Chuyên đề: Một số định hướng khi tiếp cận bài toán tích phân hàm ẩn - Phạm Văn Phi

Nội dung text: Chuyên đề: Một số định hướng khi tiếp cận bài toán tích phân hàm ẩn - Phạm Văn Phi

1. BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ 1. Tên chuyên đề: “MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN” 2. Người biên soạn: Phạm Văn Phi 3. Đơn vị: Trường THPT C Nghĩa Hưng, Nam Định. 1
2. MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN A. Lí do chọn đề tài: Cuộc cách mạng khoa học công nghệ phát triển như vũ bão, thời đại mà mọi thứ đêu dùng đến công nghệ nên tư duy cũng phải thật nhạy bén. Nhằm đáp ứng yêu cầu của xã hội, cần phát triển tư duy nhanh nhạy của người học, những năm gần đây Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đổi mới hình thức thi từ tự luận với thời lượng 180 phút với 10 câu hỏi sang thi trắc nghiệm với 90 phút cho 50 câu hỏi. Bởi vậy, với mỗi phần kiến thức học sinh cần nắm chắc cách giải, có hướng tiếp cận đúng đắn mới có thể nhanh chóng hoàn thành được yêu cầu của đề thi. Trong quá trình giảng dạy, tôi vẫn luôn yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, phân tích hướng làm từng dạng bài để các em có thể nhận dạng nhanh bài toán và xây dựng cho các em cách tiếp cận nhiều bài toán khác nhau trong đó có bài toán tích phân hàm ẩn. Thực trạng của vấn đề: Hình thức thi trắc nghiệm, thông thường với những bài tích phân với hàm số cụ thể học sinh hay dùng máy tính để tính đáp án, do đó bản chất kiến thức toán của phần tích phân không được áp dụng. Chính vì vậy, khi xây dựng đề thi, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã chú trọng hơn vào dạng toán mà học sinh buộc phải vận dụng kiến thức toán học để giải quyết. Một số bài tính tích phân ∫f(x)dx nhưng chưa cho biết hàm f(x) mà chỉ cho biết f(x) thỏa mãn một hoặc vài ràng buộc thì ta có thể gọi nó là tích phân hàm ẩn. Đề thi THPT quốc gia của 2 năm 2016-2017 và 2017-2018 đều có những dạng về tích phân hàm ẩn, tuy nhiên đây là phần kiến thức gây nhiều khó khăn cho học sinh trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải. Vì vậy tôi xây dựng chuyên đề : “Một số định hướng khi tiếp cận bài toán tích phân hàm ẩn”. B. Lí thuyết cơ bản Để là tốt phần tích phân, học sinh cần nắm vững những phần lí thuyết sau: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] a b a f( x ) dx 0 ; f()() x dx f x dx a a b b b k.() f x dx k f() x dx ( k là hằng số) a a b b b [f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx a a a 2
3. b c b f()()() x dx f x dx f x dx ( với a < c < b ) a a c b b f()() x dx f t dt (tích phân không phụ thuộc tên biến) a a 3
4. Bảng nguyên hàm cơ bản u là hàm số theo biến *Trường hợp đặc biệt x, tức là u u() x u ax b, a 0 *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản dx x C du u C k dx k x C , k là k du k u C hằng số x 1 u 1 1 (ax b ) 1 x dx C u du C () ax b dx C 1 1 a 1 1 1 1 1 dx ln x C du ln u C dx ln ax b C x u ()ax b a 1 1 1 1 1 1 1 dx C dx C dx C 2 2 2 x x u u ()ax b a ax b 1 1 1 1 dx 2 x C du 2 u C du .2 ax b C x u ax b a *Nguyên hàm của hàm số mũ x x u u 1 e dx e C e du e C eax b dx e ax b C a e x dx e x C e u du e u C ax au 1 amx n ax dx C,0 a 1 au du C amx n dx . C ,m 0 ln a ln a m ln a *Nguyên hàm của hàm số lượng giác 1 cosx . dx sin x C cosu . du sin u C cos(ax b ) dx sin( ax b ) C a 1 sinx . dx cos x C sinu . du cos u C sin(ax b ) dx cos( ax b ) C a 1 1 1 1 dx tan x C du tan u C dx tan( ax b ) C cos2 x cos2 u cos2 (ax b ) a 1 1 1 1 dx cot x C du cot u C dx cot( ax b ) C sin2 x sin2 u sin2 (ax b ) a C. NỘI DUNG 4
5. PHẦN I. ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM DẠNG 1. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA 1.1. Sử dụng định nghĩa F( x ) f ( x ) dx F '( x ) f ( x ) và tính chất f x ' dx f x C Dấu hiệu nhận dạng: - Cho biết đạo hàm của hàm số - Hàm số dưới dấu tích phân là đạo hàm của một hàm số Các ví dụ minh họa: Mức độ nhận biết, thông hiểu 1 Câu 1: Cho hàm số f x xác định trên \ 1 thỏa mãn f x , f 0 2017 , x 1 f 2 2018 . Tính S f 3 f 1 . A. S 1. B. S ln 2 . C. S ln 4035 . D. S 4 . Gợi ý: Chọn A 1 Ta có f x d x d x ln x 1 C . x 1 f x ln x 1 2017 khi x 1 Theo giả thiết f 0 2017 , f 2 2018 nên . f x ln x 1 2018 khi x 1 Do đó S f 3 f 1 ln 2 2018 ln 2 2017 1. 1  2 Câu 2: Cho hàm số f x xác định trên \  thỏa mãn f x và f 0 1. Giá 2  2x 1 trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. 4 ln15 . B. 3 ln15. C. 2 ln15 . D. ln15. Gợi ý: Chọn C 1 2.d 2 x 1 2 Ta có f x f x dx dx 2 ln 2 x 1 c . 2x 1 2 x 1 f 0 1 c 1 f x ln 2 x 1 1 . f 1 ln 3 1 f 1 f 3 2 ln15 . f 3 ln 5 1 1  2 Câu 3: Cho hàm số f() x xác định trên \  thỏa mãn f () x , f (0) 1 và 2  2x 1 f (1) 2 . Giá trị của biểu thức f( 1) f (3) bằng A. 4 ln5. B. 2 ln15 . C.3 ln15. D. ln15. Gợi ý: Chọn C 1 2 Trên khoảng ; : f( x ) dx ln(2 x 1) C1 . 2 2x 1 Lại có f(1) 2 C1 2. 1 2 • Trên khoảng ; : f( x ) dx ln(1 2 x ) C2 . 2 2x 1 Lại có f(0) 1 C2 1. 5
