Chuyên đề Toán Lớp 7: Nghiệm của đa thức - Anh Tuấn

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 7: Nghiệm của đa thức - Anh Tuấn

1. CHUYÊN ĐỀ: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Dạng 1: Kiểm tra x = a có phải nghiệm của đa thức P(x) hay không. Cách giải: Tính P(a), nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của đa thức P(x). 3 1 Bài 1: Chứng minh rằng và − là nghiệm của đa thức f(x) = 6x2 – 7x – 3. 2 3 Dạng 2: Tìm nghiệm của đa thức. Cách giải: Tìm giá trị của x sao cho đa thức đạt giá trị bằng 0. Loại 1: Tìm nghiệm của các đa thức đơn giản. Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau: a. A(x) = 2x + 1 d. D(x) = x2 – 7 b. B(x) = (x – 3)( x – 4) e. E(x) = x2 + 15 c. C(x) = x2 – 25 f. F(x) = x3 – 2x Loại 2: Tìm nghiệm của các đa thức bậc hai phức tạp. Bài 3: Tìm nghiệm của các đa thức sau: a. A(x) = 7x2 – 5x – 2 d. D(x) = 7x2 – 5x – 2 1 2 11 b. B(x) = 2 + − e. E(x) = x2 + x – 6 3 5 15 c. C(x) = 2,5x2 + 3,7x + 1,2 f. F(x) = 3x2 + 4x – 4 Dạng 3: Tìm điều kiện của các tham thỏa mãn đa thức. Bài 4: Xét đa thức P(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh: a. Nếu a + b + c = 0 thì P(x) có một nghiệm x = 1. b. Nếu a – b + c = 0 thì P(x) có một nghiệm x = -1. Bài 5: Xét đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Chứng minh: a. Nếu a + b + c + d = 0 thì P(x) có một nghiệm x = 1. b. Nếu – a + b – c + d = 0 thì P(x) có một nghiệm x = -1. Dạng 4: Chứng minh đa thức vô nghiệm/ có nghiệm. Bài 6: Chứng minh rằng các đa thức sau vô nghiệm: a. A(x) = x2 + x + 1 c. C(x) = x2 – 2x + 5 b. D(x) = x4 – 6x2 + 10 d.C(x) = x4 – x3 + 2x2 – x + 1 Dạng 5: Tìm đa thức có nghiệm cho trước. Bài 7: Hãy viết một đa thức: a. Có duy nhất một nghiệm bằng (-1). b. Có hai nghiệm bằng 0 và 2. c. Không có nghiệm. d. Đa thức bậc 5 có ba nghiệm bằng 2; 7; (-5).
2. Bài 8: Xác định hệ số a để các đa thức sau nhận 1 là nghiệm: a. A(x) = ax2 + 2x – 1 c. C(x) = x3 + 2ax2 – 5ax +3 b. B(x) = a2 + ax – 3 d. D(x) = ax4 + 2ax3 – 6x + 2a Dạng 6: Các bài toán chứng minh về nghiệm của đa thức. Bài 9: Cho đa thức bậc hai P(x) thỏa mãn điều kiện P(-1) = P(1). Chứng minh rằng: P(x) = P(- x) với mọi x. 1 Bài 10: Chứng minh rằng nếu xo là một nghiệm của đa thức P(x) = ax + b ( a ≠ 0, b ≠ 0) thì 표 là một nghiệm của đa thức Q(x) = bx + a. Bài 11: Chứng minh rằng nếu xo là một nghiệm của đa thức P(x) = ax + b ( a ≠ 0) thì P(x) = a(x – xo). 2 Bài 12: Chứng minh rằng nếu x1 và x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) thì P(x) = a.(x – x1).(x – x2). BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho các đa thức f(x) = x2 + x – 2 và g(x) = x3 – x – 10. Hỏi (-2) là nghiệm của đa thức nào? 1 Bài 2: Cho đa thức P(x) = 6x2 – x – 51. Hỏi x = − có phải nghiệm của đa thức P(x) không? Đa 2 thức này có tất cả bao nhiêu nghiệm, tìm những nghiệm đó. Bài 3: a. Tìm hệ số tự do a để đa thức x2 – 5x + a nhận 4 là một nghiệm. b. Tìm tập hợp các nghiệm của đa thức tìm được ở câu a. Bài 4: Cho hai đa thức P(x) = ax + b và Q(x) = bx + a ( a ≠ 0, b ≠ 0). Biết rằng nghiệm của đa thức P(x) là số dương, chứng minh nghiệm của đa thức Q(x) cũng là số dương. Bài 5: Cho F(x) = x4 + x3 – 3x2 + 2x – 9 và G(x) = - x4 + 2x2 – x + 8 a. Tìm H(x) = F(x) + G(x) b. Tìm nghiệm của H(x). Bài 6: Tìm nghiệm của các đa thức sau: a. A(x) = ( x – 1)(3x + 2) c. C(x) = x2 – 3x – 28 b. B(x) = 2x3 – 3x d. D(x) = x2 – 6 Bài 7: Tìm nghiệm của các đa thức: a. x2 – ( x2 + 3) c. 2x2 – (1 + 2x2) + 1 e. (2x2 – 1)2 – 16 b. x3 – 1 d. 1 + x3 f. x3 + 3x2 + 3x + 1 Bài 8: Tìm đa thức một ẩn thỏa mãn: a. Có hai nghiệm 2 và (-3).
