Chuyên đề trắc nghiệm Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

66 trang xuanha23 09/01/2023 2061

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề trắc nghiệm Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_trac_nghiem_toan_12_phuong_phap_toa_do_trong_khong.docx

Nội dung text: Chuyên đề trắc nghiệm Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề I I. Hệ tọa độ trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, cho ba trục x 'Ox, y 'Oy, z 'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Vấn đề cần nắm: Gọi i, j,k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x 'Ox, y 'Oy, z 'Oz . Định nghĩa I. Lí thuyết về hệ tọa độ trong Hệ gồm ba trục x 'Ox, y 'Oy, z 'Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ không gian Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1). II. Phương trình mặt phẳng Điểm O được gọi là gốc tọa độ. III. Phương trình Các mặt phẳng Oxy , Oyz , Oxz đôi một vuông góc với nhau được gọi là các đường thẳng IV. Các dạng toán mặt phẳng tọa độ. mặt cầu Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz 2 2 2 Nhận xét: i j k 1 và i. j j.k k.i 0 2. Tọa độ của vectơ Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j,k trên các trục Ox, Oy, Oz, cho một vectơ u . Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực x, y, z sao cho u x.i y. j z.k Bộ ba số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ trục Oxyz. Kí hiệu u x; y; z hoặc u x; y; z , trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của vectơ u . Tính chất Cho các vectơ u u1;u2 ;u3 ,v v1;v2 ;v3 . Khi đó a. u v u1 v1,u2 v2 ,u3 v3. b. u v u1 v1;u2 v2 ;u3 v3 . c. k.u ku1;ku2 ;ku3 với mọi số thực k. d. u.v u1.v1 u2v2 u3.v3 2 2 2 e. u u1 u2 u3 f. Hai vectơ u;v v 0 có phương trình vuông góc với nhau khi và chỉ khi u1v1 u2v2 u3v3 0 g. Hai vectơ u,v cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao cho u kv. 3. Tọa độ của một điểm
 Nếu x; y; z là tọa độ của vectơ OM thì ta cũng nói x; y; z là tọa độ của điểm M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2). Kí hiệu M x; y; z hay M x; y; z . Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. 4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút Trong không gian Oxyz cho hai điểm M x1; y1; z1 và N x2 ; y2 ; z2 thì khi đó tọa  độ của vectơ MN và độ dài của nó là: 2 2 2 MN x2 x1 y2 y1 z2 z1 5. Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa Tích có hướng của hai vectơ u và v , kí hiệu u;v là vectơ a xách định bởi i. a có phương vuông góc với u và v ii. Bộ ba u, v, a là bộ ba vectơ thuần (đọc thêm vì trong SGK cơ bản không giải thích vấn đề này) STUDY TIP iii. a u . v .sin , tỏng đó là góc giữa hai vectơ u và v Định lý Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u u1;u2 ;u3 và v v1;v2 ;v3 . Khi đó u u u u u u u;v 2 3 ; 3 1 ; 1 2 u v u v ;u v u v ;u v u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 v2 v3 v3 v1 v1 v2 Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ. Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau: Ví dụ hai vectơ u u1;u2 ;u3 và v v1;v2 ;v3 ta viết tọa độ của hai vectơ song song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức. Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng u;v u v u v ;u v u v ;u v u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx 570 VN Plus mà tôi đã giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau: 1. Vào MODE 8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với vectơ). 2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ, cao độ. 3. Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào.
4. Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình. Tiếp tục thực hiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1 nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độ vectơ thứ hai. 5. Tiếp tục ấn AC để xóa màn hình. 6. Ấn SHIFT 5 máy hiện như bên, chọn 3 để hiện VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần nữa chọn 4 để hiện VctB. Máy hiện như bên. 7. Ấn = để nhận kết quả. Tính chất 1. u;v 0 u || v 2. u;v v;u 3. ku ;v u; kv k u;v ,k ¡      4. u v , u; v; ; u, v u;v u; Hệ quả   1. Ba vectơ u;v và đồng phẳng khi và chỉ khi u,v . 0 (tích hỗn tạp).   1   2. Diện tích hình bình hành ABCD là S AB, AD và S AB, AD ABD 2    3. Nếu ABCD.A' B 'C ' D ' là hình hộp có thể tích V thì V AB, AD .AA' và 1    do đó V AB, AD .AA' . ABDA' 6 Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độ dài. II. Phương trình mặt phẳng 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng P (hình 7.4). Chú ý Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P k.n k 0 cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Cho mặt phẳng P đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ;z0 và có vectơ pháp tuyến n a;b;c 0. Khi đó phương trình mặt phẳng P có dạng P : a x x0 b y y0 c z z0 0 Định nghĩa Phương trình có dạng Ax By Cz D 0 , trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét i. Nếu mặt phẳng P có phương trình tổng quát là Ax By Cz D 0 thì nó có vectơ pháp tuyến n A; B;C . ii. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ;z0 nhận vectơ n A; B;C khác 0 làm vectơ pháp tuyến có dạng A x x0 B y y0 C z z0 0. Các trường hợp đặc biệt Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng P : ax by cz d 0 với a2 b2 c2 0 1. Trường hợp d 0 thì mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ. 2. Trường hợp d 0 thì mặt phẳng P có vtpt n 0;b;c khi đó mặt phẳng P song song hoặc chứa trục Ox. Khi đó mặt phẳng P chứa trục Ox khi và chỉ khi P đi qua gốc tọa độ O, hay d 0. 3. Trường hợp b 0 , mặt phẳng P song song hoặc chứa trục Oy. 4. Trường hợp c 0 , mặt phẳng P song song hoặc chứa trục Oz.
5. Trường hợp a b 0,c 0. Khi đó mặt phẳng P có vtpt n 0;0;c . Trong trường hợp này, mặt phẳng P song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy . Khi đó P  Oxy khi và chỉ khi P đi qua gốc tọa độ O, hay d 0. 6. Trường hợp a c 0,b 0 , mặt phẳng P song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxz . 7. Trường hợp b c 0,a 0, mặt phẳng P song song hoặc trùng với mặt phẳng Oyz .
d d d 8. Trường hợp abcd 0 . Đặt ,  , , phương tình mặt phẳng a b c x y z được đưa về dạng 1. Mặt phẳng lần lượt cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz   tại các điểm A ;0;0 , B 0;;0 , C 0;0; và phương trình mặt phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Đến đây ta có bài toán tổng quát: Mặt phẳng P (hình 7.5) đi qua ba điểm M a;0;0 , N 0;b;0 , P 0;0;c có x y z phương trình P : 1 a b c 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P1 ; P2 lần lượt có phương trình P1 : a1x b1 y c1z d 0, P2 : a2 x b2 y c2 z d 0 , 2 2 2 với a1 b1 c1 0 i 1;2 . Khi đó n1 kn2 a1;b1;c1 k a2 ;b2 ;c2 P1 // P2 d kd 1 2 d1 kd2 n1 kn2 a1;b1;c1 k a2 ;b2 ;c2 P1  P2 d kd 1 2 d1 kd2 P1 cắt P2 n1 kn2 a1;b1;c1 k a2 ;b2 ;c2 P  P2 a1a2 b1b2 c1c2 0 3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : ax by cz d 0, với 2 2 2 a b c 0 và điểm M x0 ; y0 ; z0 . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng P là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với P tại H (hình 7.6). ax by cz d Độ dài MH được tính bằng công thức d M ; P MH 0 0 0 a2 b2 c2
Hệ quả Với P : ax by cz d 0 và P ' : ax by cz d ' 0 a2 b2 c2 0;d d ' là hai mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa P và P ' được tính bằng công thức: d d ' d P ; P ' a2 b2 c2 4. Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng P và Q , kí hiệu ·P , Q là góc giữa hai đường thẳng a và b mà a  P và b  Q . Từ đó suy ra 0 ·P , Q . 2     n P .n Q Từ đây ta có cos P ; Q cos n ,n P Q   n P . n Q
Dạng toán viết phương trình mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Dạng 1: Cho mặt phẳng đi qua M x ; y ; z và 0 0 0 n a,b là vectơ pháp tuyến của . chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương) có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b Dạng 2: Cho mặt phẳng đi qua M x0 ; y0 ; z0 và : a x x0 b y y0 c z z0 0. song song với mặt phẳng  : ax by cz d 0.   Dạng 3: Cho mặt phẳng đi qua ba điểm A; B; C n AB, AC là vectơ pháp tuyến của . không thẳng hàng. Dạng 4: Cho mặt phẳng đi qua điểm M và một Trên d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là  đường thẳng d không chứa M. u n AM ,u là một vectơ pháp tuyến của Dạng 5: Cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp với đường thẳng d. tuyến của . Dạng 6: Cho mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng - Xác định các vtcp a;b của d1;d2 . cắt nhau d ;d . 1 2 - vtpt của là n a,b . - Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng trên từ đó viết phương trình mặt phẳng Dạng 7: Cho mặt phẳng chứa d1 và song song - Xác định các vtcp a;b của d1;d2 . với d (hai đường thẳng này chéo nhau). 2 - vtpt của là n a,b . - Lấy một điểm M d1 (Vì d2 không nằm trong ). Dạng 8: Cho mặt phẳng song song với hai - Xác định các vtcp a;b của d1;d2 . đường thẳng d ;d chéo nhau và đi qua điểm M. 1 2 - vtpt của là n a,b . - Viết phương trình đi qua M và có vtpt n .  Dạng 9: Cho mặt phẳng song song với hai - Xác định vtcp u của d và vtpt n của  . đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng  .  - Một vtpt của là n u,n .  - Lấy M d và viết phương trình mặt phẳng .   Dạng 10: Cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc - Xác định ctpt của  và  lần lượt là n ;n . với hai mặt phẳng cắt nhau  ;  .   - Một vtpt của là n n ;n .  
Dạng 11: Cho mặt phẳng đi qua đường thẳng d - Giả sử có phương trình cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k. ax by cz d 0, a2 b2 c2 0 . - Lấy hai điểm A; B d A; B ta được hai phương trình (1);(2). - Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3). - Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.  Dạng 12: Cho mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Vtpt của : n IA. S I; R tại điểm A.
III. Phương trình đường thẳng 1. Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ;z0 và có vectơ chỉ phương u a;b;c (do u 0 nên a2 b2 c2 0 ), Khi đó phương trình tham x x0 at số của đường thẳng có dạng y y0 bt với t là tham số. z z0 ct x x y y z z Khi abc 0 , khử t từ hệ ta được : 0 0 0 a b c Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 đi qua M1 có vectơ chỉ phương u1 và  đường thẳng 2 đi qua M 2 có vectơ chỉ phương u2 .    1. 1  2 khi và chỉ khi ba vectơ u1;u2 ;M1M 2 đôi một cùng phương, tức là     u ,u u , M M =0 (hình 7.7). 1 2 1 1 2    2. 1 // 2 khi và chỉ khi u1 //u2 nhưng không cùng phương với M1M 2 , tức là   u ,u 0 1 2   (hình 7.8) u , M M 0 1 1 2   3. 1 và 2 cắt nhau khi và chỉ khi u1 không cùng phương với u2 , đồng thời   u ,u 0    1 2 ba vectơ u1,u2 và M1M 2 đồng phẳng, tức là    (hình 7.9) u ,u .M M 0 1 2 1 2    4. 1 và 2 chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ u1,u2 và M1M 2 không đồng    phẳng, tức là u ,u .M M 0 (hình 7.10) 1 2 1 2 Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai x0 ta1 x0 ' t 'a1 ' ẩn như sau: y0 ta2 y0 ' t 'a2 (1) z0 ta3 z0 ' t 'a3 ' 1. Hai đường thẳng d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có đúng một nghiệm. 2. Hai đường thẳng d và d ' chéo nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô   nghiệm và u1 không cùng phương với u2 . 3. Hai đường thẳng d và d ' song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và   u1 cùng phương với u2 . 4. Hai đường thẳng d và d ' trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm.
3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng Trong không gian cho điểm M và đường thẳng đi qua điểm N, với vectơ chỉ phương u . Khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến (hình 7.11)  Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho NP u . Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ  STUDY TIP 2S u.NM M của tam giác MNP. Vì MH MNP nên d M ; Khoảng cách giữa điểm NP u M đến đường thẳng trong không gian được Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng , ta có thể xác định tọa độ tính bằng công thức hình chiếu H của M trên rồi tính độ dài MH.  Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường thẳng u, NM d M ; về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H. u Dựa vào dữ kiện MH  ta sẽ tìm được tọa độ điểm H. Trong đó N là một điểm Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A 1;2;1 đến đường thẳng d : thuộc x y 1 z 3. 3 4 Lời giải Cách 1: Lấy điểm B 0;1; 3 trên d . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường  u; BA STUDY TIP thẳng d được tính bằng công thức: d A; d . Cả hai cách làm đều khá u là nhanh, tùy theo lựa   Ta có BA 1;1;4 . Khi đó u; BA 15; 11; 1 chọn của độc giả mà áp dụng, tuy nhiên để nhớ 2 2 152 11 1 347 công thức nhanh, cần d A; d . nắm vững cách để suy 32 42 12 26 luận ra công thức đó. Cách 2: Gọi H là hình chiếu của A lên d . Khi đó H 3t;1 4t; 3 t  AH 3t 1;4t 1;t 4 Mà AH  d , do vậy 11 7 9 93 3t 1 .3 4t 1 .4 t 4 0 t AH ; ; . 26 26 13 26  347 Khi đó AH . 26 b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng. Lấy điểm A thuộc 1 , điểm B thuộc 2 .   Gọi u1;u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và 2 .
