Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán 7: Tỉ lệ thức

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán 7: Tỉ lệ thức

1. CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC Dạng 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x 3 5 7 x 1 44 x x 12 a, b, c, x 5 7 x 1 9 3 5 HD: a, 7 x 3 5 x 5 2x 46 x 23 b, x 1 x 1 7.9 8 1 8 1 x 8 c, 5 44 x 3 x 12 8x 256 x 32 Bài 2: Tìm x biết: x 4 5 x y 3 x x 1 x 2 a, b, ( tìm ) c, 20 x 4 x 2y 4 y x 2 x 3 HD: a, x 4 2 100 102 x 4 10 x b, 4x 4y 3x 6y x 10y 10 y x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 3 5 c, 1 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 1 3 x 3 5 x 2 2x 1 x 2 Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 20 40 40 20 28 a, và x.y=1200 b, và x.y.z = 22400 x 9 y 12 z 24 x 30 y 15 z 21 HD: x 9 y 12 z 24 x 3 y 3 z 3 a, Từ gt 15 20 40 15 5 20 5 40 5 x y z x 15k k , Mà x.y 1200 k 2 15 20 40 y 20k x 40k x 30 y 15 z 21 x y z b, Từ gt k y 20k 40 20 28 40 20 28 z 28k x 40 Mà: x.y.z 22400 y 20 z 28 Bài 4: Tìm x, y, z biết: x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 a, và 2x 3y z 50 b, và x - 2y +3z =14 2 3 4 2 3 4 HD : x 1 y 2 z 3 2 x 1 3 y 2 z 3 2x 3y z 5 a, 5 2 3 4 4 9 4 9 x 1 y 2 z 3 x 1 2 y 2 3 z 3 x 2y 3z 6 b, 1 2 3 4 2 6 12 8
2. Bài 5: Tìm x, y, z biết: x 1 y 3 z 5 4 3 2 a, và 5z 3x 4y 50 b, và x y z 10 2 4 6 3x 2y 2z 4x 4y 3z HD : x 1 y 3 z 5 5 z 5 3 x 1 4 y 3 5z 3x 4y 34 a, Từ : = 2 4 6 30 6 16 8 4 3 2 3x 2y 2z 4x 4y 3z b, Từ : => 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4 3 2 4 3x 2y 3 2z 4x 2 4y 3z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 0 16 9 2 27 3x 2y x y z x y z 2z 4x 10 2 3 4 2 3 4 4y 3z 7 3 5 Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : và x y z 17 2x 2 2y 4 z 4 Bài 7: Tìm các số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 3x 2y z 169 và 3x 25 2y 169 z 144 144 25 169 HD : 3x 25 2y 169 z 144 3x 2y z 25 169 144 169 1 Từ : 144 25 169 338 338 2 144 47 3x 25 72 x , Tương tự cho y và z 2 3 Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z a, và x2 y2 z2 585 b, x:y:z=3:4:5 và 2x2 2y2 3z2 100 5 7 3 HD: x2 y2 z2 x2 y2 z2 a, 9 25 49 9 25 49 9 x y z x2 y2 z2 2x2 2y2 3z2 100 b, 4 3 4 5 9 16 25 18 32 75 25 Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c a, và a2 b2 2c2 108 b, x : y : z 3: 4 :5 và 5z2 3x2 2y2 594 2 3 4 HD: a b c a2 b2 c2 a2 b2 2c2 108 a, 4 2 3 4 4 9 16 4 9 32 27 x y z x2 y2 z2 5z2 3x2 2y2 594 b, 9 3 4 5 9 16 25 125 27 32 66 Bài 10: Tìm các số x, y, z biết: x3 y3 z3 x3 y3 z3 a, và x2 y2 z2 14 b, và x2 2y2 3z2 650 8 64 216 8 27 64 HD : 3 3 3 x y z x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 14 1 a, Từ GT ta có : 2 4 6 2 4 6 4 16 36 4 16 36 56 4
3. x y z x2 y2 z2 x2 2y2 3z2 650 b, 25 2 3 4 4 9 16 26 26 x3 y3 x3 2y3 Bài 11: Tìm x, y biết: và x6.y6 64 6 4 HD : 3 3 3 3 3 3 3 3 x y x 2y 2 x y x 2y 3y3 3x3 Ta có : GT 6 4 12 4 2 16 x3 x6 x6 64k y3 y6 k 1 6 8 64 y k 3x 3y 3z Bài 12: Tìm x, y, z biết: và 2x2 2y2 z2 1 8 64 216 HD : x y z x2 y2 z2 2x2 2y2 z2 1 Từ GT ta có : ( Vô lý) 8 64 216 64 4096 46656 8320 46656 38336 Vậy không tồn tại x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x 3y 4z 6 9 18 a, và x+y+z=49 b, x y z và x y z 120 3 4 5 11 2 5 HD: x y z x y z x y z a, 1 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 x y z x y z x y z 120 b, 5 11.3 2.2 5 33 4 5 24 24 Bài 14: Tìm x, y, z biết: 6 9 18 a, 2x 3y 5z và x y z 95 b, x y z và x z 196 11 2 5 HD : x y z 95 a, Từ : x y z 95  x y z 95 x y z x y z 95 Nên 2x 3y 5z 15 10 6 15 10 6 19 6 9 18 x y z x z 196 b, Từ : x y z => 11 2 5 33 4 5 33 5 28 x y z Bài 15: Tìm x,y,z biết: x y z y z 1 x z 2 x y 3 HD : x y z y z 1 x z 2 x y 3 Từ : y z 1 x z 2 x y 3 x y z y z 1 x z 2 x y 3 2 x y z 2 x y z x y z x y z y z 1 2x x y z 3x 1 2 x 1 4 => x z 2 2y x y z 3y 2 2 y 3 1 => x y 3 2z x y z 3z 3 2 z 3
4. y x 1 x z 2 z y 3 1 Bài 16: Tìm x, y, z biết : x y z x y z HD : 2 x y z 1 1 Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta được : GT 2 x y z x y z x y z 2 1 5 Khi đó : x z 2 2y x y z 3y 2 y 2 6 5 13 Và z y 3 2z z y 3 3 x 6 6 y z 1 x z 2 x y 3 1 Bài 17: Tìm x, y, z biết: x y z x y z HD : 2x 2y 2z 1 1 Từ GT => Tử + Tử + Tử =GT 2 x y z x y z x y z 2 1 3 1 Khi đó : y z 1 2x x y z 3x 1 3x x 2 2 2 Tượng tự để tìm ra y, z y z 2 x z 3 x y 5 1 Bài 18: Tìm x, y, z biết: x y z x y z HD : 2 x y z 1 1 Từ GT=> Tử + Tử + Tử =>GT 2 x y z x y z x y z 2 1 5 Khi đó : y z 2 2x x y z 3x 2 x . Làm tương tự cho y và z 2 6 x y z Bài 19: Tìm x, y, z biết: x y z y z 1 z x 1 x y 2 HD : x y z 1 Ta có : GT x y z 2 x y z 2 1 1 Khi đó : 2x y z 1 x y z 3x 1 x . Tương tự cho y và z 2 2 2x 1 3y 2 2x 3y 1 Bài 20: Tìm x, y biết: 5 7 6x HD : 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 3y 2 Từ GT x 2 y 3 12 6x 5 7 2x 1 4y 5 2x 4y 4 Bài 21: Tìm x, y biết: 5 9 7x HD : 2x 1 4y 5 2x 4y 4 Từ GT x 2 , Thay vào tìm được y 5 9 7x 1 2y 1 4y 1 6y Bài 22: Tìm x, biết: 18 24 6x HD : 2 1 2y 1 1 4y 1 2y 1 4y 1 6y 1 1 Ta có : GT x 5 , 36 24 18 24 6x 12 42 6x Thay vào tìm được y