6. 1 ln(2x 1) 2 khi x 2 Vậy f() x . 1 ln(1 2x ) 1 khi x 2 Suy ra f( 1) f (3) 3 ln15. Mức độ vận dụng, vận dụng cao (Đề thi thử Chuyên Ngoại Ngữ, 31/3/2019) Câu 3:. Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm trên  1;0. Biết f' x 3 x2 2 x e f x ,  x  1;0 . Tính giá trị biểu thức A f 0 f 1 A. 1. B. 1. 1 C. 0 . D. . e Gợi ý: Chọn đáp án C Từ giả thiết, rút ra f' x . ef x 3 x2 2 x , hay ef x ' 3 x2 2 x . Suy ra 0 0 ef x ' dx 3 x2 2 x dx e f x | 0 0 e f 0 e f 1 0 1 1 1 Từ đó rút ra f 0 f 1 hay A f 0 f 1 0 Câu 4: (Chuyên Lam Sơn, TH, 3/3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; . Biết f 0 2 e và f x luôn thỏa mãn đẳng thức f' x sinx. f x c osx. ecos x ,  x  0;  . Tính I f x dx (làm tròn đến phần trăm). 0 A. I 6,55 B. I 17,30 C. I 10,31 D. I 16,91 Gợi ý: Chọn đáp án C Từ giả thiết, rút ra e cos x f' x sinx. f x c osx,  x 0;   Hay e cos x . f x ' c osx,  x  0;  Vậy e cosx. f x ' dx c osx dx sinx C e cos x . f x sinx C Với f 0 2 e suy ra C=2, suy ra f x sinx 2 ecos x . Sau đó tính tích phân sinx 2 ecos x dx 10.31 0 Câu 5: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn f 0 3 và 2 2 f x . f x cos x . 1 f x , x 0; . Giá trị của f bằng 2 3 A . 0 B. 1 C. 2 2 . D. 2 Gợi ý: Chọn C 6
7. ' f x . f x 1 Từ giả thiết, ta có cosx cos x 2 2 1 f x 1 f x ' 2 2 1 2 1 dx cos xdx 1 Do đó 2 2 0 1 f x 0 1 f x 0 f 0 3 nên ta có f 2 2 Với giả thiết 3 Câu 6: (Đề thi thử lần 2 chuyên Trần Phú, HP) Cho hàm số f x thỏa mãn f x 0 và 2 2 f x 1 1 f x f' x ,  x 0;1 . Biết f , khẳng định nào sau đây đúng? ex x x x2 2 2 1 1 1 1 1 A. f . B. f . 5 4 6 5 5 1 1 1 1 1 C. f . D. f . 5 5 4 5 6 Gợi ý: Chọn D Từ giả thiết, ta có 2 2 f x ex f x f' x 2 f x f' x x 22 2 e x x x f x x x x ' ex 2 2 f x x x x 1 1 ' 2 ex 2 2 Suy ra dx dx  cas io 4 f x 2 1 1 x x x 5 5 1 ex 2 1 Vậy 4 f 1,74 f x 1 5 5 Câu 7: Cho f() x xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4 thỏa mãn 2 3 x 2 xf x f x ,  x  1;4 , f 1 . Giá trị f 4 bằng: 2 391 361 A. B. 18 18 381 371 C. D. 18 18 Câu 8: Cho hàm số y f x có f x liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn 3f x f x 1 3.e 2x . Khi đó: 1 1 A. e3 f 1 f 0 . e2 3 2 1 1 B. e3 f 1 f 0 . 2 e2 3 4 7
8. e2 3 e 2 3 8 C. e3 f 1 f 0 . 3 D. e3f 1 f 0 e 2 3 e 2 3 8. 8
9. 1.2. Áp dụng bảng nguyên hàm mở rộng (đối với hàm hợp) Một số dấu hiệu nhận dạng 1 1, f x .' f x dx f2 x C 2 f' x 2, dx ln f x C f x 1 3, fn x .' f x dx f n 1 x C n 1 f' x 4, dx 2 f x C f x f' x 1 5, dx C f2 x f x (Đề thi thử lần 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG CỤM CHUYÊN MÔN) 4 Câu 1: Cho hàm số y f x thoả mãn f 2 và f x x3 f 2 x  x . Giá trị 19 của f 1 bằng 2 1 A. . B. . 3 2 3 C. 1. D. . 4 Gợi ý: Chọn C 2 f x 2 f x 2 1 15 Từ giả thiết, ta có x3 dx x 3 dx f2 x f 2 x f x 4 1 1 1 4 Kết hợp f 2 ta được f 1 1. 19 Câu 2: (Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 1) Cho hàm số y f() x có đạo hàm , liên tục trên R , nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa mãn f (1) 1, f ( x ) f ( x ).(3 x2 2 mx m ) với m là tham số. Giá trị thực của tham số m để f(3) e 4 là A. m 2. B. m 3. C. m 3. D. m 4. Gợi ý: Chọn C Câu 3: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên . Biết f6 x . f x 12 x 13 và f 0 2 . Khi đó phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Gợi ý: Chọn A Từ f6 x . f x 12 x 13 f6 x . f x dx 12 x 13 dx 7 f x f 0 2 2 f6 x df x 6 x 2 13 x C 6x2 13 x C  C . 7 7 Suy ra: f7 x 42 x 2 91 x 2 . 9
10. Từ f x 3 f7 x 2187 42x2 91 x 2 2187 42x2 91 x 2185 0 * . Phương trình * có 2 nghiệm trái dấu do ac 0 . Câu 4: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn 1 f 2 và f x 2 x 4 f2 x 0 . Tính f 1 f 2 f 3 . 15 7 11 A. . B. . 15 15 11 7 C. . D. . 30 30 Gợi ý : Chọn D Vì f x 2 x 4 f2 x 0 và f x 0 , với mọi x 0; nên ta có f x 2x 4 . f2 x 1 1 1 Suy ra x2 4 x C . Mặt khác f 2 nên C 3 hay f x . f x 15 x2 4 x 3 1 1 1 7 Do đó f 1 f 2 f 3 . 8 15 24 30 Câu 5: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f x 0 , x . f' x Biết f 0 1 và 2 2x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f x f x m có hai nghiệm thực phân biệt. A. m e . B. 0 m 1. C. 0 m e. D. 1 m e . Gợi ý : Chọn C f x f x Ta có 2 2x dx 2 2 x d x . f x f x 2 2 lnf x 2 x x2 C f x A. e2x x . Mà f 0 1 suy ra f x e2x x . 2 Ta có 2x x2 1 x 2 2 x 1 1 x 1 2 1. Suy ra 0 e2x x e và ứng với một giá trị thực t 1 thì phương trình 2x x2 t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f x m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 m e1 e . 10
11. DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT Dấu hiệu nhận dạng: Sử dụng các tính chất b a . Đổi chỗ cận tích phân: òf( x)d x= - ò f( x) d x . a b . Tích phân tổng, hiệu: b b b é ù òëfx( )± gxx( ) ûd = ò fxx( ) d ± ò gxx( ) d . a a a b c b . Tách tích phân, tức là òf( x)d x= ò f( x) d x + ò f( x) d x . a a c b . Tích phân ò f( x)d x chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào a b b biến số x , tức là òf( x)d x= ò f( t) d t . a a 5 2 Câu 1: Cho f x d x 10 . Kết quả 2 4f x d x bằng: 2 5 A. 34. B. 36. C. 40 . D. 32. Gợi ý : Chọn A 2 2 2 5 Tacó 2 4f x d x 2 d x 4 f x d x 2x5 4 f x d x 2. 5 2 4.10 34 . 2 5 5 5 2 Câu 2: Cho hàm số f x liên tục trên và F x là nguyên hàm của f x , biết 9 f x d x 9 và F 0 3. Tính F 9 . 0 A. F 9 6 . B. F 9 6 . C. F 9 12 . D. F 9 12 . Gợi ý :Chọn C 9 9 Ta có: I f xd x F x FF9 0 9 F 9 12 . 0 0 2 2 Câu 3: Cho I f x d x 3 . Khi đó J 4 f x 3 d x bằng: 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . Gợi ý : Chọn B 2 2 2 Ta có J 4 f x 3 d x 4 f x d x 3 d x 4.3 3 x 2 6 . 0 0 0 0 4 4 4 Câu 4: Cho f x d x 10 và g x d x 5 . Tính I 3 f x 5 g x d x 2 2 2 A. I 5 . B. I 15 . C. I 5. D. I 10 . Gợi ý : Chọn A 4 4 4 Có: I 3 f x 5 g x d x 3 f x d x 5 g x d x 5 . 2 2 2 9 0 9 Câu 5: Giả sử f x d x 37 và g x d x 16 . Khi đó, I 2 f x 3 g ( x ) d x bằng: 0 9 0 11
12. A. I 26 . B. I 58 . C. I 143 . D. I 122. Gợi ý : Chọn A 9 9 9 9 0 Ta có: I 2 fx 3 gxx ( ) d 2 fxx d 3 gxx d 2 fxx d 3 gxx d 26 . 0 0 0 0 9 2 5 5 Câu 6: Nếu f x d x 3, f x d x 1 thì f x d x bằng 1 2 1 A. 2 . B. 2 . C. 3. D. 4 . Gợi ý : Chọn B 5 2 5 Ta có f x dx f x dx f x dx 3 1 2 . 1 1 2 2 3 3 Câu 7: Cho f x d x 1 và f x d x 2 . Giá trị của f x d x bằng 1 2 1 A. 1. B. 3 . C. 1. D. 3. Gợi ý : Chọn C 3 2 3 f x d x f x d x f x d x 1. 1 1 2 10 6 Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 và f x d x 7 và f x d x 3. 0 2 2 10 Tính P f x d x f x d x . 0 6 A. P 7 . B. P 4. C. P 4 . D. P 10. Gợi ý : Chọn C 10 2 6 10 Ta có f x d x 7 f x d x f x d x f x d x 7 0 0 2 6 2 10 f x d x f x d x 7 3 4 . 0 6 Vậy P 4 . 1 2 2 Câu 9: Cho f x d x 2 , f x d x 4 , khi đó f x d x ? 0 1 0 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 3. Gợi ý : Chọn A 2 1 2 f x d x f x d x f x d x 6 . 0 0 1 1 3 Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên và có f x d x 2 ; f x d x 6 . Tính 0 1 3 I f x d x . 0 A. I 8 . B. I 12 . 12
13. C. I 36. D. I 4 . Gợi ý : Chọn A 3 1 3 I f x d x f x d x f x d x 2 6 8 . 0 0 1 2 2 2 Câu 11: Cho f x d x 2 và g x d x 1. Tính I x 2 f x 3 g x d x bằng 1 1 1 11 7 A. I . B. I . 2 2 17 5 C. I . D. I . 2 2 Gợi ý : Chọn D x2 2 2 2 3 5 Ta có: I 2 f x d x 3 g x d x 4 3 . 2 1 1 1 2 2 8 4 4 Câu 12: Biết f x d x 2 ; f x d x 3; g x d x 7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 8 4 A. f x d x 1. B. f x g x d x 10 . 4 1 8 4 C. f x d x 5. D. 4f x 2 g x d x 2 . 4 1 Gợi ý : Chọn A 8 8 4 Ta có f x d x f x d x f x d x 2 3 5 4 1 1 Câu 13: Cho hàm số f x có f x liên tục trên đoạn  1;3 , f 1 3 và 3 f ( x )d x 10 giá trị của f 3 bằng 1 A. 13 . B. 7 . C. 13 . D. 7 . Gợi ý : Chọn C 3 3 Ta có f ( x )d x 10 f x 10 f3 f 1 10 f3 f 1 10 13 . 1 1 2 2 Câu 14: Cho f x d x 3. Tính f x 1 d x ? 0 0 A. 4 . B. 5. C. 7 . D. 1. Gợi ý : Chọn B 2 2 2 Ta có f x 1 d x f x d x d x 3 2 5. 0 0 0 Câu 15: Cho y f x , y g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và 2 2 2 g x . f x d x 2 , g x . f x d x 3. Tính tích phân I f x . g x d x . 0 0 0 A. I 1. B. I 6 . C. I 5 . D. I 1. Gợi ý : Chọn C 13
14. 2 2 Xét tích phân I fxgx . d x fxgx . fxgx . d x 0 0 2 2 g x . f x d x g x . f x d x 5 . 0 0 5 2 Câu 16: Cho hai tích phân f x d x 8 và g x d x 3. Tính 2 5 5 I f x 4 g x 1 d x . 2 A. I 11. B. I 13 . C. I 27 . D. I 3 . Gợi ý : Chọn B 5 5 2 Ta có: I f x 4 g x 1 d x f xd x 4 g x d x x 5 2 2 2 5 8 4.3 5 2 13 . 14