    Trên 1 và 2 lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM u1; BN u2 . Khi đó khoảng cách giữa và là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba cạnh MA, STUDY TIP 1 2 AB, BN (hình 7.12). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của hình 1 2    u ,u .AB trong không gian được    1 2 hộp bằng u ,u .AB . Do vậy d ; tính bằng công thức 1 2 1 2   u ,u    1 2 u ,u .AB 1 2 d 1; 2   4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng u ,u 1 2 a. Góc giữa hai đường thẳng trong đó A, B là hai d· ,d Góc giữa hai đường thẳng d1,d2 được kí hiệu là 1 2 , được xác định bởi các điểm lần lượt thuộc 1 trường hợp: và 2 . d· ,d 0. - Nếu d1 cùng phương với d2 thì 1 2 d· ,d - Nếu d1 và d2 cắt nhau tại I thì 1 2 bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo thành. d· ,d a¶,b - Nếu d1 và d2 chéo nhua thì 1 2 trong đó a//d1,b//d2 và a b 1. (Hình 7.13) Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được. Do vậy 0 d· ,d . Do vạy nếu đặt d· ,d thì ta có 1 2 2 1 2   u ,u · 1 2 cos cos d1,d2   u1 . u2 b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng P , kí hiệu là d· , P , xác định bởi: - Nếu d  P thì d· , P 90 . - Nếu d không vuông góc với P thì d· , P bằng góc giữa d và hình chiếu của d trên P (hình 7.14). Ta có 0 d· , P 2 Gọi u,n lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Khi đó nếu đặt d· , P thì u,n sin cos u,n u . n
Dạng toán viết phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.  Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B. - Vtcp của d là u AB - Vì d // nên vtco của cũng là vtcp của d. Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua M x0 ; y0 ; z0 và song song với Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua M x0 ; y0 ; z0 và - Vì d  nên vtpt của P cũng là vtcp của d. vuông góc với mặt phẳng cho trước. Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt - Cách 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp phẳng P ; Q . + Tìm một điểm A trên d bằng cách giải hệ phương P trình Q   + Tìm 1 vtcp của d: u n ,n . P Q - Cách 2: Tìm hai điểm A; B d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Dạng 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm - Vì d  d1;d  d2 nên một vtcp của d là M x ; y ; z và vuông góc với 2 đường thẳng d ;d .   0 0 0 1 2 u u ,u . d1 d2 Dạng 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm - Gọi H là hình chiếu của M trên d1. M x ; y ; z , vuông góc và cắt đường thẳng d . 0 0 0 1 Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H. Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm - Cách 1: Gọi M1 d1;M 2 d2. Từ điều kiện M x ; y ; z và cắt 2 đường thẳng d ;d . 0 0 0 1 2 M ;M1;M 2 thẳng hàng ta tìm được M1;M 2 phương trình d. - Cách 2: Gọi P M ,d1 ; Q M ;d2 . Khi đó    d P  Q . Do đó u n ,n . d P Q Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng A d1  P ; B d2  P d đi qua A;B. P và cắt hai đường thẳng d1;d2. Dạng 9: Cho đường thẳng d // và cắt hai đường Viết phương trình mặt phẳng P chứa và d1 , mặt thẳng d1;d2. (Biết luôn cắt d1;d2 ) phẳng Q chứa và d2 . Khi đó d P  Q . Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông Cách 1: Gọi M1 d1;M 2 d2 . Từ điều kiện góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1;d2. M1M 2  d1 ta tìm được M1;M 2. Khi đó d là đường M1M 2  d2 thẳng M1M 2. Cách 2: - Vì d  d1;d  d2 nên có một vtcp là   u u ,u . d1 d2
- Lập phương trình mặt phẳng P chứa d và d1 : + Lấy một điểm A trên d1 .   +Một vtcp của P là n u,u . P d1 - Lập phương trình mặt phẳng Q và chứa d2. - Khi đó d P  Q . Dạng 11: Cho đường thẳng d là hình chiếu của đường - Lập phương trình mặt phẳng Q chứa và thẳng lên mặt phẳng P . vuông góc với P . + Lấy M . + Vì Q chứa và vuông góc với P nên    n u ,u . Q P - Khi đó d P  Q . Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông góc - Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2 . Từ điều với d1 và cắt d2 . kiện MN  d1 , ta tìm được N. Khi đó d là đường thẳng MN. - Cách 2: + Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và vuông góc với d1 + Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M và d2 . Khi đó d P  Q .
Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian 1. Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm cố định Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng chứa B và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng . Khi đó tam giác ABH vuông tại H và d A; AH AB. Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B, khi đó là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB. Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất. 2. Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A. Tìm vị trí của mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng . Ta thấy d A; AH AK (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên). Vậy d A; lớn nhất khi và chỉ khi H  K , hay vị trí mặt phẳng cần tìm là chứa và vuông góc với AK.    Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến n u , MA ,u trong đó M . Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng x 1 2t d : y t t ¡ và cách A 1;2;5 một khoảng lớn nhất là z 2 t A. 10;17;37 B. 9; 14;4 C. 10; 17;37 D. 9;14;4 Đáp án A. Lời giải   Ta có ud 2;1; 1 , M 1;0; 2 MA 0;2;7 . Vậy áp dụng công thức vừa    chứng minh ta có n u , MA ,u 10;17;37 . d d Bài tập áp dụng x 1 y z 2 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : cách 2 1 1 M 2;1;1 một khoảng lớn nhất. A. : x y 3z 5 0 B. : 4x 7y z 0 C. : 6x 6y 18z 5 0 D. : 4x 7y z 0
2. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng Q : 2x y z 1 0 và cách điểm M 1;0;1 một khoảng lớn nhất. A. x 2y z 0 B. y z 0 C. x y z 0 D. x y z 0 Đáp án: 1.A; 2.B Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng 1, 2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 và tạo với một góc lớn nhất. Lời giải Vẽ một đường thẳng bất kì 3 song song với 2 và cắt 1 tại K. Gọi A là điểm cố định trên 3 và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng . Ta có góc giữa 2 và · chính là góc AKH. kẻ AT  1 T 1 . HK KT Khi đó HKT vuông tại T, nên: cos ·AKH (không đổi). AK AK Vậy góc ·AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK KT hay H  T . · · Góc lớn nhất đó chính bằng góc AKH 1, 2 Khi đó mặt phẳng cần tìm chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng 1, 3 hay   nó có một vectơ chỉ phương là u ,u . 1 2     Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n u , u ,u 1 1 2 x 1 y 1 z 2 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng P chứa d : và tạo với 2 1 2 x 1 y z 1 đường thẳng d ': một góc lớn nhất. 1 2 1 A. x 4y z 7 0 B. x 4y z 7 0 C. 2x 5y 10 0 D. 2x 5y 10 0 Đáp án A. Lời giải    Ta có n u ,u u 3; 12;3 . d d ' d 3. Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định trong mặt phẳng cố định Bài toán 4*: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , điểm B khác A. Tìm đường thẳng nằm trong đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên . Ta thấy d B; BH AB. Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H  A.
   Khi đó là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là u n ; AB . Gọi T là hình chiếu của B trên . Ta thấy BH BT. Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H  A hay đường thẳng đi qua A và T. Để viết phương trình đường thẳng ta có 2 cách: - Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua A và T.     - Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng :u n , n , AB . Bài toán 5*: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , đường thẳng d không song song với , khồn nằm trên , không đi qua A. Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách giữa và đường thẳng d là lớn nhất. Lời giải Gọi d ' là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn d '; . Khoảng cách giữa d và bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d '. Ta thấy BH BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H  C.    Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương u n , BC .
Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 2 y z Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt cầu hai điểm A 1;2;1 , B 3;0; 1 và mặt phẳng 2 1 4 S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 2 . Hai mặt phẳng P : x y z 1 0. Gọi M và N lần lượt là hình P và Q chứa d và tiếp xúc với S . Gọi M và chiếu của A và B trên P . Độ dài đoạn thẳng MN là N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là 4 2 2 4 A. 2 3 B. C. D. 4 A. 2 2 B. C. 6 D. 4 3 3 3 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Câu 8: Cho hai điểm A 3;3;1 , B 0;2;1 và mặt điểm A 1;2;1 và mặt phẳng phẳng P : x y z 7 0. Đường thẳng d nằm P : x 2y 2z 1 0. trên P sao cho mọi điểm của d và cách đều hai Gọi B là điểm đối xứng với A qua P . Độ dài điểm A,B có phương trình là đoạn thẳng AB là x t x t 4 2 A. y 7 3t t B. y 7 3t t A. 2B. C. D. 4 ¡ ¡ 3 3 z 2t z 2t Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x t x 2t a 1;2;1 , b 2;3;4 , c 0;1;2 và   C. y 7 3t t ¡ D. y 7 3t t ¡ d 4;2;0 . Biết d xa yb zc . Tổng x y z z 2t z t là Câu 9: Cho bốn điểm A a; 1;6 , B 3; 1; 4 , A. 2B. 3C. 5D. 4 C 5; 1;0 , D 1;2;1 và thể tích của tứ diện ABCD Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm x 1 y 2 z bằng 30. Giá trị của a là: A 1;2;1 và đường thẳng d : . 1 1 1 A. 1B. 2 Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d C. 2 hoặc 32D. 32 là Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. x y z 1 0 B. x y z 1 0 mặt phẳng P : x 2y z 5 0 . Điểm nào dưới C. x y z 0 D. x y z 2 0 đây thuộc P ? Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai A. Q 2; 1; 5 B. P 0;0; 5 mặt phẳng P : 2x y z 1 0 và Q : x 2y z 5 0 . Khi đó giao tuyến của P C. N 5;0;0 D. M 1;1;6 và Q có một vectơ chỉ phương là x 2 1 Câu 11: Cho hai đường thẳng d1 : y 1 t t ¡ A. u 1;3;5 B. u 1;3; 5 z 2t C. u 2;1; 1 D. u 1; 2;1 x 2 2t Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và d1 : y 3 t ¡ . Mặt phẳng cách đều hai điểm M 1;2;1 . Mặt phẳng P thay đổi đi qua M z t lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Giá đường thẳng d1 và d2 có phương trình là trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là A. x 5y 2z 12 0 A. 54B. 6C. 9D. 18 B. x 5y 2z 12 0 C. x 5y 2z 12 0
D. x 5y 2z 12 0 x 4 t x 1 y 1 z 2 C. y 3 2t t ¡ D. Đáp số khác Câu 12: Cho đường thẳng d : . 2 1 1 z 7 3t Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oxy là Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 0 x 1 2t hai điểm A 2; 3; 1 ; B 4; 1;2 . Phương trình mặt A. y 1 t t ¡ B. y 1 t t ¡ phẳng trung trực của AB là z 0 z 0 A. 4x 4y 6z 7 0 x 1 2t x 1 2t B. 2x 3y 3z 5 0 C. y 1 t t ¡ D. y 1 t t ¡ C. 4x 4y 6z 23 0 z 0 z 0 D. 2x 3y z 9 0 Câu 13: Cho A 2;1; 1 , B 3;0;1 ,C 2; 1;3 , điểm Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho D nằm trên trục Oy và thể tích của tứ diện ABCD hai mặt phẳng :3x y mz 3 0 và bằng 5. Tọa độ của D là  : 2x ny 2z 2 0. Giá trị của m và n để hai A. 0; 7;0 mặt phẳng và  song song với nhau là B. 0; 7;0 hoặc 0;8;0 2 A. m 3;n 3 C. 0;8;0 B. Không có giá trị của m và n D. 0;7;0 hoặc 0;8;0 2 C. m 3;n Câu 14: Cho A 5;1;3 , B 5;1; 1 , C 1; 3;0 , 3 2 D 3; 6;2 . Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua D. m 3;n 3 mặt phẳng BCD là Câu 19: Cho điểm M 1;0;0 và đường thẳng A. 1;7;5 B. 1;7;5 x 1 y z d : . Gọi M ' a;b;c là điểm đối xứng C. 1; 7; 5 D. 1; 7;5 1 2 1 với M qua d. Giá trị của a b c là Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. 1 B. 2 C. 1 D. 3 điểm M 2;6; 3 và ba mặt phẳng P : x 2 0; Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Q : y 6 0; R : z 3 0. Trong các mệnh đề mặt phẳng P : 2x y z 2 0 và sau, mệnh đều sai là Q : x y 2z 1 0 . Góc giữa P và Q là A. P đi qua MB. Q // Oxz A. 45 B. 90 C. 30 D. 60 C. R //Oz D. P  Q Câu 21: Cho điểm M 3;2;4 , gọi A, B, C lần lượt Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các d là đường thẳng qua M 1;2;3 và vuông góc với mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt Q : 4x 3y 7z 1 0 . Phương trình tham số của phẳng ABC . d là A. 6x 4y 3z 12 0 x 1 4t x 1 4t B. 3x 6y 4z 12 0 A. y 2 3t t ¡ B. y 2 3t t ¡ C. 4x 6y 3z 12 0 z 3 7t z 3 7t D. 4x 6y 3z 12 0