5. 5x 1 7y 6 5x 7y 7 Bài 23: Tìm x biết 3 5 4x HD: 5x 1 7y 6 5x 7y 7 5x 7y 7 => 3 5 8 4x 1 6 Nếu 5x-7y-7 # 0 thì x 2 , Thay vào ta được y=3. Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x ; y 5 7 1 3y 1 5y 1 7y Bài 24: Tìm x, y biết: 12 5x 4x HD : 1 3y 1 5y 1 5y 1 7y Ta có : GT 12 5x 5x 4x 2y 2y 12 5x x 6x 12 x 2 . Thay vào tìm được y 12 5x x 7x 3y 12 y 2z x Bài 25: Tìm x,y,z biết : 2y z 3y 2 y 3x y x y 2 xz2 yz2 Bài 26: Tìm x, y, z biết : x 0 47 17 x2 z2 1 a b c Bài 27: Cho và a b c 0,a 2012 . Tính b, c b c a HD : a b c a b c Từ : 1 a b c 2012 b c a b c a a b c Bài 28: Cho và a b c 0,a 2017 . Tính b, c b c a HD: a b c a b c Ta có: 1 a b c 2017 b c a a b c a b 10 Bài 29: Tìm a, b biết: ,a b 10 b 10 a HD: a b 10 a b 10 Ta có: 1 a b 10 b 10 a a b 10 x y z Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác 0 biết : và x2018 y2019 0 y z x a b c Bài 31: Cho 3 số hữu tỉ bằng nhau: ; ; và a b c 0 , Tính giá trị của mỗi tỉ số đó b c c a a b HD : a b c a b c 1 b c c a a b 2 a b c 2 a b c Bài 32: Tìm x biết : x , và các tỉ số đều có nghĩa b c c a a b HD : a b c Nếu a+b+c=0 thì b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c khi đó x 1 a b a a b c a b c 1 Nếu a+b+c 0 thì x b c c a a b 2 a b c 2
6. x x Bài 33: Tìm x, biết: 2 , 16 y2 y HD : x x 1 1 Ta có : 2 . 2 16. 2 y 8 x 16.8 y2 y y y x y z 94 Bài 34: Tìm x, y, z biết: 3x 4 y 5z a b c 260 Bài 35: Tìm a, b, c biết: a 3b 0,3(b c) HD: a b a b c a b c 260 60 Từ a 3b , và 200 a 60,b 20 c 3 1 0,3 1 1,3 1,3 3 Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( 8 – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a b 8 c b c 10 c Từ GT t 2 5 3 4 a b 2t mà 4 8 c 5 10 c c 2 t 2 b 8,a 4 b c 3t a b c b c a Bài 37: Tìm các số a, b, c Z biết : a b c 3 b c a a b c HD : a b c b c a a c b a c b Ta có : GT 6 6 b c a a b c b b c c a a a b c a b c a b c 1 1 1 9 , Vì a b c 3 3 a b c a b c 1 1 1 1 1 1 Do a,b,c nguyên nên 1. 1. 1 3 a b c 1 a b c a b c x y x y xy Bài 38: Tìm x, y biết: 3 13 200 HD: x y x y x y x y x x xy GT 3 13 16 8 8 200 x 0 =>8xy 200x 0 x 8y 200 0   y 25 TH1: x 0 y 0 TH2: y 25 x 40 3a 2b 2c 5a 5b 3c Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: và a+b+c=-50 5 3 2 HD : 5 3a 2b 3 2c 5a 6c 10b 5b 3c 5b 3c Ta có : GT 0 25 9 34 17 2 3a 2b a b c a b c => 2c 5a 5 2 3 5 10 5b 3c
7. 4z 10y 10x 3z 3y 4x Bài 40: Tìm x,y,z biết : và 2x+3y-z=40 3 4 10 HD: 4z 10y 10x 3z 3 4z 10y 4 10x 3z Ta có: GT 3 4 9 16 4z 10y 40x 30y 30y 40x 0 10x 3z 13 100 3y 4x x y z 2x 3y z 40 => 5 3 4 10 6 12 10 8 12x 15y 20z 12x 15y 20z Bài 41: Tìm x, y, z biết: và x+ y+ z=48 7 9 11 HD: 12x 15y 20z 12x 15y 20z Ta có: GT 0 7 9 11 x y x y => 12x 15y 0 12x 15y 15 12 5 4 x z x y z x y z 48 làm tương tự ta được: 5 3 5 4 3 5 4 3 12 5z 6y 6x 4z 4y 5x Bài 42: Tìm x, y, z biết: và 3x 2y 5z 96 4 5 6 x 3y 3y 9z 5z 15x Bài 43: Tìm x, y,z biết: và x+y+2z= -31 19 114 115 HD : x 3y y 3z z 3x Ta có : , Đặt a x 3y b y 3z c z 3x h x y 2z (1) 19 38 23 x a 3c y b 3a z c 3b hx hy 2hz Đồng nhất ta được : a 3c h 1 4 2 b 3a h , Giả sử cho h=1 thì a ;b ;c , Như vậy để cho chẵn thì ta nen cho h =7 7 7 7 c 3b 2h Khi đó : a 1;b 4;c 2 Ta biến đổi (1) như sau : x 3y y 3z z 3x x 3y 4 y 3z 2 z 3x 7 x y 2z 7. 31 1 19 38 23 19 152 46 217 217 x 3y 19 y 3z 38 , Cộng theo vế ta được : 4 x y z 80 x y z 20 z 3x 23 Mà x y 2z 31 20 z 31 z 11 3b 1 125a 3b Bài 44: Tìm các cặp số a, b thỏa mãn: 1 125a a2 4 6a 13 HD: 13 ĐKXĐ: a 2,a 6 3b 1 125a 3b 1 125a 1 125a a2 4 6a 13 1 a2 6a 9