15. DẠNG 3: DẠNG TOÁN DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu nhận dạng: Biểu thức dưới dấu tích phân là một hàm hợp của hàm f x Các ví dụ: 4 2 Câu 1: Cho f x d x 16 . Tính f 2 x d x 0 0 A. 16. B. 4. C. 32. D.8. Gợi ý : Chọn D 2 Xét tích phân f 2 x d x ta có 0 1 Đặt 2x t dx dt . Khi x 0 thì t 0; khi x 2 thì t 4. 2 2 4 4 1 1 1 Do đó f 2 x d x f t dt f x d x .16 8 . 02 0 2 0 2 6 2 Câu 2: Nếu f x d x 12 thì f 3 x d x bằng 0 0 A. 6. B. 36. C. 2. D.4. Gợi ý : Chọn D Đặt t 3 x d t 3d x . Đổi cận: x 0 t 0, x 2 t 6 21 6 1 Khi đó: f 3 x d x f t d t .12 4 . 03 0 3 2 5 Câu 3: Cho f x2 1 x d x 2. Khi đó I f x d x bằng: 1 2 A. 2. B. 1. C. 1. D.4. Gợi ý : Chọn D Đặt t x2 1 dt 2 xdx . Đổi cận: x 1 t 2, x 2 t 5. 21 5 5 2 Khi đó: f x2 1 x d x f t d t f t d t 2 f x2 1 x d x 4 . 12 2 2 1 5 5 Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I f x d x f t d t 4 . 2 2 1 Câu 3: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn f x d x 9 . Tính tích phân 5 2 f 1 3 x 9 d x . 0 A. 27. B. 21. C. 15. D. 75. Gợi ý : Chọn B Đặt t 1 3 x dt 3d x . Với x 0 t 1 và x 2 t 5. 15
16. 2 2 2 5 dt Ta có f1 3 x 9 d x f1 3 x d x 9d x f t 9 x 2 0 0 0 0 1 3 1 1 f x d x 18 3 5 1 .9 18 21. 3 3 Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên 1; và f x 1 d x 8 . Tích phân 0 2 I xf x d x bằng: 1 A. I 16. B. I 2 . C. I 8 . D. I 4 Gợi ý : Chọn D 3 2 I f x 1 d x 8 . Đặt t x 1 t x 1 2d t t d x; 0 đổi cận: x 0 t 1; x 3 t 2 . 2 2 2 Khi đó I 2 tf t d t 8 tf t d t 4 . Vậy I xf x d x 4. 1 1 1 1 2 Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục trên và f 2 x d x 8. Tính I xf x2 d x 0 0 A. 4. B. 16. C.8. D. 32. Gợi ý : Chọn C Đặt x2 2 t 2 x d x 2d t x d x d t . Đổi cận: x 0 t 0, x 2 t 1 . 1 Ta có: I f 2 t d t 8 . 0 Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f 2 x 3 f x , x . Biết rằng 1 2 f x d x 1. Giá trị của tích phân I f x d x bằng bao nhiêu? 0 1 A. I 5 . B. I 3 . C. I 8 . D. I 2 . Gợi ý : Chọn A 2 Xét tích phân J f x d x , đặt x 2 t d x 2d t . 0 Với x 2 t 1, x 0 t 0. 1 1 1 1 1 Ta có J f 2 t 2d t 2 f 2 t d t 2 3f t d t 6 f t d t 6 f x d x 6 . 0 0 0 0 0 2 1 2 Mặt khác, ta có J f x d x f x d x f x d x 0 0 1 2 2 1 1 I fxx d fxx d fxxJ d fxx d 5 . 1 0 0 0 16
17. 2 4 f x Câu 7: Cho f x d x 2 . Tính I d x bằng 1 1 x A. I 1. B. I 2 . 1 C. I 4 . D. I . 2 Gợi ý : Chọn C 1 Đặt t x d t d x ; đổi cận: x 1 t 1, x 4 t 2 2 x 4f x 2 2 I d x f t 2d t 2 f t d t 2.2 4 . 1x 1 1 16 f x Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn dx 6 và 1 x 2 4 f sin x cos x d x 3 . Tính tích phân I f x d x . 0 0 A. I 2 . B. I 6 . C. I 9 . D. I 2 . Gợi ý : Chọn B 16 f x dx Xét I d x 6, đặt x t d t 1 x 2 x Đổi cận: x 1 t 1; x 16 t 4 4 4 6 I 2 f t d t 6 f t d t 3. 1 1 2 2 J f sin x cos x d x 3 , đặt sinx u cos x d x d u 0 Đổi cận: x 0 u 0 ; x u 1 2 1 J f u d u 3 0 4 1 4 Vậy I f x d x f x d x f x d x 3 3 6 . 0 0 1 9 f x 2 Câu 8: Cho f x liên tục trên thỏa dx 4 và f sin x cos x d x 2 . Tính 1 x 0 3 I f x d x . 0 A. I 10. B. I 6 . C. I 4 . D. I 2 . Gợi ý : Chọn C 9 f x Ta có: dx 4 , đặt t x t2 x 2t d t d x 1 x 17
18. đổi cận x 1 t 1, x 9 t 3 3 f t 3 Do đó ta có: 2t dt 4 f t dt 2 (1) 1 t 1 2 Ta có: f sin x cos x .d x 4 , đặt t sin x dt cos x .d x 0 đổi cận x 0 t 0, x t 1 2 2 1 Do đó ta có: f sin x cos x .d x 2 f t d t 2 (2) 0 0 3 3 Từ (1) và (2) ta có: f x d x f t d t 4. . 0 0 Câu 9: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f 2 x 1 ln x 4 f x . Tính tích phân I f x d x . x x 3 A. I 3 2 ln2 2 . B. I 2 ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln2. Gợi ý : Chọn B 4 4 4 4 f 2 x 1 ln x f 2 x 1 ln x Ta có f x d x dx dx d x. x x x x 1 1 1 1 4 f 2 x 1 Xét K d x . 1 x t 1 dx Đặt 2x 1 t x dt . 2 x 3 3 K f t d t f x d x . 1 1 2 4 4 ln x 4 ln x Xét M d x lnx d ln x 2 ln2 2 . 1 x 1 2 1 4 3 4 Do đó f x d x f x d x 2ln2 2 f x d x 2 ln2 2 . 1 1 3 1 2 3 Câu 10: Cho f 2 x 1 d x 12 và f sin2 x sin 2 x d x 3 . Tính f x d x . 0 0 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Gợi ý : Chọn C 3 t 1 1 3 1 3 3 Đặt 2x 1 t 12 f t d f t d t f x d x f x d x 24. 1 2 2 1 2 1 1 18
19. 2 2 2 Ta có f sin2 x sin 2 x d x f sin2 x .2sin x cos x d x 2sinx . f sin2 x d sin x 0 0 0 2 1 1 f sin2 x d sin 2 x f u d u f x d x 3 0 0 0 3 1 3 f x d x f x d x f x d x 3 24 27 . 0 0 1 4 1 x2 f x Câu 11: Cho hàm f x liên tục trên thỏa mãn ftan x d x 3 và dx 1. 2 0 0 x 1 1 Tính f x d x . 0 A.4. B. 2. C. 5. D. 1. Gợi ý : Chọn A 1x2 f x 1 1 f x 1x2 f x 1 f x 1 dx f x d x d x dx d x f x d x . 2 2 2 2 0x 1 0 0 x 1 0x 1 0 x 1 0 1 Đặt tan x t suy ra 2 . dtan x d t 2 dd x t 1tan x dd x t cos x dt d t dx . 1 tan 2 x 1 t 2 4 1 dt 1 f x ftan x d x f t dx =3. 2 2 0 0 1 t 0 x 1 1 Vậy f x dx 4 . 0 6 Câu 12: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f x 6 x2 f x 3 . Tính 3x 1 1 f x d x 0 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 6 . Gợi ý : Chọn B 1 1 1 2 3 6 1 Từ f x 6 x f x f x d x 2 3 x2 f x 3 d x 6 d x 3x 1 0 0 0 3x 1 Đặt u x3 du 3 x 2 dx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 3x2 f x 3 d x f u d u f x d x thay vào * , ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 f x d x 2 f x d x 6 d x f x d x 6 d x 4 . 0 0 0 3x 1 0 0 3x 1 19