3. 2 −1 b. Có ba nghiệm: ; và 5 3 4 c. Bậc bốn và chỉ có hai nghiệm 1 và (-4). Bài 9: Tìm nghiệm của các đa thưc sau: a. −6x + 5 e. 2 − 4 + 3 b. x2 − 2x f ∗. 2 2 − 4 + 5 5 3 c. − x2 + g. 3 3 + 2 3 5 1 1 d. ( − 7) − (x − 5) h. 2 3 − 2 − 2 + 1 3 2 2 Bài 10: Cho đa thức F(x) = ax + bx + c. Chứng minh rằng nếu xo là một nghiệm của đa thức 1 F(x) thì là một nghiệm của đa thức G(x) = cx2 + bx + a. 표 푛 푛−1 Bài 11: Cho đa thức F(x) = 푛 + 푛−1 + ⋯ + 1 + 표. a. Chứng minh nếu đa thức F(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì F(x) có một nghiệm bằng 1. b. Chứng minh nếu đa thức F(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì F(x) có một nghiệm bằng (-1). 푛 푛−1 Bài 12: Cho đa thức P(x) = 푛 + 푛−1 + ⋯ + 1 + 표 trong đó các hệ số 푛, 푛−1′ , 1, 0 nhận giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) có một nghiệm x = xo nhận giá trị nguyên khác 0 thì xo phải là một ước của ao. Bài 13: Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm: a. A(x) = 2 + 1 d. D(x) = 2 − + 1 b. B(x) = x2 + 2x + 3 e ∗. E(x) = 8 − 5 + 2 − + 1 c. C(x) = x2 + ( − 3)2 f ∗. F(x) = 12 − 9 + 4 − + 1 Bài 14: Chứng minh rằng hai đa thức P(x) = 3x3 – 2x2 + 4x + 1 và Q(x) = x3 – x + 5 không có nghiệm nguyên. Bài 15: Tìm nghiệm của đa thức: a. A(x) = 11x3 + 5x2 + 4x + 10 b. B(x) = −17x3 + 8x2 − 3x + 12 c. C(x) = x4 + x3 + x + 1 d. D(x) = x2 − x3 − x + 1 e. E(x) = x3 + 3x2 − x − 3 f. F(x) = 2x3 + x2 + 2x + 1 g. G(x) = x4 − 5x2 + 4 h. H(x) = x4 − 3x2 − 4 i. I(x) = x(1 − 2x) + (2x2 − x + 4 ) k. K(x) = x(x − 5) − x(x + 2) + 7x Bài 16: Chứng minh đa thức A(x) = x3 + 5x2 + 2x + 3 vô nghiệm. Bài 17: Cho đa thức f(x) = x2 + mx + 2. a. Xác định m để f(x) nhận (-2) làm một nghiệm.