8. 2 1 Suy ra: a 6a 8 0, a 125 a 2(l),a 4 , Với a 4 b 2004 Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy z ;yz 9x ; xz 16y HD: x z x 16 z 16 Ta có: GT và z2 9.16 144 z 2 y 9 y z 9 z x 12 4 x 4k TH1: z 12 4k.3k 12 k 1 y 9 3 y 3k TH2: z 12 làm tương tự a 1 a 2 a 100 Bài 46: Tìm các số: a ;a ; a , biết: 1 2 100 và a a a a 10100 1 2 100 100 99 1 1 2 3 100 HD: Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: a a a 1 2 100 a a a 10100 1 2 100 1 2 100 1 1 1 100 99 1 100 99 1 5050 a 1 a 2 a 3 a 9 Bài 47: Tìm a ,a ,a , ,a , biết rằng : 1 2 3 9 , và 1 2 3 9 9 8 7 1 a1 a2 a3 a9 90 Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M a b c d e f biết: a, b, a 14 c 11 e 13 c, d, e, f thuộc N* và ; ; b 22 d 13 f 17 HD: a 7 c 11 e 13 a b a b M Từ gt=> ; ; => b 11 d 13 f 17 7 11 7 11 18 c d c d M e f e f M Tương tự ta có: và khi đó M BC(18;24;30) , và M 11 13 24 24 13 17 13 17 30 là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên M=1080 x 4 4 Bài 49: Tìm x,y biết: và x+y=22 7 y 7 HD : x y x y Ta có : GT 7x 28 28 4y 2 4 7 11 3 2 Bài 50: Tìm x, y biết: x y và x2 y2 38 5 3 HD: x y x2 y2 x2 y2 Ta có: Gt 72 5 3 25 9 19 3 2 9 4 36 Khi đó: x2 200 x 200 và y2 162 y 162 Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b và a-b=3(a+b) HD: a Ta có: a b 3 a b 2a 4b a 2b 2 b a Mà a b a b 2 a b 2 thay vào b a b 3 a b 2 3 2b 2 6b 6 b =
9. Bài 52: Hãy tìm tất cả các số có hai chữ số biết rằng tổng, hiệu, tích của các chữ số của số đó là ba số nguyên dương và tỉ lệ với 35: 210: 12 HD: Gọi số cần tìm là: ab a 0,a,b 0;1;2; ;9 , Giả sử : a>b a b a b ab a b 6 a b a.b Theo bài ra ta có : 35 210 12 35.6 6.35 12 6a 6b a b 5a 7b , Vô lý vì a, b cùng dấu. Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a và b bằng thương của a và b và bằng 2 lần tổng của a và b, HD: a a Theo bài ra ta có: a b 2 a b a b 2 a b 3 b b 9 a b 3 a 4 3 a b 3 2 b 4 2x y 3y 2z Bài 54: Tìm x,y,z biết: , x z 2y 5 15 HD : Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z 2x y 3y 2z 1 Mà nên 2x-y=3y-2z=0. Từ 2x-y=0=> x y 5 15 2 1 3 2 Từ 3y-2z=0 và x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay y y z 0 hay y z 0 hay y z 2 2 3 1 1 2 => x z . Vậy các giá trị x,y,z cần tìm là x z, y z, z R 3 3 3 1 Bài 55: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5 và các mẫu số tương 70 ứng của chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c 1 a b c x y z Gọi 3 phân số cần tìm là; ; thì ta có: 1 , và x y z x y z 70 3 4 5 5 1 2 a b c a b c 1 1 a x b y c z y x y z 1 : : : x z 70 3 4 5 3 4 5 71 3 5 4 1 5 2 7 5 1 2 5 1 2 10 a 3 b 4 c 5 => ; ; đó là ba phân số cần tìm x 35 y 7 z 14 2 1 Bài 56: Số M được chia làm 3 số tỉ lệ với 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương của ba số đó 3 4 bằng 4660 HD : 2 5 1 9 1 5 9 6 20 27 Ta có : 0,5 : 1 : 2 nên ta có : : : : : 6 : 20 : 27 3 3 4 4 2 3 4 12 12 12 Giả sử M được chia thành 3 số là x ;y ;z. Theo bài ra ta có : x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 4660 4 22 6 20 27 62 202 272 62 202 272 1165 => x2 122 x 12, y2 402 y 40, z2 542 z 54 Vậy M=12+40+54=106 hoặc M=-106
10. Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Bài 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a b c d a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức: M c d d a a b b c HD: Từ GT trừ đi 1 vào mỗi vế của tỉ số ta có: a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d TH1: Nếu a b c d 0 a b c d M 4 TH2: Nếu a b c d 0 a b c d M 4 y z x z x y x y z x y z Bài 2: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn: .Tính B 1 1 1 x y z y z x HD: Từ GT cộng thêm 2 vào mỗi vế của của tỉ số ta được: y z x z x y x y z x y z x y z x y z 2 2 2 x y z x y z TH1: x y z 0 x y z B 8 TH2: x y z 0 x y z, y z x.x z y B 1 a b c d b c d a c d a b d a b c Bài 2: Cho , a b c d 0 d a b c b c c d d a a b Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 1 a b c d HD: a b c d b c d a c d a b d a b c Ta có: 2 2 2 2 d a b c a b c d a b c d a b c d a b c d d a b c Vì a b c d 0 a b c d P 1 2 1 2 1 2 1 2 34 2b c a 2c b a 2a b c Bài 3: Cho a,b,c 0 và dãy tỉ số: . a b c 3a 2b 3b 2c 3c 2a Tính: P 3a c 3b a 3c b HD: 2b c a 2c b a 2a b c 2b c a 2c b a 2a b c 2 a b c 2 a b c a b c a b c Vì a,b,c 0 a b c 0 2b c 3a 3a 2b c 3a c 2b 1 2c a 3b 3b 2c a và 3b a 2c , Thay vào P 8 2a b 3c 3c 2a b 3c b 2a