20. Câu 13: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 1 4xf x2 3 f x 1 1 x 2 . Tích phân I f x d x bằng 0 A. I . B. I . 4 6 C. I . D. I 20 16 Gợi ý : Chọn C 1 1 1 Từ 4.xfx 2 3 fx 11 x 2 22 xfxx 2 d31d fxx 1d xx 2 0 0 0 +) Đặt u x2 d u 2 x d x ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 2xf x2 d x f u d u f x d x 1 0 0 0 +) Đặt t 1 x d t d x ; Với x 0 t 1 và x 1 t 0 . 1 1 1 Khi đó f 1 x d x f t d t f x d x 2 0 0 0 Thay 1 , 2 vào ta được: 1 1 1 11 1 2 f x d x 3 f x d x 1 x2 d x f x d x 1 x2 d x . 0 0 0 05 0 20 Câu 14: Xét hàm số f x liên tục trên 1;2 và thỏa mãn 2 f x 2 xf x2 2 3 f 1 x 4 x 3 . Tính giá trị của tích phân I f x dx . 1 5 A. I 5 . B. I . 2 C. I 3 . D. I 15 . Gợi ý : Chọn C Từ f x 2 xf x2 2 3 f 1 x 4 x 3 . 2 2 2 2 f x dx 2 x . f x2 2 dx 3 f 1 x dx 4 x 3 dx * 1 1 1 1 +) Đặt u x2 2 du 2 x dx ; với x 1 u 1 và x 2 u 2 . 2 2 2 Khi đó 2x . f x2 2 dx f u du f x dx 1 1 1 1 +) Đặt t 1 x dt dx ; Với x 1 t 2 và x 2 t 1. 2 2 2 Khi đó f 1 x dx f t dt f x dx 2 1 1 1 2 2 Thay 1 , 2 vào * ta được: 5 f x dx 15 f x dx 3. 1 1 Câu 15: Hàm số f x liên tục trên  1;2 và thỏa mãn điều kiện 2 f x x 2 xf 3 x2 . Tính giá trị của I f x d x 1 14 28 A. I . B. I . 3 3 20
21. 4 C. I . D. I 2 . 3 Gợi ý : Chọn B 2 2 2 14 ừ f x xf 3 x2 x 2 f x d x xf 3 x2 d x x 2d x (*) 1 1 1 3 x 1 u 2 Đặt u 3 x2 d u 2 x d x với x 2 u 1 2 12 1 2 Khi đó xf 3 x2 d x f u d u f x d x thay vào (*) ta được 1 2 1 2 1 21 2 14 2 28 f x dx f x d x f x d x = . 12 1 3 1 3 x3 Câu 16: Cho hàm số y f x và thỏa mãn f x 8 x3 f x 4 0 . Tích phân x2 1 1 a b 2 a b I f x dx với a,, b c và ; tối giản. Tính a b c 0 c c c A. 6 . B. 4. C. 4 . D. 10. Gợi ý : Chọn A x3 1 1 1 x3 Từ f x 8 x3 f x 4 0 fxdx 2 4 xfxdx3 4 dx 0 (*) 2 2 x 1 0 0 0 x 1 Đặt u x4 du 4 x 3 dx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 4xfx3 4 dx fudu fxdx thay vào (*), ta được: 0 0 0 1 1 1 x3 1 1 x3 f x dx 2 f x dx dx 0 f x dx dx 2 2 0 0 0 x 1 0 0 x 1 2 2 2 Đặt t x 1 t x 1 tdt xdx ; Với x 0 t 1 và x 1 t 2 . 2 1 1 x2 2 t 2 1 2 t3 2 2 Khi đó: f x dx . xdx .tdt t2 1 dt t 2 t 3 3 0 0 x 1 1 1 1 a b 2 c Suy ra a 2; b 1; c 3 a b c 6 . 21
22. DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Dấu hiệu nhận dạng: - Thường là tích của các hàm số - Biểu thức dưới dấu tích phân chứa một tích đa thức và đạo hàm f x Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên 0;2 và f 2 3, 2 2 f x d x 3. Tính x. f x d x . 0 0 A. 3. B.3. C.0. D.6. Gợi ý : Chọn B 2 2 2 2 Ta có x. f x d x xd f x x. f x f x d x 2f 2 3 3. 0 0 0 0 Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1 2 . 1 1 Biết f x dx 1, tính tích phân I x.' f x dx . 0 0 A. I 1. B. I 1. C. I 3. D. I 3 . 1 Gợi ý : Ta có: I x.' f x dx 0 Đặt u x du dx , dv f' x dx chọn v f' x dx f x 1 1 1 I x. f x f x dx 1. f 1 0. f 0 f x dx 2 1 1 0 0 0 Chọn A 1 Câu 3. Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 và 2f 1 f 0 2 . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I 8 . B. I 8 . C. I 4 . D. I 4 . 1 Gợi ý : A x 1 f ' x dx Đặt u x 1 du dx , dv f' x dx chọn v f x 0 1 1 1 1 1 A x1 . f x f x dx 2 f (1) f (0) f x dx 2 f x dx 10 f x dx 8 0 0 0 0 0 Chọn B Câu 4. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 2 16 , 2 1 f x d x 4 . Tính tích phân I x. f 2 x d x . 0 0 A. I 12 . B. I 7 . C. I 13. D. I 20 . Gợi ý : Chọn B 22
23. du d x u x Đặt f 2 x . dv f 2 x d x v 2 x. f 2 x 1 11 f 2 1 2 16 1 Khi đó: I f 2 x d x f t d t .4 7 . 20 20 2 4 0 2 4 Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f 2 1, 2 0 f 2 x 4 d x 1. Tính xf x d x . 1 2 A. I 1. B. I 0. C. I 4 . D. I 4 . Gợi ý : Chọn B Đặt t 2 x 4 d t 2d x , đổi cận x 1 t 2 , x 2 t 0. 21 0 0 0 1 f 2 x 4 d x f t d t f t d t 2 f x d x 2 . 12 2 2 2 Đặt u x d u d x , dv f x d x v f x . 0 0 0 Vậy xf xd x xf x f xd x 2f 2 2 2.1 2 0 . 2 2 2 Câu 6. Cho hàm số y= f( x) thỏa mãn f( x3 +3 x + 1) = 3 x + 2, " x Î ¡ . Tính 5 I= ò x. f¢( x) dx . 1 5 17 A. . B. . 4 4 33 C. . D. 1761. 4 Gợi ý : Chọn C 5 ïìu= x ïì du = dx 5 Đặt íïÞ íï ÞI = xf( x) - f( x) dx . ïdv= f¢ x dx ï v = f x 1 ò îï( ) îï ( ) 1 ïì f5= 5 x = 1 5 3 ï ( ) ( ) Từ f( x+3 x + 1) = 3 x + 2 Þ í , suy ra I=23 - f( x) dx . ï f1= 2 x = 0 ò îï ( ) ( ) 1 ïì dt=3 x2 + 3 dx 3 ï ( ) Đặt t= x +3 x + 1 Þ íï ï îï f( t)=3 x + 2 Đổi cận: Với t=1 Þ 1 = x3 + 3 x + 1 Û x = 0 và t=5 Þ x3 + 3 x + 1 = 5 Û x = 1. 5 1 Casio 33 Khi đó I=23 -ò f( x) dx = 23 - ò( 3 x + 2)( 3 x2 + 3) dx = 1 0 4 Chọn C e f x Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trong đoạn 1;e , biết dx 1, f e 1. Khi đó 1 x e I f x .ln x d x bằng 1 A. I 4 . B. I 3. 23
