Đáp án đề thi chọn học sinh cấp huyện môn Toán Lớp 12 - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

Nội dung text: Đáp án đề thi chọn học sinh cấp huyện môn Toán Lớp 12 - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

1. HƯỚNG D ẪN CH ẤM ĐỀ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI C ẤP HUY ỆN L ẠNG GIANG MÔN TOÁN L ỚP 12 NĂM H ỌC 2014-2015 Câu Đáp án Điểm Câu 1 1, 3x − 2 2,5 đ Cho hàm s ố ()C: y = . Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến (∆) của đồ x −1 th ị hàm s ố (C ) biết (∆) cắt đường tròn có ph ươ ng trình ()x−22 + y 2 = 25 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông t ại A với A(6; 3) . ()()C': x− 22 + y 2 = 25 suy ra (C ') có tâm I(2; 0) và bán kính R = 5 0,25 A(6; 3) ∈(C ') (∆) cắt (C ') tại hai điểm B, C th ỏa mãn tam giác ABC vuông t ại A ⇒ (∆) 0,25 đi qua I(2; 0) ⇒ (∆) có PT d ạng: y= k( x − 2) 0,25 (∆) là ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị hàm s ố (C) khi và ch ỉ khi h ệ PT sau có nghi ệm − 3x 2 = −  k() x 2  x −1 0,25  −  1 = 2 k ()x −1 Gi ải h ệ PT trên tìm được k = − 1 và k = − 9 0,5 Với k= − 1⇒ (∆) : y =−+ x 2 0,5 Với k= − 9⇒ (∆) : y =− 9 x + 18 Kết lu ận 0,5 2, Tìm m để đồ th ị hàm s ố yxmx=−322 +( mm −−2) x − 2( m 2 −+ 32 m ) có 2,5 hai điểm c ực tr ị và hai giá tr ị cực tr ị của hàm s ố trái d ấu nhau. Hoành đồ giao điểm c ủa đồ th ị hàm s ố ( ) =−322 + −− − 2 −+ Cm : yxmx( mm 2232) x( m m ) và tr ục hoành là
2. nghi ệm c ủa PT: xmx322− +( mm −−2) x − 2( m 2 −+= 320* m ) ( ) ⇔−()()x2() x2 −− m 2 xm +−+= 2 320 m x = 2 ⇔  2 2 x−()() m −2 xm + − 320 m += 1 0,5 ( ) Hàm s ố Cm có hai điểm c ực tr ị và hai giá tr ị cực tr ị của hàm s ố trái d ấu khi ( ) ⇔ và ch ỉ khi đồ th ị hàm s ố Cm cắt tr ục hoành t ại 3 điểm phân bi ệt PT (*) có ba nghi ệm phân bi ết ⇔ PT (1) có 2 nghi ệm phân bi ết khác 2 0,5  f (2) ≠ 0 ⇔  ( f( x) = VT (1) ) ∆ > 0 0,5 m2 −5 m + 10 ≠ 0 ⇔  −2 + −>  3m 8 m 40 2 0,5 ⇔ <m < 2 3 Kết lu ận 0,5 Câu 2 1, xπ  x π 2đ Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2+ =+ 1cos 2  + 24  36 xπ  x π 2sin2+ =+ 1cos 2  + 24  36 x π  0,25 sinx = cos 2  +  (1) 3 6  x π π Đặt t= + ⇒ x=3 t − 3 6 2 Khi đó PT (1) tr ở thành: π  sin3t−  = cos 2 t 2  0,5 0,5
3. ⇔ −3cost = cos 2 t ⇔cost() 4cos2 t +−= cos t 3 0 0,25  0,25 cost = 0  0,25 ⇔cost = − 1  3 cos t =  4 Gi ải PT cost = 0 ta suy ra x = Gi ải PT cost = − 1 ta suy ra x = 3 Giair PT cos t = ta suy ra x = 4 Kết lu ận 2, Gi ải b ất ph ươ ng trình: 2013x+ 2015 x ≤ 2.2014 x 2đ 2013x+ 2015 x ≤ 2.2014 x x x 2013  2015  ⇔  +  −≤2 0() 1 2014  2014  x x 2013  2015  Xét hàm s ố f() x =  +  2014  2014  x x 2013 2013  2015 2015 f'() x = .ln +  .ln 2014 2015  2014 2014 f'( x ) = 0 có 1 nghi ệm 0,5 ⇒ f( x ) = 0 có t ối đa hai nghi ệm ( ) =( ) = Mà f0 f 1 0 x = 0 0,5 ⇒ f() x =0 ⇔  = x 1 Hàm s ố f( x ) liên t ục trên (−∞; +∞ ) limfx( ) = lim fx( ) =+∞ x→−∞ x →+∞ 0,5 Lập b ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố f( x ) ⇒ f( x) ≤2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 0,5 Kết lu ận
4. Câu 3 1,  2 2đ  449x+()() x − xy −+ xy = 3 y Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  + + = + 4()()x 2 yx 233() x  2  449x+()() x − xy −+ xy = 31 y ()  + + = + 4()()x 2233 yx()() x 2 x≥0, y ≥ 0  Điều ki ện:  2 449x+()() x − xy −≥ 0 Ta có ()()()1449⇔x2 +− x xy −−+ 2 y xyy −= 0 ()()xyxy−8 +− 4 9 yxy() − ⇔ + = 0 2 + 449x+()() x − xy −+ 2 y xy y   8x+ 4 y − 9 y ⇔−()x y  +=  0 2 + − −+ +  449x()() x xy 2 y xy y  x= y (3)  ⇔ 8x+ 4 y − 9 y  + = 0 (4) 0,5  449x2 +()() x − xy −+ 2 y xy+ y  Thay (3) vào (2) ta được 43x() x+ 23 =() x + 3 ⇒13x2 + 14 x − 27 = 0 = x 1 0,5  ⇔ 27 x = −  13 Với x=1⇒ y = 1 suy ra h ệ có nghi ệm (1; 1) 27 x = − (không th ỏa mãn điều ki ện) 13 0.5 8x+ 4 y − 9 y Xét PT + = 0 (4) 449x2 +()() x − xy −+ 2 y xy+ y Từ ph ươ ng trình (2) ta có
5. 9()x + 3 2 ()()()()216⇒ x+ 2 yx + 2 = 9 x + 32 ⇒ 84 xy+ = 4()x + 2 ()x+32  () x + 1 2 ⇒ 8499x+−= y  −= 19.  >∀≥ 0,x 0 ()+  () + 42x  42 x 0,5 Suy ra VT (4) luôn d ươ ng. V ậy (4) vô nghi ệm. Kết lu ận. 2, 1 x2 +1 2đ Tính tích phân: I= edxx ∫ + 2 0 ()x 1 1 x2 +1 I= edxx ∫ + 2 0 ()x 1 1 2 2  =1 − +  ex ∫x +1 ()+ 2  0 x 1  1 1ex 1 e x =edxx −2 dx + 2 dx ∫ ∫+ ∫ + 2 0 0x 1 0 ()x 1 1x 1 x 0,5 e e Đặt I= dxI, = dx 1∫+ 2 ∫ + 2 0x 1 0 ()x 1 1 ⇒ I= edxx −2 I + 2 I (*) ∫ 1 2 0 1 ex I= dx 1 ∫ + 0 x 1  1  = − 1 u = du2 dx Đặt x +1 ⇒  ()x +1 = x  x dv e dx v= e 0,25 1 ex1 e x e I= + dx =−+1 I 1 +∫ + 2 2 x10 0 ( x 1) 2 0,75 Thay I1 vào (*), ta được 1 1 I= edxex −+=2 e x −+=−−+= e 2121 e e ∫ 0 0 0,5 Câu 4
6. 1, Cho hình chóp t ứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD ngo ại ti ếp đường tròn tâm 3 đ O, bán kính b ằng a. Hai m ặt ph ẳng (SAB) và (SCD) h ợp v ới nhau góc 60 o. a) Tính th ể tích kh ối chóp S.ABCD b) Tính góc gi ữa hai đường th ằng AG và SD v ới G là tr ọng tâm tam giác SBC. a, (1,5 đ) a, S.ABCD là hình chóp t ứ giác đều ⇒ ABCD là hình vuông, mà ABCD ngo ại 0,25 ti ếp đường tròn tâm O bán kinh a ⇒ SO⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi M, N l ần l ượt là trung điểm c ủa AB, CD * Tr ường h ợp 1 0,5 ⇒ góc gi ữa hai m ặt ph ẳng (SAB) và (SCD) là MSN = 60 o ⇒△MSN đều c ạnh 2a ⇒ SO= a 3 S= 4 a 2 (đvdt) ABCD 1 1 43a3 V= S. SO = .4. aa2 3 = (đvtt) S. ABCD3 ABCD 3 3 0,5 * Tr ường h ợp 2 0 = o Góc gi ữa hai m ặt ph ẳng (SAB) và (SCD) b ằng 60 suy ra MSN 120