11. 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d Bài 4: Cho dãy tỉ số : a b c d a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức: M c d d a a b b c HD: Trừ 2011 vào mỗi vế của tỉ số trong tỉ lệ thức ta được: a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d TH1: a b c d 0 a b c d M 8 Th2: a b c d 0 a b c d M 4 a b c b c a c a b Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn: c a b b c a Tính giá trị của biểu thức: A 1 1 1 a b c HD : a b c a b c a b c Từ GT ta cộng thêm 2 vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau có: c a b TH1 : a b c 0 a b c A 8 TH2 : a b c 0 a b c,b c a,a c b A 1 a b c d Bài 6: Cho a +b +c +d 0, và b c d a c d a b d a b c a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức: A c d a d a b b c HD : b c d a c d a b d a b c Từ GT nghịch đảo ta có => a b c d Cộng 1 vào các tỉ số ta được : a b c d a b c d a b c d a b c d vì a b c d 0 a b c d nên a b c d A 4 1 a 4b c b 4c a c 4a b Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn : , a b c c a b a b c Tính P 2 3 4 b c a a 2b c b 2c a c 2a b a b c Bài 8: Cho a,b,c 0 và a b c , Tính P 2 2 2 c a b b c a HD: a 2b c b 2c a c 2a b 2 a b c Từ GT ta có : GT a b c a b c a 2b c 0 a 2b c TH1 : a b c 0 b 2c a 0 b 2c a P 1 c 2a b 0 c 2a b a 2b c 2c a 2b 3c TH2 : a b c 0 GT 2 b 2c a 2a b 2c 3a => P=27 c 2a b 2b c 2a 3b a b b c c a a b c Bài 9: Cho a,b,c dôi 1 khác nhau và .Tính P 1 a 1 c a b b c a
12. a b c Bài 10: Cho a, b, c khác nhau và khác 0, t/m: . b c a c a b b c a c a b Tính giá trị của biểu thức: A a b c HD: b c a c a b Từ GT ta nghịch đảo => a b c a b c a b c a b c Cộng 1 vào các tỉ số ta được : a b c TH1 : a b c 0 a b c A 6 TH2 : a b c 0 b c a,a c b,a b c A 3 y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt Bài 11: Cho 3 số x,y,z,t thỏa mãn: x y z t Và x+ y+ z+ t = 2012. Tính giá trị P= x+2y – 3z +t HD: Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau ta được: x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t 2012 2012 2012 2012 2012 x y z t 503 x y z t 4 Thay vào ta tính được P x 2x 3x x x 503 z x y Bài 12: Cho x, y, z 0 & x y z 0 , Tính giá trị của biểu thức: B 1 1 1 x y z HD : x z y x y z y.( z).x Ta có : B 1 x y z x.y.z a b c d Bài 13: Cho a,b,c,d 0 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tính A c d a d a b b c HD : a b c d a b c d 1 Từ GT ta có : => a b c d 2b 2c 2d 2a 2a 2b 2c 2d 2 Thay vào A ta được A = 2 a b c a b c a b c Bài 14: Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0, sao cho: c b a a b b c c a Tính M abc HD : a b c a b c a b c Cộng thêm 2 vào GT ta được : a b c TH1 : a b c 0 a b c M 8 TH2 : a b c 0 a b c,b c a,c a b M 1
13. x y z t x y y z z t t x Bài 15: Cho ,Tính M y z t z t x t x y x y z z t t x x y y z HD : Từ GT nghịch đảo ta được : y z t z t x t x y x y z x y z t y z t z t x t x y x y z Cộng thêm 1 vào các tỉ số ta được : 1 1 1 1 x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t TH1 : x y z t 0 x y z t M 8 x y z t y z t x TH2 : x y z t 0 M 4 z t x y t x y z a c b Bài 16: Tính A biết A= b c a b c a HD: a c b a b c 1 1 Ta có : A A b c a b c a 2 a b c 2 2 a b c d 2a b 2b c 2c d 2d a Bài 17: Cho và a b c d 0 .Tính: A b c d a c d d a a b b c HD: Từ GT ta lấy Tử + Tử + Tử + Tử ta được : a b c d a b c d 1 a b c d b c d a a b c d 1 1 1 1 Thay vào A ta được : A 2 2 2 2 2 ab bc ca ab2 bc2 ca2 Bài 18: Cho a,b,c khác 0, thỏa mãn : , Tính P a b b c c a a3 b3 c3 HD: Với a, b, c khác 0 , nghịch đảo giả thiết ta được : a b b c c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca a b b c c a a b c a3 a3 a3 khi đó : P 1 3a3 x y x y x Bài 19: Cho x,y,z là 3 số dương phân biết, Tìm tỉ số , biết: y x z z y HD: y x y x y x y x x Từ GT ta có : 2 2 x z z y x z z y y a b c a b 7 b c 3 a c 4 Bài 20: Cho , Tính A 20a 11b 2018c 2 4c 4a 4b
14. a 5 3a 2b Bài 21: Cho , Tính giá trị của biểu thức: A b 6 2a 3b HD : Từ GT ta có : 2 2 3a 2b 6a 4b 5b 4b b 1 6a 5b A 3 3 2a 3b 6a 9b 5b 9b 4b 4 3a b 3b a Bài 22: Cho a-b=13, Tính giá trị của biểu thức: B 2a 13 2b 13 HD : Từ GT ta có :a b 13 thay vào B ta được : 3b 39 b 3b b 13 2b 39 2b 13 B 0 2b 26 13 2b 13 2b 39 2b 13 3 2 1 Bài 23: Cho 3 số a,b,c có tổng khác 0 và thỏa mãn: , a b b c c a a b 3c Tính giá trị của biểu thức: A ( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a b 2c x 2y 3z Bài 24: Cho x: y: z = 5: 4: 3, Tính P x 2y 3z HD : Từ GT ta có : x y z x 2y 3z x 2y 3z x 2y 3z x 2y 3z 5 4 3 5 8 9 4 5 8 9 6 x 2y 3z 4 2 Khi đó : P x 2y 3z 6 3 x y y z 2x 3y 4z Bài 25: Cho & , Tính M 3 4 5 6 3x 4y 5z HD : x y z Từ GT => (1) 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1)=> Và ( 1)=> 30 60 96 30 60 96 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x 2x 3y 4z 245 186 Nên : : =1=> . 1 M 30 60 96 45 80 120 30 45 186 3x 4y 5z 245 x 2y 3z Bài 26: Cho P , Tính P biết x,y,z tỉ lệ với 5 :4 :3 x 2y 3z HD: 4 3 x 2. x 3. x x y z 4 3 2 Từ GT : y x, z x thay vào ta được : P 5 5 4 3 5 4 3 5 5 x 2. x 3. x 3 5 5 x z a x 3y 2a Bài 27: Cho Hãy tính: A y t b y 3t 2b HD: x 3z 2a x 3z 2a x z a Từ GT ta có : GT A y 3t 2b y 3t 2b y t b