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 4; 2;4 và đường thẳng hai điểm A 3;5; 5 , B 5; 3;7 và mặt phẳng x 3 y 1 z 1 d : . Viết phương trình đường P : x y z 0 . Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết 2 1 4 rằng điểm M thuộc P sao cho MA2 MB2 đạt giá thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. trị nhỏ nhất? x 4 y 2 z 4 A. OM 3 B. OM 1 A. : 4 4 1 C. OM 0 D. OM 10 x 4 y 2 z 4 B. : Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết 1 2 1 phương trình mặt phẳng đi qua điểm x 4 y 2 z 4 C. : H 3; 4;1 và cắt các trục tọa độ tại các điểm M, N, 2 2 1 P sao cho H là trực tâm của tam giác MNP. x 4 y 2 z 4 D. : 3 2 1 A. 3x 4y z 26 0 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho B. 2x y z 1 0 ba điểm A 1;0;0 , B 0;3;0 và C 0;0; 4 . Phương C. 4x 3y z 1 0 trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng D. x 2y z 6 0 ABC ? Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x y z x y z A. 1 B. 1 ba vectơ a 5;7;2 ,b 3;0;4 ,c 6;1; 1 . Tìm tọa 3 1 4 1 4 3  độ của vectơ m 3a 2b c . x y z x y z C. 1 D. 1   1 3 4 4 3 1 A. m 3;22; 3 B. m 3;22; 3   Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết C. m 3;22;3 D. m 3; 22;3 phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm Câu 29: Cho điểm M 3;2;1 . Mặt phẳng P đi A 2;1;1 .B 3;2;2 và vuông góc với mặt phẳng qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox. Oy, Oz tại A, B, C x 2y 5z 3 0 . sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình A. P : 7x 6y z 7 0 mặt phẳng P là x y z B. P : 7x 6y z 7 0 A. 0 B. x y z 6 0 3 2 1 C. P : x 3y z 2 0 x y z C. 3x 2y z 14 0 D. 1 D. P : x 3y z 5 0 3 2 1 Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c với a, b, c dương. ba điểm A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với a, b, c là Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho những số dương thay đổi sao cho a b c 2 . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì qũy a2 4b2 16c2 49 . Tính tổng F a2 b2 c2 sao tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC là lớn phẳng P cố định. Tính khoảng cách từ nhất. M 2016;0;0 tới mặt phẳng P . 49 49 A. F B. F 2014 2016 2015 4 5 A. 2017B. C. D. 51 51 3 3 3 C. F D. F 4 5
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x 1 t x 1 3t x 1 2t A. y 2 t t ¡ B. y 2 t t ¡ cho đường thẳng d : y t t ¡ và mặt z 3 z 3 t z 2 3t x 1 t x 1 phẳng P : 2x y z 2 0 . Giao điểm M của d và C. y 1 2t t ¡ D. y 2 t t ¡ P có tọa độ là z 3t z 3 t A. M 3;1; 5 B. M 2;1; 7 Câu 36: Viết phương trình mặt phẳng Q chứa x 2 y 3 z 4 C. M 4;3;5 D. M 1;0;0 đường thẳng d : và vuông góc 2 3 1 Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, với mặt phẳng Oyz. gọi là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. A. x y 2z 4 0 B. y 3z 15 0 Phương trình của là C. x 4y 7 0 D. 3x y z 2 0 x y z A. 0 Câu 37: Cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và 4 2 6 x 1 y 1 z x y z đường thẳng d : . Phương trình B. 1 3 1 1 2 1 3 đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , cắt C. 3x 6y 2z 12 0 đường thẳng d và vuông góc với u 1;2;3 là D. 3x 6y 2z 1 0 x 1 y 1 z 1 Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. 1 2 1 cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và ba điểm x 8 y 2 z 3 B. A 0;1;2 , B 1;1;1 , C 2; 2;3 . Tọa độ điểm M 1 2 1    thuộc P sao cho MA MB MC nhỏ nhất là x y 2 z 3 C. 1 2 1 A. 4; 2; 4 B. 1;2;0 x 8 y 2 z 3 D. C. 3; 2; 8 D. 1;2; 2 1 2 1 Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Câu 38: Cho mặt phẳng P đi qua các điểm x 2 t A 2;0;0 , B 0;3;0 ,C 0;0; 3 . Mặt phẳng P cho đường thẳng d : y 1 mt t ¡ và mặt cầu vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng z 2t sau: S : x2 y2 z2 2x 6y 4z 13 0 . Có bao A. x y z 1 0 B. 2x 2y z 1 0 nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt S tại hai điểm C. x 2y z 3 0 D. 2x 3y z 1 0 phân biệt? Câu 39: Cho tam giác ABC có A 1;2;3 , A. 5B. 3C. 2D. 1 B 3;0;1 ,C 1; y; z . Trọng tâm của tam giác Câu 35: Viết phương trình đường thẳng d qua ABC thuộc trục Ox khi cặp y; z là M 1; 2;3 và vuông góc với hai đường thẳng A. 1;2 B. 2;4 x 1 t x y 1 z 1 d1 : ,d2 : y 2 t t ¡ . C. 1; 2 D. 2; 4 1 1 3 z 1 3t Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
phẳng đi qua điểm M 3; 1;1 và vuông góc với với hai mặt phẳng Q : 2x y 3z 1 0 ; x 1 y 2 z 3 đường thăng : ? R : x 2 y z 0 . Phương trình mặt phẳng P là 3 2 1 A. 7x y 5z 0 B. 7x y 5z 0 A. 3x 2y z 12 0 C. 7x y 5z 0 D. 7x y 5z 0 B. 3x 2y z 8 0 Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho C. 3x 2y z 12 0 hai điểm A 1;1;2 , B 3; 1;1 và mặt phẳng D. x 2y 3z 3 0 P : x 2y z 1 0 . Mặt phẳng Q chứa A,B và Câu 41: Cho ABC có 3 đỉnh A m;0;0 , vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là 35 B 2;1;2 ,C 0;2;1 . Để S thì A. 4x 3y 2z 0 ABC 2 B. 2x 2y z 4 0 A. m 1 B. m 2 C. m 3 `D. m 4 C. 4x 3y 2z 11 0 Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a 1;m;2 ;b m 1;2;2 ;c 0;m 2;2 . D. 4x 3y 2z 11 0 Giá trị của m để a,b,c đồng phẳng là Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 1;1 , B 0;1; 2 và điểm M thay đổi 2 2 1 A. B. C. D. 1 5 5 5 trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Giá trị lớn nhất của Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho biểu thức T MA MB là mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia A. 6 B. 12 C. 14 D. 8 Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhát là Câu 49: Cho ba điểm A 1;6;2 , B 5;1;3 , 81 243 81 C 4;0;6 , khi đó phương trình mặt phẳng ABC A. B. C. 243D. 6 2 2 là: Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A. 14x 13y 9z 110 0 ba mặt phẳng P : x y 2z 1 0 , B. 14x 13y 9z 110 0 Q : x y z 2 0 , R : x y 5 0. Trong các C. 14x 13y 9z 110 0 mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? D. 14x 13y 9z 110 0 A. Q  R B. P  Q Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí C. P // R D. P  R tương đối của hai đường thẳng Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho x 1 2t x 7 3m d : y 2 3t t và d y 2 2m m mặt phẳng P , cắt trục tọa độ tại M 8;0;0 , 1 ¡ 2 ¡ z 5 4t z 1 2m N 0;2;0 , P 0;0;4 . Phương trình mặt phẳng P là: là: A. Chéo nhauB. Cắt nhau A. x 4y 2z 8 0 B. x 4y 2z 8 0 C. Song songD. Trùng nhau x y z x y z C. 1 D. 0 Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 1 2 8 2 4 ba điểm A 2;1;0 , B 3;0;4 ,C 0;7;3 . Khi đó Câu 46: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho   mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ O và vuông góc cos AB, BC bằng 14 118 7 118 A. B. 354 177
798 798 Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho C. D. x 2 y 2 z 57 57 đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 1 Câu 52: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ P : x 2y 3z 4 0 . Đường thẳng d nằm trong diện ABCD có A 2;3;1 , B 4;1; 2 ,C 6;3;7 , mặt phẳng P sao cho d cắt và vuông góc với có D 5; 4;8 . Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện phương trình là là x 3 y 1 z 1 45 5 4 3 A. A. 11B. C. D. 1 1 2 7 5 3 x 1 y 3 z 1 B. Câu 53: Cho điểm M 1;2; 1 . Viết phương trình 1 2 1 mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O 0;0;0 và cách x 3 y 1 z 1 C. M một khoảng lớn nhất. 1 1 2 x y z x 3 y 1 z 1 A. x 2y z 0 B. 1 D. 1 2 1 1 2 1 C. x y z 0 D. x y z 2 0 Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 1 y z 1 Câu 54: Tìm điểm M trên đường thẳng đường thẳng có phương trình và 2 2 1 x 1 t mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Viết phương d : y 1 t t ¡ sao cho AM 6 , với trình mặt phẳng Q chứa và tạo với P một góc z 2t nhỏ nhất. A 0;2; 2 . A. 2x y 2z 1 0 A. M 1;1;0 hoặc M 2;1; 1 B. 10x 7y 13z 3 0 B. M 1;1;0 hoặc M 1;3; 4 C. 2x y z 0 C. M 1;3; 4 hoặc M 2;1; 1 D. x 6y 4z 5 0 D. Không có điểm M nào thỏa mãn. Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x y 1 z 1 góc giữa hai đường thẳng d1 : và hai điểm A 1;2; 1 , B 0;4;0 và mặt phẳng P có 1 1 2 x 1 y z 3 phương trình 2x y 2z 2015 0 . Gọi là góc d2 : . 1 1 1 nhỏ nhất mà mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B tạo A. 45 B. 30 C. 60 D. 90 với mặt phẳng P . Giá trị của cos là Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết 1 1 2 1 phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng A. B. C. D. 9 6 3 3 x 1 y z 1 d : và vuông góc với mặt phẳng Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 1 3 x 1 y z 1 Q : 2x y z 0 . đường thẳng d : và điểm 2 1 1 A. x 2y z 0 B. x 2y 1 0 A 2;0; 1 . Mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông C. x 2y 1 0 D. x 2y z 0 góc với đường thẳng d có phương trình là Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. 2x y z 5 0 B. 2x y z 5 0 đường thẳng d có phương trình C. 2x y z 5 0 D. 2x y z 5 0
x 1 y 2 z 3 1 2 4 8 . Điểm nào sau đây không thuộc A. B. C. D. 3 2 4 3 3 3 3 đường thẳng d ? Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách đều A. N 4;0; 1 B. M 1; 2;3 2 đường thẳng C. P 7;2;1 D. Q 2; 4;7 x 2 y z x y 1 z 2 d : và d : . Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết 1 1 1 1 2 2 1 1 phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A 1;2;0 A. P : 2x 2z 1 0 x 1 y z 1 và vuông góc với đường thẳng d : . B. P : 2y 2z 1 0 2 1 1 A. x 2y 5 0 B. 2x y z 4 0 C. P : 2x 2y 1 0 C. 2x y z 4 0 D. 2x y z 4 0 D. P : 2y 2z 1 0 Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phẳng chứa 2 điểm A 1;0;1 và B 1;2;2 và song hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có A 1;2; 1 , song với trục Ox có phương trình là B' 2; 1;3 ,C 3; 4;1 và D ' 0;3;5 . Giả sử tọa độ A. x y z 0 B. 2y z 1 0 D x; y; z thì giá trị của x 2y 3z là kết quả nào C. y 2z 2 0 D. x 2z 3 0 dưới đây? Câu 64: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A. 1B. 0C. 2D. 3 y 2 z 4 đường thẳng d : x 1 và mặt phẳng Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 3 mặt phẳng P : 2x 2y z 3 0 và đường thẳng P : x 4y 9z 9 0 . Giao điểm I của d và P x 1 y 3 z là d : . Gọi A là giao điểm của d 1 2 2 A. I 2;4; 1 B. I 1;2;0 và P ; gọi M là điểm thuộc d thỏa mãn điều kiện C. I 1;0;0 D. I 0;0;1 MA 2 . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng P . Câu 65: Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt 4 8 8 2 A. B. C. D. phẳng đi qua điểm A 1;3; 2 và song song với mặt 9 3 9 9 phẳng P : 2x y 3z 4 0 là Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 2 y 2 z 1 A. 2x y 3z 7 0 hai đường thẳng d : và 3 1 2 B. 2x y 3z 7 0 x y 2 z 2 d ': . Mệnh đề nao sau đây là C. 2x y 3z 7 0 6 2 4 đúng? D. 2x y 3z 7 0 A. d //d ' B. d  d ' Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho C. d và d ' cắt nhau D. d và d ' chéo nhau A 2;0;0 ; B 0;3;1 ;C 3;6;4 . Gọi M là điểm nằm Câu 72: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các trên đoạn BC sao cho MC 2MB . Độ dài đoạn AM điểm A 1;2;4 , B 1;1;4 ,C 0;0;4 . Tìm số đo là: của ·ABC . A. 2 7 B. 29 C. 3 3 D. 30 A. 135 B. 45 C. 60 D. 120 Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A 1;2;1 , B 0;0; 2 ,C 1;0;1 , Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 2; 3;1 và đường thẳng D 2;1; 1 . Tính thể tích tứ diện ABCD.
x 1 y 2 z 1 1 : . A. m B. m C. m 1 D. m 2 2 1 2 2 3 Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua . Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. M ' 3; 3;0 B. M ' 1; 3;2 hai điểm A 1;1;0 và B 3;1; 2 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua trung điểm I của cạnh C. M ' 0; 3;3 D. M ' 1; 2;0 AB và vuông góc với đường thẳng AB. Câu 74: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt A. x 2z 3 0 B. 2x z 1 0 cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 4z 16 0 và C. 2y z 3 0 D. 2x z 3 0 x 1 y 3 z đường thẳng d : . Mặt phẳng nào 1 2 2 Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt điểm A 1; 1;3 và hai đường thẳng: cầu S . x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 d1 : ,d2 : A. P : 2x 2y z 8 0 1 4 2 1 1 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, B. P : 2x 11y 10z 105 0 vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng C. P : 2x 11y 10z 35 0 d2. x 1 y 1 z 3 D. P : 2x 2y z 11 0 A. d : 4 1 4 Câu 75: Trogn không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x 1 y 1 z 3 cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1;2; 3 và đường B. d : 2 1 3 x 1 y 5 z thẳng d : . Tìm vectơ chỉ phương x 1 y 1 z 3 1 2 1 C. d : , 2 1 1 u của đường thẳng đi qua M, vuông góc với x 1 y 1 z 3 đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé D. d : 2 2 3 nhất. Câu 81: Cho tọa độ các điểm A 2;2;3 , B 1;3;3 , A. u 2;1;6 B. u 1;0;2 C 1;2;4 . Chọn phát biểu đúng? C. u 3;4; 4 D. u 2;2; 1 A. Tam giác ABC là tam giác đều Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho B. Tam giác ABC là tam giác vuông x 3 y 1 z 1 đường thẳng d : . Viết phương C. Các điểm A, B, C thẳng hàng 2 1 1 trình mặt phẳng qua điểm A 3;1;0 và chứa đường D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho thẳng d . x y 1 z 2 đường thẳng d : và mặt phẳng A. x 2y 4z 1 0 B. x 2y 4z 1 0 1 2 3 C. x 2y 4z 1 0 D. x 2y 4z 1 0 P : x 2y 2z 3 0 . Tìm tọa độ điểm M có các Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến P đường thẳng có phương trình: bằng 2. x 4 y 1 z 2 d : A. M 2; 3; 1 B. M 1; 3; 5 2 1 1 C. M 2; 5; 8 D. M 1; 5; 7 Xét mặt phẳng P : x 3y 2mz 4 0 , với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho song với mặt phẳng P . ba điểm A 1;3;5 ,B 2;0;1 ,C 0;9;0 . Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.