4. b. Tìm các nghiệm của f(x) với giá trị của m tìm được ở trên. Bài 18: a. Xét đa thức P(x) = ax + b. Chứng minh rằng nếu có hai giá trị x1 và x2 là nghiệm của P(x) thì a = b = 0. b. Chứng minh rằng nếu đa thức F(x) = ax2 + bx + c nhận 3 giá trị khác nhau làm nghiệm thì a = b = c = 0. Bài 19: Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng: . 푃( + 1) = ( − 2). 푃( ) Bài 20: a. Chứng minh rằng đa thức F(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng: . 퐹( + 1) = ( + 2). 퐹( ) c. Chứng minh rằng đa thức G(x) có ít nhất ba nghiệm biết rằng: . ( + 1) = ( 2 − 4). ( ) d. Cho biết ( − 1). ( ) = ( + 4). ( + 8) với mọi x. Chứng minh f(x) có ít nhất hai nghiệm. NÂNG CAO: PHÉP CHIA ĐA THỨC VÀ CÁCH TÌM NGHIỆM ĐA THỨC BẬC CAO. DẠNG 1 : CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức. a) 10x3y2z : (-4xy2z) f) (-xy5z) : (-xy4) b) x2y3z4 : y2z g) x3y4 : x3y c) 25x4y5z3 : (-3xy2z) h) 18x2y2z: 6xyz d) 5x3y2z : (-2xyz) k) 27x4y2z : 9x4y e) (-12x5y4) : (-4x2y) m) 5x3y: xy DẠNG 2 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC Bài toán 2 : Thực hiện phép tính. a) (4x5 - 8x3) : (-2x3) b) (9x3 - 12x2 + 3x) : (-3x) c) (xy2 + 4x2y3 - 3x3y4) : (-2xy2) d) (-3x2y3 + 4x3y4 - y4y5) : (-x2y3) e) [2(x - y)3 - 7(y - x)2 - (y - x)] : (x - y) f) [3(x - y)5 - 2(x - y)4 + 3(x - y)2] : [5(x - y)2] DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC Bài toán 3 : Thực hiện phép chia. a) (2x3 - 5x2 - x + 1) : (2x + 1) b) (x3 - 2x + 4) : (x + 2) c) (6x3 - 19x2 + 23x - 12) : (2x - 3) d) (x4 - 2x3 - 1 + 2x) : (x2 - 1) e) (6x3 - 5x2 + 4x - 1) : (2x2 - x + 1) f) (x4 - 5x2 + 4) : (x2 - 3x + 2) g) ( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 ) h) ( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 ) DẠNG 4 : TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC
5. Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết. a) A = x4 + 3x3 + 2x2 - x - 4 và B = x2 - 2x + 3 b) A = 2x3 - 3x2 + 6x - 4 và B = x2 - x + 3 c) A = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 9 và B = x2 + 1 d) A = 2x3 - 11x2 + 19x - 6 và B = x2 - 3x + 1 e) A = 2x4 - x3 - x2 - x + 1 và B = x2 + 1 DẠNG 5 : TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n3 - 4n2 - n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1. Bài toán 5 : Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết. a) A = 8x2 - 26x + m và B = 2x - 3 b) A = x3 + 4x2 + 4x + m và B = x + 3 c) A = x3 - 13x + m và B = x2 + 4x + 3 d) A = x4 + 5x3 - x2 - 17x + m + 4 và B = x2 + 2x - 3 e) A = 2x4 + mx3 - mx - 2 và B = x2 – 1 Bài toán 6 : Cho các đa thức sau: A = x3 + 4x2 + 3x – 7 B = x + 4 a) Tính A : B b) Tìm x ∈ Z sao cho A chia hết cho B Bài toán 7 : Tìm x, biết. a) (8x2 - 4x) : (-4x) - (x + 2) = 8 b) (2x4 - 3x3 + x2) : (-x2) + 4(x - 1)2 = 0 Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết. a) A = 8n2 - 4n + 1 và B = 2n + 1 b) A = 3n3 + 8n2 - 15n + 6 và B = 3n - 1 c) A = 4n3 - 2n2 - 6n + 5 và B = 2n - 1 Loại 7: Tìm nghiệm của các đa thức bâc ba. Bài 9: Tìm nghiệm của các đa thức bậc ba sau: 1. A(x) = 2x3 + 4x2 – 5x – 1 a. A(x) = x3 – x2 – 4x + 4 2 3 4 13 3 2 2. B(x) = 3 + 2 + − 2 b. B(x) = 2x + 3x – 8x + 3 3 4 5 60 c. C(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 3. C(x) = 4x3 + 6x2 + 9x + 7 d. D(x) = - 6x3 + x2 + 5x – 2 4. D(x) = x3 + 4x + 5 e. E(x) = 3x3 + 19x2 + 4x – 12 5. E(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 f. F(x) = 2x3 – 11x2 + 10x + 8 6. F(x) = x3 + 3x2 -10x – 24 g. G(x) = 2x3 + 11x2 + 3x – 36 7. G(x) = 6x3 – 17x2 – 4x + 3 h. H(x) = 3x3 + 5x2 – x – 2 8. H(x) = 3x3 – 5x2 + 5x – 2 i. I(x) = 2x3 + 5x2 + 5x +3 9. I(x) = 4x3 + x2 + x – 3 j. J(x) = 4x3 – 7x2 – x + 3 10. J(x) = 4x3 – x2 + x + 3 k. K(x) = 6x3 – 7x2 + 5x – 2 11. K(x) = 4x3 – 5x2 + 6x + 9 l. L(x) = 5x3 – 12x2 + 14x – 4 12. L(x) = 4x3 + 5x2 + 10x – 12
