Đáp án đề thi lập đội tuyển dự thi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk

Nội dung text: Đáp án đề thi lập đội tuyển dự thi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 22/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm 4 trang) A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1 Giải phương trình: x5 15 x 3 45 x 27 0 1 5 Đặt x 2 3 t , thay vào phương trình ta được 1 288 3t5 360 3 t 3 90 3 t 27 0 2 16t5 20 t 3 5 t 3 1 5 3 16t 20 t 5 tcos 6 Đặt t cos 1 5 3 Ta có 16cos 20 cos 5 cos cos 6 Do cos5 16 cos5 20 cos 3 5 cos 1 k2 Nên ta được cos5 cos x 2 3 cos , k {0,1,2,3,4} 6 5.6 5 Do phương trình 1 có tối đa 5 nghiệm nên phương trình 1 có đúng 5 1 k2 nghiệm là: x 2 3 cos , k {0,1,2,3,4} 5.6 5 2 Tìm hàm f(x) liên tục trên và thỏa mãn: 3fx 3 fx  xx , . 5 x x 1 Ta có 3fxfxxx 3   , 3 fxf  , x 1 3 3 x x1 Đặt g x . Xét dãy số xn với 3 xn 1 gx n
2. x1 x2 gx 1 3 x2 x3 gx 2 x1 Ta có 3 suy ra xn n 1 nên xn 0 3 lim n xn 1 xn gx n 1 3 Do hàm f x liên tục trên nên lim f xn f 0 0 n Lần lượt thay x bởi xx1; 2 ; ; xn vào 1 ta được 1 x1 x 1 x1 3 fx 1 f 3 fx 1 fx 2 3 3 3 x2 x 2 x1 3 fx 2 f 3 fx 2 fx 3 2 3 3  3   x1 xn 1 x n 1 3 fx fx 3 fx n 1 f n 1 n n 1 3 3 3 1 x1 fx 1 fx 2 2 3 3 1 x1 fx 2 fx 3 3  3 3  1 x1 fx n 1 fx n n 3 3 n 1 2 4 2 n 2 1 1 1 1 1 Suy ra fx 1 fxx n 1 3 3 3 3 2n 2 2 n 2 1 1 n 11 n 1 1 1 1 3 1 3 fx n x1 fx n x 1 . 3 91 3 8 1 9 Lấy giới hạn 2 vế. do f x là hàm số liên tục nên ta được: 1 x1 x fx 1 fx 8 8 x 1 Thử lại : f x là hàm liên tục trên và 8 3xx 9 x 9 x 33fx 3. ; fxx x thỏa mãn điều kiện bài toán 8 88 8 3 Cho tam giác ABC, M là điểm trong của tam giác. Gọi khoảng cách từ 5 M đến các cạnh BC, AC, AB lần lượt là da; d b ; d c , khoảng cách từ M
3. đến các đỉnh A, B, C lần lượt là xyz; ; . Chứng minh rằng: x y z 2 da d b d c Gọi độ dài các cạnh là abc; ; . 1 Kẻ BH MACK,  MA , gọi D là giao của AM và BC , suy ra BH CK BC 1 Có 2S MAB cd . c BHxS . ;2 MAC bd . b CKx . Do BH CK BC x BH CK x. BC xa bdb cd c 1 Gọi M’ đối xứng với M qua phân giác góc A, khi đó M’A=MA=x và 1 khoảng cách từ M’ đến AB bằng khoảng cách từ M đến AC bằng db b c 1 Áp dụng 1 cho điểm M’ ta được xa bdc cd b  x d c d b a a a c a b Tương tự ta cũng có y dc d a;z d b d a bb cc b c a c b a 1 Suy ra x y z da d b d c 2 d abc 2 d 2 d cb ca ac x y z  2 da d b d c Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều và M là tâm tam giác.
4. 4 5 2 x y z 15 0 1 Giải hệ phương trình 2x 4 y 7 z 2 xyz 0 2 1 22 10y 4 8 z 3 3x 3 Điều kiện: x 0; y 0; z 0 1 2x 4 y Từ 2 suy ra z ;2 xy 7 0 2xy 7 2x 4 y 11 7 2x 4 y 2 1 Khi đó xyzxy x y 2xy 7 2x 2 x 2 xy 7 x 2 11 2xy 72 x 7 11 2 x2 7 x x 4 2x 2 xxxy 2 7 2 x x 2 2xy 72x 7 7 2 x2 7 Đẳng thức xảy ra khi  y 2xxxy 2 7 2 x x2 7 9 7 1 2 3x 7 Mặt khác x 7 5 4 4 x Đẳng thức xảy ra khi 1 3 11 2 3x 7 9 3 15 1 Do vậy xyzx x 6 , đẳng thức 2xx 4 x 2 2 xảy ra khi x 3 5 1 Từ 1 ; 6 suy ra dấu bằng xảy ra nên suy ra x 3; y ; z 2 2 5 Thử lại thấy thỏa mãn 3 nên x 3; y ; z 2 là nghiệm của hệ 2 B. HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số. 2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó. Hết