24. C. I 1. D. I 0. Gợi ý : Chọn D e e e 1 Cách 1: Ta có I fx .lnd xxfx .ln x fx .d xf e1110 . 1 1 1 x dx u ln x du Cách 2: Đặt x . dv f x d x v f x e e e f x Suy ra I f x.lnd x x f x ln x d x f e1110 . 1 1 1 x Câu 8. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn π f x f x sin x .cos x , với mọi x R và f 0 0 . Giá trị của tích phân 2 π 2 x. f x d x bằng 0 π 1 A. . B. . 4 4 π 1 C. . D. . 4 4 Gợi ý : Chọn D π Theo giả thiết, f 0 0 và f x f x sin x .cos x nên 2 π π f 0 f 0 f 0 . 2 2 Ta có: π π π 2 2 π 2 I x. f x d x xd f x xf x 2 f x d x 0 0 0 0 π 2 Suy ra: I f x d x . 0 Mặt khác, ta có: π 1 f x f x sin x .cos x 2f x d x 2 f x d x 2 sin x .cos x d x 2 0 0 2 0 2 0 2 1 2 1 Suy ra: f x d x f x d x f x d x 0 0 2 2 2 4 π 2 1 Vậy I f x d x . 0 4 Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 và f 5 10 , 5 5 xf x d x 30 . Tính f x d x . 0 0 A. 20 . B. 30. C. 20. D. 70 . 24
25. Gợi ý : Chọn A u x d u d x Đặt dv f x d x v f x 5 5 5 5 x. f x d x x . f x f x d x 30 5f 5 f x d x 0 0 0 0 5 f x d x 5 f 5 30 20 . 0 Câu 10. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên 3 2 67 đoạn 1;2. Biết rằng F 1 1, F 2 4, G 1 , G 2 2 và f x G x d x . 2 1 12 2 Tính F x g x d x 1 11 145 A. . B. . 12 12 11 145 C. . D. . 12 12 Gợi ý : Chọn A u F x du f x d x Đặt dv g x d x v G x 2 2 2 F x g x d x F x G x f x G x d x 1 1 1 2 F 2 G 2 F 1 G 1 f x G x d x 1 3 67 11 4.2 1. . 2 12 12 Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1 1 x f x 2 d x f 1 . Giá trị của I f x d x bằng 0 0 A. 2 . B. 2. C. 1. D.1. Gợi ý : Chọn C 1 1 1 Ta có x f x 2 d x x. f x d x 2 x d x 0 0 0 1 1 1 1 2 xd f x x x. f x f x d x 1 f 1 I 1. 0 0 0 0 1 Theo đề bài x f x 2 d x f 1 I 1. 0 25
26. 2 Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 và x 1 f x d x a . Tính 1 2 f x d x theo a và b f 2 . 1 A.b a . B. a b. C. a b . D. a b. Gợi ý : Chọn A Đặt u x 1 d u d x ; dv f x d x chọn v f x . 2 2 b 2 2 x 1 f x d x x 1 f x f x d x f2 f x d x b f x . 1 1 1 a 1 2 2 2 Ta có x 1 f x d x a b f x d x a f x d x b a . 1 1 1 2 Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên và f 2 16 , f x d x 4 . Tính tích 0 1 phân I x. f 2 x d x . 0 A. I 13. B. I 12 . C. I 20 . D. I 7 . Gợi ý : Chọn D du d x u x Đặt 1 . dv f 2 x d x v f 2 x 2 11 11 1 1 1 1 1 Khi đó, Ixfx . 2 fxxf 2 d 2 fxx 2 d 8 fxx 2 d . 20 20 2 2 0 2 0 Đặt t 2 x d t 2d x . Với x 0 t 0 ; x 1 t 2. 1 2 Suy ra I 8 f t d t 8 1 7 . 4 0 Câu 14. Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên biết đồ thị hàm số y f x 1 0 1 2 đi qua điểm M ;4 và f t dt 3, tính I sin 2 x . f sin x d x . 2 0 6 A. I 10. B. I 2 . C. I 1. D. I 1. Gợi ý : Chọn B 0 0 Xét tích phân I sin 2 x . f sin x d x 2sin x . f sin x .cos x d x . 6 6 1 x t Đặt: t sin x d t cos x d x . Đổi cận: 6 2 . x 0 t 0 26
27. 0 I 2 t . f t d t . 1 2 u 2 t d u 2d t Đăt: . dv f t d t v f t 0 0 1 0 Itft 2 . 1 2 fttf d 2 ftt d . 1 2 1 2 2 2 1 1 Đồ thị hàm số y f x đi qua điểm M ;4 f 4 . 2 2 Hàm số y f x là hàm số chẵn, liên tục trên 1 1 0 2 2 f t d t f t d t f x d x 3. 1 0 0 2 Vậy I 4 2.3 2. Câu 15. Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện 2 f x 2 f x 1 f 1 1 và f 2 4 . Tính J d x . 2 1 x x A. J 1 ln 4 . B. J 4 ln 2 . 1 1 C. J ln 2 . D. J ln 4 . 2 2 Gợi ý : Chọn D 2 f x 2 f x 1 2f x 2 f x 2 2 1 Cách1: Ta có J d x dx d x d x . 2 2 2 1 x x 1x 1 x 1 x x 1 1 u d u 2 d x Đặt x x dv f x d x v f x 2 2 f x 2 f x 1 12f x 2 f x 2 2 1 J d x .f x d x d x d x 2 2 2 2 1 x x x1 1 x 1 x 1 x x 2 1 1 1 f 2 f 1 2ln x ln 4 . 2 x 1 2 2 Câu 16. Cho hàm số y f x thỏa mãn sinx . f x d x f 0 1. Tính 0 2 I cos x . f x d x . 0 A. I 1. B. I 0. C. I 2 . D. I 1. Gợi ý : Chọn C 27
28. u f x d u f ( x )d x Đặt dv sin x d x v cos x 2 2 sinxfxx . d cos xfx . 2 cos xfxx . d . 0 0 0 2 2 I cos x . f x d x sinx . f x d x cos x . f x 2 1 1 0 . 0 0 0 Câu 17. Cho hàm số f x và g x liên tục, có đạo hàm trên và thỏa mãn 2 f 0 . f 2 0 và g x f x x x 2 ex . Tính giá trị của tích phân I f x . g x d x 0 ? A. 4 . B. e 2. C. 4. D. 2 e. Gợi ý : Chọn C Ta có g x f x x x 2 ex g 0 g 2 0 (vì f 0 . f 2 0) 2 2 2 2 I f x . g x d x f x d g x f x . g x g x . f x d x 0 0 0 0 2 x2 2 x ex d x 4 . 0 Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên 0; thỏa mãn 4 4 f x 4 4 f 3, dx 1 và sinx .tan x . f x d x 2 . Tích phân sinx . f x d x bằng: 4 0 cos x 0 0 2 3 2 A. 4. B. . 2 1 3 2 C. . D.6. 2 Gợi ý : Chọn B 4 u sin x d u cos x d x Ta có: I sin x . f x d x . Đặt . dv f x d x v f x 0 4 3 2 I sin x . f x4 cos x . f x d x I . 0 1 0 2 4 4 4 2 f x 2 f x 2 sinx .tan x . f x d x sinx . d x 1 cosx . d x . 0 0 cos x 0 cos x 4 f x 4 dx cos x . f x d x 1 I . 1 0 cos x 0 28