15. a b c a 3b 2c Bài 28: Cho 4 , Tính A a ' b' c ' a ' 3b' 2c ' HD : a b c a 3b 2c Từ GT ta có : 4 A 4 a ' b' c ' a ' 3b' 2c' x y y z 2x 3y 4z Bài 29: Cho & Tính A 3 4 5 6 3x 4y 2z HD : x y z 2x 3y 4z 3x 4y 2z 2x 3y 4z 186 Từ GT ta có : => A 15 20 24 30 60 96 45 80 48 3x 4y 2z 173 2x 3y 5z Bài 30: Cho x:y:z=5:4:3 và 2x-3y+5z khác ) Tính giá trị A 2x 3y 5z HD : x y z 2x 3y 5z 2x 3y 5z 2x 3y 5z 7 Từ GT ta có : A 5 4 3 10 12 15 10 12 15 2x 3y 5z 13 2a 5b 4a b a 3 Bài 31: Tính giá trị của các biểu thức sau: A biết: a 3b 8a 2b b 4 HD : 1 2 2a 5b 4a b Từ GT 4a 3b A 2 4 a 3b 2 8a 2b 1 4a 10b 4a b 3b 10b 3b b 7b 4b 5 A 2 4a 12b 16a 4b 3b 12b 12b 4b 9b 8b 18 2 a4 54 Bài 32: Cho 2a b a b , Tính M 3 b4 44 HD: 2 2 4a 5b a 5 a4 54 625 Từ 2a b a b M 3 3 3 3 b 4 b4 44 256 abc Bài 33: Tính A , biết a,b, c có quan hệ: a b : 8 c : b c : 10 c 2 : 5: 3: 4 a b c HD: a b 2t a 4 a b 8 c b c 10 c 8 c 5t Từ GT ta có: t t 2 b 8 2 5 3 4 b c 3t c 2 10 c 4t 3x y 3 x Bài 34: Cho , Tính x y 4 y x y x Bài 35: Tính P biết: a(x, y 0) x y y HD : x ay y a 1 Vì a x ay P y ay y a 1 x 16 y 25 z 9 Bài 36: Cho và 2x3 1 15 .Tính A= x+y+z 9 16 16 HD : 18 y 25 Từ GT=> 2x3 1 15 2x3 16 x 2 y 57 z 23 9 16 Thay vào A ta được : A 2 57 23 82
16. a b b c Bài 37: Tính A biết: 2, 3 b c a b HD : Từ GT => b 2a,c 3b Thay vào A ta được : a 2a 3a 3 a 3 1 3 A . . b 3b 4b 4 b 4 2 8 1 1 1 Bài 38: Cho x = by +cz, y = ax +cz, z = ax +by và x +y +z 0. Tính giá trị : Q 1 a 1 b 1 c HD : Cộng theo vế của GT ta được : x y z 2 ax by cz , Thay x, y , z trở lại ta có : 1 2z x y z 2 z cz 2z 1 c c 1 x y z 1 2x 1 2y Tương tự ta có : , , Khi đó ta có : Q 2 a 1 x y z b 1 x y z 1 1 1 1 a b c Bài 39: Cho a+b+c=2015 và , Tính Q a b b c c a 5 b c c a a b HD : a b c Ta có : Q 1 1 1 3 b c c a a b 1 1 1 1 Q a b c 3 2015. 3 b c c a a b 5 a b c Bài 40: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: 2009 2010 2011 Tính giá trị của biểu thức: M 4(a b)(b c) (c a)2 HD: a b k a b b c c a Từ GT ta có: GT k b c k => 1 1 2 c a 2k M 4. k . k 2k 2 4k 2 4k 2 0 a b c Bài 41: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: , Tính giá trị của biểu thức: 2014 2015 2016 M 4 a b b c c a 2 HD : a b k a b b c c a Từ GT ta có: GT k b c k 1 1 2 c a 2k M 4. k . k 2k 2 4k 2 4k 2 0 Bài 42: Tính giá trị của: B x y y z z x , biết: xyz 2 & x y z 0 HD : x y z Từ GT ta có : y z x B x.y.z 2 z x y
17. 3 3 3 3 2 2 3 3 4 4 1 2 3 10 . x y x y x y 1 Bài 43: Tính biểu thức: C Với x 0, 3 ; y 12 22 32 102 3 HD : 1 1 Từ GT ta có : x3 , y3 x3 y3 0 C 0 27 27 Bài 44: Cho a, b,c khác 0 và đôi 1 khác nhau thỏa mãn : a2 b c b2 a c 2013 , Tính A c2 (a b)
18. Dạng 3: CHỨNG MINH RẰNG a c Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: b d a b c d a c b d a b c d a, b, c, b d c d a c HD: a c a c a, a 1 b d b d a c a b a b a c b d b, 1 1 b d c d c d c d a c b d b d c, 1 1 b d a c a c a c Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: b d a a c a b c d a b c a a, b, c, Với a2=b.c thì b b d a b c d a b c a HD: a c a c a, b d b d a c a b a b a b a b c d b, b d c d c d c d a b c d a c a b a b a b c a c, GT b a c a c a a b c a a c Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: b d 7a2 3ab 7c2 3cd a2 b2 a a 3a 2c a, b, với b2 ac thì c, 11a2 8b2 11c2 8d 2 b2 c2 c b 3b 2d HD: a c a b a2 b2 a.b 7a2 3ab 11a2 8b2 a, b d c d c2 d 2 c.d 7c2 3cd 11c2 8d 2 a b a2 b2 a b a2 b2 a b, . b c b2 c2 b c b2 c2 c a c 3a 2c a 3a 2c c, GT b d 3b 2d b 3b 2d a c Bài 4: Cho , Chứng minh rằng: b d a c 2a 5b 2c 5d 2018a 2019b 2018c 2019d a, b, c, a b c d 3a 4b 3c 4d 2019c 2020d 2019a 2020b a c a2 c2 ac Bài 5: Cho . Chứng minh rằng: b d b2 d 2 bd HD: a c a2 c2 a.c a2 c2 Ta có: b d b2 d 2 b.d b2 d 2
19. a c 5a 3b 5c 3d Bài 6: Cho , Chứng minh rằng: b d 5a 3b 5c 3d HD: a c 5a 3b 5a 3b 5a 3b 5c 3d Ta có: b d 5c 3d 5c 3d 5a 3b 5c 3d a c a2 c2 a Bài 7: Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b HD: a c a2 c2 a c a2 c2 a Từ: . c b c2 b2 c b c2 b2 b a b a2 b2 a Bài 8: Chứng minh rằng : nếu Thì b d b2 d 2 d HD : a b a2 b2 a2 b2 a b a Từ GT . b d b2 d 2 b2 d 2 b d d a c xa yb xc yd Bài 9: Cho , Các số x, y, z, t thỏa mãn : xa yb 0, zc td 0 . CMR : b d za tb zc td HD : a b ax by ax by az tb az tb Từ GT ĐPCM c d cx dy cx dy cz td cz td 2 a c a.d a2 b2 a b a2 b2 Bài 10: Cho tỉ lệ thức: , Chứng minh rằng: 2 2 và 2 2 b d c.d c d c d c d HD: a c a b a.b a2 b2 a2 b2 Từ b d c d c.d c2 d 2 c2 d 2 2 a b a b a2 b2 a b a2 b2 và c d c d c2 d 2 c d 2 c2 d 2 a (a 2012b)2 Bài 11: Cho a, b, c R, và a, b, c 0, thỏa mãn: b2 a.c . Chứng minh rằng: c (b 2012c)2 HD: 2 a b a 2012b a b a 2012b a b2 a.c . b c b 2012c b c b 2012c 2 c 3 a b c a b c a Bài 12: Cho: , Chứng minh rằng: b c d b c d d HD: 3 a b c a b c a b c a b c a Ta có: . . b c d b c d b c d b c d d a c a2 ac b2 bd Bài 13: Cho , CMR: b d c2 ac d 2 bd 3 3 3 2 2 a1 a2 a3 a1 Bài 14: Cho 4 số a1,a2,a3,a4 thỏa mãn: a2 a1.a3 , a3 a2.a4 , Chứng minh : 3 3 3 a2 a3 a4 a4 HD: 3 3 3 3 3 3 a1 a2 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 Từ GT => , 3 3 3 3 3 3 . . a2 a3 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a4
