›
›
›

Chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Văn Định

docx 51 trang thaodu 6401
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Văn Định", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_on_thi_vao_lop_10_thpt_mon_toan_nam_hoc_2019_2020.docx

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Văn Định

  1. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN THỨC RÚT GỌN BIỂU THỨC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC ( 2.5 BUỔI) A. KIẾN THỨC : 1, A2 = A 2, Víi A,B 0, ta cã: A.B A. B. A A 3,Víi biÓu thøc A 0, B > 0 ta cã: . B B A B, A 0 4,Víi A, B mµ B 0, ta cã : A2 B A B A B, A 0 A AB 5,Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B 0 vµ B 0, ta cã . B B A A B 6, Với các bt A, B mà B > 0 ; B B C C A mB 7,Với các bt A, B, C mà A 0 và A B2 ; A B A B2 C C A m B 8,Với các bt A, B, C mà A 0 và B 0 A B A B A B B. BÀI TẬP CƠ BẢN * DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: 1.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: a/ 20 45 3 18 72 . b/ (28 2 3 7 ) 7 84 . 2 c/ 6 5 120 . 1 1 3 4 1 d / 2 2 0 0 : 2 2 2 5 8 Gv: Nguyễn Văn Định 1 THCS Thanh Tuyền
  2. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Giải: a/ 20 45 3 18 72 = 22.5 32.5 3 32.2 62.2 = 2 5 3 5 9 2 6 2 = 2 3 5 (9 6) 2 15 2 5 . b/ 28 2 3 7 7 84 = 22.7. 7 2 3. 7 7. 7 22.21. = 2.7 2 21 7 2 21 = 14 7 2 2 21 21 . 2 2 c/ 6 5 120 = 6 2 30 5 2 .30 = 6 5 2 30 2 30 11 . 1 1 3 4 1 1 2 3 4 1 d / 2 200 : 2 10 2.2 : 2 2 2 2 5 8 2 2 2 5 8 1 3 2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2 4 2 + Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 4 2 3 1 2 2 a/ A b/ B c/ C 5 3 5 3 6 2 2 3 6 3 3 Giải: 1 1 5 3 5 3 a/ A 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 3 3 5 3 2 Gv: Nguyễn Văn Định 2 THCS Thanh Tuyền
  3. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 4 2 3 b/ B 6 2 2 2 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 1 2 2 1 1 2 c/ C 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 3 + Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9 b/ 2 3 2 3 6 4 4 c/ 2 2 8 2 5 2 5 Giải: 2 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9 BĐVT ta có : 2 2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP Vậy đẳng thức đã được chứng minh. Gv: Nguyễn Văn Định 3 THCS Thanh Tuyền
  4. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 b/ 2 3 2 3 6 BĐVT ta có : 2 2 2 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 6 VP 2 2 2 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 4 4 c/ 2 2 8 2 5 2 5 BĐVT ta có : 4 4 22 22 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 4 2 5 4 8 VP 5 4 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. + Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 2 3 và 10 b/ 2003 2005 và 2 2004 c/ 5 3 và 3 5 Giải: a/ 2 3 và 10 Gv: Nguyễn Văn Định 4 THCS Thanh Tuyền
  5. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2 Ta có: 2 3 2 3 2 6 5 2 6 5 24 2 Và 10 10 5 5 5 25 Vì 24 24 5 24 5 25 2 2 Hay 2 3 10 2 3 10 b/ 2003 2005 và 2 2004 2 Ta có: 2003 2005 2003 2005 2 2003.2005 4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 20042 1 2 Và 2 2004 4.2004 2.2004 2 20042 20042 1 20042 20042 1 20042 Vì 4008 2 20042 1 4008 2 20042 2 2 2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004 c/ 5 3 và 3 5 Ta có: 5 3 52.3 75 Và 3 5 32.5 45 Vì 75 > 45 => 75 45 75 45 5 3 3 5 2. Bài tập: Bài 1. Thực hiện phép tính: a/ 12 75 27 : 15 ; b/ 252 700 1008 448 ; c/ 2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2 . d/ 2 5 125 80 605 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: 2 3 1 3 a/ ; b/ 3 2 2 6 4 2; 2 2 Gv: Nguyễn Văn Định 5 THCS Thanh Tuyền
  6. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2 3 2 3 2 2 3 10 2 10 8 c/ : . d) 2 2 6 2 3 5 2 1 5 2 8 12 5 27 16 1 4 e) 15 216 33 12 6 f) g) 2 3 6 18 48 30 162 3 27 75 2 3 2 3 3 5 (3 5) 4 3 h) q) i) 2 27 6 75 2 3 2 3 10 2 3 5 k) 8 3 2 25 12 4 192 l) 2 3( 5 2) m) 3 5 3 5 2 5 2 8 5 n)4 10 2 5 4 10 2 5 p) 2 5 4 Bài 3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) 7 1 4 1 a/ 3 5 và 2 2 6 ; b/ và ; 2 21 9 5 c/ 14 13 và 2 3 11 . 2 2 Bài 4.Cho A 11 96 và B 1 2 3 Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B. Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a/ 2 2 5 2 3 2 5 20 2 33 ; b/ 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10 ; 1 1 1 c/ 9 1 2 2 3 99 100 *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ 1. Các ví dụ: 1 1 a 1 * Ví dụ 1: Cho biểu thức M : với a >0 và a 1 a a a 1 a 2 a 1 a/ Rút gọn biểu thức M. b/ So sánh giá trị của M với 1. Gv: Nguyễn Văn Định 6 THCS Thanh Tuyền
  7. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Giải: Đkxđ: a >0 và a 1 1 1 a 1 M : 1 1 a 1 a/ : 2 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 2 2 1 a a 1 1 a a 1 a 1 . a a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 1 1 1 1 b/ Ta có M 1 , vì a > 0 => a 0 => 0 nên 1 1 a a a a Vậy M < 1. * Ví dụ 2: Cho biểu thức 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa. b/ Rút gọn biểu thức P. c/ Tính giá trị của P với x 3 2 2 . Giải: x 0 x 1 0 a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 b/ Đkxđ : x 1;x 2;x 3 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x Gv: Nguyễn Văn Định 7 THCS Thanh Tuyền
  8. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c/ Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta có: x 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 * Ví dụ 3: Cho biểu thức 2x x 1 3 11x A với x 3 x 3 3 x x 2 9 a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tìm x để A < 2. c/ Tìm x nguyên để A nguyên. Giải: a/ Đkxđ: x 3 2x x 1 3 11x 2x x 1 3 11x A x 3 3 x x 2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 2x x 3 x 1 x 3 3 11x 2x 2 6x x 2 3x x 3 3 11x x 3 x 3 x 3 x 3 3x 2 9x 3x x 3 3x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Gv: Nguyễn Văn Định 8 THCS Thanh Tuyền