29. 3 2 3 2 2 I 1 I 1 . 1 2 2 2 Câu 19. Cho hàm số f x liên tục trên và f 2 16 , f x d x 4 . Tính 0 4 x I xf d x 0 2 A. I 12 . B. I 112 . C. I 28. D. I 144 . Gợi ý : Chọn B u x du d x Đặt x x . dv f d x v 2 f 2 2 Khi đó 4 4 4 x x 4 x x I xf d x 2xf 2 f d x 128 2I với I fd x . 0 1 1 0 2 2 0 2 0 2 x 4 x 2 2 Đặt u d x 2d u , khi đó I fd x 2f u d u 2f x d x 8 . 1 2 0 2 0 0 Vậy II 128 2 1 128 16 112. Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai f x liên tục trên đoạn 0;1thoả mãn f 1 f 0 1, f 0 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. f x 1 x d x 2018 . B. f x 1 x d x 1. 0 0 1 1 C. f x 1 x d x 2018 . D. f x 1 x d x 1. 0 0 Gợi ý : Chọn A 1 1 Xét I f x 1 x d x 1 x d f x 0 0 u 1 x du d x Đặt dv d f x v f x 1 1 1 I 1 x f x f x d x 1 1f 1 f 0 f x 0 0 0 f 0 f 1 f 0 2018 1 1 2018 . 29
30. DẠNG 5: ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG b Nếu f x 0,  x  a ; b thì f x dx 0,  x  a ; b. Hay a b Nếu f x 0,  x  a ; b thì f x dx 0 f x 0 a Dấu hiệu nhận dạng: - Khi hàm số hay biểu thức dưới dấu tích phân có chứa lũy thừa bậc 2 của hàm số. - Khi hàm số hay biểu thức dưới dấu tích phân có chứa lũy thừa bậc 2 của đạo hàm hàm số. 2 Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f 0 , f x d x và 2 4 2 cosx f x d x . Tính f 2018 . 4 2 A. 1. B. 0 . 1 C. . D.1. 2 Gợi ý : Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có cosxfxx d sin xfx sin xfxx d . Suy ra sinxf x d x . 2 4 2 2 2 2 1 cos 2x 2 x sin 2 x Hơn nữa ta tính được sinx d x d x . 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2 Do đó: fxx d 2 sin xfxx d sin xx d 0 fx sin xx d 0 . 0 0 0 0 Suy ra f x sin x . Do đó f x cos x C . Vì f 0 nên C 0 . 2 Ta được f x cos x f 2018 cos2018 1 . Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 và 1 1 2 1 2 x e 1 f x d x x 1 e f x d x . Tính tích phân I f x d x . 0 0 4 0 A. I 2 e. B. I e 2. e e 1 C. I . D. I . 2 2 Gợi ý : Chọn B 1 u f x du f x d x Xét A x 1 ex f x d x . Đặt x x 0 dv x 1 e d x v xe 30
31. 1 1 1 2 1 1 e Suy ra A xex f x x e x f x d x xex f x d x xex f x d x 0 0 0 0 4 1 1 2 2 2x 2 x 1 2 1 1 e 1 Xét xe d x e x x . 0 2 2 4 0 4 1 1 1 1 2 x2 2 x x 2 Ta có f x d x 2 x e f x d x x e d x 0 f x xe d x 0 0 0 0 0 2 Suy ra f x xex 0 x 0;1(do f x xex 0 x 0;1) f x xe x f x 1 x e x C Do f 1 0 nên f x 1 x e x 1 1 1 Vậy I f x d x 1 x ex d x 2 x e x e 2 . 0 0 0 Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 x 1 f x d x , f 2 0 và f x d x 7 . Tính tích phân I f x d x . 1 3 1 1 7 7 A. I . B. I . 5 5 7 7 C. I . D. I . 20 20 Gợi ý : Chọn B 3 2 x 1 Đặt u f x d u f x d x , dv x 1 d x v 3 2 2 32 3 1 2 x 1 x 1 Ta có x 1 f x d x .f x f x d x 3 31 3 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3 x 1 f x d x x 1 f x d x 1 2.7 x 1 f x d x 14 3 3 1 1 1 2 2 2 6 2 3 Tính được 49 x 1 d x 7 f x d x 2.7 x 1 f x d x 1 1 1 2 6 49 x 1 d x 0 1 2 4 3 2 3 7 x 1 7x 1 f x d x 0 f x 7 x 1 f x C . 1 4 4 7 x 1 7 Do f 2 0 f x . 4 4 4 2 2 7 x 1 7 7 Vậy I f x d x dx . 4 4 5 1 1 Câu 4. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1, 1 1 1 2 3 1 f x d x 9 và x f x d x . Tích phân f x d x bằng 0 0 2 0 31
32. 2 5 A. . B. . 3 2 7 6 C. . D. . 4 5 Gợi ý : Chọn B 1 2 Ta có: f x d x 9 1 0 1 1 - Tính x3 f x d x . 0 2 du f x d x u f x Đặt 4 3 x dv x .d x v 4 1 1 4 1 1 1 3 x 1 4 1 1 4 x f x d x . f x x. f x d x x. f x d x 2 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 x4. f x d x 1 18 x4 . f x d x 18 2 0 0 1 1 x9 1 1 - Lại có: x8d x 81 x8 d x 9 3 0 90 9 0 - Cộng vế với vế các đẳng thức 1 , 2 và 3 ta được: 1 1 2 f x 18 x4 . f x 81 x 8 d x 0 f x 9 x4 d x 0 0 0 1 4 . f x 9 x d x 0 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x 9 x4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 0 , x 1 khi quay quanh Ox bằng 0 9 f x 9 x4 0 f x 9 x4 f x f x .d x x4 C . 5 14 9 14 Lại do f 1 1 C f x x5 5 5 5 1 1 1 95 14 36 14 5 f x d x x d x x x . 0 0 5 5 10 5 0 2 Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; và f 0 . Biết 4 4 4 4 8 f2 x d x , f x sin 2 x d x . Tính tích phân I f 2 x d x 0 8 0 4 0 1 A. I 1. B. I . 2 1 C. I 2 . D. I . 4 Gợi ý : Chọn D 32