A. G 3;12;6 B. G 1;5;2 S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 x y 1 C. G 1;0;5 D. G 1;4;2 đường thẳng : z . Mặt phẳng P 2 2 Câu 84: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng vuông góc với và tiếp xúc với S có phương x y z 1 : và điểm M 0;3; 2 . Phương trình 1 1 4 trình là của mặt phẳng P đi qua M và là A. 2x 2y z 2 0 và 2x 2y z 16 0 A. 5x y z 1 0 B. 5x y z 1 0 B. 2x 2y 3 8 6 0 và C. 5x y z 1 0 D. 5x y z 1 0 2x 2y 3 8 6 0 Câu 85: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng C. 2x 2y 3 8 6 0 và x y z 1 : và điểm M 0;3; 2 . Phương trình 1 1 4 2x 2y 3 8 6 0 của mặt phẳng Q đi qua M , song song với và D. 2x 2y z 2 0 và 2x 2y z 16 0 cách một khoảng bằng 3 là Câu 90: Trong không gian Oxyz, cho A 4; 2;3 , A. 4x 8y z 26 0 x 2 3t B. 4x 8y z 26 0 y 4 t ¡ , đường thẳng d đ qua A cắt và C. 2x 2y z 8 0 z 1 t D. 2x 2y z 8 0 vuông góc có vectơ chỉ phương là Câu 86: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz A. 2; 15;6 B. 3;0; 1 cho các điểm A 0;1;0 , B 2;2;2 và đường thẳng C. 2;15; 6 C. 3;0; 1 x 1 y 2 z 3 d : . Tìm tọa độ điểm N d Câu 91: Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng 2 1 2 P : x y 4z 2 0 và Q : 2x 2z 7 0 . Góc sao cho diện tích tam giác ABN nhỏ nhất. P Q A. 1;0; 4 B. 3; 1;4 giữa 2 mặt phẳng và là A. 60 B. 45 C. 30 D. 90 C. 1;0;4 D. 3;0;1 Câu 92: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm Câu 87: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A 1;2;0 , B 2;3;1 , đường thẳng cho tam giác BCD có B 1;0;3 ,C 2; 2;0 , x 1 y z 2 : . Tọa độ điểm M trên sao cho D 3;2;1 . Tính diện tích tam giác BCD. 3 2 1 MA MB là 23 A. 26 B. 62 C. D. 2 61 4 15 19 43 15 19 43 A. ; ; B. ; ; 4 6 12 4 6 12 Câu 88: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm M 1;0;2 , N 3; 4;1 , P 2;5;3 . Phương trình C. 45;28;43 D. 45; 28; 43 mặt phẳng MNP là Câu 93: Đường thẳng d đi qua H 3; 1;0 và vuông A. x 3y 16z 33 0 góc với Oxz có phương trình là B. x 3y 16z 31 0 x 3 x 3 C. x 3y 16z 33 0 A. y 1 t ¡ B. y 1 t t ¡ D. x 3y 16z 31 0 z t z 0 Câu 89: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
x 3 t x 3 Câu 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm N thuộc trục Oz sao cho khoảng cách từ C. y 1 t ¡ D. y 1 t t ¡ N đến M 2;3;4 bằng khoảng cách từ N đến mặt z 0 z t phẳng P : 2 x 3y z 17 0 ? Câu 94: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;1;0 , B 2;3;0 . Tìm tọa độ của điểm M A. N 0;0;3 B. N 0;0;4 thuộc trục Oy sao cho MA MB nhỏ nhất. C. N 2;3;0 D. không tồn tại điểm N A. M 0;2;0 B. M 0; 1;0 Câu 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 5 điểm A 1; 2;3 và hai mặt phẳng C. M 0; ;0 D. M 0;1;0 3 P : x y z 1 0; Q : x y z 2 0 . Phương Câu 95: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi A 1;2;1 ,B 1;1;0 ,C 1;0;2 . Tìm tọa độ điểm D để qua A, song song với P và Q ? ABCD là hình bình hành. x 1 t x 1 A. 1;1;1 B. 1; 1;1 A. y 2 t ¡ B. y 2 t ¡ C. 1;1;3 D. 1; 2; 3 z 3 t z 3 2t Câu 96: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm x 1 2t x 1 t A 1;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;3 . C. y 2 t ¡ D. y 2 t ¡ A. 6x 3y 2z 6 0 z 3 2t z 3 t B. x y z 2 0 Câu 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, C. x 2y 3z 16 0 cho hai điểm A 3;3;2 và B 5;1;4 . Tìm tọa độ trung bình I của đoạn thẳng AB. D. x y 2z 0 7 5 Câu 97: Nếu mặt phẳng P : x 2y mz 5 0 A. I ;3; B. I 4;2;3 2 2 song song với mặt phẳng Q : 2x ny 3z 3 0 3 1 5 C. I 2; ; 1 D. I 1; : thì các giá trị của m và n là 2 2 2 3 3 A. m ;n 4 B. m ;n 4 Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 x t 3 3 C. m ;n 4 D. m 4;n đường thẳng d : y 2 t t ¡ . Vectơ nào dưới 2 2 z 4 t Câu 98: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi đây là vectơ chỉ phương của d? qua điểm M 2;1;3 và vuông góc với mặt phẳng   A. ud 0;2;4 B. ud 2; 1;0 P : x 2y 2z 1 0 là   C. u 1; 1;1 D. u 2;3;5 x 2 y 1 z 3 d d A. 1 2 2 Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 2 y 1 z 3 ba điểm A 4;2;5 , B 3;1;3 ,C 2;6;1 . Phương B. 1 2 2 trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng x 1 y 2 z 2 ABC ? C. 2 1 3 A. 2x z 3 0 B. 2x y z 3 0 x 1 y 2 z 2 D. C. 4x y 5z 13 0 D. 9x y z 16 0 2 1 3
Câu 104: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 1 t x 1 3t điểm A 2;2;1 và đường thẳng C. y 1 3t t ¡ D. y 3t t ¡ x y 1 z 2 z 1 t z 1 t d : . Phương trình đường thẳng d đi 1 2 1 2 Câu 107: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 là Q : x 2y z 0 và cách D 1;0;3 một khoảng x 2 y 2 z 1 A. d : 1 3 5 bằng 6 thì P có phương trình là: x 1 y z 2 B. d : x 2y z 2 0 2 3 4 A. x 2y z 2 0 x 2 t x 2y z 10 0 C. d : y 2 t ¡ B. x 2y z 2 0 z 1 t x 2y z 2 0 x 2 y 2 z 1 C. D. d : x 2y z 10 0 1 2 3 x 2y z 2 0 Câu 105: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho D. x y 1 z 2 x 2y z 10 0 đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 1 Câu 108: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho P : x 2y 2z 4 0 . Phương trình đường thẳng hai điểm A 2;4;1 ; B 1;1;3 và mặt phẳng d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với P : x 3y 2z 5 0. Viết phương trình mặt đường thẳng là phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc với x 3 t mặt phẳng P . A. d : y 1 2t t ¡ A. 2x 3z 11 0 B. y 2z 1 0 z 1 t C. 2y 3z 11 0 D. 2x 3y 11 0 x 3t Câu 109: Trong không gian Oxyz, cho các điểm B. d : y 2 t t ¡ A 3; 4;0 ; B 0;2;4 ;C 4;2;1 . Tọa độ điểm D z 2 2t trên trục Ox sao cho AD BC là x 2 4t D 0;0;0 D 0;0;2 C. d : y 1 3t t ¡ A. B. D 6;0;0 D 8;0;0 z 4 t D 2;0;0 D 0;0;0 x 1 t C. D. D. d : y 3 3t t ¡ D 6;0;0 D 6;0;0 z 3 2t Câu 110: Trong không gian Oxyz, cho A 0;1;0 , Câu 106: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, B 2;2;2 ,C 2;3;1 và đường thẳng phương trình nào dưới đây là phương trình của x 1 y 2 z 3 đường thẳng đi qua điểmA 2;3;0 và vuông góc với d : . Tìm điểm M thuộc d để thể 2 1 2 mặt phẳng P : x 3y z 5 0? tích tứ diện MABC bằng 3. x 1 3t x 1 t 3 3 1 15 9 11 A. M ; ; ;M ; ; 2 4 2 2 4 2 A. y 3t t ¡ B. y 3t t ¡ z 1 t z 1 t 3 3 1 15 9 11 B. M ; ; ;M ; ; 5 4 2 2 4 2
3 3 1 15 9 11 x 1 t C. M ; ; ;M ; ; 2 4 2 2 4 2 x 2 y 2 z 3 d1 : ; d2 : y 1 2t t ¡ 2 1 1 3 3 1 15 9 11 z 1 t D. M ; ; ;M ; ; 5 4 2 2 4 2 và điểm A 1;2;3 . Đường thẳng đi qua A, vuông Câu 111: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho góc với d1 và cắt d2 có phương trình là A 3;0;1 , B 6; 2;1 . Viết phương trình mặt phẳng x 1 y 2 z 3 P đi qua A, B và P tạo với mặt phẳng Oyz A. 1 3 5 2 x y 1 z 1 góc thỏa mãn cos ? B. 7 2 1 1 2x 3y 6z 12 0 x 1 y 2 z 3 A. C. 2x 3y 6z 0 1 3 5 2x 3y 6z 12 0 x 1 y 2 z 3 B. D. 2x 3y 6z 1 0 1 3 5 Câu 115: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, 2x 3y 6z 12 0 C. x 1 3t 2x 3y 6z 0 cho hai đường thẳng d1 y 2 t t ¡ , 2x 3y 6z 12 0 D. z 2 2x 3y 6z 1 0 x 1 y 2 z d : và mặt phẳng Câu 112: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2 2 1 2 P : 2x y 2z 1 0 và hai điểm A 1; 2;3 ; P : 2x 2y 3z 0 . Phương trình nào dưới đây B 3;2; 1 . Phương trình mặt phẳng Q qua A,B là phương tình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và vuông góc với P là và P , đồng thời vuông góc với đường thẳng d? A. Q : 2x 2y 3z 7 0 A. 2x y 2z 22 0 B. 2x y 2z 13 0 B. Q : 2x 2y 3z 7 0 C. 2x y 2z 13 0 C. Q : 2x 2y 3z 9 0 D. 2x y 2z 22 0 D. Q : x 2y 3z 7 0 Câu 116: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1; 2;1 , B 2;2;1 ,C 1; 2;2 . Đường phân giác điểm M 1;1;3 và hai đường thẳng trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng Oyz tại x 1 y 3 z 1 x 1 y z điểm nào trong các điểm sau đây? : ; : . Phương 3 2 1 1 3 2 4 2 2 4 A. 0; ; B. 0; ; trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi 3 3 3 3 qua M, vuông góc với và ' 2 8 2 8 x 1 t x t C. 0; ; D. 0; ; 3 3 3 3 A. y 1 t t ¡ B. y 1 t t ¡ Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ z 1 3t z 3 t Oxyz, cho A 1;0;2 , B 1;1;1 ,C 2;3;0 . Viết x 1 t x 1 t phương trình mặt phẳng ABC . C. y 1 t t ¡ D. y 1 t t ¡ A. x y z 1 0 B. x y z 1 0 z 3 t z 3 t C. x y 2z 3 0 D. x y z 3 0 Câu 114: Cho hai đường thẳng