6. Dạng 8: Tìm nghiệm của các đa thức bậc bốn giản ước được. Loại 1: Bậc bốn trùng phương. Bài 10: Tìm nghiệm của các đa thức bậc bốn sau: 1. A(x) = x4 – 13x2 + 36 a. A(x) = 9x4 + 6x2 + 1 2. B(x) = 2x4 + 5x2 + 2 b. B(x) = 2x4 – 7x2 – 4 3. C(x) = x4 – 5x2 + 4 c. C(x) = 2x4 – 20x2 + 18 4. D(x) = 7x4 + 13x2 – 2 d. D(x) = x4 – 13x2 + 36 5. E(x) = 10x4 + 27x2 + 5 e. E(x) = 8x4 – 26x2 + 15 Loại 2: Bậc bốn hồi quy. Bài 11: Tìm nghiệm của các đa thức bậc bốn sau: 1. A(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 a. A(x) = x4 + x3 – 4x2 + x + 1 2. B(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 b. B(x) = x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 3. C(x) = 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 c. C(x) = x4 – 10x3 + 26x2 – 10x + 1 4. D(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4 d. D(x) = x4 – 10x3 – 15x2 + 20x + 4 5. E(x) = 2x4 – 5x3 – 27x2 + 25x + 50 e. E(x) = 3x4 + 6x3 – 33x2 – 24x + 48 Bài 12: Tìm nghiệm của các đa thức bậc bốn sau: 1. A(x) = 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 a. A(x) = 2x4 + 3x3 – 15x2 + 3x + 2 2. B(x) = x4 – 8x3 + 9x2 – 8x + 1 b. B(x) = x4 + 3x3 – 14x2 – 6x + 4 3. C(x) = x4 + x3 + 4x2 + 5x + 25 c. C(x) = x4 + 5x3 – 14x2 – 20x + 16 4. D(x) = x4 + 2x3 – x2 – 2x + 1 d. D(x) = x4 + 4x3 + 3x2 + 2x – 1 5. E(x) = 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 e. E(x) = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 Loại 3: Bậc bốn kép. Bài 13: Tìm nghiệm của các đa thức bậc bốn sau: 1. A(x) = (x + 2)4 + (x + 8)4 – 272 4. D(x) = (x + 6)4 + (x + 4)4 – 82 2. B(x) = (x + 3)4 + (x + 5)4 – 16 5. E(x) = (3 – x)4 + (2 – x)4 – (5 – 2x)4 3. C(x) = (x – 2)4 + (x – 4)4 – 64 Loại 4: Bậc bốn điều hòa. Bài 13: Tìm nghiệm của các đa thức bậc bốn sau: 1. A(x) = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 a. A(x) = (x – 3)(x – 5)(x – 6)(x – 10) – 24x2 2. B(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 b. B(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x – 6) + 32 x2 3. C(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 c. C(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 8)(x – 4) + 4x2 4. D(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 3 d. D(x) = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 6) – 72x2 5. E(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – 7) – 20 e. E(x) = (x + 3)(x – 1)(x – 5)(x + 15) + 64x2 6. F(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) – 28 f. F(x) = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 10) – 54x2 7. G(x) = (x2 + 6x + 8)(x2 + 8x + 15) – 24 g. G(x) = (x + 2)(x – 4)(x + 6)(x – 12) + 36x2 8. H(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 6x + 8) – 24 h. H(x) = 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) – 3x2 9. I(x)= (x2 – 6x + 5)(x2 – 10x + 21) – 20 i. I(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) – 4x2 10. J(x) = (x2 + x – 2)(x2 + 9x + 18) – 28 j. J(x) = (x – 18)(x – 7)(x + 35)(x + 90) – 67x2 Dạng 9: Tìm nghiệm của các đa thức bậc cao không mẫu mực. Bài 14: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
7. 1. A(x) = (3x3 + 3x – 2)2 – x2(x – 1)2 a. A(x) = - 3x4 + 20x3 – 35x2 – 10x + 48 2. B(x) = x4 + 4x3 -2x2 – 12x + 3 b. B(x) = x4 – 24x + 32 3. C(x) = (2x + 1)(x+1)2(2x+3) – 18 c. C(x) = x4 + x2 + 6x – 8 4. D(x) = x4 + (x + 1)( 5x2 – 6x – 6) d. D(x) = x4 + x3 + x + 1 – 4x2 5. E(x) = x4 + 9 – 5x(x2 – 3) e. E(x) = x4 – 13x2 +18x – 5 6. F(x) = x4 – 8x3 + 11x2 + 8x – 12 f. F(x) = x4 – 4x2 + 5| 2 − 2| + 8 7. G(x) = x3 + 3x2 – 3x + 1 g. G(x) = 4(x2 + x + 1)2 + 5x(x2 + x + 1) + x2 2 2 2 10 4 2 8. H(x) = ( ) + ( ) − h. H(x) = + − 12 −1 +1 9 ( +2)2 9. I(x) = |5 2 − 12 | + 10 − 24 i. I(x) = | 2 + 2 | + + 2 10. K(x) = x5 – 5x4 – 2x3 + 17x2 – 13x + 2 j. K(x) = x5 – 5x4 + 6x3 – x2 + 5x - 6