhà nên anh A quyết định gửi số tiền 1,5 tỉ đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,6% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Tuy nhiên giá xây dựng cũng tăng mỗi tháng 0,1% so với tháng trước. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền (gồm tiền gốc và tiền lãi) để xây nhà ? (Biết rằng anh A có thể rút tiền bất kì tháng nào mà vẫn được tính lãi theo lãi suất ban đầu) A. 55 tháng. B. 56 tháng. C. 57 tháng. D. 58 tháng. Câu 7. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng A triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Biết rằng sau hai năm người đó rút tiền thì tổng số tiền người đó nhận được là 200 triệu đồng. Số tiền A (làm tròn đến hàng nghìn) là A. 173,252 triệu đồng. B. 173,253 triệu đồng. C. 173 triệu đồng. D. 174,251 triệu đồng. Câu 8. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 400 triệu đồng với lãi suất a % một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Biết rằng sau ba năm người đó rút tiền thì tổng số tiền người đó nhận được là 500 triệu đồng. Lãi suất a gần nhất với số nào trong các số sau ? A. 0,6. B. 0,61. C. 0,62. D. 0,63. Gửi tiết kiệm lãi suất thay đổi Câu 9. Ngày 03 tháng 01 năm 2016 anh A gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,5% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất được nhập vào vốn. Đến ngày 03 tháng 01 năm 2017, lãi suất gửi tiết kiệm tăng lên 0,55% một tháng nên anh A rút hết tiền rồi lại gửi hết số tiền đó theo lãi suất mới. Hỏi đến ngày 03 tháng 01 năm 2018 người đó rút tiền thì tổng số tiền người đó nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? A. 112,716 triệu đồng. B. 114,070 triệu đồng. C. 113,351 triệu đồng. D. 113,391 triệu đồng. Gửi tiết kiệm nhiều lần liên tiếp theo chu kì Nếu một người gửi tiết kiệm đều đặn mỗi kì số tiền A theo hình thức lãi kép với lãi suất r thì sau n kì số tiền người 1 r n 1 ấy có được cả vốn lẫn lãi là : A A n r 28
  29. Câu 10. Một người mỗi tháng đều đặn gửi tiết kiệm vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép lãi suất 0,6% mỗi tháng (lãi suất không đổi). Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần nhất với số tiền nào trong các số sau ? A. 535.000. B. 635.000. C. 613.000. D. 645.000. VAY TRẢ GÓP Khách hàng X vay ngân hàng số tiền A theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất khách hàng trả số tiền a và chịu lãi số tiền chưa trả là r mỗi tháng (biết rằng lãi suất không thay đổi). Sau n tháng số n n 1 r 1 tiền còn lại là A A 1 r a n r n n a Khách hàng X trả hết tiền khi A 0 Ar 1 r a 1 r 1 . Ta có n log n 1 r a A.r Vay trả góp với số tiền trả không đổi Câu 11. Chị Minh vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị minh trả 5,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu chị Minh trả hết số tiền trên ? A. 55 tháng. B. 63 tháng. C. 54 tháng. D. 64 tháng. Câu 12. Anh A vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 30 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ ? A. 35 tháng. B. 36 tháng. C. 37 tháng. D. 38 tháng. Câu 13. Anh A vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 20 triệu đồng. Hỏi tổng số tiền anh A phải trả ngân hàng là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn) ? A. 535,469 triệu đồng. B. 535,468 triệu đồng. C. 535,467 triệu đồng. D. 535,466 triệu đồng. Câu 14. Anh A vay tiền ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả a triệu đồng. Biết rằng sau một năm anh A trả hết nợ. Số tiền a gần nhất với số tiền nào trong các số tiền sau ? A. 8,5 triệu đồng. B. 8,6 triệu đồng. C. 8,8 triệu đồng. D. 8,9 triệu đồng. Câu 15. Anh A vay tiền ngân hàng a triệu đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,65% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10 triệu đồng. Biết rằng sau 18 tháng anh A trả hết nợ. Số tiền a gần nhất với số tiền nào trong các số tiền sau ? A. 168 triệu đồng. B. 169 triệu đồng. C. 170 triệu đồng. D. 171 triệu đồng. Vay trả góp với số tiền trả thay đổi Câu 16. Anh A vay tiền ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất đến hết tháng thứ 10 anh A trả 5 triệu đồng và từ tháng tiếp theo anh A trả 10 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ ? A. 15 tháng. B. 16 tháng. C. 17 tháng. D. 18 tháng. Câu 17. Anh A vay tiền ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,65% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất đến hết tháng thứ 10 anh A trả 30 triệu đồng và từ tháng 11 đến hết tháng 15 anh A trả 40 triệu đồng và từ tháng tiếp theo anh A trả 50 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ ? A. 27 tháng. B. 28 tháng. C. 29 tháng. D. 30 tháng. LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC TĂNG TRƯỞNG MŨ Câu 18. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S A.e0,195.t , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, t (giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 5000 con thì sau bao nhiêu giờ (làm tròn đến hàng phần trăm), số lượng vi khuẩn có 100000 con? A. 20,35 giờ. B. 23,35 giờ. C. 15,36 giờ. D. 16, 35 giờ. Câu 19. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S A.ert , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn ? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi ? A. 900 con ; 3 giờ 9 phút. B. 600 con ; 2 giờ 30 phút. C. 800 con ; 3 giờ 30 phút. D. 900 con ; 2 giờ 30 phút. 29
  30. Câu 20. Sự tăng dân số Việt Nam được ước tính theo công thức S A.ert , trong đó A là số lượng dân số ban đầu, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm (r 0 ), t là thời gian tăng. Biết rằng năm 2014, dân số Việt Nam là 90,7 triệu người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,06%. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người ? A. 2040. B. 2041. C. 2039. D. 2045. Câu 21. Biết chu kì bán huỷ của chất phóng xạ plutôni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân huỷ thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân huỷ được tính theo công thức S A.ert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân huỷ hàng năm (r 0 ), t là thời gian phân huỷ, S là lượng còn lại sau thời gian phân huỷ t. Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân huỷ sẽ còn 1 gam ? A. 82235 năm. B. 83335 năm. C. 84235 năm. D. 82325 năm. Câu 22. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s t s 0 .2t , trong đó s 0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 12 phút. D. 7 phút. Câu 23. Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi Ra226 là 1602 năm (tức là một lượng Ra226 sau 1602 năm phân huỷ thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân huỷ được tính theo công thức S A.ert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân huỷ hàng năm (r 0 ), t là thời gian phân huỷ, S là lượng còn lại sau thời gian phân huỷ. Hỏi 5 gam Ra226 sau 4000 năm phân huỷ sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn dến hàng phần nghìn) A. 0,923 gam. B. 0,886 gam. C. 1,023 gam. D. 0,795 gam. 30