20. 2018 a1 a2 a3 a2018 a a1 a2 a2018 Bài 15: Cho ,CMR : a2 a3 a4 a2019 a2019 a2 a3 a2019 HD : 2018 2018 a1 a2 a2018 a1 a1 a2 a3 a2018 Từ GT ta có : . a2 a3 a2019 a2018 a2 a3 a4 a2019 n 2 a 2014b a Bài 16: Cho a,b,c 0, t/m b a.c khi đó , Khi đó n = ? b 2014c c HD: n n 2 a b a 2014b a b a Từ: b ac b c b 2014c b c c 2 a a b a Mà . n 2 c b c b a c b a3 c3 b3 a Bài 17: Cho , CMR: c d d c3 b3 d 3 d HD : a c b a3 c3 b3 a Ta có : c b d c3 b3 d 3 d a3 c3 b3 a a3 c3 b3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : c3 b3 d 3 d c3 b3 d 3 1994 a c a1994 c1994 a c Bài 18: Cho , CMR : b d b1994 d1994 b d 1994 HD : 1994 1994 a c a1994 c1994 k.b k.d Đặt k k1994 b d b1994 d1994 b1994 d1994 a c 1994 kb kd 1994 và k1994 b d 1994 b d 1994 a c 2a2 3ab 5b2 2c2 3cd 5d 2 Bài 19: Cho tỉ lệ thức: ,CMR: ,Với điều kiện mẫu thức xác định b d 2b2 3ab 2d 2 3cd HD: a c a k.b Đặt k , Thay vào biểu thức ta có: b d c kd 2a2 3ab 5b2 k 2 3k 5 2c2 3cd 5d 2 k 2 3k 5 và 2b2 3ab 2 3k 2d 2 3cd 2 3k x y z bz cy cx az ay bx Bài 20: Cho các số a, b, c, x, y, z t/m , Chứng minh rằng: a b c a b c HD: x ak x y z Đặt: k y bk a b c z ck bz cy bck bck cx az ay bx 0, và 0, và 0 => đpcm a a b c
21. a c ac 2009a2 2010c2 Bài 21: Cho , CMR : b d bd 2009b2 2010d 2 HD : 2 2 a c a c a c a.c a2 c2 a.c 2010c2 2009a2 . 2 2 => 2 2 b d b d b d b.d b d b.d 2010d 2009b 4 a c a b a4 b4 Bài 22: CMR : nếu thì 4 4 b d c d c d HD: 4 a c a b a b a4 b4 a b a4 b4 Ta có: 4 4 4 4 b d c d c d c d c d c d 2 a c ab a b Bài 23: Cho b,c,d,c d 0 ,CMR : b d cd c d 2 HD : 2 a b a b a b a b a b a b Ta có : . . c d c d c d c d c d c d 2 Bài 24: Cho b2 a.c,c2 b.d , Chứng minh rằng: 3 a3 b3 c3 a b c a a3 8b3 125c3 a, 3 3 3 b, 3 3 3 b c d b c d d b 8c 125d HD: a b c a b c a, Từ GT ta có: b c d b c d a c Bài 25: Cho a,b,c,d là các số hữu tỉ dương và , CMR : a 2c b d a c b 2d b d HD : a c a c a 2c a 2c Từ GT 1 và (2) b d b d b 2d b 2d a c a 2c Từ (1) và (2) Nhân chéo b d b 2d a c b2 a2 b a Bài 26: Cho , cmr: c b a2 c2 a HD: a2 c2 a2 ab a a b a Từ gt=> c2 a.b , Khi đó: b2 c2 b2 ab b a b b b2 c2 b b2 c2 b b2 c2 a2 c2 b a => 1 1 hay a2 c2 a a2 c2 a a2 c2 a a c a2 ac b2 bd Bài 27: Cho , CMR: b d c2 ac d 2 bd HD: a c a c c a a c a c a c Từ gt=> . . b d b d d b b d b d b d a2 ac c2 ac a2 ac b2 bd => b2 bd d 2 ad c2 ac d 2 ad
22. a x b y a2 x Bài 28: Cho , ,CMR : k a k b b2 y HD : a2 kx x Từ GT a2 kx,b2 ky b2 ky y a c Bài 29: Cho c 0 .CMR : b d 2 3 a b ab a b a3 b3 a, b, 3 3 c d cd c d c d HD : 2 a c a b a b ab a b a, Vì b d c d c d cd c d 3 a b a b a3 b3 a3 b3 a b b, 3 3 3 3 c d c d c d c d c d 2 a c 3a 5b 3c 5d ab a b Bài 30: Cho ,CMR : và b d 3a 5b 3c 5d cd c d 2 HD : a c a b 3a 5b 3a 5b Từ GT b d c d 3c 5d 3c 5d a b c a Bài 31: Cho a b,c a , Chứng minh rằng: a2 b.c a b c a HD: a b a b 2a 2b a b Ta có: GT a2 bc c d c d 2c 2a c a a 2009 b 2010 a b Bài 32: CMR: Nếu thì a 2009 b 2010 2009 2010 HD : a 2009 a 2009 2a 2.2009 a 2009 a b Ta có : b 2010 b 2010 2b 2.2010 b 2010 2009 2010 a 5 b 6 a 5 Bài 33: Cho ,CMR : a 5 b 6 b 6 HD : a 5 10 b 6 12 10 12 Từ GT Nhân chéo=> ĐPCM a 5 b 6 a 5 b 6 2a 13b 2c 13d a c Bài 34: Cho ,CMR : 3a 7b 3c 7d b d HD : 2a 13b 3a 7b 3 2a 13b 2 3a 7b b a a c GT=> 2c 13d 3c 7d 3 2c 13d 2 3c 7d d c b d a b c d a c Bài 35: Cho ,CMR : a b c d b d u 2 v 2 u v Bài 36: CMR : Nếu thì u 2 v 3 2 3