Câu 118: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, B. 2x y 2z 12 0 cho A 1;2;0 , B 3; 1;1 ,C 1;1;1 . Tính diện tích S C. x 2y z 1 0 của tam giác ABC. D. x 4y z 3 0 A. S 3 B. S 2 Câu 124: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1 C. S D. S 1 hai điểm A 4;6;2 ; B 2; 2;0 và mặt phẳng 2 P : x y z 0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc Câu 119: Trong không gian với hệ trục tọa độ P và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của Oxyz, cho M 1;2;1 . Viết phương trình mặt phẳng A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một P qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn 1 1 1 đó. C sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. OA2 OB2 OC 2 A. R 6 B. R 2 C. R 1 D. R 3 A. x 2y 3z 8 0 B. x y z 4 0 Câu 125: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x y z C. x 2y z 6 0 D. 1 cho hai điểm A 4;0;1 và B 2;2;3 . Phương trình 1 2 1 nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực Câu 120: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, của đoạn thẳng AB? cho G 1;2;3 . Viết phương trình mặt phẳng P đi A. 3x y z 0 B. 3x y z 6 0 qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân C. 3x y z 1 0 D. 6x 2y 2z 1 0 biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. x y z y z A. 1 B. x 3 3 6 9 2 3 C. x y z 6 0 D. x 2y 3z 14 0 Câu 121: Cho ba điểm A 1;1;0 , B 3; 1;2 , C 1;6;7 . Tìm điểm M Oxz sao cho MA2 MB2 MC 2 nhỏ nhất? A. M 3;0; 1 B. M 1;0;0 C. M 1;0;3 D. M 1;1;3 Câu 122: Cho mặt phẳng :3x 2y z 5 0 và x 1 y 7 z 3 đường thẳng d : . Gọi  là 2 1 4 mặt phẳng chứa d và song song với . Khoảng cách giữa và  là 9 3 9 3 A. B. C. D. 14 14 14 14 Câu 123: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 1 y z 2 đường thẳng d : , điểm A 2;5;3 . 2 1 2 Phương trình mặt phẳng P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn nhất là A. 2x y 2z 10 0
Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án B 1 2.2 2.1 1 2 4 AB 2.d 2. 2. A, P Cách 1: Ta có 12 22 2 2 3 3 Vậy đáp án đúng là B. Câu 3: Đáp án A  d xa yb zc 4;2;0 x 1;2;1 y 2;3;4 z 0;1;2 x 2y 4 x 2 2x 3y z 2 y 1 x y z 2 x 4y 2z 0 z 1 Vậy đáp án đúng là A. 2 2 MN AB d A/ P dB/ P Câu 4: Đáp án C  1 2 1 1 1 Ta có: ud 1; 1;1 . Đường thẳng d vuông góc d A, P   2 2 2 3 1 1 1 với mặt phẳng P nên: nP nd 1; 1;1 . Dó đó P có dạng: P : x y z m 0 . Vì P đi qua 3 0 1 1 3 d B, P 2 2 2 A 1;2;1 nên: 1 2 1 m 0 m 0 . 1 1 1 3 Do đó, đáp án đúng là C. 1 3 2 d d Câu 5: Đáp án A A, P B, P 3 3 3 Cách 1: Giao tuyến của P và Q là nghiệm của 2 2 2 AB 3 1 0 2 1 1 2 3 hệ phương trình: 2 4 4 2 2x y z 1 0 2x y z 1 MN AB2 d d 12 A, P B, P 3 3 x 2y z 5 0 x 2y z 5 Vậy đáp án đúng là B. 2 z 1 z 5 z 7 x Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông 5 5 1 góc với mặt phẳng P . Lúc này M d  P . z 1 2 z 5 3z 9  1 y 5 5 x 1 t 1 x 2 y z 3 d1 : y 2 t1 M 1 t1;2 t1;1 t1 . 1 3 5 z 1 t 1 Do đó, đáp án đúng là A.    Mà M P 1 t1 2 t1 1 t1 1 0 Cách 2: u n ,n 1;3;5 d p Q 1 2 5 4 Câu 6: Đáp án C t1 M ; ; . 3 3 3 3 Giả sử A a;0;0 ; B 0;b;0 ;C 0;0;c . Do cắt các Tương tự ta tìm được N 2; 1;0 . tia nên: a;b;c 0 . Khi đó, phương trình mặt phẳng 4 2 x y z MN . Chọn B. P là : P : 1. P đi qua M 1;2;1 3 a b c 1 2 1 Câu 2: Đáp án B nên: 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b c Ta có: có: B là điểm đối xứng với A qua P nên:
1 2 1 1 2 1 2 3 5 1 3.3 . . 3.3 Q : 3 x 1 y 0 z 1 0 a b c a b c 6V 2 2 V 9 Q :3x y 7 0 1 2 1 1 Do đó, d là giao tuyến của P và Q nên là Dấu " " xảy ra khi: a b c 3 nghiệm của hệ: Vậy đáp án đúng là C. x t Câu 7: Đáp án B x y z 7 0 y 7 3t t ¡ . 3x y 7 0 Mặt cầu S có tâm là I 1;2;1 và bán kính R 2 z 2t Vậy đáp án đúng là A. Gọi H xH ; yH ; zH là hình chiếu của I lên d . Khi đó, ta có: Câu 9: Đáp án C  x 2 y z BA a 3;0;10 H d H H H k   2 1 4 BC 8;0;4 ; BD 4;3;5 IH  d   IH.u 0 d 1     V BA BC; BD H 2k 2; k;4k IH 2k 1; k 2;4k 1 6  ud 2; 1;4 1   . a 3;0;10 . 12; 24;24 IH.u 2k 1 .2 k 2 . 1 4k 1 .4 0 6 d 1 k 0 H 2;0;0 12 a 3 10.24 2a 34 6 IH 2 1 2 0 2 2 0 1 2 6 V 30 a 2;a 32 Vậy đáp án đúng là C. Gọi K là giao điểm của IH và MN. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MIH có: Câu 10: Đáp án D MK.IH MI.MH MI. IH 2 IM 2 Đặt f x; y; z x 2y z 5 . IM. IH 2 IM 2 Với phương án A: Ta có MN 2.MK 2. IH f 2; 1;5 2 2 1 5 5 4 0 nên điểm 2. 6 2 4 MN 2. Q 2; 1;5 không thuộc mặt phẳng P . 6 3 Với phương án B: Vậy đáp án đúng là B. f 0;0; 5 0. 2.0 5 5 10 0 nên điểm Câu 8: Đáp án A P 0;0; 5 không thuộc mặt phẳng P . Gọi K là điểm bất kì trên d . Theo giả thiết: KA KB tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ xảy Với phương án C: ra khi d nằm trên mặt phẳng Q là mặt phẳng f 5;0;0 5 2.0 0 5 10 0 nên điểm trung trực của AB. Ta đi xác định Q : N 5;0;0 không thuộc mặt phẳng P . Gọi M là trung điểm AB thì: Với phương án D: f 1;1;6 1 2.1 6 5 0 nên 3 0 3 2 1 1 3 5 M ; ; M ; ;1 điểm M 1;1;6 nằm trên mặt phẳng P . 2 2 2 2 2 Câu 11: Đáp án D Mặt phẳng Q đi qua M và vuông góc với AB tức  Dễ dang nhận thấy hai đường thẳng d1 ; d2 chéo là nhận AB 3; 1;0 là vectơ pháp tuyến. Dó đó: nhau. Ý tưởng ở đây là tìm hai điểm H1 d1 ;
H2 d2 sao cho H1H2 là đường vuông góc chung D Oy D 0; y;0 của d ; d . A 2;1; 1 , B 3;0;1 ,C 2; 1;3 1 2   AB 1; 1;2 ; AC 0; 2;4 H1 2 a;1 a;2a H d ; H d  1 1 2 2 AD 2; y 1;1 H2 2 2b;3;b  1    H1H2 2b a;a 2;b 2a V AD. AB; AC   6 ud 1; 1;2 ;ud 2;0;1 1 1 2   2; y 1;1 . 0; 4; 2 H H .u 0 6 H1H2  d1 1 2 d1   1 1 4 y 1 1 2 2y 1 H1H2  d2 H H .u 0 1 2 d2 6 3 2b a a 2 2 b 2a 0 V 5 y 7; y 8 2. 2b a 0 a 2 b 2a 0 Vậy đáp án đúng là B. 1 Câu 14: Đáp án C 6a 2 0 a 3 Mặt phẳng BCD : ax by cz d 0 nên có: 5b 0 b 0 5 4 2 a 5 b.1 c. 1 d 0 H1 ; ; ; H2 2;3;0 3 3 3 a.1 b. 3 c.0 d 0 Mặt phẳng cần tìm P đi qua trung điểm M của a.3 b. 6 c.2 d 0 d H1H2 và vuông góc với H1H2 nên: a 5 11 13 1 2d M ; ; P b BCD : x 2y 2z 5 0 6 6 3 5   2d 1 5 2 c n P H1H2 ; ; 3 3 3 5 P : x 5y 2z 12 0 Gọi H xH ; yH ; zH là hình chiếu của A lên BCD , Vậy đáp án đúng là D. ta có: Câu 12: Đáp án B H P xH 2yH 2zH 5 0   Giao điểm A x ; y ; z của d với mặt phẳng AH k.n k. 1;2;2 A A A AH  P P Oxy là: x 2y 2z 5 0 H H H x 5 y 1 z 3 x 1 y 1 z 2 H H H k A A A 1 2 2 2 1 1 A 3; 3;0 xH k 5; yH 2k 1; zH 2k 3 zA 0 k 5 2 2k 1 2 2k 3 5 0 Dễ thấy điểm M 1; 1;2 d . Hình chiếu B của M 9k 18 0 k 2 lên mặt phẳng Oxy là: B 1; 1;0 . Phương trình H 3; 3; 1 đường thẳng cần tìm chính là phương trình đường Khi đó, A' đối xứng với A qua BCD khi và chỉ x 1 2t khi H là trung điểm AA'. Do đó ta có: thẳng AB và là: y 1 t. z 0 A' 2.3 5;2. 3 1;2. 1 3 Vậy đáp án đúng là B. A' 1; 7; 5 Câu 13: Đáp án B Vậy đáp án đúng là C. Câu 15: Đáp án C
Khẳng định A, B, C hiển nhiên đúng. Khẳng định C Giao điểm H xH ; yH ; zH của d và P chính là sai vì mặt phẳng R : z 3 0 giao với Oz tại điểm hình chiếu vuông góc của M lên d , ta có: C 0;0; 3 . Vậy đáp án đúng là C. x 1 y 1 z H H H 2 1 1 Câu 16: Đáp án B 1 2 1 H ; ; 3 3 3 x 2y z 1 0 Cách 1: d vuông góc với Q nên: H H H   M ' đối xứng với M qua d khi và chỉ khi H là trung ud n Q 4;3; 7 điểm MM ' . Do đó, ta có: d đi qua điểm M 1;2;3 nên: 2 1 a 2. 1 a x 1 4t 3 3 d : y 2 3t t ¡ 1 2 b 2. 0 b z 3 7t 3 3 1 2 Vậy đáp án đúng là B. c 2. 0 c  3 3 Cách 2: Từ ud 4;3; 7 suy ra B đúng. a b c 1 Câu 17: Đáp án A Vậy đáp án đúng là A. Cách 1: Trung điểm AB là: Câu 20: Đáp án D 2 4 3 1 1 2 1 Góc giữa P và Q là: M ; ; M 3; 2; 2 2 2 2   nP 2; 1;1 ;nQ 1;1;2 Phương trình mặt phẳng trung trực AB nhận    nP .nQ 2.1 1 .1 1.2 1 AB 2;2;3 là vecto pháp tuyến và đi qua điểm M cos   n n 2 2 2 2 2 2 2 nên nó có dạng: P Q 2 1 1 . 1 1 2 60 1 2 x 3 2 y 2 3 z 0 Vậy đáp án đúng là D. 2 Câu 21: Đáp án D 4x 4y 6z 7 0 Theo giả thiết ta có: A 3;0;0 ; B 0;2;0 ; Vậy đáp án đúng là A. C 0;0;4 Cách 2: n 2;2;3 loại C; D. Phương trình mặt phẳng ABC là: Thay tọa độ điểm I vào đáp án (I là trung điểm của AB) ta chọn A. x y z 1 4x 6y 3z 12 0 Câu 18: Đáp án C 3 2 4   Do đó, mặt phẳng song song với ABC có dạng: //  n k.n  3; 1;m k. 2;n;2 3 1 m 2 m 3;n 4x 6y 3z m 0; m 12 2 n 2 3 Vậy đáp án đúng là D. Vậy đáp án đúng là C. Câu 22: Đáp án D Câu 19: Đáp án A  Gọi B xB ; yB ; zB là giao điểm của d với . Ta có: ud 1;2;1 . Mặt phẳng P đi qua M và  Khi đó, ta có: vuông góc với d hay nhận ud là vecto pháp tuyến là 1. x 1 2. y 0 1. z 0 0 x 2y z 1 0
x 3 y 1 z 1 P : 7x 6y z 7 0 B B B k 2 1 4 Vậy đáp án đúng là A. B 2k 3; k 1;4k 1      Cách 2: Ta có n P AB,nQ 7;6;1 . Nên ta AB 2k 1; k 3: 4k 5 ;ud 2; 1;4   loại C; D. AB  d AB.ud 0 Thay tọa độ điểm A của đề bài vào hai đáp án còn 2 2k 1 k 3 4. 4k 5 0 lại. 21 k 1 B 1;0;3 ; 3;2; 1 Khi đó, đáp án A thỏa mãn. 21 Câu 25: Đáp án A Phương trình chính là phương trình AB và là: Phương trình mặt phẳng ABC là: x 4 y 2 z 4 : 0 0 0 3 2 1 1 x y z a b c Vậy đáp án đúng là D. 1 d d a b c O, P 1 1 1 Câu 23: Đáp án C a2 b2 c2 Thực chất bài toán chỉ là kiểm tra kiến thức phương 1 1 1 1 trình mặt phẳng dạng chắn: d 2 a2 b2 c2 2 A a;0;0 ; B 0;b;0 ;C 0;0;c 7 2 2 2 1 1 1 2 a 4b 16c 2 2 2 1 2 4 x y z d a b c ABC : 1 7 a b c 7 d 1 d Vậy đáp án đúng là C. Dấu " " xảy ra khi: Câu 24: Đáp án A 2 2 2 1 1 1 a 4b 16c 2 2 2 Cách 1: Gọi H xH ; yH ; zH là hình chiếu của A lên a b c Q : x 2y 5z 3 0 . Khi đó ta có: a2 4b2 16c2 a2 2b2 4c2 1 1 1   AH  Q 2 2 2 AH k.n Q k 1;2; 5 a b c H Q 2 2 2 2 2 2 xH 2yH 5zH 3 0 a 4b 16c 49 4c 8c 16c 49  2 49 7 2 2 2 2 49 AH xH 2; yH 1 c a b c 7c 28 4 4 xH 2 yH 1 zH 1 k Vậy đáp án đúng là A. 1 2 5 xH 2yH 5zH 3 0 Câu 26: Đáp án C x k 2; y 2k 1; z 5k 1 H H H Gọi M x0 ; y0 ; z0 P thì ta có: k 2 2 2k 1 5 5k 1 3 0 x0 y0 z0 0 z0 x0 y0 2 23 19 1 2 2 2 2 2 k H ; ; MA MB x0 3 y0 5 z0 5 15 15 15 3 2 2 2 x0 5 y0 3 z0 7 Mặt phẳng P là mặt phẳng ABH có dạng: 2 x 1 2 y 1 2 2 z 1 2 136 ax by cz d 0 . Từ đó suy ra: 0 0 0 2 2 x0 1 y0 1 2 z0 1 136 a d 2 2 2 2a b c d 0 2 z0 2 z0 1 136 3z0 142 142 6d 3a 2b 2c d 0 b 7 Dấu " " xảy ra khi: 13a 19b 1 c 7 0 d x y ; z 0 x y z 0 15 15 3 c 0 0 0 0 0 0 7 Do đó, M  O . Vậy đáp án đúng là C.