33. 4 sin 2x u 2cos 2 x d x d u Tính f x sin 2 x d x . Đặt , khi đó f xd x d v f x v 0 4 4 4 fx sin 2 xx d sin 2 xfx .4 2 fx cos2 xx d 0 0 0 4 4 sin .f sin 0. f 0 2 f x cos2 x d x 2 f x cos2 x d x . 2 4 0 0 4 4 Theo đề bài ta có f x sin 2 x d x f x cos2 x d x . 0 4 0 8 4 Mặt khác ta lại có cos2 2x d x . 0 8 4 4 2 2 2 Do fx cos2 xx d fxfx 2 .cos2 x cos 2 xx d 2 0 nên 0 0 8 8 8 f x cos 2 x . 8 18 1 Ta có I cos 4 x d x sin 4 x . 0 40 4 Câu 6. .Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . 1 1 1 1 Biết f2 x d x , f x cos x d x . Tính f x d x . 0 2 0 2 0 1 A. . B. . 2 3 C. . D. . 2 Gợi ý : Chọn C u cos x du sin x d x Đặt . dv f x d x v f x 1 1 1 Khi đó: fx cos xx d cos xfx fx sin xx d 0 0 0 1 1 f 1 f 0 f x sin x d x f x sin x d x 0 0 1 1 f x sin x d x . 0 2 Ta có 1 2 Tìm k sao cho f x ksin x d x 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 Ta có: fxk sin xxfxxkfx d d 2 sin xxk d sin xx d 0 0 0 0 33
34. 1 k 2 k 0 k 1. 2 2 1 2 2 Do đó f x sin x d x 0 f x sin x (do f x sin x 0 0 x ). 1 1 2 Vậy f x d x sin x d x . 0 0 Câu7. Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;1 1 2 1 1 2 1 thỏa f 1 0 , f x dx và cos x f x d x . Tính f x d x . 0 8 0 2 2 0 A. . B. . 2 1 2 C. . D. . Gợi ý : Chọn D u f x du f x d x Đặt x 2 x dv cos d x v sin 2 2 1 1 Do đó cos x f x d x 0 2 2 1 1 2 x 21 1 sinf x sin x f x d x sin x f x d x . 20 0 2 2 0 2 4 1 2 1 Lại có: sin x d x 0 2 2 12 1 1 2 2 2 I . f x d x 2 sin x f x d x sin x d x 0 0 2 0 2 2 1 2 4 2 2 1 f x sin x d x . 0 2 0 2 8 2 2 2 2 Vì f x sin x 0 trên đoạn 0;1 nên 2 1 2 2 2 f x sin x d x 0 f x =sin x f x = sin x . 0 2 2 2 2 Suy ra f x =cos x C mà f 1 0 do đó f x =cos x . 2 2 1 1 2 Vậy f x d x cos x d x . 0 0 2 Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 x e 1 f x d x x 1 e f x d x và f 1 0 . Tính f x d x 0 0 4 0 34
35. e 1 e2 A. . B. . 2 4 e C. e 2. D. . 2 Gợi ý : Chọn C 1 1 1 - Tính: I x 1 ex f x d x xex f x d x e x f x d x J K . 0 0 0 1 Tính K ex f x d x 0 x x x u e f x du e f x e f x d x Đặt dv d x v x 1 1 1 1 Kxfx ex xfxxfxx e x e x d xex f x d x x e x f x d x 0 0 0 0 do f 1 0 1 1 K J xex f x d x I J K xex f x d x . 0 0 - Kết hợp giả thiết ta được: 1 2 1 2 2 e 1 2 e 1 f x d x f x d x (1) 0 4 0 4 1 e2 1 1 e2 1 xex f xd x 2x ex f x d x (2) 0 4 0 2 1 e2 1 - Mặt khác, ta tính được: x2e 2x d x (3) . 0 4 - Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1 1 2 x2 2 x x 2 f x 2 x e f x x e d x 0 f x xe d x 0 0 o 1 2 f x xex d x 0 o hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x xe x , trục Ox , các đường thẳng x 0 , x 1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 f x xex 0 f x xe x f x xex d x 1 x e x C. - Lại do f 1 0 C 0 f x 1 x e x 1 1 1 1 1 f x d x 1 x ex d x 1 x ex e x d x 1 ex e 2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy f x d x e 2 . 0 35
36. Câu 9. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 , 1 1 1 2 2 1 f x d x 7 và x f x d x . Tích phân f x d x bằng 0 0 3 0 7 A. . B.1. 5 7 C. . D. 4 . 4 Gợi ý : Chọn A 1 du f x d x 2 u f x Tính: x f x d x .Đặt 3 . 2 x 0 dv x d x v 3 1 1x3 f x 1 1 Ta có: x2 f x d x x 3 . f x d x 3 3 00 0 1.f 1 0. f 0 11 1 1 x3. f x d x x 3 . f x d x . 3 30 3 0 1 1 11 1 1 Mà x2 f x d x x3. f x d x x 3 . f x d x 1. 0 3 30 3 0 1 2 Ta có f x d x 7 (1). 0 1 1 x7 1 1 1 x6d x 49x6 d x .49 7 (2). 0 70 7 0 7 1 1 x3. f x d x 1 14 x 3 . f x d x 14(3). 0 0 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra 1 1 1 2 6 3 f x d x 49 x d x 14 x . f x d x 7 7 14 0. 0 0 0 1 1 2 3 6 3 2  f x 14 x f x 49 x d x 0 f x 7 x d x 0. 0 0 1 1 2 2 3 2 3 3 Do f x 7 x 0 f x 7 x d x 0 . Mà f x 7 x d x 0 0 0 f x 7 x3 . 7x4 7 7 f x C . Mà f 1 0 C 0 C . 4 4 4 7x4 7 Do đó f x . 4 4 1 1 1 7x4 7 7 x 5 7 7 Vậy f x d x d x x . 4 4 20 4 5 0 0 0 36
37. Câu 10: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 0 . 1 9 1 x 3 1 Biết f2 x d x và f x cos d x . Tích phân f x d x bằng 0 2 0 2 4 0 1 4 A. . B. . 6 2 C. . D. . Câu 11: (Thuận Thành 1, Bắc Ninh) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] 2 thỏa mãn f (1) 1 và f ( x ) 4(6 x2 1) f ( x ) 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4,  x [0;1]. 1 Tích phân f() x dx bằng 0 23 13 7 A. . B. . 17 D. . 15 15 C. . 15 15 Câu 12: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 1 , thỏa mãn 1 1 1 1 2 3 f x d x xf x d x 1 và f x d x 4 . Giá trị của tích phân f x d x bằng 0 0 0 0 Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và f 0 0 với x 4;8. Biết 2 8 f x 1 1 rằng dx 1 và f 4 , f 8 . Tính f 6 . 4 4 2 4 f x 5 2 A. . B. . 8 3 3 1 C. . D. . 8 3 Câu 13. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 và 1 1 2 1 2 x e 1 f x d x x 1 e f x d x . Tính tích phân I f x d x . 0 0 4 0 A. I 2 e. B. I e 2. e e 1 C. I . D. I . 2 2 37