23. bd a c Bài 37: Cho a b c và c , CMR: b d b d HD: a c Từ GT => b d c b.d bc cd bd bc bd cd d b c ad => b d a2 b2 ab a c a d Bài 38: Cho , Với a, b, c, d 0, Chứng minh rằng: hoặc c2 d 2 cd b d b c HD: 2 2 a2 b2 2ab a b a b Ta có: c2 d 2 2cd c d 2 c d 2 a b a b 2a 2b a b a c TH1: c d c d 2c 2d c d b d a b b a 2b 2a a c TH2: c d c d 2c 2d b d a b a 2b a c Bài 39: Cho ,b,d 0,CMR : c d c 2d b d HD: Từ GT, Ta nhân chéo rồi rút gọn: a b c d b a 2b a b a c Hoặc : GT , Trừ 1 vào 2 vế ta được : a 2b c 2d d c 2d c d b d ab bc a b Bài 40: Cho c 0 và , CMR: a b b c b c a b c a b c Bài 41: Cho tỉ lệ thức: ,b 0 , Chứng minh rằng: c = 0 a b c a b c HD: a b c a b c 2b Ta có: GT 1 a b c a b c 2c 0 c 0 a b c a b c 2b a b c a b c Bài 42: Cho tỉ lệ thức : b 0 , CMR : a=0 a b c a b c HD: a b c a b c a b c a b c 2a 2a Từ 1 1 => a b c a b c a b c a b c a b c a b c Nếu a 0 ta có a b c a b c b b b 0 vô lý=> a=0 a b c d Bài 43: Cho a, b, c, d t/m : , và a+b+c+d 0, Chứng minh rằng: a= b= c= d 3b 3c 3d 3a HD: a b c d a b c d 1 Từ GT ta có: GT => a b c d 3b 3c 3d 3a 3 a b c d 3 a1 a2 a9 Bài 44: Cho ,a1 a2 a9 0,CMR : a1 a2 a3 a9 a2 a3 a1 HD : Từ GT cộng từ với tử, mẫu với mẫu ab b a2 b2 a Bài 45: Cho tỉ lệ thức: c 0 , CMR : bc c b2 c2 c HD: a.10 b b 10a a a b a2 b2 a.b a2 b2 a GT b.10 c c 10b b b c b2 c2 b.c b2 c2 c
24. a c Bài 46: CMR: nếu a+c=2b và 2bd=c(b+d) thì với b,d khác 0 b d HD: a c Vì a+c=2b nên từ 2bd=c(b+d) ta có: (a+c)d=c(b+d) hay a.d=b.c=> b d x y y z Bài 47: Chứng minh rằng: 2 x y 5 y z 3 z x , Thì 4 5 HD: x y z x x y z x y z z x y z z x x y Ta có: y z và 3 2 3 2 3 5 3 5 5 x y z x 2 z x x y z x z x y z z x và x y (1) và y z (2) 2 5 5 4 10 2 5 10 x y y z Từ (1) và (2) ta có: 4 5 Bài 48: Cho a d b c, và a2 d 2 b2 c2 b,d 0, CMR 4 số a, b, c, d có thể lập thành 1 tỉ lệ thức: HD : 2 2 a c Vì a d b c a d b c 2ad 2bc b d a b c a Bài 49: Cho , Chứng minh rằng 3 số a,b,c 0, thì có thể lập thành 1 tỉ lệ thức a b c a HD : a b c a a b a b a b Vì : a b c a c a c a c a Bài 50: Chứng minh rằng : Nếu có a, b, c, d thỏa mãn : 2 2 ab ab 2cd c d  ab ab 2 2 ab 1  0 thì chúng lập thành 1 tỉ lệ thức : HD : 2 Từ GT=>TH1: ab ab 2cd c2d 2 0 ab cd 0 ab cd đpcm   2 2 2 2 TH2 : ab ab 2 2 ab 1  0 a b 2ab 2ab 2 0 a b 2 ( Vô lý) ax by Bài 51: Cho M k c,d 0 , Chứng minh rằng, Giá trị của M không phụ thuộc vào x,y thì 4 cx dy số a,b,c,d lập thành 1 tỉ lệ thức : HD : ax by b Đặt k, Chọn x 0, y 1 k cx dy d a a b Chọn x 1, y 0 k c c d a c Bài 52: Chứng minh rằng : Nếu a c 2b và 2bd c b d thì b d HD : Từ GT a c d c b d , Nhân vào=> ĐPCM Bài 53: Cho x,y,z là các số khác 0 và x2 yz; y2 xz; z2 xy CMR : x=y=z HD : Từ gt=> 3 cặp phân số bằng nhau
25. Bài 54: Cho a,b,c,d,e,g Z , Biết rằng b,d,g>0 và a.d - b.c=2009 và c.g - d.e =2009 a c e c a e a, So sánh & & b, So sánh: & b d g d b g HD : a c c e a c e a, Từ GT ta có :a.d b.c và c.g d.e b d d g b d g b, Từ GT ta có : c a e a.d b.c c.g d.e a.d de cg bc d a e c b g d b g a b c a Bài 55: Chứng minh rằng : Nếu a2 bc thì , Đảo lại có đúng không ? a b c a HD : a b a b a b Từ GT c a a c c a a b a b 2b b a Ngược lại : , vẫn đúng c a c a 2a a c x y z Bài 56: Cho , a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Chứng minh rằng: x 2y z 2x y z 4x 4y z HD: a 2b c 2a b c 4a 4b c Từ GT=> x y z a 2b c 2 2a b c 4a 4b c a x 2y z x 2y z 2 a 2b c 2a b c 4a 4b c b = 2x y z 2x y z 4 a 2b c 4 2a b c 4a 4b c c 4x 4y z 4x 4y z a b c => (đpcm) x 2y z 2x y z 4x 4y z x y z a b c Bài 57: Cho , Chứng minh : a 2b c 2a b c 4a 4b c x 2y z 2x y z 4x 4y z HD: a 2b c 2a b c 4a 4b c Từ GT=> x y z a 2b c 2 2a b c 4a 4b c 9a x 2y z x 2y z 2 a 2b c 2a b c 4a 4b c 9b = 2x y z 2a y z 4 a 2b c 4 2a b c 4a 4b c 9c 4x 4y z 4x 4y z 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z x y z Bài 58: Cho , CMR: a b c 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c
26. x y z a b c Bài 59: Cho , CMR: a 2b c 2a b c 4a 4b c x 2y z z y 2x 4x 4y z HD: a 2b c 2a b c 4a 4b c Nghịch đảo GT ta được: x y z a 2b c 2 2a b c 4a 4b c 9a x 2y z x 2y z 4a 4b c 2a b c 2 a 2b c 9b z y 2x z y 2x 4 a 2b c 4 2a b c 4a 4b c 9c 4x 4y z 4x 4y z bz cy cx az ay bx x y z Bài 60: Cho dãy tỉ số: , Chứng minh rằng: a b c a b c HD: bxz cxy cxy ayz ayz bxz bxz cxy cxy ayz ayz bxz Từ GT => 0 ax by cz ax by cz y z bz cy b c x y z => cx az x z a b c ay bx a c 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Bài 61: Cho , CMR: 4 3 2 2 3 4 HD: 3x 2y 0 4 3x 2y 3 2z 4x 2 4y 3z x y z GT 0 2z 4x 0 => 16 9 4 2 3 4 4y 3z 0 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z Bài 62: Cho dãy tỉ số bằng nhau: , Chứng minh rằng: a 2b 3c a b 3c HD : Từ GT ta có : 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0 a2 4b2 9c2 a2 4b2 9c2 z y x z x y z =>2bz 3cy 0 và 3cx az 0 3c 2b a 3c a 2b 3c a b c (a c)2 Bài 63: Cho dãy , Chứng minh rằng: (a b)(b c) 2009 2011 2013 4 HD: a b c a c a b b c Ta có: k 2009 2011 2013 4 2 2 a c 4k 2 2 a c 4k 2 2 a b 2k 4k và a b b c 4k => VT= VP 4 4 b c 2k
27. x y z 3 2 Bài 64: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: , CMR : x z 8 x y y z 1998 1999 2000 HD: 3 2 3 x z x y y z x z x y y z x z 2 Từ gt=> . => x y y z 2 1 1 2 1 1 8 Bài 65: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: by+cz=a, ax+cz=b, ax+by=c , với a,b,c là các số dương cho trước thì 1 1 1 không phụ thuộc vào a,b,c x 1 y 1 z 1 HD: Cộng theo vế các GT ta được: a b c 2 ax by cz 2 ax a 2a x 1 1 2a x 1 a b c 1 2b 1 2c Chứng minh tương tự ta có: , y 1 a b c z 1 a b c 1 1 1 2 a b c Khi đó: 2 x 1 y 1 z 1 a b c x2 yz y2 zx z2 xy a2 bc b2 ca c2 ab Bài 66: Cho , Chứng minh: a b c x y z HD: x2 yz y2 zx z2 xy x2 yz y2 zx z2 xy Đặt: k a ,b ,c a b c k k k 4 2 2 2 x 2x yz y z y2 z2 xy3 xz3 x2 yz a2 bc => a2 bc x3 y3 z3 3xyz k 2 k 2 x b2 ca c2 ab Chứng minh tương tự: x3 y3 z3 3xyz và x3 y3 z3 3xyz => đpcm y z a2 b2 Bài 67: Cho a, b dương thỏa mãn: a2006 b2006 a2004 b2004 , Chứng minh 2 4 32 HD: a2 b2 Giả sử: a=1=>b=1=> 2 4 . Nếu: a,b 1 , Giả sử: a b a2004 a2 1 b2004 1 b2 32 a2004 1 b2 => , Vì a b 1 b2 a2 1 a2 b2 2 b2004 1 a2 a2 b2 2 2 4 32 32 1 1 1 1 1 1 Bài 68: Cho a,b,c 0 và 0 , chứng minh rằng: 0 a b c ab bc ca HD: 1 1 1 1 1 1 Từ GT=> 0 a b c a b c 1 1 1 1 1 1 => 0 , Tương tự: 0, 0 ab ac bc ab ac bc 1 1 1 Cộng theo vế ta được: => 2 0 ab bc ca
28. a b b c c a Bài 69: Cho x , y , z , Chứng minh (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z) a b b c c a HD: a b 2a 2b 2c Xét x 1 1 , Tương tự: y 1 , z 1 a b a b b c c a 8abc Khi đó VT a b b c c a a b 2b 2c 2a Tương tự: 1 x 1 , 1 y ,1 z a b a b b c c a 8abc Khi đó: VP VT a b b c c a x2000 y2000 2 Bài 70: Cho x2 y2 1 và b.x2 a.y2 Chứng minh rằng: a1000 b1000 (a b)1000 HD: x2 y2 x2 y2 1 Từ bx2 ay2 a b a b a b x2000 y2000 1 x2000 y2000 2 a1000 b1000 a b 1000 a1000 b2000 a b 1000 a b b c c a Bài 71: Chứng minh rằng nếu: x , y , z Thì (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z) a b b c c a HD: a b 2a 2b 2c Xét x 1 1 , Tương tự: y 1 , z 1 a b a b b c c a 8abc Khi đó VT a b b c c a a b 2b 2c 2a Tương tự: 1 x 1 , 1 y ,1 z a b a b b c c a 8abc Khi đó: VP VT a b b c c a b2 b2 2c b c Bài 72 : Biết a2 ab 15 và c2 6 và a2 ac c2 9 và a,c 0;a c , CMR : 3 3 a a c HD: 2 2 2 b 2 2 2 b Ta có: a ab 15 6 9 a ac c c 3 3 2c2 ab ac 2c2 ab ac 2ac 2c2 2ac ab ac 2c b c 2c c a a b c a a c x 5 Bài 73: Cho 3x 9y 1 và 8y 2x 8 0 Chứng minh rằng: y 3 HD: Từ 8y 2x 8 23y 2x 8 3y x 8 (1) Và 3x 9y 1 32 y 1 x 2y 2 thay vào (1) ta được: 3y 2y 2 8 y 6 x 10
29. a c a c Bài 73: Cho các số hữu tỉ: x ; y ; z với a,b,c,d số nguyên và b,d>0. b d b d CMR: nếu x a b d b a c b d b a c ab bc b b d a c c Cmtt ta có: b d d Bài 74: Cho 3 số a, b,c đôi 1 khác nhau, CMR: b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a HD : 2 1 1 1 1 Ta có : a b a b a b a b b a 2 1 1 2 1 1 Tính tương tự ta có : , và b c b c c b c a c a a c 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Cộng theo vế : VT a b b c c a a b a c b c b a c a c b a b' b c' Bài 75: Cho 1, 1 , CMR: abc a 'b'c' 0 a ' b b' c HD: Từ GT ta có: ab a 'b' a 'b abc a 'b'c a 'bc Và bc b'c' b'c a 'bc a 'b'c' a 'b'c Nên abc a 'b'c' a 'b'c' a 'bc a 'bc a 'b'c đpcm Bài 76: Chứng minh rằng nếu: a y z b z x c x y , và a, b, c khác nhau và khác 0, thì: y z z x x y a b c b c a c a b HD: Vì a, b, c 0, chia giả thiết cho y z z x x y x y z x y z x y z x y z abc => ĐPCM bc ac ab ab ac bc ab ac bc 1 1 1 1 Bài 77: Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c và , c 2 b d Chứng minh rằng : 4 số đó hợp nên 1 tỉ lệ thức : HD : a c 1 1 1 1 Vì b 2b a c và 2bd c b d , Chuyển về bài trên 66 2 c 2 b d ax2 bc c a b c Bài 78: Cho P 2 ,CMR : Nếu , thì P không phụ thuộc vào x a1x b1x c1 a1 b1 c1 HD : a b c Đặt k rút ra rồi thay vào P a1 b1 c1
30. x y z t Bài 79: Cho y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x Chứng minh rằng : P Có giá trị nguyên z t t x x y y z HD: y z t z t x t x y x y z Từ GT ta có: x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t => x y z t TH1: x y z t 0 P 4 TH2: x y z t 0 P 4 Ax By C Bài 80: Cho A, B, C tỉ lệ với a, b, c, CMR : Q không phụ thuộc vào x, y ax by c HD : A B C k ax by c Ta có : k A ka, B kb,C kc Q k a b c ax by c x y z Bài 81: Cho các số a,b,c,x,y,z thỏa mãn : a b c a2 b2 c2 1 và ( Các tỉ số đều có a b c 2 nghĩa), CMR : x2 y2 z2 x y z 12ab 1 4bc 1 3ac 1 Bài 82: Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn: , CMR: 3a 4b c 4b c 3a Bài 83: Cho a, b, c tỉ lệ nghịch với x y z, x y z, x y z , ( Giả sử các số trên và b+c, c+a, a+b đều khác 0), Chứng mỉnh rằng x, y,z tỉ lệ thuận với a b c ,b a c ,c a b