Câu 27: Đáp án A M P nên: 2 1 2m m 2 3m 2 0 Bài toán này sử dụng tính chất quen thuộc của tứ diện 2 vuông: H là trực tâm của tam giác MNP khi và chỉ m 1 M 3;1; 5 2 khi: OH  MNP . Ta có: Vậy đáp án đúng là A. H Câu 32: Đáp án C   :3 x 3 4 y 4 z 1 0 OH n Phương trình mặt phẳng là: :3x 4y z 26 0 x y z : 1 3x 6y 2z 12 0 Vậy đáp án đúng là A. 4 2 6 Câu 28: Đáp án B Vậy đáp án đúng là C.  m 3a 2b c 3 5;7;2 2 3;0;4 6 6;1; 1 Câu 33: Đáp án B  m 3;22; 3 Gọi M a;b;c . Vì M P nên: a b c 3 0 Vậy đáp án đúng là B. Ta có:   Câu 29: Đáp án C AM a;b 1;c 2 ; BM a 1;b 1;c 1 ;  Ta có: CM a 2;b 2;c 3    M ABC 2 2 2 MA MB MC 3a 3 3b 3c 6   OM n ABC    2 2 2 MA MB MC 3. 3 a 1 b c 2 ABC :3 x 3 2 y 2 1 z 1 0 2 2 :3x 2y z 14 0 3. a 1 b c 2 3. a b c 3 6 3 Vậy đáp án đúng là C. Dấu " " xảy ra khi: a 1 b c 2;a b c 3 0 Câu 30: Đáp án D a 1;b 2;c 0 M 1;2;0 Gọi I x; y; z là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Vậy đáp án đúng là B. Khi đó ta có: IO IA IB IC Câu 34: Đáp án A S : x2 y2 z2 2x 6y 4z 13 0 a 2 x x2 y2 z2 x a y2 z2 2 S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 1 2 2 2 2 2 2 b x y z x y b z y d cắt S tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 2 x2 y2 z2 x2 y2 z c phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: c z 2 2 2 2 2 t 1 1 mt 3 2t 2 1 a b c I ; ; t 1 2 mt 4 2 2t 2 2 1 2 2 2 2 2 Do a b c 2 nên I thay đổi trên mặt phẳng m 5 t 2 4m 5 t 20 0 P : x y z 1 0 ' 4m 5 2 20 m2 5 4m2 40m 75 2016 0 0 1 2015 2 5 15 d ' 0 4m 40m 75 0 m M , P 2 2 12 12 12 3 m ¢ m 3;4;5;6;7 Vậy đáp án đúng là D. Vậy đáp án đúng là A. Câu 31: Đáp án A Câu 35: Đáp án A Vì M d nên: M 1 2m;m; 2 3m   Cách 1. u 1; 1;3 ;u 1;1;3 d1 d2
   u u ;u 6; 6;0 6 1;1;0 G thuộc Ox khi: G g;0;0 . Theo công thức trọng d d1 d2 x 1 t tâm ta suy ra: d : y 2 t t . 2 0 y ¡ 0 3 y 2 z 3 3 1 z z 4 0 Vậy đáp án đúng là A.  3 Cách 2: Sau khi tìm được u 6; 6;0 ta chọn d Vậy đáp án đúng là D. luôn A. Câu 40: Đáp án C Câu 36: Đáp án B Do P  d nên mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến Mặt phẳng vuông góc với Oyz có dạng:   là n u 3; 2;1 . ay bz c 0 P d Điểm M 3; 1;1 P nên phương trình mặt phẳng Dễ thấy A 2; 3;4 , B 4;0;5 d nên ta có: P là: c a 3a 4b c 0 15 3 x 3 2 y 1 1 z 1 0 d : y 3z 15 0 0a 5b c 0 c b 3x 2y z 12 0 5 Câu 41: Đáp án C Vậy đáp án đúng là B. Ta có: Câu 37: Đáp án B   BA m 2; 1; 2 ; BC 2;1; 1 Gọi M là giao điểm của và d. Khi đó 1   1 S BA; BC 3;m 2;m 4 M 3m 1; m 1; m . Do  P nên M P ABC 2 2 M 3m 1; m 1; m ; P : x y z 3 0 35 2 2 SABC 9 m 2 m 4 35 3m 1 m 1 m 3 0 m 3 2 2m2 4m 6 0 m 3;m 1 M 8;2;3 Vậy đáp án đúng là C. Giả sử đi qua N a;b;c khác M. Ta có: Câu 42: Đáp án A N P a b c 3 0 a 1;m;2 ;b m 1;2;1 ;c 0;m 2;2 đồng  MN.u 0 a 8 2 b 2 3 c 3 0 phẳng khi: a 10 c 1 N 10;6;1 a;b .c 0 b 6  m 4;2m 1; m2 m 2 . 0;m 2;2 0 MN 2;4; 2 2m 1 m 2 2 m2 m 2 0 x 8 y 2 z 3 : 2 4 2 2 4 2 m x 8 y 2 z 3 4 1 2 5 : 1 2 1 Vậy đáp án đúng là A. Vậy đáp án đúng là B. Câu 43: Đáp án D Câu 38: Đáp án B Giả sử A a;0;0 ; B 0;b;0 ;C 0;0;c . Ta có: x y z  1 1 1 Ta có: P : 1 n P ; ; 9 1 1 9 9 2 3 3 2 3 3 1 33 33  a b c abc 6V Bằng cách kiểm tra n,n 0 thì đáp án đúng là B. 81 P V 2 Câu 39: Đáp án D Vậy đáp án đúng là D.
  Câu 44: Đáp án C Cách 2: AB 2; 2; 1 ;nR 1; 2;1 Dễ dàng nhìn thấy ngay ra điểu này.    n AB,n 4;3;2 Câu 45: Đáp án A P R Ta có: P : 4x 3y 2z 11 0 x y z Vậy đáp án đúng là D. P : 1 8 2 4 Câu 48: Đáp án A x 4y 2z 8 0 Nhận xét: A,B nằm về hai phía so với mặt phẳng Vậy đáp án đúng là A Oxy , gọi B ' là điểm đối xứng của B qua mặt Câu 46: Đáp án B phẳng Oxy . Cách 1: P đi qua gốc tọa độ nên: Khi đó B ' 0;1;2 và MA MB MA MB ' P : ax by cz 0 Gọi I là giao điểm của AB ' với mặt phẳng Oxy . P  Q 2a b 3c 0 Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác MAB ' ta có P  R a 2b c 0 MA MB ' AB ' . Dấu bằng xảy ra khi M  I . Khi 7c a đó MA MB MA MB ' AB ' 5 P : 7x y 5z 0 c 2 2 2 b 1 0 1 1 1 2 6 5 Câu 49: Đáp án D Vậy đáp án đúng là B.    Cách 1: ABC : ax by cz d 0 Cách 2: Ta có n n ;u 7;1;5 P Q R 7d Chọn B. a 55 a 6b 2c d 0 Câu 47: Đáp án D 13d 5a b 3c d 0 b Cách 1: Gọi H a;b;c là hình chiếu của B lên P 110 4a 6c d 0 . Khi đó ta có: 9d c 110 a 2b c 1 0 H P ABC :14x 13y 9z 110 0  a 3 b 1 c 1 BH k 1; 2;1 1 2 1 Vậy đáp án đúng là D.    13 Cách 2: n AB, AC 14;13;9 suy ra loại a ABC 6 B; C. 2 13 2 1 b H ; ; Thay tọa độ điểm A ta tính được hệ số d bởi công 3 6 3 6 1 thức: d Ax0 By0 Cz0 d 110 chọn D. c 6 Câu 50: Đáp án A Khi đó, Q chính là ABH : ax by cz d 0 1 t 2 4d 1 2t 7 3m a 5 11 Xét hệ: 2 3t 2 2m m a b 2c d 0 3 3d 5 4t 1 2m 3a b c d 0 b 4t 2m 4 11 13a 2b c d 0 2d 6 3 6 c 11 Hệ vô nghiệm nên loại B và D. Dễ thấy chúng Q : 4x 3y 2z 11 0 không song song với nhau. Vì thế đáp án đúng là A. Câu 51: Đáp án B
A 2;1;0 , B 3;0;4 ,C 0;7;3 Câu 55: Đáp án D   AB 1; 1;4 ; BC 3;7; 1 Q đi qua A nên:   AB.BC 1.3 1.7 4. 1 14 Q : a x 1 b y 2 c z 1 0     AB.BC 14 cos AB; BC Q đi qua B nên: AB.BC 18. 59   7 118 a. 0 1 b. 4 2 c. 0 1 0 cos AB; BC 177 a 2b c 0 a 2b c Vậy đáp án đúng là B. Q : 2b c x 1 b y 2 c z 1 0  Câu 52: Đáp án A n Q 2b c;b;c  Cách 1: Xác định ABC : ax by cz d 0 P : 2x y 2z 2015 0 n P 2; 1; 2   3d cos ·P ; Q cos n ;n a P Q 2a 3b c d 0 22 2 2b c b 2c 3d cos ·P ; Q 4a b 2c d 0 b 2 2 11 2b c b2 c2 . 22 1 22 6a 3b 7c d 0 d c 3b 11 cos 3. 5b2 4bc 2c2 ABC :3x 6y 2z 22 0 Ta cần tìm min cos 3. 5 6. 4 2.8 22 max h d D, ABC 2 3b b 1 32 62 2 cos 3. 5b2 4bc 2c2 3b2 2 b c 2 3 77 11 7 Dấu " " xảy ra khi: b c Vậy đáp án đúng là A. Đáp án đúng là D. Cách 2: Sử dụng công thức tích có hướng để tính Câu 56: Đáp án C 3V   SABC và VABCD d D; ABC đáp án A. P  d n P ud 2;1; 1 S P : 2 x 2 y 0 z 1 0 Câu 53: Đáp án A P : 2x y z 5 0 Do đi qua gốc tọa độ nên : ax by cz 0 Vậy đáp án đúng là C. a 2b c d M ; Câu 57: Đáp án D a2 b2 c2 Giao điểm A của và P là nghiệm của hệ: 12 22 1 2 a2 b2 c2 x 2 y 2 z a2 b2 c2 1 1 1 A 3;1;1 d 6 M ; x 2y 3z 4 0 Dấu " " xảy ra khi: Giả sử d đi qua B x; y;0 . Khi đó, ta có: a b c Q : x 2y z 0 B P x 2y 44 0 1 2 1   AB.u 0 x 3 .1 y 1 .1 1 . 1 0 Đáp án đúng là A. Câu 54: Đáp án B x 2  B 2; 1;0 AB 1; 2; 1 y 1 M thuộc d nên: M 1 m;1 m;2m x 3 y 1 z 1 Vậy đáp án đúng là B. d : 1 2 1
   Vậy đáp án đúng là D. Cách 2: n n ,u 4;8;0 từ đây ta chọn P Q d Câu 58: Đáp án C B. Dễ thấy A 1;0; 1 ; B 3;1; 2 Câu 61: Đáp án C Giả sử: Q : a x 1 by c z 1 0 Kiểm tra ta thấy đáp án đúng là C. Câu 62: Đáp án D a 3 1 b.1 c 2 1 0 b c 2a P vuông góc với d nên:   Q : a x 1 c 2a y c z 1 0 n P ud 2;1; 1 P : 2x y 2z 1 0 P : 2 x 1 1 y 2 z 0 2a c 2a 2c P : 2x y z 4 0 cos ·P ; Q 2 2 2 a 2a c c 9 Vậy đáp án đúng là D. 4c Câu 63: Đáp án C. cos ·P ; Q 2 2 3 5a 4ac 2c Cách 1: Mặt phẳng P song song với Ox nên: · c 1 cos P ; Q P : ay bz c 0 2 6 2 6 2 5 a c c b c 5 5 5 a.0 b,1 c 0 c P : y 2z 2 0 a.2 b.2 c 0 a Dấu " " xảy ra khi: 2 2 2 4 Đáp án đúng là C. a c Q : x 1 1 y z 1 0 5 5 5 Cách 2: Mặt phẳng song song với Ox loại A; D. Q : 2x y 5z 3 0 Thay tọa độ điểm A vào đáp án đáp án B đúng. Đáp án đúng là C. Câu 64: Đáp án D Câu 59: Đáp án D Giao điểm I là nghiệm của hệ:   cos d· ;d cos n ;n y 2 z 4 1 2 d1 d2 x 1 2 3 I 0;0;1 1. 1 1 .1 2.1 0 x 4y 9z 9 0 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 Đáp án đúng là D. · d1;d2 90 Câu 65: Đáp án A Vậy đáp án đúng là D. Mặt phẳn Q song song với P nên: Câu 60: Đáp án B Q : 2x y 3z m 0 x 1 y z 1 Cách 1: A 1;0; 1 ; B 3;1;2 d : A thuộc Q nên: 2.1 3 3. 2 m 0 m 7 2 1 3 Vậy đáp án đúng là A. P : a x 1 b y 0 c z 1 0 Câu 66: Đáp án B a 3 1 b 1 0 c 2 1 0 b 2a 3c M x ; y ; z là điểm nằm trên đoạn BC sao cho P : a x 1 2a 3c y c x 1 0 0 0 0 Q : 2x y z 0 MC 2MB thì: P  Q 2a 2a 3c c 0 c 0 x0 3 2 x0 0   P : x 1 2y 0 MC 2MB y0 6 2 y0 3 z 4 2 z 1 Vậy đáp án đúng là B. 0 0
x0 1 Câu 69: Đáp án B y0 4 M 1;4;2 Gọi M;N là trung điểm AC; B ' D ' thì: z0 2 O là trung điểm MN sẽ đồng thời là trung điểm B ' D . 2 2 2 Ta có: AM 1 2 4 0 2 0 29 1 3 2 4 1 1 Vậy đáp án đúng là B. M ; ; M 2; 1;0 2 2 2 Câu 67: Đáp án D 2 0 1 3 3 5   N ; ; N 1;1;4 AB 1; 2; 3 ; AC 2; 2;0 2 2 2  AD 3; 1; 2 2 1 1 1 3 5 3 O ; ; O ;0;2 2 2 2 2 1    V AB; AC .AD ABCD 6 3 D 2. 2;2.0 1 ;2.2 3 D 1;1;1 1 8 2 V 6; 6;2 . 3; 1; 2 ABCD 6 3 x 2y 3z 0 Vậy đáp án đúng là D. Vậy đáp án đúng là B. Câu 68: Đáp án B Câu 70: Đáp án C Cách 1: Gọi A d1; B d2 sao cho AB là đường Giả sử là góc giữa d và P . Ta có: vuông góc chung của d ;d . Khi đó ta có: 1 2 1.2 2.2 2. 1 sin 2 A d1; B d2 A a 2;a;a ; B 2b; b 1; b 2 2 2 2 2 2  1 2 2 . 2 2 1 AB 2b a 2; b 1 a; b 2 a 4 8 sin d MA.sin M , P AB  d1 9 9 AB  d2 Vậy đáp án đúng là C. 2b a 2 b 1 a b 2 a 0 Câu 71: Đáp án A    2 2b a 2 b 1 a b 2 a 0 Ta có ud 3;1; 2 ;ud ' 6; 2;4 2ud . a 1 1 1  1 1 Lấy A 2; 2; 1 d , nhận thấy A d ' . Do vậy 1 A 1;1;1 ; B 1; ; AB 0; ; b 2 3 2 2 d //d '. 2 Mặt phẳng P đi qua trung điểm M của AB và Câu 72: Đáp án A vuông góc với AB nên: A 1;2;4 , B 1;1;4 ,C 0;0;4   1 3 AB 0; 1;0 ; BC 1; 1;0 1 1   1 2 1 2   P : 0x y x 0 AB.BC 1 2 2 2 2 cos AB, BC   AB . BC 2 1 180 ABC 45 ABC 135 P : y z 0 2 Vậy đáp án đúng là A. Vậy đáp án đúng là B. Câu 73: Đáp án C    Cách 2: Ta có n u ,u 0;1; 1 loại A; x 1 2t P d1 d2 C. Đường thẳng : y 2 t t ¡ . z 2t Lấy một điểm trên d1;d2 rồi tính khoảng cách từ hai điểm đó đến các mặt phẳng đáp án, nếu bằng thì Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với , chọn. d  N , suy ra N là trung điểm của MM ' . Đáp án đúng là B.