  9. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 3x b/ Ta có A , A x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi x 3 0 6 x 3 Vậy với 6 x 3 thì A x = 2 ( tm đkxđ ) x – 3 = 1 x = 4 ( tm đkxđ ) x – 3 = - 3 x = 0 ( tm đkxđ ) x – 3 = 3 x = 6 ( tm đkxđ ) x – 3 = - 9 x = - 6 ( tm đkxđ ) x – 3 = 9 x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên. * Ví dụ 4: Cho biểu thức 2x 1 x 1 x 3 B . x với x 0 và x 1 3 x 1 x x 1 1 x a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = 3. Giải: Đkxđ : x 0 và x 1 2x 1 x 1 x 3 a/ B . x 3 x 1 x x 1 1 x Gv: Nguyễn Văn Định 9 THCS Thanh Tuyền
  10. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2x 1 x x 1 x 1 x x 1 . x x 1 . x x 1 x 1 2x 1 x x . 1 2 x x x 1 . x x 1 x x 1 2 . x 1 x 1 x 1 . x x 1 b/ Ta có B x 1 và B = 3, tức là x 1 3 x 4 x 16 ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 thì B = 3. * Ví dụ 5: Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3 A . : với x > 0 , y > 0 3 3 x y x y x y x y xy a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 a/ A . : 3 3 x y x y x y x y xy x y 2 x y x y x xy y xy x y . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y : xy xy xy x y 2 x y xy x y . . xy x y xy 2 b/ Ta có x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . Gv: Nguyễn Văn Định 10 THCS Thanh Tuyền
  11. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 x y 2 xy 2 16 Do đó A 1 ( vì xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 2.Bài tập: Có hướng dẫn giải a 1 a 1 1 Bµi 1: Cho A= 4 a . a víi x>0 ,x 1 a 1 a 1 a a)Rót gän A b)TÝnh A víi a = 4 15 . 10 6 . 4 15 HD: a) A= 4a b) Xong x 2 x 1 1 Bµi 2: Cho A = víi x 0 , x 1. x x 1 x x 1 1 x a . Rót gän A. b. T×m GTLN cña A . x HD: a)A = x x 1 b)NÕu x = 0 th× A = 0 x 1 1 1 NÕu x 0 th× A = . A max x 1 min x 1 x x 1 x 1 x x x 1 1 1 Theo bÊt ®¼ng thøc Co si cã: x min 2 x x 1.Khi ®ã Amax = x x 3 x x 7 1 x 2 x 2 2 x Bµi 3:Cho A= : víi x > 0 , x 4. x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 a)Rót gän A. b)So s¸nh A víi 1 A 2 1 x 9 1 HD: a) A = x 9 b)XÐt hiÖu: A - 0 A 6 x A 6 x x 9 A Gv: Nguyễn Văn Định 11 THCS Thanh Tuyền
  12. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Cho A= x 3 x 9 x x 3 x 2 Bµi 4: 1 : x 9 x x 6 x 2 x 3 a)T×m x ®Ó biÓu thøc A x¸c ®Þnh. b)Rót gän A. c)x= ? Th× A 0 , x 1. x x x x x x 1 x 1 a) Rót gän A. b)T×m x ®Ó A = 6 HD:a) A = 2 x x 1 b) x x 4 3 x 2 x Bµi 8: Cho A = : víi x > 0 , x 4. x 2 x x 2 x x 2 Gv: Nguyễn Văn Định 12 THCS Thanh Tuyền
  13. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a)Rót gän A b)TÝnh A víi x = 6 2 5 HD:a)A = 1 x ) b) 1 1 1 1 1 Bµi 9: Cho A= : víi x > 0 , x 1. 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 a)Rót gän A b)TÝnh A víi x = 6 2 5 HD: A = b) 2 x 2x 1 1 x 4 Bµi 10: Cho A= : 1 víi x 0 , x 1. x x 1 x 1 x x 1 x a)Rót gän A. b)T×m x Z ®Ó A Z HD:a)A = ) b) x 3 1 2 x 2 1 2 Bµi 11: Cho A= : víi x 0 , x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 a)Rót gän A. b)T×m x ®Ó A Z c)T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . HD:a)A = x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 n b)A 1 . A nguyªn nguyªn nªn ®Æt: n Z x 0 0 n 2 n 1;2 x 1;0 x 1;0 x 1 x 1 x 1 x 1 n c)Xong: x = 0, Amin = -1. 2 x x 3x 3 2 x 2 Bµi 12: Cho A = : 1 víi x 0 , x 9 x 3 x 3 x 9 x 3 3 a)Rót gän A. b)T×m x ®Ó A 0 , x 1. x x x 1 x 2 x 1 Gv: Nguyễn Văn Định 13 THCS Thanh Tuyền
  14. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a)Rót gän A b)So s¸nh A víi 1 HD:a)A = x 1 b). x x 1 1 8 x 3 x 2 1 Bµi 15: Cho A = : 1 Víi x 0, x 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 9 a)Rót gän A. b)T×m x ®Ó A =6 c)T×m x ®Ó A 0 c)TÝnh A khi x =3+22 d)T×m GTLN cña A HD:a) A = x(1 x) b,c,d(Qu¸ c¬ b¶n) x 2 x 1 x 1 víi x 0 , x 1. Bµi 17: Cho A = : x x 1 x x 1 1 x 2 a)Rót gän A. b)CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > 0 HD:a) A = 2 b) x x 1 4 1 x 2 x Bµi 18: Cho A = 1 : víi x > 0 , x 1, x 4. x 1 x 1 x 1 a)Rót gän A. b)T×m x ®Ó A = 1 2 x 1 x 2 x 3 x 3 2 Bµi 19 Cho A = : víi x 0 , x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 a)Rót gän A. b.)TÝnh A khi x= 0,36 c)T×m x Z ®Ó A Z 1 3 2 Bµi 6:Cho A = víi x 0 , x 1. a . Rót gän A. b. x 1 x x 1 x x 1 CMR : 0 A 1 HD: a) A =x b) x x 1 Bµi 20:Cho A = x 5 x 25 x x 3 x 5 víi x 0 , x 9; x 2 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 Gv: Nguyễn Văn Định 14 THCS Thanh Tuyền
  15. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a. Rót gän A. b)T×m x sao cho A nguyªn HD:a)A = 5 x 3 b) 5 5 3n 5 V× A nguyªn nªn ®Æt A = n Z x 0 0 n n 1 x 4 x 3 n 3 2 a 9 a 3 2 a 1 Bµi 21:Cho A = víi a 0 , a 9 , a 4. a 5 a 6 a 2 3 a a. Rót gän A. b. T×m a ®Ó A - 6. x 2 1 10 x Bµi 3: Cho biÓu thøc B = : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. Gv: Nguyễn Văn Định 15 THCS Thanh Tuyền
  16. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 1 3 1 Bµi 4: Cho biÓu thøc C = x 1 x x 1 x x 1 a) Rót gän biÓu thøc C; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C 0 . c) Vấi x > 4 ; x 9 , Tìm giá trấ lấn nhất cấa biấu thấc B( x + 1). 3x 9x 3 1 1 1 Bµi 7: Cho biÓu thøc P = : x x 2 x 1 x 2 x 1 a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P; b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó 1 lµ sè tù nhiªn; P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 23 . x 2 x 3 x 2 x Bµi 8: Cho biÓu thøc : P = : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 a) Rót gän biÓu thøc P; 1 5 b) T×m x ®Ó . P 2 2x 5 x 1 x 10 Bµi 9: Cho A víi x 0. Chøng minh r»ng gi¸ x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 trÞ cña A kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè x. Bµi 10: Cho biÓu thøc Gv: Nguyễn Văn Định 16 THCS Thanh Tuyền