7. a 3 Tam giác SON vuông t ại O có ON = a, OSN = 60 o ⇒ SO = 3 = 2 SABCD 4 a (đvdt) 0,25 3 1 1a 343 a V= SSO. = .4. a 2 = (đvtt) S. ABCD3 ABCD 339 b, Gọi I là trung điểm c ủa BC, J là giao điểm c ủa ID v ới AC Ta có G, J l ần l ượt là tr ọng tâm các tam giác SBC và tam giác BCD 0,5 IG IJ 1 ⇒ = = ⇒ GJ / / SD IS ID 3 ⇒ ữ đườ ẳ ằ ữ đườ ẳ Góc gi a hai ng th ng AG và SD b ng góc gi a hai ng th ng AG và GJ * Tr ường h ợp 1 góc gi ữa hai m ặt ph ẳng (SAB) và (SCD) là MSN = 60 o 1 1a 5 Ta có GJ= SD = SN2 + ND 2 = 3 3 3 3 3 32a AJ= AC =.2 a 2 = 4 4 2 AI= a 5 ⇒△ASI cân t ại A có AI= AS = a5, SI = 2 a a 37 Ta tính được AG = 3 Xét tam giác GAJ có 0,5 2 2 2 AG+ GJ − AJ cosAGJ = ≈ 0.055 2AG . GJ Suy ra góc gi ữa hai đường th ằng AG và SD * Tr ường h ợp 2 Góc gi ữa hai m ặt ph ẳng (SAB) và (SCD) b ằng 60 0 suy ra MSN =120 o 11a 21 Ta có GJ= SD = SO2 += OD 2 3 3 9 3 3 32a AJ= AC =.2 a 2 = 4 4 2
8. SA2+ SI 2 − AI 2 1 Xét △SAI ta có cos ASI = = − 2SA . SI 7 103 a2 Xét △SAG có AG2=+− SA 2 SG 2 2. SASG . .cos ASI = 27 Xét tam giác GAJ có 0,5 AG2+ GJ 2 − AJ 2 cosAGJ = = 2AG . GJ Suy ra góc gi ữa hai đường th ằng AG và SD Kết lu ận 2, Vi ết ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) có tâm I(-4; 1; 1) và c ắt m ặt ph ẳng 2 đ (Px) :+ 2 y − 2 z += 10 theo giao tuy ến là đường tròn có chu vi b ằng 4π 2 −+4 2.1 − 2.1 + 1 0,5 Ta có d() I,() P = = 1 12+ 2 2 +() − 2 2 Đường tròn (C) có chu vi 4π 2 ⇒ (C) có bán kinh r = 2 2 0,5 2 Gọi R là bán kính m ặt c ầu (S), ta có R= d2 +=+ r 21 2 () 22 = 3 0,5 0,5 Suy ra ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) là : ()()()x+42 +− y 1 2 +− z 19 2 = Câu 5 2 đ Cho x, y , z là các s ố dươ ng th ỏa mãn x+ y + z = 1. Ch ứng minh r ằng x y z + + ≤ 1. x++ xyz y ++ yzx z ++ zxy x y z Đặt P = + + ++ ++ ++ x xyz y yzx z zxy Tr ước h ết áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta có xyz+= xxyz() +++= yz x2 + xyz() ++≥+ yz x yz x x Do v ậy ≤ . x+ x + yz2 x + yz y x z x Tươ ng t ự có ≤ ; ≤ . y+ yzx +2 y + zx z+ z + xy2 z + xy x y z Suy ra P ≤ + + . 2x+ yz 2 y + zx 2 z + xy 0,5
9. 1x 1yz 1 yz Mặt khác ta l ại có − =. = . 22x+ yz 2 2 x + yz 2 2 x yz + yz Dẫn đến:      1−x +− 1 y +− 1 z      22x+ yz  2 2 y + zx   2 2 z + xy    =1 yz + zx + xy   2  2x yz+ yz 2 y zx + zx 2 z xy + xy  Mà 0,5 yz+ zx + xy 2x yz+ yz 2 y zx + zx 2 z xy + xy 2 ()yz+ zx + xy ≥ = 1 2x yz++ yz 2 y zx ++ zx 2 z xy + xy 0,5 3 1 1 Vậy −P ≥ ⇒ P ≤1. D ấu b ằng x ảy ra khi x= y = z = . 2 2 3 0,5 Lưu ý khi ch ấm bài: - Trên đây ch ỉ là s ơ l ược các b ước gi ải, l ời gi ải c ủa h ọc sinh c ần l ập lu ận ch ặt ch ẽ, h ợp logic. N ếu h ọc sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì v ẫn được điểm theo thang điểm tươ ng ứng. - Với bài toán hình h ọc n ếu h ọc sinh v ẽ hình sai ho ặc không v ẽ hình thì không cho điểm ph ần t ươ ng ứng.