Khi đó N 1 2t; 2 t;2t AH 41 2.h 3a 4b 4c h2 a2 b2 c2  MN 3 2t;1 t;2t 1 . 2 3a 4b 4c AH 41 Do d vuông góc với nên a2 b2 c2 2 3 2t .2 1. 1 t 2 2t 1 0 t 1. 3a 4b 4 2a 2b AH 41 2 Khi đó M ' 0; 3;3 a2 b2 2a 2b Câu 74: Đáp án C 25a2 40ab 16b2 AH 41 2 2 2 2 2 5a 5b 8ab S : x 1 y 2 z 2 25 5 5a2 5b2 8ab I 1;2; 2 ; R 5 AH 41 5a2 5b2 8ab Dễ thấy A 1; 3;0 ; B 3;1;4 d nên: AH 6 P : a x 1 b y 3 cz 0 Dấu " " xảy ra khi b 0 . Do đó, ta có: a. 3 1 b 1 3 c.4 0 x 2 z 1 d ': u 1;0;2 a 2b 2c 1 2 P : 2b 2c x 1 b y 3 cz 0 Vậy đáp án đúng là B. Câu 76: Đáp án B P tiếp xúc với S khi: Chọn B 3; 1; 1 ,C 1;0;0 là hai điểm nằm trên 2b 2c 1 1 b 2 3 c 2 d R 5 đường thẳng d, suy ra hai điểm A, B cũng nằm trong I / P 2 2b 2c b2 c2 mặt phẳng P cần tìm. 5b 2c 5 Bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng P 5b2 8bc 5c2 đi qua ba điểm A 3;1;0 , B 3; 1; 1 ,C 1;0;0 . 25b2 20bc 4c2 25 5b2 8bc 5c2 2 2 Mặt phẳng P có vtpt 100b 220bc 121c 0   2 11 10b 11c 0 b c n AB, BC 1;2; 4 1 1; 2;4 10 11 11 Mà mặt phẳng P chứa điểm C 1;0;0 nên P : 2. 2 x 1 y 3 z 0 10 10 P : x 2y 4z 1 0 P : 2x 11y 10z 35 0 Câu 77: Đáp án A Vậy đáp án đúng là C. D song song với mặt phẳng P khi: Câu 75: Đáp án B   Giả sử đường thẳng cần tìm là d ' đi qua M: ud .n P 0 2;1;1 . 1; 3;2m 0 x 2 y 2 z 1 1 d ': 2.1 1. 3 1.2m 0 m a b c 2 d  d ' 2a 2b c 0 c 2a 2b Vậy đáp án đúng là A. Gọi H là hình chiếu của A lên d '. Câu 78: Đáp án D H d ' H ah 2;bh 2;ch 1 1 3 1 1 0 2  Cách 1: I ; ; I 1;1; 1 AH ah 3;bh 4;ch 4 2 2 2  AH  d ' ah 3 .a bh 4 .b ch 4 .c 0 AB 4;0; 2 3a 4b 4c h P : 4 x 1 0 y 1 2 z 1 0 a2 b2 c2 P : 4x 2z 6 0
   Vậy đáp án đúng là D. Từ đó: n MA;u 15;3;3   P Cách 2: Ta có n AB 4;0; 2 chọn D (do P P : 15x 3 y 3 3 z 2 0 cùng phương với 2;0; 1 . P :5x y z 1 0 Câu 79: Đáp án C Vậy đáp án đúng là A. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Câu 85: Đáp án A d . Khi đó, có: 1 Gọi A 0;0;1 ; B 1;1;5 . Khi đó, ta có: P :1 x 1 4 y 1 2 z 3 0 M Q Q : a x 0 b y 3 c z 2 0 x 4y 2z 9 0 d d 3 A, Q B, Q Gọi giao điểm d và P là B a;b;c . 2 a 0 0 b 0 3 c 1 2 a 4b 2c 9 0 a2 b2 c2  a 2 b 1 c 1 B 3; 2;2 AB 2; 1; 1 a 1 0 b 1 3 c 5 2 3 1 1 1 a2 b2 c2 x 1 y 1 z 3 AB  d : 3b 3c a 2b 7c 2 1 1 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Vậy đáp án đúng là C. Câu 81: Đáp án A b 1;a 1  b 1;a 5 AB 1;1;0 Nếu c 0 thì 3b a 2b 3  b 1;a 1 A 2;2;3 , B 1;3;3 ,C 1;2;4 AC 1;0;1 b 1;a 5  BC 0; 1;1 Nếu c 0 thì chọn c 1. Giải hệ hai ẩn trên được: AB BC AC nên ABC đều a 4;b 8 Câu 82: Đáp án B Do đó, đáp án đúng là A. M d M m;2m 1;3m 2 với m 0 Câu 86: Đáp án D N d N 2a 1; a 2;2a 3 m 2 2m 1 2 3m 2 3  d M , P 2 AN 2a 1; a 3;2a 3 ; 12 22 22  5 m 6 m 1 M 1; 3; 5 BN 2a 1; a 4;2a 1 1   1 Câu 83: Đáp án D S NA; NB 4a 9; 4; 4a 7 2 2 Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có 1 2 2 2 . 4a 9 4 4a 7 xA xB xC 1 2 0 2 xC 1 3 3 1 2 1 2 1 32a 128a 146 2 4a 8 18 18 y y y 3 0 9 2 2 2 y A B C 4 C Dấu " " xảy ra khi: a 2 N 3;0; 1 3 3 z z z 5 1 0 A B C Vậy đáp án đúng là D. zC 2 3 3 Câu 87: Đáp án B G 1;4;2 B 1;0;3 ,C 2; 2;0 , D 3;2;1 Câu 84: Đáp án A   BC 3; 2; 3 BD 2;2; 2 Gọi A 0;0;1 1   1 S BC; BD 102 122 22 62  BCD Ta có: MA 0; 3;3 2 2 Vậy đáp án đúng là B.
Câu 88: Đáp án B Câu 92: Đáp án A MNP : ax by cy d 0 a2 b2 c2 0 . M M 3a 1;2a;a 2 2 2 2 d MA MB 3a 2a 2 a 2 a 31 2 2 2 a 2c d 0 3a 3 2a 3 a 3 3d 3a 4b c d 0 b 19 15 19 43 31 a M ; ; 2a 5b 3c d 0 12 4 6 12 16d c 31 Vậy đáp án đúng là A. MNP : x 3y 16z 31 0 Câu 93: Đáp án B Vậy đáp án đúng là B. Hiển nhiên nhìn ra ngay vì nó vuông góc với Oxz Câu 89: Đáp án A Câu 94: Đáp án C   P  nP ud 2; 2;1 M Oy M 0; y;0 P : 2 x x 2 y y z z 0 2 2 0 0 0 MA MB 1 y 1 4 y 3 2 2 2 S : x 1 y 2 z 1 9 2 2 1 2 y 1 3 y 13 I 1; 2;1 ; R 3 y 1 3 y 5 P tiếp xúc S khi: d 3 Dấu " " xảy ra khi: y I , P 1 2 3 2 1 x 2 2 y 1 z Vậy đáp án đúng là C. 0 0 0 3 2 2 2 Câu 95: Đáp án C 2 2 1 M là trung điểm AC cũng là trung điểm BD nên: 2x0 2y0 z0 7 9 xD 1 1 1 1 Do đó, đáp án đúng là A. y 2 0 1 1 D 1;1;3 Câu 90: Đáp án C D zD 1 2 0 3 Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với : Vậy đáp án đúng là C P :3 x 4 0 y 2 1 z 3 0 Câu 96: Đáp án A 3x z 9 0 x y z ABC : 1 6x 3y 2z 6 0 Giao điểm B của và P là: 1 2 3 16 Vậy đáp án đúng là A. x 2 3t x 5 Câu 97: Đáp án A y 4 16 3 y 4 B ;4; z 1 t 6 5 1 2 m 5 3 3 P / / Q n 4;m 3x z 9 0 z 2 n 3 3 2 5 Vậy đáp án đúng là A.  4 12  AB ;6; ud 2;15; 6 Câu 98: Đáp án A 5 5   Ta có: u n 1;2; 2 Vậy đáp án đúng là C. d P x 2 y 1 z 3 Câu 91: Đáp án A d : 1 2 2 · 1.2 1 .0 4. 2 cos P , Q Vậy đáp án đúng là A. 2 12 1 42 . 22 22 Câu 99: Đáp án A 6 1 cos ·P , Q P , Q 60 12 2 Vậy đáp án đúng là A.