  17. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a 1 ab a a 1 ab a M = 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 a) Rót gän M. 3 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña M nÕu a=2 3 vµ b= 1 3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M nÕu a b 4 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT Y=AX+B ( 1 BUỔI) A.KIẾN THỨC: -Cho hàm số y=ax+b (a≠0) - Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0 - Nếu toạ độ (x0;y0) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này. - Ngược lại, nếu điểm A(x0;y0) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x0;y0) của A thoả mãn hàm số y=f(x). 1.Cho hai đường thẳng (d1): y=ax+b & (d2): y= a1.x+b1 (a ≠ 0 ; a1 ≠ 0) + (d1) // (d2) a=a1 & b≠ b1 + (d1)  (d2) a= a1 & b= b1 + (d1) cắt (d2) a≠ a1 & b≠ b1 + (d1) ┴ (d2) a.a1=-1 2. Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d 1) và (d2) ta giải hệ phương trình sau: a x b y Nghiệm (x ;y ) tìm được là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng , , 0 0 a x b y d1 và d2 3. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại một điểm có hoành độ là m Bước 1: Tìm điều kiện để a a' (*) Bước 2: Thay x = m vào (d1) hoặc (d2) để tìm y = y0 Gv: Nguyễn Văn Định 17 THCS Thanh Tuyền
  18. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Bước 3: Thay x = m và y = y0 vào phương trình đường thẳng còn lại. Kết hợp với (*) ta có điều kiện cần tìm. 4. Tìm điều kiện để (d1) cắt (d2) tại điểm có tung độ y0: Bước 1: Tìm điều kiện để a a' (*) Bước 2: Thay y0 vào (d1) hoặc (d2) ta tìm được x0 tương ứng Bước 3: Thay x = x0 và y = y0 vào đường thẳng còn lại. Kết hợp với (*) ta có điều kiện cần tìm. B, BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Cho hàm số y = 2mx + m - 1 có đồ thị là (d1) Tìm m để: a. Hàm số đồng biến ; hàm số nghịch biến ? b. (d1) đi qua điểm A(1;2)? c. (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2? d. (d1) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1? e. (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục tung; trên trục hoành ? f. (d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại điểm có hoành độ bằng 2? g. (d1) cắt đường thẳng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3? h. (d1) cắt đường thẳng 2x - y = 1? 1 i. (d ) song song với đường thẳng y x 1 ? 1 3 j. (d1) trùng với đường thẳng -2x - y = 5 ? k. (d1) vuông góc với đường thẳng x - y = 2 ? Bài 2. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = 3x - 2 (d2): 2y - x = 1 Bài 3. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (m - 1)x + 2m (d2) : y = mx + 2 Tìm m để (d1) cắt (d2) tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai Bài 4. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d): y = mx - m + 1 lớn nhất ? Bài 5. Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy: (d1) : y = 2x – 3 (d2): y = x – 1 (d3): y = (m - 1)x + 2 Hướng dẫn giải: 1. a. Ta có : a = 2m Hàm số đồng biến 2m > 0 m > 0 Gv: Nguyễn Văn Định 18 THCS Thanh Tuyền
  19. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Hàm số nghịch biến 2m < 0 m < 0 b. (d1) đi qua điểm A(1;2) 2 = 2m.1 + m – 1 3m = 3 m = 1 c. (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 b = -2 m – 1 = -2 m = -1 b m 1 d. (d ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1 1 1 ( 1 a 2m m 0 ) m 1 2m m 1 e. +) (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục tung: (d1): y = 2mx + m - 1 (m 0) (d2): y = x + 1 1 2m 1 m (d1) cắt (d2) tại điểm trên trục tung 2 m 2 m 1 1 m 2 +) (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục hoành: 1 (d ) cắt đường thẳng y = x + 1 2m 1 m (*) 1 2 Đường thẳng y = x + 1 cắt trục hoành tại điểm B(-1; 0) Để (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục hoành thì điểm B (d1) 0 = 2m.(-1) + m – 1 m = -1 (thỏa mãn điều kiện(*) ) Vậy (d 1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm trên trục hoành khi m = -1 f. (d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại điểm có hoành độ bằng 2 3 (d ) cắt đường thẳng y = 3x - 2 2m 3 m (*) 1 2 Gọi điểm có hoành độ bằng 2 là A(2;y0) Vì A(2;y0) thuộc y = 3x - 2 nên y0 = 3.2 - 2 = 4 . Do đó A(2;4) Gv: Nguyễn Văn Định 19 THCS Thanh Tuyền
  20. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Vì A(2;4) thuộc (d1) nên 4 = 2m . 2 + m - 1 5m = 5 m = 1 (thỏa mãn điều kiện(*) ) Vậy (d 1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại một điểm có hoành bằng 2 khi m = 1. g. (d1) cắt đường thẳng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3: 1 (d ) cắt đường thẳng y = x - 5 2m 1 m (*) 1 2 Gọi điểm có tung độ bằng -3 là B(x0; -3) Vì B(x0; -3) thuộc y = x - 5 nên -3 = x0 - 5 x0 = 2 . Do đó B(2; -3) Vì B(2; -3) thuộc d nên -3 = 2m . 2 + m - 1 5m = -2 m = 2 (thỏa 1 5 mãn điều kiện(*) ) 2 Vậy ( d ) cắt đường thẳng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3 khi m= 1 5 h. (d1): y = 2mx + m - 1 cắt đường thẳng 2x - y = 1 y = 2x – 1 khi 2m 2 m 1 1 i. (d ): y = 2mx + m - 1 song song với đường thẳng y x 1 khi 1 3 1 1 2m m 1 3 6 m 6 m 1 1 m 2 j. (d1): y = 2mx + m - 1 trùng với đường thẳng -2x - y = 5 y = -2x - 5 2m 2 m 1 khi (v« nghiÖm) m 1 5 m 4 Vậy (d1) không thể trùng với với đường thẳng -2x - y = 5. k. (d1) vuông góc với đường thẳng x - y = 2: (d1): y = 2mx + m – 1 (d2) : x - y = 2 y = x - 2 (  m = 1 d1) (d2) 2m. 1 = -1 2 2. Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của hệ phương trình: Gv: Nguyễn Văn Định 20 THCS Thanh Tuyền
  21. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 y 3x 2 3x y 2 x 1 2y x 1 x 2y 1 y 1 Vậy tọa độ độ giao điểm của (d1): y = 3x – 2 ; (d2): 2y - x = 1 là A(1 ; 1) 3. Cho hai đường thẳng (d1): y = (m - 1)x + 2m (d2): y = mx + 2 Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của hệ phương trình: y m 1 x 2m x 2m 2 2 y mx 2 y 2m 2m 2 Để (d1) cắt (d2) tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai thì 1 2 2 0 m x m 2 2 1 3 y 2m 2m 2 0 m m 0(m) m 1 4 4 m 1 m 1 0 4. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d): y = mx - m + 1 lớn nhất Tìm điểm cố định thuộc (d): y = mx - m + 1 Giả sử A(x0;y0) thuộc (d): y = mx - m + 1 nên: y0 = mx0 - m + 1 m(x0 -1) - y0 + 1 = 0 (*) x0 1 0 x0 1 Phương trình (*) đúng với mọi giá trị của m y0 1 0 y0 1 Vậy đường thẳng y = mx - m + 1 luôn đi qua điểm cố định A(1;1) b m 1 Gọi giao điểm của (d) với trục hoành là B(a ; 0) hay B(m ; 0) Gọi giao điểm của d với trục tung là C(0;b) = C(0;1-m) (m 1)2 Ta có: OA2 = 12 12 2 OB2 = OC2 = (1 – m)2 m2 Khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất khi d OA tại A Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có: 2 1 1 1 1 m 1 OA2 OB2 OC2 2 (m 1)2 (1 m)2 Gv: Nguyễn Văn Định 21 THCS Thanh Tuyền
  22. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 m2 + 2m + 1 = 0 (m + 1)2 = 0 m = -1 Vậy với m = -1 thì khoảng cách từ O đến đường thẳng (d): y = mx - m + 1 lớn nhất. 5. Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: y 2x 3 x 2 y x 1 y 1 Để (d1), (d2) và (d3) đồng quy thì đường thẳng (d3): y = (m - 1)x + 2m phải đi qua điểm (2;1) 1 = (m – 1).2 + 2m 4m = 3 m = 3 4 m = 3 Vậy với 4 thì d1, d2 và d3 đồng quy. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho đường thẳng (d1): y = ax + b. Xác định giá trị a, b biết rằng (d1) song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai và đi qua điểm A(1;-2) Bài 2. Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy: 1 (d ): y = x + 1 (d ): y = 3x - 2 (d ): y = 2x - 1 2 3 2 Bài 3. Tìm a, b để hai dường thẳng (a + 2)x - by = 2 và ax - y = b cắt nhau tại điểm M(2;-1) Bài 4. Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng: A(2;1) B(-2;2) C(m - 1; m) Bài 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 3mx = 2m - 1 luôn đi qua một điểm cố định A với mọi m. Tìm tọa độ của điểm A. Bài 6. Cho đường thẳng (d1): y = ax + b. Xác định giá trị a, b biết rằng (d1) song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai và đi qua điểm A(1;-2) Bài 7. Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy: 1 (d ): y = x + 1 (d ): y = 3x - 2 (d ): y = 2x - 1 2 3 2 Bài 8. Tìm a, b để hai dường thẳng (a + 2)x - by = 2 và ax - y = b cắt nhau tại Gv: Nguyễn Văn Định 22 THCS Thanh Tuyền
  23. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 điểm M(2;-1) Bài 9. Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng: A(2;1) B(-2;2) C(m - 1; m) Bài 11. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 3mx = 2m - 1 luôn đi qua một điểm cố định A với mọi m. Tìm tọa độ của điểm A. 2 Bài 12. Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 2m)x và (d2): y = ax (a 0) a. Định a để (d2) đi qua A(3;-1) b. Tìm các giá trị của m để (d1)  (d2) (ở câu a) Bài 13. Cho hàm số (d1): y = ax + b a. Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua M(-1;1) và N(2;4) 2 2 b. Xác định m để đồ thị hàm số (d2): y = (2m - m)x + m + m là một đường thẳng song song với đường thẳng (d 1) tìm được ở câu c. Vẽ (d 2) ứng với m vừa tìm được. d. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d 1) có hoành độ bằng 2. Tìm phương trình đường thẳng (d3) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) Bài 14. Cho điểm A(1;1) và hai đường thẳng (d1): y = x - 1 (d2): y = 4x - 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt các đường thẳng (d 1), (d2) tạo thành tam giác vuông. Bài 15. Tìm m để hai đường thẳng y = x - 1 và y = 2mx + 1 cắt nhau tại điểm có tung độ là 3 Bài 16.Tìm m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = 2x + 3 cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên 2 Bài 17. Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 2m)x và (d2): y = ax (a 0) a. Định a để (d2) đi qua A(3;-1) b. Tìm các giá trị của m để (d1)  (d2) (ở câu a) Bài 18. Cho hàm số (d1): y = ax + b Gv: Nguyễn Văn Định 23 THCS Thanh Tuyền
  24. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a. Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua M(-1;1) và N(2;4) 2 2 b. Xác định m để đồ thị hàm số (d2): y = (2m - m)x + m + m là một đường thẳng song song với đường thẳng (d 1) tìm được ở câu c. Vẽ (d 2) ứng với m vừa tìm được. d. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d 1) có hoành độ bằng 2. Tìm phương trình đường thẳng (d3) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) Bài 19. Cho điểm A(1;1) và hai đường thẳng (d1): y = x - 1 (d2): y = 4x - 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt các đường thẳng (d 1), (d2) tạo thành tam giác vuông. Bài 20. Tìm m để hai đường thẳng y = x - 1 và y = 2mx + 1 cắt nhau tại điểm có tung độ là 3 Bài 21.Tìm m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = 2x + 3 cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên Bài 22. Cho hàm số y = x 1 x a. Vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm GTNN của hàm số Bài 23. Trên một hệ trục tọa độ vuông góc có độ dài đơn vị là cm. a. Vẽ đồ thị hàm số y x 2 3 x b. Gọi d là đường thẳng có phương trình y = m cắt đồ thị y x 2 3 x thành một hình thang. Tìm m để diện tích hình thang bằng 28cm2 CHUYÊN ĐỀ 3:PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT. BẤT PHƯƠNG TRÌNH (2BUỔI) A. KIẾN THỨC D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh *) Ph­¬ng ph¸p: +) Gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ Gv: Nguyễn Văn Định 24 THCS Thanh Tuyền
  25. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 +) Gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè +) Gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô +) Phèi hîp gi÷a thÕ vµ ®Æt Èn phô (thÕ c¶ nhãm *) Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình 4x 2y 3 2x 3y 5 3x 4y 2 0 2x 5y 3 1) 2) 3) 4) 6x 3y 5 4x 6y 10 5x 2y 14 3x 2y 14 x 2 x 5 (1 3)y 1 0,2x 0,1y 0,3 5) 6) 7) y 3 (1 3)x y 5 1 3x y 5 x y 10 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: (3x 2)(2y 3) 6xy 2(x y) 3(x y) 4 1) 2) (4x 5)(y 5) 4xy (x y) 2(x y) 5 2y 5x y 27 5 2x (2x 3)(2y 4) 4x(y 3) 54 3 4 3) 4) (x 1)(3y 3) 3y(x 1) 12 x 1 6y 5x y 3 7 1 1 (x 2)(y 3) xy 50 2 2 (x 20)(y 1) xy 5) 6) 1 1 (x 10)(y 1) xy xy (x 2)(y 2) 32 2 2 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ 1 1 1 2 1 3x 2 3 4 x y 12 x 2y y 2x x 1 y 4 1) 2) 3) 8 15 4 3 2x 5 1 1 9 x y x 2y y 2x x 1 y 4 x 2 y 2 13 3 x 2 y 16 x 4 y 18 4) 5) 6) 2 2 3x 2y 6 2 x 3 y 11 3 x y 10 Gv: Nguyễn Văn Định 25 THCS Thanh Tuyền
  26. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2(x 2 2x) y 1 0 5 x 1 3 y 2 7 7) 8) 2 2 2 3(x 2x) 2 y 1 7 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13 D¹ng 2: t×m tham sè ®Ó hÖ cã nghiÖm (x;y) = (x0;y0) lµ ngiÖm *) Ph­¬ng ph¸p: ax + by = c ax0 + by0 = c a’x + b’y = c’ a’x + b’y = c’ 0 0 HÖ PT cã nghiÖm (x0;y0) (*)  gi¶i hÖ (*) t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè. *) Bµi tËp Bài 1: Tìm các giá trị của m, n sao cho mỗi hpt ẩn x, y sau đây 2mx 1 n y m n 1 2 1 a) hpt có nghiệm (2; 1); đáp số: m ; n m 1 x m n y 3 9 3 3mx n 1 y 93 b) hpt có nghiệm (1; -5); đáp số: m 1; n 17 nx 4my 3 m 2 x 5ny 25 c) hpt có nghiệm (3; -1); đáp số: m 2; n 5 2mx n 2 y 5 D¹ng 3: gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh *) Phương pháp giải: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ *) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm b *) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ a phương trình có nghiệm duy nhất. (1) Gv: Nguyễn Văn Định 26 THCS Thanh Tuyền
  27. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 mx y 2m *) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 4x my m 6 (2) Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m 3)(m 2) 2m 3 i) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x = m 2 4 m 2 Khi đó y = - m . Hệ có nghiệm duy nhất: (2m 3 ;-m ) m 2 m 2 m 2 ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm 2m 3 m Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( ;- ) m 2 m 2 - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx y 3m 1 mx 4y 10 m (m 1)x my 3m 1 1) 2) 3) x my m 1 x my 4 2x y m 5 x my 3m x my 1 m 2 2x y 3 2m 4) 5) 6) 2 2 2 mx y m 2 mx y 1 m mx y (m 1) Dạng 4: Xác định giá trị của tham số để hệ pt có nghiệm t/m Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số k Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: Gv: Nguyễn Văn Định 27 THCS Thanh Tuyền
  28. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 mx 2y m 1 2x my 2m 1 HD Giải: mx 2y m 1 2mx 4y 2m 2 2 2 2x my 2m 1 2mx m y 2m m (m 2 4)y 2m 2 3m 2 (m 2)(2m 1) 2x my 2m 1 để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất (m 2)(2m 1) 2m 1 3 y 2 m 2 4 m 2 m 2 m 1 3 x 1 m 2 m 2 Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: (m 1)x 2y m 1 2 2 m x y m 2m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1) 2mx (m 1)y m n (m 2)x 3ny 2m 3 b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2 c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 Gv: Nguyễn Văn Định 28 THCS Thanh Tuyền
  29. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(-b ) = 0 a 1 a b f ( ) 0 3 0 4 8 4 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11 f ( 3) 0 18a 3b 3 0 d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 HD: f (2) 6 4a 2b 2 a 1 f ( 1) 0 a b 4 b 3 Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx 4y 9 Cho hệ phương trình: x my 8 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: Gv: Nguyễn Văn Định 29 THCS Thanh Tuyền
  30. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2x + y + 38 = 3 m 2 4 B.BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx 4y 10 m Cho hệ phương trình (m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: (m 1)x my 3m 1 Cho hệ phương trình : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: 3x 2y 4 Cho hệ phương trình 2x y m a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: mx 4y 9 Cho hệ phương trình: x my 8 a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 5: x my 9 Cho hệ phương trình: mx 3y 4 Gv: Nguyễn Văn Định 30 THCS Thanh Tuyền
  31. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 - 3 m 2 3 Bài 6: mx y 2 Cho hệ phương trình: 3x my 5 a) Giải hệ phương trình khi m 2 . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ m 2 thức x y 1 . m 2 3 Bài 7: 3x my 9 Cho hệ phương trình mx 2y 16 a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7 CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI- ĐỊNH LÍ VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN (3 BUỔI) 1. Công thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac +Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Gv: Nguyễn Văn Định 31 THCS Thanh Tuyền
  32. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 b b x1 = ; x2 = 2a 2a 2. Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’ 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b ' b ' x1 = ; x2 = a a 3. Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: 2 Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) b c thì : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = a a b) Ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: c x1 = 1; x2 = a +Hệ quả 2: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: c x1 = -1; x2 = a c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0 2 (x1 ; x2 tồn tại khi S – 4P 0) Gv: Nguyễn Văn Định 32 THCS Thanh Tuyền
  33. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ≥ 0) + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu B. LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trình bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toán tổng quát) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0 2. Vô nghiệm 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c 0 Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Gv: Nguyễn Văn Định 33 THCS Thanh Tuyền
  34. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2 2 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 8 x2 1 Vậy x1 (x2 ) 1 2x2 2 Bài 3: Cho phương trình: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1 1 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 ; y2 x2 với x 1; x2 là nghiệm của x2 x1 phương trình ở trên Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. Bài 5: Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. 2 2 b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 10 Bài 6: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6 Bài 7: Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. 2 2 b) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2 *) CMR: A = 8m2 – 18m + 9 ) Tìm m sao cho A =27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia Gv: Nguyễn Văn Định 34 THCS Thanh Tuyền
  35. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 2 2 Bài 8: Cho phương trình ; x -2(m + 4)x + m – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. 2 2 b) B = x1 + x2 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m Bài 9: Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m 2 2 b) Xác định m để: x1 + x2 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 y2 y1 + y2 = x1 + x2 và 3 1 y2 1 y1 2 Bài 10: Cho phương trình : x + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 2 2 x1 x2 , x2 thoả mãn : > 7 x2 x1 Bài 11: Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho x1 x2 2 CHUYÊN ĐỀ 5: MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI ( 1 BUỔI) A.KIẾN THỨC. Cho Parabol (P): y=ax2 và đường thẳng (d): y=mx+b - ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt phương trình ax2=mx+b có 2 nghiệm phân biệt >0 (nghiệm của phương trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm) - ĐK để (d) Không cắt (P) phương trình ax2=mx+b vô nghiệm <0. Gv: Nguyễn Văn Định 35 THCS Thanh Tuyền
  36. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 - ĐK để (d) tiếp xúc với (P) phương trình ax2=mx+b có nghiệm kép =0 B.BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Biết đồ thị hàm số = 2 (P) đi qua điểm (-2; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị hàm số đó. Bài 2: Cho đường thẳng (d): 2(m -1)x + (m - 2)y = 2 a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P): = 2tại hai điểm phân biệt A và B. b, Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo m. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): = ― 2 và đường thẳng (d): y = mx – 1 (m – tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Bài 4: Cho hàm số = 2 2 (P) a. Vẽ đồ thị hàm số. b. Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của (P) với đường thẳng y = mx – 1. Bài 5: Cho (P): = 2 và đường thẳng (d): y = 2x + m. Xác định m để hai đường đó: a. Tiếp xúc với nhau. Tìm hoành độ tiếp điểm. b. Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x = -1. Tìm tọa độ điểm còn lại. c) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi. x2 Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số :y = 3x + 1 ; y 2 Trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính. x2 Bài 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y= . 2 Tìm a và b để đường thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P). Bài 8: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y= (m-1)x- (m-1). a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm. b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm được trên cùng mặt phẳng toạ độ. Bài 9: Cho đường thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x2-3x+2 Gv: Nguyễn Văn Định 36 THCS Thanh Tuyền
  37. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung. b) Trong trường hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm. -1 Bài 10: Cho hàm số y= x2 (P) 2 a) Vẽ (P). b) Tìm m để đường thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B. Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó. Bài 11: Cho Parabol (P): y=3x2. Lập phương trình đường thẳng ( ) song song với đường thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P). 1 2 Bài 12: Cho (P): y=x và hai đường thẳng (d1): y=2x-2 và (d2): y= ax-1. 2 a) Vẽ (P) & (d1) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúng b) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d2) c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm. d) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC (0.5 BUỔI) A.KIẾN THỨC. 1.ĐN: A B A- B 0 Nên khi chứng minh A B ta: - Lập hiệu A-B -Chứng tỏ rằng A-B 0 bằng cách biến đổi A-B thành tích của những thừa số không âm hoặc tổng các bình phương. a b 2.Sử dụng BĐT Côsy: ab a,b 0 2 - Sử dụng BĐT Bunhiacôpsci: ax by 2 a2 b2 x2 y2 x, y Gv: Nguyễn Văn Định 37 THCS Thanh Tuyền
  38. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 - Các hệ quả của BĐT Côsy: B. BÀI TẬP VẬN DỤNG. x2 4x 5 a2 1 Bài 1) CMR: 0x 2) CMR: a x2 1 a4 1 2 p2 q2 Bài 3) CMR: Nếu p,q>0 thì: pq 4) CMR: 3x2+y2+z2 2x(y+z+1) p q x, y, z 2006 2007 1 Bài 5) CMR: 2006 2007 6) CMR: Nếu x+4y=1 thì : x2+4y2 2007 2006 5 Bài 7) CMR: Nếu 2x+4y=1 thì : x2+y2 1 20 2 1 Bài 8)Cho a 0.Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trìnhx 4x 0 .CMR: 2a2 1 1 Bài 9)Cho 2 số dương a,b thoả mãn a+b=1. CMR: 6 (có thể hỏi: Tìm ab a2 b2 1 1 GTNN của biểu thức A= ) ab a2 b2 1 1 1 Bài 10)Cho 2 số dương a,b. CMR: 4a2 4b2 8ab a b 2 x2 y2 Bài 11) Cho x>y, xy=1. CMR: 2 2 x y 1 1 1 Bài 12)Cho x>0; y>0 thoả mãn điều kiện .Tìm GTNN của biểu thức A= x y 2 x y CHUYÊN ĐỀ 7: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( 2 BUỔI) A.KIẾN THỨC Bước 1: Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị và đặt đk cho ẩn số) Bước 2: - Biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết qua ẩn số - Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho trước trong bài để Gv: Nguyễn Văn Định 38 THCS Thanh Tuyền
  39. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 thiết lập phương trình(hoặc hệ phương trình) Bước 3: Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) Bước 4: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời B.BÀI TẬP CƠ BẢN * DẠNG 1: TOÁN TÌM SỐ Bài 1. Tìm hai số biết tổng cuả hai số bằng 59, hai lần của số này hơn ba lần của số kia là 8. Bài 2. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai chư số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho? Bài 3. Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33 Bài 4. Cho một số có hai chữ số .Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 .Tìm số đã cho *DẠNG 2: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC Bài 5. một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường Bài 6. Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5 cạnh 3 còn lại dài 8cm. Tính cạnh huyền Bài 7. Bảy năm trước, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi? Bài 8. Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000đ Hôm nay mẹ lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600đ mà giá trứng thì vẫn như cũ. Hỏi giá mỗi quả trứng mỗi loại là bao nhiêu? Bài 9. Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ, nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh? Bài 10. Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu. Biết rằng 3ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn Gv: Nguyễn Văn Định 39 THCS Thanh Tuyền
  40. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Bài 11. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? Bài 12. Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau .Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủ chỗ cho 400 đại biểu .Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế *. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài 13. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km. Nên đến địa đỉêm B trước ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗt ô tô biết quãng đường AB dài 240km Bài 14. Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ngược chiều và gặp nhau sau 2h. Tìm vân tốc của mỗi ô tô. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc ô tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô tô B. Bài 15. Một ô tô đi tư A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 2 vận tốc của ô tô thư nhất. Sau 3h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng 3 đường AB mất bao lâu? Bài 16. Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ô tô vân tải cũng đi đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu. Biết rằng vân tốc của ô tô tải bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch. Bài 17 Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30’ một người đi xe máy cũng đi từ A đến B sớm hơn 1h .Tính vận tốc của mỗi xe .Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5lần vận tốc xe đạp . Bài 18. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B người đó nghỉ 20phút rôì quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5h50’ Bài 19. Quãng đương AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15’ rồi trở về A hết tất cả 10h .Tính vận tốc của ôtô lúc về .Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h Bài 20. Một số máy suôi dòng 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà số máy đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng .Tính vận tốc của xuồng khi đi trong hồ .Biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3km/h. Gv: Nguyễn Văn Định 40 THCS Thanh Tuyền
  41. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Bài 21. Một bè nứa trôi trên sông sau đó 5h20’ một xuồng máy đuổi theo và đi được 20km thì gặp bè nứa .Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h *. DẠNG TOÁN CHUNG RIÊNG Bài 22. Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7h12phút thì xong nếu người thứ nhất làm trong 5h và người thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đươc 3/4 bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu song bức tường? Bài 23. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày, rồi người thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc. Bài 24. Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ một sản xuất vượt mức 15%, tổ hai sản xuất vượt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. Bài 25. Cho một dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nước thì được một dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho? 4 Bài 26. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ bể đầy 5 mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng 11 lượng nước chảy được của vòi hai 2 . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể Bài 27. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16h thì song nếu người thứ nhất làm trong 3h và người thứ hai làm trong 6h thì họ làm được 25% công việc .Hỏi mỗi người làm một mình thi song công việc trong bao lâu . PhÇn h×nh häc CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG. ( 1BUỔI) A.KIẾN THỨC 1.Định lý Pitago ABC vuông tại A AB2 AC2 BC2 2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông Gv: Nguyễn Văn Định 41 THCS Thanh Tuyền
  42. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 A B C H 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1 1 1 4) AH2 AB2 AC2 Kết quả: a 3 a 2 3 -Với tam giác đều cạnh là a, ta có: h ; S 2 4 B.BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây : P a, Trong (hình 1) sinx bằng : S A, 5/3 B, 3/5 C, 5/4 D, 3/4 b, Trong (hình 2) sinQ bằng : R Q A, PR B,PS C, PR D, SR h 2 RS SR QR QR Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra các hệ thức tính tỉ số lượng giác của góc C Bài 3. giải tam giác vuông ABC Biết Aˆ = 900 AB=5 ,BC=7 Bài 4. Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 13:21 Bài 5. Dựng góc x Biết sinx = 3/5 Bài 6. Dựng góc x Biết cotgx = 1/2 Bài 7 Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 400 góc F = 580 kẻ đường cao EI của tam giác đó . Hãy tính (lấy 3 chữ số thập phân) a).Đường cao EI b). Cạnh EF Gv: Nguyễn Văn Định 42 THCS Thanh Tuyền
  43. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Bài 3 : Cho ABC : µA 900 . Qua trung điểm I của AC, dựng ID  BC. Bài 4 : Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với 3 EB AB 3 AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH FC AC Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Qua A, vẽ cát tuyến Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F. 1 1 1 Chứng minh : . AE 2 AF 2 AD2 Bài 6: Cho hình thoi ABCD có µA 1200 , tia Ax tạo với Tia AB góc B·Ax 15o , cắt BC, CD lần lượt tại M, N. 1 1 4 Chứng minh: AM 2 AN 2 3AB2 CHUYÊN ĐỀ 2: HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. A.KIẾN THỨC A A'; B B'; C C' -Khái niệm: ABC : A'B'C' khi AB AC BC A'B' A'C' B'C' -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông B. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; gọi G là chân dường vuông góc kẻ từ B đến AC. a. Chứng minh rằng 2 tam giác CBG và ACF đồng dạng Gv: Nguyễn Văn Định 43 THCS Thanh Tuyền
  44. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 b. Chứng minh rằng : AB.AE + AD .AF = AC2 Bài 2.Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I . Chứng minh rằng : a. tam giác CIN vuông b. Tính diện tích tam giác CIN theo a. c. Tam giác AID cân. Bài 3.Cho hình thang ABCD (BC//AD) với A·BC A·CD . Tính độ dài đường chéo AC, biết rằng 2 đáy BC và AD theo thứ tự có độ dài 12m, 27m. Bài 4.Cho tam giác ABC , M là Trung điểm của cạnh BC. Từ 1 điểm E trên cạnh BC ta kẻ Ex//AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.Chứng minh rằng :FE + EG = 2 AM Bài 5. Cho hình bình hành ABCD ,trên Đường chéo AC lấy I. Tia DI cắt đường thẳng AB tại M,cắt đường thẳng BC tại N. AM DM CB a. Chứng minh rằng : AB DN CN b.Chứng minh rằng ID2= IM.IN Bài 6.Cho tam giác ABC , đường phân giác trong của C cắt cạnh AB tại D. Chứng minh rằng CD2 < CA.CB Bài 7.Cho tam giác ABC , BD và CE là 2 đường cao của tam giác ABC . DF và EG là 2 đường cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng a. Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. b. FG//BC Bài 8.Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a. So sánh B·AH và C·AH b. So sánh 2 đoạn thẳng BD và CE. c. Chứng minh rằng 2 tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng Bài 9. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng MP//DC AK 1 Bài 10. Trong tam giác ABC Kẻ trung tuyến AM. K là 1 điểm trên AM sao cho: , AM 3 BK cắt AC tại N. a/ Tính diện tích tam giác AKN, biết diện tích tam giác ABC là S. Gv: Nguyễn Văn Định 44 THCS Thanh Tuyền
  45. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 b/ Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J. AB AC Chứng minh rằng 6 . AI AJ CHUYÊN ĐỀ 3: CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN (1 BUỔI) A.KIẾN THỨC - Nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. -Vẽ tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn, vẽ tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn B. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao 1 cho AC.BD AB2 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4 Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI. Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C thuộc nửa đường tròn. Vẽ CH  AB H AB . M là trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc AB tại M cắt (O) tại C và D. AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q. AB cắt PQ tại I. Chứng IC và ID là tiếp tuyến của (O). Bài 5. Cho tam giác đều AB cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh NM tiếp xúc với (O). Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB < AC). T là một điểm thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại P. BH cắt (O) tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của (O). Gv: Nguyễn Văn Định 45 THCS Thanh Tuyền
  46. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Bài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. AD cắt (O) tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE. CHUYÊN ĐỀ4 : CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐIỂM NẰM TRÊN ĐƯỜNG TRÒN, TỨ GIÁC NỘI TIẾP (3 BUỔI) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó M AB  CD; N AD  BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; B. BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. Chøng minh ED = 1 BC. 2 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Gv: Nguyễn Văn Định 46 THCS Thanh Tuyền
  47. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. AB2 3.Chøng minh AC. BD = . 4 4.Chøng minh OC // BM 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD. 5.Chøng minh MN  AB. 6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh BM // OP. 3. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. Gv: Nguyễn Văn Định 47 THCS Thanh Tuyền
  48. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. 1.Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n. 2.Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn . Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Bµi 12 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®­êng trßn ë P. Chøng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo. Gv: Nguyễn Văn Định 48 THCS Thanh Tuyền
  49. Chuyên đề : Ôn thi vào 10 Năm 2019-2020 Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 1.Chøng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K). 3.TÝnh MN. 4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn 314 (cm2) Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®­êng thẳng CD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i F, G. Gv: Nguyễn Văn Định 49 THCS Thanh Tuyền
  50. Chøng minh : 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®­êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Bµi 18 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®­êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®­êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Bµi 19. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). CHUYÊN ĐỀ 5: DIỆN TÍCH XUNG QUANH,THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH A.KIẾN THỨC - Sử dụng các công thức tính diện tích, thể tích các hình: hình trụ, hình nón, hình nón cụt, hình cầụ -Khi tính cần xác định xem hình cần tính bao gồm những hình nào hợp thành. - Lưu ý đổi cùng đơn vị để tính. B.BÀI TẬP Bài 1: Cho dường thẳng d cố định. Một doạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại diểm O sao cho OA = 4 và OB=10, đồng thời AB tạo với d một góc 300.Gọi I và J tương ứng là hình chiếu vuông góc của A,B trên d. a)Khi quay hình IAOBJ một vòng xung quanh d đoạn AB sẽ tạo nên hình gì? 50
  51. b)Tính diện tích xung quanh của hình tạo được; c)Tính thể tích của hình tạo được Bài 2: Một chiếc hộp có dạng hình trụ,người ta đo được chiều cao của hộp bằng đường kính đáy của nó và bằng 30cm. Hãy tính diện tích toàn phần của hộp đó. Bài 3: Một bình đựng nước có dạng hình trụ với bán kính đáy là R. Một hình cầu nằm khít trong hình trụ đó. Người ta đổ nước vào trọng bình sao cho mặt nước phía trên vừa ngập hết quả cầu. Sau đó vớt quả cầu ra, hỏi mực nước tụt xuống bao nhiêu so với lúc đầu? Thanh Tuyền, ngày 15 tháng 9 năm 2019 NGƯỜI VIẾT CHUYÊN ĐỀ Nguyễn Văn Định PHÒNG GD&ĐT TP.PHỦ LÝ DUYỆT BAN GIÁM HIỆU DUYỆT 51