N Oz N 0;0; z P : 2 x 2 1 y 2 2 z 1 0 z 17 P : 2x y 2z 8 0 NM d N , P 22 32 1 a 3 b 2 c B a;b;c d  P z 17 2 1 2 3 22 32 z 4 2 z 3 2 2 2a b 2c 8 0 2 3 1   Câu 100: Đáp án D B 3;2;0 AB  ud 1;0; 1  Mặt phẳng P có vec-tơ pháp tuyến n P 1;1;1 . x 2 t d : y 2 t ¡ Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến là  z 1 t n Q 1; 1;1 . Vậy đáp án đúng là C   Khi đó n ,n 2;0; 2 . P Q Câu 105: Đáp án C   Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có: d  P ud  nP   d // P  d  ud  u ud 1;0; 1 .    d // Q u n ,u 4;3; 1 d P Phương trình đường thẳng d đi qua A 1; 2;3 là: Chọn C. Câu 106: Đáp án B x 1 t y 2 , t R . Do d  P nên đường thẳng d có vec-tơ chỉ   z 3 t phương là ud nP 1;3; 1 . Câu 101: Đáp án B Ta loại được hai đáp án A và D. 3 5 3 1 2 4 x 1 1 2 I ; ; I 4;2;3 2 2 2 Với phương án B: Với t 1 thì y 3.1 3 nên Câu 102: Đáp án C z 1 1 0 Câu 103: Đáp án A x 1 t ABC : ax by cx d 0 đường thẳng y 3t t ¡ đi qua điểm A 2;3;0 2d z 1 t a 4a 2b 5c d 0 3 . 3a b 3c d 0 b 0 Câu 107: Đáp án D 2a 6b c d 0 d c Do P // Q P : x 2y z m 0 3 ABC : 2x z 3 0 1 2.0 3 m Lại có: d D, P 6 6 2 2 2 Vậy đáp án đúng là A. 1 2 1 Câu 104: Đáp án C m 4 6 m 4 6 6 A P Gọi P , khi đó: P : x 2y z 2 0 P  d m 2 1 m 10 P : x 2y z 10 0 Vậy đáp án đúng là D Câu 108: Đáp án A   Có A, B Q AB  nQ
    P  Q nP  nQ A, B P AB  nP 3a 2b 0    2 2 n AB,n 0;8;12 3a 2b 9a 4b 1 Q P   2 nP .nOyz a 2 Vậy đáp án đúng là A do cùng phương với 0;2;3 cos ·P , Oyz   7 n . n a2 b2 c2 . 1 7 Câu 109: Đáp án A P Oyz a 2 a 2 2 2 2 BC 4 0 2 2 1 4 5 2 7 13 7 2 3a 2 a2 c2 a c D Ox D a;0;0 2 4 2 2 2 2 4 13 2 2 2 2 AD BC a 3 0 4 0 0 5 a a c 9a c 2 49 4 a 3 2 16 5 a 3 2 9 2 2 c 2b 1 , 2 c 4b a 6 D 6;0;0 c 2b Chọn: a 0 D 0;0;0 a 2 b 3 c 6 P : 2x 3y 6z 12 0 Vậy đáp án đúng là A. Câu 110: Đáp án A a 2 b 3 c 6 P : 2x 3y 6z 0   Vậy đáp án đúng là C. AB, AC 3; 6;6 Câu 112: Đáp án A 1   9 S AB; AC ABC 2 2 Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên P . 3V 9 d 2 H a; 2a 2c 1;c M , ABC S 9 / 2 a 1 2a 2c 1 c 3 ABC : x 0 2 y 1 2z 0 HA  P 2 1 2 M d M 2m 1; m 2;2m 3 19 a 2m 1 2 m 3 2 2m 3 9 19 13 17 d 2 2 H ; ; M , ABC 2 2 2 17 9 9 9 1 2 2 c 9 5 3 3 1 m M ; ; P  ABH : mx ny pz q 0 4 2 4 2 4m 11 6 2q 17 15 9 11 m m M ; ; 7 4 2 4 2 m 2n 3p q 0 2q 3m 2n p q 0 n Vậy đáp án đúng là A. 7 19m 13n 17 p 9q 0 Câu 111: Đáp án C 3q  p 2 2 2 7 Gọi nP a;b;c ; a b c 0 P : 2x 2y 3z 7 0 Ta có: Đáp án đúng là A.    Cách 2: Ta có n AB,n 4; 4; 6 Q P loại B và D. Thay tọa độ điểm A vào phương án chỉ thấy A thỏa mãn. Từ đấy ta chọn A. Câu 113: Đáp án D  Đường thẳng có vec-tơ chỉ phương là n1 3;2;1 ;
Đường thẳng ' có vec-tơ chỉ phương là  Phương trình Q : n 1;3; 2 . 2 2 x 4 y 1 2 z 2 0   Ta có u ;u 7;7;7 . 2x y 2z 13 0 1 2  Câu 116: Đáp án C Đường thẳng d cần tìm có vec-tơ chỉ phương là ud .   AB 3;4;0 ; AC 0;0;1 d     Từ giả thiết: ud 1;1;1 . Loại đáp án  d  ' AB AC 3 4 ud ; ;1 AB AC 5 5 A, C. x 1 y 2 z 1 Đường thẳng d đi qua điểm M 1;1;3 nên có d : 3 4 5 x 1 t d  Oyz A 0;a;b phương trình: y 1 t , t ¡ 0 1 a 2 b 1 2 8 A 0; ; z 3 t 3 4 5 3 3 Câu 114: Đáp án D Vậy đáp án đúng là C. Câu 117: Đáp án B A P Gọi P , khi đó: ABC : ax by cz d 0 P  d1 a 2c d 0 a d P : 2 x 1 1 y 2 1 z 3 0 a b c d 0 b d P : 2x y z 3 0 2a 3b d 0 c d a 1 t ABC : x y z 1 0 b 1 2t B a,b,c  P Vậy đáp án đúng là B. c 1 t Câu 118: Đáp án A 2a b c 3 0   B 2; 1; 2 AB  u 1; 3; 5 Sử dụng công thức:   x 1 y 2 z 3 AB 2; 3;1 ; AC 0; 1;1 : 1 3 5 1   2 3 S AB, AC 3 Vậy đáp án đúng là D. ABC 2 2 Câu 115: Đáp án C Vậy đáp án đúng là A. Giao điểm của d1 và P có tọa độ thỏa mãn hệ Câu 119: Đáp án C phương trình: Gọi H là hình chiếu của O lên ABC . x 1 3t 1 1 1 1 1 Ta có: y 2 t OA2 OB2 OC 2 OH 2 OM 2 2 1 3t 2 2 t 3.3 0 z 2 Dấu " " xảy ra khi: H  M tức là OM  ABC 2x 2y 3z 0 ABC : x 1 2 y 2 z 1 0 t 1 ABC : x 2y z 6 0 Vậy giao điểm của đường thẳng d1 và mặt phẳng P là: M 4; 1;2 . Vậy đáp án đúng là C. Câu 120: Đáp án A Gọi Q là mặt phẳng cần tìm. Từ giả thiết, ta có Cách 1: Giả sử A a;0;0 ; B 0;b;0 ;C 0;0;c thì: d2  Q nên mặt phẳng Q có vec-tơ pháp tuyến   là n u 2; 1;2 . Q d2
x y z Câu 124: Đáp án A P : 1; a b c a 0 0 0 b 0 0 0 c G ; ; G 1;2;3 3 3 3 a 3 x y z b 6 P : 1 3 6 9 c 9 Vậy đáp án đúng là A. Cách 2: Mẹo: nhân 3 vào tọa độ điểm G rồi đẩy xuống các giá trị a,b,c tương ứng đáp án A đúng. Gọi K là hình chiếu của điểm A 4;6;2 trên mặt Câu 121: Đáp án C phẳng P : x y z 0 Vì M Oxz nên M x;0; y . Ta có: x 4 t 2 2 2 2 2 2 Phương trình tham số của AK: y 6 t , t ¡ . MA MB MC x 1 0 1 y 0 z 2 t 2 x 3 2 0 1 y 2 2 2 Khi đó ta tìm được tọa độ điêm K AK  P là x 1 0 6 2 y 7 2 K 0;2; 2 . 3 x 1 2 3 y 3 2 72 72 Ta có d  AH,d  AK d  AHK d  HK Dấu " '' xảy ra khi: x 1; y 3 M 1;0;3 . BHK vuông tại H, khi đó điểm H luôn thuộc Vậy đáp án đúng là C. đường tròn đường kính BK cố định. Câu 122: Đáp án C Bán kính đường tròn là 2 2 2 x 1 y 7 z 3 BK 0 2 2 2 0 2 Dễ thấy M 1;7;3 d : . R 6. 2 1 4 2 2 Khi đó ta có: Câu 125: Đáp án A 3.1 2.7 3 5 9 d d d Trung điểm của AB là I 1;1;2 . ,  d , M , 32 22 1 14  Vậy đáp án đúng là C. Ta có AB 6;2;2 . Gọi P là mặt phẳng trung Câu 123: Đáp án D trực của đoạn AB nên P có vec-tơ pháp tuyến là Theo tính chất đường xiên đường vuông góc dễ thấy:  n P 3; 1; 1 do P  AB và đi qua điểm d d const. Điều này xảy ra khi: A, P A, d I 1;1;2 . H a;b;c là hình chiếu của A lên d cũng là hình Phương trình P :3 x 1 y 1 z 2 0 chiếu của A lên P . Do đó, ta có: 3x y z 0. H d H 2b 1;b;2b 2 AH  d IV. Mặt cầu 2. 2b 1 2 1. b 5 2 2b 2 3 0 1. Phương trình mặt cầu 9  Định lý b 1 H 3;1;4 AH 1; 4;1 9 P : x 3 4 y 1 z 4 0 Trong không gian Oxyz, mặt cầu S tâm P : x 4y z 3 0 I a;b;c bán kính R có phương trình là x a 2 y b 2 z c 2 R2 (1). Vậy đáp án đúng là D
Phương trình có dạng như phương trình (1) được gọi 2 x0 a x a y0 b y b z0 c z c R là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I, bán . kính R. Nhận xét: Khi biến đổi phương trình (1) ta được: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz a2 b2 c2 R2 0 Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu x2 y2 z2 9 tại điểm M 2; 2;1 . Nếu đặt a2 b2 c2 R2 d thì phương trình trên trở thành Lời giải 2 2 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0 (2) Áp dụng công thức ở trên ta được mặt phẳng P có Với điều kiện a2 b2 c2 d 0 thì phương trình phương trình 2x 2y z 9 0 . (2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu c. Trường hợp 3: d R S  P C , C là có tâm I a;b;c và bán kính R a2 b2 c2 d đường tròn có tâm H là hình chiếu của I trên P , có 2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng bán kính r R2 d 2 . Cho mặt cầu S I; R và mặt phẳng P . Đặt STUDY TIP 3. Các dạng toán thường gặp liên quan đến Phương trình mặt phẳng d d I; P . Khi đó ta có các trường hợp: mặt cầu P tiếp xúc với mặt cầu a. Trường hợp 1: d R S  P  Dạng I: Viết phương trình mặt cầu cho trước tâm S tâm I a;b;c bán I a;b;c . kính R tại điểm b. Trường hợp 2: d R S  P M , M là M x0 ; y0 ; z0 có phương hình chiếu của I lên mặt phẳng P . Trường hợp này a. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng trình P : Ax By Cz D 0. ta nói mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S tại x a x a 0 A.a B.b C.d D M. Lúc này P được gọi là tiếp diện của mặt cầu mặt cầu có bán kính R y b y b 2 2 2 0 A B C 2 S , M được gọi là tiếp điểm của P và S . z c z c R 0 b. Mặt cầu cắt mặt phẳng Tóm lại: Cho hai mặt cầu S I ; R ;S I ; R 1 1 1 2 2 2 P : Ax By Cz D 0 theo một đường tròn có bán kính r cho trước. * I1I2 R1 R2 S1 ; S2 trong nhau. bán kính mặt cầu được xác định bởi: * I1I2 R1 R2 S1 ; S2 ngoài nhau. 2 2 2 R r d I; P * I1I2 R1 R2 S1 ; S2 tiếp xúc trong. c. Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng * I I R R S ; S tiếp xúc ngoài. x x y y z z 1 2 1 2 1 2 d : 0 0 0 A B C * R1 R2 I1I2 R1 R2 S1 ; S2 cắt bán kính mặt cầu được xác định bởi công thức: nhau theo 1 đường tròn.  u , MI d Đọc thêm: Với trường hợp 2: Ta dễ thấy với N , ta R  trong đó M là một điểm trên đường   u có N P IM.IN R2 . Từ đó ta thu được kết d quả sau. thẳng d. (công thức ở phần khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong bài Phương trình đường Cho mặt cầu thẳng). 2 2 2 S : x a y b z c R2 và điểm d. Mặt cầu cắt đường thẳng d theo một dây cung có độ dài l cho trước. M x0 ; y0 ; z0 S . Khi đó tiếp diện của S tại M có phương trình: bán kính mặt cầu được tính bằng công thức: 2 2 l 2 R d I,d 2
Dạng II: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước và thỏa mãn một điều kiện nào đó trong phần I. Cách làm: Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số, khi đó tham số hóa tọa độ điểm I theo một ẩn, sử dụng dữ kiện đề bài tìm ra I, từ đó quay về dạng I, tìm R. Dạng III: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 tại điểm M cho trước. Cách 1: Ở phần 2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng (trường hợp 2) ta có bài toán ngược của bài toán này. Với mặt cầu S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 tiếp xúc STUDY TIP với mặt phẳng P tại M x ; y ; z thì có Phương trình mặt phẳng 0 0 0 P cần tìm có dạng phương trình 2 P : x0 a x a y0 b y b z0 c z c R x0 a x a . y0 b y b z c z c R2 0 Vậy ở đây khi đã biết mặt phẳng P , điểm M nên Do vậy khi đã biết phương ta sẽ tìm tâm I và bán kính R bằng cách đồng nhất hệ trình mặt phẳng số phương trình mặt phẳng P . P : Ax By Cz D 0 ở đề bài, do vậy ta chỉ cần Cách 2: giải hệ: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm M x0 a A   IM  P I x0 At; y0 Bt; z0 Ct y b B thì bài toán uIM uP A; B;C 0 R IM R IM R A2 B2 C 2 . t z0 c C được giải quyết. Tiếp theo, sử dụng các công thức ở dạng I tìm ra t. Từ đây ta có l, có R nên viết được phương trình chính tắc của mặt cầu. Dạng IV: Viết phương trình mặt cầu S đi qua bốn điểm không đồng phẳng cho trước trong không gian. Ta gọi phương trình mặt cầu là x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (1). Do A, B, C, D thuộc mặt cầu S thế nên thay tọa độ từng điểm vào (1) ta sẽ có hệ phương trình bốn ẩn a, b, c, d. Giải hệ ta tìm được a, b, c, d. Từ đây ta có mặt cầu tâm I a;b;c và bán kính R a2 b2 c2 d .
Câu 5: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm Bài tập rèn luyện kỹ năng I(1;4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : 6 x 6 y 7 z 42 0 . Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 1 y 2 z 2 2 2 3 điểm A(2;1;3) và đường thẳng d : A. (S) : x 5 y 3 z 1 2 1 1 4 Mặt phẳng (P) chứa A và d. Phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: B. (S) : x 1 2 y 3 2 z 3 2 1. 2 2 2 12 A. x y z . C. (S) : x 1 2 y 4 2 z 7 2 121. 5 2 2 2 B. x2 y2 z2 3 . D. (S) : x 1 y 2 z 2 9 . C. x2 y2 z2 6 . Câu 6: Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu: (S) : x2 y2 z2 6x 4y 2z 5 0 . 24 D. x2 y2 z2 . 5 A. I(0;0;1;) , R 3.B. I(3; 2;1), R 3 . Câu 2: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm M (1;0;0) , C. I(3; 1;8), R 4 .D. I(1;2;2), R 3 . N(0;1;0) , P(0;0;1) , Q(1;1;1) . Tìm tọa độ tâm I. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai 1 1 1 2 2 2 điểm A(1; 1;2) và B(3;1;4) . Mặt cầu (S) đường kính A. ; ; .B. ; ; . 2 2 2 3 3 3 AB có phương trình là: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 A. x 2 y z 3 3 . C. ; ; .D. ; ; . 2 2 2 2 2 2 B. x 2 2 y2 z 3 2 3. Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 mặt cầu (S) : x 2 2 y 1 2 z 3 2 9 . Mệnh C. x 2 y2 z 3 3 . đề nào đúng? D. x 2 2 y2 z 3 2 3 . A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy). Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng mặt cầu (S) có tâm I(2; 1;3) và cắt mặt phẳng (Oxy ), (Oxz), (Oyz). (P) : 2x y 2z 10 0 theo một đường tròn có chu C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz). vi bằng 8 . Phương trình mặt cầu (S) là: D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz). 2 2 2 A. x 2 y 1 z 3 5. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;3) và B(5;4;7) . Phương trình mặt cầu B. x 2 2 y 1 2 z 3 2 5 . nhận AB làm đường kính là: C. x 2 2 y 1 2 z 3 2 25. A. x 1 2 y 2 2 z 3 2 17 . D. x 2 2 y 1 2 z 3 2 25 . B. x 3 2 y 1 2 z 5 2 17 . Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 2 C. x 5 y 4 z 7 17 . bốn điểm A 1;1;1 , B 1;2;1 ,C 1;1;2 , D 2;2;1 . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa 2 2 2 D. x 6 y 2 z 10 17 . độ: